2020-2021中考数学圆的综合综合经典题含答案

2020-2021中考数学圆的综合综合经典题含答案

一、圆的综合

1．如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，过点E 的切线与AB 的延长线交于点D ，连接BE ，过点O 作BE 的平行线，交⊙O 于点F ，交切线于点C ，连接AC

（1）求证：AC 是⊙O 的切线；

（2）连接EF ，当∠D= °时，四边形FOBE 是菱形．

【答案】（1）见解析；（2）30.

【解析】

【分析】

（1）由等角的转换证明出OCA OCE ∆∆≌，根据圆的位置关系证得AC 是⊙O 的切线. （2）根据四边形FOBE 是菱形，得到OF=OB=BF=EF ，得证OBE ∆为等边三角形，而得出60BOE ∠=︒，根据三角形内角和即可求出答案.

【详解】

（1）证明：∵CD 与⊙O 相切于点E ，

∴OE CD ⊥，

∴90CEO ∠=︒，

又∵OC BE P ，

∴COE OEB ∠=∠，∠OBE=∠COA

∵OE=OB ，

∴OEB OBE ∠=∠，

∴COE COA ∠=∠，

又∵OC=OC ，OA=OE ，

∴OCA OCE SAS ∆∆≌（）

， ∴90CAO CEO ∠=∠=︒，

又∵AB 为⊙O 的直径，

∴AC 为⊙O 的切线；

（2）解：∵四边形FOBE 是菱形，

∴OF=OB=BF=EF ，

∴OE=OB=BE ，

∴OBE ∆为等边三角形，

∴60BOE ∠=︒，

而OE CD ⊥，

∴30D ∠=︒．

故答案为30．

【点睛】

本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.

2．已知▱ABCD 的周长为26，∠ABC=120°，BD 为一条对角线，⊙O 内切于△ABD ，E ，F ，G

为切点，已知⊙O 的半径为▱ABCD 的面积．

【答案】

【解析】

【分析】

首先利用三边及⊙O 的半径表示出平行四边形的面积，再根据题意求出AB+AD=13，然后利用切线的性质求出BD 的长即可解答.

【详解】

设⊙O 分别切△ABD 的边AD 、AB 、BD 于点G 、E 、F ；

平行四边形ABCD 的面积为S ；

则S=2S △ABD =2×

12

(AB·OE+BD·OF+AD·（AB+AD+BD ）； ∵平行四边形ABCD 的周长为26，

∴AB+AD=13， ∴

；连接OA ；

由题意得：∠OAE=30°，

∴AG=AE=3；同理可证DF=DG ，BF=BE ；

∴DF+BF=DG+BE=13﹣3﹣3=7，

即BD=7，

∴13+7）

即平行四边形ABCD 的面积为．

3．已知AB ，CD 都是O e 的直径，连接DB ，过点C 的切线交DB 的延长线于点E ． ()1如图1，求证：AOD 2E 180∠∠+=o ；

()2如图2，过点A 作AF EC ⊥交EC 的延长线于点F ，过点D 作DG AB ⊥，垂足为点G ，求证：DG CF =；

()3如图3，在()2的条件下，当DG 3CE 4

=时，在O e 外取一点H ，连接CH 、DH 分别交O e 于点M 、N ，且HDE HCE ∠∠=，点P 在HD 的延长线上，连接PO 并延长交CM 于

点Q ，若PD 11=，DN 14=，MQ OB =，求线段HM 的长．

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）837+

【解析】

【分析】

（1）由∠D +∠E =90°，可得2∠D +2∠E =180°，只要证明∠AOD =2∠D 即可；

（2）如图2中，作OR ⊥AF 于R ．只要证明△AOR ≌△ODG 即可；

（3）如图3中，连接BC 、OM 、ON 、CN ，作BT ⊥CL 于T ，作NK ⊥CH 于K ，设CH 交DE 于W ．解直角三角形分别求出KM ，KH 即可；

【详解】

()1证明：如图1中，

O Q e 与CE 相切于点C ，

OC CE ∴⊥，

OCE 90∠∴=o ，

D E 90∠∠∴+=o ，

2D 2E 180∠∠∴+=o ，

AOD COB ∠∠=Q ，BOC 2D ∠∠=，AOD 2D ∠∠=，

AOD 2E 180∠∠∴+=o ．

()2证明：如图2中，作OR AF ⊥于R ．

OCF F ORF 90∠∠∠===o Q ，

∴四边形OCFR 是矩形，

AF//CD ∴，CF OR =，

A AOD ∠∠∴=，

在AOR V 和ODG V 中，

A AOD ∠∠=Q ，ARO OGD 90∠∠==o ，OA DO =，

AOR ∴V ≌ODG V ，

OR DG ∴=，

DG CF ∴=，

()3解：如图3中，连接BC 、OM 、ON 、CN ，作BT CL ⊥于T ，作NK CH ⊥于K ，设CH 交DE 于W ．

设DG 3m =，则CF 3m =，CE 4m =，

OCF F BTE 90∠∠∠===o Q ，

AF//OC//BT ∴，

OA OB =Q ，

CT CF 3m ∴==，

ET m ∴=，

CD Q 为直径，

CBD CND 90CBE ∠∠∠∴===o ，

E 90EBT CBT ∠∠∠∴=-=o ，

tan E tan CBT ∠∠∴=，

BT CT ET BT

∴=， BT 3m m BT

∴=， BT 3m(∴=负根已经舍弃)，

3m tan E 3∠∴== E 60∠∴=o ，

CWD HDE H ∠∠∠=+Q ，HDE HCE ∠∠=，