第九节函数图形的简单组合与变换

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函数图像的性质及变换规律

函数图像的性质及变换规律引言：函数是数学中的重要概念，它描述了数值之间的关系。

函数图像是函数在坐标系中的可视化表示，通过观察函数图像的性质和变换规律，我们可以深入理解函数的特点和变化规律。

本文将从函数图像的基本性质入手，逐步展开讨论函数图像的变换规律，帮助学生更好地理解和应用函数概念。

一、函数图像的基本性质函数图像的基本性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性等。

定义域是指函数定义的自变量的取值范围，值域是函数的因变量的取值范围。

奇偶性是指函数关于y轴对称或关于原点对称的特性，通过观察函数图像的对称性可以判断奇偶性。

单调性是指函数在定义域内的增减性质，通过观察函数图像的上升和下降趋势可以确定函数的单调性。

二、函数图像的平移变换函数图像的平移变换是指将函数图像沿x轴或y轴方向移动的操作。

平移变换可以改变函数图像的位置，但不改变函数的形状。

具体而言，当函数图像沿x轴平移h个单位时，函数的表达式中的x值都减去h；当函数图像沿y轴平移k个单位时，函数的表达式中的y值都减去k。

通过观察函数图像的平移变换规律，我们可以得出平移变换的一般规律。

三、函数图像的缩放变换函数图像的缩放变换是指将函数图像沿x轴或y轴方向进行拉伸或压缩的操作。

缩放变换可以改变函数图像的形状和大小。

具体而言，当函数图像沿x轴方向进行水平缩放时，函数的表达式中的x值都除以缩放因子a；当函数图像沿y轴方向进行垂直缩放时，函数的表达式中的y值都除以缩放因子b。

通过观察函数图像的缩放变换规律，我们可以得出缩放变换的一般规律。

四、函数图像的翻转变换函数图像的翻转变换是指将函数图像关于x轴或y轴进行翻转的操作。

翻转变换可以改变函数图像的对称性和增减性质。

具体而言，当函数图像关于x轴翻转时，函数的表达式中的y值取相反数；当函数图像关于y轴翻转时，函数的表达式中的x值取相反数。

通过观察函数图像的翻转变换规律，我们可以得出翻转变换的一般规律。

五、函数图像的复合变换函数图像的复合变换是指将多种变换操作依次进行的操作。

函数图像的变换及其变换教案

函数图像课题：函数的图象教学目标：1．熟练掌握基本函数的图象；2．能正确地从函数的图象特征去讨论函数的主要性质； 3．能够正确运用数形结合的思想方法解题．教学重点：熟练基本函数的图象并掌握图象的初等变换．教学过程：知识回顾：数形结合是中学数学的重要的数学思想方法，尤其是函数的图象更是历年高考的热点.函数图象是函数的一种表达形式，形象的显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题的结果的重要工具.考点：作图，识图，用图（注意抓住特殊点，零点，与坐标轴的交点）三种变换1．平移变换：（1）水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；（2）竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到． 2．对称变换：（1）函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于y 轴对称；（2）函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于x 轴对称；（3）函数()y f x =--的图像与函数()y f x =的图像关于原点对称；（4）函数1()y fx -=的图像与函数()y f x =的图像关于直线y x =对称；（5）函数()y f x =的图像与函数)2(x a f y -=的图像关于直线a x =称. 3．翻折变换：（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；（2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到．4．伸缩变换：（1）函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；（2）函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到．一画图1、画出下列函数的图像 (1)（2）|1|||1x x y --=练习（1）112++=x x y （2）2()|45|f x x x =--二识图12. （湖北卷）函数|1|||ln --=x ey x 的图象大致是（ D ）16、(安徽文7)图中的图象所表示的函数的解析式为(A)|1|23-=x y (0≤x ≤2) (B) |1|2323--=x y(0≤x ≤2)(C) |1|23--=x y (0≤x ≤2)(D) |1|1--=x y (0≤x ≤2)解析：图中的图象所表示的函数当0≤x ≤1时，它的解析式为32x y =，当1<x ≤2时，解析式为332y x =-+，∴解析式为|1|2323--=x y (0≤x ≤2)，选B 。

高中数学函数图象的4种简单变换知识点总结(平移、对称、翻折、伸缩)

高中数学函数图象的简单变换知识点总结高中阶段，函数图象的简单变换有：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换。

一、函数图象的平移变换①左右平移变换：()y f x =与()y f x a =+()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向左平移个单位时，向右平移个单位如：1y x =+的图象可由y x =的图象向右平移一个单位得到；1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。

②上下平移变换()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向上平移个单位时，向下平移个单位如：1y x =+的图象可由y x =的图象向上平移一个单位得到。

1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。

【注】变换的口诀为：“上加下减，左加右减”。

二、函数图象的对称变换①()()y y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象②()()x y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象③()()y f x y f x =−−−−−−−−−→=--作关于原点对称的图象如：（i）()sin sin y x y x ϕ=→=+①0ϕ>时，把sin y x =的图象向左平移ϕ个单位得到；②0ϕ<时，把sin y x =的图象向右平移ϕ个单位得到；（ii）已知()2f x x x =-，则()()2g x f x x x =-=+的图象可由()2f x x x =-的图象做关于y 轴对称的图象得到；函数()h x ()2f x x x =-=-+的图象可由()2f x x x =-的图象作关于x 轴对称后的图象得到；函数()()u x f x =--=2x x --的图象可由()2f x x x =-的图象做关于坐标系原点对称的图象得到。

函数的图像和变换

函数的图像和变换函数是数学中非常重要的概念，它描述了一种映射关系，将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。

在数学函数的图像和变换中，我们将探讨不同类型的函数以及它们在平面直角坐标系中的图像和变换。

一、常见的函数类型1. 线性函数：线性函数是最简单的函数类型，它的表达式可以写为y=ax+b，其中a和b为常数。

线性函数的图像是一条直线，斜率a决定了直线的斜率方向和倾斜程度，常数b决定了直线与y 轴的交点。

2. 幂函数：幂函数是由形如y=x^n的表达式定义的函数，其中n为常数。

当n为正数时，幂函数的图像呈现递增或递减的曲线，曲线的陡峭程度取决于n的大小。

当n为负数时，曲线则在x轴正方向和y轴正方向之间交替。

3. 指数函数：指数函数由形如y=a^x的表达式定义，其中a为常数且大于0且不等于1。

指数函数的图像是一条通过点(0,1)的递增曲线，沿着x轴正方向迅速上升。

4. 对数函数：对数函数是指满足y=log_a(x)的函数，其中a为正实数且不等于1。

对数函数的图像是一条递增曲线，曲线的陡峭程度由底数a的大小决定。

5. 三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

这些函数的图像是关于坐标轴对称的波动曲线。

二、函数的图像变换函数的图像可以通过一系列变换实现形状、位置或大小的改变。

以下是常见的函数图像变换：1. 平移：通过在函数表达式中加上常数c，可以使得函数图像沿着x轴或y轴平移。

例如，对于线性函数y=x+1，如果我们在函数表达式中加上常数1，则函数图像整体上移1个单位。

2. 反转：通过对函数表达式中的x或y取相反数，可以使函数图像在x轴或y轴方向上发生反转。

例如，对于线性函数y=x，如果我们将函数表达式中的x替换为-x，则函数图像将在y轴上对称。

3. 缩放：通过在函数表达式中乘以常数d，可以实现函数图像的缩放。

如果d大于1，则函数图像会在坐标轴方向上拉伸；如果d介于0和1之间，则会在坐标轴方向上收缩。

函数的图像及其变换归纳总结

函数的图像及其变换归纳总结一、课标要求：函数是现代数学中最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题汇总发挥重要作用。

函数是贯穿高中数学课程的主线。

1．函数概念与性质本单元的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系；能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。

（1）函数概念①在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念（参见案例2），体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。

了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域。

②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用。

③通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。

（2）函数性质①借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义。

②结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义。

③结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义。

2．幂函数、指数函数、对数函数幂函数、指数函数与对数函数是最基本的、应用最广泛的函数，是进一步研究数学的基础。

本单元的学习，可以帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究这些函数的性质；理解这些函数中所蕴含的运算规律；运用这些函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在解决实际问题中的作用。

内容包括：幂函数、指数函数、对数函数。

（1）幂函数（2）指数函数（3)对数函数二、知识梳理1.图像的变换（1）两个函数图象间的变换及函数关系：【会根据变换写解析式】平移变换：（2）翻折变换：（3）伸缩变换：（4）(对称变换)两个函数图象间的对称性及函数关系：【会根据对称性写解析式】2.函数图像的应用（1）.利用函数图像确定函数解析式利用函数图像确定函数解析式时,要注意综合应用奇偶性、单调性等相关性质，同时结合自变量与函数值的对应关系.（2）利用函数图像研究两函数图像交点的个数利用函数图像研究两函数图像交点的个数时,常将两函数图像在同一坐标系内作出,利用数形结合求解参数的取值范围.（3）利用函数图像研究不等式当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时,常将不等式问题转化为两函数图像的上、下关系问题,从而利用数形结合求解.（4）利用函数图像研究方程根的个数【会读图】读出定义域，值域，最值，极值，零点，解集，单调性，奇偶性（对称性），周期性，有界性，渐近线．【会作图】熟练掌握一些基本函数图象．作图时，抓住关键点（端点、最值点、极值点、零点、与y轴的交点、对称中心等），关键线（对称轴、渐近线），利用好函数性质（奇偶性、单调性、周期性等）．三、查缺补漏1.识图，辩图（1）从函数的定义域,判断图像左右的位置；（2）从函数的值域,判断图像的上下位置；（3）从函数的单调性,判断图像的变化趋势；（4）从函数的奇偶性,判断图像的对称性；（5）从函数的周期性,判断图像的循环往复.2.图像的变换3.图像的应用四、常用二级结论：1.函数图像对称性2. 二次函数3.经典不等式．三年真题：。

函数图像和变换解读

函数图像及其变换师大学附属外国语中学庆兵函数是整个高中数学的重点和难点，高中阶段对函数性质的研究往往是通过研究函数图像及其变换得到的，所以函数图像及其变换也就成为高考的固定考点。

历年高考考试大纲中都明确要求，学生要“会运用函数图像理解和研究函数的性质”，并且与前几年比较可以发现，近几年高考对于函数图像方面的考查已经不再局限于对几个常见函数本身的单一的考查，而是结合函数的运算，更为深刻地考查函数与函数、函数与方程、函数与不等式、函数与其他学科或现实生活等方面的联系。

这就要求我们不仅要熟练掌握一些基本函数的图像特征及函数图像变换的几种常见方法，而且要会灵活运用。

下面笔者就结合近几年的一些高考试题，谈一些函数图像及其变换和应用方面的问题，希望能引起正在忙于备考的高三教师和学子们的重视，并给他们带来一些启发。

（一）平移变换及其应用：函数00)(y x x f y +-=的图像可以看作是由函数)(x f y =的图像先向左0(x ＞0）或向右（0x ＜0）平移||0x 个单位，再向上0(y ＞0）或向下（0y ＜0）平移||0y 个单位得到。

如：例1、（2008理11）方程0122=-+x x 的解可视为函数2+=x y 的图象与函数xy 1=的图象交点的横坐标。

若方程044=-+ax x 的各个实根)4(,,,21≤k k x x x x 所对应的点),,2,1)(4,(k i x x i i =均在直线x y =的同侧，则实数a 的取值围是。

（图一）（图二）分析：由题意，方程044=-+ax x 的解可视为函数a x y +=3的图象与函数xy 4=的图象交点的横坐标。

这些交点可以看作是由函数3x y =的图象经过上下平移得到，由图（1）可知，函数3x y =与函数xy 4=的图象分别交于点P 、Q ，且点P 在直线上方，点Q 在直线x4=下方，要使得方程044=-+ax x 的各个实根)4(,,,21≤k k x x x x 所对应的点),,2,1)(4,(k i x x ii =均在直线x y =的同侧，只须将函数3x y =图像上下平移，将点Q 移至函数x y 4=图像与直线x y =交点A )2,2(--左侧或将点P 移至函数xy 4=图像与直线x y =交点B )2,2(右侧即可。

函数的图像及其变换(完整版)

函数的图像及其变换(完整版)
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晴。

高考数学函数图像变换与技巧全解析

高考数学函数图像变换与技巧全解析在高考数学中，函数图像的变换与相关技巧是一个重要且具有一定难度的知识点。

掌握这部分内容，对于理解函数的性质、解决函数相关的问题以及提高数学综合解题能力都具有至关重要的意义。

一、函数图像的平移变换函数图像的平移是指将函数的图像在平面直角坐标系中沿着坐标轴进行移动。

对于形如 y ＝ f(x) 的函数，向左平移 a 个单位，得到的函数为 y ＝ f(x ＋ a)；向右平移 a 个单位，得到的函数为 y ＝ f(x a)。

向上平移 b 个单位，得到的函数为 y ＝ f(x) ＋ b；向下平移 b 个单位，得到的函数为 y ＝ f(x) b。

例如，对于函数 y ＝ x²，将其向左平移 2 个单位，得到 y ＝（x ＋2)²的图像；将其向下平移 3 个单位，得到 y ＝ x² 3 的图像。

在进行平移变换时，需要注意“左加右减，上加下减”的规律。

这个规律简单易记，但在实际应用中，同学们要理解其本质，即函数自变量 x 的变化和函数值 y 的变化。

二、函数图像的伸缩变换函数图像的伸缩变换包括沿 x 轴和 y 轴的伸缩。

沿 x 轴方向的伸缩：对于函数 y ＝ f(x)，若将其横坐标伸长或缩短到原来的 k 倍（k ＞ 0），则得到的函数为 y ＝ f(1/k x) （当 k ＞ 1 时，图像沿 x 轴缩短；当 0 ＜ k ＜ 1 时，图像沿 x 轴伸长）。

例如，函数 y ＝ sin x 的图像，将其横坐标缩短为原来的 1/2，得到y ＝ sin 2x 的图像。

沿 y 轴方向的伸缩：对于函数 y ＝ f(x)，若将其纵坐标伸长或缩短到原来的 k 倍（k ＞ 0），则得到的函数为 y ＝ kf(x) （当 k ＞ 1 时，图像沿 y 轴伸长；当 0 ＜ k ＜ 1 时，图像沿 y 轴缩短）。

比如，函数 y ＝ x 的图像，将其纵坐标伸长为原来的 2 倍，得到 y＝ 2x 的图像。

函数图像变换知识点总结

函数图像变换知识点总结一、基本概念1. 函数图像的平移函数图像的平移是指将原函数图像沿横轴或纵轴方向平移一定的距离。

平移的方向和距离可以是正数也可以是负数。

- 沿横轴方向平移：对于函数y=f(x)，如果在横轴方向上平移了a个单位，新函数表示为y=f(x-a)。

- 沿纵轴方向平移：对于函数y=f(x)，如果在纵轴方向上平移了b个单位，新函数表示为y=f(x)+b。

2. 函数图像的伸缩函数图像的伸缩是指将原函数图像沿横轴或纵轴方向进行拉伸或压缩。

伸缩的方向和比例可以是正数也可以是负数。

- 沿横轴方向伸缩：对于函数y=f(x)，如果在横轴方向上进行了伸缩，新函数表示为y=f(kx)。

- 沿纵轴方向伸缩：对于函数y=f(x)，如果在纵轴方向上进行了伸缩，新函数表示为y=kf(x)。

3. 函数图像的翻转函数图像的翻转是指对原函数图像进行镜像操作，可以分为关于横轴翻转和关于纵轴翻转两种情况。

- 关于横轴翻转：对于函数y=f(x)，进行横轴翻转后，新函数表示为y=-f(x)。

- 关于纵轴翻转：对于函数y=f(x)，进行纵轴翻转后，新函数表示为y=f(-x)。

二、函数图像变换的特点1. 平移：平移不改变函数的基本形状，只是改变了函数的位置；2. 伸缩：伸缩可以改变函数的斜率和幅度，但不改变函数的形状；3. 翻转：翻转改变了函数的整体形状，使得原函数变为其镜像；4. 组合变换：可以将多种变换进行组合，得到更复杂的函数图像变换。

三、函数图像变换的应用函数图像变换不仅仅是数学中的一种抽象概念，还可以应用到具体的问题中，如物理、经济等领域。

1. 物理问题：在物理学中，函数图像变换可以用来描述物体的运动、变形等。

例如，对于速度-时间图像，进行平移可表示物体的起始位置不同；进行伸缩则可以描述加速度的变化；进行翻转可以描述反向运动等情况。

2. 经济问题：在经济学中，函数图像变换可以用来描述经济模型的变化。

例如，对于需求-价格图像，进行平移可以表示需求量或价格的变化；进行伸缩可以描述需求的弹性；进行翻转可以描述替代品或补充品的关系等情况。

函数图像的变换规律

函数图像的变换规律函数图像的变换是数学中的重要概念，它描述了函数在坐标平面上的图像如何发生移动、伸缩和翻转等变化。

这些变换规律不仅在数学中有广泛应用，也在物理、经济等其他领域有着重要的意义。

本文将从平移、伸缩和翻转三个方面介绍函数图像的变换规律，并通过实例加以说明。

一、平移变换平移变换是指函数图像在坐标平面上沿着横轴或纵轴方向移动的操作。

对于一般的函数y=f(x)，如果将x坐标增加或减少一个常数a，那么对应的函数图像将向左平移a个单位；类似地，如果将y坐标增加或减少一个常数b，函数图像将向上或向下平移b个单位。

例如，考虑函数y=x^2的图像。

如果将x坐标增加2个单位，那么函数图像将向左平移2个单位；如果将y坐标减少3个单位，函数图像将向下平移3个单位。

这种平移变换可以用以下公式描述：平移后的函数图像：y=f(x-a)或y-a=f(x)二、伸缩变换伸缩变换是指函数图像在坐标平面上沿着横轴或纵轴方向发生扩张或压缩的操作。

对于一般的函数y=f(x)，如果将x坐标乘以一个常数m，那么对应的函数图像将在横轴方向上缩放为原来的1/m倍；类似地，如果将y坐标乘以一个常数n，函数图像将在纵轴方向上缩放为原来的1/n倍。

例如，考虑函数y=sin(x)的图像。

如果将x坐标乘以2，那么函数图像在横轴方向上缩放为原来的1/2倍；如果将y坐标乘以3，函数图像在纵轴方向上扩张为原来的3倍。

这种伸缩变换可以用以下公式描述：伸缩后的函数图像：y=f(mx)或y=1/n*f(x)三、翻转变换翻转变换是指函数图像在坐标平面上关于某一直线对称的操作。

对于一般的函数y=f(x)，如果将x关于直线x=a进行对称，那么对应的函数图像将在直线x=a处翻转；类似地，如果将y关于直线y=b进行对称，函数图像将在直线y=b处翻转。

例如，考虑函数y=1/x的图像。

如果将x关于直线x=1进行对称，那么函数图像将在直线x=1处翻转；如果将y关于直线y=2进行对称，函数图像将在直线y=2处翻转。

高中数学教案：函数图像的变换及性质

高中数学教案：函数图像的变换及性质一、引言在高中数学教学中，函数图像的变换及性质是学习函数的重要内容之一。

理解函数图像的变换规律和性质，有助于学生更好地理解函数的概念、掌握函数的运算和图像的变化规律，进一步提高数学思维和解题能力。

本教案将介绍函数图像的平移、伸缩和翻转等变换，并探究函数的奇偶性、周期性和单调性等性质。

二、函数图像的平移1. 平移的概念与特点平移是指保持图形形状不变，仅仅改变位置的变换方式。

在函数图像中，平移可以通过改变函数的自变量（x）和因变量（y）的关系来实现。

平移有平行于x轴的水平平移和平行于y轴的垂直平移两种形式。

2. 平移的公式与例题水平平移的公式为f(x ± a)，其中a表示平移的距离和方向。

垂直平移的公式为f(x) ± a，其中a表示平移的距离和方向。

例如，对于函数y = x²-1，向右平移2个单位的函数表达式为y = (x-2)²-1。

三、函数图像的伸缩1. 伸缩的概念与特点伸缩是指通过改变图形的尺寸，保持图形形状与轴线关系不变的变换方式。

在函数图像中，伸缩可以通过改变函数的自变量（x）或因变量（y）的比例系数来实现。

伸缩有水平方向的横向伸缩和垂直方向的纵向伸缩两种形式。

2. 伸缩的公式与例题横向伸缩的公式为f(kx)，其中k表示伸缩的比例系数。

纵向伸缩的公式为kf(x)，其中k表示伸缩的比例系数。

例如，对于函数y = x²-1，横向伸缩2倍的函数表达式为y = (1/2)x²-1，纵向伸缩2倍的函数表达式为y = 2(x²-1)。

四、函数图像的翻转1. 翻转的概念与特点翻转是指通过改变图形的方向，保持图形形状不变的变换方式。

在函数图像中，翻转可以通过改变函数的自变量（x）或因变量（y）的正负号来实现。

翻转有水平方向的左右翻转和垂直方向的上下翻转两种形式。

2. 翻转的公式与例题左右翻转的公式为f(-x)，即将函数关于y轴翻转。

函数图像的变换技巧例题和知识点总结

函数图像的变换技巧例题和知识点总结函数图像是研究函数性质的重要工具，通过对函数图像进行变换，可以更直观地理解函数的特点和规律。

下面我们将介绍一些常见的函数图像变换技巧，并通过例题来加深理解。

一、平移变换1、水平平移对于函数\（y ＝ f(x)＼），将其图像向左平移\（h\）个单位，得到\（y ＝ f(x ＋ h)＼）；向右平移\（h\）个单位，得到\（y ＝ f(x h)＼）。

例如，函数\（y ＝ x^2\）的图像向左平移\（2\）个单位，得到\（y＝（x ＋ 2)＾2\）的图像；向右平移\（3\）个单位，得到\（y ＝（x 3)＾2\）的图像。

例题：将函数\（y ＝ 2x ＋ 1\）的图像向左平移\（3\）个单位，求平移后的函数表达式。

解：将\（x\）替换为\（x ＋ 3\），得到平移后的函数为\（y ＝ 2(x＋ 3) ＋ 1 ＝ 2x ＋ 7\）2、竖直平移函数\（y ＝ f(x)＼）的图像向上平移\（k\）个单位，得到\（y ＝ f(x) ＋ k\）；向下平移\（k\）个单位，得到\（y ＝ f(x) k\）。

例如，函数\（y ＝＼sin x\）的图像向上平移\（1\）个单位，得到\（y ＝＼sin x ＋ 1\）的图像；向下平移\（2\）个单位，得到\（y ＝＼sin x 2\）的图像。

例题：将函数\（y ＝＼log_2 x\）的图像向下平移\（2\）个单位，求平移后的函数表达式。

解：平移后的函数为\（y ＝＼log_2 x 2\）二、伸缩变换1、水平伸缩对于函数\（y ＝ f(x)＼），将其图像上所有点的横坐标伸长（或缩短）到原来的\（＼omega\）倍（＼（＼omega ＞0\）），纵坐标不变，得到\（y ＝ f(＼frac{1}｛＼omega}x)＼）。

当\（＼omega ＞ 1\）时，图像沿\（x\）轴缩短；当\（0 ＜＼omega ＜ 1\）时，图像沿\（x\）轴伸长。

例如，函数\（y ＝＼sin x\）的图像横坐标缩短到原来的\（＼frac{1}｛2}＼），得到\（y ＝＼sin 2x\）的图像；横坐标伸长到原来的\（2\）倍，得到\（y ＝＼sin ＼frac{1}｛2}x\）的图像。

《函数图像的变换》知识解读

《函数图像的变换》知识解读1.函数图像的平移变换函数()y f x =的图像与函数()(0)y f x a a =+≠及()y f x =+(0)b b ≠的图像有怎样的关系呢?我们先来看一个例子:作出函数22,(1),y x y x y ==+=21x -的图像,观察它们之间有怎样的关系. 在同一平面直角坐标系中,它们的图像如图所示.观察图像,可知2(1)y x =+的图像可由2y x =的图像向左平移1个单位长度得到,21y x =-的图像可由2y x =的图像向下平移1个单位长度得到.由此得到如下规律:(1)函数()(0)y f x a a =+≠的图像是由函数()y f x =的图像向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位长度得到的,即“左加右减”;(2)函数()(0)y f x b b =+≠的图像是由函数()y f x =的图像向上(0)b >或向下(0)b <平移||b 个单位长度得到的,即“上加下减”.2.函数图像的对称变换函数()y f x =的图像与函数()y f x =-及()y f x =-的图像又有怎样的关系呢?我们来看一个例子: 作出函数111,,111y y y x x x ===-+-+-+的图像,观察它们之间有怎样的关系. 在同一平面直角坐标系中,作出①y =11x +,②11y x =-+与③11y x =--+的图像的一部分,如图所示.观察图像,可知11y x =-+的图像可由y =11x +的图像作关于y 轴的对称变换得到,11y x =--+的图像可由11y x =-+的图像作关于x 轴的对称变换得到,11y x =--+的图像可由y =11x +的图像作关于原点的对称变换得到. 由此可得如下规律:①()y f x =-的图像可由()y f x =的图像作关于y 轴的对称变换得到;②()y f x =-的图像可由()y f x =的图像作关于x 轴的对称变换得到;③()y f x =--的图像可由()y f x =的图像作关于原点的对称变换得到.3.函数图像的翻折变换函数()y f x =的图像与函数|()|y f x =及(||)y f x =的图像又有怎样的关系呢?我们再来看一个例子: 作出函数22223,23,2||3y x x y x x y x x =--=--=--的图像,观察它们之间有怎样的关系.事实上,()22223,13,2323,13,x x x x y x x x x x ⎧---⎪=--=⎨----<<⎪⎩或22223,0,2||323,0.x x x y x x x x x ⎧--=--=⎨+-<⎩在不同的平面直角坐标系中,分别作出2223,|23|,y x x y x x =--=--22||3y x x =--的图像,如图所示.通过观察三个图像,可知223y x x =--的图像可由2y x =-23x -的图像经过下列变换得到:223y x x =--的图像在x 轴及x 轴上方的部分保持不变,x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去,即可得到223y x x =--的图像;22||3y x x =--的图像可由223y x x =--的图像经过下列变换得到:223y x x =--的图像在y 轴及y 轴右侧的部分保持不变,再将y 轴右侧的部分图像沿y 轴翻折过去,即可得到22||3y x x =--的图像.由此可得如下规律: 函数图像的翻折变换是指()y f x =的图像与|()|,y f x y ==(||)f x 的图像间的关系.①要作|()|y f x =的图像,可先作y =()f x 的图像,然后将x 轴及x 轴上方的部分保持不变,再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去即可;②要作(||)y f x =的图像,可先作()y f x =的图像,然后将y 轴及y 轴右侧的部分保持不变,再将y 轴右侧的部分图像沿y 轴翻折过去即可.。

函数的图像变换与性质

函数的图像变换与性质在数学的广袤世界里，函数就像是一座神秘的城堡，而函数的图像变换与性质则是打开这座城堡大门的钥匙。

今天，咱们就一起来探索一下这个充满奇妙和智慧的领域。

首先，咱们得搞清楚啥是函数。

简单来说，函数就是一种规则，给定一个输入值，通过这个规则就能得到唯一的输出值。

比如说，y ＝2x 就是一个函数，你输入一个 x 的值，按照乘以 2 的规则就能算出对应的 y 值。

那函数的图像又是啥呢？其实就是把这些输入值和输出值对应的点在坐标系里标出来，然后连起来形成的图形。

比如说 y ＝ x²的图像就是一个开口向上的抛物线。

接下来，咱们聊聊函数的图像变换。

这就像是给函数的图像做各种“魔法”操作，让它发生变化。

平移变换是常见的一种。

比如函数 y ＝ x²，要是把它向左平移 2 个单位，就变成了 y ＝（x ＋ 2)²；要是向右平移 3 个单位，就变成了 y ＝（x 3)²。

上下平移也类似，y ＝ x²向上平移 4 个单位就成了 y ＝ x²＋ 4 ，向下平移 5 个单位就成了 y ＝ x² 5 。

这就好比是把整个图像在坐标系里左右或者上下移动了一段距离。

然后是伸缩变换。

比如 y ＝ x ，要是把横坐标伸长为原来的 2 倍，函数就变成了 y ＝ 05x ；要是把纵坐标伸长为原来的 3 倍，函数就变成了 y ＝ 3x 。

这种变换就像是把图像在某个方向上拉伸或者压缩了。

还有对称变换。

比如 y ＝ x²关于 x 轴对称的函数就是 y ＝ x²；关于 y 轴对称的函数则是 y ＝（ x ）²。

这就好像是把图像在对称轴那里翻了个身。

了解了这些图像变换，咱们再来说说函数的性质。

函数的性质那可是相当重要，能帮助咱们更好地理解和研究函数。

单调性是个关键性质。

如果函数在某个区间内，随着 x 的增大，y也一直增大，那这个函数在这个区间就是单调递增的；反过来，如果随着 x 的增大，y 一直减小，那就是单调递减的。

初中数学函数图像的变换规律与应用实例解析

初中数学函数图像的变换规律与应用实例解析函数图像的变换规律是数学中的重要概念，它描述了通过何种方式对函数的图像进行平移、伸缩和翻转等操作。

这些变换规律不仅有助于我们理解数学中的函数性质，还可以应用于解决实际问题。

本文将详细讨论数学函数图像的变换规律，并通过应用实例进行解析。

首先，我们来讨论函数图像的平移变换规律。

平移是指将函数图像沿水平或垂直方向移动一定距离。

对于一般函数y=f(x)，进行平移变换可以得到新函数y=f(x-a)+b。

其中a表示水平平移的距离，当a>0时向右平移，当a<0时向左平移；b表示垂直平移的距离，当b>0时向上平移，当b<0时向下平移。

例如，对于函数y=x^2，我们可以进行水平平移和垂直平移。

如果我们将函数向右平移2个单位，那么新函数可以表示为y=(x-2)^2。

同样地，如果我们将函数向上平移3个单位，那么新函数可以表示为y=x^2+3。

这些平移变换可以帮助我们研究函数的移动特性，并解决与平移相关的实际问题。

其次，我们探讨函数图像的伸缩变换规律。

伸缩是指通过乘以或除以一个常数来改变函数图像的高度或宽度。

对于一般函数y=f(x)，进行伸缩变换可以得到新函数y=a*f(bx)。

其中a表示垂直伸缩的倍数，当a>1时函数图像变高，当0<a<1时函数图像变矮；b表示水平伸缩的倍数，当b>1时函数图像变宽，当0<b<1时函数图像变窄。

例如，对于函数y=x^2，我们可以进行垂直伸缩和水平伸缩。

如果我们垂直伸缩这个函数的高度为原来的2倍，那么新函数可以表示为y=2x^2。

同样地，如果我们水平伸缩这个函数的宽度为原来的1/2倍，那么新函数可以表示为y=(1/2)x^2。

这些伸缩变换使我们能够研究函数图像的变化趋势，并解决与伸缩相关的实际问题。

此外，我们还需要了解函数图像的翻转变换规律。

翻转是指通过改变函数的正负号来改变图像的位置。

对于一般函数y=f(x)，进行翻转变换可以得到新函数y=-f(x)。

函数图像的变换及应用

函数图像的变换及应用函数图像的变换指的是通过对函数图像进行一系列的操作，使得原函数图像在坐标系中发生平移、伸缩、翻折等变化，从而得到新的函数图像。

这些变换可以通过改变函数的参数或者利用一些特定的变换公式来实现。

函数图像的变换有很多种，下面列举几种常见的变换及其应用：1. 平移变换：平移变换是将函数图像在坐标系上沿着横轴或者纵轴方向进行移动。

对于函数y=f(x)，平移变换可以表示为y=f(x-a)+b，其中a表示横向平移的距离，b表示纵向平移的距离。

平移变换的应用场景有很多，例如对于温度变化的曲线图，可以通过平移变换来调整图像在时间轴上的位置，实现对曲线的观察和比较。

2. 伸缩变换：伸缩变换是改变函数图像的尺度，使得函数图像的宽度或者高度发生变化。

对于函数y=f(x)，伸缩变换可以表示为y=a*f(bx)，其中a控制纵向的伸缩比例，b控制横向的伸缩比例。

伸缩变换可以用来调整图像的大小，使得函数曲线更加清晰或者适应特定的分析需求。

3. 翻折变换：翻折变换是将函数图像沿着坐标轴进行翻转。

对于函数y=f(x)，翻折变换可以表示为y=-f(x)（沿着x轴翻折）或者y=f(-x)（沿着y轴翻折）。

翻折变换可以用来分析函数的对称性质，例如判断函数是否关于x轴或者y轴对称。

4. 拉伸变换：拉伸变换是通过改变函数图像的形状来实现对函数的变换。

拉伸变换可以是横向拉伸或者纵向拉伸。

对于函数y=f(x)，横向拉伸可以表示为y=f(cx)，纵向拉伸可以表示为y=c*f(x)，其中c是大于1的常数。

拉伸变换可以用来调整图像的形状，使得函数曲线更加符合实际情况或者更容易进行分析。

5. 压缩变换：压缩变换与拉伸变换相反，是通过改变函数图像的形状来实现对函数的变换。

压缩变换可以是横向压缩或者纵向压缩。

对于函数y=f(x)，横向压缩可以表示为y=f(x/c)，纵向压缩可以表示为y=(1/c)*f(x)，其中c是大于1的常数。

压缩变换可以用来调整图像的形状，使得函数曲线更加符合实际情况或者更容易进行分析。

函数图像的变换规律

函数图像的变换规律在数学的世界里，函数图像就像是一个个神秘的地图，它们以独特的线条和形状展示着数学的规律和魅力。

而函数图像的变换规律，则是我们解读这些地图的关键密码。

首先，让我们来聊聊平移变换。

想象一下，一个函数图像就像是一个可以在坐标平面上自由移动的图案。

当我们对函数图像进行水平平移时，比如将函数 y ＝ f(x) 向左平移 h 个单位，就得到了 y ＝ f(x ＋ h) 的图像。

这就好像整个图案沿着 x 轴向左滑动了 h 个单位。

相反，如果是向右平移 h 个单位，那么就变成了 y ＝ f(x h) 。

垂直平移也有着类似的规律。

将函数 y ＝ f(x) 向上平移 k 个单位，就得到了 y ＝ f(x) ＋ k 的图像，整个图案像是沿着 y 轴向上爬升了 k 个单位。

要是向下平移 k 个单位，那就是 y ＝ f(x) k 。

接下来，是伸缩变换。

伸缩变换就像是给函数图像进行了“拉伸”或者“压缩”。

对于函数 y ＝ f(x) ，当我们将 x 轴方向上的图像进行伸缩时，如果是横坐标变为原来的 1/a 倍（a ＞ 0），那么函数就变成了 y ＝ f(ax) 。

这时候，图像在 x 轴方向上被压缩了，如果 a ＞ 1 ；而当 0 ＜ a ＜ 1 时，图像则在 x 轴方向上被拉伸了。

在 y 轴方向上的伸缩变换也很有趣。

如果将函数 y ＝ f(x) 的纵坐标变为原来的 b 倍（b ＞ 0），函数就变成了 y ＝ bf(x) 。

当 b ＞ 1 时，图像在 y 轴方向上被拉伸；当 0 ＜ b ＜ 1 时，图像在 y 轴方向上被压缩。

再说说对称变换。

函数图像关于 x 轴对称时，原来的函数 y ＝ f(x)就变成了 y ＝ f(x) 。

图像关于 y 轴对称时，函数变成了 y ＝ f(x) 。

而关于原点对称的变换，则是将函数从 y ＝ f(x) 变为 y ＝ f(x) 。

反射变换也是一种常见的操作。

比如，将函数 y ＝ f(x) 在 y 轴右侧的图像保留，左侧的图像去掉，然后将右侧的图像沿y 轴翻折到左侧，就得到了 y ＝ f(｜x|）的图像。

函数图像与变换

函数图像与变换是高中数学中一个重要的概念和研究方向。

它涉及到函数的图像特征、函数的平移、伸缩、翻折等变换形式，可以帮助我们更好地理解和应用函数的属性及其在实际问题中的意义。

首先，我们来看函数图像的特征。

在平面直角坐标系中，一个函数的图像是由一系列的点连接而成，表示函数在数轴上各点的函数值。

通过观察这些点之间的联系，我们可以得出一些函数的基本特征。

比如，函数图像的上升区间和下降区间，也即函数的增减性；函数图像的凸性和凹性，即函数的二阶导数正负的情况；还有函数图像的对称性，如奇函数和偶函数等。

这些特征可以帮助我们分析并应用函数，比如用来解决最优化问题、求函数的零点等。

其次，我们来探讨函数的变换形式。

函数的变换是指通过某种变换操作，改变原函数的图像特征。

最常见的变换形式包括平移、伸缩和翻折等。

平移是指将函数的图像沿着横轴或纵轴移动一定的距离，可以使得函数图像的整体位置发生变化。

伸缩是指将函数的图像在横轴或纵轴方向进行拉伸或压缩，可以使得函数的图像在相应的方向上发生变化。

翻折则是指将函数的图像沿着横轴或纵轴进行对称，可以使得函数的图像相对于坐标轴发生镜像变化。

这些变换形式可以嵌套使用，从而创造出各种有趣的函数图像。

接下来，我们将结合具体的例子来说明函数图像与变换的实际应用。

假设我们要解决一个关于生物种群增长的问题，我们可以建立一个与时间有关的函数模型。

通过对模型函数进行图像的平移、伸缩和翻折等变换操作，可以模拟不同条件下种群数量的变化趋势。

这样一来，我们可以通过观察函数图像的特征，比如平移的距离、伸缩的比例、翻折的位置等，来分析不同条件下种群增长的速度、饱和程度等。

这对于生态环境保护和资源管理等问题的解决具有重要的意义。

综上所述，函数图像与变换是高中数学中的一个重要知识点。

它通过研究函数图像的特征和变换形式，帮助我们更好地理解和应用函数的属性及其在实际问题中的意义。

通过函数图像与变换的学习，我们可以提高数学分析和问题求解的能力，为其他学科的学习和应用提供有力的支撑。

高中函数图像变换总结

高中函数图像变换总结高中数学是高中阶段的一门重要学科，其中函数图像变换是数学中非常基础和重要的内容之一。

函数图像变换是指通过一系列变换操作来改变函数的图像的位置、形状、方向等特征。

在高中教学中，函数图像变换是一个重要的考察内容，也是学生需要掌握的重要技能之一。

下面我们来总结一下高中函数图像变换的相关知识。

首先，高中函数图像变换主要涉及到平移、伸缩、翻转和对称等变换操作。

其中，平移是函数图像在平面上沿着 x 轴和 y 轴方向移动的变换操作。

通过平移操作，可以改变函数图像的位置。

平移操作可以用公式 y=f(x-a)+b 来表示，其中 (a, b) 为平移的向量。

当 a>0 时，函数图像向右平移，反之向左平移；当 b>0 时，函数图像向上平移，反之向下平移。

其次，伸缩是函数图像在 x 轴和 y 轴方向上进行拉伸或收缩的变换操作。

通过伸缩操作，可以改变函数图像的形状。

伸缩操作可以用公式 y=a*f(kx) 来表示，其中 a 表示纵向伸缩因子，k 表示横向伸缩因子。

当 a>1 时，函数图像纵向拉伸；当 0<a<1 时，函数图像纵向收缩；当 k>1 时，函数图像横向收缩；当0<k<1 时，函数图像横向拉伸。

再次，翻转是函数图像沿着 x 轴和 y 轴进行翻转的变换操作。

通过翻转操作，可以改变函数图像的方向。

翻转操作可以用公式 y=f(-x) 来表示。

当 x 取正值时，函数图像在 y 轴左侧；当x 取负值时，函数图像在 y 轴右侧；当 x 取正值时，函数图像在 x 轴下方；当 x 取负值时，函数图像在 x 轴上方。

最后，对称是函数图像关于某个轴或某个点对称的变换操作。

通过对称操作，可以改变函数图像的形状和位置。

常见的对称操作有关于 x 轴、y 轴和原点的对称。

关于 x 轴的对称操作可以用公式 y=-f(x) 来表示；关于 y 轴的对称操作可以用公式y=f(-x) 来表示；关于原点的对称操作可以用公式 y=-f(-x) 来表示。

第九节 函数图形的简单组合与变换

函数图像的性质及变换规律

函数图像的变换及其变换教案

高中数学函数图象的4种简单变换知识点总结(平移、对称、翻折、伸缩)

函数的图像和变换

函数的图像及其变换归纳总结

函数图像和变换解读

函数的图像及其变换(完整版)

高考数学函数图像变换与技巧全解析

函数图像变换知识点总结

函数图像的变换规律

高中数学教案：函数图像的变换及性质

函数图像的变换技巧例题和知识点总结

《函数图像的变换》知识解读

函数的图像变换与性质

初中数学函数图像的变换规律与应用实例解析

函数图像的变换及应用

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函数图像与变换

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