二序偶与笛卡儿积(精)
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3-4 序偶与笛卡儿积
{a,b}={b,a} <a,b>≠<b,a>
1. 序偶 定义1： 序偶（Ordered Pair） 两个具有固定次序的客体组 成的集合，记作 <x,y>。(x称为第一元素，y称为第二元素) 例如： <上,下>、<父,子>、<F,0>、二维平面上点的坐标等。
注意： （1）序偶与集合不同，其元素具有次序。 （2）序偶<x,y>的两个元素可以来自同一集合，也可来自不同 集合。
满足交换律
满足结合律吗？（A×B）×C ≠ A×（B×C） A=B=C＝呢 A=B=C≠呢
(A×B)×C={<<a,b>,c>|<a,b>∈A×B∧c∈C} ={<a,b,c>|a∈A∧b∈B∧c∈C} A×(B×C)={<a,<b,c>>|a∈A∧<b,c>∈B×C} 非三元组
注意：|A×B|=|A|×|B| ×A＝B× ＝ n元笛卡儿积 A1×A2×…×An ＝（A1×A2×…×An-1）×An ＝｛<x1,x2,…,xn>|(x1∈A1)∧(x2∈A2)∧…∧(xn∈An)｝
方法总结
方法总结
1. 等价的证明 A⊆B （A×C⊆B×C） （A×C⊆B×C） A⊆B 2. “包含”的证 明 区分是什么样的集合之间的包含，以待证明的结论来定。 3. 定义出发，数理逻辑中的方法
例题
例题：设A、B、C、D为四个ຫໍສະໝຸດ Baidu意集合， 则判断下列命题真假： • 若A⊆C，B⊆D ，则A×B⊆C×D
为真，P104 定理3-4.3
• 若A×B⊆C×D，则A⊆C，B⊆D。 为假，若A或B为空集 证明 若A⊆C，B⊆D ，对x, y,设 <x,y>∈A×B ⇔(x∈A ∧y∈B) (x∈C ∧y∈D) ⇔ <x,y>∈C×D 故， A×B⊆C×D
若A、B、C、D为四个非空集合，则A×B⊆C×D A⊆C，B⊆D
因为，对x, xA，y, yB,有 (xA) ∧(y∈B) ⇔ <x,y>∈A×B <x,y>∈C×D ⇔(xC) ∧(y∈D) 故， A⊆C，B⊆D
例题2
例题 设A,B为两个集合，若A∩B≠ ，则 (A∩B)×(A∪B)⊆(A×A)∪(B×B)
证明 x,y, <x,y>(A∩B)×(A∪B) x(A∩B)∧y(A∪B) (xA∧xB)∧(yA∨yB) (xA∧xB∧yA)∨(xA∧xB∧yB) (xA∧yA)∨(xB∧yB) (<x,y>A×A)∨(<x,y>B×B) <x,y>(A×A)∪(B×B)
故， (A∩B)×(A∪B)⊆(A×A)∪(B×B) 作业： P105 (2),
(3)a, d, (5)
2. 笛卡儿积（直积） 定义3 笛卡尔积（Cartesian Products） 令A、B是任意两个 集合，若序偶的第一成员是A的元素，第二成员是B的元素， 所有这样的序偶组成的集合， 称为集合A和B的笛卡尔乘积或直积。记作A×B。 A×B＝｛<x，y>| (x∈A)∧(y∈B) ｝ 笛卡尔积是 集合，以序 偶为元素！
分配率证明
证明
(1) A×（B∪C）＝（A×B）∪（A×C）
<x,y>∈A×（B∪C）
证明：设任一序偶<x,y>∈A×（B∪C），则
⇔(x∈A) ∧ (y∈B∪C) ⇔(x∈A)∧（y∈B∨y∈C） ⇔(x∈A ∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C) ⇔ <x,y>∈A×B∨<x,y>∈A×C ⇔ <x,y>∈（A×B）∪（A×C）
定义2： 两个序偶相等，<x,y>=<u,v>, 当且仅当 x=u, y=v。
n元组
三元组 <x, y, z> = <<x, y>，z >， 第一元素是一个序偶。
<x,y,z>≠<x,<y,z>>
n元组 <x1,…, xn> = <<x1 ,…, xn－1>，xn>是一个序偶。
第一元素是(n1)元序偶
笛卡尔积举例
例: A＝｛a，b｝，B＝｛1，2，3｝， 求A×B，B×A和（A×B）∩（B×A）。
解： A×B＝｛<a，1>，<a，2>，<a，3>，<b，1>，<b，2>，<b，3>｝ B×A＝｛<1，a>，<1，b>，<2，a>，<2，b>，<3，a>，<3笛卡尔积不 ，b>｝
？
（A×B）∩（B×A）＝
×对∩、∪的分配律
定理3-4.1 笛卡儿积在并与交上可分配律 设A，B，C是任意三个集合，则有 (1)A×（B∪C）＝（A×B）∪（A×C）
(2)A×（B∩C）＝（A×B）∩（A×C）
(3)(A∪B）×C＝（A×C）∪（B×C）
(4)(A∩B）×C＝（A×C）∩（B×C）
<x,y>∈A×B x∈A∧y∈B 运用×的定义和 数理逻辑中的等 价式进行证明
∴A×（B∪C）＝（A×B）∪（A×C）
定理证明
定理3-4.2 若C≠ ， 则 A⊆B⇔ A×C⊆B×C ⇔ C×A⊆C×B 证A⊆B⇔ C×A ⊆ C×B 证明：当A⊆B，对任意<x,y>设 <x,y>∈C×A ⇔(x∈C ∧y∈A) (x∈C ∧y∈B) <x,y>∈C×B ∴A⊆B C × A ⊆ C × B 反之，当C×A⊆C×B，因为C≠ ，设y ∈C，则当 x∈A (y∈C ∧x∈A) ⇔ <y,x>∈C×A <y,x>∈C×B ⇔(y∈C∧x∈B) x∈B ∴ C×A ⊆ C×B A⊆B 故 A⊆B⇔ C×A ⊆ C×B
{a,b}={b,a} <a,b>≠<b,a>
1. 序偶 定义1： 序偶（Ordered Pair） 两个具有固定次序的客体组 成的集合，记作 <x,y>。(x称为第一元素，y称为第二元素) 例如： <上,下>、<父,子>、<F,0>、二维平面上点的坐标等。
注意： （1）序偶与集合不同，其元素具有次序。 （2）序偶<x,y>的两个元素可以来自同一集合，也可来自不同 集合。
满足交换律
满足结合律吗？（A×B）×C ≠ A×（B×C） A=B=C＝呢 A=B=C≠呢
(A×B)×C={<<a,b>,c>|<a,b>∈A×B∧c∈C} ={<a,b,c>|a∈A∧b∈B∧c∈C} A×(B×C)={<a,<b,c>>|a∈A∧<b,c>∈B×C} 非三元组
注意：|A×B|=|A|×|B| ×A＝B× ＝ n元笛卡儿积 A1×A2×…×An ＝（A1×A2×…×An-1）×An ＝｛<x1,x2,…,xn>|(x1∈A1)∧(x2∈A2)∧…∧(xn∈An)｝
方法总结
方法总结
1. 等价的证明 A⊆B （A×C⊆B×C） （A×C⊆B×C） A⊆B 2. “包含”的证 明 区分是什么样的集合之间的包含，以待证明的结论来定。 3. 定义出发，数理逻辑中的方法
例题
例题：设A、B、C、D为四个ຫໍສະໝຸດ Baidu意集合， 则判断下列命题真假： • 若A⊆C，B⊆D ，则A×B⊆C×D
为真，P104 定理3-4.3
• 若A×B⊆C×D，则A⊆C，B⊆D。 为假，若A或B为空集 证明 若A⊆C，B⊆D ，对x, y,设 <x,y>∈A×B ⇔(x∈A ∧y∈B) (x∈C ∧y∈D) ⇔ <x,y>∈C×D 故， A×B⊆C×D
若A、B、C、D为四个非空集合，则A×B⊆C×D A⊆C，B⊆D
因为，对x, xA，y, yB,有 (xA) ∧(y∈B) ⇔ <x,y>∈A×B <x,y>∈C×D ⇔(xC) ∧(y∈D) 故， A⊆C，B⊆D
例题2
例题 设A,B为两个集合，若A∩B≠ ，则 (A∩B)×(A∪B)⊆(A×A)∪(B×B)
证明 x,y, <x,y>(A∩B)×(A∪B) x(A∩B)∧y(A∪B) (xA∧xB)∧(yA∨yB) (xA∧xB∧yA)∨(xA∧xB∧yB) (xA∧yA)∨(xB∧yB) (<x,y>A×A)∨(<x,y>B×B) <x,y>(A×A)∪(B×B)
故， (A∩B)×(A∪B)⊆(A×A)∪(B×B) 作业： P105 (2),
(3)a, d, (5)
2. 笛卡儿积（直积） 定义3 笛卡尔积（Cartesian Products） 令A、B是任意两个 集合，若序偶的第一成员是A的元素，第二成员是B的元素， 所有这样的序偶组成的集合， 称为集合A和B的笛卡尔乘积或直积。记作A×B。 A×B＝｛<x，y>| (x∈A)∧(y∈B) ｝ 笛卡尔积是 集合，以序 偶为元素！
分配率证明
证明
(1) A×（B∪C）＝（A×B）∪（A×C）
<x,y>∈A×（B∪C）
证明：设任一序偶<x,y>∈A×（B∪C），则
⇔(x∈A) ∧ (y∈B∪C) ⇔(x∈A)∧（y∈B∨y∈C） ⇔(x∈A ∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C) ⇔ <x,y>∈A×B∨<x,y>∈A×C ⇔ <x,y>∈（A×B）∪（A×C）
定义2： 两个序偶相等，<x,y>=<u,v>, 当且仅当 x=u, y=v。
n元组
三元组 <x, y, z> = <<x, y>，z >， 第一元素是一个序偶。
<x,y,z>≠<x,<y,z>>
n元组 <x1,…, xn> = <<x1 ,…, xn－1>，xn>是一个序偶。
第一元素是(n1)元序偶
笛卡尔积举例
例: A＝｛a，b｝，B＝｛1，2，3｝， 求A×B，B×A和（A×B）∩（B×A）。
解： A×B＝｛<a，1>，<a，2>，<a，3>，<b，1>，<b，2>，<b，3>｝ B×A＝｛<1，a>，<1，b>，<2，a>，<2，b>，<3，a>，<3笛卡尔积不 ，b>｝
？
（A×B）∩（B×A）＝
×对∩、∪的分配律
定理3-4.1 笛卡儿积在并与交上可分配律 设A，B，C是任意三个集合，则有 (1)A×（B∪C）＝（A×B）∪（A×C）
(2)A×（B∩C）＝（A×B）∩（A×C）
(3)(A∪B）×C＝（A×C）∪（B×C）
(4)(A∩B）×C＝（A×C）∩（B×C）
<x,y>∈A×B x∈A∧y∈B 运用×的定义和 数理逻辑中的等 价式进行证明
∴A×（B∪C）＝（A×B）∪（A×C）
定理证明
定理3-4.2 若C≠ ， 则 A⊆B⇔ A×C⊆B×C ⇔ C×A⊆C×B 证A⊆B⇔ C×A ⊆ C×B 证明：当A⊆B，对任意<x,y>设 <x,y>∈C×A ⇔(x∈C ∧y∈A) (x∈C ∧y∈B) <x,y>∈C×B ∴A⊆B C × A ⊆ C × B 反之，当C×A⊆C×B，因为C≠ ，设y ∈C，则当 x∈A (y∈C ∧x∈A) ⇔ <y,x>∈C×A <y,x>∈C×B ⇔(y∈C∧x∈B) x∈B ∴ C×A ⊆ C×B A⊆B 故 A⊆B⇔ C×A ⊆ C×B