必修5解三角形知识点归纳总结

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高中数学必修五第一章《解三角形》知识点知识讲解

高中数学必修五第一章《解三角形》知识点收集于网络，如有侵权请联系管理员删除高中数学必修五第一章解三角形知识点归纳1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C===A B ． 5、正弦定理的变形公式： ①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）7、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---8、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-．9、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=． 10、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。

高中数学必修5知识点总结归纳(人教版最全)

高中数学必修五知识点汇总第一章解三角形一、知识点总结正弦定理:1．正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C=== (R 为三角形外接圆的半径).步骤1.证明：在锐角△ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c 。

作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a ·sinB CH=b ·sinA ∴a ·sinB=b ·sinA得到b ba a sin sin =同理，在△ABC 中， bbc c sin sin =步骤2.证明：2sin sin sin a b cR A B C===如图，任意三角形ABC,作ABC 的外接圆O. 作直径BD 交⊙O 于D. 连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90°因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C.所以C RcD sin 2sin ==故2sin sin sin a b c R A B C ===2.正弦定理的一些变式：()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a bii A B C R R==2c R =；()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；（4）R CB A cb a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 4.在ABC ∆中，已知a,b 及A 时，解得情况：解法一：利用正弦定理计算解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知a,b 和角A ，则由余弦定理得即可得出关于c 的方程：0cos 2222=-+-a b Ac b c 分析该方程的解的情况即三角形解的情况 ①△=0,则三角形有一解 ②△>0则三角形有两解 ③△<0则三角形无解余弦定理:1．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩2.推论： 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩.设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C =； ②若222a b c +>，则90C <； ③若222a b c +<，则90C >．3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 面积公式:已知三角形的三边为a,b,c,1.111sin ()222a S ah ab C r a b c ===++（其中r 为三角形内切圆半径）2.设)(21c b a p ++=,))()((c p b p a p p S ---=(海伦公式)例：已知三角形的三边为，、、c b a 设)(21c b a p ++=，求证：（1）三角形的面积))()((c p b p a p p S ---=；（2）r 为三角形的内切圆半径，则pc p b p a p r ))()((---=（3）把边BC 、CA 、AB 上的高分别记为，、、c b h h a h 则))()((2c p b p a p p ah a ---=))()((2c p b p a p p b h b ---=))()((2c p b p a p p ch c ---=证明：（1）根据余弦定理的推论：222cos 2a b c C ab+-=由同角三角函数之间的关系，sin C ==代入1sin 2S ab C =，得12S ====记1()2p a b c =++，则可得到1()2b c a p a +-=-，1()2c a b p b +-=-，1()2a b c p c +-=-代入可证得公式（2）三角形的面积S 与三角形内切圆半径r 之间有关系式122S p r pr =⨯⨯=其中1()2p a b c =++，所以S r p == 注：连接圆心和三角形三个顶点，构成三个小三角形，则大三角形的面积就是三个小三角形面积的和故得：pr cr br ar S =++=212121（3）根据三角形面积公式12a S a h =⨯⨯所以，2a S h a =a h =同理b h c h 【三角形中的常见结论】（1）π=++C B A (2) sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-2cos 2sinC B A =+,2sin 2cos CB A =+;A A A cos sin 22sin ⋅=, （3）若⇒>>C B A c b a >>⇒C B A sin sin sin >> 若C B A sin sin sin >>⇒c b a >>⇒C B A >> （大边对大角，小边对小角）（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边（5）三角形中最大角大于等于 60，最小角小于等于 60(6) 锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.钝角三角形⇔最大角是钝角⇔最大角的余弦值为负值（7）ABC ∆中，A,B,C 成等差数列的充要条件是 60=B .(8) ABC ∆为正三角形的充要条件是A,B,C 成等差数列，且a,b,c 成等比数列. 二、题型汇总:题型1:判定三角形形状判断三角形的类型（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.（2）在ABC ∆中，由余弦定理可知:222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形∆（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆） (3) 若B A 2sin 2sin =，则A=B 或2π=+B A .例1.在ABC ∆中，A b c cos 2=，且ab c b a c b a 3))((=-+++，试判断ABC ∆形状.题型2:解三角形及求面积一般地，把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.例2.在ABC ∆中，1=a ，3=b ，030=∠A ，求的值例3.在ABC ∆中，内角C B A ,,对边的边长分别是c b a ,,，已知2=c ，3π=C ．（Ⅰ）若ABC ∆的面积等于3，求a ，b（Ⅱ）若A A B C 2sin 2)(sin sin =-+，求ABC ∆的面积．题型3:证明等式成立证明等式成立的方法：（1）左⇒右，（2）右⇒左，（3）左右互相推.例4.已知ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，求证：B c C b a cos cos +=.题型4:解三角形在实际中的应用考察：（仰角、俯角、方向角、方位角、视角）例5．如图所示，货轮在海上以40km/h 的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时到达C 点观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？三、解三角形的应用 1.坡角和坡度：坡面与水平面的锐二面角叫做坡角，坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用i 表示，根据定义可知：坡度是坡角的正切，即tan i α=.lhα2.俯角和仰角：如图所示，在同一铅垂面内，在目标视线与水平线所成的夹角中，目标视线在水平视线的上方时叫做仰角，目标视线在水平视线的下方时叫做俯角.3. 方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为 .注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。

必修五数学解三角形知识点

必修五数学解三角形知识点必修五数学解三角形知识点判断解法已知条件：一边和两角一般解法：由A+B+C=180°，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时，有一解。

已知条件：两边和夹角一般解法：由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180°求出另一角，在有解时有一解。

已知条件：三边一般解法：由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180°，求出角C在有解时只有一解。

已知条件：两边和其中一边的对角一般解法：由正弦定理求出角B，由A+B+C=180°求出角C，再利用正弦定理求出C边，可有两解、一解或无解。

(或利用余弦定理求出c边，再求出其余两角B、C)①若ab，则AB有唯一解;②若ba，且babsinA有两解;③若absina则无解。

p=常用定理正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R在同一个三角形中是恒量，R是此三角形外接圆的半径)。

变形公式(1)a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC(2)sinA:sinB:sinC=a:b:c(3)asinB=bsinA，asinC=csinA，bsinC=csinB(4)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R面积公式(5)S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC S=1/2底·h(原始公式)余弦定理a²=b²+c²-2bccosAb²=a²+c²-2accosBc²=a²+b²-2abcosC注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。

变形公式cosC=(a²+b²-c²)/2abcosB=(a²+c²-b²)/2accosA=(c²+b²-a²)/2bc数学二元一次方程组知识点1.定义：含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程。

人教新课标版数学高二-数学必修5第一章《解三角形》知识整合

数学·必修5(人教A版)一、本章的中心内容是如何解三角形．正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上．通过本章的学习应当达到以下学习目标：1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际生活问题．3．本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论．在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等，那么这两个三角形全等”．“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”的边角关系．我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢？在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形”．我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题．4．在此内容之前我们已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．5．勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知，余弦定理是勾股定理的推广．二、学数学的最终目的是应用数学．能把实际问题抽象成数学问题，把所学的数学知识应用到实际问题中去，通过观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题，确定解决问题的科学思维方法，学会把数学知识应用于实际．1．正弦定理可建立边角关系，角的正弦越大所对的边就越长．2．由正弦值得出角的大小时特别要注意是一个解还是两个解．一般地，解三角形时，只有当A为锐角且b sin A＜a＜b时，有两解；其他情况时则只有一解或无解．3．利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题．(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角．4．把a＝k sin A，b＝k sin B代入已知等式可将边角关系全部转化为三角函数关系．5．余弦定理是三角形边角之间的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例．6．余弦定理的应用范围是：①已知三边，求三角；②已知两边及一个内角，求第三边．7．已知两边及其中一边所对的角用余弦定理时可能有两个解，注意用三边特点取舍．解决实际测量问题一般要充分理解题意，正确作出图形，从中抽象出一个或几个三角形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，然后解三角形，得到实际问题的解．8．解斜三角形应用题的一般步骤．(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．(4)检验：检验上述所求的解是否有实际意义，从而得出实际问题的解．9．平面上两点的距离测量问题一般有如下几类情况：(1)A、B两点都在河的两岸，一点可到达，另一点不可到达．方法是可到达一侧再找一点进行测量．(2)A、B两点都在河的对岸(不可到达)．方法是在可到达一侧找两点进行测量．(3)A、B两点不可到达(如隔着一座山或建筑)．方法是找一点可同时到达A、B两点进行测量．10．利用正弦定理和余弦定理来解高度问题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化．11．测量高度的一般方法是选择能观察到测量物体的两点，分别测量仰角或俯角，同时测量出两个观测点的距离，再利用解三角形的方法进行计算．12．求三角形的面积的问题，先观察已知什么，尚缺什么，用正弦定理、余弦定理求出需要的元素，就可以求出三角形的面积．13．利用正弦定理、余弦定理、面积公式将已知条件转化为方程组是解决复杂问题的常见思路，将方程化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系．14．许多试题既可用正弦定理也可用余弦定理解决，甚至可以两者兼用，当一个公式求解受阻时要及时考虑其他公式列式．15．本章问题的高考要求不高，学习时要立足基本问题，熟练掌握测量的一般技巧，正确使用定理列方程求解，无须过多延伸与拓广．题型1 利用正、余弦定理解三角形解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的过程，三角形中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径)，解三角形通常是指求未知的元素，有时也求三角形的面积．解斜三角形包括四种类型：(1)已知三角形的两角和一边(一般先用内角和求角或用正弦定理求边)；(2)已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边)；(3)已知三边(先用余弦定理求角)；(4)已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边，注意讨论解的个数)．在△ABC 中，c ＝4，b ＝7，BC 边上的中线AD 长为72，求a .解析：如图，设CD ＝DB ＝x ，在△ACD 中，cos C ＝72＋x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫7222×7×x ，在△ACB 中，cos C ＝72＋(2x )2－422×7×2x，所以72＋x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫7222×7×x ＝72＋(2x )2－422×7×2x. 解得x ＝92. 所以a ＝2x ＝2×92＝9.如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于________．解析：由余弦定理得BD 2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，∴BD ＝2 3.∵BC ＝CD ＝2，C ＝120°，∴∠CBD ＝30°，∴∠ABD ＝90°，∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD＝12×4×23sin 90°＋12×2×2×sin 120°＝5 3. 答案：5 3题型2 利用正、余弦定理判定三角形的形状判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理化边为角，如a ＝2R sin A ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等，再利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断，此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin A ＝sin B ⇔A ＝B ，sin(A －B )＝0⇔A ＝B ，sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2等；二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A ＝a 2R ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．解析：解法一：由正弦定理可得2sin B ＝sin A ＋sin C ，∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°，A ＝120°－C ，将其代入上式，得2sin 60°＝sin(120°－C )＋sin C ，展开整理，得32sin C ＋12cos C ＝1，∴sin(C ＋30°)＝1，∴C ＋30°＝90°.∴C ＝60°，故A ＝60°，∴△ABC 是正三角形．解法二：由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∵B ＝60°，b ＝a ＋c 2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos 60°. ∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ，∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 为正三角形．题型3 三角形解的个数的确定(1)利用正弦定理讨论：若已知a ，b ，A ，由正弦定理a sin A ＝b sin B，得sin B ＝b sin A a .若sin B ＞1，则无解；若sin B ＝1，则有一解；若sin B ＜1，则可能有两解．(2)利用余弦定理讨论：已知a ，b ，A ，由余弦定理a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，即c 2－(2b cos A )c ＋b 2－a 2＝0.若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形有一解；若方程有两个不同正数解，则三角形有两解．在△ABC 中，若a ＝23，A ＝30°，则b 为何值时，三角形有一解，两解，无解？解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B得： ①当b sin A ＜a ＜b 时，有两解，此时23＜b ＜43；②当a ≥b 时或B 为90°(b 为斜边)时，有一解，此时b ≤23或b ＝43；③当a ＜b sin A 时无解，此时b ＞4 3.题型4 正、余弦定理在实际问题中的应用如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量，已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．解析：如下图，作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M ，高中数学-打印版精校版DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1702＝10298， DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130， EF ＝(BE －FC )2＋BC 2＝902＋1202＝150. 在△DEF 中，由余弦定理得：cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ×EF ＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.。

解三角形数列知识点总结

必修5第一章《解三角形》知识点归纳1. 高线定理：△ABC 中，a 边上的高B c C b h a sin sin ==2. 正弦定理：△ABC 中，A a sin =B b sin =Ccsin =2R ，推论c b a C B A ::sin :sin :sin = 3. 余弦定理：△ABC 中，a 2=b 2+c 2－2bc cos A ，推论 cos A =bcac b 2222-+4. 三角形的面积公式：△ABC 的面积C ab B ac A bc S sin 21sin 21sin 21===5. 解三角形的四种基本类型：（1）已知三边（SSS 型）----用余弦定理推论求三角（2）已知两边和它们的夹角（SAS 型）----用余弦定理求第三边（3）已知两角和任一边（AAS 型）----用内角和定理求第三角，用正弦定理求另两边（4）已知两边和其中一边的对角（SSA 型）----用正弦定理求另一边的对角注1：SSS 型，SAS 型，AAS 型至多有一解. 注2：SSA 型解情况复杂：若正弦值小于1，则用大边对大角判定角范围，可能一解或两解；若正弦值大于1，则无解.若已知角为锐角，则可能一解或两解；若已知角为钝角，则至多一解.注3：SSA 型也可以用余弦定理求第三边，通过一元二次方程解的情况判断三角形解的情况！！！ 6. 应用举例：（1）求河两岸两点的水平距离（一点可达，另一点不可达）. （2）求河对岸两点的水平距离（两点均不可达）.（3）求底部不可达的建筑物的竖直高度（即两点的垂直距离）（注意取测量点的两种方法）. （4）求航行距离与航向（方向角或方位角）. 7. 常用方法：（1）边角混合式的处理方法！！！（2）韦达定理、降次公式、二倍角公式、和差角公式、辅助角公式的运用方法！！！（3）平面向量的数量积定义与坐标运算公式、两个向量夹角公式的运用方法！！！8. 其他有关结论：在△ABC 中，下列结论也应熟记：B A B A <⇔<sin sinπ=+=⇔=B A B A B A 22222sin 2sin 或sin(A+B)=sinCcos(A+B) -cosCtan(A+B) -tanC ==2cos 2sinC B A =+ 2sin 2cos CB A =+ 12tan 2tan =+C B A tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅【典型题目】（学案）必修5第二章《数列》知识点归纳1. 等差数列与等比数列知识点类比：2. 等差数列与等比数列有关公式的推导方法：等差数列通项公式推导方法----累差法，等比数列通项公式推导方法----累商法；等差数列前n项和公式推导方法----倒序相加法，等比数列前n项和公式推导方法----乘公比错位相减法.3. 等差数列与等比数列的函数特征：等差数列通项公式是关于n的一次函数，等比数列通项公式是关于n的指数型函数；等差数列前n项和公式是关于n的二次函数，且常数项为零；等比数列前n 项和公式形如)1(nqA -，其中1,0≠≠q A .4. 证明一个数列是等差数列或等比数列的方法！！！5. 求等差数列前n 项和S n 最值的方法------对称轴法与变号项法！！！6. 形如}{n nb a +的数列求前n 项和S n 的方法-----拆项重组法！！！（其中}{n a }{n b 为等差或等比数列）7. 形如}1{1+⋅n n a a 的数列求前n 项和S n 的方法-----裂项相消法！！！（其中}{n a 为等差数列）8. 形如}{n nb a ⋅的数列求前n 项和S n 的方法-----乘公比错位相减法！！！（其中}{n a 为等差，}{n b 等比）9. 由S n 求a n 的方法！！！10. 处理S n 与a n 混合式的方法！！！11. 求等差数列的绝对值数列的前n 项和S n 的方法. 12. 判断一个数列单调性的方法.13. 等差数列的单调性与什么量有关？有什么关系？！！！ 14. 等比数列的单调性与什么量有关？有什么关系？！！！ **15. 求两个等差数列的公共项的方法.**16. 求一个等差数列与一个等比数列的公共项的方法.【典型题目】（学案）。

人教版数学必修五解三角形知识点

人教版数学必修五解三角形知识点
人教版数学必修五中，关于三角形的知识点主要包括以下内容：
1. 三角形的基本概念：三角形是由三条线段组成的图形，其中包括三个顶点、三条边和三个内角。

2. 三角形的分类：根据三条边的长短，可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

根据三个角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

3. 三角形的性质：三角形中，任意两边之和大于第三边；任意两角之和小于180度；任意两边之差小于第三边。

此外，三角形的内角和为180度。

4. 三角形的重要定理：包括三角形的角平分线定理、三角形的中线定理、三角形的高线定理、三角形的垂心定理等。

5. 三角形的相似性质：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形是相似的。

相似三角形的边比例相等，相似三角形的面积比等于边比例的平方。

6. 三角形的三边关系：根据三角函数的定义，可以得到三角形中的正弦定理、余弦定理和正切定理。

通过这些定理，可以解决与三角形边长和角度相关的问题。

7. 应用题：根据已知条件解决实际问题，如三角形的面积计算、角度测量、边长计算等。

以上是人教版数学必修五中关于三角形的主要知识点。

希望对你有所帮助！。

必修五第1章解三角形归纳整合

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4．解三角形应用题的基本思路解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决．其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型的问题(如：测量距离、高度、角度等)，然后依题意画出示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答．解题时还要注意近似计算的要求．
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解；若方程有唯一正数解，则三角形一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解．三角形形状的判定方法 3．判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如：a＝2Rsin A，a2＋b2－c2＝2abcos C等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系．如：
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【例2】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2a－b)cos C＝c· cos B，△ABC的面积S＝10 3 ，c＝7. (1)求角C； (2)求a，b的值．解 (1)∵(2a－b)cos C＝ccos B， ∴(2sin A－sin B)cos C＝sin Ccos B， 2sin Acos C－sin Bcos C＝cos Bsin C，即2sin Acos C＝sin(B＋C)， ∴2sin Acos C＝sin A.
－2ab1＋cos
π ， 3
2
1 －2×40×1＋ . 2
∴a＋b＝13.② 由①②得 a＝8，b＝5 或 a＝5，b＝8.
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高中数学必修5全册知识点总结(理科)

高中数学必修5知识点第一章解三角形（一）解三角形：1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有2sin sin sin a b c RC ===A B (R 为C ∆AB 的外接圆的半径)2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=；③::sin :sin :sin a b c C =A B ；3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆A B =A ==B ．4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，推论：222cos 2b c abc+-A =第二章数列1、数列中n a 与n S 之间的关系：11,(1),(2).n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩注意通项能否合并。

2、等差数列：⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n≥2，n∈N +），那么这个数列就叫做等差数列。

⑵等差中项：若三数a A b 、、成等差数列2a bA +⇔=⑶通项公式：1(1)()n m a a n d a n m d=+-=+-或(n a pn q p q =+、是常数）.⑷前n 项和公式：()()11122n n n n n a a S na d -+=+=⑸常用性质：①若()+∈ +=+N q p n m q p n m ,,,，则q p n m a a a a +=+；②下标为等差数列的项() ,,,2m k m k k a a a ++，仍组成等差数列；③数列{}b a n +λ（b ,λ为常数）仍为等差数列；④若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb +(k 、p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈、，…也成等差数列。

高中数学必修5第一章：解三角形

外接圆法
A
BOb CFra bibliotekB`B a
c
O
C
b
A
C′
A
ObC B` B
A O bC
B
一.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦
的比相等，即
注意：
(1)正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式.由正弦函数在区间上的单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系.
2.在△ABC中，已知下列条件，解三角形(角度精确到1o, 边长精确到1cm): (1) a＝20cm，b＝11cm，B＝30o； (2) c＝54cm，b＝39cm，C＝115o.
3.判断满足下列条件的三角形的个数:
(1)b=11, a=20, B=30o 两解
(2)c=54, b=39, C=120o 一解
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.
余弦定理及其推论的基本作用是什么？ ①已知三角形的任意两边及它们的夹角可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其他角.
例1 在△ABC中，已知b=60 cm，c=34 cm，A=41° ，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）. 解：方法一：根据余弦定理，
用正弦定理试求，发现因A、B均
A
未知，所以较难求边c.
由于涉及边长问题，从而可以
考虑用向量来研究这个问题.
C
B
.
，
A
，
,
C
B
,
.
一、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减
去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即
注：利用余弦定理，可以从已知的两边及其夹角求出三角形的第三条边.

高二数学必修五第一章解三角形

高二数学必修五第一章解三角形一、本章知识结构：二、基础要点归纳1、三角形的性质： ①.A+B+C=π,222A B Cπ+=-⇒sin()sin A B C +=, cos()cos A B C +=-,sincos 22A B C+= ②.在ABC ∆中,a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ⇔sin A ＞sin B ,A ＞B ⇔cosA ＜cosB, a ＞b ⇔A ＞B③.假设ABC ∆为锐角∆，那么A B +＞2π,B+C ＞2π,A+C ＞2π; 22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b2、正弦定理与余弦定理： ①.正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C === (2R 为ABC ∆外接圆的直径) 111sin sin sin 222ABCS ab C bc A ac B ∆=== ②.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-222cos 2b c a A bc +-=2222cos b a c ac B =+-222cos 2a c b B ac+-=2222cos c a b ab C =+-222cos 2a b c C ab+-=〔必修五〕第二章、数列一、本章知识结构：二、本章要点归纳：1、数列的定义及数列的通项公式：①.()n a f n =，数列是定义域为N 的函数()f n ，当n 依次取1，2，⋅⋅⋅时的一列函数值。

②.n a 的求法：i.归纳法。

ii.11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 假设00S =，那么n a 不分段；假设00S ≠，那么n a 分段。

iii. 假设1n n a pa q +=+，那么可设1()n n a m p a m ++=+解得m,得等比数列{}n a m +。

iv. 假设()n n S f a =，那么先求1a ，再构造方程组：11()()n n n n S f a S f a ++=⎧⎨=⎩得到关于1n a +和n a 的递推关系式.2.等差数列：① 定义：1n n a a +-=d 〔常数〕,证明数列是等差数列的重要工具。

(完整版)高中数学-解三角形知识点归纳和分类习题测试,推荐文档

必修五：解三角形知识点一：正弦定理和余弦定理1.正弦定理a b c:si nAsin B si nC J'或变形：a: b:c s iri A:sin B:sin CcosAb 2 2 c2a2bc2 222a2 2b c2bccos AcosB ac b2acb 22 2 a c2accosBcosCb 2 2 a 2 c2 c 2 2 b a 2 •余弦定理：2bacosC 或2ab3. （ 1）两类正弦定理解三角形的问题： 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角（2）两类余弦定理解三角形的问题： 1、已知三边求三角•2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角4•判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式运算女口. sin(A B) sinC,cos(A B)A B C ABC AB C sincos ,cossin ,ta n cot — 2 2 22 225 •解题中利用 ABC 中A B C，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的cosC, tan(A B) tanC,1.若ABC 的三个内角满足si nA:si nB:si nC 5:11:13，贝U ABC 是( )A. 锐角三角形B•钝角三角形C.直角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形•2 .在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若a2b=2,sinB+cosB= 、 2 ,则角A的大小为( )A - B. _ C - D.—2 3 463.在厶ABC中，a 7,b 4、.3,c.13 ,则最小角为A—B、一 C 、— D 、364124.已知ABC中，AB 4, AC 3, BAC60，则BC ()A. 13B. 13C.5D.10 5•在锐角ABC中，若C 2B，则c的范围（）bA. 2, 3 B . 3,2 C . 0,2 D. 2,26.在ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知a2b2c2-、°ab，则C （）23A. 2B.4C.3D.47.在厶ABC中，A60o,b16,面积S220 .. 3，则cA 10、6 B、75C、55D、4 98.在厶ABC中，（a c)(a c) b(b c), 则AA 30o B、60o C、120o D、150o9.已知ABC中，AB 4,BAC45AC 3.2则ABC的面积为cosB b10.在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边,且cosC 2a c ,则角B的大小为11.已知锐角三角形的边长分别是23 x，则x的取值范围是A、1 X 5 B 、、5 x ^13 C 、0 x .5 D 、13x512 . ABC中，AB 1,BC 2则角C的取值范围是__________________知识点二：判断三角形的形状问题C1.在ABC 中，若cos A cos B sin2—，则ABC 是（）2A.等边三角形B •等腰三角形C .锐角三角形D.直角三角形A、一定是直角三角形C、可能是锐角三角形tan A3. 已知在△ABC中，tan B a b4. 在ABC 中，若cosA cosBA .等腰直角三角形5. 在△ ABC 中，若2cosBsinA = sinC,y^ ABC 的形状一定是( )A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形6. △ ABC 中，B 60°, b2 ac,则厶ABC - -定是( )A 锐角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形7. 若(a+b+c)(b+c —a)=3abc,且sinA=2sinBcosC,那么△ ABC 是()A .直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形 D . 等腰直角三角形8.在厶ABC中，已知2ab c2sin A sin BsinC，试判断厶ABC的形状。

高中数学必修五三角函数知识点+练习题含答案解析(很详细)

高中数学必修五三角函数知识点+练习题含答案解析(很详细)第一部分必修五三角函数知识点整理第一章解三角形1、三角形的性质：①.A+B+C=π,? 222A B C π+=-?sin cos 22A B C += ②.在ABC ?中, a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ?sin A ＞sinB ...........................A ＞B ?cosA ＜cosB, a ＞b ? A ＞B③.若ABC ?为锐角?，则A B +＞2π,B+C ＞2π,A+C ＞2π; 22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b2、正弦定理与余弦定理：①.(2R 为ABC ?外接圆的直径)2s i n a R A =、2sin b R B =、2sin c R C =sin 2a A R =、 sin 2b B R =、 sin 2c C R= 面积公式：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?=== ②.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-、2222cos b a c ac B =+-、2222cos c a b ab C =+-222cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、222cos 2a b c C ab+-= 补充：两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ --=+ ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin1ααααααα±=±+=±?⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+ ?落幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．第二部分必修五练习题含答案解析第一章解三角形1.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形解析：最大边AC 所对角为B ，则cosB ＝52＋62－822×5×6＝－320B>CB ．B>A>C C ．C>B>AD ．C>A>B解析由正弦定理a sinA ＝b sinB ，∴sinB ＝bsinA a ＝32.∵B 为锐角，∴B ＝60°，则C ＝90°，故C>B>A. 答案 C3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解:由A ＋B ＋C ＝180°，可求得A ＝45°，由正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝8×sin60°sin45°＝8×3222＝4 6. 答案 C4．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BA →·BC → 的值为( )A ．5B ．－5C ．15D ．－15解析在△ABC 中，由余弦定理得：cosB ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝25＋49－642×5×7＝17. ∴BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|cosB ＝5×7×17＝5. 答案 A5．若三角形三边长之比是1：3：2，则其所对角之比是( )A ．1：2：3B ．1：3：2C ．1：2： 3 D.2：3：2解析设三边长分不为a ，3a,2a ，设最大角为A ，则cosA ＝a 2＋3a 2－2a 22·a ·3a ＝0，∴A ＝90°.设最小角为B ，则cosB ＝2a 2＋3a 2－a 22·2a ·3a ＝32，∴B ＝30°，∴C ＝60°. 所以三角之比为1：2：3. 答案 A6．在△ABC 中，若a ＝6，b ＝9，A ＝45°，则此三角形有( )A ．无解B ．一解C ．两解D ．解的个数别确定解析由b sinB ＝a sinA ，得sinB ＝bsinA a ＝9×226＝3 24>1.∴此三角形无解．答案 A7．已知△ABC 的外接圆半径为R ，且2R(sin 2A －sin 2C)＝(2a －b)sinB(其中a ，b 分不为A ，B 的对边)，这么角C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析依照正弦定理，原式可化为2R ? ??a 24R 2－c 24R 2＝(2a －b)·b 2R ，∴a 2－c 2＝(2a －b)b ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab ，∴cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，∴C ＝45°. 答案 B8．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，且满脚ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3解析由a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R ，又sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，可得a 2＋b 2－ab ＝c 2.∴c osC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°，sinC ＝32. ∴S △ABC ＝12absinC ＝ 3. 答案 D9．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sinB sinC 的值为( ) A.85 B.58 C.53 D.35解析由余弦定理，得 cosA ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC，解得AC ＝3. 由正弦定理sinB sinC ＝AC AB ＝35. 答案 D10.在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( )A.2π3B.5π6C.3π4D.π3解析由余弦定理，得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴∠BAC ＝2π3. 答案 A11．有一长为1 km 的歪坡，它的倾歪角为20°，现要将倾歪角改为10°，则坡底要加长( )A ．0.5 kmB ．1 kmC ．1.5 km D.32km 解析如图，AC ＝AB ·sin20°＝sin20°，BC ＝AB ·cos20°＝cos20°，DC ＝AC tan10°＝2cos 210°，∴DB ＝DC －BC ＝2cos 210°－cos20°＝1.答案 B12．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分不为a ，b ，c.若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b 为( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3 D.6－ 2解析在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，∵a ＝c ，∴0＝b 2－2bccosA ＝b 2－2b(6＋2)cos75°，而cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝22? ????32－12＝14(6－2)，∴b 2－2b(6＋2)cos75°＝b 2－2b(6＋2)·14(6－2)＝b 2－2b ＝0，解得b ＝2，或b ＝0(舍去)．故选A. 答案 A 13．在△ABC 中，A ＝60°，C ＝45°，b ＝4，则此三角形的最小边是____________．解析由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝75°，∴c 为最小边，由正弦定理，知c ＝bsinC sinB ＝4sin45°sin75°＝4(3－1)．答案 4(3－1)14．在△ABC 中，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝________.解析由B ＝A ＋60°，得 sinB ＝sin(A ＋60°)＝12sinA ＋32cosA. 又由b ＝2a ，知sinB ＝2sinA.∴2sinA ＝12sinA ＋32cosA. 即32sinA ＝32cosA.∵cosA ≠0，∴tanA ＝33.∵0°<A<180°，∴A ＝30°. 答案30° 15．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，BC ＝5，且△ABC 的面积为103，则B ＝_______，AB ＝_______.解析由A ＋C ＝2B 及A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°.又S ＝12AB ·BC ·sinB ，∴10 3＝12AB ×5×sin60°，∴AB ＝8. 答案60° 816．在△ABC 中，已知(b ＋c)：(c ＋a)：(a ＋b)＝8：9：10，则sinA ：sinB ：sinC ＝________.解析设b ＋c ＝8k ，c ＋a ＝9k ，a ＋b ＝10k ，可得a ：b ：c ＝11：9：7.∴sinA ：sinB ：sinC ＝11：9：7.答案 11：9：717．在非等腰△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分不为a ，b ，c ，且a 2＝b(b ＋c)．(1)求证：A ＝2B ；(2)若a ＝XXX ，试推断△ABC 的形状．解 (1)证明：在△ABC 中，∵a 2＝b ·(b ＋c)＝b 2＋bc ，由余弦定理，得cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝bc ＋c 22ac ＝b ＋c 2a ＝a 2b ＝sinA 2sinB ，∴sinA ＝2sinBcosB ＝sin2B.则A ＝2B 或A ＋2B ＝π.若A ＋2B ＝π，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝C.这与已知相矛盾，故A ＝2B.(2)∵a ＝XXX ，由a 2＝b(b ＋c)，得XXX 2＝b 2＋bc ，∴c ＝2b.又a 2＋b 2＝4b 2＝c 2.故△ABC 为直角三角形．18．锐角三角形ABC 中，边a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A ，B 满脚2sin(A ＋B)－3＝0.求：(1)角C 的度数；(2)边c 的长度及△ABC 的面积．解 (1)由2sin(A ＋B)－3＝0，得sin(A ＋B)＝32. ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴∠C ＝60°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－3ab ＝12－6＝6.∴c ＝ 6.S △ABC ＝12absinC ＝12×2×32＝32. 19.已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分不是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sinB ，sinA)，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．解 (1)证明：∵m ∥n ，∴asinA ＝bsinB.由正弦定得知，sinA ＝a 2R ，sinB ＝b 2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，代入上式，得a ·a 2R ＝b ·b 2R，∴a ＝b.故△ABC 为等腰三角形．(2)∵m ⊥p ，∴m ·p ＝0，∴a(b －2)＋b(a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 得4＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0. 解得ab＝4，ab＝－1(舍去)．∴△ABC的面积S＝12absinC＝12×4×sinπ3＝ 3.。

数学必修五单元知识点总结归纳

数学必修五单元知识点总结归纳数学必修五单元知识点总结归纳(一)解三角形：1、正弦定理：在中，分别为角的对边，则有(为的外接圆的半径)2、正弦定理的变形公式：①②③3、三角形面积公式：.4、余弦定理：在中，有，推论：(二)数列：1.数列的有关概念：(1)数列：按照一定次序排列的一列数。

数列是有序的。

数列是定义在自然数N_或它的有限子集{1,2,3,…,n}上的函数。

(2)通项公式：数列的第n项an与n之间的函数关系用一个公式来表示，这个公式即是该数列的通项公式。

如:。

(3)递推公式：已知数列{an}的第1项(或前几项)，且任一项an与他的前一项an-1(或前几项)可以用一个公式来表示，这个公式即是该数列的递推公式。

如:。

2.数列的表示方法：(1)列举法：如1，3，5，7，9，…(2)图象法：用(n,an)孤立点表示。

(3)解析法：用通项公式表示。

(4)递推法：用递推公式表示。

3.数列的分类：4.数列{an}及前n项和之间的关系:5.等差数列与等比数列对比小结：等差数列等比数列一、定义二、公式1.2.1.2.三、性质1.，称为与的等差中项2.若(、、、)，则3.，，成等差数列1.，称为与的等比中项2.若(、、、)，则3.，，成等比数列(三)不等式1、;;.2、不等式的性质：①;②;③;④，;⑤;⑥;⑦;⑧.小结：代数式的大小比较或证明通常用作差比较法：作差、化积(商)、判断、结论。

在字母比较的选择或填空题中，常采用特值法验证。

3、一元二次不等式解法：(1)化成标准式：;(2)求出对应的一元二次方程的根;(3)画出对应的二次函数的图象;(4)根据不等号方向取出相应的解集。

线性规划问题：1.了解线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、解2.线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的值或最小值问题.3.解线性规划实际问题的步骤：(1)将数据列成表格;(2)列出约束条件与目标函数;(3)根据求最值方法：①画：画可行域;②移：移与目标函数一致的平行直线;③求：求最值点坐标;④答;求最值;(4)验证。

高一数学必修五知识点总结归纳

必修五知识点总结归纳（一）解三角形1、正弦定理：在 C 中，a、 b 、c分别为角、、C的对边， R为 C 的外接圆的半径，则有a b c2R ．sin sin sin C正弦定理的变形公式：①a2R sin， b2R sin， c2Rsin C ；② sin a， sin b， sin C c；2R2R2R③a : b : c sin: sin: sin C ；④a b c a b c．sin sin sin C sin sin sin C2、三角形面积公式：S C 1bc sin1ab sin C1ac sin．2223C中，有a b c2bc cos b a c2ac cos，、余弦定理：在222，222 c2a2b22ab cosC ．4、余弦定理的推论：cos b2c2a2，cosa2c2b2a2b2c2 2bc2ac，cosC2ab．5、射影定理：a b cosC c cos B,b a cosC c cos A, c a cosB b cos A6、设a、b、c是 C 的角、、 C 的对边，则：①若a2b2c2，则 C90；②若 a2b2c2，则 C90 ；③若 a2b2c2，则 C 90 ．(二 )数列1、数列：按照一定顺序排列着的一列数．2、数列的项：数列中的每一个数．3、有穷数列：项数有限的数列．4、无穷数列：项数无限的数列．5、递增数列：从第 2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列．a n 1a n06、递减数列：从第 2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列．a n 1a n07、常数列：各项相等的数列．8、摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．9、数列的通项公式：表示数列a n的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式．10、数列的递推公式：表示任一项a n与它的前一项a n 1（或前几项）间的关系的公式．11、如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．12、由三个数a，， b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为 a 与b的等差中项．若 b a c，则称 b 为a与c的等差中项．213、若等差数列a n的首项是 a1，公差是d，则 a n a1n 1 d ．14、通项公式的变形：①a n a m n m d ；② a1a n n 1 d ；③d a n a1 ；a n a1a n am ．n1④ n1；⑤ dd n m15、若a n是等差数列，且 m n p q（m、n、 p 、q*），则 a m a n a p a q；若 a n是等差数列，且2n p q （n、 p 、q*），则 2a n a p a q．16、等差数列的前n 项和的公式：①S n n a1a n；② S n na1n n 1d ．2217、等差数列的前n 项和的性质：①若项数为*，则 S2 n n a n a n 12n n，且S偶S奇nd ，S奇a n．S偶a n1②若项数为2n 1 n*，则 S2 n 12n 1 a n，且 S奇S偶 a n，S奇nS偶n1（其中 S奇na n， S偶n 1 a n）．18、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．19、在a与b中间插入一个数G ，使a， G ， b 成等比数列，则G 称为a与 b 的等比项．若 G2ab ，则称 G 为a与 b 的等比中项．注意： a 与b的等比中项可能是G 20、若等比数列a n的首项是a1，公比是q，则a n a1q n 1．21、通项公式的变形：①a n a m q n m；② a1 a n q n 1；③ q n 1an ；④q n man．a1a m22、若a n m n p q （m、n、 p 、q *a n a p a q；是等比数列，且），则 a m 若 a n是等比数列，且2n p q （n、 p 、q*），则 a n2a p a q．23、等比数列a n的前 n 项和的公式：S n24、等比数列的前n 项和的性质：①若项数为na1q1a11q n a a q．1n q 11q1q2n n*，则S偶q ．S奇② S n m S n q n S m．③ S n， S2 n S n， S3n S2n成等比数列（S n0 ）．（三）不等式1、a b 0 a b ； a b 0a b ； a b 0 a b ．2① a b b a ；②a b,b c a c；③ a b a c b c ；、不等式的性质：④ a b,c 0ac bc ， a b, c0ac bc ；⑤ a b, c d a c b d ；⑥ a b 0, c d 0ac bd ；⑦a b0a n b n n, n 1 ；⑧ a b 0n a n b n, n 1 ．3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式．4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式b24ac000二次函数y ax2bx ca0 的图象一元二次方程 ax 2bx 有两个相异实数根有两个相等实数根x b x1x2b没有实数根12c 0a0 的根1,22a x x2aax2bx c0x x x1或 x x2x x bR一元二次a02a 不等式的解集ax2bx c0x x1x x2a0若二次项系数为负，先变为正5、设a、b是两个正数，则ab称为正数 a 、b的算术平均数，ab 称为正数 a 、b的2几何平均数．6若 a0， b0，则a b2ab，即abab．、均值不等式定理：27、常用的基本不等式：①a2b22ab a, b R；② ab a2b2a, b R ；220；④ a2b22③ ab a b a0,b a b a,b R ．2228x、y 都为正数，则有、极值定理：设⑴若 x y s （和为定值），则当 x y 时，积 xy 取得最大值s2．4⑵若 xy p （积为定值），则当 x y 时，和 x y 取得最小值2p ．。

高中数学必修5《解三角形应用举例》知识全解

《解三角形应用举例》知识全解一、知识结构二、内容解析正弦定理和余弦定理在实际测量中有许多应用，如测量距离、高度、角度等.对于未知的距离、高度等，存在着许多可以供选择的测量方案，可以应用全等三角形的方法，也可以应用相似三角形的方法，或借助解直角三角形的方法，以及在本节介绍的应用两个定理的方法，等等.但是，由于在测量问题的实际背景下，某些方法也许不能实施，如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，一种方法会有局限性.关于三角形的有关几何计算，书中涉及了三角形的高和面积的问题.课本直接给出了计算三角形的高的公式，这三个公式实际上在正弦定理的证明过程中就已经得到.书中证明了已知三角形的两边及其夹角时的面积公式..在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形的知识，求出需要的元素，就可以求出三角形的面积.三、重点、难点.本节的教学重点是解决两个与测量有关的问题，也就是如何将实际问题转化为数学问题，并利用解斜三角形的方法予以解决．.分析、探究并确定将实际问题转化为数学问题的思路是难点和关键．四、教法导引在教学设计时，对教学的每一个环节都强调了学生的主体地位.对每一个问题的解决，从问题的分析、方案的讨论、数据的获取、信息的分析、结论的得出、方法的总结，无一不是由学生亲自参与、合作完成的，而教师很好地充当了指导者和合作伙伴的角色，形成了一个自由的、开放的生态化课堂.从而运用认知建构教学理论和多元智能发展观，在教学中采用自主探究与尝试指导相结合，引导学生通过分析实践、自主探究、合作讨论得出转化（解决）问题的方法．在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较．对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法．适当安排一些实习作业，让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力．教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题．五、学法建议在实践中体验过程，在过程中感受应用，在交流中升华知识.。

必修3,必修4,及必修5(解三角形)基础知识点总结

必修3,必修4,及必修5(解三角形)基础知识点总结班级：编号：姓名：必修3（一）算法1.算法通常是指用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.2.程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形．几种常用的图形符号的名称及作用如下：3.算法的三种基本逻辑结构是、和 .4.输入语句、输出语句分别用来实现算法的输入和输出功能．其一般格式为：输入语句：输出语句：5.赋值语句的功能是给变量赋初值或计算，其一般格式是：变量=表达式。

6循环语句表达算法中结构，其一般格式是：7.更相减损术：求两个自然数m ，n 的最大公约数的算法。

将两个数中较大的数减去较小的数，将差与较小的数比较，再重复以上过程，直到两个数相等时为止，这时这两个相等的数就是m ，n 的最大公约数。

8.秦九韶算法：一种求多项式的值的算法。

方法是将多项式通过加括号变形，如32()456((4)5)6f x x x x x x x =-+-=-+-.这样计算的好处，一是大大减少了乘法的次数，二是每次计算都是相同的过程——将上次的结果乘以x 再加下一个系数，这样很容易用计算机来实现。

注意计算时若有系数为0的项要补上该项（二）统计一、抽样方法1.简单随机抽样适用范围：2.系统抽样的适用范围：3.分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法就叫做分层抽样． (2)抽取数量的计算：各层抽取的数量之比，等于各层的数量之比.如各层分别有300，200，400个个体，则从各层中抽取的个体数量之比为300∶200∶400，即3∶2∶4. (3)适用范围：总体容量N 较大，且个体差异明显(有明显的层次). 二、用样本估计总体1.用样本频率分布估计总体频率分布 (1)频率分布直方图的做法① ；② ，组距与组数的确定没有固定的标准，常常需要一个尝试和选择的过程(试题中一般有规定)；③数据分组：计算各小组的频数和频率，列出频率分布表；④画频率分布直方图：图中纵轴表示，各小矩形的面积= .(2)茎叶图：当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带来方便。

人教课标版高中数学必修5《解三角形》章末总结

人教A 版必修五第一章《解三角形》章末复习知识梳理1.正弦定理：A a sin =B b sin =C csin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径.2.余弦定理：（1）形式一：A cos bc 2c b a 222⋅-+=，B cos ac 2c a b 222⋅-+=，C cos ab 2b a c 222⋅-+=形式二：bc 2a c b A cos 222-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab2c b a C cos 222-+=，（角到边的转换）3.S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB,S △=))()((c S b S a S S ---=Sr (S=2cb a ++,r 为内切圆半径)=R abc 4(R 为外接圆半径).4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形内角的诱导公式(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos 2C =sin 2BA +,sin 2C =cos 2BA ……在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°；(3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列.7.解三角形常见的四种类型(1)已知两角A 、B 与一边a,由A+B+C=180°及A a sin =B b sin =C c sin ，可求出角C ，再求b 、c.(2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2-2bccosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C.(3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C.(4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理A a sin =B bsin ，求出另一边b 的对角B ，由C=π-(A+B)，求出c ，再由A a sin =C c sin 求出C ，而通过A a sin =Bbsin 求B 时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：A>90° A=90° A<90° a>b 一解一解一解 a=b无解无解一解a<ba>bsinA 两解无解无解 a=bsinA 一解a<bsinA无解9.三角形的分类或形状判断的思路，主要从边或角两方面入手.专题一：正、余弦定理的应用1．正弦定理主要有两个方面的应用：(1)已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的第三个角，由正弦定理可以计算出三角形的另两边；(2)已知三角形的任意两边和其中一边的对角，应用正弦定理，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角． 2．余弦定理有两方面的应用：(1)已知三角形的两边和它们的夹角可以由余弦定理求出第三边，进而求出其他两角；(2)已知三角形的三边，利用余弦定理求出一个角，进而求出其他两角．例1．.（2011江西卷17）．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，23a =，tantan 4,22A B C++= 2sin cos sin B C A =，求,A B 及,b c例2．.（2009北京理）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=，4cos ,35A b ==。

必修五解三角形重难点题型归纳梳理非常完美

专题02 解三角形【重难点知识点网络】：【正弦定理】 2sin sin sin a b c R A B C===（R 为ABC ∆外接圆的半径）. 【正弦定理的变形】①2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===②2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C ++====++【三角形常用结论】（1）B A B A B A b a cos cos sin sin <⇔>⇔>⇔>（2）在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. （3)面积公式： ①111222a b c S ah bh ch ===，②111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===. 【三角恒等变换公式】()()()()1.sin sinC,cos =-cos tan =-tan A B A B C A B C +=++，（其中,,A B C 是三角形的三个内角） ()()2.sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+()()3.sin -sin cos -cos sin αβαβαβ=()()4.sinx cosx ,tan b y a b x aϕϕ=+=+=其中【内角和定理】三角形三角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.A>B a>b sinA>sinB ⇔⇔，60⇔A,B,C 成等差数列B=题型一：正余弦定理选择例1．（1）中，角所对的边分别为．若，则边【解析】，即，解得或（舍去）．（2）．在中，，，则的外接圆面积为【解析】因为在中，，，所以，又，设三角形外接圆半径为，则，因此的外接圆面积为. （3）．（2020·四川省都江堰中学高一期中）在ABC中，已知60,B b==sin sina bA B+=+（）.A．2 B．12C D．3【详解】由题意知60,B b==2sin sin60bB==根据正弦定理，可得2sin sina bA B===，所以2sin sin sina b aA B A+==+.故选：A.【变式训练】．（1）（2020·四川成都市·高一期末（理））在ABC中，若角π4B=，AC=AB=C=（）A．π6B．π3C．π6或5π6D．π3或2π3【详解】由正弦定理可得：sin sinAC ABB C=，则sinsin22AB BCAC===，ABC∆,,A B C,,a b c3,60a b A===︒c= 2222cosa cb cb A=+-213923cos60c c⇒=+-⨯⨯︒2340c c--=4c= 1c=-ABC c=75A=︒45B=︒ABCABC75A=︒45B=︒60C=︒2c=r21sincrC===ABC214S rππ==因为AC AB <，所以B C <，故3C π=或23π.故选：D ．（2）已知分别为三个内角的对边且，则=____【解析】因为，所以，所以,,.故答案为. （3）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则此三角形的外接圆的面积为______.【解析】在中，由余弦定理可得：解得：；再由正弦定理可得：，解得，由圆面积公式解得外接圆面积为：.故答案为：. 题型二：边角互换例2．（1）（2020·全国高二课时练习）在ABC 中，若cos sin c A a C =，则角A 的值为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 【详解】cos sin sin cos sin sin c A a C C A A C =⇒=，0C π<<，sin 0C ∴≠，cos sin A A ∴=，0A π<<，且2A π≠，tan 1A ∴= ，4A π∴=，故选：B （2）（2021·四川成都市·高三月考（文））在ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ∠，C ∠的对边，如果sin sin sin A b c B C b a+=--，那么cos C 的值为（） A ．12 B ．2 C ．23 D ．2【详解】∵sin sin sin A b c B C b a +=--，由正弦定理可得a b c b c b a+=--，即：()()()a b a b c b c -=+- ,,a b c ABC ,,A B C 222b c a +=A ∠222b c a +-=222b c a +-=cos A =6A π∴=6πABC ∆A B C a b c 8b =3c =60A =︒ABC ∆222249a b c bccosA =+-=7a =2a R sinA =R =2493S R ππ==493π整理得：222c a b ab =+-，对照余弦定理可得1cos 2C =故选：A ．（3）中，分别是角对边,若,且，则的值为__ 【解析】在中，因为,且，由正弦定理得，因为，则，所以，即，解得，由余弦定理得，即，解得．【变式训练】．（1）（2020·四川成都市·树德怀远中学高一期中）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos 2b C c a +=，且3b c ==，则a =（）A ．1 BC． D ．4【详解】2cos 2,b C c a += 由正弦定理可得()2sin cos sin 2sin 2sin 2sin cos 2cos sin ,B C C A B C B C B C +==+=+sin 2cos sin ,sin 0,0,.3C B C C B B ππ∴=≠<<∴=由余弦定理可得2222cos ,13,3b a c ac B b c =+-== ，解得 4.a = 故选D（2）（2019·四川成都市·双流中学高二期中（文））在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2cos a C c A b B +=，且cos22sin sin 1B A C +=，则a cb +的值为（） A ．1B C D ．2 【详解】cos cos 2cos a C c A b B +=，由正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=，()sin 2sin cos sin A C B B B ∴+==，sin 0B ≠，1cos 2B ∴=， ABC ∆,,a b c ,,A B C sin cos 0b A B =2b ac =a c b +ABC ∆sin cos0b A B =2b ac =sin sin cos 0B A A B-=(0,)A π∈sin 0A>sin 0B B =tan B =3B π=222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-()224b a c =+2a c b+=0B π<<，3B π∴=，cos22sin sin 1B A C +=，32sin sin 2A C ∴=， 232sin sin 34A A π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭23cos sin 2A A A +=，11sin 2cos 2222A A -=，sin 216A π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，3ABC π∴===， ∴ABC ∆为正三角形，则2a c b +=.故选：D（3）（2020·全国高一课时练习）在ABC ∆2sin b A =，则B 等于（）A ．30B ．60C ．30或150D ．60或120【详解】32sin a b A =2sin sin A A B =，0180A <<，sin 0A ∴>，可得sin B =，0180B <<，60B ∴=或120.故选：D. 题型三：三角形面积例3．（1）（2019·四川成都市·双流中学高三月考（文））在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且2,60,b B ABC ==︒∆a c +=( )A B ．4 C ．2 D ．4+【详解】因为ABC ∆中，2,60b B ==︒，所以ABC ∆的面积为11sin 222S ac B ac ==⋅=，则4ac =又2222cos b a c ac B =+-，即()()22224312a c ac a c ac a c =+-=+-=+-即()216a c +=，解得4a c +=，故选：B（2）（2020·四川宜宾市·高三二模（文））在ABC 中，角A 的平分线交边BC 于D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD △的面积是（）A B ． C ．1 D ．3【详解】()sin sin sin ADC ADB ADB π∠=-∠=∠，在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB BAD ADB=∠∠，同理可得sin sin CD AC CAD ADC =∠∠，因为ABC 中，角A 的平分线交边BC 于D ，上述两个等式相除得BD AB CD AC =， 4AB =，8AC =，2BD =，8244AC BD CD AB ⋅⨯∴===，6BC ∴=.2222224681cos 22464AB BC AC B AB BC +-+-∴===-⋅⨯⨯，sin 4B ==. 1sin 2ABDS AB BD B ∴=⋅⋅=A ．（3）（2020·四川省成都市第十七中学高一期中）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，它的面积为2224a b c --，则角A 等于（） A ．30 B ．45︒ C ．60︒ D ．135︒ 【详解】因为2224a b c --12bcsinA =，且2222a b c bccosA =+-，故可得sinA cosA =-，即1tanA =-，又因为()0,A π∈，故可得34A π=.故选：D. 【变式训练】．（1）（2021·全国高三专题练习（理））已知ABC 中，内角,,ABC 的对边分别为,,a b c ，若2,23A b π==，且ABC a 的值为（）A ．B ．8C ．2D ．12【详解】11sin 2222ABC S bc A c ==⨯⨯=，解得2c =，由余弦定理：22212cos 44222122a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，a ∴=故选：A.（2）中，，，，，则__________．【解析】由题意，在中，，所以的面积为，解得，由余弦定理得，又由，所以. （3）在中，、、分别是角、、的对边，若，，则的面积为【解析】由余弦定理可得，即，解得，因此，题型四：三角形形状判断例4．（1）（2020·成都市实验外国语学校（西区）高一期中）ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos sin sin B A C =，则ABC 的形状为（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【详解】因为2cos sin sin B A C =，所以22222a c b a c ac+-⋅⋅=，所以22a b =，所以a b =，所以三角形是等腰三角形，故选：B.（2）（2020·四川省泸县第四中学高一期中）在ABC 中，cos cos a b A B c ++=，则ABC 是（）A ．等腰直角三角形B ．等腰或直角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形ABC ∆AB =1AC =30B =ABC ∆C =ABC ∆01,30AB AC B ===ABC ∆111sin 222S AB BC B BC =⋅⋅=⨯=2BC =2221431cos 22142AC BC AB C AC BC +-+-===⋅⨯⨯0(0,180)C ∈60C =︒ABC ∆a b c A B C 2b c =a =3A π=ABC ∆2222212cos 4222a b c bc A c c c c =+-=+-⨯⨯⨯236c =c =2b c ==11sin 22ABC S bc A ∆==⨯=【详解】因为cos cos a b A B c ++=，sin sin sin a b A B c C++= 所以sin sin cos cos sin A B A B C++=，所以sin cos sin cos sin sin C A C B A B +=+ 因为A B C π++=，所以()()sin sin sin sin A B B C A C +=+++即()()sin cos sin cos sin sin C A C B B C A C +=+++所以sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin C A C B B C B C A C A C +=+++所以sin cos sin cos 0B C A C +=，因为sin sin 0B A +≠，所以cos 0C =因为()0,C π∈，所以2C π=，即ABC 是直角三角形，故选：D（3）（2020·四川成都市·成都外国语学校高一期中（文））△ABC 中，如果tan a A ＝tan b B ＝tan c C ，那么△ABC 是（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形【详解】因为tan a A ＝tan b B ＝tan c C ，所以由正弦定理可得sin sin sin tan tan tan A B C A B C ==，所以cos cos cos A B C ==，又函数cos y x =在(0,)π上为递减函数，且(0,),(0,),(0,)A B C πππ∈∈∈，所以A B C ==，所以△ABC 为等边三角形，故选：B【变式训练】．（1）（2020·四川成都市·双流中学高一开学考试）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos b c A =，则ABC 的形状为（）．A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形【详解】因为cos b c A =且222cos 2b c a A bc+-=，所以222222cos 22b c a b c a b c A c bc b +-+-==⨯=，即有222c a b =+，所以可判断ABC 为直角三角形，故选：B（2）（2020·绵阳市·四川省绵阳江油中学高一月考）在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC 的形状一定是（）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形【详解】已知：cos cos a A b B =，利用正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===，解得：sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，所以：22A B =或21802A B =︒-，解得：A B =或90A B +=︒，所以：ABC 的形状一定是等腰或直角三角形，故选：D ．（3）（2020·四川省宜宾市第四中学校高一期中）已知ABC 中，()()sin sin sin 2B A B A A ++-=，则ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．无法确定.【详解】因为()()sin sin sin 2B A B A A ++-=，由两角和差的正弦公式可得2sin cos sin 2B A A =，所以sin cos sin cos B A A A =，若cos =0A ，即2=A π时，此时ABC 是直角三角形；若cos 0A ≠，即sin sin B A =，所以A B =，所以ABC 是等腰三角形；综上，ABC 是等腰三角形或直角三角形；故选：C.题型五：三角形个数例5．（1）（2020·四川成都市·成都外国语学校高一期末（理））满足60ABC ∠=︒，12AC =，BC k =的ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（）A．k = B ．012k <≤ C ．12k ≥ D ．012k <≤或k =【详解】由题意得，sin6012k ︒=或012k <≤时，满足的三角形恰有一个，解得12sin 60k ===︒012k <≤，故选：D （2）（2020·遂宁市·高一期末）已知ABC中，4a b B π===，那么满足条件的ABC（）A ．有一个解B ．有两个解C ．不能确定D ．无解【详解】由题可知：4a b B π===，sin 2==a B <=<b a 所以可知ABC 有两个解，故选：B（3）．8．（2020·四川成都市·成都外国语学校高一期末（理））满足60ABC ∠=︒，12AC =，BC k =的ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（）A ．k =B ．012k <≤C ．12k ≥D ．012k <≤或k =【详解】如图，由题意得，sin6012k ︒=或012k <≤时，满足的三角形恰故选：D【变式训练】．（1）（2020·四川成都市·高一期中（理））在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b，c ，已知60A =︒，b =a 满足的条件是（）A ．0a <<B ．0<<3aC ．3a <<D ．a ≥3a =【详解】C 到AB 的距离d=bsinA=3，∴当3＜a ＜2时，符合条件的三角形有两个，故选C ．（2）（2019·四川成都市·成都外国语学校高一期中（文））在ABC ∆中，已知,45,1,2 ===B c b 则此三角形有几个解 ( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定【解析】因为sin 12c B b ⋅=<<=，所以三角形只有一个解，故选B. （3）（2020·重庆市黔江新华中学校高一期中）已知满足30C =，4AB =，AC b =的ABC ∆恰有一个，那么b 的取值范围是_________. 【详解】根据正弦定理，sin sin 8b C bB c ==，若三角形有一解，即B 仅有一个解，所以0sin sin B C <≤ 或sin 1B =，即0b c <≤或18b=，解得(]{}0,48b ∈⋃.因此，b 的取值范围是(]{}0,48⋃.题型六：取值范围例6．（1）（2020·全国高三专题练习）在锐角．．ABC 中， 2,2a B A ==，则b 的取值范围是（）A ．(2, B ．C ．4) D ．【详解】由题得3C B A A ππ=--=-，因为三角形是锐角三角形，所以0202,,cos 26422032A B A A A C A ππππππ⎧<<⎪⎪⎪<=<∴<<<<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩. 由正弦定理得22,,4cos sin sin sin 22sin cos sin b b b b A B A A A A A=∴==∴=.所以b ∈.选：B. （2）．（2020·四川省绵阳南山中学高二开学考试）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，2B A =，则b 的取值范围为（）A ．(0,4)B．(2,C．D．4)【详解】在锐角三角形中， 022A π<<，即04A π<<，且3B A A +=，则32A ππ<<，即63A ππ<<，综上64A ππ<<，则cos 22A <<，因为2a =，2B A =，所以由正弦定理得sin sin 2sin cos a b b A B A A ==，得4cos b A =，因为cos 22A <<，所以4cos A <<b <<b的取值范围为.故选：C.【变式训练】．（1）在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a 2ab +b 2＝1，c ＝1，a ﹣b 的取值范围为_____．【解析】因为，，所以.. 因为，所以.又因为，所以，，.因为，所以.，所以（3）在中，，，则角的取值范围是（）A ．B．C ．D ．【解析】，∴，∴，因，必为锐角，故题型七：射影定理221a b +=1c =222a b c +-=222cos 2a b c C ab +-===02C <<π6C π=12sin sin sin 6a b A B π===2sin a A =2sin bB =56B A π=-2sin b A B -=-52sin()6A A π=--552(sin cos cos sin )66A A A ππ=--cos 2sin()6A A A π=-=-025062A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩32A ππ<<663A πππ<-<1sin()262A π<-<b -∈ABC ∆1AB =2BC =C 0,6π⎛⎤⎥⎝⎦,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭sin sin AB BC C A =1sin sin 2C A =10sin 2C <≤AB BC <C 0,6C π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦例7.（2020·四川省广元市八二一中学高一期中）在ABC ∆中，角A B C ，，所对应的边分别为a b c ，，．已知cos cos 2b C c B b +=，则ba=______ ．【详解】将cos cos 2b C c B b +=，利用正弦定理可得：sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即()sin 2sin B C B +=，∵()sin sin B C A +=，∴sin 2sin A B =，可得：2a b =，则12b a =，故答案为12．【变式训练】．（2020·四川眉山市·仁寿一中高二开学考试）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边长分别为a ，b ，c，且cos 3C =，cos cos 2b A a B +=，则ABC ∆的外接圆面积为__________．【详解】由正弦定理知：cos cos 2sin cos 2sin cos 2b A a B R B A R A B +=⋅⋅+⋅=，即()1sin sin A B C R +==，cos 3C =，1sin 3C =，即3R =.故29S R ππ==.故答案为9π 题型八：解析几何中运用例8．（1）如图,在,已知点在边上,,,,则的长为【解析】由题意， ∴，．（2）的两边长分别为1，第三边上的中线长为1，则其外接圆的直径为【解析】，设，在中，，即，①ABC ∆D BC AD AC ⊥sin 3BAC ∠=AB =3AD =BD sin()cos 23BAD BAD π∠+==∠2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠2232333=+-⨯⨯=BD =ABC ∆1,1AB AC AD ===BD CD x ==ABD ∆2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠2112cos x x ADB =+-∠在中，同理可得，②，①+②得，为等边三角形，，的外接圆直径为 .（3）（2020·全国高三专题练习）在ABC ∆中，5AB =，BAC ∠的平分线交边BC 于D .若45ADC ∠=.BD sin C =___________.【详解】ABD ∆中，由正弦定理可得，5sin sin135BAD =∠，所以sin 10BAD ∠=AD 为BAC ∠的平分线即sin sin BAD CAD ∠=∠=，()10sin sin45C DAC ∴=∠+∠==.【变式训练】．（1）如图，，，，为平面四边形的四个内角，若，，，，，则四边形面积是______．【解析】连接BD ，在中，，在中，，所以=ACD ∆2312cos x x ADC =+-∠,cos cos 0ADB ADC ADB ADC π∠+∠=∠+∠=2422,1,x x ABD =+=∆3Bπ=ABC ∆2sin BCB==A B C D ABCD 180A C +=︒6AB =4BC =5CD =5AD =ABCD ABD ∆2222cos 6060cos BD AB AD AB AD A A =+-⋅=-BCD ∆2222cos 4141cos BD BC CD BC CD C C =+-⋅=-6060cos A -，因为，所以，所以，则，所以四边形面积（2）四边形中，，，，，，则的长为______【解析】连接AC ,设,则，故在中，，，又在中由余弦定理有,解得即.（3）在中，已知，是边上一点，如图，，则__________．【解析】，根据余弦定理，，，，根据正弦定理，则4141cos C -180A C +=︒cos cos A C =-1cos 5A =sin 5A =ABCD 11sin sin 22ABD BCD S S S AB AD A BC CD C ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯1165452525=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=ABCD 4AB =5BC =3CD =90ABC ∠=︒120BCD ∠=︒AD ACB θ∠=120ACD θ∠=-Rt ABC ∆sin θθ==()11cos 120cos sin 2222θθθ-=-+=-+=ACD ∆()2223cos 120AD θ+--==265AD =-AD =ABC ∆45B =︒D BC 75,1,BAD DC AC ∠=︒==AB =0120ADC ∠=22202cos120AC AD DC AD DC =+-⋅⋅260AD AD +-=2AD =060ADC ∠=00sin 60sin 45AB AD=. 考点八：综合运用例8．（1）在中，，向量在上的投影的数量为，则【解析】∵向量在上的投影的数量为，∴．①∵，∴，∴．② 由①②得，∵为的内角，∴，∴．在中，由余弦定理得，∴（2）（2020·四川省成都市盐道街中学高一期中）已知A 、B 、C 为ABC 的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若cos (2)cos 0a C c b A ++=．（1）求A ．（2）若a =4b c +=，求ABC 的面积．【详解】（1）cos (2)cos 0a C c b A ++=，由正弦定理可得：sin cos (sin 2sin )cos 0A C C B A ++=，sin cos sin cos 2sin cos 0A C C A B A ++=，sin()2sin cos 0A C B A ++=，sin 2sin cos 0B B A +=，sin 0B ≠，1cos 2A ∴=-，(0,)A π∈，23A π∴=．（2）由a =4b c +=，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，2212()22cos3b c bc bc π∴=+--，即有1216bc =-，4bc ∴=，故ABC 的面积为112sin 4sin 223S bc A π==⨯⨯= 02sin 60sin 45AD AB ===ABC ∆3AC =AB AC 2,3ABC S ∆-=BC =AB AC 2-||cos 2AB A =-3ABC S ∆=13||||sin ||sin 322AB AC A AB A ==||sin 2AB A =tan 1A =-A ABC ∆34A π=2||3sin 4AB π==ABC ∆2222232cos323(294BC AB AC AB AC π=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯=BC =（3）（2020·四川成都市·树德中学高一月考）已知向量(sin ,1)m x =，1(3cos ,)2n x =，函数()()f x m n m =+⋅.（1）求函数()f x 单调递增区间；（2）已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，a =3c =，且5()2f A =，求角C. 【详解】（1）231cos23()()sin cos 222x f x m n m x x x -=+⋅=+⋅+=++cos 22sin(2)226x x π=-+=-+ 由222()26263k x k k x k k Z πππππππππ-≤-≤+⇒-≤≤+∈，所以单调递增区间是[,]()63k k k Z ππππ-+∈（2）由（1）知，51()sin(2)2sin(2)6262f A A A ππ=-+=⇒-=， a c <，(0,)2A π∴∈52(,)666A πππ∴-∈-，266A ππ∴-=，6A π∴=，于是，由正弦定理，3sin sin sin sin 2a c C A C C =⇒=⇒=，3sin 2c A a c ⨯=<<，∴两个解均成立，3C π∴=或23π 【变式训练】．（1）（2020·四川成都市·（理））在ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足tan 2sin a C c A =．（1）求C∠的大小；（2）若2c a b ==，求ABC 的面积．【详解】（1）由tan 2sin a C c A =得sin 2sin cos a CA c C⋅=，由正弦定理得sin sin 2sin sin cos A CA C C⋅=，又(0,),sin 0A A π∈≠, ∴1cos 2C =,∵0C π<<, ∴3C π=（2）∵2222cos c a b ab C =+-，且2a b =．∴2222142232b b b b b =+-⋅⋅⋅=，∴2b =，∴4a =，∴1sin 2ABCSab C ==（2）（2020·沙坪坝区·重庆南开中学高三月考（理））已知函数()()()cos sin f x x x x x =∈R .（1）求()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若22B f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，6b =，求ABC 的面积的取值范围.【详解】（1）()211cos2cos sin sin 222xf x x x x x +==1sin 22sin 223x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴()f x 的周期T π=，由222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 所以()f x 的单调递增区间是5,1212k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭，k Z ∈.（2）∵sin 2322B f B π⎛⎫⎛⎫=--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin 03B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又(0,)B π∈，∴3B π=，由正弦定理有6sin sin sin sin 3a cb A C B π====∴11sin sin sin 22ABC S ac B A C B A C ==⋅⋅=△221sin (sin )18sin cos 322A A A A A A A Aπ⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭1cos29sin 2226A A A π-⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭∵203A π<<，∴72666A πππ-<-<，∴(ABC S ∈△ （3）（2020·四川成都市·高一期末（理））在ABC 中，三角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且cos 5A =，sin B C =．（1）求tan C 的值；（2）若a =ABC 的面积．【详解】在ABC 中，A B C π++=，0A π<<，sin 0A >，因为cos A =，得sin 5A ===①．（1()()sin sin sin sin cos cos sin C B A C A C A C A C π==-+=+=+⎡⎤⎣⎦，C C C =+．所以sin 3cos C C =②．如果cos 0C =，则sin 0C =与22sin cos 1C C +=③矛盾，所以cos 0C ≠．所以sin tan 3cos CC C==．（2）因为0C π<<，由tan 30C =>，得02C <<π，则sin 0C >，cos 0C >．将（1）中②代入（1）中③解得：sin10C=，cos10C=．于是sin102B C===．将a=1）①代入正弦定理sin sina cA C==3c=．所以ABC的面积11sin33222S ac B==⨯⨯=．课后训练1.（2020·宜宾市叙州区第二中学校高二开学考试（理））在ABC∆中，若sin cosA Ba b=，则角B为（）A．6πB．4πC．3πD．2π【解析】因为sin cosA Ba b=,所以cos sin,tan1,4B BB Bb bπ=∴=∴=.2.（2020·四川成都市·成都七中高三开学考试（理））设ABC∆的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且22cosb cBa+=，则A∠的大小为（）A．30B．60︒C．120︒D．150︒【详解】根据题意,由正弦定理可得：sin2sin2cossinB CBA+=，即sin2sin2cos sinB C B A+=，因为()C A Bπ=-+,∴sin2sin()sin2sin cos2cos sin2cos sinB A B B A B A B B A++=++=，sin2cos sin0B A B∴+=，sin0B ≠，12cos0A∴+=，解得1cos2A=-，(0,180)A∈︒︒，120A∴=︒.故选：C3.（2020·四川省成都市盐道街中学高一期中）在ABC中，60B=︒，1a=，ABCABC 外接圆面积为（）A ．4πB ．2πC ．πD ．3π【详解】在ABC 中，11sin 1sin 60222S ac B c ==⨯⨯⨯︒=，则2c =，根据余弦定理：2222cos b a c ac B =+-2212212cos603=+-⨯⨯⨯︒=，则b =2sin sin 60b R B ==︒，则1R =， ∴外接圆面积221S R πππ==⨯=．故选：C4.（2020·四川眉山市·高一期末）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2cos a B b Ac C ，2CB =CB 在CA 方向上的投影为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【详解】因为cos cos 2cos a B b A c C ，所以sin cos sin cos sin cos A B B A C C += ，即()sin cos A B C C +=，即sin sin cos C C C =，因为()0,C π∈，所以sin 0C ≠，所以cos C =，所以CB 在CA 方向上的投影为：cos 451BC C ⋅=︒=．故选：A ． 5.（2020·四川成都市·双流中学高三月考（理））ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(2)cos cos a b C c B -=，则内角C =（）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【详解】∵(2)cos cos a b C c B -=，由正弦定理可得(2sin sin )cos sin cos A B C C B -=，∴2sin cos sin cos sin cos sin()sin A C B C C B B C A =+=+=，三角形中sin 0A ≠，∴1cos 2C =，∴3C π=．故选：C ． 6.（2019·四川成都市·树德中学高二开学考试）如果满足条件：3ABC π∠=，12AC =，BC k =的ABC ∆恰有两个，那么实数k 的取值范围是（）A ．012k <≤B ．12k ≥C ．12k <<D ．012k <≤或k = 【详解】要使满足条件的ABC ∆恰有两个，只需满足sin 12k ABC k ∠<<，即12k k <<，所以12k <<C 7.（2020·四川绵阳市·三台中学实验学校高一开学考试）在ABC 中，内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，若cos cos B Ab a=，则ABC 的形状一定是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形【详解】因为cos cos B A b a=，由正弦定理得cos cos sin sin B AB A =，所以sin cos cos sin A B A B =，即sin cos cos sin 0A B A B -=，所以in 0()s A B -=，又,(0,)A B π∈，所以0A B -=，即A B =，所以ABC 为等腰三角形，故选：A8.（2020·四川省成都市第十七中学高一期中）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2a =，2A B =，则cos B =( )A ．3B C D ．6【解析】∵在ABC 中a =，∴由正弦定理可得sin A B =①，又∵2A B =，∴sin sin22sin cos A B B B ==②，由①②可得2sin cos B B B =，可得cos B =，故选B.9.（2020·四川成都市·高一期末）我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为ABCS =△7a =，8b =，9c =，则ABC 的内切圆半径为（）A BCD【详解】由已知条件可知：ABCS =△7a =，8b =，9c =，所以ABCS ==△()12ABC S a b c r =++⨯△，则()17892r ++⨯=r =故选：D. 10.（2020·四川成都市·棠湖中学高一月考）如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km ，速度为1000km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30︒，经过1 min 后又看到山顶的俯角为75︒，则山顶的海拔高度为（精确到0.1 km 1.732≈）A ．11.4 kmB ．6.6 kmC ．6.5 kmD ．5.6 km【详解】在ABC ∆中，15030,753045.1000603o o o oBAC ACB AB ∠=∠=-==⨯=根据正弦定理，503sin 45sin 30o o BC BC =∴=,sin 75sin(4530)11.5oo o BC ∴=+≈ 所以：山顶的海拔高度为18-11.5=6.5 km .故选：C11.（2020·四川成都市·成都外国语学校高一期末（理））如图，在ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB AD =，2AB =，2BC DB =，则sin C 的值为（）AB．6CD．6【详解】设AB x =，则,,AD x BD x BC x ===，在ABD △中，由余弦定理可得，2222224213cos 223x x AB AD BD A AB AD x -+-===⋅，所以sin =A ，在ABD △中，由正弦定理得，sin sin AB BD ADB A=∠，则sin sin 233AB x ADB A x BD ∠==⨯=，所以sin BDC ∠=在BDC 中，由正弦定理得sin sin BD BC C BDC =∠，则sin sin x BD BDC C BC ⋅∠===D11.（2020·广西南宁市·南宁三中高三其他模拟（理））已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1cos 3A =，23b c =，且ABC ∆，a =___________.【详解】1cos 3A =，sin 3A ∴==，23b c =，且ABC ∆1sin 2ABC S bc A ∆∴=，12233c c =⨯⨯，2c ∴=，b =由余弦定理得2229192cos 222322a b c bc A =+-=+-=，2a ∴=.故答案为2． 12.（2019·四川省成都市第八中学校高二期中（理））已知ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1c =，π3C =，若()sin sin C A B +-=sin 2B ，则ABC 的面积为______．【详解】∵在ABC 中，()sin sin sin 2C A B B +-=，则()()sin sin 2sin cos B A A B A B ++-=，∴2sin cos 2sin cos A B B B =，故有sin sin A B =或cos 0B =．①sin sin A B =，则有a b =，又1c =，π3C =．在ABC 中，由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，代入整理可得，21a =即1a b ==，此时，1sin 24ABC S ab C ==△．②cos 0B =即π2B =，ABC 为直角三角形，又1c =，π3C =，∴3a =，3b =，此时11236ABC S =⨯⨯=△．故答案为：413．（2020·四川成都市·高一期中（理））已知函数()2cos(2)2cos 213f x x x π=+-+，若ABC 为锐角三角形且()0f A =，则b c的取值范围为_____.【详解】()2cos 2cos2sin 2sin2cos 2133f x x x x ππ=⋅-⋅-+2cos 212sin 216x x x π⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭()2sin 2106f A A π⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭，即1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，02A π<<，72666A πππ∴<+<则5266A ππ+=，3A π=，1sin sin sin 1322sin sin sin 2tan 2C C C b B c C C C C π⎛⎫++ ⎪⎝⎭====+ 62C ππ<<，tan C ⎫∴∈+∞⎪⎪⎝⎭，则302<<，11,222⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 即bc 的取值范围为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为：1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭14.（2020·成都市·四川电子科大实验中学高一期中）如图，海上某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75︒，距离为A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30，距离为A 处行驶到D 处时，若灯塔B 在方位角120︒的方向上，则灯塔C 与D 处之间的距离为_______海里.【详解】在ABD∆中,75,60,45AB DAB ADB ABD =∠=∠=∠=由正弦定理可得sin sin AB AD ADB ABD =∠∠,代入可得sin 60sin 45AD=解得sin 4524sin 60AD ==在ACD ∆中AC =,由余弦定理可得2222cos CD AC AD AC AD CAD =+-⋅∠代入可得21925762242CD =+-⨯⨯2192CD = 所以CD=:15.（2020·四川省泸县第一中学高一月考）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2cos cos cos a C b C c B =+.（1）求角C ；（2）若8b =，4c a =+，求ABC 的面积. 【详解】（1）在ABC 中，根据正弦定理sin sin sin a b cA B C==，由2cos cos cos a C b C c B =+，可得2sin cos sin cos sin cos A C B C C B =+，所以()2sin cos sin sin A C B C A =+=，因为A 为ABC 内角，所以sin 0A >，所以1cos 2C =因为C 为ABC 内角，所以3C π=，（2）在ABC 中，8b =，4c a =+，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-()2224828cos3a a a π+=+-⨯⨯,解得3a =，所以11sin 38sin 223ABCSab C π==⨯⨯⨯=. 16.（2020·四川成都市·高一期末）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且角C 是锐角，若ABC的外接圆半径为R ，c =.（1）求角C ；（2）若4ABC S =△，求ABC 的周长.【详解】（1）由题知：2sin c R C =，所以sin =C解得1sin 2C =，又角C 是锐角，所以6C π=.（2）因为1sin 26△π==ABC S ab ，所以ab =.又因为2222cos 6c a b ab π=+-，所以()22232=+=+-a b a b ab ，即()(22123+=+=a b ，3+=+a b所以ABC 的周长为3a b c ++=+17.在中，，，分别为角，，所对边，若. （1）求角的大小.（2）若，求周长的取值范围.【解析】（1）由正弦定理知：，即由余弦定理知：，因此（2）由正弦定理知：，则，故，则，故，因此18.（2020·宜宾市叙州区第一中学校高一月考）在ABC∆中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知满足(2)cos cosa c Bb C-=.（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若2b=，求ABC∆的面积的取值范围．【详解】（Ⅰ）()2cos cosa c Bb C-=，由正弦定理得：()2sin sin cos sin cosA CB B C-=()2sin cos sin cos sincos sin sinA B C B B C B C A∴=+=+=()0,Aπ∈，sin0A∴≠，1cos2B∴=，()0,Bπ∈，3Bπ∴=（Ⅱ）由正弦定理得：sinsinb AaB=，a A∴==，同理：c C=ABC∆a b c A B C(sin sin)sin sina A B c Cb B+=-C c=ABC∆22()a abc b+=-222a b c ab+-=-2221cos22a b cCab+-==-23Cπ=4sin sin sina b cA B C====4sina A=4sinb B=4sin4sinABCC a b c A B∆=++=++24sin4sin()4sin4sin3A A C A Aπ⎛⎫=+++=+++⎪⎝⎭2sin4sin3A A Aπ⎛⎫=++=++⎪⎝⎭0,3Aπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2,333Aπππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭sin3Aπ⎫⎛⎫+∈⎪⎪⎝⎭⎝⎭ABCC∆∈+1sin 1s in sin 233in 223ABC A C A ac C S B ∆=⨯⨯=∴=⨯21sin sin sin 32C C C C C π⎫⎛⎫=-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1112cos 2sin 24462C C C π⎫⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭203C π<<，72666C πππ∴-<-<，1sin 2126C π⎛⎫∴-<-≤ ⎪⎝⎭10sin 2362C π⎫⎛⎫∴<-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ABC ∆∴的面积的取值范围为：(19．（2020·四川成都市·棠湖中学高一月考）如图，在平面四边形ABCD 中，已知A ＝2π，B ＝23π，AB ＝6.在AB 边上取点E ，使得BE ＝1，连接EC ，ED .若∠CED ＝23π，EC .(1)求sin ∠BCE 的值；(2)求CD 的长.【详解】(1)在△BEC 中，由正弦定理，知sin BE BCE ∠＝sin CE B，因为B ＝23π，BE ＝1，CE ，所以sin ∠BCE ＝sin BE B CE ⋅＝14.(2)因为∠CED ＝B ＝23π，所以∠DEA ＝∠BCE ，所以cos ∠DEA ＝14.因为2A π=，所以△AED 为直角三角形，又AE ＝5，所以ED ＝cos AEDEA∠.在△CED 中，CD 2＝CE 2＋DE 2－2CE ·DE ·cos ∠CED ＝7＋28－2××12⎛⎫-⎪⎝⎭＝49.所以CD ＝7.20.（2020·四川成都市·高一期末（文））如图，在ABC ∆中，30B ∠=，AC =D 是边AB 上一点．（1）求ABC ∆的面积的最大值；（2）若2,CD ACD =∆的面积为4，ACD ∠为锐角，求BC 的长．【详解】（1）因为在ABC ∆中，30,B AC D ∠==是边AB 上一点，所以由余弦定理得：(22222202cos 2AC AB BC AB BC ABC AB BC BC AB BC ==+-⋅∠=+-⋅≥⋅所以(202AB BC ⋅≤=+，所以(1sinB 522ABCS AB BC =⋅≤+所以ABC ∆的面积的最大值为5(2+ （2）设ACD θ∠=，在ACD ∆中，因为2,CD ACD =∆的面积为4，ACD ∠为锐角，所以11sin 2sin 422ABC S AC CD θθ=⋅=⨯=，所以255sin ,cos θθ，由余弦定理，得，2222cos 204816AD AC CD AC CD θ=+-⋅=+-=所以4=AD ，由正弦定理，得sin sin AD CD A θ=，所以42sin sin A θ=，所以sin A =，此时sin sin BC AC A B=，所以sin 4sin AC A BC B ==．所以BC 的长为4 21.（2020·四川成都市·双流中学高一开学考试）如图，在平面四边形ABCD 中，23D π∠=，CD =ACD ∆的面积为2．⑴求AC 的长；⑵若AB AD ⊥，4B π∠=，求BC 的长．【详解】⑴∵23D π∠=，CD =ACD ∆∴11sin 22ACD S AD CD D AD ∆=⋅⋅=⨯=,∴AD =∴由余弦定理得22212cos 6626()182AC AD CD AD CD D =+-⋅⋅=+-⨯⨯-=，∴AC =⑵由（1）知ACD ∆中AD =CD =23D π∠=∴6DAC ,∵AB AD ⊥,∴3BAC π∠=,又∵4B π∠= ，AC =∴在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin BC AC BAC B =∠,2=,∴BC =。

(完整版)解三角形知识点归纳(附三角函数公式)

高中数学必修五第一章解三角形知识点归纳1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++===4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ． 5、正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)7、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A 等，变形： 222cos 2b c a bc+-A =等，8、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。

②已知三边求角） 9、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =o；②若222a b c +>，则90C <o；③若222a b c +<，则90C >o． 11、三角形的四心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1）外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等）内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等） 12同角的三角函数之间的关系（１）平方关系：ｓｉｎ²α＋ｃｏｓ²α＝１（２）倒数关系：ｔａｎα·ｃｏｔα＝１（３）商的关系：ααααααsin cos cot ,cos sin tan ==三角函数诱导公式：“ （2πα+）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限”，是指（2kπα+），k ∈Z 的三角函数值，当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦（正切，余切;正割、余割也同样）;当k 为偶数时，函数名不变。