勾股定理知识结构图ppt

2
2
(a2+b2)+ ab
1
1
1
S梯形 =
2
c2 +2 · ab
2
=
2
c2+ab
即：在Rt△ABC中，∠C=90°
c2 = a2 + b2
1
1
美丽的勾股树
勾股定理
练习2、求出下列直角三角形中未知边的长度
5
13
①
y ②1
∟
x
x2 52 132 x2 132 52 x 132 52
2
y 22 12
(1)你能求出正方形R的面积吗？
如图：已知四个全等的直角三角形的两直
角边长分别为a和b，斜边长为c。利用这
些直角三角形拼成一个大的正方形，来
说明：a2 + b2 = c2
b
b
b
b
a
c
a
ca
c
a
c
证明1：
该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意 图，取材于我国古代数学著作《勾股圆方图》。
在墙上，BC长为2米，求梯子上端A到 墙的底端B的距离AB.
解: 在Rt△ABC中∠ABC=90゜, BC=2, CA=5, 根据勾股定理得
AB AC2 BC2 52 22
= 21（米）
勾
B
C
股
定
A
理
学习目标：
• 1.探究揭示直角三角形三边关系的勾股定理。 • 2.证明勾股定理的正确性。 • 3.会运用勾股定理解决一些简单的实际问题。
探究活动一、等腰直角三角形三边的关系呢？
A
R
P
C
B
P的面积 Q的面积 R的面积
(单位面积) (单位面积)
(单位面积)
Q
1
1
2
P的面积＋Ｑ的面积＝R的面积
AB AC2 - BC2
1602 1282
96米
答： 从点A穿过湖到点B有96米。
例2
在台风“麦莎” 的袭击中，一棵大 树在离地面9米处 断裂，树的顶部落 9 在离树根底部12米 米 处。这棵树折断之 前有多高？
15米
12米
总统巧证勾股定理
美国第二十任 总统伽菲尔德
S梯形=
1 (a+b)(a+b) = 1
Q的面积 a42 +1b62 =c2
R的面积 8 25
.在Rt△ABC中，∠Ｃ=90° (1)已知：a=40，c=41，求b
B
c
a
Cb
A
(1)已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.
方法 小结
(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边; (2)可用勾股定理建立方程.
例题2 : 如图，将长为5米的梯子AC斜靠
国我家国之是一。最早早在三了千解多勾年前股，定理的 国国家家之之一。一早。在早三千在多三年前千，多年前，周 朝国家数之学一。家早商在高三千就多提年前出，，将一根直 尺国家折之成一。一早个在直三千角多，年前如，果勾等于三， 股国家等之于一。四早，在那三千么多弦年前就，等于五，即 “国家勾之三一。、早股在四三千、多弦年前五，”，它被记 载国家于之我一。国早古在代三千著多名年前的，数学著作 《国家周之髀一。算早经在》三千中多。年前
A.3米 B.4米 C.5米 D.6米
2.直角三角形的两边长分别为3、4，
３
４
例1 如图所示，为了求出湖两岸的A、B两点间 的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰 好为直角三角形．通过测量，得到AC的长为160米， BC长为128米．问从点A穿过湖到点B有多远？
解： 在直角三角形ABC中， AC=160米，BC=128米， 根据勾股定理可得
大正方形的面积可以表示为 c2
；
也可以表示为 (b a)2 4 1 ab 2
c a
∵ c2=
b
=b2-2ab+a2+ 2ab
=a2+b2
c a
b
c a
b
c a
b
∴a2+b2=c2
证明2：
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ；
也可以表示为
C2
c a
b
c a
b
c a
b
c a
b
∵ (a+b)2 =
C2
a2+2ab+b2 = 2ab +c2 ∴a2+b2=c2
勾股定理(毕达哥拉斯定理) （gou－gu theorem）
如果直角三角形两直角
边分别为a， b，斜边为c， 勾a
c弦
那么
股b
即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.
勾股世界
两千两多千多年年前前，，古古希希腊有腊个有哥拉个毕达哥拉斯 学斯学派派，，他他们们首首先发先现发了勾现股了定勾理，股因定此 理，因此在 在国国外外人人们们通通常常称勾称股勾定理股为定毕理达哥为拉毕斯 达哥拉斯定 定理理。。为为了了纪纪念念毕达毕哥达拉斯哥学拉派斯，1学95派5 ，1955年 年希希腊腊曾曾经经发发行行了一了枚一纪念枚票纪。念邮票。
等腰直角三角形ABC中，
两直角边的平方和等于斜边的平方 AC2 + BC2 = AB2
探究活动二: 对于一般直角三角形三边关系的探索：
P
SP+SQ=SR
a
Qb c
R
a2+b2=c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
P
Q CR
P
Q CR
用了“补”的方法
用了“割”的方法
如图，小方格的边长为1.
3
169 25
144
12
课堂练习
1、求下列直角三角形中未知边x的长
x =17 15
25
x =7
8
24
3
x =10
5
8
6
4
x =13 12
如图，要登上8米高的建筑物BC，为了安
全需要，需使梯子底端离建筑物距离AB为
6米，问至少需要多长的梯子？
解：在Rt△ABC中∠ABC=90゜C,
BC=8，AB=6
P的面积 1 Q的面积 1 R的面积 2
C
1.观察图甲，小方格 的边长为1. ⑴ ⑵正方形AP、QB、CR的 的面积有什么关系？
面积各为多少？
SP+SQ=SR
R Pa c
b Q
P 图乙 a
Qb c R
图甲
SP+SQ=SR
3P.的猜面想积a、b图、4甲c 之图间9乙的关系2的？.观边察长图为乙1.，小方格
勾股定理
练习1、求出下列直角三角形中未知边的长度
x
3①
y ②1
∟
4
2
x2 32 42
y 22 12
x 32 42
3
源自文库
x5
2.求下列直角三角形中未知边的长:
比
一
比8
17
看
x
16
看
x
谁
20
算
3
x =13
得
c
快 方法小结: 可用勾股定理建立方程.
！
4
12
１、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相 对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长 为( ) C
∴AC2= 62 + 82
=36+64
=100
8m
∴AC=10 答：梯子至少长10米。
A
6m B
SP+SQ=SR
R P
Q
图甲 图甲 图乙
P的面积 1 9 Q的面积 1 16 R的面积 2 25
P
图乙
“补”
Q
“割”
CR
SP+SQ=SR
2.观察图乙，小方格 的边长为1.
SP+SQ=SR
R P
Q
图甲 图甲 图乙