2005年福建高考理科数学试题及答案

2005年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第I 卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数iz -=11的共轭复数是（ ）A ．i 2121+B ．i 2121-C ．i -1D ．i +1 2．已知等差数列}{n a 中，1,16497==+a a a ，则12a 的值是 （ ）A ．15B ．30C ．31D ．64 3．在△ABC 中，∠C=90°，),3,2(),1,(==AC k AB 则k 的值是 （ ）A ．5B ．－5C ．23D ．23-4．已知直线m 、n 与平面βα,，给出下列三个命题： ①若;//,//,//n m n m 则αα ②若;,,//m n n m ⊥⊥则αα ③若.,//,βαβα⊥⊥则m m 其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．函数bx a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是 （ ）A ．0,1<>b aB ．0,1>>b aC ．0,10><<b aD ．0,10<<<b a6．函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则 （ ）A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==7．已知p ：,0)3(:,1|32|<-<-x x q x 则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中 点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（ ） A ．515arccos B ．4πC ．510arccosD ．2π9．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ） A ．300种 B ．240种 C ．144种 D ．96种10．已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A ．324+B ．13-C ．213+ D ．13+11．设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是（ ）A ．22-B ．335-C ．－3D ．27-12．)(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且0)2(=f 则方程0)(=x f 在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

13．6)12(xx -展开式中的常数项是 （用数字作答）。

14．非负实数y x ,满足y x y x y x 3,03,02+⎩⎨⎧≤-+≤+则的最大值为 。

15．若常数b 满足|b|>1，则=++++-∞→n n n bb b b 121lim . 16．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数x x f 2log 3)(+=的图象与)(x g 的图象关于 对称，则函数)(x g = 。

（注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形）.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知51cos sin ,02=+<<-x x x π. （I ）求sin x －cos x 的值；（Ⅱ）求xx x x x x cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322++-的值.18．（本小题满分12分）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为5221与，投中得1分，投不中得0分. （Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望；（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率； 19．（本小题满分12分）已知函数bx ax x f +-=26)(的图象在点M （－1，f (1)）处的切线方程为x +2y+5=0. （Ⅰ）求函数y=f (x )的解析式； （Ⅱ）求函数y=f (x )的单调区间.20．（本小题满分12分）如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小；（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.21．（本小题满分12分）已知方向向量为v =(1,3)的直线l 过点（0，－23）和椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的焦点，且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点E （－2，0）的直线m 交椭圆C 于点M 、N ，满足634=⋅ON OM cot ∠MON ≠0（O 为原点）.若存在，求直线m 的方程；若不存在，请说明理由.22．（本小题满分14分）已知数列{a n }满足a 1=a , a n+1=1+na 1我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如当a =1时，得到无穷数列：.0,1,21:,21;,35,23,2,1---=得到有穷数列时当a （Ⅰ）求当a 为何值时a 4=0； （Ⅱ）设数列{b n }满足b 1=－1, b n+1=)(11+∈-N n b n ，求证a 取数列{b n }中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a n }； （Ⅲ）若)4(223≥<<n a n ，求a 的取值范围.数学（理）试题参考答案一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1.B2.A3.A4.C5.D6.C7.A8.D9.B 10.D 11.C 12.D二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.13.240 14.9 15.11-b 16.如 ①x 轴，－3－log 2x ②y 轴，3+log 2(－x )③原点，－3－log 2(x ) ④直线y=x , 2x －3三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力.满分12分. 解法一：（Ⅰ）由,251cos cos sin 2sin ,51cos sin 22=++=+x x x x x x 平方得 即 .2549cos sin 21)cos (sin .2524cos sin 22=-=--=x x x x x x又,0cos sin ,0cos ,0sin ,02<-><∴<<-x x x x x π故 .57cos sin -=-x x（Ⅱ）xx x x x x x x x x x x sin cos cos sin 1sin 2sin 2cos tan 2cos 2cos 2sin 22sin 3222++-=++-125108)512()2512()sin cos 2(cos sin -=-⨯-=--=x x x x解法二：（Ⅰ）联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.1cos sin ,51cos sin 22x x x由①得,cos 51sin x x -=将其代入②，整理得,012cos 5cos 252=--x x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∴<<-=-=∴.54cos ,53sin ,02.54cos 53cos x x x x x π 或故 .57cos sin -=-x x①②（Ⅱ）xx x x x x xx x x x x sin cos cos sin 1sin 2sin 2cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 3222++-=++-125108)53542(54)53()sin cos 2(cos sin -=+-⨯⨯-=--=x x x x 18．本小题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理和运算能力.满分12分. 解：（Ⅰ）依题意，记“甲投一次命中”为事件A ，“乙投一次命中”为事件B ，则 .53)(,21)(,52)(,21)(====B P A P B P A P 甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0、1、2，则ξ概率分布为：E ξ=0×10+1×2+2×5=10答：每人在罚球线各投球一次，两人得分之和ξ的数学期望为109. （Ⅱ）∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为 100953532121=⨯⨯⨯=P ∴甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率 .10091100911=-=-=P P 答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为.10091 19．本小题主要考查函数的单调性，导数的应用等知识，考查运用数学 知识，分析问题和解决问题的能力.满分12分. 解：（1）由函数f (x )的图象在点M （－1f (－1)）处的 切线方程为x +2y+5=0，知.)()6(2)()(.21)1(,2)1(,05)1(21222b x ax x b x a x f f f f +--+='-=-'-=-=+-+- 即∴21)1()6(2)1(4221)1()6(2)1(2122-=⎪⎩⎪⎨⎧+--++-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+--++-=+--b a b a b a b a b a b ba 即.),323(;)323,323(;)323,(362)(.0)(,323323;0)(,323,323,323,323,06122.)3(6122)()(.362)().1,01(3,222122222内是减函数在内是增函数在内是减函数在所以时当时或当解得令是所以所求的函数解析式舍去解得+∞++---∞+-=>'+<<-<'+>-<+=-==++-+++-='+-=-=≠+==x x x f x f x x f x x x x x x x x x x f II x x x f b b b a20．本小题主要考查直线、直线与平面、二面角及点到平面的距离等基础知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力与运算能力. 满分12分. 解法一：（Ⅰ）⊥BF 平面ACE. .AE BF ⊥∴∵二面角D —AB —E 为直二面角，且AB CB ⊥， ⊥∴CB 平面ABE. .AE CB ⊥∴ .BCE AE 平面⊥∴（Ⅱ）连结BD 交AC 于G ，连结FG ，∵正方形ABCD 边长为2，∴BG ⊥AC ，BG=2，⊥BF 平面ACE ，由三垂线定理的逆定理得FG ⊥AC.BGF ∠∴是二面角B —AC —E 的平面角. 由（Ⅰ）AE ⊥平面BCE ， 又EB AE = ， ∴在等腰直角三角形AEB 中，BE=2. 又 直角,6,22=+=∆BE BC EC BCE 中332622=⨯=⋅=EC BE BC BF ，.362332sin ,===∠∆∴BG BF BGF BFG 中直角∴二面角B —AC —E 等于.36arcsin（Ⅲ）过点E 作AB EO ⊥交AB 于点O. OE=1.∵二面角D —AB —E 为直二面角， ∴EO ⊥平面ABCD. 设D 到平面ACE 的距离为h ，,ACD E ACE D V V --= .3131EO S h S ACD ACB ⋅=⋅∴∆∆⊥AE 平面BCE ，.EC AE ⊥∴.3326221122212121=⨯⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=∴EC AE EODC AD h ∴点D 到平面ACE 的距离为.332 解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）以线段AB 的中点为原点O ，OE 所在直 线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，过O 点平行 于AD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系 O —xyz ，如图.⊥AE 面BCE ，BE ⊂面BCE ， BE AE ⊥∴，在AB O AB AEB Rt 为中,2,=∆的中点，).2,1,0(),0,0,1(),0,1,0(.1C E A OE -∴=∴).2,2,0(),0,1,1(==AC AE 设平面AEC 的一个法向量为),,(z y x n =， 则⎩⎨⎧=+=+⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.022,0,0,0x y y x n AC n AE 即解得⎩⎨⎧=-=,,x z x y令,1=x 得)1,1,1(-=n 是平面AEC 的一个法向量.又平面BAC 的一个法向量为)0,0,1(=m ，.3331||||,),cos(==⋅=∴n m n m n m∴二面角B —AC —E 的大小为.33arccos（III ）∵AD//z 轴，AD=2，∴)2,0,0(=AD ， ∴点D 到平面ACE 的距离.33232||||,cos |||==⋅>=<⋅=n n AD n AD AD d 21．本小题主要考查直线、椭圆及平面向量的基本知识，平面解析几何的基本方法和综合解题能力.满分14分.（I ）解法一：直线323:-=x y l ， ①过原点垂直l 的直线方程为x y 33-=， ② 解①②得.23=x ∵椭圆中心O （0，0）关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上，.32322=⨯=∴c a∵直线l 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）..2,6,222===∴b a c 故椭圆C 的方程为.12622=+y x ③解法二：直线323:-=x y l .设原点关于直线l 对称点为（p ，q ），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-⋅=.1332232p q p q 解得p=3. ∵椭圆中心O （0，0）关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上，.32=∴c a ∵直线l 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）..2,6,222===∴b a c 故椭圆C 的方程为.12622=+y x ③（II ）解法一：设M （11,y x ），N （22,y x ）.当直线m 不垂直x 轴时，直线)2(:+=x k y m 代入③，整理得,061212)13(2222=-+++k x k x k ,13612,131222212221+-=⋅+-=+∴k k x x k k x x ,13)1(62136124)1312(14)(1||22222222212212++=+-⋅-+-+=-++=k k k k k k kx x x x kMN点O 到直线MN 的距离21|2|kk d +=,cot 634MON ON OM ∠=⋅ 即 ,0sin cos 634cos ||||≠∠∠=∠⋅MONMONMON ON OM,634||.632,634sin ||||=⋅∴=∴=∠⋅∴∆d MN S MON ON OM OMN即).13(6341||6422+=+k k k整理得.33,312±=∴=k k当直线m 垂直x 轴时，也满足632=∆OMN S .故直线m 的方程为,33233+=x y或,33233--=x y 或.2-=x经检验上述直线均满足0≠⋅ON OM . 所以所求直线方程为,33233+=x y 或,33233--=x y 或.2-=x 解法二：设M （11,y x ），N （22,y x ）.当直线m 不垂直x 轴时，直线)2(:+=x k m 代入③，整理得,061212)13(2222=-+++k x k x k ,13122221+-=+∴k k x x∵E （－2，0）是椭圆C 的左焦点，∴|MN|=|ME|+|NE|=.13)1(6262)1312(622)()()(2222212212++=++-⋅=++=+++k k k k a x x a c x c a e x c a e 以下与解法一相同.解法三：设M （11,y x ），N （22,y x ）.设直线2:-=ty x m ，代入③，整理得.024)3(22=--+ty y t,32,34221221+-=+=+∴t y y t t y y.)3(242438)34(4)(||222222212121++=+++=-+=-t t t t t y y y y y y ,cot 634MON ON OM ∠=⋅ 即 ,0sin cos 634cos ||||≠∠∠=∠⋅MONMONMON ON OM.632,634sin ||||=∴=∠⋅∴∆OMN S MON ON OM=-⋅=+=∆∆∆||||2121y y OE S S S OENOEM OMN .)3(2424222++t t∴222)3(2424++t t =632，整理得.324t t =解得,3±=t 或.0=t故直线m 的方程为,33233+=x y 或,33233--=x y 或.2-=x经检验上述直线方程为.0≠⋅ON OM所以所求直线方程为,33233+=x y 或,33233--=x y 或.2-=x 22．本小题主要考查数列、不等式等基础知识，考试逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.满分14分. （I ）解法一：,11,11nn a a a a +==+ .0.11111.1111.1111,.}{.11,1,1:)(.032.32,11.21,11.1,011,0:.032.12231111211,1111111212123112111422233344342312=∴-==+=+=∴=+=+=∴=+=+=∴==+=∴-=-==-=-=∴+==∴+=-=∴=+∴==-=++=+=++=+=+=+=+=∴+----++n n n n n n nn n n n n n n a b b a a b b a a b b a a b a b a b a b b b b b b II a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a中的任一个数不妨设取数列解法一时故当解法二时故当故a 取数列{b n }中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a n } 解法二：11,1,11111+=∴=-=+-+n n n n b b b b b1223232331222121111111,011,011,b b a a b b a b a a b b a b a b a b a =+=+==+===∴=+===+==时当时当时当∴04=a …………一般地，当a =b n 时，01=+n a 可得一个含有n+1项的有穷数列1321,,,,+n a a a a 下面用数学归纳法证明：①当n=1时，a =b 1显然a 2=0得到一个含有2项的有穷数列a 1，a 2。