上海市奉贤区2019届高三数学一模试卷

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上海市奉贤区2019届高三一模数学试题(含答案)

【点睛】本题主要考查了复数的概念，及复数的模的计算问题，其中解答中熟记复数的基本概念和复数模的计算公式，准确求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
6.有 5 本不同的书，其中语文书 2 本，数学书 2 本，物理书 1 本，若将其随机地摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率是________
上海市奉贤区 2019 届高三一模数学试卷
一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）
1.已知 A ={x | 3x <1}， B ={x | y = lg(x +1)} ，则 AÈ B = ________ 【答案】 R
【解析】【分析】
{ } 由题意，分别求解集合 A ={x | x < 0} ， B = x x - 1 ，根据集合的并集的运算，即可求解。 { } 【详解】由题意，集合 A ={x | 3x <1} ={x | x < 0} ， B ={x | y = lg(x +1)} = x x - 1 ，则 AÈ B = R 。
【答案】 25 2
【解析】【分析】
根据复数的运算，求得 z = (3a - 4) +(4a +3)i ，又由实部与虚部相等，求得 a = - 7 ，得到 z = - 25 - 25i ，
在根据复数模的概念，即可求解。
【详解】由题意，复数 z = (a +i)(3 +4i) = (3a - 4) +(4a +3)i ，又由实部与虚部相等，则 3a - 4 = 4a +3 ，解得 a = - 7 ，即 z = - 25 - 25i ，则复数 z 的共轭复数的模 z = (- 25)2 +(- 25)2 = 25 2 。

2019届上海市奉贤中学高三上学期第一次月考数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市奉贤中学高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1．下列命题为真命题的是（） A ．若，则 B ．若，则C ．若，则D ．若，则【答案】D【解析】试题分析：A 中当时才成立；B 中若，则；C 中时才成立；D 中命题成立【考点】不等式性质2．设在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定【答案】B【解析】利用正弦定理可得()2sin sin B C A +=，结合三角形内角和定理与诱导公式可得sin 1,2A A π==，从而可得结果.【详解】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以由正弦定理可得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，()22sin sin sin sin B C A A A +=⇒=，所以sin 1,2A A π==，所以是直角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.3．某学生对一些对数进行运算，如下图表格所示：现在发觉学生计算中恰好有两次地方出错，那么出错的数据是（）A.()()3,8 B.()()4,11 C.()()1,3 D.()()1,4【答案】A【解析】【详解】试题分析：对于数据（4）（11）数据正确，对于数据（1）（3），，与（3）对应不起来，（1）（3）其中有错误，对于（1）(4)，结合图中的数据正好对应出来，（1）（4）正确，故错误的为（3），对于（8）(11)147122213222115 -=-+--=-+-=≠--=-lg lg a b a c a b c lg a c lg,而（11）正确，故（8）错误答案为A ．【考点】对数的运算．4．已知()i ai y f x x == ，1,22019i =⋅⋅⋅为2019个不同的幂函数，有下列命题：① 函数()()()122019y f x f x f x =++⋅⋅⋅+ 必过定点()1,2019； ② 函数()()()122019y f x f x f x =++⋅⋅⋅+可能过点()1,2018-；③ 若1220192a a a ++⋅⋅⋅+= ，则函数()()()122019y f x f x f x =⋅⋅⋅⋅⋅⋅为偶函数； ④ 对于任意的一组数1a 、2a 、…、2019a ，一定存在各不相同的1009个数1i 、2i 、…、{}2019122019i ∈⋅⋅⋅、、使得()()()122019i i i y f f f x =⋅⋅⋅在()0,∞+上为增函数.其中真命题的个数为（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】A【解析】根据题目中的条件和幂函数的图像与性质，对四个命题分别进行判断，从而得到答案. 【详解】命题①，因为()i ai y f x x == ，1,22019i =⋅⋅⋅为2019个不同的幂函数，且幂函数都经过点()1,1，所以可得函数()()()122019y f x f x f x =++⋅⋅⋅+的图像一定过点()1,2019，所以正确; 命题②，幂函数，若定义域中可取负数时，则幂函数图像一定过()1,1--或者()1,1-()i a i y f x x == ，1,22019i =⋅⋅⋅为2019个不同的幂函数，若这2019个不同的幂函数都过()1,1-，则函数()()()122019y f x f x f x =++⋅⋅⋅+的图像过()1,2019-，若这2019个不同的幂函数有一个不过()1,1-，则这个幂函数必过()1,1--，则函数()()()122019y f x f x f x =++⋅⋅⋅+的图像过()1,2017-，所以()()()122019y f x f x f x =++⋅⋅⋅+的图像不可能过()1,2018-，所以错误；命题③若1220192a a a ++⋅⋅⋅+=，若122019,,,a a a ⋅⋅⋅这2019个数中出现分子为奇数，分母为偶数的分数，则函数()()()122019y f x f x f x =⋅⋅⋅⋅⋅⋅的定义域为[)0,+∞，不关于原点对称，所以函数()()()122019y f x f x f x =⋅⋅⋅⋅⋅⋅不为偶函数，所以错误.命题④因为任意的一组数1a 、2a 、…、2019a ，一定存在各不相同的1009个数1i 、2i 、…、{}2019122019i ∈⋅⋅⋅、、，则当122019,,,a a a ⋅⋅⋅这2019个数中出现0时，()()()122019i i i y f f f x =⋅⋅⋅122019i i i a a a a⋅⋅⋅=1=，此时y 为常数函数，不是增函数，所以错误.故选：A. 【点睛】本题考查幂函数的图像特点，幂函数的奇偶性和单调性，属于中档题.二、填空题5．已知集合{}02A x x =<< ，()(){}110B x x x =-+>，则AB =______；【答案】()()10,-∞-+∞，【解析】对集合B 进行化简整理，然后与集合A 取并集，得到答案. 【详解】集合()(){}()()110,11,B x x x =-+>=-∞-⋃+∞，集合{}()020,2A x x =<<= 所以()()10,AB -∞-+∞=，，故答案为：()()10,-∞-+∞，.【点睛】本题考查解二次不等式，集合的并集运算，属于简单题. 6．不等式203x x -≥+的解集为______；【答案】()[)32,-∞-+∞，【解析】将分式不等式等价变形为()()23030x x x ⎧-+≥⎨+≠⎩，解出答案.【详解】不等式203x x -≥+，等价为()()23030x x x ⎧-+≥⎨+≠⎩，解得323x x x ≤-≥⎧⎨≠-⎩或，所以解集为()[)32,-∞-+∞，.【点睛】本题考查解分式不等式，属于简单题. 7．方程14230x x +--=的解是 . 【答案】2log 3 【解析】【详解】()222230xx -⋅-=，()()21230x x+-=，23x =，2log 3x =.8．已知实数x 、y ，命题“若0x >且0y >，则0x y +>”的逆否命题是______；【答案】若0x y +≤，则0x ≤或0y ≤【解析】先写出原命题的逆命题，再写出其逆否命题，得到答案. 【详解】已知实数x 、y ，命题“若0x >且0y >，则0x y +>” 其逆命题为“若0x y +>，则0x >且0y >” 所以其逆否命题为“若0x y +≤，则0x ≤或0y ≤”. 【点睛】本题考查根据原命题写逆否命题，属于简单题. 9．函数()20.3log 32y x x =-+的单调增区间是______【答案】()1-∞，【解析】先判断出函数的定义域，再根据函数单调递增，外层函数单调递减，从而得到复合函数内层应单调递减，从而得到答案. 【详解】()20.3log 32y x x =-+，则2320x x -+>，解得1x <或2x >，所以函数的定义域为()(),12,-∞⋃+∞，设232t x x =-+，则0.3log y t =，外层函数为减函数，要求函数的单调增区间，则求内层函数的减区间232t x x =-+，在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，综上可得，函数()20.3log 32y x x =-+的单调增区间是()1-∞，，故答案为：()1-∞，【点睛】本题考查求复合函数的单调区间，属于简单题. 10．已知()0,a π∈，1sin cos 5αα+=，则cos2=α______；【答案】725-【解析】对1sin cos 5αα+=平方，得到sin cos αα，根据其正负，缩小α的范围，根据()24912sin cos sin cos 25αααα-=-=，得到sin α和cos α的值，再根据二倍角公式，求出cos2α的值，得到答案. 【详解】对1sin cos 5αα+=两边平方，得112sin cos 25αα+=，即242sin cos 25αα=-由于()0,a π∈，且sin α和cos α异号，可得,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以sin 0,cos 0αα><，所以4912sin cos 25αα-=，即()249sin cos 25αα-=，所以7sin cos 5αα-=，所以得43sin ,cos 55αα==-，所以229167cos 2cos sin 252525ααα=-=-=-. 故答案为：725-【点睛】本题考查同角三角函数关系，二倍角的余弦公式，三角函数在各象限的正负，属于简单题.11．若不等式23x t -<的解集为（m ，n ），则m n +=______；【答案】3【解析】根据题意可得0t >，然后将不等式转化为23t x t -<-<，得到解集，对应得到m 和n 的值，从而得到m n +的值. 【详解】因为不等式23x t -<的解集为（m ，n ）所以可得0t >，所以可得23t x t -<-<，解得3322t tx -+<<，所以可得33,22t tm n -+==，所以3m n +=，故答案为：3. 【点睛】本题考查解绝对值不等式，属于简单题.12．设()f x 是定义在R 上的奇函数，若当0x >时()2sin 1f x x x =-+，则()f x 的解析式为______；【答案】()22sin 1,00,0sin 1,0x x x f x x x x x ⎧---<⎪==⎨⎪-+>⎩【解析】根据设()f x 是定义在R 上的奇函数，可得()00f =，当0x <时，0x ->，代入到()f x 解析式，得到()f x -，再根据奇函数的性质得到()()f x f x =--，得到答案. 【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以可得()00f =，当0x <时，0x ->而当0x >时()2sin 1f x x x =-+，所以有()2sin 1f x x x -=++，根据奇函数的性质，可得()()2sin 1f x f x x x =--=---，综上可得()22sin 1,00,0sin 1,0x x x f x x x x x ⎧---<⎪==⎨⎪-+>⎩，故答案为：()22sin 1,00,0sin 1,0x x x f x x x x x ⎧---<⎪==⎨⎪-+>⎩. 【点睛】本题考查利用奇函数的性质求函数的解析式，属于中档题. 13．函数1()2sin(),[2,4]1f x x x xπ=-∈--的所有零点之和为．【答案】8【解析】试题分析：设，则，原函数可化为，其中，因，故是奇函数，观察函数与在的图象可知，共有4个不同的交点，故在时有8个不同的交点，其横坐标之和为0，即12780t t t t ++++=，从而12788x x x x ++++=.【考点】1.函数零点；2.正弦函数、反比例函数.14．设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a+b 、a-b 、ab 、ab∈P （除数b≠0）则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，有下列命题： ①数域必含有0，1两个数； ②整数集是数域；③若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域； ④数域必为无限集．其中正确的命题的序号是．（填上你认为正确的命题的序号）【答案】①④ 【解析】【详解】解：当a=b 时，a-b=0、a b =1∈P ，故可知①正确．当a=1，b=2，12∉Z 不满足条件，故可知②不正确．对③当M 中多一个元素i 则会出现1+i ∉M 所以它也不是一个数域；故可知③不正确．根据数据的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知④正确．故答案为：①④．15．已知x 、y 、z R +∈，230x y z -+=，且20y txz -≥恒成立，则实数t 最大值是______；【答案】3【解析】将20y txz -≥恒成立，转化为2y t xz≤恒成立，根据条件得到32x z y +=，则()234x z t xz≤+恒成立，根据基本不等式得到()234x z xz+的最小值，从而得到t 的范围，得到答案. 【详解】因为20y txz -≥恒成立，所以2y t xz≤恒成立，因为230x y z -+=，所以32x zy +=，所以得到()234x z t xz≤+恒成立，即()2min34x z t xz ≤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 而()22236944x z x xz z xzxz+++=93334422x z z x =++=≥. 当且仅当9=44x zz x，即3x z =时，等号成立. 所以3t ≤，即t 的最大值为3.故答案为：3. 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，利用基本不等式求和的最小值，属于中档题. 16．当x 、y ∈（0，1）时，{}1min 8,8,8x x yy ---的最大值是______.【答案】12【解析】{}1min 8,8,8x x yy ---，花括号内三个数的底数相同，则对其指数进行比较，当x -为最小时，得到13x ≥，并求出最小值8x -的最大值，然后讨论当103x <<时，分别研究当x y -最小，和1y -最小时，对应的范围，从而得到每种情况下的最大值，并对三中情况进行判断，从而得到结果. 【详解】x 、y ∈（0，1）时，{}1min 8,8,8x x yy ---可知花括号内三个数的底数相同，则对其指数进行比较， ①当x -为最小时，1x x y x y -≤-⎧⎨-≤-⎩，得21y xy x ≤⎧⎨≥-⎩ 所以21x x ≤-，即13x ≥，此时{}11381min 8,8,882x x yy x-----≤==；当103x <<，则1y -或者x y -为最小， ②当1y -为最小时，1y x y -<-，则12xy +<， 11113111223x y ++-<-<-=- 此时{}111381min 8,8,882x x yy y -----=<=，③当x y -为最小时，1x y y -<-，则12x y +>， 1112223x x x y x +⎛⎫-<-=-+<- ⎪⎝⎭此时{}11381min 8,8,882x x y y x y -----=<=，所以，综上所述，{}1min 8,8,8x x y y ---的最大值为12，故答案为：12. 【点睛】本题考查运用函数思想解决问题，考查了函数的值域，不等式的性质，对抽象思维要求较高，属于难题.三、解答题17．设集合{}2320A x x x =++= ，(){}210B x x m x m =+++=，{}21C x a x a =-≤≤（1）若B A ⊆，求实数m 的值；（2）若C A ⋂为空集，求实数a 的取值范围。

上海市奉贤区2019届高三一模数学试题(精品解析)

上海市奉贤区2019届高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.已知{|31}x A x =<，{|lg(1)}B x y x ==+，则A B ?________【答案】R 【解析】【分析】由题意，分别求解集合{|0}A x x =<，{}1B x x =-，根据集合的并集的运算，即可求解。

【详解】由题意，集合{|31}{|0}x A x x x =<=<，{}{|lg(1)}1B x y x x x ==+=-，则A BR ?。

【点睛】本题主要考查了集合的并集的运算，其中解答中准确求解集合,A B ，再根据集合的并集运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

2.双曲线2213y x -=的一条渐近线的一个方向向量(,)d u v =，则uv =________【答案】±【解析】【分析】由题意，双曲线2213y x -=的一条渐近线的方程为y x =?，根据直线的方向向量，即可求解。

【详解】由题意，双曲线2213y x -=的一条渐近线的方程为3y x =?，所以渐近线的一个方向向量(3,3)d =?，所以u v =?。

【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，以及直线的方向向量的应用，其中解答中根据双曲线的方程，求得其渐近线的方程，再根据直线的方向向量的概念求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

3.设函数()2x y f x c ==+的图像经过点(2,5)，则()y f x =的反函数1()f x -=________【答案】2log (1)x -，1x > 【解析】【分析】由题意，函数2x y c =+的图像经过点()2,5，求得()21x y f x ==+，求得()2log 1x y =-，进而得到函数的反函数。

【详解】由题意，函数()2x y f x c ==+的图像经过点()2,5，即225c +=，解得1c =，即()21x y f x ==+，则21x y =-，即()2log 1x y =-，所以()y f x =的反函数()()12log 1f x x -=-(x>1)【点睛】本题主要考查了反函数的计算以及函数解析式的求解，其中解答中正确函数的解析式，利用反函数的求解方法，准确求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于属于基础题。

上海市奉贤区2019-2020学年高考数学模拟试题(1)含解析

上海市奉贤区2019-2020学年高考数学模拟试题（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =- D ．221y x =-【答案】B 【解析】【分析】根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解. 【详解】z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y ，则z x yi =+，z x yi =-，∵12z zz +=+，1x =+，解得221y x =+. 故选：B. 【点睛】本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题.2．已知函数2,0()2,0x xx f x e x x x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩若函数1()()()2g x f x k x =-+在R 上零点最多，则实数k 的取值范围是（）A ．2(0,)3eB ．2(,0)3e-C．( D．【答案】D 【解析】【分析】将函数的零点个数问题转化为函数()y f x =与直线1()2y k x =+的交点的个数问题，画出函数()y f x =的图象，易知直线1()2y k x =+过定点1(,0)2-，故与()f x 在0x <时的图象必有两个交点，故只需与()f x 在0x >时的图象有两个交点，再与切线问题相结合，即可求解.【详解】由图知()y f x =与1()2y k x =+有4个公共点即可，即()0,k k ∈切，当设切点()00,x y ，则000011()2x x x k e x k x e -⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，0122x k e ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩2k e∴∈.故选：D. 【点睛】本题考查了函数的零点个数的问题，曲线的切线问题，注意运用转化思想和数形结合思想，属于较难的压轴题. 3．设1tan 2α=，4cos()((0,))5πββπ+=-∈，则tan 2()αβ-的值为（）A ．724- B ．524-C ．524D ．724【答案】D 【解析】【分析】利用倍角公式求得tan2α的值，利用诱导公式求得cos β的值，利用同角三角函数关系式求得sin β的值，进而求得tan β的值，最后利用正切差角公式求得结果. 【详解】1tan 2α=，22tan 4tan21tan 3ααα==-， ()4cos cos 5πββ+=-=-，()(0,βπ∈，4cos 5β∴=，3sin 5β=，3tan 4β=，()43tan2tan 734tan 2431tan2tan 24134αβαβαβ---===++⨯，故选：D. 【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目.4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且公比为2，则n S 与n a 的关系正确的是（） A ．41n n S a =- B ．21n n S a =+ C ．21n n S a =- D ．43n n S a =-【答案】C 【解析】【分析】在等比数列中，由11n n a a S qq-⋅=-即可表示之间的关系.【详解】由题可知，等比数列{}n a 中11a =，且公比为2，故11221112n nn n a a q a a q S -⋅-===---故选：C 【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题.5．设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离为1d ，到直线:34120l x y ++=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（） A ．2 B ．153C ．163D ．3【答案】A 【解析】【分析】【详解】分析：题设的直线与抛物线是相离的，12d d +可以化成1211d d ++-，其中11d +是点P 到准线的距离，也就是P 到焦点的距离，这样我们从几何意义得到121d d ++的最小值，从而得到12d d +的最小值.详解：由2434120y xx y ⎧=⎨++=⎩①得到2316480y y ++=，25612480∆=-⨯<，故①无解，所以直线34120x y ++=与抛物线是相离的. 由121211d d d d +=++-，而11d +为P 到准线1x =-的距离，故11d +为P 到焦点()1,0F 的距离，从而121d d ++的最小值为F 到直线34120x y ++=3=，故12d d +的最小值为2，故选A.点睛：抛物线中与线段的长度相关的最值问题，可利用抛物线的几何性质把动线段的长度转化为到准线或焦点的距离来求解.6．已知全集U =R ，集合{}{}237,7100A x x B x x x =≤<=-+<，则()U A B ⋂ð=（） A ．()(),35,-∞+∞U B ．(](),35,-∞+∞U C ．(][),35,-∞+∞U D ．()[),35,-∞+∞U【答案】D 【解析】【分析】先计算集合B ，再计算A B I ，最后计算()U A B ⋂ð．【详解】解：{}27100B x x x =-+<Q {|25}B x x ∴=<<，{}37A x x =≤<Q{|35}A B x x ∴=<I „，()[)U ,35(,)A B -∞+∞∴=U I ð．故选：D ．【点睛】本题主要考查了集合的交，补混合运算，注意分清集合间的关系，属于基础题． 7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，39S =，则10a =（） A ．25 B ．32C ．35D ．40【答案】C【解析】【分析】设出等差数列{}n a 的首项和公差，即可根据题意列出两个方程，求出通项公式，从而求得10a ．【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则313127339a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得11,4a d =-=，∴45n a n =-，即有10410535a =⨯-=．故选：C ．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用，涉及等差数列的前n 项和公式的应用，属于容易题．8．已知实数0a >，1a ≠，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．12a <≤ B ．5a < C ．35a << D ．25a ≤≤【答案】D 【解析】【分析】根据题意，对于函数分2段分析：当1,()xx f x a <=，由指数函数的性质分析可得1a >①，当241,()ln x f x x a x x ≥=++，由导数与函数单调性的关系可得24()20af x x x x'=-+≥，在[1,)+∞上恒成立，变形可得2a ≥②，再结合函数的单调性，分析可得14a ≤+③，联立三个式子，分析可得答案. 【详解】解：根据题意，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，当1,()xx f x a <=，若()f x 为增函数，则1a >①，当241,()ln x f x x a x x≥=++，若()f x 为增函数，必有24()20af x x x x'=-+≥在[1,)+∞上恒成立，变形可得：242a x x≥-，又由1x ≥，可得()242g x x x =-在[1,)+∞上单调递减，则2442212x x -≤-=，若242a x x≥-在[1,)+∞上恒成立，则有2a ≥②，若函数()f x 在R 上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值，则需有145a ≤+=，③ 联立①②③可得：25a ≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质. 9．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（） A ．-1 B ．1C ．0D ．2【答案】B 【解析】【分析】化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案.【详解】为纯虚数，故且，即.故选：. 【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力. 10．命题“20,(1)(1)∀>+>-x x x x ”的否定为（） A ．20,(1)(1)∀>+>-x x x x B ．20,(1)(1)∀+>-x x x x „ C ．20,(1)(1)∃>+-x x x x „ D ．20,(1)(1)∃+>-x x x x „【答案】C 【解析】【分析】套用命题的否定形式即可. 【详解】命题“,()x M p x ∀∈”的否定为“,()x M p x ∃∈⌝”，所以命题“20,(1)(1)∀>+>-x x x x ”的否定为“20,(1)(1)x x x x ∃>+≤-”. 故选：C 【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.11．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（） A ．25B ．2C ．72D ．3【答案】B 【解析】【分析】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，与y 轴交于点N ，由2FA AS =和抛物线的定义可求得TS ，利用抛物线的性质1122AF BF p+=可构造方程求得BF ，进而求得结果. 【详解】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，AM 与y 轴交于点N ，由抛物线解析式知：(),0F p ，准线方程为x p =-.2FA AS =Q ，13SASF ∴=，133p AN OF ∴==，43AM p ∴=，由抛物线定义知：43AF AM p ==，1223AS AF p ∴==，2SF p ∴=， 2TS SF p ∴==.由抛物线性质11212AF BF p p +==得：3114p BF p+=，解得：4BF p =， 422FB pTS p∴==. 故选：B . 【点睛】本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式.12．已知数列{}n a 的通项公式是221sin 2n n a n π+⎛⎫=⎪⎝⎭，则12312a a a a +++⋅⋅⋅+=（） A ．0 B ．55C ．66D ．78【答案】D 【解析】【分析】先分n 为奇数和偶数两种情况计算出21sin 2n π+⎛⎫⎪⎝⎭的值，可进一步得到数列{}n a 的通项公式，然后代入12312a a a a +++⋅⋅⋅+转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果.【详解】解：由题意得，当n 为奇数时，213sin sin sin sin 12222n n ππππππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+==-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当n 为偶数时，21sin sin sin 1222n n ππππ+⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以当n 为奇数时，2n a n =-；当n 为偶数时，2n a n =，所以12312a a a a +++⋅⋅⋅+22222212341112=-+-+-⋅⋅⋅-+ 222222(21)(43)(1211)=-+-+⋅⋅⋅+-(21)(21)(43)(43)(1211)(1211)=+-++-+⋅⋅⋅++- 12341112=++++⋅⋅⋅++ 121+122⨯=（）78= 故选：D 【点睛】此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年上海市奉贤区高考数学一模试卷

2019年上海市奉贤区高考数学一模试卷一、填空题（第1题到第6題毎题4分,第7题到第12题毎题5分,满分54分)1．(★)已知A={x|3 x＜1}，B={x|y=lg（x+1）}，则A∪B= ．2．(★★)双曲线x 2- =1的一条渐近线的一个方向向量=（u，v），则= ．3．(★)设函数y=f（x）=2 x+c的图象经过点（2，5），则y=f（x）的反函数f -1（x）= ．4．(★★★)在（x- ）5的展开式中x的系数为．5．(★★)若复数z=（a+i）（3+4i）（i是虚数单位）的实部与虚部相等，则复数z的共扼复数的模等于．6．(★★)有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率为．7．(★★★)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为c，若（a 2-b 2+c 2）= ，则角B的值为．（用反正切表示）8．(★★)椭圆+ =1上任意一点到其中一个焦点的距离恒大于1，则t的取值范围为．9．(★★★)函数g（x）对任意的x∈R，有g（x）+g（-x）=x 2．设函数f（x）=g（x）- ，且f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，若f（a）+f（a 2-2）≤0，则实数a的取值范围为．10．(★★★)天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推．排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推．已知2017年为丁酉年，那么到改革开放100年时，即2078年为年．11．(★★★)点P在曲线=1上运动，E是曲线第二象限上的定点，E的纵坐标是，O（0，0），F（4，0），若=x +y ，则x+y的最大值是．12．(★★★)设A（x 1，y 1），B（x 1，y 2）是曲线x 2+y 2=2x-4y的两点，则x 1y 2-x 2y 1的最大值是．二、选择题（单项选择题，每题5分，满分20分)13．(★)下列以行列式表达的结果中，与sin（α-β）相等的是（）A．B．C．D．14．(★)若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件15．(★★)各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则q的取值范围是（）A．（0，1）B．（2，+∞）C．（0，1]∪（2，+∞）D．（0，2）16．(★★)若三个非零且互不相等的实数x 1，x 2，x 3成等差数列且满足= ，则称x 1，x 2，x 3成一个“β等差数列”．已知集合M={x||x|≤100，x∈Z}，则由M中的三个元素组成的所有数列中，“β等差数列”的个数为（）A．25B．50C．51D．100三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分)17．(★★)如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC，AB=AC，D是BC的中点．（1）求证：BC⊥平面A 1AD；（2）若∠BAC=90°，BC=4，三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积是8 ，求异面直线A 1D和AB 1所成的角的大小．18．(★★★)函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，-π＜φ＜0）在一个周期内的图象经过B（），C（），D（）三点，求f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式．19．(★★★★★)今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重．市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调査研究后发现，每一天中空气污染指数与f（x）时刻x（时）的函数关系为f（x）=|log 25（x+1）-a|+2a+1，x∈[0，24]，其中a为空气治理调节参数，且a∈（0，1）．（1）若a= ，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；（2）规定每天中f（x）的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？20．(★★★)已知抛物线y=x 2上的A，B两点满足=2，点A、B在抛物线对称轴的左右两侧，且A的横坐标小于零，抛物线顶点为O，焦点为F．（1）当点B的横坐标为2，求点A的坐标；（2）抛物线上是否存在点M，使得|MF|=λ|MO|（λ＞0），若请说明理由；（3）设焦点F关于直线OB的对称点是C，求当四边形OABC面积最小值时点B的坐标．21．(★★★★★)若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得数列{a n}的前n项和S n=a m，则称{a n}是“回归数列”．（Ⅰ）①前n项和为的数列{a n}是否是“回归数列”？并请说明理由；②通项公式为b n=2n的数列{b n}是否是“回归数列”？并请说明理由；（Ⅱ）设{a n}是等差数列，首项a 1=1，公差d＜0，若{a n}是“回归数列”，求d的值；（Ⅲ）是否对任意的等差数列{a n}，总存在两个“回归数列”{b n}和{c n}，使得a n=b n+c n （n∈N *）成立，请给出你的结论，并说明理由．。

上海市13区2019届高三上学期期末(一模)考试数学试题分类汇编：三角函数

上海市13区2019届高三上期末（一模）考试数学试题分类汇编三角函数一、填空、选择题1、（宝山区2019届高三）函数()sin(2)f x x =-的最小正周期为2、（崇明区2019届高三）角θ的终边经过点(4,)P y ，且3sin 5θ=-，则tan θ= 3、（奉贤区2019届高三）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，若222()3a b c S ++=，则角B 的值为（用反正切表示）4、（宝山区2019届高三）张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知22,45b A =∠=，求边c 。

显然缺少条件，若他打算补充a的大小，并使得c 只有一解.那么，a 的可能取值是 .（只需填写一个适合的答案） 5、（奉贤区2019届高三）下列以行列式表达的结果中，与sin()αβ-相等的是（） A.sin sin cos cos αβαβ- B.cos sin sin cos βαβα C. sin sin cos cos αβαβ D. cos sin sin cos ααββ-6、（浦东新区2019届高三）在ABC △中，角A 、B 、C 对边是a 、b 、c . 若22(23)a b =+⋅，b c =，则A =7、（普陀区2019届高三）若1sin 3α=，则cos()2πα+= 8、（青浦区2019届高三）设函数()sin f x x ω=（02ω<<），将()f x 图像向左平移23π单位后所得函数图像与原函数图像的对称轴重合，则ω=9、（松江区2019届高三）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若22()6c a b =-+，3C π=，则△ABC 的面积=10、（徐汇区2019届高三）已知函数sin y x =的定义域是[],a b ，值域是12⎡⎤⎢⎥⎣⎦-1，，则b a -的最大值是___________.11、（杨浦区2019届高三）已知复数1cos 2()i z x f x =+，2(3sin cos )i z x x =++（x ∈R ，i 为虚数单位），在复平面上，设复数1z 、2z 对应的点分别为1Z 、2Z ，若1290Z OZ ︒∠=，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最小正周期为12、（长宁区2019届高三）已知(,)2a ππ∈，且tan 2a =-，则sin()a π-=13、（闵行区2019届高三）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，且224()S a b c =+-，则cos C = 14、（普陀区2019届高三）函数2cos(2)4y x π=+的图像（）A. 关于原点对称B. 关于点3(,0)8π-C. 关于y 轴对称D. 关于直线4x π=轴对称15、（松江区2019届高三）将函数()2sin(3)4f x x π=+的图像向下平移1个单位，得到()g x 的图像，若12()()9g x g x ⋅=，其中12,[0,4]x x π∈，则12x x 的最大值为（） A. 9 B. 375C. 3D. 1参考答案一、填空、选择题 1、π 2、34-3、43arctan 34、222a a =≥或5、C6、56π7、13- 8、329、332 10、43π 11、π 12、55213、0 14、B 15、A二、解答题1、（宝山区2019届高三）已知函数()3sin 211cos 22001x f x x -=，将()f x 的图像向左移()0αα>个单位得函数()y g x =的图像．（1）若4πα=，求()y g x =的单调递增区间；（2）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()y g x =的一条对称轴为12x π=，求()y g x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域．2、（崇明区2019届高三）已知函数23()cos sin 3cos 2f x x x x =⋅+-. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1()2f A =，3a =，4b =，求△ABC 的面积.3、（奉贤区2019届高三）函数()sin()f x A x ωϕ=+（0ω>，0πϕ-<<）在一个周期内的图像经过(,0)6B π，2(,0)3C π，(,1)4D π三点，求()sin()f x A x ωϕ=+的表达式.4、（虹口区2019届高三）某城市的棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经过调研、规划确定，棚改规划用地区域近似为圆面，该圆的内接四边形ABCD 区域是原棚户区建筑用地，测量可知边界2()AB AD km ==，3()BC km =，1()CD km =.（1）求的AC 长度及原棚户区建筑用地ABCD 的面积；（2）因地理条件限制，边界AD 、DC 不能变更，而边界AB 、BC 可以调整，为了增加棚户区建筑用地面积，请在弧ABC 上设计一点P ，使得棚户区改造后的新建筑用地（四边形APCD ）的面积最大，并求出这个面积的最大值.5、（金山区2019届高三）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点(3,3)P -.（1）求行列式sin 1tan cos ααα的值；（2）若函数()cos()cos sin()sin f x x x αααα=+++()x ∈R ，求函数23(2)2()2y f x f x π=-+的最大值，并指出取得最大值时x 的值.6、（浦东新区2019届高三）已知函数2()23sin cos 2sin f x x x x =-. （1）若角α的终边与单位圆交于点34(,)55P ，求()f α的值；（2）当[,]63x ππ∈-时，求()f x 的单调递增区间和值域.7、（普陀区2019届高三）在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边依次为a 、b 、c ，且1c o s 4C =. （1）求22cos 2sin 22A BC ++的值；（2）设2c =，求a b +的取值范围.8、（青浦区2019届高三）如图，某广场有一块边长为1()hm 的正方形区域ABCD ，在点A 处装有一个可转动的摄像头，其能够捕捉到图像的角PAQ ∠始终为45°（其中点P 、Q 分别在边BC 、CD 上），设PAB θ∠=，记tan t θ=.（1）用t 表示PQ 的长度，并研究△CPQ 的周长l 是否为定值？（2）问摄像头能捕捉到正方形ABCD 内部区域的面积S 至多为多少2hm ？9、（徐汇区2019届高三）我国的“洋垃圾禁止入境”政策已实施一年多. 某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB ，对应的圆心角3AOB π∠=. 该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD 对不明船只进行识别查证（如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内）.在圆弧的两端点,A B 分别建有监测站，A 与B 之间的直线距离为100海里. （1）求海域ABCD 的面积；（2）现海上P 点处有一艘不明船只，在A 点测得其距A 点40海里，在B 点测得其距B 点2019海里. 判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD ？请说明理由.陆地海域BCOD A10、（杨浦区2019届高三）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且5cos 13B =. （1）若4sin 5A =，求cos C ；（2）已知4b =，证明：5AB BC ⋅≥-.11、（长宁区2019届高三）已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，复数1i z a b =+，2cos icos z A B =+，（其中i 是虚数单位），且123i z z ⋅=.（1）求证：cos cos a B b A c +=，并求边长c 的值；（2）判断△ABC 的形状，并求当3b =时，角A 的大小.参考答案二、解答题1、解：（1）()3cos 2sin 22sin(2)3f x x x x π=-=--……………………………3分()()2sin(22)3g x f x x παα=+=-+-4πα=，()2sin(2)6g x x π∴=-+，…………………………………5分令()322,2622x k k k Z πππππ⎡⎤+∈++∈⎢⎥⎣⎦，……………………………6分解得()2,63x k k k Z ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦，所以()y g x =的单调递增区间是()2,63x k k k Z ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦。

上海市奉贤区2019届高三一模数学试卷含答案

上海市奉贤区2019届高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知{|31}x A x =<，{|lg(1)}B x y x ==+，则AB =2. 双曲线2213y x -=的一条渐近线的一个方向向量(,)d u v =，则uv = 3. 设函数()2x y f x c ==+的图像经过点(2,5)，则()y f x =的反函数1()f x -= 4. 在52()x x-的展开式中，x 的系数为5. 若复数(i)(34i)z a =++（i 是虚数单位）的实部与虚部相等，则复数z 的共轭复数的模等于6. 有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率是7. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，若222()a b c ++=，则角B 的值为（用反正切表示）8. 椭圆2214x y t+=上任意一点到其中一个焦点的距离恒大于1，则t 的取值范围为 9. 函数()g x 对任意的x ∈R ，有2()()g x g x x +-=，设函数2()()2x f x g x =-，且()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，若2()(2)0f a f a +-≤，则实数a 的取值范围为 10. 天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支. 十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2016年为丙申年，那么到改革开放100年时，即2078年为年11. 点P 在曲线1=上运动，E 是曲线第二象限上的定点，E 的纵坐标是158，(0,0)O ，(4,0)F ，若OP xOF yOE =+，则x y +的最大值是12. 设11(,)A x y ，22(,)B x y 是曲线2224x y x y +=-的两点，则1221x y x y -的最大值是二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 下列以行列式表达的结果中，与sin()αβ-相等的是（） A.sin sin cos cos αβαβ- B.cos sin sin cos βαβα C. sin sin cos cos αβαβ D. cos sin sin cos ααββ-14. 若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件 15. 各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1lim 3n n n n nS a S a →∞-<+，则q 的取值范围是（）A. (0,1)B. (2,)+∞C. (0,1](2,)+∞ D. (0,2)16. 若三个非零且互不相等的实数1x 、2x 、3x 成等差数列且满足123112x x x +=，则称1x 、2x 、3x 成“β等差数列”，已知集合{|||100,}M x x x =≤∈Z ，则由M 中的三个元素组成的所有数列中，“β等差数列”的个数为（）A. 25B. 50C. 51D. 100三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，AB AC =，D 是BC 的中点. （1）求证：BC ⊥平面11A AD ；（2）若90BAC ︒∠=，4BC =，三棱柱111ABC A B C -的体积是，求异面直线1A D 与1AB 所成角的大小.18. 函数()sin()f x A x ωϕ=+（0ω>，0πϕ-<<）在一个周期内的图像经过(,0)6B π，2(,0)3C π，(,1)4D π三点，求()sin()f x A x ωϕ=+的表达式.19. 入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重，市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调查研究后发现，每一天中空气污染指数()f x 与时刻x （时）的函数关系为25()|log (1)|21f x x a a =+-++，[0,24]x ∈，其中a 为空气治理调节参数，且(0,1)a ∈.（1）若12a =，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；（2）规定每天中()f x 的最大值最为当天空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参数a 应控制在什么范围内？20. 已知抛物线2y x =上的A 、B 两点满足2OA OB ⋅=，点A 、B 在抛物线对称轴的左右两侧，且A 的横坐标小于零，抛物线顶点为O ，焦点为F . （1）当点B 的横坐标为2，求点A 的坐标；（2）抛物线上是否存在点M ，使得||||MF MO λ=（0λ>），若请说明理由；（3）设焦点F 关于直线OB 的对称点是C ，求当四边形OABC 面积最小值时点B 的坐标.21. 若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得数列{}n a 的前n 项和n m S a =，则称数列{}n a 是“回归数列”.（1）前n 项和为2n n S =的数列{}n a 是否是“回归数列”？并请说明理由；（2）设{}n a 是等差数列，首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“回归数列”，求d 的值；（3）是否对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“回归数列”{}n b 和{}n c ，使得n n n a b c =+（n ∈*N ）成立，请给出你的结论，并说明理由.参考答案一. 填空题1. R2. 3. 2log (1)x -，1x > 4. 405. 6.157. 8. 25(3,4)(4,)49. [2,1]- 10. 戊戌 11. 472012.二. 选择题13. C 14. A 15. B 16. B三. 解答题17、（1）因为1AA ⊥底面ABC ，所以1AA BC ⊥……1分又AB AC =，D 是BC 的中点，BC AD ⊥……2分 1AA 与AD 交于A……1分所以BC ⊥平面1A AD……2分（2）根据90,,4BAC AB AC BC ︒∠===求得AB AC ==ABC ∆的面积等于4……2分三棱柱111ABC A B C -的体积是4ABC S AA AA AA '''∆⋅=⋅== ……2分如图所示，建立空间直角坐标系，1(0,0,0),D A B 11(2,2,23)(22,0,2A D AB =-=异面直线1A D 和1AB所成的角为θ1111cos AB A D AB A Dθ⋅∴==⋯=1AB所成的角为arccos5……4分18、（1）当2,0,,063B C ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是半周期内的两个相邻的零点，则2,,2236T T w πππ=-∴=∴= (2)分sin 032sin 1230A A πφπφπφπφ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎪=⎧⎪⎪⎛⎫+=⇒⎨⎨⎪=-⎝⎭⎪⎪⎩⎪-<<⎪⎩ (4)分所以函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ (1)分（2）当2,0,,063B C ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是一周期内的两个不相邻的零点，则2,,4362T T w πππ=-∴=∴= (2)分()2sin 03sin 1203A A πφπφπφπφ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎧⎝⎭=⎪⎪⎪⎪+=⇒⎨⎨⎪⎪=--<<⎪⎪⎩⎪⎩ (4)分所以函数2()43f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ (1)分19、（1）2511,()log (1)2,[0,24]22a f x x x ==+-+∈ (2)分251()log (1)222f x x =+-+≥ (4)分当且仅当4x =时，一天中凌晨4时该市的空气污染指数最低 (2)分（2）25()log (1)213f x x a a =+-++≤2532log (1)2a x a ∴-≤+≤- (2)分25log (1),[0,24]y x x =+∈单调递增∴2132001a a a -≥⎧⎪-≤⎨⎪<<⎩ (2)分203a ∴<≤ (2)分20、（1）()2(2,4),,B A t t ，则2242,1t t t +==-，所以(1,1)A - (3)分（2）由条件知()2222214x y x y λ⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭，把2y x =代入得()2221110216y y λλ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭ (2)分2234λλ⎛⎫∆=- ⎪⎝⎭1,M λ=有2个点 (1)分M λ=点存在 (1)分1,M λ<<点有4个 (1)分1,M λ>点有2个 (1)分0M λ<<点不存在 (1)分（五类，一类1分）（3）()()222211221212,,,2B x x A x x x x x x +=，解得122x x =- (1)分设直线AB 的方程为y kx m =+ 联立2y kx m y x=+⎧⎨=⎩得20x kx t --=，得12,2x x t t =-∴=，所以直线经过定点(0,2) (1)分()121OABC 1112224OAB OBC OAB OBF S S S S S x x x ∆∆∆∆=+=+=⨯⨯-+⨯⨯四边形 11928x x =+ (2)分3≥= 当且仅当14416,,339x B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，面积最小 (2)分21、（1）1*112(2,)2n n n n S S n n a S --⎧-=≥∈=⎨=⎩N (2)分显然1n =时，存在正整数1m =使得11S a =成立符合题意 (1)分（必须要指出）2n ≥时，对任意的n 存在正整数1m n =-使得n m S a =成立 (1)分（注意任意和存在言语的描述，必须要指出正整数1m n =-，这是证明题，否则不给分）（2）因为{}n a 是等差数列，首项11a =，公差0d <所以对任意的n 存在正整数m 使得(1)1(1)2n n n d m d -+=+-成立 (2)分当2n =时12m d=+，公差0d <，所以正整数m 只能是1，所以1d =- (2)分验证：2n ≥时，对任意的n 存在正整数(3)42n n m Z -+=∈使得n m S a =成立 (2)分（3）由（2）知，可以构造一个回归的等差数列1(2)n b n a =- 验证：2n ≥时，n 是奇数，3n -是偶数，n 是偶数，3n -是奇数，(3)42n n m Z -+∴=∈……1分对任意的n 存在正整数(3)42n n m -+=，使得n m S b =成立……2分对任意的一个等差数列1(1)n a a n d =+-，一定得到11(1)(2)n n n c a b a n d n a =-=+---()11n n c c d a -∴-=+是常数，n c ∴是等差数列，首项为0……2分任意的n ，它的前n 项和()1(1)02n n n d a -⨯++，假设它是回归数列，则存在正整数'm 使2得'n m S c =成立，()()()11(1)'12n n d a m d a -∴-=--成立解得(1)'12n n m Z -=+∈……3分。

上海市奉贤区2019-2020学年高考数学一模试卷含解析

上海市奉贤区2019-2020学年高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．将函数的图象向左平移6π个单位长度，得到函数g(x)的图象，给出下列关于g(x)的结论：①它的图象关于直线x=59π对称； ②它的最小正周期为23π； ③它的图象关于点(1118π，1)对称；④它在[51939ππ，]上单调递增. 其中所有正确结论的编号是（） A ．①② B ．②③C ．①②④D ．②③④【答案】B 【解析】【分析】根据函数()sin y A ωx φ=+图象的平移变换公式求出函数()g x 的解析式，再利用正弦函数的对称性、单调区间等相关性质求解即可. 【详解】因为3π)+1，由()sin y A ωx φ=+图象的平移变换公式知，函数g(x)=2sin[3(x+6π)-3π]+1=2sin(3x+6π)+1，其最小正周期为23T π=，故②正确；令3x+6π=kπ+2π，得x=3k π+9π(k ∈Z)，所以x=59π不是对称轴，故①错误；令3x+6π=kπ，得x=3k π-18π(k ∈Z)，取k=2，得x=1118π，故函数g(x)的图象关于点(1118π，1)对称，故③正确；令2kπ-2π≤3x+6π≤2kπ+2π，k ∈Z ，得23k π-29π≤x≤23k π+9π，取k=2，得109π≤x≤139π，取k=3，得169π≤x≤199π，故④错误；故选：B 【点睛】本题考查()sin y A ωx φ=+图象的平移变换和正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等性质；考查运算求解能力和整体代换思想；熟练掌握正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等相关性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型2．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在[250，350]内的学生人数为（）A ．800B ．1000C ．1200D ．1600【答案】B 【解析】【分析】由图可列方程算得a ，然后求出成绩在[250,350]内的频率，最后根据频数=总数×频率可以求得成绩在[250,350]内的学生人数.【详解】由频率和为1，得(0.0020.00420.002)501a +++⨯=，解得0.006a =，所以成绩在[250,350]内的频率(0.0040.006)500.5=+⨯=，所以成绩在[250,350]内的学生人数20000.51000=⨯=. 故选：B 【点睛】本题主要考查频率直方图的应用，属基础题.3．直线l 过抛物线24y x =的焦点且与抛物线交于A ，B 两点，则4||||AF BF +的最小值是 A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线中过焦点的两段线段关系，可得1121AF BF p+==；再由基本不等式可求得4AF BF +的最小值．【详解】由抛物线标准方程可知p=2因为直线l 过抛物线24y x =的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知1121AF BF p+== 所以4AF BF +()114AF BF AF BF ⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭ 441BF AF AF BF ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭因为AF BF 、为线段长度，都大于0，由基本不等式可知4415BF AF AF BF ⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭522≥+⨯9≥，此时2BF AF =所以选B 【点睛】本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用，基本不等式的用法，属于中档题．4．已知椭圆C 的中心为原点O ，(F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（） A ．221255x y +=B ．2213616x y +=C ．2213010x y += D ．2214525x y += 【答案】B 【解析】由题意可得c=F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知， ∠PFF′=∠FPO ，∠OF′P=∠OPF′，所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′，由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知，∠FPO+∠OPF′=90°，即PF ⊥PF′．在Rt △PFF′中，由勾股定理，得|PF ′|=()2222PF 4548FF -=-='，由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a 2=36，于是 b 2=a 2﹣c 2=36﹣=16，所以椭圆的方程为2213616x y +=．故选B ．点睛：椭圆的定义：到两定点距离之和为常数的点的轨迹，当和大于两定点间的距离时，轨迹是椭圆，当和等于两定点间的距离时，轨迹是线段（两定点间的连线段），当和小于两定点间的距离时，轨迹不存在． 5．M 是抛物线24y x =上一点，N 是圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆上的一点，则MN 最小值是（）A ．1112- B ．31 C ．221-D ．32【答案】C 【解析】【分析】求出点()1,2关于直线10x y --=的对称点C 的坐标，进而可得出圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆C 的方程，利用二次函数的基本性质求出MC 的最小值，由此可得出min min 1MN MC =-，即可得解.【详解】如下图所示：设点()1,2关于直线10x y --=的对称点为点(),C a b ，则121022211a b b a ++⎧--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，整理得3030a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得30a b =⎧⎨=⎩，即点()3,0C ，所以，圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆C 的方程为()2231x y -+=，设点2,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()224222213948416216y y y MC y y ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭当2y =±时，MC 取最小值2min min 1221MN MC =-=. 故选：C. 【点睛】本题考查抛物线上一点到圆上一点最值的计算，同时也考查了两圆关于直线对称性的应用，考查计算能力，属于中等题.6．已知函数()f x 是奇函数，且22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x -=+----，若对11[,]62x ∀∈，(1)(1)f ax f x +<-恒成立，则a 的取值范围是（）A ．(3,1)--B ．(4,1)--C ．(3,0)-D ．(4,0)-【答案】A 【解析】【分析】先根据函数奇偶性求得()(),f x f x '，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数()f x 是奇函数，所以函数'()f x 是偶函数.22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x ---=--+--，即22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x --=--+--，又22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x-=+----，所以()ln(1)ln(1)f x x x =+--，22'()1f x x =-. 函数()f x 的定义域为(1,1)-，所以22'()01f x x =>-，则函数()f x 在(1,1)-上为单调递增函数.又在(0,1)上，()(0)0f x f >=，所以()f x 为偶函数，且在(0,1)上单调递增.由(1)(1)f ax f x +<-，可得11111ax x ax ⎧+<-⎨-<+<⎩，对11[,]62x ∈恒成立，则1120ax x a x⎧+<-⎪⎨-<<⎪⎩，21120a x a x⎧-<<-⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩对11[,]62x ∈恒成立，，得3140a a -<<-⎧⎨-<<⎩，所以a 的取值范围是(3,1)--. 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数单调性求解不等式，根据方程组法求函数解析式，利用导数判断函数单调性，属压轴题. 7．已知六棱锥P ABCDEF -各顶点都在同一个球（记为球O ）的球面上，且底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G，若PA =AB =O 的表面积为（） A ．163πB ．94π C ．6πD ．9π【答案】D 【解析】【分析】由题意，得出六棱锥P ABCDEF -为正六棱锥，求得222PG PA AG =-=，再结合球的性质，求得球的半径32R =，利用表面积公式，即可求解. 【详解】由题意，六棱锥P ABCDEF -底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，可得此六棱锥为正六棱锥，又由2AB =，所以2AG =，在直角PAG ∆中，因为6PA =，所以222PG PA AG =-=，设外接球的半径为R ，在AOG ∆中，可得222AO AG OG =+，即222(2)(2)R R =-+，解得32R =，所以外接球的表面积为249S R ππ==. 故选:D.【点睛】本题主要考查了正棱锥的几何结构特征，以及外接球的表面积的计算，其中解答中熟记几何体的结构特征，熟练应用球的性质求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于中档试题.8．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A ．83B ．163C ．43D ．8【答案】A【解析】【分析】由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积．【详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2，直观图如图所示，1822233V =⨯⨯⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键． 9．设0.08log 0.04a =，0.3log 0.2b =，0.040.3c =，则a 、b 、c 的大小关系为（） A ．c b a >> B ．a b c >> C ．b c a >> D ．b a c >>【答案】D 【解析】【分析】【详解】因为0.080.080.080.08log 0.042log 0.2log 0.2log0a ===>=，0.30.3log 0.2log 10b =>=，所以0.20.211log 0.08,log 0.3a b ==且0.2log y x =在()0,∞+0.080.3< 所以11a b>，所以b a >，又因为0.080.08log 0.2log0.081a =>=，0.0400.30.31c =<=，所以a c >，所以b a c >>. 故选：D. 【点睛】本题考查利用指对数函数的单调性比较指对数的大小，难度一般.除了可以直接利用单调性比较大小，还可以根据中间值“0,1”比较大小.10．函数()()241xf x x x e =-+⋅的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】用0x <排除B ，C ；用2x =排除D ；可得正确答案. 【详解】解：当0x <时，2410x x -+>，0x e >，所以()0f x >，故可排除B ，C ；当2x =时，()2230f e =-<，故可排除D ．故选：A ．【点睛】本题考查了函数图象，属基础题．11．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为30°，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A ．134B ．67C ．182D ．108【答案】B 【解析】【分析】根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论.【详解】解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为13,2，则小正方形的边长为312-，小正方形的面积23131222S⎛⎫=-=-⎪⎪⎝⎭，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为31325001500(10.866)5000.13450067112-⎛⎫⨯=-⨯≈-⨯=⨯=⎪⎪⨯⎝⎭，故选：B.【点睛】本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键.12．在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示．将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中CD)有15cm，跨接了6个坐位的宽度(AB)，每个座位宽度为43cm，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是（）A．250cm B．260cm C．295cm D．305cm【答案】B【解析】【分析】»AB为弯管，AB为6个座位的宽度，利用勾股定理求出弧AB所在圆的半径为r，从而可得弧所对的圆心角，再利用弧长公式即可求解.【详解】如图所示，»AB为弯管，AB为6个座位的宽度，则643258AB cm =⨯=15CD cm =设弧AB 所在圆的半径为r ，则222()r r CD AC =-+22(15)129r =-+解得562r cm ≈129sin 0.23562AOD ∠=≈ 可以近似地认为sin x x ≈，即0.23AOD ∠≈ 于是0.46AOB ∠≈，»AB 长5620.46258.5≈⨯≈所以260cm 是最接近的，其中选项A 的长度比AB 还小，不可能，因此只能选B ，260或者由cos 0.97x ≈，sin 20.4526x x π≈⇒<所以弧长5622946π<⨯≈.故选：B 【点睛】本题考查了弧长公式，需熟记公式，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019届高三数学一模含参汇编(截止函数)

2019届高三数学一模含参汇编1. [19届浦东一模10]已知函数()2||1f x x x a =+-有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为答案：(,-∞2. [19届浦东一模12]已知函数2||2416()1()22x a x x x f x x -⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎩，若对任意的1[2,)x ∈+∞，都存在唯一的2(,2)x ∈-∞，满足12()()f x f x =，则实数a 的取值范围为答案： [2,6)-3. [19届奉贤一模9]函数()g x 对任意的x ∈R ，有2()()g x g x x +-=，设函数2()()2x f x g x =-，且()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，若2()(2)0f a f a +-≤，则实数a 的取值范围为答案： [2,1]-4. [19届闵行一模8]已知函数()|1|(1)f x x x =-+，[,]x a b ∈的值域为[0,8]，则a b +的取值范围是答案： [2,4]5. [19届青浦一模11]已知函数()2f x +=，当(0,1]x ∈时，2()f x x =，若在区间[1,1]-内()()(1)g x f x t x =-+有两个不同的零点，则实数t 的取值范围是答案： 1(0,]26. [19届徐汇一模11]已知λ∈R ，函数24()43x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩，若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是答案： (1,3](4,)+∞7. [19届杨浦一模11]当0x a <<时，不等式22112()x a x +≥-恒成立，则实数a 的最大值为答案： 2 8. [19届长嘉一模8]已知函数()log a f x x =和g()(2)x k x =-的图像如图所示，则不等式()0()f x g x ≥的解集是答案： [1,2)9. [19届崇明一模9]若函数2()log 1x a f x x -=+的反函数的图像经过点(3,7)-，则a =答案：610. [19届奉贤一模3]设函数()2x y f x c ==+的图像经过点(2,5)，则()y f x =的反函数1()f x -= 答案： 2log (1)x -，1x >11. [19届虹口一模4]设常数a ∈R ，若函数3()log ()f x x a =+的反函数的图像经过点(2,1)，则a = 答案： 812. [19届虹口一模12]若直线y kx =与曲线恰2|log (2)|2|1|x y x +=--有两个公共点，则实数k 取值范围为答案： (,0]{1}-∞13. [19届普陀一模12]记a 为常数，记函数1()log 2a x f x a x=+-（0a >且1a ≠，0x a <<）的反函数为1()f x -，则11111232()()()()21212121a f f f f a a a a ----+++⋅⋅⋅+=++++ 答案： 2a14. [19届松江一模3]已知函数()y f x =的图像与函数x y a =(0,1)a a >≠的图像关于直线y x =对称，且点(4,2)P 在函数()y f x =的图像上，则实数a =答案： 215. [19届杨浦一模8]若函数1()ln1x f x x +=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+，且B A ⊆，则实数a 的取值范围为答案： [1,0]-16. [19届青浦一模8]设函数()sin f x x ω=（02ω<<），将()f x 图像向左平移23π单位后所得函数图像与原函数图像的对称轴重合，则ω=答案： 32。

2019年上海市奉贤区高考数学一模试卷(含解析版)

2019年上海市奉贤区高考数学一模试卷一、填空题（第1题到第6題毎题4分,第7题到第12题毎题5分,满分54分)1．（4分）已知A＝{x|3x＜1}，B＝{x|y＝lg（x+1）}，则A∪B＝．2．（4分）双曲线x2﹣＝1的一条渐近线的一个方向向量＝（u，v），则＝．3．（4分）设函数y＝f（x）＝2x+c的图象经过点（2，5），则y＝f（x）的反函数f﹣1（x）＝．4．（4分）在（x﹣）5的展开式中x的系数为．5．（4分）若复数z＝（a+i）（3+4i）（i是虚数单位）的实部与虚部相等，则复数z的共扼复数的模等于．6．（4分）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率为．7．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为c，若（a2﹣b2+c2）＝，则角B的值为．（用反正切表示）8．（5分）椭圆+＝1上任意一点到其中一个焦点的距离恒大于1，则t的取值范围为．9．（5分）函数g（x）对任意的x∈R，有g（x）+g（﹣x）＝x2．设函数f（x）＝g（x）﹣，且f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，若f（a）+f（a2﹣2）≤0，则实数a的取值范围为．10．（5分）天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推．排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推．已知2017年为丁酉年，那么到改革开放100年时，即2078年为年．11．（5分）点P在曲线＝1上运动，E是曲线第二象限上的定点，E的纵坐标是，O（0，0），F（4，0），若＝x+y，则x+y的最大值是．12．（5分）设A（x1，y1），B（x1，y2）是曲线x2+y2＝2x﹣4y的两点，则x1y2﹣x2y1的最大值是．二、选择题（单项选择题，每题5分，满分20分)13．（5分）下列以行列式表达的结果中，与sin（α﹣β）相等的是（）A．B．C．D．14．（5分）若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件15．（5分）各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则q的取值范围是（）A．（0，1）B．（2，+∞）C．（0，1]∪（2，+∞）D．（0，2）16．（5分）若三个非零且互不相等的实数x1，x2，x3成等差数列且满足＝，则称x1，x2，x3成一个“β等差数列”．已知集合M＝{x||x|≤100，x∈Z}，则由M中的三个元素组成的所有数列中，“β等差数列”的个数为（）A．25B．50C．51D．100三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分) 17．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝AC，D是BC的中点．（1）求证：BC⊥平面A1AD；（2）若∠BAC＝90°，BC＝4，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积是8，求异面直线A1D和AB1所成的角的大小．18．（14分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）在一个周期内的图象经过B （），C（），D（）三点，求f（x）＝A sin（ωx+φ）的解析式．19．（14分）今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重．市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调査研究后发现，每一天中空气污染指数与f（x）时刻x（时）的函数关系为f（x）＝|log25（x+1）﹣a|+2a+1，x∈[0，24]，其中a为空气治理调节参数，且a∈（0，1）．（1）若a＝，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；（2）规定每天中f（x）的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？20．（16分）已知抛物线y＝x2上的A，B两点满足＝2，点A、B在抛物线对称轴的左右两侧，且A的横坐标小于零，抛物线顶点为O，焦点为F．（1）当点B的横坐标为2，求点A的坐标；（2）抛物线上是否存在点M，使得|MF|＝λ|MO|（λ＞0），若请说明理由；（3）设焦点F关于直线OB的对称点是C，求当四边形OABC面积最小值时点B的坐标．21．（18分）若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得数列{a n}的前n项和S n＝a m，则称{a n}是“回归数列”．（Ⅰ）①前n项和为的数列{a n}是否是“回归数列”？并请说明理由；②通项公式为b n＝2n的数列{b n}是否是“回归数列”？并请说明理由；（Ⅱ）设{a n}是等差数列，首项a1＝1，公差d＜0，若{a n}是“回归数列”，求d的值；（Ⅲ）是否对任意的等差数列{a n}，总存在两个“回归数列”{b n}和{c n}，使得a n＝b n+c n （n∈N*）成立，请给出你的结论，并说明理由．2019年上海市奉贤区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（第1题到第6題毎题4分,第7题到第12题毎题5分,满分54分)1．（4分）已知A＝{x|3x＜1}，B＝{x|y＝lg（x+1）}，则A∪B＝R．【考点】1D：并集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵A＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0}，B＝{x|y＝lg（x+1）}＝{x|x＞﹣1}，∴A∪B＝R．故答案为：R．【点评】本题考查并集的求法，考查集合的并集运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（4分）双曲线x2﹣＝1的一条渐近线的一个方向向量＝（u，v），则＝．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用直线的一个方向向量为（1，k），再利用双曲线的定义求得双曲线的渐近线方程即可．．【解答】解：双曲线x2﹣＝1的渐近线方程为y＝±x，则渐近线方一个方向向量为（1，k）．∴，故答案为：．【点评】本题考查双曲线的性质，直线方向向量的定义，属于中档题．3．（4分）设函数y＝f（x）＝2x+c的图象经过点（2，5），则y＝f（x）的反函数f﹣1（x）＝log2（x﹣1）．【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】由f（2）＝5，解得c＝1，得y＝f（x）＝2x+1，然后反解x后，对调x与f（x）可得．【解答】解：依题意有：f（2）＝22+c＝5，解得：c＝1，所以f（x）＝2x+1，∴2x＝f（x）﹣1，x＝log2（f（x）﹣1），∴f﹣1（x）＝log2（x﹣1）故答案为：log2（x﹣1）【点评】本题考查了反函数．属基础题．4．（4分）在（x﹣）5的展开式中x的系数为40．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5P：二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得开式中x的系数．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1＝C5r•（﹣2）r•x5﹣2r，令5﹣2r＝1，求得r＝2，∴二项式的展开式中x的系数为C52•（﹣2）2＝40，故答案为：40．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．5．（4分）若复数z＝（a+i）（3+4i）（i是虚数单位）的实部与虚部相等，则复数z的共扼复数的模等于25．【考点】A5：复数的运算．【专题】49：综合法；4R：转化法；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则化简z，根据实部与虚部相等可得a，再利用复数的运算性质即可得出．【解答】解：复数z＝（a+i）（3+4i）＝（3a﹣4）+（3+4a）i的实部与虚部相等，∴3a﹣4＝3+4a，解得a＝﹣7．则复数z＝﹣25﹣25i的共扼复数的＝﹣25+25i，||＝＝25．故答案为：25．【点评】本题考查了复数的运算法则及其性质、实部与虚部，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（4分）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是把5本书随机的摆到一个书架上，共有A55种结果，同一科目的书都相邻，利用捆绑法，利用古典概型概率公式计算即可【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是把5本书随机的摆到一个书架上，共有A55＝120种结果，同一科目的书都相邻，把2本语文书捆绑在一起，再把2本数学书捆绑在一起，故有A22A22A33＝24种，故同一科目的书都相邻的概率P＝＝故答案为：【点评】本题考查排列数的计算，捆绑法的应用，古典概型概率公式的应用，属于基础题．7．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为c，若（a2﹣b2+c2）＝，则角B的值为arctan．（用反正切表示）【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；58：解三角形．【分析】由a2﹣b2+c2＝，得＝，∴cos B＝sin B，∴tan B＝，再用反三角表示即可．【解答】解：由a2﹣b2+c2＝，得＝，∴cos B＝sin B，∴tan B＝，又B∈（0，），∴B＝arctan故答案为：arctan【点评】本题考查了余弦定理．属中档题．8．（5分）椭圆+＝1上任意一点到其中一个焦点的距离恒大于1，则t的取值范围为（3，4）∪（4，）．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】分t＞4和0＜t＜4求出椭圆的长半轴长和半焦距，再由a﹣c＞1列式求解t的取值范围．【解答】解：当t＞4时，椭圆+＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则a＝，b＝2，c＝，由题意可得：a﹣c＝＞1，解得4＜t＜；当0＜t＜4时，椭圆+＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则a＝2，b＝，c＝，由题意可得：a﹣c＝2﹣＞1，解得3＜t＜4．综上，t的取值范围为（3，4）∪（4，）．故答案为：（3，4）∪（4，）．【点评】本题考查椭圆的简单性质，明确长轴的两个端点到焦点距离最小（或最大）是关键，是中档题．9．（5分）函数g（x）对任意的x∈R，有g（x）+g（﹣x）＝x2．设函数f（x）＝g（x）﹣，且f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，若f（a）+f（a2﹣2）≤0，则实数a的取值范围为[﹣2，1]．【考点】3E：函数单调性的性质与判断；3P：抽象函数及其应用．【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】判断f（x）的奇偶性和单调性，根据单调性和奇偶性，运用二次不等式的解法求出a的范围．【解答】解：由f（x）＝g（x）﹣得：f（﹣x）＝g（﹣x）﹣，∴f（x）+f（﹣x）＝g（x）+g（﹣x）﹣x2＝0，∴f（x）在R上是奇函数，又f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，∴f（x）在R上单调递增，∵f（a）+f（a2﹣2）≤0，∴f（a）≤﹣f（a2﹣2）＝f（2﹣a2），∴a≤2﹣a2，即﹣2≤a≤1．故答案为：[﹣2，1]．【点评】本题考查韩寒说的奇偶性和单调性的判断和运用：解不等式，考查定义法和转化思想，属于基础题．10．（5分）天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推．排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推．已知2017年为丁酉年，那么到改革开放100年时，即2078年为戊戌年．【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】2A：探究型；38：对应思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列；5M：推理和证明．【分析】由题意可得数列天干是以10为等差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，以2017年的天干和地支分别为首项，即可求出答案．【解答】解：天干是以10为构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从2017年到2078年经过61年，且2017年为丁酉年，以2017年的天干和地支分别为首项，则61÷10＝6余1，则2078的天干为戊，61÷12＝5余1，则戊的地支为戌，故答案为：戊戌【点评】本题考查了等差数列在实际生活中的应用，属于中档题．11．（5分）点P在曲线＝1上运动，E是曲线第二象限上的定点，E的纵坐标是，O（0，0），F（4，0），若＝x+y，则x+y的最大值是．【考点】KE：曲线与方程．【专题】34：方程思想；41：向量法；5A：平面向量及应用；5B：直线与圆．【分析】化简曲线方程画出图形，设出P（m，n），求得E的坐标，由向量坐标表示可得x，y关于m，n的关系式，再由线性规划知识，即可得到所求最大值．【解答】解：曲线＝1即为+＝1，如图所示，P在曲线上运动，设P（m，n），可得+＝1，由E是曲线第二象限上的定点，E的纵坐标是，可得E（﹣，），可得（m，n）＝x（4，0）+y（﹣，），即有m＝4x﹣y，n＝y，可得x＝，y＝n，即有x+y＝+，要求x+y＝+在+＝1下的最大值，考虑如图所示曲线的顶点（﹣5，0），（5，0），（0，3），（0，﹣3），代入（0，3）可得最大值为．故答案为：．【点评】本题考查曲线方程和应用，考查向量的坐标表示和简单线性规划问题，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．12．（5分）设A（x1，y1），B（x1，y2）是曲线x2+y2＝2x﹣4y的两点，则x1y2﹣x2y1的最大值是．【考点】JF：圆方程的综合应用．【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5B：直线与圆．【分析】由三角形的面积公式，结合向量数量积的坐标表示，变形即可得到所求解析式；x1y2﹣x2y1的最大值为2S的最大值，利用圆内接三角形面积最大时为等边三角形，即可得到取最大值【解答】解：△AOB的面积为S＝||•||•|sin∠AOB＝＝＝|x1y2﹣x2y1|；故x1y2﹣x2y1的最大值为2S的最大值，曲线x2+y2＝2x﹣4y，即（x﹣1）2+（y+2）2＝5为圆心（1，﹣2），半径为的圆，且圆经过原点，当△AOB为等边三角形时，其面积最大，则最大值为，故x1y2﹣x2y1的最大值为，设故答案为：．【点评】本题考查三角形的面积的求法，注意运用向量数量积的坐标表示，考查代数式的最值求法，属于中档题．二、选择题（单项选择题，每题5分，满分20分)13．（5分）下列以行列式表达的结果中，与sin（α﹣β）相等的是（）A．B．C．D．【考点】OM：二阶行列式的定义．【专题】11：计算题．【分析】根据行列式的运算法则对四个选项一一进行化简运算得结果．【解答】解：∵sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ，对于A：＝sinαcosβ+cosαsinβ；故错；对于B：＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，故错；对于C：＝sinαcosβ﹣cosαsinβ，正确；对于D：＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，故错．故选：C．【点评】本题考查行列式的运算，三角函数的变换公式、和角及二倍角的公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．14．（5分）若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由题意知，用由一条直线和直线外一点确定一个平面验证充分性成立，反之必要性不成立．【解答】解：充分性成立：“这四个点中有三点在同一直线上”，则第四点不在共线三点所在的直线上，由一条直线和直线外一点确定一个平面，推出“这四点在唯一的一个平面内”；必要性不成立：“四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平行直线上”；故选：A．【点评】本题考查了确定平面的依据：即公理2和推论，还有必要条件、充分条件与充要条件的判断．15．（5分）各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则q的取值范围是（）A．（0，1）B．（2，+∞）C．（0，1]∪（2，+∞）D．（0，2）【考点】8J：数列的极限．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；52：导数的概念及应用；54：等差数列与等比数列．【分析】根据题意，分析可得等比数列{a n}中q≠1，由等比数列的前n项和公式可得＝，进而结合极限的计算公式分析可得＝＜，解可得q的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，等比数列{a n}中，则必有q≠1，则S n＝，则＝＝＝，若存在，且{a n}的各项均为正数，必有q＞1，此时＝＜，解可得q＞2，即q的取值范围为（2，+∞）；故选：B．【点评】本题考查等比数列的前n项和以及极限的计算，注意掌握极限的计算公式，属于基础题．16．（5分）若三个非零且互不相等的实数x1，x2，x3成等差数列且满足＝，则称x1，x2，x3成一个“β等差数列”．已知集合M＝{x||x|≤100，x∈Z}，则由M中的三个元素组成的所有数列中，“β等差数列”的个数为（）A．25B．50C．51D．100【考点】8B：数列的应用．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】根据“好集”的定义，可解关于x1，x2，x3的方程组，用x2把另外两个元素表示出来，再根据“集合M＝{x||x|≤100，x∈Z}，通过x1，x2，x3∈M”构造出关于x2的不等式，求出x2中最大的元素．可以求出x2的最大值，从而确定“β等差数列的个数．【解答】解：∵＝，且x1+x3＝2x2，可得：＝，∴（x1﹣x2）（x1+2x2）＝0，∴x1＝x2（舍），或x1＝﹣2x2，∴x3＝4x2，令﹣100≤4x2≤100，得﹣25≤x2≤25，∴“β等差数列”的个数为2×25＝50．故选：B．【点评】这是一道新定义题，关键是理解好题意，将问题转化为方程（组）或不等式问题，则问题迎刃而解．三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分) 17．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝AC，D是BC的中点．（1）求证：BC⊥平面A1AD；（2）若∠BAC＝90°，BC＝4，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积是8，求异面直线A1D 和AB1所成的角的大小．【考点】LM：异面直线及其所成的角；LW：直线与平面垂直．【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）推导出AA1⊥BC，BC⊥AD，由此能证明BC⊥平面A1AD1．（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线A1D和AB1所成的角的大小．【解答】证明：（1）∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BC，又AB＝AC，D是BC的中点，BC⊥AD，AA1∩AD＝A，∴BC⊥平面A1AD1．解：（2）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝4，∴AB＝AC＝2，＝＝4，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积是8，∴S△ABC•AA1＝4AA1＝8，解得AA1＝2，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则D（，0），A（0，0，0），B1（2，0，2），＝（，﹣2），＝（2，0，2），设异面直线A1D，AB1所成角为θ，则cosθ＝＝＝．∴异面直线A1D和AB1所成的角的大小为arccos．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．18．（14分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）在一个周期内的图象经过B （），C（），D（）三点，求f（x）＝A sin（ωx+φ）的解析式．【考点】HK：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】11：计算题；57：三角函数的图象与性质．【分析】分两种情况讨论：（1）当B（，0），C（，0）是半个周期内的两个相邻的零点；（2）当B（，0），C（，0）是一个周期内的两个不相邻的零点．【解答】解：（1）当B（，0），C（，0）是半个周期内的两个相邻的零点，则＝﹣，∴T＝π，ω＝2，φφφ⇒，∴函数f（x）＝2sin（2x﹣）；（2）当B（，0），C（，0）是一个周期内的两个不相邻的零点，则T＝﹣，∴T＝，ω＝4，⇒，所以函数f（x）＝sin（4x﹣）．【点评】本题考查了由y＝sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，属中档题．19．（14分）今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重．市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调査研究后发现，每一天中空气污染指数与f（x）时刻x（时）的函数关系为f（x）＝|log25（x+1）﹣a|+2a+1，x∈[0，24]，其中a为空气治理调节参数，且a∈（0，1）．（1）若a＝，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；（2）规定每天中f（x）的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】32：分类讨论；34：方程思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用．【分析】（1）a＝时，f（x）＝|log25（x+1）﹣|+2，x∈[0，24]，令|log25（x+1）﹣|＝0，解得x即可得出．（2）令f（x）＝|log25（x+1）﹣a|+2a+1＝，再利用函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）a＝时，f（x）＝|log25（x+1）﹣|+2，x∈[0，24]，令|log25（x+1）﹣|＝0，解得x＝4，因此：一天中第4个时刻该市的空气污染指数最低．（2）令f（x）＝|log25（x+1）﹣a|+2a+1＝，当x∈（0，25a﹣1]时，f（x）＝3a+1﹣log25（x+1）单调递减，∴f（x）＜f（0）＝3a+1．当x∈[25a﹣1，24）时，f（x）＝a+1+log25（x+1）单调递增，∴f（x）≤f（24）＝a+1+1．联立，解得0＜a≤．可得a∈．因此调节参数a应控制在范围．【点评】本题考查了对数函数的单调性及其应用，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．20．（16分）已知抛物线y＝x2上的A，B两点满足＝2，点A、B在抛物线对称轴的左右两侧，且A的横坐标小于零，抛物线顶点为O，焦点为F．（1）当点B的横坐标为2，求点A的坐标；（2）抛物线上是否存在点M，使得|MF|＝λ|MO|（λ＞0），若请说明理由；（3）设焦点F关于直线OB的对称点是C，求当四边形OABC面积最小值时点B的坐标．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由B（2，4），设A（t，t2），结合已知条件即可求出t的值，则可求点A的坐标；（2）由条件知，把y＝x2代入得，求出△，然后分类讨论λ的范围即可得答案；（3）设B（），A（），则，解得x1x2＝﹣2，设直线AB的方程为y＝kx+m，联立，解得m的值，然后利用基本不等式求解即可得答案．【解答】解：（1）由题意知，B（2，4），设A（t，t2），由＝2，得2t+4t2＝2，解得：t＝（舍）或t＝﹣1，∴A（﹣1，1）；（2）由条件知，把y＝x2代入得，∴，当λ＝1时，M有两个点，当时，M有两个点，当时，M点有四个，当λ＞1，M点有两个，当，M点不存在；（3）设B（），A（），由题意得：，解得x1x2＝﹣2．设直线AB的方程为y＝kx+m，联立，得x2﹣kx﹣m＝0，得x1x2＝﹣m，又x1x2＝﹣2，∴m＝2，则直线经过定点（0，2），∴S四边形OABC＝S△OAB+S△OBC＝S△OAB+S△OBF＝＝，当且仅当等号成立，四边形OABC面积最小，∴B（，）．【点评】本题考查抛物线方程和性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查基本不等式的应用，是中档题．21．（18分）若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得数列{a n}的前n项和S n＝a m，则称{a n}是“回归数列”．（Ⅰ）①前n项和为的数列{a n}是否是“回归数列”？并请说明理由；②通项公式为b n＝2n的数列{b n}是否是“回归数列”？并请说明理由；（Ⅱ）设{a n}是等差数列，首项a1＝1，公差d＜0，若{a n}是“回归数列”，求d的值；（Ⅲ）是否对任意的等差数列{a n}，总存在两个“回归数列”{b n}和{c n}，使得a n＝b n+c n （n∈N*）成立，请给出你的结论，并说明理由．【考点】8B：数列的应用．【专题】23：新定义；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）利用“当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，当n＝1时，a1＝S1”即可得到a n，再利用“回归数列”的意义即可得出，②b n＝2n，S n＝n2+n＝n（n+1），n（n+1）为偶数，即可证明数列{b n}是“回归数列”；（2）利用等差数列的前n项和即可得出S n，对∀n∈N*，∃m∈N*使S n＝a m，取n＝2和根据d＜0即可得出；（3）设{a n}的公差为d，构造数列：b n＝a1﹣（n﹣1）a1＝（2﹣n）a1，c n＝（n﹣1）（a1+d），可证明{b n}和{c n}是等差数列．再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“回归数列”；即可得出．【解答】解：（Ⅰ）①当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n﹣2n﹣1＝2n﹣1，当n＝1时，a1＝S1＝2．当n≥2时，S n＝a n+1．∴数列{a n}是“回归数列”；②b n＝2n，前n项和S n，S n＝n2+n＝n（n+1），∵n（n+1）为偶数，∴存在2m＝n（n+1），即m＝，数列{b n}是否是“回归数列”；（2）S n＝na1+d＝n+d，对∀n∈N*，∃m∈N*使S n＝a m，即n+d＝1+（m﹣1）d，取n＝2时，得1+d＝（m﹣1）d，解得m＝2+，∵d＜0，∴m＜2，又m∈N*，∴m＝1，∴d＝﹣1．（3）设{a n}的公差为d，令b n＝a1﹣（n﹣1）a1＝（2﹣n）a1，对∀n∈N*，b n+1﹣b n＝﹣a1，c n＝（n﹣1）（a1+d），对∀n∈N*，c n+1﹣c n＝a1+d，则b n+c n＝a1+（n﹣1）d＝a n，且数列{b n}和{c n}是等差数列．数列{b n}的前n项和T n＝na1+（﹣a1），令T n＝（2﹣m）a1，则m＝+2．当n＝1时，m＝1；当n＝2时，m＝1．当n≥3时，由于n与n﹣3的奇偶性不同，即n（n﹣3）为非负偶数，m∈N*．因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使T n＝b m成立，即{b n}为“回归数列”；．数列{c n}的前n项和R n＝（a1+d），令c m＝（m﹣1）（a1+d）＝R n，则m＝+1．∵对∀n∈N*，n（n﹣3）为非负偶数，∴m∈N*．因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使R n＝c m成立，即{c n}为“回归数列”；．因此命题得证．【点评】本题考查了利用“当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，当n＝1时，a1＝S1”求a n、等差数列的前n项和公式及其通项公式、“回归数列”意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、构造法，属于难题．。

2019-2020学年上海市奉贤区高三年级一模考试数学试卷

9.设平面直角坐标系中，为原点，为动点，，，过点作轴于，过作轴于点，与不重合，与不重合，设，则点的轨迹方程是______________.
【答案】
【解析】设，点，则，又
，，于是，由此能求出曲线的方程。
10.根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车，假设饮酒后，血液中的酒精含量为毫克/100毫升，经过个小时，酒精含量为毫克/100毫升，且满足关系式（为常数），若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过____________小时方可驾车。（精确到小时）
所以点的轨迹方程是 -----------3分
设，由得 -----------2分
由，点是第二象限内的点，解得
所以点的坐标为 -----------2分
（2）设 -----------1分
、，因为是关于原点对称的两个定点，
所以、、、为定值----------1分
，
所以
因为， ----------1分
上市时间天
4
10
390
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价与上市时间的变化关系并说明理由：；；；；
（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格。
【答案】（1）；（2），上市20天，最低价26元
【解析】
（1）∵随着时间的增加，的值先减后增-----------1分
因为 ----------2分（必须要验证）
所以函数是周期函数，且是它的一个周期.

上海市奉贤区2019-2020学年高考一诊数学试题含解析

上海市奉贤区2019-2020学年高考一诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()cos(2)(0)f x A x ϕϕ=+>的图像向右平移8π个单位长度后，得到的图像关于y 轴对称，(0)1f =，当ϕ取得最小值时，函数()f x 的解析式为（）A ．())4f x x π=+B ．()cos(2)4f x x π=+C ．())4f x x π=-D ．()cos(2)4f x x π=-【答案】A 【解析】【分析】先求出平移后的函数解析式，结合图像的对称性和()01f =得到A 和ϕ. 【详解】因为()cos 2cos 284f x A x A x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦关于y 轴对称，所以()4k k Z πϕπ-+=∈，所以4k πϕπ=+，ϕ的最小值是4π.()0cos 14f A π==，则A =()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换及性质.平移图像时需注意x 的系数和平移量之间的关系. 2．若(12)5i z i -=（i 是虚数单位），则z 的值为（）A ．3B ．5C D 【答案】D 【解析】【分析】直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可. 【详解】() 125i z i -=（i 是虚数单位）可得()125i z i -=解得z =本题正确选项：D 【点睛】本题考查复数的模的运算法则的应用，复数的模的求法，考查计算能力. 3．若样本1231,1,1,,1n x x x x ++++L 的平均数是10，方差为2，则对于样本12322,22,22,,22n x x x x ++++L ，下列结论正确的是（）A ．平均数为20，方差为4B ．平均数为11，方差为4C ．平均数为21，方差为8D ．平均数为20，方差为8【答案】D 【解析】【分析】由两组数据间的关系,可判断二者平均数的关系,方差的关系,进而可得到答案. 【详解】样本1231,1,1,,1n x x x x ++++L 的平均数是10，方差为2，所以样本12322,22,22,,22n x x x x ++++L 的平均数为21020⨯=,方差为2228⨯=. 故选:D. 【点睛】样本123,,,,n x x x x L 的平均数是x ，方差为2s ，则123,,,,n ax b ax b ax b ax b ++++L 的平均数为ax b +,方差为22a s .4．函数()2cos2cos221xxf x x =+-的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【分析】根据函数奇偶性可排除AB 选项；结合特殊值，即可排除D 选项. 【详解】∵()2cos221cos2cos22121x xx x f x x x +=+=⨯--， ()()()2121cos 2cos22121x x x x f x x x f x --++-=⨯-=-⨯=---，∴函数()f x 为奇函数， ∴排除选项A ，B ；又∵当04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，故选：C. 【点睛】本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题.5．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F ，直线1y x =-与其相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是 A ．22134x y -= B ．22143x y -= C ．22152x y -=D ．22125x y -=【答案】D 【解析】【分析】根据点差法得2225a b=，再根据焦点坐标得227a b +=，解方程组得22a =，25b =，即得结果. 【详解】设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由题意可得227a b +=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则MN的中点为25,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由2211221x y a b -=且2222221x y a b-=，得()()12122x x x x a +-= ()()12122y y y y b +-，2223a ⨯-=（） 2523b ⨯-（），即2225a b=，联立227a b +=，解得22a =，25b =，故所求双曲线的方程为22125x y -=．故选D ．【点睛】本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题.6．圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的方程是（） A ．()()22211x y -+-= B ．()()22211x y +++= C ．()()22215x y -+-= D ．()()22215x y +++=【答案】A 【解析】【分析】求出所求圆的半径，可得出所求圆的标准方程. 【详解】圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的半径为1，因此，所求圆的方程为()()22211x y -+-=.故选：A. 【点睛】本题考查圆的方程的求解，一般求出圆的圆心和半径，考查计算能力，属于基础题.7．二项式732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，1x 项的系数为（） A ．94516-B ．18932-C ．2164-D ．28358【答案】D 【解析】【分析】写出二项式的通项公式,再分析x 的系数求解即可. 【详解】二项式732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为777217731(3)22rr rr r r r r x T C C x x ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,令721r -=-,得4r =,故1x 项的系数为7444712835(3)28C -⎛⎫-=⎪⎝⎭. 故选：D 【点睛】本题主要考查了二项式定理的运算,属于基础题.8．若集合M ＝{1，3}，N ＝{1，3，5}，则满足M ∪X ＝N 的集合X 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】X 可以是{}{}{}{}5,1,5,3,5,1,3,5共4个，选D.9．给出下列三个命题：①“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”的否定；②在ABC V 中，“30B ︒>”是“cos 2B <”的充要条件； ③将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象．其中假命题的个数是（） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】【分析】结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假,即可选出答案. 【详解】对于命题①,因为()220002110x x x --+=≥,所以“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”是真命题,故其否定是假命题,即①是假命题;对于命题②,充分性:ABC V 中,若30B ︒>,则30180B ︒︒<<,由余弦函数的单调性可知,cos180cos cos30B ︒︒<<,即1cos 2B -<<,即可得到cos B <,即充分性成立;必要性:ABCV中,0180B ︒︒<<,若cos 2B <,结合余弦函数的单调性可知,cos180cos cos30B ︒︒<<,即30180B ︒︒<<,可得到30B ︒>,即必要性成立.故命题②正确;对于命题③,将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度,可得到π2cos 23π2cos 26x y x ⎡⎤⎛⎫=+= ⎪⎢⎛⎥⎫+ ⎪⎝⎝⎣⎦⎭⎭的图象,即命题③是假命题．故假命题有①③. 故选:C 【点睛】本题考查了命题真假的判断,考查了余弦函数单调性的应用,考查了三角函数图象的平移变换,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长棱长为（）A ．32B ．25C ．26D ．27【答案】C 【解析】【分析】根据三视图，可得该几何体是一个三棱锥S ABC -，并且平面SAC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，过S 作SD AC ⊥，连接BD ，2,2,2,2AD AC BC SD ====，再求得其它的棱长比较下结论.【详解】如图所示：由三视图得：该几何体是一个三棱锥S ABC -，且平面SAC ⊥ 平面ABC ，AC BC ⊥，过S 作SD AC ⊥，连接BD ，则2,2,2,2AD AC BC SD ==== ，所以=+=2220BD DC BC ，226SB SD BD =+=，2222SA SD AD =+=2225SC SD AC =+=，该几何体中的最长棱长为26故选：C 【点睛】本题主要考查三视图还原几何体，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.11．已知实数x ，y 满足2212x y +≤，则2222267x y x y x +-++-+的最小值等于（）A．5 B．7C-D．9-【答案】D 【解析】【分析】设x θ=，sin y θ=，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出．【详解】因为实数x ，y 满足2212xy +„，设x θ=，sin y θ=，222222222|2||67||2cos sin 2||2cos sin 7||sin |x y x y x θθθθθθ∴+-++-+=+-++-+=-+2|cos 8|θθ-+，22cos 8(cos 100θθθ-+=-->Q 恒成立，222222|2||67|sin cos 899x y x y x θθθθ∴+-++-+=+-+=--…故则2222|2||67|x y x y x +-++-+的最小值等于9-. 故选：D ．【点睛】本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．12．设x ，y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的取值范围是（）A ．[]5,3-B ．[]2,3C ．[)2,+∞D ．(],3-∞【答案】C 【解析】【分析】首先绘制出可行域，再绘制出目标函数，根据可行域范围求出目标函数中z 的取值范围. 【详解】由题知x ，y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，可行域如下图所示，可知目标函数在点()2,0A 处取得最小值，故目标函数的最小值为2z x y =+=，故z x y =+的取值范围是[)2,+∞. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了线性规划中目标函数的取值范围的问题，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市奉贤区2019-2020学年高三第一学期数学模拟考试卷

2019学年奉贤区高三数学一模调研测试卷（考试时间：120分钟，满分150分）一．填空题(本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-6题每个空格填对得4分, 7-12题每个空格填对得5分) 1．计算：32lim21n n n →∞-+=____________.2．在ABC ∆中，若060=A ，2=AB ，32=AC ，则ABC ∆的面积是___________.3．圆锥的底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积等于____________. 4．设3,sin 2a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，1cos ,3b α⎛⎫= ⎪⎝⎭，且a b //，则=α2cos ___________. 5．在252x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭二项展开式中，x 的一次项系数为____________.（用数字作答）6．若甲、乙两人从6门课程中各选修3门，则甲、乙所选修的课程中只有1门相同的选法种数为_______.7．若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的焦距为102，则该双曲线的标准方程为______. 8．已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上，则()x f 的反函数为()x f1-= ．9．设平面直角坐标中，O 为原点，N 为动点，6||=ON ，O 5=．过点M 作1MM y ⊥轴于1M ，过N 作1NN x ⊥轴于点1N ，M 与1M 不重合，N 与1N 不重合.设11OT M M N N =+，则点T 的轨迹方程是_______________.10．根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车. 假设饮酒后，血液中的酒精含量为0p 毫克/100毫升，经过x 个小时，酒精含量降为p 毫克/100毫升，且满足关系式rxe p p ⋅=0（r 为常数）.若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过_______小时方可驾车(精确到小时).11．给出下列一组函数：()()32log 221++=x x x f 、()()852ln 22++=x x x f 、()()1383lg 23++=x x x f 、()()9282.134641.7log 20.34++=x x x f ，……，请你通过研究以上所给的四个函数解析式具有的特征，写出一个类似的函数解析式())1,0(log 2≠>++=a a C Bx Ax y a ：_____________________________.12．已知直线1+=x y 上有两个点()11,b a A 、()22,b a B . 已知2211,,,b a b a 满足2222212121212b a b a b b a a +⨯+=+，若21a a >，22+=AB ，则这样的点A 有_____个.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13．已知点()b a P ,，曲线1C 的方程21x y -=，曲线2C 的方程122=+y x ，则“点()b a P , 在曲线1C 上”是“点()b a P ,在曲线2C 上”的（）A .充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充分必要条件D . 既非充分又非必要条件14．一个不是常数列的等比数列中，值为3的项数最多有（）A .1个B .2个C .4个D .无穷多个 15．复数z 满足23=-i z i (为虚数单位)，则复数4-z 模的取值范围是（）A . []7,3B . []5,0C .[]9,0D .以上都不对16．由9个互不相等的正数组成的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a 中，每行中的三个数成等差数列，且131211a a a ++、232221a a a ++、333231a a a ++成等比数列，下列判断正确的有（）①第2列中的322212,,a a a 必成等比数列；②第1列中的312111,,a a a 不一定成等比数列； ③23213212a a a a +>+.A .1个B .2个C .3个D .0个三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分） 17．已知长方体1111ABCD A B C D -中，12,4,4AB BC AA ===，点M 是棱11C D 上的动点．（1）求三棱锥M B A D 11-的体积；（2）当点M 是棱11C D 上的中点时，求直线AB 与平面1DA M 所成的角（结果用反三角函数值表示）．1A 1B 1C 1D18．某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下：（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系并说明理由：①y ax b =+；②2y ax bx c =++；③x a y b log ⋅=；④xa k y ⋅=；（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．19．平面内任意一点P 到两定点()()0,3,0,321F F -的距离之和为4．（1）若点P 是第二象限内的一点且满足021=⋅PF PF ，求点P 的坐标；（2）设平面内有关于原点对称的两定点21,M M ，判别21PM PM ⋅是否有最大值和最小值，请说明理由？20．函数()()wx x f tan sin =，其中0≠w . （1）讨论()x f 的奇偶性；（2）1=w 时，求证()x f 的最小正周期是π；（3）(1.50,1.57)ω∈，当函数()f x 的图像与11()()2g x x x=+的图像有交点时，求满足条件的ω的个数，说明理由．21．有限个元素组成的集合{}n a a a A ,,,21 =，*N n ∈．集合A 中的元素个数记为()A d ．定义{}A y A x y x A A ∈∈+=+,．集合A A +的个数记为()A A d +．当()A A d +=()()21)(+⋅A d A d 时，称集合A 具有性质Γ．（1）设集合{}y x M ,,1=具有性质Γ，判断集合M 中的三个元素是否能组成等差数列，请说明理由；（2）设正数列{}n d 的前n 项和为n S ，满足3121n +=+n S S ，其中311=d ，数列{}n d 中的前2020项：2020321,,,d d d d 组成的集合{}202021,,,d d d 记作D ，将集合DD +中的所有元素k t t t t ,,,,321 ()*N k ∈从小到大进行排序，即k t t t t ,,,,321 满足k t t t t <<<< 321，求2020t ；（3）已知集合{}n c c c C ,,,21 =，其中数列{}n c 是等比数列，0>n c ，且公比是有理数，判断集合C 是否具有性质Γ，说明理由．2019年12月奉贤区高三数学一模参考答案一、填空题（1-6，每个4分，7-12每个5分，合计54分）1、322、3 34、05、80-6、1807、19122=-y x 或22191y x -= 8、()1log 2-=x y 9、22536x y += 10、8 （0x ≠且0y ≠）必须挖掉点11、2213log ()22x x ++等满足①0A >，②A 、B 、C 成等差数列，③240B AC -<三个条件必须完全具备，与底数无关，否则算错 12、3二、选择题（每个5分，合计20分）13、A 14、 D 15、A 16、 C三、解答题（14+14+14+16+18=76分）17．解：（1）因为长方体1111ABCD A B C D -中有1DD ⊥平面11A B M 因为11B A 与11C D 平行，所以点M 到线段11B A 的距离等于411=C B 所以4422121111111=⨯⨯=⋅⋅=C B B A S MB A ∆ -----------3分所以11111111644333D A B M A B M V S DD -∆=⋅⋅=⨯⨯= -----------7分（2）长方体1111ABCD A B C D -中可得1AD =DM =，1AM =从而1A DM S ∆= -----------3分过点1B 作1B H ⊥平面1A DM由1111D A B M B A DM V V --=得111111133A B M A DM S DD S B H ∆∆⋅⋅=⋅⋅求得11111A B M A DMS DD B H S ∆∆⋅=== -----------2分A 1C由1B H ⊥平面1A DM ，且11//AB A B知11B A H ∠为直线AB 与平面1DA M 所成的角 -----------1分11Rt B HA ∆中，111113sin 2B H B A H A B ∠===所以11B A H ∠=所以直线AB 与平面1DA M所成的角的大小为 -----------1分18.解：（1）∵随着时间x 的增加，y 的值先减后增 -----------1分三个函数中y ax b =+、log b y a x =、xa k y ⋅=显然都是单调函数，不满足题意 ------------4分∴选择2y ax bx c =++． -----------1分（2）把点(4,90)，(10,51)，(36,90)代入2y ax bx c =++中，得16490100105112963690a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得126,10,41=-==c b a ．∴()221110126202644y x x x =-+=-+， -----------4分 ∴当20x =时，y 有最小值min 26y =． -----------3分答：当纪念章上市20天时，该纪念章的市场价最低，最低市场价为26元． -------1分19．解：（1）由条件知，点P的轨迹是以())12,F F 为焦点，长轴长为4的椭圆所以24a =，c =2221b a c =-=所以点P 的轨迹方程是2214x y += -----------3分设00(,)P x y ，由021=⋅PF PF 得22003x y += -----------2分由22002200314x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，点P是第二象限内的点，解得0033x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点P的坐标为( -----------2分（2）设(2cos ,sin )P θθ -----------1分111(,)M x y 、222(,)M x y ，因为21,M M 是关于原点对称的两个定点，所以12x x +、12x x 、12y y +、12y y 为定值 ----------1分111(2cos ,sin )PM x y θθ=--，222(2cos ,sin )PM x y θθ=--所以121212(2cos )(2cos )(sin )(sin )PM PM x x y y θθθθ⋅=--+--22121212122cos ()4cos sin ()sin x x x x y y y y θθθθ=-+++-++因为120x x +=，120y y += ----------1分2121212122cos ()3cos sin ()1x x x x y y y y θθθ=-+++-++212123cos 1x x y y θ=+++（*） -----------2分由12x x 、12y y 为定值，2cos [0,1]θ∈知（*）式P 在左右端点时有最大值12124x x y y ++ -----------1分P 在上下端点时有最小值12121x x y y ++ ----------1分20．解：（1）由2x k πωπ≠+得212k x πω+≠，k Z ∈所以函数()()wx x f tan sin =的定义域为21{|,}2k x x k Z πω+≠∈ ----------2分k Z ∈不写扣1分所以定义域关于原点对称 -----------1分()[]()()sin tan ()sin tan sin tan ()f x w x wx wx f x -=-=-=-=- -----------1分所以函数()()wx x f tan sin =是21{|,}2k x x k Z πω+≠∈上的奇函数. ----------1分（2）1=w ，()()sin tan f x x =函数()f x 是周期函数，且π是它的一个周期.因为()()()sin tan sin tan ()f x x x f x ππ+=+==⎡⎤⎣⎦ ----------2分（必须要验证）所以函数()f x 是周期函数，且π是它的一个周期. 假设0T 是函数()()sin tan f x x =的最小正周期，且00T π<<那么对任意实数x ，都有()()()00sin tan sin tan ()f x T x T x f x +=+==⎡⎤⎣⎦成立取0x =，则()0sin tan 0T =，所以0tan T k π=，k Z ∈（*）取0x T =，则()()00sin tan 2sin tan T T =所以()00202tan sin sin tan 1tan T T T ⎛⎫=⎪-⎝⎭把（*）式代入上式，得222sin 01k k ππ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，所以2221k n k πππ=-,,k n Z ∈ 得2221kn k π=-,,k n Z ∈0k ≠时，上式左边为无理数，右边为有理数所以只能0k =但由00T π<<，0tan T k π=，k Z ∈知0k ≠所以假设错误，故π是()f x 的最小正周期. -----------3分（3）因为0x >，111()122x x +≥⨯=且()()sin tan 1f x wx =≤由()()11sin tan ()()2f x wx g x x x===+成立，当且仅当1x =成立 -----------2分 ()sin tan 1w =，得tan 22k πωπ=+所以arctan(2)2k n πωππ=++，,k n Z ∈因为(1.50,1.57)ω∈，所以只能0n = 得arctan(2)2k πωπ=+，k Z ∈ -----------1分得arctan(2)2k πωπ=+是k 的递增函数当0k <时，3arctan(2)arctan()022k ππωπ=+<-<，不符合当0k =时，arctan1.00(1.50,1.57)2πω=≈∉当1k =时，5arctan 1.44(1.50,1.57)2πω=≈∉当2k =时，9arctan 1.5001(1.50,1.57)2πω=≈∈当3k =时，13arctan 1.52(1.50,1.57)2πω=≈∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅当199k =时，()57.150.15699.12797arctan，∈≈=πω 当200k =时，()57.150.1570001546.12801arctan ，∉≈=πω当()57.150.1570001546.1,200，时∉>>ωk 无解故满足条件的ω的个数有198个. -----------3分21．解：（1）因为集合{}y x M ,,1=具有性质Γ，所以()d M M +=()()()134622d M d M ⋅+⨯== -----------1分因为M M +中的元素可能为2,2,2,1,1,x y x y x y +++ -----------1分这六个元素同时满足2x y ≠+，21x y ≠+，21y x ≠+所以集合M 中的三个元素不可能组成等差数列 -----------2分（2）由3121n +=+n S S ①，得1123n n S S -=+*(2,)n n N ≥∈② ①、②相减得到12n n d d +=*(2,)n n N ≥∈③1n =得2121123S d d d =+=+，211233d d =+=，所以212d d = -----------1分所以12n n d d +=*()n N ∈ ，得到1123n n d -=⋅ -----------1分集合D D +中的所有元素从小到大进行排序得到1120191112222222,,,,,,33333i j --++++⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅满足k t t t t <<<< 321 其中(,)i j 与数对(1,1)；(1,2)，(2,2)；(1,3)，(2,3)，(3,3)；(1,4)，(2,4)，(3,4)，(4,4)；⋅⋅⋅；0(1,)n ，0(2,)n ，0(3,)n ，⋅⋅⋅，00(,)n n 对应. -----------2分所以00012(1)20202n n n ++⋅⋅⋅+=+≤ 解得()0max 63n =当063n =时，631263(631)20162++⋅⋅⋅+=+= 所以2020t 对应的数对为)64,4(，所以3226332020+=t -----------2分（3）设数列{}n c 的公比为q ，则211111{,,,,}n C c c q c q c q -=⋅⋅⋅C C +的元素至多有22(1)(1)22n n n n n n n C n -+⋅-=-=个 -----------2分因为0n c >，所以10,0c q >>设1234n n n n <≤<，所以1234n n n n c c c c <≤<或1234n n n n c c c c >≥>只要证明1423n n n n c c c c +≠+恒不成立即可. -----------1分即31421111n n n n q q q q ----+≠+，假设31421111n n n n qq q q ----+=+ 即3141211n n n n n n qq q ---=+-（*）因为q 是有理数，设sq t=，*t N ∈，s Z ∈且,s t 互质得314321424141n n n n n n n n n n n n st s t t s ------⋅+⋅-=所以左边是t 的倍数，右边不是t 的倍数，所以（*）式不成立所以集合C 具有性质Γ -----------5分11。

上海市奉贤区2019-2020学年高考数学一月模拟试卷含解析

上海市奉贤区2019-2020学年高考数学一月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若圆锥轴截面面积为60°，则体积为( )A B ．C D 【答案】D 【解析】【分析】设圆锥底面圆的半径为r ，由轴截面面积为r ，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】设圆锥底面圆的半径为r ，由已知，122r ⨯=r =所以圆锥的体积213V r π==. 故选：D 【点睛】本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题. 2．已知平面α和直线a ，b ，则下列命题正确的是（） A ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α B ．若a b ⊥r r，b α⊥，则a ∥α C ．若a ∥b ，b α⊥，则a α⊥ D ．若a b ⊥r r，b ∥α，则a α⊥【答案】C 【解析】【分析】根据线面的位置关系，结合线面平行的判定定理、平行线的性质进行判断即可. 【详解】A ：当a α⊂时，也可以满足a ∥b ，b ∥α，故本命题不正确；B ：当a α⊂时，也可以满足a b ⊥r r，b α⊥，故本命题不正确；C ：根据平行线的性质可知：当a ∥b ，b α⊥，时，能得到a α⊥，故本命题是正确的；D ：当a α⊂时，也可以满足a b ⊥r r，b ∥α，故本命题不正确.故选：C 【点睛】本题考查了线面的位置关系，考查了平行线的性质，考查了推理论证能力.3．定义在R 上的函数()f x 满足()()2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2019f =（）A ．-1B ．0C ．1D ．2【答案】C 【解析】【分析】推导出()()()()220194035441log 2f f f f =⨯+==-=，由此能求出()2019f 的值．【详解】∵定义在R 上的函数()f x 满足()()2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，∴()()()()22019403544211log f f f f =⨯+=-===，故选C ．【点睛】本题主要考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于中档题. 4．已知函数()1xf x xe-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（） A ．(1,]e B ．2(,]e e e-C ．22(,]e e e e-+ D ．2(1,]e e-【答案】D 【解析】【分析】将原题等价转化为方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根，先求导()'f x ，可判断()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤，再令2()ln 1F x x x ax =-++，求导得221()x ax F x x'--=-，结合韦达定理可知，要满足题意，只能是存在零点1x ，使得()0F x '=在()0,e 有解，通过导数可判断当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数；当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是减函数；则应满足()()1max 1F x F x =>，再结合211210x ax --=，构造函数()2ln 1m x x x =+-，求导即可求解；【详解】函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，等价于方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根.111()(1)x x x f x e xe x e '---=-=-，所以当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤.设2()ln 1F x x x ax =-++，2121()2x ax F x x a x x'--=-+=-，若()0F x '=在()0,e 无解，则()F x 在(0,]e 上是单调函数，不合题意；所以()0F x '=在()0,e 有解，且易知只能有一个解.设其解为1x ，当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数；当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是减函数.因为0(0,]x e ∀∈，方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内有两个不同的根，所以()()1max 1F x F x =>，且()0F e ≤.由()0F e ≤，即2ln 10e e ae -++≤，解得2a e e≤-. 由()()1max 1F x F x =>，即2111ln 11x x ax -++>，所以2111ln 0x x ax -+>.因为211210x ax --=，所以1112a x x =-，代入2111ln 0x x ax -+>，得211ln 10x x +->. 设()2ln 1m x x x =+-，()120m x x x'=+>，所以()m x 在()0,e 上是增函数，而()1ln1110m =+-=，由211ln 10x x +->可得()()11m x m >，得11x e <<.由1112a x x =-在()1,e 上是增函数，得112a e e<<-. 综上所述21a e e<≤-，故选：D. 【点睛】本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题，构造函数法，导数法研究函数增减性与最值关系，转化与化归能力，属于难题5．已知ABC ∆中，角A 、B 所对的边分别是a ，b ，则“a b >”是“A B >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充分必要条件【答案】D 【解析】【分析】由大边对大角定理结合充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】ABC ∆中，角A 、B 所对的边分别是a 、b ，由大边对大角定理知“a b >”⇒“A B >”，“A B >”⇒“a b >”.因此，“a b >” 是“A B >”的充分必要条件. 故选：D. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查三角形的性质等基础知识，考查逻辑推理能力，是基础题． 6．已知函数2(0x y a a -=>且1a ≠的图象恒过定点P ，则函数1mx y x n+=+图象以点P 为对称中心的充要条件是( ) A ．1,2m n ==- B ．1,2m n =-= C ．1,2m n == D ．1,2m n =-=-【答案】A 【解析】【分析】由题可得出P 的坐标为(2,1)，再利用点对称的性质，即可求出m 和n . 【详解】根据题意，201x y -=⎧⎨=⎩，所以点P 的坐标为(2,1)，又1()1mx m x n mn y m x n x n +++-===+++ 1mn x n-+，所以1,2m n ==-. 故选：A. 【点睛】本题考查指数函数过定点问题和函数对称性的应用，属于基础题.7．已知向量(1,4)a =r ，(2,)b m =-r ，若||||a b a b +=-r r r r，则m =（）A ．12-B ．12C ．-8D ．8【答案】B 【解析】【分析】先求出向量a b +r r ,a b -r r的坐标，然后由||||a b a b +=-r r r r 可求出参数m 的值.【详解】由向量(1,4)a =r ，(2,)b m =-r，则()1,4a b m +=-+r r ，()3,4a b m -=-r r||a b +r r ||a b -=r r又||||a b a b +=-r r r r 12m =.故选：B 【点睛】本题考查向量的坐标运算和模长的运算，属于基础题.8．集合{}2,A x x x R =>∈，{}2230B x x x =-->，则A B =I （） A ．(3,)+∞ B ．(,1)(3,)-∞-+∞UC ．(2,)+∞D ．(2,3)【答案】A 【解析】【分析】计算()(),13,B =-∞-+∞U ，再计算交集得到答案. 【详解】{}()()2230,13,B x x x =-->=-∞-⋃+∞，{}2,A x x x R =>∈，故(3,)A B =+∞I .故选：A . 【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.9．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（） A ．甲7件，乙3件 B ．甲9件，乙2件C ．甲4件，乙5件D ．甲2件，乙6件【答案】D 【解析】【分析】由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决. 【详解】设购买甲、乙两种商品的件数应分别x ，y 利润为z 元，由题意*4750,,,x y x y N +≤⎧⎨∈⎩ 1.8z x y =+，画出可行域如图所示，显然当5599y x z=-+经过(2,6)A时，z最大.故选：D.【点睛】本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断x，y是否是整数，是否是非负数，并准确的画出可行域，本题是一道基础题.10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）A．52B．3C．8D．83【答案】B【解析】【分析】根据三视图可以得到原几何体为三棱锥，且是有三条棱互相垂直的三棱锥，根据几何体的各面面积可得最大面的面积．【详解】解：分析题意可知，如下图所示，该几何体为一个正方体中的三棱锥A BCD -，最大面的表面边长为22ABC ， 23(22)23=，故选B ．【点睛】本题考查了几何体的三视图问题，解题的关键是要能由三视图解析出原几何体，从而解决问题． 11．已知集合1,2,3,4,6{}5,A =的所有三个元素的子集记为123,,,*,n B B B B n N ⋯∈．记i b 为集合i B 中的最大元素，则123n b b b b +++⋯+=（） A ．45 B ．105 C ．150 D ．210【答案】B 【解析】【分析】分类讨论，分别求出最大元素为3,4,5,6的三个元素子集的个数，即可得解. 【详解】集合M 含有3个元素的子集共有3620C =，所以20k =．在集合1,2,3,,i B i k =⋯（）中：最大元素为3的集合有221C =个；最大元素为4的集合有233C =；最大元素为5的集合有246C =；最大元素为6的集合有2510C =；所以12345314356610105b b b b b ++++⨯+⨯+⨯+⨯＝＝．故选：B ．【点睛】此题考查集合相关的新定义问题，其本质在于弄清计数原理，分类讨论，分别求解.12．已知函数()32,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则=3f f ⎛⎫⎛ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） A．2B ．12C ．3log 2-D ．3log 2【答案】A 【解析】【分析】根据分段函数解析式，先求得3f ⎛ ⎝⎭的值，再求得3f f ⎛⎫⎛ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.【详解】依题意12331log log 3332f -⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭，1212322f f f -⎛⎫⎛⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A 【点睛】本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。