2.3 初等函数及其解析性
2-3 初等函数
令z1=z,z2=-z, 得sin2z+cos2z=1.
y y e y e y e e e y e y 由于 cos iy i2 ishy chy , siniy 2i 2i 2
三角公式中取 z 1=x , z 2=iy , 得
cos x iy cos x cosiy sinx siniy cos xchy i sinxshy sin x iy sinx cosiy cos x siniy sinxchy i cos xshy
§3 初等函数
1.指数函数
(1) 定义
(2)性质 1)
z=x+iy 复变数z的指数函数 e z = e x(cosy + isiny)
当y=0时, e z = e x,即实指数函数; 当x=0时,e i y=cosy+isiny,即欧拉公式.
e z 在整个复平面内有定义且处处
e 0
z
z x 2) 模 e e ,辐角 Arg(e z) = y + 2k
则 e u iv re i
u ln r ln z
eu r
v Argz
对数函数: Lnz ln z iArgz ln z i arg z 2k i .k 0 1,2, 为具有多个分支的多值函数. 当k = 0时,称为主值分支.对数函数Lnz的主值记为lnz, 它是单值函数. ln z ln z i arg z 而 Lnz = lnz + 2 ki (k=0,±1,±2,…) 特别,当z = x > 0时,Lnz的主值lnz=lnx,就是实变数对数函数.
Lnzn n ln z in arg z 2k i nLnz n ln z in arg z 2nk i
解析函数的性质ppt课件
即存在 f (z) a ib. 于是 w f z z f z a ib z z ( 0,当z 0) （可微）
(a ib)z (1 i2 )z (a ib)(x iy) (1 i 2 )(x iy)
ax by 1x 2y i bx ay 2x 1y ux, y ivx, y
2
1 1 1
2 4 6
8
10
解析函数退化为常数的几个充分条件：(课下练习) (a)函数在区域内解析且导数恒为零； (b)解析函数的实部、虚部、模或辐角中有一个恒为常数； (c)解析函数的共轭在区域内解析。
§2.2 解析函数和调和函数的关系
定义1 实函数u(x, y)为区域D内的调和函数：
u(x, y)在区域D内有二阶连续偏导数，
vx vy
C
R
vy uy
uy vy
1,
得证。
例如 f z z2 x2 y2 i2xy, f z 2z 0z 0.
6810 y
两族分别以直线y=x和坐标轴 u=024
2
为渐近线的等轴双曲线
8 64 1
v=10 8 6 4
x2y2 = c1, 2xy = c2 互相正交。
u v
uxx vxx
uyy vyy
o o
ax by bx ay
1x 2x
2y 1y
u
v
uxx vxx
uyy vyy
o o
ax by bx ay
o o
ux vx
vy u
a,
y b.
f
(z)
ux
ivx
vy
iuy .
即w f (z) u(x, y) iv(x, y)在D内一点x,y解析
2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》函数的奇偶性与周期性
2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》§2.3函数的奇偶性与周期性最新考纲1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．概念方法微思考1．如果已知函数f (x )，g (x )的奇偶性，那么函数f (x )±g (x )，f (x )·g (x )的奇偶性有什么结论？提示在函数f (x )，g (x )公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．已知函数f (x )满足下列条件，你能得到什么结论？(1)f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)；(2)f (x ＋a )＝1f (x )(a ≠0)；(3)f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )．提示(1)T ＝2|a |(2)T ＝2|a |(3)T ＝|a －b |题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．(×)(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．(√)题组二教材改编2．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x (1＋x )，则f (－1)＝________.答案－2解析f (1)＝1×2＝2，又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2.3．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f 32______.答案1解析f 32＝f －124×－122＋2＝1.4.设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集为________．答案(－2,0)∪(2,5]解析由图象可知，当0<x <2时，f (x )>0；当2<x ≤5时，f (x )<0，又f (x )是奇函数，∴当－2<x <0时，f (x )<0，当－5≤x <－2时，f (x )>0.综上，f (x )<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．题组三易错自纠5．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是()A ．－13 B.13C.12D ．－12答案B 解析∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.6．偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________.答案3解析∵f (x )为偶函数，∴f (－1)＝f (1)．又f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴f (1)＝f (3)．∴f (－1)＝3.题型一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝36－x 2＋x 2－36；(2)f (x )＝ln (1－x 2)|x －2|－2；(3)f (x )2＋x ，x <0，x 2＋x ，x >0.解(1)－x 2≥0，2－36≥0，得x 2＝36，解得x ＝±6，即函数f (x )的定义域为{－6,6}，关于原点对称，∴f (x )＝36－x 2＋x 2－36＝0.∴f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)－x 2>0，－2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝ln (1－x 2)－x.又∵f (－x )＝ln[1－(－x )2]x ＝ln (1－x 2)x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )；当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数)是否成立．跟踪训练1(1)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是()A ．f (x )＝x ＋sin 2xB ．f (x )＝x 2－cos xC ．f (x )＝3x －13xD ．f (x )＝x 2＋tan x答案D解析对于选项A ，函数的定义域为R ，f (－x )＝－x ＋sin 2(－x )＝－(x ＋sin 2x )＝－f (x )，所以f (x )＝x ＋sin 2x 为奇函数；对于选项B ，函数的定义域为R ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，所以f (x )＝x 2－cos x 为偶函数；对于选项C ，函数的定义域为R ，f (－x )＝3－x－13－x ＝－x f (x )，所以f (x )＝3x －13x 为奇函数；只有f (x )＝x 2＋tan x 既不是奇函数也不是偶函数．故选D.(2)(2018·石景山模拟)下列函数中既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为()A ．y ＝xB ．y ＝－x 3C ．y ＝12log xD ．y ＝x ＋1x答案B解析由题意得，对于函数y ＝x 和函数y ＝12log x 都是非奇非偶函数，排除A ，C.又函数y＝x ＋1x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，排除D ，故选B.题型二函数的周期性及其应用1．(2018·抚顺模拟)已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝________.答案－2解析f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－3，且对任意的x都有f(x＋2)＝1－f(x)，则f(2020)＝________.答案－2－3解析由f(x＋2)＝1－f(x)，得f(x＋4)＝1－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(2020)＝f(4)．因为f(2＋2)＝1－f(2)，所以f(4)＝－1f(2)＝－12－3＝－2－ 3.故f(2020)＝－2－ 3.3．(2017·山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.答案6解析∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期为6的周期函数，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.4．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x<1时，f(x)＝2x－1，则f(1)＋f(2)＋________.答案2－1解析依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，则f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0.∴f(1)＋f(2)＋＝0＋f(0)＋＝f(0)＋＝f(0)＝122－1＋20－1＝2－1.思维升华利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．题型三函数性质的综合应用命题点1求函数值或函数解析式例2(1)设f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f (x )＝ax ＋b ，－2≤x <0，ax －1，0<x ≤2，则f (2021)＝________.答案－12解析设0<x ≤2，则－2≤－x <0，f (－x )＝－ax ＋b .因为f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝－ax ＋1＝－ax ＋b ，所以b ＝1.而f (－2)＝f (－2＋4)＝f (2)，所以－2a ＋b ＝2a －1，解得a ＝12，所以f (2021)＝f (1)＝12×1－1＝－12.(2)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则f (x )＝________.答案e－x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0解析∵当x >0时，－x <0，∴f (x )＝f (－x )＝e x －1＋x ，∴f (x )e －x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0.命题点2求参数问题例3(1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝__________.答案1解析∵f (－x )＝f (x )，∴－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)，∴ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0.∴ln a ＝0，∴a ＝1.(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f 12＝f 32，则a ＋3b 的值为________．答案－10解析因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以ff (－1)＝f (1)，故从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.(3)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝－x 2＋ax －1－a ，若函数f (x )为R 上的减函数，则a 的取值范围是____________．答案[－1,0]解析因为函数f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，若函数f (x )为R 上的减函数，则满足当x >0时，函数为减函数，且－1－a ≤0－a －2＝a 2≤0，1－a ≤0，≤0，≥－1，即－1≤a ≤0.命题点3利用函数的性质解不等式例4(1)(2018·聊城模拟)已知函数f (x )＝|x |(10x －10－x )，则不等式f (1－2x )＋f (3)>0的解集为()A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)答案A解析由于f (－x )＝－f (x )，所以函数为奇函数，且为单调递增函数，故f (1－2x )＋f (3)>0等价于f (1－2x )>－f (3)＝f (－3)，所以1－2x >－3，x <2，故选A.(2)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x2，解不等式f (x )>f (2x －1)．解由已知得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)，由f (x )>f (2x －1)，可得f (|x |)>f (|2x －1|)．当x>0时，f(x)＝ln(1＋x)－11＋x2，因为y＝ln(1＋x)与y＝－11＋x2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．由f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|，两边平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1<0，解得13<x<1.所以符合题意的x思维升华解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解．跟踪训练2(1)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)，当x ，12时，f(x)＝12log(1)x ，则f(x)()A．减函数且f(x)>0B．减函数且f(x)<0 C．增函数且f(x)>0D．增函数且f(x)<0答案D解析当x ，12时，由f(x)＝12log(1－x)可知，f(x)单调递增且f(x)>0，又函数f(x)为奇函数，所以在区间－12，f(x)<0.由f(x)知，函数的周期为32，f(x)<0.故选D.(2)(2018·烟台模拟)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝－1，f(3)＝1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A．[3,5]B．[－1,1]C．[1,3]D．[－1,1]∪[3,5]答案D解析由偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则在区间(－∞，0)上单调递减，又f(1)＝－1，f(3)＝1，则f(－1)＝－1，f(－3)＝1，要使得－1≤f(x－2)≤1，即1≤|x－2|≤3，即1≤x－2≤3或－3≤x－2≤－1，解得－1≤x≤1或3≤x≤5，即不等式的解集为[－1,1]∪[3,5]，故选D.(3)已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)3，x≤0，(x)，x>0，解不等式f(6－x2)>f(x)．解∵g(x)是奇函数，∴当x>0时，g(x)＝－g(－x)＝ln(1＋x)，易知f(x)在R上是增函数，由f(6－x2)>f(x)，可得6－x2>x，即x2＋x－6<0，∴－3<x<2.函数的性质函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．一、函数性质的判断例1(1)(2017·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则()A．f(x)在(0,2)上单调递增B．f(x)在(0,2)上单调递减C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称答案C解析f(x)的定义域为(0,2)．f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)．设u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，则u＝－x2＋2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．又y＝ln u在其定义域上单调递增，∴f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．∴选项A，B错误；∵f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴选项C正确；∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln(2－x)]＝2[ln x＋ln(2－x)]，不恒为0，∴f(x)的图象不关于点(1,0)对称，∴选项D错误．故选C.(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且f(x)＝f(x＋6)，当x∈[0,3]时，f(x)单调递增，则f(x)在下列哪个区间上单调递减()A．[3,7]B．[4,5]C．[5,8]D．[6,10]答案B解析依题意知，f(x)是偶函数，且是以6为周期的周期函数．因为当x∈[0,3]时，f(x)单调递增，所以f(x)在[－3,0]上单调递减．根据函数周期性知，函数f(x)在[3,6]上单调递减．又因为[4,5]⊆[3,6]，所以函数f(x)在[4,5]上单调递减．(3)定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下三个命题：①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数．其中正确命题的序号是________．答案①②③解析由f(x)＋f(x＋2)＝0可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的最小正周期是4，①对；由f(4－x)＝f(x)，可得f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)的图象关于直线x＝2对称，②对；f(4－x)＝f(－x)且f(4－x)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数，③对．二、函数性质的综合应用例2(1)(2018·全国Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于()A．－50B．0C．2D．50答案C解析∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0，又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.故选C.(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则()A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)答案D解析因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2，2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．(3)设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则满足f (a －2)>0的实数a 的取值范围为__________．答案{a |a >4或a <0}解析∵偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，∴函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，f (2)＝0，∴不等式f (a －2)>0等价于f (|a －2|)>f (2)，即|a －2|>2，即a －2>2或a －2<－2，解得a >4或a <0.1．下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是()A ．f (x )＝xB ．f (x )＝1x 2C ．f (x )＝2x ＋2－xD ．f (x )＝－cos x答案B解析函数f (x )＝1x2是偶函数，且在(1,2)内单调递减，符合题意．2．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)等于()A ．－3B ．－54C.54D ．3答案A 解析由f (x )为R 上的奇函数，知f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.3．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x .A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④答案D解析由奇函数的定义f (－x )＝－f (x )验证，①f (|－x |)＝f (|x |)，为偶函数；②f (－(－x ))＝f (x )＝－f (－x )，为奇函数；③－xf (－x )＝－x ·[－f (x )]＝xf (x )，为偶函数；④f (－x )＋(－x )＝－[f (x )＋x ]，为奇函数．可知②④正确，故选D.4．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f (1)等于()A ．－2B ．0C ．2D ．1答案A解析∵函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且周期为2，∴f (1)＝－f (－1)＝－f (－1＋2)＝－f (1)，∴f (1)＝0，124＝－2，∴f (1)＝－2.5．(2018·惠州调研)已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log 2x )>2的解集为()A ．(2，＋∞)(2，＋∞)(2，＋∞)D ．(2，＋∞)答案B解析f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以f (log 2x )>2＝f (1)⇔f (|log 2x |)>f (1)⇔|log 2x |>1⇔log 2x >1或log 2x <－1⇔x >2或0<x <12.6．(2018·海南联考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x )＝f (12－x )，当x ∈[0,6]时，f (x )＝log 6(x ＋1)，若f (a )＝1(a ∈[0,2020])，则a 的最大值是()A ．2018B ．2010C ．2020D ．2011答案D解析由函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x )＝f (12－x )，可得f (－x )＝f (12＋x )，即f (x )＝f (12＋x )，故函数的周期为12.令log 6(a ＋1)＝1，解得a ＝5，∴在[0,12]上f (a )＝1的根为5,7；又2020＝12×168＋4，∴a 的最大值在[2004,2016]上，即2004＋7＝2011.故选D.7．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.答案－32解析函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln 1＋e 3x e 3x ＋e 6x ＝2ax ＝ln e 2ax，即1＋e 3x e 3x ＋e 6x ＝e 2ax ，整理得e 3x ＋1＝e 2ax ＋3x (e 3x ＋1)，所以2ax ＋3x ＝0恒成立，所以a ＝－32.8．已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝ln x ，则f ________．答案－ln 2解析由已知可得ln 1e2＝－2，所以f (－2)．又因为f (x )是奇函数，所以f (－2)＝－f (2)＝－ln 2.9．奇函数f (x )在区间[3,6]上是增函数，且在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f (6)＋f (－3)的值为________．答案9解析由于f (x )在[3,6]上为增函数，所以f (x )的最大值为f (6)＝8，f (x )的最小值为f (3)＝－1，因为f (x )为奇函数，所以f (－3)＝－f (3)＝1，所以f (6)＋f (－3)＝8＋1＝9.10．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增的．如果实数t 满足f (ln t )＋2f (1)，那么t 的取值范围是________．答案1e，e 解析由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (ln t )＝由f (ln t )＋2f (1)，得f (ln t )≤f (1)．又函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增的，所以|ln t |≤1，即－1≤ln t ≤1，故1e≤t ≤e.11．已知函数f (x )x 2＋2x ，x >0，，x ＝0，2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)－2>－1，－2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．12．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式．(1)证明∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8.∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．13．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )对任意x ∈R 恒成立，则f (2023)＝________.答案1解析因为f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )，所以f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1f (x ＋2)＝11f (x )＝f (x )，即函数f (x )的周期是4，所以f (2023)＝f (506×4－1)＝f (－1)．因为函数f (x )为偶函数，所以f (2023)＝f (－1)＝f (1)．当x ＝－1时，f (－1＋2)＝1f (－1)，得f (1)＝1f (1).由f (x )>0，得f (1)＝1，所以f (2023)＝f (1)＝1.14．(2018·天津河西区模拟)设f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2＋1，0≤x <1，－2x ，x ≥1，若对任意的x ∈[m ，m ＋1]，不等式f (1－x )≤f (x ＋m )恒成立，则实数m的最大值是()A ．－1B ．－13C ．－12D.13答案B解析易知函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，又函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，则由f (1－x )≤f (x ＋m )，得|1－x |≥|x ＋m |，即(1－x )2≥(x ＋m )2，即g (x )＝(2m ＋2)x ＋m 2－1≤0在x ∈[m ，m ＋1]上恒成立，当m ＝－1时，g (x )＝0，符合要求，当m ≠－1(m )＝(3m －1)(m ＋1)≤0，(m ＋1)＝(m ＋1)(3m ＋1)≤0，解得－1<m ≤－13，所以－1≤m ≤－13，即m 的最大值为－13.15．已知函数f (x )＝sin x ＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为______________________________．答案2解析易知f (x )在R 上为单调递增函数，且f (x )为奇函数，故f (mx －2)＋f (x )<0等价于f (mx －2)<－f (x )＝f (－x )，则mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0对所有m ∈[－2,2]恒成立，令h (m )＝mx ＋x －2，m ∈[－2,2](－2)<0，(2)<0即可，解得－2<x <23.16．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2,4)时，f (x )＝|x －3|，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2020)的值．解因为f (x )为奇函数，f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f(x)的周期为4，所以f(4)＝f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)．在f(x＋1)＝f(－x＋1)中，令x＝1，可得f(2)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0.所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2020)＝0.。
2.3初等函数
类似地，连续变动k周回到z1时，
辐角arg z1变为arg z1＋2k (k 1, 2, ).
(4) 当z从z1开始按照逆时针方向 沿着C \{0}内一条围绕z0( 0,) (不围绕原点)的简单闭曲线L3连续 变动一周，回到z1时，arg z1不变.
设F (z)是区域( C )上的一个多值函数， z0 C.若在z0的某个充分小的邻域内，存在 一条包围z0的简单闭曲线L，当动点z沿L旋转 一周，回到起点时，F (z)的函数值发生变化， 则z0称为多值函数F (z)的支点.
连接多值函数F (z)的支点，用来剪开z平面， 借以分出多值函数F (z)的单值分支的割线，称为 多值函数F ( z)的支割线.
1 ln 13 i(arc tan 3 2k ), (k ),
2
2
ln(2 3i) ln | 2 3i | i arg(2 3i)
如果ez1 ez2，那么z1 z2 2k i，反之亦真.
(5) z C, ez 0, ez eRez ,
Argez Im z 2k (k Z );
2. 三角函数
由Euler公式，对x R,
eix cos x i sin x, eix cos x i sin x.
所以
cos x eix eix , sin x eix eix .
sin z
cos z
sin z
二、初等多值函数
1. 辐角函数
辐角函数F(z) Argz是C \{0}上的一个多值函数. 将辐角函数在某些区域内分解为一些单值连续函数， 每一个单值连续函数称为辐角函数在这个区域内 的一个单值连续分支.
考虑沿负实轴(包括原点0)剪开复平面而得到的
初等函数的定义与性质
初等函数的定义与性质初等函数是数学中常见且基本的函数类型。
它们在数学分析、数论、概率论等各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍初等函数的定义和性质，帮助读者更好地理解和应用初等函数。
一、初等函数的定义初等函数是指能够通过有限次的代数运算和初等函数运算所得到的函数。
这里的代数运算包括四则运算和函数复合运算，而初等函数运算则包括指数函数、对数函数、三角函数以及反三角函数。
初等函数的所属范围相对广泛，这使得我们能够通过简单的运算和组合得到他们的值。
二、初等函数的性质1. 初等函数是连续函数：初等函数在其定义域上都是连续的。
连续性给初等函数的应用提供了数学上的保证，使得我们能够对初等函数进行更简单、更精确的分析和计算。
2. 初等函数的导数：初等函数具有求导性质，即它们的导数可以通过一系列的规则来求解。
常见初等函数的导数规则包括幂函数求导法则、指数函数求导法则、对数函数求导法则、三角函数求导法则等。
这些导数规则是微积分学中的基础，能够帮助我们更深入地理解初等函数的变化规律。
3. 初等函数的周期性：三角函数是一类重要的初等函数，具有周期性的特点。
例如正弦函数和余弦函数的周期都是2π。
这种周期性对于解决周期性问题和振动问题非常有用，例如傅里叶级数展开和信号处理等领域。
4. 初等函数的极限：初等函数的极限也是初等函数性质的重要组成部分。
通过对初等函数的极限进行研究，我们可以得到函数在某一点附近的趋势和变化规律。
5. 初等函数的积分：初等函数也具有求积分的属性。
通过对初等函数的积分，我们能够计算曲线下面的面积、计算物体的质量和体积等。
积分是微积分学的基本内容，对于解决实际问题起着重要的作用。
总结起来，初等函数是数学中非常重要的函数类型。
它们在数学分析、工程学、物理学等多个领域中都具有广泛的应用。
初等函数通过有限次的代数运算和初等函数运算得到，具有连续性、导数性质、周期性、极限性质和积分性质。
这些性质使得初等函数成为研究和应用的基础，对于深入理解数学以及解决实际问题都具有重要的意义。
高考数学专题2.3 基本初等函数(解析版)Word版含解斩
第二章函数概念与基本初等函数专题基本初等函数【三年高考】.【高考新课标理数改编】已知，，，则大小关系是．【答案】【解析】试题分析：因为，，所以．考点：幂函数的图象与性质．【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．．【高考浙江理数】已知>>.若，，则，.【答案】【解析】试题分析：设，因为，因此考点：、指数运算；、对数运算．【易错点睛】在解方程时，要注意，若没注意到，方程的根有两个，由于增根导致错误．．【高考天津理数】已知()是定义在上的偶函数，且在区间（，）上单调递增.若实数满足，则的取值范围是.【答案】考点：利用函数性质解不等式【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：()借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．()借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化．．【高考天津理数】已知函数（）（>,且≠）在上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是（）（）（，] （），] （），]{}（），）{}【答案】【解析】试题分析：由在上递减可知，由方程恰好有两个不相等的实数解，可知，，又∵时，抛物线与直线相切，也符合题意，∴实数的去范围是，故选.考点：函数性质综合应用【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路()直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；()分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；()数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合。
初等函数的图像与性质
初等函数的图像与性质初等函数是指由有限次的四则运算、乘方运算、指数函数、对数函数和三角函数构成的函数。
初等函数是数学中常见且重要的函数类型，其图像与性质对于理解和应用数学具有重要的指导意义。
本文将从图像和性质两个方面来探讨初等函数的特点。
一、初等函数的图像初等函数的图像是通过绘制函数的曲线来描述其特点。
不同类型的初等函数具有不同的图像特点，以下将逐一介绍几种常见的初等函数及其图像特点。
1. 线性函数线性函数的一般形式为y = ax + b，其中a和b为常数。
线性函数的图像为一条直线，其斜率决定了直线的倾斜程度，斜率正负决定了直线的方向，截距则决定了直线与y轴的交点位置。
2. 平方函数平方函数的一般形式为y = x^2。
平方函数的图像为抛物线，开口方向由系数a的正负决定，当a大于0时抛物线开口向上，当a小于0时抛物线开口向下。
3. 指数函数指数函数的一般形式为y = a^x，其中a为常数且a大于0且不等于1。
指数函数的图像为一条不断上升（a大于1）或不断下降（a小于1）的曲线。
当a大于1时，函数的增长速度越来越快；当0 < a < 1时，函数的递减速度越来越慢。
4. 对数函数对数函数的一般形式为y = logₐ(x)，其中a为常数且a大于0且不等于1。
对数函数的图像为一条不断上升（a大于1）或不断下降（a小于1）的曲线。
对数函数与指数函数互为反函数，即对数函数的图像是指数函数的镜像。
5. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
三角函数的图像是周期性的波动曲线，其中正弦函数和余弦函数的曲线在[-π, π]范围内完成一次周期性波动，而正切函数的曲线在[-π/2, π/2]范围内完成一次周期性波动。
二、初等函数的性质初等函数具有一些常见的性质，这些性质可以帮助我们推导和理解数学问题。
下面将介绍几个常见的初等函数性质。
1. 奇偶性奇偶性是指函数的图像关于y轴对称的性质。
若函数满足f(-x) =f(x)，则称该函数为偶函数；若函数满足f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
复变函数-2.3 初等函数共26页
25/25
休息一下 ……
数
2
eiwz z21, iw L(zn z2 1),
w A cz r o i c L s( z n z 2 1 ) .
同理可得 A sr z i n c iL (iz n 1 z 2 );
Artcazni Ln iz. 2 iz
§2.3 初等函数
事实上，在无穷远点有
当 y0,x 时，ez ;
当 y0,x 时，ez 0.
(3) ez 0. 因为 e x 0 ,co y is siy n 0 .
§2.3 初等函数
5/25
第 一、指数函数
二 章
性质
解
事实上，
析 函
e z 1 e z 2 e x 1 (y c 1 i s o y 1 ) i e x s 2 n (y c 2 i s o y 2 ) is n
解 析
|w| ex,
Aw r y g 2 k π ,
由 z 的实部得到 w 的模； 由 z 的虚部得到 w 的辐角。
函 数
(k0 ,1 ,2 , )
y
(z)
v
(w)
y4π
y2π y
z xx
wez
zLnw
w
ex
y
u
§2.3 初等函数
7/25
第 二、对数函数
二 章
对数函数定义为指数函数的反函数。
析
函
主值 ln (1)πi.
数
可见，在复数域内，负实数是可以求对数的。
12/25
§2.3 初等函数
第 ▲例 求对数 Ln2 以及它的主值。 二 章 解 L 2 l n |2 n | ia2 r 2 k π g iln 22kπi;
《初等解析函数》课件
初等解析函数是数学中重要的基础概念，对理解和应用许多数学和物理学原理具有重要意义等函数 （包括幂函数、指数函数、对数函数、三角 函数和反三角函数）经过有限次的代数运算 得到的函数。
2 常见的初等函数有哪些？
常见的初等函数包括多项式函数、有理函数、 指数函数、对数函数、三角函数和反三角函 数等。
双曲函数的性质
双曲函数具有一系列有趣的性质，如双曲函数的导 数、反函数和幂函数等，这些性质在数学和物理中 具有广泛的应用。
初等解析函数的运算
1 求和、差、积、商、复合等运算
初等解析函数可以进行基本的运算，如求和、求差、求积、求商和进行复合等运算，这些运算有助于 分析和求解复杂函数。
应用
1
初等解析函数在实际问题中的应
参考资料
• 高等数学教材 • 《初等解析函数》教材 • 数学网站
三角函数的性质与图像
三角函数具有周期性、对称性和单调性等特点，它 们的图像能够帮助我们分析函数的行为。
指数函数
指数函数的定义与图像
指数函数是以常数e（自然对数的底数）为底的幂函 数，它的图像呈现出指数增长或指数衰减的趋势。
指数函数的性质
指数函数具有指数运算的性质，如乘方法则、对数 关系和指数法则等，这些性质对于求解方程和研究 增长和衰减过程非常重要。
《初等解析函数》PPT课 件
欢迎大家来到《初等解析函数》PPT课件。本课程将深入介绍初等解析函数的 概念、分类和运算，并探讨其在实际问题中的应用。
引言
什么是初等解析函数？
初等解析函数是指可用初等函数（包括常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、 反三角函数等）以及有限次四则运算所得到的函数。
复合函数
(完整版)基本初等函数知识点及函数的基本性质
指数函数及其性质一、指数与指数幂的运算 （一）根式的观点1、假如 x na, a R, x R, n 1，且 nN ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根．当 n 是奇数时， a的 n 次方根用符号 n a 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号 na 表示，负的 n 次方根用符号 na 表示； 0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．2、式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当n 为奇数时， a 为随意实数；当 n 为偶数时， a0 ．3 、 根 式 的 性 质 ： ( n a )na ； 当 n 为 奇 数 时 ， n a na ； 当 n 为 偶 数 时 ，na n|a |a (a 0) ． a (a 0)（二）分数指数幂的观点mna m (a 0,m, n1、正数的正分数指数幂的意义是：a n N , 且 n1) ．0 的正分数指数幂等于 0．mm1)m (a2、正数的负分数指数幂的意义是：a n( 1) nn ( 0, m, n N , 且 n 1)． 0 的负aa分数指数幂没存心义．注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数． 3、a 0=1 ( a 0) a p1/a p ( a 0； p N )4、指数幂的运算性质a r a sa r s (a 0, r , s R)( a r )s a rs (a 0, r , s R)( ab) r a r b r (a 0, b0, r R)5 、 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无心义。
二、指数函数的观点一般地，函数 xy a ( a 0, 且a 1) 叫做指数函数，此中 x是自变量，函数的定义域为R．注意：○1 指数函数的定义是一个形式定义；○2 注意指数函数的底数的取值范围不可以是负数、零和 1．三、指数函数的图象和性质 函数名称指数函数定义函数 ya x ( a 0 且 a 1) 叫做指数函数a 10 a 1y图象y 1Oya xya xy(0,1) y 1(0,1)xOx定义域 R值域 （ 0,+ ∞）过定点 图象过定点（ 0,1 ），即当 x=0 时， y=1．奇偶性 非奇非偶单一性在 R 上是增函数在 R 上是减函数函数值的 y ＞ 1(x ＞ 0), y ＞ 1(x ＜ 0),y=1(x=0),y=1(x=0),变化状况0＜ y ＜ 1(x ＜ 0)0 ＜ y ＜ 1(x ＞ 0)a 变化对在第一象限内， a 越大图象越高， 越凑近 在第一象限内， a 越小图象越高， 越凑近y 轴； a 越大图象越低， 越凑近 y 轴；a 越小图象越低， 越凑近图象影响 在第二象限内， 在第二象限内， x 轴． x 轴．注意：利用函数的单一性，联合图象还能够看出：（ 1）在 [a ， b] 上， f (x )a x (a 0且 a 1) 值域是 [ f (a), f ( b)] 或 [ f (b), f (a)] （ 2）若 x 0，则 f (x ) 1； f ( x) 取遍全部正数当且仅当 x R （ 3）对于指数函数 f (x ) a x (a 0 a 1)，总有 f (1) a 且（ 4）当 a 1 时，若 x 1 x 2 ，则 f (x 1 ) f ( x 2 )四、底数的平移对于任何一个存心义的指数函数：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
课件(PPT版)2.3_初等函数
六、反双曲函数
定义 反双曲正弦函数 Arsh z Ln (z z2 1 );
P 44
反双曲余弦函数 Arch z Ln (z z2 1 );
反双曲正切函数 Arth z 1 Ln 1 z ; 2 1 z
反双曲余切函数 Arcoth z 1 Ln z 1 . 2 z1
i Lni
i ( i2kπi)
2
( 2kπ)
2
,
(k 0, 1, 2,) .
可见，i i是正实数，它的主值是
e
2
.
例 求 1 2 的值。
解 1 2 e 2 Ln1 e 2[0i(02k )] e2 2kπi
cos (2 2 kπ) i sin (2 2 kπ) , (k 0, 1, 2,).
(w)
一、指数函数
性质 (7) 映射关系： 由 w ez ex (cos y i sin y) ex ei y , 有
|w| ex,
Arg w y 2kπ ,
(k 0, 1, 2,)
由 z 的实部得到 w 的模； 由 z 的虚部得到 w 的辐角。
How beautiful the sea is!
u ln r ln| z|,
v
Arg z .
由 z 的模得到 w 的实部 ； 由 z 的辐角得到 w 的虚部 。
即 w Ln z ln| z | i Arg z
ln| z | i arg z 2kπi , (k 0, 1, 2,).
其中，m 与 n 为互质的整数，且 n 1.
此时，za 除原点与负实轴外处处解析， 且 (za ) a za 1.
基本初等函数图像及性质大全
非奇非偶
在定义域上是减函数
4
函数值的 变化情况
a 变化对 图象的影响
log a x 0 (x 1) log a x 0 (x 1) log a x 0 (0 x 1)
log a x 0 (x 1) log a x 0 ( x 1) log a x 0 (0 x 1)
在第一象限内， a 越大图象越靠低；在第四象限内， a 越大图象越靠高．
（5）对数函数 函数 名称
对数函数
定义
函数 y loga x(a 0 且 a 1) 叫做对数函数
a1
x1
y
y loga x
0 a1
x1
y
y loga x
图象
(1,0)
O
(1,0)
x
O
x
定义域 值域
过定点 奇偶性 单调性
(0, )
R
图象过定点 (1,0) ，即当 x 1时， y 0 ．
在定义域上是增函数
一、一次函数与二次函数
（一）一次函数
一次 函数
k，b 符号
b0
k0 b0
k kx b k 0
b0
b0
图象
y
y
y
y
O
xO
x
O
x
O
x
k0 b0 y
b0 y
O
xO
x
性质
y 随 x 的增大而增大
（二）二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式
①一般式： f ( x) ax2 bx c(a 0)
②顶点式： f ( x) a(x h)2 k(a 0)
y 随 x 的增大而减小
③两根式： f ( x) a( x x1)( x x2 )( a 0)
初等函数及其性质在高中数学解题中的应用
初等函数及其性质在高中数学解题中的应用高中数学是数学学科中的一个重要分支，也是学生最常接触的数学学科之一。
在高中数学中，初等函数是一个非常重要的概念，它们具有很多的性质，在许多数学问题的解决中都有广泛的应用。
本文将从初等函数的性质及其在高中数学解题中的应用两个方面来探讨初等函数的重要性。
一、初等函数的性质初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。
这些函数具有以下的性质：1. 定义域和值域：不同的函数具有不同的定义域和值域，因此在问题中需要根据函数的定义域和值域来进行分析。
2. 奇偶性：函数的奇偶性可以通过函数的定义式来确定。
一个函数是奇函数，当且仅当 f(-x)=-f(x); 一个函数是偶函数，当且仅当f(x)=f(-x)。
3. 单调性：单调函数是指函数的值随着自变量的增加或减少而不降或不升。
函数的单调性可以通过导数的正负来判断。
4. 周期性：周期函数是指 f(x+T)=f(x)，其中 T 是函数的一个正常数。
正弦函数和余弦函数就是周期函数。
二、初等函数在高中数学解题中的应用初等函数有广泛的应用，下面是它们在高中数学解题中的应用举例：1. 利用对称性质解简单方程对称性质是初等函数的一个重要性质。
例如，如果一个函数是一个偶函数，那么它关于 y 轴对称。
如果一个函数是一个奇函数，那么它关于原点对称。
这个性质可以用来解决一些简单方程，例如 x²=4，解这个方程就可以用到偶函数的对称性质。
2. 求函数的导数和极值函数的导数可以帮助我们求解函数的极值。
对于一个单调函数，它的导数一定是一个正或负的常数。
对于一个非单调函数，极值就不一定能够通过导数求出。
需要通过观察函数的图形来得到。
3. 解三角函数方程三角函数在数学中是一个重要的概念。
在解三角函数方程的时候，常常需要利用三角函数的周期性及其反函数等特性来解决。
4. 求解指数和对数方程指数函数和对数函数在高中数学中也是重要的概念。
初等解析函数及其基本性质
§2 初等解析函数及其基本性质一、基本初等函数1.指数函数()y i y e z x sin cos exp +=加法定理 ()2121exp exp exp z z z z +=⋅。
z e z =exp ，即()y i y e e e e e x yi x yi x z sin cos +=⋅==+。
周期性 ze 是周期为()Z ∈k i k π2的周期函数。
2.对数函数定义2 满足()0≠=z z e w 的函数()z f w =称为复变量z 的对数函数，记为Lnz w =。
关于Lnz w =的表达式：令θi re z iv u w =+=,，则πθθk v r e re e e eu i iv u ivu 2,+==⇒==+，即Argz v z r u ===,ln ln 。
从而注：Lnz 是多值函数，Argz 是多值函数。
当Argz 取主值z arg 时，Lnz 为单值函数，称其为Lnz 的主值，记为z ln ，即z i z z arg ln ln +=⇒i k z Lnz π2ln +=注：当0>=x z 时，x x i x z ln arg ln ln =+=——实对数函数。
例2 证明对数运算性质：⑴2121Lnz Lnz z Lnz +=⋅；⑵2121Lnz Lnz z z Ln -=。
证明⑴ 由对数定义表达式，212121ln z iArgz z z z Lnz +=⋅()2121ln Argz Argz i z z ++⋅=2211ln ln iArgz z iArgz z +++=21Lnz Lnz +=；同理可证⑵式。
例3 求()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--i Ln 2321,3ln 及主值。
解 ()()i i π+=-+-=-3ln 213arg 3ln 3ln ； i k i i i i Ln π22321arg 2321ln 2321+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+- i k i k i πππ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=3122321ln ；主值：i i i ππ32321ln 2321ln =+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-。
第3节：初等函数解析
是无穷多值的.
2
例4. 求1 2 , ii和 i 3 的值及其主值.
解 1 2 e 2Ln1 e 2(ln12k i ) e2 2k i
主值为：1
(k 0,1,2, ).
i i eiLni ei(lni2k i )
ei
2
i 2 k
i
e
2
2
k
(k
0,1,2,
).
主值为：e
解析，且 (L n z) 1 z
例3. 设ez 2i，求z.
三、乘幂与幂函数
1. 乘幂定义 设a,b为复数, 且 a 0, 定义乘幂 多值
a e e e b
bLna
b[ln a i (arga2k )]
b(ln a iArg a )
eb(lna2k i )
当k=0时, 取到主值:
e e blna
eu r z , v 2k Arg z,
u ln r ln z , v 2k Arg z,
w Ln z ln z iArg z.
由于Arg z 是多值的，所以对于每个非零 z，复对 数 Ln z 也是多值的。
若Arg z 取主值 arg z ，则取到 Ln z 的某一单值函 数，记作 ln z ，称为Ln z 的主值：
p q
时,
其中p,q
为互质整数,
且q>0, 则 ab 有q个值：
p[ln a i (arg a2k )]
ab eq
(k 0,1,2, ,q 1);
e
p q
ln
a
[cos(
p
arg
a
p 2k ) i sin(
p arg a
p 2k )]
2-3初等解析函数
即e z是以2ni为周期的周期函数。 (5) ez 1 的充分必要条件是z 2ni. (其中n是整数)
4
ez e xiy e x (cos y i sin y)
(1) 证明加法定理 ez1 ez2 e(z1 z2 )
§2.3 初等函数
一、指数函数 二、对数函数 三、幂函数 四Δ、三角函数和双曲函数 五、反三角函数和反双曲函数
1
高数里我们学了基本初等函数： 指数函数，对数函数，幂函数，三角和反三角函数。 初等函数有求导公式。
2
1. 指数函数
定义：设 z x iy，则复变数 z 的指数函数定义为 e x (cos y i sin y)
将两式相加与相减, 得
cos y eiy eiy , 2
sin y eiy eiy . 2i
下面把余弦函数和正弦函数的定义推广到 自变数取复值的情况.
27
定义：对任意z,
余弦函数: cos z eiz eiz , 2
正弦函数 :
sin z
e iz
e iz 2i
,
正切函数:
tan z sin z , cos z
(2)
Ln z1 z2
Lnz1
Lnz2
(z2 0),
(3) 在除去负实轴(包括原点)的复平面内，主值支
和其它各分支处处连续, 处处可导, 且
(ln z) 1 , z
对于某一固定分支，有 (Lnz) 1 z
14
注意：(1) Ln(z1 z2 ) Lnz1 Lnz2 , 上式要理解为无穷多个值组成的集合相等。
证 设 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 , z1 z2 （x1 x2） i（y1 y2）,
2.3 初等函数及其解析性
,
性质：
e cos z i sin z (2)全平面解析函数， sin z cos z , cos z sin z 且
(1)Euler 公式仍然成立：
iz
(3)各种三角恒等式仍然成立(半角公式除外)
(4)sin z为奇函数，cos z为偶函数
(5) 以2 为基本周期的周期函数： sin z 2k sin z ,cos z 2k sin z.(k Z )
e
i i 2 k i 2
e
2 k 2
, (k 0, 1, 2,).
i
2
由此可见i 是正实数, 它的主值是 e
.
3.4 三角函数
e e 定义：sin z 2i
iz
iz
e e , cos z 2
iz
iz
多值性
ln z ln z i arg z
-------主值支
• 例3． Ln2，Ln(1), Ln(2 3i)及其相应的主值. 求
Ln 解： 2 ln 2 2k i, 主值是 ln 2，
Ln(1) ln1 iArg (1) i( 2k ) (2k 1) i,
例2 求1 和i 的值.
2 i
[解] 1 e
2
2 Ln1
e
2 ln12k i
e
2k i 2
cos(2k 2) i sin(2k 2).(k 0, 1, 2,);
i e
i
i Ln i
e
i ln i i 2 k i 2
§2.3 初等函数
3.1 指数函数
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e
i i 2 k i 2
e
2 k 2
, (k 0, 1, 2,).
i
2
由此可见i 是正实数, 它的主值是 e
.
3.4 三角函数
e e 定义：sin z 2i
iz
iz
e e , cos z 2
iz
iz
(3)加法定理：e z1 e z2 e z1 z2 z1 , z2
z
(4) e 是以2 i为基本周期的周期函数
(e
z 2k i
e e
z
z 2k i
e cos2k i sin 2k e , k Z )
z z
z z
(5) lim e 不存在. ( z lim e , z lim e 0 ) x x
主值是 ln(1) i；
Ln(2 3i) ln 2 3i iArg (2 3i)
1 3 ln13 i ( arctan 2k ) 2 2 1 3 ln13 i( arctan (2k 1) ), k 0, 1, 2, 2 2 1 3 主值是 ln(2 3i ) ln13 i ( arctan ). 2 2
多值性
ln z ln z i arg z
-------主值支
• 例3． Ln2，Ln(1), Ln(2 3i)及其相应的主值. 求
Ln 解： 2 ln 2 2k i, 主值是 ln 2，
Ln(1) ln1 iArg (1) i( 2k ) (2k 1) i,
性质： (1) Ln z为无穷多值函数，每两个值相差2π i的整数倍 ，
(2) z1 , z2 0：Ln (z1 z2 ) Ln z1 Ln z2 ,
z1 Ln( ) Ln z1 Ln z2 . z2
(4) 除去原点与负实轴, ln z在复平面内处处解析：
1, ln z z ( lim arg z ,
1 n
e
n ln z
e
in arg z
z e
n
1 n
in arg z
i
---- 单值函数
1 当 时, n
z z e
arg z 2k n
z
n
---- n值函数
在除原点和负实轴复平面内主值支及各分支解析，且
e Ln z e Ln z 1 z 1 z z
(6) sin z与cos z的模可以大于一甚至无界：
e y e y e e y . 例如 cos i 1, cos iy 2 2 (7)定义其他的三角函数：
1 1
sin z cos z tg z , ctg z , cos z sin z 1 1 sec z , csc z . cos z sin z
,
性质：
e cos z i sin z (2)全平面解析函数， sin z cos z , cos z sin z 且
(1)Euler 公式仍然成立：
iz
(3)各种三角恒等式仍然成立(半角公式除外)
(4)sin z为奇函数，cos z为偶函数
(5) 以2 为基本周期的周期函数： sin z 2k sin z ,cos z 2k sin z.(k Z )
• 例5 求 cos i, sin(1 2.i) • 解 根据定义，有 i i i i 1 • e e e e
cos i
2
2
e (cos1 i sin1) e (cos1 i sin1) 2i
2 2
.
ei (1 2i ) ei (1 2i ) sin(1 2i) 2
w
记： w u iv , z
re e
i
u iv
e e re
u iv
i
eu r u ln r ln z v Argz arg z 2k w Lnz ln z i arg z 2k
ln z i arg z i2k ln z 2k i
例2 求1 和i 的值.
2 i
[解] 1 e
2
2 Ln1
e
2 ln12k i
e
2k i 2
cos(2k 2) i sin(2k 2).(k 0, 1, 2,);
i e
i
i Ln i
e
i ln i i 2 k i 2
y 0
y 0
lim arg z π.)
今后我们应用对数函数Ln z时, 指的都是它在除去 原点及负实轴的平面内的某一单值分支.
3.3 幂函数 定义： w
z e
Ln z
n
主值为e ln z的多值函数. ,
n ln z i arg z i 2k
当 n时, z
e
§2.3 初等函数
3.1 指数函数
e z e x iy e x (cos y i sin y) 定义：
x 0 : e z eiy cos y i sin y
性质：
(1) e z定义在全平面上，且 e z 0 ( ex 0, eiy cos y i sin y 0 ez 0) z z z (2) e 在全平面解析，且 e e
e e e e sin1 i cos1 2 2
2 2
2
2
z
计算e • 例1．
3 i 4
的值.
解：据指数的定义，有
e
3 i 4
e (cos
i sin ) 4 4 2 2 3 e ( i sin ). 2 2
3
3.2 对数函数
定义：若w满足 : e z ( z 0), 则w Ln z ( z 0) .