1.3算法案例-完整PPT课件

例1、求8251和6105的最大公约数。
解：
（8251，6105）
8251=6105×1+2146 =（6105，2146）
6105=2146 ×2+1813 =（2146，1813）
2146=1813 ×1+333 =（1813，333）
1813=333 ×5+148 =（333，148）
333=148 ×2+37
1.3 算法案例
1.3 算法案例
1.3.1 辗转相除法和更相减损术 1.3.2 秦九韶算法 1.3.3 K进制与十进制互化
韩信是秦末汉初的著名军事家. 情境创设
秦朝末年，楚汉相争.韩信帅1500名将士与楚 王大将李锋交战。苦战一场，楚军不敌，败退 回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵 马也返回大本营。当行至一山坡，忽有后军来 报，说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬， 杀声震天。汉军本来已十分疲惫，这时队伍大 哗。韩信急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排， 结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多 出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2 名。韩信马上向将士们宣布：我军有1073人， 敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一 定能打败敌人。
一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求
符合条件的最小数.
解：第1步 先列出满足其中一个条件的数（一般从小到大），即除以3余 2的数：
2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26，…， 第2步再列出满足其中第二个条件的数，即除以5余3的数：
3， 8， 13， 18， 23， 28，…. 第3步归纳前面第3步首先出现的公共数是8. 8就是满足除以3余2，除以5余3的最小的那个数。 3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8＋15×n (n=0，1， 2，…)。 列出这一串数是8， 23， 38，…， 第4步再列出满足其中第三个条件的数，即除以7余2的数
2， 9， 16， 23， 30，…， 第5步归纳第3步第4步得到的数列。就得出符合题目条件的最小数是23. 事实上，我们已把题目中
三个条件合并成一个。3，5，7的最小公倍数是 105 ，满足三个条件的 所有数是23+105×n(n=0，1，2，…)
第6步那么韩信点的兵在1000-1100之间，应该是23+105×10=1073人
=（148，37）
148=37 ×4
=37
练习：用辗转相除法求下列两数的最大公 约数： (1) (225，135) 45 (2) (98，196) 98
思考3：辗转相除直到何时结束？ 主要运用的是哪种算法结构？
辗转相除法是一个反复执行直到余数等 于0停止的步骤，这实际上是一个循环 结构
思考4：你能根据辗转相除法的 算法步骤画出它的程序框图以及 相应的程序语句吗?
韩信点兵问题的解决方法实质上就 是中国剩余定理，中国古代在数学 史上作出过重大贡献，有很多经典 方法被传承下来。
探究一,辗转相除法
思考1:在小学中我们是如何求出两个正整数的 最大公约数的呢?
算法案例之求最大公约数
例、求18与24的最大公约数：
解：2 1 8 2 4 用公有质因数2除， 3 9 1 2 用公有质因数3除， 短除法 3 4 3和4互质不除了。
定义:所谓的辗转相除法,就是对于给定 的两个数,用较大的数除以较小的数,若 余数不为零,则将余数和较小的数构成 新的数对,继续上面的除法,直到大数被 小数除尽,则这是较小的数就是原来两 个数的最大公约数.
辗转相除法的理论基础:
定理: 已知m,n,r为正整数,若m=nq+r(0≤r<n) （即r=m MOD n）,则（m,n）=(n,r)。
穷举法
穷举法（也叫枚举法）步骤： 从两个数中较小数开始由大
到小列举，直到找到公约数立即 中断列举，得到的公约数便是最 大公约数 。
思考2:当两个数的公有质因数较大时,我们怎 样去求两个数的最大公约数呢?
辗转相除法:用于求两个正整数的最大公 约数的一种算法,是由欧几里得在公元 前300年左右首先提出的,因而又叫做 欧几里得算法.
探究二,更相减损术
<九章算术> “可半者半之,不可半者,副置分母、 子之数，以少减多，更相减损，求其等也， 以等数约之。”
即：a,b,c为正整数,若a-b=c,则（a,b）=(b,c)。
“更相减损术”(也是求两个正整数的最大公约数的算法) 步骤：
第一步：任意给定两个正整数;判断他们是否都是偶 数。若是，则用2约简;若不是则执行第二步。
得：18和24最大公约数是：2×3＝6
求以下几组正整数的最大公约数。
(注：若整数m和n满足n整除m，则（m,n） =n。用（m,n）来表示m和n的最大公约数。) (1) (18,30) 6； (2) (24,16) 8； (3) (301,133 ) 7;
想一想，如何求8251与6105的最大公约数？
更相减损是一个反复执行直到 减数等于差时停止的步骤，这 实际也是一个循环结构
开始
输入：m,n
INPUT m,n
百度文库
r=1
r=m MOD n
WHILE r<>0 r=m MODm=nn
m=n
n=r
n=r
WEND
N r=0?
PRINT m
Y
END
输出：m
结束
程序： INPUT “m，n=”;m,n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与 较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直 到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的 最大公约数。
例2、用更相减损术求98与63的最大公约数 （自己按照步骤求解）
解:由于63不是偶数,把98和63以大数减小数,辗转相减。
（98，63） 98-63=35 =（63，35）
63-35=28 =（35，28）
35-28=7 =（28，7）
28-7=21 21-7=14
=（21，7） =（14，7）
14-7=7 =（7，7） = 7
所以，98和63的最大公约数等于7。
练习：用更相减损术求下列两数的最大公约数：
（1）(225，135) 45 （2）(98，196) 98
思考：更相减损直到何时结束？运用的是哪种 算法结构？