2020年高考文科数学福建卷
福建省2020年高考文科数学模拟试题及答案(一)
福建省2020年高考文科数学模拟试题及答案（一）（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{2，3，4，5}，B ＝{2，3，6，7}，则A ∩∁U B ＝ A ．{4，5} B ．{1，4，5} C ．{6，7} D ．{1，6，7}2. 设复数z 满足z ＝－3＋2ii (i 是虚数单位)，则复数z 对应的点位于复平面内A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3且向量3a ＋2b 与ka －b 互相垂直，则k 的值为 A ．－32 B.32 C ．±32 D ．14．若cos ⎝⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ＝A.13B.223 C ．－13 D ．－2235. 下列说法中，正确的是A ．命题“若b a >，则122->ba”的否命题为“若b a >，则122-≤ba”B ．命题“存在R x ∈，使得012<++x x ”的否定是：“任意R x ∈，都有012>++x x ” C ．若命题“非p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题 D ．命题“若022=+b a ，则0=ab ”的逆命题是真命题6. 三个数6log ,7.0,67.067.0的大小顺序是A.7.07.0666log 7.0<< B.6log 67.07.07.06<<C.67.07.07.066log << D.7.067.067.06log <<7.某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类的概率为 A.56B.45C.34D.238.下图虚线网格的最小正方形边长为1，实线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为（ ）A. 4πB. 2πC.43π D. π9. 函数y =2x sin2x 的图象可能是A. B. C. D.10.已知双曲线2222:1x y C a b -=（0,0a b >>）的焦距为4，其与抛物线2:E y x =交于,A B 两点，O 为坐标原点，若OAB ∆为正三角形，则C 的离心率为A.2B.211. 函数()f x =的定义域为M,()g x =N ，则M N ⋂＝A ．[)1,-+∞B ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭12．已知，则A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年福建省漳州市、南平市高考(文科)数学二模试卷 (word版含解析)
2020年福建漳州市、南平市高考（文科）数学二模试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝，B＝{y|y＝lg（x﹣1）}，则A∪B＝（）A．[﹣1，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．R2．若═a+bi（a，b∈R），则a2019+b2020＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．若|+|＝，＝（1，1），||＝1，则与的夹角为（）A．B．C．D．4．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若，，则{a n}的公比为（）A．或B．或﹣C．﹣3或2 D．3或﹣25．已知点P在圆O：x2+y2＝1上，角α的始边为x轴的非负半轴，终边为射线OP，则当sin2α+sinα取最小值时，点P位于（）A．x轴上方B．x轴下方C．y轴左侧D．y轴右侧6．执行如图所示的程序框图，若输入的n＝3，则输出的S＝（）A．1 B．5 C．14 D．307．在△ABC中角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（2b﹣c）cos A＝a cos C，则∠A为（）A．B．C．D．8．若函数f（x）＝（sin x）ln（x）是偶函数，则实数a＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．9．由共青团中央宣传部、中共山东省委宣传部、共青团山东省委、山东广播电视台联合出品的《国学小名士》第三季于2019年11月24日晚在山东卫视首播．本期最精彩的节目是π的飞花令：出题者依次给出π所含数字3.141592653……答题者则需要说出含有此数字的诗句．雷海为、杨强、马博文、张益铭与飞花令少女贺莉然同场PK，赛况激烈让人屏住呼吸，最终π的飞花令突破204位．某校某班级开元旦联欢会，同学们也举行了一场π的飞花令，为了增加趣味性，他们的规则如下：答题者先掷两个骰子，得到的点数分别记为x，y，再取出π的小数点后第x位和第y位的数字，然后说出含有这两个数字的一个诗句，若能说出则可获得奖品．按照这个规则，取出的两个数字相同的概率为A．B．C．D．10．已知sin（α）＝cos（α），则sin2α＝（）A．1 B．﹣1 C．D．011．已知圆M的圆心为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）虚轴的一个端点，半径为a+b，若圆M截直线l：y＝kx所得的弦长的最小值为2b，则C的离心率为（）A．B．C．D．212．已知f′（x）是定义在R上的函数f（x）的导函数，且f（1+x）＝f（1﹣x）e2x，当x＞1时，f′（x）＞f（x）恒成立，则下列判断正确的是（）A．e5f（﹣2）＞f（3）B．f（﹣2）＞e5f（3）C．e5f（2）＜f（﹣3）D．f（2）＞e5f（﹣3）二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．若S n是等差数列{a n}的前n项和，且S9＝18，则a5＝．14．若函数f（x）＝则f（ln3）＝．15．已知F1，F2是椭圆C：＝1 （0＜b＜4）的左、右焦点，点P在C上，线段PF1与y轴交于点M，O为坐标原点，若OM为△PF1F2的中位线，且|OM|＝1，则|PF1|＝．16．四面体ABCD中，△ABD和△BCD都是边长为2的正三角形，二面角A﹣BD﹣C大小为120°，则四面体ABCD外接球的体积为．三、解答题：共70分．17．已知函数f（x）＝2（sin x+cos x）sin x﹣1．（1）求f（x）的最小正周期；（2）将函数f（x）的所有正的零点按从小到大依次排成一列，得到数列{x n}，令a n＝，S n为数列{a n}的前n项和，求证：．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AC，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别为PB，AB的中点．（1）求证：平面PAD∥平面EFC；（2）若PA＝AB＝AC＝2，求点B到平面PCF的距离．19．某工厂加工产品A的工人的年龄构成和相应的平均正品率如表：年龄（单位：岁）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）人数比例0.3 0.4 0.2 0.1平均正品率85% 95% 80% 70%（1）画出该工厂加工产品A的工人的年龄频率分布直方图；（2）估计该工厂工人加工产品A的平均正品率；（3）该工厂想确定一个转岗年龄x岁，到达这个年龄的工人不再加工产品A，转到其他岗位，为了使剩余工人加工产品A的平均正品率不低于90%，若年龄在同一区间内的工人加工产品A的正品率都取相应区间的平均正品率，则估计x最高可定为多少岁？20．已知F（1，0），点P在第一象限，以PF为直径的圆与y轴相切，动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若曲线C在点P处的切线的斜率为k1，直线PF的斜率为k2，求满足k1+k2＝3的点P的个数．21．已知函数f（x）＝（x﹣1）e x﹣﹣2x，g（x）＝e x﹣﹣t．（1）求g（x）的单调区间；（2）已知f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）且f（x1）+﹣1＜0，求证：t＞2+．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l过点P（1，2）且倾斜角为．（1）求曲线C的普通方程和直线l的参数方程；（2）设l与C的两个交点为A，B，求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+2|﹣|2x﹣2|的最大值为m．（1）求m；（2）已知正实数a，b满足4a2+b2＝2，是否存在a，b，使得＝m．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝，B＝{y|y＝lg（x﹣1）}，则A∪B＝（）A．[﹣1，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．R【分析】可以求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．解：∵A＝{x|x≥﹣1}，B＝R，∴A∪B＝R．故选：D．2．若═a+bi（a，b∈R），则a2019+b2020＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】化简复数，利用复数的相等即可得出a，b．再进行乘方运算即可．解：∵＝a+bi，∴1﹣i＝a+bi，则a＝1，b＝﹣1，∴a2019+b2020＝2，故选：D．3．若|+|＝，＝（1，1），||＝1，则与的夹角为（）A．B．C．D．【分析】由题意利用两个向量数量积的运算，两个向量数量积的夹角公式．解：设则与的夹角为θ，若|+|＝，＝（1，1），||＝1，设与的夹角为θ，θ∈[0，π）．∴+2+＝2+1+2××1×cosθ＝5，求得cosθ＝，∴θ＝，故选：B．4．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若，，则{a n}的公比为（）A．或B．或﹣C．﹣3或2 D．3或﹣2【分析】由等比数列的通项公式和求和公式即可求出．解：设等比数列{a n}的公比为q，则a3＝a1q2＝，S3＝a1（1+q+q2）＝，两式相除可得＝，即6q2﹣q﹣1＝0，解得q＝或q＝﹣，故选：A．5．已知点P在圆O：x2+y2＝1上，角α的始边为x轴的非负半轴，终边为射线OP，则当sin2α+sinα取最小值时，点P位于（）A．x轴上方B．x轴下方C．y轴左侧D．y轴右侧【分析】由题意利用二次函数的性质，求得sin2α+sinα的最小值时sinα＝﹣＜0，可得点P的位置．解：∵sin2α+sinα＝﹣，故当sinα＝﹣时，sin2α+sinα取最小值，此时，sinα＜0，此时，点P位于x轴的下方，故选：B．6．执行如图所示的程序框图，若输入的n＝3，则输出的S＝（）A．1 B．5 C．14 D．30【分析】本题是对数列{i2}求和，根据题意具体算出前几项和判断即可．解：执行程序框图可得：i＝0，S＝0；i＝1，S2＝12＝1；满足i＜3，执行循环体，i＝2，S＝1+22＝5；满足i＜3，执行循环体，i＝3，S＝5+32＝14；不满足i＜3，退出循环，输出S的值14．故选：C．7．在△ABC中角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（2b﹣c）cos A＝a cos C，则∠A为（）A．B．C．D．【分析】已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出cos A的值，即可求出A的度数．解：利用正弦定理化简已知等式得：（2sin B﹣sin C）cos A＝sin A cos C，整理得：2sin B cos A＝sin A cos C+cos A sin C＝sin（A+C）＝sin B，∵sin B≠0，∴cos A＝，∵A为三角形的内角，∴∠A＝．故选：C．8．若函数f（x）＝（sin x）ln（x）是偶函数，则实数a＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得f（﹣x）＝f（x），即sin（﹣x）ln（﹣x）＝sin x（x），变形分析可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝（sin x）ln（x）且f（x）为偶函数，则f（﹣x）＝f（x），即sin（﹣x）ln（﹣x）＝sin x（x），变形可得：lna＝0，则a＝1；故选：C．9．由共青团中央宣传部、中共山东省委宣传部、共青团山东省委、山东广播电视台联合出品的《国学小名士》第三季于2019年11月24日晚在山东卫视首播．本期最精彩的节目是π的飞花令：出题者依次给出π所含数字3.141592653……答题者则需要说出含有此数字的诗句．雷海为、杨强、马博文、张益铭与飞花令少女贺莉然同场PK，赛况激烈让人屏住呼吸，最终π的飞花令突破204位．某校某班级开元旦联欢会，同学们也举行了一场π的飞花令，为了增加趣味性，他们的规则如下：答题者先掷两个骰子，得到的点数分别记为x，y，再取出π的小数点后第x位和第y位的数字，然后说出含有这两个数字的一个诗句，若能说出则可获得奖品．按照这个规则，取出的两个数字相同的概率为（）A．B．C．D．【分析】求出总的事件个数，再求出符合题意的事件，求出概率．解：答题者先掷两个骰子，得到的点数分别记为x，y，则投掷由6×6＝36种，取出的两个数字相同的有（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）（5，5），（6，6），（1，3），（3，1）（此时取出的数为1），共8种，则概率为，故选：D．10．已知sin（α）＝cos（α），则sin2α＝（）A．1 B．﹣1 C．D．0【分析】由题意利用两角和差的三角公式求得tan a的值，再利用同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，求得sin2a的值．解：∵sin（﹣a）＝cos（+a），即cos a﹣sin a＝cos a﹣sin a，sin a＝cos a，∴sin a＝﹣cos a，tan a＝﹣1，则sin2a＝＝＝＝﹣1，故选：B．11．已知圆M的圆心为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）虚轴的一个端点，半径为a+b，若圆M 截直线l：y＝kx所得的弦长的最小值为2b，则C的离心率为（）A．B．C．D．2【分析】由题意知，当l⊥y轴时，圆M截直线y＝kx所得弦AB的长最小，利用勾股定理求出|MA|＝，结合圆M的半径|MA|＝a+b，可得a＝b，由此可得双曲线的离心率．解：由题意知，当l⊥y轴时，圆M截直线y＝kx所得弦AB的长最小，此时|OA|＝，|OM|＝b，|MA|＝，又圆M的半径|MA|＝a+b，∴2b＝a+b，即a＝b，∴c＝，则双曲线的离心率e＝．故选：C．12．已知f′（x）是定义在R上的函数f（x）的导函数，且f（1+x）＝f（1﹣x）e2x，当x＞1时，f′（x）＞f（x）恒成立，则下列判断正确的是（）A．e5f（﹣2）＞f（3）B．f（﹣2）＞e5f（3）C．e5f（2）＜f（﹣3）D．f（2）＞e5f（﹣3）【分析】构造函数g（x）＝，依题意可得g（x）的图象关于直线x＝1对称，且在（1，+∞）上单调递增，而f（1+x）＝f（1﹣x）e2x⇔g（1﹣x）＝g（1+x），于是可得答案．解：令g（x）＝，因为f（1+x）＝f（1﹣x）e2x，所以＝，即g（1﹣x）＝g（1+x），所以g（x）的图象关于直线x＝1对称，因为当x＞1时，f’（x）＞f（x）恒成立，则g′（x）＝＞0，所以g（x）在（1，+∞）上单调递增．所以有g（﹣3）＞g（2），g（﹣2）＞g（3），即＞，＞，即e5f（﹣3）＞f（2），e5f（﹣2）＞f（3），故选：A．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．若S n是等差数列{a n}的前n项和，且S9＝18，则a5＝2．【分析】结合等差数列的求和公式及等差数列的性质即可求解．解：S n是等差数列{a n}的前n项和，且S9＝＝9a5＝18，则a5＝2，故答案为：2．14．若函数f（x）＝则f（ln3）＝3．【分析】结合已知分段函数的解析式相应的变量，代入后结合对数的运算性质可求．解：因为ln3＞1，所以f（ln3）＝f（ln3﹣1）＝e ln3＝3．故答案为：315．已知F1，F2是椭圆C：＝1 （0＜b＜4）的左、右焦点，点P在C上，线段PF1与y轴交于点M，O为坐标原点，若OM为△PF1F2的中位线，且|OM|＝1，则|PF1|＝6．【分析】若OM为△PF1F2的中位线可得|PF2|的值，再由椭圆的定义可得|PF1|的值．解：由椭圆的方程可得a2＝16，可得a＝4，如图所示，因为OM为△PF1F2的中位线，切OM＝1，所以PF2＝2，由椭圆的定义可得PF1＝2a ﹣|PF2|＝2×4﹣2＝6．故答案为：6．16．四面体ABCD中，△ABD和△BCD都是边长为2的正三角形，二面角A﹣BD﹣C大小为120°，则四面体ABCD外接球的体积为．【分析】由已知结合二面角及三棱锥的性质先定出球心位置，然后结合球的性质求出球的半径，进而可求．解：过球心O分别作平面ABD，平面BCD的垂线，垂足为O1，O2，则O1，O2分别为△ABD，△BCD 的外心，取BD的中点H，连接HO1，HO2，因为△ABD，△BCD都是边长为2的正三角形，故BD⊥HO1，BD⊥HO2，所以∠O2HO1为二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠O2HO1＝120°，Rt△OHO1中HO1＝＝1，＝60°，所以OO1＝HO1•tan∠OHO1＝，Rt△OAO1中，AO1＝2HO1＝2，故R＝OA＝＝，∴＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知函数f（x）＝2（sin x+cos x）sin x﹣1．（1）求f（x）的最小正周期；（2）将函数f（x）的所有正的零点按从小到大依次排成一列，得到数列{x n}，令a n＝，S n为数列{a n}的前n项和，求证：．【分析】（1）根据二倍角公式化简三角函数解析式，根据求得周期；（2）根据函数f（x）值为0，解得数列{x n}的通项公式，通过裂项相消求解前n项和．解：（1）因为f（x）＝2（sin x+cos x）sin x﹣1＝＝，．（2）证明：．．所以．所以a n＝＝．所以…．＝．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AC，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别为PB，AB的中点．（1）求证：平面PAD∥平面EFC；（2）若PA＝AB＝AC＝2，求点B到平面PCF的距离．【分析】（1）由E，F分别为PB，AB的中点，得EF∥PA，进一步得到EF∥平面PAD，再证明四边形ADCF为平行四边形，即CF∥AD，可得CF∥平面PAD，由平面与平面平行的判定可得平面PAD∥平面EFC；（2）分别求出三角形BCF与三角形PCF的面积，然后利用等体积法求点B到平面PCF的距离．【解答】（1）证明：∵E，F分别为PB，AB的中点，∴EF∥PA，∵EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD，∵AB∥CD，AB＝2CD，∴AF∥CD，AF＝CD．∴四边形ADCF为平行四边形，即CF∥AD，∵CF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴CF∥平面PAD，∵EF∩CF＝F，EF，CF⊂平面EFC，∴平面PAD∥平面EFC；（2）解：∵AB⊥AC，AB＝AC＝2，F为AB的中点，∴＝＝1．∵PA⊥平面ABCD，∴．∵PF＝CF＝，PC＝，∴＝．设B到平面PCF的距离为h，∵V B﹣PCF＝V P﹣BCF，∴，即h＝．∴点B到平面PCF的距离为．19．某工厂加工产品A的工人的年龄构成和相应的平均正品率如表：年龄（单位：岁）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）人数比例0.3 0.4 0.2 0.1平均正品率85% 95% 80% 70% （1）画出该工厂加工产品A的工人的年龄频率分布直方图；（2）估计该工厂工人加工产品A的平均正品率；（3）该工厂想确定一个转岗年龄x岁，到达这个年龄的工人不再加工产品A，转到其他岗位，为了使剩余工人加工产品A的平均正品率不低于90%，若年龄在同一区间内的工人加工产品A的正品率都取相应区间的平均正品率，则估计x最高可定为多少岁？【分析】（1）根据数据完成直方图，（2）根据公式求正品率，（3）先估算年龄在哪个区间，然后设为x，使其正品率等于90%，求出年龄．解：（1）该工厂加工产品A的工人的年龄频率分布直方图如图：（2）估计该工厂工人加工产品A的平均正品率为85%×0.3+95%×0.4+80%×0.2+70%×0.1＝86.5%，（3）因为86.5%＜90%．≈88.3%＜90%，由＝90%，得x＝42.5．为了使剩余工人加工产品A的平均正品率不低于90%，则估计x最高可定为42.5岁．20．已知F（1，0），点P在第一象限，以PF为直径的圆与y轴相切，动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若曲线C在点P处的切线的斜率为k1，直线PF的斜率为k2，求满足k1+k2＝3的点P的个数．【分析】（1）设P（x，y），则PF中点坐标为（，），由以PF为直径的圆与y轴相切得，化简即可得到曲线C的方程；（2）由y2＝4x（y＞0），得，y'＝，利用导数的几何意义得到k1＝，k2＝，由k1+k2＝3，得：①，令f（x）＝3x3﹣6x2﹣12x+8，利用导数得到函数f （x）在（0，+∞）内有且只有两个零点，所以方程①有且只有两个不同的正根，即满足k1+k2＝3的点P的个数为2个．解：（1）设P（x，y），x＞0，y＞0，又F（1，0），则PF中点坐标为（，），因为以PF为直径的圆与y轴相切，所以，即，整理得C的方程为：y2＝4x（y＞0），（2）由y2＝4x（y＞0），得，y'＝，设P（，y0）（y0＞0），则k1＝＝，k2＝＝，由k1+k2＝3，即+＝3，得：①，令f（x）＝3x3﹣6x2﹣12x+8，由f'（x）＝9x2﹣12x﹣12＝0得，x＝﹣，或x＝2，因为当x∈（0，2）时，f'（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，又f（0）＝8＞0，f（2）＝﹣16＜0，f（4）＝56＞0，f（x）的图象连续不断，所以f（x）在（0，+∞）内有且只有两个零点，所以方程①有且只有两个不同的正根，所以满足k1+k2＝3的点P的个数为2个．21．已知函数f（x）＝（x﹣1）e x﹣﹣2x，g（x）＝e x﹣﹣t．（1）求g（x）的单调区间；（2）已知f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）且f（x1）+﹣1＜0，求证：t＞2+．【分析】（1）g（x）＝e x﹣﹣t，定义域为x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），g′（x）＝e x+．即可得出单调性．（2）f′（x）＝xe x﹣tx﹣2，由f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），可得e x﹣﹣t＝0的两个根为x1，x2．x1，x2是函数g（x）的两个零点．由（1）可知：g（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）内分别至多有一个零点．又x1＜x2，可得x1＜0，且g（x1）＝0，即t＝﹣，可得f（x1）＝（x1﹣1﹣）﹣x1．令h（x）＝（﹣x2+x﹣1）e x﹣x（x ＜0），利用导数研究其单调性即可得出．解：（1）g（x）＝e x﹣﹣t，定义域为x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），g′（x）＝e x+．∴g（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递增．（2）证明：f′（x）＝xe x﹣tx﹣2，∵f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），∴e x﹣﹣t＝0的两个根为x1，x2．∴x1，x2是函数g（x）的两个零点．由（1）可知：g（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）内分别至多有一个零点．又x1＜x2，∴x1＜0，且g（x1）＝0，即t＝﹣，∴f（x1）＝（x1﹣1）﹣t﹣2x1＝（x1﹣1）﹣（﹣）﹣2x1＝（x1﹣1﹣）﹣x1．令h（x）＝（﹣x2+x﹣1）e x﹣x（x＜0），则h′（x）＝﹣x2e x﹣1＜0，∴h（x）在（﹣∞，0）上为减函数．∵f（x1）+﹣1＜0，∴f（x1）＜1﹣，即h（x1）＜h（﹣1），∴﹣1＜x1＜0．∴g（﹣1）＜g（x1），即+2﹣t＜0，∴t＞2+．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l过点P（1，2）且倾斜角为．（1）求曲线C的普通方程和直线l的参数方程；（2）设l与C的两个交点为A，B，求|PA|+|PB|．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．（2）利用直线和曲线的位置关系的应用，利用一元二次方程根和系数关系式应用求出结果．解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为．直线l过点P（1，2）且倾斜角为，转换为参数方程为（t为参数）．（2）把直线的参数方程代入，得到，所以，t1t2＝76，所以|PA|+|PB|＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+2|﹣|2x﹣2|的最大值为m．（1）求m；（2）已知正实数a，b满足4a2+b2＝2，是否存在a，b，使得＝m．【分析】（1）去绝对值得分段函数：f（x）＝，由单调性易求函数最大值．（2）由均值不等式得的范围，进而说明不存在a，b使得＝3．解：（1）∵f（x）＝∴f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴当x＝1时，f（x）取最大值3，故m＝3．（2）由已知有2＝4a2+b2≥4ab，∵a＞0，b＞0，∴ab＞0，即，∴+≥2＝≥8＞3．故不存在实数a，b，使得+＝3．。
2020年福建省福州市高考数学一模试卷(文科)
2020年福建省福州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{(,)|24}A x y x y =+=，{(,)|10}B x y x y =-+=，则(A B =I ) A ．∅B ．{2，1}C ．{(2,1)}D ．{(1,2)}2．（5分）已知复数z 满足6,25z z z z +==g ，则(z = ) A ．34i ±B ．34i ±+C ．43i ±D ．43i ±+3．（5分）已知12,e e u r u u r 均为单位向量，若12||e e -=u r u u r ，则1e u r 与2e u u r 的夹角为( )A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒4．（5分）函数3()35x f x x =+-的零点所在的区间为( ) A ．(0,1)B ．3(1,)2C ．3(,2)2D ．5(2,)25．（5分）班主任要从甲、乙、丙、丁、戊5个人中随机抽取3个人参加活动，则甲、乙同时被抽到的概率为( ) A ．110B ．15C ．310D ．256．（5分）若tan 2sin()ααπ=-，则cos2(α= ) A ．14-B ．1C ．12-或0D ．12-或17．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m ，l 是两条不同的直线，且αβ⊥，m α⊂，l αβ=I ，则“m l ⊥”是“m β⊥”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．（5分）已知过点(0,1)的直线与抛物线24x y =交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点，若1294y y +=，则||(AB = ) A ．254B ．174C ．134D ．949．（5分）某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门课程．已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同课程．则以下说法错误的是( )A ．丙有可能没有选素描B ．丁有可能没有选素描C ．乙丁可能两门课都相同D ．这四个人里恰有2个人选素描10．（5分）定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且当10x -<„时，()21x f x =-，则2(log 20)(f = ) A ．14B ．15C ．15-D ．14-11．（5分）已知函数()sin cos f x x x =+，将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数()y g x =的图象．若12()()2g x g x =-，则12||x x -的最小值为() A ．2πB ．πC ．2πD ．4π12．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，A ，B 分别是C 的左、右顶点，M 是C 上异于A ，B 的动点，直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，若112k 剟，则2k 的取值范围为( ) A ．11[,]84B ．11[,]42C ．11[,]48--D ．11[,]24--二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．（5分）若实数x ，y 满足约束条件2,220,10,y x y x y -⎧⎪-+⎨⎪+-⎩……„则2z x y =+的最大值为 ．14．（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2a B b A ac +=，则a = ．15．（5分）勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为 ．16．（5分）在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，6AB =，8AC =，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =．三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，则所得截面圆的面积的最小值为 ．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{}n a 满足11a =，1(1)(1)n n na n a n n +-+=+，设nn a b n=． （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若2n b n c n =-，求数列{}n c 的前n 项和．18．（12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为菱形，AC BD O =I ． （1）证明：1//B C 平面1A BD ； （2）设12AB AA ==，3BAD π∠=，若1A O ⊥平面ABCD ，求三棱锥11B A BD -的体积．19．（12分）世界互联网大会是由中国倡导并每年在浙江省嘉兴市桐乡乌镇举办的世界性互联网盛会，大会旨在搭建中国与世界互联互通的国际平台和国际互联网共享共治的中国平台，让各国在争议中求共识、在共识中谋合作、在合作中创共赢．2019年10月20日至22日，第六届世界互联网大会如期举行，为了大会顺利召开，组委会特招募了1000名志愿者．某部门为了了解志愿者的基本情况，调查了其中100名志愿者的年龄，得到了他们年龄的中位数为34岁，年龄在[40，45)岁内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：（1）求m ，n 的值并估算出志愿者的平均年龄（同一组的数据用该组区间的中点值代表）； （2）这次大会志愿者主要通过现场报名和登录大会官网报名，即现场和网络两种方式报名调查．这100位志愿者的报名方式部分数据如下表所示，完善下面的表格，通过计算说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“选择哪种报名方式与性别有关系”？男性 女性 总计 现场报名 50 网络报名 31 总计50参考公式及数据：2()()()()K a b c d a c b d =++++，其中n a b c d =+++．20()P K k …0.05 0.01 0.005 0.001 0k3.8416.6357.87910.82820．（12分）已知2()23f x xlnx x ax =+++．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）若存在01(,)x e e∈，使得0()0f x …成立，求a 的取值范围．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为6，以C 的短轴为直径的圆与直线:3450l x y +-=相切． （1）求C 的方程；（2）直线y x m =+交椭圆C 于1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 两点，且12x x >．已知l 上存在点P ，使得PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形．若P 在直线MN 右下方，求m 的值． 选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3,(x t t y t =-+⎧⎨=⎩为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为212cos ρρθ=+． （1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 为2C 上的任意一点，求P 到1C 距离的取值范围． [选修4-5：不等式选讲]23．已知0a >，0b >，0c >，且2a b c ++=． （1）求2a b c ++的取值范围； （2）求证：14918a b c++…．2020年福建省福州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{(,)|24}A x y x y =+=，{(,)|10}B x y x y =-+=，则(A B =I ) A ．∅B ．{2，1}C ．{(2,1)}D ．{(1,2)}【解答】解：由24,10x y x y +=⎧⎨-+=⎩得1,2,x y =⎧⎨=⎩所以{(1,2)}A B =I ， 故选：D ．2．（5分）已知复数z 满足6,25z z z z +==g ，则(z = ) A ．34i ±B ．34i ±+C ．43i ±D ．43i ±+【解答】解：设(,)z a bi a b R =+∈，依题意得，26a =，2225a b +=， 联立解得3a =，4b =±， 34z i ∴=±，故选：A ．3．（5分）已知12,e e u r u u r均为单位向量，若12||e e -=u r u u r ，则1e u r 与2e u u r的夹角为( )A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【解答】解：依题意，12||||1e e ==u r u u r，12||e e -=u r u u r ，所以12223e e -=u r u u r g ，即1212e e =-u r u u r g ，所以1cos e <u r ，1221212||||e e e e e >==-u r u u ru u r g ur u u r ， 10e ︒<u r „，2180e >︒u u r „，所以1e <u r ，2120e >=︒u u r．故选：C ．4．（5分）函数3()35x f x x =+-的零点所在的区间为( ) A ．(0,1)B ．3(1,)2C ．3(,2)2D ．5(2,)2【解答】解：依题意，()f x 为增函数，f （1）3150=+-<，f （2）233250=+->，32713()50288f =-=>， 所以()f x 的零点所在的区间为3(1,)2，故选：B ．5．（5分）班主任要从甲、乙、丙、丁、戊5个人中随机抽取3个人参加活动，则甲、乙同时被抽到的概率为( ) A ．110B ．15C ．310D ．25【解答】解：从5个人中随机抽取3人，所有的情况为：（甲、乙、丙），（甲、乙、丁），（甲、乙、戊），（甲、丙、丁），（甲、丙、戊），（甲、丁、戊），（乙、丙、丁），（乙、丙、戊），（乙、丁、戊），（丙、丁、戊），共10种， 其中满足条件的为（甲、乙、丙），（甲、乙、丁），（甲、乙、戊），共3种， 故甲、乙同时被抽到的概率为310P =． 故选：C ．6．（5分）若tan 2sin()ααπ=-，则cos2(α= ) A ．14-B ．1C ．12-或0D ．12-或1【解答】解：由题设得，sin 2sin cos ααα=-， 所以sin 0α=，或1cos 2α=-．所以2cos212sin 1αα=-=，或21cos22cos 12αα=-=-．故选：D ．7．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m ，l 是两条不同的直线，且αβ⊥，m α⊂，l αβ=I ，则“m l ⊥”是“m β⊥”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由αβ⊥，m α⊂，l αβ=I ，m l ⊥，利用面面垂直的性质可得m β⊥； 由αβ⊥，m α⊂，l αβ=I ，m β⊥，利用面面垂直的性质可得m l ⊥．α∴，β是两个不同的平面，m ，l 是两条不同的直线，且αβ⊥，m α⊂，l αβ=I ，则“m l ⊥”是“m β⊥”的充要条件． 故选：C ．8．（5分）已知过点(0,1)的直线与抛物线24x y =交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点，若1294y y +=，则||(AB = ) A ．254B ．174C ．134D ．94【解答】解：由题意可知点(0,1)为抛物线的焦点， 则由抛物线的定义可得12917||2244AB y y =++=+=， 故选：B ．9．（5分）某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门课程．已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同课程．则以下说法错误的是( ) A ．丙有可能没有选素描B ．丁有可能没有选素描C ．乙丁可能两门课都相同D ．这四个人里恰有2个人选素描【解答】解：因为甲选择了素描，所以乙必定没选素描． 那么假设丙选择了素描，则丁一定没选素描； 若丙没选素描，则丁必定选择了素描．综上，必定有且只有2人选择素描，选项A ，B ，D 判断正确 不妨设甲另一门选修为摄影，则乙素描与摄影均不选修， 则对于素描与摄影可能出现如下两种情况： 情形一：情形二：由上表可知，乙与丁必有一门课程不相同，因此C 不正确． 故选：C ．10．（5分）定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且当10x -<…时，()21x f x =-，则2(log 20)(f = ) A ．14B ．15C ．15-D ．14-【解答】解：依题意，(2)()()f x f x f x +=-=-，所以(4)()f x f x +=，所以()f x 为周期函数，周期为4． 又22log 53<<，所以212log 50-<-<，所以225222241(log 20)(2log 5)(log 52)(2log 5)(21)(1)55log f f f f -=+=-=--=--=--=；故选：B ．11．（5分）已知函数()sin cos f x x x =+，将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数()y g x =的图象．若12()()2g x g x =-，则12||x x -的最小值为() A ．2π B ．π C ．2π D ．4π【解答】解：Q ())4f x x π=+，所以，())4g x x π=+，故()g x 的周期为π，且()max g x =()min g x =．因为12()()2g x g x =-g ，所以12()()g x g x =-=12()()g x g x =-=， 所以12||,2x x k k N ππ-=+∈，所以12||2min x x π-=，故选：A ．12．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，A ，B 分别是C 的左、右顶点，M 是C 上异于A ，B 的动点，直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，若112k 剟，则2k 的取值范围为( ) A ．11[,]84B ．11[,]42C ．11[,]48--D ．11[,]24--【解答】解：依题意，12b a =，则双曲线的方程为：222214x y b b -=，则(2,0)A b -，(2,0)B b ，设0(M x ，0)y ，则22002214x y b b-=，所以22220001222220000(1)1422444x b y y y b k k x b x b x b x b -====+---g ，因为1[1k ∈，2]， 所以21111[,]484k k =∈， 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．（5分）若实数x ，y 满足约束条件2,220,10,y x y x y -⎧⎪-+⎨⎪+-⎩……„则2z x y =+的最大值为 4 ．【解答】解：作出可行域如图所示，则当直线2z x y =+过点A 时直线的截距最大，z 取最大值． 由210y x y =-⎧⎨+-=⎩⇒32x y =⎧⎨=-⎩；(3,2)A ∴-，z 取最大值：2324⨯-=．故答案为：4．14．（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2a B b A ac +=，则a =12． 【解答】解：由题设及正弦定理得sin cos sin cos 2sin A B B A a C +=，所以sin()2sin A B a C +=．又A B C π++=，所以sin 2sin C a C =，所以12a =． 故答案为：12． 15．（5分）勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为19．【解答】解：设图中的小的勒洛三角形所对应的等边三角形的边长为a ， 则小勒洛三角形的面积22213(3)326a a S ππ-=⨯-=因为大小两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3， 所以大勒洛三角形的面积222(3)(3)9(3)a a S ππ--= 若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率1219S P S ==． 故答案为：19．16．（5分）在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，6AB =，8AC =，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =．三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，则所得截面圆的面积的最小值为 12π ．【解答】解：将三棱锥P ABC -补成直三棱柱，则三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球O ，记三角形ABC 的外心为1O ，设球的半径为R ，2PA x =，则球心O 到平面ABC 的距离为x ，即1OO x =，连接1O A ， 则1152O A BC ==，所以2225R x =+． 在ABC ∆中，取AC 的中点为E ，连接1O D ，1O E ，则1132O E AB ==，124DE AC ==， 所以113O D =Rt △1OO D 中，213OD x =+，由题意得到当截面与直线OD 垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为r ，则2222225(13)12r R OD x x =-=+-+=， 所以最小截面圆的面积为12π． 故答案为：12π．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{}n a 满足11a =，1(1)(1)n n na n a n n +-+=+，设nn a b n=． （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若2n b n c n =-，求数列{}n c 的前n 项和． 【解答】解：（1）依题意，由nn a b n=，可得n n a nb =， 1(1)(1)n n na n a n n +-+=+Q ， 1(1)(1)(1)n n n n b n nb n n +∴+-+=+，即11n n b b +-=， 又111b a ==Q ，∴数列{}n b 是以1为首项，1为公差的等差数列，1(1)n b n n ∴=+-=．（2）由（1）知，2n n c n =-， 设数列{}n c 的前n 项和为n S ，则 12n n S c c c =++⋯+12(21)(22)(2)n n =-+-+⋯+- 12(222)(12)n n =++⋯+-++⋯+222(1)122n n n -⨯+=--21222n n n ++=--．18．（12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为菱形，AC BD O =I ． （1）证明：1//B C 平面1A BD ；（2）设12AB AA ==，3BAD π∠=，若1A O ⊥平面ABCD ，求三棱锥11B A BD -的体积．【解答】（1）证明：依题意，11//A B AB ，且//AB CD ，∴11//A B CD ，∴四边形11A B CD 是平行四边形，11//B C A D ∴，1B C ⊂/Q 平面1A BD ，1A D ⊂平面1A BD ， 1//B C ∴平面1A BD ．（2）依题意，12,3AA AO == 在Rt △1AAO 中，22111AO AA AO -=， 所以三棱锥1A BCD -的体积1211133(2)133A BCD BCD V S AO -∆==⨯⨯=g ． 由（1）知1//B C 平面1A BD ，∴111B A BD C A BD V V --=13A BCD V -==． 19．（12分）世界互联网大会是由中国倡导并每年在浙江省嘉兴市桐乡乌镇举办的世界性互联网盛会，大会旨在搭建中国与世界互联互通的国际平台和国际互联网共享共治的中国平台，让各国在争议中求共识、在共识中谋合作、在合作中创共赢．2019年10月20日至22日，第六届世界互联网大会如期举行，为了大会顺利召开，组委会特招募了1000名志愿者．某部门为了了解志愿者的基本情况，调查了其中100名志愿者的年龄，得到了他们年龄的中位数为34岁，年龄在[40，45)岁内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：（1）求m ，n 的值并估算出志愿者的平均年龄（同一组的数据用该组区间的中点值代表）； （2）这次大会志愿者主要通过现场报名和登录大会官网报名，即现场和网络两种方式报名调查．这100位志愿者的报名方式部分数据如下表所示，完善下面的表格，通过计算说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“选择哪种报名方式与性别有关系”？男性 女性 总计 现场报名 50 网络报名 31 总计50参考公式及数据：2()()()()K a b c d a c b d =++++，其中n a b c d =+++．20()P K k …0.05 0.01 0.005 0.001 0k3.8416.6357.87910.828【解答】解：（1）因为志愿者年龄在[40，45)内的人数为15， 所以志愿者年龄在[40，45)内的频率为：150.15100=； 由频率分布直方图得：(0.020240.010)50.151m n +++⨯+=， 即20.07m n +=，①由中位数为34可得0.0205252(3430)0.5m n ⨯+⨯+⨯-=， 即540.2m n +=，②由①②解得0.020m =，0.025n =． 志愿者的平均年龄为(22.50.02027.50.04032.50.05037.50.05042.50.03047.50.010)534⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（岁)；（2）根据题意得到列联表：男性女性总计2K 的观测值2100(19193131)2[(1931)(1931)] 5.7610.82850505050505050k ⨯⨯-⨯⨯+⨯-===<⨯⨯⨯⨯⨯，11分 所以不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为选择哪种报名方式与性别有关系． 20．（12分）已知2()23f x xlnx x ax =+++．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）若存在01(,)x e e∈，使得0()0f x …成立，求a 的取值范围．【解答】解：()2(1)2f x lnx x a '=+++．（1）当1a =时，2()23f x xlnx x x =+++，()2(1)21f x lnx x '=+++， 所以f （1）5=，f '（1）5=，所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为55(1)y x -=-，即5y x =． （2）存在01(,)x e e∈，使得0()0f x …成立，等价于不等式223xlnx x a x ++-…在1(,)e e有解．设223()xlnx x h x x ++=-，则22223(3)(1)()x x x x h x x x +-+-'=-=-， 当11x e <<时，()0h x '>，()h x 为增函数；当1x e <<时，()0h x '<，()h x 为减函数． 又21321()e e h e e -+=-，223()e e h e e ++=-，故1()()0h h e e-<，所以当1(,)x e e∈时，21321()()e e h x h e e -+>=-，所以2321e e a e -+>-，即a 的取值范围为2321(,)e e e-+-+∞．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为，以C 的短轴为直径的圆与直线:3450l x y +-=相切． （1）求C 的方程；（2）直线y x m =+交椭圆C 于1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 两点，且12x x >．已知l 上存在点P ，使得PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形．若P 在直线MN 右下方，求m 的值． 【解答】解：（1）依题意，1b =，Q 离心率226c a b e a -===，∴216a -=，解得3a =， ∴椭圆C 的标准方程为2213x y +=；（2）Q 直线y x m =+的倾斜角为45︒，且PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，P 在直线MN 右下方，//NP x ∴轴．过M 作NP 的垂线，垂足为Q ，则Q 为线段NP 的中点，1(Q x ∴，2)y ，故12(2P x x -，2)y ， 1223(2)450x x y ∴-+-=，即1223(2)4()50x x x m -++-=， 整理得126450x x m ++-=．①由2233x y y x m⎧+=⎨=+⎩，得2246330x mx m ++-=． ∴△223648480m m =-+>，解得22m -<<， ∴1232x x m +=-，②2123(1)4x x m =-，③ 由①-②得，112mx =-，④ 将④代入②得21x m =--，⑤ 将④⑤代入③得3(1)(1)(1)(1)24m m m m -+=-+，解得1m =-． 综上，m 的值为1-．选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3,(x t t y t =-+⎧⎨=⎩为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为212cos ρρθ=+． （1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 为2C 上的任意一点，求P 到1C 距离的取值范围． 【解答】解：（1）1C 的普通方程为3x y -=-，即30x y -+=． 曲线2C 的直角坐标方程为2212x y x +=+，即22(1)2x y -+=．（2）由（1）知，2C 是以(1,0)为圆心，半径r =圆心2(1,0)C 到1C 的距离d ==所以直线1C 与圆2C 相离，P 到曲线1C 距离的最小值为d r -==；最大值d r +=所以P 到曲线1C 距离的取值范围为． [选修4-5：不等式选讲]23．已知0a >，0b >，0c >，且2a b c ++=． （1）求2a b c ++的取值范围； （2）求证：14918a b c++…． 【解答】解：（1）0a >Q ，0b >，0c >且2a b c ++=， 20a b c ∴-=+>，02a ∴<<，∴22217(2)()24a b c a a a ++=+-=-+， ∴2272(22)44a b c ++<+-=„， 2a b c ∴++的取值范围为7[,4)4．（2）0a >Q ，0b >，0c >，∴1494949()()14b a c a c b a b c a b c a b a c b c++++=++++++，14+…1436=+，当且仅当12,,133a b c ===时等号成立，又2a b c ++=，∴14918a b c++…．。
福建省2020年高考文科数学模拟试题及答案
福建省2020年高考文科数学模拟试题及答案（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4，5}，则A ∪B ＝( )A ．{2}B ．{6}C ．{1，3，4，5，6}D ．{1，2，3，4，5} 2．设p ：log 2x 2>2，q ：x >2，则p 是q 成立的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（ ） A. 3y x =B. y x 1=-C. y x 1=-D. xy 2=4. 已知{a n }为递增的等差数列，a 4+a 7=2，a 5•a 6=-8，则公差d=（ ） A. 6B. 6-C. 2-D. 45. 根据新高考改革方案，某地高考由文理分科考试变为“3+3”模式考试．某学校为了解高一年425名学生选课情况，在高一年下学期进行模拟选课，统计得到选课组合排名前4种如下表所示，其中物理、化学、生物为理科，政治、历史、地理为文科，“√”表示选择该科，“×”表示未选择该科，根据统计数据，下列判断错误．．的是A. 前4种组合中，选择生物学科的学生更倾向选择两理一文组合B. 前4种组合中，选择两理一文的人数多于选择两文一理的人数C. 整个高一年段，选择地理学科的人数多于选择其他任一学科的人数D. 整个高一年段，选择物理学科的人数多于选择生物学科的人数6. 已知函数，且，则以下结论正确的是 A.B.C.D.7. 1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1．如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则①处应填写的条件及输出的结果分别为A. 是奇数？；B. 是偶数？；C. 是奇数？；D. 是偶数？；8. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的()(),2x R f x f x ∈+=，当01x ≤≤，()2f x x =，若直线y x a =+与函数()f x 的图像在[]0,2内恰有两个不同的公共点，则实数的值是（ ）A. 0B. 0或12-C.14-或12-D. 0或14- 9. 据中国古代数学名著《九章算术》中记载，公元前344年，先秦法家代表人物商鞅督造一种标准量器一商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），其体积为12.6立方寸.若取圆周率3π=，则图中x 值为（ ）A. 1.5B. 2C. 3D. 3.110. 若tan()34πα+=-，则2sin 2cos αα-=（ ）A.35 B. 25-C. -1D. 311.已知双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ,过2F 作垂直于实轴的弦PQ ,若12PF Q π∠=,则C 的离心率e 为( )112 12. 已知()f x 是定义域为R 的偶函数,且在()0,+∞单调递增,设21log 3m f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()0.17n f -=, ()4log 25p f =,则,,m n p 的大小关系为( )A.m p n >>B.p n m >>C.p m n >>D.n p m >> 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年福建省泉州市高考(文科)数学一模试卷 含解析
2020年高考（文科）数学一模试卷一、选择题（共10小题）.1．已知集合M＝{﹣1，0，1，2}，N＝{x∈Z|（x+2）（x﹣1）≤0}，则M∩N＝（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1，2}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．已知x，y∈R，若x+yi与互为共轭复数，则x+y＝（）A．0B．3C．﹣1D．43．记S n为等差数列{a n}的前n项和、若a2＝﹣5，S4＝﹣16，则a6＝（）A．5B．3C．﹣12D．﹣134．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若点P（2，﹣1）在角α的终边上，则sin（﹣2α）＝（）A．﹣B．C．﹣D．5．执行如图所示的程序框图，若输入m＝2020，n＝520，则输出的i＝（）A．4B．5C．6D．76．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线2x+y﹣4＝0与y轴交于点A，线段AF2与E交于点B．若|AB|＝|BF1|，则E的方程为（）A．+＝1B．+＝1C．+＝1D．+y2＝17．已知函数f（x）＝，a＝f（20.3），b＝f（0.20.3），c＝f（log0.32），则a，b，c 的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b8．△ABC中，BC＝2，D为BC的中点，∠BAD＝，AD＝1，则AC＝（）A．2B．2C．6﹣D．29．若x∈[0，1]时，e x﹣|2x﹣a|≥0，则a的取值范围为（）A．[2ln2﹣2，1]B．[2﹣e，e﹣2]C．[2﹣e，1]D．[﹣1，1]10．若双曲线E：﹣＝1（mn＞0）绕其对称中心旋转后可得某一函数的图象，则E的离心率等于（）A．B．C．2或D．2或二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.不选或选出的选项中含有错误选项得0分，只选出部分正确选项得3分，选出全部正确选项得5分.11．PM2.5是衡量空气质量的重要指标．如图是某地9月1日到10日的PM2.5日均值（单位：μg/m3）的折线图，则下列说法正确的是（）A．这10天中PM2.5日均值的众数为33B．这10天中PM2.5日均值的中位数是32C．这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数D．这10天中PM2.5日均值前4天的方差大于后4天的方差12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则下列选项中正确的是（）A．AC⊥B1EB．B1C∥平面A1BDC．三棱锥C1﹣B1CE 的体积为D．异面直线B1C与BD所成的角为45°三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分、将答案填在答题卡的相应位置、13．已知向量＝（1，1），＝（﹣1，k ），⊥，则|+|＝．14．若函数f（x）＝，则使得不等式f（f（a））＞0成立的a的取值范围为．15．函数f（x）＝|3sin x﹣cos x|﹣2（x∈[0，2π]）的最大值为，所有零点之和为．16．正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，AA1＝2，若M是侧面BCC1B1内的动点，且AM⊥MC，则A1M与平面BCC1B1所成角的正切值的最大值为．四、解答题：共70分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤、第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答、（一）必考题：共60分.17．记S n为数列{a n}的前n项和．已知S n＝n2，等比数列{b n}满足b1＝a1，b3＝a5，（1）求{a n}的通项公式；（2）求{b n}的前n项和T n．18．唐诗是中国文学的瑰宝．为了研究计算机上唐诗分类工作中检索关键字的选取，某研究人员将唐诗分成7大类别，并从《全唐诗》48900多篇唐诗中随机抽取了500篇，统计了每个类别及各类别包含“花”、“山”、“帘”字的篇数，得到如表：爱情婚姻咏史怀古边塞战争山水田园交游送别羁旅思乡其他总计篇数100645599917318500含“山”字的篇数5148216948304271含“帘”字的篇数2120073538含“花”字的篇数606141732283160（1）根据上表判断，若从《全唐诗》含“山”字的唐诗中随机抽取一篇，则它属于哪个类别的可能性最大，属于哪个类别的可能性最小，并分别估计该唐诗属于这两个类别的概率；（2）已知检索关键字的选取规则为：①若有超过95%的把握判断“某字”与“某类别”有关系，则“某字”为“某类别”的关键字；②若“某字”被选为“某类别”关键字，则由其对应列联表得到的K2的观测值越大，排名就越靠前；设“山”“帘”“花”和“爱情婚姻”对应的K2观测值分别为k1，k2，k3．已知k1≈0.516，k2≈31.962，请完成下面列联表，并从上述三个字中选出“爱情婚姻”类别的关键字并排名．属于“爱情婚姻”类不属于“爱情婚姻”类总计含“花”字的篇数不含“花”字的篇数总计附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.050.0250.010 k 3.841 5.024 6.63519．如图1，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，E为CD的中点，以BE为折痕将△BCE折起到△PBE的位置，使得平面PBE⊥平面ABCD，如图2．（1）证明：平面PAB⊥平面PBE；（2）求点D到平面PAB的距离．20．已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，点A在C上，A到y轴的距离比|AF|小1．（1）求C的方程；（2）设直线AF与C交于另一点B，M为AB的中点，点D在x轴上，|DA|＝|DB|，若|DM|＝，求直线AF的斜率．21．已知函数f（x）＝e x+sin x﹣ax2﹣2x．（1）当a＝0时，判断f（x）在[0，+∞）上的单调性并加以证明；（2）若x≥0，f（x）≥1，求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并在答题卡中涂上你所选的题号.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C 的方程为x2+（y﹣1）2＝1．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求l和C的极坐标方程；（2）过O且倾斜角为α的直线与l交于点A，与C交于另一点B．若，求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．记函数f（x）＝|x+|+|2x﹣1|的最小值为m．（1）求m的值；（2）若正数a，b，c满足abc＝m，证明：ab+bc+ca≥．参考答案一、选择题：共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的、1．已知集合M＝{﹣1，0，1，2}，N＝{x∈Z|（x+2）（x﹣1）≤0}，则M∩N＝（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1，2}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【分析】可以求出集合N，然后进行交集的运算即可．解：∵M＝{﹣1，0，1，2}，N＝{x∈Z|﹣2≤x≤1}＝{﹣2，﹣1，0，1}，∴M∩N＝{﹣1，0，1}．故选：A．2．已知x，y∈R，若x+yi与互为共轭复数，则x+y＝（）A．0B．3C．﹣1D．4【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解：＝＝＝1+2i，∵x+yi与互为共轭复数，∴x＝1，y＝﹣2．则x+y＝﹣1．故选：C．3．记S n为等差数列{a n}的前n项和、若a2＝﹣5，S4＝﹣16，则a6＝（）A．5B．3C．﹣12D．﹣13【分析】直接由题意列式，求得首项和公差，再根据等差数列通项公式求得a6．解：等差数列{a n}中，设首项为a1，公差为d，则，解得．∴a6＝a1+5d＝3．故选：B．4．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若点P（2，﹣1）在角α的终边上，则sin（﹣2α）＝（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】由已知利用三角函数定义可得cosα的值，进而根据诱导公式，二倍角的余弦函数公式即可求解．解：由已知利用三角函数定义可得cosα＝＝，故sin（﹣2α）＝cos2α＝2cos2α﹣1＝．故选：D．5．执行如图所示的程序框图，若输入m＝2020，n＝520，则输出的i＝（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据框图一步一步进行运算，直到跳出循环．解：m＝2020，n＝520；r＝460，i＝2，m＝520，n＝460；r＝60，i＝3，m＝460，n＝60；r＝40，i＝4，m＝60，n＝40；r＝20，i＝5，m＝40，n＝20；r＝0，i＝6，m＝20，n＝0；故选：C．6．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线2x+y﹣4＝0与y轴交于点A，线段AF2与E交于点B．若|AB|＝|BF1|，则E的方程为（）A．+＝1B．+＝1C．+＝1D．+y2＝1【分析】根据直线方程可得F2的坐标，即得c＝2，结合条件可得|AF1|+|AF2|＝|AF2|，即可得a＝，进而可得椭圆方程．解：根据直线2x+y﹣4＝0可得F2的坐标为（2，0），A（0，4），即有c＝2，因为2a＝|AF1|+|AF2|＝|AB|+|AF2|＝|AF2|＝2，即有a＝，故b2＝5﹣4＝1，所以椭圆方程为，故选：D．7．已知函数f（x）＝，a＝f（20.3），b＝f（0.20.3），c＝f（log0.32），则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b【分析】判断函数f（x）是定义域R上的单调增函数，再判断20.3、0.20.3和log0.32的大小，即可得出a、b、c的大小．解：函数f（x）＝＝1﹣，所以f（x）是定义域R上的单调增函数，又20.3＞1＞0.20.3＞0＞log0.32，所以f（20.3）＞f（0.20.3）＞f（log0.32），所以a＞b＞c，即c＜b＜a．故选：B．8．△ABC中，BC＝2，D为BC的中点，∠BAD＝，AD＝1，则AC＝（）A．2B．2C．6﹣D．2【分析】△ABD中，由余弦定理可求AB，然后结合正弦定理可求sin∠ABD，进而可求cos∠ABD，然后在△ABC中，由余弦定理即可求解AC．解：△ABD中，由余弦定理可得，BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD cos∠BAD，即5＝，解可得，AB＝2，由正弦定理可得，，所以sin∠ABD＝，cos，△ABC中，由余弦定理可得，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC，＝×，解可得，AC＝2．故选：D．9．若x∈[0，1]时，e x﹣|2x﹣a|≥0，则a的取值范围为（）A．[2ln2﹣2，1]B．[2﹣e，e﹣2]C．[2﹣e，1]D．[﹣1，1]【分析】由题意可得（2x﹣e x）max≤a≤（2x+e x）min，0≤x≤1，分别考虑由导数求得函数y＝2x﹣e x，y＝2x+e x的单调性，求得最值，即可得到所求范围．解：e x﹣|2x﹣a|≥0，即为|2x﹣a|≤e x，等价为﹣e x≤2x﹣a≤e x，即2x﹣e x≤a≤2x+e x，可得（2x﹣e x）max≤a≤（2x+e x）min，0≤x≤1，由y＝2x﹣e x，可得y′＝2﹣e x，当ln2＜x≤1时，y′＜0，0≤x＜ln2时，y′＞0，可得y＝2x﹣e x，在[0，ln2）递增，（ln2，1]递减，则x＝ln2处取得最大值2ln2﹣2，又y＝2x+e x的导数为y′＝2+e x，可得函数y在[0，1]递增，可得x＝0处取得最小值1，则2ln2﹣2≤a≤1，故选：A．10．若双曲线E：﹣＝1（mn＞0）绕其对称中心旋转后可得某一函数的图象，则E的离心率等于（）A．B．C．2或D．2或【分析】分双曲线的焦点在x轴与y轴的不同，求得双曲线的渐近线方程，由双曲线E 绕其对称中心旋转后可得某一函数的图象，说明旋转后x轴为双曲线的一条渐近线，从而可得原来双曲线的渐近线方程，结合隐含关系即可求出双曲线的离心率．解：若m，n均大于0，设双曲线E的方程为（a＞0，b＞0），则其一条渐近线方程为y＝，由题意可得直线y＝的倾斜角等于，即＝，∴b＝a，即b2＝3a2＝c2﹣a2，得e＝；若m，n均小于0，设双曲线方程为（a＞0，b＞0），其一条渐近线方程为y＝，由题意可得直线y＝的倾斜角等于，即＝，∴a＝，即a2＝3b2＝3（c2﹣a2），得e＝．∴E的离心率等于2或．故选：C．二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.不选或选出的选项中含有错误选项得0分，只选出部分正确选项得3分，选出全部正确选项得5分.11．PM2.5是衡量空气质量的重要指标．如图是某地9月1日到10日的PM2.5日均值（单位：μg/m3）的折线图，则下列说法正确的是（）A．这10天中PM2.5日均值的众数为33B．这10天中PM2.5日均值的中位数是32C．这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数D．这10天中PM2.5日均值前4天的方差大于后4天的方差【分析】根据题意，结合图中数据，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．解：由图可知，众数为33，中位数为32，故AB正确，因为受极端值128的影响，平均数应大于中位数，故C错误，前四天图象比后四天图象波动大，故D正确；故选：ABD．12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则下列选项中正确的是（）A．AC⊥B1EB．B1C∥平面A1BDC．三棱锥C1﹣B1CE的体积为D．异面直线B1C与BD所成的角为45°【分析】由题意画出图形，利用线面垂直的判定和性质判断A；证明线面平行判定B；利用等积法求出体积判定C；求出两异面直线所成角判断D．解：如图，∵AC⊥BD，AC⊥BB1，∴AC⊥平面BB1D1D，又B1E⊂平面BB1D1D，∴AC⊥B1E，故A正确；∵B1C∥A1D，A1D⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD，故B正确；三棱锥C1﹣B1CE的体积为，故C错误；∵BD∥B1D1，∴∠CB1D1是异面直线B1C与BD所成的角，又△CB1D1是等边三角形，∴异面直线B1C与BD所成的角为60°，故D错误．故选：AB．三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分、将答案填在答题卡的相应位置、13．已知向量＝（1，1），＝（﹣1，k），⊥，则|+|＝2．【分析】由⊥得•＝0，求出k的值，再计算+与它的模长．解：向量＝（1，1），＝（﹣1，k），由⊥，得•＝﹣1+k＝0，k＝1，所以+＝（0，2），所以|+|＝2．故答案为：2．14．若函数f（x）＝，则使得不等式f（f（a））＞0成立的a的取值范围为[0，+∞）．【分析】由f（f（a））＞0，可得f（a）＞0，结合已知函数即可求解．解：因为f（f（a））＞0，所以f（a）＞0，所以a≥0，故答案为[0，+∞）15．函数f（x）＝|3sin x﹣cos x|﹣2（x∈[0，2π]）的最大值为，所有零点之和为．【分析】（1）将三角函数化简成形如y＝|A sin（ωx+θ）|+k的形式，最值易求；（2）由|3sin x﹣cos x|﹣2＝0，化简得，然后做出与y＝的图象，利用零点关于图象对称轴对称可求它们的和．解：，当x﹣，即时，f（x）取最大值．令f（x）＝0得，做出与y＝的图象如图：令，可得函数f（x）在[0，2π]内的对称轴为．所以结合图象可知．所以所有零点之和为．故答案为：．16．正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，AA1＝2，若M是侧面BCC1B1内的动点，且AM⊥MC，则A1M与平面BCC1B1所成角的正切值的最大值为2．【分析】首先根据题意确定点M的轨迹，再根据线面角定义可知A1M与平面BCC1B1所成角为∠A1MB1，由图形可得当点M位于B1O与圆弧的交点时，正切值取最大值，由此得解．解：∵AM⊥MC，且点M在侧面BCC1B1内，∴点M在侧面BCC1B1内的轨迹为以BC中点O为圆心，2为半径的圆弧（不包括B，C），如图所示，又四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，易知A1M与平面BCC1B1所成角为∠A1MB1，则tan∠A1MB1＝＝，显然当M位于点C时，B1M最大，tan∠A1MB1最小，当M位于B1O与圆弧的交点时，B1M最小，tan∠A1MB1最大，且B1M＝﹣2＝2，此时tan∠A1MB1＝＝2，则A1M与平面BCC1B1所成角的正切值的最大值为2．故答案为：2．四、解答题：共70分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤、第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答、（一）必考题：共60分.17．记S n为数列{a n}的前n项和．已知S n＝n2，等比数列{b n}满足b1＝a1，b3＝a5，（1）求{a n}的通项公式；（2）求{b n}的前n项和T n．【分析】本题第（1）题根据公式a n＝即可计算出数列{a n}的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出b1，b3的值，然后设等比数列{b n}的公比为q，可计算出公比q的值，再根据等比数列的求和公式可计算出数列{b n}的前n项和T n．解：（1）由题意，当n＝1时，a1＝S1＝12＝1，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，当n＝1时，a1＝1也满足上式，∴a n＝2n﹣1，n∈N*．（2）由（1）知，b1＝a1＝1，b3＝a5＝2×5﹣1＝9，设等比数列{b n}的公比为q，则q2＝＝＝9，解得q＝±3，∴当q＝3时，T n ＝＝；当q＝﹣3时，T n ＝＝．18．唐诗是中国文学的瑰宝．为了研究计算机上唐诗分类工作中检索关键字的选取，某研究人员将唐诗分成7大类别，并从《全唐诗》48900多篇唐诗中随机抽取了500篇，统计了每个类别及各类别包含“花”、“山”、“帘”字的篇数，得到如表：爱情婚姻咏史怀古边塞战争山水田园交游送别羁旅思乡其他总计篇数100645599917318500含“山”字的篇数5148216948304271含“帘”字的篇数2120073538含“花”字的篇数606141732283160（1）根据上表判断，若从《全唐诗》含“山”字的唐诗中随机抽取一篇，则它属于哪个类别的可能性最大，属于哪个类别的可能性最小，并分别估计该唐诗属于这两个类别的概率；（2）已知检索关键字的选取规则为：①若有超过95%的把握判断“某字”与“某类别”有关系，则“某字”为“某类别”的关键字；②若“某字”被选为“某类别”关键字，则由其对应列联表得到的K2的观测值越大，排名就越靠前；设“山”“帘”“花”和“爱情婚姻”对应的K2观测值分别为k1，k2，k3．已知k1≈0.516，k2≈31.962，请完成下面列联表，并从上述三个字中选出“爱情婚姻”类别的关键字并排名．属于“爱情婚姻”类不属于“爱情婚姻”类总计含“花”字的篇数不含“花”字的篇数总计附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.050.0250.010 k 3.841 5.024 6.635【分析】（1）根据题中数据判断可能性，判断概率，（2）根据数据代入公式，比较值，判断．解：（1）由表知唐诗属于山水田园类别的可能性最大，属于其他类可能性最小，属于山水田园类别的概率为，属于其他类概率约为，（2）属于“爱情婚姻”类不属于“爱情婚姻”类总计含“花”字的篇数60100160不含“花”字的篇数40300340总计100400500≈45.037，因为k2，k3＞3.841，k3＜3.841，有超过95%的把握判断“花”与“帘”均和“爱情婚姻”有关，故“花”“帘”为“爱情婚姻”的关键字，“山”不是，又因为k2＞k3，故选择“花”“帘”为“爱情婚姻”的关键字，排序为“花”，“帘”．19．如图1，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，E为CD的中点，以BE为折痕将△BCE折起到△PBE的位置，使得平面PBE⊥平面ABCD，如图2．（1）证明：平面PAB⊥平面PBE；（2）求点D到平面PAB的距离．【分析】（1）推导出PE⊥BE，从而PE⊥平面ABCD，进而PE⊥AB，推导出BE⊥CD，由AB∥CD，得AB⊥BE，从而AB⊥平面PBE，由此能证明平面PAB⊥平面PBE．（2）由S△ABD＝，推导出三棱锥P﹣ABD的体积V＝＝，设点D到平面PAB的距离为d，由三棱锥E﹣PAB的体积为＝，能求出点D到平面PAB的距离．解：（1）证明：∵CE⊥BE，∴依题意PE⊥BE，∵平面PBE⊥平面ABCD，平面PBE∩平面ABCD＝BE，PE⊂平面PBE，∴PE⊥平面ABCD，∵AB⊂平面ABCD，∴PE⊥AB，由已知，△BCD是等边三角形，且E为CD的中点，∴BE⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥BE，∵PE∩BE＝E，∴AB⊥平面PBE，∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PBE．（2）解：在△ABD中，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∴S△ABD＝，由（1）知，PE⊥平面ABD，且PE＝1，∴三棱锥P﹣ABD的体积V＝＝，在Rt△PBE中，PE＝1，BE＝，解得PB＝2，由（1）知，AB⊥平面PBE，∴AB⊥PB，∴S△PAB＝＝2，设点D到平面PAB的距离为d，由三棱锥E﹣PAB的体积为＝，解得点D到平面PAB的距离d＝．20．已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，点A在C上，A到y轴的距离比|AF|小1．（1）求C的方程；（2）设直线AF与C交于另一点B，M为AB的中点，点D在x轴上，|DA|＝|DB|，若|DM|＝，求直线AF的斜率．【分析】（1）设抛物线的准线方程为l，因为A到y轴的距离比|AF|小1．由抛物线的定义可得＝1，解得p的值，进而求出抛物线的方程；（2）设直线AF的方程与抛物线联立求出两根之和，进而求出中点M的坐标，|DA|＝|DB|可得MD⊥AB，设DM的方程，令y＝0可得D的横坐标，求出|MD|的值，由题意可得直线AF的斜率．解：（1）设抛物线的准线方程为l，过A做准线的垂线交于H，由抛物线的定义可得|AF|＝|AH|，因为A到y轴的距离比|AF|小1．所以＝1，解得p＝2，所以抛物线的方程为：y2＝4x；（2）由题意设直线AF的方程为y＝k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与抛物线的方程：，整理可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，x1+x2＝，所以y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k＝，又因为M为AB的中点，所以M（，），所以直线DM的方程为y﹣＝﹣（x﹣），令y＝0可得x＝3+，所以D（3+，0），所以|DM|＝＝＝，解得k2＝2，所以直线AF的斜率为：．21．已知函数f（x）＝e x+sin x﹣ax2﹣2x．（1）当a＝0时，判断f（x）在[0，+∞）上的单调性并加以证明；（2）若x≥0，f（x）≥1，求a的取值范围．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解；（2）先对函数求导，先对a进行讨论，结合导数的符号确定函数的单调性，然后结合函数的性质可求．【解答】证：（1）当a＝0时，f（x）在在[0，+∞）上的单调增，证明如下：f′（x）＝e x+cos x﹣2，设g（x）＝f′（x）＝e x+cos x﹣2，则g′（x）＝e x﹣sin x，当x≥0时，e x≥1，﹣1≤sin x≤1，∴g′（x）＝e x﹣sin x≥0，故g（x）在[0，+∞）上单调递增，g（x）≥g（0）＝0，即f′（x）≥0，所以f（x）在[0，+∞）上单调递增；（2）由题意得f′（x）＝e x+cos x﹣2ax﹣2，令g（x）＝f′（x），则g′（x）＝e x﹣sin x﹣2a，令h（x）＝g′（x），则h′（x）＝e x﹣cos x，当x≥0时，h′（x）＝e x﹣cos x≥0，故h（x）在[0，+∞）上单调递增，所以g′（x）在[0，+∞）上单调递增，g′（x）≥g′（0）＝1﹣2a，①当1﹣2a≥0即a时，g′（x）≥0恒成立，g（x）单调递增，即f′（x）单调递增，且f′（0）＝0所以f′（x）≥0，f（x）在[0，+∞）上单调递增，②当a时，g′（0）＝1﹣2a＜0，令u（x）＝e x﹣x﹣1，x＞0，则u′（x）＝e x﹣1＞0恒成立，所以u（x）在（0，+∞）上单调递增，u（x）＞u（0）＝0即e x＞x+1，∴g′（2a）＝e2a﹣sin2a﹣2a＞2a+1﹣sin2a﹣2a＝1﹣sin2a≥0，又g′（x）在（0，+∞）上单调递增，结合零点判定定理可得，存在唯一的实数m∈（0，+∞），使得g′（m）＝0，当x∈（0，m），g′（x）＜0，g（x）单调递减即f′（x）单调递减，f′（x）＜f′（0）＝0，此时f（x）在（0，m）上递减，f（x）＜f（0）＝0，不合题意，舍去．综上，a的范围（﹣（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并在答题卡中涂上你所选的题号.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的方程为x2+（y﹣1）2＝1．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求l和C的极坐标方程；（2）过O且倾斜角为α的直线与l交于点A，与C交于另一点B．若，求的取值范围．【分析】（1）直接利用和转换关系的的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．（2）利用三角函数关系式的变换的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果．（1）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为，解：转换为极坐标方程为．整理得：＝．圆C的方程为x2+（y﹣1）2＝1，整理得x2+y2＝2y，转换为极坐标方程为ρ＝2sinθ．（2）过O且倾斜角为α的直线为θ＝α，由于该直线与l交于点A，所以，所以，与C交于另一点B．所以，整理得ρB＝2sinα，所以＝＝＝，由于，所以，所以，所以故求的取值范围[．[选修4-5：不等式选讲]23．记函数f（x）＝|x+|+|2x﹣1|的最小值为m．（1）求m的值；（2）若正数a，b，c满足abc＝m，证明：ab+bc+ca≥．【分析】（1）将函数f（x）化为分段函数的形式，作出函数图象，由图象观察可知，当时，函数f（x）取得最小值，由此求得实数m的值；（2）由（1）得abc＝1，注意到，故原不等式即证，而这利用柯西不等式很容易得证．解：（1），作出函数f（x）的图象如下图所示，由图可知，当时，函数f（x）取得最小值，即实数m的值为1；（2）证明：由（1）知，abc＝1，且a＞0，b＞0，c＞0，由柯西不等式有，∴，∴，当且仅当“a2＝b2＝c2”时取等号．∴原不等式成立．。
2020年全国统一考试文科数学试卷+解析(福建卷,含解析)
2020年全国统一考试文科数学试卷+解析（福建卷，含解析）第 I 卷（选择题共 60 分）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若(1+i)+(2-3i)=a+bi（a,b∈R,i是虚数单位），则a,b 的值分别等于（）A．3, -2 B．3, 2 C．3, -3 D．-1, 4【答案】A【解析】试题分析：由已知得3 - 2i =a +bi ，所以a = 3,b =-2 ，选A．考点：复数的概念．2．若集合M ={x -2 ≤x < 2}，N ={0,1, 2}，则M N 等于（）A．{0}B．{1}C．{0,1, 2}D{0,1}【答案】D考点：集合的运算．3.下列函数为奇函数的是( )A．y =x B．y =e x C．y = cos x D．y =e x -e-x【答案】D【解析】试题分析：函数y =x 和y =e x 是非奇非偶函数；y = cos x 是偶函数；y =e x -e-x 是奇函数，故选 D．考点：函数的奇偶性．4.阅读如图所示的程序框图，阅读相应的程序．若输入x 的值为 1，则输出y 的值为（） A．2B．7 C．8 D．128【答案】C【解析】⎧2x , x ≥ 2,试题分析：由题意得，该程序表示分段函数 y = ⎨ ⎩9 - x , x < 2，则 f (1) = 9 -1 = 8，故选 C ．考点：程序框图．5．若直线 x + y= 1(a > 0,b > 0) 过点(1,1) ，则a + b 的最小值等于（ ）a bA ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C考点：基本不等式．6. 若sin α =-5，且α 为第四象限角，则tan α 的值等于（ ）13 A ． 12B ． - 12C ． 5D ． - 55 5 【答案】D【解析】1212试题分析：由sin α =- 5 ，且α 为第四象限角，则cos α = 1-sin2α =12，则tan α =sin α⎨ 1=- 51213，故选 D ．13cos α考点：同角三角函数基本关系式．7．设a = (1, 2)， b = (1,1) ， c = a + kb ．若b ⊥ c ，则实数k 的值等于（ ） A ． - 3 B ． - 5 C ． 5 D ． 32 3 3 2【答案】A考点：平面向量数量积．8. 如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为(1, 0) ．且点C 与点 D 在函数⎧x +1, x ≥ 0 f (x ) = ⎪ - x +1, x < 0的图像上．若在矩形 ABCD 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于 ⎪⎩ 2（ ）1A ． 61 B ． 43C ． 81 D ．2【答案】B考点：古典概型．9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）A ． 8 + 2B ．11+ 2C ．14 + 2 2D ．15yCxABF⎨【答案】B【解析】学科网试题分析：由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为2 的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为1，2 ，直角腰长为1，斜腰为 ．底面积为2⨯ 1⨯3 = 3 ，侧面积为则其表面积为 22+2+4+2 2=8+2 ，所以该几何体的表面积为11+ 2，故选 B ．考点：三视图和表面积．⎧x + y ≥ 010.变量 x , y 满足约束条件⎪x - 2y + 2 ≥ 0 ，若 z = 2x - y 的最大值为 2，则实数m 等于（ ）⎪⎩mx - y ≤ 0 A ． -2 B ． -1 C ．1 D ． 2 【答案】C【解析】21112试题分析：将目标函数变形为 y = 2x - z ，当 z 取最大值，则直线纵截距最小，故当m ≤ 0 时，不满足题意；当 m > 0 时，画出可行域，如图所示， 其中 B (2, 2m) ．显然O (0, 0) 不是最优解，故只能 2m -1 2m -1B ( 2 , 2m ) 是最优解，代入目标函数得 4 - 2m = 2，解得m = 1，故选C ． 2m -1 2m -1 考点：线性规划．2m -1 2m -1x 2 y 211.已知椭圆 E : a2 + b2 = 1(a > b > 0) 的右焦点为 F ．短轴的一个端点为 M ，直线l : 3x - 4y = 0 交椭圆E 于 A , B 两点．若 AF + BF= 4 ，点 M 到直线l 的距离不小于 4，则椭圆 E 的离心率的取值范围是（ ） 53 3 3 3A ． (0, 2 ]B ． (0, 4]C ．[ 2,1) D ．[ 4 ,1)【答案】A考点：1、椭圆的定义和简单几何性质；2、点到直线距离公式．12.“对任意 x ∈π(0, ) 2 ， k sin x cos x < x ”是“ k < 1 ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ． 充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件–4–3–2–1–123–2–3–42 =【答案】B考点：导数的应用．第 II 卷（非选择题共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在答题卡的相应位置.13.某校高一年级有 900 名学生，其中女生 400 名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45 的样本，则应抽取的男生人数为．【答案】25【解析】45 试题分析：由题意得抽样比例为1，故应抽取的男生人数为500⨯1= 25．考点：分层抽样．900 20 20 14．若∆ABC 中，AC =，A = 450 ，C = 750 ，则BC = ．【答案】【解析】试题分析：由题意得B = 1800 -A -C = 600 ．由正弦定理得3 ⨯ 2所以BC = 2 =．32ACsin B=BCsin A，则BC =AC sin A，sin B考点：正弦定理．15.若函数f (x) = 2 x-a (a ∈R) 满足f (1+x) =f (1-x) ，且f (x) 在[m, +∞) 单调递增，则实数m 的最小值等于．【答案】1【解析】试题分析：由f (1+x) =f (1-x) 得函数f (x) 关于x = 1 对称，故a = 1，则f (x) =2 x-1 ，由复合函数单调性得f (x) 在[1, +∞) 递增，故m ≥ 1，所以实数m 的最小值等于1．考点：函数的图象与性质．16.若a,b是函数f (x)=x2 -px +q(p >0, q >0)的两个不同的零点，且a,b, -2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p +q的值等于．【答案】9考点：等差中项和等比中项．三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分 12 分)等差数列{a n }中，a2 = 4 ，a4 +a7 =15．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b=2a n-2+n，求b+b+b+⋅⋅⋅+b的值．n 1 2 3 10【答案】（Ⅰ）a n =n + 2 ；（Ⅱ）2101 ．【解析】) ⎨ 试题分析：（Ⅰ）利用基本量法可求得a 1, d ，进而求{a n }的通项公式；（Ⅱ）求数列前 n 项和，首先考虑其 通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题b n = 2 + n ，故可采取分组求和法求其 n前 10 项和．试题解析：（I ）设等差数列{a n }的公差为d ．⎧⎪a 1 + d = 4由已知得⎨(a + 3d ) +(a ， + 6d =15 ⎪⎩ 1 1 ⎧a 1 = 3解得 ．⎩d =1所以a n = a 1 +(n -1)d = n + 2 ．考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法． 18．（本题满分 12 分）全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标．根据相关报道提供的全网传播 2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前 20 名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．组号 分组频数 1[4,5)2（Ⅰ）现从融合指数在[4,5) 和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家进行调研，求至少有 1 家的融合指数在[7,8]的概率；（Ⅱ）根据分组统计表求这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．9【答案】（Ⅰ）10；（Ⅱ）6.05 ．解法一：（I）融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1 ，A2 ，A3；融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1 ，B2 ．从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2 家的所有基本事件是：{A1,A2}，{A1,A3}，{A2 ,A3}，{A1,B1}，{A1,B2}，{A2 ,B1}，{A2 ,B2}，{A3 ,B1}，{A3 ,B2}，{B1,B2}，共10个．其中，至少有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是：{A1,A2}，{A1,A3}，{A2 ,A3}，{A1,B1}，{A1,B2}，{A2 ,B1}，{A2 ,B2}，{A3 ,B1}，{A3 ,B2}，共9个．所以所求的概率P=9 ．10（II）这20 家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于4.5⨯2+ 5.5⨯8+ 6.5⨯7+ 7.5⨯3= 6.05 ．20 20 20 20解法二：（I）融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1 ，A2 ，A3；融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1 ，B2 ．从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2 家的所有基本事件是：{A1,A2}，{A1,A3}，{A2 ,A3}，{A1,B1}，{A1,B2}，{A2 ,B1}，{A2 ,B2}，{A3 ,B1}，{A3 ,B2}，{B1,B2}，共10个．其中，没有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是：{B1,B2}，共1个．所以所求的概率P= 1-1=9．10 10（II）同解法一．考点：1、古典概型；2、平均值．19．（本小题满分 12 分）已知点F 为抛物线E : y2 = 2 px( p > 0) 的焦点，点A(2, m) 在抛物线E 上，且AF = 3 ．（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点G(-1, 0) ，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．【答案】（Ⅰ）y2 =4x；（Ⅱ）详见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化．本题由AF=3可得2+p=3，可求p的值，进而确定抛物线方程；（Ⅱ）欲证明以点F 为圆心且与直线GA相切的圆，必2与直线GB 相切．可证明点F 到直线GA和直线GB 的距离相等（此时需确定两条直线方程）；也可以证明∠A GF =∠B GF ，可转化为证明两条直线的斜率互为相反数．试题解析：解法一：（I ）由抛物线的定义得 A F = 2 + p ．⎨y 2 = 4x2因为 A F = 3 ，即2 + p= 3，解得 p = 2 ，所以抛物线E 的方程为 y 2 = 4x ．2（II ）因为点 A (2, m ) 在抛物线E : y 2 = 4x 上，所以m = ±2 2 ，由抛物线的对称性，不妨设A (2, 2 2 )． 由A (2, 2 2 )， F (1, 0) 可得直线A F 的方程为 y = 2 2 (x -1)．由⎧⎪y = 2 2 (x -1) ，得2x 2 - 5x + 2 = 0 ，⎪⎩解得 x = 2 或 x = 1 ，从而B ⎛ 1 , - 2 ⎫．2又G (-1, 0) ，⎝ 2 ⎪⎭2 2 - 0 2 2 - 2 - 0 2 2所以k G A = 2 -(-1) = 3 ， k G B = 12= - ， -(-1) 3所以k G A + k G B = 0 ，从而∠A GF = ∠B GF ，这表明点F 到直线G A ， G B 的距离相等， 故以F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切． 解法二：（I ）同解法一．（II ）设以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆的半径为r ． 因为点A (2, m ) 在抛物线E : y 2 = 4x 上，所以m = ±2 2 ，由抛物线的对称性，不妨设A (2, 2 2 )．由A (2, 2 2 )， F (1, 0) 可得直线A F 的方程为 y = 2 2 (x -1)．2 (x -1)2 ，得2x - 5x + 2 = 0 ， ⎧⎪y = 2 由2 + 2 2 8 + 9 4 2172 + 2 28 + 94 2172 + 6 ⎪⎩⎨y 2 = 4x 解得 x = 2 或 x = 1 ，从而B ⎛ 1 , - 2 ⎫．2 ⎝ 2 ⎪⎭又G (-1, 0) ，故直线G A 的方程为2 2x -3y + 2= 0 ，从而r = =．又直线G B 的方程为2 2x + 3y + 2= 0 ，所以点F 到直线G B 的距离d === r ．这表明以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切． 考点：1、抛物线标准方程；2、直线和圆的位置关系． 20．（本题满分 12 分）如图， AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于 A , B 的点， PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO = OB = 1．（Ⅰ）若 D 为线段 AC 的中点，求证A C ⊥ 平面P D O ； （Ⅱ）求三棱锥 P - ABC 体积的最大值；（Ⅲ）若 BC =，点 E 在线段 PB 上，求CE + OE 的最小值．1 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ ） 3；（Ⅲ） ．2【解析】试题分析：（Ⅰ）要证明A C ⊥ 平面P D O ，只需证明 AC 垂直于面P D O 内的两条相交直线．首先由PO 垂直于圆O 所在的平面，可证明PO ⊥ A C ；又OA = O C ， D 为A C 的中点，可证明A C ⊥ O D ，进而证明结论；（Ⅱ）三棱锥 P - ABC 中，高 PO = 1，要使得 P - ABC 体积最大，则底面 ABC 面积最大，又 AB = 2是定值，故当 AB 边上的高最大，此时高为半径，进而求三棱锥 P - ABC 体积；（Ⅲ）将侧面B C P 绕PB 旋转至平面B C 'P ，使之与平面ABP 共面，此时线段OC '的长度即为CE + OE 的最小值． 试题解析：解法一：（I ）在∆AO C 中，因为OA = O C ， D 为A C 的中点， 所以A C ⊥ O D ．又PO 垂直于圆O 所在的平面， 所以PO ⊥ A C ． 因为D O PO = O ， 所以A C ⊥ 平面P D O ．（II ） 因为点C 在圆O 上，所以当C O ⊥ AB 时， C 到 AB 的距离最大，且最大值为1． 又AB = 2，所以∆AB C 面积的最大值为 1⨯ 2⨯1 = 1．2又因为三棱锥P - AB C 的高PO = 1 ，故三棱锥P - AB C 体积的最大值为 1 ⨯1⨯1 = 1．33（III ）在∆POB 中， PO = OB = 1， ∠POB = 90 ，所以PB == ．同理P C = 2 ，所以PB = P C = B C ．在三棱锥P - AB C 中，将侧面B C P 绕PB 旋转至平面B C 'P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ， E ， C '共线时， C E + OE 取得最小值． 又因为OP = OB ， C 'P = C 'B ， 所以O C ' 垂直平分PB ， 即E 为PB 中点．从而O C ' = OE+E C ' = 2 + 6 = 2 + 6 ，2222 + 6 ． 亦即C E + OE 的最小值为+ 62解法二：（I ）、（II ）同解法一．（III ）在∆POB 中， PO = OB = 1， ∠POB = 90 ，所以∠OPB = 45 ， PB == ．同理P C = ．所以PB = P C = B C ，所以∠C PB = 60 ．在三棱锥P - AB C 中，将侧面B C P 绕PB 旋转至平面B C 'P ，使之与平面ABP 共面，如图所示． 当O ， E ， C '共线时， C E + OE 取得最小值． 所以在∆O C 'P 中，由余弦定理得：O C '2 =1+ 2 - 2⨯1⨯ 2 ⨯cos (45 + 60 )⎛ 2 1 2 3 ⎫ =1+ 2 - 2 2 2 ⨯ 2 - 2 ⨯ 2 ⎪⎝ ⎭= 2 +．从而O C ' = = 2 ． 2所以C E + OE 的最小值为2 + 6 ．2考点：1、直线和平面垂直的判定；2、三棱锥体积．21．（本题满分 12 分）f x =x x 2 x 已知函数 ( ) 10 3 sin cos +10cos ．2 2 2 （Ⅰ）求函数 f ( x ) 的最小正周期；（Ⅱ）将函数 f ( x ) 的图象向右平移 π个单位长度，再向下平移a （a > 0 ）个单位长度后得到函数 g (x ) 的 6图象，且函数 g (x ) 的最大值为 2． （ⅰ）求函数 g (x ) 的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数 x 0 ，使得 g ( x 0 ) > 0 ．2 + 3；（Ⅱ）（ⅰ） g ( x ) = 10sin x - 8 ；（ⅱ）详见解析．【答案】（Ⅰ） 2π【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用证明二倍角公式和余弦降幂公式将 f (x ) 化为 f (x ) =10sin ⎛x + π ⎫+ 5 ，然后利⎝6 ⎪⎭用T =2π求周期；（Ⅱ）由函数 f ( x ) 的解析式中给 x 减 π，再将所得解析式整体减去a 得 g (x ) 的解析式ω6为 g ( x ) = 10sin x + 5 - a ，当sin x 取 1 的时， g (x ) 取最大值10 + 5 - a ，列方程求得a = 13 ，从而 g (x )的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数 x 0 ，使得 g (x 0 ) > 0 ，可解不等式 g ( x 0 ) > 0 ，只需解集的长度大于 1，此时解集中一定含有整数，由周期性可得，必存在无穷多个互不相同的正整数 x 0 ．试题解析：（I ）因为 f (x ) = 10 3 sin x cos x +10cos 2 x22 2= 5 3 sin x + 5cos x + 5⎛ π ⎫=10sin ⎝ x + 6 ⎪⎭+ 5．所以函数 f ( x ) 的最小正周期T= 2π ．（II ）（i ）将 f (x ) 的图象向右平移 π个单位长度后得到 y = 10sin x + 5 的图象，再向下平移a （ a > 0 ） 6个单位长度后得到 g (x ) = 10sin x + 5 - a 的图象． 又已知函数 g (x ) 的最大值为2 ，所以10 + 5 - a = 2 ，解得a =13． 所以 g ( x ) = 10sin x - 8 ．（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x 0 ，使得 g ( x 0 ) > 0 ，就是要证明存在无穷多个互不相同的 正整数 x ，使得10sin x - 8 > 0 ，即sin x > 4．5由 4 <3知，存在0 < α < π，使得sin α = 4．5 2 03 05由正弦函数的性质可知，当 x ∈(α 因为 y = sin x 的周期为2π ，0 ,π -α0 )时，均有sin x > 4．5)（k ∈Z）时，均有sin x >4 ．所以当x ∈(2kπ+α , 2kπ+π-α=-()=⎨-<< 0 0因为对任意的整数k ，(2kπ+π-α5)-(2kπ+α)=π- 2α>π>1，0 0 0 3所以对任意的正整数k ，都存在正整数x ∈(2kπ+α, 2kπ+π-α)，使得sin x >4 ．k 0 0 k 5亦即存在无穷多个互不相同的正整数x0 ，使得g (x0 )>0 ．考点：1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式． 22．（本小题满分 14 分）(x -1)2已知函数f (x) ln x ．2(Ⅰ)求函数f (x)的单调递增区间；（Ⅱ）证明：当x > 1时，f (x)<x -1；（Ⅲ）确定实数k 的所有可能取值，使得存在x0 > 1，当x ∈ (1, x0 ) 时，恒有f (x)>k (x -1)．【答案】(Ⅰ) ⎛0,1+ 5 ⎫；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）(-∞,1)． 2 ⎪⎝⎭【解析】试题分析：(Ⅰ)求导函数f '-x2 +x +1x ，解不等式fx' (x) > 0 并与定义域求交集，得函数f (x)的单调递增区间；（Ⅱ）构造函数F(x)=f(x)-(x-1)，x∈(1,+∞)．欲证明f(x)<x-1，只需证明F (x) 的最大值小于0 即可；（Ⅲ）由（II）知，当k =1时，不存在x0 >1满足题意；当k >1时，对于x >1 ，有f (x)<x -1 <k (x-1)，则f (x)<k(x-1)，从而不存在x0 > 1 满足题意；当k < 1 时，构造函数G(x)=f (x)-k (x-1)，x ∈(0, +∞)，利用导数研究函数G(x) 的形状，只要存在x0 >1，当x ∈(1, G(x) > 0 即可．x)时'1 -x2 +x +1试题解析：（I）f (x)=-x +1 =，x ∈(0, +∞)．x x由f '(x)> 0 得⎧x > 0⎩1+ 5解得0 x ．2f ( x ) 的单调递增区间是⎛ 0,1+ 5 ⎫．故 1- k - 1- k + 4 2 ⎪ ⎝ ⎭（II ）令F ( x ) = f ( x ) -( x -1) ， x ∈(0, +∞) ．' 1- x 2则有F ( x )= ． x当 x ∈(1, +∞) 时， F '( x ) < 0 ， 所以F ( x ) 在[1, +∞) 上单调递减，故当 x > 1 时， F (x ) < F (1) = 0 ，即当 x > 1 时， f ( x ) < x -1． （III ） 由（II ）知，当k = 1时，不存在 x 0 > 1满足题意．当 k > 1时，对于 x > 1 ，有 f ( x ) < x -1 < k ( x -1) ，则 f ( x ) < k ( x -1) ，从而不存在 x 0 > 1满足题意． 当 k < 1时，令G (x ) = f ( x ) - k ( x -1) ， x ∈(0, +∞) ， ' 1-x 2 +(1- k ) x +1则有G (x ) = - x +1- k = ．x x 由G '(x ) = 0 得， -x 2 + (1- k ) x +1 = 0 ．解得 x 1 =2 < 0 ， x 2 = > 1． 2当 x ∈(1, x 2 ) 时， G '( x ) > 0 ，故G ( x ) 在[1, x 2 ) 内单调递增． 从而当 x ∈(1, x 2 ) 时， G (x ) > G (1) = 0 ，即 f (x ) > k (x -1) ， 综上， k 的取值范围是(-∞,1)．考点：导数的综合应用．1- k + 1- k+ 4。
2020届福建省福州市高考数学质检(文科)试题Word版含解析
2020届福建省福州市高考数学质检（文科）试题一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．集合A={﹣3，﹣1，2，4}，B={x ∈R|2x ＜8}，则A ∩B=（ ）A ．{﹣3}B ．{﹣1，2}C ．{﹣3，﹣1，2}D ．{﹣3，﹣1，2，4} 2．已知复数z 满足（z ﹣i ）i=2+3i ，则|z|=（ ）A ．B ．3C ．10D ．183．若函数f （x ）=ax 2+，则下列结论正确的是（ ） A ．∀a ∈R ，函数f （x ）是奇函数 B ．∃a ∈R ，函数f （x ）是偶函数C ．∀a ∈R ，函数f （x ）在（0，+∞）上是增函数D ．∃a ∈R ，函数f （x ）在（0，+∞）上是减函数4．已知sin α+cos α=2，则tan α=（ ）A ．B ．C ．D ．5．在如图所示的程序框图中，若a=（），b=log 42，c=log 23•log 32，则输出的x 等于（ ）A ．0.25B ．0.5C ．1D ．26．已知A，B分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，P是C上一点，且直线AP，BP的斜率之积为2，则C的离心率为（）A．B．C．D．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2π﹣B．2π﹣C．D．2π﹣28．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（1，3），C（2，2），对于△ABC（含边界）内的任意一点（x，y），z=ax+y的最小值为﹣2，则a=（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5/件）应为（）A．4 B．5.5 C．8.5 D．1010．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在半径为2的球面上，且PA⊥平面ABC，若AB=2．AC=，∠BAC=，则棱PA的长为（）A．B．C．3 D．911．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数f（x+）是偶函数，下列判断正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的图象关于点（，0）d对称C．函数f（x）的图象关于直线x=﹣对称D．函数f（x）在[，π]上单调递增12．已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，其图象在点（1，f（1））处的切线斜率为0，若a＜b＜c，且函数f（x）的单调递增区间为（m，n），则n﹣m的取值范围是（）A ．（1，）B ．（，3）C ．（1，3）D ．（2，3）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分 13．已知两点A （1，1），B （5，4），若向量=（x ，4）与垂直，则实数x= ．14．若函数f （x ）=有两个零点，则实数a 的取值范围是 ．15．已知抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，P 为抛物线C 上的动点，点Q （0，﹣1），则的最小值为 ．16．已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1﹣a n =cos，则a 2016= ．三.解答题：17．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2acosB=2c ﹣b ． （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若a=2，b+c=4，求△ABC 的面积．18．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2=4，S 5=30，数列{b n }满足b 1+2b 2+…+nb n =a n （Ⅰ）求a n ；（Ⅱ）设c n =b n •b n+1，求数列{c n }的前n 项和T n ．19．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，D 是AC 的中点． （Ⅰ）求证：B 1C ∥平面A 1BD ；（Ⅱ）若∠A 1AB=∠ACB=60°，AB=BB 1，AC=2，BC=1，求三棱锥A 1﹣ABD 的体积．20．已知过点A （0，2）的直线l 与椭圆C ：+y 2=1交于P ，Q 两点．（Ⅰ）若直线l 的斜率为k ，求k 的取值范围； （Ⅱ）若以PQ 为直径的圆经过点E （1，0），求直线l 的方程．21．已知函数．（Ⅰ）求f （x ）的最小值；（Ⅱ）若f （x ）≥ax+1恒成立，求实数a 的取值范围．选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（其中α为参数），曲线C 2：（x ﹣1）2+y 2=1，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程； （Ⅱ）若射线θ=（ρ＞0）与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=|x ﹣a|，a ∈R（Ⅰ）当a=1时，求f （x ）≥|x+1|+1的解集；（Ⅱ）若不等式f （x ）+3x ≤0的解集包含{x|x ≤﹣1}，求a 的取值范围．2020届福建省福州市高考数学质检（文科）试题参考答一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．集合A={﹣3，﹣1，2，4}，B={x∈R|2x＜8}，则A∩B=（）A．{﹣3} B．{﹣1，2} C．{﹣3，﹣1，2} D．{﹣3，﹣1，2，4}【考点】交集及其运算．【分析】求解指数不等式化简集合B，然后直接利用交集运算得答案．【解答】解：∵集合A={﹣3，﹣1，2，4}，B={x∈R|2x＜8}={x|x＜3}，则A∩B={﹣3，﹣1，2}，故选：C．2．已知复数z满足（z﹣i）i=2+3i，则|z|=（）A． B．3 C．10 D．18【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：（z﹣i）i=2+3i，∴﹣i•（z﹣i）i=﹣i（2+3i），∴z﹣i=3﹣2i，∴z=3﹣i．则|z|==．故选：A．3．若函数f（x）=ax2+，则下列结论正确的是（）A．∀a∈R，函数f（x）是奇函数B．∃a∈R，函数f（x）是偶函数C．∀a∈R，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数D．∃a∈R，函数f（x）在（0，+∞）上是减函数【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】由题意可得当a=0时，f（x）=，f（x）是奇函数，且函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，排除A，B；再根据当a＜0，函数f（x）为减函数，故排除C，从而得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=ax2+，当a=0时，f（x）=，此时，f（x）是奇函数，且函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；当a≠0时，函数f（x）=ax2+为非奇非偶函数，故排除A，B．当a＜0，在（0，+∞）上，f′（x）=2ax﹣＜0，函数f（x）为减函数，故排除C，故选：D．4．已知sin α+cos α=2，则tan α=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得α=2k π+，k ∈Z ，从而求得tan α的值．【解答】解：∵sin α+cos α=2，∴2sin （α+）=2，∴sin （α+）=1，∴cos （α+）=0，∴α+=2k π+，k ∈Z ，即α=2k π+，则tan α=，故选：D ．5．在如图所示的程序框图中，若a=（），b=log 42，c=log 23•log 32，则输出的x 等于（ ）A ．0.25B ．0.5C ．1D ．2 【考点】程序框图．【分析】由程序框图知：算法的功能是求a ，b ，c 三个数中的最大数，根据对数函数的性质比较出a 、b 、c 的大小关系即可．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求a ，b ，c 三个数中的最大数，由于：a=（）=；b=log 42=；c=log 23•log 32=1，可得：a ＜b ＜c ，则输出x的值是1．故选：C．6．已知A，B分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，P是C上一点，且直线AP，BP的斜率之积为2，则C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用点P与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积为2，建立等式，考查双曲线的方程，即可确定a，b的关系，从而可求双曲线的离心率．【解答】解：设P（x，y），实轴两顶点坐标为（±a，0），则∵点P与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积为2，∴•=2，∴=+1，∵﹣=1，∴+1﹣=1，∴b2=2a2，∴c2=a2+b2=3a2，∴c=a，∴e==，故选：B．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2π﹣B．2π﹣C．D．2π﹣2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为圆柱中挖去一个正四棱锥．【解答】解：由三视图可知该几何体为圆柱挖去一个四棱锥得到的，圆柱的底面半径为1，高为2，棱锥的底面为正方形，边长为，棱锥的高为1，∴几何体的体积V=π×12×2﹣=2π﹣．故选A．8．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（1，3），C（2，2），对于△ABC（含边界）内的任意一点（x，y），z=ax+y的最小值为﹣2，则a=（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5【考点】简单线性规划．【分析】先画出满足条件的平面区域，结合图象求出z的最小值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，显然直线y=﹣ax+z过A（1，1）时z最小，z=a+1=﹣2，解得：a=﹣3，故选：B．/件）应为（）A．4 B．5.5 C．8.5 D．10【考点】函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法．【分析】由题意，设定价为x元时，利润为y元，则y=（x﹣3）40），利用二次函数的性质求最值．【解答】解：由题意，设定价为x元时，利润为y元，由题意可知：y=（x﹣3）40）=40（﹣x2+17x﹣42）故当x==8.5；即x=8.5时，有最大值，故选：C．10．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在半径为2的球面上，且PA⊥平面ABC，若AB=2．AC=，∠BAC=，则棱PA的长为（）A．B．C．3 D．9【考点】球内接多面体．【分析】把三棱锥扩展为长方体，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，长方体的体对角线就是球的直径．【解答】解：由三棱锥扩展为长方体，长方体的对角线的长为直径4，因为AB=2．AC=，∠BAC=，所以4+3+PA2=16，所以PA=3．故选：C．11．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数f（x+）是偶函数，下列判断正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的图象关于点（，0）d对称C．函数f（x）的图象关于直线x=﹣对称D．函数f（x）在[，π]上单调递增【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】由题意可求f（x）的周期T，利用周期公式可求ω，函数f（x+）是偶函数，可得+φ=kπ+，k∈Z，又|φ|＜，解得φ，可得解析式f（x）=sin（2x+），利用正弦函数的图象和性质即可判断求解．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，∴函数f（x）的周期T=π，故A错误；∵ω＞0∴ω=2，∴函数f（x+）的解析式为：f（x）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），∵函数f（x+）是偶函数，∴+φ=kπ+，k∈Z，又|φ|＜，解得：φ=．∴f（x）=sin（2x+）．∴由2x+=k π，k ∈Z ，解得对称中心为：（﹣，0），k ∈Z ，故B 错误； 由2x+=k π+，k ∈Z ，解得对称轴是：x=，k ∈Z ，故C 错误；由2k π≤2x+≤2k π+，k ∈Z ，解得单调递增区间为：[k π，k π]，k ∈Z ，故D 正确．故选：D ．12．已知函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx+d ，其图象在点（1，f （1））处的切线斜率为0，若a ＜b ＜c ，且函数f （x ）的单调递增区间为（m ，n ），则n ﹣m 的取值范围是（ ） A ．（1，） B ．（，3） C ．（1，3） D ．（2，3） 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率可得a+b+c=0，由a ＜b ＜c ，可得a ＜0，b ＞0，求出﹣＜＜﹣2，由f ′（1）=0得到方程有一根为1，设出另一根，根据韦达定理可表示出另一根，根据求出的范围求出另一根的范围，令导函数大于0的不等式的解集应该为x 大于另一根小于1，所以n ﹣m 就等于1减另一根，求出1减另一根的范围即可． 【解答】解：f'（x ）=ax 2+bx+c ， 由图象在点（1，f （1））处的切线斜率为0， 得f'（1）=0，即a+b+c=0， 由a ＜b ＜c 知：c ＞0，a ＜0．由a ＜b=﹣a ﹣c ＜c ，得﹣＜＜﹣2，由f'（1）=0知：方程f'（x ）=0即ax 2+bx+c=0的一根为1，设另一根为x 0，则由韦达定理，得x 0=． 由a ＜0，令f'（x ）=ax 2+bx+c ＞0，得x 0＜x ＜1， 则[m ，n]=[x 0，1]，从而n ﹣m=1﹣x 0∈（，3），故选B ．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分 13．已知两点A （1，1），B （5，4），若向量=（x ，4）与垂直，则实数x= ﹣3 ． 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】先求出向量，再由向量垂直的性质能求出实数x ． 【解答】解：∵两点A （1，1），B （5，4），向量=（x ，4）与垂直，∴=（4，3），=4x+12=0，解得x=﹣3． 故答案为：﹣3．14．若函数f （x ）=有两个零点，则实数a 的取值范围是 [2，+∞） ．【考点】函数零点的判定定理．【分析】令ln（1﹣x）=0得x=0，即f（x）在（﹣∞，1）上有1个零点，所以f（x）在[1，+∞）上有1个零点．令2x﹣a=0得a=2x，故a的范围是2x在[1，+∞）上的值域．【解答】解：当x＜1时，令ln（1﹣x）=0得x=0，∴f（x）在（﹣∞，1）上有1个零点，∴f（x）在[1，+∞）上有1个零点．当x≥1时，令2x﹣a=0得a=2x，∴a≥2．故答案为[2，+∞）．15．已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，P为抛物线C上的动点，点Q（0，﹣1），则的最小值为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】过点P作PM垂直于准线，M为垂足，则由抛物线的定义可得|PF|=|PM|，则==sin∠PQM，故当PQ和抛物线相切时，最小．再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得的最小值．【解答】解：由题意可得，焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1．过点P作PM垂直于准线，M为垂足，则由抛物线的定义可得|PF|=|PM|，则==sin∠PQM，∠PQM为锐角．故当∠PQM最小时，最小，故当PQ和抛物线相切时，最小．设切点P（a，），则PQ的斜率为，又（）′=x，即有切线的斜率为a，由=a，解得a=±2，可得P（±2，1），∴|PM|=2，|PQ|==2，即有sin∠PQM===．则最小值为．故答案为：．16．已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1﹣a n =cos ，则a 2016= 0 ．【考点】数列递推式． 【分析】利用a n+1﹣a n =cos，可得a n+6=a n ．即可得出．【解答】解：当n=6k （k ∈N *）时，a n+1﹣a n =a 6k+1﹣a 6k =cos =1，当n=6k ﹣1（k ∈N *）时，a n+1﹣a n =a 6k ﹣a 6k ﹣1=cos =，当n=6k ﹣2（k ∈N *）时，a n+1﹣a n =a 6k ﹣1﹣a 6k ﹣2=cos =﹣，当n=6k ﹣3（k ∈N *）时，a n+1﹣a n =a 6k ﹣2﹣a 6k ﹣3=cos =﹣1，当n=6k ﹣4（k ∈N *）时，a n+1﹣a n =a 6k ﹣3﹣a 6k ﹣4=cos =﹣，当n=6k ﹣5（k ∈N *）时，a n+1﹣a n =a 6k ﹣4﹣a 6k ﹣5=cos=．∴a n+6=a n ．a 6﹣a 1=﹣1，a 6=0． ∴a 2016=a 336×6=a 6=0． 故答案为：0．三.解答题：17．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2acosB=2c ﹣b ． （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若a=2，b+c=4，求△ABC 的面积． 【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】（I ）利用余弦定理即可得出；（II ）利用余弦定理可得bc ，与b+c=4联立解出b ，c ，即可得出．【解答】解：（I ）2acosB=2c ﹣b ，∴=2c ﹣b ，化为：b 2+c 2﹣a 2=bc ．∴cosA==，又A ∈（0，π）， ∴A=．（II ）由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，∴22=（b+c ）2﹣2bc ﹣2bccosA=42﹣2bc （1+），化为bc=4．联立，解得b=c=2．∴△ABC 是等边三角形，∴S △ABC =×22=．18．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2=4，S 5=30，数列{b n }满足b 1+2b 2+…+nb n =a n （Ⅰ）求a n ；（Ⅱ）设c n =b n •b n+1，求数列{c n }的前n 项和T n ． 【考点】数列的求和；等差数列的通项公式． 【分析】（I ）利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出； （II ）利用递推关系与“裂项求和”即可得出． 【解答】解：（I ）设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 2=4，S 5=30，∴，解得a 1=d=2．∴a n =2+2（n ﹣1）=2n ． （II ）∵b 1+2b 2+…+nb n =a n ， ∴当n=1时，b 1=a 1=2；当n ≥2时，b 1+2b 2+…+（n ﹣1）b n ﹣1=a n ﹣1， ∴nb n =a n ﹣a n ﹣1=2， 解得b n =．∴c n =b n •b n+1==4．∴数列{c n }的前n 项和T n =4++…+=4=．19．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，D 是AC 的中点． （Ⅰ）求证：B 1C ∥平面A 1BD ；（Ⅱ）若∠A 1AB=∠ACB=60°，AB=BB 1，AC=2，BC=1，求三棱锥A 1﹣ABD 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）连接AB 1，交A 1B 于点O ，连接DO ，根据线面平行的判定定理即可证明B 1C ∥平面A 1BD ； （2）若∠A 1AB=∠ACB=60°，AB=BB 1，AC=2，BC=1，分别求出三棱锥的底面积和高的大小，根据三棱锥的体积公式即可求三棱锥A 1﹣ABD 的体积． 【解答】（1）连接AB 1，交A 1B 于点O ，连接DO 在△ACB 1中，点D 是AC 的中点，点O 是AB 1的中点 ∴CB 1∥DO ，∵BC 1⊄平面A 1BD ，DO ⊂平面A 1BD ∴BC 1∥平面A 1BD ．（2）取AB 的中点E ，连接A 1E ，ED ， 则ED ∥BC ，且ED=BC==，∵∠A 1AB=60°，AB=BB 1， ∴四边形AA 1B 1B 是菱形，则AE ⊥AB ，∵平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ， ∴AE ⊥平面ABC ，即AE 是三棱锥A 1﹣ABD 的高， ∵∠ACB=60°，AC=2，BC=1，∴AB===，则满足AC 2=BC 2+AB 2， 即△ABC 是直角三角形， 则BC ⊥AB ，即ED ⊥AB ，则△ABD 的面积S △ABD ===，AE=×=则三棱锥A 1﹣ABD 的体积V=S △ABD •AE=×=．20．已知过点A （0，2）的直线l 与椭圆C ：+y 2=1交于P ，Q 两点．（Ⅰ）若直线l 的斜率为k ，求k 的取值范围； （Ⅱ）若以PQ 为直径的圆经过点E （1，0），求直线l 的方程． 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（Ⅰ）由题意设出直线l 的方程，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程后由判别式大于0求得k 的取值范围；（Ⅱ）设出P 、Q 的坐标，利用根与系数的关系得到P 、Q 的横坐标的和与积，结合以PQ 为直径的圆经过点E （1，0），由求得k 值，则直线方程可求． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可设直线l 的方程为y=kx+2，联立，得（1+3k 2）x 2+12kx+9=0，由△=（12k ）2﹣36（1+3k 2）=36k 2﹣36＞0， 解得k ＜﹣1或k ＞1．∴k 的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）； （Ⅱ）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则由（Ⅰ）得：，又E （1，0），∴，由题意可知，=1﹣x 1﹣x 2+x 1x 2+（kx 1+2）（kx 2+2）=（1+k 2）x 1x 2+（2k ﹣1）（x 1+x 2）+5==，解得：k=﹣，满足k ＜﹣1．∴直线l 的方程为y=﹣，即7x+6y ﹣12=0．21．已知函数．（Ⅰ）求f （x ）的最小值；（Ⅱ）若f （x ）≥ax+1恒成立，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）求函数f （x ）的导数f ′（x ），利用导数判断f （x ）在[0，+∞）上单调递增，从而求出f （x ）的最小值； （Ⅱ）【法一】讨论a ≤0以及a ＞0时，对应函数f （x ）的单调性，求出满足f （x ）＜ax+1时a 的取值范围．【法二】根据不等式构造还是h （x ）=e x ﹣x 2﹣x ﹣ax ﹣1，利用导数h ′（x ）判断函数h （x ）的单调性与是否存在零点，从而求出满足f （x ）＜ax+1时a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为函数，所以f ′（x ）=e x ﹣x ﹣1；令g （x ）=e x ﹣x ﹣1，则g ′（x ）=e x ﹣1， 所以当x ＞0时，g ′（x ）＞0； 故g （x ）在[0，+∞）上单调递增，所以当x ＞0时，g （x ）＞g （0）=0，即f ′（x ）＞0， 所以f （x ）在[0，+∞）上单调递增； 故当x=0时f （x ）取得最小值1； （Ⅱ）【法一】（1）当a ≤0时，对于任意的x ≥0，恒有ax+1≤1， 又由（Ⅰ）得f （x ）≥1，故f （x ）≥ax+1恒成立； （2）当a ＞0时，令h （x ）=e x ﹣x 2﹣x ﹣ax ﹣1，则h ′（x ）=e x ﹣x ﹣a ﹣1，由（Ⅰ）知g （x ）=e x ﹣x ﹣1在[0，+∞）上单调递增， 所以h ′（x ）=e x ﹣x ﹣a ﹣1在[0，+∞）上单调递增；又h ′（0）=﹣a ＜0，取x=2，由（Ⅰ）得≥+2+1，h ′（2）=﹣2﹣a ﹣1≥+2+1﹣2﹣a ﹣1=a ＞0，所以函数h ′（x ）存在唯一的零点x 0∈（0，2）， 当x ∈（0，x 0）时，h ′（x ）＜0， h （x ）在[0，x 0）上单调递减；所以当x ∈（0，x 0）时，h （x ）＜h （0）=0，即f （x ）＜ax+1，不符合题意； 综上，a 的取值范围是（﹣∞，0]．【法二】令h （x ）=e x ﹣x 2﹣x ﹣ax ﹣1，则h ′（x ）=e x ﹣x ﹣a ﹣1，由（Ⅰ）知，x ＞0时，e x ﹣x ﹣1＞0；（1）当a ≤0时，h ′（x ）=e x ﹣x ﹣a ﹣1＞0，此时h （x ）在[0，+∞）上单调递增，所以当x ≥0时，h （x ）≥h （0）=0，即e x ﹣x 2﹣x ≥ax+1，即a ≤0时，f （x ）≥ax+1恒成立； （2）当a ＞0时，由（Ⅰ）知g （x ）=e x ﹣x ﹣1在[0，+∞）上单调递增， 所以h ′（x ）=e x ﹣x ﹣a ﹣1＞0在[0，+∞）上单调递增， 所以h ′（x ）在[0，+∞）上至多存在一个零点，如果h ′（x ）在[0，+∞）上存在零点x 0，因为h ′（0）=﹣a ＜0，则x 0＞0，且h ′（x 0）=0， 故当x ∈（0，x 0）时，h ′（x ）＜h ′（x 0）=0， 所以h （x ）在[0，x 0）上单调递减；所以当x ∈（0，x 0）时，h （x ）＜h （0）=0，即f （x ）＜ax+1，不符合题意；如果h ′（x ）在[0，+∞）上不存在零点，则当x ∈（0，+∞）时，恒有h ′（x ）＜0， 所以h （x ）在[0，+∞）上单调递减；则当x ∈（0，+∞）时，h （x ）＜h （0）=0，即f （x ）＜ax+1，不符合题意；综上，a 的取值范围是（﹣∞，0]．选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分. [选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（其中α为参数），曲线C 2：（x ﹣1）2+y 2=1，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程； （Ⅱ）若射线θ=（ρ＞0）与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点，求|AB|．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由sin 2α+cos 2α=1，能求出曲线C 1的普通方程，由x=ρcos θ，y=ρsin θ，能求出曲线C 2的极坐标方程．（Ⅱ）依题意设A （），B （），将（ρ＞0）代入曲线C 1的极坐标方程，求出ρ1=3，将（ρ＞0）代入曲线C 2的极坐标方程求出，由此能求出|AB|．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C 1的参数方程为（其中α为参数），∴曲线C 1的普通方程为x 2+（y ﹣2）2=7．∵曲线C 2：（x ﹣1）2+y 2=1，∴把x=ρcos θ，y=ρsin θ代入（x ﹣1）2+y 2=1，得到曲线C 2的极坐标方程（ρcos θ﹣1）2+（ρsin θ）2=1， 化简，得ρ=2cos θ．（Ⅱ）依题意设A （），B （），∵曲线C 1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsin θ﹣3=0，将（ρ＞0）代入曲线C 1的极坐标方程，得ρ2﹣2ρ﹣3=0，解得ρ1=3，同理，将（ρ＞0）代入曲线C 2的极坐标方程，得，∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|=3﹣．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=|x ﹣a|，a ∈R（Ⅰ）当a=1时，求f （x ）≥|x+1|+1的解集；（Ⅱ）若不等式f （x ）+3x ≤0的解集包含{x|x ≤﹣1}，求a 的取值范围． 【考点】绝对值不等式的解法． 【分析】（Ⅰ）由条件利用绝对值的意义求得绝对值不等式的解集．（Ⅱ）由不等式f（x）+3x≤0，求得x≤﹣，且x≤．分类讨论，根据它的解集包含{x|x≤﹣1}，求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式即 f（x）=|x﹣1|≥|x+1|+1，即|x﹣1|﹣|x+1|≥1．由于|x﹣1|﹣|x+1|表示数轴上的x对应点到1对应点的距离减去它到﹣1对应点的距离，由﹣0.5到1对应点的距离减去它到﹣1对应点的距离正好等于1，故不等式的解集为{x|x≤﹣0.5}．（Ⅱ）不等式f（x）+3x≤0，即|x﹣a|+3x≤0，即|x﹣a|≤﹣3x（x≤0），即 3x≤x﹣a≤﹣3x，求得 x≤﹣，且x≤．当a≥0时，可得它的解集为{x|x≤﹣}；再根据它的解集包含{x|x≤﹣1}，可得﹣≥﹣1，求得a≤2，故有0≤a≤2．当a＜0时，可得它的解集为{x|x≤}；再根据它的解集包含{x|x≤﹣1}，可得≥﹣1，求得a≥﹣4，故有﹣4≤a＜0．综上可得，要求的a的取值范围为[0，2]∪[﹣4，0）=[﹣4，2]．。
2020届福建省高三数学文科上学期11月联考卷附答案详析
2020届福建省高三数学文科上学期11月联考卷注意事项：1.本试题卷共8页，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.4.回答选择题时，选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合2{230}M x x x =--<，{21}N x x =-<<，则()M N =I ðR( )A.[]1,2-B.(]1,1-C.[)3,1D.()3,2-2. 命题120:00<>∃x ,x p ，则命题p 的否定是( )A.12000≥>∃x ,xB.12000≥≤∃x ,xC.021x ,x ∀>≥D.021x ,x ∀≤≥3.下列哪个函数的定义域与函数x x f )51()(=的值域相同( )4.已知,,,∈a b c d R ,则下列命题中必然成立的是 ( )A.若b b,c a >>则c a >B.若d b,c a >>则db c a > C.若22a b ,>则b a >D.若b a ->,则b c a c +-＜5.已知向量()()()3,,1,0,1,2k =-==c b a .若()()c b b a +-∥2,则k 的值为 ( )6.函数x e e x f xxsin )()(⋅+=-的图像大致为( )7.等比数列{}n a 不具有单调性,且5a 是4a 和33a 的等差中项,则数列{}n a 的公比q =( )A.1-B.32-C.1D.328.已知不等式0252>-+x ax 的解集是M .若M ∈2且M ∉3,a 的取值范围是 ( )9.已知cos 2,(0,),tan ,21sin 2πβαβαβ∈=-则αβ-=( )A.2πC.34π D.π 10.在ABC △中,记=u u u r AB a ,=u u u r AC b ,2,AB =ABC=4π∠,AD 是边BC 的高线,O 是线段AD的中点,则AO =u u u r( )A.2B.23C.22D.212.已知数列{n a }的前n 项和为n S ,*2312,2929++=∈-⋅+n n n n a n N ,则使不等式1122019n S -<成立的最小正整数n 的值为 ` ( )A.11B.10C.9D.8二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.已知向量||||2==a b ,若3+=-a b a b ,则2+=a b _____________.14.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+-≥,2,063,2y y y x x 则y x 2z -=的最小值为 .15.已知函数()2cos ([0,])f x x x π=∈的图象与函数()3tan g x x =的图象交于A 、B 两点,则OAB △(O 为坐标原点)的面积为 . 16.设函数2()sin 2019cos sin f x πx x x =--+（）则2)(=x f 在[π，2-π]上的零点个数是 .三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知1,)2x ω=-a,(cos ,cos 2)x x ωω=b )0(>ω,若函数()f x =⋅a b ,()f x 的最小正周期为π.(Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)将函数)(x f 的图象向右平移)20(πϕϕ<<个单位长度后,得到函数)(x g 的图象,若函数)(x g 为偶函数,求函数)(x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡30π，上的值域.18.(12分)已知数列{n a }中,n a ,b n a ,a a n n n n +=-+==+12111. (Ⅰ)求证：数列{n b }是等比数列; (Ⅱ)求数列{n a }的前n 项和n S .19.(12分)ABC △三内角C B A ,,对边分别为c b a ,,,B c C b a sin cos =-.(Ⅰ)求;B(Ⅱ)若2=AC ,求ABC △面积的最大值.20.(12分)已知数列{n a },211=a ,192=a ,其前n 项和n S 满足2211-+n n-n S =+S S (*2≥∈n ,n N ). (Ⅰ)求{n a }的通项公式;(Ⅱ)求数列{n nS }(*∈n N )的最大项.21.(12分) 函数3211()132f x =ax +bx +cx+,)('x f 为)(x f 的导函数.(Ⅰ)2)1('af -=,b c>a>223,用a ,b 表示c ,并证明:当0a>时,334b <<a --;(Ⅱ)若21-=a ,2b=,32c =-,求证:当1≥x 时,ln '()x f x ≥.22.(12分) 已知函数()()R ∈+=a xax x f ln . (Ⅰ)若曲线()x f y =在点()()11f ，处的切线经过坐标原点,求a 的值; (Ⅱ)若()x f 存在极小值()ag ,使不等式()ma a g ≤恒成立,求实数m 的范围.数学(文科)答案详解1.C【解题思路】由2230x x --<得13x -<<,所以{|13}.M x x =-<<又{21}Nx x x =≤-≥或R ð,所以(){13}M N x x =≤<I R ð.故选C. 2.C【解题思路】根据特称命题的否定是全称命题,可知选项C 正确. 故选C. 3.B故选B. 4.D【解题思路】对于选项A.a 与c 的大小关系不确定;对于选项B,取3,1,1,2-=-===d c b a ,满足d c b a ＞＞,,但dbc a >不成立； 对于选项C,取1,2-=-=b a ,满足22a b >，但a b >不成立; 对于选项D,b,a b,a <-->则若则b c a c +-＜,选项D 正确, 故选D. 5.A【解题思路】由题意得()3,42=-b a ,()2,k =+c b .因为())(2c b b a +-∥,所以830k -=解得38=k ,故选A. 6.B【解题思路】因为()()sin()xx f x ee x --=+⋅-＝)(sin )(xf x e e x x -=⋅+--,所以函数)(x f 是奇函数,根据奇函数的图象性质可排除A,D,又因为函数)(x f 的定义域是R ,排除C,故选B. 7.A【解题思路】因为5a 是4a 和33a 的等差中项,所以43532a a a +=,即32411132,a q a q a q +=整理得2230,--=q q 解得1q =-或32q =.因为{}n a 不具有单调性,所以1q =-, 故选A. 8.A【解题思路】由题可知22480132133913099，，，>-⎧∈+>⎧⎧⎪⇒⇒⇒-<≤-⎨⎨⎨∉+≤≤-⎩⎩⎪⎩a M a a M a a ，即⎥⎦⎤ ⎝⎛--∈913,2a ，故选A.9.B【解题思路】因为2222cos 2cos sin cos sin 1tan tan tan()1sin 2cos sin 2sin cos cos sin 1tan 4ββββββπαβββββββββ-++=====+-+---，所以,4παβ=+即4παβ-=，故选B. 10.D【解题思路】由题意易得由得1BD=BC 3u u u r u u u r,则1111111111()()[()]+2223233636==+=+=+-==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r AO AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC a +b ，故选D. 11.C【解题思路】由C c A b B a cos 2cos cos =+结合正弦定理得C C A B B A cos sin 2cos sin cos sin =+,则()C C B A cos sin 2sin =+,由π=++C B A得sin cos C C C =⋅.因为sin 0C ≠,所以cos 2C =,因为()π,0∈C ,所以4π=C .由22=ABC S △,得1||||sin 2CB CA C ⋅=u u ur u u u r因为||CB =u u u r ,所以||4CA =u u u r ,则CA u u u r 在CB u u u r方向上的投影为||cos 4CA π=u u u r 故选C. 12. D【解题思路】因为1212311212122121(23)(23)11129292(23)(23)2(23)(23)22323n n n n n n n n n n n n n a +++++++++++---==⋅=⋅=⋅--⋅+------（）,所以122334*********-2232323232323n n n n S a a a ++=++⋯+=⋅+-+⋯+-------（）2n 2n 31111122323226++=⨯-=----（）,则21-n S =201916213<-+n ,即202523>+n ,因为10112=10242025,220482025,<=>所以113≥+n ,即8n ≥,故使不等式成立的最小正整数n 的值为8，故选D. 13.2【解题思路】由2==a b ,3+=-a b a b 得22(3)()+=-a b a b ,解得4⋅=-a b ,所以22+====a b .14.38-【解题思路】画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示,z 2x y =-即22y z x -=,结合图象可知,目标函数在点B ⎝⎛34,)2处取得最小值 38434min -=-=z . 15.π23 【解题思路】由2cos 3tan x x =,可得22cos 3sin x x =,即22sin 3sin 20x x +-=, 解得1sin 2x =,或sin 2x =-(舍去),结合[0,]x π∈, 可得6π=x 或56x π=，∴A (6π，B 5(6π,画图象如图所示， 根据函数图象的对称性可得AB 的中点(,0)2C π,∴OAB △的面积等于OAC △与OCB △的面积之和,即1111S =O ||||||.222222OAB A B A B C y OC y OC y y π⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅-=⋅⋅=△16.3【解题思路】由题意得211cos 2()sin(2019)cos sin sin cos 22xf x πx x x x x +-=--+=-,πx x x 22)42sin(22222cos 212sin 21221++=++=++令,πx 222)42sin(22=++则,1)42sin(=+πx 所以22()42ππx kx k ,+=+∈Z 即()8=+∈πx k πk Z .令0k =,则],2[8π,ππx -∈=满足条件; 令1k =-,则,π,ππx ]2[87-∈-=满足条件;令2k =-,则,π,ππx ]2[815-∈-=满足条件;令3k=-,则,π,ππx ]2[823-∉-=不满足条件,则()f x =]2[π,π-上的零点个数是3.17.解:(Ⅰ)因为1,)2ωx =-a ,(cos ,cos2)=ωx ωxb ,所以()cos cos sin f x ωx ωx ωx ωx π=⋅=-=-12(2)26a b . （3分）又因为)(x f 的最小正周期为π,所以22ππω=,所以1ω=. （5分） (Ⅱ)由(Ⅰ)知)62sin()(π-=x x f ,其图象向右平移ϕ（02πϕ<<）个单位长度后,得到函数)622sin()(πϕ--=x x g 的图象. （7分）因为函数()g x 为偶函数,所以262k ππϕπ+=+,k ∈Z ,解得26k ππϕ=+,k ∈Z ,又因为)20(πϕ，∈,所以6πϕ=. （8分）所以x x x g 2cos )22sin()(-=-=π.因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈30π，x ,所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3202π，x , 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈1,212cos x ,所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,1)(x g . （10分）18.解:(Ⅰ)证明:因为n,a ,b n a a n n n n +=-+=+121所以,b n a n n a n a b n n n n n 2)(2)1(12)1(11=+=++-+=++=++则.b b nn 21=+（3分）又因为，a b 02111≠=+= (4分）所以数列{n b }是首项为2,公比为2的等比数列. （5分）(Ⅱ)由(Ⅰ)知,b n a nn n 2==+ 所以n,a nn -=2（6分）所以2321(22)(23)(2)nn S n =-+-+-++-L （） （7分） 232222123n n =++++-++++L L （）（） （8分）2)1(21)21(2n n n +---=1(1)222n n n ++=--. （12分） 19.解:(Ⅰ)由正弦定理知A R a sin 2=,B R b sin 2=,C R c sin 2=,其中R 为△ABC 外接圆半径,则2sin 2sin cos 2sin sin R A R B C R C B =+.即B C C B A sin sin cos sin sin +=. （2分） 又∵)(C B A +-=π,C B C B C B C B A sin cos cos sin )sin()](sin[sin +=+=+-=∴π,即B C C B C B C B sin sin cos sin sin cos cos sin +=+, （4分）B C C B sin sin sin cos =∴. 0sin ≠C Θ,∴B B sin cos =. 又∵B 为ABC △的内角, ∴4B π=. （6分）(Ⅱ)解法一:由余弦定理2222cos ba c ac B =+-,即2242cos4a c a π=+-,ac ac ac c a 222422-≥-+=,则)22(2224+=-≤ac ,（9分）当且仅当c a =时取等号，1242sin 21+≤==∆ac B ac S ABC , 故ABC S ∆的最大值为12+. （12分）解法二:由正弦定理,得A A B A b a sin 22sin 222sin sin =⨯==,同理得C c sin 22=, （8分）)43sin(sin 22sin sin 22sin 22sin 2242sin 21A A C A C A B ac S ABC -==⨯⨯==∴∆π=)sin 43cos cos 43(sin sin 22A A A ππ-=)sin cos (sin 22A A A + =A A 2cos 12sin -+ =1)42sin(2+-πA , （11分） 故当242A ππ-=,即83π=A 时, ABC △的面积有最大值为12+. （12分）20.解:(Ⅰ)由已知,2211-+n n-n S =+S S (2n ,n ≥∈N *), 得1n n-1S 2n n S S =S +---(N*,n n ∈≥2), 则12n n a a +-=-(2)n ,n ≥∈N*,且212a a -=-, 满足上式 （3分） ∴数列{n a }是以21为首项,2-为公差的等差数列,∴212(1)232n a =n =n ---(n ∈N *). （5分） (Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)得222)2(2)1(21n n n n n S n-=-⨯-+=,于是2322-n nS n n =. 设23()=22f n n n -(1n ,n ≥∈N *), 则2'()=443f n n n -, 令()0'=n f ,得344=n , ∴()n f 在44[1,)3上单调递增, 在44(,)3+∞上单调递减. ∵n ∈N *，且()()141568,151575f f ==,∴数列{n nS }(n ∈N *)的最大项为1575. （12分） 解法二:由(Ⅰ)得222)2(2)1(21n n n n n S n -=-⨯-+=,于是2322n nS n n =-，设{n nS }(n ∈N *)的最大项为2322-n n ,则有23232323*2222(1)(1),2222(1)(1),,⎧-≥---⎪-≥+-+⎨⎪∈⎩n n n n n n n n n N解得15n =,即数列{n nS }(n ∈N*)的最大项为232215151575⨯-= . （12分）21.证明:(Ⅰ)因为函数3211()1()32f x ax bx cx ,f'x =+++为)(x f 的导函数,则由题得c,bx ax x f'++=2)( （2分） 因为(1)2=-af',所以2；++=-aa b c3;2c a b =--因为b,c a 223>>所以b,b a a 2233>--> 所以.a b433-<<- （6分）(Ⅱ)因为,23,2,21-==-=c b a 所以,23221)('2-+-=x x x f （8分） 令，)1(23221ln )(2≥+-+=x x x x x g 求导可得,)1(21)('2x x x x x g -=-+=所以,0)('≥x g函数)(x g 在[1,)+∞上单调递增,所以,0)1()(=≥g x g所以当1x ≥时，)('ln x f x ≥成立. （12分）22.解:(Ⅰ)因为函数x ax+=x f ln )(的导函数221)(x a x x ax x f'-=-=, （1分）所以曲线)(x y=f 在点))1(,1(f 处切线的斜率()a f k -==11', （2分）又=a f )1(且切线过坐标原点, 所以a a -=--1010, （3分） 解得21a=（4分）(Ⅱ)由(Ⅰ)知2)(x ax x f'-=(x ﹥0).若0≤a ,则0)(＞x f'在)0(∞+，上恒成立,则)(x f 在定义域内单调递增,)(x f 没有极值; （6分） 若0＞a ,当()a x ,0∈时,0)(＜x f';当)(∞+∈a,x 时,0)(＞x f',所以)(x f 在),0(a 上单调递减,在(,)a +∞上单调递增,所以)(x f 在x=a 处取得极小值, 所以)0(1ln )()(＞a a+=a =f a g , （8分）所以不等式()(0)g a ma a ≤＞恒成立等价于1(ln 1)m a+a ≥恒成立, 则max1(ln 1)m a a ⎡⎤≥+⎢⎥⎣⎦. （9分） 设)0)(1(ln 1)(＞a a a a h +=,则2ln )(a aa h'-=, （10分）因为当)10(,a ∈时,0)('h ＞a ，当)1(∞+∈,a 时,0＜h'(a),所以)(a h 在）（10,上单调递增, 在）（∞+,1上单调递减,所以1)1()(max ==h a h , （11分） 所以实数m 的范围是)1[∞+,. （12分）。
2020年福建高考数学试卷
2020年福建高考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A ＝{x |x 2﹣3x ﹣4＜0}，B ＝{﹣4，1，3，5}，则A ∩B ＝（）A ．{﹣4，1}B ．{1，5}C ．{3，5}D ．{1，3}2．（5分）若z ＝1+2i +i 3，则|z |＝（）A ．0B ．1C D ．23．（5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A ．514-B ．512C ．514+D ．5124．（5分）设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）A ．15B ．25C ．12D ．455．（5分）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，20）得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（）A ．y ＝a +bxB ．y ＝a +bx 2C ．y ＝a +be xD ．y ＝a +blnx6．（5分）已知圆x 2+y 2﹣6x ＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．47．（5分）设函数f （x ）＝cos （ωx +6π）在[﹣π，π]的图象大致如图，则f （x ）的最小正周期为（）A ．109πB ．76πC ．43πD ．32π8．（5分）设a log 34＝2，则4﹣a ＝（）A ．116B ．19C ．18D ．169．（5分）执行如图的程序框图，则输出的n ＝（）A ．17B ．19C ．21D ．2310．（5分）设{a n }是等比数列，且a 1+a 2+a 3＝1，a 2+a 3+a 4＝2，则a 6+a 7+a 8＝（）A ．12B ．24C ．30D ．3211．（5分）设F1，F2是双曲线C：2213yx-=的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为（）A．72B．3C．52D．212．（5分）已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为（）A．64πB．48πC．36πD．32π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(福建卷,含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（福建卷，含答案）第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数（2+i）2等于A.3+4iB.5+4iC.3+2iD.5+2i2.已知集合M={1，2，3，4}，N={-2,2}，下列结论成立的是A.N MB.M∪N=MC.M∩N=ND.M∩N={2}3.已知向量a=（x-1,2），b=（2,1），则a⊥b的充要条件是A.x=-12B.x-1C.x=5D.x=04. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可一世A 球B 三棱锥C 正方体D 圆柱5 已知双曲线22xa-25y=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于A 31414B324C32D436 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s值等于A -3B -10C 0D -27.直线x+3y -2=0与圆x 2+y 2=4相交于A,B 两点，则弦AB 的长度等于A. 25 B 23. C. 3 D.1 8.函数f(x)=sin(x-4π)的图像的一条对称轴是 A.x=4π B.x=2π C.x=-4π D.x=-2π 9.设,则f(g(π))的值为A 1B 0C -1D π10.若直线y=2x 上存在点（x ，y ）满足约束条件则实数m 的最大值为 A.-1 B.1 C. 32D.2 11.数列{a n }的通项公式，其前n 项和为S n ，则S 2020等于A.1006B.2020C.503D.012.已知f （x ）=x ³-6x ²+9x-abc ，a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0.现给出如下结论：①f （0）f （1）＞0；②f （0）f （1）＜0；③f （0）f （3）＞0；④f （0）f （3）＜0. 其中正确结论的序号是A.①③B.①④C.②③D.②④第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2020年福建省厦门市高考(文科)数学一模试卷 (解析版)
2020年高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A ＝{﹣1，0，1，2，3}，B ＝{x |x （2x ﹣3）＞0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1} B ．{﹣1，2}C ．{﹣1，2，3}D ．{0，1，2，3}2．复数2i−1的共轭复数是（ ）A ．﹣1+iB ．﹣1﹣iC ．1﹣iD ．1+i3．已知双曲线E ：x 2−y 2k=1的一个焦点是（2，0），则E 的渐近线方程为（ ）A ．y =±√33xB ．y ＝±xC ．y ＝±√2xD ．y ＝±√3x4．通过随机询问100名中学生是否喜欢某电视节目，得到如下列联表：男 女 总计 喜欢 40 30 70 不喜欢 10 20 30 总计5050100已知K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)． 附表：P （K 2≥k 0）0.050 0.010 0.001 k 03.8416.63510.828则以下结论正确的是（ ）A ．有95%的把握认为“喜欢该电视节目与性别有关”B ．有95%的把握认为“喜欢该电视节目与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为喜欢该电视节目与性别有关“”D ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“喜欢该电视节目与性别无关” 5．设x ，y 满足约束条件{x ≤2y ≥1x +y −2≥0，则z ＝x ﹣y 的最大值为（ ）A ．﹣2B ．0C ．1D ．26．已知α为第三象限角，cos α﹣sin α=−√105，则cos2α＝（ ）A．−45B．−35C．35D．457．我国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童．现有一个长、宽、高分别为5、3、3的长方体，将上底面绕着上、下底面中心连线（对称轴）旋转90度，得到一个刍童（如图），则该刍童的外接球的表面积为（）A．43π4B．25π2C．43πD．50π8．将函数y＝sin2x+√3cos2x（x∈R）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度后，所得到的一个偶函数的图象，则φ的最小值是（）A．π12B．π6C．π3D．5π69．函数f（x）=e x−ln|x|x的部分图象大致为（）A．B．C．D．10．如图，边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△DCF 分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A，则线段A1B的长为（）A．√2B．2√33C．1D．√6311．若关于x的不等式e ax＞x3在区间[√e，e2]内有解，则实数a的取值范围是（）A．(32√e，+∞)B．(1e，+∞)C．(6e2，+∞)D．(3e，+∞)12．已知△ABC是边长为2√3的正三角形，EF为该三角形内切圆的一条弦，且EF=√3．若点P 在△ABC 的三边上运动，则PE →•PF →的最大值为（ ） A ．52B ．112C ．132D ．172二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=（2，1），b →=（x ，4），若a →⊥b →，则x 的值为 ．14．若曲线y ＝ax 3+3x在点（1，a +3）处的切线与直线x +y +3＝0平行，则a 的值为 ． 15．已知倾斜角为π4的直线经过椭圆E 的左焦点，以E 的长轴为直径的圆与l 交于A ，B 两点，若弦长AB 等于E 的焦距，椭圆E 的离心率为 ．16．如图，某景区有景点A ，B ，C ，D ．经测量得，BC ＝6km ，∠ABC ＝120°，sin ∠BAC =√2114，∠ACD ＝60°，CD ＝AC ，则AD ＝ km ，现计划从景点B 处起始建造一条栈道BM ，并在M 处修建观景台．为获得最佳观景效果，要求观景台对景点A 、D 的视角∠AMD ＝120°．为了节约修建成本，栈道BM 长度的最小值为 km ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在数列{a n }中，a 2＝5，且1，a n ，a n +1成等差数列． （1）求证：数列{a n ﹣1}是等比数列；（2）设{a n }前n 项和为S n ．求使得log 2S n ＜10成立的n 的最大值．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知动圆E 过点F （0，1），且与直线m ：y ＝﹣1相切．动圆圆心E 的轨迹记为C ． （1）求轨迹C 的方程；（2）过点F 作斜率为k （k ＞0）的直线l 交C 于A ，B 两点，使得|AB |＝8，点Q 在m 上，且满足QA →⋅QB →=1，求△QAB 的面积．19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，△PAD 为等边三角形，点E ，F 分别为PA ，CD 的中点．（1）求证：EF∥平面PBC；（2）已知平面PAD⊥平面ABCD，过E，F，C三点的平面将四棱锥P﹣ABCD分成两部分，求这两部分体积的比．20．某批库存零件在外包装上标有从到N的连续自然数序号，总数N未知，工作人员随机抽取了n个零件，它们的序号从小到大依次为：x1，x2，…，x n．现有两种方法对零件总数N进行估计．方法一：用样本的数字特征估计总体的数字特征，可以认为样本零件序号的中位数与总体序号的中位数近似相等，进而可以得到N的估计值．方法二：因为零件包装上的序号是连续的，所以抽出零件的序号x1，x2，…，x n相当于从区间[0，N+1]中随机抽取n个整数，这n个整数将区间[0，N+1]分为（n+1）个小区间：（0，x1），（x1，x2），…，（x n，N+1）．由于这n个数是随机抽取的，所以前n个区间的平均长度x nn与所有（n+1）个区间的平均长度N+1n+1近似相等，进而可以得到N的估计值．现工作人员随机抽取了31个零件，序号从小到大依次为：83、135、274、380、668、895、955、964、1113、1174、1210、1344、1387、1414、1502、1546、1689、1756、1865、1874、1880、1936、2005、2006、2065、2157、2220、2224、2396、2543、2791．（1）请用上述两种方法分别估计这批零件的总数．（结果四舍五入保留整数）（2）将第（1）问方法二估计的总数N作为这批零件的总数，从中随机抽取100个零件测量其内径y（单位：mm），绘制出频率分布直方图（如图）．已知标准零件的内径为200mm，将这100个零件的内径落入各组的频率视为这批零件内径分布的概率．其中内径长度最接近标准的720个零件为优等品，请求出优等品的内径范围（结果四舍五入保留整数）．21．已知函数f（x）＝ax2﹣cos x．（1）当a=12时，求函数f（x）的极值点；（2）若f（x）在区间（−3π2，3π2）内有且仅有4个零点的充要条件为a∈（N，M），求证：M﹣N＜√28．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x＝﹣2，曲线C的方程为（x﹣1）2+y2＝1，动点P到原点O的距离与到l的距离相等．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C的极坐标方程和P点轨迹的极坐标方程；（2）若Q是曲线C上一点，且OP→=4OQ→，求|OP|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+|x+b|+|x+c|．（1）若a，b，c＞0，f（0）＝1，证明：ab+bc+ac≤1 3；（2）若a＝b＝l，对于任意的x∈（﹣∞，﹣1），f（x）≥4恒成立，求c的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{﹣1，0，1，2，3}，B ＝{x |x （2x ﹣3）＞0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1}B ．{﹣1，2}C ．{﹣1，2，3}D ．{0，1，2，3}【分析】求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ． 解：∵集合A ＝{﹣1，0，1，2，3}， B ＝{x |x （2x ﹣3）＞0}＝{x |x ＞32或x ＜0}， ∴A ∩B ＝{﹣1，2，3}． 故选：C ．【点评】本题考查一元二次不等式的解法、集合的运算，考查运算求解能力以及化归与转化思想． 2．复数2i−1的共轭复数是（ ）A ．﹣1+iB ．﹣1﹣iC ．1﹣iD ．1+i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案． 解：∵2i−1=2(−1−i)(−1+i)(−1−i)=−1−i ，∴复数2i−1的共轭复数是﹣1+i ．故选：A ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3．已知双曲线E ：x 2−y 2k=1的一个焦点是（2，0），则E 的渐近线方程为（ ）A ．y =±√33xB ．y ＝±xC ．y ＝±√2xD ．y ＝±√3x【分析】由双曲线的方程结合焦点坐标求得k ，进一步求得虚半轴长，则渐近线方程可求．解：由双曲线E ：x 2−y 2k =1的一个焦点是（2，0），得c =√a 2+b 2=√1+k =2，得k ＝3． 即b 2＝k ＝3，则b =√3，又a ＝1，∴E 的渐近线方程为y =±√3x ． 故选：D ．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查渐近线方程的求法，注意隐含条件的应用，是基础题．4．通过随机询问100名中学生是否喜欢某电视节目，得到如下列联表：男 女 总计 喜欢 40 30 70 不喜欢 10 20 30 总计5050100已知K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)． 附表：P （K 2≥k 0）0.050 0.010 0.001 k 03.8416.63510.828则以下结论正确的是（ ）A ．有95%的把握认为“喜欢该电视节目与性别有关”B ．有95%的把握认为“喜欢该电视节目与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为喜欢该电视节目与性别有关“”D ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“喜欢该电视节目与性别无关” 【分析】计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论． 解：K 的观测值：K 2=100×(40×20−30×10)250×50×70×30=10021≈4.761，由于4.761＞3.841，∴有95%的把握认为休闲方式与性别是有关的，即在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“喜欢该电视节目与性别无关”， 故选：A ．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．5．设x ，y 满足约束条件{x ≤2y ≥1x +y −2≥0，则z ＝x ﹣y 的最大值为（ ）A ．﹣2B ．0C ．1D ．2【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义进行求解即可． 解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z ＝x ﹣y ，得y ＝x ﹣z 表示，斜率为1纵截距为﹣z 的一组平行直线， 平移直线y ＝x ﹣z ，当直线经过点A 时，直线y ＝x ﹣z 截距最小，z 最大． 由{x =2y =1解得A （2，1）时，此时z max ＝2﹣1＝1． 故选：C ．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用z 的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．6．已知α为第三象限角，cos α﹣sin α=−√105，则cos2α＝（ ）A ．−45B ．−35C ．35D ．45【分析】将已知等式两边平方可得2sin αcos α的值，由α为第三象限角可得cos α+sin α＜0，进而利用同角三角函数基本关系式可求cos α+sin α的值，根据二倍角的余弦函数公式即可求解cos2α的值．解：∵cos α﹣sin α=−√105，∴两边平方可得1﹣2sin αcos α=25，解得2sin αcos α=35， ∵α为第三象限角，cos α＜0，sin α＜0，可得cos α+sin α＜0，∴cos α+sin α=−√(cosα+sinα)2=−√1+2sinαcosα=−√1+35=−2√105，∴cos2α＝（cos α+sin α）（cos α﹣sin α）＝（−2√105）×（−√105）=45．故选：D ．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．7．我国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童．现有一个长、宽、高分别为5、3、3的长方体，将上底面绕着上、下底面中心连线（对称轴）旋转90度，得到一个刍童（如图），则该刍童的外接球的表面积为（ ）A ．43π4B ．25π2C ．43πD ．50π【分析】由题意可得：上、下底面中心连接所得线段的中点为该刍童的外接球的球心，设该刍童的外接球的半径为R ，利用勾股定理可得R 2，进而得出表面积． 解：由题意可得：上、下底面中心连接所得线段的中点为该刍童的外接球的球心，设该刍童的外接球的半径为R ，则R 2=(√52+322)2+(32)2=434．∴该刍童的外接球的表面积＝4πR 2＝43π． 故选：C ．【点评】本题考查了长方体的性质、勾股定理、球的表面积，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．将函数y ＝sin2x +√3cos2x （x ∈R ）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度后，所得到的一个偶函数的图象，则φ的最小值是（ ） A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π6【分析】将y ＝f （x ）＝sin2x +√3cos2x 化为f （x ）＝2sin （2x +π3），再利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换，结合题意，可求得φ的最小值． 解：∵y ＝f （x ）＝sin2x +√3cos2x ＝2（12sin2x +√32cos2x ）＝2sin （2x +π3），将函数y ＝sin2x +√3cos2x （x ∈R ）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度得到f （x +φ）＝2sin （2x +2φ+π3）， ∵f （x +φ）为偶函数， ∴2φ+π3=k π+π2，k ∈Z ， ∴φ=kπ2+π12，k ∈Z ， 又φ＞0， ∴φmin =π12． 故选：A ．【点评】本题考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换，考查正弦函数的对称性，突出考查正弦函数与余弦函数的转化，属于中档题． 9．函数f （x ）=e x −ln|x|x 的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【分析】分析可知，函数在（﹣e ，﹣1）上存在零点，且x →0﹣，f （x ）→﹣∞，由此可得出正确选项． 解：当x ＜0时，f （x ）=e x −ln(−x)x ， 当x ＝﹣1，f （﹣1）=e−1−ln1−1=−1e＜0，当x ＝﹣e ，f （﹣e ）=e −e −1−e＞0，即当﹣e ＜x ＜﹣1时，函数存在零点，排除B ，D ， 且x →0﹣，f （x ）→﹣∞，可排除A ． 故选：C ．【点评】本题考查利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题． 10．如图，边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，将△AED ，△DCF分别沿DE ，DF 折起，使A ，C 两点重合于点A ，则线段A 1B 的长为（ ）A ．√2B ．2√33C ．1D ．√63【分析】在平面图形中，连接BD 交EF 于O ，则BD ⊥EF ，由已知求解cos ∠A 1OD ，得到cos ∠A 1OB ，再由余弦定理求线段A 1B 的长． 解：如图，在平面图形中，连接BD 交EF 于O ，则BD ⊥EF ，∵E ，F 分别是AB ，BC 的中点，∴EF =√2，则A 1O ＝BO =√22．∴DO =32√2．在△A 1OD 中，由余弦定理可得：cos ∠A 1OD =(√22)2+(3√22)2−222×√22×3√22=13， 则cos ∠A 1OB =−13．在△A 1OB 中，A 1B =√(√22)2+(√22)2−2×√22×√22×(−13)=2√33．故选：B ．【点评】本题考查空间中点、线、面间的距离计算，训练了余弦定理的应用，是中档题． 11．若关于x 的不等式e ax ＞x 3在区间[√e ，e 2]内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(32√e，+∞) B ．(1e，+∞)C ．(6e 2，+∞)D ．(3e，+∞)【分析】对不等式e ax ＞x 3两边同时取自然对数得ax ＞3lnx ，分离变量a 可得a ＞3lnx x ，x ∈[√e ，e 2]，设f(x)=3lnx x，x ∈[√e ，e 2]，利用导数求出函数f （x ）的单调性，进而得到其最小值，由此求得a 的取值范围．解：依题意，对不等式e ax ＞x 3两边同时取自然对数得，ax ＞3lnx ，即a ＞3lnxx，x ∈[√e ，e2]，设f(x)=3lnxx，x∈[√e，e2]，则f′(x)=3−3lnxx2=3(1−lnx)x2，∴当x∈[√e，e)时，f′（x）＞0，f（x）在[√e，e)上单调递增，当x∈[e，e2]时，f′（x）＜0，f（x）在[e，e2）上单调递减，又f(√e)=2e f(e)=3e，f(e2)=6e2，且3e2√e＞6e2∴要使不等式e ax＞x3在区间[√e，e2]内有解，即不等式a＞3lnxx，x∈[√e，e2]成立，则a＞6e2．故选：C．【点评】本题考查不等式有解问题的处理策略，通过分离变量，转化为研究函数的最值问题是解决本题的关键，考查转化思想及计算能力，属于中档题．12．已知△ABC是边长为2√3的正三角形，EF为该三角形内切圆的一条弦，且EF=√3．若点P在△ABC的三边上运动，则PE→•PF→的最大值为（）A．52B．112C．132D．172【分析】建立适当的平面直角坐标系，由边长及EF的值可得A，B，C，E，F的坐标，设P的坐标，求出数量积PE→•PF→的表达式，由三角形的对称性由P在线段OB，BC上运动时求出PE→•PF→的最大值．解：建立以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴，则C在y轴上，设内切圆D，由题意可得A（−√3，0），B（√3，0），C（0，3），设EF在圆心D的下方，且平行于AB，设内切圆的半径为r，则由面积相等可得3×2√3×r＝2√3×3，所以r＝1，所以D（0，1），因为EF=√3，所以圆心D到EF的距离为√12−(32)2=12，所以可得E（−√32，12），F（√32，12），设P（x，y），则PE→⋅PF→=（−√32−x，12−y）•（√32−x，12−y）＝x2−34+（y−12）2，如图所示，由对称性可得，P在线段OB上时，y＝0，x∈[0，√3]，这时PE →⋅PF →=x 2−34+14=x 2−12≤3−12=52，这时PE →⋅PF →的最大值为52；当P 在线段BC 上时，因为直线BC 的方程√3+y 3=1，即y =−√3x +3，x ∈[0，√3]，所以PE →⋅PF →=x 2−34+（−√3x +3−12）2＝4x 2﹣5√3x +112=4（x −5√38）2+1316，x ∈[0，√3]， 令f （x ）＝4x 2﹣5√3x +112，x ∈[0，√3]，先减后增， 而5√38−0＞√3−5√38所以f （0）＞f （√3），而f （0）=112， 所以f （x ）的最大值为112，故选：B ．【点评】本题考查建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示PE →•PF →的表达式，及二次函数的单调性可得数量积的最大值．属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=（2，1），b →=（x ，4），若a →⊥b →，则x 的值为 ﹣2 ．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出x 的值． 解：∵向量a →=（2，1），b →=（x ，4），若a →⊥b →，则 a →⋅b →=2x +4＝0，求得x ＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查两个向量垂直的坐标运算，两个向量的数量积公式，属于基础题．14．若曲线y ＝ax 3+3x在点（1，a +3）处的切线与直线x +y +3＝0平行，则a 的值为23．【分析】先求出曲线对应函数的导数，然后求出切点处的函数值、导数值，列出方程组求解即可．解：由已知得y′=3ax 2−3x 2，且在点（1，a +3）处的切线与直线x +y +3＝0平行， ∴y |x ＝1＝3a ﹣3＝﹣1，∴a =23． 故答案为：23．【点评】本题考查导数的几何意义，利用切点满足的条件列方程（组）是基本思路．属于基础题．15．已知倾斜角为π4的直线经过椭圆E 的左焦点，以E 的长轴为直径的圆与l 交于A ，B 两点，若弦长AB 等于E 的焦距，椭圆E 的离心率为 √63．【分析】设直线l 的方程为y ＝x +c ，圆的方程为x 2+y 2＝a 2，利用几何法、点到直线的距离公式求出弦长|AB |，建立a 与c 的等量关系式，化简后即可得解． 解：设直线l 的方程为y ＝x +c ，圆的方程为x 2+y 2＝a 2， 则圆心到直线l 的距离d =|c|2=c 2， ∴弦长|AB |=2√a 2−d 2=2√a 2−c 22，∵弦长AB 等于E 的焦距，∴2√a 2−c 22=2c ，化简得a 2=32c 2，∴离心率e =c a =√63．故答案为：√63．【点评】本题考查圆与椭圆中的简单计算，包含点到直线的距离公式、弦长、离心率等知识点，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．16．如图，某景区有景点A，B，C，D．经测量得，BC＝6km，∠ABC＝120°，sin∠BAC=√2114，∠ACD＝60°，CD＝AC，则AD＝6√7km，现计划从景点B处起始建造一条栈道BM，并在M处修建观景台．为获得最佳观景效果，要求观景台对景点A、D的视角∠AMD＝120°．为了节约修建成本，栈道BM长度的最小值为10√3−2√21km．【分析】在△ABC中，直接由正弦定理求解AD的长度；以B为坐标原点，以BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，求出M点的轨迹，可知M点在圆x2+(y−10√3)2= 84的一段圆弧上，再由圆心到B点的距离减去半径求得栈道BM长度的最小值．解：在△ABC中，BC＝6，∠ABC＝120°，sin∠BAC=√2114，由正弦定理可得：BCsin∠BAC =ACsin∠ABC，即√2114=√32，解得：AC=6√7．在△ACD中，由∠ACD＝60°，CD＝AC，得△ACD为等边三角形，可得AD＝AC=6√7km；以B为坐标原点，以BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，由sin∠BAC=√2114，得cos∠BAC=5√714，∴sin∠ACB＝sin（120°+∠BAC）＝sin120°cos∠BAC+cos120°sin∠BAC=√32×5√714−12×√2114=√217，cos∠ACB=√1−sin2∠ACB=2√77．在△ABC中，由正弦定理可得：ABsin∠ACB=6√7sin120°，解得AB＝12．∴A 点的坐标为（﹣6，6√3）．sin ∠DCx ＝sin （60°+∠ACB ）＝sin60°cos ∠ACB +cos60°sin ∠ACB=√32×2√77+12×√217=3√2114，则cos ∠DCx =√1−sin 2∠DCx =√714．∴D 点坐标为（9，9√3）．设M （x ，y ），则k MA =y−6√3x+6，k MD =y−9√3x−9．∵∠AMB ＝120°，∴由到角公式可得：tan120°=y−6√3x+6−y−9√3x−91+y−63x+6⋅y−93x−9=−√3．整理得：x 2+(y −10√3)2=84．∴M 点在圆x 2+(y −10√3)2=84的一段圆弧上． 圆心为（0，10√3），半径为2√21．则BM 长度的最小值为√02+(10√3)2−2√21=10√3−2√21． 故答案为：6√7；10√3−2√21．【点评】本题考查三角形的解法，考查数学转化思想方法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，属难题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在数列{a n }中，a 2＝5，且1，a n ，a n +1成等差数列． （1）求证：数列{a n ﹣1}是等比数列；（2）设{a n }前n 项和为S n ．求使得log 2S n ＜10成立的n 的最大值．【分析】（1）由1，a n ，a n +1成等差数列⇒2a n ＝1+a n +1，进而证明数列{a n ﹣1}是等比数列；（2）先求出a n ，再求S n ，最后求解不等式，得出结果．解：（1）证明：∵1，a n ，a n +1成等差数列，∴2a n ＝1+a n +1，∴a n +1﹣1＝2（a n ﹣1）．又a 2＝5⇒a 1＝3，∴a 1﹣1＝2≠0，a n+1−1a n −1=2，∴{a n ﹣1}是首项、公比均是2的等比数列；（2）解：由（1）得：a n ﹣1＝2n ，即a n ＝2n +1，∴S n ＝（2+22+23+ (2)）+n =2(1−2n)1−2+n ＝2n +1+n ﹣2，且S n 在n ∈N *上单调递增；∵S 8＜210，S 9＞210，∴满足log 2S n ＜10的n 的最大值为8． 【点评】本题主要考查等比数列的证明及数列求和，属于基础题．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知动圆E 过点F （0，1），且与直线m ：y ＝﹣1相切．动圆圆心E 的轨迹记为C ． （1）求轨迹C 的方程；（2）过点F 作斜率为k （k ＞0）的直线l 交C 于A ，B 两点，使得|AB |＝8，点Q 在m 上，且满足QA →⋅QB →=1，求△QAB 的面积．【分析】（1）设E （x ，y ），由题设知动圆圆心E 的轨迹是抛物线，由此得出轨迹方程； （2）先设直线l ：y ＝kx +1，再与动圆圆心E 的轨迹方程联立整理出韦达定理，进而求得|AB |，设Q （x 0，﹣1），找出x 0满足的关系式，最后求出△QAB 的面积．解：（1）设E （x ，y ），由题设条件知：动圆圆心E 的轨迹是以F （0，1）为焦点，以直线m ：y ＝﹣1为准线的抛物线，其轨迹方程为：x 2＝4y ；（2）设直线l ：y ＝kx +1（k ＞0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{y =kx +1x 2=4y 联立可得x 2﹣4kx ﹣4＝0．∴x 1+x 2＝4k ，x 1x 2＝﹣4，∴|AB |=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4（1+k 2），∵|AB |＝8，∴k 2＝1．设Q （x 0，﹣1），∵QA →⋅QB →=1，∴（x 1﹣x 0）（x 2﹣x 0）+（y 1+1）（y 2+1）＝1，∵y 1＝kx 1+1，y 2＝kx 2+1，∴整理得：x 02﹣4kx 0+4k 2＝0，解得x 0＝2k ．又点Q 到直线l 的距离d =0√1+k=2√1+k 2=2√2，∴S △ABQ =12|AB |•d ＝8√2．【点评】本题主要考查抛物线的定义及圆锥曲线的面积问题，属于基础题．19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，△PAD 为等边三角形，点E ，F 分别为PA ，CD 的中点． （1）求证：EF ∥平面PBC ；（2）已知平面PAD ⊥平面ABCD ，过E ，F ，C 三点的平面将四棱锥P ﹣ABCD 分成两部分，求这两部分体积的比．【分析】（1）取AB的中点G，连接EG，FG，分别证明EG∥平面PBC，FG∥平面PBC，可得平面EFG∥平面PBC，进一步得到EF∥平面PBC；（2）取H为PB的中点，则平面CDEH为过E，F，C三点的平面与四棱锥的截面，分别求出四棱锥P﹣ABCD与P﹣CDEH的体积，作差得到多面体ABCDEH的体积，作比得答案．【解答】（1）证明：取AB的中点G，连接EG，FG，又E为PA的中点，则EG∥PB，∵EG⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，∴EG∥平面PBC，由F为CD中点，则BG∥FC，BG∥FC，四边形BCFG为平行四边形，得FG∥BC，∵FG⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴FG∥平面PBC，又EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面PBC，得EF∥平面PBC；（2）解：取H为PB的中点，则平面CDEH为过E，F，C三点的平面与四棱锥的截面．∵底面ABCD是边长为2的正方形，△PAD为等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，∴四棱锥P﹣ABCD的高为√3，由已知可得PA⊥平面CDEH，则PE为四棱锥P﹣CDEH 的高，等于1．V P−ABCD=13×2×2×√3=4√33，V P−CDEH=13×12(1+2)×√3×1=√32，则多面体ABCDEH的体积为4√33−√32=5√36．∴上半部分与下半部分的体积比为√325√36=35．【点评】本题考查平面与平面平行的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．20．某批库存零件在外包装上标有从到N的连续自然数序号，总数N未知，工作人员随机抽取了n个零件，它们的序号从小到大依次为：x1，x2，…，x n．现有两种方法对零件总数N进行估计．方法一：用样本的数字特征估计总体的数字特征，可以认为样本零件序号的中位数与总体序号的中位数近似相等，进而可以得到N的估计值．方法二：因为零件包装上的序号是连续的，所以抽出零件的序号x1，x2，…，x n相当于从区间[0，N+1]中随机抽取n个整数，这n个整数将区间[0，N+1]分为（n+1）个小区间：（0，x1），（x1，x2），…，（x n，N+1）．由于这n个数是随机抽取的，所以前n个区间的平均长度x nn与所有（n+1）个区间的平均长度N+1n+1近似相等，进而可以得到N的估计值．现工作人员随机抽取了31个零件，序号从小到大依次为：83、135、274、380、668、895、955、964、1113、1174、1210、1344、1387、1414、1502、1546、1689、1756、1865、1874、1880、1936、2005、2006、2065、2157、2220、2224、2396、2543、2791．（1）请用上述两种方法分别估计这批零件的总数．（结果四舍五入保留整数）（2）将第（1）问方法二估计的总数N作为这批零件的总数，从中随机抽取100个零件测量其内径y（单位：mm），绘制出频率分布直方图（如图）．已知标准零件的内径为200mm，将这100个零件的内径落入各组的频率视为这批零件内径分布的概率．其中内径长度最接近标准的720个零件为优等品，请求出优等品的内径范围（结果四舍五入保留整数）．【分析】（1）分别利用方法一，方法二进行计算得出N ；（2）先求出优等品的频率，再由频率分布直方图算出m ，得出优等品的范围即可． 解：（1）方法一 31个零件序号的中位数为1546，所有零件序号的中位数为N+12，依题意得1546=N+12，解得N ＝3091． 方法二 抽取的31个零件将[0，N+1]划分为32个区间，平均长度为N+132，前31个区间的平均长度为279131，依题意得N+132=279131，解得N ≈2880．（2）抽取的720件优等品占总数的7202880=14，依题意得P （200﹣m ≤y ≤200+m ）=14由频率分布直方图可知：P （190≤y ≤210）＝（0.029+0.041）x 10＝0.7＞0.25，故0＜m ＜10．则P （200﹣m ≤y ≤200+m ）＝（m ×0.029+m ×0.041）x 10＝0.25， 解得m ＝3．故优等品的范围为197≤y ≤203【点评】本题考查了抽样方法的应用问题，频率分布直方图，解题时应根据题中给出的抽样方法进行计算，是道综合题． 21．已知函数f （x ）＝ax 2﹣cos x ．（1）当a =12时，求函数f （x ）的极值点； （2）若f （x ）在区间（−3π2，3π2）内有且仅有4个零点的充要条件为a ∈（N ，M ），求证：M ﹣N ＜√28．【分析】（1）将a =12代入，可得f ′（x ）＝x +sin x ，f ''（x ）＝1+cos x ≥0，则y ＝f ′（x ）在R 上单调递增，又f ′（0）＝0，则易得函数f （x ）的单调性情况，进而求得极值点； （2）依题意，f （x ）＝0等价于a =cosx x 2，x ∈(−3π2，0)∪(0，3π2)，令h(x)=cosx x 2，求导可知h （x ）在（0，x 0）单调递减，在(x 0，3π2)单调递增，而y ＝h （x ）为偶函数，故只需函数y ＝h （x ）与y ＝a 在(0，3π2)上有两个交点，由M =h(3π2)=0，N =h(x 0)，接下来估计N ＝h （x 0）的范围，可得N ＞−√28，由此即可得证．解：（1）∵a =12， ∴f(x)=12x 2−cosx ，∴f ′（x ）＝x +sin x ，f ''（x ）＝1+cos x ≥0， ∴y ＝f ′（x ）在R 上单调递增， 又f ′（0）＝0，∴当x ∈（﹣∞，0）时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，当x ∈（0，+∞）时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，∴x ＝0是函数f （x ）的极小值点，无极大值点；（2）证明：当x ＝0时，f （x ）≠0，故f （x ）＝0等价于a =cosx x 2，x ∈(−3π2，0)∪(0，3π2)， 令h(x)=cosx x 2，则h′(x)=−x 2sinx−2xcosx x 4=−xsinx+2cosxx 3， ①当x ∈(0，π2)时，h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减，当x →0时，h （x ）→+∞，h(π2)=0， ②当x ∈(π2，π)时，令φ（x ）＝x sin x +2cos x ，则φ′（x ）＝x cos x ﹣sin x ＜0，φ（x ）单调递减，又φ(π2)=π2＞0，φ(π)=−2＜0，故存在x 0∈(π2，π)，使得φ（x 0）＝0，且当x ∈(π2，x 0)时，φ（x ）＞0，h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减，当x ∈（x 0，π）时，φ（x ）＜0，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增； ③当x ∈(π，3π2)时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增； 综上y ＝h （x ）在（0，x 0）单调递减，在(x 0，3π2)单调递增， 由于y ＝h （x ）为偶函数，只需函数y ＝h （x ）与y ＝a 在(0，3π2)上有两个交点， ∵h （0）→+∞，h(π2)=0，h(x 0)＜0，h(3π2)=0，∴M=h(3π2)=0，N=h(x0)，以下估计N＝h（x0）的范围：∵φ(3π4)=√22×(3π4−2)＞0，φ(5π6)=5π12−√3＜0，∴x0∈(3π4，5π6)，又h(x0)=cosx0x0，−√32＜cosx0＜−√22，x02＞(3π4)2＞8116＞5，∴N+√28=cosx0x0+√28=8cosx0+√2x028x02＞8×(−√32)+√2×58x02＞0，∴N＞−√28，∴M−N=−N＜√28，结论得证．【点评】本题考查函数的单调性，导数及其应用，不等式等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等，属于较难题目．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x＝﹣2，曲线C的方程为（x﹣1）2+y2＝1，动点P到原点O的距离与到l的距离相等．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C的极坐标方程和P点轨迹的极坐标方程；（2）若Q是曲线C上一点，且OP→=4OQ→，求|OP|．【分析】（1）由ρ2＝x2+y2，ρcosθ＝x，可得曲线C的极坐标方程；当P在y轴右侧时，过P作x轴的垂线，垂足为M，作y轴的垂线，垂足为N，设l与x轴的交点为R，由解直角三角形和两点的距离公式可得P的轨迹方程；（2）设P（ρ1，θ），Q（ρ2，θ），分别代入P，Q的极坐标方程，结合向量共线定理可得所求值．解：（1）由（x﹣1）2+y2＝1，可得x2+y2﹣2x＝0，由ρ2＝x2+y2，ρcosθ＝x，可得ρ＝2cosθ，即为C的极坐标方程；当P在y轴右侧时，过P作x轴的垂线，垂足为M，作y轴的垂线，垂足为N，设l与x轴的交点为R，因为P到原点的距离与到l的距离相等，所以|OP|＝|PN|＝|MR|＝|OR|+|OM|，在直角三角形OPM中，|OM|＝|OP|cosθ＝ρcosθ，所以ρ＝2+ρcosθ，由θ≠0，所以ρ=21−cosθ，当P在y轴或y轴的左侧时，满足ρ=21−cosθ，综上可得，P的轨迹方程为ρ=21−cosθ．（2）设P（ρ1，θ），Q（ρ2，θ），由OP→=4OQ→，可得ρ1＝4ρ2，又ρ1=21−cosθ，ρ2＝2cosθ，所以21−cosθ=8cosθ，解得cosθ=12，所以|OP|=21−12=4．【点评】本题考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想和化归转化思想，属于中档题．一、选择题23．已知函数f（x）＝|x+a|+|x+b|+|x+c|．（1）若a，b，c＞0，f（0）＝1，证明：ab+bc+ac≤1 3；（2）若a＝b＝l，对于任意的x∈（﹣∞，﹣1），f（x）≥4恒成立，求c的取值范围．【分析】（1）依题意，a+b+c＝1，而（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，再利用基本不等式即可证得ab+bc+ac≤1 3；（2）将a＝b＝1代入得，f（x）＝2|x+1|+|x+c|，依题意，f（﹣1）＝|﹣1+c|≥4，解得c ≤﹣3或c≥5，再分c≤﹣3和c≥5两种情况求出函数f（x）的最小值，由此即可求得c的取值范围．解：（1）证明：由已知得，f（0）＝|a|+|b|+|c|＝a+b+c＝1，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=12[(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)]+2ab+2bc+2ac≥12(2ab+2bc+2ac)+2ab+2bc+2ac=3ab+3bc+3ac，当且仅当a ＝b＝c时取等号，∴ab+bc+ac≤1 3；（2）当a＝b＝1时，f（x）＝2|x+1|+|x+c|，∵对任意的x∈（﹣∞，﹣1]，f（x）≥4恒成立，∴f（﹣1）＝|﹣1+c|≥4，解得c≤﹣3或c≥5，①当c≤﹣3时，f（x）＝2|x+1|+|x+c|＝﹣（3x+c+2）在（﹣∞，﹣1]上为减函数，∴f（x）min＝f（﹣1）＝1﹣c≥4，即c≤﹣3；②当c≥5时，f(x)=2|x+1|+|x+c|={−x−2+c，−c＜x≤−1−(3x+c+2)，x≤−c在（﹣∞，﹣1]上为减函数，∴f（x）min＝f（﹣1）＝c﹣1≥4，即c≥5，综上所述，c≤﹣3或c≥5．【点评】本题考查基本不等式的运用以及不等式的恒成立问题，考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于中档题．。
2020年高考全国3卷文科数学及答案
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共23题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤，，则AB =A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,22．若(1i)2i z +=，则z = A ．1i --B ．1+i -C ．1i -D ．1+i3．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A ．16B ．14C ．13D ．124．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0．5 B ．0．6 C ．0．7 D ．0．8 5．函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为A ．2B ．3C ．4D ．5 6．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3= A ． 16 B ． 8 C ．4 D ． 2 7．已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．a=e ，b =-1 B ．a=e ，b =1 C ．a=e -1，b =1 D ．a=e -1，1b =-8．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则 A ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是相交直线 B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 C ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是异面直线 D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线9．执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于A ．4122-B ．5122-C ．6122-D ．7122-10．已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为 A ．32B ．52C ．72D ．9211．记不等式组6,20x y x y +⎧⎨-≥⎩表示的平面区域为D ．命题:(,),29p x y D x y ∃∈+；命题:(,),212q x y D x y ∀∈+．下面给出了四个命题①p q ∨②p q ⌝∨③p q ∧⌝ ④p q ⌝∧⌝ 这四个命题中，所有真命题的编号是 A ．①③ B ．①②C ．②③D ．③④12．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-） B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314） D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年福建省厦门市高考数学一模试卷(文科)(含答案解析)
2020年福建省厦门市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合0，1，2，，，则A. B. C. 2， D. 1，2，2.复数的共轭复数是A. B. C. D.3.已知双曲线E：的一个焦点是，则E的渐近线方程为A. B. C. D.4.通过随机询问100名中学生是否喜欢某电视节目，得到如下列联表：男女总计喜欢403070不喜欢102030总计5050100已知．附表：则以下结论正确的是A. 有的把握认为“喜欢该电视节目与性别有关”B. 有的把握认为“喜欢该电视节目与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为喜欢该电视节目与性别有关“”D. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“喜欢该电视节目与性别无关”5.设x，y满足约束条件，则的最大值为A. B. 0 C. 1 D. 26.已知为第三象限角，，则A. B. C. D.7.我国古代九章算术将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童．现有一个长、宽、高分别为5、3、3的长方体，将上底面绕着上、下底面中心连线对称轴旋转90度，得到一个刍童如图，则该刍童的外接球的表面积为A. B. C. D.8.将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的一个偶函数的图象，则的最小值是A. B. C. D.9.函数的部分图象大致为A. B.C. D.10.如图，边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将，分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A，则线段的长为A. B. C. 1 D.11.若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是A. B. C. D.12.已知是边长为的正三角形，EF为该三角形内切圆的一条弦，且若点P在的三边上运动，则的最大值为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，若，则x的值为______．14.若曲线在点处的切线与直线平行，则a的值为______．15.已知倾斜角为的直线经过椭圆E的左焦点，以E的长轴为直径的圆与l交于A，B两点，若弦长AB等于E的焦距，椭圆E的离心率为______．16.如图，某景区有景点A，B，C，经测量得，，，，，，则______km，现计划从景点B处起始建造一条栈道BM，并在M处修建观景台．为获得最佳观景效果，要求观景台对景点A、D的视角为了节约修建成本，栈道BM长度的最小值为______km．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在数列中，，且1，，成等差数列．求证：数列是等比数列；设前n项和为求使得成立的n的最大值．18.在平面直角坐标系xOy中，已知动圆E过点，且与直线m：相切．动圆圆心E的轨迹记为C．求轨迹C的方程；过点F作斜率为的直线l交C于A，B两点，使得，点Q在m上，且满足，求的面积．19.如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，为等边三角形，点E，F分别为PA，CD的中点．求证：平面PBC；已知平面平面ABCD，过E，F，C三点的平面将四棱锥分成两部分，求这两部分体积的比．20.某批库存零件在外包装上标有从到N的连续自然数序号，总数N未知，工作人员随机抽取了n个零件，它们的序号从小到大依次为：，，，现有两种方法对零件总数N进行估计．方法一：用样本的数字特征估计总体的数字特征，可以认为样本零件序号的中位数与总体序号的中位数近似相等，进而可以得到N的估计值．方法二：因为零件包装上的序号是连续的，所以抽出零件的序号，，，相当于从区间中随机抽取n个整数，这n个整数将区间分为个小区间：，，，由于这n个数是随机抽取的，所以前n个区间的平均长度与所有个区间的平均长度近似相等，进而可以得到N的估计值．现工作人员随机抽取了31个零件，序号从小到大依次为：83、135、274、380、668、895、955、964、1113、1174、1210、1344、1387、1414、1502、1546、1689、1756、1865、1874、1880、1936、2005、2006、2065、2157、2220、2224、2396、2543、2791．请用上述两种方法分别估计这批零件的总数．结果四舍五入保留整数将第问方法二估计的总数N作为这批零件的总数，从中随机抽取100个零件测量其内径单位：，绘制出频率分布直方图如图已知标准零件的内径为200mm，将这100个零件的内径落入各组的频率视为这批零件内径分布的概率．其中内径长度最接近标准的720个零件为优等品，请求出优等品的内径范围结果四舍五入保留整数．21.已知函数．当时，求函数的极值点；若在区间内有且仅有4个零点的充要条件为，求证：．22.在直角坐标系xOy中，直线l的方程为，曲线C的方程为，动点P到原点O的距离与到l的距离相等．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求C的极坐标方程和P点轨迹的极坐标方程；若Q是曲线C上一点，且，求．23.已知函数．若a，b，，，证明：；若，对于任意的，恒成立，求c的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合0，1，2，，或，2，．故选：C．求出集合A，B，由此能求出．本题考查一元二次不等式的解法、集合的运算，考查运算求解能力以及化归与转化思想．2.答案：A解析：解：，复数的共轭复数是．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：D解析：解：由双曲线E：的一个焦点是，得，得．即，则，又，的渐近线方程为．故选：D．由双曲线的方程结合焦点坐标求得k，进一步求得虚半轴长，则渐近线方程可求．本题考查双曲线的简单性质，考查渐近线方程的求法，注意隐含条件的应用，是基础题．4.答案：A解析：解：K的观测值：，由于，有的把握认为休闲方式与性别是有关的，即在犯错误的概率不超过的前提下，认为“喜欢该电视节目与性别无关”，故选：A．计算K的观测值，对照题目中的表格，得出统计结论．本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．5.答案：C解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由，得表示，斜率为1纵截距为的一组平行直线，平移直线，当直线经过点A时，直线截距最小，z最大．由解得时，此时．故选：C．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．6.答案：D解析：解：，两边平方可得，解得，为第三象限角，，，可得，，．故选：D．将已知等式两边平方可得的值，由为第三象限角可得，进而利用同角三角函数基本关系式可求的值，根据二倍角的余弦函数公式即可求解的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．7.答案：C解析：解：由题意可得：上、下底面中心连接所得线段的中点为该刍童的外接球的球心，设该刍童的外接球的半径为R，则．该刍童的外接球的表面积．故选：C．由题意可得：上、下底面中心连接所得线段的中点为该刍童的外接球的球心，设该刍童的外接球的半径为R，利用勾股定理可得，进而得出表面积．本题考查了长方体的性质、勾股定理、球的表面积，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：A解析：解：，将函数的图象向左平移个单位长度得到，为偶函数，，，，，又，．故选：A．将化为，再利用函数的图象变换，结合题意，可求得的最小值．本题考查函数的图象变换，考查正弦函数的对称性，突出考查正弦函数与余弦函数的转化，属于中档题．9.答案：C解析：解：当时，，当，，当，，即当时，函数存在零点，排除B，D，且，，可排除A．故选：C．分析可知，函数在上存在零点，且，，由此可得出正确选项．本题考查利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．10.答案：B解析：解：如图，在平面图形中，连接BD交EF于O，则，，F分别是AB，BC的中点，，则．．在中，由余弦定理可得：，则．在中，．故选：B．在平面图形中，连接BD交EF于O，则，由已知求解，得到，再由余弦定理求线段的长．本题考查空间中点、线、面间的距离计算，训练了余弦定理的应用，是中档题．11.答案：C解析：解：依题意，对不等式两边同时取自然对数得，，即，设，则，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，又，且要使不等式在区间内有解，即不等式成立，则．故选：C．对不等式两边同时取自然对数得，分离变量a可得，设，利用导数求出函数的单调性，进而得到其最小值，由此求得a的取值范围．本题考查不等式有解问题的处理策略，通过分离变量，转化为研究函数的最值问题是解决本题的关键，考查转化思想及计算能力，属于中档题．12.答案：B解析：解：建立以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴，则C在y轴上，设内切圆D，由题意可得，，，设EF在圆心D的下方，且平行于AB，设内切圆的半径为r，则由面积相等可得，所以，所以，因为，所以圆心D到EF的距离为，所以可得，，设，则，如图所示，由对称性可得，P在线段OB上时，，，这时，这时的最大值为；当P在线段BC上时，因为直线BC的方程，即，，所以，，令，，先减后增，而所以，而，所以的最大值为，故选：B．建立适当的平面直角坐标系，由边长及EF的值可得A，B，C，E，F的坐标，设P的坐标，求出数量积的表达式，由三角形的对称性由P在线段OB，BC上运动时求出的最大值．本题考查建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示的表达式，及二次函数的单调性可得数量积的最大值．属于中档题．13.答案：解析：解：向量，，若，则，求得，故答案为：．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出x的值．本题主要考查两个向量垂直的坐标运算，两个向量的数量积公式，属于基础题．14.答案：解析：解：由已知得，且在点处的切线与直线平行，，．故答案为：．先求出曲线对应函数的导数，然后求出切点处的函数值、导数值，列出方程组求解即可．本题考查导数的几何意义，利用切点满足的条件列方程组是基本思路．属于基础题．15.答案：解析：解：设直线l的方程为，圆的方程为，则圆心到直线l的距离，弦长，弦长AB等于E的焦距，，化简得，离心率．故答案为：．设直线l的方程为，圆的方程为，利用几何法、点到直线的距离公式求出弦长，建立a与c的等量关系式，化简后即可得解．本题考查圆与椭圆中的简单计算，包含点到直线的距离公式、弦长、离心率等知识点，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．16.答案：解析：解：在中，，，，由正弦定理可得：，即，解得：．在中，由，，得为等边三角形，可得；以B为坐标原点，以BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，由，得，，．在中，由正弦定理可得：，解得．点的坐标为，则．点坐标为设，则，．，由到角公式可得：．整理得：．点在圆的一段圆弧上．圆心为，半径为．则BM长度的最小值为．故答案为：；．在中，直接由正弦定理求解AD的长度；以B为坐标原点，以BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，求出M点的轨迹，可知M点在圆的一段圆弧上，再由圆心到B 点的距离减去半径求得栈道BM长度的最小值．本题考查三角形的解法，考查数学转化思想方法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，属难题．17.答案：解：证明：，，成等差数列，，又，，，是首项、公比均是2的等比数列；解：由得：，即，，且在上单调递增；，，满足的n的最大值为8．解析：由1，，成等差数列，进而证明数列是等比数列；先求出，再求，最后求解不等式，得出结果．本题主要考查等比数列的证明及数列求和，属于基础题．18.答案：解：设，由题设条件知：动圆圆心E的轨迹是以为焦点，以直线m：为准线的抛物线，其轨迹方程为：；设直线l：，，，由联立可得．，，，，．设，，，，，整理得：，解得又点Q到直线l的距离，．解析：设，由题设知动圆圆心E的轨迹是抛物线，由此得出轨迹方程；先设直线l：，再与动圆圆心E的轨迹方程联立整理出韦达定理，进而求得，设，找出满足的关系式，最后求出的面积．本题主要考查抛物线的定义及圆锥曲线的面积问题，属于基础题．19.答案：证明：取AB的中点G，连接EG，FG，又E为PA的中点，则，平面PBC，平面PBC，平面PBC，由F为CD中点，则，，四边形BCFG为平行四边形，得，平面PBC，平面PBC，平面PBC，又，平面平面PBC，得平面PBC；解：取H为PB的中点，则平面CDEH为过E，F，C三点的平面与四棱锥的截面．底面ABCD是边长为2的正方形，为等边三角形，且平面平面ABCD，四棱锥的高为，由已知可得平面CDEH，则PE为四棱锥的高，等于1．，，则多面体ABCDEH的体积为．上半部分与下半部分的体积比为．解析：取AB的中点G，连接EG，FG，分别证明平面PBC，平面PBC，可得平面平面PBC，进一步得到平面PBC；取H为PB的中点，则平面CDEH为过E，F，C三点的平面与四棱锥的截面，分别求出四棱锥与的体积，作差得到多面体ABCDEH的体积，作比得答案．本题考查平面与平面平行的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．20.答案：解：方法一 31个零件序号的中位数为1546，所有零件序号的中位数为，依题意得，解得．方法二抽取的31个零件将划分为32个区间，平均长度为，前31个区间的平均长度为，依题意得，解得．抽取的720件优等品占总数的，依题意得由频率分布直方图可知：，故．则，解得故优等品的范围为解析：分别利用方法一，方法二进行计算得出N；先求出优等品的频率，再由频率分布直方图算出m，得出优等品的范围即可．本题考查了抽样方法的应用问题，频率分布直方图，解题时应根据题中给出的抽样方法进行计算，是道综合题．21.答案：解：，，，，在R上单调递增，又，当时，，单调递减，当时，，单调递增，是函数的极小值点，无极大值点；证明：当时，，故等价于，，令，则，当时，，单调递减，当时，，，当时，令，则，单调递减，又，故存在，使得，且当时，，，单调递减，当时，，，单调递增；当时，，单调递增；综上在单调递减，在单调递增，由于为偶函数，只需函数与在上有两个交点，，，，，以下估计的范围：，，，又，，，，，结论得证．解析：将代入，可得，，则在R上单调递增，又，则易得函数的单调性情况，进而求得极值点；依题意，等价于，，令，求导可知在单调递减，在单调递增，而为偶函数，故只需函数与在上有两个交点，由，接下来估计的范围，可得，由此即可得证．本题考查函数的单调性，导数及其应用，不等式等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等，属于较难题目．22.答案：解：由，可得，由，，可得，即为C的极坐标方程；当P在y轴右侧时，过P作x轴的垂线，垂足为M，作y轴的垂线，垂足为N，设l与x轴的交点为R，因为P到原点的距离与到l的距离相等，所以，在直角三角形OPM中，，所以，由，所以，当P在y轴或y轴的左侧时，满足，综上可得，P的轨迹方程为．设，，由，可得，又，，所以，解得，所以．解析：由，，可得曲线C的极坐标方程；当P在y轴右侧时，过P作x 轴的垂线，垂足为M，作y轴的垂线，垂足为N，设l与x轴的交点为R，由解直角三角形和两点的距离公式可得P的轨迹方程；设，，分别代入P，Q的极坐标方程，结合向量共线定理可得所求值．本题考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想和化归转化思想，属于中档题．23.答案：解：证明：由已知得，，，当且仅当时取等号，；当时，，对任意的，恒成立，，解得或，当时，在上为减函数，，即；当时，在上为减函数，，即，综上所述，或．解析：依题意，，而，再利用基本不等式即可证得；将代入得，，依题意，，解得或，再分和两种情况求出函数的最小值，由此即可求得c的取值范围．本题考查基本不等式的运用以及不等式的恒成立问题，考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于中档题．。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(福建卷,解析版)(1)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（福建卷，解析版）本试卷第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1至3页，第II 卷4至6页。
满分150分。
注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II 卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 参考公式：样本数据x1,x2.…，xn 的标准差222121--...-n s x x x x x x n⎡⎤=++⎣⎦（）（）（），其中x 为样本平均数柱体体积公式V=Sh 其中S 为底面面积，h 为高；锥体公式V=13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高球的表面积、体积公式S=4πR 2，V=43πR 3，其中R 为球的半径 第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。
2. i 是虚数单位1+i 3等于A.iB.-iC.1+iD.1-i【答案】D【解析】因为311i i +=-，故选D.【解析】221,10,123;310,3211;1110a a a a a a =<=+==<=+==>,所以输出11a =,选B.6.若关于x 的方程x 2+m x+1=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 A. (-1,1) B. (-2,2)C. (-∞，-2) ∪（2，+∞）D.（-∞，-1）∪（1，+∞） 【答案】C【解析】因为方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实数根，所以240m ∆=->,解得2m >或2m <-,选C.【解析】因为α∈（0， 2π），且2sin α+1cos 24α=，所以2sin α+221cos sin 4αα-=, 即21cos 4α=,所以cos α=12或12-(舍去),所以3πα=,即tan 3α=,选D.10. 若a>0, b>0, 且函数f(x)=4x 3-ax 2-2bx+2在1x =处有极值，则ab 的最大值等于A. 2B. 3C. 6D. 9 【答案】D【解析】2'()1222f x x ax b =--,所以()f x 在1x =处有极值,所以'(1)12220f a b =--=,即6a b +=,又0,0a b >>,所以2a b ab +≥,即26ab ,所以9ab ≤,当且仅当3a b ==时等号成立,所以ab 的最大值为9,选D.对于②,-3=-5+2,被5除应余2,所以②错;对于③,任意一整数x ,被5除余数为0,1,2,3,4,所以[][][][][]01234x ∈⋃⋃⋃⋃,所以③正确;对于④，先证充分性,因为,a b 是同一类,可设125,5,a n k b n k =+=+则5,,a b n n Z -=∈即5a n b =+,n Z ∈.不妨令5,b m k =+m Z ∈,则55a n m k =++,m Z ∈,n Z ∈,所以,a b 属于同一类,故④正确,则正确的有①③④.第II 卷（非选择题 共90分）注意事项：用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文(福建卷,含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文（福建卷，含答案）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}{}|0.|3A x x B x x =>=<，则AB 等于A ．{|0}x x <B {|03}x x <<C {|4}x x >D R2. 下列函数中，与函数1y x=有相同定义域的是 A ()ln f x x = B 1()f x x=C ()||f x x =D ()x f x e = 3．一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表 组别(0,10](20,20] (20,30) (30,40) (40,50] (50,60] (60,70] 频数1213241516137则样本数据落在(10,40)上的频率为A. 0.13B. 0.39C. 0.52D. 0.644. 若双曲线()222213x y a o a -=>的离心率为2，则a 等于A. 2B. 3C.32D. 1 5. 如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12。
则该集合体的俯视图可以是6. 阅读图6所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是A ．-1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知锐角ABC ∆的面积为33，4,3BC CA ==，则角C 的大小为A. 75°B. 60° B. 45° D.30°8. 定义在R 上的偶函数()f x 的部分图像如右图所示，则在()2,0- 上，下列函数中与()f x 的单调性不同的是 A ．21y x =+ B. ||1y x =+C. 321,01,0x x y x x +≥⎧=⎨+<⎩D ．,,0xx e x oy e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩9.在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（α为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为A. -5B. 1C. 2D. 310. 设,m n 是平面α内的两条不同直线；12,l l 是平面β内的两条相交直线，则//αβ的一个充分而不必要条件是A. 1////m l βα且B. 12////m l l 且nC. ////m n ββ且D. 2////m n l β且 11.若函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是A. ()41f x x =-B. ()2(1)f x x =-C. ()1xf x e =- D. ()12f x In x ⎛⎫=-⎪⎝⎭12.设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线， a ⊥c ∣a ∣=∣c ∣,则∣b • c ∣的值一定等于A ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积B 以b ，c 为两边的三角形面积C ．a ，b 为两边的三角形面积D 以b ，c 为邻边的平行四边形的面积第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。
2020年福建省福州市福清市高考数学一模试卷(文科)(有解析)
2020年福建省福州市福清市高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|1≤x≤3}，B={x|y=ln(x−2)}，则A∩B等于()A. {x|2≤x<3}B. {x|2<x≤3}C. {x|1≤x<2}D. {x|1≤x≤2}2.已知复数z=|1−i|i2017(其中i为虚数单位)，则z.的虚部为()A. −1B. −iC. √2iD. −√23.已知圆C：x2+y2−4x=0，直线l：x+my−3=0，则()A. l与C相交B. l与C相切C. l与C相离D. 以上三个选项均有可能4.执行如右图所示的程序框图，则输出S的值为()A. −lg9B. −1C. −lg11D. 15.现将甲、乙、丙、丁四个人安排到座位号分别是1，2，3，4的四个座位上，他们分别有以下要求，甲：我不坐座位号为1和2的座位；乙：我不坐座位号为1和4的座位；丙：我的要求和乙一样；丁：如果乙不坐座位号为2的座位，我就不坐座位号为1的座位．那么坐在座位号为3的座位上的是A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁6.如图，网格纸上小正方形的边长为1(单位mm).粗实线画出的是某种零件的三视图，则该零件的体积(单位：mm 3)为()A. 108+24πB. 72+16πC. 96+48πD. 96+24π7.函数f(x)=cosx⋅sin(e x−1e x+1)的图象大致为()A. B.C. D.8.已知sin(π3−x)=35，则cos(x+π6)=()A. 35B. 45C. −35D. −459.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是()A. B.C. D.10.已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点M为棱DD1的中点，则平面ACM截该正方体的内切球所得截面面积为()A. π3B. 2π3C. πD. 4π311.函数f(x)=|2x−1|−m有两个零点，则m的取值范围是()A. (0,+∞)B. (0,1)C. (0,1]D. (1,+∞)12. 设抛物线x 2=4y 的准线与双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线相交于A ，B 两点，若|AB|=1，则双曲线C 的离心率是( )A. √5B. √52C. √17D. √172二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120∘，且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2.若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数λ的值为__________．14. 已知实数x ，y 满足约束条件{x −y ≥0,x +y ≤2,y ≥0．，则z =|3x −4y −12|的最小值等于______．15. 如图，在边长为3的正方形内有一半径为1的圆，随机地向正方形内丢一粒豆子，则它落在圆内的概率为______．16. 在△ABC 中，已知A =2B ，cosC =0，则a ︰b ︰c =________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知某校甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数分别为36，24，12.现采用分层抽样的方法从中抽取6人，进行睡眠质量的调查．(Ⅰ)应从甲、乙、丙三个兴趣小组的学生中分别抽取多少人？(Ⅱ)现从6人中随机抽取2人做进一步的身体检查，求抽取的2人来自同一兴趣小组的概率．18. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1=1，S n+1=S n +2a n +5．(1)证明：{a n +5}是等比数列；(2)若S n +5n >128，求n 的最小值．19.在三棱柱ABC−A1B1C1中，面BB1C1C是边长为2的正方形，点A1在平面BB1C1C上的射影H是BC1的中点，且A1H=√3，G是CC1的中点．(1)求证：BB1⊥A1G；(2)求C到平面A1B1C1的距离．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，点P在椭圆上，且PF⊥x轴，|PF|=12，椭圆C的离心率为√32．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)若P1P2是椭圆上不同的两点，P1P2⊥x轴，圆E过F，P1，P2三点，且椭圆上任意一点都不在圆E内，求圆E的方程．21. 已知函数f(x)=14x 2−4x +ln(x +14)(x ∈(−14,4])，求f(x)在(−14,4]上的最大值．22. [选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为{x =2t y =12+√3t (t 为参数)，曲线C 1：{x =2sinφy =2(1+cosφ)(φ为参数)． (1)求直线l 及曲线C 1的极坐标方程；(2)若曲线C 2：θ=π3(ρ∈R)与直线l 和曲线C 1分别交于异于原点的A ，B 两点，求|AB|的值．23. 已知函数f(x)=|2x −2|−|x −2|，g(x)=x +1．(1)求不等式f(x)<g(x)的解集；(2)设a<−1，当x∈(2a,−1+a]时，f(x)≥g(x)成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵B={x|y=ln(x−2)}={x|x−2>0}={x|x>2}，∴A∩B={x|2<x≤3}，故选：B根据集合的交集运算进行求解．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.答案：D解析：解：∵i4=1，∴i2017=(i4)504⋅i=i．∴z=|1−i|i2017=√2i.∴z.=−√2i的虚部为−√2．故选：D．利用复数的周期性、模的计算公式、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的周期性、模的计算公式、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：A解析：根据已知求出圆心到直线的距离d，再根据d与r的大小关系即可判断直线与圆的位置关系．本题考查点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．解：圆C：x2+y2−4x=0可化为(x−2)2+y2=4．∴圆心C(2,0)，半径r=2．∴圆心到直线l：x+my−3=0的距离为d=√1+m2=√1+m2≤1．∴d<r．∴直线l与圆C相交．故选：A．4.答案：B解析：解：S=lg12+lg23+lg34+⋯+lg910的值．由于S=lg12+lg23+lg34+⋯+lg910=(lg1−lg2)+(lg2−lg3)+(lg3−lg4)+⋯+(lg9−lg10)=lg1−lg10=−1，故选：B．本题考查模拟框图的运用.明确循环体执行的是数列求和是关键．5.答案：C解析：本题考查推理与证明，合情推理，属于基础题．解：根据条件得知甲坐3号或4号座位，乙坐2号或3号座位，丙坐2号或3号座位，推理丁坐1号座位，乙坐2号座位．综合以上得知甲坐4号座位，乙坐2号座位，丙坐3号座位，丁坐1号座位．故选C．6.答案：A解析：由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的为一个圆柱和一个四棱柱．解析：解：几何体是由上方一个圆柱下方一个正四棱柱组成，一个是底面半径为2高为6，一个是底面边长为6，高为3，底面半径为2高为6圆柱体积为π×22×6=24π，底面边长为6，高为3的四棱柱的体积为：6×6×3=108，故组合体的表面积V=108+24π，故选A7.答案：C解析：本题考查了函数的奇偶性，函数图象的判断，属于基础题．先得到函数为奇函数，即图象关于原点对称，结合特殊值，利用排除法即可得解． 解：由e x +1≠0可知函数的定义域是R ，任取x ∈R ，f(−x)=cos(−x)⋅sin (e −x −1e −x +1)=cosxsin (1−e x 1+e x ) =−cosxsin(e x −1e x +1)=−f(x)，∴函数f(x)为奇函数，即图象关于原点对称，排除A ，B ．若0<x <1，则cosx >0，又0<e x −1e x +1<1，则sin (e x −1e x +1)>0，故f(x)>0，故排除D ．故选C ．8.答案：A解析：解：∵π3−x +x +π6=π2，∴cos(x +π6)=sin(π3−x)=35．故选A ．利用诱导公式，可得cos(x +π6)=sin(π3−x)，即可得出结论．本题考查诱导公式，考查学生的计算能力，属于基础题． 9.答案：C解析：本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换，属于简单题．横坐标伸长到原来的2倍得到y =sin 12x ，再由左加右减即可得解．解：将函数y =sinx 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象对应的解析式为y=sin12x，再将所得图象向左平移π3个单位，则所得函数图象对应的解析式为y=sin[12(x+π3)]=sin(12x+π6)，故选C．10.答案：A解析：本题考查正方体的外接球与截面面积的求法，考查计算能力，空间想象能力，中档题．设圆心到截面距离为d，截面半径为r，由V O−ACM=V M−AOC，求出d，再利用d2+r2=1，求出r，代入求出结果．解：设圆心到截面距离为d，截面半径为r，由V O−ACM=V M−AOC，即13⋅S△AMC⋅d=13⋅S△AOC⋅√2=13⋅12⋅2√2⋅1⋅√2=13⋅2，∴d=2S△ACM，S△ACM=12⋅2√2⋅√3=√6，故d=6d2+r2=1，∴r2=13，所以截面的面积为πr2=π3，故选：A．11.答案：B解析：本题考查函数的零点与方程根的关系，属于基础题．函数f(x)=|2x−1|−m有两个零点，即函数y=|2x−1|与y=m有两个交点，作图求解即可．解：函数f(x)=|2x−1|−m有两个零点，即函数y=|2x−1|与y=m有两个交点，作出y=|2x−1|与y=m的图如下：由图可知m 的取值范围(0,1)．故选B ．12.答案：A解析：解：抛物线x 2=4y 的准线方程为y =−1，∵双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±b a x ， ∴x =±a b， ∵|AB|=1，∴2a b =1， ∴b a =2，∴e =c a =√1+(b a )2=√5． 故选：A ．利用抛物线x 2=4y 的准线方程为y =−1，双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±b a x ，求出x =±a b ，根据|AB|=1，可得b a=2，即可求出双曲线C 的离心率． 本题考查抛物线、双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13.答案：712解析：∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴(λAB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即(λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(λ−1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0.∵向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120∘，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，∴(λ−1)|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos120∘−9λ+4=0，解得λ=712．14.答案：6解析：解：实数x ，y 满足约束条件{x −y ≥0,x +y ≤2,y ≥0．表示的平面区域，如图所示的阴影部分：由z =|3x −4y −12|的几何意义是可行域内的点与直线3x −4y −12=0距离的5倍，由可行域可知，B 到直线3x −4y −12=0的距离最小，得B(2,0)，则|3x −4y −12|的最小值为：|3×2−4×0−12|=6．故答案为：6．作出不等式组表示的平面区域，由目标函数的几何意义，结合图象可求z 的最小值．本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z 的几何意义． 15.答案：π9 解析：解：在边长为3的正方形内有一半径为1的圆，随机地向正方形内丢一粒豆子，则它落在圆内的概率为圆的面积与正方形的面积比为π×1232=π9； 故答案为：π9．利用几何概型的几何意义，豆子落在圆的概率为圆与正方形的面积比．本题考查了几何概型的应用，关键是明确豆子落在圆内的概率为圆与正方形的面积比． 16.答案：√3:1:2解析：本题主要考查正弦定理，属基础题.根据正弦定理可知a:b:c =sinA:sinB:sinC ，从而得答案． 解：∵cosC =0，0<C <π，∴C =π2，又A =2B ，A +B +C =π，所以B =π6，A =π3，∴sinA =√32，sinB =12，sinC =1， 由正弦定理可知：a:b:c =sinA:sinB:sinC ，∴a:b:c =√3:1:2，故答案为√3:1:2．17.答案：解：(Ⅰ)某校甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数分别为36，24，12．现采用分层抽样的方法从中抽取6人，进行睡眠质量的调查．应从甲兴趣小组的学生中抽取：6×3636+24+12=3人，从乙兴趣小组的学生中抽取：6×2436+24+12=2人，从丙兴趣小组的学生中抽取：6×1236+24+12=1人． (Ⅱ)现从6人中随机抽取2人做进一步的身体检查，基本事件总数，n =15抽取的2人来自同一兴趣小组包含的基本事件个数m =4，∴抽取的2人来自同一兴趣小组的概率解析：本题考查概率的求法，考查分层抽样、古典概型，是基础题．(Ⅰ)利用分层抽样的的性质直接求解．(Ⅱ)现从6人中随机抽取2人做进一步的身体检查，基本事件总数n =15，抽取的2人来自同一兴趣小组包含的基本事件个数m =4，由此能求出抽取的2人来自同一兴趣小组的概率．18.答案：解：(1)因为S n+1=S n +2a n +5，所以a n+1=2a n +5，则a n+1+5=2(a n +5)，所以a n+1+5a n +5=2a n +10a n +5=2，而a 1+5=6，所以{a n +5}是以6为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)得a n +5=6×2n−1=3×2n ，a n =3×2n −5，∴S n =3×(2+22+23+⋯+2n )−5n=3×2×(1−2n )1−2−5n =6×2n −6−5n ，由S n+5n=6×2n−6>128，得2n>673，因为25>673>24，所以S n+5n>128时，n的最小值为5．解析：本题考查数列的递推关系式以及数列求和，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．(1)利用已知条件推出a n+1=2a n+5，然后证明{a n+5}是等比数列；(2)求出数列的通项公式和数列的前n项和，然后化简不等式求解即可．19.答案：证明：(1)如图连接GH，∵点A1在平面BB1C1C上的射影H，∴A1H⊥平面BB1C1C，∵BB1BC⊂平面BB1C1C，∴A1H⊥BB1，∵H是BC1的中点，G是CC1的中点，∴HG//BC，由∠B1BC=90°知，BB1⊥B C，∴BB1⊥HG∵A1H∩HG=H，∴BB1⊥平面A1HG，∴BB1⊥A1G；解：(2)取B1C1的中点E，连接HE、A1E，由∠BB1C1=90°得，HE⊥B1C1，∵A1H⊥平面BB1C1C，∴A1H⊥B1C1，∵A1H∩HE=H，∴B1C1⊥平面A1HE，∴B1C1⊥A1E，∵H是BC1的中点，E是B1C1的中点，∴HE//BB1，且HE=1，在△A1HE中，A1E=√A1H2+HE2=2，∴S△A1B1C1=12⋅B1C1AB⋅A1EBC=12×2×2=2，设C到平面A1B1C1的距离为h，由V A1−B1C1C =V A V C−A1B1C1得，1 3×A1E×S△B1C1C=13×ℎ×S△A1B1C1，则13×√3×12×2×2=13×ℎ×2，解得ℎ=√3，∴C到平面A1B1C1的距离是√3．解析：(1)连接GH ，由已知得A 1H ⊥平面BB 1C 1C ，可得A 1H ⊥BB 1，由中位线和条件得BB 1⊥HG ，由线面垂直的判定定理可证结论成立；(2)取B 1C 1的中点E ，连接HE 、A 1E ，由题意和线面垂直的判定定理、定义得B 1C 1⊥A 1E ，求出△A 1B 1C 1的面积，由等体积法求出C 到平面A 1B 1C 1的距离．本题考查空间位置关系及三棱锥的体积，考查线面垂直的判定定理、定义，及等体积法的应用，属中档题．20.答案：解：(Ⅰ)设F(c,0)，令x =c ，代入椭圆方程，可得y 2=b 2(1−c 2a 2)，解得y =±b 2a ，由题意可得，b 2a =12，c a =√32，a 2−b 2=c 2，解得a =2，b =1，c =√3．∴椭圆方程是x 24+y 2=1；(Ⅱ)由椭圆的对称性，可以设P 1(m,n)，P 2(m,−n)，点E 在x 轴上，设点E(t,0)，则圆E 的方程为：(x −t)2+y 2=(m −t)2+n 2，由内切圆定义知道，椭圆上的点到点E 距离的最小值是|P 1E|，设点M(x,y)是椭圆C 上任意一点，则|ME|2=(x −t)2+y 2=34x 2−2tx +t 2+1，当x =m 时，|ME|2最小，∴m =−−2t32=4t 3，①，又圆E 过点F ，所以(−√3−t)2=(m −t)2+n 2，②，点P 1在椭圆上，∴n 2=1−m 24，③， 由①②③解得：t =−√32或t =−√3， 又t =−√3时，m =−4√33<−2，不合题意， 综上：圆心E(−√32,0)，m =−2√33，n 2=23， 即有圆E 的方程为(x +√32)2+y 2=34．解析：(Ⅰ)设F(c,0)，x =c 代入椭圆方程，解得|PF|，运用离心率公式和a ，b ，c 的关系，解方程即可得到a ，b ，进而得到椭圆方程；(Ⅱ)由椭圆的对称性，设P 1(m,n)，P 2(m,−n)，点E 在x 轴上，设点E(t,0)，圆E 的方程为：(x −t)2+y 2=(m −t)2+n 2，由此利用内切圆定义结合已知条件能求出椭圆C 存在符合条件的内切圆方程． 本题考查椭圆方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式的运用，同时考查圆的方程的求法，注意运用对称性是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．21.答案：ln 14． 解析：f′(x)=12x −4+1x+14=12x(x−314)(x+14).当−14<x <0时，f′(x)>0恒成立；当0<x <4时，f′(x)<0恒成立.所以函数f(x)在(−14,0)上递增，在(0,4)上单调递减，∴f(x)最大值是f(0)=ln 14． 22.答案：解：(1)直线l 的一般方程为√3x −2y +24=0， 直线l 的极坐标方程为，曲线C 1的标准方程为x 2+(y −2)2=4，所以曲线C 1的极坐标方程为ρ=4sin θ．(2)将θ=π3分别代入和ρ=4sin θ 得ρA =16√3，ρB =2√3，所以|AB|=|ρA −ρB |=|16√3−2√3|=14√3．解析：本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，是中档题．(1)分别化直线与圆的参数方程为普通方程，进一步化为极坐标方程；(2)把曲线θ=π3分别代入直线l 和曲线C 1的极坐标方程，求出A ，B 的极径，得|AB|=|ρA −ρB |=|16√3−2√3|=14√3． 23.答案：解：(1)f(x)<g(x)⇔{x <1(2−2x)−(2−x)<x +1或{1≤x ≤2(2x −2)−(2−x)<x +1或{x >2(2x −2)−(x −2)<x +1， 解得：−12<x <1或1≤x ≤2或x >2，综上，x >−12，故不等式的解集是{x|x >−12}；(2)∵x ∈(2a,−1+a]时，f(x)≥g(x)成立，∴f(x)≥g(x)的解集包含(2a,−1+a]，由(1)得f(x)≥g(x)的解集是{x|x >−12}的补集，故(−∞,−12]⊇(2a ，−1+a]，故{2a <−1+a −1+a ≤−12，解得：a ∈(−∞,−1)．解析：(1)去掉绝对值得到关于x 的不等式组，解出即可；(2)根据(1)得到(−∞,−12]⊇(2a ，−1+a]，得到关于a 的不等式组，解出即可． 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学试卷 第1页（共9页）
数学试卷 第2页（共9页） 数学试卷 第3页（共9页）
绝密★启用前
2020年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)
数学试题(文史类)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的. 1. 复数2
(2i)+等于
（ ） A .34i +
B .54i +
C .32i +
D .52i + 2. 已知集合12{,,4}3,M =,{2,2}N =-,下列结论成立的是
（ ） A .N M ⊆
B .M N M =U
C .M N N =I
D .{2}M N =I 3. 已知向量)2(1,a x =-,1()2,b =,则a b ⊥的充要条件是
（ ）
A .1
2
x =-
B .1x =-
C .5x =
D .0x =
4. 一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是 （ ） A .球
B .三棱锥
C .正方体
D .圆柱
5. 已知双曲线2
2
215
x y a -=的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于
（ ）
A .
314
14 B .
32
4 C .32
D .43
6. 阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的s 值等于
（ ） A .3- B .10- C .0
D .2-
7. 直线320x y +-=与圆224x y +=相交于A ,B 两点,则弦AB 的长度等于 （ ）
A .25
B .23
C .3
D .1
8. 函数π
()sin 4
()f x x =-的图象的一条对称轴是
（ ）
A .π4x =
B .π2x =
C .π4x =-
D .π
2x =-
9. 设1,0,
()0,0,1,0,
x f x x x ⎧⎪
==⎨⎪-⎩
＞＜1,()0,x g x x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数，则((π))f g 的值为
（ ） A .1
B .0
C .1-
D .π
10. 若直线2y x =上存在点(),x y 满足约束条件30,
230,,x y x y x m +-⎧⎪
--⎨⎪⎩
≤≤≥则实数m 的最大值为
（ ）
A .1-
B .1
C .
32
D .2
11. 数列{}n a 的通项公式π
πcos 2
n n a =,其前n 项和为n S ,则2012S 等于
（ ） A .1006 B .2020 C .503
D .0
12. 若已知3269()f x x x x abc =-+-,a b c ＜＜,且()()(0)f a f b f c ===.现给出如下结
论：①()(00)1f f ＞；②()(00)1f f ＜；③()(003)f f ＞；④()(003)f f ＜.其中正确结论的序号是
（ ）
A .①③
B .①④
C .②③
D .②④
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡的相应位置.
13. 在ABC △中,已知60BAC ∠=o ,45ABC ∠=o ,3BC =,则AC =________. 14. 一支田径队有男女运动员98人,其中男运动员有56人.按男女比例用分层抽样的方
法,从全体运动员中抽出一个容量为28的样本,那么应抽取女运动员人数是________. 15. 已知关于x 的不等式220x ax a -＋＞在R 上恒成立,则实数a 的取值范围是_______. 16. 某地区规划道路建设,考虑道路铺设方案.方案设计图中,点表示城市,两点之间连线表
示两城市间可铺设道路,连线上数据表示两城市间铺设道路的费用,要求从任一城市都能到达其余各城市,并且铺设道路的总费用最小.例如：在三个城市道路设计中,若城市间可铺设道路的路线图如图1,则最优设计方案如图2,此时铺设道路的最小总费用
--------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------
效----------------
姓名________________ 准考证号_____________
数学试卷 第4页（共9页）
数学试卷 第5页（共9页） 数学试卷 第6页（共9页）
为10.
图1
图2
现给出该地区可铺设道路的线路图如图3,则铺设道路的最小总费用为_______.
三、解答题：本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）
在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中,111a b ==,48b =,{}n a 的前10项和1055S =. （Ⅰ）求n a 和n b ；
（Ⅱ）现分别从{}n a 和{}n b 的前3项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两项的值相等的概率.
18.（本小题满分12分）
某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,
得到如下数据：
单价x （元） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y （件）
90
84
83
80
75
68
（Ⅰ）求回归直线方程$
y bx a =+,其中20b =-,a y bx =-； （Ⅱ）预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从（I ）中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）
19.（本小题满分12分）
如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB AD ==,12AA =,M 为棱1DD 上的一点. （Ⅰ）求三棱锥1A MCC -的体积；
（Ⅱ）当1A M MC +取得最小值时,求证：1B M ⊥平面MAC .
20.（本小题满分12分）
某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: (1)22sin 13cos 17sin13cos17+-o o o o ； (2)22sin 15cos 15sin15cos15+-o o o o ； (3)22sin 18cos 12sin18cos12+-o o o o ； (4)22sin (18)cos 48sin(18)cos48-+--o o o o ； (5)22sin (25)cos 55sin(25)cos55-+--o o o o . （Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
21.（本小题满分12分）
如图,等边三角形OAB 的边长为83,且其三个顶点均在抛物线E ：20)2(x py p =＞上.
（Ⅰ）求抛物线E 的方程；
（Ⅱ）设动直线l 与抛物线E 相切于点P 与直线1y =-相交于点Q .证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点.
图3
数学试卷 第
7页（共9页） 数学试卷 第8页（共9页） 数学试卷 第9页（共9页）
22.（本小题满分14分）
已知函数3()sin ()2f x ax x a =-∈R ,且在π[0,]2上的最大值为π3
2
-. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）判断函数()f x 在(0,π)内的零点个数,并加以证明.。