3.8 圆内接正多边形 教案

一、情境导入
这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的．你能从这些图案中找出正多边形来吗？
二、合作探究
探究点：圆内接正多边形
【类型一】 圆内接正多边形的相关计算
已知正六边形的边心距为3，求正六边形的内角、外角、中心角、半径、边长、周长和面积． 解析：根据题意画出图形，可得△OBC 是等边三角形，然后由三角函数的性质，求得OB 的长，继而求得正六边形的周长和面积．
解：如图，连接OB ，OC ，过点O 作OH ⊥BC 于H ，∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠BOC ＝1
6
×360°＝60°，∴中心角是60°.∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴BC ＝OB ＝OC .∵OH ＝3，sin ∠OBC ＝OH OB ＝3
2，∴OB ＝BC ＝2.∴内角为180°×（6－2）6 ＝120°，外角为60°，周长为2×6
＝12，S 正六边形ABCDEF ＝6S △OBC ＝6×1
2
×2× 3＝6 3.
方法总结：圆内接正六边形是一个比较特殊的正多边形，它的半径等于边长，对于它的计算要熟练掌握．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第11题 【类型二】 圆内接正多边形的画法
如图，已知半径为R 的⊙O ，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．
解析：度量法：用量角器量出圆心角是120度的角；尺规作图法：先将圆六等分，然后再每两份合并成一份，将圆三等分．
解：方法一：(1)用量角器画圆心角∠AOB ＝120°，∠BOC ＝120°； (2)连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形． 方法二：(1)用量角器画圆心角∠BOC ＝120°；
(2)在⊙O 上用圆规截取AC ︵＝AB ︵
；
(3)连接AC ，BC ，AB ，则△ABC 为圆内接正三角形． 方法三：(1)作直径AD ；
(2)以D 为圆心，以OA 长为半径画弧，交⊙O 于B ，C ； (3)连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形． 方法四：(1)作直径AE ；
(2)分别以A ，E 为圆心，OA 长为半径画弧与⊙O 分别交于点D ，F ，B ，C ；
(3)连接AB ，BC ，CA (或连接EF ，ED ，DF )，则△ABC (或△EFD )为圆内接正三角形．
方法总结：解决正多边形的作图问题，通常可以使用的方法有两大类：度量法、尺规作图法；其中度量法可以画出任意的多边形，而尺规作图只能作出一些特殊的正多边形，如边数是3、4的整数倍的正多边形．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题 【类型三】 正多边形外接圆与内切圆的综合
如图，已知正三角形的边长为2a .
(1)求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积；
(2)根据计算结果，要求圆环的面积，只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积？ (3)将条件中的“正三角形”改为“正方形”、“正六边形”你能得出怎样的结论？ (4)已知正n 边形的边长为2a ，请写出它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．
解析：正多边形的边心距、半径、边长的一半正好构成直角三角形，根据勾股定理就可以求解． 解：(1)设正三角形ABC 的中心为O ，BC 切⊙O 于点D ，连接OB 、OD ，则OD ⊥BC ，BD ＝DC ＝a .则S 圆环＝π·OB 2－π·OD 2＝πOB 2－OD 2＝π·BD 2＝πa 2；
(2)只需测出弦BC (或AC ，AB )的长； (3)结果一样，即S 圆环＝πa 2； (4)S 圆环＝πa 2.
方法总结：正多边形的计算，一般是过中心作边的垂线，连接半径，把内切圆半径、外接圆半径、边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题 【类型四】 圆内接正多边形的实际运用
如图①，有一个宝塔，它的地基边缘是周长为26m 的正五边形ABCDE (如图②)，点O 为中
心(下列各题结果精确到0.1m)．
(1)求地基的中心到边缘的距离；
(2)已知塔的墙体宽为1m ，现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像，并且留出最窄处为1.6m 的观光通道，问塑像底座的半径最大是多少？
解析：(1)构造一个由正多边形的边心距、半边和半径组成的直角三角形．根据正五边形的性质得到半边所对的角是360°
10＝36°，再根据题意中的周长求得该正五边形的半边是26÷10＝2.6，最后由该
角的正切值进行求解；(2)根据(1)中的结论，塔的墙体宽为1m 和最窄处为1.6m 的观光通道，进行计算．
解：(1)作OM ⊥AB 于点M ，连接OA 、OB ，则OM 为边心距，∠AOB 是中心角．由正五边形性质得∠AOB ＝360°÷5＝72°，∴∠AOM ＝36°.∵AB ＝1
5×26＝5.2，∴AM ＝2.6.在Rt △AMO 中，边心距
OM ＝AM tan36°＝ 2.6
tan36°
≈3.6(m)．所以，地基的中心到边缘的距离约为3.6m ；
(2)3.6－1－1.6＝1(m)．
所以，塑像底座的半径最大约为1m.
方法总结：解决问题关键是将实际问题转化为数学问题来解答．熟悉正多边形各个元素的算法．
三、板书设计
圆内接正多边形
1．正多边形的有关概念
2．正多边形的画法
3．正多边形的有关计算
作
业设计1．下列边长为a的正多边形与边长为a的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是( )
(1)正三角形(2)正五边形(3)正六边形(4)正八边形
A．(1)(2) B．(2)(3) C．(1)(3) D．(1)(4)
2．以下说法正确的是
A．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形．
B．正n边形的对称轴不一定有n条．
C．正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数．
D．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．
3.若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r3，r4，r6，则r3：r4：r6等于( )
A．1:2:3B．3:2:1C．1:2:3D．3:2:1
4.如图，若正方形A1B1C1D1内接于正方形ABCD的内接圆，则
AB
B
A
1
1的值为（）
A．
2
1
B．
2
2
C．
4
1
D．
4
2
5．已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，图中阴影部分的面积为3
12，则⊙O的半径为______________________．
第5题图第6题图
6．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E在AD上，则∠BEC= ．
7．将一块正六边形硬纸片（图1），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图2），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形AGA/H，那么∠GA/H的大小是度．
O
B C
D
A
E
F E
D
C
B
A O
8．从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为．
9．如图五边形ABCDE内接于⊙O,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E．
求证：五边形ABCDE是正五边形
10．如图，10－1、10－2、10－3、…、10－n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动。

(1)求图10－1中∠APN的度数；
(2)图10－2中，∠APN的度数是_______，图10－3中∠APN的度数是________。

(3)试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）
教学后记本节课新概念较多，对概念的教学要注意从“形”的角度去认识和辨析，但对概念的严格定义不能要求过高．在概念教学中，要重视运用启发式教学，让学生从“形”的特征获得对几何概念的直观认识，鼓励学生用自己的语言表述有关概念，再进一步准确理解有关概念的文字表述，促进学生主动学习．所以在教学的过程中应尽量使用多媒体教学手段.
A
B
M
C
P
N
O.
图10－1
.O
A
B C
D
M
N
P
图10－2
E
A
B
C D
M
N
P
.O
图10－3
.
M
N
P
O
图10－4
A
B C
O
D
E
C
B
A。