湖北省宜昌一中、龙泉中学2020届高三6月联考(理数试题)

湖北省宜昌一中、龙泉中学2020届高三6月联考
数 学（文科）
本试卷共4 页，共 23 题。

满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名.准考证号填在答题卡上.
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效.
3. 填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

请将正确的答案填涂在答题卡上。

） 1．已知a 是实数，1a i
z i
-=
+是纯虚数，则z 的虚部为 A ．1 B ．1- C ．i D ．i -
2．已知集合{}
2
20A x x x =+-<，集合11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭
，则A B =I
A ．∅
B ．{}1x x <
C ．{}01x x <<
D ．{}
20x x -<<
3．“ln ln x y >”是“1132x y
⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 4．斐波拉契数列，指的是这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21，…，在数学上，斐波拉契数列{}n a 定义如下：121a a ==，()123,n n n a a a n n N --=+≥∈，随着n 的增大，1
n
n a a +越来越逼近黄金
0.618≈，
故此数列也称黄金分割数列，而以1n a +、n a 为长和宽的长方形称为“最 美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为200平方厘米，则该长方形的长大约是 A ．20厘米 B ．19厘米 C ．18厘米 D ．17厘米
5．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若
2413S S =，则36
S
S 等于 A ．316 B ．13 C ．516 D ．716
6．函数()2e 2x f x x x =--的图象大致为
7．已知函数()()sin 0f x x x =≥，方程()f x kx =恰有三个根，记最大的根为θ，则
()2
1sin 2θθθ
+=
A ．2-
B ．
1
2
C ．1
D ．2 8．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，其余三个宣传小组各有2位同学．现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为
A ．
27 B ．37 C ．821 D ．1021
9．设抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线相交于,A B ，点A 在第一象限，
且3
2
AF BF -=，则AF BF = A ．
3
2
B ．2
C ．3
D ．4
10．某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边 长为1，则该几何体的外接球的表面积为
A ．16π
B ．12π
C ．9π
D ．8π
11．已知函数()f x 满足()()221ln x f x xf x x '+=+，()1
f e e
=，当0x >时，下列说法正确的
是
①()f x 只有一个零点； ②()f x 有两个零点；
③()f x 有一个极小值点； ④()f x 有一个极大值点．
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④ 12．已知梯形ABCD 满足,45AB CD BAD ∠=︒∥，以,A D 为焦点的双曲线Γ经过,B C 两点． 若7CD AB =，则双曲线Γ的离心率为 A 32 B 33 C 35 D 35+二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在三角形ABC 中，5AB =u u u r ，8AB AC ⋅=u u u r u u u r ，则AB BC ⋅=u u u r u u u r
_____．
14．若13n
x x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭的展开式中各项系数之和为64，则展开式中的常数项是_____． 15．在数列{}{},n n a b 中，()22122n n n n n a a b a b +=+++()22
122n n n n n
b a b a b +=+-+111a b ==，设数列{}n
c 满足11
n n n
c a b =
+，则数列{}n c 的前10项和10S =_________． 16．四面体P ABC -中，2PA =，2PB PC AB AC ====，22BC =Q 在
ABC ∆的内部（含边界）
，设PAQ α∠=，二面角P BC A --的平面角的大小为β，APQ ∆和BCQ ∆的面积分别为1S 和2S ，且满足
123sin S S α
=
，则2S 的最大值为 ．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2,2cos 2a c A b a ==-． （Ⅰ）求角C ；
（Ⅱ）如图，若点D 在边AC 上，AD DB =，DE AB ⊥，E 为垂足，且
2DE =，求BD 的长．
18．（本小题满分12分）
如图，在矩形ABCD 中，将ACD △沿对角线AC 折起，使点D 到达点P 的位置，且平面ABP ⊥平面ABC ．
（Ⅰ）求证：AP PB ⊥；
（Ⅱ）若直线PC 与平面ABP 所成角的正弦值为3
4
，求二面角P AC B --的余弦值．
19．（本小题满分12分）
已知圆22
:3O x y +=，直线PA 与圆O 相切于点A ，直线PB 垂直y 轴于点B ，且
2PB PA =．
（Ⅰ）求点P 的轨迹E 的方程；
（Ⅱ）过点()1,0且与x 轴不重合的直线与轨迹E 相交于,P Q 两点，在x 轴上是否存在定
点D ，使得x 轴是PDQ ∠的角平分线，若存在，求出D 点坐标，若不存在，说明理由．
20．（本小题满分12分）
某工厂的一台某型号机器有2种工作状态：正常状态和故障状态．若机器处于故障状态，则停机检修．为了检查机器工作状态是否正常，工厂随机统计了该机器以往正常工作状态下生产的1000个产品的质量指标值，得出如图1所示频率分布直方图．由统计结果可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布N 2
(,)μσ，其中μ近似为这1000个产品的质量指标值的平均数x ，σ2近似为这1000个产品的质量指标值的方差s 2 (同一组中的数据用该组区间中点值为代表)．若产品的质量指标值全部在(3,3)μσμσ-+之内，就认为机器处于正常状态，否则，认为机器处于故障状态．
（Ⅰ）下面是检验员在一天内从该机器生产的产品中随机抽取10件测得的质量指标值：
29 45 55 63 67 73 78 87 93 113 请判断该机器是否出现故障？
（Ⅱ）若机器出现故障，有2种检修方案可供选择：
方案一：加急检修，检修公司会在当天排除故障，费用为700元；
方案二：常规检修，检修公司会在七天内的任意一天来排除故障，费用为200元． 现需决策在机器出现故障时，该工厂选择何种方案进行检修，为此搜集检修公司对该型号 机器近100单常规检修在第i (i ＝1，2，…，7)天检修的单数，得到如图2所示柱状图，将 第i 天常规检修单数的频率代替概率．已知该机器正常工作一天可收益200元，故障机器 检修当天不工作，若机器出现故障，该选择哪种检修方案？
13.7114.4215.10≈≈≈ 21．（本小题满分12分） 已知函数()()()2
1ln 0f x x a x a =--<． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点()1212,x x x x <，且关于x 的方程()()f x b b R =∈恰有三个实
数根3x ，4x ，5x ()345x x x <<，求证：()21532x x x x ->-．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．（本小题满分10分）
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为,
,
x m t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22
4
1sin ρθ
=+． （Ⅰ）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程； （Ⅱ）直线l 上的点(),0P m 为曲线C 内的点，且直线l 与曲线C 交于,A B ，且2PA PB ⋅=， 求m 的值．
23．选修4-5：不等式选讲
若对于实数x ，y 有|12|4x -≤，|31|3y +≤． （Ⅰ）求1
6
x y +-
的最大值M ； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a ，b 满足12M a b +=，证明：
50(1)(2)9a b ++≥
.。