福师大网络教育《复变函数》网络作业答案

复变函数作业一

一、判断（对的用T 表示，错的用F 表示） 1、如果0()f z '存在，那么()f z 在0z 解析。（ F ） 2、()n Ln z nLnz =。（ F ）

3、当且仅当z 为实数时，z e 为实数。（ F ）

4、设()f z u iv =+在区域D 是解析的，如果u 是实常数，那么()f z 在整个D 是常数；如果v 是实常数，那么()f z 在D 也是常数。（ T ）

二、填空

1、13Re 2n i ⎡⎤

⎛⎫+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥

⎝⎭⎣⎦

= ；13Im 2n i ⎡⎤

⎛⎫+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥

⎝⎭⎣⎦

= 。

2、设ω是1的n 次根，1ω≠，则211n ωωω-++++L = 0 。

3、在映射2z ω=下，扇形区域0arg ,14

z z π

<<

<的像区域为

2π

arg 0<

4、若()()11n n

i i +=-，则n = 。

三、计算

1、 计算下列函数值：1）()n i L e ；234i + 1）、()n i L e 解： 主值

()ln ln arg i i i e e i e i

=+=,

()()ln 22,i i Ln e e k i i k i k ππ∴=+=+∈Z

234i +解： 设3+4i 的平方根是x+yi ，x 、y ∈R ，则有 x 2-y 2=3，且 2xy=4，

求得 x=2，y=1，或x=-2 y=-1， 故3+4i 的平方根是 2+i ，或-2-i ， 故答案为：2+i ，或-2-i

2、下列函数在复平面上何处可导？何处解析？ 1

；

2）()()2222x y x i xy y --+- 。

1

； 解：

因为 f(z)=|z| 当趋于0-时 f(z)=|-1； 当趋于0+时 f(z)=|1； 右极限不等于左极限。

所以f(z)=|z|在z=0处不可导，而在除0以外的其他地方都可导且解析。

2）()()2222x y x i xy y --+- 。 解：

212,,2v 221

v ,2

x x y y x y y x u x v y

u y x y u u v y =-=⎧⎧⎪⎪⎨

⎨=-=-⎪⎪⎩⎩==-⇒=-

仅在直线1

2

y =上可导，在复平面上处处不解析。

3、函数2322()2f z x y x y i =-+是否为解析函数？求出其导数。

解：不是解析函数，因为满足条件的只有两个点，不成区域

2

(,)24x x f x y u iv x xy '=+=+

3234(0,0)0,,4323f f i

⎛

⎫''==+ ⎪⎝⎭

4、已知222371

(),:3C f z d C x y z

ζζζζ++=+=-⎰，求()1f i '+。 解：

()

2()2(371)

()2(67)(1)2613f z i z z f z i z f i i πππ=++'=+'+=-+

5、计算积分 1）()

231

1z z dz z z =--⎰；

解：1）()

231

1z z dz z z =--⎰；

2）211sin 41

z z dz z π+=⎛⎫ ⎪

⎝⎭-⎰； 解：

2sin 41z z π⎛⎫ ⎪⎝⎭-在11z +=只有1z =-一个极点，所以令()

sin 41z f z z π⎛⎫

⎪⎝⎭=-，所以

()(

)21111sin 42111z z z f z dz dz if i z z ππ+=+=⎛⎫ ⎪⎝⎭==-=-+⎰⎰

3）

()

1

2

12

1z

z e dz z z -=

+⎰

； 解:

()

12

12

1z

z e dz z z -=

+⎰

dz z z e

z )

1(212

1

+=

⎰

-

4）

()

2

3

13

2z dz

z z -=-⎰

。

解：

)

44(1

3231

+-=⎰-z z z dz

z

3

451

443z z z dz

z +-=

⎰

-

四、证明：若积分路径不经过i ±，则1

20,14

dz k k z π

π=+∈+⎰¢。

证明：如果积分路径不经过i ±，且不绕过，i ± 则由柯西定理得，

若积分绕z=转1k 圈，则积分值为 若绕z = -i 转2k 圈，则积分值为

故在一般情况下，积分值为

五、证明：设v 是u 的共轭调和函数，问下列各对函数中后者是不是前者的共轭调和函数？判断并给出理由： 1）,Au Bv Bu Av -+（,A B 为常数）； 2）22,u v uv -。

1）证明：

2）

不是

的共轭调和函数

证明：