球的表面积和体积
球的体积与表面积
例2：圆柱的底面直径与高都等于球的直径。求 ：圆柱的底面直径与高都等于球的直径。 ：（1）球的表面积等于圆柱的侧面积； 证：（ ）球的表面积等于圆柱的侧面积； （2）球的表面积等于圆柱全面积的三分之二。 ）球的表面积等于圆柱全面积的三分之二。
R O A
一个几何体的各面与另一个几何体的 各面都相切，称这两个几何体相切。 各面都相切，称这两个几何体相切。
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各 2.如图，正方体ABCD的棱长为a,它的各 如图 ABCD a, 个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。 个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。
分析：正方体内接于球， 分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知， 体都是中心对称图形可知，它们中心重 则正方体对角线与球的直径相等。 合，则正方体对角线与球的直径相等。
O A
O′
R ∵O′O = , ∆ABC是正三角形， 是正三角形， 2
则O′落在∆ABC的中心
C
∴ O′A =
2 2 3 •高 = 3 3
B
已知过球面上三点A、 、 的截面到球心 的截面到球心O的距离 例３:已知过球面上三点 、B、C的截面到球心 的距离 已知过球面上三点 等于球半径的一半， 等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积， ２ ，求球的体积， 表面积． 表面积．
2
B
正 正方体与球 方 问题： 的接切问题： 体 设正方体棱长为a， 设正方体棱长为 ， 的 外 球的半径为Ｒ。 球的半径为Ｒ。 接 球
D1 C1 B1
•
D1 A1
•O1
C1 B1
D A B
C
D1B = 2 R =
3a
球的表面积与体积的计算
球的表面积与体积的计算球是一种几何图形，具有许多有趣的性质。
在数学和物理学中，计算球的表面积和体积是非常重要的。
本文将介绍球的表面积和体积的计算方法，并通过示例进行详细说明。
一、球的表面积计算球的表面积是指球体外侧的曲面总面积。
为了计算球的表面积，我们需要知道球的半径。
公式：球的表面积= 4πr²其中，π是圆周率，约等于3.14159；r是球的半径。
示例一：假设半径为5厘米的球的表面积应该怎么计算呢？解答：根据公式，我们代入r = 5厘米进行计算：表面积= 4π × 5² = 4π× 25 ≈ 314.16平方厘米。
所以，半径为5厘米的球的表面积约为314.16平方厘米。
二、球的体积计算球的体积是指球内部可以容纳的三维空间大小。
要计算球的体积，同样需要知道球的半径。
公式：球的体积= (4/3)πr³示例二：如果球的半径为8厘米，那么它的体积是多少？解答：根据公式，我们代入r = 8厘米进行计算：体积= (4/3)π × 8³ = (4/3)π × 512 ≈ 2144.66立方厘米。
所以，半径为8厘米的球的体积约为2144.66立方厘米。
综上所述，球的表面积和体积的计算方法如上所示。
了解和掌握这些公式可以帮助我们更好地理解球体的特性，以及在实际问题中应用数学知识进行计算。
需要注意的是，在应用这些公式进行计算时，应该保持输入数据的一致性，确保使用相同的单位进行计算。
此外，还要注意精度的问题，结果应适当进行四舍五入或保留小数位数，以满足实际需求。
希望本文对你理解球的表面积和体积的计算方法有所帮助，如果有任何疑问，请随时向我提问。
球的体积与表面积
三、有关几何体的外接球与内切球
与球有关的组合体问题,一种是内切,一
种是外接,解题时要明确切点和接点的位
置,确定有关元素间的数量关系,并作出
过球心的截面图.
1.若一正方体边长为a,则该正方体的外接球 半径与a有什么关系?
思考：若一长方体边长分别为a,b,c则该正 方体的外接球半径与a，b,c有什么关系?
【例2】 已知球的两平行截面的面积为5π 和8π,它们位于球心的同一侧,且相距为1,求
这个球的表面积和体积.
思路分析:利用截面圆的半径、球的半径以
及球心与截面圆心的连线构成的直角三角形
求解.
变式训练 已知过球面上三点A,B,C的C=6,求球的
表面积与球的体积.
2.三个球的半径比是1∶2∶3,那么最大球的体 A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.8倍
二、球的截面问题 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆, 被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆,如
图.设小圆圆心为O1,半径为r,球的球心为O,
半径为R,则有: (1)OO1⊥平面☉O1; (2)R2=r2+d2,其中d为两圆的圆心距.
【例 1】 (1)已知球的直径为 8 cm,求它的表面积 和体积; (2)已知球的表面积为 144π,求它的体积; (3)已知球的体积为
������������������ ������
π,求它的表面积.
1.两个球的体积之比为1∶27,那么两个球的表
面积之比为( A ) A.1∶9 B.1∶27 C.1∶3 积是其余两球体积和的( C) D.1∶1
������ 圆锥侧 ������ 球 3 3
=
2 5πℎ 2 4πℎ 2
=
5 2
.④
2.若一正方体边长为a,则该正方体的内切 球半径与a有什么关系?
球的表面积和体积
球的表面积和体积1．球的表面积公式：S球面＝4πR2(R为球半径) 2．球的体积公式：V球＝43πR3(R为球半径)球的表面积和体积的计算过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为12π cm2，试求此球的表面积．若截面不过球的半径的中点，而是过半径上与球心距离为1的点，且截面与此半径垂直，若此截面的面积为π，试求此球的表面积和体积．球的表面积及体积的应用一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器内注入水并且放入一个半径为r 的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？有关球的切、接问题求棱长为a的正四面体P—ABC的外接球，内切球的体积．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．一个球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．基础训练1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( )A.12B．1C．2 D．32．用过球心的平面将一个球平均分成两个半球，则两个半球的表面积是原来整球表面积的________倍．3．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm 2，试求此球的表面积和体积．4．正方体的表面积与其外接球表面积的比为( )A ．3∶π B．2∶πC．1∶2π D．1∶3π5．(2013·温州高一检测)长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )A ．25π B．50πC．125π D．都不对4．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( )A ．RB ．2RC ．3RD ．4R6．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 2 7．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是________cm.提高训练．1.一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是 （ ）A ．3或8B ．8或11C ．5或8D ．3或112.已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，三棱锥O ABC -的高为22,且ABC ∠=60º ，AB =2， BC =4，则球O 的表面积为( )A ． 24π B.32π C. 48π D.192π3.一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．π3C ．π2D ．π4. 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( ) A.3263+ B. 2+263 C. 4+263 D. 43263+5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（ ）A .5πB .12πC .20πD .8π6.【江西省抚州市临川一中2015届高三10月月考】已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为6的正三角形，若这个空间几何体存在唯一的一个内切球（与该几何体各个面都相切），则这个几何体的全面积是（ ）A ． 18B ．36C ． 45D ． 547.【浙江省重点中学协作体2015届第一次适应性训练】一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ． 4πB ．π3C ．π2D ．π8.【山西省大同市2015届高三学情调研测试】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A.2a πB. 237a πC. 2311a π D. 25a π9.【四川省成都实验外国语高2015届高三11月月考】某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为( )A .3πB .π4C .π2D .π2510. 【全国高考新课标（I ）理】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A 、500π3cm 3 B 、866π3cm 3 C 、1372π3cm 3 D 、2048π3cm 311. 矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是( ) A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3125 12.在半径为R 的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r 的最大值为（ ） A. (2－1)R B . (6－2)R C. 1 4R D. 1 3R13. 一个平面截一个球得到直径是6的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的体积是 .14.三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一球面上，其中ABC ∆是正三角形，PA ⊥平面ABC ，26PA AB ==，则该球的体积是 .15.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是16. 四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD 是边长为1的正方形，ABCD PA ⊥，2=PA ，则该球的体积为 _ ．17. 过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为︒60，若球半径为R ，求弦AB 的长度．19. 【改编自浙江高考题】已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，DA=AB=BC=3，求球O 的体积.20. 【改编自山东高考题】在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，求三棱锥P-DCE 的外接球的体积.21. 一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，五个顶点都在同一个球面上，求此球的表面积.22. 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过3个点的小圆的周长为π4，求这个球的半径．。
如何计算球的体积和表面积
如何计算球的体积和表面积计算球的体积和表面积球是数学中一个常见的几何体，它在现实生活中也有很多应用。
无论是在数学课上还是在实际问题中，计算球的体积和表面积都是必不可少的。
下面将分别介绍如何计算球的体积和表面积。
一、计算球的体积球的体积是指球内所有点所组成的空间，通常用单位体积所包含的球半径为1的球数量来表示。
计算球的体积的公式如下：V = (4/3)πr³其中，V表示球的体积，π表示圆周率（取近似值3.14159），r表示球的半径。
例如，如果球的半径为5米，那么可以按照上述公式进行计算：V = (4/3)π(5²) = (4/3)π(25) ≈ 523.6因此，球的体积约为523.6立方米。
二、计算球的表面积球的表面积是指球球面的总面积。
球的表面积计算公式如下：S = 4πr²其中，S表示球的表面积，π表示圆周率（取近似值3.14159），r 表示球的半径。
以球的半径为5米为例，可以按照上述公式进行计算：S = 4π(5²) = 4π(25) ≈ 314.16因此，球的表面积约为314.16平方米。
总结：计算球的体积和表面积是常见的数学问题。
通过上述计算公式，可以得到准确的结果。
需要注意的是，在实际问题中，可能会有其他要求和约束，需要根据具体情况进行相应的计算。
在应用中，还可以使用数值计算工具或计算器来进行球的体积和表面积的计算，以提高效率和准确性。
结论通过以上的介绍，我们可以了解如何计算球的体积和表面积。
对于数学学科来说，掌握如何计算球的体积和表面积是基础的知识点，也是应用数学的实际需求。
无论是在学术研究中还是在实际工作中，了解和应用这些计算方法都是非常重要的。
希望通过本文的介绍，读者能够掌握如何进行球的体积和表面积的计算。
球的体积和表面积
1．3.2 球的体积和表面积考点 学习目标核心素养 球的表面积与体积记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积数学运算 与球有关的组合体 能解决与球有关的组合体的计算问题数学运算、直观想象问题导学预习教材 P27－P28 的内容，思考以下问题： 1．球的表面积公式是什么？ 2．球的体积公式什么？1．球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积S ＝4πR 2． 2．球的体积设球的半径为R ，则球的体积V ＝43πR 3．■名师点拨对球的体积和表面积的几点认识(1)从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R 都有唯一确定的S 和V 与之对应，故表面积和体积是关于R 的函数．(2)由于球的表面不能展开成平面，所以，球的表面积公式的推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法是不一样的．(3)球的表面积恰好是球的大圆(过球心的平面截球面所得的圆)面积的4倍．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)决定球的大小的因素是球的半径．( )(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．( ) (3)球的体积V 与球的表面积S 的关系为V ＝R3S .( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ 半径为 3 的球的体积是( )A ．9πB ．81πC ．27πD ．36π解析：选 D ． V ＝43π×33＝36π.若一个球的直径为 2，则此球的表面积为( ) A ．2π B ．16π C ．8πD ．4π解析：选 D ．因为球的直径为 2，所以球的半径为 1，所以球的表面积 S ＝4πR 2＝4π. 把球的表面积扩大到原来的 2 倍，那么体积扩大到原来的( ) A ．2 倍 B ．22倍 C ．2倍D ．32倍解析：选 B ．设原球的半径为 R ，表面积扩大 2 倍，则半径扩大2倍，体积扩大 22倍．如果三个球的半径之比是 1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的________倍．解析：设小球半径为 1，则大球的表面积 S 大＝36π，S 小＋S 中＝20π，36π20π＝95. 答案：95球的表面积与体积(1)(2020·高考天津卷)若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π(2)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π【解析】 (1)设外接球的半径为R ，易知2R ＝3×23＝6，所以R ＝3，于是表面积S ＝4πR 2＝36π，故选C.(2)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体，设球的半径为r ， 故78×43πr 3＝283π， 所以r ＝2，表面积S ＝78×4πr 2＋34πr 2＝17π，选A.【答案】 (1)C (2)A(变条件)若将本例(2)中的三视图换为如图所示的图形，且圆的半径为1，则如何求解？解：由已知可得，该几何体是四分之三个球，其表面积是四分之三个球的表面积和两个半径与球的半径相等的半圆的面积之和．因为R ＝1，所以S ＝34×4×π×12＋2×12×π×12＝4π.球的体积与表面积的求法及注意事项(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R 或者通过条件能求出半径R ，然后代入体积或表面积公式求解．(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．(3)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆．1．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________． 解析：设此球的半径为 R ，则 4πR 2＝43πR 3，R ＝3.答案：32．两个球的半径相差 1，表面积之差为 28π，则它们的体积和为________． 解析：设大、小两球半径分别为 R ，r ，则⎩⎪⎨⎪⎧R －r ＝1，4πR 2－4πr 2＝28π，所以⎩⎪⎨⎪⎧R ＝4，r ＝3.所以体积和为 43πR 3＋43πr 3＝364π3.答案：364π3球的截面问题如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( )A ．500π3 cm 3B ．866π3 cm 3C ．1 372π3cm 3D ．2 048π3cm 3【解析】 如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)， BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．设球的半径为R cm ，则 R 2＝OM 2＋MB 2 ＝(R －2)2＋42， 所以R ＝5，所以V 球＝43π×53＝5003π (cm 3)．【答案】 A球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要注意借助球半径R ，截面圆半径r ，球心到截面的距离d 构成的直角三角形，即R 2＝d 2＋r 2.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A ．6πB ．43πC ．46πD ．63π解析：选B ．如图，设截面圆的圆心为O ′， M 为截面圆上任一点， 则OO ′＝2，O ′M ＝1. 所以OM ＝（2）2＋1＝ 3.即球的半径为 3. 所以V ＝43π(3)3＝43π.与球有关的切、接问题 角度一 球的外切正方体问题将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( ) A ．4π3B ．2π3C ．3π2D ．π6【解析】 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，故半径为 1，其体积是43×π×13＝4π3.【答案】 A角度二 球的内接长方体问题一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为________．【解析】 长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即 2R ＝12＋22＋32＝14，所以球的表面积 S ＝4πR 2＝14π. 【答案】 14π角度三 球的内接正四面体问题若棱长为 a 的正四面体的各个顶点都在半径为 R 的球面上，求球的表面积． 【解】 把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为 x ，则 a ＝2x ，由题意 2R ＝3x ＝3×2a 2＝62a ， 所以 S 球＝4πR 2＝32πa 2.角度四 球的内切圆锥问题(2020·高考全国卷Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．【解析】 易知半径最大的球即为该圆锥的内切球．圆锥PE 及其内切球O 如图所示，设内切球的半径为R ，则sin ∠BPE ＝R OP ＝BE PB ＝13，所以OP ＝3R ，所以PE ＝4R ＝PB 2－BE 2＝32－12＝22， 所以R ＝22，所以内切球的体积V ＝43πR 3＝23π，即该圆锥内半径最大的球的体积为23π.【答案】23π 角度五 球的内接直棱柱问题设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2 D ．5πa 2【解析】 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 a ．如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知 AP ＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径 R ＝ OA 满足R 2＝⎝⎛⎭⎫33a 2＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝712a 2，故 S 球＝4πR 2＝73πa 2. 【答案】 B(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为 r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．(2)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为 a ，b ，c ，过球心作长方体的对角线，则球的半径为 r 2＝12a 2＋b 2＋c 2，如图(2)．(3)正四面体的外接球正四面体的棱长 a 与外接球半径 R 的关系为：2R ＝62a . 一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切球．求：(1)圆锥的侧面积； (2)圆锥里内切球的体积．解：(1)如图所示，作出轴截面，则等腰△SAB 内接于⊙O ，而⊙O 1内切于△SAB ．设⊙O 的半径为R ， 则有43πR 3＝972π，所以R 3＝729，R ＝9. 所以SE ＝2R ＝18.因为SD ＝16，所以ED ＝2.连接AE ，又因为SE 是直径，所以SA ⊥AE ，SA 2＝SD ·SE ＝16×18＝288， 所以SA ＝12 2. 因为AB ⊥SD ，所以AD 2＝SD ·DE ＝16×2＝32， 所以AD ＝4 2.所以S 圆锥侧＝π×42×122＝96π. (2)设内切球O 1的半径为r ，因为△SAB 的周长为2×(122＋42)＝322， 所以12r ×322＝12×82×16.所以r ＝4.所以内切球O 1的体积V 球＝43πr 3＝2563π.1．直径为 6 的球的表面积和体积分别是( ) A ．36π，144π B ．36π，36π C ．144π，36πD ．144π，144π解析：选 B ．球的半径为 3，表面积 S ＝4π·32＝36π，体积 V ＝43π·33＝36π.2．一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是( ) A ．6π6 B ．π2C ．2π2D ．3π2π解析：选 A ．设正方体棱长为 a ，球半径为 R ，由 6a 2＝4πR 2 得aR ＝2π3，所以V 1V 2＝a 343πR 3＝34π⎝⎛⎭⎫2π33＝6π6.3．(2021·重庆七校联考)已知正三棱锥的高为6，内切球(与四个面都相切)的表面积为16π，则其底面边长为( )A ．18B ．12C ．63D ．4 3解析：选B.如图，由题意知，球心在三棱锥的高PE 上，设内切球的半径为R ，则S 球＝4πR 2＝16π，所以R ＝2.所以OE ＝OF ＝2，OP ＝4.在Rt △OPF 中，PF ＝OP 2－OF 2＝2 3.因为△OPF ∽△DPE ，所以OF DE ＝PF PE ，得DE ＝23，AD ＝3DE ＝63，AB ＝23 AD ＝12.故选B.4．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6 cm ，深为1 cm 的空穴，则该球半径是________cm ，表面积是________cm 2.解析：设球心为O ，OC 是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为D ，AB 为小圆D 的一条直径，设球的半径为R ，则OD ＝R －1，则(R －1)2＋32＝R 2，解得R ＝5 cm ，所以该球表面积为S ＝4πR 2＝4π×52＝100 π(cm 2)． 答案：5 100 π5．已知过球面上 A ，B ，C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且 AB ＝BC ＝CA ＝2，求球的表面积．解：设截面圆心为O ′，球心为 O ，连接 O ′A ，OA ，OO ′， 设球的半径为 R .因为O ′A ＝23×32×2＝233.在 Rt △O ′OA 中，OA 2＝O ′A 2＋O ′O 2， 所以R 2＝⎝⎛⎭⎫2332＋14R 2， 所以 R ＝43，所以 S 球＝4πR 2＝649π.[A 基础达标]1．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．2∶3 B ．4∶9 C ．2∶ 3D ．8∶27解析：选B ．设两个球的半径分别为r ，R ，则⎝⎛⎭⎫43πr 3∶⎝⎛⎭⎫43πR 3＝r 3∶R 3＝8∶27， 所以r ∶R ＝2∶3，所以S 1∶S 2＝r 2∶R 2＝4∶9.2．已知球的表面积为16π，则它的内接正方体的表面积S 的值是( ) A ．4π B ．32 C ．24D ．12π解析：选B ．设球的内接正方体的棱长为a ，由题意知球的半径为2，则3a 2＝16，所以a 2＝163，正方体的表面积S ＝6a 2＝6×163＝32.3．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( ) A ．32π3B ．8π3C ．82πD ．82π3解析：选D ．设截面圆的半径为r ，则πr 2＝π，故r ＝1， 由勾股定理求得球的半径为1＋1＝2，所以球的体积为43π(2)3＝82π3，故选D ．4．把一个铁制的底面半径为r ，高为h 的实心圆锥熔化后铸成一个铁球，则这个铁球的半径为( )A ．r h2B ．r 2h 4C ． 3r 2h 4D ．r 2h 2解析：选C ．设铁球的半径为 R ，因为13πr 2h ＝43πR 3，所以R ＝ 3r 2h4.5.一个四面体的顶点都在球面上，该四面体与球的组合体的正视图、侧视图、俯视图都是如图所示的图形．图中圆内有一个以圆心为中心，1为边长的正方形(含对角线)．则这个四面体的外接球的表面积是( )A ．πB ．3πC ．4πD ．6π解析：选B.由三视图可知，该四面体是棱长为1的正方体的一个内接正四面体ABCD ，如图所示．所以此四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长 3.所以此四面体的外接球的表面积为4π×⎝⎛⎭⎫322＝3π.故选B. 6．已知球面上的四点P 、A 、B 、C ，P A 、PB 、PC 的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，则这个球的表面积为______．解析：球面上的四点P 、A 、B 、C ，P A 、PB 、PC 的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，是长方体的一个角，扩展为长方体，两者的外接球相同，长方体的对角线长为32＋42＋52＝52，外接球的半径为522.外接球的表面积为4π⎝⎛⎭⎫5222＝50π.答案：50π7．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S 1、S 2，则S 1S 2＝________．解析：由题意可得圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，则S 1＝6π，S 2＝4π.所以S 1S 2＝6π4π＝32.答案：328.圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.解析：设球的半径为x cm ，由题意得πx 2×8＝πx 2×6x －43πx 3×3，解得x ＝4.答案：49.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V＝43πr3＋πr2l＝43π×13＋π×12×3＝13π3.10．若一个底面边长为62，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．解：如图，在底面正六边形ABCDEF中，连接BE，AD交于O，连接BE1，则BE＝2OE＝2DE，所以BE＝6，在Rt△BEE1中，BE1＝BE2＋E1E2＝23，所以2R＝23，则R＝3，所以球的体积V球＝43πR3＝43π，球的表面积S球＝4πR2＝12π.[B能力提升]11．若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是()A．S球＜S圆柱＜S正方体B．S正方体＜S球＜S圆柱C．S圆柱＜S球＜S正方体D．S球＜S正方体＜S圆柱解析：选A．设等边圆柱底面圆半径为r，球半径为R，正方体棱长为a，则πr2·2r＝43πR3＝a3，⎝⎛⎭⎫Rr 3＝32，⎝⎛⎭⎫ar3＝2π，S圆柱＝6πr2，S球＝4πR2，S正方体＝6a2，S球S圆柱＝4πR26πr2＝23·⎝⎛⎭⎫Rr2＝323＜1，S正方体S圆柱＝6a26πr2＝1π·⎝⎛⎭⎫ar2＝34π＞1.故选A．12．(2020·高考全国卷Ⅱ)已知△ABC是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为()A. 3B.32 C ．1D.32解析：选C.由等边三角形ABC 的面积为934，得34AB 2＝934，得AB ＝3，则△ABC 的外接圆半径r ＝23×32AB ＝33AB ＝ 3.设球O 的半径为R ，则由球O 的表面积为16π，得4πR 2＝16π，得R ＝2，则球心O 到平面ABC 的距离d ＝R 2－r 2＝1，故选C.13．如图是某几何体的三视图．(1)求该几何体外接球的体积； (2)求该几何体内切球的半径．解：(1)由三视图可知，该几何体是三条侧棱两两垂直的三棱锥，如图，以DC ，DB ，DA 为长、宽、高构造一个长方体，则该长方体的外接球就是该三棱锥的外接球，即外接球的半径R ＝1222＋22＋12＝32，所以该几何体外接球的体积V ＝43πR 3＝92π.(2)设内切球的球心为O ，半径为r ， 则V A -BCD ＝V O -ADB ＋V O -ADC ＋V O -DCB ＋V O -ABC . 即13×12×2×2×1 ＝13×12×2×2r ＋13×12×2×r ＋13×12×2×r ＋13×12×22×3r ，得r ＝24＋6＝4－65.所以该几何体内切球的半径为4－65.14．(选做题)已知球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球的表面积与圆台的侧面积之比为3∶4，求球的体积与圆台的体积之比．解：如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形ABCD ，O 1，O 2分别为圆台上、下底面圆的圆心，球的截面圆O 内切于梯形ABCD .作OE ⊥AB 于点E ，连接OA ，OB ，则∠AOB ＝90°.设球的半径为R ，圆台的上、下底面半径分别为r 1，r 2，易知圆台的高为2R ，母线长为r 1＋r 2.因为∠AOB ＝90°，OE ⊥AB ，所以R 2＝OE 2＝AE ·BE ＝r 1r 2. 因为S 球∶S 圆台侧＝4πR 2∶π(r 1＋r 2)2＝3∶4，所以(r 1＋r 2)2＝163R 2，所以V 球V 圆台＝43πR 313π（r 21＋r 1r 2＋r 22）·2R ＝2R 2（r 1＋r 2）2－r 1r 2＝2R 2163R 2－R 2＝613， 所以球的体积与圆台的体积之比为6∶13.。
球的体积和表面积
球的体积和表面积球是一种立体几何体，具有特殊的性质。
在数学中，球的体积和表面积是球的基本属性，也是许多实际应用中需要计算的重要参数。
球的体积球的体积是指球所占据的空间大小。
我们可以使用以下公式来计算球的体积：V = (4/3) * π * r³其中，V代表球的体积，π是一个常数，约等于3.14159，r代表球的半径。
通过这个公式，我们可以根据给定的半径，准确地计算出球的体积。
需要注意的是，球的半径必须为正数，否则计算结果将没有实际意义。
球的表面积球的表面积是指球的外表面积大小。
我们可以使用以下公式来计算球的表面积：A = 4 * π * r²其中，A代表球的表面积，π是一个常数，约等于3.14159，r代表球的半径。
与计算球的体积类似，根据给定的半径，我们可以准确地计算出球的表面积。
同样，球的半径必须为正数，否则计算结果将失去实际意义。
数值计算示例为了更好地理解球的体积和表面积的计算方法，这里给出一个数值计算示例。
假设球的半径为5cm，我们可以使用上述公式来计算球的体积和表面积。
首先计算球的体积：V = (4/3) * π * (5)^3 ≈ 523.6cm³接下来计算球的表面积：A = 4 * π * (5)^2 ≈ 314.2cm²因此，对于半径为5cm的球，它的体积约为523.6cm³，表面积约为314.2cm²。
应用举例球的体积和表面积在实际应用中具有广泛的应用。
下面列举几个常见的应用举例。
1.工程建设：在建筑和土木工程中，球的体积和表面积的计算可以用于设计和规划工程中的圆形结构，例如球形储罐或建筑物的圆顶。
2.3D建模：在计算机图形学和动画领域，球的体积和表面积的计算可以用于生成和渲染球形对象，例如球体模型或球形特效。
3.物体密度计算：球的体积可以用于计算物体的密度。
通过测量物体的质量和体积，可以计算物体的密度，进而了解物体的物理性质。
球的表面积与体积
1. 球的体积
4 3 定理：半径为R的球的体积是 V R 3
知识新授
例1.有一种空心钢球，质量为142g,测得 外径等于5.0cm，求它的内径（钢 的密度为7.9g/cm3,精确到0.1cm).
答案：4.5
2. 球的表面积
o
定理：半径为ห้องสมุดไป่ตู้的球的表面积是
S 4 R
2
例2.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证:
(1)球的表面积等于圆柱的侧面积. (2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.
O (2)
例3.一个正方体的顶点在球面上，它的棱长 为4cm，求这个球的体积和表面积。
C′
o
A
课堂练习
P32 练习
1， 2 ， 3
课后作业
P33 习题1.3
B组
1
； /xs/0/738/ 女主播的修真高手
nrx05ksp
欢，蚰蜒蝎子赶上山！这句俗语寓意着，三月三是一个万象更新的好日子！这一日的到来，预示着整整一个严冬已经过 去，新的一年从此开始了！那一日，故乡的天空湛蓝湛蓝的，不时有成群的鸽子飞过。金色的阳光暖暖地普照着大地。 大路边上一排排的杨树和柳树，已经冒出了碧绿的新芽，漂亮的大喜鹊成双成对地雀跃在枝头上欢唱着。远处的几棵杏 子树，已经穿上了淡粉色的盛装；更远处的一大片桃树，似乎都在含苞待放了„„随着阵阵微风轻柔地拂面而来，让人 能够闻得到漫山遍野上飘逸着的那复苏泥土沁人心肺的清香。路旁田埂上齐刷刷新出土的小草在微风中轻轻地摆动着， 一丛丛一片片迎春的二月兰已经绽放开了她们那淡紫色的笑脸，黄澄澄的蒲公英花儿安逸地点缀在绿茸茸的草地间„„ 这一切，曾经是耿正兄妹三人最喜欢的乡野风景啊！但今天，他们却无心欣赏„„日头即将到半上午时，骡车终于慢慢 悠悠地走到了右转弯路口。只要转过这个路口，就走上五道庙前的那条西行大道了！“喔—”耿正轻抖缰绳吆喝一声， 大白骡驾着骡车转上宽阔的东西向大道，依然还是慢慢地向东走去„„骡车走得太慢了，徒步跟在车后的一高一中一矮 三个中年男人只能慢慢地走着才不至于超过去。事实上，今儿一早耿正兄妹三人乘坐大骡车离开客栈之后仅走了几十步 远时，这三个人就从后面左侧的岔道上追上来了。不过，要说“追”也并不恰当，只是他们三个人走路的速度比大白骡 还要快很多，所以，他们与骡车之间相隔的距离就越来越近了而已。到相隔仅有十多步远的时候，其中的那个矮个子说： “真晦气，怎么是挂送灵车。咱们快些走，超过去！”说着，就甩膀子迈大步要快走的样子。那个高个子赶快伸手拉住 他，并且低声说：“嘘，小声点儿说话！你们看，这挂车看上去不轻，后面还装了两袋草料，还有那把铁锹，看起来是 赶远路的呢！”矮个子也放低了声音说：“管他是赶近路的还是赶远路的，反正是一挂晦气的送灵车„„”不等他继续 说下去，高个子就皱起眉头有些不耐烦地瞪了他一眼，低声说：“你怎么就不用脑子想一想啊，这天气已经热起来了， 拉个死人，还不早臭了！”听他这么说，一直没有开口说话的那个中个子男人就伸长脖子张大鼻孔用劲吸了几下，然后 放低嗓音对高个子说：“是啊，大哥，怎么一点儿味儿也没有啊？”矮个子也赶快用劲吸几下，恍然大悟一般悄声说： “真是没有臭味儿，难道说他们拉的不是死人！”高个子摇摇手不让他们继续说下去，小声说：“咱们就跟在后面，看 他们去哪里。等晚上住进了客栈以后，咱再想办法看个究竟。依我看，说不准儿是一桩大买卖呢！”三个家伙会心地相 互眨眨眼轻轻地窃笑了一下，就放慢脚步跟在骡车的后面，看似很轻松地溜
球体的表面积和体积
球体的表面积和体积
1.球的表面积公式
半径是R的球的表面积计算公式是：S=4πR^2（4倍的π乘以R 的二次方）
球的表面积计算公式推导过程：把一个半径为R的球的上半球横向切成n份，每份等高，并且把每份看成一个类似圆台，其中半径等于该类似圆台顶面圆半径，则从下到上第k个类似圆台的侧面积：S（k）=2πr（k）×h，其中r（k）=√[R^2-（kh）^2]，S （k）=2πr（k）h=（2πR^2）/n，则S=S（1）+S（2）+S（n）=2πR^2；乘以2就是整个球的表面积4πR^2.
2.球的体积公式
球体体积公式是V=（4/3）πr^3，一个半圆绕直径所在直线旋转一周所成的空间几何体叫做球体，简称球，半圆的半径即是球的半径，球体有且只有一个连续曲面的立体图形。
球的体积公式推导过程：欲证v=4/3×πr^3，可证1/2v=2/3×πr^3.做一个半球h=r，做一个圆柱h=r。
V柱-V锥=π×r^3-π×r^3/3=2/3π×r^3.。
球体的表面积和体积计算公式
球体的表面积和体积计算公式球体是一种几何体，具有圆形的外表，其曲面积和体积是求解球体性质的重要公式。
本文将介绍球体的表面积和体积计算公式，以及如何应用这些公式。
一、球体的表面积计算公式表面积是球体曲面的总面积，可以用一个公式来计算。
下面是球体表面积计算公式：表面积= 4 * π * r²其中，表面积表示球体的总曲面积，π（pi）是一个数学常量，约等于3.14159，r表示球体的半径。
例如，如果一个球体的半径为5米，那么它的表面积可以计算为：表面积 = 4 * 3.14159 * 5² = 314.159平方米所以，这个球体的表面积约为314.159平方米。
二、球体的体积计算公式体积是球体内部空间的大小，同样可以用一个公式来计算。
下面是球体体积计算公式：体积= (4/3) * π * r³其中，体积表示球体的容积大小，π（pi）是一个数学常量，约等于3.14159，r表示球体的半径。
举个例子，如果一个球体的半径为5米，那么它的体积可以计算为：体积 = (4/3) * 3.14159 * 5³ = 523.599立方米因此，这个球体的体积约为523.599立方米。
三、应用示例现在我们来看一个具体的应用示例，以帮助理解如何计算球体的表面积和体积。
假设有一个篮球，它的半径为0.15米。
首先，我们计算它的表面积：表面积= 4 * 3.14159 * 0.15² ≈ 0.2827平方米接下来，我们计算篮球的体积：体积= (4/3) * 3.14159 * 0.15³ ≈ 0.1414立方米所以，这个篮球的表面积约为0.2827平方米，体积约为0.1414立方米。
四、总结通过本文我们了解到了球体的表面积和体积计算公式。
表面积的计算公式为表面积= 4 * π * r²，体积的计算公式为体积= (4/3) * π * r³。
在实际应用中，我们可以根据球体的半径来计算其表面积和体积。
球的体积与表面积公式
球的体积与表面积公式球体是一种三维几何体，其特点是每一点到中心点的距离都相等。
计算球的体积和表面积是在数学和几何学中的基本问题。
本文将介绍球的体积和表面积的计算公式，并且通过实例演示如何应用这些公式进行计算。
一、球的体积公式球体的体积是指球内部所占据的空间大小，用于描述球体的容积。
球的体积公式如下：V = (4/3)πr³其中，V表示球的体积，π是一个数学常数，近似值为3.14159，r 表示球的半径。
例如，如果已知一个球的半径为5单位长度，我们可以使用体积公式计算该球的体积。
V = (4/3)π(5)³≈ 523.6因此，该球的体积近似为523.6个单位体积。
二、球的表面积公式球体的表面积是指球的外部曲面的总面积，用于描述球的大小。
球的表面积公式如下：A = 4πr²其中，A表示球的表面积，π是一个数学常数，近似值为3.14159，r表示球的半径。
举个例子，如果已知一个球的半径为5单位长度，我们可以使用表面积公式计算该球的表面积。
A = 4π(5)²≈ 314.159因此，该球的表面积近似为314.159个单位面积。
三、应用实例为了更好地理解球的体积和表面积公式的应用，我们举个具体的实例。
假设有一个网球，其半径为3.5单位长度，我们可以通过体积公式计算该网球的体积。
V = (4/3)π(3.5)³≈ 179.592因此，该网球的体积近似为179.592个单位体积。
同时，我们可以通过表面积公式计算该网球的表面积。
A = 4π(3.5)²≈ 153.937因此，该网球的表面积近似为153.937个单位面积。
这个实例向我们展示了如何使用球的体积和表面积公式进行计算。
通过掌握这些公式，我们可以方便地计算不同半径的球体的体积和表面积，为实际问题解决提供了数学工具和便利。
总结：本文介绍了球的体积和表面积的公式，并通过实例演示了如何应用这些公式进行计算。
球的表面积和体积
球的表面积和体积1．球的表面积公式：S球面＝4πR2(R为球半径) 2．球的体积公式：V球＝43πR3(R为球半径)球的表面积和体积的计算过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为12π cm2，试求此球的表面积．若截面不过球的半径的中点，而是过半径上与球心距离为1的点，且截面与此半径垂直，若此截面的面积为π，试求此球的表面积和体积．球的表面积及体积的应用一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？有关球的切、接问题求棱长为a的正四面体P—ABC的外接球，内切球的体积．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．一个球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．基础训练1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( )A.12B ．1C ．2D ．3 2．用过球心的平面将一个球平均分成两个半球，则两个半球的表面积是原来整球表面积的________倍．3．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm 2，试求此球的表面积和体积．4．正方体的表面积与其外接球表面积的比为( )A ．3∶π B．2∶πC．1∶2π D．1∶3π5．(2013·温州高一检测)长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )A ．25π B．50πC．125π D．都不对4．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( )A ．RB ．2RC ．3RD ．4R6．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 2 7．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是________cm.提高训练．1.一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是 （ ）A ．3或8B ．8或11C ．5或8D ．3或112.已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，三棱锥O ABC -的高为22,且ABC ∠=60º ，AB =2， BC =4，则球O 的表面积为( )A ． 24π B.32π C. 48π D.192π3.一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．π3C ．π2D ．π4. 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( ) A.3263+ B. 2+263 C. 4+263 D. 43263+5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（ ）A .5πB .12πC .20πD .8π6.【江西省抚州市临川一中2015届高三10月月考】已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为6的正三角形，若这个空间几何体存在唯一的一个内切球（与该几何体各个面都相切），则这个几何体的全面积是（ ）A ． 18B ．36C ． 45D ． 547.【浙江省重点中学协作体2015届第一次适应性训练】一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ． 4πB ．π3C ．π2D ．π8.【山西省大同市2015届高三学情调研测试】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A.2a πB.237a π C. 2311a π D. 25a π9.【四川省成都实验外国语高2015届高三11月月考】某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为( ) A .3π B .π4 C .π2 D .π2510. 【全国高考新课标（I ）理】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A 、500π3cm 3 B 、866π3cm 3 C 、1372π3cm 3 D 、2048π3cm 311. 矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是( ) A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3125 12.在半径为R 的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r 的最大值为（ ） A. (2－1)R B . (6－2)R C. 1 4R D. 1 3R13. 一个平面截一个球得到直径是6的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的体积是 .14.三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一球面上，其中ABC ∆是正三角形，PA ⊥平面ABC ，26PA AB ==，则该球的体积是 .15.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是16. 四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD 是边长为1的正方形，ABCD PA ⊥，2=PA ，则该球的体积为 _ ．17. 过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为︒60，若球半径为R ，求弦AB 的长度．19. 【改编自浙江高考题】已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，DA=AB=BC=3，求球O 的体积.20. 【改编自山东高考题】在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，求三棱锥P-DCE 的外接球的体积.21. 一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，五个顶点都在同一个球面上，求此球的表面积.22. 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过3个点的小圆的周长为π4，求这个球的半径．。
圆球的表面积公式和体积公式
圆球的表面积公式和体积公式
圆球的表面积公式和体积公式是指一个圆球的表面积和体积可以用统一的公式来计算，它是几何数学中最重要的几何体之一，广泛应用于生活中。
一般来说，圆球是一种近似球形的物体，它的表面是圆形的，其中只有一个中心点，中心点到表面的距离称为半径r。
根据三角函数的基本性质可知，一个圆的面积和周长都可以用圆的半径r来表示。
因此，圆球的表面积S和体积V可以分别用下面的公式来计算：
圆球的表面积公式：S=4πr²
圆球的体积公式：V=4/3πr³
其中，S表示圆球的表面积，V表示圆球的体积，r表示圆球的半径，π表示圆周率（取值为
3.1415926……）。
同时，我们也可以用另一种方法来计算圆球的表面积S和体积V，即把圆球看作由多个小圆块组成的。
这样，我们可以用如下的公式来计算圆球的表面积S和体积V：圆球的表面积公式：S=2πr(h+r)
圆球的体积公式：V=(4/3)πr³
其中，h表示圆球的高度，r表示圆球的半径，π表示圆周率（取值为3.1415926……）。
此外，圆球的表面积S和体积V也可以通过立体几何的原理来计算。
例如，我们可以把圆球看作由三棱锥和六棱柱组成的，并利用三棱锥和六棱柱的体积公式来计算圆球的表面积S和体积V。
总之，圆球的表面积S和体积V可以用多种方法来计算，从最常见的公式法到更复杂的几何原理法，只要能正确的把握公式和原理，就可以很容易的计算出圆球的表面积S和体积V。
球的体积与表面积
球的体积与表面积球是一种立体几何体，具有很多特点和属性。
其中，体积和表面积是球的两个重要参数，用于描述球的大小和形态。
本文将详细介绍球的体积和表面积的计算方法，并探讨一些与球相关的实际问题。
一、球的体积球的体积表示了球所占据的空间大小。
对于一个给定的球，其体积可以通过以下公式计算得出：V = (4/3)πr³其中V表示球的体积，π是一个数学常数，约等于3.14159，r表示球的半径。
通过上述公式，我们可以轻松计算出球的体积。
例如，假设球的半径为5cm，那么根据上述公式，可以得到球的体积为：V = (4/3)π(5)³ ≈ 523.6cm³二、球的表面积球的表面积表示了球的外部覆盖面积。
同样，对于一个给定的球，其表面积可以通过以下公式计算得出：A = 4πr²其中A表示球的表面积，π是一个数学常数，约等于3.14159，r表示球的半径。
通过上述公式，我们可以轻松计算出球的表面积。
例如，假设球的半径为5cm，那么根据上述公式，可以得到球的表面积为：A = 4π(5)² ≈ 314.16cm²三、球体积与表面积的关系从球的体积和表面积的计算公式可以看出，球的体积与半径的立方成正比，而表面积与半径的平方成正比。
这意味着球的体积和表面积都与球的半径密切相关。
当球的半径增大时，其体积和表面积也会增大。
例如，当半径由5cm增加到10cm时，根据上述公式计算可以得到新球的体积为：V = (4/3)π(10)³ ≈ 4188.8cm³同时，新球的表面积为：A = 4π(10)² ≈ 1256.64cm²可以看出，新球的体积和表面积较原来的球都有所增大。
这一点在实际应用中十分重要，例如在建筑设计、物体容器容量计算等方面都会涉及到。
四、实际应用举例球的体积和表面积在现实生活中有着广泛的应用，下面举几个例子说明其重要性：1. 建筑设计：在建筑设计中，对于球形结构（如球形穹顶、球形体育馆等），需要计算球的体积和表面积，以合理规划结构和空间。
球的面积体积公式
球的面积体积公式
球的面积和体积是通过一些数学公式来计算的。
在几何学中，球被定义为一个由所有离中心点相等距离的点组成的图形。
球的面积公式是：4πr，其中r是球的半径。
这个公式表示球的表面积是半径的平方乘以4π。
换句话说，球的表面积是半径的平方乘以一个常数π再乘以4。
球的体积公式是：(4/3)πr，其中r是球的半径。
这个公式表示球的体积是半径的立方乘以(4/3)π。
换句话说，球的体积是半径的立方乘以一个常数π再乘以4/3。
这些公式可以用于计算球的表面积和体积。
例如，如果我们知道球的半径是5厘米，我们可以使用上述公式计算出球的表面积和体积。
球的表面积公式和体积公式在数学和物理学中具有广泛的应用。
在物理学中，这些公式可以用于计算球体的表面积和体积，例如在流体力学和热力学中的问题求解。
在工程学中，这些公式可以用于计算球体的容量和材料的使用量。
在日常生活中，我们也可以使用这些公式来计算球体的特性，例如足球、篮球和网球的表面积和体积。
除了球的面积和体积公式之外，还有一些其他与球相关的公式。
例如，
球的直径等于它的半径的两倍，球的周长等于它的直径乘以π。
这些公式也可以用于球体的计算和分析。
总之，球的面积和体积公式是计算球体特性的重要工具。
通过这些公式，我们可以计算出球的表面积和体积，并应用于各种数学、物理和工程问题中。
球的 表面积体积公式
球的表面积体积公式
一、球的表面积公式。
1. 公式。
- 设球的半径为r，球的表面积S = 4π r^2。
2. 推导（简单介绍）
- 在人教版教材中，推导球的表面积公式需要用到一些高等数学的思想（在高中阶段不做详细推导要求）。
可以通过极限的思想，把球的表面分割成很多小的曲面片，当这些曲面片足够小时，可以近似看成平面三角形等图形，然后通过计算这些小图形面积之和的极限得到球的表面积公式。
二、球的体积公式。
1. 公式。
- 设球的半径为r，球的体积V=(4)/(3)π r^3。
2. 推导（简单介绍）
- 人教版教材利用祖暅原理来推导球的体积公式。
祖暅原理是指“幂势既同，则积不容异”，简单来说就是夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
- 我们可以构造一个圆柱，挖去一个等底等高的圆锥，然后通过证明这个组合体与半球满足祖暅原理中的条件，从而得出球的体积公式。
例如，设圆柱底面半径为r，高为2r，挖去的圆锥底面半径为r，高为2r。
在同一高度h处（0≤slant h≤slant
2r），通过计算半球截面面积和组合体截面面积，发现它们相等，进而根据祖暅原理得到半球体积等于圆柱体积减去圆锥体积，即V_半球=π r^2×2r-(1)/(3)π r^2×2r=(2)/(3)π r^3，所以球的体积V = (4)/(3)π r^3。
球的表面积体积公式
球的表面积体积公式球的表面积体积公式是有关球体物理学上最基本的几何概念之一。
它指的是由一个定义在三维空间中的球所围成的外形，拥有一个完整的表面，并且拥有一个确定的体积。
由于球体的特殊性，它们可以被用来描述很多自然界中的物体，例如地球、月球、火星、行星、星云等，而球的表面积体积公式可以用来计算它们的表面积和体积。
球的表面积体积公式是由法国数学家拉格朗日在1700年代提出的，它表示球体的表面积S和它的体积V的关系，即:S=4πR² (1) V= 4/3πR³ (2)其中R为球的半径。
从数学角度来看，球的表面积体积公式的推导是基于变分原理的：假设存在一个球体的表面，其体积为V，这时将该球体的表面分割成许多小的正方体，每个小正方体的体积都相同，假设为dV，那么该球体的表面积S就可以写成以下形式：S=∫dS = ∫n dS (3)其中n表示正方体的数量，dS为每个正方体的表面积，分析可知，dS可表示为：dS = 6dV (4)将（3）式代入（4）式，可得：S=6∫dV (5)现在，要求求得球体的表面积，只需要求得该球体的体积，将其代入（5）式即可。
接下来，要求得球体的体积V，可以采取积分的方法：V=∫dV (6)将球体的半径R代入（6）式，可得：V=∫R²sinθdφdθ (7)将（7）式积分，可得：V= 4/3πR³ (8)将（8）式代入（5）式，可得：S=4πR² (9)将（9）式代入（1）式，可得：S=4πR² (10)由此可见，球的表面积体积公式S=4πR²和V=4/3πR³是由变分原理推导出来的，其中R为球的半径，π为常数π，它们可以用来计算球体的表面积和体积。
球的表面积和体积
球的表面积和体积1．球的表面积公式：S球面＝4πR2(R为球半径) 2．球的体积公式：V球＝43πR3(R为球半径)球的表面积和体积的计算过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为12π cm2，试求此球的表面积．若截面不过球的半径的中点，而是过半径上与球心距离为1的点，且截面与此半径垂直，若此截面的面积为π，试求此球的表面积和体积．球的表面积及体积的应用一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器内注入水并且放入一个半径为r 的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？有关球的切、接问题求棱长为a的正四面体P—ABC的外接球，内切球的体积．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．一个球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．基础训练1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( )A.12B．1C．2 D．32．用过球心的平面将一个球平均分成两个半球，则两个半球的表面积是原来整球表面积的________倍．3．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm 2，试求此球的表面积和体积．4．正方体的表面积与其外接球表面积的比为( )A ．3∶π B．2∶πC．1∶2π D．1∶3π5．(2013·温州高一检测)长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )A ．25π B．50πC．125π D．都不对4．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( )A ．RB ．2RC ．3RD ．4R6．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 2 7．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是________cm.提高训练．1.一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是 （ ）A ．3或8B ．8或11C ．5或8D ．3或112.已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，三棱锥O ABC -的高为22,且ABC ∠=60º ，AB =2， BC =4，则球O 的表面积为( )A ． 24π B.32π C. 48π D.192π3.一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．π3C ．π2D ．π4. 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( ) A.3263+ B. 2+263 C. 4+263 D. 43263+5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（ ）A .5πB .12πC .20πD .8π6.【江西省抚州市临川一中2015届高三10月月考】已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为6的正三角形，若这个空间几何体存在唯一的一个内切球（与该几何体各个面都相切），则这个几何体的全面积是（ ）A ． 18B ．36C ． 45D ． 547.【浙江省重点中学协作体2015届第一次适应性训练】一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ． 4πB ．π3C ．π2D ．π8.【山西省大同市2015届高三学情调研测试】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A.2a πB. 237a πC. 2311a π D. 25a π9.【四川省成都实验外国语高2015届高三11月月考】某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为( )A .3πB .π4C .π2D .π2510. 【全国高考新课标（I ）理】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A 、500π3cm 3 B 、866π3cm 3 C 、1372π3cm 3 D 、2048π3cm 311. 矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是( ) A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3125 12.在半径为R 的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r 的最大值为（ ） A. (2－1)R B . (6－2)R C. 1 4R D. 1 3R13. 一个平面截一个球得到直径是6的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的体积是 .14.三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一球面上，其中ABC ∆是正三角形，PA ⊥平面ABC ，26PA AB ==，则该球的体积是 .15.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是16. 四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD 是边长为1的正方形，ABCD PA ⊥，2=PA ，则该球的体积为 _ ．17. 过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为︒60，若球半径为R ，求弦AB 的长度．19. 【改编自浙江高考题】已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，DA=AB=BC=3，求球O 的体积.20. 【改编自山东高考题】在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，求三棱锥P-DCE 的外接球的体积.21. 一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，五个顶点都在同一个球面上，求此球的表面积.22. 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过3个点的小圆的周长为π4，求这个球的半径．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
球的表面积和体积
1．球的表面积公式：S球面＝4πR2(R为球半径) 2．球的体积公式：V球＝4
3
πR3(R为球半径)
球的表面积和体积的计算
过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为12π cm2，试求此球的表面积．
若截面不过球的半径的中点，而是过半径上与球心距离为1的点，且截面与此半径垂直，若此截面的面积为π，试求此球的表面积和体积．
球的表面积及体积的应用
一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥取出后，圆锥水面的高是多少？
圆柱形容器的壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？
有关球的切、接问题
求棱长为a的正四面体P—ABC的外接球，切球的体积．
有三个球，第一个球切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．
一个球有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．
基础训练
1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于()
A.1
2B．1C．2 D．3
2．用过球心的平面将一个球平均分成两个半球，则两个半球的表面积是原来整球表面积的________倍．
3．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm2，试求此球的表面积和体积．
4．正方体的表面积与其外接球表面积的比为()
A．3∶π B．2∶πC．1∶2π D．1∶3π
5．(2013·高一检测)长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )
A ．25π
B ．50π
C ．125π
D ．都不对
4．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( )
A ．R
B ．2R
C ．3R
D ．4R
6．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A ．πa 2 B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 2
7．圆柱形容器盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是________cm.
提高训练．
1.一只小球放入一长方体容器，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是 （ ）
A ．3或8
B ．8或11
C ．5或8
D ．3或11
2.已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，三棱锥O ABC -的高为22,且ABC ∠=60º ，AB =2， BC =4，则球O 的表面积为( )
A ． 24π B.32π C. 48π D.192π
3.一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A ．4π
B ．π3
C ．π2
D ．π
4. 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( )
A.
3263+ B. 2+263 C. 4+263 D. 43263
+
5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（ ）
A .5π
B .12π
C .20π
D .8π
6.【省抚州市一中2015届高三10月月考】已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为6的正三角形，若这个空间几何体存在唯一的一个切球（与该几何体各个面都相切），则这个几何体的全面积是（ ）
A ． 18
B ．36
C ． 45
D ． 54
7.【省重点中学协作体2015届第一次适应性训练】一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A ． 4π
B ．π3
C ．π2
D ．π
8.【省市2015届高三学情调研测试】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A.2a π
B. 237
a π C. 2311
a π D. 25a π
9.【省实验外国语高2015届高三11月月考】某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为( )
A .3π
B .π4
C .π2
D .π25
10. 【全国高考新课标（I ）理】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )
A 、500π3
cm 3 B 、866π3cm 3 C 、1372π3cm 3 D 、2048π3cm 3
11. 矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是( )
A.π12125
B.π9125
C.π6125
D.π3
125 12.在半径为R 的球放入大小相等的4个小球，则小球半径r 的最大值为（ ）
A. (2－1)R B . (6－2)R C. 1 4R D. 1 3
R
13. 一个平面截一个球得到直径是6的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的体积是 .
14.三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一球面上，其中ABC ∆是正三角形，PA ⊥平面ABC ，26PA AB ==，则该球的体积是 .
15.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是
16. 四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD 是边长为1的正方形，ABCD PA ⊥，2=PA ，
则该球的体积为 _ ．
17. 过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为︒60，若球半径为R ，求弦AB 的长度．
19. 【改编自高考题】已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，DA=AB=BC=3，求球O 的体积.
20. 【改编自高考题】在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，求三棱锥P-DCE 的外接球的体积.
21. 一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，五个顶点都在同一个球面上，求此球的表面积.
22. 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的
6
1，经过3个点的小圆的周长为π4，求这个球的半径．。