笛卡尔积的意义
集合论--第3讲笛卡尔积
离散数学笛卡尔积第3讲定义3.1有序对由两个元素x和y(允许x=y)按一定的顺序排列成的二元组叫做一个有序对(也称序偶)，记作<x,y>，其中x是它的第一元素，y是它的第二元素。
有序对：1.当x≠y时，<x,y>≠<y,x>。
2.两个有序对相等，即<x,y>＝<u,v>⇔是x＝u且y＝v。
注意：有序对<x,y>与2元集{x,y}的区别。
定义3.2笛卡尔积设A,B为集合，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对。
所有这样的有序对组成的集合叫做A和B的笛卡儿积，记作A×B。
符号化表示为：A×B＝{<x,y>|x∈A∧y∈B}。
若<x,y>∈A ×B ，则有x∈A ∧y∈B 。
若<x,y>∉A ×B ，则有x ∉A ∨y ∉B 。
如果A 中有m 个元素,B 中有n 个元素，则A ×B 和B ×A 中都有多少个元素?mn 个1若A,B中有一个空集,则：∅⨯B＝A×∅＝∅2当A≠B且A,B都不是空集时,有：A×B≠B×A即笛卡儿积运算不适合交换律。
3当A,B,C都不是空集时,有：(A×B)×C≠A×(B×C)即笛卡儿积运算不适合结合律。
笛卡儿积运算对∪,∩或-运算满足分配律，即4①A×(B∪C)＝(A×B)∪(A×C)；②(B∪C)×A＝(B×A)∪(C×A)；③A×(B∩C)＝(A×B)∩(A×C)；④(B∩C)×A＝(B×A)∩(C×A)；⑤A×(B-C)＝(A×B)-(A×C)；⑥(B-C)×A＝(B×A)-(C×A)。
n个集合笛卡尔积-概念解析以及定义
n个集合笛卡尔积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分：集合是数学中重要的概念，它是由一些确定的、互不相同的元素组成的整体。
而笛卡尔积则是集合论中的一个重要概念，它是两个集合成对的元素组成的集合。
在本文中，我们将讨论n个集合的笛卡尔积，这是对笛卡尔积概念的推广和扩展。
本文将从集合的概念和笛卡尔积的定义开始，然后详细讨论n个集合的笛卡尔积，并探讨其应用和意义。
最后，我们将展望该概念可能的发展方向。
通过本文的阐述，读者将对n个集合的笛卡尔积有一个更加深入的理解，并且能够在实际问题中灵活运用。
1.2 文章结构文章结构部分:本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。
在引言部分中，将会对本文的主要内容进行概述，并介绍文章结构以及写作的目的。
在正文部分中，将深入讨论集合的概念，笛卡尔积的定义，以及n个集合的笛卡尔积。
最后，在结论部分中，将对本文的主要内容进行总结，探讨其应用和意义，并展望未来可能的研究方向。
通过这样的结构安排，读者能够清晰地了解本文的内容和逻辑发展。
1.3 目的目的部分的内容应该阐明本文的写作目的和意义，可以包括以下内容：1. 引起读者对n个集合笛卡尔积的兴趣，激发读者的求知欲和思考欲。
2. 解释为什么了解n个集合的笛卡尔积对于数学和计算机科学是重要的，以及在现实生活中的一些应用。
3. 引导读者对文章内容的主要讨论点和结论进行预期，帮助读者在阅读过程中更好地理解和吸收文章内容。
4. 可以突出本文的贡献和创新之处，强调写作本文的动机和意义。
2.正文2.1 集合的概念在数学中，集合是由一组互不相同的元素组成的。
这些元素可以是数字、字母、符号，甚至其他集合。
集合的概念是数学中非常基础的概念之一，它在各个领域都有着广泛的应用。
集合通常用大写字母表示，例如A、B、C等，而其中的元素用小写字母表示，例如a、b、c等。
集合可以用不同的方式描述，比如列举法、描述性定义、图示法等。
集合的特点包括互异性（集合中的元素各不相同）和无序性（集合中的元素没有顺序之分）。
笛卡尔积是什么方向进行运算
笛卡尔积是什么方向进行运算（原创实用版）目录1.笛卡尔积的定义和概念2.笛卡尔积运算的方向3.笛卡尔积运算的示例4.笛卡尔积在知识表示和推理中的应用正文笛卡尔积是什么方向进行运算笛卡尔积，又称为直积或笛卡儿积，是一种数学和计算机科学中常见的运算方法，用于处理两个或多个集合之间的关系。
笛卡尔积的定义较为简单，即将两个关系中的每个元素进行组合，形成一个新的关系，其中新关系的元素个数为原关系元素个数的乘积。
一、笛卡尔积的定义和概念笛卡尔积是一种二元运算，它的运算方向并无规定。
给定两个集合 A 和 B，它们的笛卡尔积是一个包含所有可能的有序对 (a, b) 的集合，其中 a 来自集合 A，b 来自集合 B。
例如，若集合 A={1, 2}，集合 B={a, b}，则它们的笛卡尔积为{(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}。
二、笛卡尔积运算的方向笛卡尔积运算的方向是双向的，即对于两个集合 A 和 B，既可以进行 A 和 B 的笛卡尔积运算，也可以进行 B 和 A 的笛卡尔积运算，结果是相同的。
例如，若集合 A={1, 2}，集合 B={a, b}，则它们的笛卡尔积为{(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}，而集合 B 和集合 A 的笛卡尔积为{(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)}，结果相同。
三、笛卡尔积运算的示例假设有两个关系 R 和 S，它们的属性列数分别是 r 和 s，则它们的笛卡尔积是一个 (rs) 个属性列的元组的集合。
每一个元组都由 R 中的一个元组和 S 中的一个元组组合而成。
例如，若关系 R={(1, 2, 3), (4, 5, 6)}，关系 S={(A, B, C), (D, E, F)}，则它们的笛卡尔积为：R × S = {(1, 2, 3, A, B, C), (1, 2, 3, D, E, F), (4, 5, 6, A, B, C), (4, 5, 6, D, E, F)}四、笛卡尔积在知识表示和推理中的应用笛卡尔积在知识表示和推理中具有重要作用。
笛卡尔积的几何解释 矩形-概述说明以及解释
笛卡尔积的几何解释矩形-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分将介绍笛卡尔积及其在几何解释中的重要性。
笛卡尔积是数学中一个重要的概念，它描述了集合之间所有可能的有序组合。
在几何解释中，笛卡尔积可以用来表示两个集合之间所有可能的点的组合，形成一个二维平面上的形状。
矩形是一个常见的几何形状，在笛卡尔积中也有着重要的应用。
本文将探讨笛卡尔积的几何解释和矩形与笛卡尔积的关系，以及其在实际应用中的重要性。
1.2 文章结构：本文将分为三个主要部分，分别是引言、正文和结论。
- 引言部分将首先概述本文的主题，即笛卡尔积的几何解释和矩形之间的关系。
接着介绍本文的结构和目的，帮助读者了解全文的内容和意图。
- 正文部分将分为三小节。
首先在2.1小节将介绍笛卡尔积的定义，引导读者对这一概念有基础的认识。
接着在2.2小节将探讨笛卡尔积的几何解释，通过具体的几何图形帮助读者更好地理解这一概念。
最后在2.3小节将讨论矩形与笛卡尔积之间的关系，深入探讨它们之间的联系和应用场景。
- 结论部分将总结本文对笛卡尔积的几何解释的讨论，总结其重要性和应用领域。
同时，对未来可能的研究方向和发展趋势进行展望，为读者提供一个全面的认识和思考角度。
1.3 目的本文旨在探讨笛卡尔积在数学中的重要性，并通过几何解释以及与矩形的关系，深入解释笛卡尔积的概念和应用。
通过对笛卡尔积的深入研究，读者将能够更好地理解这一概念在数学和实际问题中的应用，从而提高数学思维和解决问题的能力。
此外，我们将探讨笛卡尔积在不同领域的应用，展望未来可能的研究方向，旨在激发读者对数学和笛卡尔积的兴趣，促进学术研究和知识传播。
2.正文2.1 笛卡尔积的定义：在数学中，笛卡尔积是集合论中的一个重要概念。
给定两个集合A和B，它们的笛卡尔积记作A×B，定义为由所有可能的有序对(a, b)所构成的集合，其中a属于集合A，b属于集合B。
换句话说，如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则A ×B中有mn个有序对。
笛卡尔积和自然连接的区别
笛卡尔积和自然连接的区别
笛卡尔积和自然连接是空间数据库中最常见的连接方式，它们对Geo-Database系统有着重要的意义。
本文将从两个方面来探讨它们
的不同：结构和功能。
首先，从结构上来看，笛卡尔积连接和自然连接有着根本的区别。
笛卡尔积连接是一种空间对象连接方式，它把两个或多个空间对象的属性以线性的方式耦合起来。
另一方面，自然连接作为一种更精确的空间连接方式，利用空间属性的拓扑关系来确定空间对象的关联，其结果更加准确。
其次，笛卡尔积连接和自然连接的功能有所不同。
笛卡尔积连接是一种更简单的连接方式，可以轻松完成空间对象之间的连接。
然而，它也存在一些缺点，例如由于需要更多的空间数据，执行空间连接任务时时间较长。
而自然连接则不存在这些问题，可以更高效地实现空间连接。
最后，笛卡尔积连接和自然连接还有其他方面的不同。
自然连接不仅可以连接空间对象，还可以定位空间对象，从而更好地满足空间分析过程中的应用要求。
而笛卡尔积连接则只能连接空间对象，不能定位空间对象，无法满足空间分析过程中的应用要求。
综上所述，笛卡尔积连接和自然连接在结构上、功能上以及其他方面都存在一定的差异。
在空间数据库中，它们可以有效地利用空间数据进行空间数据的连接或定位，为空间分析过程中的应用提供便利。
- 1 -。
集合上笛卡尔积的一些性质
集合上笛卡尔积的一些性质
笛卡尔积作为数学中一种基础概念，在学前教育中有着重要的地位，他可以培养孩子们从小就接触数学思维，培养孩子们对普通现象数学化的能力。
笛卡尔积可以直观地定义为某两个集合的相乘，这种相乘表示法可以帮助做出多种判断，促进孩子的积极思维能力的提高。
在笛卡尔积的运算中，并不会改变原有的集合，也就是概念中的叠乘。
另外，笛卡尔积的交集和并集也是重要的概念可以用来开展数学思维的训练。
孩子们从小接触笛卡尔积，也让他们能比较容易地将学习到的知识运用到实际场景中，掌握一些数学思维技能。
另外，笛卡尔积也可以用来让孩子们学习到思考复杂场景的技巧，从而为他们将来学习科学问题打下坚实的基础。
综上所述，笛卡尔积在学前教育中有着重要的作用，他可以用来帮助孩子们培养数学思维能力，从而为将来深入学习科学问题打下坚实的基础。
因此，让孩子在学前就受到正确的数学知识训练是十分必要的，有利于他们进行未来学习。
【概念区分】笛卡尔积，自然连接，内连接，外连接（左，右，全）
【概念区分】笛卡尔积，⾃然连接，内连接，外连接（左，右，全）本⽂章尝试解决⼀下问题1.笛卡尔积存在的意义是什么？2.”cross join 笛卡尔积“和”full join 全连接“和"inner join内连接"的区别在哪⾥？3. 既然”连接条件“可以写在where字句⾥⾯，为什么还要⽤on关键字？4.⾃然连接和内连接有什么关系吗？1.笛卡尔积存在的意义是什么？虽然”笛卡尔积“在实际问题中很少会⽤到，但”笛卡尔积“不仅仅存在数学意义，也存在现实意义的，⽐如集合A是⼀个班的学⽣，集合B是所有的选修课，A与B的笛卡尔积，表⽰了学⽣选择课程的所有可能性mysql> select * from A;+--------------+| student_name |+--------------+| 张学友 || 刘德华 |+--------------+2 rows in set (0.00 sec)mysql> select * from B;+--------------+| subject_name |+--------------+| 语⽂ || 数学 || 法律 |+--------------+3 rows in set (0.00 sec)那么”学⽣选课“就拥有6种可能性，数学中的”排列组合“通过2*3=6得出来，MySQL⽤”corss join“来计算笛卡尔积mysql> select * from A cross join B order by student_name;+--------------+--------------+| student_name | subject_name |+--------------+--------------+| 刘德华 | 数学 || 刘德华 | 法律 || 刘德华 | 语⽂ || 张学友 | 法律 || 张学友 | 语⽂ || 张学友 | 数学 |+--------------+--------------+6 rows in set (0.00 sec)有同样效果的是select * from A , B2.”cross join 笛卡尔积“和”full join 全连接“和"inner join内连接"的区别在哪⾥？cross join 象征着返回所有的情况，默认不使⽤ where进⾏过滤的，因为筛选之后就失去了”所有可能性“这种意义了，⽽ inner join默认使⽤on进⾏”匹配“，如果不使⽤on返回的是 cross join的所有可能性，也就失去了意义了集合a(1,2,3),集合b(1,2,3)1.笛卡尔积——返回3 * 3 =9 条记录，默认不⽤where2.内连接——返回3条记录，默认使⽤on3. 既然”连接条件“可以写在where字句⾥⾯，为什么还要⽤on关键字？这是因为有两个原因a. 更加清晰的把表与表之间”做连接”的条件，与其他条件区分开来，这好⽐⼩⼯的⼈⼒资源和⾏政是⼀体的，但公司⼤了，两者就可以分开，分⼯更清晰b. 在 ”inner join 内连接“ 中，on和where虽然意义不同，但结果相同，但在 outer join 中，结果就不⼀样了,匹配条件放在where中是不会产⽣NULL值的4.⾃然连接和内连接有什么关系吗？“⾃然连接”和“内连接”的区别，在于对“重合的相同的部分”处理⽅式不同1."natrual join ⾃然连接"的处理⽅式：既然重复了，就丢掉⼀份，好⽐distinct2.“inner join 内连接”的处理⽅式：虽然重复，但两份都保留假设有A,B两个集合，其中有两个字段是重复的⾃然连接是“去重”，有点像distinctmysql> select * from A natural join B;+------+------+-----------+-----------+| b | c | a | d |+------+------+-----------+-----------+| 1111 | 2222 | 刘德华 | 投名状 || 3333 | 4444 | 梁朝伟 | 花样年 |+------+------+-----------+-----------+2 rows in set (0.00 sec)“内连接”的⽅式，是把所有重复的都保留（当然额外⽤where条件筛选是另外⼀回事了）mysql> select * from A inner join B on A.b=B.b;+-----------+------+------+------+------+-----------+| a | b | c | b | c | d |+-----------+------+------+------+------+-----------+| 刘德华 | 1111 | 2222 | 1111 | 2222 | 投名状 || 梁朝伟 | 3333 | 4444 | 3333 | 4444 | 花样年 |+-----------+------+------+------+------+-----------+2 rows in set (0.00 sec)最后附上⼀张关于连接的图。
笛卡尔乘积函数定义-概念解析以及定义
笛卡尔乘积函数定义-概述说明以及解释1.引言引言部分是文章的开端，通常包括对主题的简要介绍以及文章的结构和目的。
在这篇关于笛卡尔乘积函数定义的长文中，可以这样写1.1 概述部分的内容：概述：笛卡尔乘积函数是数学中一个重要而又复杂的概念，它在不同领域有着广泛的应用。
本文将对笛卡尔乘积函数的定义、应用和特性进行深入探讨，以期能够帮助读者更好地理解和运用这一概念。
在2.1 部分，我们将详细介绍笛卡尔乘积函数的概念和相关定义；在2.2 部分，我们将阐述笛卡尔乘积函数在实际应用中的具体场景；而在2.3 部分，我们将探讨笛卡尔乘积函数的一些特性。
通过本文的阐述，读者将能够更全面地了解笛卡尔乘积函数，并体会到它在数学和现实生活中的重要性。
1.2 文章结构:本文将分为引言、正文和结论三个部分进行论述，以便全面深入地探讨笛卡尔乘积函数的定义及其相关内容。
在引言部分中，将介绍本文的概述、文章结构以及研究目的，为读者明确本文的主要内容和目标。
在正文部分，将详细阐述笛卡尔乘积函数的概念、应用及特性，分析其在数学和实际应用中的重要性和价值。
最后，在结论部分，将对笛卡尔乘积函数的重要性进行总结，展望其未来发展方向，并得出结论，为读者提供全文的逻辑收尾。
整篇文章将按照以上思路展开，以便读者全面了解笛卡尔乘积函数的相关知识和意义。
1.3 目的目的部分的内容:本文的主要目的是介绍和探讨笛卡尔乘积函数的定义、应用和特性，并对其重要性进行总结。
通过对笛卡尔乘积函数的深入理解，可以帮助读者更好地应用这一概念解决实际问题，并展望其在未来发展中的潜力和可能性。
通过本文的阐述，读者能够更全面地了解和掌握笛卡尔乘积函数的相关知识，为其进一步研究和应用打下坚实的基础。
容2.正文2.1 笛卡尔乘积函数的概念笛卡尔乘积函数是数学中常见的一种函数形式，通常用来描述两个集合之间的关系。
在集合论中，笛卡尔乘积是指由两个集合中所有可能的有序对组成的集合。
换句话说，如果A和B是两个集合，那么它们的笛卡尔乘积就是所有形式为(a, b)的有序对的集合，其中a属于A，b属于B。
笛卡尔积和外积-概述说明以及解释
笛卡尔积和外积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述笛卡尔积和外积是数学中重要的概念，它们在不同领域有着广泛的应用。
笛卡尔积是两个集合中所有可能的有序对组成的新集合，外积则是向量空间中常用的运算，用于描述向量之间的关系和性质。
本文将对笛卡尔积和外积进行详细介绍，包括其定义、性质、应用以及与其他数学概念的关系。
通过深入了解这两个概念，我们可以更好地理解它们在数学和实际问题中的作用，为深入研究提供基础和启发。
1.2 文章结构:本文将分为以下几个部分进行讨论:1. 引言：首先会对笛卡尔积和外积的概念进行介绍，阐述文章的目的和重要性。
2. 笛卡尔积：将详细讨论笛卡尔积的定义、应用和性质，以便读者更好地理解这一概念。
3. 外积：会探讨外积的概念、几何意义和应用，揭示外积在数学和物理领域的重要作用。
4. 结论：总结笛卡尔积和外积之间的关系，探讨它们的应用价值，并展望未来在这一领域的发展方向。
1.3 目的本文旨在深入探讨笛卡尔积和外积这两个数学概念，分析它们的定义、性质以及应用。
通过对这两个概念的详细讨论，旨在帮助读者更好地理解它们在数学和实际问题中的重要性和作用。
同时，本文还旨在总结笛卡尔积和外积之间的关系，并探讨它们在未来的发展和应用前景。
通过本文的阐述，希望读者能够对这两个概念有更深入的理解，为进一步研究和应用提供参考和启发。
2.正文2.1 笛卡尔积:2.1.1 定义:在数学上，笛卡尔积是指给定两个集合A和B，笛卡尔积是一个集合，其中的元素是由A和B中的元素对组成的有序对。
换句话说，如果A={a, b}，B={1, 2}，那么A和B的笛卡尔积是{(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)}。
笛卡尔积可以表示为A×B。
2.1.2 应用:笛卡尔积在很多领域都有广泛的应用。
在关系数据库中，笛卡尔积可以用来进行多表连接操作。
在组合数学中，笛卡尔积可以用来求解排列组合问题。
在离散数学中，笛卡尔积可以用来定义直积和子群等概念。
笛卡尔积语法
笛卡尔积语法笛卡尔积是集合论中的一种重要概念，它用于描述多个集合之间的组合关系。
在计算机科学中，笛卡尔积也被广泛应用于数据库查询、集合操作、数据分析等领域。
本文将介绍笛卡尔积的语法和应用，帮助读者更好地理解和运用这一概念。
一、笛卡尔积的定义和表示方法在集合论中，给定两个集合A和B，它们的笛卡尔积表示为A × B，其中A中的元素和B中的元素可以组合成一个新的元素。
具体而言，如果A中有m个元素，B中有n个元素，那么A × B中的元素个数就是m × n个。
在数据库查询中，如果有两个表A和B，它们分别有m行和n行，那么这两个表的笛卡尔积就是一个新的表，其中包含了所有可能的组合。
假设A表的列有a1、a2、...、am，B表的列有b1、b2、...、bn，那么笛卡尔积表就有m × n行，每行包含了A表的一行和B表的一行的数据。
二、笛卡尔积的应用场景1. 数据库查询在数据库查询中，如果需要获取两个或多个表的所有可能组合，可以使用笛卡尔积操作。
例如，假设有两个表A和B，分别存储了学生和课程的信息，如果要获取所有学生和课程的组合，可以使用如下SQL语句：SELECT * FROM A, B;2. 集合操作在集合操作中，笛卡尔积可以用于求两个集合的并集、交集、差集等。
例如，假设有两个集合A={1, 2, 3}和B={a, b, c}，它们的笛卡尔积就是{(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c), (3, a), (3, b), (3, c)}。
通过对这个笛卡尔积进行操作，可以得到两个集合的并集、交集、差集等结果。
3. 数据分析在数据分析中，如果需要对多个维度的数据进行组合和分析，可以使用笛卡尔积。
例如，假设有一个电商网站，它有多个商品类别和多个地区，每个商品类别和地区都有对应的销售额。
为了分析不同商品类别在不同地区的销售情况，可以使用笛卡尔积将商品类别和地区进行组合，然后计算对应的销售额。
笛卡尔积的意义
必须指出这个元组集合的结构，由哪些属性构成， 属性来自哪些域，属性和域之间的映像关系
一个关系通常是由赋予它的元组语义来定义的
数据库原理与应用
18
关系模式的表达
关系的描述成为关系模式
形式化表达为：R(U, D, DOM, F)
R：关系名 U：属性名集合 D：U中属性所来自的域 DOM：属性和域的映射集合 F：属性之间的函数依赖关系
数据库原理与应用
02 – 关系数据库 ①
郑捷
1、绪论
几个基本概念 数据库系统的产生和发展 数据库特点 数据模型 数据库系统 关系数据库 数据库标准 数据库新技术
数据库原理与应用
2
2. 关系数据库 I
关系数据结构及其形式化定义 关系的完整性 关系代数 关系演算
注意
相同数据类型 值的集合
域和数据类型是不同的，数据类型的范围是指理解为数据类型范围的一个子集
域的定义与需求有关
域的限定是数据库设计时选择数据类型的依据
数据库原理与应用
6
笛卡尔积
给定一组域D1, D2, …, Dn，这些域中可以是相同 的域，D1, D2, …, Dn的笛卡尔积为
性，即关系中的列不分先后，没有顺序
数据库原理与应用
16
关系的性质
列同质 不同的列可以出自同一个域 列的顺序不影响关系 任意两个不同元组的候选码必须不同 行的顺序不影响关系 分量必须取原子值，即每个分量必须是不可再分
的数据项
关系必须是规范化的！
数据库原理与应用
17
关系模式
D1×D2×…×Dn={(d1, d2, …, dn)|di∈Di, i=1, 2, …, n}
学习笔记-数据库左连接，右连接意义及区别
学习笔记-数据库左连接，右连接意义及区别1.左连接，右连接等的意义及区别：1)笛卡尔积：CROSS JOIN要理解各种JOIN⾸先要理解笛卡尔积。
笛卡尔积就是将A表的每⼀条记录与B表的每⼀条记录强⾏拼在⼀起。
所以，如果A表有n条记录，B表有m条记录，笛卡尔积产⽣的结果就会产⽣n*m条记录。
下⾯的例⼦，t_blog有10条记录，t_type有5条记录，所有他们俩的笛卡尔积有50条记录。
2)内连接：INNER JOIN内连接INNER JOIN是最常⽤的连接操作。
从数学的⾓度讲就是求两个表的交集，从笛卡尔积的⾓度讲就是从笛卡尔积中挑出ON⼦句条件成⽴的记录。
3)左连接：LEFT JOIN左连接LEFT JOIN的含义就是求两个表的交集外加左表剩下的数据。
依旧从笛卡尔积的⾓度讲，就是先从笛卡尔积中挑出ON⼦句条件成⽴的记录，然后加上左表中剩余的记录。
4)右连接：RIGHT JOIN同理右连接RIGHT JOIN就是求两个表的交集外加右表剩下的数据。
再次从笛卡尔积的⾓度描述，右连接就是从笛卡尔积中挑出ON⼦句条件成⽴的记录，然后加上右表中剩余的记录。
5)外连接：OUTER JOIN外连接就是求两个集合的并集。
从笛卡尔积的⾓度讲就是从笛卡尔积中挑出ON⼦句条件成⽴的记录，然后加上左表中剩余的记录，最后加上右表中剩余的记录。
另外MySQL不⽀持OUTER JOIN，但是我们可以对左连接和右连接的结果做UNION操作来实现。
eg:SELECT * FROM t1 LEFT JOIN t2 ON t1.O_Id=t2.Id_PUNIONSELECT * FROM t1 RIGHT JOIN t2 ON t1.O_Id=t2.Id_P;。
笛卡尔积和外积
笛卡尔积和外积全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：笛卡尔积和外积是数学中两个重要的概念，它们在集合论和向量空间中起着至关重要的作用。
本文将介绍这两个概念的定义、性质和应用，并通过实例来说明它们在数学和实际问题中的重要性。
我们来看一下笛卡尔积的定义。
给定两个集合A和B，它们的笛卡尔积A×B定义为所有有序对(a, b)，其中a ∈ A，b ∈ B。
换句话说，笛卡尔积是将两个集合中的元素按顺序配对得到的新集合。
如果集合A 包含m个元素，集合B包含n个元素，那么它们的笛卡尔积的元素个数为m×n。
如果A={1, 2}，B={a, b, c}，那么A×B={(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}。
笛卡尔积的性质有几个重要的特点。
笛卡尔积是一个集合，其中的元素是有序对。
笛卡尔积是一个交换性的运算，即A×B=B×A。
笛卡尔积的结合律成立，即(A×B)×C=A×(B×C)。
笛卡尔积还满足分配律，即A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)。
这些性质使得笛卡尔积在数学中有着广泛的应用，例如组合数学、离散数学等领域。
接下来，我们来介绍外积的概念。
外积也称为向量积或叉乘，是向量空间中的一种运算。
给定两个三维向量a和b，它们的外积a×b 定义为一个新的向量c，其方向垂直于a和b所在的平面，并且大小等于a和b所在平面的面积。
外积的计算方法可以用行列式的形式表示为：a×b = |i j k |a1 a2 a3b1 b2 b3其中i、j、k为单位向量，a1、a2、a3为向量a的分量，b1、b2、b3为向量b的分量。
外积的计算结果是一个新的向量，其方向由右手法则确定，即将右手的四指从向量a转到向量b的方向，大拇指所指的方向即为外积的方向。
二维数组笛卡尔积
（3）分配律：对于任意的二维数组 A、B 和 C，有 A × (B + C) = A × B + A × C。
二、算法与实现
1. 基本算法
实现二维数组笛卡尔积的基本算法是嵌套循环。设 A = [[a11, a12], [a21, a22], [a31, a32]]，B = [[b11, b12], [b21, b22], [b31, b32]]，则 A 和 B 的笛卡尔积可以通过以下代码实 现：
【计算方法】
计算二维数组的笛卡尔积有多种方法，这里我们介绍两种常用的方法。
1. 循环法
循环法是一种较为直观的计算方法。我们可以用嵌套的循环遍历二维数组中的每一个元 素，然后将它们组合在一起。具体来说，设二维数组 A 为：
``` A={ {a11, a12, a13}, {a21, a22, a23}, ..., {an1, an2, an3} } ```
二维数组笛卡尔积通用文档第 4 篇
二维数组笛卡尔积是一种在计算机科学和工程领域中广泛应用的概念，它涉及到 多维数据的计算、组合和分析。笛卡尔积是一种重要的数学概念，可以用于生成所有可能 的组合，从而帮助人们更好地理解和分析数据。在本文中，我们将介绍二维数组笛卡尔积 的概念、应用和算法实现。
【概念介绍】
const n = A.length; const m = A[0].length; const C = new Array(n); for (let i = 0; i < n; i++) {
C[i] = new Array(m + B.length).fill(0); for (let j = 0; j < m; j++) {
两个笛卡尔积的定义
两个笛卡尔积的定义《关于两个笛卡尔积，听我唠一唠》嘿呀，今天来和大家聊聊这“两个笛卡尔积的定义”。
听着这名字是不是觉得很高端大气上档次？好像很遥远很神秘的样子。
但其实呢，等我给你慢慢说来，你就会发现它也就是那么回事儿。
咱先来说说啥是笛卡尔积。
你就想象有两个大箱子，一个箱子里装满了各种各样的东西，比如说苹果、香蕉、橘子啥的，这就是第一个集合；另一个箱子里呢，装着不同颜色的球，红的、蓝的、绿的，这就是第二个集合。
那笛卡尔积呢，就是把这两个箱子里的东西两两组合起来。
比如说苹果和红球、香蕉和蓝球、橘子和绿球等等。
这么一想，是不是就形象多了？嘿，这笛卡尔积有意思得很呢！你看啊，它就像是个魔法盒子，能把两个平平无奇的集合变得特别丰富多样。
比如说你有一群人，还有一堆不同的活动。
这两个一结合，那可就是各种人参加各种活动的组合，一下就变得超级有趣了。
想象一下小明去打篮球、小红去唱歌、小刚去画画，这多有意思啊！有时候我就想，这笛卡尔积不就是生活中的各种搭配嘛！就像咱早上出门挑衣服，上衣选一件，裤子选一条，这就是一个简单的笛卡尔积呀！而且这笛卡尔积用处可大了呢。
在数学里，它可以帮我们解决好多问题。
就像是给我们提供了一个工具，让我们能把复杂的事情拆分成一个个小的组合，然后再去分析。
不过呢，这笛卡尔积有时候也会让人有点头疼。
就好像你有太多的选择了，反而不知道该选哪个好了。
比如说有很多衣服可以搭配，你就得纠结半天到底穿哪一套。
就像在数学里，有时候笛卡尔积的结果太多了，你就得花时间去慢慢梳理和分析。
总之呢，“两个笛卡尔积的定义”虽然听起来挺厉害的，但其实咱只要用心去理解，就会发现它就像是生活中的一个小细节。
它可以让我们的思考更有条理，也可以让我们的生活更丰富多彩。
下次再听到笛卡尔积这个词，可别再觉得陌生啦，就想想那些有趣的组合，然后笑着说：“哦，原来就是这个呀！”哈哈，希望大家也能和我一样，从这些看似深奥的定义中找到乐趣，让数学变得不再那么枯燥，让生活因为有了这些小发现而更加精彩！怎么样，是不是对笛卡尔积有了新的认识呢？来，一起愉快地和笛卡尔积玩耍吧！。
关系代数,笛卡尔积作用
关系代数,笛卡尔积作用关系代数是一种用于描述和操作关系的数学工具，而笛卡尔积是关系代数中的一种基本操作，用于合并两个关系的所有可能的组合。
在关系代数中，关系是由一组元组组成的集合，每个元组表示一个实体或对象的属性集合。
关系代数通过一系列操作来处理和操作关系，例如选择、投影、连接和并集等操作。
而笛卡尔积是一种二元操作，它将两个关系的所有可能的组合形成一个新的关系。
假设有两个关系R(A, B)和S(C, D)，其中R有n个元组，S有m个元组。
它们的笛卡尔积R × S的结果将包含n × m个元组，每个元组由R和S中的一个元组组成。
换句话说，笛卡尔积操作将两个关系中的每个元组按照所有可能的组合方式进行配对。
例如，假设关系R表示学生表，其中包含学生的学号和姓名，关系S表示课程表，其中包含课程的编号和名称。
那么R × S的结果将是一个新的关系，其中的每个元组将包含一个学生和一门课程的组合。
笛卡尔积操作在实际应用中有着广泛的用途。
例如，在数据库中，可以使用笛卡尔积操作来处理多个表之间的关联查询。
在数据分析中，可以使用笛卡尔积操作来生成所有可能的组合，以便进行统计和分析。
然而，需要注意的是，笛卡尔积操作可能会导致结果集非常庞大，特别是当参与操作的关系较大时。
因此，在实际应用中，需要谨慎使用笛卡尔积操作，以避免性能问题和结果集过大的情况。
关系代数是一种用于描述和操作关系的数学工具，而笛卡尔积是其中的一种基本操作。
通过笛卡尔积操作，可以将两个关系的所有可能的组合形成一个新的关系。
在实际应用中，笛卡尔积操作具有广泛的用途，但需要注意结果集可能过大的问题。
因此，在使用笛卡尔积操作时，需要谨慎考虑其性能和实际需求。
集合的笛卡尔积与幂集
集合的笛卡尔积与幂集在集合论中，集合的运算与性质是研究集合的重要内容之一。
在这篇文章中，我们将讨论两个与集合相关的概念：笛卡尔积和幂集。
我们将解释这两个概念的定义、性质以及它们在数学和计算领域中的重要应用。
一、笛卡尔积的定义与性质笛卡尔积是通过将两个或多个集合中的元素进行组合而得到的新集合。
设A和B是两个集合，那么A和B的笛卡尔积，记作A × B，定义为由所有有序对(x, y)组成的集合，其中x∈A，y∈B。
换句话说，如果A中有m个元素，B中有n个元素，那么A × B中将有m × n个元素。
笛卡尔积的一个重要性质是交换律，即A × B = B × A。
这意味着对于任意两个集合，它们的笛卡尔积是满足可交换性的。
二、笛卡尔积的应用笛卡尔积在数学中有广泛的应用。
它可以用来表示多个集合关系的全体元素，在图论中可以表示两个图的边的组合。
此外，在计算机科学中，笛卡尔积是构建关系型数据库的基础之一。
在数据库中，笛卡尔积操作可以将两个表的每一行进行组合，产生一个新的表。
这个新的表包含了两个原表的所有组合可能，为数据库查询和关系操作提供了便利。
三、幂集的定义与性质幂集是指一个集合的所有子集构成的集合。
设A是一个集合，那么A的幂集，记作P(A)，定义为由A的所有子集所构成的集合。
换句话说，P(A)中的每个元素都是A的一个子集。
幂集的元素个数为2的n次方，其中n为集合A的元素个数。
这是因为对于每个元素，它可以存在于集合的子集中，也可以不在。
因此，幂集大小是指数级增长的。
幂集的一个重要性质是包含关系，即对于任意两个集合A和B，如果A是B的子集，则P(A)是P(B)的子集。
这是因为P(A)包含了A的所有子集，而P(B)包含了B的所有子集，所以P(A)自然也包含了A所在的子集。
四、幂集的应用幂集在数学和计算领域中都有广泛的应用。
在数学中，幂集可以用来证明集合的基数关系，比如通过比较集合的幂集大小来证明两个集合的相等或不相等。
三个集合的笛卡尔乘积
三个集合的笛卡尔乘积集合是数学中的一个基本概念，它是由一些确定的元素构成的整体。
而笛卡尔乘积则是将多个集合的元素进行组合得到的新集合，每个元素都是由这些集合的元素组成的有序对。
本文将探讨三个集合的笛卡尔乘积，并从多个角度进行分析和说明。
一、集合A、B和C的介绍我们需要明确集合A、B和C的具体内容。
假设集合A包含元素a1、a2和a3，集合B包含元素b1和b2，集合C包含元素c1、c2和c3。
那么，它们的笛卡尔乘积可以表示为：A ×B ×C = {(a1, b1, c1), (a1, b1, c2), (a1, b1, c3), (a1, b2, c1), (a1, b2, c2), (a1, b2, c3), (a2, b1, c1), (a2, b1, c2), (a2, b1, c3), (a2, b2, c1), (a2, b2, c2), (a2, b2, c3), (a3, b1, c1), (a3, b1, c2), (a3, b1, c3), (a3, b2, c1), (a3, b2, c2), (a3, b2, c3)}二、笛卡尔乘积的意义和应用1.组合问题：笛卡尔乘积在组合问题中起到重要作用。
例如，假设我们需要从集合A、B和C中选取一个元素作为组合，那么可以通过计算这三个集合的笛卡尔乘积来得到所有可能的组合。
2.排列问题：笛卡尔乘积也可以用于排列问题。
如果我们需要按照一定的规则对集合A、B和C中的元素进行排列，那么可以通过计算这三个集合的笛卡尔乘积来得到所有可能的排列。
3.数据分析：在数据分析中，笛卡尔乘积可以用于生成测试数据或模拟实验。
例如，假设我们需要分析某个系统在不同参数组合下的性能，可以通过计算参数集合的笛卡尔乘积来生成不同的测试数据。
三、笛卡尔乘积的性质和特点1.元素个数：集合A、B和C的笛卡尔乘积的元素个数等于各个集合元素个数的乘积。
在本例中，集合A、B和C的元素个数分别为3、2和3，因此笛卡尔乘积的元素个数为3×2×3=18。
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数据库原理与应用
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候选码的属性个数
最简单的情况下，候选码只包含一个属性 最极端的情况下，关系模式的所有属性是这个
关系模式的候选码，称为全码
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码的例子
关系1：学生 学生(学号，姓名，性别，身份证号，班级) 关系2：课程 课程（课程名称，上课地点，上课时间） 关系3：选课 选课（学号，课程名称）
性，即关系中的列不分先后，没有顺序
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关系的性质
列同质 不同的列可以出自同一个域 列的顺序不影响关系 任意两个不同元组的候选码必须不同 行的顺序不影响关系 分量必须取原子值，即每个分量必须是不可再分
的数据项
பைடு நூலகம்
关系必须是规范化的！
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关系模式
数据库原理与应用
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关系数据结构
域 笛卡尔积 元组、分量 关系 目、度 候选码、主码 主属性、非主属性、非码属性、全码
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关系
从用户角度来看，关系模型中数据的结构就是 一张扁平的规范化的二维表
整个关系模型由一组关系构成
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域
域是一组具有相同数据类型的值的集合
属性
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码 Key
码是用来对元组加以标识的属性或者属性集合 若关系中的某一属性(组)的值能唯一地标识一
个元组，则称该属性(组)为候选码 一个关系可能有多个候选码，我们可以选定一
个作为主码 候选码涉及到的属性成为主属性。不包含在任
何候选码中的属性称为非主属性，或非码属性
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实体完整性
若属性A是基本关系R的主属性，则A不能取空 值
在关系模式中，允许属性取值“空(NULL)”， 表示不知道、不确定或者不存在
数据库中的空值和编程语言的空值有相似也有 不同
空值和0、空字符串等是不同的
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参照完整性
现实中的实体往往存在某种联系 假如关系中的某个属性的取值，必须在另外一
注意
相同数据类型 值的集合
域和数据类型是不同的，数据类型的范围是指 该类型所能够表达的范围，受表达方式的限制 ；而域可以理解为数据类型范围的一个子集
域的定义与需求有关
域的限定是数据库设计时选择数据类型的依据
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笛卡尔积
给定一组域D1, D2, …, Dn，这些域中可以是相同 的域，D1, D2, …, Dn的笛卡尔积为
并不代表实际上有这么多可行的组合
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关系 Relation
D1×D2×…×Dn的子集叫做域D1,D2,…,Dn上的关系 表示为R（D1,D2,…,Dn） 这里R表示关系名 n是关系的目或者度（Degree） 关系中的每个元素都是关系中的元组，通常表示为t
单元（一元）关系、二元关系 由于域可能同名，关系中的每个列必须取名字，称为
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关系的类型
基本表（基本关系），实际存在的表，实际存 储数据的逻辑表示
查询表，是查询结果对应的表 视图表，基本表或者其他视图表到处的表，虚
表，不对应实际存储的数据
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关系对笛卡尔积的限定和扩充
关系数据模型中的关系必须是有限集合 关系的每个列附加有一个属性名，消除其有序
关系模式往往简化记为R(U)或R(A1, A2, …, An)
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关系模式与关系
关系是关系模式在某一时刻的状态或内容
关系模式是静态的、稳定的 关系是动态的，变化的
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关系的完整性
实体完整性 参照完整性 用户定义的完整性
实体完整性和参照完整性是关系的两个不变性
个关系的主码中体现出来，这就是参照完整性
例子：前面的课程、学生、选课等三个关系， 就是这样的一个参照案例
选课关系中的学号和课程名称，必须来自学生 关系和课程关系
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参照完整性
(欧阳锋,蛤蟆功,欧阳克), (欧阳锋,蛤蟆功,郭靖), (欧阳锋,打狗棍法,欧阳克), (欧阳锋,打狗棍法,郭靖), (洪七公,蛤蟆功,欧阳克), (洪七公,蛤蟆功,郭靖), (洪七公,打狗棍法,欧阳克), (洪七公,打狗棍法,郭靖)
}
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笛卡尔积的意义
注意：笛卡尔积的全集在应用中是没有意义的 在实际应用中，只有部分元组符合实际的情况 这里列出全集只是表示全部可能的组合而已，
D1×D2×…×Dn={(d1, d2, …, dn)|di∈Di, i=1, 2, …, n}
也就是这n个域的所有可能取值的组合，其元素总 数为Π|Di|, i=1, 2, …, n
其中每个元素称为一个n元组(n-tuple)，或元组 (tuple)
元素中的每一个值di叫做一个分量(Component)
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笛卡尔积
笛卡尔积可表示为一个二维表 表中的每行对应一个元组 表中的每一列的值来自一个域
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笛卡尔积实例
假定给出三个域：
D1=师傅集合={欧阳锋，洪七公} D2=武功集合={蛤蟆功，打狗棍法} D3=学生集合={欧阳克，郭靖}
则其笛卡尔积为D1×D2×D3={
关系模型是对关系的描述
必须指出这个元组集合的结构，由哪些属性构成， 属性来自哪些域，属性和域之间的映像关系
一个关系通常是由赋予它的元组语义来定义的
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关系模式的表达
关系的描述成为关系模式
形式化表达为：R(U, D, DOM, F)
R：关系名 U：属性名集合 D：U中属性所来自的域 DOM：属性和域的映射集合 F：属性之间的函数依赖关系
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02 – 关系数据库 ①
郑捷
1、绪论
几个基本概念 数据库系统的产生和发展 数据库特点 数据模型 数据库系统 关系数据库 数据库标准 数据库新技术
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2
2. 关系数据库 I
关系数据结构及其形式化定义 关系的完整性 关系代数 关系演算