二序偶与笛卡儿积(精)
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离散数学-3-4序偶与笛卡儿积
笛卡儿积描述事件关系
通过笛卡儿积，可以描述两个或多个事件的独立性、相关性或条件性。例如，如果事件A和事件B相互独立，那么 事件A和事件B的笛卡儿积等于它们各自概率的乘积。
图论中的应用
序偶表示边
在图论中，序偶可以用来表示一条边，其中第一个元素表示起点，第二个元素表示终点。
笛卡儿积描述多重边
通过笛卡儿积，可以描述图中的多重边。如果存在一条从点i到点j的边和一条从点j到点 i的边，那么可以通过笛卡儿积来表示这两条边。
离散数学-3-4序偶与 笛卡儿积
目录
• 序偶的定义与性质 • 笛卡儿积的定义与性质 • 序偶与笛卡儿积的关系 • 序偶与笛卡儿积在离散数学中的应用
01
序偶的定义与性质
序偶的表示方法
01
02
ห้องสมุดไป่ตู้
03
序偶的表示
一个序偶可以表示为有序 对，通常用圆括号括起来， 如 (a, b)，其中a和b是元 素。
序偶的元素
THANKS
感谢观看
02
笛卡儿积的定义与性质
笛卡儿积的表示方法
定义
设 $A_1, A_2, ldots, A_n$ 是任意集合，则 $A_1 times A_2 times ldots times A_n$ 称为集合 $A_1, A_2, ldots, A_n$ 的笛卡儿积。
表示
笛卡儿积可以用大括号 {} 表示，即 $A_1 times A_2 times ldots times A_n = {(a_1, a_2, ldots, a_n) | a_i in A_i, i=1,2,ldots,n}$。
笛卡儿积的应用场景
组合数学
笛卡儿积常用于组合数学中，表示不同元素的排 列和组合。
通过笛卡儿积，可以描述两个或多个事件的独立性、相关性或条件性。例如，如果事件A和事件B相互独立，那么 事件A和事件B的笛卡儿积等于它们各自概率的乘积。
图论中的应用
序偶表示边
在图论中，序偶可以用来表示一条边，其中第一个元素表示起点，第二个元素表示终点。
笛卡儿积描述多重边
通过笛卡儿积，可以描述图中的多重边。如果存在一条从点i到点j的边和一条从点j到点 i的边，那么可以通过笛卡儿积来表示这两条边。
离散数学-3-4序偶与 笛卡儿积
目录
• 序偶的定义与性质 • 笛卡儿积的定义与性质 • 序偶与笛卡儿积的关系 • 序偶与笛卡儿积在离散数学中的应用
01
序偶的定义与性质
序偶的表示方法
01
02
ห้องสมุดไป่ตู้
03
序偶的表示
一个序偶可以表示为有序 对，通常用圆括号括起来， 如 (a, b)，其中a和b是元 素。
序偶的元素
THANKS
感谢观看
02
笛卡儿积的定义与性质
笛卡儿积的表示方法
定义
设 $A_1, A_2, ldots, A_n$ 是任意集合，则 $A_1 times A_2 times ldots times A_n$ 称为集合 $A_1, A_2, ldots, A_n$ 的笛卡儿积。
表示
笛卡儿积可以用大括号 {} 表示，即 $A_1 times A_2 times ldots times A_n = {(a_1, a_2, ldots, a_n) | a_i in A_i, i=1,2,ldots,n}$。
笛卡儿积的应用场景
组合数学
笛卡儿积常用于组合数学中，表示不同元素的排 列和组合。
集合论--第3讲笛卡尔积
离散数学笛卡尔积第3讲定义3.1有序对由两个元素x和y(允许x=y)按一定的顺序排列成的二元组叫做一个有序对(也称序偶)，记作<x,y>，其中x是它的第一元素，y是它的第二元素。
有序对：1.当x≠y时，<x,y>≠<y,x>。
2.两个有序对相等，即<x,y>＝<u,v>⇔是x＝u且y＝v。
注意：有序对<x,y>与2元集{x,y}的区别。
定义3.2笛卡尔积设A,B为集合，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对。
所有这样的有序对组成的集合叫做A和B的笛卡儿积，记作A×B。
符号化表示为：A×B＝{<x,y>|x∈A∧y∈B}。
若<x,y>∈A ×B ，则有x∈A ∧y∈B 。
若<x,y>∉A ×B ，则有x ∉A ∨y ∉B 。
如果A 中有m 个元素,B 中有n 个元素，则A ×B 和B ×A 中都有多少个元素?mn 个1若A,B中有一个空集,则：∅⨯B＝A×∅＝∅2当A≠B且A,B都不是空集时,有：A×B≠B×A即笛卡儿积运算不适合交换律。
3当A,B,C都不是空集时,有：(A×B)×C≠A×(B×C)即笛卡儿积运算不适合结合律。
笛卡儿积运算对∪,∩或-运算满足分配律，即4①A×(B∪C)＝(A×B)∪(A×C)；②(B∪C)×A＝(B×A)∪(C×A)；③A×(B∩C)＝(A×B)∩(A×C)；④(B∩C)×A＝(B×A)∩(C×A)；⑤A×(B-C)＝(A×B)-(A×C)；⑥(B-C)×A＝(B×A)-(C×A)。
31序偶和笛卡儿积
(A ×B)×C ≠ A × (B ×C) 算法3.1 计算笛卡儿积算法如图3.1所示。
图3.1 笛卡儿积计算算法流程
输入:两个集合 A 和B。 输 出 :2× (nm)矩 阵 C。 思路:对 A 中每一个元素,与 B 中所有元素组成序偶,直到 A 遍历完。C 中 第 一 行 为 序偶第一坐标(A 中元素),C 中第二行为序偶第二坐标(B 中元素)。 定理3.1 设 A、B 和C 为任意三个集合,则有: (1)A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)。 (2)A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)。 (3)(A∪B)×C=(A×C)∪(B×C)。 (4)(A∩B)×C=(A×C)∩(B×C)。 证明: (1)设<x,y>∈A×(B∪C)⇔x∈A∧y∈B∪C ⇔x∈A∧(y∈B∨y∈C)⇔(x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C)
如果|A|表 示 集 合 A 的 个 数。 若|A|=2,则|A3|=23 =8。 一 般 地,若 |A|=m,则 |An|=mn。
习 题 3.1
1.设 A={1,2,3},B={a,b}求:
(1)A×B
(2)B×A (3)B×B (4)2B ×B
2.使 A⊆A×A 成立的集合A 存在吗? 请阐明理由。
H3 = {<f,s>,<f,d>,<m,s>,<m,d>} dom H3 = {f,m} ranH3 = {s,d}
3.恒 等 关 系
48
B ×A = {<a,1>,<a,2>,<b,1>,<b,2>,<c,1>,<c,2>} (A ×B)∩ (B ×A)= ⌀ 显 然 ,我 们 有 : (1)A×B≠B×A。 (2)如 果|A|=m,|B|=n,则|A×B|=|B×A|=|A||B|=mn。 我们约定:若 A=⌀或 B=⌀,则 A×B=⌀。 由笛卡儿积定义可知: (A ×B)×C = {<<x,y>,z>|<x,y>∈ A ×B ∧z ∈ C} {<x,y,z>|x ∈ A ∧y ∈ B ∧z ∈ C} A × (B ×C)= {<x,<y,z>>|x ∈ A ∧ <y,z>∈ B ×C} 由 于 <x,<y,z>>不 是 三 元 组 ,所 以 :
图3.1 笛卡儿积计算算法流程
输入:两个集合 A 和B。 输 出 :2× (nm)矩 阵 C。 思路:对 A 中每一个元素,与 B 中所有元素组成序偶,直到 A 遍历完。C 中 第 一 行 为 序偶第一坐标(A 中元素),C 中第二行为序偶第二坐标(B 中元素)。 定理3.1 设 A、B 和C 为任意三个集合,则有: (1)A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)。 (2)A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)。 (3)(A∪B)×C=(A×C)∪(B×C)。 (4)(A∩B)×C=(A×C)∩(B×C)。 证明: (1)设<x,y>∈A×(B∪C)⇔x∈A∧y∈B∪C ⇔x∈A∧(y∈B∨y∈C)⇔(x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C)
如果|A|表 示 集 合 A 的 个 数。 若|A|=2,则|A3|=23 =8。 一 般 地,若 |A|=m,则 |An|=mn。
习 题 3.1
1.设 A={1,2,3},B={a,b}求:
(1)A×B
(2)B×A (3)B×B (4)2B ×B
2.使 A⊆A×A 成立的集合A 存在吗? 请阐明理由。
H3 = {<f,s>,<f,d>,<m,s>,<m,d>} dom H3 = {f,m} ranH3 = {s,d}
3.恒 等 关 系
48
B ×A = {<a,1>,<a,2>,<b,1>,<b,2>,<c,1>,<c,2>} (A ×B)∩ (B ×A)= ⌀ 显 然 ,我 们 有 : (1)A×B≠B×A。 (2)如 果|A|=m,|B|=n,则|A×B|=|B×A|=|A||B|=mn。 我们约定:若 A=⌀或 B=⌀,则 A×B=⌀。 由笛卡儿积定义可知: (A ×B)×C = {<<x,y>,z>|<x,y>∈ A ×B ∧z ∈ C} {<x,y,z>|x ∈ A ∧y ∈ B ∧z ∈ C} A × (B ×C)= {<x,<y,z>>|x ∈ A ∧ <y,z>∈ B ×C} 由 于 <x,<y,z>>不 是 三 元 组 ,所 以 :
04_序偶及笛卡尔积(精)
序偶)，记为<a,b>，称a为第一元素，b
为第二元素；若它们无次序区别，称为二 元无序组(无序偶)，记为(a,b)。
当ab时，有： <a,b> <b,a>
(a,b) = (b,a)
可用序偶表示两个元素之间的关系：
<老王,小王> 老王是小王的父亲
(小李,小张) 小李和小张是同学
定义： 给定两个有序偶<a,b>和<u,v>， 当且仅当a=u且b=v时，有序偶
记< x1 , x2 , x3 > 记< x1 , x2 , x3 , x4 >
注意： < < x1, x2 >, x3 > 是有序 3 元组 < x1, < x2, x3 > > 不是有序 3 元组 < x1 , x2 , x3 > 表示 < < x1, x2 >, x3 >
二、笛卡尔积
定义：给定集合A和B， AB = {<x,y>|xA∧yB}， 称 AB 为A和B的笛卡尔积。
(A∪B)C = (AC)∪(BC)
求证：A(B∩C) = (AB)∩(AC) 分析： 要证明 左式 和 右式 有相同的元素： <x,y>A(B∩C) <x,y>(AB)∩(AC)
证明：
∵ <x,y>A(B∩C)
xA ∧ yB∩C
xA∧(yB∧yC) (xA∧xA)∧(yB∧yC) (xA∧yB)∧(xA∧yC) <x,y>AB ∧ <x,y>AC <x,y>(AB)∩(AC) ∴ A(B∩C)=(AB)∩(AC)
离散数学第四章(第1讲)
xy??a??bc?xy??xyx??a??y??bc?xy??xyx??a??y??b??y??c?xy??xyx??a??y??b??x??a??y??c?xy??a??ba??c即a??bca??ba??c例
第四章 二元关系
§1 序偶与笛卡尔积 §2 关系及其表示 §3 关系的性质 §4 关系的运算 §5 等价关系与划分 §6 相容关系与覆盖 §7 偏序关系
§1 序偶与笛卡尔乘积
1 序偶 《定义》由二个具有给定次序的客体所组成的序列
称为序偶。记作〈x，y〉 例：X—Y二维平面上的一个点的坐标〈x，y〉就
是一个序偶。
说明： (1)在序偶中二个元素要有确定的排列次序。 若ab时，则〈a，b〉〈b，a〉 若〈x，y〉=〈a，b〉（x=a y=b） (2) 多重序元： 三元组：〈〈x，y〉，z〉 =〈x，y，z〉 n元组： 〈〈〈〈x1，x2〉，x3〉…〉，xn〉= 〈x1,…,xn〉
ran R={a,b,c,d}
FLD R={1,2,3,4,a,b,c,d}
４．关系和笛卡尔乘积 笛卡尔乘积的任何子集都可以定义一种二元关系。 例：X={1,2,3,4}，Y={1,2}
X Y {1,1 ,1,2 , 2,1 , 2,2 , 3,1 , 3,2 , 4,1 , 4,2 }
S1={<x,y>|x X yYx ≤ y}={<1,1><1,2><2,2>}
2 笛卡尔乘积 《定义》设A，B为二个任意集合，若序偶的第 一个成员（左元素）是A的一个元素，序偶的 第二个成员（右元素）是B的一个元素，则所 有这样的序偶构成的集合称为A和B的笛卡尔乘 积。
记作：A B={〈x，y〉|（xA）（yB）}
第四章 二元关系
§1 序偶与笛卡尔积 §2 关系及其表示 §3 关系的性质 §4 关系的运算 §5 等价关系与划分 §6 相容关系与覆盖 §7 偏序关系
§1 序偶与笛卡尔乘积
1 序偶 《定义》由二个具有给定次序的客体所组成的序列
称为序偶。记作〈x，y〉 例：X—Y二维平面上的一个点的坐标〈x，y〉就
是一个序偶。
说明： (1)在序偶中二个元素要有确定的排列次序。 若ab时，则〈a，b〉〈b，a〉 若〈x，y〉=〈a，b〉（x=a y=b） (2) 多重序元： 三元组：〈〈x，y〉，z〉 =〈x，y，z〉 n元组： 〈〈〈〈x1，x2〉，x3〉…〉，xn〉= 〈x1,…,xn〉
ran R={a,b,c,d}
FLD R={1,2,3,4,a,b,c,d}
４．关系和笛卡尔乘积 笛卡尔乘积的任何子集都可以定义一种二元关系。 例：X={1,2,3,4}，Y={1,2}
X Y {1,1 ,1,2 , 2,1 , 2,2 , 3,1 , 3,2 , 4,1 , 4,2 }
S1={<x,y>|x X yYx ≤ y}={<1,1><1,2><2,2>}
2 笛卡尔乘积 《定义》设A，B为二个任意集合，若序偶的第 一个成员（左元素）是A的一个元素，序偶的 第二个成员（右元素）是B的一个元素，则所 有这样的序偶构成的集合称为A和B的笛卡尔乘 积。
记作：A B={〈x，y〉|（xA）（yB）}
4二元关系和函数详解
a b 1 c 2 d e 3 f
a与1间存在关系R记aR1 b与1间存在关系R记bR1 c与2间存在关系R记cR2 d与2间存在关系R记dR2 e与3间存在关系R记eR3 e与3间存在关系R记eR3
10/11/2018 10:28 PM
liu qun, northeastern Univ.
10
4.2关系及运算——关系
定理 若 C≠Ø，则 A B （A C B C） （C A C B） 定理 设 A，B，C，D 为四个非空集合， 则 A B C D 的充要条件为 A C，B D。
10/11/2018 10:28 PM liu qun, northeastern Univ. 9
其中、
A 0,1
10/11/2018 10:28 PM
liu qun, northeastern Univ.
8
4.1笛卡儿积与二元关系——笛卡尔积
Sets
集合
定理 设A，B，C为任意三个集合，则有 a) A×（B∪C）=（A×B）∪（A×C）； b) A×（B∩C）=（A×B）∩（A×C）； c)（A∪B）×C=（A×C）∪（B×C）； d)（A∩B）×C=（A×C）∩（B×C）。
例设有六个程序，它们之间有一定的调用关系
R : PRP 1 2, P 3 RP 4, P 4 RP 5, P 5 RP 2, P 2 RP 6, P 3 RP 1
这个关系是集合 p P1 P2 ...P6 上的关系， 有 R P , P , P , P , P , P , P , P , P , P , P , P
A B C 1, a, , 1, a, , 1, b, , 1, b, , 2, a, , 2, a, , 2, b, , 2, b,
a与1间存在关系R记aR1 b与1间存在关系R记bR1 c与2间存在关系R记cR2 d与2间存在关系R记dR2 e与3间存在关系R记eR3 e与3间存在关系R记eR3
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4.2关系及运算——关系
定理 若 C≠Ø，则 A B （A C B C） （C A C B） 定理 设 A，B，C，D 为四个非空集合， 则 A B C D 的充要条件为 A C，B D。
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其中、
A 0,1
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liu qun, northeastern Univ.
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4.1笛卡儿积与二元关系——笛卡尔积
Sets
集合
定理 设A，B，C为任意三个集合，则有 a) A×（B∪C）=（A×B）∪（A×C）； b) A×（B∩C）=（A×B）∩（A×C）； c)（A∪B）×C=（A×C）∪（B×C）； d)（A∩B）×C=（A×C）∩（B×C）。
例设有六个程序，它们之间有一定的调用关系
R : PRP 1 2, P 3 RP 4, P 4 RP 5, P 5 RP 2, P 2 RP 6, P 3 RP 1
这个关系是集合 p P1 P2 ...P6 上的关系， 有 R P , P , P , P , P , P , P , P , P , P , P , P
A B C 1, a, , 1, a, , 1, b, , 1, b, , 2, a, , 2, a, , 2, b, , 2, b,
3_4_序偶与笛卡儿集[8页]
![3_4_序偶与笛卡儿集[8页]](https://img.taocdn.com/s3/m/3c399debd0d233d4b04e6915.png)
3.4.2 笛卡儿集
(4) 笛卡儿积对交和并运算满足分配律，即 ① A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C) ② (B∪C)×A = (B×A)∪(C×A) ③ A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C) ④ (B∩C)×A = (B×A)∩(C×A)
[例3-16] 求证：(1) 若A、B、C、D非空，则A⊆C且B⊆D⇔ A×B⊆ C×D 。 (2) 若C≠ Ø，则A⊆B⇔ A×C⊆ B×C⇔ C×A⊆C×B 。
<x1, x2, ... , xn>= <<x1, x2, ... , xn-1>, xn> 一般情况下，<x1, x2, ... , xn>≠ <x1,< x2, ... , xn-1, xn> 。
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
3.4.2 笛卡儿集
[定义：笛卡儿集] 若A、B是集合，它们构成的笛卡儿积是一个序偶集合，序偶 的第一元素取自于A，而第二个元素取自于B，记作A×B ，即
3.4.2 笛卡儿集
[离散直角坐标系] 对于有限的笛卡儿积，显然有 | A×B |= |A|×|B| 。如果A=B=R， 笛卡儿积R×R 就是平面直角坐标系。故一般的笛卡儿积等同于“离散的直角坐 标系”。 [笛卡儿积的证明方法] 与简单集合类似，笛卡儿积部分的主要问题还是证明集
合包含。不过，笛卡儿积的元素是序偶，故证明A×B⊆ C×D 仍是从定义出发，
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
3.4.1 序偶与元组
[定义：序偶相等] 两个序偶相等：<x, y>=<a, b>，当且仅当x=a 且y=b 。 [例3-14] 若<2x+2, y>=<2y, x-y>，求x和y。 [n元组] n个元素组成的有序集合，记作<x1, x2, ... , xn>，其含义是：
二元关系
不具备任何性质；
8.3 关系的性质
自反性； 传递性； 对称性；
反自反性； 传递性； 反对称性；
8.3 关系的性质
反自反性； 反对称性；
反自反性； 传递性； 反对称性；
8.3 关系的性质
例 设 系， 判断它们的性质。 是定义在 是定义在 上的二元关 上的二元关系，试
自反性； 传递性； 对称性； 反对称性；
的子集中的元素都是序偶，因此，任何序偶的
集合均是一个二元关系。
8.1 二元关系及其表示法 四、二元关系
设有一序偶 对 有关系 有关系 。 ，如果 ，则把这一事实记为 ，则记为 ，读作 对 没 ，读作
8.1 二元关系及其表示法 四、二元关系
称 为
的前域， 为
的后域，
满足
称 为
的定义域， 为
的值域，记为
8.1 二元关系及其表示法 四、二元关系
通常情况下研究的关系是两个集之间元素与元素之间的关 系或者是一个集合内部两个元素之间的关系，称为二元关系， 定义如下： 定义 设 从 到 由于 为两个非空集合， 为 的任何一个子集 所 是 定义的二元关系称为 到 的二元关系，称 的二元关系，简称关系。如 上的二元关系。
（1）用集合方法求 （2）用关系图法求 （3）用关系矩阵求
8.2 关系的运算 二、关系的复合运算
R S A B C 1。 。1 。1 2。 。2 。2 3。 。3 。3 。4 4。 。4 关系矩阵求法为： R。S
A 1。 2。 3。 4。
C 。1 。2 。3 。4
8.2 关系的运算 二、关系的复合运算
定理 设 则
是有限集合，且
， 是
上的二元关系，
8.2 关系的运算 四、关系运算的性质
离散数学：第3讲 序偶与笛卡尔积
任一序偶<x,y>可记作<x,y>R或xR/ y
2020/12/29
序偶与笛卡尔积
25
二元关系举例
例1: R1={<1,2>,<,>,<a,b>} R1是二元关系.
例2: R2={<1,2>,<3,4>,<白菜,小猫>} R2是二元关系.
例3: A={<a,b>,<1,2,3>,a,,1} A不是关系. #
AB={<1,2>},
BA={<2,1>}.
2020/12/29
序偶与笛卡尔积
11
笛卡尔积非结合性
非结合: (AB)C A(BC) (除非 A= B= C=)
反例: A=B=C={1}. (AB)C={<<1,1>,1>}, A(BC)={<1,<1,1>>}.
AB= A=B=等
2020/12/29
2020/12/29
序偶与笛卡尔积
15
消去律
设A,B,C是任意集合, 若C, 则AC BC AB CA CB AB
2020/12/29
序偶与笛卡尔积
16
消去律(证明)
若 C, 则AC BC AB. 证明(续): ()若A=,则AC=BC.
设 A. <x,y>, <x,y>AC xAyC
2020/12/29
序偶与笛卡尔积
6
笛卡尔积(Cartesian product)
笛卡尔积 : 令A和B是任意两个集合，若 序偶的第一个成员是A中的元素，第二个 成员是B中的元素，所有这些序偶组成的 集合称为集合A和B的笛卡尔积或卡氏积， 记作A B。
2020/12/29
序偶与笛卡尔积
25
二元关系举例
例1: R1={<1,2>,<,>,<a,b>} R1是二元关系.
例2: R2={<1,2>,<3,4>,<白菜,小猫>} R2是二元关系.
例3: A={<a,b>,<1,2,3>,a,,1} A不是关系. #
AB={<1,2>},
BA={<2,1>}.
2020/12/29
序偶与笛卡尔积
11
笛卡尔积非结合性
非结合: (AB)C A(BC) (除非 A= B= C=)
反例: A=B=C={1}. (AB)C={<<1,1>,1>}, A(BC)={<1,<1,1>>}.
AB= A=B=等
2020/12/29
2020/12/29
序偶与笛卡尔积
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消去律
设A,B,C是任意集合, 若C, 则AC BC AB CA CB AB
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序偶与笛卡尔积
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消去律(证明)
若 C, 则AC BC AB. 证明(续): ()若A=,则AC=BC.
设 A. <x,y>, <x,y>AC xAyC
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序偶与笛卡尔积
6
笛卡尔积(Cartesian product)
笛卡尔积 : 令A和B是任意两个集合，若 序偶的第一个成员是A中的元素，第二个 成员是B中的元素，所有这些序偶组成的 集合称为集合A和B的笛卡尔积或卡氏积， 记作A B。
二、序偶与笛卡儿积
例题2
例题 设A,B为两个集合，若A∩B≠ ，则 (A∩B)×(A∪B)⊆(A×A)∪(B×B) 证明 x,y, <x,y>(A∩B)×(A∪B) x(A∩B)∧y(A∪B) (xA∧xB)∧(yA∨yB) (xA∧xB∧yA)∨(xA∧xB∧yB) (xA∧yA)∨(xB∧yB) (<x,y>A×A)∨(<x,y>B×B) <x,y>(A×A)∪(B×B)
×对∩、∪的分配律
定理3-4.1 笛卡儿积在并与交上可分配律 设A，B，C是任意三个集合，则有 (1)A×（B∪C）＝（A×B）∪（A×C） (2)A×（B∩C）＝（A×B）∩（A×C） (3)(A∪B）×C＝（A×C）∪（B×C） (4)(A∩B）×C＝（A×C）∩（B×C） <x,y>∈A×B x∈A∧y∈B 运用×的定义和 数理逻辑中的等 价式进行证明
方法总结
方法总结
1. 等价的证明 A⊆ B （ A × C ⊆ B × C ） （ A × C ⊆ B × C ） A⊆ B 2. “包含”的证明 区分是什么样的集合之间的包含，以待证明的结论来定。 3. 定义出发，数理逻辑中的方法
例题
例题：设A、B、C、D为四个任意集合， 则判断下列命题真假： • 若A⊆C，B⊆D ，则A×B⊆C×D
∴A×（B∪C）＝（A×B）∪（A×C）
定理证明
定理3-4.2 若C≠ ， 则 A⊆ B ⇔ A × C ⊆ B × C ⇔ C × A ⊆ C × B 证A⊆B⇔ C×A ⊆ C×B 证明：当A⊆B，对任意<x,y>设 <x,y>∈C×A ⇔(x∈C ∧y∈A) (x∈C ∧y∈B) <x,y>∈C×B ∴ A⊆ B C × A ⊆ C × B 反之，当C×A⊆C×B，因为C≠ ，设y ∈C，则当 x∈A (y∈C ∧x∈A) ⇔ <y,x>∈C×A <y,x>∈C×B ⇔(y∈C∧x∈B) x∈B ∴ C × A ⊆ C × B A⊆ B 故 A⊆ B⇔ C× A ⊆ C× B
离散数学有序对与笛卡尔积
(1)对任意集合A，根据定义有 A×＝, ×A＝.
(2)一般，笛卡儿积运算不满足交换律，即 A×B≠B×A(当 A≠ ∧ B≠ ∧ A≠B 时)。
(3)笛卡儿积运算不满足结合律，即 (A×B)×C≠A×(B×C)(当 A≠∧B≠∧C≠ 时)。
(4)笛卡儿积运算对并和交运算满足分配律，即 A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C). (B∪C)×A=(B×A)∪(C×A). A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C). (B∩C)×A=(B×A)∩(C×A).
解答 (1) 不A×一B定＝。＝当AA×＝C，，但B＝B≠{1C}.,C＝{2}时，有 (2) 不一定。当ห้องสมุดไป่ตู้=B={1},C＝{2}时，有 A(-A(-BB)××C)(＝A-{C1)}＝–{<×1,{21>}}＝＝{1.}, (3) 为真。由等量代入的原理可证。 (4) 为真。当A＝时，有 A A×A 成立。
例2
例2 设A={1,2},求P(A)×A.
解答
P(A)×A ＝{,{1},{2},{1,2}}×{1,2} ＝{<,1>,<,2>, <{1},1>,<{1},2>, <{2},1>,<{2},2>, <{1,2},1>,<{1,2},2>}.
例3
例3 A，B，C，D为任意集合，以下命题是否为真?理由? (1) A×B＝A×C B＝C, (2) A-(B×C)＝(A-B)×(A-C), (3) A＝B∧C＝D A×C＝B×D, (4) 存在集合A，使得A A×A.
笛卡尔积举例
举例 设A={a,b}, B={0,1,2}，则 A×B={<a,0>,<a,1>,<a,2>,<b,0>,<b,1>,<b,2>}. B×A={<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>}.
(2)一般，笛卡儿积运算不满足交换律，即 A×B≠B×A(当 A≠ ∧ B≠ ∧ A≠B 时)。
(3)笛卡儿积运算不满足结合律，即 (A×B)×C≠A×(B×C)(当 A≠∧B≠∧C≠ 时)。
(4)笛卡儿积运算对并和交运算满足分配律，即 A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C). (B∪C)×A=(B×A)∪(C×A). A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C). (B∩C)×A=(B×A)∩(C×A).
解答 (1) 不A×一B定＝。＝当AA×＝C，，但B＝B≠{1C}.,C＝{2}时，有 (2) 不一定。当ห้องสมุดไป่ตู้=B={1},C＝{2}时，有 A(-A(-BB)××C)(＝A-{C1)}＝–{<×1,{21>}}＝＝{1.}, (3) 为真。由等量代入的原理可证。 (4) 为真。当A＝时，有 A A×A 成立。
例2
例2 设A={1,2},求P(A)×A.
解答
P(A)×A ＝{,{1},{2},{1,2}}×{1,2} ＝{<,1>,<,2>, <{1},1>,<{1},2>, <{2},1>,<{2},2>, <{1,2},1>,<{1,2},2>}.
例3
例3 A，B，C，D为任意集合，以下命题是否为真?理由? (1) A×B＝A×C B＝C, (2) A-(B×C)＝(A-B)×(A-C), (3) A＝B∧C＝D A×C＝B×D, (4) 存在集合A，使得A A×A.
笛卡尔积举例
举例 设A={a,b}, B={0,1,2}，则 A×B={<a,0>,<a,1>,<a,2>,<b,0>,<b,1>,<b,2>}. B×A={<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>}.
二元关系ppt
3.关系的复合运算与关系的逆运算之间 的运算规律.
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6 2023/9/6
第四节 关系的性质
本节我们讨论关系的一些常见性质，主要内 容是:
1.给出了关系的自反性、对称性、反对称性、 传递性的定义;
2.给出了关系的自反性、对称性、反对称性、 传递性等在关系矩阵及关系图上的反应，其 中用关系矩阵及关系图来判断传递性较为困 难;
3.讨论了关系的各种运算对上述特性的影响.
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7 2023/9/6
第五节 关系的闭包(1)
我们希望某个关系具有比较好的性质，比如我 们希望它具有自反性，对称性，传递性.但如 果该关系又不具有上述性质，那么我们就要对 该关系进行适当的改造，即在该关系中适当添 加一些元素得到一个新的关系，使这个新关系 具有我们需要的性质，同时新关系与原来的关 系不要相差得太多，这样就要求我们添加的元 素既要使新关系满足要求又要尽可能地少添加 元素.通过适当添加元素来扩充原关系,使得到 的具有我们需要的性质的新关系称为原关系的 闭包，我们通常考虑关系的三种闭包，即自反 闭包，对称闭包，传递闭包.
第七节 偏序关系
数的大小，集合中元素的排列次序，计算机程 序的执行顺序等都牵涉到次序关系，这些在数 学上都表现为序关系的研究,本节主要内容有:
1.具有自反性、反对称性、传递性的关系称为偏 序关系;
2.偏序关系的简化关系图—哈斯图,哈斯图与原 图的关系是一种压缩与解压缩的关系;
3.由两个偏序关系构造新的偏序关系方法(如书 中定理2.7.1);
3.关系的复合运算与关系的逆运算之间 的运算规律.
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5 2023/9/6
第三节 复合关系与逆关系
本节讨论关系的复合运算与逆运算极其 性质;主要考虑了下列问题:
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6 2023/9/6
第四节 关系的性质
本节我们讨论关系的一些常见性质，主要内 容是:
1.给出了关系的自反性、对称性、反对称性、 传递性的定义;
2.给出了关系的自反性、对称性、反对称性、 传递性等在关系矩阵及关系图上的反应，其 中用关系矩阵及关系图来判断传递性较为困 难;
3.讨论了关系的各种运算对上述特性的影响.
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7 2023/9/6
第五节 关系的闭包(1)
我们希望某个关系具有比较好的性质，比如我 们希望它具有自反性，对称性，传递性.但如 果该关系又不具有上述性质，那么我们就要对 该关系进行适当的改造，即在该关系中适当添 加一些元素得到一个新的关系，使这个新关系 具有我们需要的性质，同时新关系与原来的关 系不要相差得太多，这样就要求我们添加的元 素既要使新关系满足要求又要尽可能地少添加 元素.通过适当添加元素来扩充原关系,使得到 的具有我们需要的性质的新关系称为原关系的 闭包，我们通常考虑关系的三种闭包，即自反 闭包，对称闭包，传递闭包.
第七节 偏序关系
数的大小，集合中元素的排列次序，计算机程 序的执行顺序等都牵涉到次序关系，这些在数 学上都表现为序关系的研究,本节主要内容有:
1.具有自反性、反对称性、传递性的关系称为偏 序关系;
2.偏序关系的简化关系图—哈斯图,哈斯图与原 图的关系是一种压缩与解压缩的关系;
3.由两个偏序关系构造新的偏序关系方法(如书 中定理2.7.1);
3.关系的复合运算与关系的逆运算之间 的运算规律.
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5 2023/9/6
第三节 复合关系与逆关系
本节讨论关系的复合运算与逆运算极其 性质;主要考虑了下列问题:
离散数学-3-4 序偶与笛卡儿积
AXA？BXB？
4
二、笛卡尔积
如果A，B都是有限集，|A|= n，|B|= m，根据排列组合原理， |A×B|=nm=|A||B|。
例 设 A=a,b，B=1,2,3， ⑴试求A×B和B×A ⑵验证|A×B|=|A||B|和|B×A|=|B||A| 解：⑴求A×B和B×A A×B=<a,1>,<a,2>,<a,3>,<b,1>,<b,2>,<b,3> B×A=<1,a>,<1,b>,<2,a>, <2,b>,<3,a>, <3,b> ⑵验证|A×B|=|A||B|和|B×A|=|B||A| |A×B|=6=2×3=|A||B| |B×A|=6=3×2=|B||A|
P102 定理 定理3-4.1 笛卡儿积对∪或∩运算满足分配 律，即
（1）A×（B∪C）=（A×B）∪（A×C） （2）A×（B∩C）=（A×B）∩（A×C） （3）（A∪B）×C=（A×C）∪（B×C） （4）（A∩B）×C=（A×C）∩（B×C） *推广 （A∪B）×（C ∪D）=？
6
二、笛卡尔积
即当xy例平面直角坐标系中的点112三元组是序偶其第一个元素本身也是一个序偶可形式化为xyz序偶概念可以推广到n元组n3是一个有序对其中第一个元素为n1元的有序对一个有序的n元组记作y的元素可以分属于不同的集合因此对给定的集ab可以定义一种新的集合运算积运算
第三章 集合与关系
3-4 序偶与笛卡儿积 授课人：李朔 Email:chn.nj.ls@
1
一、序偶
生活中许多事物是成对出现的,并且这种成对出现的事物 生活中许多事物是成对出现的 并且这种成对出现的事物 有一定的顺序。（选课，任课，住宿） 。（选课 有一定的顺序。（选课，任课，住宿） 一般的说，两个具有固定顺序的客体组成一个序偶， 一般的说，两个具有固定顺序的客体组成一个序偶，它常 常表达两个客体间的关系。序偶包含两个元素， 常表达两个客体间的关系。序偶包含两个元素，但它们有 确定的次序。 确定的次序。 P101 定义 定义3-4.1（1）由两个元素x, y（允许x=y）按一定 （ ） 顺序排成的二元组称有序对（序偶），记为<x, y> <x, y>。称为 序偶。 序偶 定义3-4.1（2）两个序偶相等 序偶相等，即 定义 （ ） 序偶相等
(09)序偶与笛卡尔积-关系及其表示(2011-04-12-[34])
![(09)序偶与笛卡尔积-关系及其表示(2011-04-12-[34])](https://img.taocdn.com/s3/m/3a5f8ff3f61fb7360b4c659a.png)
2012年6月26日星期二 26 18
例题：
设 若 X = {1,2,3,4}
H { x , y | x y 2 Z }, S { x , y | x y 3 Z}
求 H∪S, H∩S, ~H, S-H 解： H ＝ { <1,1>, <1,3>, <2,2>, <2,4>, <3,1>, <3,3>, <4,2>, <4,4>} ~H＝{ <1,2>, <1,4>, <2,1>, <2,3>, <3,2>, <3,4>, <4,1>, <4,3>}
2012年6月26日星期二
26
9
笛卡尔积-性质
对于任意集合A，A× ＝ ，×A ＝ 笛卡尔积运算不满足交换律： 当 A≠, B≠, A≠B时, A×B ≠ B×A 笛卡尔积运算不满足结合律： 当 A, B, C均非空时, (A×B)×C ≠ A×(B×C)
2012年6月26日星期二
26
2012年6月26日星期二 26 5
结论
(1) (2) 如A，B均是有限集，|A| ＝ m，|B| ＝ n， 则必有 |A×B| ＝ mn 一般说，A×B 与 B×A 不相等， 即集合的笛卡尔积运算，不满足交换律
当 A = B 时，A×B 可以记作 A2
2012年6月26日星期二
26
6
推广
〈n个集合笛卡尔积的定义〉A1, A2, …, An是n个集合，记 A1×A2×…×An＝{<x1, x2, …, xn>|xi Ai, i = 1, 2, …, n}， 称为这n个集合的笛卡尔积。 当 A1 ＝ A2 ＝ … ＝ An 时，记 A×A×…×A ＝ An。
例题：
设 若 X = {1,2,3,4}
H { x , y | x y 2 Z }, S { x , y | x y 3 Z}
求 H∪S, H∩S, ~H, S-H 解： H ＝ { <1,1>, <1,3>, <2,2>, <2,4>, <3,1>, <3,3>, <4,2>, <4,4>} ~H＝{ <1,2>, <1,4>, <2,1>, <2,3>, <3,2>, <3,4>, <4,1>, <4,3>}
2012年6月26日星期二
26
9
笛卡尔积-性质
对于任意集合A，A× ＝ ，×A ＝ 笛卡尔积运算不满足交换律： 当 A≠, B≠, A≠B时, A×B ≠ B×A 笛卡尔积运算不满足结合律： 当 A, B, C均非空时, (A×B)×C ≠ A×(B×C)
2012年6月26日星期二
26
2012年6月26日星期二 26 5
结论
(1) (2) 如A，B均是有限集，|A| ＝ m，|B| ＝ n， 则必有 |A×B| ＝ mn 一般说，A×B 与 B×A 不相等， 即集合的笛卡尔积运算，不满足交换律
当 A = B 时，A×B 可以记作 A2
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推广
〈n个集合笛卡尔积的定义〉A1, A2, …, An是n个集合，记 A1×A2×…×An＝{<x1, x2, …, xn>|xi Ai, i = 1, 2, …, n}， 称为这n个集合的笛卡尔积。 当 A1 ＝ A2 ＝ … ＝ An 时，记 A×A×…×A ＝ An。
序偶与笛卡尔积
<3， >} AA={<， >，<， >，<，>，<， >} BB={<1，1>，<1，2>，<1，3>，<2，1>，<2，2>，
<2，3>，<3，1>，<3，2>，<3，3>}
(AB)(BA)= 若A、B均是有限集，|A|=m，|B|=n，则
|AB|=mn。
一、序偶和笛卡尔积的概念
都为0分）
1. 功能实现占70%（第一题占40%、第二题 占30%），界面占30%
2.采用黑盒和白盒相结合的方法
2、定义3-4.1：两个序偶相等，<x，y>=<u，v>， 当且仅当x=u且y=v。
一、序偶和笛卡尔积的概念
3、有序３元组：
是一个序偶，其第一元素本身也是一个序偶，表示为<<x，y>， z>或<x，y，z>。
4、有序n元组：
有序n元组也是一个序偶，其第一元素是一个n-1元组。< <x1， x2，…， xn-1> ，xn>，通常简记为：<x1，x2，…， xn-1，xn>， 其中xi称作它的第i坐标，i=1，2，…，n。
则aA，bB，且aA，bC，则bBC。
所以<a，b>A(BC)，所以(AB)(AC)A(BC) 由以上两条有：A(BC)(AB)(AC)
5、定理3-4.2：对于任意集合A、B、C，若C，则 AB ACBC CACB
证明：设ACBC 。xA，因C ，任取y C ，有 <x，y>AC，因为ACBC， 所以<x，y>BC所以xB，所以AB
<2，3>，<3，1>，<3，2>，<3，3>}
(AB)(BA)= 若A、B均是有限集，|A|=m，|B|=n，则
|AB|=mn。
一、序偶和笛卡尔积的概念
都为0分）
1. 功能实现占70%（第一题占40%、第二题 占30%），界面占30%
2.采用黑盒和白盒相结合的方法
2、定义3-4.1：两个序偶相等，<x，y>=<u，v>， 当且仅当x=u且y=v。
一、序偶和笛卡尔积的概念
3、有序３元组：
是一个序偶，其第一元素本身也是一个序偶，表示为<<x，y>， z>或<x，y，z>。
4、有序n元组：
有序n元组也是一个序偶，其第一元素是一个n-1元组。< <x1， x2，…， xn-1> ，xn>，通常简记为：<x1，x2，…， xn-1，xn>， 其中xi称作它的第i坐标，i=1，2，…，n。
则aA，bB，且aA，bC，则bBC。
所以<a，b>A(BC)，所以(AB)(AC)A(BC) 由以上两条有：A(BC)(AB)(AC)
5、定理3-4.2：对于任意集合A、B、C，若C，则 AB ACBC CACB
证明：设ACBC 。xA，因C ，任取y C ，有 <x，y>AC，因为ACBC， 所以<x，y>BC所以xB，所以AB
二元关系
例 1 设 A {a1, a2} ，B={b1, b2 , b3 , b4} C {c1, c2 , c3} ， R1 是从 A 到 B 的 二 元 关 系 ， R2 是 从 B 到 C 的 二 元 关 系 ，
R1 { a1 , b1 , a1 , b2 , a2 , b3 } ， R2 { b4 , c1 , b4 , c2 , b2 , c2 , b3 , c3 } ，求 R1 R2
则称 M R (mij ) nm 为 R 的关系矩阵
（3）关系图表示法 定义 4-18 设 A {a1 , a2 ,, an } ，R 是 A 上的二元关系， A 中每个元素 a i 用一个点表示，称该点为顶点 a i ，如果 则画条从顶点 a i 到顶点 a j 的带箭头的线， 称该线 ai Ra j ， 为弧;如果 ai Rai ， 则画一条从顶点 a i 到 ai 的带箭头封闭的 弧，称为该弧为环，对于关系 R 中每个有序对都可对应 把画一条带箭头的弧，从而得到关系 R 的图形，称为 R 的关系图。
4．关系的性质 （3）对称性：对任意 a, b A ，如果有 aRb ，必 有 bRa ，则称 R 是对称的。 （4） 反对称性： 对任意 a, b A ， 如果 aRb 且 bRa ， 必有 a b ，则称 R 是反对称的。
4．关系的性质 （5）传递性：对任意 a, b, c A ，如果 aRb 且 bRc ， 必有 aRc ，则称 R 是传递的。 例如， { 1, 2 , 2,3 , 1,3 } ； { 1, 2 , 1,3 } ；
二、关系的概念与表示
3．关系的表示法 （1）集合表示法 （2）关系矩阵表示法 定义 4-12 设 A 是有限集 A {a1 , a2 ,, an } ， R是 A 上的二元关系，令：
ch3--4序偶与笛卡尔积
定义3.4.2 给定两个有序偶<x, y>和<u, v>。 给定两个有序偶 定义 和 。 当且仅当x=u和y=v时，有序偶<x, y>和<u, v>相等， 相等， 当且仅当 和 时 有序偶 和 相等 亦即 <x, y>=<u, v> iff (x=u)∧(y=v) ∧ 可将有序偶推广到 元有序组 可将有序偶推广到n元有序组： 它的第一分量是 偶推广到 元有序组： (n-1)元有序组，并记为 元有序组， 元有序组 或记为 类似地定义两个n元有序组相等： 类似地定义两个 元有序组相等： 元有序组相等
3.4 序偶与笛卡尔积
笛卡尔积与无序积在后面讨论关系和图论时， 笛卡尔积与无序积在后面讨论关系和图论时， 都有重要应用。 都有重要应用。 首先引入有序偶和无序偶的概念。 首先引入有序偶和无序偶的概念。 定义3.4.1 两个元素 组成二元组，若它们有次 两个元素a,b组成二元组 组成二元组， 定义 序之别，称为二元有序组，或有序偶，记为<a, b>， 序之别，称为二元有序组，或有序偶 记为 ， 为第一分量， 为第二分量； 为第二分量 称a为第一分量，b为第二分量； 为第一分量 若它们无次序区分，称为二元无序组，或无序偶 若它们无次序区分，称为二元无序组，或无序偶, 记为(a, 。 记为 b)。 若a≠b时，<a, b>≠<b, a>。但(a, b)=(b, a)。 ≠ 时 ≠ 。 。
iff
下面将使用有序偶和无序偶 下面将使用有序偶和无序偶分别定义 笛卡儿积和无序积。
定义3.4.3 给定集合 和B，若有序偶的第一分量 给定集合A和 ，若有序偶 定义 的元素， 的元素， 是A的元素，第二分量是 的元素，所有这些有 的元素 第二分量是B的元素 的集合，称为A和 的笛卡 的笛卡尔 序偶的集合，称为 和B的笛卡尔积， 记为A× ， 记为 ×B， A×B={<x,y>|x∈A∧y∈B} × ∈ ∧ ∈ 定义3.4.4 给定集合 和B，若无序偶是由 中元 给定集合A和 ，若无序偶是由A中元 定义 素和B中元素组成 所有这些无序偶的集合， 中元素组成， 素和 中元素组成，所有这些无序偶的集合， 称为A和 的无序积 记为A&B。 的无序积， 称为 和B的无序积，记为 。 A&B={(x,y)|x∈A∧y∈B} ∈ ∧ ∈
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2. 笛卡儿积（直积） 定义3 笛卡尔积（Cartesian Products） 令A、B是任意两个 集合，若序偶的第一成员是A的元素，第二成员是B的元素， 所有这样的序偶组成的集合， 称为集合A和B的笛卡尔乘积或直积。记作A×B。 A×B＝｛<x，y>| (x∈A)∧(y∈B) ｝ 笛卡尔积是 集合，以序 偶为元素！
因为，对x, xA，y, yB,有 (xA) ∧(y∈B) ⇔ <x,y>∈A×B <x,y>∈C×D ⇔(xC) ∧(y∈D) 故， A⊆C，B⊆D
例题2
例题 设A,B为两个集合，若A∩B≠ ，则 (A∩B)×(A∪B)⊆(A×A)∪(B×B)
证明 x,y, <x,y>(A∩B)×(A∪B) x(A∩B)∧y(A∪B) (xA∧xB)∧(yA∨yB) (xA∧xB∧yA)∨(xA∧xB∧yB) (xA∧yA)∨(xB∧yB) (<x,y>A×A)∨(<x,y>B×B) <x,y>(A×A)∪(B×B)
笛卡尔积举例
例: A＝｛a，b｝，B＝｛1，2，3｝， 求A×B，B×A和（A×B）∩（B×A）。
解： A×B＝｛<a，1>，<a，2>，<a，3>，<b，1>，<b，2>，<b，3>｝ B×A＝｛<1，a>，<1，b>，<2，a>，<2，b>，<3，a>，<3笛卡尔积不 ，b>｝
？
（A×B）∩（B×A）＝
定义2： 两个序偶相等，<x,y>=<u,v>, 当且仅当 x=u, y=v。
n元组
三元组 <x, y, z> = <<x, y>，z >， 第一元素是一个序偶。
<x,y,z>≠<x,<y,z>>
n元组 <x1,…, xn> = <<x1 ,…, xn－1>，xn>是一个序偶。
第一元素是(n1)元序偶
3-4 序偶与笛卡儿积
{a,b}={b,a} <a,b>≠<b,a>
1. 序偶 定义1： 序偶（Ordered Pair） 两个具有固定次序的客体组 成的集合，记作 <x,y>。(x称为第一元素，y称为第二元素) 例如： <上,下>、<父,子>、<F,0>、二维平面上点的坐标等。
注意： （1）序偶与集合不同，其元素具有次序。 （2）序偶<x,y>的两个元素可以来自同一集合，也可来自不同 集合。
满足交换律
满足结合律吗？（A×B）×C ≠ A×（B×C） A=B=C＝呢 A=B=C≠呢
(A×B)×C={<<a,b>,c>|<a,b>∈A×B∧c∈C} ={<a,b,c>|a∈A∧b∈B∧c∈C} A×(B×C)={<a,<b,c>>|a∈A∧<b,c>∈B×C} 非三元组
注意：|A×B×…×An ＝（A1×A2×…×An-1）×An ＝｛<x1,x2,…,xn>|(x1∈A1)∧(x2∈A2)∧…∧(xn∈An)｝
分配率证明
证明
(1) A×（B∪C）＝（A×B）∪（A×C）
<x,y>∈A×（B∪C）
证明：设任一序偶<x,y>∈A×（B∪C），则
⇔(x∈A) ∧ (y∈B∪C) ⇔(x∈A)∧（y∈B∨y∈C） ⇔(x∈A ∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C) ⇔ <x,y>∈A×B∨<x,y>∈A×C ⇔ <x,y>∈（A×B）∪（A×C）
∴A×（B∪C）＝（A×B）∪（A×C）
定理证明
定理3-4.2 若C≠ ， 则 A⊆B⇔ A×C⊆B×C ⇔ C×A⊆C×B 证A⊆B⇔ C×A ⊆ C×B 证明：当A⊆B，对任意<x,y>设 <x,y>∈C×A ⇔(x∈C ∧y∈A) (x∈C ∧y∈B) <x,y>∈C×B ∴A⊆B C × A ⊆ C × B 反之，当C×A⊆C×B，因为C≠ ，设y ∈C，则当 x∈A (y∈C ∧x∈A) ⇔ <y,x>∈C×A <y,x>∈C×B ⇔(y∈C∧x∈B) x∈B ∴ C×A ⊆ C×B A⊆B 故 A⊆B⇔ C×A ⊆ C×B
方法总结
方法总结
1. 等价的证明 A⊆B （A×C⊆B×C） （A×C⊆B×C） A⊆B 2. “包含”的证 明 区分是什么样的集合之间的包含，以待证明的结论来定。 3. 定义出发，数理逻辑中的方法
例题
例题：设A、B、C、D为四个任意集合， 则判断下列命题真假： • 若A⊆C，B⊆D ，则A×B⊆C×D
为真，P104 定理3-4.3
• 若A×B⊆C×D，则A⊆C，B⊆D。 为假，若A或B为空集 证明 若A⊆C，B⊆D ，对x, y,设 <x,y>∈A×B ⇔(x∈A ∧y∈B) (x∈C ∧y∈D) ⇔ <x,y>∈C×D 故， A×B⊆C×D
若A、B、C、D为四个非空集合，则A×B⊆C×D A⊆C，B⊆D
故， (A∩B)×(A∪B)⊆(A×A)∪(B×B) 作业： P105 (2),
(3)a, d, (5)
×对∩、∪的分配律
定理3-4.1 笛卡儿积在并与交上可分配律 设A，B，C是任意三个集合，则有 (1)A×（B∪C）＝（A×B）∪（A×C）
(2)A×（B∩C）＝（A×B）∩（A×C）
(3)(A∪B）×C＝（A×C）∪（B×C）
(4)(A∩B）×C＝（A×C）∩（B×C）
<x,y>∈A×B x∈A∧y∈B 运用×的定义和 数理逻辑中的等 价式进行证明