概率论与数理统计习题解答--前两章

概率论与数理统计习题解答
第一章 概率论的基本概念 第二章 随机变量及其分布
第一章 概率论的基本概念
38 将A、B、C三个字母之一输入信道,输出为 原字母的概率为 , 而输出为其它字母的概率 都是 (1 ) 2 . 今将字母串AAAA,BBBB, CCCC之一输入信道,输入AAAA,BBBB,CCCC 的概率分别为p1 , p2 , p3 ( p1 p2 p3 1). 已知输出为 ABCA, 问输入的是AAAA的概率是多少? (设 信道传输的各个字母的工作是相互独立的.)
Y 的分布函数为 FY y . 由题意知X的概率密度为 1 , 1 x 2, f X x 3 0, 其它.
(1)当y 0时, FY ( y) P 0; (2)当y 2时, FY ( y) 1;
FY ( y ) PY y P| X | y
(3)求试飞次数X小于Y的概率和试飞次数Y小于X的
概率.
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第二章 随机变量及其分布 解:
12 (1) P{ X k} 3 3
k 1
, k 1,2, .
(2) Y的可能值为1,2,3. {Y 1}表示鸟从三扇窗子中选对了一扇, 则 1 P{Y 1} . 3 2 {Y 2}表示鸟第一次试飞失败(概率为 ), 3 第二次从两扇窗子中选对了一扇, 则
第二章 随机变量及其分布
因为两只鸟的行动是相互独立的,因此
P{ X Y } P{ X 1}P{Y 2} P{ X 1}P{Y 3} P{ X 2}P{Y 3} 1 1 1 1 2 1 8 . 3 3 3 3 9 3 27 P{Y X } 1 P{X Y } P{Y X }
3 8 1 P({ X k} {Y k}) 27 k 1 3 8 1 P{ X k}P{Y k} 27 k 1 38 . 81
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第二章 随机变量及其分布
25 设X ~ U (1,2), 求Y | X | 的概率密度.
解:设随机变量 X 的分布函数为 FX x ，随机变量
第一章 概率论的基本概念
解:
令事件Ai分别表示输入AAAA ，输入BBBB, 输入CCCC , i 1， ， . 令事件A 表示输出ABCA. 23
由已知条件及独立性知
1 P ( A | A2 ) P ( A | A3 ) . 2
3
1 P ( A | A1 ) , 2
2 2
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第一章 概率论的基本概念
由贝叶斯公式知
P( A1 A) P( A1 | A) P( A)
P( A1 ) P( A | A1 ) P( A1 ) P( A | A1 ) P( A2 ) P( A | A2 ) P( A3 ) P( A | A3 )
2p1 . Biblioteka Baidu3 1) p1 1
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第二章 随机变量及其分布
2.将一颗骰子抛掷n次,将所得的n个点
数的最小值记为X,最大值记为Y.分别求 出X与Y的分布律. 解 : 以Yi 记第i次投掷时骰子出现的点数,
i 1,2, , n.则X min Yi , Y max Yi .
1i n 1i n
X与Y的所有可能值均为 1,2,3,4,5, 6.
2 1 1 P{Y 2} . 3 2 3
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第二章 随机变量及其分布
1 1 1 故 P{Y 3} 1 - - . 3 3 3 Y的分布律为 1 P{ X k} , k 1,2,3. 3 (3) { X Y }可分解为下列3个两两互不相容事件之和 :
k 1,2, ,6.
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第二章 随机变量及其分布
9.设昆虫生产k个卵的概率为
pk

k
k!
e (k 0,1,2,),

又设一个虫卵能孵化为昆虫的概率等于p. 若卵的孵化是相互独立的,问此昆虫的下 一代有l条的概率是多少?
解 : 令X为昆虫生产的卵的个数, Yk 为 k个卵中孵化为昆虫的个数.事件A表示 昆虫的下一代有l条.
k l
k
(1 p) k l
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第二章 随机变量及其分布
( p )l e l!
i! (1 p)
i 0
i
i
( p ) e l!
l

e
(1 p )
( p )l e p l!
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第二章 随机变量及其分布
6 一个房间有3扇同样大小的窗子,其中只有一扇是
n n
{Y k} {Yi 1,2, , k | i 1,2, , n} {Yi 1,2, , k 1 | i 1,2, , n}, k 1,2, ,6.
由于Yn相互独立, 因此 k (k 1) P{Y k} n , n 6 6
n n
打开的.有一只鸟自开着的窗子飞入了房间.假定鸟 是没有记忆的,它飞向各扇窗子是随机的. (1)以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数,求X的分布律. (2)户主声称,他养的一只鸟是有记忆的,它飞向任一 窗子的尝试不多于一次.以Y表示这只聪明的鸟为了 飞出房间试飞的次数,如户主说的是确实的,试求Y的 分布律.
{ X k} {Yi k , k 1, ,6 | i 1,2, , n} {Yi k 1, ,6 | i 1,2, , n}, k 1,2, ,6.
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第二章 随机变量及其分布
由于Yn相互独立, 因此 (6 k 1) (6 k ) P{ X k } n 6 6n k 1,2, ,6.
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第二章 随机变量及其分布
1 2 (3)当0 y 1时, FY ( y ) dx y; y 3 3 1 y 1 1 (4)当1 y 2时, FY ( y) 0dx dx ( y 1). y 1 3 3 将FY ( y )关于y求导得
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第二章 随机变量及其分布
则 P( A) P({ X k} {Yk l})
k l
( P{ X k}P{Yk l | X k})
k l
(
k l

k
k!
e C p (1 p )
l k l

k l
)
p l e l!
(k l )!
{ X Y } ({ X 1} {Y 2}) ({ X 1} {Y 3}) ({ X 2} {Y 3})
故 P{ X Y } P({ X 1} {Y 2}) P({ X 1} {Y 3}) P({ X 2} {Y 3}) 返回主目录
y
2 3 , 0 y 1, 1 fY ( y ) , 1 y 2, 3 其它. 0,
FY ( y ) P| X | y 1 , 1 x 2, f X x 3 0, 其它.
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