互质的含义及判别

数学术语—互质

互质（relatively primeì）又叫互素。若N个整数的最大公因子是1，则称这N个整数互质。

例如8,10的最大公因子是2，不是1，因此不是整数互质。

7,10,13的最大公因子是1，因此这是整数互质。

5和5不互质，因为5和5的公因数有1、5。

1和任何数都成倍数关系，但和任何数都互质。因为1的因数只有1，而互质数的原则是：只要两数的公因数只有1时，就说两数是互质数。1只有一个因数（所以1既不是质数（素数），也不是合数），无法再找到1和其他数的别的公因数了，所以1和任何数都互质（除0外）。

互质数的写法：如c与m互质，则写作（c,m）=1。

小学数学教材对互质数是这样定义的：“公约数只有1的两个数，叫做互质数。” 这里所说的“两个数”是指自然数。“公约数只有1”，不能误说成“没有公约数。”

判别方法：

（1）两个不同的质数一定是互质数。例如，2与7、13与19。

（2）一个质数如果不能整除另一个合数，这两个数为互质数。例如，3与10、5与26。

（3）1不是质数也不是合数，它和任何一个自然数在一起都是互质数。如1和9908。

（4）相邻的两个自然数是互质数。如15与16。

（5）相邻的两个奇数是互质数。如49与51。

（6）大数是质数的两个数是互质数。如97与88。

（7）小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。如7和16。

（8）两个数都是合数（二数差又较大），小数所有的质因数，都不是大数的约数，这两个数是互质数。如357与715，357=3×7×17，而3、7和17都不是715的约数，这两个数为互质数。

（9）两个数都是合数（二数差较小），这两个数的差的所有质因数都不是小数的约数，这两个数是互质数。如85和78。85－78＝7，7不是78的约数，这两个数是互质数。

（10）两个数都是合数，大数除以小数的余数（不为“0”且大于“ 1”）的所有质因数，都不是小数的约数，这两个数是互质数。如462与221。462÷221＝2……20，20＝2×2×5。2、5都不是221的约数，这两个数是互质数。

（11）减除法。如255与182。255－182＝73，观察知73182。182－（73×2）＝36，显然3673。73－（36×2）＝1，（255，182）＝1。所以这两个数是互质数。

三个或三个以上自然数互质有两种不同的情况：一种是这些成互质数的自然数是两两互质的。如2、3、5。另一种不是两两互质的。如6、8、9。