2.3 初等函数及其解析性

§2.3 初等函数
3.1 指数函数
e z e x iy e x (cos y i sin y) 定义：
x 0 : e z eiy cos y i sin y
性质：
(1) e z定义在全平面上，且 e z 0 ( ex 0, eiy cos y i sin y 0 ez 0) z z z (2) e 在全平面解析，且 e e
w
记： w u iv , z
re e
i
u iv
e e re
u iv
i
eu r u ln r ln z v Argz arg z 2k w Lnz ln z i arg z 2k
ln z i arg z i2k ln z 2k i
性质： (1) Ln z为无穷多值函数，每两个值相差2π i的整数倍 ，
(2) z1 , z2 0：Ln (z1 z2 ) Ln z1 Ln z2 ,
z1 Ln( ) Ln z1 Ln z2 . z2
(4) 除去原点与负实轴, ln z在复平面内处处解析：
1, ln z z ( lim arg z ,
e
i i 2 k i 2
e
2 k 2
, (k 0, 1, 2,).
i

2
由此可见i 是正实数, 它的主值是 e
.
3.4 三角函数
e e 定义：sin z 2i
iz
iz
e e , cos z 2
iz
iz
• 例5 求 cos i, sin(1 2.i) • 解 根据定义，有 i i i i 1 • e e e e
cos i
2

2
e (cos1 i sin1) e (cos1 i sin1) 2i
2 2
.
ei (1 2i ) ei (1 2i ) sin(1 2i) 2
z
计算e • 例1．

3 i 4
的值.

解：据指数的定义，有
e
3 i 4
e (cos
i sin ) 4 4 2 2 3 e ( i sin ). 2 2
3
3.2Hale Waihona Puke Baidu对数函数
定义：若w满足 : e z ( z 0), 则w Ln z ( z 0) .
多值性
ln z ln z i arg z
-------主值支
• 例3． Ln2，Ln(1), Ln(2 3i)及其相应的主值. 求
Ln 解： 2 ln 2 2k i, 主值是 ln 2，
Ln(1) ln1 iArg (1) i( 2k ) (2k 1) i,
y 0
y 0
lim arg z π.)
今后我们应用对数函数Ln z时, 指的都是它在除去 原点及负实轴的平面内的某一单值分支.
3.3 幂函数 定义： w
z e

Ln z
n
主值为e ln z的多值函数. ,
n ln z i arg z i 2k
当 n时, z
e
主值是 ln(1) i；
Ln(2 3i) ln 2 3i iArg (2 3i)
1 3 ln13 i ( arctan 2k ) 2 2 1 3 ln13 i( arctan (2k 1) ), k 0, 1, 2, 2 2 1 3 主值是 ln(2 3i ) ln13 i ( arctan ). 2 2
(3)加法定理：e z1 e z2 e z1 z2 z1 , z2
z
(4) e 是以2 i为基本周期的周期函数
(e
z 2k i
e e
z
z 2k i
e cos2k i sin 2k e , k Z )
z z
z z

(5) lim e 不存在. ( z lim e , z lim e 0 ) x x

例2 求1 和i 的值.
2 i
[解] 1 e
2
2 Ln1
e
2 ln12k i
e
2k i 2
cos(2k 2) i sin(2k 2).(k 0, 1, 2,);
i e
i
i Ln i
e
i ln i i 2 k i 2
,
性质：
e cos z i sin z (2)全平面解析函数， sin z cos z , cos z sin z 且
(1)Euler 公式仍然成立：
iz
(3)各种三角恒等式仍然成立(半角公式除外)
(4)sin z为奇函数，cos z为偶函数
(5) 以2 为基本周期的周期函数： sin z 2k sin z ,cos z 2k sin z.(k Z )
(6) sin z与cos z的模可以大于一甚至无界：
e y e y e e y . 例如 cos i 1, cos iy 2 2 (7)定义其他的三角函数：
1 1
sin z cos z tg z , ctg z , cos z sin z 1 1 sec z , csc z . cos z sin z
1 n
e
n ln z
e
in arg z
z e
n
1 n
in arg z
i
---- 单值函数
1 当 时, n
z z e
arg z 2k n
z
n
---- n值函数
在除原点和负实轴复平面内主值支及各分支解析，且
e Ln z e Ln z 1 z 1 z z
e e e e sin1 i cos1 2 2
2 2
2
2