高考数学(一轮复习)学案：《三角函数的基本概念》

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高三高考数学一轮复习课件三角函数复习

正切、余切函数
画出正切、余切函数的图像，探讨它们的周期性、渐近线等性质。
曲线的图像
多點触及抛物线、双曲线的关系及其图像，探讨抛物线、双曲线与三角函数之间的联系。
三角函数与方程
通过数理化的方程处理，学生们可以用解方程的方法来求解三角函数的值和方程。
解三角函数方程的一般步骤利用性质解方程
学习解三角方程的一般步骤，了解如何用图像解三角方程。
推导和应用三角函数的解析式，用三角
函数的解析式来表达和求解三角函数的
具体值。
3
解三角形
应用正弦定理、余弦定理、正切定理等方法来解决三角形的问题。
三角函数的图像与性质
利用三角函数图像及其性质，可以更加直观地理解三角函数的基本概念与性质。
正弦、余弦函数
利用技巧画出正弦、余弦函数的图像，探讨它们的对称性、单调性等性质。
结合生活实例，做大量综合性的例题，让学生们更好地掌握三角函数的基本知识和应用技巧。
解决三角形问题
联系生活实例，通过解决山峰高度、旗杆高度等问题，运用三角函数的知识，实现真正意义上的学以致用。
利用图像解决问题
结合生活实例，如发音频率、打击乐器、音箱等问题，学习如何通过图像解决实际问题。
创意应用
3
题型练习
练习高考难度的多项式函数、一元三次函数、二次函数等题型，达到更高应用水平。
三角函数的导数与微分
计算三角函数的导数及函数的方法计算三角函数的导数及其微分。
应用实例
探讨如何利用导数和微分来解决相关应用问题，如物体运动问题等。
综合应用练习
图像特点
利用图像来体现正弦函数、余弦函数的周期性、振幅等特点。
导数和极值

高三数学一轮复习教学案：三角函数

三角函数1．了解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切．2．掌握三角函数的公式（同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式）及运用．3．能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明．4．掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和)(sin ϕω+=x A y 的简图，理解ϕω、A 、的物理意义．5．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx ，arccosx ，arctanx 表示角．6．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题．三角部分的知识是每年高考中必考的内容，近几年的高考对这部分知识的命题有如下特点：1．降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数图象和性质的考查．尤其是三角函数的最大值与最小值、周期．2．以小题为主．一般以选择题、填空题的形式出现，多数为基础题，难度属中档偏易．其次在解答题中多数是三角函数式的恒等变形，如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等．3．更加强调三角函数的工具性，加强了三角函数与其它知识的综合，如在解三角形、立体几何、平面解析几何中考查三角函数的知识．第1课时任意角的三角函数一、角的概念的推广1．与角α终边相同的角的集合为．2．与角α终边互为反向延长线的角的集合为．3．轴线角（终边在坐标轴上的角）终边在x 轴上的角的集合为，终边在y 轴上的角的集合为，终边在坐标轴上的角的集合为．4．象限角是指：．5．区间角是指：．6．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系．7．弧度与角度互化：180º＝弧度，1º＝弧度，1弧度＝ ≈ º．8．弧长公式：l ＝；扇形面积公式：S ＝ .二、任意角的三角函数9．定义：设P(x, y)是角α终边上任意一点，且 |PO| ＝r ，则sin α＝； cos α＝；tan α＝；10．三角函数的符号与角所在象限的关系：1213的正弦线、余弦线、正切线．－＋－+cos x , ＋＋－－sin x ,－＋＋－tan x ,x y O xy O x y O2α,2α ,3α的终边所在位置.解： ∵α是第二象限的角，∴k·360°+90°＜α＜k·360°+180°（k ∈Z ）.（1）∵2k·360°+180°＜2α＜2k·360°+360°（k ∈Z ），∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上.（2）∵k·180°+45°＜2α＜k·180°+90°（k ∈Z ），当k=2n （n ∈Z ）时，n·360°+45°＜2α＜n·360°+90°；当k=2n+1（n ∈Z ）时，n·360°+225°＜2α＜n·360°+270°.∴2α是第一或第三象限的角.（3）∵k·120°+30°＜3α＜k·120°+60°（k ∈Z ），当k=3n （n ∈Z ）时，n·360°+30°＜3α＜n·360°+60°；当k=3n+1（n ∈Z ）时，n·360°+150°＜3α＜n·360°+180°；当k=3n+2（n ∈Z ）时，n·360°+270°＜3α＜n·360°+300°.∴3α是第一或第二或第四象限的角.变式训练1：已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角？解： ∵α是第三象限角，∴180°+k·360°＜α＜270°+k·360°（k ∈Z ），60°+k·120°＜3α＜90°+k·120°.①当k=3m(m ∈Z )时，可得60°+m·360°＜3α＜90°+m·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第一象限.②当k=3m+1 (m ∈Z )时，可得180°+m·360°＜3α＜210°+m·360°（m ∈Z ).故3α的终边在第三象限.③当k=3m+2 （m ∈Z ）时，可得300°+m·360°＜3α＜330°+m·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第四象限.综上可知，3α是第一、第三或第四象限的角. 例2. 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合:(1)sin α≥23;(2)cos α≤21-.解：（1）作直线y=23交单位圆于A 、B 两点，连结OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为α|2k π+3π≤α≤2k π+32π，k ∈Z .（2）作直线x=21-交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域（图中阴影部分）即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k k ,342322|ππαππα.变式训练2：求下列函数的定义域：（1）y=1cos 2-x ；（2）y=lg(3-4sin 2x ）.解：（1）∵2cosx-1≥0，∴cosx≥21.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示).∴x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-32,32ππππk k （k ∈Z ）.（2）∵3-4sin 2x ＞0,∴sin 2x ＜43,∴-23＜sinx ＜23.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如右图阴影),∴x ∈（k π-3π,k π+3π）（k ∈Z ).例3. 已知角α的终边在直线3x+4y=0上，求sin α,cos α,tan α的值.解：∵角α的终边在直线3x+4y=0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t,-3t) (t≠0),则x=4t,y=-3t,r=5)3()4(2222=-+=+t t y x |t|,当t ＞0时，r=5t, sin α=5353-=-=t t r y ,cos α=5454==t t r x , tan α=4343-=-=t t x y ; 当t ＜0时，r=-5t,sin α=5353=--=t t r y , cos α=5454-=-=t t rx , tan α=4343-=-=t t x y . 综上可知，t ＞0时，sin α=53-,cos α=54,tan α=43-; t ＜0时，sin α=53,cos α=-54,tan α=43-.变式训练3：已知角θ的终边经过点P ()(0),sin m m m θ≠=且，试判断角θ所在的象限，并求cos tan θθ和的值．解：由题意，得0,4r m m ==≠∴= 故角θ是第二或第三象限角．当m =,r =P 的坐标为(，cos tan x y r x θθ∴======当m =,r =P 的坐标为(，cos tan x y r x θθ∴======例4. 已知一扇形中心角为α，所在圆半径为R ． (1) 若α3π=，R ＝2cm ，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积；(2) 若扇形周长为一定值C(C>0)，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值．解：（1）设弧长为l ，弓形面积为S 弓。

年高考第一轮复习数学三角函数的概念同角三角函数的关系诱导公式

第四章三角函数●网络体系总览解三角形角的概念推广●考点目标定位1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算.2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，并会利用与单位圆有关的三角函数线表示正弦、余弦和正切；了解任意角的余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式.3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明（包括引出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）.4.会用正弦线、正切线画出正弦函数、正切函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；理解周期函数与最小正周期的意义，并通过它们的图象理解正弦、余弦、正切函数的性质；会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y =A sin （ωx +ϕ）的简图，理解A 、ω、ϕ的物理意义.5.了解反正弦、反余弦、反正切的概念，会用反三角表示角. ●复习方略指南本部分内容历来为高考命题的热点，其分值约占20%，一般都是三或四个小题，一个大题.小题主要考查三角函数的基本概念、图象、性质及“和、差、倍角”公式的运用.大题则着重考查y =A sin （ωx +ϕ）的图象和性质及三角函数式的恒等变形.试题大都来源于课本中的例题、习题的变形，一般为容易题或中档题.因此复习时应“立足于课本，着眼于提高”.本章内容公式多，三角函数作为工具，和其他知识间的联系密切，因此复习中应注意： 1.弄清每个公式成立的条件，公式间的内在联系及公式的变形、逆用等.切不可死记硬背，要在灵、活、巧上下功夫.2.本章突出显现以数形结合思想与等价转化思想为主导的倾向.在本章复习中，应深刻理解数与形的内在联系，理解众多三角公式的应用及三角函数式的化简、求值、证明等无一不体现等价转化思想.3.通过图象的变换理解并掌握利用变换研究图象的思想方法，并从中体会“变换美”.4.有关三角函数方面的应用题，大都需要用“辅助角公式”a sin x +b cos x =22b a + sin （x +ϕ）（其中ϕ角所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab确定）将函数化成y =A sin （ωx +ϕ）+h 的形式，再求其最值或周期等.4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系、诱导公式●知识梳理1.任意角的三角函数设α是一个任意角，α的终边上任意一点P （x ，y ）与原点的距离是r （r =22y x +＞0），则sin α=r y ，cos α=r x，tan α=xy . 上述三个比值不随点P 在终边上的位置改变而改变. 2.同角三角函数关系式sin 2α+cos 2α=1（平方关系）； ααcos sin =tan α（商数关系）； tan αcot α=1（倒数关系）. 3.诱导公式α+2k π（k ∈Z ）、－α、π±α、2π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.另外：sin （2π－α）=cos α，cos （2π－α）=sin α. ●点击双基 1.已知sin2α=53，cos 2α =－54，那么α的终边在A.第一象限B.第三或第四象限C.第三象限D.第四象限解析：sin α=2sin2αcos 2α=－2524＜0，cos α=cos 22α－sin 22α=257＞0，∴α终边在第四象限.答案：D2.设cos α=t ，则tan （π－α）等于 A.tt 21-B.－tt 21-C.±tt 21-D.±21tt -解析：tan （π－α）=－tan α=－ααcos sin . ∵cos α=t ，又∵sin α=±21t -， ∴tan （π－α）=±tt 21-.答案：C3.α是第二象限角，P （x ，5）为其终边上一点且cos α=42x ，则x 的值为 A.3B.±3C.－3D.－2解析：∵cos α=r x =52+x x =42x ，∴x =0（舍去）或x =3（舍去）或x =－3. 答案：C 4.若ααsin sin 1-1+=ααcos sin 1+，则α的取值范围是_______.解析：∵ααsin sin 1-1+=|cos |sin 1αα+=ααcos sin 1+，∴cos α＞0.∴α∈（2k π－2π，2k π+2π）（k ∈Z ）. 答案：α∈（2k π－2π，2k π+2π）（k ∈Z ） 5.化简8sin 1-=_________.解析：8sin 1-=24cos 4sin ）（-=|sin4－cos4|=sin4－cos4.答案：sin4－cos4 ●典例剖析【例1】（1）若θ是第二象限的角，则）（）（θθ2sin cos cos sin 的符号是什么?（2）π＜α+β＜3π4，－π＜α－β＜－3π，求2α－β的范围.剖析：（1）确定符号，关键是确定每个因式的符号，而要分析每个因式的符号，则关键看角所在象限.（2）可以把α+β与α－β看成两个变量（整体思想），然后把2α－β用这两个变量表示出来即可.解：（1）∵2k π+2π＜θ＜2k π+π（k ∈Z ），∴－1＜cos θ＜0，4k π+π＜2θ＜4k π+2π，－1＜sin2θ＜0. ∴sin （cos θ）＜0，cos （sin2θ）＞0.∴）（）（θθ2sin cos cos sin ＜0.（2）设x =α+β，y =α－β，2α－β=mx +ny ，则2α－β=m α+m β+n α－n β=（m +n ）α+（m －n ）β. ∴⎩⎨⎧-=-=+.12n m n m ，∴m =21，n =23.∴2α－β=21x +23y . ∵π＜x ＜3π4，－π＜y ＜－3π，∴2π＜21x ＜3π2，－2π3＜23y ＜－2π. ∴－π＜21x +23y ＜6π. 评述：（1）解此题的常见错误是： π＜α+β＜34π， ① －π＜α－β＜－3π， ② ①+②得0＜2α＜π，③ 由②得3π＜β－α＜π，④ ①+④得3π4＜2β＜3π7，∴3π2＜β＜6π7. ⑤ ∴－6π7＜－β＜－3π2.⑥③+⑥得－6π7＜2α－β＜3π.（2）本题可用线性规划求解，读者不妨一试. 【例2】已知cos α=31，且－2π＜α＜0，求ααααtan cos π2sin πcot ⋅-+⋅--）（）（）（的值.剖析：从cos α=31中可推知sin α、cot α的值，再用诱导公式即可求之.解：∵cos α=31，且－2π＜α＜0，∴sin α=－322，cot α=－42.∴原式=ααααtan cos sin cot ⋅-⋅-）（）（=αααsin sin cot ⋅-=－cot α=42.评述：三角函数式的化简求值是三角函数中的基本问题，也是常考的问题之一.【例3】已知sin β=31，sin （α+β）=1，求sin （2α+β）的值.剖析：由已知sin （α+β）=1，则α+β=2k π+2π，再将2α+β改造成2（α+β）－β即可求之.解：∵sin （α+β）=1，∴α+β=2k π+2π. ∴sin （2α+β）=sin ［2（α+β）－β］=sin β=31.评述：整体代入是常用的技巧，这里要分析已知和要求的结论之间的角的关系和三角函数名称之间的关系.●闯关训练夯实基础1.角α的终边过点P （－8m ，－6cos60°）且cos α=－54，则m 的值是 A.21 B.－21 C.－23D.23 解析：P （－8m ，－3），cos α=96482+-m m=－54. ∴m =21或m =－21（舍去）. 答案：A2.设α、β是第二象限的角，且sin α＜sin β，则下列不等式能成立的是 A.cos α＜cos β B.tan α＜tan β C.cot α＞cot β D.sec α＜sec β 解析：A 与D 互斥，B 与C 等价，则只要判断A 与D 对错即可.利用单位圆或特殊值法，易知选A.答案：A3.已知tan110°=a ，则tan50°=_________.解析：tan50°=tan （110°－60°）=︒︒+︒-︒60tan 110tan 160tan 110tan =aa 313+-.答案：aa 313+-4.（2004年北京东城区二模题）已知sin α+cos α=51，那么角α是第_______象限的角. 解析：两边平方得1+2sin αcos α=251， ∴sin αcos α=－2512＜0. ∴α是第二或第四象限角.答案：第二或第四5.若sin α·cos α＜0，sin α·tan α＜0，化简2sin 12sin1αα+-+2sin12sin 1αα-+. 解：由所给条件知α是第二象限角，则2α是第一或第三象限角. 原式=2sin 12sin12sin12ααα-++-=|2cos |2α=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-.22sec 222sec 2是第三象限角）（是第一象限角），（αααα6.化简[][]）（）（）（）（θθθθ+⋅--+⋅++πcos πsin π1cos π1sin k k k k （k ∈Z ）. 解：当k =2n （n ∈Z ）时，原式=）（）（）（）（θθθθ+⋅--+⋅++π2cos π2sin ππ2cos ππ2sin n n n n=θθθθcos sin cos sin ⋅--⋅-）（=－1.当k =2n +1（n ∈Z ）时，原式=[][]）（）（）（）（θθθθ++⋅-+-+⋅++ππ2cos ππ2sin π22cos π22sin n n n n =）（θθθθcos sin cos sin -⋅⋅=－1.综上结论，原式=－1. 培养能力7.（2005年北京东城区模拟题）已知tan （4π+α）=2，求：（1）tan α的值；（2）sin2α+sin 2α+cos2α的值.（1）解：tan （4π+α）=ααtan tan 1-1+=2，∴tan α=31. （2）解法一：sin2α+sin 2α+cos2α=sin2α+sin 2α+cos 2α－sin 2α =2sin αcos α+cos 2α =1+ααα2cos cos sin 2=ααααα222cos sin cos cos sin 2++=1+1+αα2tan tan 2=23. 解法二：sin2α+sin 2α+cos2α=sin2α+sin 2α+cos 2α－sin 2α =2sin αcos α+cos 2α.①∵tan α=31，∴α为第一象限或第三象限角. 当α为第一象限角时，sin α=101，cos α=103，代入①得2sin αcos α+cos 2α=23；当α为第三象限角时，sin α=－101，cos α=－103，代入①得2sin αcos α+cos 2α=23. 综上所述sin2α+sin 2α+cos2α=23. 8.已知sin θ=aa +-11，cos θ=a a +-113，若θ是第二象限角，求实数a 的值.解：依题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-++-<+-<-<+-<.11131101131111022）（）（，，a a a a a a a a解得a =91或a =1（舍去）. 故实数a =91. 9.设α∈（0，2π），试证明：sin α＜α＜tan α. 证明：如下图，在平面直角坐标系中作单位圆，设角α以x 轴正半轴为始边，终边与单位圆交于P 点.∵S △OP A ＜S 扇形OP A ＜S △OAT ，∴21|MP |＜21α＜21|A T|. ∴sin α＜α＜tan α. 探究创新 10.是否存在α、β，α∈（－2π，2π），β∈（0，π）使等式sin （3π－α）=2cos （2π－β），3cos （－α）=－2cos （π+β）同时成立?若存在，求出α、β的值；若不存在，请说明理由.解：由条件得⎪⎩⎪⎨⎧.==②①，βαβαcos 2cos 3sin 2sin①2+②2得sin 2α+3cos 2α=2，∴cos 2α=21. ∵α∈（－2π，2π）， ∴α=4π或α=－4π. 将α=4π代入②得cos β=23.又β∈（0，π），∴β=6π，代入①可知，符合.将α=－4π代入②得β=6π，代入①可知，不符合. 综上可知α=4π，β=6π. ●思悟小结1.要熟悉任意角的概念、弧度制与角度制的互化、弧度制下的有关公式、任意角的三角函数概念.2.在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并就不同的象限分别求出相应的值.3.注意公式的变形使用，弦切互化、三角代换、消元是三角变换的重要方法，要尽量减少开方运算，慎重确定符号.4.注意“1”的灵活代换，如1=sin 2α+cos 2α=sec 2α－tan 2α=csc 2α－cot 2α=tan α·cot α.5.应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀.●教师下载中心教学点睛1.本课时概念多且杂，要求学生在预习的基础上，先准确叙述回忆，复习中注意“三基”的落实.2.利用同角三角函数的关系及诱导公式进行化简、求值、证明时，要细心观察题目的特征，注意培养学生观察、分析问题的能力，并注意做题后的总结，引导学生总结一般规律.如：“切割化弦”“1的巧代”，sin α+cos α、sin αcos α、sin α－cos α这三个式子间的关系.拓展题例【例1】求sin 21°+sin 22°+…+sin 290°. 分析：sin 21°+cos 21°=sin 21°+sin 289°=1. 故可倒序相加求和.解：设S =sin 20°+sin 21°+sin 22°+…+sin 290°，S =sin 290°+sin 289°+sin 288°+…+sin 20°，∴2S =（sin 20°+sin 290°）+…+（sin 290°+sin 20°）=1×91.∴S =45.5.【例2】已知sin α+cos β=1，求y =sin 2α+cos β的取值范围. 分析：本题易错解为y =sin 2α+1－sin α，sin α∈［－1，1］，然后求y 的取值范围.解：y =sin 2α－sin α+1=（sin α－21）2+43.∵sin α+cos β=1，∴cos β=1－sin α. ∴⎩⎨⎧1.≤≤1-1≤-≤-ααsin sin 11，∴sin α∈［0，1］. ∴y ∈［43，1］.。

高考数学一轮复习第四章三角函数 4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系及诱导公式课件文

2
∴sin
α= 13 ,则sin α
9
2

=-cos
α= 1
sin2α
= 2 2 3
.
(2)由 sin
α

cos
α

1 5
,
sin2α cos2α 1,
消去cos α整理,得
25sin2α-5sin α-12=0,
解得sin α= 4 或sin α=- 3 .
高考文数
第四章三角函数
§4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系及诱导公式
知识清单
考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式 1.象限角
2.终边相同的角
3.弧度制 (1)角度制与弧度制的互化

1°=① 180
180
rad;1 rad=② ° .
(2)弧长及扇形面积公式弧长公式:③ l=|α|r .
例1 已知角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边
在直线y=2x上,则cos 2θ= ( B )
A.- 4 B.- 3 C. 2 D. 3
5
5
3
4
解题导引
方法一:在角θ的终边上任取一点P,根据直线方程
设出点P的坐标根据三角函数定义分别
求出sin θ与cos θ 利用二倍角公式求出cos 2θ
5
5

-

2
5 5

=- 3 .
5
综上可得,cos 2θ=- 3 ,故选B.
5
解法二:因为该直线的斜率k=2=tan θ,
所以cos
2θ= ccooss22θθ

高中数学教案《三角函数的概念》

教学计划：《三角函数的概念》一、教学目标1.知识与技能：o学生能够准确理解三角函数（正弦、余弦、正切）的基本定义，并能识别其在直角三角形中的表示。

o学生能够掌握三角函数值与角度之间的对应关系，理解三角函数是周期函数的特点。

o学生能够运用三角函数的基本性质进行简单的计算与推导。

2.过程与方法：o通过观察、比较和归纳，引导学生从实际情境中抽象出三角函数的概念。

o借助图像直观展示三角函数的周期性，培养学生的数形结合能力。

o通过小组讨论和合作学习，促进学生之间的交流与合作，共同探索三角函数的性质。

3.情感态度与价值观：o激发学生对数学学习的兴趣，感受数学与生活的紧密联系。

o培养学生的探究精神和创新思维，鼓励他们勇于提出问题并尝试解决。

o引导学生认识到数学在解决实际问题中的重要性，增强应用数学的意识。

二、教学重点和难点●重点：三角函数（正弦、余弦、正切）的定义、图像及基本性质。

●难点：理解三角函数值与角度之间的对应关系，以及三角函数周期性的概念。

三、教学过程1. 导入新课（5分钟）●生活实例引入：通过展示如钟摆运动、海浪波动等自然界中的周期性现象，引导学生思考这些现象背后的数学规律，从而引出三角函数的概念。

●复习旧知：回顾直角三角形的相关知识，如勾股定理、锐角与钝角的定义，为学习三角函数做好铺垫。

●明确目标：简要介绍本节课的学习目标，即掌握三角函数的基本概念、图像及基本性质。

2. 讲授新知（15分钟）●定义讲解：详细讲解正弦、余弦、正切三种三角函数在直角三角形中的定义，强调它们与边长的比例关系。

●图像展示：利用多媒体设备展示三种三角函数的图像，引导学生观察图像特征，如正弦、余弦函数的周期性，正切函数的间断性等。

●性质归纳：结合图像，引导学生归纳出三角函数的基本性质，如定义域、值域、奇偶性、单调性等。

3. 互动探究（10分钟）●小组讨论：将学生分成若干小组，每组分配一个探究任务，如“探究正弦函数在哪些区间内是增函数？”、“尝试用三角函数表示一个圆上某点的坐标”。

高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数学案文(含解

第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数2019考纲考题考情1．角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角。

(2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角。

(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2k π＋α，k ∈Z 。

2．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

(2)角α的弧度数如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r。

(3)角度与弧度的换算①1°＝π180rad ；②1 rad ＝ ⎛⎪⎫180π°。

(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，则l ＝|α|r ，扇形的面积为S ＝12lr ＝12|α|·r 2。

3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)。

(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示。

正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是点(1,0)。

如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线。

1．区分两个概念(1)第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角。

(2)不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等。

2．一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦。

3．三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r，cos α＝x r ，tan α＝y x。

一、走进教材1．(必修4P 10A 组T 7改编)角－225°＝________弧度，这个角在第________象限。

答案－5π4二2．(必修4P 15练习T 2改编)设角θ的终边经过点P (4，－3)，那么2cos θ－sin θ＝________。

(完整版)一轮复习三角函数的基本概念

{α|α=k·360°＋180°， k∈Z}
Y 轴正半轴 Y 轴负半轴
{α|α=k·360°＋90°， k∈Z}
{α|α=k·360°+270°，k∈Z}
弧度制
我们把长度等于半径长的弧所对的
圆心角叫做1弧度的角.
单位符号：rad
B
读作:弧度
C
l = 2r
l =r
1rad
Oo r
A
2rad
A
r
Oo
S={ β| β=α+k·3600 , K∈ Z}
注:（1） K ∈ Z
（2）是任意角
（3）相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍
y
O
x
α 终边所在的象限
角 α 的集合
第一象限
{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}
第二象限
{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°， k∈Z}
第三象限
{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°， k∈Z}
第四象限
{α|k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z}
y
O
x
α 终边所在的轴 X 轴正半轴
X 轴负半轴
角 α 的集合 {α|α=k·360°，k∈Z}
A.40 B.140 C. 40 D. 140
(2)有下列各式：① sin1125 ;② tan 37 sin 37 ;
12
12
③ sin 4 ;④ sin | 1|,其中为负值的个数是 ___2____ .
tan 4

第03讲三角函数的图象与性质(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习学案(新高考通用)

第03讲三角函数的图象与性质（6类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低或中等，分值为5-11分【备考策略】1能用五点作图法作出正弦、余弦和正切函数图象，并掌握图象及性质2能用五点作图法作出正弦型、余弦型和正切型函数图象，并掌握图象及性质3理解hxAy++=)sin(ϕω中hA、、、ϕω的意义，理解hA、、、ϕω的变化对图象的影响，并能求出参数及函数解析式【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会综合考查三角函数的图象与性质的综合应用，需加强复习备考1.三角函数的图象与性质siny x=cosy x=tany x=图象定义域R R,2x x k kppìü¹+ÎZíýîþ值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x kpp=+时，max1y=；当22x kpp=-时，min1y=-．当2x k p=时，max1y=；当2x k p p=+时，min1y=-．既无最大值也无最小值2.三角函数型函数的图象和性质（1）正弦型函数、余弦型函数性质h x A y ++=)sin(ϕω，hx A y ++=)cos(ϕωA 振幅，决定函数的值域，值域为[]A A ,-ω决定函数的周期，ωp2=T ϕω+x 叫做相位，其中ϕ叫做初相（2）正切型函数性质h x A y ++=)tan(ϕω的周期公式为：ωp=T （3）会用五代作图法及整体代换思想解决三角函数型函数的图象及性质1．（2024·上海·高考真题）下列函数()f x 的最小正周期是2π的是（）A ．sin cos x x +B ．sin cos x x C ．22sin cos x x+D ．22sin cos x x-2．（2024·全国·高考真题）函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是．周期性2p 2p p奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k pp p p éù-+êúëû上是增函数；在32,222k k p p p p éù++êúëû上是减函数．在[]2,2k k p p p -上是增函数；在[]2,2k k p p p +上是减函数．在,22k k pp p p æö-+ç÷èø上是增函数．对称性对称中心(),0k p 对称轴2x k pp =+对称中心,02k p p æö+ç÷èø对称轴x k p=对称中心,02k p æöç÷èø无对称轴3．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x p æö=-ç÷èø单调递增的区间是（）A ．0,2p æöç÷èøB ．,2ππæöç÷èøC ．3,2p p æöç÷èøD ．3,22p p æöç÷èø4．（2024·全国·高考真题）（多选）对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =-，下列说法中正确的有（）A ．()f x 与()g x 有相同的零点B ．()f x 与()g x 有相同的最大值C ．()f x 与()g x 有相同的最小正周期D ．()f x 与()g x 的图象有相同的对称轴5．（2022·全国·高考真题）（多选）已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像关于点2π,03æöç÷èø中心对称，则（）A ．()f x 在区间5π0,12æöç÷èø单调递减B ．()f x 在区间π11π,1212æö-ç÷èø有两个极值点C ．直线7π6x =是曲线()y f x =的对称轴D ．直线y x =-是曲线()y f x =的切线1．（2021·全国·高考真题）函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（）A ．3πB ．3π和2C ．6πD ．6π和22．（2024·天津·高考真题）已知函数()()πsin303f x x ωωæö=+>ç÷èø的最小正周期为π．则()f x 在ππ,126éù-êúëû的最小值是（）A ．B ．32-C ．0D ．323．（2024·全国·高考真题）当[0,2]x p Î时，曲线sin y x =与2sin 36y x p æö=-ç÷èø的交点个数为（）A ．3B ．4C ．6D ．84．（2022·天津·高考真题）已知1()sin 22f x x =，关于该函数有下列四个说法：①()f x 的最小正周期为2π；②()f x 在ππ[,44-上单调递增；③当ππ,63x éùÎ-êúëû时，()f x 的取值范围为éêë；④()f x 的图象可由1πg()sin(2)24x x =+的图象向左平移π8个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．（2024·河北唐山·二模）函数()()sin 2f x x ϕ=-π2ϕæö£ç÷èø在π0,3æöç÷èø上为单调递增函数，则ϕ的取值范围为（）A ．ππ,26éù--êúëûB ．π,06éù-êúëûC ．ππ,62éùêúëûD ．π0,6éùêúëû1．（2023·天津·高考真题）已知函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，且()f x 的一个周期为4，则()f x 的解析式可以是（）A ．sin 2x p æöç÷èøB ．cos 2x p æöç÷èøC ．sin 4x p æöç÷èøD ．cos 4x pæöç÷èø2．（2022·北京·高考真题）已知函数22()cos sin f x x x =-，则（）A ．()f x 在,26p p æö--ç÷èø上单调递减B ．()f x 在,412p p æö-ç÷èø上单调递增C ．()f x 在0,3p æöç÷èø上单调递减D ．()f x 在7,412p p æöç÷èø上单调递增3．（2024·全国·二模）已知函数()2πcos 23f x x æö=-ç÷èø，2ππ,33x éùÎ-êúëû，则函数()f x 的单调递减区间为.4．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数π()2cos 26f x x æö=+ç÷èø在区间[]0,a 上的值域为é-ë，则a 的取值范围为（）A ．5π5π,126éùêúëûB ．5π11π,1212éùêúëûC ．25,512ππéùêúëûD ．5π,π12éùêúëû5．（2024·江苏扬州·模拟预测）（多选）已知函数()2π2cos 6f x x æö=-ç÷èø，则（）A ．()f x 最小正周期为2πB ．π6x =是()f x 图象的一条对称轴C ．5π,112æöç÷èø是()f x 图象的一个对称中心D ．()f x 在ππ,44æö-ç÷èø上单调1．（2024·全国·模拟预测）函数()π3cos 26f x x æö=-+ç÷èø的单调递增区间为（）A ．πππ,π,36k k k éù-+ÎêúëûZB ．π2ππ,π,63k k k Zéù++ÎêúëûC ．7πππ,π,1212k k k éù--ÎêúëûZD ．π5ππ,π,1212k k k éù-+ÎêúëûZ2．（2021·北京·高考真题）函数()cos cos 2f x x x =-是A ．奇函数，且最大值为2B ．偶函数，且最大值为2C ．奇函数，且最大值为98D ．偶函数，且最大值为983．（2024·福建漳州·一模）已知函数()π2cos 36f x x æö=+ç÷èø在0,6a éùêúëû上单调递减，则实数a 的最大值为（）A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．3π24．（2024·浙江·模拟预测）（多选）已知函数()2ππsin 248f x x x æöæö=+++ç÷ç÷èøèø，则以下结论正确的为（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 图象关于点5π24æçè对称C ．()f x 在4π3π,32æöç÷èø上单调递减D ．将()f x 图象向左平移11π24个单位后，得到的图象所对应的函数为偶函数1．（2024·上海·三模）函数tan()6πy x =-+的最小正周期为．2．（2024·安徽·三模）“ππ,4k k ϕ=-+ÎZ ”是“函数()tan y x ϕ=+的图象关于π,04æöç÷èø对称”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（多选）若函数()πtan 238f x x æö=-+ç÷èø，则（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的定义域为5ππ,162k x x k ìü¹+ÎíýîþZ C ．()f x 在π3π,1616æöç÷èø上单调递增D ．()f x 的图象关于点π,016æöç÷èø对称4．关于函数()y f x =，其中()tan tan f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数； ②()f x 在区间π0,2æöç÷èø上是严格增函数；③()f x 在[]π,π-有3个零点； ④()f x 的最小正周期为π．其中所有正确结论的编号是（）．A ．①②B ．②④C ．①④D ．①③5．函数()()tan sin cos f x x x =+，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的定义域为R B ．()f x 是奇函数C ．()f x 是周期函数D ．()f x 既有最大值又有最小值1．（2024·湖北荆州·三模）函数π()tan(23f x x =+的最小正周期为（）A ．πB ．π2C ．π3D ．π62．（2023·河南·模拟预测）已知函数π()tan 23f x x æö=+ç÷èø，则下列说法正确的是（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 在区间π7π,1212éùêúëû上单调递增C ．()f x 图象的一个对称中心为π,012æöç÷èøD ．()f x 的最小正周期为π3．（多选）已知函数()ππtan 124f x x æö=++ç÷èø，则（）A ．()f x 的一个周期为2B ．()f x 的定义域是1,Z 2x x k k ìü¹+ÎíýîþC ．()f x 的图象关于点1,12æöç÷èø对称D ．()f x 在区间[]1,2上单调递增9．（2024·湖南长沙·二模）已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕæö=+><<ç÷èø的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k æù-+ÎçèûB ．()5π2π2π,2πZ 33k k k æù--ÎçúèûC ．()4ππ2π,2πZ 33k k k æù--ÎçúèûD ．()π2π2π,2πZ 33k k k æù-+Îçúèû1．（2023·天津·高考真题）已知函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，且()f x 的一个周期为4，则()f x 的解析式可以是（）A ．sin 2x pæöç÷èøB ．cos 2x p æöç÷èøC ．sin 4x p æöç÷èøD ．cos 4x pæöç÷èø2．（2024·北京·高考真题）设函数()()sin 0f x x ωω=>.已知()11f x =-，()21f x =，且12x x -的最小值为π2，则ω=（）A ．1B ．2C ．3D ．43．（2021·全国·高考真题）已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f p p æöæöæöæö--->ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø的最小正整数x 为．4．（2023·全国·高考真题）已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若π6AB =，则()πf = ．5．（2022·全国·高考真题）记函数()sin (0)4f x x b p ωωæö=++>ç÷èø的最小正周期为T ．若23T p p <<，且()y f x =的图象关于点3,22p æöç÷èø中心对称，则2f p æö=ç÷èø（）A ．1B ．32C ．52D ．36．（2023·全国·高考真题）已知函数()()()sin ,0f x x ωϕω=+>在区间π2π,63æöç÷èø单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条相邻对称轴，则5π12f æö-=ç÷èø（）A ．B ．12-C ．12D1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数()()sin (0,0,π)f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示，则π7π46f f æöæö+-=ç÷ç÷èøèø（）A B C ．0D 2．（2024·重庆·三模）已知函数()sin()0,0,22f x A x A p p ωϕωϕæö=+>>-<<ç÷èø的部分图像如图所示，若1()3f q =，则523f p q æö+=ç÷èø（）A ．29-B ．29C ．79-D ．793．（2024·全国·模拟预测）已知直线ππ,123x x ==是函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕæö=+>><ç÷èø图象的两条相邻的对称轴，且ππ4312f f æöæö-=-ç÷ç÷èøèø，则()f ϕ=（）A ．BC ．1-D ．14．（2024·安徽·三模）已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕæö=+><ç÷èø的部分图象如下图所示，若曲线()y f x =过点3π,28A æö--ç÷èø，(B ，()()11,C x f x ，()()22,D x f x ，且()()1212f x f x =-=-，则()12cos 22x x -=（）A ．78B ．78-C D ．5．（2024·广东汕头·三模）已知 A ，B ，C 是直线y m =与函数()2sin()f x x ωϕ=+（0ω>，0πϕ<<）的图象的三个交点，如图所示．其中，点A ，B ，C 两点的横坐标分别为12,x x ，若21π4x x -=，则（）A ．π4ϕ=B ．π()2f =C ．()f x 的图象关于(π,0)中心对称D ．()f x 在π[0,]2上单调递减1．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知函数π()cos()0,02f x x ωϕωϕæö=+><<ç÷èø的部分图象如图所示，若x "ÎR ，()()f x m f x +=-，则正整数m 的取值为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕæö=+>><<ç÷èø的部分图象如图所示，其中一个最高点的坐标为π,16æöç÷èø，与x 轴的一个交点的坐标为5π,012æöç÷èø．设M ，N 为直线y t =与()f x 的图象的两个相邻交点，且π3MN =，则t 的值为（）A ．12±B ．12-C ．12D ．3．（2024·河南周口·模拟预测）如图，直线1y =-与函数()()00πsin 20,2f x A x A ϕϕæö=+><ç÷èø的图象的三个相邻的交点分别为A ，B ，C ，其横坐标分别为A x ，B x ，C x ，且2()C B B A A x x x x x -=-=，则ϕ的值为（）A ．π6-B ．π6C ．π3-D ．π31．（2024·山西长治·一模）已知函数π()sin()(0,0,||2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，若方程()f x m =在π[,0]2-上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）A ．[2,-B ．(2,-C ．(2,1]--D ．[2,1]--2．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数()sin f x x x ωω=+(0)>ω在区间[,]a b 上是减函数，且()1f a =，()1f b =-，πb a -=，则ω=（）A ．13B ．23C ．1D ．23．（2024·河南信阳·模拟预测）已知()πsin 3f x A x B ωæö=-+ç÷èø（0,0,A B ω>>为常数），()max 1()3f x f x ==，()min 2()1f x f x ==-，且12x x -的最小值为π2，若()f x 在区间[],a b 上恰有8个零点，则b a -的最小值为（）A ．3πB ．11π3C ．7π2D ．10π34．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数()()sin (0,0,π)f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，将()f x 的图象向左平移π4个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间[]0,t 上的值域为éùëû，则t 的取值范围为（）A ．5π2π,123éùêúëûB ．π5π,46éùêúëûC ．5π5π,126éùêúëûD ．5π,π12éùêúëû1．（2024·河北唐山·一模）已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>的最小正周期为π，则（）A ．()f x 在ππ,88éù-êúëû单调递增B ．3π,08æöç÷èø是()f x 的一个对称中心C ．()f x 在ππ,66éù-êëû的值域为éëD ．π8x =是()f x 的一条对称轴2．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）已知函数()sin 21f x x =+，将()f x 的图象向左平移π4个单位长度，得到函数()g x 的图象，若关于x 的方程()()g x a a =ÎR 在9π0,8éùêëû上有5个实数根，1x ，2x ，3x ，4x ，5x ()12345x x x x x <<<<，则()123452x x x x x ++++=（）A ．9π2B ．6πC ．7π2D ．5π3．（2024·天津红桥·一模）将函数()f x 的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π3单位，得到函数π()sin(2)02g x x ϕϕæö=+<<ç÷èø的部分图象（如图所示）．对于1x "，2,[]x a b Î，且12x x ¹，若()()12g x g x =，都有()12g x x +=成立，则下列结论中不正确的是（）A ．π()sin 23g x x æö=+ç÷èøB ．π()sin 43f x x æö=-ç÷èøC ．()g x 在3ππ,2éùêúëû上单调递增D ．函数()f x 在4π0,3éùêúëû的零点为12,,,n x x x L ，则123185π22212n n x x x x x -+++++=L 4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数()1cos cos f x x x=-，现给出下列四个结论：①()f x 的图象关于点π,02æöç÷èø对称；②函数()()h x f x =的最小正周期为2π；③函数()()()2g x f x f x =+在π0,2æöç÷èø上单调递减；④对于函数()()()()()π2,0,,3π2g x f x f x x g x g x æö=+"Î=+ç÷èø．其中所有正确结论的序号为（）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．②③④5．（2024·广西贵港·模拟预测）（多选）设函数()f x 的定义域为R ，π(4f x -为奇函数，π()4f x +为偶函数，当ππ(,]44x Î-时，4()cos 3f x x =，则（）A ．(4π)()f x f x +=B ．()f x 的图象关于直线3π4x =对称C ．()f x 在区间3π(,2π)2上为增函数D ．方程()lg 0f x x -=仅有4个实数解1．（2024·山东滨州·二模）已知函数π()sin (0)6f x x ωωæö=+>ç÷èø在[]0,2π上有且仅有4个零点，直线π6x =为函数()y f x =图象的一条对称轴，则π3f æö=ç÷èø（）A ．B ．12-C ．12D 2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>满足：对x "ÎR ，有()()π02f f x f æö££ç÷èø，若存在唯一的ω值，使得()y f x =在区间ππ,(0)44m m m éù-+>êúëû上单调递减，则实数m的取值范围是（）A ．π0,12æùçúèûB ．ππ,2812æùçúèûC ．ππ,2012æùçúèûD ．ππ,2820æùçúèû3．（2024·广西·模拟预测）已知函数211()cos sin (22h x x a x a =+-³，若()h x 在区间*()(0,πN )n n Î内恰好有2022个零点，则n 的取值可以为（）A ．2025B ．2024C ．1011D ．13484．（2024·山东烟台·三模）若定义在R 上的函数()f x 满足：π04f æö¹ç÷èø，3π04f æö=ç÷èø，且对任意1x ，2x ÎR ，都有()()()121212π44f x x f x x f x f x æö++-=×+ç÷èø，则（）A ．()00f =B ．()f x 为偶函数C ．π是()f x 的一个周期D ．()f x 图象关于π4x =对称5．（2024·江西吉安·模拟预测）（多选）已知函数()sin sin cos2f x x x x =-，则（）A ．()f x 的图象关于点()π,0对称B ．()f x 的值域为[]1,2-C ．若方程()14f x =-在()0,m 上有6个不同的实根，则实数m 的取值范围是17π10π,63æùçúèûD ．若方程()()()2221R f x af x a a éù-+=Îëû在()0,2π上有6个不同的实根()1,2,,6i x i =L ，则61i i a x =å的取值范围是()0,3π一、单选题1．（2024·江苏南通·模拟预测）下列函数中，以π为周期，且其图象关于点π,04æöç÷èø对称的是（）A ．tan y x =B ．|sin |y x =C ．22cos 1y x =-D ．sin cos y x x=-2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数()()cos 2210f x x x ωωω=+>的最小正周期为π，则()f x 的图象的一个对称中心为（）A ．π,012æö-ç÷èøB ．π,012æöç÷èøC ．π,112æö-ç÷èøD ．π,112æöç÷èø3．（2024·天津北辰·三模）已知函数()22cos 2cos 2f x x x x =+，则下列结论不正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为π2B ．()f x 的图象关于点5π1,242æöç÷èø对称C ．若()f x t +是偶函数，则ππ124k t =+，Z k ÎD ．()f x 在区间π0,4éùêúëû上的值域为[]0,14．（2024·福建泉州·一模）已知函数()f x 的周期为π，且在区间ππ,63æöç÷èø内单调递增，则()f x 可能是（）A ．π()sin 3f x x æö=-ç÷èøB ．π()cos 3f x x æö=-ç÷èøC ．π()sin 23f x x æö=-ç÷èøD ．π()cos 23f x x æö=-ç÷èø5．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数cos y x =与lg y x =的图象的交点个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．66．（2024·吉林长春·模拟预测）函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕæö=+>><ç÷èø的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A ．π2,6A ϕ==B ．函数()f x 的最小正周期为2πC ．函数()f x 在ππ,32æöç÷èø上单调递减D ．函数()f x 的图象上的所有点向左平移π12个单位长度后，所得的图象关于y 轴对称二、多选题7．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）已知函数()sin cos f x x x =×，则（）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 的最小正周期为2πC ．()f x 的最小值为12-D ．()f x 在π0,2éùêëû上单调递增8．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数()()()sin 20πϕϕ=+<<f x x 的图像关于点π,03æöç÷èø中心对称，则（）A ．()f x 在区间π5π,1212æöç÷èø单调递减B ．()f x 在区间π11π,612æö-ç÷èø有两个极值点C ．直线5π6x =是曲线()y f x =的对称轴D ．直线y x =+是曲线()y f x =在0x =处的切线9．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数()2πcos2cos 2,3f x x x æö=++ç÷èø则（）A ．函数()f x 的图象关于点7π,012æöç÷èø对称B ．将函数()f x 的图象向左平移7π12个单位长度后所得到的图象关于y 轴对称C ．函数()f x 在区间[]0,π上有2个零点D ．函数()f x 在区间π5π,36éùêúëû上单调递增10．（2024·浙江·模拟预测）已知函数()()πcos 03f x x ωωæö=+>ç÷èø，则（）A ．当2ω=时，π6f x æö-ç÷èø的图象关于π2x =对称B ．当2ω=时，()f x 在π0,2éùêúëûC ．当π6x =为()f x 的一个零点时，ω的最小值为1D ．当()f x 在ππ,36æö-ç÷èø上单调递减时，ω的最大值为1一、单选题1．（2024·全国·三模）若偶函数()()()πcos sin 0,2f x x x ωϕωϕωϕæö=+++><ç÷èø的最小正周期为π2，则（）A ．2ω=B ．ϕ的值是唯一的C ．()f xD ．()f x 图象的一条对称轴为π4x =2．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数()cos2πf x x =，则图中的函数图象所对应的函数解析式为（）A ．(21)y f x =-B ．12x y f æö=-ç÷èøC ．122x y f æö=-ç÷èøD ．122y f x æö=-ç÷èø3．（2024·陕西西安·模拟预测）将函数()πsin 212f x x æö=-ç÷èø的图象向左平移π8个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间0,3a éùêúëû和7π4,6a éùêúëû上均单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．π7π,624éö÷êëøB ．ππ,62éö÷êëøC ．7ππ,242éö÷êëøD ．π7π,1224éö÷êëø4．（2024·山东济宁·三模）已知函数1()cos )cos 2f x x x x =+-，若()f x 在区间π[,]4m -上的值域为[，则实数m 的取值范围是（）A ．ππ[,62B ．ππ[,]62C ．π7π[,612D ．π7π,612éùêúëû5．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数ππ()sin()0,0,22f x A x A ωϕωϕæö=+>>-<<ç÷èø，且π2π,63x x ==是函数y =()f x 相邻的两个零点，R,()3x f x "Î£，则下列结论错误的是（）A ．3A =B ．2ω=C ．π6ϕ=-D ．ππ1212f x f x æöæö-=--ç÷ç÷èøèø二、多选题6．（2024·山东·模拟预测）已知函数()sin2cos2f x a x x =+的图象关于直线π6x =对称，则下列结论正确的是（）A ．07π6f æö=ç÷èøB ．π12f x æö-ç÷èø为奇函数C ．若()f x 在[],m m -单调递增，则π06m <£D ．()f x 的图象与直线15π224y x =-有5个交点7．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数()()sin f x x ωϕ=+，下列说法正确的是（）A ．若函数图象过原点，则0ϕ=B ．若函数图象关于y 轴对称，则ππ,2k k ϕ=+ÎZ C ．若函数在零点处的切线斜率为1或1-，则其最小正周期为2πD ．存在18ω=，使得将函数图象向右平移π6个单位后与原函数图象在x 轴的交点重合8．（2024·湖北武汉·模拟预测）设函数()()πsin 06f x x ωωæö=->ç÷èø，则下列结论正确的是（）A ．()0,2ω"Î，()f x 在ππ,64éù-êúëû上单调递增B ．若2ω=且()()122f x f x -=，则12min πx x -=C ．若()1f x =在[]0,π上有且仅有2个不同的解，则ω的取值范围为58,33éö÷êëøD ．存在()0,2ωÎ，使得()f x 的图象向左平移π6个单位长度后得到的函数为奇函数9．（2024·河北张家口·三模）已知函数2()2sin cos =+f x x x x ，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的一个周期为2πB ．函数()f x 的图象关于点π,03æöç÷èø对称C ．将函数()f x 的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为5π12D ．若15π12242f a æö-=ç÷èø，其中a 为锐角，则sin cos a a -10．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕp =+>><<，其部分图象如图所示，且直线y A =与曲线π11π()2424y f x x æö=-££ç÷èø所围成的封闭图形的面积为π，下列叙述正确的是（）A ．2A =B ．π()24y f x =+为奇函数C ．π2π3π2024π08888f f f f æöæöæöæö++++=ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøL D ．若()f x 在区间π,6a a æö+ç÷èø（其中0a >）上单调递增，则a 的取值范围是5π7π,2424éùêúëû1．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（）A ．22e 1x x y x -=+B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x x y x -=+D ．||sin 4e x x xy +=2．（2023·北京·高考真题）设函数π()sin cos cos sin 0,||2f x x x ωϕωϕωϕæö=+><ç÷èø．(1)若(0)f =ϕ的值．(2)已知()f x 在区间π2π,33-éùêúëû上单调递增，2π13f æö=ç÷èø，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，求,ωϕ的值．条件①：π3f æö=ç÷èø条件②：π13f æö-=-ç÷èø；条件③：()f x 在区间ππ,23éù--êúëû上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．3．（2021·浙江·高考真题）设函数()sin cos (R)f x x x x =+Î.（1）求函数22y f x p éùæö=+ç÷êúèøëû的最小正周期；（2）求函数()4y f x f x p æö=-ç÷èø在0,2p éùêúëû上的最大值.4．（2020·全国·高考真题）设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π25．（2020·山东·高考真题）下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （）A ．πsin(3x +B ．πsin(2)3x -C ．πcos(26x +D ．5πcos(2)6x -6．（2020·全国·高考真题）关于函数f （x ）=1sin sin x x +有如下四个命题：①f （x ）的图象关于y 轴对称．②f （x ）的图象关于原点对称．③f （x ）的图象关于直线x =2p 对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是．7．（2019·浙江·高考真题）设函数()sin ,f x x x =ÎR .（1）已知[0,2),q Îp 函数()f x q +是偶函数，求q 的值；（2）求函数22[()][(124y f x f x p p =+++ 的值域.8．（2019·全国·高考真题）设函数()f x =sin （5x ωp +）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2p 有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2p ）有且仅有3个极大值点②()f x 在（0,2p ）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10p ）单调递增④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④9．（2019·全国·高考真题）下列函数中，以2p 为周期且在区间(4p ，2p )单调递增的是A ．f (x )=│cos 2x │B ．f (x )=│sin 2x │C ．f (x )=cos│x │D ．f (x )= sin│x │10．（2019·全国·高考真题）关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2p,p ）单调递增-p p有4个零点④f(x)的最大值为2③f(x)在[,]其中所有正确结论的编号是A．①②④B．②④C．①④D．①③。

高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形 3.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数学案文

3．1 任意角和弧度制及任意角的三角函数[知识梳理]1．任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．(4)相关结论①象限角②轴线角2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)公式3．任意角的三角函数[诊断自测] 1．概念思辨(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( )(2)一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位．( )(3)α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α>α>sin α.( )(4)α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．教材衍化(1)(必修A4P 9T 5)直径为4的圆中，36°的圆心角所对的弧长是( ) A.4π5 B.2π5 C.π3 D.π2答案 B解析 ∵36°＝36×π180 rad ＝π5 rad ，∴36°的圆心角所对的弧长为l ＝π5×2＝2π5.故选B.(2)(必修A4P 21T 9)设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 B解析由θ在第三象限，所以2k π＋π<θ<2k π＋3π2(k ∈Z )，所以k π＋π2<θ2<k π＋3π4(k ∈Z )．又cos θ2≤0，故选B. 3．小题热身(1)(2017·石家庄模拟)已知角α的终边在直线y ＝－x 上，且cos α＜0，则tan α＝________.答案－1解析如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P (x ，y )，则y ＝－x ，由三角函数的定义得tan α＝y x ＝－xx＝－1.(2)(2018·黄浦模拟)如图，已知扇形OAB 和OA 1B 1，A 1为OA 的中点，若扇形OA 1B 1的面积为1，则扇形OAB 的面积为________．答案 4解析设∠AOB ＝α，则S 扇形OA 1B 1＝12OA 21·α＝1，S 扇形OAB ＝12OA 2·α，OA ＝2OA 1，∴S 扇形OAB ＝12·(2OA 1)2·α＝4.题型1 象限角及终边相同的角典例1设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z，判断两集合的关系( ) A ．M ＝N B ．M N C ．N MD ．M ∩N ＝∅将描述法表示的集合变为列举法表示．答案 B解析由于M ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪ x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z } ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M N .典例2 已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋|cos θ|cos θ＋tan θ|tan θ|的值为________．找α的终边，利用终边定号法．答案－1解析由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同角的概念知，α的终边在第四象限，又θ与α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.因此，y ＝－1＋1－1＝－1.方法技巧象限角的两种判断方法1．图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．2．转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α＜360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．提醒：注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k ·180°(k ∈Z )表示终边落在角α的终边所在直线上的角．冲关针对训练1．(2017·潍坊模拟)集合{|αk π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样．故选C.2．若sin θ2＝45，且sin θ<0，则θ所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 ∵sin θ<0，∴2sin θ2cos θ2<0.又∵sin θ2＝45，∴cos θ2<0.故θ2在第二象限，且2k π＋π2<θ2<2k π＋34π(k ∈Z )． ∴4k π＋π<θ<4k π＋32π，∴θ在第三象限．故选C.题型2 弧度制及扇形面积公式的应用典例已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)已知扇形的周长为10 cm ，面积是4 cm 2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？利用方程组法、二次函数求最值．解 (1)α＝60°＝π3 rad ，∴l ＝α ·R ＝π3×10＝10π3 (cm)．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2R ＋R α＝10，12α·R 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧R ＝1，α＝8(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧R ＝4，α＝12.故扇形圆心角为12.(3)由已知得，l ＋2R ＝20，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10，α＝2.[条件探究] 将典例中的第(3)问推广为“若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？”解扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ， ∴R ＝C2＋α，∴S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋α2＝C 2α2·14＋4α＋α2＝C 22·14α＋4＋α≤C 216. 当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216.方法技巧应用弧度制解决问题的方法1．利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．见典例(1)． 2．求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．见典例(3)．3．在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．提醒：弧度制下l ＝|α|·r ，S ＝12lr ，此时α为弧度．在角度制下，弧长l ＝n πr180，扇形面积S ＝n πr 2360，此时n 为角度，它们之间有着必然的联系．冲关针对训练(2018·大连模拟)一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形的面积是( )A.R 22B.12R 2sin1·cos1 C.12R 2(2－sin1·cos1) D ．R 2(1－sin1·cos1)答案 D解析设圆心角为θ，由题知2R ＋R ·θ＝4R ，得θ＝2，所以S 弓＝S 扇－S三角形＝12×2R ·R －12R 2·sin2＝R 2－12R 2·sin2＝R 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12sin2＝R 2(1－sin1·cos1)．故选D.题型3 任意角三角函数的定义及应用角度1 利用三角函数定义求值典例已知角α的顶点在原点，始边为x 轴的非负半轴．若角α终边经过点P (－3，y )，且sin α＝34y (y ≠0)，则判断角α所在的象限，并求cos α和tan α的值．定义法．解依题意，P 到原点O 的距离为 |PO |＝ (－3)2＋y 2，∴sin α＝y r＝y3＋y2＝34y . ∵y ≠0，∴9＋3y 2＝16，∴y 2＝73，∴y ＝±213.∴点P 在第二或第三象限．当P 在第二象限时，y ＝213，cos α＝x r ＝－34，tan α＝－73. 当P 在第三象限时，y ＝－213，cos α＝x r ＝－34，tan α＝73. 角度2 利用三角函数线比较大小，解不等式典例 sin1，cos1，tan1的大小关系是( ) A ．sin1>cos1>tan1 B ．sin1>tan1>cos1 C ．tan1>sin1>cos1D ．tan1>cos1>sin1单位圆定义法．答案 C解析作单位圆，作出锐角1弧度的正弦线BP ，余弦线OB ，正切线AT ，可得tan1>sin1>cos1.故选C.方法技巧三角函数定义问题的常见类型及解题策略1．已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．2．利用单位圆解三角不等式的步骤 (1)确定区域的边界(注意边界的虚实)； (2)确定区域； (3)写出解集．3．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．提醒：若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．冲关针对训练1．设π2<x <3π4，a ＝sin x ，b ＝cos x ，c ＝tan x ，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <c <aD ．b <a <c 答案 B解析 ∵π2<x <3π4，∴22<sin x <1，－22<cos x <0，tan x <－1. ∴c <b <a .故选B.2．(2017·兴庆区校级期中)已知角α的终边经过点P (x ，－2)(x >0)，且cos α＝36x, 求sin α＋1tan α的值．解角α的终边经过点P (x ，－2)(x >0) ∵r ＝x 2＋2，∵cos α＝x r ＝36x ，可得x ＝10. 则r ＝2 3.sin α＝y r ＝－223＝－66，tan α＝y x ＝－210＝－55.那么sin α＋1tan α＝－66－5＝－6＋656.1．(2017·商丘期末)已知点P (－3，y )为角β的终边上的一点，且sin β＝1313，则y 的值为( )A ．±12 B.12 C ．－12 D ．±2答案 B解析由题意可得：|OP |＝y 2＋3，所以sin β＝y y 2＋3＝1313，所以y ＝±12，又因为sin β＝1313，所以y >0，所以y ＝12.故选B. 2．(2018·东莞月考)角β的终边上有一点P (－m ，m )，其中m ≠0，则sin β＋cos β的值为( )A. 2 B ．－ 2 C ．0 D.2或－ 2 答案 C解析角β的终边上有一点P (－m ，m )，其中m ≠0， ∴r ＝|OP |＝2|m |，当m >0时，cos β＝－m2|m |＝－22，sin β＝m2|m |＝22，∴sin β＋cos β＝0；当m <0时，cos β＝－m2|m |＝22，sin β＝m 2|m |＝－22，∴sin β＋cos β＝0.综上，sin β＋cos β的值为0.故选C.3．(2017·连云港质检)已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.5π6 B.2π3 C.5π4 D.11π6答案 D解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴角α为第四象限角，且sin α＝－12，cos α＝32.∴角α的最小正值为11π6.故选D. 4．(2017·河南八市联考)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，点P (－4m,3m )(m >0)是角α终边上的一点，则2sin α＋cos α＝________.答案 25解析 ∵|OP |＝ (－4m )2＋(3m )2＝5|m |＝5m (m >0)， ∴sin α＝3m 5m ＝35，cos α＝－4m 5m ＝－45，∴2sin α＋cos α＝2×35－45＝25.[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 ①中－3π4是第三象限角，故①错．②中4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，故②正确．③中－400°＝－360°－40°，从而③正确．④中－315°＝－360°＋45°，从而④正确．故选C.2．sin2·cos3·tan4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在答案 A解析 ∵π2<2<3<π<4<3π2，∴sin2>0，cos3<0，tan4>0.∴sin2·cos3·tan4<0.故选A.3．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4答案 C解析设此扇形的半径为r ，弧长是l ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.故选C.4．若π4<θ<π2，则下列不等式成立的是( )A ．sin θ>cos θ>tan θB ．cos θ>tan θ>sin θC ．sin θ>tan θ>cos θD ．tan θ>sin θ>cos θ答案 D解析 ∵π4<θ<π2，∴tan θ>1，sin θ－cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.∵π4<θ<π2，∴0<θ－π4<π4，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4>0，∴sin θ>cos θ.故选D.5．在△ABC 中，若sin A ·cos B ·tan C <0，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定答案 B解析 ∵△ABC 中每个角都在(0，π)内，∴sin A >0. ∵sin A ·cos B ·tan C <0，∴cos B ·tan C <0. 若B ，C 同为锐角，则cos B ·tan C >0. ∴B ，C 中必定有一个钝角． ∴△ABC 是钝角三角形．故选B.6．(2018·永昌县期末)已知角α的终边经过点(3a,4a )(a ≠0)，则sin α＋cos α的值为( )A.75 B ．－75 C ．±75 D ．±34 答案 C解析 ∵角α的终边经过点(3a,4a )(a ≠0)，当a >0时，r ＝5a ，sin α＝y r ＝45，cos α＝x r ＝35，sin α＋cos α＝75；当a <0时，r ＝|5a |＝－5a ，sin α＝y r ＝－45，cos α＝x r ＝－35，sin α＋cos α＝－75.综上可得，sin α＋cos α＝±75.故选C.7．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( ) A ．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos β B ．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan βC ．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos βD ．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β 答案 D解析由三角函数线可知，选D.8．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin2 C.2sin1 D ．2sin1答案 C解析如图，∠AOB ＝2弧度，过O 点作OC ⊥AB 于C ，并延长OC 交弧AB 于D .则∠AOD ＝∠BOD ＝1弧度，且AC ＝12AB ＝1，在Rt △AOC 中，AO ＝ACsin ∠AOC ＝1sin1，即r ＝1sin1，从而弧AB 的长为l ＝|α|·r ＝2sin1.故选C. 9．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( ) A ．sin α＋cos α<0 B ．tan α－sin α<0 C ．cos α－tan α<0 D ．tan αsin α<0 答案 B解析 ∵α是第三象限角，∴sin α<0，cos α<0，tan α>0，则可排除A ，C ，D.故选B.10．(2018·江西模拟)已知角α的终边经过点(m ，3m )，若α＝ 7π3，则m 的值为( ) A ．27 B.127 C ．9 D.19答案 B解析角α的终边经过点(m ，3m )，若α＝7π3，则tan 7π3＝tan π3＝3＝3mm＝m－ 16，则m ＝127.故选B.二、填空题11．(2017·广州模拟)若角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且 sin θ＝24m ，则cos θ的值为________．答案－64解析点P (－3，m )是角θ终边上一点，由三角函数定义可知sin θ＝m3＋m2.又sin θ＝24m ， ∴m3＋m2＝24m . 又m ≠0，∴m 2＝5，∴cos θ＝－33＋m2＝－64. 12．(2018·济南校级期末)已知1|sin α|＝－1sin α，且lg cos α有意义，则α所在象限为第________象限．答案四解析由1|sin α|＝－1sin α可知，sin α<0，∴α是第三或第四象限角或终边在y 轴的非正半轴上的角．由lg cos α有意义可知cos α>0，∴α是第一或第四象限角或终边在x 轴的非负半轴上的角，综上可知角α是第四象限角．13．若角α的终边在直线y ＝－3x 上，则10sin α＋3cos α＝________.答案 0解析设角α终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)，则r ＝x 2＋y 2＝k 2＋(－3k 2)＝10|k |.当k >0时，r ＝10k . ∴sin α＝－3k 10k ＝－310，1cos α＝10kk ＝10.∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0.当k <0时，r ＝－10k .∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10kk ＝－10.∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.综上，10sin α＋3cos α＝0.14．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正方向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________．答案 (2－sin2,1－cos2)解析因为圆心由(0,1)平移到了(2,1)，所以在此过程中P 点所经过的弧长为2，其所对圆心角为2.如图所示，过P 点作x 轴的垂线，垂足为A ，圆心为C ，与x 轴相切于点B ，过C 作PA 的垂线，垂足为D ，则∠PCD ＝2－π2，|PD |＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝－cos2，|CD |＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝sin2，所以P 点坐标为(2－sin2,1－cos2)，即OP →的坐标为(2－sin2,1－cos2)．三、解答题15．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr＝6.(2)∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴弦长AB ＝2sin1×2＝4sin1. 16．已知sin α<0，tan α>0. (1)求α角的集合； (2)求α2终边所在的象限；(3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．解 (1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan α>0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为{α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z .(2)由2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2<0，sin α2>0，cos α2<0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2<0，sin α2<0，cos α2>0，所以tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．。

高三数学一轮复习第1课时三角函数的基本概念学案

高三数学一轮复习第1课时三角函数的基本概念学案【学习目标】1．了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行角度与弧度的互化．3．借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．4．理解三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)的概念及意义．预习案【课本导读】1．角的概念(1)象限角：角α的终边落在就称α为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限．(2)终边相同的角：．(3)与α终边相同的角的集合为(4)各象限角的集合为，，，2．弧度制(1)什么叫1度的角：(2)什么叫1弧度的角：(3)1°＝弧度；1弧度＝度．(4)扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则此扇形的弧长l＝，面积S＝＝ .3．任意角的三角函数定义(1)设α是一个任意角，α的终边上任意一点(非顶点)P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝ .(2)三角函数在各象限的符号是：sinαcosαtanαⅠⅡⅢⅣ4．三角函数线如图所示，正弦线为；余弦线为；正切线为 .【教材回归】1．下列命题为真命题的是( ) A ．角α＝k π＋π3(k ∈Z )是第一象限角 B ．若sin α＝sin π7，则α＝π7C ．－300°角与60°角的终边相同D ．若A ＝{α|α＝2k π，k ∈Z }，B ＝{α|α＝4k π，k ∈Z }，则A ＝B2．若600°角的终边上有一点P (－4，a )，则a 的值为( ) A ．4 3 B ．－4 3 C ．±4 3 D. 3 3．已知锐角α终边上一点A 的坐标是(2sin π3，2cos π3)，则α弧度数是( ) A ．2 B.π3 C.π6 D.2π34．已知圆中一段弧长正好等于该圆的外切正三角形边长，则这段弧所对圆心角的弧度数为______．5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________. 探究案题型一：角的有关概念例1 设角α1＝－350°，α2＝860°，β1＝35π，β2＝－73π.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有角．思考题1 (1)在区间[－720°，0°]内找出所有与45°角终边相同的角β；(2)设集合M ＝{x |x ＝k 2³180°＋45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k4³180°＋45°，k ∈Z }，那么两集合的关系是什么？例2 已知角 α是第三象限角，试判断①π－α是第几象限角？②α2是第几象限角？③2α是第几象限角？思考题2 (1)如果α为第一象限角，那么①sin2α，②cos2α；③sin α2；④cos α2中必定为正值的是________．(2)若sinθ2＝45，且sin θ<0，则θ所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限题型二：三角函数的定义例3 已知角α的终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x ，则sin α＋1tan α的值为________．思考题3 (1)若角θ的终边与函数y ＝－2|x |的图像重合，求θ的各三角函数值． (2)如图所示，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图像大致为( )题型三：利用三角函数线解三角不等式例4 (1)不等式sin x ≥32的解集为__________ ． (2)不等式cos x ≥－12的解集为__________．(3)函数f (x )＝2sin x ＋1＋lg(2cos x －2)的定义域为_____．思考题4 (1)求函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域．(2)已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( )A．若α、β是第一象限的角，则cosα>cosβ B．若α、β是第二象限的角，则tanα>tanβC．若α、β是第三象限的角，则cosα>cosβD．若α、β是第四象限的角，则tanα>tanβ题型四：弧度制的应用例5已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c(c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？思考题5若扇形的面积为定值，当扇形的圆心角为多少弧度时，该扇形的周长取到最小值？训练案1．有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等；②终边不同的角的同名三角函数的值不等；③若sinα>0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cosα＝－xx2＋y2.其中正确的命题的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．42．sin 2²cos 3²tan 4的值( )A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在3．已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于( )A．2 B．－2 C．2－π2D.π2－25．若π4<θ<π2，则下列不等式成立的是( )A．sinθ>cosθ>tanθB．cosθ>tanθ>sinθC．sinθ>tanθ>cosθD．tanθ>sinθ>cosθ。

2021版大一轮复习新高考(新课标版)精练：三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式(含解析)

专题五三角函数与解三角形【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、三角函数的概念1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.4.理解同角三角函数的基本关系式.5.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α、π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.1.本专题考查的核心素养以数学运算、逻辑推理为主,同时兼顾考查直观想象.2.从近5年高考情况来看,本专题内容为高考必考内容,以中档题为主.几种题型均有可能出现.1.在备考复习中,注意基础知识的积累,基础概念、定义要弄清楚.2.切实掌握三角函数的图象、性质以及基本变换思想.3.三角函数与解三角形的综合问题,要灵活运用正弦定理或余弦定理.注意方程思想与函数思想的应用.二、三角恒等变换1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的恒等变换.三、三角函数的图象、性质及应用1.理解正弦、余弦、正切函数的性质及图象.2.能画y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A、ω、φ对函数图象变换的影响.3.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题.四、解三角形及综合应用1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的解三角形问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题.【真题探秘】§5.1三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式基础篇固本夯基【基础集训】考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式1.单位圆中,200°的圆心角所对的弧长为()A.10πB.9πC.910π D.109π答案D2.cos330°=()A.12B.-12C.√32D.-√32答案C3.若sinθ·cosθ<0,tanθsinθ>0,则角θ是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案D4.若角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=-√3x上,则角α的取值集合是()A.{α|α=2kπ-π3,k∈Z} B.{α|α=2kπ+2π3,k∈Z}C.{α|α=kπ-2π3,k∈Z} D.{α|α=kπ-π3,k∈Z}答案D5.已知扇形的周长为20cm,当这个扇形的面积最大时,半径R的值为()A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm答案B6.已知sin(π2+θ)+3cos(π-θ)=sin(-θ),则sinθcosθ+cos2θ=()A.15B.25C.35D.√55答案 C综合篇知能转换【综合集训】考法一利用三角函数定义解题1.(2018河南天一大联考,2)在平面直角坐标系xOy中,角α的终边经过点P(3,4),则sin(α-2 017π2)=()A.-45B.-35C.35D.45答案B2.(2018广东深圳四校期中联考,5)已知角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点(1,4),则cos2θ-sin2θ的值为()A.35B.-35C.717D.-717答案D3.(2020届四川绵阳南山中学月考,4)已知角α的终边过点(-8m,-6sin30°),且cosα=-45,则m的值为()A.±12B.-12C.12D.√32答案C考法二同角三角函数的基本关系式的应用技巧4.(2018福建福州八校联考,8)已知sinα+3cosα2cosα-sinα=2,则cos2α+sinαcosα=()A.65B.35C.25D.-35答案A5.(2019河北邯郸重点中学3月联考,5)已知3sin(33π14+α)=-5cos(5π14+α),则tan(5π14+α)=()A.-53B.-35C.35D.53答案A6.(2018湖北武汉调研,13)若tan α=cos α,则1sinα+cos 4α= .答案 2考法三利用诱导公式化简求值的思路和要求7.(2020届广东珠海摸底测试,3)若角θ的终边过点(4,-3),则cos(π-θ)=( ) A.45 B.-45 C.35 D.-35答案 B8.(2018河北衡水中学2月调研,3)若cos (π2-α)=√23,则cos(π-2α)=( )A.29 B.59 C.-29 D.-59答案 D9.(2018浙江名校协作体考试,13)已知sin (-π2-α)cos (-7π2+α)=1225,且0<α<π4,则sin α= ,cos α= .答案35;45考法四同角三角函数的基本关系和诱导公式的综合应用10.(2019江西赣州五校协作体期中,15)已知角α终边上有一点P(1,2),则sin(2π-α)-sin (π2-α)cos (3π2+α)+cos(π-α)= .答案 -3【五年高考】考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式1.(2016课标Ⅲ,5,5分)若tan α=34,则cos 2α+2sin 2α=( ) A.6425B.4825C.1D.1625 答案 A2.(2018课标Ⅱ,15,5分)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)= . 答案 -123.(2017北京,12,5分)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13,则cos(α-β)= . 答案 -794.(2018浙江,18,14分)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(-35,-4 5 ).(1)求sin(α+π)的值;(2)若角β满足sin(α+β)=513,求cosβ的值.解析(1)由角α的终边过点P(-35,-45)得sinα=-45,所以sin(α+π)=-sinα=45.(2)由角α的终边过点P(-35,-45)得cosα=-35,由sin(α+β)=513得cos(α+β)=±1213.由β=(α+β)-α得cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,所以cosβ=-5665或cosβ=1665.思路分析(1)由三角函数的定义得sinα的值,由诱导公式得sin(α+π)的值.(2)由三角函数的定义得cosα的值,由同角三角函数的基本关系式得cos(α+β)的值,由两角差的余弦公式得cosβ的值.教师专用题组考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式1.(2014大纲全国,3,5分)设a=sin33°,b=cos55°,c=tan35°,则()A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b答案C2.(2011课标,5,5分)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos2θ=()A.-45B.-35C.35D.45答案B【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共50分)1.(2020届吉林白城通榆一中月考,3)已知角α的终边过点(12,-5),则sinα+12cosα等于()A.-113B.113C.112D.-112答案 B2.(2020届四川邻水实验学校月考,4)已知tan(π-θ)=3,则sin (π2+θ)-cos(π-θ)sin (π2-θ)-sin(π-θ)=( )A.-1B.-12C.1D.12答案 D3.(2020届吉林白城通榆一中月考,2)已知扇形OAB 的圆心角为2 rad,其面积是8 cm 2,则该扇形的周长是( ) A.8 cm B.4 cm C.8√2 cm D.4√2 cm 答案 C4.(2020届宁夏银川一中月考,2)已知tan α=-3,α是第二象限角,则sin (π2+α)=( ) A.-√1010B.-3√1010C.√105D.2√55答案 A5.(2020届湖南长沙一中月考,8)如图,点A 为单位圆上一点,∠xOA=π3,点A 沿单位圆按逆时针方向旋转角α到点B (-√22,√22),则sinα=( )A.-√2+√64B.√2-√64C.√2+√64D.-√2+√64答案 C6.(2019湖南衡阳一中月考,5)已知α是第三象限角,且|cos α3|=-cos α3,则α3是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角答案 C7.(2018湖北襄阳四校3月联考,8)△ABC 为锐角三角形,若角θ的终边过点P(sin A-cos B,cos A-sin C),则sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|+tanθ|tanθ|的值为( )A.1B.-1C.3D.-3 答案 B8.(2019广东珠海四校联考,3)设a=sin 5π7,b=cos 2π7,c=tan 2π7,则( ) A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c 答案 D9.(2019北京师范大学附中期中,6)在平面直角坐标系中,角α的顶点在原点,始边在x 轴的正半轴上,角α的终边经过点M (-cos π8,sin π8),且0<α<2π,则α=( ) A.π8 B.3π8 C.5π8 D.7π8答案 D10.(2018江西南昌一模,3)已知角α的终边经过点P(sin 47°,cos 47°),则sin(α-13°)=( ) A.12B.√32C.-12D.-√32答案 A二、多项选择题(每题5分,共10分)11.(改编题)已知α是三角形的内角,且sin α+cos α=15,则有( ) A.sin α=45,cos α=-35B.sin α=-35,cos α=-45 C.tan α=-43D.tan α=43答案 AC12.(改编题)已知α为锐角且有2tan(π-α)-3cos (π2+β)+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则有( ) A.tan α=3 B.sin β=13C.sin α=3√1010D.tan β=√24答案 ABC三、填空题(每题5分,共15分)13.(2019豫北六校精英对抗赛,13)若f(x)=cos (π2x +α)+1,且f(8)=2,则f(2 018)= . 答案 014.(2018广东佛山教学质量检测(二),14)若sin (α-π4)=7√210,α∈(0,π),则tan α= .答案 -43或-3415.(2019江西金太阳联考卷(六),15)已知sin α和cos α是方程4x 2+2√6x+m=0的两个实数根,则sin 3α-cos 3α= . 答案 ±5√28四、解答题(共15分)16.(2019山东夏津一中月考,19)已知tan (π4+α)=2. (1)求tan α的值; (2)求2sin 2α+sin2α1+tanα的值.解析 (1)∵tan (π4+α)=tan π4+tanα1-tan π4·tanα=1+tanα1-tanα=2,∴tan α=13. (2)2sin 2α+sin2α1+tanα=2sin 2α+2sinαcosα1+tanα=2sin 2α+2sinαcosα(1+tanα)(sin 2α+cos 2α)=2tan 2α+2tanα(1+tanα)(tan 2α+1),由(1)知tan α=13,∴原式=2×(13)2+2×13(1+13)×[(13)2+1]=35.。

高三数学第一轮复习教案三角函数新课标人教版教案

高三数学第一轮复习教案三角函数一、知识要点：三角函数基本概念、三角函数的恒等变形(化简,求值,等式的证明)、三角函数的图象和性质1、三角变换基本解题方法：切割化弦，异名化同名，异角化同角，高次化低次，无理化有理．常用的技巧：升幂降幂法、辅助元素法，“1”的代换法、利用倍角公式建立2α与α、α与2α的关系、角的配凑等2、对三角函数性质的考查总是与三角变换相结合．一般解题规律是先对三角函数关系式进行三角变换，使之转化为一个角的三角函数的形式，再利用换元法转化为对基本三角函数性质的研究．3、易错点：要注意正切函数定义域的限制；在三角变形过程中要注意自变量取值区间的变化，以防出现增根或失根；凡遇到参数或字母时，注意分情况进行讨论。

4、主要数学思想：化归思想、函数思想、数形结合思想、分类讨论思想二、主干知识点、基本方法回顾练习： 1. 若θ是第三象限的角，且95cos sin 44=+θθ，那么θ2sin 的值为（ C ） A. 23 B. －23 C. 223 D. －2232. 已知函数)sin(2x y ω=在［3π-，4π］上单调递增，则实数ω的取值X 围是（ A ） A ．（0，23] B ．（0，2]C ．（0，1]D ．]43,0(3．先将)(x f y =的图象沿x 轴向右平移3π个单位，再将图象上每一个点的横坐标伸长为原来的2倍，而保持它们的纵坐标不变，得到的曲线与x y cos =的图象相同，则)(x f y =的解析式是（ C ） A ．)62cos(π+=x y B ．)32cos(π+=x y C ．)322cos(π+=x y D ．)322cos(π-=x y4．若α为第二象限的角，则下列各式恒小于0的是（ B ）A ．ααcos sin +B ．ααsin tan +C ．ααcot cos -D ．ααtan sin -CA BD5．已知53)sin(=+B A ，51)sin(=-B A ，则=BA tan tan （ A ）A 、 2B 、 3C 、1D 、无法确定6. 如图是由三个相同的正方形相接，在△ABC 中，锐角∠ACB=α，则αtan =（C ）A ．51B ．61C ．71D ．10277．函数x x x y 2cos 3sin cos +=相邻两条对称轴的距离为（ C ）A ．2πB ．4πC ．2π D ．π8. 函数)32sin(π+-=x y 的递减区间是_____5,1212k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭_______，递增区间是______________，511,1212k k k Z ππππ⎛⎫++∈⎪⎝⎭()3sin()(0)53kx f x k π=+≠有一条对称轴为6π=x ，则=k _5_______。

2023版高考数学一轮总复习4-1三角函数的概念同角三角函数的基本关系和诱导公式习题

4.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系和诱导公式基础篇固本夯基考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系和诱导公式 1.(2022届河南重点中学模拟,1)已知sin37°=35,则cos593°=( ) A.35 B.-35 C.45 D.-45 答案 B2.(2022届江西十七校期中,3)当θ∈(0,π2)时,若cos (5π6-θ)=-12,则sin (θ+π6)的值为( )A.12 B.√32 C.-√32D.-12答案 B3.(2020课标Ⅱ,2,5分)若α为第四象限角,则 ( ) A.cos2α>0 B.cos2α<0 C.sin2α>0 D.sin2α<0 答案 D4.(2021陕西榆林一模,3)如图,角α,β的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆O 分别交于A,B 两点,则θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.cos(α-β)B.cos(α+β)C.sin(α-β)D.sin(α+β) 答案 A5.(2021四川宜宾二诊,3)若点sin5π6,cos5π6在角α的终边上,则sinα=( )A.√32 B.12 C.-√32 D.-12 答案 C6.(2021河南中原名校联盟4月联考,4)已知cos 20212π+α=-12,α∈(π2,π),则cosα=( )A.12 B.-12 C.√32 D.-√32 答案 D7.(2020成都七中模拟,2)记cos(-80°)=k,那么tan100°=( ) A.√1-θ2θ B.-√1-θ2θ C.√ D.-√答案 B8.(2021云南顶级名校期末联考,6)设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β都是非零实数,若f(2020)=1,则f(2021)=( ) A.1 B.2 C.0 D.-1 答案 D9.(2020皖北名校3月联考,13)sin613°+cos1063°+tan30°的值为 . 答案√3310.(2021安徽黄山二模,13)若一扇形的圆心角为144°,半径为10cm,则扇形的面积为 cm 2. 答案 40π11.(2021山西三市五校3月联考,14)已知cos (π2-α)+sin (π2+β)=1,则cos 2(32π+θ)+cosβ-1的取值范围为 .答案 [-14,0]12.(2022届湖南名校10月联考,14)如图所示的时钟显示的时刻为3:30,此时时针与分针的夹角为α(0<θ≤π2).若一个半径为12的扇形的圆心角为α,则该扇形的弧长为 .答案 5π13.(2022届黑龙江八校期中,14)化简:tan(π-θ)cos(2π-θ)sin (-θ+3π2)cos(-θ-π)sin(-π-θ)的值为 .答案 -1综合篇知能转换考法一三角函数定义的应用1.(2022届成都蓉城名校联盟联考一,8)已知角θ的终边过点A(6,a),且sin(θ-3π)=45,则tan (2θ-π4)=( )A.1731B.-3117C.317D.-731答案 A2.(2022届安徽六安一中月考三,9)在平面直角坐标系xOy 中,α为第四象限角,角α的终边与单位圆O 交于点P(x 0,y 0),若cos α+π6=45,则x 0=( ) A.4√3-310B.4√3+310C.4√3-410D.4√3±310答案 A3.(2021黑龙江牡丹江二模,6)角α的终边上一点P(a,2a)(a≠0),则2sinα-cosα=( ) A.√55B.-√55C.√55或-√55D.3√55或-3√55答案 D4.(2021河南洛阳重点中学模拟,6)现有如下结论:①若点P(a,2a)(a≠0)为角α的终边上一点,则sinα=2√55;②同时满足sinα=12,cosα=√32的角有无数个;③设tanα=12且π<α<32π,则sinα=-√55;④设cos(sinθ)·tan(cosθ)>0(θ为象限角),则θ是第一象限角,其中正确结论的序号为( )A.①②B.②③C.①③D.②④ 答案 B5.(2020太原名校联盟4月模拟,7)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,将角α的终边按顺时针方向旋转π6后经过点(-3,4),则cosα=( )A.3√3+410B.-3√3+410C.3√3-410D.4-3√310答案 B6.(2018浙江,18,14分)已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P (-35,-45). (1)求sin(α+π)的值;(2)若角β满足sin(α+β)=513,求cosβ的值.解析 (1)由角α的终边过点P (-35,-45)得sinα=-45,所以sin(α+π)=-sinα=45.(2)由角α的终边过点P (-35,-45)得cosα=-35,由sin(α+β)=513得cos(α+β)=±1213.由β=(α+β)-α得cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,所以cosβ=-5665或cosβ=1665.考法二同角三角函数的基本关系的应用1.(2022届江西十七校期中,5)已知tanθ=2,则(sinθ-3cosθ)2-1的值为( ) A.-45 B.45 C.-15 D.15 答案 A2.(2021江西萍乡二模,5)已知tanα=-2,则sin2α+cos 2α的值为( ) A.45B.-45C.35D.-35答案 D3.(2021湘豫名校联盟4月联考,8)若tanα=2sin(α-π),则cos2α=( ) A.-14B.1C.-12或0 D.-12或1答案 D4.(2020河南禹州高级中学月考,4)α∈(π4,π2),12sin θ+12cos θ=35,则tan2α=( ) A.247B.-247C.±247D.-724答案 B5.(2020辽宁丹东二模,8)在△ABC 中,cosA+sinA=15,则tan (θ-π4)=( ) A.7 B.-17 C.±7 D.±17答案 A6.(2020浙江,13,6分)已知tanθ=2,则cos2θ= ,tan (θ-π4)= . 答案 -35;137.(2022届新疆克拉玛依模拟三,15)在△ABC 中,已知sinA+cosA=15,则sinA-cosA= . 答案 758.(2022届宁夏长庆高级中学月考一,17)已知函数y=sinθ+cosθ+2sinθcosθ. (1)设变量t=sinθ+cosθ,试用t 表示y=f(t),并写出t 的取值范围; (2)求函数y=f(t)的值域.解析 (1)因为t=sinθ+cosθ(θ∈R),sin 2θ+cos 2θ=1,所以2sinθcosθ=t 2-1,故f(t)=t 2+t-1,t=sinθ+cosθ=√2sin (θ+π4)∈[-√2,√2],故t 的取值范围为[-√2,√2]. (2)由(1)知y=f(t)=t 2+t-1=(θ+12)2-54(t∈[-√2,√2]),由二次函数的性质可知,y=f(t)的最小值为f (-12)=-54,又f(-√2)=1-√2,f(√2)=1+√2,所以y=f(t)的值域为[-54,1+√2].。

高考数学一轮复习第三章三角函数3.1三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及课件

10 5
3.(2016四川,11,5分)sin 750°= 答案
1 2
.
解析 sin 750°=sin(720°+30°)=sin 30°= . 解后反思利用诱导公式把大角化为小角.
1 2
4.(2016课标全国Ⅲ理改编,5,5分)若tan α= ,则cos2α+2sin 2α=
3 4
.
答案解析
综上,cos(α-β)=- 7 .
9
3
3
3 3
9
解法二:由已知得β=(2k+1)π-α(k∈Z). ∴sin β=sin[(2k+1)π-α]=sin α,cos β=cos[(2k+1)π-α]=-cos α,k∈Z.
2 2 2 2 2 1 -1=当sin α= 1 时,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-cos α+sin α=-(1-sin α)+sin α=2sin α-1=2× 7 .
7 9 1 3
.
解析本题考查同角三角函数的基本关系式,诱导公式,两角差的余弦公式. 解法一:由已知得β=(2k+1)π-α(k∈Z). ∵sin α= ,∴sin β=sin[(2k+1)π-α]=sin α= (k∈Z).
2 β 2=- , 2 ,cos 当cos α= 1 = sin时 α 3 2 2 3 3
1.(2017泰州中学第一次质量检测)已知角α的终边过点P(-8m,-6sin 30°),且cos α=5 ,则m的值为
. 答案
1 2
4
解析由题意得cos α=
8m
64m 2 9
m 舍 . =- ⇒m= 5 2 2

高考数学一轮总复习第四章三角函数与解三角形 1任意角蝗制及三角函数的概念课件

2
最值问题常用二次函数或基本不等式.关于扇形的弧长公式和面积公式有角度制与弧
度制两种形式，一般使用弧度制.
变式2 已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为，若 =
π
，
3
= 10 cm，求：
（1）扇形的面积；
（2）扇形的弧长及该弧所在弓形（由弦及其所对的弧组成的图形）的面积.
解：（1）由已知，得扇形 =
（2）三角函数的定义域和函数值在各象限的符号.
三角函数
定义域（弧度制下）
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
符号
符号
符号
符号
-
-
-
-
4.特殊角的三角函数值
0
0
1
1
0
0
1
不存在
0
0
0
0
1
不存在
0
常用结论
1.角的集合
（1）象限角的集合.
象限角
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
角的集合表示
（2）非象限角（轴线角）的集合.
3
3
3
3
解：如图，在坐标系中画出直线 =
在[0,2π)内，终边在直线 =
满足条件的角有两个，即−
{−
π
3，可以发现它与轴的夹角是 .
3
π 4π
3上的角有两个，即， .在[−2π, 0)内
3
3
2π
5π
，− .故满足条件的角
3
3
5π
2π π 4π
5π
2π π 4π
，− ，， }.故填{− ，− ，， }.
周率日为背景，通过给出中外为求得圆周率而采用的经典“割圆术”思想，

高考数学一轮复习练习-三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式

专题五三角函数与解三角形【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、三角函数的概念1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.4.理解同角三角函数的基本关系式.5.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α、π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.1.本专题考查的核心素养以数学运算、逻辑推理为主,同时兼顾考查直观想象.2.从近5年高考情况来看,本专题内容为高考必考内容,以中档题为主.几种题型均有可能出现.1.在备考复习中,注意基础知识的积累,基础概念、定义要弄清楚.2.切实掌握三角函数的图象、性质以及基本变换思想.3.三角函数与解三角形的综合问题,要灵活运用正弦定理或余弦定理.注意方程思想与函数思想的应用.二、三角恒等变换1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的恒等变换.三、三角函数的图象、性质及应用1.理解正弦、余弦、正切函数的性质及图象.2.能画y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A、ω、φ对函数图象变换的影响.3.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题.四、解三角形及综合应用1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的解三角形问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题.【真题探秘】§5.1三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式基础篇固本夯基【基础集训】考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式1.单位圆中,200°的圆心角所对的弧长为()A.10πB.9πC.910π D.109π答案D2.cos 330°=()A.12B.-12C.√32D.-√32答案C3.若sin θ·cos θ<0,tanθsinθ>0,则角θ是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案D4.若角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=-√3x上,则角α的取值集合是()A.{α|α=2kπ-π3,k∈Z} B.{α|α=2kπ+2π3,k∈Z}C.{α|α=kπ-2π3,k∈Z} D.{α|α=kπ-π3,k∈Z}答案D5.已知扇形的周长为20 cm,当这个扇形的面积最大时,半径R的值为()A.4 cmB.5 cmC.6 cmD.7 cm答案B6.已知sin(π2+θ)+3cos(π-θ)=sin(-θ),则sin θcosθ+cos2θ=()A.15B.25C.35D.√55答案 C综合篇知能转换【综合集训】考法一利用三角函数定义解题1.(2018河南天一大联考,2)在平面直角坐标系xOy 中,角α的终边经过点P(3,4),则sin (α-2 017π2)=( )A.-45B.-35C.35D.45答案 B2.(2018广东深圳四校期中联考,5)已知角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,终边经过点(1,4),则cos 2θ-sin 2θ的值为( )A.35B.-35C.717D.-717答案 D3.(2020届四川绵阳南山中学月考,4)已知角α的终边过点(-8m,-6sin 30°),且cos α=-45,则m 的值为( ) A.±12B.-12C.12D.√32答案 C考法二同角三角函数的基本关系式的应用技巧4.(2018福建福州八校联考,8)已知sinα+3cosα2cosα-sinα=2,则cos 2α+sin αcos α=( )A.65B.35C.25D.-35答案 A5.(2019河北邯郸重点中学3月联考,5)已知3sin (33π14+α)=-5cos (5π14+α),则tan (5π14+α)=( )A.-53B.-35C.35D.53答案 A6.(2018湖北武汉调研,13)若tan α=cos α,则1sinα+cos 4α= .答案 2考法三利用诱导公式化简求值的思路和要求7.(2020届广东珠海摸底测试,3)若角θ的终边过点(4,-3),则cos(π-θ)=( ) A.45 B.-45 C.35 D.-35答案 B8.(2018河北衡水中学2月调研,3)若cos (π2-α)=√23,则cos(π-2α)=( )A.29 B.59 C.-29 D.-59答案 D9.(2018浙江名校协作体考试,13)已知sin (-π2-α)cos (-7π2+α)=1225,且0<α<π4,则sin α= ,cos α= .答案35;45考法四同角三角函数的基本关系和诱导公式的综合应用10.(2019江西赣州五校协作体期中,15)已知角α终边上有一点P(1,2),则sin(2π-α)-sin(π2-α)cos(3π2+α)+cos(π-α)=. 答案-3【五年高考】考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式1.(2016课标Ⅲ,5,5分)若tan α=34,则cos2α+2sin2α=()A.6425B.4825C.1D.1625答案A2.(2018课标Ⅱ,15,5分)已知sin α+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=.答案-123.(2017北京,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=13,则cos(α-β)=.答案-794.(2018浙江,18,14分)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(-35,-45 ).(1)求sin(α+π)的值;(2)若角β满足sin(α+β)=513,求cos β的值.解析(1)由角α的终边过点P(-35,-45)得sin α=-45,所以sin(α+π)=-sin α=45.(2)由角α的终边过点P(-35,-45)得cos α=-35,由sin(α+β)=513得cos(α+β)=±1213.由β=(α+β)-α得cos β=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,所以cos β=-5665或cos β=1665.思路分析(1)由三角函数的定义得sin α的值,由诱导公式得sin(α+π)的值.(2)由三角函数的定义得cos α的值,由同角三角函数的基本关系式得cos(α+β)的值,由两角差的余弦公式得cos β的值.教师专用题组考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式1.(2014大纲全国,3,5分)设a=sin 33°,b=cos55°,c=tan35°,则()A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b答案 C2.(2011课标,5,5分)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线y=2x 上,则cos 2θ=( ) A.-45B.-35C.35D.45答案 B【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共50分)1.(2020届吉林白城通榆一中月考,3)已知角α的终边过点(12,-5),则sin α+12cos α等于( ) A.-113 B.113 C.112 D.-112答案 B2.(2020届四川邻水实验学校月考,4)已知tan(π-θ)=3,则sin (π2+θ)-cos(π-θ)sin (π2-θ)-sin(π-θ)=( )A.-1B.-12C.1D.12答案 D3.(2020届吉林白城通榆一中月考,2)已知扇形OAB 的圆心角为2 rad,其面积是8 cm 2,则该扇形的周长是( ) A.8 cm B.4 cm C.8√2 cm D.4√2 cm 答案 C4.(2020届宁夏银川一中月考,2)已知tan α=-3,α是第二象限角,则sin (π2+α)=( ) A.-√1010B.-3√1010C.√105D.2√55答案 A5.(2020届湖南长沙一中月考,8)如图,点A 为单位圆上一点,∠xOA=π3,点A 沿单位圆按逆时针方向旋转角α到点B (-√22,√22),则sin α=( )A.-√2+√64B.√2-√64C.√2+√64D.-√2+√64答案 C6.(2019湖南衡阳一中月考,5)已知α是第三象限角,且|cos α3|=-cos α3,则α3是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角答案 C7.(2018湖北襄阳四校3月联考,8)△ABC 为锐角三角形,若角θ的终边过点P(sin A-cos B,cos A-sin C),则sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|+tanθ|tanθ|的值为( )A.1B.-1C.3D.-3 答案 B8.(2019广东珠海四校联考,3)设a=sin 5π7,b=cos 2π7,c=tan 2π7,则( ) A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c 答案 D9.(2019北京师范大学附中期中,6)在平面直角坐标系中,角α的顶点在原点,始边在x 轴的正半轴上,角α的终边经过点M (-cos π8,sin π8),且0<α<2π,则α=( ) A.π8 B.3π8 C.5π8 D.7π8答案 D10.(2018江西南昌一模,3)已知角α的终边经过点P(sin 47°,cos 47°),则sin(α-13°)=( ) A.12B.√32C.-12D.-√32答案 A二、多项选择题(每题5分,共10分)11.(改编题)已知α是三角形的内角,且sin α+cos α=15,则有( ) A.sin α=45,cos α=-35B.sin α=-35,cos α=-45 C.tan α=-43D.tan α=43答案 AC12.(改编题)已知α为锐角且有2tan(π-α)-3cos (π2+β)+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则有( ) A.tan α=3 B.sin β=13C.sin α=3√1010D.tan β=√24答案 ABC三、填空题(每题5分,共15分)13.(2019豫北六校精英对抗赛,13)若f(x)=cos (π2x +α)+1,且f(8)=2,则f(2 018)= . 答案 014.(2018广东佛山教学质量检测(二),14)若sin (α-π4)=7√210,α∈(0,π),则tan α= .答案 -43或-3415.(2019江西金太阳联考卷(六),15)已知sin α和cos α是方程4x 2+2√6x+m=0的两个实数根,则sin 3α-cos 3α= .答案 ±5√28四、解答题(共15分)16.(2019山东夏津一中月考,19)已知tan (π4+α)=2. (1)求tan α的值; (2)求2sin 2α+sin2α1+tanα的值.解析 (1)∵tan (π4+α)=tan π4+tanα1-tan π4·tanα=1+tanα1-tanα=2,∴tan α=13. (2)2sin 2α+sin2α1+tanα=2sin 2α+2sinαcosα1+tanα=2sin 2α+2sinαcosα(1+tanα)(sin 2α+cos 2α)=2tan 2α+2tanα(1+tanα)(tan 2α+1),由(1)知tan α=13,∴原式=2×(13)2+2×13(1+13)×[(13)2+1]=35.。