人教备战中考数学易错题专题训练-圆的综合练习题含详细答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．

（1）求证：直线DM是⊙O的切线；

（2）若DF=2，且AF=4，求BD和DE的长．

【答案】（1）证明见解析（2）23

【解析】

【分析】

（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；

（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF•DA，据此解答即可．

【详解】

（1）如图所示，连接OD．

∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴BD CD

=，∴OD⊥BC．

又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM．

又∵OD为⊙O半径，∴直线DM是⊙O的切线．

（2）连接BE．∵E为内心，∴∠ABE=∠CBE．

∵∠BAD=∠CAD，∠DBC=∠CAD，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC，即

∠BED=∠DBE，∴BD=DE．

又∵∠BDF=∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴DF DB

DB DA

=，即DB2=DF•DA．

∵DF=2，AF=4，∴DA=DF+AF=6，∴DB2=DF•DA=12，∴DB=DE=23．

【点睛】

本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．

2．如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，过点E 的切线与AB 的延长线交于点D ，连接BE ，过点O 作BE 的平行线，交⊙O 于点F ，交切线于点C ，连接AC

（1）求证：AC 是⊙O 的切线；

（2）连接EF ，当∠D= °时，四边形FOBE 是菱形．

【答案】（1）见解析；（2）30.

【解析】

【分析】

（1）由等角的转换证明出OCA OCE ∆∆≌，根据圆的位置关系证得AC 是⊙O 的切线. （2）根据四边形FOBE 是菱形，得到OF=OB=BF=EF ，得证OBE ∆为等边三角形，而得出60BOE ∠=︒，根据三角形内角和即可求出答案.

【详解】

（1）证明：∵CD 与⊙O 相切于点E ，

∴OE CD ⊥，

∴90CEO ∠=︒，

又∵OC BE ，

∴COE OEB ∠=∠，∠OBE=∠COA

∵OE=OB ，

∴OEB OBE ∠=∠，

∴COE COA ∠=∠，

又∵OC=OC ，OA=OE ，

∴OCA OCE SAS ∆∆≌（）

， ∴90CAO CEO ∠=∠=︒，

又∵AB 为⊙O 的直径，

∴AC 为⊙O 的切线；

（2）解：∵四边形FOBE 是菱形，

∴OF=OB=BF=EF ，

∴OE=OB=BE ，

∴OBE ∆为等边三角形，

∴60BOE ∠=︒，

而OE CD ⊥，

∴30D ∠=︒．

故答案为30．

【点睛】

本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.

3．如图，AB 为⊙O 的直径，点D 为AB 下方⊙O 上一点，点C 为弧ABD 的中点，连接CD ，CA ．

（1）求证：∠ABD =2∠BDC ；

（2）过点C 作CH ⊥AB 于H ，交AD 于E ，求证：EA =EC ；

（3）在（2）的条件下，若OH =5，AD =24，求线段DE 的长度．

【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）92

DE =

. 【解析】

【分析】 （1）连接AD ，如图1，设∠BDC =α，∠ADC =β，根据圆周角定理得到∠CAB =∠BDC =α，由AB 为⊙O 直径，得到∠ADB =90°，根据余角的性质即可得到结论；

（2）根据已知条件得到∠ACE =∠ADC ，等量代换得到∠ACE =∠CAE ，于是得到结论； （3）如图2，连接OC ，根据圆周角定理得到∠COB =2∠CAB ，等量代换得到

∠COB =∠ABD ，根据相似三角形的性质得到OH =5，根据勾股定理得到

AB 22AD BD +=26，由相似三角形的性质即可得到结论．

【详解】

（1）连接AD ．如图1，设∠BDC =α，∠ADC =β，

则∠CAB =∠BDC =α，

∵点C 为弧ABD 中点，∴AC =CD ，∴∠ADC =∠DAC =β，∴∠DAB =β﹣α，

∵AB 为⊙O 直径，∴∠ADB =90°，∴α+β=90°，∴β=90°﹣α，∴∠ABD =90°﹣∠DAB =90°﹣（β﹣α），∴∠ABD =2α，∴∠ABD =2∠BDC ；

（2）∵CH ⊥AB ，∴∠ACE +∠CAB =∠ADC +∠BDC =90°，

∵∠CAB =∠CDB ，∴∠ACE =∠ADC ，

∵∠CAE =∠ADC ，∴∠ACE =∠CAE ，∴AE =CE ；

（3）如图2，连接OC ，∴∠COB =2∠CAB ，

∵∠ABD =2∠BDC ，∠BDC =∠CAB ，∴∠COB =∠ABD ，

∵∠OHC =∠ADB =90°，∴△OCH ∽△ABD ，∴12OH OC BD AB ==， ∵OH =5，∴BD =10，∴AB =

22AD BD +=26，∴AO =13，∴AH =18， ∵△AHE ∽△ADB ，∴AH AE AD AB =，即1824=26AE ，∴AE =392，∴DE =92

．

【点睛】

本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

4．如图，△ABC 的内接三角形，P 为BC 延长线上一点，∠PAC=∠B ，AD 为⊙O 的直径，过C 作CG ⊥AD 于E ，交AB 于F ，交⊙O 于G ．

（1）判断直线PA 与⊙O 的位置关系，并说明理由；

（2）求证：AG 2=AF·

AB ； （3）若⊙O 的直径为10，55△AFG 的面积.