排列组合之相同元素分配问题
高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略(完整版)
高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略江西省永丰中学陈保进排列组合问题是高中数学的一个难点，它和实际问题联系紧密，题型多样，解题思路灵活多变，学生不容易掌握。
下面介绍一些常见的排列组合问题的解题方法和策略。
1.相邻问题捆绑法：将相邻的几个元素捆绑成一组，当作一个大元素参与排列例1：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一排，如果A ,B 必须相邻，则不同的排法种数为_____解析：把A ,B 捆绑，视为一个整体，整体内部排序，有22A 种情况,再将整体和另外三人排序，有44A 种情况，所以答案为22A ×44A =48注意：小集团问题也可以用捆绑法变式1：7人排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人，则不同的排法有_____种解析：把甲、乙及中间3人看作一个整体，答案为720333522=⨯⨯A A A 2.不相邻问题插空法:不相邻问题，可先把其他元素全排列，再把需要不相邻的元素插入到其他元素的空位或两端例2：七人并排站成一行，如果甲乙丙两两不相邻，那么不同的排法种数是_____解析：先将其它4人全排列，共44A 种情况，再将甲乙丙插入到其他4人的空位或两端，共35A 种情况，所以答案为44A ×35A =14403.定序问题用除法:若要求某几个元素必须保持一定的顺序，可用除法例3：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一列，如果A 必须在B 前面，则不同的排法种数有_____解析：先将5人全排列，共55A 种情况，考虑A ,B 的顺序有22A 种，符合题意的只有一种，所以答案为602255=A A 4.特殊元素优先考虑例4：8名男生排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，有种排法解析：①甲在最右边时，其他的可全排，有77A 种不同排法②甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有16A 种，再排乙，有16A 种排法，其余人全排列，共有77A ＋16A ×16A ×66A ＝30960种不同排法5.特殊位置优先考虑例5：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有种解析：翻译工作是特殊位置，先选择一人参加翻译工作，14C 种情况，再从其他5人中选择5人参加导游、导购、保洁工作，有35A 种情况，答案为14C ×35A =2406.分组、分配问题：先分组后分配，如果是整体平均分组或部分平均分组，最后计算组数时要除以n n A (n 为均分的组数)，避免重复计数例6：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1，2，3分成三组，不是平均分组，有332516C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故共有3606033=⨯A 种情况A BC DE变式1：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中有两人各得1本，一人得4本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1,1,4分成三组，为部分平均分组，有1522441516=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式2：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，每人得2本，则有_______种不同的分法解析：第一步把书按数量2,2,2分成三组，为整体平均分组，有1533222426=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式3：某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有_____种解析：①按照人数2，2，1分成3组；②按照人数3，1，1分成3组答案为15033221112353322112325=⨯+⨯A A C C C A A C C C 7.正难则反，考虑反面：例7：从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为解析：493739=-C C 此法适用于至多、至少、有、没有这类问题8.分类法（含多个限制条件的排列组合问题、多元问题）例8：甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A ，B ，C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为解析：分2种情况,①乙去A 社区，再将丙丁二人安排到B ，C 社区，有22A 种情况,②乙不去A 社区，则乙必须去C 社区，若丙丁都去B 社区，有1种情况，若丙丁中有1人去B 社区，则先在丙丁中选出1人，安排到B 社区，剩下1人安排到A 或C 社区，有2×2＝4种情况，所以答案为2＋1＋4＝7变式1：由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有个解析：元素多，取出的情况多种，个位数字可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个数，合计为300个变式2：在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种解析：只需考虑三张奖券的归属情况，①有三人各得一张奖券，情况数为34A ；②一人获两张奖券一人获一张奖券,情况数为362423=A C ，故答案为609.可重复的排列求幂法例9：把6名实习生分配到7个车间实习，每个车间人数不限，共有种不同方法解析：每名实习生有7种分配方法，答案为7×7×7×7×7×7×7=76种不同的分法10.多排问题单排法例10：6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是解析：先排前排，36A 种情况，再排后排，33A 种情况，答案为720663336==⨯A A A如果没有条件限制，把元素排成几排和排成一排情况一样多变式1：8个人排成前后两排,每排4人,其中甲乙要排在前排,丙要排在后排,有种排法解析：先排甲乙和丙，还剩5个位置，让5个人做全排列，答案为5760551424=⨯⨯A A A 11.相同元素的分配问题隔板法（名额分配问题也可用隔板法）例11：将7个相同的小球放入四个不同的盒子，每个盒子都不空，放法有种解析：可以在7个小球的6个空位中插入3块木板，每一种插法对应一种放法，故放法有3620C =种变式1：把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有种放法解析：先向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有216120C =种放法12.选排问题先取后排例12：10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为解析：首先从后排的7人中抽2人，有27C 方法；再将这2人安排在前排，第一人有4种放法，第二人有5种放法，答案为2745420C ⨯⨯=变式1：摄像师要对已坐定一排照像的6位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有3人座位不调整，则不同的调整方案的种数为______解析：从6人中任选3人有36C 种情况，将这3人位置全部进行调整，有1112112C C C ⨯⨯=种情况，答案为36240C ⨯=13.部分合条件问题排除法例13：以正方体的顶点为顶点的四面体共有个解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成48C 个四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以答案为481258C -=变式1：四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有种A、150种B、147种C、144种D、141种解析：从10个点中任取4个的组合数为410210C =，其中4点共面的分三类：①4点在同一侧面或底面的共4组,即46460C ⨯=种②每条棱上的三点和它的对棱的中点共面,这样的共6种③所有棱的6个中点中,4点构成平行四边形共面的有3种答案为210-(60+6+3)=14114.构造模型，等价转化例14：马路上有编号为1，2，3…9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？解析：此问题相当于一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法。
排列组合学生版
排列组合一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数1.(1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？2. 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？3.8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）A 、38B 、83C 、38AD 、38C3.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为4.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有2.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A. 360B. 188C. 216D. 963. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.4.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为5.4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？6.．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种7.某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（ ）8.7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？(1)7人站成一排，要求较高的3个学生站在一起；(2)7人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减；(3)任取6名学生，排成二排三列，使每一列的前排学生比后排学生矮．9.4位学生与2位教师并坐合影留念，针对下列各种坐法，试问：各有多少种不同的坐法？(1)教师必须坐在中间；(2)教师不能坐在两端，但要坐在一起；(3)教师不能坐在两端，且不能相邻．三.不相邻问题插空策略1.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？2.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为3.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是4.书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有种不同的插法（具体数字作答）5. 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是6.某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
排列组合中的分组问题
排列组合中的分组问题分组问题有两大类：一类是相同元素的分组问题，另一类是不同元素的分组问题。
在不同元素的分组问题中包含平均分组和非平均分组及其部分平均分组，以及有序和无序之分。
一、相同元素的分组问题方法：隔板法例1、（1）6人带10瓶矿泉水参加春游，每人至少带1瓶，共有种不同的方法（2）分别从4所学校选拔6名报告员，每校至少1人，有种不同的方法解：（1）解法（一）隔板法：只需把10瓶矿泉水分成6份，每份至少有一瓶，共有59C方法（二）：首先每个人拿一瓶，然后把4瓶矿泉水分成6份，每一份对应一种方法。
分别有1,1,1,1,0,0、2,1,1,0,0,0、3,1,0,0,0,0、4,0,0,0,0,0、2,2,0,0,0,0.共有43121126636266126C C C C C C C++++=方法（三）：首先每个人拿一瓶，然后把4瓶矿泉水分成6份，每一份对应一种方法。
需要5块隔板，把5块隔板与4瓶放在一起，每一种放法就是一种分配方案，共有59C（2）方法（一）：实质是把6个人分成4份，有2,2，1，1、3,1,1,1。
共有214410C C+=种方法方法（二）：设置有3块隔板，有3510C=方法。
二、不同元素的分组问题方法：使用分步计数原理例1、 将6本不同的书，按下列方式分配，各有多少种分法？（1） 分给甲、乙、丙三人，每人得2本（2） 分给甲、乙、丙三人，甲得1本，乙得2本，丙得3本（3） 甲、乙、丙三人3人，其中一人得1本，一人得2本，1人得3本。
（4） 若平均分成三堆，有几种分法？解：（1）按照分类计数原理222642C C C （属于有序平均分组）（2）按照分类计数原理123653C C C （属于无序非平均分组）（3）按照分类计数原理12336533C C C A （属于有序非平均分组）（4）22264233C C C A 注意：分类计数原理是有序的，（1）、（4）的区别在于一个有序，另一个无序。
高中数学排列组合-平均分组(分配问题)讲解
复习巩固：
1、组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成 一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2、组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个
数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号
C
m n
表示.
3、组合数公式:
Cnm
Anm Amm
C
2 6
C
2 4
C
2 2
A
3 3
A
3 3
C
2 6
C
2 4
C
2 2
=90
三、部分均分有分配对象的问题
例3 12支笔按3：3：2：2：2分给A、B、C、D、E五 个人有多少种不同的分法？
方法：先分再排法。分成的组数看成元素的个数·
解：均分的五组看成是五个元素在五个位置上 作排列
C
13 2 C
3 9
C62
较大的相同的一个组合数．
2 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学 习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．
排列组合中的分组(堆)分配问题
ab
cd
ac
bd
ad
bc
bc
ad
bd
ac
cd
ab
1.把abcd分成平均两组有_____多少种分法？
ab
cd
ac
bd
ad
bc
bc
ad
C
2 4
C
2 2
A
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
排列组合常见问题的策略
一般地,元素分成多排的排列问题, 可归结为一排考虑,再分段研究. 前排 后排
练习题
有两排座位，前排11个座位，后排 12个座位，现安排2人就座规定前排 中间的3个座位不能坐，并且这2人 不左右相邻，那么不同排法的种数 是______
练习题 10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要 求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
1.某班元旦联欢会准备了5个节目，并且安排好了出场顺序， 临上场前又有2个新节目 加入，要求原有节目的顺序不变，有（ ）中安排方法
六．顶针问题（不配对问题）
• • • 1. 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数， 则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） 2. 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座 位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ） 3. 同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺 年卡，则4张贺年卡不同的分配方式共有( )
例2：（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端， 3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 288 C. 216 D. 96 对应练习题 1. 2. 3. 4对孪生兄弟排成一排,每对孪生兄弟有1人的排法数是多少? 有8本互不相同的书,数学3本,外语2本,其他书3本,将它们排成一行 放在书架上,其中数学书放在一起,外语书放在一起,有多少种放法?
十一．染色问题
• • • • 涂色问题的常用方法有： （1）可根据共用了多少种颜色分类讨论; （2）根据相对区域是否同色分类讨论; （3）将空间问题平面化，转化成平面区域 涂色问题。
• 【例1】 将一个四棱锥的每个顶点染上一种 颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果 只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方 法的总数是_______.
数学运算必会考点：隔板法
数学运算必会考点：隔板法今天来给各位同学介绍一下，公务员考试中行测数学运算必会考点：隔板法。
隔板法也叫作插板法，主要解决排列组合问题中的相同元素分配问题。
一、隔板法何时用三大必要条件：1.分配元素相同；2.分配对象不同；3.每个分配对象至少分一个。
如果题目满足以上三个条件，我们就可以用隔板法解题啦。
【例题】4张相同的煎饼，分配给张三、李四两个人，每个人至少一张煎饼，一共有多少种分法？A2 B3 C4 D5分析：题干明显满足三个必要条件。
1.分配元素相同：4张相同的煎饼。
2.分配对象不同：张三、李四两个不同的人。
3.每个分配对象至少分一个：每人至少分一个。
二、隔板法怎么用隔板法三步走：1.有几个位置可以放板；2.需要隔成几部分；3.需要放几块板。
刚刚我们已经分析【例题】可以用隔板法解决，接下来我们研究一下，具体怎么应用隔板法。
如果我们不用隔板法，仅仅用排练组合的列举法，其实我们也能够得到此题正确答案。
无非是三种情况，分别是：张三1张，李四3张；张三2张，李四2张；张三3张，李四1张。
但是如果情况变复杂一些，我们通过列举法就很难操作了，比如100张相同的煎饼，分给张三、李四、王五、孙六，每个人至少一个。
此时我们再用列举，大家可以想象到复杂程度有多大。
但是用隔板法，我们就能很容易解决这个问题。
假设四张煎饼如图所示，排成一排：●●●●我们想把煎饼分给两个人，其实本质上是把四张煎饼分成了两部分，而且每个部分至少一个，那么如何实现这个目标，我们可以在任意两张饼中间放一块木板，把四张煎饼隔成两部分。
假设木板放在1和2中间，那么对应就是：张三1张，李四3张；假设木板放在2和3中间，那么对应就是：张三2张，李四2张；假设木板放在3和4中间，那么对应就是：张三3张，李四1张。
由此可见，其实所有的方法数，又可以由木板不同的位置表现出来，因此我们可以把题目转化为这样几个问题：1.有几个位置可以放板；2.需要隔成几部分；3.需要放几块板。
砖题库： 排列组合问题之—插板法
公务员考试行测、申论真题、模拟题尽收其中，千名业界权威名师精心解析，精细化试题分析、完美申论范文一网打尽！在线做题就选砖题库：/排列组合问题是国考和吉林省考考察的重点题型，本文将对排列组合问题当中的一类问题以及解决的方法—“插板法”做较详细的说明，所谓插板法，指在排列组合问题当中的解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时采用将比所需分组数目少1的板插入元素之间形成分组的解题策略，下面我们以一些题型来具体说明。
【基本题型】有n个相同的元素，要求分到m组中，并且要求每组中至少有一个元素问有多少种分法?【基本解题思路】将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了(n-1)个空档，现在我们用(m-1)个“档板插入(n-1)个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素(可能是1个、2个、3个、4个、….)，这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。
【基本题型例题】【例1】共有10完全相同的球分到7个班里，要求每个班至少要分到一个球，问有几种不同分法?解析一：我们首先用常规方法。
若想将10个球分到7个班里，球的分法共三类：第一类：有3个班每个班分到2个球，其余4个班每班分到1个球。
这样，第一步，我们7个班中选出3个班，每个班分2个球;第二步，从剩下的4个班中选4个班，每班分1球。
其分法种数为：(种)。
第二类：有1个班分到3个球，1个班分到2个球，其余5个班每班分到1个球。
其分法种数：(种)。
(种)所以，10个球分给7个班，每班至少一个球的分法种数为： 35+42+7=87(种)。
从上面的解题过程可以看出，用常规方法解这类题，需要分类计算，计算过程繁琐。
并且如果元素个数较多的话处理起来就变得十分的困难了。
因此我们需要寻求一种新的方法解决问题，也就是—插板法。
解析二：我们可以将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空隙，现在我们用6个“档板”插入这9个空隙中，就把10个球隔成有序的7份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球(可能是1个、2个、3个、4个)，这样，借助于虚拟“档板”就可以把10个球分到了7个班中。
排列组合问题解法总结
排列组合问题的常见解法一.元素相同问题隔板策略例1.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排．相邻名额之间形成９个空隙．在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有69C 种分法．注：这和投信问题是不同的，投信问题的关键是信不同，邮筒也不同，而这里的问题是邮筒不同，但信是相同的．即班级不同，但名额都是一样的． 练习题：个相同的球装5个盒中,每盒至少一个有多少装法 49C 2.100x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数 3103C 二.环排问题直排策略如果在圆周上m 个不同的位置编上不同的号码，那么从n 个不同的元素的中选取m 个不同的元素排在圆周上不同的位置，这种排列和直线排列是相同的；如果从n 个不同的元素的中选取m 个不同的元素排列在圆周上，位置没有编号，元素间的相对位置没有改变，不计顺逆方向，这种排列和直线排列是不同的，这就是环形排列的问题．一个m 个元素的环形排列，相当于一个有m 个顶点的多边形，沿相邻两个点的弧线剪断，再拉直就是形成一个直线排列，即一个m 个元素的环形排列对应着m 个直线排列，设从n 个元素中取出m 个元素组成的环形排列数为N 个，则对应的直线排列数为mN 个，又因为从n 个元素中取出m 个元素的排成一排的排列数为mnA 个，所以mn mN A=，所以m nA N m=．即从n 个元素中取出m 个元素组成的环形排列数为m nA N m =．n 个元素的环形排列数为!(1)!n n A n N n n n===-例2. 8人围桌而坐,共有多少种坐法解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人44A 并从此位置把圆形展成直线其余7人共有(81)!7!-=种排法，即7!7654321840=⨯⨯⨯⨯⨯⨯= 种七班练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120 三.多排问题直排策略例人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先排前４个位置，２个特殊元素有24A 种排法,再排后4个位置上的特殊元素丙有14A 种,其余的5人在5个位置上任意排列有55A 种,则共有215445A A A 种排法．（排好后，按前４个为前排，后４人为后排分成两排即可）练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346解：由于甲乙二人不能相邻，所以前排第1,4,8,11四个位置和后排第１，１２位置是排甲乙中的一个时，与它相邻的位置只能排除一个，而其它位置要排除３个，所以共有排列11116181417108238346C C C C +=+=四.排列组合混合问题先选后排策略例4.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有25C 种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有44A 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有2454C A练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种五.小集团问题先整体后局部策略例5.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数在1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个（注：两个偶数２，４在两个奇数１，５之间，这是题意，说这个结构不能被打破，故３只能排这个结构的外围，也就是说要把这个结构看成一个整体与３进行排列）．解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有22A 种排法，再排小集团内部共有2222A A 种排法，由分步计数原理共有222222A A A 种排法.练习题：１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为254254A A A 2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有255255A A A 种 六.正难则反总体淘汰策略例6.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法．这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有35C ,只含有1个偶数的取法有1255C C ,和为偶数的取法共有123555C C C +．再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有1235559C C C +-练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种七.平均分组问题除法策略例7. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法解: 分三步取书得222642C C C 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF ，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则222642C C C 中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有33A 种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有22264233C C C A 种分法．练习题：1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法（544138422C C C A ） 名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的 分组方法 （1540）3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______（2224262290C C A A =） 八. 合理分类与分步策略例8.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员．选上唱歌人员为标准进行研究 只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有2233C C 种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员112534C C C 种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有2255C C 种，由分类计数原理共有 22112223353455C C C C C C C ++种．解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。
排列组合中的分组分配问题完整
五非均分组分配对象确定问题
例6 六本不同的书按1∶2∶3分给甲、乙、丙三个人 有多少种不同的分法？
C61C52C33
非均分组有分配对象要把组数当作元素个数 再作排列。
五非均分组分配对象不固定问题
例7 六本不同的书分给3人，1人1本，1人2本,1人3本 有多少种分法
C
2 10
C
2 8
C
2 6
C
4 4
A
3 3
C
2 10
C
2 8
C
2 6
C
4 4
3 有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条 件，各有多少种不同的分法？
（1）每人各得两本； （2）甲得一本，乙得两本，丙得三本； （3）一人一本，一人两本，一人三本； （4）甲得四本，乙得一本，丙得一本； （5）一人四本，另两人各一本·
排列组合中的分组分配问题
ab
cd
ac
bd
ad
bc
bc
ad
bd
ac
cd
ab
一、 提出分组与分配问题，澄清模糊概念 n 个不同元素按照某些条件分配给 k 个不同得对象，称为
分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将 n 个不同 元素按照某些条件分成 k 组，称为分组问题.分组问题有不平 均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和 分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是 不区分的；而后者即使 2 组元素个数相同，但因对象不同， 仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
C61C52C33 A33
练习1
1：12本不同的书平均分成四组有多少 种不同分法？
浅析排列组合中分组分配问题的解题策略
浅析排列组合中分组分配问题的解题策略ʏ成都经济技术开发区实验中学校 杜海洋排列组合问题是高考数学中的必考题型,题型多变,解题方法也多种多样㊂其中分组分配问题是排列组合中的一类综合性问题,也是排列组合中的难点,两者之间既有区别又有联系,稍不留意就会引发混淆㊂为了解决这一棘手问题,下面将结合几个例题谈一谈解答分组分配问题的策略㊂一、分组问题1.完全均匀分组例1 6本不同的书,按下列要求分配,求各有多少种不同的分法:(1)分给甲㊁乙㊁丙三人,每人2本;(2)分为三份,每份2本㊂解析:(1)将6本不同的书分给甲㊁乙㊁丙三人,每人2本,可以分为三步完成:第一步,先从6本书中选2本给甲,有C 26种选法;第二步,从剩余的4本中选2本给乙,有C 24种选法;第三步,最后剩余的2本给丙,有C 22种选法㊂由分步乘法计数原理知,共有C 26C 24C 22=15ˑ6ˑ1=90(种)不同的分法㊂(2)本题属于无序均匀分组问题㊂按有序分组,则有C 26C 24C 22种方法,但出现了重复㊂不妨记6本书为A ,B ,C ,D ,E ,F ,第一步取A B ,第二步取C D ,第三步取E F ,记该种分法为(A B ,C D ,E F )㊂但还有(A B ,E F ,C D ),(C D ,A B ,E F ),(C D ,E F ,A B ),(E F ,A B ,C D ),(E F ,C D ,A B ),这A 33种情况只能记为一种方法㊂故分配方法有C 26C 24C 22A 33=15(种)㊂2.部分均匀分组例2 2023年亚运会在杭州举办期间,将6位志愿者分成四组,其中两组各2人,另两组各1人,分赴亚运会的4个不同场馆服务,不同的分配方案的种数为( )㊂A.4320 B .1080C .180D .90解析:将6位志愿者分成四组,其中两组各2人,另两组各1人,有C 26C 24C 12C 11A 22A 22=45(种)方法,进而将其分配到4个不同场馆,有A 44=24(种)方法㊂由分步计数原理可得,不同的分配方案有45ˑ24=1080(种)㊂选B ㊂点评:该问题属于先平均分组(堆)再分配的问题,先将6位志愿者分成四组,其中两组各2人,另两组各1人,再将其分配到4个不同场馆即可㊂在分组过程中,要注意分组重复的情况,理解C 26C 24C 12C 11A 22A 22中分母的意义㊂3.完全非均匀分组例3 要把9本不同的课外书分给甲㊁乙㊁丙3名同学,如果要求一人得4本,一人得3本,一人得2本,则不同的分法共有多少种解析:要完成分配任务,可以分为两步:第一步,将9本书按照4本㊁3本㊁2本分为三组,有C 49C 35C 22种方法;第二步,将分好的3组书分别给3个人,有A 33种方法㊂因此,不同的分法数为C 49C 35C 22A 33=9ˑ8ˑ7ˑ64ˑ3ˑ2ˑ1ˑ5ˑ42ˑ1ˑ1ˑ3ˑ2ˑ1=7560㊂点评:完全均匀分组和部分均匀分组在计数过程中易出现重复现象,注意计算公式的应用㊂重复的次数是均匀分组的阶乘数,即若有m 组元素个数相等,则分组时应除以m !㊂关于分组问题,有完全均匀分组㊁完全非均匀分组和部分均匀分组三种:①完全均匀分组,每组元素的个数都相等;②部分均匀分组,应注意不要重复;③完全非均匀分组,这种分组不考虑重复情况㊂无论分成几组,应注意只要有一些组中元素的个数相等,就存在均分现象,解决这类问题必须按照均匀分组的公式来解决㊂例4 将6本不同的书分给甲㊁乙㊁丙㊁丁4个人,每人至少一本的不同分法共有2 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年3月种㊂解析:先把6本不同的书分成4组,再分给4个人,但该题易出错的地方有两个:一是分组考虑不全造成漏解,分组方式有2种,即3,1,1,1与2,2,1,1;二是2,2,1,1分组时,忽视均匀分组问题造成增解㊂把6本不同的书分成4组,每组至少一本的分法有2种㊂①1组有3本,其余3组每组1本,不同的分法共有C 36㊃C 13C 12C 11A 33=20(种);②有2组每组2本,其余2组每组1本,不同的分法共有C 26C 24A 22㊃C 12C11A 22=45(种)㊂不同的分组方法共有20+45=65(种)㊂然后把分好的4组分给4个人,所以不同的分法共有65ˑA 44=1560(种)㊂二、分配问题1.相同元素的分配问题相同元素的分配问题,常用 隔板法 ,即将n 个相同的元素分成m 份(n ,m 为正整数),每份至少一个元素,可以用m -1块隔板,插入n 个元素排成一排形成的n -1个空隙中,共有C m -1n -1种方法㊂例5 方程x 1+x 2+x 3+x 4=12的正整数解共有( )组㊂A.165 B .120 C .38 D .35图1解析:如图1,将12个完全相同的球排成一排,在它们之间形成的11个空隙中任选3个插入3块隔板,把球分成四组,每一种分法所得球的数目依次是x 1㊁x 2㊁x 3㊁x 4,显然满足x 1+x 2+x 3+x 4=12,故(x 1,x 2,x 3,x 4)是方程x 1+x 2+x 3+x 4=12的一组解㊂反之,方程x 1+x 2+x 3+x 4=12的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式,故方程x 1+x 2+x 3+x 4=12的正整数解的数为C 311=11ˑ10ˑ93ˑ2ˑ1=165,选A ㊂点评:相同元素分配问题的常见处理策略如下㊂①隔板法:将放有小球的盒子紧挨着成一排放置,便可看作排成一排的小球的空隙中插入了若干隔板,相邻两块隔板形成一个 盒㊂每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法,此法称为隔板法㊂隔板法专门解决相同元素的分配问题㊂②将n 个相同的元素分给m 个不同的对象(n ȡm ),每个对象至少分得一个元素,有C m -1n -1种方法㊂可描述为在n -1个空中插入m -1块隔板㊂③将n 个相同的元素分给m 个不同的对象(n ȡm ),有C m -1n +m -1种方法㊂可转化为将n +m 个相同的元素分给m 个不同的对象(n ȡm ),每个对象至少分得一个元素,有C m -1n +m -1种方法㊂即在n +m -1个空中插入m -1块隔板㊂2.不同元素的分配问题不同元素的分配问题,一般利用分步乘法计数原理,先分组,后分配㊂例6 将4名大学生分配到3个乡村去支教,每个乡村至少1名大学生,则不同的分配方案有种㊂解析:(方法一)分两步完成:第一步,将4名大学生按2,1,1分成三组,其分法有C 24C 12C 11A 22种;第二步,将分好的三组大学生分配到3个乡村,其分法有A 33种㊂所以满足条件的分配方案有C 24C 12C 11A22A 33=36(种)㊂(方法二)根据题意知必有2名大学生去同一个村,从4名大学生中任选2名捆绑在一起,故有C 24A 33=36(种)方案㊂总之,解答排列组合问题的关键在于判断问题属于不均分问题㊁整体均分问题,还是部分均分问题㊂有关 分组与分配 的问题还有很多内容,上述的研究仅仅是冰山一角,希望能为同学们的数学学习提供帮助㊂(责任编辑 徐利杰)12解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年3月。
典型排列组合问题的处理方法
严子超（贵州省毕节市民族中学 ５５１７００）严子超２００５年毕业于贵州师范大学数学与应用数学专业，理学学士，中小学一级教师，市级骨干教师。
排列组合是高中数学中比较独特的内容，是教学中的一个难点，也是高考的热点．其解题思路既有一般规律性、又有很强的技巧性．在解题过程中极易“重复”或“遗漏”．因此在解排列组合问题时，要善于提炼方法、归纳总结、举一反三、触类旁通．本文针对一些常见题型和思维方法加以归纳，供参考．１．特殊元素或特殊位置“优先法” 对于存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题，可从这些特殊元素或特殊位置入手，先处理特殊元素或特殊位置，再处理其它元素或位置．例１ １名歌手和４名观众排成一排照相留念，若歌手不排在两端，共有多少种不同的排法解法１ 优先考虑特殊位置，先排两端．从４名观众中选２人排两端，有Ａ２４种不同的排法，再排剩下的三个位置，有Ａ３３种不同的排法，由分步计数原理知，共有不同的排法Ａ２４·Ａ３３＝７２（种）．解法２ 优先考虑特殊元素，先排歌手．因为歌手不排在两端，所以歌手只能从剩下的３个位置选１个排，有Ａ１３种排法，然后４名观众站在另外４个位置，有Ａ４４种不同排法，由分步计数原理可知，共有不同的排法Ａ１３·Ａ４４＝７２（种）．注 对特殊元素或特殊位置作特殊的照顾，容易找到通向成功之路的入口处．若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素；若以位置分析为主，要先满足特殊位置的要求，再处理其它位置．如果特殊元素或特殊位置不止一个时，要注意正确的分类和分步，避免重复和遗漏．２．元素相邻问题“捆绑法” 要求某些元素必须相邻的问题，可采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素捆绑在一起视为“一个元素”与其它元素进行排列，然后再将这些相邻的元素进行内部排列．例２ 有８本不同的书，其中数学书３本，英语书２本，其它书３本，若将这些书排成一排放在书架上，则数学书恰好排在一起，英语书也恰好排在一起，共有多少种不同的排法？解 将数学书与英语书分别捆在一起看成两个不同的元素，再与其它３本书一起排列，有Ａ５５种不同排法，再将３本数学书内部进行自排有Ａ３３种排法，２本英语书内部进行自排有Ａ２２种排法，由分步计数原理可知，共有不同的排法Ａ５５Ａ３３Ａ２２＝１４４０（种）．注 要求某些元素必须排在一起的问题，要先把相邻元素进行捆绑．处理此类问题一般遵循“先整体，后局部”的原则．３．元素不相邻问题“插空法” 要求某些元素不相邻的问题，可先排其它没有限制条件的元素，然后在已经排好的元素·４１·２０２０１２之间的间隙和两端的空位插入不相邻的元素，使问题得以解决．例３ ４名学生和２位老师站成一排合影，２位老师不相邻的不同排法共有多少种？解 分两步进行：第一步，由于２位老师不相邻，所以先将４名学生排序，有Ａ４４种不同排法．第二步，将２位老师分别插入４名学生之间的间隙及首尾两个空位中，有Ａ２５种不同排法，由分步计数原理可知，共有不同的排法Ａ４４·Ａ２５＝４８０（种）．注 “元素不相邻问题”也称为“元素相离问题”，处理时先把没有位置要求的元素进行排列，再把不相邻元素插入已排好的各元素之间和两端的空位中．４．选排混合问题“先选后排法” 对于排列问题与组合问题混在一起时，应先用组合公式将符合题意的元素选出，再利用排列公式进行排列．例４ 从１，２，３，４，５，６，７这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中共有多少个不同的奇数？解 先从１，３，５，７四个奇数中选择两个有Ｃ２４种不同选法，再从２，４，６三个偶数中选择两个有Ｃ２３种不同选法，由于个位数字必须是奇数，所以先排个位有Ｃ１２种排法，其余三个元素进行十位，百位，千位三个位置的全排．由分步计数原理可知，共有不同的奇数Ｃ２４Ｃ２３Ｃ１２Ａ３３＝２１６（个）．注 从几类元素中取出符合题意的若干元素，再安排到一定的位置上，可用先选后排法来处理．此方法是解决排列组合混合问题最基本的方法．５．正难反易问题“间接法” “间接法”又称“排除法”、“总体淘汰法”．有些问题从正面考虑较为错综复杂而不易得出答案时，可以从反面入手考虑，往往会取得意想不到的效果．即先不考虑题目限制条件，求出所有的排列数，然后再排除不符合条件的排列数．一般解含有“至少”、“至多”等限制条件的排列组合问题，可用此方法．例５ 某校开设Ａ类选修课３门，Ｂ类选修课４门，某同学从中共选３门，若要求两类课程中各至少选一门，则共有多少种不同的选法？解 先不考虑限制条件，从７门选修课中选３门共有Ｃ３７种不同选法，所选３门选修课均为Ａ类有Ｃ３３种不同选法，均为Ｂ类有Ｃ３４种不同选法，由分步计数原理可知，共有不同的选法Ｃ３７－Ｃ３３－Ｃ３４＝３０（种）．注 对某些排列组合问题，从正面直接考虑比较复杂，而其反面情况却比较简单，可考虑从问题的反面入手，会让你进入“柳暗花明”的境界．６．顺序一定问题“先排后除法” “先排后除法”也称为“缩倍法”．要求某些元素必须保持一定顺序的排列问题，可以采用缩小倍数的方法来处理．即先把顺序一定的元素与其它元素一起进行全排列，再用全排列数除以顺序一定元素的全排列数．例６ 某工程队有６项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行．那么安排这６项工程的不同排法共有多少种解 依题意，丁必须在丙完成后立即进行，故可以把两个视为一个大元素，先不管其它限制条件，使其与其它四个进行排列，共有Ａ５５种排法，在所有这些排法中，甲，乙，丙相对顺序固定共有Ａ３３种排法，·５１·２０２０１２由分步计数原理可知，共有不同的排法Ａ５５Ａ３３＝２０（种）．注 对“定序型”问题，若将ｎ个元素排成一排，其中要求ｍ（ｍ≤ｎ）个元素顺序一定．可先将ｎ个元素进行全排列有Ａｎｎ种排法，ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的全排列有Ａｍｍ种排法，由于要求ｍ个元素顺序一定，因此只能取其中的某一种排法，则共有ＡｎｎＡｍｍ种不同排列方法．７．标号排位问题“分步处理法” 把元素排在指定号码的位置上称为标号排位问题．要求某些元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，再排下一个元素，如此继续下去，依次即可完成．例７ 毕业前夕，同室四人各写了一张毕业赠言，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的毕业赠言，则四张毕业赠言共有多少种不同的分配方式？解 设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的毕业赠言分别标号为１，２，３，４．第一步，甲取其中一张，有３种方式；第二步，假设甲取２号，则乙的取法可分两类：（１）乙取１号，则接下来丙、丁的取法都是唯一的，（２）乙取３号或４号（２种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的．由分步计数原理可知，四张毕业赠言共有不同的分配方式３×（１＋２）＝９（种）．注 本例实际上也属于错位排列问题，即把编号为１至４的４个小球放入编号为１到４的４个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不相同，共有多少种不同的放法８．可重复排列问题“求幂法” “求幂法”又称为“住旅店法”，允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排各元素的位置，一般地：把ｎ个不同元素没有限制地放入到ｍ个不同的盒子中，共有ｍｎ种不同的方法．例８ 现有６名同学去听同时进行的５个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，共有多少种不同的选法？解 因为每位同学均有５个课外知识讲座可以选择，第一名同学有５种选法，第二名同学有５种选法，以此类推．问题就转化为：将６个不同的元素没有限制地放入到５个不同的盒子中，由分步计数原理可知，共有不同的选法５×５×５×５×５×５＝５６（种）．注 允许可以重复排列的问题，实际上就是信箱模型．一般地，把ｎ封不同的信投到ｍ个不同的信箱的排列数共有ｍｎ种．９．不同元素分配问题“先分组后分配法” 对于不同元素的分配问题，可以按需分配（即定人又定数可以直接取），也可以按照先分组再分配的方式处理．分组时，如果是平均分组，则要注意去除组间顺序，避免重复计数．例９ 将６位志愿者分成４组，其中两个组各２人，另两个组各１人，分赴世博会的四个不同场馆服务，共有多少种不同的分配方案？解 先分组，由于有２个是平均分组，所以两个两人组的分法有Ｃ２６Ｃ２４Ａ２２种，两个１人组的分法有Ｃ１２Ｃ１１Ａ２２种，由分步计数原理再进行分配，共有不同的分配方案Ｃ２６Ｃ２４Ａ２２·Ｃ１２Ｃ１１Ａ２２·Ａ４４＝１０８０（种）．·６１·２０２０１２注 在分组时，组与组无顺序．若有平均分组，一定要除以平均分组的组数的阶乘，避免重复计数．１０．相同元素分配问题“隔板法” 对于相同元素的分配问题，可以采用“隔板法”来处理．问题的一般形式：ｎ个相同小球放入ｍ（ｍ≤ｎ）个不同的盒子里，有多少种放法？（１）若要求每个盒子里至少放一个小球，则问题等价于ｎ个相同的小球排成一排，从ｎ－１个间隙中插入ｍ－１块隔板，把它们隔成ｍ段即可，共有Ｃｍ－１ｎ－１种不同的放法．（２）若允许某些盒子空着，则相当于在ｎ＋ｍ－１个位置中，选ｍ－１个位置称为隔板，把ｎ个位置分成ｍ份，共有Ｃｎ－１ｎ＋ｍ－１种不同的放法．例１０ 某校准备参加２０２０年高中数学联赛，把１０个选手名额分配到高三年级的８个教学班，每班至少一个名额，共有多少种不同的分配方案？解 因为１０个名额没有差别，所以问题等价于把１０个相同小球放入８个盒子里，每个盒子至少有一个小球的放法种数．就是把１０个名额看成１０个相同的小球分成８堆，每堆至少一个，可以在１０个小球的９个空位中插入７块木板，每一种插法对应着一种分配方案，因此，不同的分配方案共有Ｃ７９＝３６种．注 运用隔板法必须同时具备两个条件：①所有元素必须相同；②所有元素必须分完．同时还要注意，盒子是否有空．１１．多排问题“一排法” 把元素排成几排的排列问题称为多排问题．如果没有其他条件限制，可归结为一排考虑，再分段处理．例１１ ８名同学排成前后两排，每排４名，其中男生甲和女生乙要排在前排，男生丙排在后排，共有多少种不同的排法？解 男生甲和女生乙在前半段四个位置中选排２个，有Ａ２４种排法，男生丙排在后半段的四个位置中，有Ａ１４种排法，其余５名同学在剩下的５个位置上任意排列，有Ａ５５种排法，由分步计数原理可知，共有不同的排法Ａ１４Ａ２４Ａ５５＝５７６０（种）．注 一般地，元素分成多排的排列问题，可归结为一排来处理．１２．圆排问题“线排法” 把ｎ个不同元素放在圆周上的ｎ个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而无首、尾之分，因此可将某个元素固定展成线排，其它的ｍ－１元素全排列．即总数为（ｎ－１）！种．例１２ ５对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，共有多少种不同的站法？解 首先可让５位姐姐站成一圈，属于圆排列问题，有Ａ４４种站法，然后在让妹妹插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有２种方式，由分步计数原理可知，共有不同的站法２４×２５＝７６８（种）．注 对于普通圆排列：ａ１，ａ２，ａ３，…，ａｎ；ａ２，ａ３，ａ４，…，ａｎ，…；ａｎ，…，ａｎ－１在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，所以ｎ个元素的圆排列数有ｎ！ｎ种．特别地，从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素作圆形排列，共有１ｍＡｍｎ种不同的排法．总之，排列组合问题不仅内容抽象，解法灵活多变，而且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误，只要我们平时认真分析，思考，遵循排列组合问题的解题原则，寻找解题的最佳策略，就能轻松解决问题，从而在解题中立于不败之地．·７１·２０２０１２。
常见排列组合综合问题的多种方法小结
常见排列组合综合问题的二十种方法小结排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列、组合中相同元素与不同元素的分组分配问题
排列、组合中相同元素与不同元素的分组分配问题作者：崔庆勋题目：版别：期别排列、组合中相同元素与不同元素的分组分配问题在排列、组合的学习中分组分配问题经常遇到,本文谈一谈几种常见问题。
一:不同元素的分组分配例:6本不同的书，按照以下要求处理,各有几种分法(1) 分成三堆,一堆一本，一堆两本，一堆三本； (2) 平均分成三堆；(3) 分成三堆，一堆四本，另两堆各一本； (4) 分成四堆，两堆各一本，另两堆各两本;(5) 分给甲、乙、丙三个人 ，甲得一本,乙得两本，丙得三本；(6) 分给甲、乙、丙三个人 ，一人得一本，一人得两本,一人得三本； (7) 平均分给甲、乙、丙三个人；(8) 分给甲、乙、丙三个人 ，甲得四本，乙、丙各得一本; (9) 分给甲、乙、丙三个人 ，一人得四本，另两人各得一本； (10) 分给甲、乙、丙、丁四个人 ，甲、乙各得一本,丙、丁各得两本； (11) 分给甲、乙、丙、丁四个人 ，两人各得一本，另两人各得两本；分析：在排列、组合中不同元素的分组分配问题一般按照“先分组再分配”的原则，但不排除其他途径。
在分组时要区分是均分还是非均分或部分均分,在分配时要区分是定向分配还是非定向分配。
（1)非均匀分组，分步产生每一组不会造成重复:123653C C C(2） 均匀分组,分步产生每一组会造成重复,应消去步骤造成的重复计数：22264233C C C A （3)部分均匀分组,应消去均匀分组时步骤上造成的重复计数：41162122C C C A(4）同（3）: 112265422222C C C C A A(5）非均匀定向分配，等同于非均匀分组：123653C C C 亦可理解为甲、乙、丙依次选择。
（6)非均匀不定向分配，分组后再分配：12336533C C C A（7)均匀分配，分组后再分配:2223642333C C C A A 亦可理解为甲、乙、丙依次选择:222642C C C（8)部分非均匀定向分配，均匀部分要分配：4112621222C C C A A 亦可理解为甲、乙、丙依次选择：411621C C C(9)部分非均匀不定向分配，分组后再分配:4113621232C C C A A（10）同(8）：:1122226542222222C C C C A A A A 亦可理解为甲、乙、丙依次选择:11226542C C C C（11）同(9)11224654222422C C C C A A A小结：(1）分组时应注意消去均匀部分的重复计数。
排列组合中的分配分组问题
排列组合中的分配分组问题排列、组合以其独特的研究对象和研究方法，在高中数学教学中占有特殊的地位，是高考必考内容之一，它既是学习概率的预备知识，又是进一步学习数理统计、组合数学等高等数学的基础，因此排列与组合问题的应用题是高考的常见题型。
本文就笔者自己解决排列组合问题中的分配分组问题的一些浅见拙知与大家分享，不值一飧，还望批评与指正。
一、基本定义：1、 排列：从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个排列。
2、 组合：从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素合成一组，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个组合。
3、 排列数与组合数公式：)1)......(1(A +--=m n n n mn!)1().........1(m m n n n C A C m n m n m n+--== 二、解题思路总析：从排列与组合的定义来看，这两个数学名词的相同之处在于“选”—从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素；不同之处在于：排列有“序”——取出的m 各元素之间有顺序，组合无“序”——取出的m 各元素之间无顺序。
所以根据题目的意思分析元素之间是否有序就成了解决问题是用排列数公式还是用组合数公式的关键。
另外，在分配分组问题中，还存在分成的各组元素个数相等或不相等的问题，各组元素个数相等的分配分组称为“均匀”，各组元素个数全不相等的分配分组称为“不均匀”。
综合以上两点，笔者把排列组合中的分配分组问题统分为四类：1、 均匀有序：各组元素个数相等，各组之间有顺序；2、 均匀无序：各组元素个数相等，各组之间没有顺序；3、 不均匀无序：各组元素个数全不相等，各组之间没有顺序；4、 不均匀有序：各组元素个数全不相等，各组之间有顺序。
其中均匀有序又称“双肯定”分法，不均匀无序又称“双否定”，均匀无序和不均匀有序称为“单肯定”下面就以具体例题来说明上面四类问题的一般解法：例1：有6本不同的书，（1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？（2）分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分法？（3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分法？（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分法？解析：对于问题（1），首先从6本不同的书中选出2本来给甲，选出的2本书之间无顺序，为26C ；其次，从剩下的4本书中选出2本来给乙，为24C ；最后剩下的2本给丙，为22C ；整个解题过程应用的是分步计数原理，所以最终的分法数为90C *C *C N 2224261==;对于问题（2），与问题（1）的相同在于都是均匀分组，差别仅仅在于，一个是分给3人，一个是分成3堆，即就是分成的3组之间一个是有顺序的，一个是没有顺序的，所以问题（2）的解决可以在问题（1）解决的基础上对3组进行“消序”，即15A C *C *C N 332224262==; 对于问题（3），解决方法与问题（1）一样，用分步计数原理，先从6本不同的书中选出1本来，再从剩下的5本书中选出2本来，最后剩下的3本作为一堆，最终的分法数为60C *C *C N 3325163==;对于问题（4），分析题目，可见问题（4）与问题（3）的相同在于都是不均匀分组，差别在于问题（3）是分成3堆，即分成的3组无序，问题（4）是分给3人，即分成的3组有序，所以问题（4）的解决可以在问题（3）解决的基础上对3组进行“排序”，即603A *C *C *C N 333325164==。
例谈排列组合中的分组分配问题
例谈排列组合中的分组分配问题1.编号分组：（1）相同元素编号分组“编号分组”的意思是：即使分出来两个或多个组中元素的个数相同，仍然看成不同的组例题1：10个相同的小球，放入5个不同的盒子里面，每个盒子至少要放一个球。
问有几种放法？方法（隔板法）：10个相同小球排成一行，中间有9个空，将4块隔板，插入从这9个空中任意选取的4个空，就得到5组小球，再放入5个不同的盒子，有. 种分组方法。
（2）不同元素编号分组分成两种情况：(i)非均匀编号分组（每组元素个数不同）例题2：10个人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同（在这里体现“编号分组”）劳动，问有几种安排方法？方法：分步选人，分别选各组人数，然后要乘以组数的全排列。
有 .种(ii)均匀编号分组（包括部分均匀、全部均匀）例题3：10个人分成三组，各组人数分别为2、2、6，去参加不同劳动，问有几种安排方法？方法：分步选人，分别选各组人数。
但是，由于有两个组人数相同，而选人时又是分步选人的（即有顺序在里面），所以必然会造成重复。
比如：甲乙、丙丁和丙丁、甲乙是一种情况，我们却多算了。
要除以元素相同的2个组的组数的全排列 . ，选人完之后要放进编好号码的组里面，所以乘以总组数的全排列. ，即有 . 种。
2.不编号分组：与编号分组不同的是，在不编号分组中，各个组元素的个数成为了区别不同组的唯一标志，换言之，只要有两个或者多个组有相同个数的元素，它们就被视为相同的组。
在这里，由于组已经没有编号了，如果要放进组里面的元素再不可区分，那问题就变得没什么意义，而且很简单了。
比如：三个相同的球，放入两个相同的盒子里面，只有一种放法，那就是其中一个盒子放一个球，另外那个盒子放剩下的那两个球。
所以用列举法就可以了。
在这里主要讨论不同元素的情况。
（1）不同元素，不编号不均匀分组。
例题4：10个人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加相同（在这里体现“不编号分组”）劳动，问有几种安排方法？方法：和“不同元素，编号不均匀分组”相比，不必乘以组数的全排列，因为三个组参加的是相同的劳动（这里“相同”的言下之意是：劳动内容相同，又是同时去的，如果不同时，还要当作编号分组）有 . 种（2）不同元素不编号均匀分组（部分均匀、全部均匀）例题5：10个人分成三组，各组人数分别为2、2、6，去参加相同劳动，问有几种安排方法？方法：要除以相同元素个数的那几个组的组数的全排列.，但是不必乘以总组数的全排列。
(完整版)排列组合习题_(含详细答案)
圆梦教育中心排列组合专项训练1.题1 (方法对比，二星)题面：(1)有5个插班生要分配给3所学校，每校至少分到一个，有多少种不同的分配方法？(2)有5个数学竞赛名额要分配给3所学校，每校至少分到一个名额，有多少种不同的名额分配方法？ 解析：“名额无差别”——相同元素问题(法1)每所学校各分一个名额后，还有2个名额待分配，可将名额分给2所学校、1所学校，共两类：2133C C +(种)(法2——挡板法)相邻名额间共4个空隙，插入2个挡板，共：246C =(种) 注意：“挡板法”可用于解决待分配的元素无差别，且每个位置至少分配一个元素的问题.(位置有差别，元素无差别)同类题一 题面：有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？答案：69C详解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。
相邻名额之间形成9个空隙。
在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有69C 种分法。
同类题二题面：求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数。
答案：36. 详解：将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x 、y 、z 之值, 故解的个数为C 92=36（个）。
2.题2 (插空法，三星)题面：某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有____种. 答案：60，48同类题一题面：6男4女站成一排，任何2名女生都不相邻有多少种排法？答案：A 66·A 47种.详解： 任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A 66·A 47种不同排法．同类题二 题面：有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )A ．36种B ．48种C ．72种D ．96种答案：C.详解：恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A 33A 24＝72种排法，故选C.3．题3 (插空法，三星)题面：5个男生到一排12个座位上就座，两个之间至少隔一个空位．1]没有坐人的7个位子先摆好，[2](法1——插空)每个男生占一个位子，插入7个位子所成的8个空当中，有：58A =6720种排法.(法2)[1]5个男生先排好：55A ；[2]每个男生加上相邻的一个座位，共去掉9个位置，当作5个排好的元素，共有6个空，剩下的3个元素往里插空，每个空可以插1个、2个、3个元素，共有：3216662C C C ++种，综上：有55A (3216662C C C ++)=6720种.同类题一题面：文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添两个小品节目，则不同的排列方法有多少种？ 答案：30。
排列组合综合
掌握排列组合的几个常见方法：一、 信箱问题：例：四个人争夺3项冠军，有多少种不同的结果？冠军是信，人是箱：4*4*4=64强化：4本不同的书分给三个人，有多少种不同的分法？书是信，人是箱：3*3*3*3=81二、涂颜色问题：例：将3种作物种植在如图的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有 42 种（以数字作答）这里要求是三种都种若只用两种：如所以：C 32*2 答案：48-6=42强化：有四种不同的颜色涂在四棱锥A-BCDE 的五个定点 处，要求同一线段的两个端点颜色不同，那么不同的 染色方案有 72 种。
这里没有要求用几种A ：4B ：3C ：2 DC 同： 1 E ： 2A ：4B ：3C ：2 DC 不同： 1 E ： 1 4*3*2*1*2+4*3*2*1*1=72三、相邻问题：例、六名同学排成一列，要求甲、乙、丙三名同学必须相邻，有多少种排法？捆绑法：A 44A 33=144强化：有语、数、外、理、化、生六种书各一本，现要排成一列，要求语文和数学必须放在一起，则不同的排列方法有多少种？捆绑法：A 55A 22=240四、不相邻问题：例、现有男生4人，女生3人要排成一列，要求女生不能站在一起，有多少种站法？插空法：男生排队A 44 ，留有5个空挡，所以：A 44A 53=1440强化：1、现有一排椅子共9把，有四人要坐，要求每两人之间有空椅子，有多少种不同的坐法？ 九把椅子拿走四把，剩下五把有六个空挡，四人带椅子插空：A 64=3602、有路灯9盏，现为了省电，要关闭其中三盏，要求关闭的灯不相邻且两端不关闭，则有多少AE C D B种不同的关闭方法？九盏灯拿走三盏，剩下六盏灯不要两边，有五个空挡，四盏灯插空：C 53=10（无顺序）五、相对顺序不变问题：例、在一个已经排好的6个节目的节目单中临时插入4个新节目，那么新节目单有多少种排法？ A 1010/A 66=5040强化：有语、数、外、理、化、生六种书各一本，现要排成一列，要求语文必须在数学的左边，数学必须在外语的左边，则不同的排列方法有多少种？A 66/A 33=120六、不同元素平均分组问题：例、把6个人平均分成三组，有多少种不同的分法？把6个人平均分成甲、乙、丙三组呢？C 62 C 42 C 22/A 33=15 C 62 C 42 C 22=90强化：1. 12名同学到三个不同的路口进行调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ） A 、4441284C C C 种 B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种 D 、444128433C C C A 种 2.把5名新来的同学分到三个班级，每班至少一人，有多少种分配方式？3 1 1 分组：C 53 C 21 C 11/A 22 分配：再乘以A 33 结果：602 2 1 分组：C 52 C 32 C 11/A 22 分配：再乘以A 33 结果：90最终答案：150七、相同元素分配问题：例、现有5个三好学生名额分给三个班级，每班至少一个，有多少种分法？隔板法：五个相同元素排成一排，除去两边，中间有四个空，插入两个隔板，分成三份，对应位置分别为一班二班三班的名额，无顺序：C 42=6强化：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？C 96=C 93=84八、网格问题：B 例、如右图，从A 点到达B 点，按最短路线走， 共有多少种走法？C85=C83=56 A九、小球不在其位问题：例、我们有带有号码1,2,3....的小球和带有号码1,2,3...盒子若干，求把小球放入盒子时，小球号码与盒子的号码不同的放法有多少种？1.两个球，两个盒子，分别标有号码1,2，12.三个球，三个盒子，分别标有号码1,2，3 23.四个球，四个盒子，分别标有号码1,2，3,4 94.五个球，五个盒子，分别标有号码1,2，3,4,5 44习题：某班级有30人，班主任计划随机给班里三个人调位，所有的可能有多少种？C303*2十、成双成对问题例、有五双鞋子，随机取出四只，则恰有两只是一双的取法有120种取一双C51 ，剩下四双取两双各取一只：C42C21C21 C51C42C21C21习题：十对夫妻受邀参加学校组织的家长会，班主任随机找四人发表意见，则恰有两人是夫妻的可能有1440种。
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排列组合之相同元素分配问题
华图教育 姜洋
排列组合问题是公务员考试中常见的一类计数问题，也是广大考生最为头疼的问题，排列组合的题型很多，其中有一类题目是涉及到相同元素分配的题目，本篇文章就针对排列组合中这样一类问题进行详细阐述。
【例】把9个苹果分给5个人，每人至少分一个苹果，那么不同的分法一共有多少种？
A.30
B.40
C.60
D.70
【解析】遇到这样的相同元素进行分配的问题，我们一般都是采用挡板法进行计算。
也就是9个苹果排成一排，形成8个空，中间插4个挡板，就可以把9个苹果分成5份，并且
每份至少为1个。
在8个空插上4个挡板：7048=C (种)分法。
此题是9个相同元素被分成5份，每份至少为1，我们是在9个元素形成的中间8个空隙中插入4个挡板，分成5份。
如果是10个相同元素被分成4份，每份至少为1，那么我们就可以在10个相同元素形成的9个空隙中，插入3个挡板，将10个元素分成4份。
推而广之，如果题目中给出的是遮掩一个模型“M 个相同元素，分成N 份，每份至少为1，问有多少种不同的分法”，就是在M 个元素形成的M-1个空隙中插入N-1个挡板。
所以公式即为：1
1--N M C 。
了解了这个公式之后，我们来做两道例题试一下。
【例题1】把5件相同的礼物全部分给3个小朋友，使每个小朋友都分到礼物，分礼物的不同分法一共有几种？（ ）
A.3
B.4
C.5
D.6
【答案】D 。
【解析】这是一道相同元素的分配问题，并且符合我们之前所讲过的模型，我们可以直
接代入公式6241315==--C C 种分法。
答案选择D 。
我们在做题的过程中，经常会遇到这个类型题的变形题目，比如说一下这几道例题。
【例题2】将12个相同的苹果分给3个小朋友，要求每个小朋友至少分得3个苹果，请问一共有多少种分配方式？（ ）
A.8
B.10
C.12 D,14
【答案】B 。
【解析】这道题同样是一道相同元素的分配问题，但是和我们之前讲过的模型并非完全一致，在模型中，每份至少为1，而本题中，每个小朋友至少分得的是3个苹果，所以我们先拿出6个苹果，给每个小朋友先分得2个苹果，这时就变成“6个苹果，分给3个小朋友，
每个小朋友至少分得1个苹果”，此时我们就可以直接代入公式10251316==--C C 种分法，
答案选择B 。
【例题3】将6个相同的苹果分给3个小朋友，请问一共有多少种不同的分法？（ ）
A.16
B.20
C.24
D.28
【答案】D 。
【解析】这道题目同样是相同元素分配问题，但是题目中并没有要求每个小朋友至少分得1个苹果，与我们总结出来的模型不相符，处理本道题目的时候，我们先从三个小朋友出分别“借”一个苹果，这时就变成“9个苹果分给3个小朋友，每个小朋友至少分得1个苹
果，有多少种不同的分法？”，我们就可以直接代入公式计算28281319=---C C ，答案选择D 。
【例题4】将9个相同的苹果放入3个不同的箱子里。
要求：第一个箱子不少于1个，第二个箱子不少于2个，第三个箱子不少于3个。
请问一共有多少种不同的分配方法？（ ）
A.8
B.10
C.12
D.14
【答案】D 。
【解析】先拿出3个苹果，在第二个箱子中放入1个，在第三个箱子中放入两个，此时就变成“6个相同的苹果，放入3个箱子，每个箱子至少放入1个苹果，一共有多少种分配
方法”，这个时候我们就可以直接代入公式10251316==--C C ,答案选择D 。
【例题5】某单位订阅了30份学习材料，发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料，问一共有多少种不同的发放方法？（ ）
A.12
B.10
C.9
D.7
【答案】B 。
【解析】先拿出24份学习材料，每个部门分8份，这时就变成“6份学习材料分给3
个部门，每个部门至少分得1份，有多少种不同的分配方法”，代入公式10251316==--C C ，
答案选择B 。
有以上例题2~5这四道题目我们不难发现，在解决相同元素分配问题的时候，我们都是在构造之前总结出来的模型，当分配元素个数至少为P 个，P ＞1时，我们都是先给每个人分P-1个元素，从而构造出每人至少分得1个元素的情形；当没有要求每人至少分到1个元素的时候，我们先向其“借”1个元素，从而构造出每人至少分得1个元素。
通过上述构造出模型“M 个相同元素，分给N 个人，每人至少分得1个元素，一共有多少种不同的分配方式？”，此时我们就可以运用公式11--N M C 来解决相同元素分配问题。