泛函分析习题

第七章 度量空间和赋范线性空间

复习题：

1.设(,)X d 为一度量空间，令

0000(,){|,(,)},(,){|,(,)},

U x x x X d x x S x x x X d x x εεεε=∈<=∈≤

问0(,)U x ε的闭包是否等于0(,)S x ε？

2.设[,]C a b ∞是区间[,]a b 上无限次可微函数的全体，定义

()

()

()

()

1|()()|(,)m ax

.2

1|()()|

r r r

r r a t b

r f

t g

t d f g f

t g

t ∞

≤≤=-=

+-∑

证明[,]C a b ∞按(,)d f g 成度量空间.

3.设B 是度量空间X 中闭集，证明必有一列开集12,,,,n O O O 包含B ，而且1.n

n O B ∞

==

4.设(,)d x y 为空间X 上的距离，证明

(,)(,)1(,)

d x y d

x y d x y =+

也是X 上的距离.

5.证明点列{}n f 按题2中距离收敛于[,]f

C a b ∞

∈的充要条件为n

f 的

各阶导数在[,]a b 上一致收敛于f 的各阶导数.

6.设[,]B a b ⊂，证明度量空间[,]C a b 中的集

{|t , (t)=0}f B f ∈当时

为[,]C a b 中的闭集，而集

{||

()|

}

(A f t B f t a a

=∈<>当时,

为开集的充要条件是B 为闭集.

7.设E 及F 是度量空间中两个集，如果(,)0d E F >，证明必有不相交开集O 及G 分别包含E 及F .

8.设[,]B a b 表示[,]a b 上实有界函数全体，对[,]B a b 中任意两元素

,[,]f g B a b ∈，规定距离为

(,)sup |()()|.a t b

d f g f t g t ≤≤=-

证明[,]B a b 不是可分区间.

9.设X 是可分距离空间，f 为X 的一个开覆盖，即f 是一族开集，使得对每个x X ∈，有f 中开集O ，使x O ∈，证明必可从f 中选出可数个集组成X 的一个覆盖.

10.设X 为距离空间，A 为X 中子集，令()inf (,),y A

f x d x y x X ∈=∈，证

明()f x 是X 上连续函数.

11.设X 为距离空间，1F ,2F 为X 中不相交的闭集，证明存在开集

1G ,2G ，使得12G G ⋂=∅,11G F ⊃,22G F ⊃.

12.设X ,Y ,Z 为三个度量空间，f 是X 到Y 中的连续映射，

g 是Y 到Z

中的连续映射，证明复合映射()()(())gf x g f x =是X 到Z 中的连续映

射.

13.设X 是度量空间,f 是X 上的实函数，证明f 是连续映射的充要条件是对每个实数c ，集合

{|,()}x x X f x c ∈≤和集合{|,()}.x x X f x c ∈≥ 都是闭集.

14.证明柯西点列是有界点列.

15.证明§1中空间S ,()B A 以及离散空间都是完备的度量空间.

16.证明l ∞与(0,1]C 的一个子空间等距同构.

17.设F 是n 维欧几里得空间R n 中有界闭集,A 是F 到自身中的映射，并且适合下列条件：对任何,()x y F x y ∈≠

，有

(,)(,),d Ax Ay d x y <

证明映射A 在F 中存在唯一的不动点.

18.设X 为完备度量空间,A 是X 到X 中映射，记 (,)sup

.(,)

n n

n x x d A x A x a d x x '

≠'='

若1

n

n a ∞

=<∞∑，则映射A 有唯一不动点.

19.设A 为从完备度量空间X 到Y 中映射，若在开球0(,)U x r (0)r >内适合

(,)(,),0 1.d Ax Ax d x x θθ''<<<

又A 在闭球00(,){|(,)}S x r x d x x r =≤上连续，并且

00(,)(1).d x Ax r θθ≤-

证明：A 在0(,)S x r 中有唯一的不动点.

20.设,,1,2,,jk

a

j k n = 为一组实数，适合条件2

,1

()1n

i j

i j i j a

δ=-<∑，其中

jk

δ

当j k =时为1，否则为0.证明：代数方程组

111122112112222211

22,

,

n n n n n n nn n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x bn

+++=⎧⎪

+++=⎪⎨

⎪⎪+++=⎩ 对任何一组固定的12,,,n b b b ，必有唯一的解12,,,.n x x x

21.设[,]V a b 表示[,]a b 上右连续的有界变差函数全体，其线性运算