高中数学必修五解三角形知识点归纳

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解三角形知识点

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《必修五》解三角形知识点归纳一、正弦定理 正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C=== 文字语言:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等. 符号语言:2sin sin sin a b cR A B C=== 特点:对称美、和谐美 (一)理解定理1、正弦定理:在△ABC 中,2sin sin sin sin sin sin a b c a b cR A B C A B C++====++【在这个式子当中,已知两边和一角或已知两角和一边,可以求出其它所有的边和角,从而知正弦定理的基本作用是进行三角形中的边角互化】2、正弦定理的基本作用:①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如角化边sin sin b Aa B=②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如sin sin a BA b= 3、常用公式及其结论⑴正弦定理包含三个等式sin sin a b A B =,sin sin b c B C =,sin sin a c A C=每一个等式中都包含四个量,可以“知三求一” (2)三内角和为180︒即180A B C ︒++=,222A B C π+=- (3)两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,,;,,.a b c a c b b c a a b c b c a a c b +>+>+>-<-<-< (4)面积公式:2111sin sin sin 2sin sin sin 2224abcS ab C bc A ac B R A B C R===== ⑸三角函数的恒等变形:sin()sin A B C +=,cos()cos A B C +=- ,()tan tan A B C +=-,sincos 22A B C +=,cos sin 22A B C+=,tan tan 22A B C +=,tan tan +tan tan tan tan A B C A B C +=⋅⋅ ⑹C B A c b a sin :sin :sin ::= ⑺角化边: C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2===⑻边化角:RcC Rb B Ra A 2sin 2sin 2sin ===⑼在△ABC 中,①若B b A a cos cos =,则△ABC 是等腰三角形或直角三角形; ②若B a A b cos cos =,则△ABC 是等腰三角形;③若222cos cos +cos 1A B C +=或cos cos cos a A b B c C +=,则△ABC 是直角三角形.⑽在△ABC 中,sin sin sin A B C a b c A B C >>⇔>>⇔>>(二)题型:使用正弦定理解三角形共有三种题型题型1: 利用正弦定理公式原型解三角形题型2: 利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形:关于边或角的齐次式可以直接边角互化.例如:222222sin 3sin 2sin 32A B C a b c +=⇒+=题型3: 三角形解的个数的讨论 方法一:画图看方法二:通过正弦定理解三角形,利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义,从而确定解的个数.(三)三角形内角平分线定理:△ABC 中,AD 是A ∠的角平分线,则DCBDAC AB = 我们知道,当一个三角形已知任意两角和一边时,根据全等三角形的判定定理可以得知这个三角形就是唯一确定的,也就是可解的.先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理计算另两边.另外,一个三角形的三边之间必须满足:任意两边之和大于第三步且任意两边之差小于第三边.当已知一个三角形的三边时,已知的三条边必须满足上面的条件才能够作出三角形.否则作不出三角形,当然也无法解三角形.从上面的探讨可以得知,已知三角形的三边要解三角形时,必须满足三边关系,解三角形才有意义.当已知三边时,连续利用余弦定理的推论求出较小边的对角,再用三角形内角和求出第三个角. 如果已知三角形的两边及其夹角,那么根据三角形的判定定理我们知道这个三角形是唯一确定的,也就是可解的.我们可以利用余弦定理计算第三边,用余弦定理的推论或正弦定理计算其余两个角. 如果已知任意两边及其中一边的对角如何来解三角形呢?我们先看下面的例题: 例题:已知:在△ABC 中,22,25,133,a cm b cm A ︒===解三角形. 解:22,25,133a cm b cm A ︒===∴根据正弦定理,得sin 25sin133sin 0.831122b A B a ︒==≈ 0180B ︒︒<< ∴56.21B ︒≈,或123.79B ︒≈ 180A B C ︒++= ∴9.21C ︒=-或76.79C ︒=-【师】:问题出在哪里呢?【生】:分析已知条件,我们注意到,133a b A ︒<=,是一个钝角,根据三角形的性质应该有A B <,因而B 也是一个钝角.而在一个三角形中是不可能存在两个钝角的.【师】:从上面的分析我们发现,在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,在某些条件下会出现无解的情形.如:①已知32,2,60===O b a A ,求B (有一个解);②已知32,2,60===O a b A ,求B (有两个解)二、余弦定理(一)知识与工具:余弦定理:222222222222222222cos 22cos 2cos cos 22cos cos 2b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab ⎧+-=⎪⎧=+-⎪+-⎪⎪=+-⇒=⎨⎨=+-⎪⎪⎩+-⎪=⎪⎩(二)题型:使用余弦定理解三角形共有三种现象的题型题型1:利用余弦定理公式的原型解三角形题型2:利用余弦定理公式的变形(边角互换)解三角形:凡在同一式子中既有角又有边的题,要将所有角转化成边或所有边转化成角,在转化过程中需要构造公式形式。

高中数学必修五知识点大全

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知识点串讲必修五第一章:解三角形1.1.1正弦定理1、正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即sin sin abA B =sin cC =一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。

2、已知∆ABC 中,∠A 060=,a =求sin sin sin a b c A B C++++ 证明出sin sin a b A B =sin c C ==sin sin sin a b c A B C++++ 解:设sin sin a b A B =(>o)sin c k k C== 则有sin a k A =,sin b k B =,sin c k C = 从而sin sin sin a b c A B C ++++=sin sin sin sin sin sin k A k B k C A B C++++=k又sin a A =2k ==,所以sin sin sin a b c A B C++++=2 评述:在∆ABC 中,等式sin sin a b A B =sin c C ==()0sin sin sin a b c k k A B C ++=>++ 恒成立。

3、已知∆ABC 中,sin :sin :sin 1:2:3A B C =,求::a b c(答案:1:2:3)1.1.2余弦定理1、余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-2222cos c a b ab C =+-从余弦定理,又可得到以下推论:222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a c b B ac 222cos 2+-=b a c C ba2、在∆ABC 中,已知=a c 060=B ,求b 及A⑴解:∵2222cos =+-b a c ac B=222+-⋅cos 045=2121)+-=8∴=b求A 可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理:⑵解法一:∵cos 2222221,22+-=b c a A bc ∴060.=A解法二:∵sin 0sin sin45,=a A B b2.4 1.43.8,+=21.8 3.6,⨯=∴a <c ,即00<A <090,∴060.=A评述:解法二应注意确定A 的取值范围。

高中数学必修五第一章《解三角形》知识点知识讲解

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高中数学必修五第一章《解三角形》知识点收集于网络,如有侵权请联系管理员删除高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B);2、三角形三边关系:a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系:sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== 4、正弦定理:在C ∆AB 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,R 为C ∆AB 的外接圆的半径,则有2sin sin sin a b c R C===A B . 5、正弦定理的变形公式: ①化角为边:2sin a R =A ,2sin b R =B ,2sin c R C =; ②化边为角:sin 2a R A =,sin 2b R B =,sin 2c C R=; ③::sin :sin :sin a b c C =A B ; ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B . 6、两类正弦定理解三角形的问题:①已知两角和任意一边,求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角,求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况(一解、两解、三解)7、三角形面积公式:111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B .=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---8、余弦定理:在C ∆AB 中,有2222cos a b c bc =+-A ,2222cos b a c ac =+-B , 2222cos c a b ab C =+-.9、余弦定理的推论:222cos 2b c a bc +-A =,222cos 2a c b ac +-B =,222cos 2a b c C ab+-=. 10、余弦定理主要解决的问题:①已知两边和夹角,求其余的量。

高中数学必修5知识点总结归纳(人教版最全)

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高中数学必修五知识点汇总第一章 解三角形 一、知识点总结 正弦定理:1.正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C=== (R 为三角形外接圆的半径).步骤1.证明:在锐角△ABC 中,设BC=a,AC=b,AB=c 。

作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a ·sinB CH=b ·sinA ∴a ·sinB=b ·sinA得到b ba a sin sin =同理,在△ABC 中, bbc c sin sin =步骤2.证明:2sin sin sin a b cR A B C===如图,任意三角形ABC,作ABC 的外接圆O. 作直径BD 交⊙O 于D. 连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90°因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C.所以C RcD sin 2sin ==故2sin sin sin a b c R A B C ===2.正弦定理的一些变式:()sin sin sin i a b c A B C ::=::;()sin ,sin ,sin 22a bii A B C R R==2c R =;()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===;(4)R CB A cb a 2sin sin sin =++++ 3.两类正弦定理解三角形的问题:(1)已知两角和任意一边,求其他的两边及一角.(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边角.(可能有一解,两解,无解) 4.在ABC ∆中,已知a,b 及A 时,解得情况: 解法一:利用正弦定理计算解法二:分析三角形解的情况,可用余弦定理做,已知a,b 和角A ,则由余弦定理得 即可得出关于c 的方程:0cos 2222=-+-a b Ac b c 分析该方程的解的情况即三角形解的情况 ①△=0,则三角形有一解 ②△>0则三角形有两解 ③△<0则三角形无解 余弦定理:1.余弦定理: 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩2.推论: 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩.设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边,则: ①若222a b c +=,则90C =; ②若222a b c +>,则90C <; ③若222a b c +<,则90C >.3.两类余弦定理解三角形的问题:(1)已知三边求三角.(2)已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角. 面积公式:已知三角形的三边为a,b,c,1.111sin ()222a S ah ab C r a b c ===++(其中r 为三角形内切圆半径)2.设)(21c b a p ++=,))()((c p b p a p p S ---=(海伦公式)例:已知三角形的三边为,、、c b a 设)(21c b a p ++=,求证:(1)三角形的面积))()((c p b p a p p S ---=; (2)r 为三角形的内切圆半径,则pc p b p a p r ))()((---=(3)把边BC 、CA 、AB 上的高分别记为,、、c b h h a h 则))()((2c p b p a p p ah a ---=))()((2c p b p a p p b h b ---=))()((2c p b p a p p ch c ---=证明:(1)根据余弦定理的推论:222cos 2a b c C ab+-=由同角三角函数之间的关系,sin C ==代入1sin 2S ab C =,得12S ====记1()2p a b c =++,则可得到1()2b c a p a +-=-,1()2c a b p b +-=-,1()2a b c p c +-=-代入可证得公式(2)三角形的面积S 与三角形内切圆半径r 之间有关系式122S p r pr =⨯⨯=其中1()2p a b c =++,所以S r p == 注:连接圆心和三角形三个顶点,构成三个小三角形,则大三角形的面积就是三个小三角形面积的和 故得:pr cr br ar S =++=212121(3)根据三角形面积公式12a S a h =⨯⨯所以,2a S h a =a h =同理b h c h 【三角形中的常见结论】(1)π=++C B A (2) sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-2cos 2sinC B A =+,2sin 2cos CB A =+;A A A cos sin 22sin ⋅=, (3)若⇒>>C B A c b a >>⇒C B A sin sin sin >> 若C B A sin sin sin >>⇒c b a >>⇒C B A >> (大边对大角,小边对小角)(4)三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边 (5)三角形中最大角大于等于 60,最小角小于等于 60(6) 锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.钝角三角形⇔最大角是钝角⇔最大角的余弦值为负值 (7)ABC ∆中,A,B,C 成等差数列的充要条件是 60=B .(8) ABC ∆为正三角形的充要条件是A,B,C 成等差数列,且a,b,c 成等比数列. 二、题型汇总:题型1:判定三角形形状判断三角形的类型(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式.(2)在ABC ∆中,由余弦定理可知:222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形∆(注意:是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆) (3) 若B A 2sin 2sin =,则A=B 或2π=+B A .例1.在ABC ∆中,A b c cos 2=,且ab c b a c b a 3))((=-+++,试判断ABC ∆形状.题型2:解三角形及求面积一般地,把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.例2.在ABC ∆中,1=a ,3=b ,030=∠A ,求的值例3.在ABC ∆中,内角C B A ,,对边的边长分别是c b a ,,,已知2=c ,3π=C .(Ⅰ)若ABC ∆的面积等于3,求a ,b(Ⅱ)若A A B C 2sin 2)(sin sin =-+,求ABC ∆的面积.题型3:证明等式成立证明等式成立的方法:(1)左⇒右,(2)右⇒左,(3)左右互相推.例4.已知ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,求证:B c C b a cos cos +=.题型4:解三角形在实际中的应用考察:(仰角、俯角、方向角、方位角、视角)例5.如图所示,货轮在海上以40km/h 的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行,为了确定船位,船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°,航行半小时到达C 点观测灯塔A 的方位角是65°,则货轮到达C 点时,与灯塔A 的距离是多少?三、解三角形的应用 1.坡角和坡度:坡面与水平面的锐二面角叫做坡角,坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度,用i 表示,根据定义可知:坡度是坡角的正切,即tan i α=.lhα2.俯角和仰角:如图所示,在同一铅垂面内,在目标视线与水平线所成的夹角中,目标视线在水平视线的上方时叫做仰角,目标视线在水平视线的下方时叫做俯角.3. 方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为 .注:仰角、俯角、方位角的区别是:三者的参照不同。

高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳

高中数学必修五  第一章   解三角形知识点归纳

高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B);2、三角形三边关系:a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系:sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++===4、正弦定理:在C ∆AB 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,R 为C ∆AB 的外接圆的半径,则有2sin sin sin a b cR C===A B . 5、正弦定理的变形公式:①化角为边:2sin a R =A ,2sin b R =B ,2sin c R C =;②化边为角:sin 2a R A =,sin 2b R B =,sin 2c C R=; ③::sin :sin :sin a b c C =A B ;④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B . 6、两类正弦定理解三角形的问题:①已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. ②已知两角和其中一边的对角,求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况(一解、两解、三解))7、余弦定理:在C ∆AB 中,有2222cos a b c bc =+-A 等,变形: 222cos 2b c a bc+-A =等,8、余弦定理主要解决的问题:①已知两边和夹角,求其余的量。

②已知三边求角) 9、三角形面积公式:111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B .=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---10、如何判断三角形的形状:判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边,则:①若222a b c +=,则90C =;②若222a b c +>,则90C <;③若222a b c +<,则90C >. 11、三角形的四心:垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点(重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1) 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点(外心到三顶点距离相等) 内心——三角形三内角的平分线相交于一点(内心到三边距离相等)12 、请同学们自己复习巩固三角函数中 诱导公式及辅助角公式(和差角、倍角等) 。

必修五数学解三角形知识点

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必修五数学解三角形知识点必修五数学解三角形知识点判断解法已知条件:一边和两角一般解法:由A+B+C=180°,求角A,由正弦定理求出b与c,在有解时,有一解。

已知条件:两边和夹角一般解法:由余弦定理求第三边c,由正弦定理求出小边所对的角,再由A+B+C=180°求出另一角,在有解时有一解。

已知条件:三边一般解法:由余弦定理求出角A、B,再利用A+B+C=180°,求出角C在有解时只有一解。

已知条件:两边和其中一边的对角一般解法:由正弦定理求出角B,由A+B+C=180°求出角C,再利用正弦定理求出C边,可有两解、一解或无解。

(或利用余弦定理求出c边,再求出其余两角B、C)①若ab,则AB有唯一解;②若ba,且babsinA有两解;③若absina则无解。

p=常用定理正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R在同一个三角形中是恒量,R是此三角形外接圆的半径)。

变形公式(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(2)sinA:sinB:sinC=a:b:c(3)asinB=bsinA,asinC=csinA,bsinC=csinB(4)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R面积公式(5)S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC S=1/2底·h(原始公式)余弦定理a²=b²+c²-2bccosAb²=a²+c²-2accosBc²=a²+b²-2abcosC注:勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。

变形公式cosC=(a²+b²-c²)/2abcosB=(a²+c²-b²)/2accosA=(c²+b²-a²)/2bc数学二元一次方程组知识点1.定义:含有两个未知数,并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程。

人教新课标版数学高二-数学必修5第一章《解三角形》知识整合

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数学·必修5(人教A版)一、本章的中心内容是如何解三角形.正弦定理和余弦定理是解三角形的工具,最后落实在解三角形的应用上.通过本章的学习应当达到以下学习目标:1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际生活问题.3.本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理,它们都是关于三角形的边角关系的结论.在初中,学生已经学习了相关边角关系的定性知识,就是“在任意三角形中有大边对大角,小边对小角”,“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全等”.“在任意三角形中有大边对大角,小边对小角”的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?在引入余弦定理内容时,提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形”.我们仍然从量化的角度来研究这个问题,也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题.4.在此内容之前我们已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容,对于余弦定理的证明,常用的方法是借助于三角的方法,需要对三角形进行讨论,方法不够简洁,用了向量的方法,发挥了向量方法在解决问题中的威力.5.勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系,如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角是直角;如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角;如果大于第三边的平方,那么第三边所对的角是锐角.从上可知,余弦定理是勾股定理的推广.二、学数学的最终目的是应用数学.能把实际问题抽象成数学问题,把所学的数学知识应用到实际问题中去,通过观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题,确定解决问题的科学思维方法,学会把数学知识应用于实际.1.正弦定理可建立边角关系,角的正弦越大所对的边就越长.2.由正弦值得出角的大小时特别要注意是一个解还是两个解.一般地,解三角形时,只有当A为锐角且b sin A<a<b时,有两解;其他情况时则只有一解或无解.3.利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题.(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角.(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角.4.把a=k sin A,b=k sin B代入已知等式可将边角关系全部转化为三角函数关系.5.余弦定理是三角形边角之间的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例.6.余弦定理的应用范围是:①已知三边,求三角;②已知两边及一个内角,求第三边.7.已知两边及其中一边所对的角用余弦定理时可能有两个解,注意用三边特点取舍.解决实际测量问题一般要充分理解题意,正确作出图形,从中抽象出一个或几个三角形,把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角,然后解三角形,得到实际问题的解.8.解斜三角形应用题的一般步骤.(1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图.(2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型.(3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解.(4)检验:检验上述所求的解是否有实际意义,从而得出实际问题的解.9.平面上两点的距离测量问题一般有如下几类情况:(1)A、B两点都在河的两岸,一点可到达,另一点不可到达.方法是可到达一侧再找一点进行测量.(2)A、B两点都在河的对岸(不可到达).方法是在可到达一侧找两点进行测量.(3)A、B两点不可到达(如隔着一座山或建筑).方法是找一点可同时到达A、B两点进行测量.10.利用正弦定理和余弦定理来解高度问题时,要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素,进行适当的简化.11.测量高度的一般方法是选择能观察到测量物体的两点,分别测量仰角或俯角,同时测量出两个观测点的距离,再利用解三角形的方法进行计算.12.求三角形的面积的问题,先观察已知什么,尚缺什么,用正弦定理、余弦定理求出需要的元素,就可以求出三角形的面积.13.利用正弦定理、余弦定理、面积公式将已知条件转化为方程组是解决复杂问题的常见思路,将方程化为只含边的式子或只含角的三角函数式,然后化简并考察边或角的关系.14.许多试题既可用正弦定理也可用余弦定理解决,甚至可以两者兼用,当一个公式求解受阻时要及时考虑其他公式列式.15.本章问题的高考要求不高,学习时要立足基本问题,熟练掌握测量的一般技巧,正确使用定理列方程求解,无须过多延伸与拓广.题型1 利用正、余弦定理解三角形解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的过程,三角形中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径),解三角形通常是指求未知的元素,有时也求三角形的面积.解斜三角形包括四种类型:(1)已知三角形的两角和一边(一般先用内角和求角或用正弦定理求边);(2)已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边);(3)已知三边(先用余弦定理求角);(4)已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边,注意讨论解的个数).在△ABC 中,c =4,b =7,BC 边上的中线AD 长为72,求a .解析:如图,设CD =DB =x ,在△ACD 中,cos C =72+x 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫7222×7×x ,在△ACB 中,cos C =72+(2x )2-422×7×2x, 所以72+x 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫7222×7×x =72+(2x )2-422×7×2x. 解得x =92. 所以a =2x =2×92=9.如图,四边形ABCD 中,B =C =120°,AB =4,BC =CD =2,则该四边形的面积等于________.解析:由余弦定理得BD 2=22+22-2×2×2cos 120°=12,∴BD =2 3.∵BC =CD =2,C =120°,∴∠CBD =30°,∴∠ABD =90°,∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △BCD=12×4×23sin 90°+12×2×2×sin 120°=5 3. 答案:5 3题型2 利用正、余弦定理判定三角形的形状判定三角形形状通常有两种途径:一是通过正弦定理和余弦定理化边为角,如a =2R sin A ,a 2+b 2-c 2=2ab cos C 等,再利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断,此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系,如sin A =sin B ⇔A =B ,sin(A -B )=0⇔A =B ,sin 2A =sin 2B ⇔A =B 或A +B =π2等;二是利用正弦定理、余弦定理化角为边,如sin A =a 2R ,cos A =b 2+c 2-a 22bc等,通过代数恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断.在△ABC 中,若B =60°,2b =a +c ,试判断△ABC 的形状.解析:解法一:由正弦定理可得2sin B =sin A +sin C ,∵B =60°,∴A +C =120°,A =120°-C ,将其代入上式,得2sin 60°=sin(120°-C )+sin C ,展开整理,得32sin C +12cos C =1,∴sin(C +30°)=1,∴C +30°=90°.∴C =60°,故A =60°,∴△ABC 是正三角形.解法二:由余弦定理可得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,∵B =60°,b =a +c 2, ∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a +c 22=a 2+c 2-2ac cos 60°. ∴(a -c )2=0,∴a =c ,∴a =b =c ,∴△ABC 为正三角形.题型3 三角形解的个数的确定(1)利用正弦定理讨论:若已知a ,b ,A ,由正弦定理a sin A =b sin B,得sin B =b sin A a .若sin B >1,则无解;若sin B =1,则有一解;若sin B <1,则可能有两解.(2)利用余弦定理讨论:已知a ,b ,A ,由余弦定理a 2=c 2+b 2-2cb cos A ,即c 2-(2b cos A )c +b 2-a 2=0.若方程无解或无正数解,则三角形无解;若方程有唯一正数解,则三角形有一解;若方程有两个不同正数解,则三角形有两解.在△ABC 中,若a =23,A =30°,则b 为何值时,三角形有一解,两解,无解?解析:由正弦定理a sin A =b sin B得: ①当b sin A <a <b 时,有两解,此时23<b <43;②当a ≥b 时或B 为90°(b 为斜边)时,有一解,此时b ≤23或b =43;③当a <b sin A 时无解,此时b >4 3.题型4 正、余弦定理在实际问题中的应用如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的A ,B ,C 三点进行测量,已知AB =50 m ,BC =120 m ,于A 处测得水深AD =80 m ,于B 处测得水深BE =200 m ,于C 处测得水深CF =110 m ,求∠DEF 的余弦值.解析:如下图,作DM ∥AC 交BE 于N ,交CF 于M ,高中数学-打印版精校版DF =MF 2+DM 2=302+1702=10298, DE =DN 2+EN 2=502+1202=130, EF =(BE -FC )2+BC 2=902+1202=150. 在△DEF 中,由余弦定理得:cos ∠DEF =DE 2+EF 2-DF 22DE ×EF =1302+1502-102×2982×130×150=1665.。

高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结与练习

高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结与练习

高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结与练习高中数学必修5第一章解三角形复习一、知识点总结【正弦定理】1.正弦定理:ainAbinBcinC2RR为三角形外接圆的半径2正弦定理的一些变式:iabcinAinBinC;iiinAa2R,inBb2R,inCc2R;2Riiia2RinA,b2RinB,b2RinC;(4)3.两类正弦定理解三角形的问题:(1)已知两角和任意一边,求其他的两边及一角abcinAinBinC(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边角(可能有一解,两解,无解)中,已知a,b及A时,解得情况:解法一:利用正弦定理计算解法二:图形一解两解一解一解无解A 为锐角A为钝角或直角关系式解的个数【余弦定理】a2b2c22bccoA2221.余弦定理:bac2accoB2推论:设a、b、c是C的角、、C的对边,则:①若abc,则C90;②若abc,则C90;③若abc,则C90.3两类余弦定理解三角形的问题:(1)已知三边求三角(2)已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角12222222【面积公式】已知三角形的三边为a,b,c,1.S1aha1abinC1rabc(其中r为三角形内切圆半径)12abc,S/h的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行,为了确定船位,船在B点观测灯塔A的方位角为110°,航行半小时到达C点观测灯塔A的方位角是65°,则货轮到达C点时,与灯塔A的距离是多少?扩展阅读:高中数学必修5第一章解三角形知识点复习及经典练习高中数学必修五第一章解三角形知识点复习及经典练习一、知识点总结abc2R或变形:a:b:cinA:inB:inC1.正弦定理:inAinBinC推论:①定理:若α、β>0,且αβ<,则α≤βinin,等号当且当α=β时成立。

②判断三角解时,可以利用如下原理:inA>inBA>Ba>bcoAcoBAB(co在0,上单调递减)b2c2a2coA2bca2b2c22bccoA2a2c2b2222.余弦定理:bac2accoB或coB2acc2b2a22bacoCb2a2c2coC2ab3.(1)两类正弦定理解三角形的问题:1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角(2)两类余弦定理解三角形的问题:1、已知三边求三角2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角4.判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式5.三角形中的基本关系:inABinC,coABcoC,tanABtanC,in已知条件一边和两角(如a、B、C)ABCABCABCco,coin,tancot222222一般解法由ABC=180,求角A,由正弦定理求出b与c,在有解时有一解。

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解三角形一.三角形中的基本关系: (1)sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-(2)sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++===(3)a>b 则A>B则sinA>sinB,反之也成立 二.正弦定理:2sin sin sin a b cR C===A B .R 为C ∆AB 的外接圆的半径)正弦定理的变形公式:①化角为边:2sin a R =A ,2sin b R =B ,2sin c R C =;②化边为角:sin 2a R A =,sin 2b R B =,sin 2c C R=;③::sin :sin :sin a b c C =A B ;④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C ++===A +B +A B .两类正弦定理解三角形的问题:①已知两角和任意一边求其他的两边及一角. ②已知两边和其中一边的对角,求其他边角. (对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况(一解、两解、无解)) 三.余弦定理:2222cos a b c bc =+-A2222cos b a c ac =+-B 2222cos c a b ab C =+-.注意:经常与完全平方公式与均值不等式联系 推论:222cos 2b c abc+-A =222cos 2a c bac+-B =222cos 2a b cC ab+-=.①若222ab c+=,则90C=o; ②若222a b c +>,则90C<o;③若222a b c +<,则90C >o.余弦定理主要解决的问题:(1).已知两边和夹角求其余的量。

(2).已知三边求其余的量。

注意:解三角形与判定三角形形状时,实现边角转化,统一成边的形式或角的形式四、三角形面积公式:等差数列一.定义:如果一个数列从第2项起,每一项与 它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数列,这个常数称为等差数列的公差. 二.符号表示:1n n a a d +-=(n>=1) 三.判断数列是不是等差数列有以下四种方法: (1)),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- (可用来证明)(2)211-++=n n n a a a (2≥n )(可用来证明) (3)b kn a n +=(k n ,为常数)(4)12n n s a a a =+++L 是一个关于n 的2次式且无常数项 四.等差中项a ,A ,b 成等差数列,则A 称为a 与b 的等差中项.若2a cb +=,则称b 为a 与c 的等差中项.五.通项公式:()11n a a n d =+-(是一个关于的一次式,一次项系数是公差)通项公式的推广:()n m a a n m d =+-; n ma a d n m -=-.六.等差数列的前n 项和的公式:①()12n n n a a S +=(注意利用性质特别是下标为奇数) ②()112n n n S na d -=+(是一个关于n 的2次式且无常数项,二次项系数是公差的一半) 七.等差数列性质:(1)若m n p q +=+则m n p q a a a a +=+; (2)若2n p q =+则2n p q a a a =+.(3) (4)成等差数列Λn n n S S 232n n S ,S ,S --且公差为原公差的成等差数列,}S {n n(5)①若项数为()*2n n ∈N ,则()21n n n S n a a +=+,且S S nd -=偶奇,1nn S a S a +=奇偶.②若项数为()*21n n -∈N ,则()2121n n S n a -=-,且n S S a -=奇偶,1S nS n =-奇偶(其中n S na =奇,()1n S n a =-偶). (6)若等差数列{ an} {bn}的前n 项和为八.等差数列前n 项和的最值(1)利用二次函数的思想:n da n d S n )2(212-+=(2)找到通项的正负分界线若 则 有最大值,当n=k 时取到的 ⎩⎨⎧<>01d a n s1212--=n n n n T S b a最大值k 满足若 则 有最大值,当n=k 时取到的最大值k 满足等比数列一.定义、如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比数列,这个常数称为等比数列的公比.二.符号表示:1n na q a +=注:①等比数列中不会出现值为0的项;②奇数项同号,偶数项同号⎩⎨⎧≤≥+001k k a a ⎩⎨⎧><001d a ⎩⎨⎧≥≤+001k k a a n s(3)合比性质的运用三.数列是不是等比数列有以下四种方法: ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n (可用来证明)②112-+⋅=n n na a a (2≥n )(可用来证明)③nncqa =(q c ,为非零常数).(指数式)④从前n 项和的形式(只用来判断) 四.等比中项:在a 与b 中间插入一个数G ,使a ,G ,b 成等比数列,则G 称为a 与b 的等比中项.若2G ab =,则称G 为a 与b 的等比中项.(注:由2G ab =不能得出a ,G ,b 成等比,由a ,G ,b ⇒2G ab=)五.等比数列的通项公式:11n n a a q-=.通项公式的变形:(1) n mn m a a q-=;(2)n mn m a qa -=.(注意合比性质的利用)六.前n 项和的公式:①()()()11111111n n n na q S a q a a qq qq =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩. ②12n ns a a a =+++L =A+B*q n ,则A+B=0七.等比数列性质: (1)若m n p q +=+,则m n p q a a a a ⋅=⋅;(2)若2n p q =+ 则2np q a a a =⋅. (3)成等比数列Λn n n S S 232n nS ,S ,S--通项公式的求法: (1).归纳猜想(2).对任意的数列{na }的前n 项和nS 与通项na 的关系:⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n n n检验第②式满不满足第①式,满足的话写一个式子,不满足写分段的形式 (3).利用递推公式求通项公式 1、定义法:符合等差等比的定义 2、迭加法:3、迭乘法:4、构造法:5.如果上式后面加的是指数时可用同除指数式1()n n a a f n +-=1()n na f n a +=1n n a qa p+=+6.如果是分式时可用取倒数 (4)同时有和与通项有两种方向 一种:当n 大于等于2,再写一式,两式相减,可以消去前n 项和 二种:消去通项数列求和的常用方法1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

2.裂项相消法:适用于⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n n a a c 其中{ na }是各项不为0的等差数列,c 为常数;部分无理数列、含阶乘的数列等。

(分式且分母能分解成一次式的乘积)3.错位相减法:适用于{}nn b a 其中{ na }是等差数列,{}n b 是各项不为0的等比数列。

4.倒序相加法: 类似于等差数列前n 项和公式的推导方法.5.常用结论(1): 1+2+3+...+n = 2)1(+n n (2) 1+3+5+...+(2n-1) =2n(3)2333)1(2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++n n n Λ (4))12)(1(613212222++=++++n n n n Λ;(5)111)1(1+-=+n n n n不等式一、不等式的主要性质: (1)对称性:ab b a <⇔>(2)传递性:c a c b b a >⇒>>,(3)加法法则:c b c a b a +>+⇒>;(4)同向不等式加法法则:d b c a d c b a +>+⇒>>, (5)乘法法则:bc ac c b a >⇒>>0,;bc ac c b a <⇒<>0, (6)同向不等式乘法法则:bd ac d c b a >⇒>>>>0,0 (7)乘方法则:)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n且 (8)开方法则:)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n且(9)倒数法则:ba ab b a 110,<⇒>> 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax及其解法0>∆0=∆ 0<∆二次函数cbx ax y ++=2(0>a )的图象))((212x x x x a c bx ax y --=++=))((212x x x x a c bx ax y --=++=cbx ax y ++=2三.含有参数的二次不等式的解法: (1) 二次项系数(正负零) (2) 根一种:能分解因式,主要是比较根的大小 。

二种:能分解因式就从判别式进进行行讨论(3)画图写解集 四、线性规划1.在平面直角坐标系中,直线0x y C A +B +=同侧的点代入后符号相同,异侧的点相反2.由A 的符号来确定:先把x 的系数A 化为正后,看不等号方向:①若是“>”号,则0x y C A +B +>所表示的区域为直线:0x y C A +B +=的右边部分。

②若是“<”号,则0x y C A +B +<所表示的区域为直线 0x y C A +B +=的左边部分。

注意:)0(0<>++或C By Ax 不包括边界;)0(0≤≥++C By Ax 包括边界3.求解线性线性规划问题的步骤 (1)画出可行域(注意实虚) (2)将目标函数化为直线的斜截式(3)看前的系数的正负.若为正时则上大下小,若为负则上小下大 4.非线性问题:(1)看到比式想斜率(2)看到平方之和想距离 四、均值不等式1、设a 、b 是两个正数,则2a b+称为正数a 、b 的算术平均数(等差中项)称为正数a 、b 的几何平均数.(等比中项)2、基本不等式(也称均值不等式): 如果a,b 是正数,那么).""(22号时取当且仅当即==≥+≥+b a ab ba ab b a 注意:使用均值不等式的条件:一正、二定、三相等 3、平均不等式:(a 、b 为正数),即ba ab b a b a 1122222+≥≥+≥+(当a = b 时取等)4、常用的基本不等式:①()222,a b ab a b R +≥∈;②()22,2a b ab a b R +≤∈; ③()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭;④()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭.5、极值定理:设x 、y 都为正数,则有: ⑴若x y s +=(和为定值),则当x y =时,积xy 取得最大值24s .⑵若xy p =(积为定值),则当x y =时,和x y +取得最小值. 五、含有绝对值的不等式1.绝对值的几何意义:||x 是指数轴上点x 到原点的距离;12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 ;代数意义:⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0a 0 00||a a a a a 2、则不等式:如果,0>a(1) ax a x a x -<><=>>或|| ;(2)a x a x ax -≤≥<=>≥或||(3) ax a ax <<-<=><|| ;(4)a x a ax ≤≤-<=>≤||注意:上式中的x 可换成f(x)3、解含有绝对值不等式的主要方法:解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号 、其他常见不等式形式总结:式不等式的解法:移项通分,化分为整0)()(0)()(>⇔>x g x f x g x f ;⎩⎨⎧≠≥⇔≥0)(0)()(0)()(x g x g x f x g x f ②指数不等式:)()()1()()(x g x f a a a x g x f >⇔>>)()()10()()(x g x f a aax g x f <⇔<<>③对数不等式:⎪⎩⎪⎨⎧>>>⇔>>)()(0)(0)()1)((log )(log x g x f x g x f a x g x f a a⎪⎩⎪⎨⎧<>>⇔<<>)()(0)(0)()10)((log )(log x g x f x g x f a x g x f a a ④高次不等式:数轴穿线法口诀: “从右向左,自上而下;奇穿偶不穿,遇偶转个弯;小于取下边,大于取上边”。

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