数据插值与曲线拟合共69页文档
数据插值与曲线拟合
实验报告实验目的：掌握数据插值与曲线拟合的方法与应用。
掌握求数值倒数、数值积分、代数方程数值求解、常微分方程数值求解的方法 掌握定义符号对象、求符号函数极限及导数、求符号函数积分的方法实验内容：1 求22)ln(lim y x e x y ++2.计算I=dxdy y x dxdy x f D D )2(21)(--=⎰⎰⎰⎰，其中D 为直线2x y =所围部分 3.求下列变上限积分对变量x 的导数；.2dx x a x x ⎰+4 求高阶微分方程,022''=-++xyz z y y 确定了函数y z x z y x z z ∂∂∂∂=),.(format compact>> input('my name is:','s')my name is:liu yangans =liu yangclear>> fxy=sym('log(x+exp(y))/sqrt(x^2+y^2)')fxy =log(x + exp(y))/(x^2 + y^2)^(1/2)>> result=limit(limit(fxy,'x',1),'y',0)result =log(2)>> clearsyms x yf=(2-x-y)/2;y1=x;y2=x^2;X=solve('x-x^2=0')fdy=int(f,y,x^2,x)X =1fdy =(x*(x - 1)^2*(x + 4))/4>>I=int(fdy,x,X(1),X(2))I =11/120>> clear>> syms a x t y1 y2>> y1=sqrt(a+t)y1 =(a + t)^(1/2)>> y2=int(y1,t,x,x^2);Warning: Explicit integral could not be found. >> diff(y2,x)ans =2*x*(x^2 + a)^(1/2) - (a + x)^(1/2)clear>> y1=dsolve('D2y-10*Dy+9*y=exp(2*x)','Dy(0)=33/7,y(0)=6/7')y1 =exp(2*x)/9 - exp(t)*(exp(2*x)/8 - 3/8) + exp(9*t)*(exp(2*x)/72 + 27/56)clearsyms x y zf=x+2*y-2*sqrt(x*y*z);>> fx=diff(f,x);fy=diff(f,y);fz=diff(f,z);>> zx=-fx/fzzx =-(((y*z)/(x*y*z)^(1/2) - 1)*(x*y*z)^(1/2))/(x*y)>> zy=-fy/fzzy =-(((x*z)/(x*y*z)^(1/2) - 2)*(x*y*z)^(1/2))/(x*y)clear[x,y,z]=solve('x*y^2+z^2=0','y-z=1','x^2-5*x+6')x =2332y =1/3 + (2^(1/2)*i)/31/4 + (3^(1/2)*i)/41/4 - (3^(1/2)*i)/41/3 - (2^(1/2)*i)/3z =- 2/3 + (2^(1/2)*i)/3 - 3/4 + (3^(1/2)*i)/4 - 3/4 - (3^(1/2)*i)/4 - 2/3 - (2^(1/2)*i)/3。
数据插值与曲线拟合
例3. 用一个3次多项式在区间[0，2π]内逼近函数。 解：x=linspace(0,2*pi,50);y=sin(x);P=polyfit(x,y,3) 得到P =0.0912 -0.8596 1.8527 -0.1649 即多项式P(x)=0.0912x^30.8596x^2+1.8527x -0.1649 利用绘图方法将多项式 P(x)与sin(x)进行比较： y1=polyval(P,x); plot(x,y,':o',x,y1,'-*')
linear——线性插值（默认） nearest——最近点插值 cubic——3次多项式插值 spline——3次样条插值 注意：X1的取值范围不 能超出X的给定范围，否 则，会给出“NaN”错误。
例1.用不同的插值方法计算y=sin(x)在π/2点的值。
解：x=0:0.2:pi;y=sin(x); interp1(x,y,pi/2)—————ans=0.9975 interp1(x,y,pi/2,'nearest')—ans=0.9996 interp1(x,y,pi/2,'cubic')——ans=0.9992 interp1(x,y,pi/2,'spine')——ans=1.000 spline(x,y,pi/2)—————ans=1.000
1.一维数据插值
一维插值是解决被插值函数是一个单变量函数 的问题。在MATLAB中，实现这些插值的函数是 interp1，其调用格式为： Y1=interp1(X,Y,X1,’method’) X,Y是两个等长的已知向量，分别描述采样点和 样本值，X1是一个描述欲插值的点或向量，Y1是一 个与X1等长的插值结果。method是插值方法:
曲线拟合和插值
第11章曲线拟合与插值在大量的应用领域中，人们经常面临用一个解析函数描述数据(通常是测量值)的任务。
对这个问题有两种方法。
在插值法里，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数据点之间所发生的情况。
这种方法在下一节讨论。
这里讨论的方法是曲线拟合或回归。
人们设法找出某条光滑曲线，它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。
图11.1说明了这两种方法。
标有'o'的是数据点；连接数据点的实线描绘了线性内插，虚线是数据的最佳拟合。
11.1 曲线拟合曲线拟合涉及回答两个基本问题：最佳拟合意味着什么？应该用什么样的曲线？可用许多不同的方法定义最佳拟合，并存在无穷数目的曲线。
所以，从这里开始，我们走向何方？正如它证实的那样，当最佳拟合被解释为在数据点的最小误差平方和，且所用的曲线限定为多项式时，那么曲线拟合是相当简捷的。
数学上，称为多项式的最小二乘曲线拟合。
如果这种描述使你混淆，再研究图11.1。
虚线和标志的数据点之间的垂直距离是在该点的误差。
对各数据点距离求平方，并把平方距离全加起来，就是误差平方和。
这条虚线是使误差平方和尽可能小的曲线，即是最佳拟合。
最小二乘这个术语仅仅是使误差平方和最小的省略说法。
图11.1 2阶曲线拟合在MA TLAB中，函数polyfit求解最小二乘曲线拟合问题。
为了阐述这个函数的用法，让我们以上面图11.1中的数据开始。
» x=[0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1];» y=[-.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2];为了用polyfit，我们必须给函数赋予上面的数据和我们希望最佳拟合数据的多项式的阶次或度。
如果我们选择n=1作为阶次，得到最简单的线性近似。
通常称为线性回归。
相反，如果我们选择n=2作为阶次，得到一个2阶多项式。
现在，我们选择一个2阶多项式。
第九讲 数据插值与拟合
插值则要求函数在每个观测点处一定要满足 y i f ( xi )
插值函数一般是已知函数的线性组合或者称为加权平 均．插值在工程实践和科学实验中有着非常广泛而又十 分重要的应用，例如，信息技术中的图像重建、图像放 大中为避免图像的扭曲失真的插值补点、建筑工程的外 观设计。化学工程实验数据与模型的分析、天文观测数 据、地理信息数据的处理如(天气预报）以及社会经济 现象的统计分析等等．
zi int erhod' )
其中 x，y，z为插值节点，zi为被插值点(xi，yi)处的插值结果 且， xi， yi为被插值节点构成的新的网格数据 ‘methods’代表的意思和可选择的插值方法和前面一样 注意：所有的插值方法都要求x和y是单调的网格，x和 y可以 是等距的也可以是不等距的
：最近点等值方式
缺省时表示线性插值
例1 在一 天24小时内，从零点开始每间隔2小时测得的环 境温度数据分别为
12，9，9，1，0，18 ，24，28，27，25，20，18，15，13，
推测中午（即13点）时的温度．
x=0：2：24； y=[12 9 9 10 18 24 28 27 25 20 18 15 13]； x1＝13 ； y1＝interp1（x，y，x1，‘spline’）
（2）一般函数线性组合的曲线拟合
假设已知函数原型为 f ( x) c0 0 ( x) c11 ( x) cm m ( x) 通过求解线性方程可得待定系数，一般方法： X=[…] %已知数据x的列向量 Y=[…] %已知数据y的列向量 A=[f1(X),f2(X),…,fm(X)] %系数矩阵，fm（）为基函数 c=A\y
线性最小二乘法
拟合函数可由一些简单的“基函数”（例如幂函数，三 角 0 ( x), 1 ( x), , n ( x) 来线性表示 函数等等）
第四章插值和曲线拟合
在实际问题和科学实验中所遇到的函数y=f(x),往往
没有解析表达式 , 只能根据试验观察或其它方法提供一
系列点的函数值; 有时尽管可以写出表达式，但是比较
复杂, 直接使用它感到不方便。我们经常需要利用已知
的数据去寻求某个简单的函数φ (x)来逼近f(x),即用φ (x)
作为f(x)的近似表达式。本章的插值法和曲线拟合就是
φ (xi) = yi ,
插值法的几何意义
插值法的几何意义就是通过n+1个点: (xi,yi) (i=0,1,2,…,n) 作一条近似曲线y= φ (x) 代替y=f(x)。如下图所示。 y=f(x) (xn,yn) y= φ (x) y
(x1,y1) (x0,y0) (x2,y2)
(xn-1,yn-1)
三、n次拉格朗日插值
仿照P2 (x)的构造方法，可得出 Pn(x)=L0(x)y0+L1(x)y1+…+Ln(x)yn 其中 L0(x)=[(x-x1)(x-x2)…(x-xn)]/ [(x0-x1)(x0-x2)…(x0-xn)] Lk(x)= [(x-x0)…(x-xk-1)(x-xk+1) …(x-xn)] /[(xk-x0)…(xk-xk-1)(xk-xk+1) …(xk-xn)] ( k = 0, 1, …, n ) 这就是n次拉格朗日插值多项式。 也可写为 n n n x x k P ( x ) L ( x ) y y n i i i x x i 0 i 0 k 0 , k i i 或 k
线性插值举例
例 解 或 已知 1001/2 =10，1211/2 =11 求 1151/2 P1(x) = y0+(y1-y0)/(x1-x0)*(x-x0) P1(115) = 10+(11-10)/(121-100)*(115-100)
数值计算3-插值和曲线拟合
数值计算．．．．．．．．．．．3．－．插值和曲线拟合插值法是实用的数值方法，是函数逼近的重要方法。
在生产和科学实验中，自变量x与因变量y的函数y = f(x)的关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在若干个点的函数值或导数值。
当要求知道观测点之外的函数值时，需要估计函数值在该点的值。
如何根据观测点的值，构造一个比较简单的函数y=φ(x)，使函数在观测点的值等于已知的数值或导数值。
用简单函数y=φ(x)在点x处的值来估计未知函数y=f(x)在x点的值。
寻找这样的函数φ(x)，办法是很多的。
φ(x)可以是一个代数多项式，或是三角多项式，也可以是有理分式；φ(x)可以是任意光滑（任意阶导数连续）的函数或是分段函数。
函数类的不同，自然地有不同的逼近效果。
在许多应用中，通常要用一个解析函数（一、二元函数）来描述观测数据。
根据测量数据的类型：1．测量值是准确的，没有误差。
2．测量值与真实值有误差。
这时对应地有两种处理观测数据方法：1．插值或曲线拟合。
2．回归分析（假定数据测量是精确时，一般用插值法，否则用曲线拟合）。
MATLAB中提供了众多的数据处理命令。
有插值命令，有拟合命令，有查表命令。
一维插值插值定义为对数据点之间函数的估值方法，这些数据点是由某些集合给定。
当人们不能很快地求出所需中间点的函数值时，插值是一个有价值的工具。
例如，当数据点是某些实验测量的结果或是过长的计算过程时，就有这种情况。
interp1(x,y,xi,method)x和y为既有数据的向量，其长度必须相同。
xi为要插值的数据点向量。
method插值方法,‘nearest’/‘linear’/‘cubic’/‘spline’之一，分别为最近点插值/线性插值/分段三次Hermite插值/三次样条插值。
例x=[1.0 2.0 3.0 4.0 5.0]; %输入变量数据xy=[11.2 16.5 20.4 26.3 30.5]; %输入变量数据yx1=2.55; %输入待插值点xy11=interp1(x,y,x1,'nearest') %最近点插值方法的插值结果y12=interp1(x,y,x1,'linear') %线性插值方法的插值结果y13=interp1(x,y,x1,'cubic') %三次Hermite插值方法的插值结果y14=interp1(x,y,x1,'spline') %样条插值方法的插值结果y11 =20.4000y12 =18.6450y13 =18.6028y14 =18.4874plot(x,y)或许最简单插值的例子是MATLAB的作图。
第一章常用数值分析方法3插值法与曲线拟合-精选文档
函数常被用来描述客观事物变化的内在规律——数量关系， 如宇宙中天体的运行，地球上某地区平均气温的变化等等， 但在生产和科研实践中碰到的大量的函数中，不仅仅是用解 析表达式表示的函数，还经常用数表和图形来表示函数，其 中函数的数表形式在实际问题中应用广泛，主要原因是有相 当一部分函数是通过实验或观测得到的一些数据，这些数据 只是某些离散点 xi 上的值（包括函数值f (xi)，导数值 f(xi) 等,i = 1,2,…,n)，虽然其函数关系是客观存在的，但却不知道 具体的解析表达式，因此不便于分析研究这类数表函数的性 质，也不能直接得出其它未列出点的函数值，我们希望能对 这样的函数用比较简单的表达式近似地给出整体的描述。
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X.Z.Lin
另一方面，有些函数，虽然有解析表达式，但因 其过于复杂，不便于计算和分析，同样希望构造一个 既能反映函数的特性又便于计算的简单函数，近似代 替原来的函数。 b f (x)dx 中，当f (x)很复杂，要 如在积分 I a 计算积分 I 是很困难的，构造近似函数使积分容易计 算，并且使之离散化能上机计算求出积分I，都要用 到插值逼近。
，
yi（i = 1，2，…n）
求：给定点 x 对应的函数值 y 或近似函数表达式。 要求： 已知点满足该函数
思路
构造函数 y=p(x)
代数多项式 ：
插值函数
2 m p ( x ) a a x a x a x m 0 1 2 m
( m n )
两点插值（线性插值）
算法
拉格朗日（Lagrange）法
（插值多项式）
特点：
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x x x x 2 1 y y 1 2 x x x x 1 2 2 1
第五章插值法与曲线拟合插值法精品PPT课件
f (n1) (x
(n 1)!
)
wn1(x)
,
x (a,b)
n
Ln(x) f (xi)li(x)
i0
其中
li(x ) (( x x i x x 0 0 ))(( x x i x x ii 1 1 ) )( (x x i x x ii 1 1 ) )
(x x n ) ,i
(x i x n )
计算各阶差分可按如下差分表进行.
向前差分表
xi fi fi 2 fi 3 fi
n fi
x0 f0 x1 f1 f0 x2 f2 f1 2 f0 x3 f3 f2 2 f1 3 f0
xn fn fn1 2 fn2 3 fn3
n f0
差分具有如下性质:
.
性质1(差分与函数值的关系) 各阶差分均可表示为函值
(1)
使满足
cn(xx0)(xx1)(xx2) (xxn 1)
N n (x i) f(x i), i 0 ,1 , n
(2)
为了使 N n ( x ) 的形式得到简化,引入如下记号
0(x)1
i(x)(xxi1)i1(x)
(3)
(xx0)(xx1) (xxi1), i1,2, n
定义 由式(3)定义的n+1个多项式 0(x),1(x), ,n(x)
表示f(x)在x0及x1两点的一阶差商. 用记号 f[x0,x1,x2]f[x0,xx10 ] xf2[x1,x2]
表示f(x)在x0,x1,x2三点的二阶差商. 一般地,有了k-1阶差商之后, 可以定义f(x)在x0,x1,..,xk的k阶差商
f[x 0 ,x 1 ,
,x k] f[x 0 ,x 1 ,
2 f (xi ) (f (xi )) ( f (xi h) f (xi )) f (xi h) f (xi ) f (xi 2h) 2 f (xi h) f (xi )
数学建模插值与拟合概要
cz =griddata〔x，y，z，cx，cy，‘method’〕
被插值点 的函数值插值 节点被插值点插值方法
‘nearest’最邻近插值
‘linear’ 双线性插值 ‘cubic’ 双三次插值 'v4'- MATLAB提供的插值方法
缺省时, 双线性插值
要求cx取行向量，cy取为列向量．
▪ %给出〔xi，yj〕点的高程 zij：
▪>>[X，Y]=meshgrid(0:1:20,0:1:20); ▪ % 给出加密的插值坐标网格
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>>Z=interp2(x,y,z,X,Y,’spline’); %在坐标上进行样条插值
画图： >>clf;%清空图形坐标系中的内容
>>mesh(X,Y,Z) %在网格上画出插值的结果
h=1:0.1:12;
t=interp1(hours,temps,h,'spline'); plot(hours,temps,'+',h,t,hours,temps,'r:')
%作图
xlabel('Hour'),ylabel('Degrees Celsius’)
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返回
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%程序一：插值并作海底曲面图
x =[129.0 140.0 103.5 88.0 185.5 195.0 105.5 157.5 107.5 77.0 81.0 162.0 162.0 117.5 ];
y =[ 7.5 141.5 23.0 147.0 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3.0 56.5 -66.5 84.0 -33.5 ];
曲线插值和曲线拟合
y
(x , y )
0 0
y L2 x
(x , y )
1 1
(x , y )
2 2
y f x
0
Байду номын сангаас
x
0
14 图2-3
x
1
x
例：(1,2), (0,0), (2,1), (3,3)
( x 0)(x 2)(x 3) l0 ( x ) (1 0)(1 2)(1 3) ( x 1)(x 0)(x 3) l2 ( x) (2 1)(2 0)(2 3) ( x 1)(x 2)(x 3) l1 ( x) (0 1)(0 2)(0 3) ( x 1)(x 0)(x 2) l3 ( x) (3 1)(3 0)(3 2)
设
g ( x) a00 ( x) ann ( x)
则
g ( xi ) f ( xi ) a00 ( xi ) ann ( xi ) a00 ( x0 ) a11 ( x0 ) an n ( x0 ) f ( x0 ) a (x ) a (x ) a (x ) f (x ) 0 0 1 1 1 1 n n 1 1 a00 ( xn ) a11 ( xn ) an n ( xn ) f ( xn ) 所以 a }n 有解，当且仅当系数行列式不为0 { i i 0
1 ai ( xi x0 ) ( xi xi 1 )(xi xi 1 ) ( xi xn ) ( x x0 ) ( x xi 1 )( x xi 1 ) ( x xn ) li ( xi x0 ) ( xi xi 1 )( xi xi 1 ) ( xi xn )
数学模型数据插值与曲线拟合
实验一数据插值与曲线拟合【实验目地】1．了解数据插值、曲线拟合地概念和原理.2．掌握一维、二维地数据插值方法.3．掌握多项式拟合方法和一般曲线拟合方法.【实验内容】<把题目和相应地完整命令写在下列文本框内）1．数据插值有什么插值方式？曲线拟合依据地基本原理是什么？数据插值与曲线拟合有什么不同点？答： <1）、数据插值方式有最邻近插值、线性插值、三次样条插值、立方插值和分段线性插值.<2）、曲线拟合依据地基本原理是构造一个相对简单地函数y p(x) ,使它在某种意义下最优,我们常用地最优标准是最小二乘法原理,也就是使得上述拟合地曲线在各点n) y )2达到最小.处地偏差 p( x i ) y i地平方和( p(xi ii 1<3）、数据插值与曲线拟合地不同点：若要求所求曲线 <面）通过所给所有数据点, 就是插值问题；若不要求曲线 <面）通过所有数据点, 而是要求它反映对象整体地变化趋势 , 这就是数据拟合, 又称曲线拟合或曲面拟合.曲线插值与拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似 , 由于近似地要求不同 , 二者在数学方法上是完全不同地 .2、某实验室对一根长 10M地钢轨进行热源地温度在 60 秒内传播测试 .x: 表示测量点 ,h: 测量时间 ,t: 测量得到地温度. 数据如下表0 2.557.510xth09514000 30884832126 606764544841（1）用线性插值求出在 25 秒时 3.6M 处钢轨地温度 .（2）用样条插值求出在这 60 秒内每隔 20 秒, 钢轨每隔 1M处地温度 .解： <1）M 文件：x=[0,2.5,5,7.5,10] 。
h=[0,30,60] 。
t=[95,14,0,0,0 。
88,48,32,12,6。
67,64,54,48,41] 。
t1=interp2(x,h,t,3.6,25,'cubic'>运行结果： t1 =34.5049所以在 25 秒时 3.6M 处地温度为 34.5049<2） M 文件：x=[0,2.5,5,7.5,10] 。
曲线拟合和插值运算原理和方法
实验10 曲线拟合和插值运算一． 实验目的学会MATLAB 软件中软件拟合与插值运算的方法。
二． 实验内容与要求在生产和科学实验中，自变量x 与因变量y=f(x)的关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在若干个点的函数值或导数值。
当要求知道观测点之外的函数值时，需要估计函数值在该点的值。
要根据观测点的值，构造一个比较简单的函数y=t (x),使函数在观测点的值等于已知的数值或导数值，寻找这样的函数t(x),办法是很多的。
根据测量数据的类型有如下两种处理观测数据的方法。
（1） 测量值是准确的，没有误差，一般用插值。
（2） 测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合。
MATLAB 中提供了众多的数据处理命令，有插值命令，拟合命令。
1.曲线拟合已知离散点上的数据集[(1x ,1y ),………(n x ,n y )]，求得一解析函数y=f (x),使f(x)在原离散点i x 上尽可能接近给定i y 的值，之一过程叫曲线拟合。
最常用的的曲线拟合是最小二乘法曲线拟合，拟合结果可使误差的平方和最小，即使求使21|()|n i ii f x y =-∑ 最小的f(x).格式：p=polyfit(x,Y ,n).说明：求出已知数据x,Y 的n 阶拟合多项式f(x)的系数p ，x 必须是单调的。
[例 1.9]>>x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]; %给出数据点的x 值>>y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]; %给出数据点的y 值>>p=polyfit (x,y,2); %求出二阶拟合多项式f(x)的系数>>x1=0.5:0.05:3.0; %给出x 在0.5~3.0之间的离散值>>y1=polyval(p,1x ); %求出f(x)在1x 的值>>plot(x,y,‟*r ‟, 11,x y ‟-b ‟) %比较拟合曲线效果计算结果为：p=0.5614 0.8287 1.1560即用f(x)=0.56142x +0.8287x+1.1560拟合已知数据，拟合曲线效果如图所示。
第七章 数据插值与曲线拟合
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第七章 数据插值与曲线拟合
实际数学建模中，在光滑性要求不高的条件下， 分段线性或二次插值基本可以满足需要。然而实际 问题中提出的插值问题，有一些插值函数曲线要求 具有较高的光滑性， 如飞机机翼的下轮廓线。
分段线性插值虽然简单，但插值函数在结点处的 这就导致了三次 一阶导数一般不存在，光滑性不高，
x y
144 12
169 13
225 15
这就是一个插值问题。我们可以先确定插值函数，再 利用所得的函数来求x=175处 y 的值。 需要说明的是这3组数据事实上已经反映出 x与y的 的函数关系为：y x ，当数据量较大时，这种函数 关系是不明显的。也就是说，插值方法在处理数据时， 不论数据本身对应的被插值函数 y f ( x) 是否已知， 它都要找到一个通过这些点的插值函数，此函数是被
数学模型与数学建模方法
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第七章 数据插值与曲线拟合
插值函数的一个近似，从而通过插值函数来计算被 插值函数在未知点处的近似值。 对于所构造的插值 函数要求相对简单，便于计算，一般选用多项式函 数来逼近。 例2：观测物体的直线运动，得以下数据，求物体 的运动方程。 t（秒） s（米） 0 0 0.9 10 1.9 30 3.0 50 3.9 80 5.0 110
第七章 数据插值与曲线拟合
当 n=2 时为抛物插值。P2 ( x) 表示过三点
( x0 , y0 )、 ( x1 , y1 )、 ( x2 , y 2 )
的抛物线方程，仿照线性插值的情形取基函数
( x x1 )(x x2 ) l 0 ( x) ( x0 x1 )(x0 x2 )
数学模型与数学建模方法
插值法与曲线拟合
故用线性插值求得的近似值为
y
(x , y ) 00
y L2x
(x , y ) 11
y f x
(x , y ) 22
0
x0
x1
x
图2-3
11515 100
121 121
11*115 100 121 100
10.714
15
仿上，用抛物插值公式（2.7）所求得的近似值为
例1 已知 100 10, 121 11, 144 12分别用线性插值和抛物插值
求 115 的值。
14
解 因为115在100和121之间，故取节点x0=100，x1=121相应地有
y0=10，y1=11，于是，由线性插值公式（2.5）可得
L1
(x)
10
*
x 121 100 121
11*
x 100 121 100
为插值多项式Pn (x) 的余项。
17
关于误差有如下定理2中的估计式。
定理2 设 f (x) 在区间 a,b
上有直到n+1阶导数，x0, x1,, xn
为区间 a,b 上n+1个互异的节点， Pn (x) 为满足条件:
Pn (xi ) f (xi )(i 0,1,, n)
（2.9）
的n次插值多项式，则对于任何 x a,b ，有
的n次插值多项式（2.2），这样，由（2.2）式可以求出n+1个n次插 插多项式 l0 (x), l1(x),,ln (x) 。容易看出，这组多项式仅与节点的取
法有关，称它们为在n+1个节点上的n次基本插值多项式或n次插值
基函数。
11
2.2 拉格朗日插值多项式
利用插值基函数立即可以写出满足插值条件（1.3）的n次插值