第02节 可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程ppt课件
1
❖可分离变量的微分方程 如果一个一阶微分方程能写成
g(y)dyf(x)dx (或写成y(x)(y))
的形式 那么原方程就称为可分离变量的微分方程 ❖可分离变量的微分方程的解法
•分离变量 将方程写成g(y)dy f(x)dx的形式
•两端积分 g(y)dy f (x)dx 设积分后得 G(y)F(x)C
)
k
7
结束
m
dv dt
mg
kv
v |t 0 0
提示 降落伞所受外力为Fmgkv(k为比例系数)
牛顿第二运动定律Fma 6 下页
例3 设降落伞从跳伞塔 两边积分得
下落后 所受空气阻力与速度 成正比 并设降落伞离开跳伞
dv mg kv
dt m
塔时速度为零 求降落伞下落 即 速度与时间的函数关系
1 k
ln(
dx 设积分后得 G(y)F(x)C
方程由G(y)F(x)C所确定的函数,称为隐式(通)解 2
讨论
微分方程
分离变量
y2xy
y1dy2xdx
3x25xy0
dy(3x25x)dx
(x2y2)dxxydy=0 ————
y1xy2xy2 y(1x)(1y2)
y10xy y x y
yx
10ydy10xdx ————
是否可分离变量 是 是 不是 是 是
不是
3
例 1 求微分方程 dy 2xy 的通解 dx
解 这是一个可分离变量的微分方程
分离变量得
1 y
dy 2xdx
两边积分得
1 dy y
2xdx
即
ln|y|x2C1 注 加常数的另一方法
第十二章第2节可分离变量的微分方程58163
或 (exC)ey10 ( C < 0 )
解法 2: 令 uxy, 则 u1y
故有 积分
u 1eu
1dueu xC
(1eu) eu 1eu
du
uln(1eu)xC
即
ln(1exy)yC ( C 为任意常数 )
4
例 4 . 求 x 2 y 1 d y 2 x 2 x x 2 y 2 d 0 y
同解变形, 因此可 能增、减解.
两边积分
dy y
3x2dx
得 ln y x3C1
或
如此例, y = 0 也是原
方程的解 , 但在变量 分离时丢失了此解.
即 y ex3C1 eC1ex3
令 C eC1
lny x3lnC
C e x3 ( C 为任意常数 )
2
例2. 解下述初值问题
(称为隐式通解)
或 M 1 (x )M 2(y )d x N 1 (x )N 2(y )dy 0
的方程都叫做可分离变量方程 .
例如 dy2x2y54 y54dy2x2dx,
dx 1
例1. 求微分方程 d y 3x 2 y 的通解. 说明: 在求解过程
dx
中每一步不一定是
解: 分离变量得 d y 3x2d x y
8
满足初始条件 y x11 的特解。
解 原式化为 1yy2dy1x2x2dx
两边积分得 lny1y2xarcx t aC n 2
由初始条件
y x11
得C 3
42
所求特解为 ln y1y2x arc x t3a n
2
24 5
例5. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原子
第二节可分离变量的微分方程-PPT精品
规衰变律
思考题
求解微分方程 d yco x syco x sy.
dx 2
2
思考题解答
d yco x syco x sy0 ,
dx 2
2
dy2sin xsin y0, dx 2 2
2sdiyny sin2xdx,
2
lncscy coty 22
2cosxC, 2
为所求解.
三、齐次方程
1.定义 形如 dy f(y) 的微分方程称为齐次方程. dx x
正 比 , 已 知 M t0 M0 , 求 衰 变 过 程 中 铀 含 量 M(t)随时间t 变化的规律.
解 衰变速d度 M, 由题设条件
dt
dM M dt
(0衰变)系dM数 M dt
dMMdt, l|n M | t lC n 1 ,即 MC et,
代M 入 t0M 0 得M0C0e C,
M M 0et
dx
解 dy 2 y y dx x x
令u y , 则 dy u x du ,
x
dx
dx
有uxdu 2 uu, dx
1 du dx 0, 2(u u) x
2(u1 u)dudxx 0,
x( u 1) c
微分方程的解为
xy x c
四、小结
１分离变量法步骤: 分离变量;
化下列方程为齐次方程,并求出通解:
1、 y x y 1 ； x y3
2、 (2 x 5 y 3)dx (2 x 4 y 6)dy 0 .
练习题答案
一、1、y2 x2(2lnx C)；
x
2、x2yey C. 二、1、y2 x2 y3；
2、x2 y2 x y. 三、1、arctayn21ln[(x1)2 (y2)2]C；
1202可分离变量的微分方程
所求通解为 : y c ,c为任意常数. x
例4 求通解 dy cos x y cos x y .
dx
2
2
解: 原方程等价于 dy cos x y cos x y ,
dx
2
2
即 dy 2sin x sin y ,
dx
22
dy 2sin
y
sin
所求的通解为 : y c 1 x2 ,c为任意常数.
例3 求微分方程 xdy ydx 0的通解.
解： 1.
分离变量, 得
dy dx , yx
2.
两端积分, 得
dy y
dx x
,
1
ec1
ln | y | ln | x | c1, y
, x
记 c ec1或c 0,
二、典型例题
例1 求微分方程 dy 2xy 的通解. dx
解: 1. 分离变量, 得 dy 2xdx, y
2.
两端积分, 得
dy y
2
xdx,
ln | y | x2 c1 y ec1e x2 , 记 c ec1 ,
又y 0也是原方程的解,
所求通解为: y cex2 ,c为任意常数.
x 2
dx,
2
ln csc y cot y 2cos x c, 即为所求的通解.
掌握分离变量法的步骤: 1.分离变量; 2.两端积分→通解（隐式）.
作业
习题12-2 ： 1(3,10), 2(1,5), 6.
例2
求微分方程
dy dx
资料：02 第二节 可分离变量的微分方程
第二节 可分离变量的微分方程微分方程的类型是多种多样的，它们的解法也各不相同. 从本节开始我们将根据微分方程的不同类型，给出相应的解法. 本节我们将介绍可分离变量的微分方程以及一些可以化为这类方程的微分方程，如齐次方程等.内容分布图示★ 可分离变量微分方程★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7★ 逻辑斯谛方程★ 齐次方程★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12★ 例13 ★ 可化为齐次方程的微分方程★ 例14 ★ 例15 ★ 例16★ 例17★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 题库12—2 ★ 返回内容要点：一、可分离变量的微分方程设有一阶微分方程),(y x F dxdy=, 如果其右端函数能分解成)()(),(x g x f y x F =，即有)()(y g x f dxdy=. (2.1) 则称方程(2.1)为可分离变量的微分方程，其中)(),(x g x f 都是连续函数. 根据这种方程的特点，我们可通过积分来求解. 求解可分离变量的方程的方法称为分离变量法. 二、齐次方程：形如⎪⎭⎫⎝⎛=x y f dx dy (2.8) 的一阶微分方程称为齐次微分方程，简称齐次方程..三、 可化为齐次方程的方程：对于形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=222111c y b x a c y b x a f dx dy的方程，先求出两条直线,0111=++c y b x a 0222=++c y b x a的交点),(00y x ，然后作平移变换⎩⎨⎧-=-=00y y Y x x X 即 ⎩⎨⎧+=+=00y Y y x X x 这时，dXdYdx dy =，于是，原方程就化为齐次方程 ,2211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=Y b X a Y b X a f dX dY例题选讲：可分离变量的微分方程例1（讲义例1）求微分方程xy dxdy2=的通解. 例2（讲义例2）求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解.注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定0)(≠y g 的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使0)(=y g 的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C 的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该0≠C ，但这样方程就失去特解1±=y ，而如果允许0=C ，则1±=y 仍包含在通解22)1(1-=-x C y 中.例3 已知 ,tan 2cos )(sin 22x x x f +=' 当10<<x 时，求).(x f例4（讲义例3）设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 试求物体温度随时间t 的变化规律.注：物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用. 例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决，等等.例5（讲义例4）设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时)0(=t 速度为零, 求降落伞下落速度与时间的关系.下面我们借助树的增长来引入一种在许多领域有广泛应用的数学模型——逻辑斯谛方程.一棵小树刚栽下去的时候长得比较慢, 渐渐地, 小树长高了而且长得越来越快, 几年不见, 绿荫底下已经可乘凉了; 但长到某一高度后, 它的生长速度趋于稳定, 然后再慢慢降下来. 这一现象很具有普遍性. 现在我们来建立这种现象的数学模型.如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比, 则显然不符合两头尤其是后期的生长情形, 因为树不可能越长越快; 但如果假设树的生长速度正比于最大高度与目前高度的差, 则又明显不符合中间一段的生长过程. 折衷一下, 我们假定它的生长速度既与目前的高度, 又与最大高度与目前高度之差成正比.设树生长的最大高度为H (m), 在t (年)时的高度为),(t h 则有)]()[()(t h H t kh dtt dh -= (2.8)其中0>k 的是比例常数. 这个方程称为Logistic 方程. 它是可分离变量的一阶常微分方程.注：Logistic 的中文音译名是“逻辑斯谛”.“逻辑”在字典中的解释是“客观事物发展的规律性”, 因此许多现象本质上都符合这种S 规律. 除了生物种群的繁殖外, 还有信息的传播、新技术的推广、传染病的扩散以及某些商品的销售等. 例如流感的传染, 在任其自然发展(例如初期未引起人们注意)的阶段, 可以设想它的速度既正比于得病的人数又正比于未传染到的人数. 开始时患病的人不多因而传染速度较慢; 但随着健康人与患者接触, 受传染的人越来越多, 传染的速度也越来越快; 最后, 传染速度自然而然地渐渐降低, 因为已经没有多少人可被传染了.例如，837年, 荷兰生物学家Verhulst 提出一个人口模型00)(),(y t y by k y dtdy=-= (2.9)其中b k ,的称为生命系数.这个模型称为人口阻滞增长模型. 我们不细讨论这个模型, 只提应用它预测世界人口数的两个有趣的结果.有生态学家估计k 的自然值是0.029. 利用本世纪60年代世界人口年平均增长率为2%以及1965年人口总数33.4亿这两个数据, 计算得2=b ，从而估计得：(1) 世界人口总数将趋于极限107.6亿. (2) 到2000年时世界人口总数为59.6亿.后一个数字很接近2000年时的实际人口数, 世界人口在1999年刚进入60亿. 例6 有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1平方厘米. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h (水面与孔口中心间的距离)随时间t 的变化规律.例7 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有0.1%的C02, 为了降低车间内空气中C02的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含0.03%的C02的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后, 车间内C02百分比降低到多少?齐次方程例8（讲义例5）求解微分方程 x y x y dx dy tan +=满足初始条件61π==x y 的特解. 例9 求解微分方程.2222xyy dy y xy x dx -=+-例10（讲义例6）求解微分方程 .22dxdy xy dx dy xy =+ 例11 求下列微分方程的通解:.0)ln (ln =--ydx dy y x x例12 抛物线的光学性质. 实例:车灯的反射镜面 ——旋转抛物面.例13（讲义例7）设河边点O 的正对岸为点A , 河宽h OA =, 两岸为平行直线, 水流速度为a, 有一鸭子从点A 游向点O , 设鸭子(在静水中)的游速为)(a b b >, 且鸭子游动方向始终朝着点O , 求鸭子游过的迹线的方程.可化为齐次方程的方程例14（讲义例8）求31-++-=y x y x dx dy 的通解. 例15（讲义例9）利用变量代换法求方程2)(y x dxdy+=的通解. 例16 求微分方程)2(tan 212y x y +='的通解. 例17 求下列微分方程的通解. .222222x xy x e y y xy x -++='+课堂练习 1.求微分方程2cos2cos yx y x dx dy +=-+的通解. 2.方程)()()(2022x xy dt t y t t y x=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎰是否为齐次方程?3.求齐次方程0cos )cos (=-+dy xyx dx x y y x 的通解.。
第02节 可分离变量的微分方程
它是可分离变量方程
分离变量 两边积分
dx y dy 1 x 1 y2
dx y dy 1 x 1 y2
得： 即： 记
ln(1
x)
1 2
ln(1
y
2
)
C1
2ln(1 x) ln(1 y2) 2C1
2C1 ln C
2 dy 1 dx
g( y)
P( y)
Q (x)
2
1
第二步：两边积分
dy h(x)dx 或
Q (y)
P( x)
2 dy 1 dx
g( y)
P( y)
Q (x)
2
1
针对
dy h(x)dx g( y)
设
G( y)和
H(x)依次为
1和 g( y)
h(x) 的原函数，
则 G( y) H (x) C 为微分方程的解(又叫隐式通解)
七、主要题型
1. 对可分离变量的一阶微分方程，求通解和特解 2. 简单的应用题
八、学习方法指导
熟记“标准型”，掌握可分离变量方程 的特征和一些简单的变量代换；会使用分离 变量法，并要加强不定积分运算训练。
九、常见问题辅导：
1.为什么在微分方程中，
1 u
du
ln
|
u
|
C
和
1 du ln u C 常常通用，而不严格区分其 u
消失，两个解便完全一致)
即 y Cex2 （C任意常数）为所求通解。
2.为什么有时候把积分常数C写成 ln c 、ln | c |？
答：当积分一个微分方程出现自然对数（如：
ln | y | ln f (x) c ）时，常将C写成 ln c1 (c1 0)
第二节 可分离变量的微分方程讲解
思考与练习
求方程的通解 : 提示:
方程变形为
y 2cos xsin y ln tan y 2sin x C 2
练习题
一、求下列微分方程的通解:
1、sec2 x tan ydx sec2 y tan xdy 0； 2、(e x y e x )dx (e x y e y )dy 0 ；
2、两边积分,得
dy g( y)
f
( x)dx
,
3、求出通解 G( y) F ( x) C.
隐函数确定的微分方程的解微分方程的隐式通解
二、典型例题
例1 求解微分方程 dy 2xy 的通解. dx
解 分离变量 , 得
dy 2xdx, y
两端积分 , 得
dy y
2
xdx,
解得 ln y x2 C1
M (t )随时间 t 变化的规律.
解 根据题意,有
dM M ( 0)
dt M t0 M0 (初始条件)
对方程分离变量, 然后积分:
得 ln M t lnC, 即 M C e t
M
利用初始条件, 得 C M0
M0
故所求铀的变化规律为 M M0 e t . o
利用初始条件,得C 1 ln( mg ),
t 足够大时
代入上式后化简,
k 得特解
v
m
g
(1
e
k m
t
)
v
mg k
k
例7 设 x x2 ydx ln y , 求 y( x). 0
解 方程两边同时对 x 求导 ,得 x2 y 1 dy , y dx
第二节 可分离变量微分方程
一、变量可分离方程
如果一阶微分方程可以化为下列形式： g ( y ) d y f ( x) d x 则称原方程为变量可分离的方程。
运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：
g ( y ) d y f ( x) d x
积分的结果 y y( x, C ) 就是原方程的通解。
两边积分，得
故
y e e
C1
p( x)d x
。
记 C eC1，得一阶齐线性方程的通解为
表示一个 原函数
y Ce
p( x)d x
。
若 p( x) C，则一阶齐线性方程
y 2C ( x C ) 2
2
y
A
说明: 若已知反射镜面的底面直径为 d ,
d
o h
x
顶到底的距离为 h , 则将
2
( C , 0)
d2 代入通解表达式得 C 8h 这时旋转曲面方程为 d2 d2 y2 z2 x 4h 16h
三、可化为齐次方程的方程
或写成
u ln | xu | C ,
y y ln | y | C ； 再将 u 代入,得通解为 x x
再由初始条件 y(1) 1 , 得 C 1 ,
y 于是得所求特解为 ln | y | 1 . x
例 在制造探照灯反射镜面时,要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状. 解: 设光源在坐标原点, 取x 轴平行于光线反射方向, 则反射镜面由曲线 绕 x 轴旋转而成 . 过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T,
例
设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度
可分离变量的微分方程
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令u = xy, 则 du = xdy + ydx ,
du − ydx f ( u) ydx + g ( u) x ⋅ = 0, x u [ f ( u) − g ( u)] dx + g ( u)du = 0, x
dx g(u) du = 0, + x u[ f (u) − g(u)] g ( u) du = C . 通解为 ln | x | + ∫ u[ f ( u) − g ( u)]
u − ln(1 + eu ) = x + C ln(1 + ex+ y ) = y − C ( C 为任意常数 ) 所求通解: 所求通解
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三、小结
1.可分离变量微分方程的概念 可分离变量微分方程的概念 说明］ ［说明］通解不一定是方程的全部解 . 例如, 例如 方程
y x 提示］ ［提示］(1) 分离变量 1 + y2dy = 1 + x2dx
(2) 方程变形为 y′ = −2cos xsin y y ln tan = −2sin x + C 2
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补例1】 【补例 】 当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37° 按照牛 当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的 °C按照牛 顿冷却定律（ 顿冷却定律（物体温度的变化率与该物体和周围介质 温度之差成正比）开始变凉。 温度之差成正比）开始变凉。假设两个小时后尸体温 并且假定周围空气的温度保持 空气的温度保持20° 度变为 35°C ，并且假定周围空气的温度保持 °C ° 不变。 不变。 (1)求出自谋杀发生后尸体的温度 是如何作为时间 t 求出自谋杀发生后尸体的温度H是如何作为时间 求出自谋杀发生后尸体的温度 以小时为单位）的函数随时间变化的; （以小时为单位）的函数随时间变化的; (2)画出温度 画出温度——时间曲线； 时间曲线； 画出温度 时间曲线 (3)最终尸体的温度如何？用图象和代数两种方式表示 最终尸体的温度如何？ 最终尸体的温度如何 这种结果； 这种结果； (4)如果尸体被发现时的温度是 °C， 时间是下午 如果尸体被发现时的温度是30° ， 时间是下午4 如果尸体被发现时的温度是 那么谋杀是何时发生的？ 时，那么谋杀是何时发生的？
《微积分》第二节 可分离变量的微分方程
x ydx ( x2 1) dy 0
y(0) 1
dy y
1
x x
2
dx
两边积分得
即
y C x2 1
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
1 y
x2 1
例3. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原
子的含量 M 成正比,已知 t = 0 时铀的含量为 求在
衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.
半衰期：放射性元素衰减一半所需时间.
M0 e t
1 2
M0
.
半衰期： ln 2 .
小结：
一、可分离变量的微分方程类型：
二、可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
作业
P270习题4_2 1(单)，2(单)，3
解: 根据题意, 有
dM M ( 0)
dt M t 0 M 0 (初始条件)
分离变量, 然后积分:
得 ln M t ln C M0
故所求铀的变化规律为 M M 0 e t . O
t
M M 0 e t . ( 0 ) 指数衰减
第二节 可分离变量的微分方程
变量分离的微分方程的标准形式：g( y)dy f ( x)dx
例如
dy
2x2
4
y5
4
y 5dy
2 x2dx,
dx
解法：两边积分
g( y)dy f ( x)dx
设G( y)和F( x)分别为g( y)和 f ( x)的原函数,则
G ( y ) F ( x ) C 为微分方程的通解.
例1 求微分方程
的通解.
解: 分离变量得 d y 3x2 dx y
第十二章 第2节 可分离变量的微分方程
由初始条件得 C = 1 故所求特解为 y x 2 1 1
4
例3
求方程
y
dy dx
e
x y
的通解 .
解法 1：分离变量 e y d y e x d x
e e C
y
x
或
( e C ) e 1 0
x
(C<0 )
解法 2: 令 u x y , 则 u 1 y 故有 积分
2
问 从运 动开 始经 过了一 分钟 后的 速度是 多少? 四 、小 船 从 河 边 点 0 处 出 发 驶 向 对 岸 ( 两 岸 为 平 行 直 线 ) . 设 船速为 a , 船 行 方 向 始 终 与 河 岸 垂 直 , 设 河 宽
为 h ,河中任 意点 处的 水流速 度与 该点 到两 岸距离
y
3 x y 的通解. 说明: 在求解过程
2
3x d x
2
中每一步不一定是 同解变形, 因此可 能增、减解.
dy y
3x d x
2
得 ln y x 3 C1 即 y e e 令 C eC 1
x C1
3
或
C1 x
3
如此例, y = 0 也是原 方程的解 , 但在变量 分离时丢失了此解.
2
解: 令 则
u x y 1 u 1 y
2
故有 1 u sin u 即
sec u d u d x
2
解得 tan u x C
即
tan( x y 1) x C
( C 为任意常数 )
6
例5
求解微分方程
dy dx dy dx 2 sin
02 第二节 可分离变量的微分方程
第二节 可分离变量的微分方程微分方程的类型是多种多样的，它们的解法也各不相同. 从本节开始我们将根据微分方程的不同类型，给出相应的解法. 本节我们将介绍可分离变量的微分方程以及一些可以化为这类方程的微分方程，如齐次方程等.分布图示★ 可分离变量微分方程 ★ 例1 ★ 例2★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 齐次方程 ★ 例7★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例 11★ 可化为齐次方程的微分方程★ 例 12 ★ 例 13 ★ 例 14 ★ 例 15★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题8-2内容要点一、可分离变量的微分方程设有一阶微分方程),(y x F dxdy =, 如果其右端函数能分解成)()(),(x g x f y x F =，即有)()(y g x f dxdy =. (2.1) 则称方程(2.1)为可分离变量的微分方程，其中)(),(x g x f 都是连续函数. 根据这种方程的特点，我们可通过积分来求解. 求解可分离变量的方程的方法称为分离变量法.二、齐次方程：形如⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y f dx dy (2.8) 的一阶微分方程称为齐次微分方程，简称齐次方程..三、可化为齐次方程的方程：对于形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=222111c y b x a c y b x a f dx dy 的方程，先求出两条直线,0111=++c y b x a 0222=++c y b x a的交点),(00y x ，然后作平移变换⎩⎨⎧-=-=00y y Y x x X 即 ⎩⎨⎧+=+=00y Y y x X x 这时，dXdY dx dy =，于是，原方程就化为齐次方程,2211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=Y b X a Y b X a f dX dY例题选讲可分离变量的微分方程例1（E01）求微分方程xy dx dy 2=的通解.解 分离变量得xdx y dy 2=两端积分得⎰⎰=xdx y dy 212||ln C x y += 从而2112x C C xe e e y ⋅±=±=+,记,1C e C ±=则得到题设方程的通解 .2x Ce y =例2（E02）求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解.解 先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=-设,01,012≠-≠-x y 分离变量得dx x dy y y 1112-=- 两端积分⎰⎰-=-dx x dy y y 1112得 ||ln |1|ln |1|ln 2112C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定0)(≠y g 的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使0)(=y g 的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C 的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该0≠C ，但这样方程就失去特解1±=y ，而如果允许0=C ，则1±=y 仍包含在通解22)1(1-=-x C y 中.例3 已知 ,tan 2cos )(sin 22x x x f +=' 当10<<x 时，求).(x f解 设,sin 2x y =则,21sin 212cos 2y x x -=-=.1sin 1sin cos sin tan 22222y y x x x x x -=-==所以原方程变为,121)(y y y y f -+-='即.112)(yy y f -+-=' 所以 =)(y f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-y y 112dy 2y -=,)1ln(C y +-- 故 C x x x f +-+-=)]1ln([)(2).10(<<x例4 设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 试求物体温度随时间t 的变化规律.解 设物体的温度T 与时间t 的函数关系为),(t T T =在上节的例1中我们已经建立了该问题的数学模型:⎪⎩⎪⎨⎧=--==100|)20(0t T T k dt dT )2()1( 其中)0(>k k 为比例常数.下面来求上述初值问题的解.分离变量,得;20kdt T dT -=- 两边积分,201⎰⎰-=-kdt dT T 得1|20|ln C kt T +-=-(其中1C 为任意常数)， 即 kt kt C C kt Ce e e e T --+-=±=±=-1120(其中1C e C ±=).从而,20kt Ce T -+=再将条件(2)代入,得,8020100=-=C于是，所求规律为.8020kt e T -+=注：物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用. 例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决，等等.例5（E03）在一次谋杀发生后，尸体的温度按照牛顿冷却定律从原来的37℃开始下降，假设两个小时后尸体温度变为35℃，并且假定周围空气的温度保持20℃不变，试求出尸体温度T 随时间t 的变化规律。
12-2可分离变量的微分方程58225
三、小结
分离变量法步骤: 1、分离变量;
2、两端积分-------隐式通解.
思考题
dy x y x y 求解微分方程 cos cos. dx 2 2
思考题解答
dy x y x y cos cos 0 , dx 2 2
dy x y 2 sin sin 0 , dx 2 2
dV Q 0 . 62 S 2 gh , dt
流量系数 孔口截面面积 重力加速度
s 1 cm
2
h
h
100 cm
dV 0 . 62 2 gh dt , ( 1 )
设在微小的时间间隔 [ t , t dt ],
h dh r
o
2 dh dV r dh , 水面的高度由h降至 h , 则
dM t dt , ln | M | t ln C , 即 M Ce , M 1
0 代入 M M 得 M Ce C, t 0 0 0
t M M e 0
dM
衰变规律
例 3 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔 流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时 容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里 水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t 的变化规律. 解 由力学知识得,水从孔口流 出的流量为
2
即为未知函数的微分方程.
可分离变量
3 dt ( 200 h h ) dh , 0 . 62 2 g 400 3 2 5 t ( h h ) C , 0 . 62 2 g3 5 14 5 C 10 , h | 100 , t 0 0 . 62 2 g 15 5 3 3 5 所求规律为 t ( 7 10 10 h 3 h ). 4 . 65 2 g
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ln y x2 C1
C1 是任意常数；
从而: y eC1ex2 C ex2 C 是任意常数，
即
y Cex2 为所求通解。
解二 原方程是一个可分离变量的方程；
分离变量且两边积分 ： dy 2xdx y
得： ln y x2 C1 ， y 0 C1 是任意常数
从而 y eC1ex2 C ex2 C 是任意正常数
u[ f (u) g(u)]
x
两边积分
g(u) du 1 dx
u[ f (u) g(u)]
x
∴ 通解为
ln | x |
g(u) du c
u[ f (u) g(u)]
四、小结
本节学习内容是： 1. 可分离变量方程的“标准型”； 2. 分离变量法步骤：
(1)分离变量; (2)两边积分; (3)求得隐式通解
（6）
1
2
1
2
的一阶微分方程都是可分离变量的微分方程。
解法：
第一步：分离变量
dy
h(x)dx
或
Q (y)
P(x)
2 dy 1 dx
g( y)
P( y)
Q (x)
2
1
第二步：两边积分
dy h(x)dx 或
Q (y)
P( x)
2 dy 1 dx
g( y)
P( y)
Q (x)
2
1
针对
十三、自测题题解
一、1解 这是可分离变量方程，
分离变量并两边积分，得 ：
ey dy
ex dx
ey 1
ex 1
∴ 通解为 （ex 1）(ey 1) c
一、2解 这是可分离变量方程， 分离变量并两边积分得：
( y 1)2 dy x3dx
∴ 通解为 4( y 1)3 3x4 c
二、1解 这是可分离变量方程，
cos y
ex ex 1
dx
ln cos y ln(ex 1) ln c
故 cos y c ex 1 为通解
将
y
x0
4
代入，得 c
2 4
故特解为 4cos y 2 ex 1
三、解 设T T t ，由题设，有
dT dt
k T T0
, k 0
这是可分离的变量方程，其通解为
十一、课堂练习题解
1.解 这是可分离变量方程；
分离变量
dy xex2 dx y ln y
两边积分 ∴ 通解为
dy xex2dx y ln y ln ln y 1 ex2 c
2
2.解 这是对称形式的可分离变量方程；
分离变量并积分之，得 ey 1 x2 1 x4 c 24
∴ 通解
y
dx y dy 1 x 1 y2
得： 即： 记
ln(1
x)
1 2
ln(1
y
2
)
C1
2ln(1 x) ln(1 y2) 2C1
2C1 ln C
则通解为 (1 x)2 C(1 y2)
将 y |x0 2
代入上式，得
C 1 3
故所求特解为 y2 3(1 x)2 1
例3 衰变问题：已知镭的分解速度与所存镭
的质量M 成正比，已知 M |t0 M0 ，求各个时
刻 t 的存镭量。
解 设 M＝M（t） 由题设，有
dM
dt
M
( 0)
M |t0 M0
这是一个可分离变量的方程。
分离变量
dM dt
M
两边积分
dM dt
M
∴ ln M t ln c ， 即 M cet
由初始条件 M |t0 M0 ，得 M0 ce0 c ∴ M M0et 为所求
分离变量，两边积分得
sin y dy sin x dx
cos y
cos x
∴
ln cos y ln cos x ln c
即：
cos y ccos x
将
y
|x0
＝
4
代入得 c
1 2
故特解为
2 cos y cos x
二、2 解 这是对称形式的可分离变量方程；
分离变量，两边积分，得
sin y dy
九、常见问题辅导：
1.为什么在微分方程中，
1 u
du
ln
|
u
|
C
和
1 du ln u C 常常通用，而不严格区分其 u
的细微之处？
答：我们用一个例子来说明： 例 求解微分方程 dy 2xy 的通解
dx 解一 原方程是一个可分离变量的方程；
分离变量且两边积分 ：
dy 2xdx y
得：
dy h(x)dx g( y)
设
G( y)和
H(x)依次为
1和 g( y)
h(x) 的原函数，
则 G( y) H (x) C 为微分方程的解(又叫隐式通解)
三、例题
例1 求微分方程 dy 2xy 的通解 dx
解 原方程是一个可分离变量的方程；
分离变量 dy 2xdx y
两边积分 dy 2xdx y
例4 求方程 f (xy) ydx g(xy)xdy 0 的通解。
解 令 u xy ，则 du xdy ydx
f (u) ydx g(u)x du ydx 0 x
[ f (u) g(u)] u dx g(u)du 0 x
这是一个可分离变量方程。
分离变量
g(u) du 1 dx
五、重点
掌握分离变量法。
六、难点
对某些一阶方程，寻找变量找换，将原方程 化为可分离变量方程。
七、主要题型
1. 对可分离变量的一阶微分方程，求通解和特解 2. 简单的应用题
八、学习方法指导
熟记“标准型”，掌握可分离变量方程 的特征和一些简单的变量代换；会使用分离 变量法，并要加强不定积分运算训练。
T＝T0＋ce kt 又将初始条件代入，可求得
c 80 , k 1 ln 8 24 3
故有
t ln8
T 20 80e 24 3
令 T＝95 C 时，t 1.58 （小时）
如果一阶微分方程能化成
M ( y)dy N (x)dx
（4）
(特点:左边只含有变量y和dy；右边只含有变量x和dx)
的形式，则该一阶微分方程称为可分离变量的 微分方程
什么方程是可分离变量的微分方程呢？
形如
dy h(x)g( y)
（5）
dx
或 P(x)P( y)dx Q (x)Q ( y)dy 0
F（x, y, y） 0
（1）
y f (x, y)
（2）
P(x, y)dx Q(x, y)dy 0 （3）
问题：如何求解一阶微分方程？难！
问题的简化：以下几节我们只讨论几种特殊 类型的一阶微分方程：
可分离变量的微分方程 一 齐阶 次线 方性 程微分方程 贝努利方程 全微分方程
二、可分离变量的微分方程及其求解
(这个表达式与解一中的表达式形式完全一样，
只要在此处依然理解C是任意常数，约束 y 0 也就
消失，两个解便完全一致)
即 y Cex2 （C任意常数）为所求通解。
2.为什么有时候把积分常数C写成 ln c 、ln | c |？
答：当积分一个微分方程出现自然对数（如：
ln | y | ln f (x) c ）时，常将C写成 ln c1 (c1 0)
或
ln | c1 | (c1 0)
这样，y C1 f (x)。如果 c1 0 时 y 0
也是方程的 解，那未 c1 还是任意常数。
于是，将解直接写成 y cf (x)
十、课堂练习
1.解方程 y xyex2 ln y 2.解微分方程初值问题
(x x3)dx e ydy 0 ， y(1) 1
ydy
cos
y sin
xdx
，y
|x0
4
2.
cos
ydx
(1
ex
) sin
ydy
0
，y
|x0
4
三、（热水降温问题）设热水瓶内热水温度为T， 室温为To，时间单位为小时，根据试验，热水 温度降低率与 T－To成正比，求T与t的函数关系.
又设 T0＝20 ℃，t 24时T＝100℃，t 0 时 T＝50℃，问几小时后水温为95℃？
ln
1 2
x2
1 4
x4
c
将
y(1)
1
代入，得
c
e
3 4
故特解为
y
ln
1 2
x2
1 4
x4
e
3 4
十二、自测题
一、求下列微分方程的通解：
1. (ex y ex )dx (ex y e y )dy 0 2. ( y 1)2 dy x3 0
dx
二、求下列微分方程的特解
1.
cos xsin
第二节 可分离变量的微分方程
一、一阶微分方程 二、可分离变量的微分方程及其求解
华南理工大学数学科学学院 杨立洪 博士
一、一阶微分方程
首先，对一阶微分方程作一次概要的介绍：
例 一阶微分方程： yy x2 0
可以写成
y x2
即
dy x2
y
dx y
也可以写成 x2dx ydy 0
一般，一阶微分方程都具有以下三种等价形式：
得： 从而
ln y x2 C 1
y eC1ex2 C ex2 （C任意常数），
即
y Cex2 为所求通解。
例2
求解初值问题
dx xydy y2dx ydy