【精品】初二动点问题(含答案)(20210224152410)
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动态问题
一、所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点 , 它们在线段、射线或弧线上 运动的一类开放性题目 . 解决这类问题的关键是动中求静 , 灵活运用有关数学知识解决问 题. 关键 : 动中求静 . 数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想 类型： 1.利用图形想到三角形全等，相似及三角函数 2.分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度（动点怎么动） 3.结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据 4.分情况讨论，把每种可能情况列出来，不要漏 5.动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路 6.动点类题目一般都有好几问， 前一问大都是后一问的提示， 就像几何探究类题一样， 如果 后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论
且 EF交正方形外角 DCG 的平行线 CF于点 F，求证： AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取
AB 的中点 M，连接 ME，则 AM=EC，易证
△ AME ≌△ ECF ，所以 AE EF ．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（ 1）小颖提出：如图 2，如果把“点 E是边 BC的中点”改为“点 E 是边 BC上（除 B， C外）的任意
从与 AC 重合的位置开始， 绕点 O 作逆时针旋转， 交 AB 边于点 D ．过点 C 作 CE ∥ AB 交直线 l 于点 E ，
设直线 l 的旋转角为 ．
（ 1）①当
度时，四边形 EDBC 是等腰梯形，此时 AD 的长为
；
②当
度 时 ， 四 边 形 EDBC 是 直 角 梯 形 ， 此 时 AD 的 长
3Leabharlann Baidu
8、如图，已知 △ ABC 中， AB AC 10厘米， BC 8厘米，点 D 为 AB 的中点．
(1）如果点 P 在线段 BC 上以 3cm/s 的速度由 B 点向 C 点运动， 同时， 点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点 运动
①若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后， △ BPD 与 △CQP 是否全等，请说明理由； ②若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等， 当点 Q 的运动速度为多少时， 能够使 △ BPD 与 △CQP
二、例题：
1、如图 1，梯形 ABCD 中， AD ∥ BC，∠ B=90 °， AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm, 点 P 从
A 开始沿 AD 边以 1cm/秒的速度移动， 点 Q 从 C 开始沿 CB 向点 B 以 2 cm/ 秒的速度移动， 如果 P， Q 分别从 A ，C 同时出发，设移动时间为 t 秒。
为
；
（ 2）当
90°时，判断四边形 EDBC 是否为菱形，并说明理由．
A
l E O
D
C B
4、在△ ABC 中，∠ ACB=90°， AC=BC ，直线 MN 经过点 C，且 AD ⊥ MN 于 D， BE ⊥ MN 于 E.
MD
C
M C
M C
EN
D
E
A
B
A
图1
E
图2
N
(1) 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，求证：①△
B
A
B
D
N
图3
ADC ≌△ CEB；② DE=AD ＋BE ；
(2) 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时，求证： DE=AD-BE ；
(3) 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时，试问 DE、 AD 、 BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量
关系，并加以证明 .
2
5、数学课上， 张老师出示了问题： 如图 1，四边形 ABCD是正方形， 点 E 是边 BC的中点． AEF 90 ，
一点”，其它条件不变，那么结论“ AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明
过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出： 如图 3，点 E 是 BC的延长线上 （除 C点外）的任意一点， 其他条件不变， 结论“AE=EF”
仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
全等？
（ 2）若点 Q 以②中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿 △ ABC 三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 △ ABC 的哪条边上相遇？
4
A
D
F
A
D
F
F
A
D
B
EC
G
图1
B
EC
G
图2
B
CE G
图3
6、如图 , 射线 MB 上 ,MB=9,A 是射线 MB 外一点 ,AB=5 且 A 到射线 MB 的距离为 3,动点 P 从 M 沿射线 MB 方向以 1 个单位 /秒的速度移动，设 P 的运动时间为 t. 求（ 1）△ PAB 为等腰三角形的 t 值；（ 2）△ PAB 为直角三角形的 t 值； （ 3） 若 AB=5 且∠ ABM=45 °，其他条件不变，直接写出△ PAB 为直角三角形的 t 值
当 t=
时，四边形是平行四边形；
当 t=
时，四边形是等腰梯形 .
2、如图 2，正方形 ABCD 的边长为 4，点 M 在边 DC 上，且 DM=1 ， N 为对角线 AC 上任 意一点，则 DN+MN 的最小值为
1
3、如图，在 Rt △ ABC 中， ACB 90°， B 60°， BC 2 ．点 O 是 AC 的中点，过点 O 的直线 l
一、所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点 , 它们在线段、射线或弧线上 运动的一类开放性题目 . 解决这类问题的关键是动中求静 , 灵活运用有关数学知识解决问 题. 关键 : 动中求静 . 数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想 类型： 1.利用图形想到三角形全等，相似及三角函数 2.分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度（动点怎么动） 3.结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据 4.分情况讨论，把每种可能情况列出来，不要漏 5.动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路 6.动点类题目一般都有好几问， 前一问大都是后一问的提示， 就像几何探究类题一样， 如果 后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论
且 EF交正方形外角 DCG 的平行线 CF于点 F，求证： AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取
AB 的中点 M，连接 ME，则 AM=EC，易证
△ AME ≌△ ECF ，所以 AE EF ．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（ 1）小颖提出：如图 2，如果把“点 E是边 BC的中点”改为“点 E 是边 BC上（除 B， C外）的任意
从与 AC 重合的位置开始， 绕点 O 作逆时针旋转， 交 AB 边于点 D ．过点 C 作 CE ∥ AB 交直线 l 于点 E ，
设直线 l 的旋转角为 ．
（ 1）①当
度时，四边形 EDBC 是等腰梯形，此时 AD 的长为
；
②当
度 时 ， 四 边 形 EDBC 是 直 角 梯 形 ， 此 时 AD 的 长
3Leabharlann Baidu
8、如图，已知 △ ABC 中， AB AC 10厘米， BC 8厘米，点 D 为 AB 的中点．
(1）如果点 P 在线段 BC 上以 3cm/s 的速度由 B 点向 C 点运动， 同时， 点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点 运动
①若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后， △ BPD 与 △CQP 是否全等，请说明理由； ②若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等， 当点 Q 的运动速度为多少时， 能够使 △ BPD 与 △CQP
二、例题：
1、如图 1，梯形 ABCD 中， AD ∥ BC，∠ B=90 °， AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm, 点 P 从
A 开始沿 AD 边以 1cm/秒的速度移动， 点 Q 从 C 开始沿 CB 向点 B 以 2 cm/ 秒的速度移动， 如果 P， Q 分别从 A ，C 同时出发，设移动时间为 t 秒。
为
；
（ 2）当
90°时，判断四边形 EDBC 是否为菱形，并说明理由．
A
l E O
D
C B
4、在△ ABC 中，∠ ACB=90°， AC=BC ，直线 MN 经过点 C，且 AD ⊥ MN 于 D， BE ⊥ MN 于 E.
MD
C
M C
M C
EN
D
E
A
B
A
图1
E
图2
N
(1) 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，求证：①△
B
A
B
D
N
图3
ADC ≌△ CEB；② DE=AD ＋BE ；
(2) 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时，求证： DE=AD-BE ；
(3) 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时，试问 DE、 AD 、 BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量
关系，并加以证明 .
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5、数学课上， 张老师出示了问题： 如图 1，四边形 ABCD是正方形， 点 E 是边 BC的中点． AEF 90 ，
一点”，其它条件不变，那么结论“ AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明
过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出： 如图 3，点 E 是 BC的延长线上 （除 C点外）的任意一点， 其他条件不变， 结论“AE=EF”
仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
全等？
（ 2）若点 Q 以②中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿 △ ABC 三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 △ ABC 的哪条边上相遇？
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A
D
F
A
D
F
F
A
D
B
EC
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图1
B
EC
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图2
B
CE G
图3
6、如图 , 射线 MB 上 ,MB=9,A 是射线 MB 外一点 ,AB=5 且 A 到射线 MB 的距离为 3,动点 P 从 M 沿射线 MB 方向以 1 个单位 /秒的速度移动，设 P 的运动时间为 t. 求（ 1）△ PAB 为等腰三角形的 t 值；（ 2）△ PAB 为直角三角形的 t 值； （ 3） 若 AB=5 且∠ ABM=45 °，其他条件不变，直接写出△ PAB 为直角三角形的 t 值
当 t=
时，四边形是平行四边形；
当 t=
时，四边形是等腰梯形 .
2、如图 2，正方形 ABCD 的边长为 4，点 M 在边 DC 上，且 DM=1 ， N 为对角线 AC 上任 意一点，则 DN+MN 的最小值为
1
3、如图，在 Rt △ ABC 中， ACB 90°， B 60°， BC 2 ．点 O 是 AC 的中点，过点 O 的直线 l