例题解析
简单移动平均法例题及解析
简单移动平均法例题及解析一、某公司使用简单移动平均法预测下月销售额，若选取的周期为3个月，且最近三个月的销售额分别为10万、12万、11万，则下月预测销售额为：A. 10万B. 11万C. 12万D. 33万（答案：B）二、在简单移动平均法中，如果数据序列的周期为5，那么预测值是基于哪几个数据的平均值？A. 最初5个数据B. 最近5个数据C. 中间5个数据D. 随机选取5个数据（答案：B）三、假设某股票最近7天的收盘价分别为：10元、11元、10.5元、11.5元、12元、11元、10.8元，若采用3天简单移动平均，则第四天的移动平均价格为：A. 10元B. 10.67元C. 11元D. 11.33元（答案：C）四、使用简单移动平均法进行预测时，如果数据波动较大，应如何调整以提高预测准确性？A. 增大移动平均的周期B. 减小移动平均的周期C. 保持周期不变，增加数据点D. 无法通过调整周期提高准确性（答案：A）五、某超市过去四周的销售量分别为：200件、220件、210件、230件，若采用简单移动平均法（周期为4周）预测下一周的销售量，预测值为：A. 200件B. 210件C. 215件D. 225件（答案：C）六、在简单移动平均法中，预测值的平滑程度与所选周期的关系是：A. 周期越长，平滑程度越低B. 周期越长，平滑程度越高C. 周期与平滑程度无关D. 周期越短，预测越准确（答案：B）七、某产品连续5个月的销量分别为：1000、1200、1100、1300、1250，若使用2个月简单移动平均法预测第六个月的销量，预测值为：A. 1100B. 1150C. 1200D. 1250（答案：C）八、简单移动平均法的主要缺点是：A. 对数据的所有变化都非常敏感B. 不能反映数据序列的长期趋势C. 预测值总是滞后于实际值D. 计算复杂，难以应用（答案：C）。
集体经验判断法例题及解析
集体经验判断法例题及解析
以下是一个集体经验判断法的例题及解析：
例题：
某学校要组织一次校外活动，有三个提议：
1. 去动物园观看动物表演；
2. 去海边游泳；
3. 去郊区野餐。
请学生们根据自己的经验和喜好投票，选出他们最喜欢的活动。
解析：
首先，学生们应该将三个提议进行比较，然后根据自己的经验和喜好进行投票。
以下是对三个提议的分析：
1. 动物园观看动物表演：这个提议适合喜欢动物和观赏表演的学生，但对于那些对动物或观赏表演不感兴趣的学生来说可能不太吸引。
2. 海边游泳：这个提议适合喜欢户外活动和水上运动的学生，但对于不喜欢游泳或害怕水的学生来说可能不太合适。
3. 郊区野餐：这个提议适合喜欢户外活动和自然风景的学生，但对于不喜欢户外活动或对自然风景不感兴趣的学生来说可能
不太吸引。
根据以上分析，每个学生可以根据自己的经验和喜好投票选择自己最喜欢的活动。
最终，可以统计投票结果，选出获得最多票数的活动作为校外活动的安排。
大气压强知识点的例题及其解析
大气压强知识点的例题及其解析【例题1】如图是喷雾器工作时的示意图．当推动活塞时，管口的空气速度增大，管口处的压强（选填“增大”“减小”或“不变）；瓶中的液体就在的作用下被压上去，随流动的空气而喷成雾状．答案：减小；大气压。
解析：应用流体的流速与压强的关系来分析解决。
【例题2】如图。
老师在做托里拆利实验时（当地气压为标准大气压），试管的顶端混入了部分空气，实验时测得管内水银柱的高度（选填“大于”、“等于”、“小于”）760mm；如果将试管顶端开一个孔，管内水银柱最终会。
答案：小于；下降至管内外液面相平。
解析：本题考查了多种情况下水银柱高度的变化情况，在解答时，要抓住托里拆利实验的原理﹣﹣大气压与管内水银柱压强是相等的，故大气压不变的情况下，水银柱产生的压强也是不变的，即水银柱高度不变。
（1）试管的顶端混入了部分空气，这些空气会对管内水银柱有个向下的压强，会导致管内水银柱高度减小；（2）当管顶开一个小孔时，管内的水银与外界的大气相通，此时外界大气压对管内水银也有个向下的压强，所以管内的水银不仅不会从小孔喷出，反而会立即下降。
此时托里拆利管和水银槽实际上是构成了一个连通器，最终管内外液面会相平。
【例题3】用吸管“吸”盒装牛奶时，牛奶是在作用下被“吸“入口中的；吸完牛奶后，盒子变扁了，说明力可以改变物休的。
答案：大气压；形状。
解答：（1）用吸管“吸”牛奶时，吸管内气压减小，小于外界大气压，牛奶在大气压的作用下被“吸”入口中的；（2）吸完牛奶后，盒子变扁了，说明力可以改变物体的形状。
【例题3】如图所示，把一根两端开口的细玻璃管，通过橡皮塞插入装有红色水的玻璃瓶中，从管口向瓶内吹入少量气体后，瓶内的水沿玻璃管上升的高度为h。
把这个自制气压计从1楼带到5楼的过程中（对瓶子采取了保温措施），观察到管内水柱的高度发生了变化，如下A．往瓶内吹气后，瓶内气压小于瓶外大气压B．水柱高度h增大，说明大气压降低了C．上楼的过程中，给瓶子保温是为了避免温度对测量结果的影响D．水柱高度h越大，瓶内外的气体压强差越大答案：A解析:A.从管口向瓶内吹入少量气体后，瓶内气压大于瓶外大气压，则竖直玻璃管中的水位将上升，故A错误；BD.由于高度增加，大气压减小，则瓶内的气压高于瓶外大气压；管内的水面变高；所以玻璃管内水柱的高度增加，说明大气压随高度增加而变小，故BD正确；C.由于热胀冷缩会引起玻璃管中水柱的变化影响实验结果，所以在拿着它上下楼时，应保持瓶中的水的温度不变，故C正确。
花程式例题及解析
花程式的例题及解析如下：
程式：A*G1/2+C3+A3+P
解析：
这个花程式表示一朵花的结构，具体解析如下：
* A代表雄蕊，*代表雌蕊，两者都属于花的雄雌生殖器官。
G代表花粉，1/2表示雄蕊有多枚，其中半数发育完全，一半不发育。
C代表花冠，3表示花冠有3轮。
A代表花序，3表示花序有3个轮生的小花序。
P代表花托，整体而言，P的符号大小可视为总花托的数目，此处为1/2，表示总花托有部分突出于萼片和花瓣着生的花萼着生部位之外。
举例：桃的花程式为：A5G（5）1/2+C5+A（5）n+（5）P
说明：桃的花有5枚雄蕊，每半数各产生1粒花粉，所以总数为5粒花粉；花冠有5轮，每轮有5枚花瓣；花序为伞形花序；总花托有部分突出于萼片和花瓣着生的花萼着生部位之外。
注意事项：
1. 花程式中使用的符号代表特定的器官或构造，这些符号在书写时有一定的规范。
2. 花程式中的数字通常代表该器官的数量，这些数字也有一定的规律。
3. 花程式是植物学中的一个工具，用于描述花的结构和特征。
通过花程式，可以简洁地表示花的各部分及其数量和相互关系。
总结：花程式是植物学中描述花的结构和特征的一种工具。
通过花程式，可以简洁地表示花的各部分及其数量和相互关系。
书写花程式时，需要遵循特定的符号和数字规范，以便准确地传达花的结构和特征。
(完整版)概率经典例题及解析、近年高考题50道带答案.doc
【经典例题】【例 1】（ 2012 湖北） 如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA ， OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是21 121 A ．1- πB ． 2 - πC ． πD ． π【答案】 A【解析】 令 OA=1，扇形 OAB 为对称图形， ACBD 围成面积为 S 1，围成 OC 为 S 2，作对称轴 OD ，则过 C 点． S 2 即为以 OA2 π 1 2 111 π -2 S2(2)-2×2×2=1为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积， S =8 ．在扇形 OAD 中 2 为扇形面积减去三角S 2 S 1 1 21 S 2π -2 π -2π形 OAC 面积和 2 ， 2 = 8 π×1 - 8 - 2 =16 ， S 1+S 2= 4 ，扇形 OAB 面积 S= 4 ，选 A ．【例 2】（ 2013 湖北） 如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 125 个同样大小的小正方体，经过搅拌后， 从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则 X 的均值 E(X) ＝ ( )1266 1687 A. 125B. 5C.125D. 5【答案】 B27 54 36 8 27【解析】 X 的取值为 0，1， 2，3 且 P(X ＝ 0) ＝125，P(X ＝ 1) ＝125，P(X ＝ 2) ＝ 125，P(X ＝ 3) ＝ 125，故 E(X) ＝0× 125＋1× 54 36 8 6＋2× ＋3× ＝，选B.125 125 125 5【例 3】（ 2012 四川） 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通 电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是 ()1 1 3 7 A. 4B. 2C. 4D. 8【答案】 C【解析】 设第一串彩灯在通电后第 x 秒闪亮， 第二串彩灯在通电后第 y 秒闪亮，由题意 0≤ x ≤ 4，满足条件的关系式0≤y ≤4，根据几何概型可知， 事件全体的测度 ( 面积 ) 为 16 平方单位，而满足条件的事件测度( 阴影部分面积 ) 为 12 平方单位，123故概率为 16＝ 4.【例 4】（ 2009 江苏） 现有 5 根竹竿，它们的长度（单位： m ）分别为 2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为 .【答案】 0.2 【解析】 从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的可能的事件总数为 10，它们的长度恰好相差 0.3m 的事件数为 2，分别是：2.5 和 2.8 ， 2.6 和 2.9 ，所求概率为 0.2【例 5】（ 2013 江苏） 现有某类病毒记作 X m Y n ，其中正整数 m ， n(m ≤7， n ≤ 9)可以任意选取，则 m ， n 都取到奇数的概率为 ________．20【答案】【解析】 基本事件共有 7×9＝ 63 种， m 可以取 1， 3， 5，7， n 可以取 1， 3，5， 7， 9. 所以 m ，n 都取到奇数共有 2020种，故所求概率为63.【例 6】（ 2013 山东） 在区间 [－ 3，3] 上随机取一个数 x ，使得 |x ＋ 1|－ |x － 2| ≥1成立的概率为 ________．【答案】13【解析】 当 x<－ 1 时，不等式化为－ x － 1＋ x －2≥1，此时无解；当－ 1≤x ≤2 时，不等式化为 x ＋1＋ x －2≥1，解之得 x ≥1；当 x>2 时，不等式化为 x ＋ 1－ x ＋2≥1，此时恒成立， ∴|x ＋ 1| － |x －2| ≥1的解集为 [ 1，＋∞ ) . 在 [ －3， 3]上使不等式有解的区间为 [ 1，3] ，由几何概型的概率公式得 P ＝ 3－ 1 1 .3－（－ 3） ＝3【例 7】（ 2013 北京）下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图， 空气质量指数小于 100 表示空气质量优良， 空气质量指数大于 200 表示空气重度污染． 某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市， 并停留 2 天．（ 1）求此人到达当日空气重度污染的概率；（ 2）设 X 是此人停留 期间空气质量优良的天数，求 X 的分布列与数学期望；（ 3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明 )【答案】 132； 1213； 3 月 5 日【解析】 设 Ai 表示事件“此人于3 月 i 日到达该市” (i ＝ 1， 2， ， 13) ．1(i ≠j) ．根据题意， P(Ai) ＝ ，且 Ai ∩Aj ＝13（ 1）设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝A5∪A8.2所以 P(B) ＝P(A5∪A8)＝ P(A5) ＋ P(A8) ＝ .13（ 2）由题意可知， X 的所有可能取值为 0，1， 2，且P(X＝ 1) ＝P(A3∪A6∪A7 ∪A11)4＝P(A3) ＋ P(A6) ＋ P(A7) ＋ P(A11) ＝13，P(X＝ 2) ＝P(A1∪A2∪A12∪A13)4＝P(A1) ＋ P(A2) ＋ P(A12) ＋ P(A13) ＝13，5P(X＝ 0) ＝ 1－ P(X＝ 1) － P(X＝ 2) ＝13.所以 X 的分布列为X 0 1 2P 5 4 4 13 13 135 4 4 12故 X 的期望 E(X) ＝0×＋1×＋2×＝ .13 13 13 13（ 3）从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大．【例 8】（2013 福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为2，中奖可以3 获得 2 分；方案乙的中奖率为2，中奖可以获得 3 分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中5奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（ 1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求 X≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【答案】1115；方案甲．2 2【解析】方法一：（ 1）由已知得，小明中奖的概率为3，小红中奖的概率为5，且两人中奖与否互不影响．记“这2 人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件 A 的对立事件为“ X＝5”，2 2 411因为 P(X＝5) ＝×＝，所以P(A)＝1－P(X＝5)＝，3 5 151511即这两人的累计得分X≤3的概率为15.（ 2）设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1) ，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2) ．2 2由已知可得，X1～ B 2，3， X2～ B 2，5，2 42 4所以 E(X1) ＝2×3＝3， E(X2) ＝2×5＝5，812从而 E(2X1) ＝ 2E(X1) ＝， E(3X2) ＝ 3E(X2) ＝.3 5因为 E(2X1)>E(3X2) ，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．方法二：（ 1）由已知得，小明中奖的概率为2，小红中奖的概率为2，且两人中奖与否互不影响．35记“这两人的累计得分 X ≤3”的事件为 A ，则事件 A 包含有“ X ＝0”“ X ＝2”“ X ＝3”三个两两互斥的事件，2 2 1 2 2 22 22， 因为 P(X ＝ 0) ＝ 1－× 1－ ＝ ，P(X ＝ 2) ＝ × 1－＝ ，P(X ＝3) ＝ 1－ × ＝ 15 355355 3 511所以 P(A) ＝ P(X ＝ 0) ＋ P(X ＝ 2) ＋ P(X ＝ 3) ＝15，11即这两人的累计得分 X ≤3的概率为 15.（ 2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为 X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则 X1， X2 的分布列如下：X1 0 2 4 X2 0 3 6 P14 4 P912 4 9 9 9 2525251448所以 E(X1) ＝0× 9＋2× 9＋4× 9＝ 3，E(X2) ＝0× 9 ＋3× 12＋6× 4 ＝ 12.25 25 25 5因为 E(X1)>E(X2) ，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．【例 9】（ 2013 浙江） 设袋子中装有 a 个红球， b 个黄球， c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1 分，取出一个黄球得2 分，取出一个蓝球得3 分．（ 1）当 a ＝ 3， b ＝ 2，c ＝ 1 时，从该袋子中任取 (有放回，且每球取到的机会均等 )2 个球，记随机变量 ξ为取出此 2球所得分数之和，求 ξ的分布列；（ 2）从该袋子中任取 (每球取到的机会均等 )1 个球，记随机变量 η为取出此球所得分数． 若 E η＝ 5，D η＝5，求 a ∶ b ∶ c.3 9【答案】 3∶ 2∶ 1【解析】（ 1）由题意得，ξ＝ 2， 3， 4， 5， 6.P(ξ＝ 2) ＝ 3×3 1＝ ，6×6 4 P(ξ＝ 3) ＝2×3×2＝ 1，6×6 32×3×1＋2×2 5 P(ξ＝ 4) ＝ 6×6 ＝ 18. P(ξ＝ 5) ＝ 2×2×1 16×6＝ 9，P(ξ＝ 6) ＝ 1×1 1，＝ 366×6 所以 ξ 的分布列为ξ 2 3 4 5 6 P1 1 5 1 1 4318936（ 2）由题意知 η 的分布列为η 1 2 3Pa b ca ＋b ＋c a ＋ b ＋ ca ＋b ＋ca 2b3c5所以 E η＝ a ＋ b ＋ c ＋ a ＋b ＋ c ＋ a ＋b ＋ c ＝ 3，5 a 5 b 5c5D η＝ 1－ 32· a ＋ b ＋ c ＋2－ 32· a ＋ b ＋ c ＋3－ 32· a ＋ b ＋ c ＝ 9， 2a － b － 4c ＝ 0，解得 a ＝ 3c ， b ＝ 2c ， 化简得a ＋ 4b －11c ＝ 0，故 a ∶b ∶c ＝3∶2∶1.【例 10】（ 2009 北京理） 某学生在上学路上要经过 4 个路口， 假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的 概率都是 1，遇到红灯时停留的时间都是2min.3（ 1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （ 2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望 .【答案】4；327 8【解析】 本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础 知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.（ 1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A ，因为事件 A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为PA11111 4 .333 27（ 2）由题意，可得可能取的值为 0，2， 4， 6，8（单位： min ） .事件“2k ”等价于事件“该学生在路上遇到k 次红灯”（ k 0， 1， 2，3， 4），k 4 k∴ P2kC k412k 0,1,2,3,4，33∴即 的分布列是0 246 8P16 32 8818181278181∴ 的期望是 E16 32 88 1 82468.818127 81813【课堂练习】1.（ 2013 广东） 已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3P3 3 151010则 X 的数学期望 E(X) ＝ () 35A. 2B ． 2 C. 2 D ． 32.（ 2013 陕西） 如图，在矩形区域 ABCD 的 A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区 域 ADE 和扇形区域 CBF( 该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常 )．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无 信号的概率是 ( )．A ．1－ π π π D ． π4 B ． －1 B ．2－ 42 23．在棱长分别为 1， 2， 3 的长方体上随机选取两个相异顶点，若每个顶点被选的概率相同，则选到两个顶点的距离 大于 3的概率为 ()4 3 2 3A ．7B ． 7C ． 7D ． 144．（ 2009 安徽理） 考察正方体 6 个面的中心，甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6 个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于12 34?BA ．B ．C ．D ．75757575?F?C?D? E? A5.（ 2009 江西理） 为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3 种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5 袋，能获奖的概率为（）3133 C ．4850A ．B ．81D ．.8181816.（ 2009 辽宁文） ABCD 为长方形， AB ＝ 2， BC ＝1，O 为 AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于 1 的概率为A ．B ． 1C ．8D ． 18447.（ 2009 上海理） 若事件 E 与 F 相互独立，且 P EP F1 的值等于，则P EI F4A ． 01 C ．11B ．4D ．1628．（ 2013 广州） 在区间 [1，5] 和[2， 4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程 x 2 y 22＋b 2＝ 1 表示焦点在 x 轴上且离心率小a于 3的椭圆的概率为 ()2C ．1711531A ．2B ． 3232D ． 321， 2，3，9．已知数列 {a } 满足 a ＝ a＋ n － 1(n ≥2，n ∈ N)，一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为nnn －14， 5， 6，将这颗骰子连续抛掷三次，得到的点数分别记为 a ， b ， c ，则满足集合 {a ，b ， c} ＝ {a 1， a 2， a 3}(1 ≤a i ≤6，i ＝ 1， 2， 3)的概率是 ()1B ． 1C ． 1D ． 1A ．72 36 24 1210.（ 2009 湖北文） 甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、 0.6、 0.5，则三人都达标的概率是，三人中至少有一人达标的概率是 。
小学数学-正反比的应用典型例题及解析
1.从学校到图书馆，彬彬去时用了15分钟，沿原路返回时用了18分钟，去的速度与返回的速度的比是______．2.张华、李明同走一段路，它俩的速度比是3：2，所用的时间比是______．3.甲、乙两车在同样的时间里所行路程比是4：3，两车的速度比是______；行完同样的路程，两车所用时间比是______．4.从学校道南山湖风景区，小明走了12分钟，小刚走了15分钟，小明和小刚所用时间的比是______，速度比是______．5.甲、乙两车同时从两地相对开出，相遇时甲车比乙车多行52km．如果甲、乙两车的速度比是7：5，速度之和是130km/时，则两车相遇所需时间是多少小时？6.两座城市相距525千米，客车与货车从两地同时出发相向而行，经过5小时两车途中相遇，已知客车和货车的速度比是4：3，那么客车的速度是多少呢？7.小明上坡速度为每小时3.6千米，下坡时每小时4.5千米，有一个斜坡，小明先上坡再原路返回共用1.8小时，这段斜坡全长______千米．8.星期天小刚与爸爸去爬山，从山脚下爬到山顶用了18分钟，原路下山时用了15分钟．已知他们下山的速度是每分钟60米，他们上山的速度是每分钟多少米？9.小明和小红同时从A、B两地相向而行，小明每分钟走60米，小红每分钟走80米，他们两人在距离中点120米的地方相遇，求AB两地之间的距离．10.淘气和笑笑同时从甲乙两地相向而行，两人相遇时距离两地中点300米，已知淘气每分钟行100米，笑笑每分钟行125米，那么甲乙两地相距______米．参考答案与试题解析1.从学校到图书馆，彬彬去时用了15分钟，沿原路返回时用了18分钟，去的速度与返回的速度的比是___ 。
【正确答案】：[1]6：5【解析】：假设从学校到图书馆的路程是单位“1”，则彬彬的去时速度与返回速度分别是115、118；然后用去时的速度比返回时的速度，再化简即可解答。
【解答】：解：把从学校到图书馆的路程看作单位“1”，彬彬去时用了15分钟，沿原路返回时用了18分钟，所以去时的速度和返回时的速度分别是115、118，所以去的速度与返回速度的比是115：118。
高中数学抛物线经典例题(含解析)
抛物线大题一．解答题（共7小题）1．已知P（4，y0）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上位于第一象限的一点，且P到C的焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）设O为坐标原点，F为C的焦点，A，B为C上异于P的两点，且直线P A与PB 斜率乘积为﹣4．（i）证明：直线AB过定点；（ii）求|F A|•|FB|的最小值．2．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），其准线方程为x＝﹣2．（1）求抛物线C的方程；（2）不过原点O的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同的两点P，Q，且OP⊥OQ，求m 的值．3．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点P（1，2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点M（2，0）且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求AB的长．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．（1）求抛物线的方程；（2）若直线l：x＝my+t交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出该定点：若不过，请说明理由．5．已知抛物线C：y2＝2px（p为常数，p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，过点F的直线与抛物线交于A，B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若直线AB的斜率为1，求|AB|．6．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB．（1）求抛物线C的方程；（2）若斜率为的直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于D，E两点，求|DE|的值．7．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，m）（m＞0）是抛物线C上一点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（2，0）斜率存在的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M 使得∠AMQ＝∠BMQ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．抛物线大题参考答案与试题解析一．解答题（共7小题）1．已知P（4，y0）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上位于第一象限的一点，且P到C的焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）设O为坐标原点，F为C的焦点，A，B为C上异于P的两点，且直线P A与PB 斜率乘积为﹣4．（i）证明：直线AB过定点；（ii）求|F A|•|FB|的最小值．【分析】（1）由题意，结合所给信息列出等式，求出p的值，进而可得抛物线C的方程；（2）（i）结合（1）中所得信息得到点P的坐标，设出A，B两点的坐标，利用斜率公式得到4（y1+y2）+y1y2+20＝0，对直线AB的斜率是否存在进行讨论，进而即可求解；（ii）设出A，B两点的坐标，分别讨论直线AB的斜率是否存在，当直线AB的斜率存在时，设出直线AB的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理即可得到|F A|•|FB|的最小值，当直线AB的斜率不存在时，结合抛物线的定义即可得到|F A|•|FB|的最小值，两者比较即可求解．2．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），其准线方程为x＝﹣2．（1）求抛物线C的方程；（2）不过原点O的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同的两点P，Q，且OP⊥OQ，求m 的值．【分析】（1）由抛物线的准线方程求出p，可得抛物线C的方程；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线l和抛物线C的方程，消元写出韦达定理，将OP⊥OQ用坐标表示，代入韦达定理化简计算，可得m的值．3．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点P（1，2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点M（2，0）且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求AB的长．【分析】（1）由题意，先设出抛物线C的方程，将点P的坐标代入抛物线方程中，求出p的值，进而可得抛物线C的标准方程；（2）设出直线AB的方程和A，B两点的坐标，将直线AB的方程与抛物线方程联立，求出A，B两点的坐标，进而即可求解．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．（1）求抛物线的方程；（2）若直线l：x＝my+t交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出该定点：若不过，请说明理由．【分析】（1）由题意，结合题目所给信息建立有关p的等式，进而即可求解；（2）设出A，B两点的坐标，将直线l的方程与抛物线方程联立，利用向量的坐标运算以及韦达定理再进行求解即可．5．已知抛物线C：y2＝2px（p为常数，p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，过点F的直线与抛物线交于A，B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若直线AB的斜率为1，求|AB|．【分析】（1）由题意，先求出的右焦点，根据抛物线C的焦点F与椭圆的右焦点重合，可得，进而求出抛物线方程；（2）结合（1）中所得信息得到直线AB的方程，将直线AB的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式再进行求解即可．6．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB．（1）求抛物线C的方程；（2）若斜率为的直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于D，E两点，求|DE|的值．【分析】（1）由题意，得到点A的坐标，代入抛物线方程中进行求解即可；（2）先得到直线l的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及抛物线的定义再进行求解即可．7．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，m）（m＞0）是抛物线C上一点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（2，0）斜率存在的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M 使得∠AMQ＝∠BMQ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用|PF|＝5，根据抛物线的定义，求出p的值，即可得解；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（s，0），直线l的方程为x＝ty+2（t≠0），将其与抛物线的方程联立，利用韦达定理，根据k AM＝﹣k MB，求出s的值，即可得解．。
组合典型例题解析
组合典型例题解析【例1】判断下列各事件是排列问题，还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数.（1）10个人相互各写一封信，共写了多少封信？（2）10个人规定相互通一次电话，共通了多少次电话？（3）10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），这次比赛需要进行多少场次？（4）10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠亚军获得者有多少种可能？（5）从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？（6）从10个人里选出3个不同学科的科代表，有多少种选法？解：（1）是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的.排列数为A210=90（种）.（2）是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别.组合数为C210=45（种）.（3）是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别.组合数为C210=45（种）.（4）是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的.排列数为A210=90（种）.（5）是组合问题.因为三个代表之间没有顺序的区别.组合数为C310=120（种）.（6）是排列问题.因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的.排列数为A310=720（种）.点评：排列、组合是不同的两个事件，区分的办法是首先弄清楚事件是什么？区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果解出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题.【例2】写出从五个元素a，b，c，d，e中任取三个元素的所有组合，并求出其组合数.解：考虑画出如下树形图，按给出字母从左到右的顺序来考虑.a b bc c cd ddc d e d de ee e e根据树形图，所有组合为abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde.组合数为C35=10（个）.点评：排列的树形图与组合的树形图是有区别的.排列的树形图中其元素不能重复出现但可任意排列，而组合的树形图中其元素也不能重复出现，但元素出现的次序必须按照从左到右的顺序（如元素b后面不能出现a，元素c后面不能出现a、b等）来考虑，否则就会出现重复或遗漏.【例3】 已知n 5C 1－n 6C 1＝n 710C 7，求C n8的值. 解：由组合数公式可得!7)!7(!107!6)!6(!!5)!5(!n n n n n n -⋅=---. 化简得n 2－23n ＋42＝0. ∴n ＝21或n =2. ∵n ≤5，∴n ＝2.∴C n 8＝C 28＝28.点评：本题先求n 值，再求组合数.化简时常用公式C m n =)!(!!m n m n -，计算时常用C m n =m mm n A A .【例4】 计算（1）C 23+C 24+C 25+…+C 2100； （2）A 23+A 24+A 25+…+A 2100. 解：（1）C 23+C 24+C 25+…+C 2100 =（C 33+C 23）+C 24+C 25+…+C 2100－C 33 =（C 34+C 24）+C 25+…+C 2100－C 33 =C 3101－C 33=166649. （2）A 23+A 24+A 25+…+A 2100 =A 22（C 23+C 24+…+C 2100）=2×166649=333298.点评：注意题中对公式C m n +C 1-m n=C mn 1+及A m n =C m n ·A mm 的应用.若逆用公式C m n +C 1-m n =C m n 1+也可解决（1）.即将公式变形，C 1-m n =C m n 1+－C m n ，则有C 23+C 24+C 25+…+C 2100=（C 34－C 33）+（C 35－C 34）+（C 36－C 35）+…+（C 3101－C 3100）=C 3101－C 33=166649.【例5】 解下列方程： （1）C 2n =66；（2）C n10=210；（3）C n 18=C 6318-n .解：（1）由原方程，得2)1(-n n =66， 即n 2－n －132=0. 解得n =12或n =－11. ∵n ≥2，∴n =－11舍去. 经检验n =12是原方程的解.（2）根据性质C m n =C m n n-知，只需将n =1，2，3，4，5代入C n10=210中一一验证，解得C 410=210，又C 610=C 610，∴n =4或n =6.经检验，n =4，n =6都是原方程的解.（3）由原方程得n =3n －6或18－n =3n －6， ∴得n =3或n =6.经检验，n =3，n =6都是原方程的解.点评：（1）解C m n =a 型的方程有两类：一类已知m 求n ；另一类已知n 求m .对于前者，只需利用组合数公式转化为关于n 的m 次方程；对于后者，一般可将未知数的值用1，2，…依次代入验证求解.但在解这类方程时，必须注意检验，不仅要注意0≤m ≤n ，n ＞0，m ，n∈Z ，而且要注意组合数性质C m n =C mn n-的运用，以防止失根. （2）解C x n =C yn 型的方程，要注意两种情形，即x =y 或x =n －y ，同时要注意n ≥x ≥0，n ≥y ≥0，n ＞0，x ，y ，n ∈Z .【例6】解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+=.1C 3111C ,2C C x n x nx n x n解：∵C x n =C x n n -=C xn 2，∴n －x =2x .∴n =3x .又由C 1+x n =311C 1-x n 得 )!1()!1(!--+x n x n=311·)!1()!1(!+--x n x n .∴3（x －1）!（n －x +1）!=11（x +1）!（n －x －1）!. ∴3（n －x +1）（n －x ）=11（x +1）x . 将n =3x 代入得6（2x +1）=11（x +1）. ∴x =5，n =3x =15.经检验，⎩⎨⎧==15,5n x 是原方程组的解.点评：本题也可利用组合数公式的变形式，将C 1+x n ，C 1-x n 都用C xn 来表示，即C 1+x n =1+-x xn C xn ，C 1-x n =1+-x n x C x n ，从而方程C 1+x n =311C 1-x n 可化为1+-x x n C x n =311×1+-x n x C xn ，约去C xn ，可得解.代入组合数公式，展开成阶乘形式直接求解，是解方程的基本方法，读者要好好掌握.而利用组合数的变形式，直接消去相同的非零公因式，则可以避免不必要的烦琐计算，可使计算简化，同时体现了数学中整体消元的思想方法.【例7】高二（1）班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中取出3名同学参加活动.（1）其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？ （2）其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？ （3）恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？ （4）至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？ （5）至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？解：（1）从余下的34名学生中，选取2名有C 234=561（种）.答：不同的取法有561种.（2）从34名可选学生中，选取3名，有C 334种.或者C 335－C 234=C 334=5984（种）.答：不同的取法有5984种.（3）从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有C 120C 215=2100（种）.答：不同的取法有2100种.（4）选取2名女生有C 120C 215种，选取3名女生有C315种，共有选取方式 N = C 120C 215 +C 315=2100+455=2555（种）.答：不同的取法有2555种.（5）选取3名的总数有C 335，因此选取方式共有N =C 335－C 315=6545－455=6090（种）. 答：不同的取法有6090种. 点评：（1）一般地说，从n 个不同元素中，每次取出m 个元素的组合，其中某一元素必须在内的取法有C 11--m n 组合.（2）从n 个不同元素里，每次取出m 个元素的组合，其中某一元素不能在内的取法有C m n 1-种.（3）从n 个元素里选m 个不同元素的组合，限定必须包含（或不包含）某个元素（或p个元素）.解这种类型的题目，一般是将所给出的集合分成两个子集，一个是特殊元素的子集，另一类是一个非特殊元素组成的子集.在解题时，就把问题分解成两步：先在特殊元子集中组合，再从非特殊元子集中组合，最后根据乘法原理得整个问题的组合数.（4）正确理解“至少”“至多”“恰有”等词语的含义，要根据题设条件仔细研究，恰当分类，运用直接法或者运用间接法来求解.【例8】在一个圆周上有n个点（n≥4），用线段将它们彼此相连，若这些线段中的任意3条在圆内都不共点，那么这些线段在圆内共有多少个交点？解：虽然可以算出共有C2n条线段，但这些线段在圆内不一定有交点，所以必须考虑怎样的两条线段在圆内有交点？如图，交于圆内点P的两条线段AB与CD的端点必不重合，即每个圆内的交点取决于圆周上的四个点；反之，圆周上的每4个点，虽然可连成C24=6条线段，但它们在圆内的交点有且只有一个，这样，每个圆内的交点与圆周上每4个点之间建立了一一对应关系，所以这些线段在圆内共有交点个数为C4n个.【例9】10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现如下结果.（1）4只鞋子没有成双的；（2）4只鞋子恰成两双；（3）4只鞋子中有2只成双，另2只不成双.解：（1）从10双鞋子中选取4双，有C410种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法.根据乘法原理，选取种数为N=C410·24=3360（种）.答：有3360种不同取法.（2）从10双鞋子中选取2双有C210种取法，即45种不同取法.答：有45种不同取法.（3）解法一：先选取一双有C110种选法，再从9双鞋中选取2双有C29种选法，每双鞋只取一只各有2种取法.根据乘法原理，不同取法为N=C110C29·22=1140（种）.解法二：先选取一双鞋子有C110种选法，再从18只鞋子中选取2只鞋有C218种，而其中成双的可能性有9种.根据乘法原理，不同取法为N=C110（C218－9）=1140（种）.答：有1140种不同取法.点评：本题解决的办法是将“事件”进行等价处理，如第一问“4只鞋子没有成双的”相当于这四只鞋子来自于4双.因此分两步完成，第一步取四双鞋，第二步从每双鞋中各取一只.希望同学们好好地体会这种思想方法.【例10】某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷.现从这11人中选出4人排版、4人印刷，有几种不同的选法？A B524解：设A=｛排版｝，B=｛印刷｝，如图.对B∩A中的四人进行分类.（1）4人全部选出，此时完成这件事还需从其余7人中选出2人排版.这相当于从4人中选出4人印刷，从7人中选出4人制版，故有C44C47=35种选法.（2）4人中选出3人，此时还需从A∩B中选出一人去印刷，然后再从剩下的6人中选出4人制版，故有C34·C12·C46=120种取法.（3）4人中选出2人，此时还需从A∩B中选出两人去印刷，然后再从A∩B中选出4人制版，故有C24·C22·C45=30种取法.根据分类计数原理，共有35+120+30=185种不同的选法.点评：（1）本题属于交叉问题（A∩B有2个元素），此类问题要借助集合知识按块进行分类讨论.（2）也可按A∩__B分成三类，C45·C46+C35·C12·C45+C25·C22·C44=185.（3）还可按A∩B分类，但较麻烦，同学们不妨试一试.【例11】有6本不同的书.（1）分给甲、乙、丙三人，如果每人得2本有多少种方法？（2）分给甲、乙、丙三人，如果甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少种分法？（3）分给甲、乙、丙三人，如果1人得1本，1人得2本，一人得3本，有多少种分法？（4）分成三堆，其中一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种分法？（5）平均分成三堆，有多少种分法？（6）分成四堆，其中2堆各1本，2堆各2本，有多少种分法？（7）分给4人，其中2人各1本，2人各2本，有多少种分法？解：（1）甲先取2本有C26种方法，乙再从余下的4本书中取2本有C24种方法，丙取最后2本书有C22种方法，因此总共有C26·C24·C22=90种方法.（2）同（1）有C16·C25·C33=60种分法.（3）三人中没有指明谁是甲、乙、丙，而三人中谁是甲、乙、丙可有A33种方法，所以共有C 16·C 25·C 33·A 33=360种分法.（4）同（2）有C 16·C 25·C 33=60种分法.（5）同（2）有C 26·C 24·C 22种分法，下面对其正确性进行研究：设a ，b ，c ，d ，e ，f 六本书，则C 26中有可能为a 、b ，C 24可能为c 、d ，C 22可能为e 、f ，即有一分堆方法：a 、b ，c 、d ，e 、f ；同时C 26中也有可能为c 、d ，C 24中可能为e 、f ，C 22可能为a 、b ，显然这种分组方法同上，故C 26·C 24·C 22种方法中有重复，应剔除.注意到a 、b ，c 、d ，e 、f 的所有排列只对应一种分堆方法，故分堆方法应为33222426A C C C ⋅⋅=15种方法. 本题还可用下面的方法处理：设每堆2本的分法为x .分给甲、乙、丙每人两本，则可分步进行，先平均分成3堆，有x 种方法，再将3堆不同的书送给3位同学，有A 33种方法.所以x ·A 33=C 26·C 24·C 22，∴x =15.（6）同（5），有222222241516A A C C C C ⋅⋅⋅⋅=45种方法. （7）同（5）（6）有222222241516A A C C C C ⋅⋅⋅⋅·A 44=1080种方法. 点评：（1）以“书”为主元素比以“人”为主元素考虑要方便. （2）平均分组应防止重复.（3）平均（部分均匀）分成m 组，则需除以A m m ，若有序，则再乘以全排列. （4）复杂问题（如（7））可先组合（分组）后排序. 【例12】（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？（2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，每盒可空，问不同的放法有多少种？（3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，要求每个盒子中的小球数不小于其编号数，问不同的放法有多少种？解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若记作“|”看作隔板，则如图00|0000|0000|00隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有C 311=165种.答：每盒至少有一个小球，有165种不同放法.（2）因为每盒可空，所以隔板之间允许无球，那么插入法就无法应用，现建立如下数学模型.将三块隔板与12个球排成一排，则如图000||00000|0000中隔板将这一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入3个，0个，5个，4个小球，这样每一种隔板与球的排列法，就对应了球的一种放法.排列的位置有15个，先从这15个位置中选出3个位置放隔板有C315个选法即排法，再在余下的位置放球，只有一种放法，所以隔板与球的排列法有C315种，即球的放法有C315=455（种）.答：允许空盒，有455种不同的放法.（3）解法一：用（1）的处理问题的方法.将1个，2个，3个小球分别放在编号为2，3，4的盒子中，将余下的6个小球分别放在四个盒子中，每个盒子至少一个小球，就确定了一种放法.将三块隔板放在6个小球的间隔中，有C35=10种插法，所以不同的放法总数等于余下的6个小球分别放入四个盒子（每盒至少1个）的不同放法总数为10种.解法二：用（2）的处理问题的方法.将1个，2个，3个，4个小球分别放在编号为1，2，3，4的盒子中，将余下的2个小球分别放在四个盒子中，每盒允许空盒，就确定了一种放法.将三块隔板加上2个小球排成一列，有C25种排列，即有C25种放法.所以不同的放法总数等于余下的2个小球分别放入四个盒子（允许空盒）的不同放法总数为10种.答：放球数不小于编号数的放法总数为10种.点评：这是一道有限制条件的“相异元素允许重复的组合”问题，上一道例题是一个有限制条件的“相异元素允许重复的排列”问题，它们的相同之处是“相异元素允许重复地选取”，不同之处是选取后一个是无序的组合，一个是有序的排列.尽管它们有着本质的区别，但类比于上述例题的数学模型，本例我们也可以建立相应的数学模型来处理.【例13】在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有多少种?解法一：首先考虑A、B两种作物的间隔不少于6垄的可能情况，间隔可以有6垄、7垄、8垄.间隔6垄时有3种位置，间隔7垄时有2种位置，间隔8垄时有1种位置，而对每一种位置有A22种种植方法，因而共有（3＋2＋1）A22＝12种不同的选垄方法.解法二：把6垄看作一个整体，从其余4垄中任取2垄种植A、B两作物，有A24种选种方法，然后把那6垄插入A、B之间即可，因而不同的选种方法为A24＝12种.【例14】用0，1，2，3，…，9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个?解法一：考虑0的特殊要求，如果对0不加限制，应有C35C25A55种，其中0居首位的有C35C14A44种，故符合条件的五位数共有C35C25A55－C35C14A44＝11040个.解法二：按元素分类：奇数字有1，3，5，7，9；偶数字有0，2，4，6，8. 把从五个偶数中任取两个的组合分成两类：①不含0的；②含0的.①不含0的：由三个奇数字和两个偶数字组成的五位数有C 35C 24A 55个；②含0的，这时0只能排在除首位以外的四个数位上，有A 14种排法，再选三个奇数数字与一个偶数数字全排放在其他数位上，共有C 35C 1A 44A 14种排法.综合①和②，由分类计数原理得符合条件的五位数共有C 35C 24A 55＋C 35C 14A 44A 14＝11040个.【例15】今有3个成人和2个小孩乘船游玩，现有船3只，1号船可乘3人，2号船可乘2人，3号船可乘1人（注“可乘”是最大容量），他们可从中任选两只或三只船乘坐，但小孩不能单独乘坐一只船，问有多少种分乘的方法？由表可知，共有27种坐法.点评：一些较复杂的问题，可以通过列表使其直观化. 【例16】如图，某区有7条南北向街道，5条东西向街道.（1）图中共有多少个矩形？（2）从A 点走向B 点最短的走法有多少种？ 解：（1）在7条竖线中任选2条，5条横线中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成的矩形有C 27·C 25=210（个）.（2）每条东西向的街道被分成六段，每条南北向的街道被分成4段，从A 到B 最短的走法，无论怎样走，一定包括10段，其中6段方向相同，另4段方向相同，每种最短走法，即是从10段中选出6段走东向的，选出4段走北向的（如东东东东东东北北北北或东北东北东北东北东东……），共有C 610C 44=C 410C 66=210（种）走法.点评：1°（2）题不易使用计数法直接确定.2°（2）题中为确保行程最短，只能单向走，即“事件”与顺序无关.。
等额年金法例题及解析
等额年金法例题及解析等额年金法是一种用于计算个人年金计划的等额本息还款方式。
等额年金法的基本思想是将个人年金计划的还款金额设置为与个人信用状况、收入水平等有关的信息无关的一个固定值,然后将个人还款能力划分为多个等额的还款部分,逐步累加,直到最终完成整个还款过程。
以下是等额年金法的一些例题及其解析:例题1:一个人拥有一张信用卡,年利率为4.00%。
每年需要还款10,000元,每个月需要还款500元。
解析:根据等额年金法,每个月的还款额可以计算为:每月还款额 = 10,000 ÷ (1 + 4.00%) ≈ 836.67 元因此,这个人每个月需要还款836.67元,而不是500元。
需要注意的是,这个例子中,每个月的还款额包括了利息和本金,因此还款额会随着时间的推移而减少。
例题2:一个人拥有一张信用卡,年利率为3.60%。
每年需要还款10,000元,每个月需要还款500元。
解析:根据等额年金法,每个月的还款额可以计算为:每月还款额 = 10,000 ÷ (1 + 3.60%) ≈ 791.15 元因此,这个人每个月需要还款791.15元,而不是500元。
需要注意的是,这个例子中,每个月的还款额包括了利息和本金,因此还款额会随着时间的推移而减少。
例题3:一个人拥有一张信用卡,年利率为5.00%。
每年需要还款10,000元,每个月需要还款500元。
解析:根据等额年金法,每个月的还款额可以计算为:每月还款额 = 10,000 ÷ (1 + 5.00%) ≈ 766.67 元因此,这个人每个月需要还款766.67元,而不是500元。
需要注意的是,这个例子中,每个月的还款额包括了利息和本金,因此还款额会随着时间的推移而减少。
除了上述例题,等额年金法还可以用于计算其他年金计划的还款金额。
通过计算每个还款部分的固定金额,可以确保每个人在还款期间内都能获得公平的年金收益。
中考《溶解度》的经典例题及解析
一、饱和溶液与不饱和溶液1．饱和溶液与不饱和溶液的定义在一定温度下，向一定量溶剂里加入某液；当溶质还能继续溶解时，所得到的溶液2．对饱和溶液与不饱和溶液的理解（1）首先，要明确“一定温度”和“一定相转化的。
（2）其次，要明确“某一溶质的”饱和还能溶解KNO 3，此时的溶液是NaCl 的饱的饱和或不饱和溶液。
（3）有些物质能与水以任意比互溶3．饱和溶液与不饱和溶液的转化条件（1）一般规律：此转化条件适合大多数固体物质的溶液（2）特殊情况（如氢氧化钙）：极少数物质在一定量水中溶解的最大溶液时，要升高温度；若把饱和溶液转化4．判断溶液是否饱和的方法一般地，可以向原溶液中再加入少量原继续溶解，则说明原溶液是该溶质的不饱和如果有且溶质的量不再减少，未溶解的溶质二、固体的溶解度1．定义在一定温度下，某固态物质在100 g 溶剂里度。
如果不说明溶剂，通常所说的溶解度是2．正确理解溶解度概念需要抓住的四个要（1）条件：一定温度。
因为物质的溶解度溶解度溶液加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶的溶液叫做这种溶质的不饱和溶液。
理解一定量的溶剂”。
因为改变溶剂量或温度时，饱和溶饱和溶液或不饱和溶液。
例如，在一定温度下不能再的饱和溶液，对KNO 3来说就不一定是饱和溶液了互溶，不能形成饱和溶液，如酒精没有饱和溶液。
化条件 的溶液，因为大多数固体物质在一定量水中溶解的最的最大量随温度的升高而降低（如熟石灰），此类物质转化成不饱和溶液，要降低温度。
少量原溶质，如果不能继续溶解，说明原溶液是该溶不饱和溶液。
或者在一定温度下，看该溶液中有没有不的溶质与溶液共存，那么这种溶液就是这种溶质的饱溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量，叫做这种固态度是指物质在水里的溶解度。
四个要点溶解度随温度的变化而变化，所以不指明温度时，溶解到的溶液叫做这种溶质的饱和溶饱和溶液与不饱和溶液是可以互不能再溶解NaCl 的溶液，可能液了。
因此必须指明是哪种溶质解的最大量随温度升高而增大。
指数函数典型例题详细解析
指数函数典型例题详细解析指数函数·例题解析第一课时例1：求下列函数的定义域与值域：1) $y=\frac{3}{2-x}$解：定义域为$x\in R$且$x\neq 2$，值域为$y>0$且$y\neq1$。
2) $y=2x+2-1$解：由$2^{\frac{x+2}{2}-1}\geq 0$，得定义域为$x\geq -2$，值域为$|y|\geq 0$。
3) $y=3-3x-1$解：由$3-3^{\frac{x-1}{2}}\geq 0$，得定义域为$x\leq 2$，由$3-3^{\frac{x-1}{2}}<3$，得值域为$y<3$。
1.指数函数$y=a^x$（$a>0$且$a\neq 1$）的定义域是$R$，值域是$(0,+\infty)$。
2.求定义域的几个原则：①含根式（被开方数不为负）②含分式，分母不为$0$③形如$a^0$，($a\neq 0$)3.求函数的值域：①利用函数$y=a^x$单调性②函数的有界性($x^2\geq 0;a^x>0$)③换元法。
例如：$y=4x+\frac{6}{2x-8}$($1\leq x\leq 2$)，先换元，再利用二次函数图象与性质（注意新元的范围）。
例2：指数函数$y=a^x$，$y=b^x$，$y=c^x$，$y=d^x$的图像如图2.6-2所示，则$a$、$b$、$c$、$d$、$1$之间的大小关系是？解：选$(c)$，在$x$轴上任取一点$(x,0)$，则得$b<a<1<d<c$。
例3：比较大小：1)$2$、$3^2$、$5^4$、$8^8$、$9^{16}$的大小关系是：$2<3^2<5^4<8^8<9^{16}$。
2)$\frac{0.6}{4}-\frac{5}{13}-2$，$2$的大小关系是：$\frac{0.6}{4}-\frac{5}{13}-2<2$。
机会成本的例题及解析
机会成本的例题及解析
机会成本是指在面临多方案择一决策时，被舍弃的选项中的最高价值者是本次决策的机会成本。
在实际应用中，机会成本常常被用来指导经营决策，以期最大限度地发挥资源的效用。
例如，一个公司如果选择投资 A 项目，就需要放弃投资 B、C、D 等其他项目，而这些项目中最高价值的项目就是该公司的机会成本。
以下是几个关于机会成本的例题:
1. 如果接受某家公司的聘用，就意味着必须放弃其他公司的聘用机会。
那么，接受这家公司聘用的机会成本是多少？
答案：接受这家公司聘用的机会成本是年薪 45000 的收入。
因为年薪 45000 是其他公司聘用机会的最大值，所以接受这家公司聘用的机会成本就是年薪 45000。
2. 如果可以选择去 A 地或 B 地旅游，而两种旅游方式的花费分别为 40 元和 50 元，那么，选择 A 地旅游的机会成本是多少？
答案：选择 A 地旅游的机会成本是 3 元，因为去 A 地旅游的收益是 50 元，减去 40 元的花费，剩下就是 3 元的机会成本。
3. 如果可以选择购买某种股票或另一种股票，而两种股票的收益率分别为 5% 和 8%,那么，选择购买某种股票的机会成本是多少？
答案：选择购买某种股票的机会成本是 3%,因为购买某种股票的收益是 8%,减去 5% 的收益率，剩下就是 3% 的机会成本。
以上例题展示了机会成本在决策中的应用。
在决策过程中，我们需要考虑到机会成本，以此做出最优决策。
产值比例法计算工资的例题及解析
产值比例法计算工资的例题及解析
摘要：
1.产值比例法简介
2.计算工资的例题
3.例题解析
4.总结
正文：
一、产值比例法简介
产值比例法是一种计算工资的方法，它根据员工的实际工作产值和公司规定的工资比例来计算员工的工资。
这种方法可以激励员工提高工作效率，同时也能保证公司的经济效益。
二、计算工资的例题
假设某公司规定直接人工和制造费用总额为100 万元，其中直接人工费用为60 万元，制造费用为40 万元。
公司规定的工资比例为30%，即工资占直接人工和制造费用总额的30%。
现在需要计算员工的工资。
三、例题解析
根据产值比例法，我们可以先计算出直接人工和制造费用总额的30% 作为工资总额，即：
工资总额= 100 万元× 30% = 30 万元
然后，根据直接人工费用和制造费用在总费用中的比例，分别计算出直接人工和制造费用的工资部分：
直接人工工资= 60 万元× 30% = 18 万元
制造费用工资= 40 万元× 30% = 12 万元
因此，员工的工资总额为18 万元+ 12 万元= 30 万元。
四、总结
产值比例法是一种合理的计算工资的方法，它能够根据员工的实际工作产值和公司的经济效益来计算工资，既能激励员工提高工作效率，又能保证公司的经济效益。
利差收益率的例题及解析
利差收益率的例题及解析一、利差收益率例题展示1. 例题一假设银行A一年期存款利率为3%，银行B一年期存款利率为3.5%。
小李在银行A存了10000元，小王在银行B存了10000元，一年后他们的利差收益率是多少呢？首先我们要知道利差收益率的计算公式。
利差收益率就是两个不同利率之间的差值占较低利率的比例。
这里银行A的利率低。
利差 = 银行B利率 - 银行A利率 = 3.5% - 3% = 0.5%。
利差收益率= 利差÷银行A利率×100% = 0.5%÷3%×100%≈16.67%。
2. 例题二某债券A的年利率为5%，同类型债券B的年利率为4.5%。
小张投资债券A 5000元，小赵投资债券B 5000元，计算他们的利差收益率。
利差 = 债券A利率 - 债券B利率 = 5% - 4.5% = 0.5%。
利差收益率= 利差÷债券B利率×100% = 0.5%÷4.5%×100%≈11.11%。
二、例题解析1. 对于第一个例题我们在计算利差收益率的时候啊，一定要分清楚哪个是较低利率。
就像小李和小王存钱的这个例子，可不能把利差计算错了哦。
要是把利差算成银行A利率减去银行B利率，那就完全错啦。
而且在计算利差收益率的时候，是用利差除以较低利率，再乘以100%。
这就好比是在比较一个东西比另一个东西多了多少比例一样。
如果我们不按照这个规则来，算出来的结果就不能准确反映利差收益率啦。
2. 对于第二个例题这里小张和小赵投资债券的情况呢，也是一样的道理。
债券A 和债券B的利率不同，我们先算出利差。
然后在计算利差收益率的时候，要除以债券B的利率，因为债券B的利率低呀。
这就像是在一条跑道上，我们要以一个标准来衡量另一个标准超出了多少比例。
要是搞错了这个标准，就像跑步跑错了方向，结果肯定不对啦。
三、利差收益率的实际意义利差收益率在金融领域可是相当重要的哦。
初一地理时区计算例题带解析
初一地理时区计算例题带解析
一、例题1
1. 题目
已知北京（东八区）的时间是2023年5月1日12时，求纽约（西五区）的时间。
2. 解析
- 计算时区差：东八区和西五区，时区差为8 + 5 = 13个时区。
- 因为东边的时间比西边早，北京在东边，纽约在西边。
当北京是12时的时候，纽约的时间要减去时区差对应的小时数。
- 2023年5月1日12时 - 13小时。
12 - 13不够减，我们从日期借一天（24小时），则变成（24 + 12）- 13 = 23时，日期变为2023年4月30日23时。
二、例题2
1. 题目
当伦敦（零时区）为2023年6月10日8时，求东京（东九区）的时间。
2. 解析
- 计算时区差：东京为东九区，伦敦是零时区，时区差为9 - 0=9个时区。
- 因为东京在东边，东边时间早于西边。
所以东京的时间是伦敦时间加上时区差对应的小时数。
- 2023年6月10日8时+9小时 = 2023年6月10日17时。
三、例题3
1. 题目
一架飞机于北京时间10月1日17时从北京起飞，飞行14小时后到达伦敦，求到达伦敦时当地的时间。
2. 解析
- 首先计算飞机到达时北京时间：10月1日17时+14小时 = 10月2日7时。
- 北京是东八区，伦敦是零时区，时区差为8个时区。
- 因为北京在东边，伦敦在西边，所以伦敦时间是北京时间减去时区差对应的小时数。
- 10月2日7时 - 8小时。
7 - 8不够减，从日期借一天（24小时），则
（24+7）- 8 = 23时，日期变为10月1日23时。
04评分法例题和解析
04评分法例题和解析摘要：一、评分法概述1.评分法定义2.评分法的作用二、评分法例题解析1.例题1：简单评分法2.例题2：加权评分法3.例题3：专家评分法三、评分法的应用1.产品评价2.员工绩效评估3.教育资源评估四、提高评分法有效性的策略1.制定合理的评分标准2.确保评分者的一致性3.合理运用各种评分方法五、评分法在我国的实践与展望1.我国评分法的应用现状2.我国评分法的发展趋势正文：一、评分法概述1.评分法定义评分法是一种量化评估方法，通过对评估对象的各个要素进行打分，以分数的形式对评估对象的整体表现进行评价。
评分法广泛应用于产品评价、员工绩效评估、教育资源评估等领域。
2.评分法的作用评分法具有以下作用：（1）客观、量化地评价评估对象，提高评价的公正性和准确性；（2）激发评估对象的追求进步，提高其积极性和主动性；（3）为决策者提供依据，辅助决策。
二、评分法例题解析1.例题1：简单评分法简单评分法是对评估对象的每个评价指标给予相同的权重，然后将各个指标的得分相加得到总分。
例如，对一款手机进行评价，包括外观、性能、价格三个指标，分别打分90、80、70，则这款手机的总分为（90+80+70）/3=80。
2.例题2：加权评分法加权评分法是根据各个评价指标的重要性给予不同的权重，然后对每个指标进行打分，最后根据权重计算总分。
例如，对一款手机进行评价，外观、性能、价格的权重分别为0.4、0.5、0.1，分别打分90、80、70，则这款手机的总分为90*0.4+80*0.5+70*0.1=78。
3.例题3：专家评分法专家评分法是通过邀请多位专家对评估对象进行打分，然后取平均值作为最终得分。
例如，对一款手机进行评价，邀请3位专家分别打分90、85、80，则这款手机的總分為（90+85+80）/3=85。
三、评分法的应用1.产品评价：如手机、汽车等消费品，可以通过评分法对各个品牌的产品进行综合评价，为消费者提供参考。
热机效率知识点的例题及其解析
热机效率知识点的例题及其解析【例题1】某团队在海拔3000多米高山上野营时，使用铁锅烧水，他们发现把体积为2L的水从10℃加热到85℃时，共消耗了5kg的干木柴，【已知水的比热容为4.2×103J/（kg·℃），干木柴的热值为1.2×107J/kg】。
求：（1）干木柴完全燃烧放出的热量？（2）水吸收的热量。
（3）铁锅烧水的的效率。
（4）他们也发现在高山上用铁锅煮马铃薯时，尽管锅里的水哗哗地沸腾了很长时间。
马铃薯还是煮不软，为什么？答案：（1）干木柴完全燃烧放出的热量：Q放=qm=1.2×107×5=6×107（J）（2）水的质量：m水=ρ水V水=1.0×103×2×10-3=2（kg）水吸收的热量:Q吸=cm（t-t0）=4.2×103×2×（85-10）=6.3×105（J）（3）铁锅烧水的的效率：η=Q吸/Q放=6.3×105（J）/6×107（J）=1.05%（4）因为沸点随气压的减小而降低，高山上气压小，所以水沸点降低，铁锅里的水尽管沸腾了，但是温度比较低，马铃薯还是煮不软。
【例题2】在四冲程汽油机工作过程中，实现机械能转化为内能的是冲程，汽油机产生2.3×107J的热量需要完全燃烧kg的汽油（汽油的热值为4.6×107J/kg）答案：压缩0.5解析:（1）在汽油机的压缩冲程中，活塞压缩气体做功，使气体的内能增大，温度升高，机械能转化为内能；（2）由Q=mq可得，汽油的质量：放m===0.5kg。
【例题3】某台汽油机飞轮的转速为1800r/min，在1s内，汽油机完成了个工作循环。
如果汽油机在一段时间内消耗了500g汽油，若这些汽油完全燃烧，=4.6×107J/kg）可放出热量J．（q汽油答案：15；2.3×l07。
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24 3600
24 3600
Kz
2.7 Q 0.11
2.7 19.680.11
1.95
Q1 K z Q 1.9519.68 38.38L / s
污水设计流量的计算例题
❖ 某居住区生活排水定额200L/（人.d),居住区人 口数N=10000， K总=1.93，
则居住区生活污水设计流量Q1=( )L/s. A 30.32 B 38.28 C 44.68 D 46.30
污水管道水力计算例题
❖ 某管，n=0.014，DN300，I=0.004，水深 h=150mm，求管中水流速。
A 0.62m/s, B 1.50m/s, C 0.80m/s, D 0.33m/s
❖ h/D＝150/300＝0.5 ❖ 根据h/D、I，查相应水力计算图，h/D、I相
交处，v=0.8m/s，Q=30L/s
❖ A 295.5L/s, B 262.5L/s, C 237.5L/s, D 220L/s;
FA=2.3ha
FB=2.1ha
1
2
3
Q23
F
q
0.6 (2.3 2.1)
(10
500 2 2)0.65
237 .5L / s
雨水管渠设计流量计算例题
❖ 某雨水管线如图所示，已知径流系数为0.5，重现期为1a， 暴雨强度公式为q=1900(1+0.66lgP)/(t+8)0.8 (L/s.ha)， t A=t B=10min， t A-B=1.5min，求Q B-C( )L/s?
雨水管渠设计流量计算例题
❖ 雨水管线如图所示，已知径流系数为0.5，重现期为1a，暴雨 强度公式为q=2001(1+0.81lgP)/(t+8)0.71 (L/s.ha)，FA=30 ha，tA=10min，雨水自汇水面积最远点流至第一检查井再流至 该设计断面的时间为12min，求Q 2-3( )L/s?
Q Av AC
RI
1
A
R
2 3
I
1 2
n
Q2
n1 Q1 n2
0.0151.4 0.012
1.75m3
/s
污水管道水力计算例题
❖ 已知DN600污水管埋设深度为1.8m，管壁 厚度为60mm，计算覆土厚度。
❖ A 1.14，B 1.24，C 1，D 1.2 ❖ 覆土厚度＝管底埋深－管径－管壁厚度 ❖ 覆土厚度＝1.8-0.6-0.06＝1.14m
v C
RI
1
2
R3
I
1 2
n
1
[ D2
2
1
]3 0.0042
0.014 8 ( r)
1
(
0.3)
2 3
0.063
0.32m
/
s
0.014 16
污水管道的水力计算例题
❖ 一根DN1200管道，原来n=0.015，Q=1.4m3/s，内壁刮 管除垢涂层后，n=0.012，求其Q（R，I不变） A 1.75m3/s，B 1.57m3/s，C 2.19m3/s，D 1.68m3/s
15
2001 2 00.7 1
3577.7L
/
s
Q23
FA
q
0.5 30
2001(1 0.81lg1) (10 8)0.71
2001 15
1 80.7 1
3855.6L
/
s
雨水管渠设计流量计算例题
❖ 某雨水管线如图所示，已知FA=2.3ha，FB=2.1ha， 径流系数为0.6， tA=10min，暴雨强度公式为 q=500/t0.65 (L/s.ha)，求Q 1-2
❖ A 140L/s, B 150L/s, C 170L/s, D 180L/s;
FA=2.3ha
FB=2.1ha
1
2
3
Q12
FA q
500 0.6 2.3 100.65
154.5L / s
雨水管渠设计流量计算例题
❖ 某雨水管线如图所示，已知FA=2.3ha，FB=2.1ha，径 流系数为0.6，tA=tB=10min，t1-2=2min，暴雨强度公 式为q=500/t0.65 (L/s.ha)，求Q 2-3
污水管道水力计算例题
❖ 在水面平接的情况下，已知前一管段（DN600）的下 端水面标高为1.3m，如果后一管段的充满度为0.6， 计算后一管段（DN800）的上端管底标高。
❖ A 1.14，B 0.82，C 0.96，D 1.3
❖ 后管段有效水深＝充满度×管径＝0.6 ×0.8=0.48m ❖ 管底标高＝水面标高－有效水深＝1.3-0.48＝0.82m
雨水管道水力计算例题
❖ 钢筋混凝土管，流量200 L/s，I=0.003， n=0.013，求管径。
A DN300，B DN400，C DN500，D DN600； ❖ 根据已知条件，n=0.013，判定该题为雨水管
道的水力计算（满流）， ❖ 根据Q、I，查水力计算图， Q、I相交处，管
径D=500mm，流速v=1.05m/s，符合设计规范。
n N K 200100001.93
Q1
Z
24 3600
24 3600
3860000 44.68(L / s) 86400
污水管道的水力计算例题
❖ 某管，n=0.014，DN300，I=0.004，水深h=150mm，求 管中水流速。 A 0.62m/s, B 1.50m/s, C 0.80m/s, D 0.33m/s
污水设计流量的计算例题
❖ 某居住区生活给水定额200L/（人.d),居住区人口数 N=10000，污水收集系数0.85，K总＝2.7/Q的0.11次方 ，
则居住区生活污水设计流量Q1=( )L/s. A 30.32 B 38.28 C 44.68 D 46.30
Q n N 0.85 20010000 19.68L / s
❖ A 3855.6 B 3577.7 C 3343.6 D 3527.8
FA=30ha
q
0.5 30
2001(1 0.81lg1) (10 2 2 8)0.71
15
2001 2 20.7 1
3343.6L
/
s
Q23
FA
q
0.5 30
2001(1 0.81lg1) (12 8)0.71
污水管道水力计算例题
❖ 在管顶平接的情况下，已知前一管段（DN600） 的下端管底标高为1.8m，求后一管段（DN700） 的上端管底标高为（）米。 A 1.7，B 1.8，C 1.9，D 2.0
❖ 采用管顶平接，后一管段上端管底标高＝前 一管段下端管底标高－两管径之差＝1.8(0.7-0.6)＝1.7m