线性谐振子相图研究

文献综述

题目：线性谐振子相图研究

姓名：

学号：

系别：物理与电子信息工程系专业：物理学

年级：

指导教师：

2009年2月7 日

文献综述

一、前言

线性谐振子是量子力学中可以精确求解的有限几个事例之一[1]，其中最简单的线性谐振子是简谐振子。自然界中任何一个力学系统，只要某一个物理量在其稳定平衡点附近作微小振动，便可以用简谐振子模型来描述，例如：复摆的振动、分子的振动、晶格的振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等。在选择适当的坐标系之后，复杂的运动往往可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动（simple harmonic vibration ）。简谐振动作为一种最简单最基本的振动，往往还是复杂运动的初步近似，是研究振动的基础。因此研究它在理论上和应用上都有重大的意义。

其中从相空间的角度来研究振动系统的力学问题如今已经成为一个研究趋势。因为相图里包含着完整的力学系统的全部信息，无须去解复杂的运动方程[2]。计算机技术软硬件的飞速发展，为此研究趋势提供了现实条件。

本论文从简谐振子的基本定义出发，在Fortran 90条件下进行数值模拟并在Origin75 软件下获得简谐振子的相图。

二、主体

2.1简谐振动的定义

定义一： 物体只在弹性力或准弹性 （线性回复力）作用下发生的运动，即动力学方程为

的运动为简谐振动[2]。

定义二： 在无外来强迫力作用下, 物体相对于平衡点的位移随时间按余弦（或正弦）规律变化即 则称物体作简谐振动式即简谐振动的表达式[3]。 —振幅；

—角频率；

—相位；

—初相位。位移随时间的变化曲线称为振动曲线。

广义定义：某个物理量随时间的变化是按正弦或余弦规律，则可称该物理量做简谐动，可用

表示 。自然界中任何一个力学系统中，只要某一个物理量在其稳定

平衡点附近作微小振动，便可以用这种简谐振子模型来描述，例如：复摆的振动、分子的振动、晶格的振动，原子核表面振动、辐射场的振动以及电磁场振动等等。

2.2简谐振动的基本特征及动力学特征

简谐振动位移随时间的变化 cos()x A t ωφ

=+2

2

2

d d x

x o t

ω

+=()cos()x t A t ωφ=+()cos()x t A t ωφ=+

物体作简谐振动时,速度为：

物体作简谐振动时，加速度为：

可见物体做简谐振动时，其速度、加速度都以同样的角频率作简谐振动，相位依次超前π/2。根据牛顿第二定律F

m a

= ，得

2

2

cos()F m a m A t m x

ωωφω==-+=-

力与位移大小成正比，符号相反，这样的力就是线性回复力。这是简谐振动的动力学特征。

2.3相空间和相迹的概念 H q P α

α

∙

∂=

∂(1,2,3)s α=

H p q αα

∙∂=-

∂(1,2,3)s α=

以上是哈密顿正则方程[4]，其中

q α

为广义坐标，q α∙

为广义速度,

p α广义动量。而正则方程共

有 2S 个相互联立的一阶常微分方程组 ，对这 2S 个方程求解，即可完全确定力学系统的运动状态。在哈密顿方法里，我们引入相空间概念[2]。

相空间：是以S 个广义坐标q

α 和 S 个广义动量

p α

为变数而构成的2S 维抽象空间称为力

学系统的相空间。任一瞬时力学系统的广义坐标和广义动量确定了相空间的一个点，我们称为相点，每个相点对应于系统的一个确定状态，当时间变化时，由于系统运动，这个相点也在相空间中运动，它在相空间中描画出的一条曲线称为相迹。

对于二阶系统，比如要研究简谐振动，它的状态变量只有两个，所以简谐振动的相空间即简化为二维相平面。

相平面：对于以运动物体的位移（x ）和速度(y)作为坐标参量构建的空间，就是的相平面。 相点：相平面每个点对应着系统的一个运动状态，这个点就称为相点，“相”是指物体的运动状态。

d sin()cos()

d 2

x A t A t t

π

ωωφωωφ=

=-+=++

v 2

2

2

d d cos()

d d x a A t t

t

ωωφ=

=

=-+v

相轨迹：相点随时间t 的变化在x x ∙

- （公式）平面上描绘出的轨迹线，这种轨迹称为相轨迹，它表征了系统运动状态（相）的演变过程。

简而言之，相图上的每一条曲线表示在不同初始条件下，物体在相空间内的运动轨迹，曲线上的任意一点代表物体的某一运动状态。

2.4相轨迹作图方法

相轨迹的作图方法可分为：解析法和图解法。其中解析法主要针对相对比较简单的系统，比如简谐振动系统，可直接由动力学方程求出位移（

x

）与速度（x ∙

）之间的关系的。用解析法

求相轨迹是比较麻烦的，特别是对非线性系统，有时可能无法求出相轨迹的解析表达式。而图解

法则主要针对不能直接由方程求出

,x x ∙

关系的系统，原则上说，此法对任何非线性系统都适用。

2.4.1用解析法求解简谐振子相图方程[5]

广义定义：某个物理量随时间的变化是按正弦或余弦规律，则可称该振动为简谐振动，

可用 表示。

速度(y)

y x

∙

=

2

y x x ω∙

∙∙

==-

2

dy y x

dx

ω=-

2

ydy xdx

ω=-

方程两边积分得：2

22

2

2

y

x C

ω=-

+ 简谐振子相轨迹方程：

2

2

2

x y C

ω+=①

式中ω为系统初始值，C 是由初始状态决定的常量 法二：

cos()

x A t ωφ=+cos()

x A t ωφ=+d sin()

d x A t t

ωωφ=

=-+v cos()x A t ωφ

=+法一：位移（x ）