巧解钟表上的角度问题
时钟问题巧解-三种类型解题方法以及角度巧解ppt课件
例5
现在的钟面时间如图甲所示，经过多长时间， 时针与分针到“4”的距离第一次相等？
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例5
现在的钟面时间如图甲所示，经过多长时间，时针与 分针到“4”的距离第一次相等？ 解析：假设4点时时针和分针同时出发，相向而行，那么 就会在图乙中分针所在的位置“相遇”。此题就转化为相 遇问题。在这个相遇过程中，时针和分针共同行走的路 程是20小格，分针的速度是每分钟走1小格，时针的速 度是每分钟走1/12小格，用路程和÷速度和=相遇时间。
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解题
360º÷12×3=90º.....3大格所对应的角度 0.5º×50=25º......时针从1：00-1：50这50分
钟所形成的角度。 90º+25º=115º......1时50分的时刻，时针与分
针的夹角度数。 答。。。
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练习
3、吃过晚饭，小明一家出去散步，他们出门前钟 面显示7点多，他们回来后钟面显示也是7点多， 且两次钟面上时针与分针都恰好位于一条直线上： 请问他们散步用了多长时间？
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例3
在4点与5点之间，时针和分针在什么时刻位于 一条直线上？
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例3
在4点与5点之间，时针和分针在什么时刻位于 一条直线上？ 解析：时针和分针位于一条直线上，要分两钟情 况来考虑： 时针和分针重合 时针和分针成180º角
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例4
在钟面上，1时50分的时刻，时针与分针的夹 角是多少度？
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例4
1、时针分针重合：（点数*5）/（1-1/12） 2、时针分针成直角（画图根据情况用公式）：
3点前：（点数*5+15）/（1-1/12） 3点后：（点数*5-15）/（1-1/12） 3、时针分针在一条直线上： 6点前：（点数*5+30）/（1-1/12） 6点后：（点数*5-30）/（1-1/12）
巧解钟表问题
巧解钟表问题在学习角的运算时，同学们都遇到过许多有关钟表的时针和分针的夹角问题。
对于这类问题，大多数同学常常感到无从下手。
下面介绍几种推算的方法，以达到快速解答这类题目的目的。
准备知识：一个圆周360 ，被分成12个格，每格30 ，也即钟表每走一小时，时针转过的角度为30 ；同时圆周又分成60个小格，每小格6 ，也即每走一分钟，分针转过的角度为6 。
例1．当钟表显示3点整时，时针与分针的夹角是多少度？三点半呢？3点40分呢？ 解：（本题和下面几题所说的时针转过的角度、分针转过的角度都是与12点时的位置相比较转过的角度）（1）3点整时时针转过的角度为：330⨯ ＝90 ，分针转过的角度为：00⨯ ＝0。
∴时针与分针的夹角为900- ＝90 。
（2）三点半时，时针转过的角度为：13302⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ ＝105 ，分针转过的角度为：306⨯ ＝180。
∴时针与分针的夹角为105180- ＝75 。
（3）3点40分时，时针转过的角度为：4033060⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭＝110 ，分针转过的角度为：406⨯ ＝240 。
∴时针与分针的夹角为110240- ＝130 。
规律：时针与分针的夹角＝时针转过的角度－分针转过的角度。
例2．下午5点20分到6点半，时针转过的角度是多少？解：5点20时针转过的角度为：2053060⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭＝160 ，6点半时针转过的角度为：16302⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭＝195 。
∴下午5点20分到6点半时针转过的角度是160195- ＝35 。
规律：时针转过的角度等于两次时针转过的角度差的绝对值。
例3．从5点12分到5点34分，分针转过的角度是多少？解：5点12分分针转过的角度为：126⨯ ＝72 ，5点34分分针转过的角度为：346⨯＝204 。
∴分针转过的角度是72204- ＝132 。
规律：分针转过的角度等于两次分针转过的角度的差的绝对值。
例4．4点与5点之间，钟面上时针与分针何时重合？分析：钟面上时针与分针所转的角度相等时，时针与分针重合。
钟表角度问题解题技巧
钟表角度问题解题技巧钟表角度问题是数学中常见的几何问题，涉及到时针、分针和秒针之间的角度关系。
以下是一些解决钟表角度问题的技巧：1. 了解钟表的结构：钟表通常由时针、分针和秒针组成，每根指针以不同的速度移动。
时针每小时移动 30 度，分针每分钟移动 6 度，秒针每秒钟移动 6 度。
2. 利用时针和分针的关系：在钟表上，时针和分针之间的夹角可以通过计算它们之间的时间差来确定。
例如，如果时间为 3 点 30 分，时针和分针之间的夹角为 30 度（因为时针已经走过了 3 个小时，而分针已经走过了30 分钟，即半个小时，所以它们之间的夹角为30 度）。
3. 使用角度的加减法：在解决钟表角度问题时，可以使用角度的加减法来计算指针之间的夹角。
例如，如果要计算时针和分针之间的夹角，可以将时针的角度和分针的角度相减。
4. 注意特殊情况：在一些特殊情况下，时针和分针之间的夹角可能不是整数。
例如，在 1 点 50 分，时针和分针之间的夹角不是 50 度，而是 25 度（因为时针已经走过了 1 个小时又 50 分钟，即 1 又 5/6 小时，所以它与 12 点的夹角为 30×1+30×5/6=55 度，而分针与 12 点的夹角为 6×50/60=5 度，因此它们之间的夹角为 55-5=50 度）。
5. 画图辅助理解：在解决钟表角度问题时，可以通过画图来帮助理解和计算。
画出钟表的表盘，并标出时针、分针和秒针的位置，可以更直观地看出它们之间的夹角关系。
通过掌握以上技巧，可以更好地解决钟表角度问题。
练习不同类型的问题，加深对时针、分针和秒针之间角度关系的理解，将有助于提高解决这类问题的能力。
中考数学复习指导：常见钟表问题的解法
常见钟表问题的解法纵观近年全国各地的中考试卷，此类问题也经常出现，我们不妨称之为“钟表问题”．本文拟从几个方面说明钟表问题的常见类型及其解法．一、求钟面角1．求时针与分针的夹角例1 6点15分时，时针与分针的夹角为_______．思路点拨找出分针与时针之间的格数，再乘以30°即可．解∵时针在钟面上每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，∴6时15分钟时，时针与分针之间有3个整格；同时，时针在6的左侧14处，即与6的夹角为7.5°，∴6时15分钟时分针与时针的夹角3×30°＋7.5°＝97.5°．故在6点15分，时针和分针的夹角为97.5°．2．求时针或分针旋转的角度例2 由2点15分钟到2点30分时钟的分针转过的角是_______．思路点拨算出分针1分钟转过的角，再乘以时间即可，解∵分针1分钟转过6°，∴2点15分到2点30分分针转过的角是6°×15＝90°．二、与轴对称相结合解题例3 小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是( )思路点拨根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置应关于过12时、6时的直线成轴对称．解实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点．那么，8点的时钟在镜子中看来应该是4点的样子，所以应该是C或D答案之一．这两个答案中更接近八点的应该是第四个图形，故选D．三、利用函数图象解题例4 时钟在正常运行时，时针和分针的夹角会随着时间的变换而变化．设时针与分针的夹角为y度，运行时间为t分，当时间从3：00开始到3：30止，图中能大致表示y 与t之间的函数关系的图象是( )（C）（D）思路点拨根据分针从3：00开始到3：30过程中，时针与分针夹角先减小，一直到重合，再增大到75°，即可得出符合要求的图象．解当3：00时，y＝90°；当3：30时，时针在3和4中间位置，故时针与分针夹角为：y＝75°．又∵分针从3：00开始到3：30过程中，时针与分针夹角先减小，一直到重合；再增大到75°，所以只有D符合要求．故选D．例5 小华观察钟面（如图1），了解到钟面上的分针每小时旋转360度，时针每小时旋转30度．他为了进一步研究钟面上分针与时针的旋转规律，从下午2：00开始对钟面进行了一个小时的观察．为了研究方便，他将分针与时针原始位置OP(图2)的夹角记为），，度，时针与原始位置OP的夹角记为y2度（夹角是指不大于平角的角），旋转时间记为t分钟，观察结束后，他利用所得数据绘制成图象(图3)，并求出了y 1与t 的函数关系式： ()()1603063603060t t y t t ⎧≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩请你完成： (1)求出图3中y 2与t 的函数关系式；(2)直接写出A 、B 两点的坐标，并解释这两点的实际意义；(3)若小华继续观察一小时，请你在图3中补全图象．思路点拨 (1)分针每分钟转过的角度是6°，据此即可列出函数解析式；(2)求出两个函数的交点坐标即可；(3)分针会再转一圈，与第一个小时的情况相同，是一个循环，而时针OP 的夹角增大的速度与第一个小时相同，即函数图象向右延伸．(3)补全图象如图4．四、与解直角三角形结合解题例6 图5表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10cm．如图6，若此钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16cm，则钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度为_______cm．思路点拨根据当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分，得出AD＝10；进而得出A'C＝16，从而得出A'A"＝3，得出答案即可．解连结A'A"（如罔7）易知AD＝10，∴A'C＝16，∴AD＝A'O＝6．则钟面显示3点50分时．∠A"OA'＝30°，∴A'A"＝3，∴A点距桌面的高度为：16＋3＝19(公分)五、与圆结合解题例7 一只时钟，它的分针长40厘米．这根分针的尖端转动一周所走的路程是多少厘米？思路点拨分针的尖端转动一周所路程正好是以分针的长度为半径的圆长，利用圆周长的计算公式计算即可．解∵r＝40．∴C＝2πr＝2×40π＝80π(厘米)。
知识拓展：钟表上的角度问题
钟表上的角度问题在学习过程中，我们常会遇到与钟表上的角度有关的数学问题，部分学生在解决这类问题时感到困难大，若能仅从时针、分针转动所成的角度入手解决则较容易．我们知道，时针、分针转动一周都经过12大格或60小格．因此，每小时时针转动30°，每分钟分针转动6°．这样我们可以分别计算时针、分针转动的角度，然后求解．下面就常见的类型加以说明．一、求时针、分针的夹角．例1在5点整时，时针与分针所成的夹角是多少度解：5点整时，时针转过了30°×5=150°，分针转过为0°，其度差为150°-0°=150°∴时针与分针的夹角是150°．例26点40分时，时针与分针的夹角是多少度解：6点40分时，时针转过了（66040）×30°=200°，分针转过了40×6°=240°，其度差为240°-200°=40°，∴时针与分针的夹角是40°．例31点54分时，时针与分针的夹角是多少度解：1点54分时，时针转过了（16054）×30°=57°，分针转过了54×6°=324°，其度差为324°-57°=267°，（大于180°）∴时针与分针的夹角是360°-267°=93°．二、求时针与分针的重合时间．例412点后，时针与分针何时首次重合解：时针与分针重合其度差为0°，若设时y 分时针与分针重合，则时针转了︒⨯+30)60(y x ，分针转了6y 度，则有 30（60y ）-6y=0．整理得y=1160，当=1时，得y=1160．∴时针与分针首次重合为1时1160分． 例5在3点至4点间，时针与分针何时重合解：设3点y 分时，时针与分针重合，则时针转过（360y ）×30度，分针转过6y 度，∴06)603(30=-+⋅y y 。
钟表上的角度问题
一、整点时刻两针的夹角 例1 求下午4时，时针与分针之间的夹角
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分析： 下午4时，时针指在4上，分针指在12上，于是可求 出它们之间的夹角.
解：4点整时，时针转过了30°×4=120°， 分针转过为0°， 其度差为 120°－0°=120°， ∴时针与分针的夹 6点40分时,时针与分针的夹角是多少度 2 解:6点40分时,时针转过了 (6 )×30°=200°, 3 分针转过了40×6°=240°, 其度差为240°-200°=40°, ∴时针与分针的夹角是40°.
练习： 1、钟表上2时15分时，时针与分针所形成的锐角的度数是多少？ 2、1点54分时,时针与分针的夹角是多少度 ？ 三、时针与分针分别转过的角度 例3 若时针由2点30分走到2点55分，问时针、分针各转过多大 角度？
分析: 弄清时针、分针每分钟各转过多少度即可求解.
解: 因为时针由2点30分走到2点55分，历经25分钟，
时钟上角度大小的计算问题
时钟钟面上的时针和分针之间的夹角问题，历来是许多同学求解的困惑问 题之一，事实上，只要同学们能弄清时针、分针之间的关系： 时针 1小时转1大格 1小时转30° 1分钟转0.5° 分针 1小时转12大格 1小时转360° 1分钟转6°
分针转的角度为：分钟数×6°； 时针转的角度为：小时数×30°＋分钟数×0.5°
0.5°×(55－30)＝0.5°×25＝12.5°， 所以时针转过的角度为：
或：30°×
55 30 60
=12.5°
分针转过的角度为： 6°×(55－30)＝6°×25＝150°，
七年级上册数学钟面问题
七年级上册数学钟面问题一、时针与分针的夹角问题。
1. 3点整时，时针与分针的夹角是多少度？- 解析：钟面一圈为360°，钟面被分成12个大格，所以每一个大格的角度为360÷12 = 30^∘。
3点整时，时针指向3，分针指向12，中间有3个大格，所以夹角为3×30 = 90^∘。
2. 4点30分时，时针与分针的夹角是多少度？- 解析：分针走30分钟，转了半圈，即180^∘。
时针每小时走一个大格，即30^∘，那么半小时时针走了30÷2=15^∘。
4点时，时针与分针夹角为4×30 = 120^∘，4点30分时，夹角为180 - (120 + 15)=45^∘。
3. 9点15分时，时针与分针的夹角是多少度？- 解析：分针15分钟转了15×6 = 90^∘（因为分针每分钟转6^∘）。
时针每小时转30^∘，15分钟是(15)/(60)=(1)/(4)小时，时针9点15分转了9×30+(1)/(4)×30 = 270 + 7.5=277.5^∘。
所以夹角为277.5 - 90=187.5^∘。
4. 5点20分时，时针与分针的夹角是多少度？- 解析：分针20分钟转了20×6 = 120^∘。
时针每小时转30^∘，20分钟是(1)/(3)小时，时针5点20分转了5×30+(1)/(3)×30=150 + 10 = 160^∘。
所以夹角为160 - 120 = 40^∘。
5. 2点40分时，时针与分针的夹角是多少度？- 解析：分针40分钟转了40×6 = 240^∘。
时针每小时转30^∘，40分钟是(2)/(3)小时，时针2点40分转了2×30+(2)/(3)×30 = 60+20 = 80^∘。
所以夹角为240 - 80 = 160^∘。
二、时针与分针重合问题。
6. 时针与分针在12点整重合，下一次重合是什么时间？- 解析：分针每分钟转6^∘，时针每分钟转0.5^∘。
时钟问题巧解-三种类型解题方法以及角度巧解
3月3日
基础知识回顾
1、时、分、秒之间的基本换算，弄清时针和分针 的行走速度： 按“时”算，分针每小时走60小格，时针每小时走
5小格，分针比时针多走了55小格。 按“分”算，分针每分钟走1小格，时针每分钟走
1/12小格，分针每分钟比时针多走11/12小格。
公式应用（画图根据实际情况分析）
LOREM IPSUM DOLOR
4、现在是8点整，再经过多长时间，时针和分针将第一 次在一条直线上？ 5、时针和分针每隔多少时间重合一次？一昼夜重合多少 次？ 6、4时整时，时针与分针的夹角是多少度（指小于180º 的角）？ 7、在钟面上，8时25分的时刻，时针与分针的夹角是多少 度（指小于180º的角）？
例3
在4点与5点之间，时针和分针在什么时刻位于 一条直线上？
例3
在4点与5点之间，时针和分针在什么时刻位于 一条直线上？ 解析：时针和分针位于一条直线上，要分两钟情 况来考虑： 时针和分针重合 时针和分针成180º角
例4
在钟面上，1时50分的时刻，时针与分针的夹 角是多少度？
例4
在钟面上，1时50分的时刻，时针与分针的夹 角是多少度？ 解析：在钟面上，1大格对应的角度是 360º÷12=30º，3大格对应的是90º. 分针每小时走一圈，每分钟走360º÷60=6º，时针 每分钟走6º的1/12，是0.5º.“多的一些”就是时 针从1点整开始走到1点50分这50分钟形成的角度。
例5
现在的钟面时间如图甲所示，经过多长时间， 时针与分针到“4”的距离第一次相等？
例5
现在的钟面时间如图甲所示，经过多长时间，时针与 分针到“4”的距离第一次相等？ 解析：假设4点时时针和分针同时出发，相向而行，那么 就会在图乙中分针所在的位置“相遇”。此题就转化为相 遇问题。在这个相遇过程中，时针和分针共同行走的路 程是20小格，分针的速度是每分钟走1小格，时针的速 度是每分钟走1/12小格，用路程和÷速度和=相遇时间。
时钟问题巧解-三种类型解题方法以及角度巧解PPT
：
➢ 3点前：（点数*5+15）/（1-1/12） ➢ 3点后：（点数*5-15）/（1-1/12） ➢ 3、时针分针在一条直线上： ➢ 6点前：（点数*5+30）/（1-1/12）
例1
➢ 从7点整开始，再经过多少分钟，时针正好 和分钟重合？
例1
➢ 从7点整开始，再经过多少分钟，时针正好 和分钟重合？
➢ 解析：钟面一周有60小格，分针在时针后面35 小格，要追及的路程就是35小格，分针每分钟 走1小格，时针每分钟走1/12小格，分针每分 钟可以追赶11/12小格。最后用：“路程÷速度 差=追赶的时间”来计算。
练习
➢ 1、从5点整开始，再经过多少分钟，时针 正好和分针重合？
时钟问题
3月3日
基础知识回顾
➢ 1、时、分、秒之间的基本换算，弄清时针和 分针的行走速度：
按“时”算，分针每小时走60小格，时针每小时 走5小格，分针比时针多走了55小格。
按“分”算，分针每分钟走1小格，时针每分钟走 1/12小格，分针每分钟比时针多走11/12小格。
公式应用（画图根据实际情 况分析）
LOREM IPSUM DOLOR
➢ 8、6点过多少分，时针与分针到“6”的距离第 一次相等？
➢ 9、8点到9点之间，在什么 360º÷12×3=90º.....3大格所对应的角度
➢ 0.5º×50=25º......时针从1：00-1：50这 50分
➢
钟所形成的角度。
➢ 90º+25º=115º......1时50分的时刻，时针 与分
➢
针的夹角度数。
练习
巧解钟表问题——计算分针与时针夹角的度数
３ｏ Ｉ ５ ，Ｉ ６。一 ３ 一 ．．。 Ｏ ５ （ Ⅱ） 我们发现用公式 （Ｉ） （ ） 、 Ⅱ 去求某一 时刻时针与分针的夹 角 的度 数已无须考虑时针在前还是分针在前 了 ， 但是 ， 还须考虑两 针
的夹 角是否大于平角 。那么 ， 能否找到一个 无须判 断两针夹角是否 大于平角 的公式呢？ 借于这样 的出发点 ， 经过反复思考与探索 ， 综上 （Ｉ ） （Ⅱ ） 得 ： 、 可 （ ｖ ＝ ８。一ｌ８ 。一 Ｏ 一 ．ｖｌ ｌ ，） １Ｏ ０ １ ５５ 。 １ ３ （Ⅲ ） 其 中 ＝ ， ， ， ，１ ０ ｌ２ … ，９ （ ，） ０ １２ … ｌ ， ， ，， ５ ， ｙ 表示 时 ｙ 时 分 两 针 的夹 角 。 下面结合具体 剜题谈谈公式 的应用 ： １根据具体 时刻求时针与分针的夹角 例 １（ ） ： １ 当时间是 ２点 ３ 分时时 针和分针的夹角是 ２ 度。 （ 当时间是 ２点 ５ ２） ０分时， 时针和分针的夹 角是 — — 度。 解法一 ： １ 时针每小时转动 １ （） 大格 ， ３ 。， 即 Ｏ 所以每分转Ｏ５ ， ．。 而分针每分转 ６ 当时针指 向整点时， 。， 分针指 向 １ 。因此 ， ２时 我们 以指向 １ 点作为角 的始边 ， ２ ３ 分 时， ２ 在 点 ２ 时针与 １ 点构成的角 ２ 度是 ２×３ 。＋ Ｏ ３×２ ．。＝ ６ ，分针 与 ｌ Ｏ５ ７ 。 ２点构成角度是 ３ 。 ２ｘ６ ＝ ９ 。从 而’ ３ 分时＇ 针与分针的夹角是 １ ２ 一 ６ ＝１６ １２ ２时 ２ 日 寸 ９。 ７ ｏ １。。 （ 当时针 与分针所转过 的角度差 大于 １ｏ ２） ８ ｏ这 需要用３ ０ ６。 减去这个 角。例如 ： ５ ２点 ０分时，按上述方法求得的角是 ６ ×５ 一 。 ０ （ Ｏ × ＋ ． × ０ ＝ ０ ｏ一 ５ ２ ５ 显然不合 要求 ， ３ 。 ２ Ｏ 。 ５ ） ３ ０ ８ 。＝ １ 。， ５ 其夹角
专训2巧解时针与分针的夹角问题
专训2巧解时针与分针的夹角问题利用时间求角度类型1按固定时间求角度1．观察常用时钟，回答下列问题：(1)早晨7时整，时针和分针构成多少度的角？(2)时针多长时间转一圈？它转动的速度是每小时多少度？(3)从7：00到7：40，分针转动了多少度？类型2按动态时间求角度2．小华是个数学迷，最近他在研究钟面角(时针与分针组成的角)问题，他想和大家一起来讨论相关问题．(1)分针每分钟转6度，时针每分钟转________度；(2)如图①的钟面角为________度，如图②的钟面角为________度．(第2题)(3)12：00时，时针和分针重合，至少经过多长时间会再次出现时针和分针重合的现象？此时，时针和分针各转动了多少度？【导学号：11972077】利用角度求时间(方程思想)3．如图，观察时钟，解答下列问题．(1)在2时和3时之间什么时刻，时针和分针的夹角为直角？(2)小明下午五点多有事外出时，看到墙上钟面的时针和分针的夹角为90°，下午不到六点回家时，发现时针与分针的夹角又为90°，那么小明外出了多长时间？(第3题)4．同学们，日常生活中，我们几乎每天都要看钟表，它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，其中蕴涵着丰富的数学知识．(第4题)(1)如图①，上午8：00这一时刻，时钟上分针与时针所夹的角等于________；(2)请在图②中大致画出8：20这一时刻时针和分针的位置，思考并回答：从上午8：00到8：20，时钟的分针转过的度数是________，时钟的时针转过的度数是________；(3)“元旦”这一天，某地区某中学七年级部分学生上午八点多集中在学校门口准备去步行街进行公益服务，临出发时，组长一看钟表，时针与分针正好是重合的，下午两点多他们回到学校，进校门时，组长看见钟表的时针与分针方向相反，正好成一条直线，那么你知道他们去步行街进行公益服务共用了多长时间吗？通过计算加以说明．答案1．解：(1)早晨7时整，时针和分针中间相差5个大格．因为每个大格为30°，所以早晨7时整，分针和时针的夹角是5×30°＝150°，即早晨7时整，时针和分针构成150°的角．(2)由时钟可知时针12小时转一圈，一圈是360°，所以360°÷12＝30°.答：时针12小时转一圈，它转动的速度是每小时30°.(3)(360°÷60)×40＝240°，答：分针转动了240°.2．解：(1)0.5 (2)30；22.5(3)设至少经过x 分钟会再次出现时针与分针重合的现象，则6x －0.5x ＝360，解得x ＝72011， 即至少经过72011分钟会再次出现时针与分针重合的现象． 72011×0.5°＝⎝⎛⎭⎫36011° 72011×6°＝(4 32011)° 即时针转了⎝⎛⎭⎫36011°，分针转了⎝⎛⎭⎫4 32011°. 3．解：(1)设从2时经过x 分，分针与时针的夹角为直角，依题意，有(x －10－112x)×6°＝90°，解得x ＝30011. 答：在2时30011分时，时针和分针的夹角为直角． (2)设小明外出了y 分钟，则时针走了0.5y 度，分针走了6y 度．根据题意，列方程为6y ＝90＋0.5y ＋90，解得y ＝36011. 答：小明外出了36011分钟． 点拨：在钟表问题中，常利用时针与分针的转动度数关系：分针每分钟转动6°，时针每分钟转动0.5°，并且结合起点时时针和分针的位置关系建立角的数量关系．4．解：(1)120°；(2)画图略.120°；10°；(3)设上午8点x 分出发，下午2点y 分回到学校，则(12－1)×x 60×30°＝8×30°，解得x ＝48011，(12－1)×y 60×30°－2×30°＝180°，解得y ＝48011，所以，共用了6小时．。
钟表角度万能公式
钟表角度万能公式
一、钟表时针与分针的运动规律。
1. 时针。
- 时针每小时走一大格，因为整个钟面为360^∘，钟面共12个大格，所以时针每小时走360÷12 = 30^∘。
- 那么时针每分钟走30÷60=0.5^∘。
2. 分针。
- 分针每5分钟走一大格，所以分针每分钟走360÷60 = 6^∘。
设m点n分的时候，时针与分针的夹角为α。
1. 首先计算时针从m点开始又走了n分钟所转过的角度，时针每分钟走0.5^∘，所以时针从m点开始又走了0.5n^∘。
2. 分针n分钟转过的角度为6n^∘。
3. 时针在m点的时候，时针与12点方向的夹角为30m^∘。
- 则α=|30m + 0.5n-6n|=|30m - 5.5n|
例如，求3点20分的时候时针与分针的夹角。
这里m = 3，n=20，根据公式α=|30×3 - 5.5×20|=|90 - 110| = 20^∘。
时钟问题解题方法
时钟问题解题方法引言时钟问题是数学中一类有意思且常见的问题。
这类问题通常要求我们计算时钟指针在给定时间内经过的角度。
本文将介绍几种解决时钟问题的方法，包括几何法、代数法和分析法。
几何法几何法是解决时钟问题最直观的方法之一。
它利用几何图形中的角度概念来计算时钟指针所经过的角度。
方法一：角度转化法1.将整个表盘看作一个圆，表盘上有12个小时刻度和60个分钟刻度。
计算时针、分针和秒针分别指向的刻度点所对应的角度。
2.根据给定的时间，计算时针、分针和秒针分别指向的刻度点所对应的角度。
3.通过减法计算时针、分针和秒针指向的刻度点所对应的角度差。
4.如果得到的角度差为负数，则将其转化为正数。
5.最后，将求得的角度差取绝对值，即可得到时钟指针在给定时间内经过的角度。
方法二：时针分针夹角法1.将整个表盘看作一个圆，表盘上的刻度点和表心构成一个等边三角形。
2.利用三角形的性质，计算时针和分针构成的夹角。
3.通过减法计算得到的夹角。
4.将求得的夹角取绝对值，即可得到时钟指针在给定时间内经过的角度。
代数法代数法是解决时钟问题的另一种常用方法。
它通过设置变量和方程来表示时钟指针所处的位置和时间，通过求解方程来计算时钟指针所经过的角度。
方法一：代数方程法1.假设表盘上12点对应的角度为0度，表盘上的刻度点与12点之间均匀分布，时针、分针和秒针分别指向的刻度点所对应的角度分别为x、y和z。
2.根据时钟指针的运动规律，可以推导出以下方程：–x = (h * 30) + (m * 0.5) + (s * (1/120))–y = (m * 6) + (s * (1/10))–z = s * 63.其中，h、m和s分别表示小时、分钟和秒钟。
4.根据给定的时间，代入相应的数值，求解方程组，即可得到时钟指针在给定时间内经过的角度。
分析法分析法是解决时钟问题的一种较为高级的方法。
它通过分析时钟指针的运动规律和周期性来计算时钟指针所经过的角度。
提分练习：巧解钟面时针与分针的夹角问题
《提分练习8 巧解钟面时针与分针的夹角问题》典例剖析例 从3：15到7：45，时针转过了多少度？解题秘方：（1）公式法：时（分）针从某一时刻到另一时刻转过的角度=时（分）针转过的时间×时（分）针的转速（注意统一单位）.（2）观察法：若时（分）针从某一时刻到另一时刻转过了a 大格b 小格，则时（分）针转过的角度为：306a b ︒⨯+︒⨯.解：方法一 从3：15到7：45，时针走过的时间为4.5时（或270分），所以时针转过的角度为4.530135⨯︒=︒（或2700.5135⨯︒=︒）.方法二 时针共走了4大格2.5小格.所以时针转过的角度为：430 2.56135⨯︒+⨯︒=︒.分类训练应用1 计算从某一时刻到另一时刻，时针（分针）转过的角度1.求从1：45到2：05这段时间内，分针转过的角度.应用2 计算某一时刻时针（分针）与分针（秒针）之间的夹角2.作差法：以0点（12点）为基准到某一时刻止，时针转过的角度与分针在整点后的时间转过的角度差，即时针、分针之间的夹角.观察法：某一时刻时针、分针相差a 个大格b 个小格，时针、分针的夹角306a b =︒⨯+︒⨯.（1）4：00，时针、分针的夹角为 .（2）11：40，时针、分针的夹角为 .应用3 求时针、分针成特殊角时对应的时间3.方程思想：时针、分针成特殊角时对应的时间问题通常以0点（12点）为基准将时针、分针所转过的角度看成一个追及问题，从而借助方程进行求解. 你能用一元一次方程解决下面的问题吗？如图，在3时和4时之间的哪个时刻，钟表的分针与时针：（1）重合；（2）成平角；（3）成直角.4.小华是个数学迷，最近他在研究钟面角（时针与分针组成的角）问题，他想和大家一起来讨论相关问题（1）分针每分转6度，时针每分转度.（2）如图①的钟面角为度，如图②的钟面角为度.（3）12：00时，时针和分针重合，至少经过多长时间会再次出现时针和分针重合的现象？此时时针和分针各转动了多少度？5.日常生活中，我们几乎每天都要看钟表，它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，其中蕴涵着丰富的数学知识.（1）如图①，上午8：00这一时刻，时钟上分针与时针所夹的角等于. （2）请在图②中大致画出8：20这一时刻时针和分针的位置，思考并回答：从上午8：00到上午8：20，时钟的分针转过的度数是，时钟的时针转过的度数是.（3）元旦这一天，某地区某中学七年级部分学生上午八点多在学校门口集合准备去步行街进行公益服务，临出发时，组长一看钟表，时针与分针正好是重合的，下午两点多他们回到学校，进校门时，组长看见钟表的时针与分针方向相反，正好成一条直线，那么你知道他们去步行街进行公益服务共用了多长时间吗？通过计算加以说明.应用4 求与钟面上的秒针、分针有关的三角形面积6.在一个圆形时钟的表面，OA表示秒针，OB表示分针（O为两针的旋转中心），若现在时间恰好是12点整，问经过多少秒后，△OAB的面积第一次达到最大？参考答案1.答案：见解析解析：方法一 从1:45到2:05,分针走过的时间为20分, 所以分针转过的角度为206120⨯︒=︒.方法二 分针共走了4大格(或20小格),所以分针 转过的角度为430120⨯︒=︒或（206120⨯︒=︒）.2.答案：(1)120︒(2)110︒点拨：(1)4:00,时针、分针相差4个大格,夹角为430120⨯︒=︒.(2)①作差法:11:40,以0点(12点)为基准,时针转过的角度为211303503⨯︒=︒,分针转过的角度为406240⨯︒=︒,所以时针、分针的夹角为350240110︒-︒=︒.②观察法:11:40,分针、时针相隔233个大格. 所以时针、分针的夹角为23301103⨯︒=︒. 3.答案：见解析解析：(1)设3时x 分时针、分针重合,3时整,时针、分针的夹角为90︒,即在后x 分,分针要比时针多走90︒,分针才能与时针重合.从3时整到3时x 分,分针走过(6)x ︒,时针走过(0.5)x ︒,依题意有60.590x x -=, 解得41611x =.所以在3时41611分,分针与时针重合. (2)设3时y 分时针、分针成平角,即在后y 分,分针先要多走90︒追及时针,然后还要比时针多走180︒,依题意有60.590180y y -=+,解得14911y =.所以在3时14911分,分针与时针成平角.（3）分针与时针成直角,应分两种情况讨论:①分针在时针的顺时针方向垂直,设此时刻为3时a 分,即在后a 分,分针先要多走90︒追及时针,然后还要比时针多走90︒.依题意有60.59090a a -=+,解得83211a =. ②分针在时针的逆时针方向垂直,设此时刻为3时b 分,即在后b 分,分针先要多走90︒追及时针,然后还要比时针多走270︒,依题意有60.590270b b -=+,解得56511b =(不合题意,舍去). 综上,在3时32811分,分针与时针成直角. 4.答案：见解析解析：(1)0.5 (2)30;22.5(3)设至少经过x 分会再次出现时针和分针重合的现象,则60.5360x x -=, 解得72011x =, 即至少经过72011分会再次出现时针和分针重合的现象. 72036072043200.5,611111111⎛⎫⎛⎫⨯︒=︒⨯︒=︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即时针转了36011⎛⎫︒ ⎪⎝⎭,分针转了432011⎛⎫︒ ⎪⎝⎭. 5.答案：见解析解析：(1)120︒(2)画图略.120;10︒︒(3)设上午8点x 分出发,下午2点y 分回到学校, 则(121)3083060x -⨯⨯︒=⨯︒,解得48011x =, (121)3023018060y -⨯⨯︒-⨯︒=︒，解得48011y =, 所以共用了6时.6.答案：见解析解析：设OA 边上的高为h ,则h 总小于或等于OB ,只有当OA OB ⊥时,h OB =,此时OAB ∆的面积最大.12点整,分针、秒针重合,设经过x 秒,分针、秒针第一次垂直,OAB ∆的面积第一次达到最大,此时秒针走过的角度为6x 度,分针走过的角度为0.1x 度.依题意有60.190x x -=, 解得151559x =, 即经过151559秒后,OAB ∆的面积第一次达到最大.。
时钟问题巧解-三种类型解题方法以及角度巧解
3点前：（点数*5+15）/（1-1/12） 3点后：（点数*5-15）/（1-1/12） 3、时针分针在一条直线上： 6点前：（点数*5+30）/（1-1/12） 6点后：（点数*5-30）/（1-1/12）
解题
360º÷12×3=90º.....3大格所对应的角度 0.5º×50=25º......时针从1：00-1：50这50分
钟所形成的角度。 90º+25º=115º......1时50分的时刻，时针与分
针的夹角度数。 答。。。
练习
3、吃过晚饭，小明一家出去散步，他们出门前钟 面显示7点多，他们回来后钟面显示也是7点多， 且两次钟面上时针与分针都恰好位于一条直线上： 请问他们散步用了多长时间？
LOREM IPSUM DOLOR
4、现在是8点整，再经过多长时间，时针和分针将第一 次在一条直线上？ 5、时针和分针每隔多少时间重合一次？一昼夜重合多少 次？ 6、4时整时，时针与分针的夹角是多少度（指小于180º 的角）？ 7、在钟面上，8时25分的时刻，时针与分针的夹角是多少 度（指小于180º的角）？
例3
在4点与5点之间，时针和分针在什么时刻位于 一条直线上？
例3
在4点与5点之间，时针和分针在什么时刻位于 一条直线上？ 解析：时针和分针位于一条直线上，要分两钟情 况来考虑： 时针和分针重合 时针和分针成180º角
例4
在钟面上，1时50分的时刻，时针与分针的夹 角是多少度？
例4
在钟面上，1时50分的时刻，时针与分针的夹 角是多少度？ 解析：在钟面上，1大格对应的角度是 360º÷12=30º，3大格对应的是90º. 分针每小时走一圈，每分钟走360º÷60=6º，时针 每分钟走6º的1/12，是0.5º.“多的一些”就是时 针从1点整开始走到1点50分这50分钟形成的角度。
初一钟表角度问题讲解
初一钟表角度问题讲解一、钟表基础知识钟表是我们日常生活中常见的计时工具，其基本组成部分包括时针、分针和秒针。
其中，时针、分针和秒针分别表示小时、分钟和秒数。
在钟面上，一圈被分为12个等分，表示12个小时。
每个小时之间的角度是30度，每分钟之间的角度是6度，每秒钟之间的角度是360度。
二、角度与指针关系在钟表上，时针、分针和秒针会不断地转动。
随着时间的推移，这些指针会形成不同的角度。
如果我们将钟面看作一个圆，那么时针、分针和秒针的转动就可以看作是圆周运动。
根据圆周运动的规律，我们可以计算出每个指针转动的角度。
三、计算时针与分针夹角在钟表上，时针和分针的夹角是随着时间而变化的。
为了计算这个夹角，我们可以使用以下公式：时针与分针夹角= |(6h - m) mod 12| + ((60m - 5h) mod 60) * 6度，其中h 表示小时数，m 表示分钟数。
这个公式可以帮助我们计算出任意时刻时，时针和分针之间的夹角。
四、计算秒针与分针夹角同样地，我们也可以计算出秒针和分针之间的夹角。
为了计算这个夹角，我们可以使用以下公式：秒针与分针夹角= (s mod 60) * 360度，其中s 表示秒数。
这个公式可以帮助我们计算出任意时刻时，秒针和分针之间的夹角。
五、钟表指针的移动规律在钟表上，时针、分针和秒针的移动是有规律的。
具体来说，每小时时针移动30度，每分钟分针移动6度，每秒钟秒针移动360度。
此外，时针和分针的移动还受到季节的影响，具体规律可以查阅相关资料进行学习。
六、钟表问题解题思路在解决钟表问题时，我们需要注意以下几点：首先，要明确题目要求，确定需要求解的是哪个指针的角度或者哪个指针与另一个指针的夹角；其次，要根据指针的移动规律，建立数学模型或者公式来求解；最后，要注意时钟上的一些特殊情况，例如12点整、3点整等，这些情况下指针的位置可能会发生变化。
七、常见题型解析在解决钟表问题时，常见的一些题型包括：计算指针的角度、计算指针之间的夹角、根据指针的角度或者夹角确定时间等。
初一数学角度问题,详解钟表指针夹角度数
初一数学角度问题，详解钟表指针夹角度数关于钟表的指针角度的计算要把握几个要点：一、分针走过1小格用时1分钟，走过的度数是6°，时针走过一大格用时1h，走过的度数是30读；二、时针的速度是分钟的1/12，因此分针每走一小格即一分钟，时针走1/12*6°=0.5°；三、在计算角度的时候，经常总整点整分开始考虑，进行角度的加减运算，从而求出钟表实际的角度值。
例：分别计算出8点，8点15分，8点27分，8点30分，3点25分，时针与分针所夹的小于平角的角的度数。
【解析】：从图示可知，8点的时候，分针和指针之间有4个大格，每个大格是30°，因此8点的时候，分针与时针的夹角为4*30=120°。
8点15，我们可以假设时针正好在8上，分针在3上，图示角1的度数，为5*30=150°，而实际上，分针转动，时针也是转动的，根据分针每走一分钟，时针走0.5°，可得15分的时候，时针转动了15*0.5°=7.5°，因此角2等于7.5度，因此真实的8点15分的夹角为角1加角2的度数，即157.5°。
从上面的两个图示，我们用上面的方法来计算8点27分和8点30分的时针与分针夹角的度数。
8点30分，我们可以假设时针正好在8上，分针在6上，图示角2的度数为2*30=60°，同样根据分针每走一分钟，时针走0.5°，可得30分的时候，时针转动了30*0.5°=15°，因此角1等于15度，因此真实的8点30分的夹角为角1加角2的度数，即75°。
8点27分，同样是利用角1加角2，根据一小格的度数是6°，我们可以假设时针正好在8上，分针在27分时刻处，图示角1的度数为2*30+3*6°=78°，同样根据分针每走一分钟，时针走0.5°，可得27分的时候，时针转动了27*0.5°=13.5°，因此角1等于13.5度，因此真实的8点27分的夹角为91.5°。
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巧解钟表上的角度问题
让我们重新认识一下时钟：时钟的表面被均分成12大格、60小格，若把钟表表面看成以表心为顶点的周角，则每一大格对应的角度为30°，每一小格为6°，也就是说，分针每分钟转过6°的角，时针每分钟转过60
1×30°＝°的角，即每分钟分针总比时针多转°.有了上述知识，我们再来求有关钟表的问题，就不会感到困难了.
分针转的角度为：分钟数×6°；
时针转的角度为：小时数×30°＋分钟数×°.
例1.试问时钟的分针与时针一昼夜重合多少次
解析：你可能直觉认为，分针每小时转一圈，每转一圈就要与时针重合一次，一昼夜有24小时，分针与时针岂不是要重合24次吗
乍听起来这个说法颇有道理，但还是让我们计算后再下结论吧！
设分针与时针从上一次重合到下一次重合用时x 分钟，易知其间分针比时针多转了360°，于是有
6x －＝360，解得x ＝11
720（分）. 一昼夜分针与时针重合的次数为：24×60÷
11720＝22（次）. 怎么样，还相信你的直觉吗
例2.某人晚上6时后外出时，钟表上时针与分针的夹角时110°，晚上7时前回来时，钟表的时针与分针的夹角仍为110°，求此人外出了多长时间
解析：易知，6时后时针与分针首次呈110°角时，分针落后时针110°角，第二次呈110°角时，分针超过时针110°，即其间分针比时针多走了2×110°，设完成此过程共经过了x 分钟，则有
6x －＝2×110，解得x ＝40（分）.
即此人外出了40分钟.。