lsw-矩阵论(第二版)杨明-华中科技大学
华中科技大学研究生矩阵论Matrix2-1
1
1
（backward identity）
§2.3 最小多项式 (minimal polynomials)
讨论 n 阶矩阵多项式的相关问题： 矩阵多项式（重点是计算） 矩阵的化零多项式（Cayley 定理） 最小多项式 Jordan标准形的应用（简化计算） 相似不变性 Jordan化的方法
n (2) 由 I A 0 知 1 2 n 0
(3) 解方程
( A 0 ) X 0 得通解
x2 x3 xn 0, x1 k
即
X k (1,0, , 0)T
于是，A关于 0 的特征向量为 X k (1,0, , 0)T , k 0, n-1 从而得T=d/dx的特征向量为 (1, x, , x ) X k , k 0.
背景：求基{i，i=1~n}, 使得 T(1 2 … n) = (1 2 …n)
1. {1 2 … n} 线性无关
1 2 n
2. L{i}是不变子空间: Ti=ii
一、变换T的特征值与特征向量
(I T )( ) O (T I )( ) O
定理2.5 (存在定理) 在复数域上，每个方阵A都相似于 一个Jordan阵JA。 含义： Jordan 矩阵可以作为相似标准形。 惟一性：Jordan 子块的集合惟一。 A相似于B JA 相似于JB
4 方阵A的Jordan 标准形的求法
目标：求可逆矩阵P和Jordan矩阵JA ，使AP=PJA 分析方法： 在定理 2.5 的基础上逆向分析矩阵JA和P的构成。 求法与步骤：
例1 求Pn[x]上微分变换d/dx的特征值与特征向量。
[转]一些矩阵论的书
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[转]一些矩阵论的书线性代数：国内的我觉得李尚志的线性代数和蓝以中的高代简明教程非常好，概念讲解很通俗易懂，学计算技巧的话建议研读许以超的线性代数与矩阵论（第二版），里面有传说中的打洞技巧。
龚晟写了本小书《线性代数五讲》，观点很高，阅读时需要有一定代数基础。
国外的最好的书我认为是strang的Linear Algebra and Its Applications 最新是第三版，这本书临睡前看可能兴奋的让人失眠的，其中有侯自新翻译的第2版的译本叫线性代数及其应用。
strang在mit 讲课视配套的是An Introduction To Linear Algebra，找不到电子版，国内近几年引进的David C Lay的Linear Algebra And Its Applications 与leon的Linear Algebra with Applications都不错。
最近读过的David.Poole的Linear Algebra 内容上同lay的书差不多，但讲解要清晰，是一本难得的好书。
国外的线性代数书籍基本上结合一些数值分析方面的问题，而且讲国内书不常讲的svd，LMS，有时还讲一点伪逆，一般结合应用，讲的非常好，也让人感觉线性代数非常美。
矩阵论：Meyer C.D的Matrix analysis and applied linear algebra很好懂，可作为线性代数到矩阵论的过渡书籍。
张贤达的《矩阵分析与应用》与Horn,R.A.的Matrix Analysis 可作为参考手册，经常翻翻不坏。
方保镕的矩阵论书有几章不错，比如广义逆那章。
程云鹏的矩阵论已经出到第3版了（和第2版区别不大），是许多学校的考博参考书，我觉得一般。
矩阵计算：Watkins D. Fundamentals of Matrix Computations最容易最好看的矩阵计算书籍，千万别错过！GENE.H.GOLUB 矩阵计算，经典名著，网上有评价。
矩阵论 杨明 华中科技大学 课后习题解答
1.判断下列集合对指定的运算是否构成 R 上的线性空间
n
（1）V1 {A (aij )nn | aii 0}，对矩阵加法和数乘运算； i 1
（2）V2 {A | A Rnn , AT A}，对矩阵加法和数乘运算；
（3）V3 R3 ；对 R3 中向量加法和如下定义的数乘向量： R3 , k R, k 0 ；
x2 3 4 x3
x3 x4
分别取 x3 1, x4 0 和 x3 0, x4 1 ，求得齐次方程 AX 0 解空间的一组基
1 4 1 0T , 1 1 0 1T
所以 A 的零空间为
N(A ) L 1 4 1 T0 , 1 1 T0 1
8.在 R22 中，已知两组基
1
E1
0
A1, A2 , , Ar 线性无关矛盾，故
所以
dimN(A)=n-r dimR(A)+dimN(A)=n
1 1 3 0
7.设
A
2
1
2 1 ，求矩阵 A 的列空间 R(A)和零空间 N(A)。
1 1 5 2
解：通过矩阵的行初等变换将矩阵 A 化为行阶梯形
1 1 3 0 1 1 3 0
（4）V4 { f (x) | f (x) 0}，通常的函数加法与数乘运算。
解： （1）、（2）为 R 上线性空间
（3）不是，由线性空间定义，对 0 有 1 = ，而题（3）中1 0 （4）不是，若 k<0，则 kf (x) 0 ，数乘不满足封闭性。
2.求线性空间V {A Rnn | AT A}的维数和一组基。
由此，得过渡矩阵
0 1 1 1
C
1
0
1
1
1 1 0 1
矩阵论 方保镕第二版
矩阵论方保镕第二版1. 前言矩阵论是一门非常重要的数学分支，它的应用范围非常广泛。
矩阵论的研究对象是矩阵，矩阵是由数字或变量按矩形排列而成的一种数据结构。
本文档是《矩阵论方保镕第二版》的概述，对于矩阵论的基本概念、原理和应用进行了介绍。
2. 矩阵的定义与基本运算2.1 矩阵的定义矩阵是由m行n列元素排列成矩形形式的数组。
我们用大写字母表示矩阵，如A，B，C等，而元素通常用小写字母表示，如a，b，c等。
矩阵A的元素可以表示为aij，其中i表示行数，j表示列数。
2.2 矩阵的基本运算矩阵有许多基本的运算，包括加法、减法、数乘和矩阵乘法。
矩阵之间的加法和减法只能在维度相同的矩阵之间进行。
数乘是指将矩阵的每个元素与一个标量相乘。
矩阵乘法是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵，其中第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
3. 矩阵的性质与运算规则矩阵具有许多性质和运算规则，这些性质和规则对于矩阵的运算和应用非常重要。
3.1 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列进行交换得到的新矩阵。
转置后的矩阵表示为AT，其中A为原矩阵。
转置矩阵的性质包括：(1) (AT)T=A； (2) (A+B)T=AT+BT；(3) (cA)T=cAT。
3.2 矩阵的逆矩阵的逆是指如果矩阵A乘以它的逆矩阵得到单位矩阵，则称A为可逆矩阵。
可逆矩阵的逆矩阵表示为A-1，其中A 为原矩阵。
可逆矩阵具有以下性质：(1) (A-1)-1=A； (2) (AB)-1=B-1A-1；(3) (cA)-1=c-1A-1。
需要注意的是，并不是所有的矩阵都有逆矩阵。
3.3 矩阵的行列式矩阵的行列式是一个标量，用于判断一个矩阵是否可逆。
行列式的计算方法比较复杂，我们在这里只给出基本的计算公式：对于2阶矩阵A=[a11 a12; a21 a22]，它的行列式为|A|=a11a22-a12a21。
对于n阶矩阵，行列式的计算方法类似。
4. 矩阵的应用领域矩阵论在许多领域都有广泛的应用，例如工程、计算机科学、经济学等。
矩阵论华中科技大学课后习题答案
习题一1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11{()|0}nij n n iii V A a a⨯====∑，对矩阵加法和数乘运算；（2）2{|,}n n T V A A R A A ⨯=∈=-，对矩阵加法和数乘运算；（3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3,,0R k R k αα∀∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。
解： （1）、（2）为R 上线性空间（3）不是，由线性空间定义，对0α∀≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。
2.求线性空间{|}n nT V A R A A ⨯=∈=的维数和一组基。
解：一组基10001010101010000000100..................0010010⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎪⎪⎪⎪⎭dim W =n (n +1)/23.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ⊆，证明：U 1=U 2。
证明：因为dim U 1=dim U 2，故设{}12,,,r ααα为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββ为空间U 2的一组基2U γ∀∈，有()12r X γγβββ=而()()1212r r C αααβββ=，C 为过渡矩阵，且可逆于是()()()11212121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈由此，得21U U ⊆又由题设12U U ⊆，证得U 1=U 2。
矩阵论(华中科技大学)课后习题问题详解(1)
习题一1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11{()|0}nij n n iii V A a a⨯====∑，对矩阵加法和数乘运算；（2）2{|,}n n T V A A R A A ⨯=∈=-，对矩阵加法和数乘运算；（3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3,,0R k R k αα∀∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。
解： （1）、（2）为R 上线性空间（3）不是，由线性空间定义，对0α∀≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。
2.求线性空间{|}n nT V A R A A ⨯=∈=的维数和一组基。
解：一组基10001010101010000000100..................0010010⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩L L L ⎪⎪⎪⎪⎭dim W =n (n +1)/23.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ⊆，证明：U 1=U 2。
证明：因为dim U 1=dim U 2，故设{}12,,,r αααL 为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββL 为空间U 2的一组基2U γ∀∈，有()12r X γγβββ=L L而()()1212r r C αααβββ=L L ，C 为过渡矩阵，且可逆 于是()()()11212121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈L L L L L L由此，得 21U U ⊆又由题设12U U ⊆，证得U 1=U 2。
矩阵论(2016研究生) 百度文库第2版, 杨明、刘先忠编著
6 欧氏空间中向量的夹角： 定义：0，0，夹角定义为： cos= ( , ) 和 正交 （，）=0
7 线性空间的内积及其计算： 设{1，2，…, n } 是内积空间Vn(F)的基， ，Vn(F)，则有 =x11＋x22＋…＋x n n = (12… n)X； =y11＋y22＋…＋y n n= (1 2… n)Y 度 (，)=
归纳：
任何线性空间V n[F]在任意一组基下的坐标属于Fn 。 每一个常用的线性空间都有一组“自然基”，在这 组基下，向量的坐标容易求得。 求坐标方法的各异性。
2、 线性空间V n（F）与Fn的同构
坐标关系
V n （F）
基{1，2，。。。 n}
Fn
由此建立一个一一对应关系
V n （F），X Fn， （）=X （1+2）=（1）+（2） （k）=k（）
V n （F）表示数域F上的 n 维线性空间。 只研究有限维线性空间。
三、坐标
1 定义 1 .3 （P . 3)设{1，2，…， n } 是空间 n Vn ( F ) 的一组基， Vn ( F ) ， = xi i ，则x1 ， i 1 x2， …， xn 是在基{i}下的坐标。
矩阵被认为是最有用的数学工具，既适用于应用 问题，又适合现代理论数学的抽象结构。
二、教学安排
学时配置 讲授第1章至第6章 (36学时) 第1章：8学时; 第2章：6学时 第3章：6学时； 第4章：6学时； 第5章：6学时； 第6章：4学时
考核方式：课程结束考试
三、教学指导意见
背景要求：线性代数 矩阵与计算工具：MATLAB，MAPLE, … 矩阵与现代应用：应用选讲 教学参考书：
矩阵论
课程：矩阵论（Matrix Theory） 学时： 36学时 （36 Lectures） 教材：矩阵论（第2版， 杨明、刘先忠编著）， 华中科技大学出版社，2005
矩阵理论第一章线性空间与线性变换13
反之，任给一组有序数组 x1, x2 ,, xn ,总有唯一的元素 可由
1,2 ,,n 线性表示为：
x11 x22 xnn Vn
事实上， 若有 x11 xnn则 ＝；
从而可知，若1,2 ,,n 为 Vn 的一个基，则 Vn
中元素的全体可表示为：
Vn＝{ x11 x22 xnn x1, x2 ,, xn R}
由此可见，V中的元素 与有序数组 x1, x2 ,, xn 之间
构成一一对应关系。因此，可用这组有序数表示
由此可得下面定义3。
定义3 设1,2 ,,n为线性空间 Vn 的一个基，对于任一向量 Vn，有且仅有一组有序数 x1, x2 ,, xn，使得：
一个线性空间，这个线性空间我们常用 Pn 来表示。 当 P为复数域 C 时，上述线性空间称为 n 元复向量空间，记作 C n ; 当 P 为实数域 R 时，上述线性空间称为 n 元实向量空间，记作 Rn.
例1 复数域 C 上次数不超过 n 的一元多项式全体 Cn[x],
按通常多项式加法和数与多项式乘法，构成一个复数域C上的
线性空间，记为
Cn[x] { f (x) an xn an1xn1 a1x a0 | an ,, a1, a0 C}.
对于通常的多项式加法，数乘多项式两种运算显然满足线性运算规律， 且对运算封闭：
f1 (x) f2 (x) (an xn a1x a0 ) (bn xn b1x b0 )
(an xn a1x a0 ) (an )xn (a1)x a0 Cn[x]
所以 Cn[x] 是一个线性空间。
例2 n 次多项式的全体
Qn[x] {an xn an1xn1 a1x a0} | an ,, a1, a0 P
matrix theory(矩阵论)
mr
, B bij
r n
,则
r
mn
, 其中cij ai1b1 j ai 2b2 j air brj aik bkj
k 1
4、转置与共轭转置
a11 a21 设A am1 aij
mn
a12 a22 am 2
a1n a11 a2 n T a12 ，则A amn a1n
B * A*
例题
1、求方阵的逆阵
求逆矩阵的基本方法有： （1）定义法
由 AB E或BA E , 可得A1 B
（2）公式法
A* A- 1 = A
-1
但当n ³ 3时计算A 较复杂,此时一般采用:
（3）初等变换法
(A
E) 揪 揪 揪 E 揪 揪 井
初等行变换
(
A
-1
)
例1：已知n阶方阵A满足A2 + 5 A - 4 E = 0， 求( A - 3E ) - 1
解：
A* 由A- 1 = , 得A* = A A- 1 , A \
( A ) =( A A )
* -1
-1 -1
A = = A- 1 A A
轾 1 1 1 犏 = 2犏 2 1 1 犏 犏 1 3 1 臌
-1
轾 -2 -1 5 犏 = 犏2 2 0 犏 犏1 0 1 臌
四、 矩阵的块运算 1、加法，减法
(
)(
E + XY T = E + 2 XY T + XY T XY T = E + 4 XY T
)
骣1 所以，A ( A - 4 E) = - 3E，即，A 琪 ( A - 4 E ) = E 琪 桫3 1 -1 故，A可逆，且A = - ( A - 4E) . 3
华中科技大学研究生矩阵论Matrix演示文稿
AB，BA，I2B，AB，I2A
A B [aij B] A B [aijbij ]
3 0 0 0
B
I
2
B
0
0 B
0 0
1 0
0 3
0
,
0
0 0 0 1
分块对角矩阵
A
B
1 3 2 0
3 0 3 4 (1) 0
0 4,
AB B A
I
2
A
11 0 2
0 1 1 4
1 0
04.
对角矩阵
定）。
证明思路：利用定理3.6，有
k
l
A vrvrH , B wswsH ,
r 1
s 1
推出 AB可表示为
kl
A B
ursurHs , urs vr ws .
r 1 s1
第17页，共25页。
6. 3 矩阵的向量化算子和K-积
• 向量化算子Vec: Fm×n Fmn
定义（P . 143）设 A = [aij]mn , 则
(A1B1C1)(A2B2C2) = (A1A2)(B1B2)(C1C2) (A1B1)(A2B2)(A3B3) = (A1A2A3)(B1B2B3)
第11页，共25页。
6.2 Kronecker积和Hadamard积的性质
• Kronecker积的矩阵性质
定理6.4 （P. 140）设矩阵使下列运算有意义，则 • 当A，B分别为可逆矩阵时，AB和BA均为可逆 矩阵，而且有 (AB)–1 = A–1 B–1 • 当方阵AFmm，BFnn时，方阵ABFmnmn的行 列式为 |AB| = |BA| = |A|n |B|m • 若A，B是Hermite矩阵，则AB 和BA均是Hermite
华中科技大学研究生矩阵论Matrix3-2
2、矩阵U，V的空间性质：
右奇异向量
V=[v 1，v2，，vr ， ，v n] =[V1 V2]C n×n的列向 量是空间C n的标准正交基。
V2的列向量是空间N(A)的标准正交基（AV2=0）。 V1的列向量是空间N(A) 的标准正交基（V1HV2=0）。
U=[u 1，u2，，ur ， ，u m] =[U1 U2]C m×m的列 左奇异向量 向量是空间C m的标准正交基。 3、奇异值分解的展开形式及其应用 A U1 rV1H 定理315（ P87）（由奇异值分解展开得到！）
图像数据的奇异值分解压缩：秩从4到128
三、矩阵的奇异值分解和线性变换TA 矩阵ACm×n可以定义线性变换 TA ： Cn Cm 设矩阵的奇异值分解A=UVH ，则将U和V 的列分别取做空间Cm 、Cn的基，则变换TA x 的矩阵为: AV = U，进而有， x n H =VX C ,则TA=(U V )VX=U(X)= U
压缩数字化图形存储量的方法主要是应用矩阵的 奇异值分解和矩阵范数下的逼近。如果图象的数 字矩阵 A 的奇异值分解为： A=UVT，其展开式：
A u v u v u v
H 1 1 1 H 2 2 2
H r r r
压缩矩阵A的方法是取一个秩为k（kr）的矩阵Ak 来逼近矩阵A。 Ak按如下方法选取：
1 。 1 0
1 1 T T v ( 1 , 1 ) , v ( 1 , 1 ) , 标准化得V： 1 2 2 2 (3) 求U：u1 Av1 / 1 , u2 Av2 / 2 T T u1 (2, 1, 1) / 6 , u2 (0, 1, 1) / 2
r U1H AV1 U1H AV2 r 0 H , U AV1 , H H 0 U 2 AV1 U 2 AV2 0 0 H H H U AV2 0, U1 AV r 0, U 2 AV 0 H H AV1 U1 r , AV2 0, U1 A rV1 ,U 2 A 0; H H A UV A U1 rV1 .
矩阵论杨明华中科技大学课后习题答案.
（2）由得
所以
，求 e ， e ，sinA。
解：由的特征值
由此得
对，对 f ，
对 f ，
2cos
已知 A2=A，求 sinA。
解：设为 A 的特征值，为特征向量由得
因 A2=A，故有于是为矩阵 A 的化零多项式（最小多项式），且为一次银子乘积，所以 A 可对角化即有
这里
10.求解微分方程组
解：
习题五
设，求解：
取矩阵 A 的第1、3 列构成列满秩矩阵 B，取矩阵 F 第 1、2 行构成行满秩矩阵
证明非齐次线性方程组有解的充分必要条件是。
证明：必要性设有解，由得，，即有
充分性设，则有，令 x，于是，故方程组
有解
设，且 A 的 n 个列是标准正交的，证明。
证明：因为矩阵 A 的 n 个列向量是标准正交的，则矩阵 A 为列满秩的矩阵，且有于是是幂等且为 Hermite 矩阵，证明。
证明：因为，且，矩阵 A 是正规阵，可酉相似对角阵，即于是，U 为酉矩阵，并设
求线性方程组的最佳的最小二乘解。
解：
最佳最小二乘解为。
华中科技大学矩阵论样题
—4—
四、（15 分）设线性方程组 AX=b 表示如下:
x3 x1
1 x2
x3
1
x1 x2 1
（1）求 A 的满秩分解; （2）计算 A+ （3）求该方程组的最佳最小二乘解。
—5—
五、（15 分） 设非零列向量，Rn，n2，A=TRnn, tr(A)表示矩阵 A 的迹 （1）求矩阵 A 的特征值. （2）证明 A 的最小多项式是 m()=2 tr(A) （3）写出矩阵 A 的 Jordan 标准型.
（4） (7 分)假设 A Cnn 是可逆的，证明：
其中 ， 分别为 的最大和最小的奇异值.
—2—
—3—
三、（15 分）
3 1 0 0
设矩阵 A 1 0
1 0
0 5
0
3
,求矩阵
A
的
Jordan
标准型
Hale Waihona Puke JA和可逆矩阵P,使得
P1AP=JA.
0 0 3 1
—7—
华中科技大学研究生课程考试草稿纸
课程名称：
矩阵论
学生类别
考试日期
学号__________________
课程类别
√□公共课 □专业课
考核形式
□开卷 √□闭卷
2014.12.18 学生所在院系_______________ 姓名__________________
—8—
华中科技大学研究生课程考试答题纸
课程名称： 学生类别
矩阵论 硕士 考试日期
课程类别
√□公共课 □专业课
考核形式
□开卷 √□闭卷
2014.12.18 学生所在院系_______________
2291 博士研究生《矩阵论和随机过程》科目 - 华中科技大学研究生招生
华中科技大学博士研究生入学考试《软件工程理论基础综合》考试大纲（科目代码：3543）第一部分考试说明一、考试性质博士生入学考试是为华中科技大学招收博士研究生而设置的。
其中，“软件工程理论基础综合”考试科目主要是针对报考软件工程学科软件服务与应用、数字媒体技术方向的考生而设置的。
该课程的评价标准是高等学校优秀硕士毕业生能达到及格或及格以上水平，以保证被录取者具有基本的专业理论素质并有利于招收单位和导师择优选拔。
考试对象为参加博士生入学考试的硕士毕业生，以及具有同等学力的在职人员。
二、评价目标1．掌握软件工程领域的基本原理、技术和方法；2．“X”部分的评价目标见各选项具体要求。
三、考试形式和试卷结构1．考试形式：闭卷、笔试；2．答题时间：180分钟；3．试卷题型：基础部分为选择题、问答题、计算题；“X”部分见各选项说明；4．各部分内容的考试比例：软件工程理论基础综合 = 软件工程理论基础（40%）+X（60%）其中：“X”有二项选择（1.现代计算机网络； 2.计算机图形学），考生报名时只需选考其一。
第二部分考察要点一、软件工程理论基础部分1．软件需求需求获取；需求分类；需求验证；需求管理。
2．软件设计体系结构；面向对象技术；实时软件的设计；用户界面设计。
3．软件开发设计模式；软件复用；组件模型；内聚和耦合。
4．软件检验和验证软件测试；测试自动化；软件检验；软件检验验证。
5．软件工程管理软件过程及改进，软件生存期模型；软件度量；软件质量6．软件工程新兴技术二、“X”部分——现代计算机网络●评价目标：掌握计算机网络的基本概念、基本原理与技术；应用计算机网络理论知识分析问题与解决问题能力。
●试卷题型：填空题、选择题、简答题、计算与分析题。
针对专业特点，本课程主要考察考生对计算机网络了解、掌握的广度和深度。
熟练掌握计算机网络基础、网络体系结构、局域网技术和拥塞控制等理论知识和实现技术。
正确理解并解释协议工程基本概念和当前网络技术和研究前沿热点问题与应用的新概念和新技术。
矩阵论(华中科技大学)课后习题答案
习题一1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11{()|0}nij n n iii V A a a⨯====∑，对矩阵加法和数乘运算；（2）2{|,}n n T V A A R A A ⨯=∈=-，对矩阵加法和数乘运算；（3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3,,0R k R k αα∀∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。
解： （1）、（2）为R 上线性空间（3）不是，由线性空间定义，对0α∀≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。
2.求线性空间{|}n nT V A R A A ⨯=∈=的维数和一组基。
解：一组基10001010101010000000100..................0010010⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩L L L ⎪⎪⎪⎪⎭dim W =n (n +1)/23.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ⊆，证明：U 1=U 2。
证明：因为dim U 1=dim U 2，故设{}12,,,r αααL 为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββL 为空间U 2的一组基2U γ∀∈，有()12r X γγβββ=L L而()()1212r r C αααβββ=L L ，C 为过渡矩阵，且可逆于是()()()11212121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈L L L L L L由此，得21U U ⊆又由题设12U U ⊆，证得U 1=U 2。
信息与通信工程一级学科0810硕士研究生培养方案
信息与通信工程一级学科（0810）硕士研究生培养方案一、培养目标总体要求应掌握本学科坚实的理论基础，系统的专门知识，和熟练的实验技术；较为熟练地掌握一门外国语，能阅读本专业的外文资料；具有独立从事科学研究工作的能力，以及严谨求实的科学态度和工作作风；坚持四项基本原则，热爱祖国，遵纪守法，德智体全面发展。
能胜任研究机构、高等院校和产业部门有关方面的教学、研究、工程、开发及管理工作。
具体要求如下：1. 熟练掌握现代通信理论和系统设计、开发方法，熟悉通信技术特别是无线通信技术和无线传感器网络的发展方向。
2. 熟练掌握光信号处理和光通信的理论知识，具有光通信相关领域的研究和开发能力。
3. 熟练掌握信息与信号处理的理论和方法，具备多媒体信息处理、软件工程开发、电磁信号处理和天线设计的知识和能力。
二、研究方向1.通信与信息系统（1）无线通信理论与技术：主要开展移动通信系统与技术方面的应用基础研究工作，重点研究：多天线技术（MIMO）；多载波调制技术（OFDM）；信道编码技术（STC、LDPC码等）；频谱感知与资源分配；中继与基站优化以及新一代数字移动通信系统中的其他关键技术和应用研究。
（2）光电信息技术及应用：研究光电信息技术领域中的相关理论、器件设计、信号处理及应用，涉及光传输，光交换，光网络，光传感及光电信息处理等。
（3）无线传感器网络：主要研究传感器技术、短距离无线通信技术、射频电路设计与优化技术、车联网系统关键技术等。
重点研究传感器节点、网络路由器、网络协调器和物联网网关；研究车联网与智能交通系统（ITS）领域中专用短程通信（DSRC）、射频识别（RFID）、智能卡（ICC）读写机及嵌入式POS 终端平台核心技术。
（4）电磁工程及应用：针对无线通信和探地雷达系统中的电磁波传播和天线，研究电磁波在复杂介质和环境中的传播与散射；基于电磁超介质的新型天线（阵）理论与设计；雷达目标信息处理、成像与反演技术。
2019年华中科技大学考研参考书目大全必看
2019年华中科技大学考研参考书目大全必看308护理综合参考书目：人民卫生出版社出版的最新版的本科教材《护理学基础》、《内科护理学》及《外科护理学》。
331社会工作原理参考书目：1、王思斌主编，《社会工作概论》（第二版），北京：高等教育出版社，2006年。
2、文军主编，《社会工作模式：理论与应用》，北京：高等教育出版社，2010年。
3、郑杭生主编，《社会学概论新修》（精编版），北京：中国人民大学出版社，2009年。
4、戴维•波普诺著，《社会学》（第十一版），北京：中国人民大学出版社，2007年。
334新闻与传播专业综合能力参考书目郭庆光著：《传播学教程》，中国人民大学出版社1999年版；邵培仁主编：《媒介管理学》，高等教育出版社2002年版；吴廷俊主编：《科技发展与传播革命》，华中科技大学出版社2001年版；黄瑚主编：《新闻法规与职业道德教程》，复旦大学出版社2003年版。
335出版综合素质与能力参考书文化常识部分参考书（1）吴鹏森、房列曙主编.人文社会科学基础（第二版）.上海：上海人民出版社，2008年版（2）赵春红编著.现在科技发展概论（第一至第四章，第七至第九章）.南京：南京大学出版社，2008年第1版汉语语言文字基础和逻辑基础部分参考书：（3）中国编辑学会等编.出版专业基础（初级，第五至第九章）.武汉：崇文书局，2007年。
344风景园林基础一、参考书目 1.《城市园林绿地系统规划》徐文辉著，华中科技出版社，2007； 2.《园林设计》唐学山等编著，中国林业出版社，1997； 3.《现代景观规划设计》（第三版）刘滨谊著，东南大学出版社，2010； 4.《中国古典园林史》（第三版）周维权主编，清华大学出版社，2008；5.《西方造园变迁史》针之谷钟吉主编，中国建筑工业出版社，2005；6.《园林工程》孟兆祯主编，中国林业出版社，1996。
353卫生综合参考书目：杨克敌主编《环境卫生学》第六版，人民卫生出版社金泰廙主编《职业卫生与职业医学》第六版，人民卫生出版社吴坤主编、孙秀发副主编《营养与食品卫生学》第六版，人民卫生出版社方积乾主编《卫生统计学》第五版，人民卫生出版社李立明主编《流行病学》第六版，人民卫生出版社355建筑学基础参考书目①《中国建筑史》（第五版），东南大学，潘谷西主编，中国建筑工业出版社，2004②《外国建筑史（19世纪末叶以前）》（第三版），清华大学，陈志华著，中国建筑工业出版社，2004③《外国近现代建筑史》（第二版），同济大学，罗小未主编，中国建筑工业出版社，2004④《建筑构造》中国建筑工业出版社⑤重要的近现代建筑理论文献⑥国际古迹遗址理事会中国国家委员会. 《中国文物古迹保护准则》. 2000.432统计学参考书目1.刘次华、万建平《概率论与数理统计》第三版。
矩阵论 杨明 华中科技大学 课后习题答案
1 1 3 0 1 1 3 0 A 2 1 2 1 0 1 4 1 1 1 5 2 0 0 0 0
矩阵 A 的秩为 2，从 A 中选取 1、2 列（线性无关）作为 R(A)的基，于是
0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 x1 x2 x3 x4 2 3 1 1 1 1 0 1 1 0
解得
X 0
1
2
3
T
9.判别下列集合是否构成子空间。 （1） W1 { ( x, y, z ) | x 2 y 2 z 2 1, x, y, z R} ； （2） W2 { A | A2 I , A R nn } ； （3） R 中， W3 { ( x1 , x2 , x3 ) |
U 2 U1
又由题设 U1 U 2 ，证得 U1=U2。
1 1 1 T 4.设 A 2 1 3 ，讨论向量 (2,3, 4) 是否在 R(A)中。 3 1 5 1 1 1 | 2 1 1 1 | 2 解：构造增广矩阵 A | 2 1 3 | 3 0 1 1 | 1 3 1 5 | 4 0 0 0 | 0
, r 为空间 U2 的一组基
U 2 ，有
1 2
而
r X
1 2 r 1
于是
2
r C ，C 为过渡矩阵，且可逆
1 2
由此，得
r X 1 2
r C 1 X 1 2
r Y U1
0 2 B2 ，求 0 1