第02节 可分离变量的微分方程

分离变量，两边积分得
sin y dy sin x dx
cos y
cos x
∴
ln cos y ln cos x ln c
即：
cos y ccos x
将
y
|x0
＝
4
代入得 c
1 2
故特解为
2 cos y cos x
二、2 解 这是对称形式的可分离变量方程；
分离变量，两边积分，得
sin y dy
dx y dy 1 x 1 y2
得： 即： 记
ln(1
x)
1 2
ln(1
y
2
)
C1
2ln(1 x) ln(1 y2) 2C1
2C1 ln C
则通解为 (1 x)2 C(1 y2)
将 y |x0 2
代入上式，得
C 1 3
故所求特解为 y2 3(1 x)2 1
例3 衰变问题：已知镭的分解速度与所存镭
十一、课堂练习题解
1.解 这是可分离变量方程；
分离变量
dy xex2 dx y ln y
两边积分 ∴ 通解为
dy xex2dx y ln y ln ln y 1 ex2 c
2
2.解 这是对称形式的可分离变量方程；
分离变量并积分之，得 ey 1 x2 1 x4 c 24
∴ 通解
y
cos y
ex ex 1
dx
ln cos y ln(ex 1) ln c
故 cos y c ex 1 为通解
将
y
x0
4
代入，得 c
2 4
故特解为 4cos y 2 ex 1
三、解 设T T t ，由题设，有
dT dt
k T Байду номын сангаас0
, k 0
这是可分离的变量方程，其通解为
如果一阶微分方程能化成
M ( y)dy N (x)dx
（4）
(特点:左边只含有变量y和dy；右边只含有变量x和dx)
的形式，则该一阶微分方程称为可分离变量的 微分方程
什么方程是可分离变量的微分方程呢？
形如
dy h(x)g( y)
（5）
dx
或 P(x)P( y)dx Q (x)Q ( y)dy 0
u[ f (u) g(u)]
x
两边积分
g(u) du 1 dx
u[ f (u) g(u)]
x
∴ 通解为
ln | x |
g(u) du c
u[ f (u) g(u)]
四、小结
本节学习内容是： 1. 可分离变量方程的“标准型”； 2. 分离变量法步骤：
(1)分离变量; (2)两边积分; (3)求得隐式通解
ln y x2 C1
C1 是任意常数；
从而: y eC1ex2 C ex2 C 是任意常数，
即
y Cex2 为所求通解。
解二 原方程是一个可分离变量的方程；
分离变量且两边积分 ： dy 2xdx y
得： ln y x2 C1 ， y 0 C1 是任意常数
从而 y eC1ex2 C ex2 C 是任意正常数
九、常见问题辅导：
1.为什么在微分方程中，
1 u
du
ln
|
u
|
C
和
1 du ln u C 常常通用，而不严格区分其 u
的细微之处？
答：我们用一个例子来说明： 例 求解微分方程 dy 2xy 的通解
dx 解一 原方程是一个可分离变量的方程；
分离变量且两边积分 ：
dy 2xdx y
得：
T＝T0＋ce kt 又将初始条件代入，可求得
c 80 , k 1 ln 8 24 3
故有
t ln8
T 20 80e 24 3
令 T＝95 C 时，t 1.58 （小时）
的质量M 成正比，已知 M |t0 M0 ，求各个时
刻 t 的存镭量。
解 设 M＝M（t） 由题设，有
dM
dt
M
( 0)
M |t0 M0
这是一个可分离变量的方程。
分离变量
dM dt
M
两边积分
dM dt
M
∴ ln M t ln c ， 即 M cet
由初始条件 M |t0 M0 ，得 M0 ce0 c ∴ M M0et 为所求
ydy
cos
y sin
xdx
，y
|x0
4
2.
cos
ydx
(1
ex
) sin
ydy
0
，y
|x0
4
三、（热水降温问题）设热水瓶内热水温度为T， 室温为To，时间单位为小时，根据试验，热水 温度降低率与 T－To成正比，求T与t的函数关系.
又设 T0＝20 ℃，t 24时T＝100℃，t 0 时 T＝50℃，问几小时后水温为95℃？
dy h(x)dx g( y)
设
G( y)和
H(x)依次为
1和 g( y)
h(x) 的原函数，
则 G( y) H (x) C 为微分方程的解(又叫隐式通解)
三、例题
例1 求微分方程 dy 2xy 的通解 dx
解 原方程是一个可分离变量的方程；
分离变量 dy 2xdx y
两边积分 dy 2xdx y
或
ln | c1 | (c1 0)
这样，y C1 f (x)。如果 c1 0 时 y 0
也是方程的 解，那未 c1 还是任意常数。
于是，将解直接写成 y cf (x)
十、课堂练习
1.解方程 y xyex2 ln y 2.解微分方程初值问题
(x x3)dx e ydy 0 ， y(1) 1
（6）
1
2
1
2
的一阶微分方程都是可分离变量的微分方程。
解法：
第一步：分离变量
dy
h(x)dx
或
Q (y)
P(x)
2 dy 1 dx
g( y)
P( y)
Q (x)
2
1
第二步：两边积分
dy h(x)dx 或
Q (y)
P( x)
2 dy 1 dx
g( y)
P( y)
Q (x)
2
1
针对
ln
1 2
x2
1 4
x4
c
将
y(1)
1
代入，得
c
e
3 4
故特解为
y
ln
1 2
x2
1 4
x4
e
3 4
十二、自测题
一、求下列微分方程的通解：
1. (ex y ex )dx (ex y e y )dy 0 2. ( y 1)2 dy x3 0
dx
二、求下列微分方程的特解
1.
cos xsin
(这个表达式与解一中的表达式形式完全一样，
只要在此处依然理解C是任意常数，约束 y 0 也就
消失，两个解便完全一致)
即 y Cex2 （C任意常数）为所求通解。
2.为什么有时候把积分常数C写成 ln c 、ln | c |？
答：当积分一个微分方程出现自然对数（如：
ln | y | ln f (x) c ）时，常将C写成 ln c1 (c1 0)
例4 求方程 f (xy) ydx g(xy)xdy 0 的通解。
解 令 u xy ，则 du xdy ydx
f (u) ydx g(u)x du ydx 0 x
[ f (u) g(u)] u dx g(u)du 0 x
这是一个可分离变量方程。
分离变量
g(u) du 1 dx
F（x, y, y） 0
（1）
y f (x, y)
（2）
P(x, y)dx Q(x, y)dy 0 （3）
问题：如何求解一阶微分方程？难！
问题的简化：以下几节我们只讨论几种特殊 类型的一阶微分方程：
可分离变量的微分方程 一 齐阶 次线 方性 程微分方程 贝努利方程 全微分方程
二、可分离变量的微分方程及其求解
五、重点
掌握分离变量法。
六、难点
对某些一阶方程，寻找变量找换，将原方程 化为可分离变量方程。
七、主要题型
1. 对可分离变量的一阶微分方程，求通解和特解 2. 简单的应用题
八、学习方法指导
熟记“标准型”，掌握可分离变量方程 的特征和一些简单的变量代换；会使用分离 变量法，并要加强不定积分运算训练。
第二节 可分离变量的微分方程
一、一阶微分方程 二、可分离变量的微分方程及其求解
华南理工大学数学科学学院 杨立洪 博士
一、一阶微分方程
首先，对一阶微分方程作一次概要的介绍：
例 一阶微分方程： yy x2 0
可以写成
y x2
即
dy x2
y
dx y
也可以写成 x2dx ydy 0
一般，一阶微分方程都具有以下三种等价形式：
得： 从而
ln y x2 C 1
y eC1ex2 C ex2 （C任意常数），
即
y Cex2 为所求通解。
例2
求解初值问题
dx xydy y2dx ydy
y |x0 2
解 原方程化为 （1 y2）dx y(1 x)dy 0
它是可分离变量方程
分离变量 两边积分
dx y dy 1 x 1 y2
十三、自测题题解
一、1解 这是可分离变量方程，
分离变量并两边积分，得 ：
ey dy
ex dx
ey 1
ex 1
∴ 通解为 （ex 1）(ey 1) c
一、2解 这是可分离变量方程， 分离变量并两边积分得：
( y 1)2 dy x3dx
∴ 通解为 4( y 1)3 3x4 c
二、1解 这是可分离变量方程，