对称性和守恒律
量子力学中的对称性与守恒定律
量子力学中的对称性与守恒定律量子力学是现代物理学的一大支柱,它描述了微观世界的行为规律。
在量子力学中,对称性与守恒定律是两个非常重要的概念。
本文将深入探讨量子力学中的对称性与守恒定律,并分析它们在物理学中的应用。
首先,让我们来了解一下对称性在量子力学中的意义。
对称性是指某个系统在某种变换下保持不变的性质。
在量子力学中,对称性扮演着非常重要的角色,它不仅能够帮助我们理解物理现象,还能够简化问题的求解过程。
量子力学中常见的对称性包括平移对称性、旋转对称性和时间平移对称性等。
平移对称性是指系统在空间中的平移下保持不变。
在量子力学中,平移对称性导致了动量的守恒定律。
根据量子力学的基本原理,一个粒子的动量是与其波函数的相位相关的。
如果系统具有平移对称性,那么它的波函数在空间平移下不发生变化,从而导致动量守恒。
这一定律在许多物理现象中都得到了验证,如粒子在势场中的运动以及粒子的碰撞等。
旋转对称性是指系统在空间中的旋转下保持不变。
在量子力学中,旋转对称性导致了角动量的守恒定律。
角动量是描述物体旋转状态的物理量,它与系统的对称性密切相关。
如果系统具有旋转对称性,那么它的波函数在空间旋转下不发生变化,从而导致角动量守恒。
这一定律在原子物理学中得到了广泛应用,如电子在原子轨道中的运动以及原子核的自旋等。
时间平移对称性是指系统在时间平移下保持不变。
在量子力学中,时间平移对称性导致了能量的守恒定律。
能量是系统的重要属性,它与系统的稳定性和演化规律密切相关。
如果系统具有时间平移对称性,那么它的波函数在时间平移下不发生变化,从而导致能量守恒。
这一定律在许多物理过程中得到了验证,如粒子的衰变过程以及能量传递等。
除了上述常见的对称性与守恒定律外,量子力学中还存在一些特殊的对称性与守恒定律。
例如,粒子统计对称性与粒子数守恒定律是量子力学中的重要概念之一。
根据粒子的统计性质,量子力学将粒子分为玻色子和费米子两类。
玻色子遵循玻色-爱因斯坦统计,而费米子遵循费米-狄拉克统计。
量子力学中的对称性与守恒律
量子力学中的对称性与守恒律量子力学是描述微观世界的一种物理理论,它在20世纪初由一系列科学家共同发展而成。
在量子力学中,对称性与守恒律是两个重要的概念,它们在理论和实验研究中起着重要的作用。
对称性在物理学中具有重要的地位。
在量子力学中,对称性可以分为空间对称性、时间对称性和内禀对称性。
空间对称性指的是物理系统在空间变换下保持不变,例如物理系统的哈密顿量在空间变换下保持不变。
时间对称性指的是物理系统在时间变换下保持不变,例如物理系统的演化算符在时间反演下保持不变。
内禀对称性指的是物理系统在内部变换下保持不变,例如粒子的自旋。
对称性在量子力学中的应用非常广泛。
首先,对称性可以帮助我们简化物理系统的描述。
通过对称性分析,我们可以找到系统的守恒量,从而简化哈密顿量的形式。
例如,如果一个物理系统具有空间平移对称性,我们可以得到动量守恒定律。
如果一个物理系统具有时间平移对称性,我们可以得到能量守恒定律。
其次,对称性还可以帮助我们预测新的物理现象。
例如,根据内禀对称性的理论,科学家预测了反应堆中的中微子振荡现象,并通过实验证实了这一理论。
此外,对称性还可以帮助我们理解量子态的性质。
例如,根据电荷守恒的对称性,我们可以推导出电荷守恒定律,并解释为什么电子和正电子总是以对的方式产生和湮灭。
守恒律是量子力学中的另一个重要概念。
守恒律指的是物理系统在演化过程中某个物理量的守恒。
在量子力学中,守恒律可以通过对称性来推导。
例如,如果一个物理系统具有空间平移对称性,那么动量就是守恒量。
如果一个物理系统具有时间平移对称性,那么能量就是守恒量。
守恒律在量子力学中具有广泛的应用。
例如,电荷守恒定律、能量守恒定律和动量守恒定律都是守恒律的具体表现。
这些守恒定律在物理学中起着重要的作用,它们帮助我们理解物理现象的本质,并且可以用于解释实验结果。
除了对称性和守恒律外,量子力学中还有一些其他重要的概念。
例如,量子态、测量和量子纠缠等。
量子态用于描述量子系统的状态,它可以是一个波函数或一个密度矩阵。
理论物理中对称性与守恒定律的关系
理论物理中对称性与守恒定律的关系在理论物理中,对称性与守恒定律是两个核心概念。
对称性描述了系统在某些变换下保持不变的性质,而守恒定律则说明了系统在各种变化中某些物理量的不变性。
这两个概念之间存在着密切的关系,对称性的存在导致了守恒定律的存在,反之亦然。
本文将深入探讨对称性与守恒定律的关系。
首先,让我们来了解对称性的概念。
对称性可以简单地理解为某种变换下系统保持不变的性质。
在物理学中,常见的对称性有平移对称性、旋转对称性、时间平移对称性和粒子对称性等。
平移对称性指的是系统在空间中的平移下保持不变,旋转对称性指的是系统在空间中的旋转下保持不变,时间平移对称性指的是系统在时间上的平移下保持不变,而粒子对称性指的是系统在粒子交换下保持不变。
对称性在物理学中起着非常重要的作用。
与对称性相关联的是守恒定律。
守恒定律描述了系统在各种变化中某些物理量守恒的性质。
守恒定律可以用数学表达式表示为:某一物理量的变化率等于该物理量进入与离开系统的流量之差。
根据对称性的不同,我们可以得到不同的守恒定律。
首先,根据时间平移对称性,我们可以得到能量守恒定律。
能量守恒定律指的是系统的能量在时间上保持不变。
这是因为系统的物理规律在时间上的不变性导致的。
无论系统中发生了怎样的能量转化,总能量的变化率始终为零,能量守恒得到维持。
其次,根据空间平移对称性,我们可以得到动量守恒定律。
动量守恒定律指的是系统的动量在空间上保持不变。
这是因为系统的物理规律在空间上的不变性导致的。
无论系统中的物体如何运动,总动量的变化率始终为零,动量守恒得到维持。
此外,根据空间旋转对称性,我们可以得到角动量守恒定律。
角动量守恒定律指的是系统的角动量在空间上保持不变。
这是因为空间旋转对称性导致的。
无论系统中的物体如何旋转,总角动量的变化率始终为零,角动量守恒得到维持。
最后,根据粒子对称性,我们可以得到电荷守恒定律。
电荷守恒定律指的是系统中的总电荷量在粒子交换下保持不变。
粒子物理学中的对称性与守恒定律
粒子物理学中的对称性与守恒定律粒子物理学是研究物质的最基本组成部分和相互作用的学科。
在这个领域中,对称性与守恒定律是非常重要的概念。
对称性指的是在某种变换下,系统的性质保持不变;而守恒定律则是指物理量在时间和空间上的变化率为零。
一、对称性在粒子物理中的重要性对称性是粒子物理学中一项基本原则。
根据量子力学和相对论的理论基础,我们知道,自然界的基本定律应该具有某种形式的对称性。
首先是空间对称性,即物理系统的性质在空间位置的变换下保持不变。
例如,相对论性量子场论中的拉格朗日量具有洛伦兹对称性,这意味着在任何洛伦兹变换下,物理定律保持不变。
其次是时间对称性,即物理系统的性质在时间演化的过程中保持不变。
例如,量子力学中的薛定谔方程描述的系统具有时间反演对称性,即系统在时间反演下的演化与正常的时间演化完全一致。
还有内禀对称性,即系统在某种内部变换下保持不变。
例如,电荷守恒定律是电荷在整个物理过程中都保持不变的内禀对称性。
二、粒子物理中的守恒定律在粒子物理学中,守恒定律描述了一系列重要的物理量在物理过程中的守恒。
这些守恒定律为粒子物理学的研究和实验提供了重要的基础。
首先是能量守恒定律。
能量是物理过程中最基本的物理量之一,根据能量守恒定律,能量在物理过程中总是守恒的。
例如,在粒子碰撞实验中,总能量守恒可以用来解释反应产物的能量分布。
其次是动量守恒定律。
动量是描述物体运动状态的物理量,根据动量守恒定律,系统中所有粒子的总动量在物理过程中保持不变。
例如,在高能碰撞实验中,通过测量反应产物的动量可以对碰撞发生前的粒子进行研究。
还有角动量守恒定律和电荷守恒定律。
角动量守恒定律描述了系统中所有粒子的总角动量在物理过程中保持不变,而电荷守恒定律描述了系统中电荷的总量保持不变。
这些守恒定律在研究物质的性质和相互作用时起着至关重要的作用。
三、对称性与守恒定律的关系对称性与守恒定律之间存在密切的关系。
根据诺特定理,守恒定律可以由系统的对称性得出。
力学分析中的对称性和守恒律阅读笔记
《力学分析中的对称性和守恒律》阅读笔记目录一、力学分析中的对称性 (2)1. 对称性的概念及重要性 (3)2. 空间对称性与平移对称性 (3)3. 时间对称性与旋转对称性 (4)4. 对称性原理在力学问题中的应用 (6)二、守恒定律 (7)1. 动量守恒定律 (8)1.1 定义与表达式 (10)1.2 应用案例 (10)2. 机械能守恒定律 (12)2.1 定义与表达式 (13)2.2 应用案例 (14)3. 能量守恒定律 (15)3.1 定义与表达式 (17)3.2 应用案例 (17)4. 热力学第一定律与第二定律 (18)4.1 定义与表达式 (20)4.2 应用案例 (21)三、对称性与守恒律在力学问题求解中的应用 (22)1. 利用对称性简化问题 (24)2. 利用守恒定律解决问题 (24)3. 对称性与守恒律的综合应用 (26)四、总结与展望 (27)1. 对称性与守恒律在力学分析中的重要性 (28)2. 未来研究方向与应用前景 (29)一、力学分析中的对称性在力学领域,常见的对称性包括空间对称性、时间对称性以及物理量的对称性。
空间对称性主要是指物理系统在空间变换下的不变性,如平移和旋转。
时间对称性则涉及到物理系统在时间反演下的不变性,物理定律在时间上的对称性,即物理过程在时间的正向和逆向演化中保持一致。
而物理量的对称性则涉及到物理量的守恒定律,如动量守恒、能量守恒等。
在力学分析中,对称性的应用十分广泛。
在处理复杂的机械系统时,我们可以通过分析其对称性质来简化问题。
通过识别并应用对称性,我们可以将复杂的物理问题简化为更容易解决的形式,从而更有效地找出系统的运动规律和解决策略。
对称性也可以帮助我们理解物理系统的稳定性和动态行为,在某些对称性的条件下,我们可以预测系统的稳定状态,并理解其运动轨迹。
对称性是力学分析中的一个重要工具,它不仅可以帮助我们理解和解决复杂的物理问题,还可以揭示物理系统的本质和潜在规律。
数学与物理的奇妙融合——对称与守恒
数学与物理的奇妙融合——对称与守恒物理学家杨振宁(1922-)先生认为,20世纪物理学有三大主旋律:量子化、对称与相位因子.关于对称性,伟大的德国女数学家,有着“代数学女王”之称的艾米˙诺特(E.Noether,1882-1935)认为:“物理体系的每一个连续的对称变换,都对应于一个守恒定律”,这就是著名的诺特定理.大自然中处处有对称,对称性很早就是物理学研究的指导原则.对称原本是数学的概念,守恒则是物理定律,诺特定理却揭示二者之间存在紧密而奇妙的联系.本讲将介绍物理学中的对称性与守恒律.主要内容分三部分:第一部分介绍对称性与守恒律之间的联系;第二部分通过拉格朗日函数的变分,将力学系统的运动规律表述为“最小作用量原理”;第三部分则通过考察作用量的三种对称性,导出物理学中的三大守恒定律:(1)由“时间平移对称性”推导“能量守恒定律”;(2)由“空间平移对称性”推导“动量守恒定律”;(3)由“空间旋转对称性”推导“角动量守恒定律”.这一讲,通过对称性与守恒律在数学和物理角度的分别诠释,我们可以更加深入体会到数学语言在物理中的运用,并进一步了解数学与物理之间分分合合的关系:二者都源于哲学,曾经一度分家,到了现代,又产生了密不可分的联系.作为科学上最重要的两个分支,数学与物理互相促进、相辅相成.第1节 对称性与守恒律1.1 对称与群人们很早就注意到我们生活的这个世界充满了对称性,并对之加以探究,早在古希腊、古罗马以及古代中国,都有关于对称概念的研究记载.简单来说,对称性就是“变中有不变”,即在某种变换下保持不变的性质. 1872年,德国数学家克莱因(F.C.Klein ,1849-1925)在埃尔朗根大学的就职演说中提出了著名“埃尔朗根纲领”,将19世纪及之前的几何学概括为“研究在某种变换群下保持不变性质和不变量的学科”.例如,欧氏几何研究的是在刚体变换下保持不变性质的几何学,其变换群是正交矩阵群;仿射几何研究的是在仿射变换下保持不变性质的几何学,其变换群是一般线性群.例1(平面上的刚体变换)平面上的一点(,)x y 经过平移和旋转的刚体变换到另一点(,)x y '',则有如下的对应关系00'cos sin 'sin cos x x x y y y θθθθ−⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 例2(平面上的仿射变换)平面上的一点(,)x y 经过仿射变换到另一点(,)x y '',则有如下的对应关系011121112021222122',0'x a a a a x x y a a a a y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.研究对称性最重要的数学工具就是群论——抽象代数的一个重要分支,群的概念在第2讲中已有详细介绍.群的发明来源于法国数学家伽罗瓦(É. Galois ,1811-1832)对一元n (5)n ≥次代数方程是否可以根式求解问题的研究.早在古巴比伦时期,一元一次和二次方程求根问题就已经解决,并有一元二次方程的求根公式.16世纪意大利的数学家给出了一元三次方程和四次方程的求根公式,但是,此后人们在长达300多年内寻求高于四次方程的求根公式均以失败告终.至19世纪上半叶,“求代数方程的根”一直是古典代数学的中心问题,直到伽罗瓦证明了:一元n 次代数方程能用根式求解的一个充分必要条件是该方程的伽罗瓦群为可解群.作为这个结果的一个推论是:对应于一般形式的n 次代数方程的伽罗瓦群,只有当 1,2,3,4时才是可解群.因此,五次及五次以上代数方程不存在求根公式.所谓伽罗瓦群是指由方程的根的置换群中保持方程根的以“基本域”中的元素为系数的全部代数关系不变的置换构成的子群.可解群可作如下简单解释:由群中元素的换位子11[,]a b aba b −−=全体生成的子群,即换位子群,而换位子群的换位子全体又可以生成一个新的子群……,若经过有限次成为只含幺元的幺群,则此群称为可解群.图1. 伽罗华1.2 对称性与守恒律 物理系统中常见的对称性有时间平移对称性、空间平移对称性和空间旋转对称性等;物理系统常见的守恒律有能量守恒定律、动量守恒定律和角动量守恒定律等,对称性与守恒律有着千丝万缕的联系.德国著名女数学家艾米·诺特是抽象代数的开创者,她被爱因斯坦赞誉为“最伟大的女数学家”.艾米·诺特是从数学及物理上阐明了对称性与守恒律的联系的第一人,她在1918年发表的题为《变分问题的不变量》的论文中提出了著名的“诺特定理”:物理系统的每一个连续的对称变换,都对应于一个守恒定律.1926年,美国物理学家维格纳(E.P.Wigner,1902-1995)还提出了宇称守恒定律,想把对称性和守恒律的关系进一步推广到微观世界.所谓“宇称”,是指一种粒子之间互为镜像,粒子的运动是相同的.但在1956年,美籍华裔物理学家李政道(1926-)和杨振宁在深入细致地研究了各种因素之后,提出“在弱相互作用下宇称不是守恒的”,美籍华裔实验物理学家吴健雄(1912-1997)则通过一个巧妙的钴60衰变实验验证了“宇称不守恒”.李政道和杨振宁因此获得1957年的诺贝尔物理学奖,成为首次获得该奖项的华裔科学家.图2. 诺特与《代数学》例3(开普勒第二定律与角动量守恒)在第8讲中的开普勒行星第二运动定律(即面积律),本质上反映了太阳-行星系统的角动量守恒. 事实上,由面积律,我们知道212r A θ≡(常数),而行星运动时的线速度0()()lim t r t t r t v t∆→+∆−=∆,则角动量的大小为 2200()[()()]lim lim t t r t r r t t r t r v r t t θθ∆→∆→∆⨯+∆−⨯===∆∆.诺特定理直观的理解就是:每一种对称性都对应一个守恒律.例如,时间平移对称性对应能量守恒定律;空间平移对称性对应动量守恒定律;空间旋转对称性对应角动量守恒定律.这个定理培育出了物理学家的一种思维习惯:只要发现一种新的对称性,就要去寻找相应的守恒律;反之,只要发现了一条守恒律,也总要把相应对称性找出来,下面是一个对称性与守恒定律及使用范围的关系表. 对称性守恒定律 使用范围 时间平移能量守恒 完全 空间平移动量守恒 完全 空间旋转角动量守恒 完全 镜像反射宇称守恒 弱作用中破缺 电荷规范变换电荷守恒 完全 重子规范变换重子数守恒 完全 轻子规范变换 轻子数守恒 完全1.3 自发对称破缺自然规律的确具有某种对称性,对称使得万物和谐、均衡,但对称中也潜藏着不对称,对称中的不对称使得事物变得生机、灵动.五彩缤纷的大自然中,无处不有对称与不对称,物理学也是如此.物理规律的某种对称性表现在真实世界的具体现象时,却不是对称的,这一看起来似乎很简单的现象,却曾经使得科学家困惑多年.“自发对称破缺”的理论给予了解释.“自发对称破缺”作为专业术语,常常被人们用一个简单的例子解读,例如,一支铅笔竖直立在桌子上,按照物理定律,铅笔所受的力在四面八方都是对称的,及满足旋转对称性,因此铅笔向任何一个方向倒下的概率都应该相等.但是,铅笔最终只会倒向一个方向,倒下之后,铅笔原有的对称性就被破坏掉,而这种破坏是铅笔自身发生的,因此被称为“自发对称破缺”.20世纪60年代中期,科学家们通过对数学物理理论的研究,预言了一种名为希格斯粒子的基本粒子,这与上述的“自发对称破缺”这一术语相关.2012年,希格斯粒子被欧洲核子中心发现,与此相关的研究获得了2013年的诺贝尔物理学奖.事实上,物理学家经过多年的研究,提出了关于物质世界的组成的“标准模型”,在这个“标准模型”中,物质的本源来自四种基本力:引力、电磁力、弱力和强力,以及61种基本粒子,其中包括36种夸克,12种轻子,8中胶子,2种W粒子,另外还有Z粒子、光子以及希格斯粒子.希格斯粒子是“标准模型”中最后被发现的粒子,被称为“上帝粒子”.“标准模型”成功地统一了除了引力以外的三种力,并且基本精确地解释了与三种力有关的所有实验事实.物理学家用“自发对称破缺”的概念来研究基本粒子和场,认为它们遵循某种“规范对称性”,希格斯粒子的发现证明了“标准模型”基本正确.在微观世界里,基本粒子有三种基本的对称方式:(1)电荷(C)对称(共轭对称):对于粒子和反粒子,物理定律是相同的.(2)宇称(P)对称(空间反射对称):互为镜像的同一种粒子的运动规律相同.(3)时间(T)对称(时间反演对称):如果颠倒粒子的运动方向,则粒子的运动是相同的.高能物理实验告诉我们,对于粒子世界的物理规律,以上3种对称性全部破缺,世界从本质上被证明了是不完美的、有缺陷的.因此,可以认为我们这个五彩缤纷的物质世界,包括人类自身,都是对称性的细微破缺留下的遗迹.第2节 最小作用量原理2.1 拉格朗日函数我们描述系统中的N 个点的位置信息需要3N 个坐标,当增加约束时,这个系统的自由度便会降低.所谓自由度,指的是能够完全描述某一物理系统状态的相互独立的最少变量个数,当增加某些约束时,会使其中某些变量不再相互独立,导致自由度降低.为了研究问题方便,我们要引进广义坐标系统.s 个自由度的系统可以用s 个独立变量1,,s q q 和变量的变化率1,,s q q 以及时间t 的函数()()11,,,,,,,,s s L q q t L q q q q t =来表示,称之为拉格朗日函数,拉格朗日函数对于时间的积分()21,,t t S L q q t dt =⎰即为作用量. 最小作用原理指的是物理系统的真实运动轨迹是使作用量达到最小的轨迹.据此可以推导出著名的欧拉-拉格朗日方程.例4(费马原理)光学中的费马原理指的是:光的轨迹总是遵循使光程B A nds ⎰(其中n 是介质的折射率)取极值的轨迹.根据费马定理,可以推导出光传播的三大规律——光的直线传播定律、反射定律和折射定律,包含了几何光学的主要内容.这其实很有趣:光是没有脑子的,但它走的总是最省时间的路.斯奈尔折射定律的内容是:设一道光线从一点A 以速度1v 、入射角1α进入较密媒质后以较低速度2v 、折射角2α 到达点B ,则有1212sin sin v v αα=. 例5(最速降线问题)伽利略在1630年提出一个分析学的基本问题——一个质点在重力作用下从一个给定点到不在它垂直下方的另一点,如果不计摩擦力,沿什么曲线滑下所需时间最短?伽利略错误的认为这曲线是个圆.瑞士数学家约翰·伯努利在1696年再次提出这个最速降线问题,次年(1697年)已有多位数学家得到正确答案,其中包括牛顿、莱布尼兹、洛必达以及雅可比·伯努利与约翰·伯努利兄弟.其中,牛顿、莱布尼兹、洛必达利用的是微积分的方法,雅可比·伯努利的方法虽然比较繁琐,但其中孕育了变分法的思想,约翰·伯努利的方法似乎缺乏根据但十分简明.约翰·伯努利采用费马最小时间原理,将质点在重力场中的运动类比于光线在介质中的传播,得到最速降线问题中的路径所需满足的微分方程.假设质点沿从点A 滑行到点B 的路径,所需时间最短.从光学的原理得出,sin vα=常数. 根据能量守恒定律,质点在一定高处的速度,完全由其到达该高处所损失的势能确定,而与所经过的路径无关,从而,有2v gy =.由几何关系,还可以得到 221sin cos sec 1tan 1()y αβββ===='++ 将上述三式结合起来,得到2[1()]().y y c '+=常数这就是最速降线所满足的常微分方程.解此微分方程,可以得到(sin ),(1cos ).x a y a θθθ=−=− 这是旋轮线(也称摆线)的标准方程,而最速降线问题的正确答案就是连接两点上凹的唯一一段旋轮线(即倒置的摆线).1673年,惠更斯(C.Huygens ,荷兰,1629~1695)证明了旋轮线是摆线.因为钟摆做一次完全摆动所用的时间相等,所以摆线又称等时曲线.雅可比·伯努利的方法则接近于现代的变分法思想.以变分法的思想,最速降线问题应该是一个求泛函极值的问题,其数学表达如下:()()()()2121121'min min '22x x y x y x y x v J dx y y x g g αα+⎛⎫==− ⎪−⎝⎭⎰. 这个数学问题的正确的解答也是倒置的摆线图3. 最速降线问题与摆线 作用量在数学上被称为泛函,即“函数的函数”,而最小作用原理从数学角度来说是研究泛函的极值,而要计算泛函的极值,需要运用变分法,变分法可以理解为微分法的推广.微分法研究自变量的改变对于函数值的影响,而泛函中是将函数映射为一个实数,可以把这里的函数类比微分中的自变量,本质思想是相同的.变分法是研究泛函的极值方法.1756年,欧拉在论文中将变分法正式命名为“the calculus of variation ” .1760年,拉格朗日引入变分的概念,在纯分析的基础上建立变分法。
5-4 对称性 对称性与守恒律
对称性
•
对称性ห้องสมุดไป่ตู้守恒律
一、关于对称性
在远古不同的文化里都有对称的观念,以后又渗透到各种不 同的人类活动之中,包括绘画、雕塑、音乐、文学、建筑等等。 对称的观念是如何进入到科学里面来的呢?可以讲得很清 楚的希腊,希腊人觉得对称是最高的原则,而什么东西是最对 称的呢?是圆。所以他们就认为,世界上主宰一切的最高的原 则,是以圆和球来做最后决定的。虽然结果并不成功,可是他 们的精神里面有很重要的正确方向。在物理学中对称的观念是 1905-1907年由爱因斯坦引进的,可是最初它对于物理学的重 要性并没有被大家所认识,从1925-1970年,对称的观念渐渐 成为一个主旋律(20世纪有三个主要旋律:量子化、对称、相 位因子)。1925年量子力学发展起来以后,有一些数学修养比 较高的物理学家就把数学里面非常美妙的一个观念叫做群论引 入到物理学里,这对20年代、30年代、40年代分子物理学、原 子物理学乃至以后的原子核物理学都起了决定性的作用。
(a)
(b)
个与之等价的状态,或者说,状态在此操作下不变,我们就说 这系统对于这一操作是“对称的”,而这个操作叫做这系统的 一个“对称操作”。例如图(a)中那个圆(不考虑上面的记号) 对于围绕中心旋转任意角度的操作来说都是对称的;或者说, 旋转任意角度的操作都是这圆的对称操作。如果我们在圆内加 一对相互垂的直径(如图b),这个系统的对称操作就少多了。 转角必须是90°的整数倍,操作才是对称的。由此可见,图 (b)中的图形要比单纯一个圆的对称性少多了。
以上关于“对称性”的普遍定义,是德国大数学家魏尔 (H.Weyl)首先提出来的。最常见的对称操作是时空操作。
在物理学中讨论对称性问题时,要注意区分两类不同性质 的对称性,一类是某个系统或某件具体事物的对称性,另一类 是物理规律的对称性。由两质点组成的系统具有轴对称性,属 于前者;牛顿定律具有伽利略变换不变性,则属于后者。
2020年高中物理竞赛(力学篇)02运动、力学定律:对称性和守恒定律(共20张PPT)
r
U
f AB
(r)
r
B B B
U U
fBA f AB
A r A A
三、时间平移对称性与机械能守恒律
时间平移的对称性意味着时间的均匀性,表示系统 的势函数与时间无关,这将导致能量守恒。
讨论一维情况: EP x, t t E p( x, t)
对两个粒子的保守系统有:
EP x1, x2, t t Ep(x1, x2, t)
用泰勒级数展开
EP x1,
x2, t
t
E p ( x1 ,
x2, t)
EP t
t
高次项
EP x1,
x2, t
t
E p ( x1 ,
x2, t)
E P t
t
高次项
上式中必有:EP 0 t
考虑动能和势能可推导出
dEP 0 dt
E 常数
如果系统对于时间平移是对称的,那么系统
的能量一定守恒。——能量守恒定律
x r sin cos y r sin sin z r cos
o
r
P
x
m
2x t 2
E p x
m
2 y t 2
E p y
y
EP
t
Lz
m
2z t 2
E p z
Ep具有旋转不变性,即与φ无关
EP 0
t Lz 0
Lz 常量
空间旋转对称性意味着空间旋转一个角度,系
统势函数保持不变,必然导致角动量守恒。
系统
外界
孤立系统 封闭系统 开放系统
n
外力 F Fi
i1
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内力 fij f ji
量子力学中的对称性与守恒定律
量子力学中的对称性与守恒定律量子力学是描述微观世界的物理学理论,它主要研究微观粒子的行为和性质。
在量子力学中,对称性和守恒定律是十分重要的概念,它们不仅帮助我们理解微观世界的规律,还对于解释和预测自然现象都起到了关键作用。
本文将对量子力学中的对称性与守恒定律进行论述。
1. 对称性在量子力学中的作用对称性在物理学中具有重要的地位,它可以帮助我们理解自然界中的各种现象。
在量子力学中,对称性可以通过算符的变换来描述。
对称性的存在意味着系统在某些变换下保持不变,这些变换可以是平移、旋转、粒子交换等。
不同的对称性对应着不同的物理规律和守恒量。
2. 空间对称性与动量守恒定律空间平移对称性是量子力学中的重要对称性之一。
根据诺特定理,一个系统的平移不变性对应着动量的守恒,即动量守恒定律。
在量子力学中,动量被表示为动量算符,根据平移算符的性质,能量本征态同时也是动量本征态,从而推导出动量守恒的数学表达式。
3. 时间对称性与能量守恒定律时间平移对称性是量子力学中另一个重要的对称性。
根据诺特定理,一个系统的时间平移不变性对应着能量的守恒,即能量守恒定律。
在量子力学中,能量被表示为能量算符,根据时间平移算符的性质,能量本征态同时也是时间本征态,从而推导出能量守恒的数学表达式。
4. 粒子交换对称性与电荷守恒定律粒子交换对称性是量子力学中独特的对称性。
根据粒子交换的性质,不同种类的粒子在交换后会得到正负符号不同的波函数。
通过对称性的研究,我们可以得出守恒定律,例如电荷守恒定律。
在量子力学中,电荷被表示为电荷算符,根据粒子交换算符的性质,电荷守恒可以被推导出来。
5. 空间反演对称性与正负宇称守恒空间反演对称性是又一种重要的对称性。
根据空间反演的性质,物理过程在空间反演后会得到相反的结果。
通过对称性的研究,我们可以得出守恒定律,例如正负宇称守恒。
正负宇称守恒与粒子的手性和反粒子的存在有关,通过对称性的分析可以得到这一守恒定律的数学表达式。
对称性和守恒律
对称性和守恒律概念及其重要性对称性(Symmetry)与守恒律(Conservation Law)是物理学中最重要的概念之一,它们有助与我们理解和描述这个宇宙的运行机制。
对称性是物理学上的一种基本假设,指的是存在着外界因素(如时间、空间、组织、排列、颜色)的变化,使得一个模式具有重叠性,称为对称性。
而守恒律指的是一个物理量的大小是不变的,只有根据特定的定律允许存在一定的变化,而不存在消失或诞生的情况。
质量守恒律质量守恒律是物理变换过程中最重要的守恒律之一,它表明量子物理中物质的平衡性,即物质总量保持不变,任何形式的物质是可以通过相互转换得到的。
质量守恒的定义是:质量的总量在物理变换的过程中不会变化,因此在化学反应中反应前后物质的总量是一致的。
电量守恒律电量守恒律是物理变化过程中另一个重要的守恒律,其定义是:在带电粒子运动的物理变化过程中,电子、正电子等电荷总量保持不变,不发生增减。
换言之,任何形式的电荷,只要经过合理计算,都是可以表示为电荷量的,从而可以被计算出来。
动量守恒律动量守恒律是物理变换过程中的另一个守恒律,其定义是:在物理变化的过程中,物质所携带的动量是守恒的,即动量总量保持不变。
动量守恒律是物理变换中最重要的守恒律之一,它表明,在无外力作用的情况下,物体的运动状态是恒定的,物质的动量不会发生变化。
这个定律是有“动量守恒定律”这一名称的,它通常也被称为“牛顿拉普拉斯定律”。
结论由上文可以得出,对称性与守恒律是物理学中不可或缺的重要概念,其中,质量守恒律、电量守恒律和动量守恒律是最为重要的。
这些守恒律在影响物理变换过程中产生了重要的作用,对我们对物质和能量的理解和认识极为重要,它们是理解宇宙现象的基础科学。
对称性和守恒律--物理百科知识
对称性和守恒律--物理百科知识对称性和守恒律duichenxing he shouhengl对称性和守恒律symmetry and conservation law对称性是物质的状态和运动规律在对称变换(如镜面反射转动等)下的性质。
它已成为物理学中一个最普遍而深刻的观念。
对称性的观念是人们在观察自然界各种事物的几何形状时逐步形成的。
一个球在围绕通过中心的任何轴转动时,都不改变它的形状,称它具有转动变换的对称性。
在观察晶体时,可以看到各种规则的多而体,经过一定面的镜面反射或是绕特定轴转动特定角度,不改变它们的几何形状,显示了各种对称的组合。
按照对称方式的不同,可以把晶体分为32类,如果再考虑磁性,还可以找到58类不同的晶体对称方式;总共有90类磁性晶体的对称方式。
接连几次对称变换仍然是一个对称变换,这些对称变换之间满足结合律。
而且存在恒等变换和对称变换的逆变换。
因此对称变换的总和构成一个对称群。
在一个群的所有对称变换下不变或协变的状态(或运动规律)具有这个群的对称性。
例如球具有转动群的对称性。
如果物质的运动规律具有某一连续变换群的对称性,同时它的能量最低的状态(基态或真空态)是对称的,那么与这个群的每一个生成元对应的物理量都会是一个守恒量。
物质的运动形态可以千变万化,不断转化,而反映它们共性的守恒物理量将始终不变。
守恒定律是物质运动过程中所必须遵守的最基本的法则。
最普遍的对称性是时空几何对称性和量子力学的代数对称性。
所有的物质都在时空中运动,在不同时间和地点重复相同的实验反复证明了,对一个与周围物质切断了相互作用的孤立的系统,时空坐标原点的选取和坐标轴方向的选取都不会影响这一系统的运动规律。
时空表现为均匀和各向同性的。
坐标系原点的平移和坐标轴的转动都是对称变换,它们构成非齐次洛伦兹群,又称庞加莱群。
在庞加莱群中,与平移生成元对应的物理量为能量动量矢量,与转动生成元对应的物理量为角动量。
能量、动量守恒以及角动量守恒与时空均匀性和各向同性直接相关,它不依赖于物质的具体内容。
量子力学中的交换对称性和守恒定律
量子力学中的交换对称性和守恒定律量子力学是现代物理学的重要分支,它描述了微观世界中粒子的行为规律。
在量子力学中,交换对称性和守恒定律是两个基本概念,它们对于理解和解释微观粒子的性质和相互作用起着重要的作用。
首先,我们来探讨交换对称性在量子力学中的意义。
交换对称性是指在系统中交换两个相同粒子的位置后,系统的性质不发生变化。
这意味着无论我们如何交换两个相同的粒子,系统的物理状态和性质都保持不变。
这个概念在量子力学中非常重要,因为它涉及到粒子的统计性质。
根据交换对称性,我们可以将粒子分为两类:玻色子和费米子。
玻色子是具有整数自旋的粒子,如光子和声子。
而费米子则是具有半整数自旋的粒子,如电子和质子。
根据泡利不相容原理,具有半整数自旋的费米子遵循费米-狄拉克统计,即它们不能占据相同的量子态。
而具有整数自旋的玻色子则遵循玻色-爱因斯坦统计,它们可以占据相同的量子态。
交换对称性的概念还可以帮助我们理解粒子之间的相互作用。
在量子力学中,粒子之间的相互作用可以通过交换粒子来描述。
例如,两个电子之间的相互作用可以通过交换一个光子来传递。
这种交换过程是量子力学中的基本过程之一,它决定了粒子之间的力和能量传递。
接下来,我们来探讨守恒定律在量子力学中的重要性。
守恒定律是指在物理系统中某个物理量的总量在时间演化过程中保持不变。
在量子力学中,守恒定律与对称性密切相关。
根据诺特定理,与连续对称性相对应的守恒定律可以通过守恒流和守恒荷来描述。
在量子力学中,有许多重要的守恒定律。
其中最著名的是能量守恒定律。
根据量子力学的哈密顿形式,系统的能量是一个守恒量,即系统的总能量在时间演化过程中保持不变。
这意味着在一个孤立的量子系统中,能量的总量是恒定的。
此外,动量守恒定律也是量子力学中的重要守恒定律之一。
根据动量守恒定律,系统中所有粒子的总动量在时间演化过程中保持不变。
这意味着如果一个粒子获得了一定的动量,那么其他粒子的动量将相应地发生变化,以保持总动量的守恒。
对称性与守恒定律
对称性与守恒定律在物理学中,对称性与守恒定律是两个重要的概念。
对称性指的是物理系统在某种变换下保持不变的性质,而守恒定律则是指物理量在时间或空间上的改变保持不变的规律。
这两个概念之间有着密切的联系,深入理解它们对于解释和预测自然界的现象至关重要。
一、对称性对称性在物理学中具有重要作用,它揭示了自然界普遍存在的规律和原则。
在物理学中,我们常常研究的是物理系统在某种变换下的行为。
如果系统在这种变换下保持不变,我们就说它具有对称性。
最常见的对称性是空间对称性,即物理系统在空间变换下保持不变。
例如,我们在研究一个孤立的粒子时,发现它在不同的空间位置上的行为是相同的。
这表明粒子具有平移对称性。
此外,还有旋转对称性。
许多自然现象在旋转变换下保持不变,这意味着它们具有旋转对称性。
例如,地球的自转使得我们一天之内所经历的自然现象没有明显差异,这是因为地球具有旋转对称性。
时间对称性是另一个重要的对称性概念。
物理系统在时间变换下保持不变,意味着它们具有时间对称性。
通常,我们假设自然界在时间上是均匀的,这意味着物理法则在时间上保持不变。
二、守恒定律守恒定律是物理学中的核心概念之一。
它指出,在某些条件下,特定的物理量在时间或空间上的改变保持不变。
最经典的守恒定律是能量守恒定律。
能量是宇宙中最基本的物理量之一,它在物理系统中的总量是不变的。
虽然能量可以在不同形式之间转化,但总能量的大小保持不变。
此外,动量守恒定律也是非常重要的。
动量是物体运动的属性,它在某些条件下保持不变。
例如,在一个封闭系统中,如果没有外力的作用,总动量保持不变。
其他重要的守恒定律包括角动量守恒定律、电荷守恒定律、线性动量守恒定律等。
每一个守恒定律都对应着自然界中某种物理量的守恒规律。
三、对称性与守恒定律的关系对称性与守恒定律之间存在着密切的联系。
根据诺特定理的基本思想,对称性给出了守恒定律的表达形式。
当物理系统具有某种对称性时,就会出现一个与该对称性相对应的守恒量。
对称性和守恒定律
对称性和守恒定律按照对称的定义来讲,对称就是指物体相对而又相称,或者说它们相仿,相等。
所谓对称性是指:某种变化下的不变性。
自然界中的事物的对称性表现在两方面。
第一:物体的形状或几何形体的对称性。
例如:五角星的旋转对称,正方体的中心对称性。
这是根据对称性的定义,我们使五角星和正方体都绕它们的中心旋转180°,在这样的变换下,变换后图形具有不变性。
第二:事物进程或物理规律的对称性。
所谓物理规律的对称性是指:物理规律在某种变换下的不变性。
例如:一个物体做平抛运动,水平初速度为V,抛出时离水平地面的高度为H,空气阻力忽略不计。
在其他外部条件都相同的情况下,在不同的地方使该物体做如上所述的运动,该物体的运动状况是否相同呢?我们知道,平抛运动可以看成两种运动的合成:水平方向上是匀速直线运动,竖直方向是自由落体运动。
在其他条件相同的情况下,水平方向上都是以速度V作匀速直线运动。
在竖直方向上,下落的时间可以由公式T=(g为重力加速度)求出,我们知道重力加速度在不同的地方是不相同的,也就是说上述例子中的物体在不同地方的下落时间是不相同的。
这就说明了自由落体运动在不同的地方并不具有不变性,但是,我们不可否认的是下落时间和高度以及加速度它们之间的相互关系是并不会因为地点的不同而不相同,所以它的物理规律始终是保持不变的。
对物质运动基本规律的探索中,对称性和守恒定律的研究占有重要的地位。
从历史发展过程来看,无论是经典物理学还是近代物理学,一些重要的守恒定律常常早于普遍的运动规律而被认识。
质量守恒、能量守恒、动量守恒、电荷守恒就是人们最早认识的一批守恒定律。
它们的出现也不是偶然的,而是因为物理规律具有多种对称性的必然结果。
这些守恒定律的确立为后来认识普遍运动规律提供了线索和启示。
物理学中关于对称性探索的一个重要进展是建立诺特定理,定理指出,如果运动定律在某一变换下具有不变性,必相应地存在一条守恒定律。
简单的说就是:物理定律的一种对称性,对应地存在一条守恒定律。
对称性与守恒律
对称性与守恒律前面介绍的能量、动量和角动量守恒定律,都是在牛顿定律的基础上推导出来的。
但这些守恒定律比牛顿定律有更广泛的适用范围,这说明这些守恒定律有着更普遍更深刻的基础。
现代物理学已经确认这些守恒定律是客观物质世界对称性的反映。
对称性的概念最初来源于生活。
在大自然中对称性随处可见,植物的叶子几乎都是左右对称的,六角形的雪花也是对称的,几乎所有动物的形体、人体也都是对称的。
在艺术、建筑等领域中,也存在广泛的对称性。
在科学中对称性的概念是逐步发展的,至今它已具有十分广泛的含义。
下面简单介绍一下对称性的普遍定义。
我们把所讨论的对象,称为系统。
同一系统可以处于不同的状态,这不同的状态可能是等价的,也可能是不等价的。
例如,设想有一个圆球,这是几何学中理想的球,如果把球绕通过球心的任意轴转动一下,那么这个球就处于不同的状态,这些状态看上去没有任何区别,我们说这些状态都是等价的。
如果在球面上打一个点作为记号,再转动这个球,球上的点在空间的方位不同,这些状态就不同,因此对于包括这个记号的系统而言,不同的状态是不等价的。
把系统从一个状态变到另一个状态的过程称作变换,或者称给系统一个“操作”。
德国数学家魏尔在1951年提出了关于对称性的普遍定义:如果一个操作使系统从一个状态变到另一个与之等价的状态,或者说,状态在此操作下不变,我们就说该系统对这一操作是对称的,而这个操作就称为该系统的一个对称操作。
由于变换或操作方式的不同,可以有各种不同的对称性。
例如平移、转动、镜像反射、时空坐标的改变、尺度的放大缩小等都可视为操作。
将对称性概念应用于物理学中,研究对象不仅有图形,还有物理量和物理定律等。
例如质点的加速度是一个物理量,伽利略变换可看作一个对称操作,因为经伽利略变换后加速度保持不变,所以质点的加速度对伽利略变换的不变性也可称作加速度对伽利略变换具有对称性。
容易证明,牛顿第二定律经伽利略变换后保持不变,因而牛顿第二定律作为一条规律对伽利略变换具有对称性。
动量对称性与角动量守恒定律的关系
动量对称性与角动量守恒定律的关系动量是物体运动的重要属性,它描述了物体的运动状态和运动量的大小。
而角动量是物体绕某一轴旋转的运动状态和运动量的表征。
在物理学中,动量对称性与角动量守恒定律是两个重要的概念,它们之间存在着密切的关系。
首先,我们来看一下动量对称性。
动量对称性是指物理系统在空间中具有某种对称性时,其动量守恒。
这是由于物体在运动中的任何改变都必须与其对应的对称变换相耦合,从而保证了动量的守恒。
动量对称性的存在使得我们能够根据物体不同的运动属性进行研究和分析,进而得到物体运动的规律和规律性。
与此同时,动量对称性与角动量守恒定律之间存在着内在的联系。
角动量守恒定律是指物体在没有外力矩作用下,其角动量的大小和方向保持不变。
这意味着如果一个物体绕着某一轴旋转,则它的角动量在旋转过程中保持恒定。
而为了满足角动量守恒定律,动量对称性起到了至关重要的作用。
只有当物理系统具有某种对称性时,才能保证其角动量的守恒。
例如,考虑一个封闭的物理系统,其中包含两个物体A和B。
如果A与B之间的相互作用遵循动量对称性,即A对B施加的力与B对A施加的力大小相等、方向相反,那么根据牛顿第三定律,这两个物体的动量变化相等但方向相反。
因此,由于动量守恒,物体A和B的总动量保持不变。
当物体A绕某一轴旋转时,根据角动量守恒定律,物体A的角动量也保持不变。
这说明了动量对称性与角动量守恒定律之间的密切联系。
此外,动量对称性还可以解释为什么在一些物理现象中会出现许多不可逆性过程,即由不可逆的微观运动引起的不可逆的宏观运动。
这是由于不可逆性过程违背了动量对称性,即物体在微观层面发生的不对称相互作用破坏了动量守恒。
总之,动量对称性与角动量守恒定律是物理学中重要的概念。
动量对称性决定了物体运动过程中动量的守恒,而角动量守恒定律则表明了物体绕某一轴旋转的角动量的守恒。
动量对称性与角动量守恒定律之间通过保持物体运动过程中的对称性而密切相关。
通过研究和理解这两者之间的关系,我们可以更好地理解物体的运动规律和物理现象,从而进一步深化对动量对称性和角动量守恒定律的认识。
量子力学第五章 对称性及守恒定律
第五章: 对称性及守恒定律[1]证明力学量Aˆ(不显含t )的平均值对时间的二次微商为: ]ˆ],ˆ,ˆ[[222H H A A dtd -= (H ˆ是哈密顿量) (解)根据力学量平均值的时间导数公式,若力学量Aˆ 不显含t ,有]ˆ,ˆ[1H A i dt A d= (1) 将前式对时间求导,将等号右方看成为另一力学量]ˆ,ˆ[1H A i的平均值,则有: ]ˆ],ˆ,ˆ[[1]ˆ],ˆ,ˆ[1[1222H H A H H A i i dt A d -== (2) 此式遍乘2即得待证式。
[2]证明,在不连续谱的能量本征态(束缚定态)下,不显含t 的物理量对时间t 的导数的平均值等于零。
(证明)设Aˆ是个不含t 的物理量,ψ是能量H ˆ的公立的本征态之一,求A ˆ在ψ态中的平均值,有:⎰⎰⎰=ττψψd AA ˆ*将此平均值求时间导数,可得以下式(推导见课本§5.1)(1) 今ψ代表Hˆ的本征态,故ψ满足本征方程式 ψψE H=ˆ (E 为本征值) (2) 又因为Hˆ是厄密算符,按定义有下式(ψ需要是束缚态,这样下述积公存在) τψψτψψτd AHd A H ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=)ˆ(*)ˆ()~(ˆ* (3)(题中说力学量导数的平均值,与平均值的导数指同一量)(2)(3)代入(1)得:τψψτψψd A H id H A i dt A d )ˆ(*)ˆ(1)ˆ(ˆ*1⎰⎰⎰⎰⎰⎰-= ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=τψψτψψd A iE d A i E ˆ**ˆ* 因*E E =,而0=dtAd[3]设粒子的哈密顿量为 )(2ˆˆ2r V p H +=μ。
(1) 证明V r p p r dtd ∀⋅-=⋅μ/)(2。
(2) 证明:对于定态 V r T ∀⋅=2(证明)(1)z y x p z p y p xp r ˆˆˆˆˆˆ++=⋅,运用力学量平均值导数公式,以及对易算符的公配律: ]ˆ,ˆˆ[1)ˆˆ(H p r i p rdt d⋅=⋅)],,(ˆ21,ˆˆˆˆˆˆ[]ˆ,ˆˆ[2z y x V pp z p y p x H p r z y x +++=⋅μ)],,()ˆˆˆ(21,ˆˆˆˆˆˆ[222z y x V p p p p z p y p xz y x z y x +++++=μ)],,(,[21],ˆˆˆˆˆˆ[222z y x V zp yp xp p p p p z p y p xz y x z y x z y x +++++++=μ(2) 分动量算符仅与一个座标有关,例如xi p x ∂∂= ,而不同座标的算符相对易,因此(2)式可简化成:]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[222z z y y x x p p z p p y p p x H p rμμμ++=⋅ )],,(,ˆˆˆˆˆˆ[z y x V p z p y p xz y x +++ ],ˆˆ[],ˆˆ[],ˆˆ[]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21222V p z V p y V p xp p z p p y p p x z y x z z y y x x +++++=μμμ (3)前式是轮换对称式,其中对易算符可展开如下:x x x x p x pp x p p x ˆˆˆˆˆ]ˆ,ˆˆ[232-= x x x x x x p x p p x p p x p p x ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ2223-+-= x x x x x p p x pp p x ˆ]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[2+= 222ˆ2ˆˆx x x pi p i p i =+= (4) ],ˆ[ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ],ˆˆ[V p x p V x V p x p x V V p x V p xx x x x x x =-=-= xV x i ∂∂=ˆˆ (5) 将(4)(5)代入(3),得:}{)ˆˆˆ(]ˆ,ˆˆ[222zV z y V y x V x i p p p i H p rz y x ∂∂+∂∂+∂∂+++=⋅ μ }ˆ{2V r pi ∀⋅+=μ代入(1),证得题给公式:V r pp r dt d ∀⋅-=⋅ μ2ˆ)( (6)(2)在定态ψ之下求不显含时间t 的力学量Aˆ的平均值,按前述习题2的结论,其 结果是零,令p r Aˆˆˆ ⋅= 则0)ˆˆ(*2=∀⋅-=⋅=⋅⎰⎰⎰V r p d p r p r dt d τμτψψ (7) 但动能平均值 μτψμψτ22ˆ*22p d p T =≡⎰⎰⎰由前式 V r T ∀⋅⋅=21[4]设粒子的势场),,(z y x V 是z y x ,,的n 次齐次式证明维里定理(Virial theorem )式中V是势能,T是动能,并应用于特例:(1)谐振子 T V = (2)库仑场 T V 2-=(3)T V n Cr V n 2,==(解)先证明维里定理:假设粒子所在的势场是直角坐标),,(z y x 的n 次齐次式,则不论n 是正、负数,势场用直角痤标表示的函数,可以表示为以下形式,式中V假定是有理函数(若是无理式,也可展开成级数):∑=ijkkj i ijk z y x C z y x V ),,( (1)此处的k j i ,,暂设是正或负的整数,它们满足:n k j i =++ (定数)ijk C 是展开式系数,该求和式可设为有限项,即多项式。
对称性和守恒定律
对称性和守恒定律对称性和守恒定律是物理学中两个基本的概念,它们在解释和描述自然现象中起着重要的作用。
本文将探讨对称性和守恒定律的定义、原理以及它们在不同领域中的应用。
一、对称性对称性是指系统在变换下具有不变性或不变性对称的性质。
在物理学中,对称性是研究自然规律的基础之一。
常见的对称性包括平移对称、旋转对称和镜像对称。
1. 平移对称性平移对称性是指系统在平移变换下保持不变。
例如,在空间中的物体在平移变换下,其性质和状态保持不变。
2. 旋转对称性旋转对称性是指系统在旋转变换下保持不变。
例如,地球在自转时保持不变的物理规律。
3. 镜像对称性镜像对称性是指系统在镜像变换下保持不变。
例如,物体的左右对称性。
对称性在物理学中有着广泛的应用。
它可以帮助我们预测和解释自然现象,并推导出物理方程与定律。
二、守恒定律守恒定律是指在某个系统中,某种物理量的总量在时间变化过程中保持不变。
这些物理量可以是能量、动量、角动量等。
1. 质量守恒定律质量守恒定律是指在一个系统中,质量的总量在任何变化过程中保持不变。
根据爱因斯坦的质能方程,质量可以转化为能量,反之亦然。
2. 动量守恒定律动量守恒定律是指在一个孤立系统中,动量的总量在相互作用下保持不变。
这是因为系统中的所有物体在相互作用过程中,它们的动量会相互转移,但总动量的和保持不变。
3. 能量守恒定律能量守恒定律是指在一个孤立系统中,能量的总量在各种能量转换过程中保持不变。
各种能量形式之间可以相互转化,但能量的总量始终保持定值。
守恒定律是自然界中最基本的定律之一。
它们提供了描述和解释自然现象的数学工具和规律,使得我们能够更好地理解和预测自然界的行为。
三、对称性与守恒定律的关系对称性与守恒定律密切相关。
根据诺特定理,对称性与守恒定律之间存在一一对应的关系。
对称性的存在意味着守恒定律的存在,而守恒定律的存在则反映了系统中的对称性。
通过对称性的研究,我们可以预测和发现新的守恒定律。
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对称性和守恒律
作者|胡竭末编辑|Trader Joe's
简介
对称性在现代物理理论中非常重要,一般来说一个理论对称性越多,就越方便我们处理。
更进一步,诺特定理(Noether's theorem)给出了(连续)对称性和守恒量之间的关系。
这是一个非常非常强大的定理。
本文的主要目的就是简要的介绍对称性和守恒律之间的关系。
埃米·诺特(图片来自维基百科)
整体对称性和诺特定理
我们首先来看最清晰也最简单的情形–––整体对称性。
设一个经典体系有拉式量,则作用量为运动方程为如果有一个整体变换满足那么我们就说这是一个整体对称变换。
对于连续的整体对称变换,我们可以取一个无穷小变换满足那么很显然我们有假如有这么一个函数(微分形式),满足在边界上为0的边界条件。
那么我们由斯托克斯定理(Stokes' theorem)可知这告诉我们,可以写为可以看到以上的推导要求的是对称变换,但并没有要求满足运动方程。
现在如果我们要求一个无穷小变换保持运动方程,但并不要求保持作用量不变,这会发生什么呢?如下因为我们已经要求满足运动方程了,所以上式第二行的第一项就为0,所以得现在如果我们要求既满足对称变换,又满足运动方程,那么根据前式的对比可知其中所以就是一个守恒量,这就是诺特定理(有时候也叫做诺特第一定理)。
对于场论中的诺特定理推导是十分类似的,设其中为拉式密度,则其中总结一下,诺特定理告诉我们任何一个连续对称性有相应的守恒量。
图片来源 /noethers-theorem-kindergarten-phd/
特别指出的是,这里的对称性是针对有动
力效应(dynamical)的变量而言的,对于属于
背景(background)的量则没有以上的结果。
规范对称性
规范对称性(gauge symmetry)在现代物理理论中非常重要。
然而虽然我们把它叫做'对称性',但比较现代的观点是把它看成一种'冗余',它告诉我们描述不同物理的是一族数学上的等价类。
一个具体的例子为:在麦克斯韦理论中,如果电磁4-势为某个物理解,那么对于任何,描述的是与代表的同一个物理解。
我们首先来看一个玩具模型,考虑一个作用量对于这个理论,存在这样一个对称性保持作用量不变这个对称性对于完全没有任何要求,这和我们上一节提到的整体对称性有区别。
对于整体对称性而言,函数是被确定的,并没有这种任意性。
正因为对没有要求,所以每点处的可以不同,因此区别于整体对称性,我们把这种对称叫做规范对称。
运用运动方程,我们可得我们发现这两个运动方程不是独立的,运动方程不能完全确定解的形式!接下来如果我们直接利用诺特定理,你会发现也就是说规范对称性的守恒荷等于0!这个结论不仅适用于我们这个玩具模型,而且是普遍结论。
我们不在这儿证明,但给出一点论述。
如果规范对称性带有可观测的荷,那么规范对称性就不再是一种冗余,而是代表了实际物理,因此守恒荷恒为0是很自然的结论。
为了能更好的看清规范对称性,我们现在转到哈密顿形式中去。
做勒让德变换(Legendre transformation),得哈密顿量为作用量则为运用运动方程,我们会发现这是个很不平凡的结论,它告诉我们(在满足运动方程的情况下)恒为0。
该怎么理解这种情况呢?我们发现如果变量在拉式量中没有导数项,那么就不存在它的共轭动量,绝大多数我们熟知规范理论的哈密顿形式可以写成的形式,从而可得回忆一下高数中的拉格朗日乘子法(Lagrange multiplier),你会发现这跟我们这里的情形完全一样。
因此,我们把看成是一个乘子,而把看成是一个约束(在这个玩具模型中,约束即为)!因此我们可以说没有共轭动量的量通常是一个乘子。
本文并不打算继续叙述规范对称性和约束的关系,感兴趣的读者可以参考文献。
我们继续导出其他两个运动方程再一次,我们发现这三个运动方程并
不独立,因此不能完全确定解的形式。
对于具有规范对称性的理论,通常运动方程无法完全确定解的结果是规范冗余带来的。
因为运动方程描述的是物理的结果,而如今我们引入了冗余的'非物理'的信息,自然这部分多余的信息无法被运动方程确定,一般来说我们还需要额外的规范固定条件来确定最终的解。
小结
我们已经知道了整体对称性和规范对称性的不同。
作为一个例子,我们简单的对狭义相对论和广义相对论中的能量做个小论。
在狭义相对论中,时空具有时间平移不变性,这是一个整体对称性,因此我们可以借助这个对称性定义能量。
但在广义相对论中通常我们没有时间平移不变性,所以不能像狭义相对论那样定义能量。
由于等效原理,广义相对论有一个局域的微分同胚不变性,自然就可以有一个局域的时间平移不变性,这种不变性可以对应一个规范对称性,规范对称性对应的诺特荷恒为0,似乎是没有物理意义的。
但根据我们第二节的描述,我们应该把这种情况看成是一种约束条件,由此广相中的'能量'会有更复杂和丰富的内涵。
本文简单的介绍了经典理论中的对称性和诺特定理,我们得到结论
•连续的整体对称性可导出守恒律。
•规范对称性表达了一种冗余,通常会伴随某种约束。
对于量子化后的情况,本文按下不表。
参考文献[1] M. Bañados and I. Reyes, A short review on noether’s theorems, gauge symmetries and boundary terms, International Journal of Modern Physics D 25 (2016) 1630021.[2] A. Deriglazov, Classical mechanics. Hamiltonian and Lagrangian formalism, Classical mechanics. Hamiltonian and Lagrangian formalism (2010).。