求解本原多项式的快速算法

5 最小多项式及本原多项式求解算法效率分析
算法时间复杂度分析如下。 (1)搜索范围分析 根 据 二 元 域 上 n 次 多 项 式 通 式 f (x) = xn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + L + a1x + a0 可知二元域上 n 次多项式个数为 2n。 通过结合求解最小多项式集合的方法并且根据互反多项 式成对出现的原理将范围个数控制在 2n-4，即实际上需要通 过复杂算法进行判断的多项式个数仅为 2n-4。 (2)算法效率分析： 观察程序流程图分析可知该算法的主要部分可分为 3 部 分进行分析： 1)耗时最大的判别是否满足定理 1，根据第 3 节中介绍 的原理分析可知该模块主要耗时是对多项式根的求解和 α 的连续幂的计算，其中后者占主要部分，因为求解过程如果 通过电路实现可以简化为移位和按位平方操作，所以可以以 计算范围 2n-1-n 作为该部分的主要耗时参考，因此，这部分 的时间复杂度为 O(2n×2n-4)=O(2n-4)。 2)判断 p(n)的互反多项式是否判别过模块，而根据互反 多项式的定义可知，求解互反多项式只是一个系数对应过程， 复杂度为 0，主要是对已判断过的多项式进行搜索，搜索次 数约为 0+1+2+…+( 2n−2 -2)+( 2n−2 -1)，因此这部分的时间复杂 度为 O( 22n−5 )。 3)处理剩下的各个部分，其均为计算机最容易实现的二 进制计算，耗时计算仅以计算次数代表，即为 2n−1 + 2n−1 ×2， 因此，这部分时间复杂度为 O( 2n )。 综合这 3 部分可得该算法总的时间复杂度为 O( 22n−4 + 22n−5 + 2n )，即 O( 22n−4 )。
2047 2213 2377 2475 2617 2767 3067 3177 3337 3471 3543 3733
2055 2305 2415 2503 2627 2773 3103 3211 3375 3597 3575 3763
Quick Algorithm for Searching Primitive Polynomial
GUO Xin, CHEN Ke-fei
(Department of Computer Science and Engineering, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240)
10
2011
20 4000011 30 10000000123
11
4005
21 1000005 31 20000000011
12
10123
22 20000003
2011 2157 2347 2443 2553 2707 3025 3133 3301 3435 3525 3623
图1
2033 2201 2363 2461 2605 2745 3045 3171 3323 3441 3531 3661
基金项目：国家自然科学基金资助项目(60573030) 作者简介：郭 鑫(1982－)，女，硕士研究生，主研方向：网络安全； 陈克非，教授、博士生导师 收稿日期：2007-09-13 E-mail：goodfish@
也必是多项式( x2n −1 +1)的根。2 种角度分析结果是一致的。
先求解出 f(x)扩域中的一个元素 α 使得 f (α ) =0，则有 α n = an−1α n−1 + an−2α n−2 + L + a1α + 1 。然后从 α n+1 开始，计算 α 的连续幂。在计算过程中，当遇到 α 的幂次等于 n 时，则 将 α n = an−1α n−1 + an−2α n−2 + L + a1α + 1 式 代 入 ， 直 到 计 算 到 α 2n −2 ，此过程中，若 α q = 1(q < 2n−1) ，则证明 f(x)能整除 xq + 1 ， 但 q< 2n−1 ，判断为非本原多项式，停止计算；再计算 α 2n −1 ， 若 α 2n −1 =1，则证明 f(x)能整除 xm + 1 , m= 2n − 1 ，而不能整除 xq +1 , q<m，判断为本原多项式。
4
23
14
40053
24 100000033
5
51

100003
25 200000011
6
103
16
200055
26 400000107
7
203
17
400011
27 100000047
8
435
18 1000047 28 2000000011
9
1021
19 2000047 29 4000000005
【Abstract】Primitive elements and primitive polynomial play very important roles in the theory of the finite field. It is the premise of solving the problem about code sequences and searching the primitive elements can come down to searching primitive polynomial. This paper gives a new algorithm for searching primitive polynomials in the binary field making use of the algorithm for searching the minimal polynomial, and also gives out the minimal polynomial in the searching process. It shows the efficiency analysis of the algorithm. 【Key words】finite field; primitive element; primitive polynomial; minimal polynomial; coset
(上海交通大学计算机科学与工程系，上海 200240)
摘 要：本原元和本原多项式是有限域理论中的 2 个重要的概念。本原元的求解问题是解决实际密码序列问题的前提条件，而本原元的求 解问题又可以归结为本原多项式的求解问题。该文结合求解最小多项式的方法给出一个在二元有限域上本原多项式的求解算法，在求解过 程中同时给出了相应的最小多项式，并给出了算法相应的效能分析。 关键词：有限域；本原元；本原多项式；最小多项式；陪集
定义 1[1] 设 α 为有限域 GF(p)上任一元素，则 α 的最小 多项式为满足下列条件的次数最低的多项式 m(x)，m(x) ∈ GF(p)[x]，且 m( α )=0。
性质 1[1] α 与 α p 的最小多项式相同。 定义 2[2] 设 Cs = {s, sq, sq2,L, sqns −1} ，其中 ns 为满足 qns s ≡ s(mod N ) 的最小非负整数，称集合 Cs 为(q 上)模 N 的割圆陪 集，Cs 中最小的数字称为陪集头，ns 称为 s 的度或陪集的度， 记为 ns =ord(s)。 定义 3 若 f(x)是 GF(q)上的不可约多项式且 f(x)的根是 GF(qn)的本原元，则称 f(x)为 GF(q)上的本原多项式。 因此，本原元的求解问题可以转化为对本原多项式的求 解。而利用 GF(q)上的最小多项式集合，可简化本原多项式 的求解过程，从而给出一种更加有效的本原多项式求解方式。
步骤 3 计算每个陪集的最小多项式 ms ( x) = ∏i∈Cs (x −αi) ，
—146—
对所有 s ∈ I；其中， ms ( x) 即为 α s 及以 s 所在陪集为指数元
素的最小多项式，设这个集合为 M。
3 二元域上本原多项式的求解原理
定理 1[3] (本原多项式的等价定义形式)若一个 n 次多项式 f(x)满足下列条件：
表 1 n 次多项式 n<16 中所有本原多项式的个数
n
个数
n
个数
2
1
9
48
3
2
10
60
4
2
11
176
5
6
12
144
6
6
13
630
7
18
14
760
8
16
15
1 800
表 2 2<n<32 时的一个本原多项式的八进制表示
n 本原多项式 n 本原多项式 n 本原多项式
3
12
13
20033
23
4000011
有限域上的本原多项式在密码学、扩频通信、纠错码理 论、信息隐藏技术等各方面都有重要的应用，而本原多项式 的寻找和生成是一个复杂的过程，需要大量的计算，尤其是 当位数较高时更难得到。
1 最小多项式、割圆陪集与本原多项式
在给出求解算法之前，首先给出一些相关的定义性质。 设 p 为素数，q 是 p 的 n 次幂，n≥1, N 为 qn -1 的一个因数。
事实上，一旦 n 给定之后，第 2 节及第 4 节中输出的结 果都是不变的，因此，可以做成最小多项式与本原多项式 2 种对照表。表 1 给出了 n<16 时分别对应的本原多项式的个数， 表 2、图 1、图 2 分别给出了部分 n 确定时的本原多项式的八 进制表示。在实际应用中，对于最小多项式及本原多项式的 应用仅需查找对照表即可。
(1)f(x)为不可约多项式； (2)f(x)可整除 xm + 1 , m= 2n −1 ； (3)f(x)除不尽 xq + 1 , q<m。 则称 f(x)为本原多项式。结合前文给出的本原多项式的定义， 即本原多项式是系数取自 GF(p)上，以 GF( pn )中的本原元为 根的最小多项式，可得本原多项式一定以 pn − 1 级元素为根， 而以 GF( pn )上本原元为根的 GF(p)上的本原多项式也必是 n 次的。 在实际中二元域应用得比较广，本文也将仅针对二元域 GF(2)给出寻找本原多项式的方法，二元域作为有限域，可以 应用有限域中的有关理论来寻找本原多项式。 和普通代数学一样，对于多项式 f(x)，若 f( α )=0，则 α 为多项式 f(x)的根。一方面根据前文描述的有限域的基础知 识和本原多项式的定义可知，如果不可约多项式 f(x)的根能 够形成扩域 GF(2n ) ，则该多项式是本原多项式。从另一个角 度分析，若 α 为本原多项式 f(x)的根，那么 α m (m < 2n −1) 一 定不为 1，因为若 α m =1，则 α m +1=0，说明 α 也是 xm +1 的 根，说明 f(x)能整除 xm +1，与本原多项式的等价定义不符， 且 α 2n −1 一定为 1，这是由于本原多项式可以整除( x2n −1 +1)，α