几何概型及互斥事件的概率学案
江苏省高级中学高三数学第一轮复习学案：几何概型及互斥事件及其发生的概率
几何概型、互斥事件及其发生的概率【教学目标】1．了解几何概型的基本特点；会进行简单的几何概型的运算；2．了解互斥事件及对立事件的概念，能判断某两个事件是否是互斥事件，进而判断它们是否是对立事件；3．了解两个互斥事件概率的加法公式，了解对立事件概率之和为1的结论，会利用相关公式进行简单的概率计算．一、知识梳理1．几何概型定义：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为．2．几何概型特点：①无限性：在每次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无限多个；②等可能性：在这个随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件发生是等可能的．3．几何概型的概率计算：在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A) = ．4．求几何概型的概率的一般步骤：①适当选择观察角度(必要时可以辅之图形)；②把基本事件转化为与之对应的区域；③把随机事件A转化为与之对应的区域；④利用概率公式计算．5．古典概型与几何概型的区别：古典概型和几何概型中基本事件发生的可能性都是的，但古典概型要求基本事件有个，几何概型要求基本事件有个，它的特点是试验结果在一个区域内分布，所以随机事件发生的概率与随机事件所在的区域的形状、位置无关，只与该区域的有关．6．若有A，B两个事件，当事件A发生时B就不发生，当事件B发生时事件A就不发生，也即事件A，B不可能．我们把这种不可能同时发生的两个事件叫做事件(也称为不相容事件)．两个可同时发生或同时不发生的事件不是互斥事件．互斥事件是对两个事件而言的．7．两个互斥事件一个发生，则称这两个事件为事件．事件A的事件记做A￣．8．“A + B”的意义：设A，B是两个事件，则A + B表示在同一试验中，A或B中发生．我们把事件A + B称为事件A与B的和．9．概率的加法公式：如果A与B互斥，那么P(A + B) = ．特殊地：P(A) + P(A￣) = P( ) = ．如果A1，A2，…A n两两互斥，则此它们是彼此互斥，此时有：P(A1 + A2 + …+ A n) = P(A1 ) +P( A2 ) + …+ P( A n) ．10．互斥事件与对立事件的关系：互斥事件和对立事件都是就两个事件而言的．互斥事件是发生的两个事件，而对立事件是其中的互斥事件．因此，对立事件必是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．二、基础训练1．在区间[0，10]中任意取一个数，则它与4 的和大于10 的概率是．2．在面积为S的△ABC的内部任取一点P，则△PAB的面积大于13S的概率是．3．已知O是正方体ABCD-A1B1C1D1的中心，若在正方体内随机地取点，则点落在四棱锥O-ABCD内的概率是．4．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为。
苏教版数学高一《互斥事件及其发生的概率》 精品导学案
C.恰有1个白球和恰有2个白球D.至少有1个红球和全是白球
2.如果事件A,B互斥,那么 ( )
A.A+B是然事件B. 是必然事件
C. 与 一定互斥D. 与 一定不互斥
3.下列命题中,真命题的个数是 ( )
①将一枚硬币抛两次,设事件A为”两次出现正面”,事件B为”只有一次出现反面”,则事件A与B是对立事件;
5.某射击运动员在一次射击训练中,命中10环,9环,8环,7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28.则这名运动员在一次射击中:命中10环或9环的概率是__________,少于7环的概率是____________.
6.在区间[0,10]上任取一个数 ,求 或 的概率___________.
例2.记河流年最高水位在” ”为事件A,” ”为事件B ,
” ”为事件C,” ”为事件D,” ”为事件E,则A,B,C,D,E为互斥事件.由互斥事件的概率的加法公式,得(1)最高水位在 的概率为 .
(2)最高水位在 的概率 .(3)最高水位在 的概率为
.
【课外链接】
1.
【自我检测】
1.C2.B 3.B 4.D5.0.440.03 6. 7.
易错辨析：对立事件是非此即彼的关系,要看一次试验的结果有几种.
例2：在某一时期内,一条河流某处的最高水位在各个范围内的概率如下:
年最高水位(单位: )
概率
0.1
0.28
0.38
0.16
0.08
计算在同一时期内,河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率:
(1) ;(2) ;(3) .
思路点拨：把事件”最高水位在 ”看作是彼此互斥的事件的和,再用加法公式.
高中数学 第三章 概率 3.3.1 几何概型学案 新人教B版必修3(2021年最新整理)
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3.3.1 几何概型1.理解几何概型的定义及特点。
(重点)2。
了解古典概型与几何概型的区别.(重点）3。
掌握几何概型的计算方法和求解步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题。
（难点）4.几何概型中几何度量的确定及计算.（难点）[基础·初探］教材整理几何概型阅读教材P109，完成下列问题.1。
定义图3。
3.1如果把事件A理解为区域Ω的某一子区域A(如图3 3.1所示)，A的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关，满足以上条件的试验称为几何概型.2。
几何概型的概率公式在几何概型中，事件A的概率定义为：P（A）＝错误!，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示子区域A的几何度量。
1.判断（正确的打“√”，错误的打“×")（1)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关.（）（2)在射击中，运动员击中靶心的概率在(0,1）内。
( )(3)几何概型的基本事件有无数多个.( ）【答案】(1）√(2)×(3)√2。
在区间［－1,2]上随机取一个数x,则｜x|≤1的概率为________。
【解析】∵区间[－1，2]的长度为3，由｜x|≤1得x∈［－1，1］，而区间[－1，1]的长度为2,x取每个值为随机的，∴在［－1，2］上取一个数x,|x｜≤1的概率P＝错误!.【答案】错误!［小组合作型]与长度有关的几何概型客到达车站后等车时间超过10 min的概率。
高中数学 第3章《概率》互斥事件(1) 精品导学案 苏教版必修三
江苏省响水中学高中数学 第3章《概率》互斥事件（1）导学案 苏教版必修3学习目标：1.了解互斥事件及对立事件的概念，能判断某两个事件是否是互斥事件，进而判断它们是否是对立事件．2.了解两个互斥事件概率的加法公式，知道对立事件概率之和为1的结论．会用相关公式进行简单概率计算．3.注意学生思维习惯的培养，在顺向思维受阻时，转而逆向思维．教学重点：互斥事件和对立事件的概念，互斥事件中有一个发生的概率的计算公式．教学难点：利用对立事件的概率间的关系把一个复杂事件的概率计算转化成求其对立事件的概率． 课前预习：1. 体育考试的成绩分为四个等级：优、良、中、不及格，某班50名学生参加了体育考试，优 85分及以上 9人良 75～84分 15人中 60～74分 21人不及格 60分以下 5人①.在同一次考试中，某一位同学能否既得优又得良？②.从这个班任意抽取一位同学，那么这位同学的体育成绩为“优良”（优或良）的概率是多少？③.体育考试的成绩的等级为优、良、中、不及格的事件分别记为D C B A ,,,．在同一次体育考试中，同一人不能同时既得优又得良，即事件B A ,能同时发生吗？④.在上述关于体育考试成绩的问题中，从50人中任意抽取1个人，有50种等可能的方法，而抽到优良的同学的方法有多少种？那么这位同学的体育成绩为“优良”（优或良）的概率是多少？2.对立事件和互斥事件有何异同？3.从集合的角度如何理解互斥事件？课堂探究：1、一只口袋内装有大小一样的4只白球与4只黑球，从中一次任意摸出2只球．记摸出2只白球为事件A ，摸出1只白球和1只黑球为事件B ．问事件A 和B 是否为互斥事件？是否为对立事件？2、某人射击1次，命中7～10环的概率如下表所示：命中环数10环 9环 8环 7环（1）求射击一次，至少命中7环的概率；（2）求射击1次，命中不足7环的概率．3、黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：血型 A B AB O 该血型的人所占比/% 28 29 8 35 已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：（1）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？（2）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？4、甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是21，乙获胜的概率是31，求乙输的概率？教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
必修3第3章概率几何概型和互斥事件教案
必修3第3章概率几何概型(教案)江苏省启东中学陈存勤【教学目标】掌握几何概型中常见的几种题型，能够找出基本事件，D与d的测度【教学重点】掌握几何概型中概率的计算公式；能够进行简单的几何概率计算【教学难点】将实际问题转化为几何概型，并能正确应用几何概型的概率计算公式来解决问题．【教学过程】一、温故衔接，导引自学1、定义：设D是一个可度量的区域（例如线段、平面图形、立体图形等）。
每个基本事件可视为从区域D内随意地取一点，区域D内每一点被取到的可能性一样，随机事件A发生可以视为恰好取到区域D内某个指定区域d中的点，这时事件A发生的概率与d的测度（长度、面积、体积等）成正比，与d的形状、位置无关。
我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型。
2、计算公式P（A）=________________________3、特点：（1）______性：在每次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无限多个（2）______性：在这个随机试验中，每个结果出现的可能性相同，即基本事件发生是等可能的4、已知地铁列车每10min一班，在车站停1min．则乘客到达站台立即乘上车的概率为5、一海豚在水池中自由游弋，水池长30m，宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸小于2m的概率6、现有100ml的蒸馏水，假定里面有一个细菌，现从中抽取20ml的蒸馏水，则抽到细菌的概率为．活动单元一：1、学生回答古典概型的本质特征：（1）样本空间中样本点个数有限.（2）每一个样本点都是等可能发生的．2、教师阐明：将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到几何概型3、学生总结：古典概型与几何概型的区别相同：两者基本事件的发生都是等可能的；不同：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个.4、提出问题，学生动手（同桌）（1）判断4，5，6是否是几何概型？（2）D和d的测度分别是什么？（3）它们的概率分别是多少？二、交流质疑，精讲点拨题型1：线长问题（长度指：绳长、角度、时间等）例1．一个实验是这样做的，将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T表示所切两段绳子都不短于1米的事件，考虑事件T发生的概率变式：1、（1）在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率。
人教版高中数学必修3第三章概率-《3.3几何概型》教案
几何概型一、教学目标（1）学生能掌握几何概型的特点，明确几何概型与古典概型的区别。
（2）能识别实际问题中概率模型是否为几何概型。
（3）会利用几何概型公式对简单的几何概型问题进行计算。
二、教学重点与难点教学重点：（1）几何概型的特点及与古典概型的区别（2）几何概型概率计算公式及应用。
教学难点：把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题；三、教学方法与手段让学生通过对几个试验的观察分析，提炼它们共同的本质的东西，从而亲历几何概型的建构过程，并在解决问题中，给学生寻找发现、讨论交流、合作分享的机会。
感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法。
四、教学过程一、 创设情境 引入新课【知识回顾】(1)1 (2) 2A () A P A ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎩试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；、古典概型的特点每个基本事件出现的可能性相等。
古典概型包含基本事件的个数、事件的概率公式：基本事件的总数 【课前练习】判断下列试验中事件发生的概率是否为古典概型？（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；（学生口答）（2）5本不同的语文书，4本不同的数学书，从中任取2本，取出的书恰好都是数学书的概率；（学生口答）（3）取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m的概率；学生分析：剪刀落在绳子的任意一个位置是等可能的，但剪刀落的位置是无限个的，因而无法利用古典概型；（4）下图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向黄色区域时，甲获胜，否则乙获胜.你认为甲获胜的概率分别是多少？（1）（2）学生分析：指针指向的每个方向都是等可能性的，但指针所指的位置却是无限个的，因而无法利用古典概型；（5）有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.学生分析：细菌在1升水的杯中任何位置的机会是等可能的，但细菌所在的位置却是无限多个的，因而不能利用古典概型。
人教版高中数学必修三 第三章 概率 《几何概型》教案
《几何概型》教案教材分析：几何概型是在古典概型基础上进一步的发展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸.几何概型的基本特点是：在每次随机试验中，不同的试验结果有无限多个，即基本事件有无限个；在这个随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件是等可能的.几何概型与古典概型的区别在于，几何概型是无限个等可能事件的情况，而古典概型中的等可能事件只有有限个.教材从两者的比较入手，通过分析简单的几何概型的例子入手引出几何概型的计算方法。
本节安排的例题和习题分别从一维的长度，二维的面积，三维的体积作为测度进行分析的.教学目标：知识与技能：1.学生初步掌握并运用几何概型解决有关概率问题；2、能够正确区分几何概型与古典概型；3、提高学生判断与选择几何概型的概率公式的能力；过程与方法：通过实例把几何概型与古典概型进行比较分析发掘几何概型的特点以及几何概型的概率计算方法；情感态度价值观：学生体会数学来源于实践，并且培养学生发现问题、分析问题进而解决问题的良好习惯.教学重点与难点：重点：几何概型的特点及其几何概型的概率公式的判断与选择；难点：几何概型的概率公式的判断与选择.教学方法：探究性学习，体现以“教师为主导，学生为主体”教学过程:一、知识回顾1.古典概型的特点2.概率公式：二、探索研究【对比研究】(骰子游戏)：甲乙两人掷骰子，掷一次，规定谁掷出6点朝上则谁胜，请问甲、乙谁获胜的概率大？学生分析：掷骰子的结果是有限个，且掷得每个结果都是等可能性的，符合古典概型的特点，因而可以利用古典概型计算；学生求解：1;6p=甲16p=乙。
（转盘游戏）：图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?①②师生共同分析：1、指针指向的每个方向都是等可能性的，但指针所指的位置却是无限个的，因而不是古典概型；2、利用B区域的所对弧长、所占的角度或所占的面积与整个圆的弧长、角度或面积成比例研究概率；学生求解：法一（利用B区域所占的弧长）：1(1)();2B p B ==所在扇形区域的弧长整个圆的弧长3(2)().5B p B ==所在扇形区域的弧长整个圆的弧长法二（利用B 区域所占的圆心角）：1801(1)();3602B p B ︒︒===所在圆心角的大小圆周角336035(2)();3605B p B ︒︒⨯===所在圆心角的大小圆周角 法三（利用B 区域所占的面积）：1(1)();2B p B ==所在扇形的面积整个圆的面积3(2)().5B p B ==所在扇形的面积整个圆的面积【提出问题】⑴两个问题中，求概率的方法一样吗？若不一样,请问是什么原因？ ⑵你是如何解决这些问题的？学生对比分析：⑴ 骰子游戏中色子的六个面上的数字是有限个的，且每次投掷都是等可能性的，因而是古典概型；转盘游戏中指针指向的每个方向都是等可能性的，但指针所指的方向却是无限个的，因而不是古典概型.⑵借助几何图形的长度、面积等计算概率；【问题探究】分析下列三个问题的概率，从中你能得出哪些求概率的结论？问题 1（绳子问题）：某人在家门前相距6米的两棵树间系一条绳子，并在绳子上挂一个衣架，求衣架钩与两树的距离都大于2米的概率.学生分析：衣架钩与两树的距离都大于2米, 所以衣架钩应在图中B 、C 之间的任何一点都可以，结果有无数多种，而且等可能，所以不是古典概型；学生求解:记“衣架钩与两树的距离都大于2米”为事件A ， 所以30P()0.650A == 学生归纳：1、该概率的特点不符合古典概型，不能利用古典概型；2、A P()A =构成事件的区域长度试验的全部结果构成的区域长度 问题2（撒豆子问题）：如图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,计算它落到阴影部分的概率.学生分析：豆子撒在图形的每个位置的机会是等可能的，但豆子的位置却是无限多个的，因而不能利用古典概型。
高中数学 3.4《互斥事件的概率》学案 苏教版必修3
3.4.1 互斥事件及其发生的概率学习要求1、了解互斥事件及对立事件的概念，能判断某两个事件是否是互斥事件，进而判断它们是否是对立事件．2、正确理解两个互斥事件的概率加法公式,会用相关公式进行简单概率计算．【课堂互动】自学评价案例：体育考试的成绩分为四个等级：优、良、中、不及格，某班50名学生参加了体育考试，结果如下：问题：在同一次考试中，某一位同学能否既得优又得良？从这个班任意抽取一位同学，那么这位同学的体育成绩为“优良”（优或良）的概率是多少？【解】体育考试的成绩的等级为优、良、中、不及格的事件分别记为D C B A ,,,．在同一次体育考试中，同一人不能同时既得优又得良，即事件B A ,是不可能同时发生的．在上述关于体育考试成绩的问题中，用事件B A +表示事件“优”和“良”，那么从50人中任意抽取1个人，有50种等可能的方法，而抽到优良的同学的方法有 9+15种，从而事件B A +发生的概率50159)(+=+B A P ． 另一方面509)(=A P ，5015)(=B P ，因此有)()()(B P A P B A P +=+． 1．互斥事件：不能同时发生的两个事件称为互斥事件．2．互斥事件的概率 ： 如果事件A ，B 互斥，那么事件B A +发生的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和，即)()()(B P A P B A P +=+．一般地，如果事件n A A A ,,,21 两两互斥，则1212()()()()n n P A A A P A P A P A ++=+++ ． 3．对立事件：两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件．事件A 的对立事件记为A ． 对立事件A 和A 必有一个发生，故A A +是必然事件，从而1)()()(=+=+A P A P A A P ． 因此，我们可以得到一个重要公式)(1)(A P A P -=．【经典范例】例1 一只口袋内装有大小一样的4只白球与4只黑球，从中一次任意摸出2只球．记摸出2只白球为事件A ，摸出1只白球和1只黑球为事件B ．问事件A 和B 是否为互斥事件？是否为对立事件？【解】7环的概率． 【解】例3 从装有4只红球、4只白球的黑袋中任意取出3只球, 记事件A ：取出3只红球；记事件B ：取出2只红球和1只白球；记事件C ：取出1只红球和2只白球；记事件D ：取出3只球中至少有1只白球.，指出上列事件中哪些是对立事件？试问事件B 指什么? 试问事件A B +指什么? 【解】例4 有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名，求恰好是2名男生或2名女生的概率. 【解】追踪训练1、下列说法中正确的是（ ）A ．事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大 B ．事件A 、B 同时发生的概率一定比事件A 、B 恰有一个发生的概率小C ．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D ．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 2、连续掷3次硬币，那么互为对立的事件是（ ）A 、至少一次是正面和最多有一次正面；B 、最多有一次正面和恰有两次正面；C 、不多于一次正面和至少有两次正面；D 、至少有两次正面和恰有一次正面．3、一射手进行一次射击，给出4个事件：①命中的环数大于8，②命中的环数大于5，③命中的环数小于4，④命中的环数小于6，其中互斥事件的有（ ）A 、1组 B 、2组 C 、3组 D 、4组4、在一批产品中，有多于4件的次品和正品，从这批产品中任意抽取4件，事件A 为抽取4件产品中至少有一件次品，那么A 为（ ）A 、抽取的4件产品中至多有1件次品；B 、抽取的4件产品中恰有1件次品；C 、抽取的4件产品中没有次品；D 、抽取的4件产品中有多于4件的次品． 5、某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28，计算这个射手在一次射击中：（1）射中10环或7环的概率；（2）不够7环的概率．课后作业：课本P108 1，2，3，43.4.2互斥事件及其发生的概率学习要求1、进一步巩固两个互斥事件的概率加法公式．2、提高两个互斥事件的概率加法公式的综合应用能力。
高中数学第三章概率3.4互斥事件学案苏教版必修3
高中数学第三章概率3.4互斥事件学案苏教版必修31．了解互斥事件、对立事件的概念和实际意义，能根据定义辨别事件的互斥、对立关系．(易混、易错点)2．了解两种互斥事件概率的加法公式，知道对立事件概率之和为1的结论，会用相关公式进行简单概率计算．(重点)3．注重思维习惯的培养，在顺向思维受阻时，知道转而采用逆向思维．(难点)[基础·初探]教材整理 互斥事件、对立事件阅读教材P 112～P 113“例1”上边的内容，并完成下面的问题． 1．互斥事件的概念不能同时发生的两个事件称为互斥事件． 2．互斥事件概率的加法公式(1)如果事件A ，B 互斥，那么事件A ＋B 发生的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和，即P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．(2)一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n 两两互斥，那么P (A 1＋A 2＋…＋A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )．3．对立事件及概率公式(1)如果两个互斥事件必有一个发生，那么称这两个事件为对立事件，事件A 的对立事件记为A .(2)对立事件A 与A 必有一个发生，故A ＋A 是必然事件．对立事件的概率公式：P (A )＝1－P (A )．填空：(1)若事件A 与事件B 为对立事件，且P (A )＝14，则P (B )＝________.【解析】 因为事件A 与事件B 为对立事件，则P (B )＝1－P (A )＝1－14＝34.【答案】3 4(2)抛掷一骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现1点”，事件B为“出现3点”，事件C为“出现5点”，则“出现奇数点”的概率为________．【解析】由条件知事件A，B，C为互斥事件，设“出现奇数点”为事件D，则D＝A＋B＋C，由互斥事件概率加法公式得P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝16＋16＋16＝12.【答案】12[小组合作型]互斥事件、对立事件的判断某学习小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛．判断下列各事件是否是互斥事件，是否是对立事件．并说明理由．(1)恰有1名男生和恰有2名男生；(2)至少有1名男生和全是女生；(3)至少有1名男生和至少有1名女生；(4)至少有1名男生和全是男生．【精彩点拨】找出各事件对立的试验结果，然后根据互斥事件、对立事件的定义判断．【自主解答】(1)是互斥事件，但不是对立事件．理由是：“恰有一名男生”即选出的是“一名男生和一名女生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是互斥事件．但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件．(2)是互斥事件，也是对立事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种情况，它与“全是女生”不可能同时发生，且其和事件是必然事件，所以是对立事件．(3)不是互斥事件，从而也不是对立事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种情况．“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“两名都是女生”两种情况，他们可同时发生，故不是互斥事件．(4)不是互斥事件，也不是对立事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”，与“全是男生”可同时发生．1．判断两个事件是不是互斥事件时，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看他们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，再看两个事件的和事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．2．考虑事件的结果间是否有交事件．可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．[再练一题]1．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张．判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．【解】(1)是互斥事件，但不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)是互斥事件，又是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以他们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，也不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.互斥事件的概率加法公式及其应用盒中装有各色球共12只，其中5只红球，4只黑球，2只白球，1只绿球，从中取一球，设事件A为“取出一球是红球”，事件B为“取出一球为黑球”，事件C为“取出一球是白球”，事件D为“取出一球是绿球”．求：【导学号：11032070】(1)事件A，B，C，D的概率；(2)“取出一球是红球或黑球”的概率；(3)“取出一球为红球或黑球或白球”的概率．【精彩点拨】先由古典概型求事件A、B、C、D的概率，然后用互斥事件的概率公式求解．【自主解答】(1)由古典概型概率公式，得P (A )＝512，P (B )＝412＝13，P (C )＝212＝16，P (D )＝112.(2)设“取出一球是红球或黑球”为事件E ，则E ＝A ＋B ，因为事件A 与事件B 互斥． ∴P (E )＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝512＋13＝34.故“取出一球是红球或黑球”的概率为34.(3)设“取出一球为红球或黑球或白球”为事件F ，则F ＝A ＋B ＋C ，因为事件A 、B 、C 两两互斥．∴P (F )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝512＋13＋16＝1112.故“取出一球为红球或黑球或白球”的概率为1112.1．解题时，首先要判断所给的已知事件是否为互斥事件，再将要求概率的事件写成几个已知的互斥事件的和，最后用概率加法公式求解．2．公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )必须在事件A 、B 互斥的前提下使用，否则就不能用该公式．[再练一题]2．在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表： 年最高水位 (单位：m) [8,10) [10,12) [12,14) [14,16) [16,18] 概率0.10.280.380.160.08(1)[10,16)(m)； (2)水位不低于14 m.【解】 设年最高水位在[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18]范围内分别为事件A 、B 、C 、D ，则P (A )＝0.28，P (B )＝0.38，P (C )＝0.16，P (D )＝0.08.(1)设“年最高水位在[10,16)内”为事件E ，则E ＝A ＋B ＋C ，因为事件A 、B 、C 互斥． ∴P (E )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82，故年最高水位在[10,16)内的概率为0.82.(2)设“水位不低于14 m”为事件F ，则F ＝C ＋D ，因为事件C 、D 互斥，∴P (F )＝P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝0.16＋0.08＝0.24. 故水位不低于14 m 的概率为0.24.[探究共研型]对立事件的概率公式及应用探究1 从集合观点认识互斥事件、对立事件的概率公式：在集合中，我们有这样的结论：若记Card A 为集合A 中元素的个数，则有Card(A ∪B )＝Card A ＋Card B －Card(A ∩B )．利用该公式如何去理解互斥事件概率加法公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )？同样，如何利用补集的概念去理解对立事件？【提示】 由公式Card(A ∪B )＝Card A ＋Card B －Card(A ∩B )可得P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )，而当A 、B 互斥时，P (A ∩B )＝0，故P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．对于补集而言，类似的有P (A )＋P (A －)＝1，从而P (A －)＝1－P (A )．探究2 一个盒子内装有标号为1,2,3的三张卡片，这些卡片除编号不同外其余完全一样，现有放回的抽取3次，每次1张．则“抽取的卡片上的数字不完全相同”包括多少种情况？“抽取的3张卡片上的数字完全相同”有多少种情况？如何计算“抽取的3张卡片上的数字不完全相同”的概率呢？【导学号：11032071】【提示】 有放回的抽取3次，共有3×3×3＝27种情况，经列举可知“3张卡片上数字不同”包括24种情况，“3张卡片上的数字相同”包括3种情况．求事件“3张卡片上的数字不全相同”的概率时，很明显利用对立事件求解更简单．在某购物中心举行的“回报顾客”超低购物有奖活动中，一统计部门对购物中心交款处排队等候付款的人数及其概率统计如下表所示.排队人数 0 20 30 40 50 50人以上 概率0.10.160.30.30.10.04(2)至少有30人排队的概率．【精彩点拨】 利用互斥事件概率公式及对立事件概率公式求解．【自主解答】 设“没有人排队”为事件A 1，“20人排队”为事件A 2，“30人排队”为事件A 3，“40人排队”为事件A 4，“50人排队”为事件A 5，“50人以上排队”为事件A 6，则P (A 1)＝0.1，P (A 2)＝0.16，P (A 3)＝0.3，P (A 4)＝0.3，P (A 5)＝0.1，P (A 6)＝0.04，且A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6两两互斥．法一：(1)记“至多有30人排队”为事件B ，则B ＝A 1＋A 2＋A 3，∴P (B )＝P (A 1＋A 2＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56，即至多有30人排队的概率为0.56.(2)记“至少有30人排队”为事件C ，则C ＝A 3＋A 4＋A 5＋A 6. ∴P (C )＝P (A 3＋A 4＋A 5＋A 6)＝P (A 3)＋P (A 4)＋P (A 5)＋P (A 6) ＝0.3＋0.3＋0.1＋0.04＝0.74. 即至少有30人排队的概率为0.74. 法二：(1)同法一．(2)设“至少有30人排队”为事件C ，则C －＝A 1＋A 2. ∴P (C －)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝0.1＋0.16＝0.26. ∴P (C )＝1－P (C －)＝1－0.26＝0.74. 即至少有30人排队的概率为0.74.1．求复杂事件的概率的方法有两种：一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；二是转化为求其对立事件的概率．2．对于涉及到“至多”“至少”的问题，可以用互斥事件以及分类讨论的思想求解，当涉及的互斥事件多于两个时，一般用对立事件求解较简单．[再练一题]3．一个袋子内有9个小球，其编号分别为1,2，…，9.从中任取2个球，求编号至少有一个为奇数的概率．【解】 从9个球中任取2个，有 (1,2)，(1,3)，…，(1,9)； (2,3)，(2,4)，…，(2,9)； (3,4)，(3,5)，…，(3,9)； …(7,8)，(7,9)；(8,9)，共计36种取法．记“编号至少有一个为奇数”为事件B ，“编号全是偶数”为事件C ，则事件C 为从号数为2,4,6,8的四个球中任取2个，有(2,4)，(2,6)，(2,8)，(4,6)，(4,8)，(6,8)共6种取法．∴P (C )＝636＝16，由对立事件的概率公式得，P (B )＝1－P (C )＝1－16＝56.即编号至少有一个奇数的概率为56.1．给出下面四个结论：①将一枚硬币抛两次，设事件A ：“两次正面朝上”，事件B ：“只有一次反面朝上”，则事件A 与B 是对立事件；②若事件A 与B 为对立事件，则事件A 与B 为互斥事件； ③若事件A 与B 为互斥事件，则事件A 与B 为对立事件； ④若事件A 与B 为对立事件，则事件A ＋B 为必然事件． 其中，正确的结论是________．(填序号)【解析】 由互斥事件与对立事件的定义知只有②④正确． 【答案】 ②④2．某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________． 【解析】 由互斥事件的定义知所求事件应为“两次都没中靶”． 【答案】 两次都没中靶3．某射手的一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为________．【解析】 设事件A 为“在一次射击中，射中不够8环”，则A －为“在一次射击中，射中8环、9环或10环”．∴P (A －)＝0.20＋0.30＋0.10＝0.60，P (A )＝1－P (A －)＝1－0.60＝0.40.【答案】 0.404．如果事件A 与B 是互斥事件，且事件A ＋B 的概率是0.8，事件A 的概率是事件B 的概率的3倍，则事件A 的概率为________．【解析】 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧PA ＋PB ＝0.8，P A ＝3P B ，∴P (A )＝0.6. 【答案】 0.65．某学校成立了舞蹈、美术、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止1个小组，具体情况如图341所示．随机选出一个成员，求：图341(1)他至少参加2个小组的概率； (2)他参加不超过2个小组的概率．【解】 由图知3个课外兴趣小组的总人数为60.(1)用A 表示事件“选取的成员只参加1个小组”，则A －表示“选取的成员至少参加2个小组”．于是P (A －)＝1－P (A )＝1－6＋8＋1060＝35.(2)用事件B 表示“选取的成员参加不超过2个小组”，则B －表示“选取的成员参加3个小组”，所以P (B )＝1－P (B )＝1－860＝1315.。
2018_2019学年高中数学第3章概率3.3几何概型3.4互斥事件苏教版必修3
率的和．
3．对立事件的一个重要公式 对立事件 A 与 A 必有一个发生，故 A＋ A 是必然事件，从而 P(A)＋P( A )
1 P(A＋ A ) ＝___. ＝_____________
由此，我们可以得到一个重要公式：
1－P(A) ． P( A )＝_________
[基础自测] 1．给出以下结论： ①互斥事件一定对立； ②对立事件一定互斥； ③互斥事件不一定对立； ④事件 A 与 B 的和事件的概率一定大于事件 A 的概率； ⑤事件 A 与 B 互斥，则有 P(A)＝1－P(B)． 其中正确的命题有________．
[解析] (1)在一次射击中射中10环或9环，即射中10环和射中9环，由互 斥事件的概率公式，再分别相加即可；(2)在一次射击中至少射中7环，即射 中10环，9环，8环，7环，再将对应的概率相加即可 ；(3)在一次射击中射 中环数不是8环，即射中7环和7环以下，再将对应的概率相加即可．
[解] 设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环 以下”的事件分别为A、B、C、D、E，则 (1)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52， 即射中10环或9环的概率为0.52. (2)P(A＋B＋C＋D) ＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D) ＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87. 即至少射中7环的概率为0.87. 另解P(A＋B＋C＋D)＝1－P(E)＝1－0.13＝0.87. (3)P(D＋E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29， 即射中环数不足8环的概率为0.29.
3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则 甲、乙两人下成和棋的概率为________． 50% [甲不输棋包含甲获胜或甲、乙两人下成和棋，则甲、乙两人下 成和棋的概率为90%－40%＝50%.]
高中数学： 互斥事件及其发生的概率 教案 苏教版必修3 教案
课题： 3．4 互斥事件教学目标：1、知识与技能：（1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念；（2）概率的几个基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A+B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A与B为对立事件，则A+B为必然事件，所以P(A+B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)（3）正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系.2、过程与方法：通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习，培养学生的类化与归纳的数学思想。
3、情感态度与价值观：通过数学活动，了解教学与实际生活的密切联系，感受数学知识应用于现实世界的具体情境，从而激发学习数学的情趣。
教学重点：概率的加法公式及其应用教学难点：事件的关系与运算教学过程：一、问题情境体育考试的成绩分为四个等级：优、良、中、不及格，某班５０名学生参加了体育考试，结果如下：（１）在同一次考试中，某一位同学能否既得优又得良？（２）从这个班任意抽取一位同学，那么这位同学的体育成绩为“优良”（优或良）的概率是多少？二、建构数学1．即事件Ａ与Ｂ是不可能同时发生的．不能同时发生的两个事件称为互斥事件。
2．事件Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，其中任意两个都是互斥的．一般地，如果事件Ａ１，Ａ２，…，Ａｎ中的任何两个都是互斥事件，就说事件Ａ１，Ａ２，…，Ａｎ彼此互斥．3．设Ａ，Ｂ为互斥事件，当事件Ａ，Ｂ有一个发生，我们把这个事件记作Ａ＋Ｂ．在上述关于体育考试成绩的问题中，事件Ａ＋Ｂ就表示事件“优”或“良”，那么，事件Ａ＋Ｂ发生的概率是多少呢？由以上分析不难发现，概率必须满足如下第三个基本要求：如果事件Ａ，Ｂ互斥，那么事件Ａ＋Ｂ发生的概率，等于事件Ａ，Ｂ分别发生的概率的和，即Ｐ(Ａ＋Ｂ)＝Ｐ(Ａ)＋Ｐ(Ｂ)．一般地，如果事件Ａ１，Ａ２，…，Ａｎ两两互斥，则Ｐ(Ａ１＋Ａ２＋… ＋Ａｎ)＝Ｐ(Ａ１)＋Ｐ(Ａ２)＋… ＋Ｐ(Ａｎ)．两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件．事件Ａ的对立事件记为A．对立事件A与Ａ必有一个发生，故A＋Ａ是必然事件，从而Ｐ（A）＋Ｐ（Ａ）＝Ｐ（A＋Ａ）＝１．由此，我们可以得到一个重要公式：Ｐ（A）＝１－Ｐ（Ａ）．三、数学运用1．例题例1 一只口袋内装有大小一样的４只白球与４只黑球，从中一次任意摸出２只球．记摸出２只白球为事件Ａ，摸出１只白球和１只黑球为事件Ｂ．问：事件Ａ与Ｂ是否为互斥事件？是否为对立事件？例2 某人射击１次，命中７～１０环的概率如表所示：（２）求射击１次，命中不足７环的概率．例3 黄种人群中各种血型的人所占的比如表所示：已知同种血型的人可以输血，Ｏ 型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给 ＡＢ型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是Ｂ型血，若小明因病需要输血，问： （１）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？ （２）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？例4 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?事件A ：命中环数大于7环； 事件B ：命中环数为10环； 事件C ：命中环数小于6环；事件D ：命中环数为6、7、8、9、10环.例5 抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A 为“出现奇数点”，B 为“出现偶数点”，已知P(A)=21，P(B)=21，求出“出现奇数点或偶数点”．例6 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A ）的概率是41，取到方块（事件B ）的概率是41，问：（1）取到红色牌（事件C ）的概率是多少？ （2）取到黑色牌（事件D ）的概率是多少？例7 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为31，得到黑球或黄球的概率是125，得到黄球或绿球的概率也是125，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？2．练习课本第108页 练习 1，2，3，4备用：1．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件。
《互斥事件》教学设计
《互斥事件》教学设计一、教学目标1.了解互斥事件的概念和特点。
2.学会利用事件图和概率公式求解互斥事件的概率。
3.能够运用互斥事件的概念解决实际生活中的问题。
二、教学内容1.互斥事件的概念和特点。
2.互斥事件的概率计算方法。
3.实际生活中的互斥事件案例。
三、教学过程1.导入:2.提出问题:教师给学生提出一个问题，通过一些实际生活中的例子引出互斥事件的概念和特点，激发学生的学习兴趣。
3.概念解释:教师向学生解释互斥事件的概念，即两个事件不能同时发生的情况，介绍互斥事件的特点和性质，让学生明确互斥事件的定义和范围。
4.求解方法:教师通过引导学生分析互斥事件的性质和特点，介绍互斥事件的求解方法，包括事件图的绘制和概率公式的运用，让学生明白如何计算互斥事件的概率。
5.案例分析:教师给学生提供一些实际生活中的互斥事件案例，让学生运用所学的方法和知识解决问题，培养学生分析和解决问题的能力。
6.拓展应用:教师提出一些拓展性的问题，让学生运用所学知识探讨更复杂和更有挑战性的互斥事件问题，巩固和拓展所学知识。
7.归纳总结:教师与学生一起总结互斥事件的概念、特点和求解方法，让学生对所学内容有一个清晰的整体认识，加深对这一知识点的理解和掌握。
四、教学手段1.多媒体教学:利用多媒体课件呈现互斥事件的相关概念和案例，直观地展示给学生，提高学生对知识的理解和接受。
2.互动教学:利用小组讨论、问题解答等形式，增加学生的参与度和学习兴趣，激发学生思维和探索欲。
3.实例分析:提供实际生活中的例子，让学生贴近生活，将所学知识应用到实际中去，加深学生对知识的印象和理解。
五、教学反思通过本课的教学设计，学生能够获得对互斥事件的深入了解和掌握，在实际生活中能够运用所学知识解决问题。
同时，通过引导学生讨论和合作，培养学生的合作意识和团队精神。
教师需要及时听取学生的意见和建议，不断优化教学方法和手段，提高教学效果，促进学生全面发展。
高中数学 第三章 概率 3.3 几何概型教案 新人教A版必修3(2021年整理)
福建省莆田市高中数学第三章概率3.3 几何概型教案新人教A版必修3 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（福建省莆田市高中数学第三章概率3.3 几何概型教案新人教A版必修3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3.3 几何概型3。
3.1-3。
3。
2几何概型及均匀随机数的产生一、教学目标：1、知识与技能：（1）正确理解几何概型的概念；(2）掌握几何概型的概率公式：（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；（4）了解均匀随机数的概念；(5）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；(6）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．2、过程与方法：（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；(2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3、情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。
二、重点与难点：1、几何概型的概念、公式及应用；2、利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中．三、学法与教学用具：1、通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法；2、教学用具:投灯片,计算机及多媒体教学．四、教学设想:1、创设情境:在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况。
互斥事件教学教案(优质)
互斥事件教学教案（优质）一、教学目标1. 让学生理解互斥事件的定义，掌握互斥事件的概念及特性。
2. 培养学生运用互斥事件解决实际问题的能力。
3. 提高学生对概率论的基本概念的理解，为后续学习打下基础。
二、教学内容1. 互斥事件的定义及示例2. 互斥事件的概率计算方法3. 互斥事件在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：互斥事件的定义、概率计算方法及应用。
2. 难点：如何判断事件是否互斥，以及如何运用互斥事件解决实际问题。
四、教学方法1. 采用案例分析法，通过具体示例让学生理解互斥事件的定义和特性。
2. 运用互动教学法，引导学生参与课堂讨论，提高学生对互斥事件的理解。
3. 利用实践教学法，让学生通过解决实际问题，掌握互斥事件的运用。
五、教学过程1. 导入新课：通过抛硬币实验，引导学生思考两个事件是否互斥。
2. 讲解互斥事件的定义及示例：明确互斥事件的定义，举例说明互斥事件的特性。
3. 互斥事件的概率计算方法：讲解如何计算两个互斥事件的概率，引导学生掌握计算方法。
4. 互斥事件在实际问题中的应用：分析实际问题，引导学生运用互斥事件解决问题。
5. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
6. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。
教案示例：【案例一】抛硬币实验抛掷一枚硬币两次，求事件A（至少有一次正面）与事件B（两次都是反面）的概率。
【讲解】事件B只有一种情况：反反。
因为事件A与事件B没有共同的结果，它们是互斥事件。
事件A的概率为：P(A) = (3/4) ×(3/4) + 2 ×(1/4) ×(3/4) = 9/16 + 6/16 = 15/16。
事件B的概率为：P(B) = (1/4) ×(1/4) = 1/16。
事件A与事件B的概率分别为15/16和1/16。
【练习】1. 抛掷一枚硬币三次，求事件A（至少有一次正面）与事件B（三次都是反面）的概率。
清泉州阳光实验学校高三数学总复习 几何概型与互斥事件教案
清泉州阳光实验学校2021届高三数学总复习10.6几何概型与互斥事件教案A版1.以下概率模型：①从区间[－5，5]内任取一个数，求取到1的概率；②从区间[－5，5]内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；③从区间[－5，5]内任取一个整数，求取到大于1的数的概率；④向一个边长为5 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超过1 cm的概率．其中，是几何概型的有__________．(填序号)答案：①②④解析：①[－5，5]上有无限多个数，取到“1〞这个数的概率为0，是几何概型；②[－5，5]和[－1，1]上有无限多个数可取(无限性)，且在这两个区间上每个数被取到可能性一样(等可能性)，是几何概型；③[－5，5]上的整数只有11个，不满足无限性，故不是几何概型；④在边长为5 cm的正方形和半径为1 cm 的圆内均有无数多个点(无限性)，且这两个区域内的任何一个点都有可能被投到(等可能性)，是几何概型．2.抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，P(A)＝，P(B)＝，那么出现奇数点或者者2点的概率为________．答案：解析：因为事件A与事件B是互斥事件，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.3.利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，那么事件“3a－1<0”发生的概率为________．答案：解析：此题是几何概型.3a－1<0，即a<，所以P＝＝.4.(必修3P116习题4改编)在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：那么至少有两人排队的概率为________．答案：0.74解析：P＝1－(0.1＋0.16)＝0.74.5.欧阳修卖油翁中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出〞，卖油翁的技艺让人叹为观止．假设铜钱的形状是直径为3 cm的圆，中间有边长为1 cm的正方形孔，假设你随机向铜钱上滴一滴油，那么油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是________．答案：解析：根据几何概型知P＝＝.1.几何概型的定义对于一个随机试验，我们将每个根本领件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的时机都一样；而一个随机事件的发生那么理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．2.概率计算公式在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部的一个区域d内〞为事件A，那么事件A发生的概率P(A)＝．3.不能同时发生的两个事件称为互斥事件．4.假设事件A、B互斥，那么事件A＋B发生的概率等于事件A、B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．5.一般地，假设事件A1，A2，…，An两两互斥，那么P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．6.假设两个互斥事件必有1个发生，那么称这两个事件为对立事件，假设事件A的对立事件记作，那么P(A)＋P()＝1，P()＝1－P(A)．[备课札记]题型1几何概型例1如图，∠AOB＝60°，OA＝2，OB＝5，在线段OB上任取一点C，试求：(1)△AOC为钝角三角形的概率；(2)△AOC为锐角三角形的概率．解：如图，由平面几何知识：当AD⊥OB时，OD＝1；当OA⊥AE时，OE＝4，BE＝1.(1)当且仅当点C在线段OD或者者BE上时，△AOC为钝角三角形，记“△AOC为钝角三角形〞为事件M，那么P(M)＝＝＝0.4，即△AOC为钝角三角形的概率为0.4.(2)当且仅当点C在线段DE上时，△AOC为锐角三角，记“△AOC为锐角三角〞为事件N，那么P(N)＝＝＝0.6，即△AOC为锐角三角形的概率为0.6.(2021·)事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB〞发生的概率为，那么＝________．答案：解析：设CD＝4，根据对称性，由题中条件知，P的活动范围为2，即CP∈(1，3)．当CP＝3时，BP ＝4，解得BC＝＝.∴AD∶AB＝∶4.题型2古典概型与几何概型的区别与联络例2(2021·调研)设函数f(x)＝x2＋bx＋c，其中b、c是某范围内的随机数，分别在以下条件下，求事件A“f(1)≤5且f(0)≤3”发生的概率．(1)假设随机数b，c∈{1，2，3，4}；(2)随机函数Rand()产生的随机数的范围为{x|0≤x≤1}，b，c是算法语句b＝4*Rand()和c＝4*Rand()的执行结果．(注：符号“*〞表示“乘号〞)解：由f(x)＝x2＋bx＋c知，事件A“f(1)≤5且f(0)≤3”，即(1)因为随机数b、c∈{1，2，3，4}，所以一一共等可能地产生16个数对(b，c)，列举如下：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)．事件A：包含了其中6个数对(b，c)，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)．所以P(A)＝＝，即事件A发生的概率为.(2)由题意，b、c均是区间[0，4]中的随机数，点(b，c)均匀地分布在边长为4的正方形区域Ω中(如图)，其面积S(Ω)＝16.事件A：所对应的区域为如下列图的梯形(阴影部分)，其面积为S(A)＝×(1＋4)×3＝.所以P(A)＝＝＝，即事件A发生的概率为.关于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0.(1)假设a、b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；(2)假设a∈[2，4]，b∈[0，6]，求方程没有实根的概率．解：设“方程有两个正根〞的事件为A，“方程没有实根〞的事件为B.(1)由题意知此题是一个古典概型，用(a，b)表示一枚骰子掷两次所得到的点数．依题意知，根本领件(a，b)的总数有36个，二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0有两正根，等价于即那么事件A包含的根本领件为(6，1)、(6，2)、(6，3)、(5，3)一一共4个．∴所求的概率为P(A)＝.(2)由题意知此题是一个几何概型，试验的全部结果构成区域Ω＝{(a，b)|2≤a≤4，0≤b≤6},其面积为S(Ω)＝12.满足条件的事件为：B＝{(a，b)|2≤a≤4，0≤b≤6，(a－2)2＋b2＜16}，其面积为S(B)＝××4×4＋×2×＝＋2.∴所求的概率P(B)＝.题型3互斥事件例3某一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：(1)假设派出医生不超过2人的概率为0.56，求x的值；(2)假设派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y、z的值．解：(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，得0.1＋0.16＋x＝0.56，∴x＝0.3.(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，得0.96＋z＝1，∴z＝0.04.由派出医生最少3人的概率为0.44，得y＋0.2＋z＝0.44，∴y＝0.44－0.2－0.04＝0.2.某的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，详细情况如下列图，现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率；(2)该队员最多属于两支球队的概率．分析：根据韦恩图，正确理解“只属〞、“最多〞．解：从图中可以看出，3个球队一一共有20名队员．(1)记“随机抽取一名队员，该队员只属于一支球队〞为事件A，那么P(A)＝＝.故随机抽取一名队员，该队员只属于一支球队的概率为.(2)记“随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队〞为事件B，那么P(B)＝1－P(B)＝1－＝.故随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队的概率为.1.(2021·)在区间[－2，4]上随机地取一个数x，假设x满足|x|≤m的概率为，那么m＝________．答案：3解析：由几何概型，得＝，解得m＝3.2.(2021·三模)在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，4，5的5张卡片，现从中一次取出2张卡片，那么取到的卡片上的数字之积为偶数的概率是________．答案：解析：从5张卡片中任取两张卡片的根本领件为{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}一一共10个，其中两卡片上的数字之积为奇数的{1，3}，{1，5}，{3，5}一一共3种，故数字之积为偶数的概率是1－＝.3.(2021·模拟)如图面积为4的矩形ABCD中有一个阴影部分，假设往矩形ABCD投掷1000个点，落在矩形ABCD的非阴影部分中的点数为400个，试估计阴影部分的面积为________．答案：解析：记“投掷的点落在矩形ABCD的阴影部分中的〞为事件A，阴影部分的面积为S，那么P(A)＝＝，又由题意，往矩形ABCD投掷1000个点，落在矩形ABCD的阴影部分的点数为1000－400＝600个，所以≈，解得S≈.4.圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25，那么圆C上任意一点A到直线l的间隔小于2的概率为________．答案：解析：由点到直线的间隔公式可得圆心到直线l的间隔为d＝＝5，当圆C上的点到直线l的间隔是2时有两个点为点B与点D，设过这两点的直线方程为4x＋3y＋c＝0，得c＝15，要使圆上点到直线的间隔小于2，即l1：4x＋3y＝15与圆相交所得劣弧上，由圆的半径为2，圆心到直线的间隔为3可知劣弧所对圆心角为，故所求概率为P＝＝.1.甲、乙二人下棋，甲获胜的概率是0.3，甲不输的概率为0.8，那么甲、乙二人下成和棋的概率为________．答案：0.5解析：甲不输即为甲获胜或者者甲、乙二人下成和棋，0.8＝0.3＋P(和棋)，∴P(和棋)＝0.5.2.(2021·高考押题卷)在区间[－1，1]上随机取一个数x，那么cos的值介于0到之间的概率为________．答案：解析：0≤cos≤在区间[－1，1]上的解应满足≤≤和－≤≤－，解得≤x≤1或者者－1≤x≤－.所以0≤cos≤的概率是P＝＝.3.“抛阶砖〞是国外游乐场的典型游戏之一．参与者只须将手上的“金币〞(设“金币〞的半径为1)抛向离身边假设干间隔的阶砖平面上，抛出的“金币〞假设恰好落在任何一个阶砖(边长为的正方形)的范围内(不与阶砖相连的线重叠)，便可获大奖.不少人被高额奖金所吸引，纷纷参与此游戏但很少有人得到奖品，请用所学的概率知识解释这是为什么．分析：在抛阶砖游戏中，首先可以断定此试验为几何概型，我们为了描绘每一次随机试验的结果只需要确定金币圆心O的位置即可，一旦圆心位置确定，只要当圆心O到其最近正方形的各边的间隔大于其半径时，便可获大奖．由此不难想到一种临界状态，就是当金币与正方形的一边相切时，此时圆心O到该边的间隔为1，显然只有当圆心O到最近正方形的各边的间隔大于1时才能获奖，所以假设中奖，金币圆心必位于小正方形区域A内．解：假设中奖，金币圆心必位于以下列图的小正方形区域A内．圆心随机地落在“阶砖〞的任何位置，所以这是一个几何概型．其概率为＝＝≈0.0022.4.正四面体ABCD的体积为V，P是正四面体ABCD的内部的一个点．(1)设“VPABC≥V〞的事件为X，求概率P(X)；(2)设“VPABC≥V〞且“VPBCD≥V〞的事件为Y，求概率P(Y)．分析：首先确定点P的区域，即区域D；然后确定所求的事件中的点所在区域d；分别计算区域D和d 的体积；最后计算所求概率为.解：(1)如图，分别取DA、DB、DC上的点E、F、G，并使DE＝3EA，DF＝3FB，DG＝3GC，并连结EF、FG、GE，那么平面EFG∥平面ABC.当P在正四面体DEFG内部运动时，满足VPABC≥V，故P(X)＝＝＝＝.(2)在AB上取点H，使AH＝3HB，在AC上取点I，使AI＝3IC，在AD上取点J，使AJ＝3JD，那么P在正四面体AHIJ内部运动时，满足VPBCD≥V.设JH交EF于M，JI交EG于N，那么面MIN∥面BCD.结合(1)，当P在正四面体DFEG的内部及正四面体AHIJ的内部运动，也即P在正四面体EMNJ内部运动时，同时满足VPABC≥V且VPBCD≥V，于是P(Y)＝＝＝＝.1.对于几何概型的应用题，关键是将实际问题转化为概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何概型问题，构造出随机事件A对应的几何图形，利用图形的测度来求随机事件的概率．2.分清古典概型与几何概型的关键就是古典概型与几何概型中根本领件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求根本领件有有限个，而几何概型那么是无限个．3.求较复杂的互斥事件的概率，一般有两种方法；一是直接求解法，即将所求事件的概率分解成一些彼此互斥的事件的概率和，分解后的每个事件概率的计算通常为等可能事件的概率计算，这时应注意事件是否互斥，是否完备；二是间接求解法，先求出此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()．假设解决“至少〞、“至多〞型的题目，用后一种方法就显得比较方便．解题时需注意“互斥事件〞与“对立事件〞的区别与联络，搞清楚“互斥事件〞与“等可能性事件〞的差异．请使用课时训练(B)第6课时(见活页)．[备课札记]。
高中数学 第3章《概率》互斥事件(2)导学案 苏教版必修三
江苏省响水中学高中数学 第3章?概率?互斥事件 (2 )导学案 苏教版必修3学习目标：1.进一步理解互斥事件及对立事件的概念、两个互斥事件概率的加法公式 ,会用相关公式进行简单概率计算．2. 能判断某两个事件是否是互斥事件 ,进而判断它们是否是对立事件．教学重点：互斥事件中有一个发生的概率的计算公式．教学难点：能把一个复杂事件的概率计算转化成求其对立事件的概率．课前预习：1、判别以下每对事件是不是互斥事件 ,如果是 ,再判别它们是不是对立事件．从一堆产品 (其中正品与次品都多于2个 )中任取2件 ,其中：(1)恰有1件次品和恰有2件正品；(2)至|少有1件次品和全是次品；(3)至|少有1件正品和至|少有1件次品；(4)至|少有1件次品和全是正品；2、袋中有5个白球 ,3个黑球 ,从中任意摸出4个 ,求以下事件发生的概率：(1 )摸出2个或3个白球； (2 )至|少摸出1个白球； (3 )至|少摸出1个黑球 .3、某单位36人的血型类型是：A 型12人 ,B 型10人 ,AB 型8人 ,O 型6人 ,现从这36人中任选2人 ,求：(1 )两人同为A 型血的概率； (2 )两人具有不相同血型的概率 .4、8个篮球队中有2个强队 ,先任意将这8个队分成两个组 (每组4个队 )进行比赛 ,那么这两个强队被分在一个组内的概率是________ .课堂探究：1．今有标号为1 ,2 ,3 ,4 ,5的五封信 ,另有同样标号的五个信封现将五封信任意地装入五个信封 ,每个信封装入一封信 ,试求至|少有两封信配对的概率 .2．从男女学生共有36名的班级|中 ,任意选出2名委员 ,任何人都有同样的中选时机．如果选得同性委员的概率等于21 ,求男女生相差几名?3. 9个国|家乒乓球队中有3个亚洲国|家队 ,抽签分成甲、乙、丙三组 (每组3队 )进行预赛 ,试求：(1 )三个组各有一个亚洲队的概率； (2 )至|少有两个亚洲队分在同一组的概率 . 技能检测：。
概率几何概型教案(和
概率练习1.指出下列事件是必然事件，还是随机事件，还是不可能事件？(1)5张卡片上各写2，4，6，8，10中的一个数，从中任取一张是偶数；(2)从（1）题的5张中任取一张是奇数；(3)从（1）题的5张卡片中任取一张是3的倍数.2.下列事件中哪些是等可能性事件，哪些不是？(1)某运动员射击一次中靶心与不中靶心；（2）随意抛掷一枚硬币背面向上与正面向上；（3）随意抛掷一只纸可乐杯杯口朝上，或杯底朝上，或横卧；（4）从分别写有1，3，5，7，9中的一个数的五张卡片中任抽1张结果是1或3，或5，或7，或9.3.从装有5个红球和3个白球的袋中任取4个，那么取道的“至少有1个是红球”与“没有红球”的概率分别为与4.某产品出现次品的概率0.05，任意抽取这种产品800件，那么大约有件是次品5.设有甲、乙两把不相同的锁，甲锁配有2把钥匙，乙锁配有1把钥匙，设事件A为“从这3把钥匙中任选2把，打开甲、乙两把锁”，则P（A）＝6．甲、乙、丙三人随意排成一列拍照，甲恰好排在中间的概率（）A．29B.13C.49D.以上都不对7．从1,2,3,4,5的5个数中任取2个，它们的和是偶数的概率是（）A．110B.15C.25D. 以上都不对考点训练：1、下列事件是随机事件的是（）A.两个奇数之和为偶数，B. 某学生的体重超过200千克，C.宁波市在六月份下了雪，D. 三条线段围成一个三角形。
2、下列事件中是等可能性事件有（）件①某运动员射击一次中靶心与不中靶心，②随意抛一枚硬币背面向上与正面向上，③随意投掷一只纸可乐杯杯口朝上或杯底朝上或横卧，④从分别写有1，3，5，7，9中的一个数的五张卡片中任抽1张结果是1或3或5或7或9A. 1件B. 2件C. 3件D. 4件3、设有编号为1到50的50张考签，一学生任意抽取一张进行面授，那么该学生抽到前20号考签的概率是；f4、袋中装有3个白球，2个红球，1个黑球，从中任取1个，那么取到的不是红球的概率是；5、某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：击中靶心的概率的是 ；解题指导： 1、 一次有奖销售活动中，共发行浆券1000张，凡购满100元商品者得奖券一张，这次有奖销售设一等奖1名，奖金500元，二等奖2名，奖金各200元，三等奖10名，奖金各50元，四等奖100名，奖金各10元；（1） 求出奖金总额，并与95折销售相比，说明哪一种销售方法向消费者让利较多； （2） 某人购买100元的商品，他中一等奖的概率是多少？中二等奖的概率是多少？中三等奖的概率是多少？中四等奖的概率是多少？ （3） 某人购买1000元的商品，他中奖的概率是多少？的80%，求投资该项目的期望值。
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§ 几何概型及互斥事件的概率一、知识导学1. 对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型.一般地，在几何区域 Ｄ 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域ｄ内”为事件Ａ，则事件Ａ 发生的概率Ｐ（Ａ）＝ 的测度的测度D d ． 这里要求Ｄ 的测度不为０，其中“测度”的意义依Ｄ 确定，当Ｄ 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等2．互斥事件：不可能同时发生的两个事件.如果事件A 、B 、C ，其中任何两个都是互斥事件，则说事件A 、B 、C 彼此互斥. 当A ，B 是互斥事件时，那么事件A ＋B 发生（即A ，B 中有一个发生）的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和.P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ）.如果事件A 1、A 2、…、A ｎ彼此互斥，那么事件A 1＋A 2＋…＋A ｎ发生（即A 1、A 2、…、A ｎ中有一个发生）的概率，等于这ｎ个事件分别发生的概率的和. 3．对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件.事件A 的对立事件通常记着A .对立事件的概率和等于1.P （A ）＝1－P （A ）4．相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.当A ，B 是相互独立事件时，那么事件A •B 发生（即A ，B 同时发生）的概率，，等于事件A ，B 分别发生的概率的积.P （A •B ）＝P （A ）•P （B ）.如果事件A 1、A 2、…、A ｎ相互独立，那么事件A 1•A 2•…•A ｎ发生（即A 1、A 2、…、A ｎ同时发生）的概率，等于这ｎ个事件分别发生的概率的积.5．独立重复试验如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在ｎ次独立重复试验中这个试验恰好发生ｋ次的概率k n k k n n k P C k P --=)1()(二、疑难知识导析1．对互斥事件、对立事件的理解：从集合角度看，事件A 、B 互斥，就是它们相应集合的交集是空集（如图1）；事件A 、B 对立，就是事件A 包含的结果的集合是其对立事件B 包含的结果的补集（如图2）.“互斥事件”与“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件，因此，对立事件必须是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件.根据对立事件的意义，（A ＋A ）是一必然事件，那它发生的概率等于1，又由于A 与A 互斥，于是有P （A ）＋P （A ）＝P （A ＋A ）＝1，从而有P （A ）＝1－P （A ）.当某一事件的概率不易求出或求解比较麻烦，但其对立事件的概率较容易求出时，可用此公式，转而先求其对立事件的概率.2．对相互独立事件的理解：相互独立事件是针对两个事件而言的，只不过这两个事件间的关系具有一定的特殊性，即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响.若A 、B 两事件相互独立，则A 与B 、A 与B 、A 与B 也都是相互独立的.3．正确理解A •B 与A ＋B 的关系：设A 、B 是两个事件，则A •B 表示这样一个事件，它的发生表示A 与B 同时发生；而A ＋B 表示这一事件是在A 或B 这两个事件中，至少有一个发生的前提下而发生的.公式P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ）与P （A •B ）＝P （A ）•P （B ）的使用都是有前提的.一般情况下，P （A ＋B ）＝1－P （B A +）＝P （A ）＋P （B ）－P （A •B ）它可用集合中的韦恩图来示意.三、经典例题导讲［例1］ 从0,1，2,3这四位数字中任取3个进行排列，组成无重复数字的三位数，求排成的三位数是偶数的概率.错解：记“排成的三位数是偶数”为事件A ，P （A ）＝342312A A A ＝21. 错因:上述解法忽略了排成的三位数首位不能为零.正解：记“排成的三位数的个位数字是0”为事件A ，“排成的三位数的个位数字是2”为事件B ，且A 与B 互斥，则“排成的三位数是偶数”为事件A ＋B ，于是P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ）＝231323A A A ＋23132212A A A A ＝95. [例2] 从1,2，3，…,100这100个数中，随机取出两个数，求其积是3的倍数的概率. 错解：从1,2，3，…,100这100个数中，随机取出两个数，其积是3的倍数，则须所取两数至少有一个是3的倍数. 记事件A 为任取两整数相乘为3的倍数，则P （A ）＝50332100199133=C C C 错因: 这里相关的排列组合问题没有过关.正解：基本事件数有2100C 种.在由1到100这100个自然数中，3的倍数的数组成的集合M 中有33个元素，不是3的倍数组成的集合N 中有67个元素，事件A 为任取两整数相乘为3的倍数，分两类：（1）取M 中2个元素相乘有233C 种；（2）从集合M 、N 中各取1个元素相乘有167133C C 种.因为这两类互斥，所以P （A ）＝150832100167133233=+C C C C . [例3] 在房间里有4个人，问至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少？解：由于事件A “至少有两个人的生日是同一个月”的对立事件A 是“任何两个人的生日都不同月”.因而 至少有两个人的生日是同一个月的概率为：P （A ）＝1－P （A ）＝1－441212A ＝1－96419655=. [例4] 某单位6名员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是（相互独立）.求（1）至少3人同时上网的概率；（2）至少几人同时上网的概率小于？解：（1）至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率，即1－6065.0C －6165.0C －6265.0C ＝1－3221641561=++. （2）6人同时上网的概率为6415.0666=C ＜； 至少5人同时上网的概率为6665.0C ＋6475.0656=C ＜； 至少4人同时上网的概率为6665.0C ＋6565.0C ＋32115.0646=C ＞. 故至少5人同时上网的概率小于.说明：本题是2022年全国高考新课程卷试题，以互联网为题设的背景，有很强的时代气息.所提出的问题（至少几人同时上网）难度适当，切合考生的实际.解答时应具备适度的逻辑思维能力，体现了以素质和能力为考查重点的试题设计理念.[例5]设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为、，求：（1）目标恰好被甲击中的概率；（2）目标被击中的概率.解：设事件A 为“甲击中目标”，事件B 为“乙击中目标”.由于甲、乙两射手独立射击，事件A 与B 是相互独立的，故A 与B 、A 与B 也是相互独立的.（1）目标恰好被甲击中，即事件A B 发生.P （A ·B ）＝P （A ）×P （B ）＝×（1－）＝.∴目标恰好被甲击中的概率为.（2）目标被击中即甲、乙两人中至少有1人击中目标，即事件A ·B 、A ·B 、A ·B 发生.由于事件A ·B 、A ·B 、A ·B 彼此互斥， 所以目标被击中的概率为 P （A ·B ＋A ·B ＋A ·B ）＝P （A ·B ）＋P （A ·B ）＋P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ）＋P （A ）·P （B ）＋P （A ·B ）＝×＋×＋×＝.评注：运用概率公式求解时，首先要考虑公式的应用前提.本题（2）也可以这样考虑：排除甲、乙都没有击中目标.因为P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ）＝×＝.所以目标被击中的概率为1－P （A ·B ）＝1－＝.[例6]（06年高考四川）某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格” ，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为，，；在实验考核中合格的概率分别为，，，所有考核是否合格相互之间没有影响.（1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（2）求这三人课程考核都合格的概率.（结果保留三位小数）解： 记“甲理论考核合格”为事件A 1，“乙理论考核合格”为事件A 2，“丙理论考核合格”为事件A 3，“甲实验考核合格”为事件B 1，“乙实验考核合格”为事件B 2，“丙实验考核合格”为事件B 3.（1）记“理论考核中至少有两人合格”为事件C.则P （C ）＝P （A 1 A 2 3A ＋A 1 2A A 3＋1A A 2 A 3＋A 1 A 2 A 3）＝P （A 1 A 2 3A ）＋P （A 1 2A A 3）＋P （1A A 2 A 3）＋P （A 1 A 2 A 3）＝××＋××＋××＋××＝（2）记“三人该课程考核都合格”为事件D.则P （D ）＝P ［（A 1·B 1）·（A 2·B 2）·（A 3·B 3）］＝P （A 1·B 1）·P （A 2·B 2）·P （A 3·B 3）＝P （A 1）·P （B 1）·P （A 2）·P （B 2）·P （A 3）·P （B 3）＝×××××≈所以，理论考核中至少有两人合格的概率为；这三人该课程考核都合格的概率为。
四、典型习题导练1． 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．至少有1个黑球，都是黑球B ．至少有1个黑球，至少有1个红球C ．恰有1个黑球，恰有2个红球D ．至少有1个黑球，都是红球2． 取一个边长为２a 的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率．3．某小组有男生6人，女生4人，现从中选出2人去开会，求至少有1名女生的概率. 4．设有编号分别为1,2，3,4，5的五封信，另有同样编号的五个信封，现将五封信任意装入五个信封，每个信封装入一封信，试求至少有两封信配对的概率.5．某班级有52个人，一年若按365天计算，问至少有两个人的生日在同一天的概率为多大？6．九个国家乒乓球队中有3个亚洲国家队，抽签分成甲、乙、丙三组（每组3队）进行预赛，试求：（1）三个组各有一个亚洲国家队的概率；（2）至少有两个亚洲国家队分在同一组的概率.。