1.1命题符号化及联结词
11命题及其符号化
11.1 命题及其符号化[教学重点] 命题的概念和六个联结词的定义[教学目的]1：使学生了解逻辑的框架，命题逻辑的基本要素是命题。
2：通过示例理解命题的概念。
3：通过示例理解合取、析取、异或、蕴涵、等价的含义，了解逻辑语言的精确性，为学习逻辑学打好基础。
4：学会命题符号化的方法。
[教学准备][教学方法]讲述法[课时安排]二课时。
[教学过程]讲述：逻辑是解决推理方法的学科，中心是推理，基本要素是命题，称为命题逻辑。
数理逻辑则是用数学方法研究推理；首先要理解命题是什么，然后了解怎样用数学方法描述命题，甚至逻辑推理。
后者式命题符号化的问题。
板书：第一章命题基本概念1.1 命题及其符号化讲述：首先讨论命题。
板书：一命题A) 概念：在二值逻辑中，命题是或真或假，而不会同时又真又假的陈述句。
判断要点：a 陈述句；b 或真或假，唯一真值；讲述：例：(1)地球是圆的；真的陈述句，是命题(2)2+3=5；真的陈述句，是命题(3)你知道命题逻辑吗？非陈述句，故非命题(4)3-x=5；陈述句,但真假随x的变化而变化，非命题(5)请安静！非陈述句，故非命题(6)火星表面的温度是800 C；现时不知真假的陈述句，但只能要么真要么假，故是命题(7)明天是晴天；尽管要到第二天才能得知其真假，但的确是要么真要么假，故是命题2(8) 我正在说谎；无法得知其真假，这是悖论注意到(4)不是命题，后续章节中会提到，这被称为谓词，命题函数或命题变项。
讲述：类似一般的事物，也有不同的命题，分成不同的类型。
板书：B) 分类：a 简单命题，通常用p,q,r,…,等表示命题变项，命题常项用1(T)，0(F)表示；b 复合命题，由简单命题和联结词构成；讲述：简单命题可以简单地用单个字母表示，但复合命题还包含了联结词，多个命题变项由联结词联结起来成为复合命题。
所以还需要考虑联结词的问题。
板书：二逻辑联结词讲述：首先最为简单的一种情况，就是日常语言中所说的“不”，这是对原有意思的的否定，所以称为否定式板书：1)否定式和否定联结词：命题p⌝p；符号⌝即为否定联结词。
03第三章：命题符号化及联结词
第一节：命题符号化及联结词※引言命题逻辑是数理逻辑的基本组成部分，是谓词逻辑的基础，而数理逻辑是一门用数学方法研究推理过程的科学。
逻辑学主要研究各种论证，建立逻辑学的主要目的在于探索出一套完整的规则，按照这些规则就可以确定任何特定论证是否有效，这些规则通常称为推理规则。
在逻辑学中与其说注重的是论证本身，不如说注重的是论证形式，这样可以依据各项规则并使用机械方法，不难确定论证的有效性，但是，使用这种方法推理时，所遵循的规则一定不能具有二义性。
为表示任何成套规则或者理论，都需要为其配置一种语言。
所以，应制定一种形式语言，在这种形式语言中必须明确地和严格地定义好它的语义和语法，为了避免出现二义性，在形式语言种将使用一些符号，并给这些符号做出明确的定义，同时使用符号还有另外的含义：符号容易书写和处理。
※命题符号化及联结词数理逻辑研究的中心问题是推理，而推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，所以，表达判断的陈述句构成了推理的基本单位。
【定义1】命题：能判断真假的陈述叫做命题注意：(1)命题的判断只有两种可能：正确的判断与错误的判断，前者称为命题的真值为真；后者称为命题的真值为假，(2)命题的真值通常使用大写英文字母T和F表示，或使用1和0表示(3)命题必须是具有唯一真值的陈述句【例题1】判断下列语句中哪些是命题(1)2是素数(2)雪是黑色的(3)532=+(4)明年十月一日是晴天(5)3 能被2整除(6)这朵花真好看呀！(7)明天下午有会吗？(8)请关上门！(9)5>+y x(10)地球外的星球上也有人其中：(1)(2)(3)(4)(5)(10)为命题【方法】(1)命题必须是陈述句，所以：非陈述句不是命题(2)命题必须有确定的真值，凡无确定真值的陈述句不是命题，特别注意：真值是否确定与我们是否知道它的真值是两码事(3)注意悖论：如：我正在说谎。
【定义2】原子命题：不能分解为更简单的陈述句叫做原子命题或简单命题【定义3】命题常项：对于简单命题如果它的真值是确定的，则：称其为命题常项或命题常元命题变项：真值可以变化的陈述句成为命题变项或命题变元，用小写的英文字母表示注意：命题变项不是命题【定义4】复合命题：由联结词、标点符号和原子命题复合构成的命题叫做复合命题【定义5】联结词类型(1)否定：设P为一个命题，P的否定是一个新的命题，记做：P如果P为T，则：P⌝为F；如果P为F，则：P⌝为T〖注意〗自然语言常用“非”、“不是”等(2)合取：两个命题P和Q的合取是一个复P∧合命题，记做：Q当且仅当P和Q同时为T时，QP∧的真值为T，否则为F〖注意〗自然语言常用“既……又……”、“不仅……而且……”、“虽然……但是……”等【例题2】将下列命题符号化(1)李平既聪明又用功(2)李平虽然聪明，但不用功(3)李平不但聪明，而且用功(4)李平不是不聪明，而是不用功〖解答〗用p：表示李平聪明，q：表示李平用功则：(1)(2)(3)(4)分别符号化为：∧⌝⌝⌝∧(∧)q∧qppqqpp⌝【练习】将下列命题符号化(1)苹果是红的与香蕉是黄的(2)他打开箱子，并拿出一件衣服(3)张小明和张小华是堂兄弟(4)4是偶数且是素数注意：(3)是简单命题(3)析取：两个命题P和Q的析取是一个复P∨合命题，记做：Q当且仅当P和Q同时为F时，QP∧的真值为F，否则为T〖注意〗自然语言常用“或”表示，注意或具有双义性，可以是兼容或，也可以是排斥或【例题3】将下列命题符号化(1)我选修英文课或数学课(2)灯泡有故障或开关有故障(3)通过电视看杂技或到剧场看这场杂技（异或）(4)小李或小张可以解答这个问题(4)条件：两个命题P和Q，其条件命题是P→一个复合命题，记做：Q当且仅当P的真值为T，且Q的真值为F时，QP→的真值为F，否则为T〖注意〗自然语言常用“只要……就……”、“……仅当……”、“只有……才……”、“如果……则……”等【例题4】将下列命题符号化(1)只要不下雨，我就骑车上班(2)只有不下雨，我才骑车上班(3)如果422=+，则：太阳从东方升起(4) 如果422≠+，则：太阳从东方升起(5)双条件（等价）：两个命题P和Q，其复P↔叫做等价命题合命题Q当且仅当与Q的真值相同时QP↔的真值为T，否则为F〖注意〗自然语言常用“当且仅当”等【例题5】将下列命题符号化3是奇数(1) 4+当且仅当22=(2) 422=+当且仅当3不是奇数(3) 422≠+当且仅当3是奇数(4) 422≠+当且仅当3不是奇数(5)两圆的面积相等当且仅当他们的半径相等(6)两角相等当且仅当它们是对顶角上述介绍的五种联结词成为逻辑联结词，在命题逻辑中，可用这些联结词将各种各样的复合命题符号化，其具体步骤是：(1)分析出各简单命题，将其符号化(2)使用合适的联结词，把简单命题逐个联结起来，组成复合命题的符号化表示【例题6】将下列命题符号化(1)小王是游泳冠军或百米赛冠军(2)小王现在宿舍或在图书馆(3)选小王或小李中的一个人当班长(4)如果我上街，我就去书店看看，除非我很累(5)小王是计算机系的学生，他生于1968年或1969年，他是三好学生〖解答〗(1) 用p：表示小王是游泳冠军，q：表示小王是百米冠军，命题可符号化为：qp∨(2) 用p：表示小王在宿舍，q：表示小王在图书馆，命题可以符号化为：qp∨(3) 用p：表示小王当班长，q：表示小李当班长，命题可以符号化为：⌝p∧∧⌝∨(q)q()p(4)用p：表示我上街，q：表示我去书店看看，r：表示我很累则：命题可以符号化为：)⌝(q→r→p (5) 用p：表示小王是计算机系的学生，q：表示小王生于1968年，r：表示小王生于1969年，s ：表示他是三好学生 则：命题可以符号化为：()p q r s ∧∨∧五种联结词符也称为逻辑运算符，它与普通的数的运算符一样，可以规定运算的优先级，规定：优先级的运算顺序是：↔→∨∧⌝，如果出现的联结词相同，又无括号时，按从左到右的顺序运算；如果有括号，先进行括号中的运算第二节：命题公式及分类 ※命题公式由联结词q p q p q p q p p ↔→∨∧⌝,,,,和多个命题常项可以组成更复杂的复合命题，如果在复合命题中，r q p ,,等不仅可以代表命题常项，也可以代表命题变项，这样组成的复合命题形式叫做命题公式 抽象的讲，命题公式是由命题常项、命题变项、联结词、括号等组成的符号串【定义1】合式公式：(1)单个命题常项或变项1,0,,,,,,,, i i i r q p r q p 是合式公式(2)如果A 是合式公式，则：)(A ⌝也是合式公式(3)如果B A ,是合式公式，则：也是合式公式(4)只有有限次使用(1)、(2)、(3)组成的符号串才是合式公式可以将合式公式称为命题公式，简称公式〖注意〗(1)为方便起见，规定：)(A ⌝，)(),(),(),(B A B A B A B A ↔→∨∧的外层括号可以省略不写(2)根据定义，可知：r q p r q p q p ↔∧→→∨⌝)(),(),(等是命题公式，但r q p r pq →∨⌝→),等不是命题公式一个含有命题变项的命题公式的真值是不确定的，只有对它的每个命题变项用指定的命题常项代替后，命题公式才变成命题，此时其真值唯一确定，由此引出解释或赋值的定义【定义2】解释或赋值设A 为一个命题公式，n p p p ,,,21 为出现在A中的所有的命题变项，给n p p p ,,,21 指定一组真值，称为对A 的一个解释或赋值。
2. 离散数学-命题逻辑1
PQ的真值：
• PQ的真值为真，当且仅当P与Q的真值相同。
PQ FF FT TF TT
PQ T F F T
例
例 求下列复合命题的真值
(1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6.
数理逻辑把推理符号化之二*
• 设M(x): x是金属 .
• 设C(x): x能导电.
• 设x 表示: 所有的x .
• 设 a 表示铜.
例2的推理过程表示为：
前提:x(M(x)→C(x)) (所有金属都导电.)
前提:M(a)
(铜是金属.)
结论:C(a)
(铜能导电.)
(其中符号M(x)是谓词， 是量词，所以这就是第二章“一阶逻辑（谓 词逻辑）”中所讨论的内容.）
假命题
(3) x + 5 ＞ 3.
真值不确定
(4) 你有铅笔吗？
疑问句
(5) 这只兔子跑得真快呀！
感叹句
(6) 请不要讲话！
祈使句
(3)~(6)都不是命题
15
命题的分类
• 简单命题 (原子命题)：由最简单的陈述句构成的命题 (该句再不能 分解成更简单的句子了)。通常用大写英字母表示。
• 例1-1.1中的(1)、(2)、(3)是原子命题。 • 复合命题 ：由若干个原子命题构成的命题。 • 例1-1.1中的(4)是由三个原子命题(a>b、b>c、a>c)构成的复合命题。
• 这里我们只关心形式逻辑。
形式逻辑*
• 人的思维过程：概念 判断 推理 • 正确的思维：概念清楚，判断正确，推理合乎逻辑。 • 人们是通过各种各样的学习(理论学习和从实践中学习)
第1章1命题符号化及联结词
去。当被问战士回答“否”，则逻辑学家开启另一门从容离去。
分析：如果被问者是诚实战士，他回答“对” 。则另 一 名战士是说谎战士，他回答“是”，那么，这扇门 不是死亡门。
如果被问者是诚实战士，他回答“否”。则另 一名是说谎战士，他回答“不是”，那么，这扇门是 死亡门。
说明:在数理逻辑中，即使p、q没有内在联系， 但仍有意义.
(5)等价式:p，q 为两命题，复合命题“p 当且仅当 q” 称作 p 与 q 的等价式，记作 p q，符号“ ”称作等价 联结词，p q 为真当且仅当 p 与 q 的真值相同。
Байду номын сангаас
p
q p q
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
例1.6 1）集合A中没有元素当且仅当集合A是空集。 2）当王刚心情愉快时，他唱歌；反之，当 他唱歌时，一定心情愉快。 3）三角形三边相等的充要条件是三个角相等。 4) 2+2=5的充要条件是太阳从西边升起。
罗素将集合分为两类，一类是集合 A 本身是 A 的一个
元素，即 A A；另一类是集合 A 本身不是 A 的一个
元素，即 A A 。构造一个集合 S：S={A|AA},问 S 是
不是它自己的一个元素。即 S S 还是 S S 。
原子命题： 称由简单陈述句构成的命题为简单命题
或原子命题，
命题符号化：用小写英文字母(或带下标)p,q，r，…， pi , qi , ri , ……表示命题，称为命题符号化．用数字 1（或 T）表示真，用 0(或 F)表示假，则任何命题的真值不是 1 就是 0，但决不可能既可以为 1 又可以为 0。
知识点1.1 命题、联结词及命题符号化
第1 章命题逻辑第1 章命题逻辑授课内容知识点1：命题、联结词及命题符号化知识点2：命题公式、真值表及公式分类知识点3：等价式与等价演算知识点4：对偶式与蕴涵式知识点5：范式第1 章命题逻辑授课内容知识点6：主析取范式与主合取范式知识点7：命题演算的推理理论知识点8：有效结论证明方法知识点9：命题演算推理实例解析知识点1：命题、联结词及命题符号化一问题的引入命题逻辑是研究由命题为基本单位构成的前提和结论之间的可推导关系。
那么，什么是命题？如何表示和构成？如何进行推理的？例如：已知：如果今天星期三，那么公鸡会下蛋。
今天是星期三。
问题：根据以上前提你能推出什么结论？二命题、联结词及命题符号化1 命题的概念定义1.1.1：能够判断真假的陈述句称作命题。
命题仅有两种可能的真值：真和假，且二者只能居其一。
真用1或T表示，假用0或F表示。
由于命题只有两种真值，所以称这种逻辑为二值逻辑。
例1.1.1 判断下列语句哪些是命题①-1是整数。
②地球是围绕月亮转的。
③3+5=8。
④木星的表面温度是20 F。
⑤不要讲话！⑥你吃饭了吗？⑦本命题是假的。
（他正在说谎。
等）解①-④都是命题，①和③的真值为真，②真值是假，④不知真和假，但真值是可以确定的。
⑤⑥都不是命题。
⑦无法确定它的真值，当它假时，它便真；当它真时，它便假。
这种断言叫悖论。
2 命题的分类与表示•命题分为两类，第一类是原子命题，它是由再也不能分解成更为简单的语句构成的命题，称为原子命题。
用英文字母P，Q，R，…或带下标Pi，Qi，Ri，…表示之。
例如，用P表示武汉是一座美丽的城市，记为P：武汉是一座美丽的城市。
冒号：代表表示的意思•第二类是复合命题，它由原子命题、命题联结词和圆括号组成。
3 联结词1.3.1 否定联结词﹁P定义1.1.2设P表示一个命题，由命题联结词⎤和命题P连接成⎤P，称⎤P为P的否定式复合命题，⎤P读“非P”。
称⎤为否定联结词。
⎤P是真当且仅当P为假；否定联结词“⎤”的定义可由表1-1表示。
第一章命题与命题公式
第一章命题与命题公式第01讲命题与命题联结词(一)1.1命题与命题联结词选择题考点1.1.1命题与命题的表示推理：由一个或几个已知的前提，推导出一个未知结论的思维过程。
真值：表达这些前提的陈述句是否成立的一个属性。
＞＞当陈述句成立时，其真值为真，表示为T(TrUe)。
例：地球是行星。
＞＞当陈述句不成立时，其真值为假，表示为F(Fa1Se)。
例：2是无理数。
命题：具有唯一真值的陈述句称作命作，也称为语句。
*疑问句、句叹句、祈使句等都不能构成命题。
≥＞真值为真的命题一真血题»真值为假的命题一假命题例：判断下列句子中哪些构成命题。
①8不是素数；√②雪是黑的；√③到2049年世界人口将超过90亿；√④喜马拉雅山好高啊！X⑤x+1=2°X总结:.判断命题的两个条件»语句本身是个陈述句；＞＞它有唯一的真值。
命题的表示＞＞命题可用大小写英文字母或字母加数字的形式来表示。
例：P或p；P1或Ch»命题为真时，其真值用T或“1”表示。
＞＞命题为假时，其真值用“F”或“0”表示。
例：P：所有的素数都是奇数。
真值为FQ：6是一个合数。
真值为T【单选题】下列句子不是命题的是()。
A.中华人民共和国的首都是北京B.张三是学生C.雪是黑色的D.太好了「正确答案」D「答案解析」D选项不是陈述句，故不是命题。
参见教材PI8。
1.1.2复合命题与联结词原子命题/简单命题：不能再分解的命的。
例：张三是学生。
8不是素数。
复合命题：由原子命题通过联结词联结而成的命题。
例：如果今年有假期，我将去欧洲旅游。
尽管我在减肥，但是我还是想吃饭。
【单选题】下列语句是原子命题的为（）。
A.x÷y>xyB.请给我来点掌声吧C.小明既爱唱歌又爱跳舞D.火星上有生物『正确答案』D『答案解析J A、B选项不符合命题要求；C选项为复合命题，故选D。
参见教材P19。
数理逻辑中常用的联结词1.否定设P为命题,P的否定是一个复合命题，记作注。
离散数学.第1章
例4
设P：我们去看电影。Q：房间里有十张桌子。则
P ∧ Q表示“我们去看电影并且房间里有十张桌子。”
10
3. 析取“∨”（相容或）[讲解教材P3-5关于或]
4. 定义1.3
由命题P和Q利用“∨”组成的复合命题，称 为析取式复合命题，记作“P∨Q”（读作“P或Q”）。 当且仅当P和Q至少有一个取值为真时，P∨Q取值为真。
练习1-1
1. 判断下列语句哪些是命题，若是命题，则指出其真值。
（1） （2） 只有小孩才爱哭。 X+6=Y ( 是 假 ) ( 不是 ) (是 真) ( 不是 )
（3）
银是白的。
（4） 起来吧，我的朋友。 2． 将下列命题符号化
（1） 我看见的既不是小张也不是老李。 解 令P：我看见的是小张；Q：我看见的是老李。 则该命题可表示为¬ P∧¬ Q （2） 如果晚上做完了作业并且没有其它的事，他就会 看电视或听音乐。 解 令 P：他晚上做完了作业；Q：他晚上有其它的事； R：他看电视； S：他听音乐。 则该命题可表示为（P∧¬ Q）→（R∨S）
28
1.3 等值演算
• 定义1.10 设A和B是两个命题公式, 若等价式A↔B 是重言式，则称公式A 和B等值，记为A B,称 AB为等 值式。
• 注意： （1）符号“”与“↔”的区别与联系 “”不是联结词，AB不表示一个公式， 它表示两个公式间的一种关系，即等值关系。 “↔”是联结词，A↔B是一个公式。 AB 当且仅当 A↔B 是永真公式。
1 0 1 0 1 0 1 0
0 0 1 1 1 1 1 1
0 0 0 1 0 0 0 1
1 1 0 1 0 0 0 1
1.1命题逻辑基本概念
(4) ┐p→┐q
例1.5 将下列命题符号化，并指出其真值
以下命题中出现的a是一个给定的正整数： (5) 只要a能被4整除，则a一定能被2整除。 (6) a能被4整除，仅当a能被2整除。 (7) 除非a能被2整除， a才能被4整除。 (8) 除非a能被2整除，否则a不能被4整除。 (9) 只有a能被2整除， a才能被4整除。 (10)只有a能被4整除， a才能被2整除。
例1.3 将下列命题符号化
(1)吴颖既用功又聪明。 (2)吴颖不仅用功而且聪明。 (3)吴颖虽然聪明，但不用功。 (4)张辉与王丽都是三好学生。
(5)张辉与王丽是同学。
p: q: r: s: t:
吴颖用功。 吴颖聪明。 张辉是三好学生。 王丽是三好学生。 张辉与王丽是同学。
解题要点： 正确理解命题含义。 找出原子命题并符号化。 选择恰当的联结词。
例1.2
将下面这段陈述中所出现的原子命题符号化，并指出它 们的真值，然后再写出这段陈述。 2 是有理数是不对的；2是偶素数；2或4是素数；如果2 是素数，则3也是素数；2是素数当且仅当3也是素数。 p： 2 是有理数 q：2是素数； r：2是偶数 s：3是素数； t：4是素数
0 1 1 1 0
非p； q并且(与)r； q或t； 如果q，则s； q当且仅当s。
1.1 命题符号化与联结词
称能判断真假的陈述句为命题 （proposition）。 作为命题的陈述句所表达得的判断结果称为命题的真值。 真值只取两个：真与假。
真值为真的命题称为真命题。
真值为假的命题称为假命题。
说 明
感叹句、疑问句、祈使句都不能称为命题。 判断结果不唯一确定的陈述句不是命题。
关于真值（逻辑）联结词的说明
01命题基本概念及联接词
解：这9个句子中，（7）～（9）都不是陈述句， 因而都不是命题。 （1）是真命题，（2）是假命题。 （3）的真值虽然现在还不能判断，到2100年就能 判断了，因而是命题。 （4）在十进制中为假，在二进制中为真，当确定 了进位制时其真值就确定了，因而是命题。 （5）是命题，真值视具体情况惟一确定（不是真 就是假）。 （6）是陈述句，但无法给出真假值。这种自相矛 盾的判断称为悖论，以后再讲。
1.2.2 合取联结词∧
定义1.2.2 设P,Q为二命题，复合命题“P并且Q”（或 “ P 与 Q” ）称为 P 与 Q 的合取式，记作 P∧Q ，符号 “∧” 称为合取联结词 . P属于二元 ∧Q为真当且仅当 P和Q同时为真 . 说明：1、“∧” (binary)运算符 . 2、联结词“∧”的定义真值表如下：
从上述例子可以看出，原命题与逆否命题意思相同, 即等价：
P Q Q P
逆命题与反命题意思相同。 这一点非常重要，在推理过程中，有时按原命题进 行推导比较困难，而用逆否命题却可收到事半功倍 的效果。
1.2.5 双条件联结词（等价联结词）
定义1.2.5 设P,Q为二命题，复合命题“P当且仅当Q” 称为P与Q的双条件命题，记作P iff Q或PQ，符号 称为双条件（等价）联结词。PQ为真当且仅当
Q:今天天下雨。
定义1-3 如果一个命题标识符代表任意未知命题，则 称该命题标识符为命题变元（命题变项）.如果一 个命题标识符代表一个确定的命题，则称之为命 题常元。
命题变元类似代数中的变量，命题常元类似
常量，但两者有着本质的区别。命题变元或常元
代表的是命题元素，而变量和常量代表的是一个
数值。
例如，x+y≥ 5 这是一个代数表达式，其中x和y是 变量，不是命题变元，但该表达式也可以作为一 个命题变元。假设代表该表达式的命题变元为z， 当变量x和y的值确定后，表达式成为一个命题常 元，命题变元z被该命题常元所取代成为命题，且 命题的真值随变量x和y不同取值而变化。 当用确定的命题代入命题变元时称为对命题 变元的代入。
《离散数学》总复习上课讲义
第3章 集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念 3.2 集合的基本运算（重点） 3.3 集合中元素的计数（容斥原理是重点）
3.1 集合的基本概念
元素x与集合A的关系：属于xA，不属于xA 集合A与集合B的关系：习题3.2, 3.8, 3.12, 3.16
构造性二难
(AB)(AB)(AA) B 构造性二难(特殊形式)
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
习题1.18, 1.21, 1.17(2)。六1
注意事项1：命题
只有能确定真假(但不能可真可假)的陈述句才是 命题. 不管是正确的观点, 还是错误的观点, 都 是命题. 猜想和预言是命题, 如哥德巴赫猜想.
pq为假当且仅当 p 为真 q 为假，即 当p为假时，pq为真(不管q为真, 还是为假); 当q为真时，pq为真(不管p为真, 还是为假). 习题1.5(6)(7)
了解概念、掌握方法
真值表、命题公式类型 所有等值的含n个命题变项的公式对应同一
个n元真值函数F:{0,1}n{0,1}；哑元 最小联结词组 对偶式与对偶原理 简单析取式、简单合取式 析取范式与合取范式 附加前提证明法、反证法
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
注意事项1：前束范式（重点）
设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q(11xi1Qk2)x为2…或Qkx，kBB, 则为称不A含为量前词束的范公式式, 其. 中Qi
重要的推理定律 第一组 命题逻辑推理定律代换实例 第二组 由基本等值式生成（置换规则） 第三组 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))
命题逻辑1
3. 命题公式
命题公式是由0、1、命题常元、命题变元以及命题 联结词、括号等组成的符号串。 定义 （命题公式的递归定义）
（1） 0，1，命题常元是命题公式； （2） 命题变元是命题公式； （3） 如果A是命题公式，则¬ A是命题公式； （4） 如果A和B是命题公式，则（A∨B）， （A∧B）,(A→B）,(A↔ B）也是命题公式； 有限次地利用上述（1）—（4）而产生的符号串是命题公式， 又称为合式公式，简称公式。
命题逻辑
命题符号化 命题公式的赋值 公式的等值
命题逻辑推理理论
公式的标准形式
1.1 命题符号化
命题相关概念 联结词 命题符号化
1.1 命题符号化
一、 命题(statement)的概念
命题：是能判断真假的陈述句。 命题的真值：作为命题的陈述句所表达的判断结果。 真值只取两个值：真(1)或假(0) 真命题：真值为真的命题。 假命题：真值为假的命题。 判断给定句子是否为命题分两步： 1、判定它是否为陈述句 2、判断它是否有唯一的真值
要学好这门课程，首先必须充分认识到这门课程的 上述特点，需要做到以下几点： 1、注重课堂效率，熟读教材。准确理解各个概念和定理 的含义（结合多个例子来理解），必要的推理过程要看懂、 理解（它可以帮助你熟悉和深刻理解定理的含义）。 2、独立思考，做好习题。仅靠熟读教材并不能将书上的 知识变成你自己的知识，在熟读教材的基础上，必须通 过大量练习，独立思考来真正获取知识。 3、注重抽象思维能力的训练。数学与其他学科相比较具 有较高的抽象性，而离散数学的抽象性特点更为显著，它 有着大量抽象的概念和抽象的推理，要学好这门课程必须 具有较好的抽象思维能力，才能深入地掌握课程内容。
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∧q 0 0 0 1
数理逻辑1
命题(proposition)
• 举例说明
– 你知道命题逻辑吗？
• 非陈述句，故非命题
– 请安静！
• 非陈述句，故非命题
– 今天我多么高兴呀!
• 非陈述句，故非命题
命题(proposition)
• 举例说明
– 3-x=5
• 陈述句 • 但真假随x 的变化而变化 • 非命题 ,命题公式
– 我正在说谎
联结词(Connectives)
• 合取式和合取联结词∧ ( conjunction)
– 与日常语言的区别:
• 允许相互无关的两个原子命题联接起来 例1： P: 我们在北112. Q: 今天是星期三. P∧Q :我们在北112且今天是星期三. • 不要见到“与”或“和”就使用联结词∧ ！ 例2： 李敏和李华是姐妹。 李敏和张华是朋友。 李敏与张华都是三好生。 他打开箱子，并拿出一件衣服
• P→Q 的逻辑关系为P是Q的充分条件， Q 是P的必要条件
Q是P的必要条件有许多不同的叙述方法： “只要P 就Q”、 “因为 P，所以Q”、“P 仅当Q”、 “只有 Q才P”、“除非Q才P”、 “除非Q，否则非P”
Q是P的必要条件有许多不同的叙述方法： “只要P 就Q”、 “因为 P，所以Q”、“P 仅当 Q”、“只有 Q才P”、“除非Q才P”、 “除非Q，否 则非P” 例 设p：a能被4整除，q：a能被2整除 将下列命题符号化 （1）只要a能被4整除， 则a一定能被2整除. （2）因为a能被4整除，所以a一定能被2整除. （3） a能被4整除，仅当a能被2整除. （4）除非a能被2整除， a才能被4整除. （5）除非a能被2整除，否则a不能被4整除. （6）只有a能被2整除， a才能被4整除. （7）只有a能被4整除， a才能被2整除.
1.1命题逻辑
（2）A是流氓，则A说的“B是骑士”为假话，即B是流氓， 则命题p、q真值为0，对应真值表第4行。 B是流氓那么B 说的话“我们两人不是一类人”就应为谎话，取值0。
1 1 0
1 0 1
0 0
¬ p 0 0 1 1
¬ q p∧(¬ q) 0 0 1 1 0 0 1 0
¬ p∧ q 0 0 1 0
(p∧(¬ q))∨(¬ p∧q)
p∧q为真，当且仅当 p和q同时为真
逻辑联结词“∧”的定义
2.联结词:合取 ∧
例1：令p为命题“今天是星期五”，q为命 题“今天下雨”，则这两个命题的合取p∧q 是命题“今天是星期五并且下雨”。 例2：令p为命题“张三考及格了”，q为命题 “李四考及格了”， p∧q就表示复杂命题 “张三和李四都考及格了”。
3.复合命题的真值表
复合命题的真假完全由构成它的简单命题的 真假所决定。
例：给出命题公式(p∧(¬ q))∨(¬ p∧q)的真值表。
解：因为真值表涉及2个命题变元p和q，所以表有4行
1 1 0
1
0 1
0 0
¬ p 0 0 1 1
¬ q p∧(¬ q) 0 0 1 1 0 0 1 0
¬ p∧ q 0 0 1
从而找到命题 并符号化
p 0 0 1 1
q 0 1 0 1
p∨q 0 1 1 1
令p：男孩额头上有泥” 令q：女孩额头上有泥”
回到难题
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1
1
双方知道p∨q取值1，取真值 表后三行。
2
一
第一次回答
男孩看到q为1, ∴男孩知道取真值表二、四行, ∴不确定p值,答:“不知道”。
离散数学-命题
例2 将下列命题符号化. (1) 王晓既用功又聪明. (2) 王晓不仅聪明，而且用功. (3) 王晓虽然聪明，但不用功. 解: 令 p： 王晓聪明，q：王晓用功，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
(4) 张辉与王丽都是三好生. (5) 张辉与王丽是同学. 解： 令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生
(5) 王晓红生于1975年或1976年.
令v :王晓红生于1975年,w:王晓红生于1976年,
则 (5) 可符号化为 (v∧w)∨(v∧w),
又可符号化为 v∨w , 为什么?
(4), (5) 为排斥或.
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q 为二命题，复合命题 “如果 p, 则 q” 称作 p 与 q 的蕴涵式，记作 pq，并称 p 是蕴涵式 的前件， q 为蕴涵式的后件 . 称作蕴涵联结词，
练习： 将下列命题符号化：
（1）只要不下雨，我就骑自行车上班。
（2）只有不下雨，我才骑自行车上班。
（3）除非下雨，否则我就骑自行车上班。
（4）如果下雨，我就不骑自行车上班。 解：令p：天下雨，q：我骑自行车上班，则： （ 1） ¬ p→q （2）q→¬ p （ 3） ¬ p→q （4）p→¬ q
1.2.ppt
0， 0. 它们的真值分别为 1， 0，1，
以上给出了5个联结词：, , , , ， 组成一个联结词集合{, , , , }， 联结词的优先顺序为：, , , , ; 如果出
现的联结词同级，又无括号时，则按从左到右
的顺序运算; 若遇有括号时，应该先进行括号
中的运算.
注意: 本书中使用的 括号全为圆括号.
离散数学
数理逻辑 集合论 代数结构 图论 组合分析初步 形式语言和自动机初步
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
规定P→Q是F当且仅当P是T，Q是F。
（5）等价(双条件)联结词
P Q (双条件式、命题)：P当且仅当Q
规定P Q是T当且仅当P，Q或者都是T，或者都是F。
命题符号化的目的在于用五个联结词将日常语言中的命题转化为数理逻辑中的形式命题，其关键在于使用适当的联结词。对自然语言中语句之间的逻辑关系以及命题联结词的含义要有正确的理解：
教学手段：
合理运用多媒体教学手段提高信息量、加强课堂讨论。
课后复习及作业或思考题：
习题册相关、P32:课后习题相关
课后反思：
1.1命题符号化及联结词
1.1.1命题
命题是一个非真即假的陈述句。因此不能判断真假的陈述句、疑问句、祈使句和感叹句都不是命题。
（1）一个命题的真或假称为命题的真值。真用T或1表示，假用F或0表示；
（1）确定语句是否是一个命题；
（2）找出句中连词，用适当的命题联结词表示。
［例1.1.2］试将下列命题符号化：
（1）若你不看电影，则我也不看电影。
（2）小王一边吃饭，一边看书。
信息工程学院——《离散数学》
教学参考书：
1.《离散数学导论》第二版 徐洁磐编著，高等教育出版社
2.《离散数学》左孝凌、李为槛、刘永才编著，上海科学技术文献出版社。
3.《离散数学结构》（第四版影印版）
4.《离散数学》李盘林李丽双李洋王春立编著高等教育出版社1999.6
5.《离散数学》孙吉贵,杨风杰,欧阳丹彤,李占山,高等教育出版社2002.8 (吉林大学)
（2）原子命题(简单命题)：最简单的命题，通常用大写字母p,q,r表示；几个简单命题用联结词连接起来得到的命题叫复合命题。
（3）一个陈述句有真值与是否知道它的真假是两回事。
［例1.1.1］判断下列语句是不是命题？若是，给出命题的真值：
(1)2是素数。(2)雪是黑色的
(3)给我一块钱吧！(4)2007年元旦下雨
：并且，且，既…又…，不仅…而且…
规定P Q是T当且仅当P和Q都是T。
（3）析取联结词
P Q(析取式)：P或者Q，P析取Q
：或，或者说，不是…就是，要么…要么
规定P Q是T当且仅当P，Q中至少一个是T(或者P Q是F当且仅当P，Q都是F)。
（4）蕴含联结词→
P→Q(条件式、命题)：如果P则Q
P称为条件式的前件(前提)，Q称为条件式的后件(结论)
教学重点：复合命题符号化
教学难点：或的二异性和蕴含联结词的使用
教学实施
过程设计
教学内容：
一、命题的定义
二、真假命题及真值表示
三、命题分类（简单命题和复合命题）
四、五个基本联结词介绍及用法
五、命题符号化
教学方法：
师生间互动和双向交流,适当地请学生上黑板上来做题，并且由其它学生对该同学在黑板上做出的结果进行评价，以此充分调动学生的学习积极性、适时小结、重视习题和习题课的安排。
(5)x>y。
数理逻辑的特点是并不关心具体某个命题的真假，而是将逻辑推理变成类似数学演算的形式化了的过程，它关心的是命题之间的关联性。因此需要进行命题符号化：
原子(简单)命题就是简单陈述句，用大写字母(或带下标)表示；
命题常元：T(1)或F(0)，或者表示一个确定的命题；
命题变元：以T(1)或F(0)为值的变元；
曲靖师范学院
——信息工程学院课程教案
授课教师：杜衡吉
授课学期：2015-2016第二学期
授课专业：计算机科学与技术、软件工程
授课班级：20151121
授课时间：2016.02-2016.07
使用教材：耿素云.离散数学（第五版）
二O一六年三月
授课章节：第一章命题逻辑1.1命题符号化及联结词
课时
2学时
教学目的：了解简单命题、复合命题的定义、公式分类、推理理论；理解真值表、基本等值式；掌握复合命题符号化、等值演算、主析取范式和主合取范式的求法、构造证明。
指派(解释)：用Βιβλιοθήκη 个具体命题代替一个命题变元。而不是简单命题的复合命题需要使用称为命题联结词的运算符来进行符号化。命题联结词的作用是为了将原子命题组合成复合命题。常用的有五种：
(1)否定联结词
P(否定式)：非P
：不，非，没有
规定 P是T当且仅当P是F。
（2）合取联结词
P Q(合取式)：P并且Q，P合取Q