二次函数综合应用—面积问题(学生版)

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中考二次函数专题12二次函数的应用综合问题(学生版)

专题12二次函数函数的应用综合问题[例1]（2021·宁夏西吉实验中学九年级期中）据统计每年由于汽车超速行驶而造成的交通事故是造成人员伤亡的主要原因之一，行驶中的汽车，在刹车后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为刹车距离，为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过140km/h），对这种汽车的刹车距离进行了测试，测得的数据如下表：（1）在如图所示的平面直角坐标系中以刹车时的速度为横坐标，以刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用光滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象．（2）观察图象估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数解析式．（3）一辆该型号的汽车在福银高速上发生了交通事故，现场测得刹车距离为32.5m，请推测该汽车的刹车时的速度是多少？请问在事故发生时，汽车是否超速行驶？（假定该路段最高限速110km/h）[例2]（2021·全国·九年级专题练习）某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型：设第t个月该原料药的月销售量为P（单位：吨），P与t之间存在如图所示的函数关系，其图像是函数P=1204t+（0＜t≤8）的图像与线段AB的组合；设第t个月销售该原料药每吨的毛利润为Q（单位：万元），Q与t之间满足如下关系：Q=28,01244,1224t tt t+<≤⎧⎨-+<≤⎩（1）当8＜t≤24时，求P关于t的函数解析式；（2）设第t个月销售该原料药的月毛利润为w（单位：万元）①求w关于t的函数解析式；①该药厂销售部门分析认为，336≤w≤513是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范围所对应的月销售量P的最小值和最大值．[例3]（2021·江苏·无锡市港下中学九年级阶段练习）某商店销售一种进价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表：（1）若某天销售利润为800元，求该天的售价为多少元/件？（2）设该商店销售商品每天获得的利润为W（元），求W与x之间的函数关系式，并求出当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？（3）由于某种原因，该商品进价提高了a元/件（a＞0），该商店在今后的销售中，日销售量与售价仍然满足原来的函数关系．规定商店售价不低于进价，售价不得超过70元/件，若今后每天能获得的销售最大利润是960元，求a的值．[例4]（2021·江苏·常熟市第一中学九年级阶段练习）如图①，在矩形ABCD中，已知BC＝8cm，点G为BC 边上一点，满足BG＝AB＝6cm，动点E以1cm/s的速度沿线段BG从点B移动到点G，连接AE，作EF①AE，交线段CD于点F．设点E移动的时间为t（s），CF的长度为y（cm），y与t的函数关系如图①所示．（1）图①中，CG＝______cm，图①中，m＝______；（2）点F能否为线段CD的中点？若可能，求出此时t的值，若不可能，请说明理由；（3）在图①中，连接AF，AG，设AG与EF交于点H，若AG平分①AEF的面积，求此时t的值．[例5]．（2021·全国·九年级专题练习）“宿松家乐福超市”以每件20元的价格进购一批商品，试销一阶段后发现，该商品每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系如图（20≤x≤60）：（1）求每天销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数表达式；（2）若该商品每天的利润为w（元），试确定w（元）与售价x（元/件）的函数表达式，并求售价x为多少时，每天的利润w最大？最大利润是多少？【例6】某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式；（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN 的成本）（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？1．（2021·湖南郴州·九年级阶段练习）为满足市场需求，郴州某超市在“中秋节”来临前夕，购进一种品牌月饼，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y（盒)与每盒售价x（元)之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元)最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种月饼的每盒售价不得高于57元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售月饼多少盒？2．（2021·云南·云大附中九年级阶段练习）某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示（图1的图象是线段，图2的图象是抛物线）．（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是元；（收益＝售价﹣成本）（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大，最大收益是多少？说明理由．3．（2021·湖北·武汉第三寄宿中学九年级阶段练习）近年来我国无人机设备发展迅猛，新型号无人机不断面世，科研单位为保障无人机设备能安全投产，现针对某种型号的无人机的降落情况进行测试，该型号无人机在跑道起点处着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间满足二次函数关系，其部分函数图象如图所示．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若跑道长度为900（m），是否够此无人机安全着陆？请说明理由；（3）现对该无人机使用减速伞进行短距离着陆实验，要求无人机触地同时打开减速伞（开伞时间忽略不计），若减速伞的制动效果为开伞后每秒钟减少滑行距离20a（单位：m），无人机必须在200（单位：m）的短距跑道降落，请直接写出a的取值范围为．4．（2021·江西·九年级阶段练习）2021年新冠肺炎依然在肆虐，“江西加油！中国加油！”每个人都在为抗击疫情而努力市场对口罩的需求依然很大，某公司销售一种进价为20元/袋的口罩，其销售量y（万袋）与销售价格x（元/袋）的变化如下表：同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计50万元．（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，写出y（万袋）与x（元/袋）之间的一次函数解析式；（2）求出该公司销售这种口罩的净得利润（万元）与销售价格x（元/袋）之间的函数解析式，当销售价格定为多少元时净利润最大，最大值是多少？5．（2021·贵州·遵义市第十二中学九年级期中）疫情从未远去，据云南省卫健委通报，连续3天，云南省的本土日新增确诊病例均超过10例，从3月30日到4月6日，短短一周时间，本轮疫情中的本土确诊病例累计已达65例，为了抗击“新冠”疫情后期输入，我省的医疗物资供给正常，某药店销售每瓶进价为40元的消毒液，市场调查发现，每天的销售量(y瓶)与每瓶的售价(x元)之间满足如图所示的函数关系．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）政府部门规定每瓶消毒液售价不得超过55元，当每瓶的销售单价定为多少元时，药店可获得最大利润？最大利润是多少？6．（2021·福建闽侯·九年级期中）如图，四边形ABCD 是一块边长为6米的正方形花圃，现将它改造为矩形AEFG 的形状，其中点E 在AB 边上（不与点B 重合），点G 在AD 的延长线上，3DG BE =，设BE 的长为x 米，改造后花圃AEFG 的面积为y 平方米．（1）当改造后花圃AEFG 的面积与原正方形ABCD 花圃的面积相等时，求BE 的长；（2）当x 为何值时，改造后的花圃AEFG 的面积最大?并求出最大面积．7．（2021·甘肃·临泽二中九年级期中）如图，在直角坐标系中，Rt OAB 的直角顶点A 在x 轴上，4OA =，3AB =．动点M 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO 向终点O 移动;同时点N 从点O 出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB 向终点B 移动，当两个动点运动了x 秒(04)x <<时，解答下列问题：（1）求点N 的坐标(用含x 的代数式表示)（2）设OMN 的面积为S ，求S 与x 之间的函数表达式；（3）在两个动点运动的过程中，是否存在某一时刻，使OMN 是直角三角形？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．8．（2021·四川·南部县第二中学九年级阶段练习）如图，小明在一次高尔夫球训练中，从山坡下P点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度BD为12米时，球于点C，P、A两点相移动的水平距离PD为9米．已知山坡P A与水平方向PC的夹角为30°，AC PC距P为原点，直线PC为x轴建立适当的平面直角坐标系解决下列问题．（1）求水平距离PC的长；（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从P点直接打入球洞A，并说明理由．9．（2021·湖南凤凰·九年级期中）凤凰县某超市销售一种大米，每千克大米的成本为5元，经试销发现，该大米每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如下表所示：（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式（不要求写出自变量取值范围）．（2）为保证某天获得1600元的销售利润，且要惠及客户，则该天的销售单价应定为多少？（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？10．（2021·浙江·九年级期中）中国小将杨倩在2021东京奥运会射击比赛中，拿下中国第一枚金牌．某网店顺势推出纪念T恤衫，成本为30元/件，经市场调查发现每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）直接写出y与x之间的函数关系式．（2）当销售单价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出160元给希望工程，为了保证捐款后每天利润不低于3800元，求该纪念T恤衫的销售单价x的取值范围．11．（2021·湖北·荆州市荆南中学九年级期中）在荆州市“创建国家文明城市”活动中，好邻居超市购进一批“创文”用的劳动工具，每件成本价6元，每件销售单价x（元）与每天的销售量y（件）的关系如下表：（1）若每天的销售量y（件）与单价x（元）成一次函数关系：求y与x的关系式；（2）设超市销售这种劳动工具每天获得的利润为W（元），当销售单价x为何值时，超市每天可获得最大利润？最大利润是多少？（3）若超市销售这种劳动工具每天获得的利润最多不超过600元，最低不低于480元，那么超市该如何确定销售单价的波动范围？画出草图，结合图像直接写出销售单价x的取值范围．12．（2021·山西孝义·九年级期中）漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大小相等的抛物线型，桥拱如长虹出水，屹立于汾河之上，是太原市地标性建筑之一．如图2所示，单个桥拱在桥面上的跨度OA ＝60米，在水面的跨度BC＝80米，桥面距水面的垂直距离OE＝7米，以桥面所在水平线为x轴，OE所在直线为y轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱所在抛物线的函数关系表达式；（2）求桥拱最高点到水面的距离是多少米？13．（2021·河南·南阳市第十三中学校九年级阶段练习）南阳某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？14．（2022·全国·九年级专题练习）已知：如图，在矩形ABCD和等腰Rt ADE中，AB＝8cm，AD＝AE＝6cm，∠DAE＝90°．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s．过点Q作QM∥BE，交AD于点H，交DE于点M，过点Q作QN∥BC，交CD于点N．分别连接PQ，PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：（1）当PQ⊥BD时，求t的值；（2）设五边形PMDNQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；（3）当PQ＝PM时，求t的值；（4）若PM与AD相交于点W，分别连接QW和EW．在运动过程中，是否存在某一时刻t，使∠AWE＝∠QWD若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．15．（2021·浙江·杭州外国语学校九年级阶段练习）某产品每件成本为25元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m（单位：件）是关于时间t（单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如表：这20天中，该产品每天的价格y（单位：元/件）与时间t的函数关系式为：y＝14t+30（t为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：（1）求出m关于t的函数关系式；（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a元（a＜6）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围．16．（2021·福建省南平第一中学九年级期中）经调查某商品在某月30天内的第x天的销售数量y（单位：件）关于x的函数解析式为48(020)5216(2030)5x xyx x⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩，销售价格p（单位：元/件）关于x的函数关系如图所示，设第x天的销售额为w（单位：元），回答下列问题：（1）第20天的销售量为________件，销售价格为________元/件，销售额为________元；（2）求p与x之间的函数解析式；（3）这个月第几天，该商品的销售额w最大，最大销售额为多少？17．某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：其中a为常数，且3≤a≤5（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．18．某种食品的销售价格y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示（图1的图象是线段，图2的图象是部分抛物线）．（1）已知6月份这种食品的成本最低，求当月出售这种食品每千克的利润（利润＝售价﹣成本）是多少？（2）求出售这种食品的每千克利润P与销售月份x之间的函数关系式；（3）哪个月出售这种食品，每千克的利润最大？最大利润是多少？简单说明理由．19．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．20．为了探索函数y＝x+1x（x＞0）的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．列表：描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；（2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：若0＜x1＜x2≤1，则y1＞y2；若1＜x1＜x2，则y1＜y2；若x1•x2＝1，则y1＝y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元．①请写出y与x的函数关系式；②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x应控制在什么范围内？。

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(面积问题)(含简单答案)

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（面积问题）1．如图，二次函数25y ax bx =++的图象经过点(1,8)，且与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点(1,0)A -，M 为抛物线的顶点．(1)求二次函数的解析式； (2)求MCB △的面积；(3)在坐标轴上是否存在点N ，使得BCN △为直角三角形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线212y x bx c =-++（b 、c 为常数）经过()4,0A 和()0,4B 两点，其顶点为C ．(1)求该抛物线的表达式及其顶点坐标；(2)若点M 是拋物线上第一象限的一个动点．设ABM 的面积为S ，试求S 的最大值； (3)若抛物线222y mx mx m =-++与线段AB 有两个交点，直接写出m 的取值范围． 3．如图，抛物线22(0)y ax ax c a =-+>与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左侧．点A 的坐标为(1,0),3OC OA -=．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线BC 下方的抛物线上是否存在一点P ，使得PBC 的面积等于ABC 面积的三分之二？若存在，求出此时OP 的长；若不存在，请说明理由．(3)将直线AC 绕着点C 旋转45︒得到直线l ，直线l 与抛物线的交点为M （异于点C ），求M 点坐标．4．如图1，抛物线24y ax bx a =+-经过()10A -，，()04C ，两点，与x 轴交于另一点B ．(1)求抛物线和直线BC 的解析式；(2)如图2，点P 为第一象限抛物线上一点，是否存在使四边形PBOC 面积最大的点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图3，若抛物线的对称轴EF （E 为抛物线顶点）与直线BC 相交于点F ，M 为直线BC 上的任意一点，过点M 作MN EF ∥交抛物线于点N ，以E ，F ，M ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出点N 的坐标；若不能，请说明理由． 5．如图，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()2,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．(1)求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；(2)动点P ，Q 以相同的速度从点O 同时出发，分别在线段,OB OC 上向点B ，C 方向运动，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点E ． ①当四边形OQEP 为矩形时，求点E 的坐标；①过点E 作EM BC ⊥于点M ，连接,PM QM ，设BPM △的面积为1S ，CQM 的面积为2S ，当PE 将BCE 的面积分成1:3两部分时，请直接写出12S S 的值． 6．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴相交于A ，B 两点，抛物线的对称轴为直线=1x -，其中点A 的坐标为(3,0)-．(1)求点B 的坐标；(2)已知1a =，C 为抛物线与y 轴的交点，求抛物线的解析式； (3)若点P 在抛物线上，且4POCBOCSS=，求点P 的坐标；(4)设点Q 是线段AC 上的动点，过点Q 作QD y 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于()30A -,，()10B ,两点，与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，当ACP △的面积最大时，求点P 的坐标；(3)Q 是x 轴上一动点，M 是第二象限内抛物线上一点，若以A ，C ，M ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点Q 的坐标．8．如图，直线132y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线214y x bx c =-++经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B ．(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标及抛物线的解析式；(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求四边形ABCM 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90°得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围．9．如图，已知抛物线与x 轴交于()1,0A - 、()4,0B 两点，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求抛物线的解析式； (2)求直线BC 的函数解析式；(3)在抛物线上，是否存在一点P ，使PAB 的面积等于ABC 的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()6,0B ，()2,0C -，与y 轴交于点A ，点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 运动到什么位置时，PAB 的面积最大？(3)过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 作PE x ∥轴交抛物线于点E ，连接DE ．是否存在点P ，使PDE △为等腰直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，直线l ：112y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点B ，C ，经过B ，C 两点的抛物线2y x bx c =++与x 轴的另一个交点为A ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P 在直线l 下方的抛物线上，过点P 作PD ①x 轴交l 于点D ，PE ①y 轴交l 于点E ，求PD PE +的最大值；(3)若点P 在直线l 下方的抛物线上，F 为直线l 上的点，以A ，B ，P ，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，直接写出点F 的坐标；若不能，请说明理由． 12．已知顶点为()1,5A 的抛物线2y ax bx c =++经过点()5,1B ，(1)求抛物线的解析式；(2)设C ，D 分别是x 轴、y 轴上的两个动点．①当四边形ABCD 的周长最小时，在图1中作直线CD ，保留作图痕迹并直接写出直线CD 的解析式；①点()(),>0P m n m 是直线y x =上的一个动点，Q 是OP 的中点，以PQ 为斜边按图2所示构造等腰Rt PQR △．在①的条件下，记PQR 与COD △的公共部分的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求S 的最大值．13．抛物线24y x x =-与直线y x =交于原点O 和点B ，与x 轴交于另一点A ，顶点为D ．(1)填空：点B 的坐标为___________，点D 的坐标为___________．(2)如图1 ，连结OD P ，为x 轴上的动点，当以O D P ，，为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出点P 的坐标；(3)如图2， M 是点B 关于拋物线对称轴的对称点， Q 是拋物线上的动点，它的横坐标为 (05)m m <<，连结MQ BQ MQ ，，与直线OB 交于点E ．设BEQ 和BEM △的面积分别为1S 和2S ，设12S t s =，试求t 关于m 的函数解析式并求出t 的最值． 14．如图，二次函数的图象经过点()10A -，，()30B ，，()03C -，，直线22y x =-与x 轴、y 轴交于点D ，E ．(1)求该二次函数的解析式(2)点M 为该二次函数图象上一动点．①若点M 在图象上的B ，C 两点之间，求DME 的面积的最大值． ①若MED EDB ∠∠=，求点M 的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于()2,0A -，B 两点，其对称轴直线2x =与x 轴交于点D ．(1)求该抛物线的函数表达式为______；(2)如图1，点P 为抛物线上第四象限内的一动点，连接CD ，PB ，PC ，求四边形BDCP 面积最大值和点P 此时的坐标；(3)如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线y '，当抛物线y '经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E ，点F 为抛物线y '对称轴上的一点，点M 是平面内一点，若以点A ，E ，F ，M 为顶点的四边形是以AE 为边的菱形，请直接写出满足条件的点M 的坐标______．16．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()21,0A m -和点()2,0B m +，与y 轴交于点C ，对称轴轴为直线=1x -．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AC 上一动点，过点P 作PQ y ∥轴，交抛物线于点Q ，以P 为圆心，PQ 为半径作P ，当P 与坐标轴相切时，求P 的半径；(3)直线()340y kx k k =++≠与抛物线交于M ，N 两点，求AMN 面积的最小值．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于两点()1,0A -和()3,0B ，与y 轴交于点C ，抛物线上有一动点P ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连接EC ，作直线BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 为直线BC 上方抛物线上一动点时，连接,PB PC ，当23EBC PBC S S =△△时，求点P 坐标；(3)如果抛物线的对称轴上有一动点Q ，x 轴上有一动点N ，是否存在四边形PQCN 是矩形？若存在，在横线上直接写出点N 的坐标，若不存在，请说明理由． 18．如图，直线122y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线214y x bx c=-++经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B ．(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标及抛物线的解析式；(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求三角形ACM 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90︒得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围（直接写出结果即可）．参考答案：1．(1)245y x x =-++； (2)15(3)存在，点N 的坐标为(5,0)-或(0,5)-或(0,0)．2．(1)2142y x x =-++，91,2⎛⎫⎪⎝⎭(2)S 的最大值为4 (3)2m ≥或1249m -<≤-3．(1)抛物线的解析式为2=23y x x -- (2)不存在这样的点P ， (3)M 点坐标是(45)，或315()24-，4．(1)抛物线的解析式：234y x x =-++；直线BC 的解析式为4y x =-+；(2)当()26P ，时，四边形PBOC 面积最大； (3)能，点N 的坐标为52124⎛⎫ ⎪⎝⎭，或724⎛- ⎝或724⎛- ⎝．5．(1)2142y x x =--，91,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭．(2)①(-；①1215S S =或1279S S =6．(1)(1,0) (2)223y x x =+- (3)(4,21)或()4,5- (4)947．(1)224233y x x =--+(2)3(2P -，5)2(3)(5,0)-或(1,0)-8．(1)03A （，），20B -（，），60C （，），抛物线解析式为：2134y x x =-++； (2)3a =时，四边形ABCM 面积最大，其最大值为754，此时M 的坐标为153,4⎛⎫⎪⎝⎭；(3)当3m -≤≤-33m ≤≤时，线段O A ''与抛物线只有一个公共点．9．(1)239344y x x =-++(2)334y x =-+(3)存在，点P 的坐标为：()13,3P ，23P ⎫-⎪⎪⎝⎭，33P ⎫-⎪⎪⎝⎭10．(1)21262y x x =-++(2)153,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)点P 坐标为()46，或()55．11．(1)2512y x x =-+ (2)3(3)13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或1(1,)212．(1)21119424y x x =-++(2)①4y x =-+；①当02m <≤时，218PQRSm =；当823m <≤时，27448S m m =-+-；当843m ≤≤时，21244S m m =-+；S 的最大值为：47答案第3页，共3页 13．(1)()5,5；()2,4-；(2)点P的坐标为()或()-或()4,0或()5,0； (3)()2150566t m m m =-+<<，当52m =时，t 的最大值为2524．14．(1)该二次函数的解析式是()()21323y x x x x =+-=--；(2)①DME 的面积的最大值为52；①点M的坐标为⎝⎭或()12--．15．(1)214433y x x =-- (2)PBDC S 四边形的最大值为17，此时点P 的坐标为()3,5-(3)⎛ ⎝⎭或⎛ ⎝⎭或⎛- ⎝⎭或8,⎛- ⎝⎭16．(1)223y x x =+-(2)2或4(3)817．(1)2=23y x x --(2)⎝⎭或⎝⎭ (3)存在，⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭18．(1)()0,2A ，()2,0B -，()4,0C ，211242y x x =-++ (2)2，()2,2(3)34m -≤≤-或32m -+≤。

专题27 二次函数与面积压轴问题(学生版)

专题27二次函数与面积压轴问题【例1】（2022·湖北随州·统考中考真题）如图1，平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+bx +c +a <0与x 轴分则点A 和点B 1,0，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x =−1，且OA =OC ，P 为抛物线上一动点．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图2，连接AC ，当点P 在直线AC 上方时，求四边形PABC 面积的最大值，并求出此时P 点的坐标；(3)设M 为抛物线对称轴上一动点，当P ，M 运动时，在坐标轴上是否存在点N ，使四边形PMCN 为矩形？若存在，直接写出点P 及其对应点N 的坐标；若不存在，请说明理由．经典例题【例2】（2022·广西贺州·统考中考真题）如图，抛物线y=−x2+bx+c过点A(−1,0),B(3,0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；(3)在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得S△BCM=S△BCP若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．【例3】（2022·河南洛阳·统考二模）如图，抛物线y=−x2−2x+3的图象与x轴交于A，B两点，（点A在点B 的左边），与y轴交于点C．(1)直接写出A，B，C的坐标；(2)点M为线段AB上一点（点M与点A，点B不重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，若点P在点Q的左侧，当矩形PMNQ 的周长最大时，求△AEM的面积．【例4】（2022·福建·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．(1)求抛物线的解析式；(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；(3)如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．判断S1S2+S2S3是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【例5】（2022·湖南岳阳·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：y=x2+bx+c经过点A−3,0和点B1,0．(1)求抛物线F1的解析式；(2)如图2，作抛物线F2，使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F2的解析式；(3)如图3，将（2）中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线F3，抛物线F1与抛物线F3相交于C，D两点（点C 在点D的左侧）．①求点C和点D的坐标；②若点M，N分别为抛物线F1和抛物线F3上C，D之间的动点（点M，N与点C，D不重合），试求四边形CMDN 面积的最大值．培优训练1．（2022·广东·统考中考真题）如图，抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A1,0，AB=4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ//BC交AC于点Q．(1)求该抛物线的解析式；(2)求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．2．（2022·湖南常德·统考中考真题）如图，已经抛物线经过点O(0,0)，A(5,5)，且它的对称轴为x=2．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B的坐标；(3)在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PA−PB的值最大时，求P的坐标以及PA−PB的最大值3．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）在平面直角坐标系中，直线y＝mx-2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝-x2+2mx-m2+2与y轴交于点C．(1)如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．①求A，B，C，D四点的坐标；②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；(2)在y轴上有一点M（0，73m），当点C在线段MB上时，①求m的取值范围；②求线段BC长度的最大值．4．（2019·广东河源·校联考一模）如图，已知抛物线的顶点为A1，4，抛物线与y轴交于点B0，3，与x轴交于C、D两点，点P是抛物线上的一个动点．(1)求此抛物线的解析式．(2)求于C、D两点坐标及三角形△BCD的面积．(3)若点P在x轴上方的抛物线上，满足S△PCD=12S△BCD，求点P的坐标．5．（2022·湖南娄底·统考中考真题）如图，抛物线y=12x2−2x−6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．(1)请直接写出点A，B，C的坐标；(2)点P m,n0<m<6在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．(3)点F是抛物线上的动点，作FE//AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为−1，点M(1,m)是其对称轴上一点，y轴上一点B(0,1)．(1)求二次函数的表达式；(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结PA，PB，设点P的横坐标为t，△PAB的面积为S，求S与t的函数关系式；(3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．7．（2022·山东日照·校考一模）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A1,0，B3,0两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，M是抛物线x轴下方的抛物线上一点，连接MO、MB、MC，若△MOC的面积是△MBC面积的3倍，求点M的坐标(3)如图3，连接AC､BC，在抛物线上是否存在点N（不与点A重合），使得∠BCN=∠ACB？若存在求出点N的横坐标，若不存在说明理由8．（2022·黑龙江·统考中考真题）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A−1,0，点B2,−3，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．9．（2022·四川巴中·统考中考真题）如图1，抛物线y=ax2+2x+c，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F 为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，当y≥0时，−1≤x≤3．(1)求抛物线的表达式；(2)点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．①当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；②如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，EM+EN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．10．（2022·黑龙江绥化·校考二模）如图，抛物线y=−x2+bx+c与直线AB交于A(−4,−4)，B(0,4)两点，且点D是它的顶点，在y轴上有一点C(0,−1)．(1)求出抛物线的解析式及直线AB的解析式；(2)点E在直线AB上运动，若△BCE是等腰三角形时，求点E的坐标；(3)设点N是抛物线上一动点，若SΔBDN=32SΔBDO，求点N的坐标．11．（2022·重庆璧山·统考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+43x+c与x轴交于点A−3,0，与y轴交于点C0,−2．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接AC，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作DE∥y轴交线段AC于E点，连接EO，记△ADC的面积为S1，△AEO的面积为S2，求S1−S2的最大值及此时点D的坐标；(3)如图2，在（2）问的条件下，将抛物线沿射线CB M在原抛物线的对称轴上，点N为新抛物线上一点，直接写出所有使得以点A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来．12．（2023·广西玉林·一模）已知二次函数y=x2+2bx−3b的图象经过点A1,0．(1)求该二次函数的表达式；(2)二次函数图象与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为C，点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值；(3)在点P、Q运动的过程中，是否存在使△PBQ与△BOC相似的时刻，如果存在，求出运动时间t，如果不存在，请说明理由．13．（2022·内蒙古·中考真题）如图，抛物线y=ax2+x+c经过B(3,0)，D−2,−x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的解析式和点C的坐标；(2)若点M在直线BC上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使△MBC面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）(3)设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）14．（2022·辽宁大连·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2−2x−3与x轴相交于点A，B（点A 在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC．(1)求点B，点C的坐标；(2)如图1，点E m,0在线段OB上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上，OE=OF，连接AF,BF,EF，设△ACF 的面积为S1，△BEF的面积为S2，S=S1+S2，当S取最大值时，求m的值；(3)如图2，抛物线的顶点为D，连接CD,BC，点P在第一象限的抛物线上，PD与BC相交于点Q，是否存在点P，使∠PQC=∠ACD，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2022·山东济南·模拟预测）如图1，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A−1，0和点B3，0，与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上的动点．连接OP交BC于点D，连接PC．(1)试确定抛物线的解析式；(2)当S△CPD：S△BPD=1：2时，请求出点D的坐标；(3)如图2，连接AC，设P点横坐标为m(0<m<3)，求当m为何值时，四边形BACP的面积最大？并求出点P 的坐标．16．（2022·甘肃嘉峪关·校考一模）如图，已知抛物线y=−x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A−1，0，C0，3．(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．17．（2022·山东济南·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx−3与x轴相交于B(−1,0)，C(3,0)两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标；(3)在（2）的条件下，设抛物线与y轴交于点Q，连接BQ、DQ，点P为抛物线上的一个动点(点P与点Q不重合)，且S△PBD=S△BDQ，请求出所有满足条件的点P的横坐标．18．（2022·重庆大渡口·重庆市第三十七中学校校考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c 与直线AB交于A，B两点，其中A（0，1），B(4,−1)．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P，Q为直线AB下方抛物线上任意两点，且满足点P的横坐标为m，点Q的横坐标为m+1，过点P和点Q分别作y轴的平行线交直线AB于C点和D点，连接PQ，求四边形PQDC面积的最大值；(3)在（2）的条件下，将抛物线y=x2+bx+c沿射线AB平移25个单位，得到新的抛物线y1，点E为点P的对应点，点F为y1的对称轴上任意一点，点G为平面直角坐标系内一点，当点B，E，F，G构成以EF为边的菱形时，直接写出所有符合条件的点G的坐标．19．（2022·山东菏泽·统考二模）如图，抛物线y=ax2+bx+6经过A−2,0、B4,0两点，与y轴交于点C，D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为m1<m<4，连结AC,BC,DB,DC．(1)求抛物线的函数表达式．(2)当△BCD的面积等于△AOC的面积的34时，求m的值．(3)当m=2时，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2022·四川绵阳·校考二模）如图，直角三角形的斜边AB在x轴上，直角顶点在y轴正半轴上，已知A−1,0,C0,2，抛物线y=ax2+bx+c a≠0经过点A,B,C．(1)求抛物线的解析式．(2)如图①，点P是y轴右侧抛物线上一动点，若∠PCB=∠ACO，求点P的坐标．(3)如图②，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接PA交BC于点E，交y轴于点F，连接PB．设ΔPBE，ΔCEF的面积分别为S1，S2，求S1−S2的最大值．21．（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D（1，4）在直线l：y＝43x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上．(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1＜m＜3时，求PM+PN的最大值；(3)设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．22．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，已知二次函数y=−x2+bx+c的图像交x轴于点A−1,0，B5,0，交y轴于点C．(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图1，点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段BC向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB向点B运动，点M，N同时出发．设运动时间为t秒（0<t<5）．当t为何值时，△BMN的面积最大？最大面积是多少？(3)已知P是抛物线上一点，在直线BC上是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．23．（2022·山东枣庄·统考中考真题）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的关系式；(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；(3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；(4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．（2022·山东日照·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）．(1)当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；(2)证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；(3)在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD 与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．。

二次函数的应用(面积最值问题)

二次函数的应用（面积最值问题）[例1]：在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动．（1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm²)是多少？（2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm²)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值X 围．（3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？答案：6336333607266126262621)1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（S t t S t t t t t S tt t t y =∴+-=<<+-=+--⨯=+-=⋅-=[例2]：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道与在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？解：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米则长为：x x 4342432-=+-(米)则：)434(x x S -=x x 3442+-=4289)417(42+--=x ∵104340≤-<x∴2176<≤x∵6417<，∴S 与x 的二次函数的顶点不在自变量x 的X 围内，而当2176<≤x 内，S 随x 的增大而减小，∴当6=x 时，604289)4176(42max =+--=S (平方米) 答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．[例3]：已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积．解：设矩形PNDM 的边DN=x ，NP=y ，则矩形PNDM 的面积S=xy （2≤x≤4）易知CN=4-x ，EM=4-y ．过点B 作BH ⊥PN 于点H 则有△AFB ∽△BHP ∴PHBHBF AF =，即3412--=y x ， ∴521+-=x y ， x x xy S 5212+-==)42(≤≤x ，此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5， ∴当x≤5时，函数值y 随x 的增大而增大，对于42≤≤x 来说，当x=4时，12454212=⨯+⨯-=最大S ．【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．[例4]：某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH ．(1)判断图(2)中四边形EFGH 是何形状，并说明理由；(2)E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？解：(1) 四边形EFGH 是正方形．图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C 点按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的，故CE =CF =CG ．∴△CEF 是等腰直角三角形因此四边形EFGH 是正方形．(2)设CE =x , 则BE =0.4－x ，每块地砖的费用为y 元那么：y =x ×30+×0.4×(0.4-x )×20+[0.16-x -×0.4×(0.4-x )×10])24.02.0(102+-=x x3.2)1.0(102+-=x )4.00(<<x当x =0.1时，y 有最小值，即费用为最省，此时CE =CF =0.1．答：当CE =CF =0.1米时，总费用最省．作业布置：1．(2008XXXX)某人从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：米)与小球运动时间t (单位：秒)的函数关系式是，那么小球运动中的最大高度=最大h 4.9米．2．(2008庆阳市)XX 市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y (元/平方米)随楼层数x (楼)的变化而变化(x =1，2，3，4，5，6，7，8)；已知点(x ，y )都在一个二次函数的图像上，(如图所示)，则6楼房子的价格为元/平方米．5 m 12m ABCD提示：利用对称性，答案：2080．3．如图所示，在一个直角△MBN 的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB =x m ，长方形的面积为y m 2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为( D )A ．424m B ．6 m C ．15 m D ．25m 解：AB =x m ，AD=b ，长方形的面积为y m 2∵AD ∥BC ∴△MAD ∽△MBN ∴MB MA BN AD =，即5512x b -=，)5(512x b -= )5(512)5(5122x x x x xb y --=-⋅==, 当5.2=x 时，y 有最大值．4．(2008XXXX)将一X 边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为ｘ㎝的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体．当ｘ取下面哪个数值时，长方体的体积最大（ C ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．45．如图，铅球运动员掷铅球的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数关系式是：35321212++-=x x y ，则该运动员此次掷铅球的成绩是( D ) A ．6 mB ．12 mC ．8 mD ．10m解：令0=y ，则：02082=--x x 0)10)(2(=-+x xxyOAM （图5）（图7） 6．某幢建筑物，从10 m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图6，如果抛物线的最高点M 离墙1 m ，离地面340m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是( B )A ．2 mB ．3 mC ．4 mD ．5 m解：顶点为)340,1(，设340)1(2+-=x a y ，将点)10,0(代入，310-=a 令0340)1(3102=+--=x y ，得：4)1(2=-x ，所以OB=37．(2007乌兰察布)小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分，如图7所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是（ B ） A ．4.6m B ．4.5m C ．4m D ．3.5m8．某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成．若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m²)．(1)求y 与x 之间的函数关系，并写出自变量的取值X 围；（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：)240(x x y -=)20(22x x --=200)10(22+--=x∵152400≤-<x ∴205.12<≤x∵二次函数的顶点不在自变量x 的X 围内，而当205.12<≤x 内，y 随x 的增大而减小， ∴当5.12=x 时，5.187200)105.12(22max =+--=y (平方米)答：当5.12=x 米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．9．如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米．(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？ (2)如果中间有n (n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？解：(1)∵长为x 米，则宽为350x-米，设面积为S 平方米． )50(313502x x x x S --=-⋅= 3625)25(312+--=x ∴当25=x 时，3625max =S (平方米)即：鸡场的长度为25米时，面积最大． (2)中间有n 道篱笆，则宽为250+-n x米，设面积为S 平方米．则：)50(212502x x n n x x S -+-=+-⋅= 2625)25(212++-+-=n x n ∴当25=x 时，2625max +=n S (平方米)由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25米．即：使面积最大的x 值与中间有多少道隔墙无关．10．如图，矩形ABCD 的边AB=6 cm ，BC=8cm ，在BC 上取一点P ，在CD 边上取一点Q ，使∠APQ 成直角，设BP=x cm ，CQ=y cm ，试以x 为自变量，写出y 与x 的函数关系式．ACD P Q解：∵∠APQ=90°,∴∠APB+∠QPC=90°. ∵∠APB+∠BAP=90°,∴∠QPC=∠BAP ，∠B=∠C=90° .∴△ABP ∽△PCQ.,86,yxx CQ BP PC AB =-= ∴x x y 34612+-=．11．(2006年XX 市)如图，在矩形ABCD 中，AB=2AD ，线段EF=10．在EF 上取一点M ，分别以EM 、MF 为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ．令MN=x ，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？解：∵矩形MFGN ∽矩形ABCD ∴MF=2MN =2x ∴ EM=10-2x∴S=x （10-2x ）=-2x 2+10x=-2(x-2.5)2+12.5 ∵1020<<x ，∴50<<x当x=2.5时，S 有最大值12.512．(2008XX 内江)如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为0.5 米．答案：如图所示建立直角坐标系则：设c ax y +=2将点)1,5.0(-，)5.2,1(代入，⎩⎨⎧+=+-⨯=ca c a 5.2)5.0(12，解得⎩⎨⎧==5.02c a 5.022+=x y 顶点)5.0,0(，最低点距地面0.5米．13．(2008XXXX)小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值X 围；（2）当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？解：（1）根据题意，得x x x xS 3022602+-=⋅-=自变量的取值X 围是（2）∵01<-=a ，∴S 有最大值当时，答：当为15米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是225平方米．14．(2008年XX 市)随着绿城XX 近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉与树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图12-②所示(注：利润与投资量的单位：万元)（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？解：（1）设=,由图12-①所示，函数=的图像过（1，2），所以2=，故利润关于投资量的函数关系式是=；因为该抛物线的顶点是原点，所以设2y =，由图12-②所示，函数2y =的图像过（2，2），所以，故利润2y 关于投资量的函数关系式是2221x y =；（2）设这位专业户投入种植花卉万元（），则投入种植树木(x -8)万元，他获得的利润是万元，根据题意，得 ==+21y y +==∵021>=a ∴当时，的最小值是14；∴他至少获得14万元的利润．因为，所以在对称轴2=x 的右侧， z 随x 的增大而增大所以，当8=x 时，z 的最大值为32．15．(08XX 聊城)如图，把一X 长10cm ，宽8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）要使长方体盒子的底面积为48cm 2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．解：（1）设正方形的边长为cm ，则．即．解得（不合题意，舍去），．剪去的正方形的边长为1cm ．（2）有侧面积最大的情况．设正方形的边长为cm ，盒子的侧面积为cm 2，则与的函数关系式为：．即．改写为．当时，．即当剪去的正方形的边长为2.25cm 时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm 2．（3）有侧面积最大的情况．设正方形的边长为cm ，盒子的侧面积为cm 2．若按图1所示的方法剪折，则与的函数关系式为：x xx x y ⋅-⋅+-=22102)28(2 即．当时，．若按图2所示的方法剪折，则与的函数关系式为：x xx x y ⋅-⋅+-=2282)210(2．即．当时，．比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm 时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm 2．16．(08XX)一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图16所示)，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图17所示)，求抛物线的解析式；（2）求支柱的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由．解：（1）根据题目条件，的坐标分别是．设抛物线的解析式为，将的坐标代入，得解得．所以抛物线的表达式是．（2）可设，于是从而支柱的长度是米．（3）设是隔离带的宽，是三辆车的宽度和，则点坐标是．过点作垂直交抛物线于，则．根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．。

专题18 二次函数的应用题型(学生版)

专题18二次函数的应用题型知识归纳二次函数的应用题型主要包含求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等。

解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式。

本专题主要对二次函数的应用题型进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型。

知识点梳理利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.常考题型专练一、填空题1．为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A 距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的B 处，则小丁此次投掷的成绩是米．2．某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为米，出手后铅球在空中运动的高度y （米）与水平距离x （米）之间的函数关系式为y ＝﹣x 2+bx +c ，当铅球运行至与出手高度相等时，与出手点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为米．3.某商店销售一种销售成本为40元/50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克，则月销售利润y （单位：元）与售价x （单位：元/千克）之间的函数解析式为.4．某厂有一种产品现在的年产量是2万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的产量y （万件）将随计划所定的x 的值而确定，那么y 与x 之间的关系式应表示为________．5.如图，以地面为x 轴，一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：米）与水平距离x （单位：米）之间的关系是21251233y x x =-++．则他将铅球推出的距离是米．二、解答题1.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．(1)若降价3元，则平均每天销售数量为件：(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？2.某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入，试销的30天中，该村第一天卖出土特产42千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出6千克，第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为y＝()()821202030mx m xn x⎧-≤<⎪⎨≤≤⎪⎩，x为正整数，且第14天的售价为34元/千克，第27天的售价为27元/千克．已知土特产的成本是21元/千克，每天的利润是W．（1）m＝，n＝；（2）求每天的利润W元与销售的天数x（天）之间的函数关系式；（3）在销售土特产的30天中，当天利润不低于1224元的共有多少天？3.2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线2117C :1126y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出，滑出后沿一段抛物线221:8C y x bx c =-++运动．（1）当运动员运动到离A 处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线2C 的函数解析式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b 的取值范围．4．如图所示，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时，宽为20m，若水位上升3m，水面就会达到警戒线CD，这时水面宽为10m．（1）建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？5．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系m＝162﹣3x．（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式．（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．6.小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为()2=-+，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．y a x h k(1)求抛物线的表达式．(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．7．某地实施产业扶贫种植某种水果，其成本经过测算为20元/千克，投放市场后，经过市场调研发现，这种水p（元/千克）与时间t（天）之间的函数图象如图，且其日销售量y（千克）与时间t（天）的关系是：y＝﹣2t+160．（0≤t＜80，且t为整数）（1）试求销售单价p（元/千克）与时间t（天）之间的函数表达式；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？。

二次函数的应用——最大面积问题教学设计

二次函数的应用——最大面积问题的教学设计一、学情分析：众所周知，二次函数与解析几何是初中数学的两个难点，而在中考中往往都是将二者融合形成综合性问题，当然也是学生一直感觉头疼的一个问题。

新课程标准指出，学生对有关的数学内容进行探索、实践和思考的过程就是数学学习的过程，也是学生获得数学活动经验的过程。

将时间还给学生、以学生为主体是每一节课的追求。

通过学生自主学习在反比例函数中求三角形时所用到的方法分享，对其中分割法中的竖直高乘以水平宽的一半进行着重分析，探究其基本原理，从而用此通法解决二次函数中三角形最大面积问题，当然重点分析此发的同时也鼓励一题多解、多解归一。

二、教学目标1、借助反比例函数中三角形面积的几种计算方法总结得出通法：“水平宽乘以竖直高的一半”。

2、通过自主学习小组合作讨论，从特殊的图形出发、层层深入让学生在探索过程中体会“水平宽乘以竖直高的一半”这一方法。

从而从本质理解“水平宽乘以竖直高的一半”。

3、运用“水平宽乘以竖直高的一半”表示出二次函数中基本三角形的面积结合二次函数的最值思想求出三角形面积的最值问题。

三、教学重难点：教学重点：运用“水平宽乘以竖直高的一半”表示出二次函数中基本三角形的面积结合二次函数的最值思想求出三角形面积的最值问题教学难点：从特殊的图形出发、层层深入让学生在探索过程中体会“水平宽乘以竖直高的一半”这一方法。

从而从本质理解“水平宽乘以竖直高的一半”。

四、教学设计【自主学习】学生课前自主完成、并在上课时小组讨论、交流并与大家分享。

的图象都引例：如图，在平面直角坐标xOy中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=mx经过点A（2，﹣2）．（1）分别求这两个函数的表达式；（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积．方法提炼：补：补成矩形减去三个直角三角形。

补：延长CA与y轴交于点D，用三角形BCD面积减去三角形BAD面积。

二次函数的应用(面积问题)

（1）求抛物线解析式（2）在抛物线上是否存在点F，使△ BCF的面积是5，若存在求出点8 F的坐标，若不存在，说明理由
7
6
5
B
F4
3
2
HE 1
16
14
12
10
8
6
4 C2
O2
4D
显示函数 f
1
显示对象AB
隐藏对象
如图，在平面直角坐标系xoy中，二次函数y=ax2+bx-4(a≠0 的图象与x轴交于点A（-2，0），C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D。（1）求该二次函数的解析式；（2）如图，若点P（m,n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m>0,n<0）,连结PB，PD，BD，求三角形BDP面积的最大值及此时点P的坐标。
二次函数的应用（面积问题）
授课教师：李晓霞营口市第二十九中学
5
4.5
1、如图，抛物线y=ax2+bx过A(4，0),B(41，3)两点。（（12））求点抛P是物A线B上解方析抛式物线上的任意一3点.5 ， B 设点P的横坐标是m,PQ y轴交AB于点Q3 ，
用含m的关系式表示线段PQ的长。 2.5
（3）在（2）的条件下，求当 ABP的2面积
最大时，点P的坐标。
1.5
（当4△）A点BPP的是面抛积物是线6上时一，动求点出，点且P的位坐于标第1。四象限，
0.5
y = x2 + 4∙x
7 隐藏函6数 f
5
4
3
2
1
O E1
2
3
显示函数 g
0.5
显示线段AP,PB,三角形ABP
1、如图，△

二次函数与几何综合面积问题(供参考)

二次函数与几何综合--面积问题知识点睛1.“函数与几何综合”问题的处置原那么：_________________，__________________．2.研究背景图形：①研究函数表达式．二次函数关注____________，一次函数关注__________．② ___________________________．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边长和角度信息． 3．二次函数之面积问题的常见模型①割补求面积——铅垂法： ②转化法——借助平行线转化：若S △ABP =S △ABQ ，若S △ABP =S △ABQ ，当P ，Q 在AB 同侧时，当P ，Q 在AB 异侧时，PQ ∥AB ．AB 平分PQ ．➢ 例题示范例1：如图，抛物线y =ax 2+2ax -3a 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y轴交于点C ，且OA =OC ，连接AC ．（1）求抛物线的解析式．（2）假设点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，求△ACP 面积的最大值．（3）假设点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是不是存在点F ，使以A ，B ，E ，F 为极点的四边形是平行四边形？假设存在，求出所有知足条件的点F 的坐标；假设不存在，请说明理由．第一问：研究背景图形【思路分析】读题标注，注意到题中给出的表达式中各项系数都只含有字母a ，能够求解A (-3，0)，B (1，0)，对称轴为直线x =-1；结合题中给出的OA =OC ，可得C (0，-3)，代入表达式，即可求得抛物线解析式．再结合所求线段长来观看几何图形，发觉△AOC 为等腰直角三角形．【进程示范】解：（1）由223y ax ax a =+-(3)(1)a x x =+-可知(30)A -，，(10)B ，， ∵OA OC =，∴(03)C -，，将(03)C -，代入223y ax ax a =+-，第二问：铅垂法求面积【思路分析】（1）整合信息，分析特点：由所求的目标入手分析，目标为S △ACP 的最大值，分析A ，C 为定点，P 为动点且P 在直线AC 下方的抛物线上运动，即-3<x P <0；x B -x Ax B -x A BAMPP M 1()2APBB A S PM x x =⋅⋅-△BA P45°(1，0)(0，-3)(-3，0)y =x 2+2x -3OyxA B C 解得，1a =， ∴223y x x =+-．O yxA B C（2）设计方案：注意到三条线段都是斜放置的线段，需要借助横平竖直的线段来表达，因此考虑利用铅垂法来表达S △ACP ．【进程示范】如图，过点P 作PQ ∥y 轴，交AC 于点Q ，易患:3AC l y x =-- 设点P 的横坐标为t ，那么2(23)P t t t +-，， ∵PQ ∥y 轴，∴(3)Q t t --，， ∴223(23)3(30)Q P PQ y y t t t t t t =-=---+-=---<<， ∴2139()(30)222ACP C A S PQ x x t t t =⋅-=---<<△ ∵302-<， ∴抛物线开口向下，且对称轴为直线32t =-， ∴当32t =-时，ACP S △最大，为278．第三问：平行四边形的存在性【思路分析】分析不变特点：以A ，B ，E ，F 为极点的四边形中，A ，B 为定点，E ，F 为动点，定点A ，B 连接成为定线段AB ．分析形成因素：要使那个四边形为平行四边形．第一考虑AB 在平行四边形中的作用，四个极点用逗号隔开，位置不确信，那么AB 既能够作边，也能够作对角线．画图求解：先依照平行四边形的判定来确信EF 和AB 之间应知足的条件，再通过平移和旋转来尝试画图，确信图形后设计方案求解．①AB 作为边时，依据平行四边形的判定，需知足EF ∥AB 且EF =AB ，要找EF ，可借助平移．点E 在对称轴上，沿直线容易平移，故将线段AB 拿出来沿对称轴上下方向平移，确保点E 在对称轴上，来找抛物线上的点F ．注意：在对称轴的左、右双侧别离平移．找出点以后，设出对称轴上E 点坐标，利用平行且相等表达抛物线上F 点坐标，代入抛物线解析式求解．②AB 作为对角线时，依据平行四边形的判定，需知足AB ，EF 相互平分，先找到定线段AB 的中点，在旋转进程中找到EF 恰好被AB 中点平分的位置，因为E 和AB 中点都在抛物线对称轴上，说明EF 所在直线即为抛物线对称轴，那么与抛物线的交点（抛物线极点）即为F 点坐标．结果验证：画图或推理，依照运动范围考虑是不是找全各类情形．【进程示范】（3）①当AB 为边时，AB ∥EF 且AB =EF ，如下图，设E 点坐标为(-1，m )，当四边形是□ABFE 时，由(30)A -，，(10)B ，可知，F 1(3代入抛物线解析式，可得，m =12， ∴F 1(3，12)；当四边形是□ABEF 时，由(30)A -，，(10)B ，可知，F 2(-5，m )可得，m =12， ∴F 2(-5，12)．②当AB 为对角线时，AB 与EF 相互平分，AB 的中点D (-1，0)，设E (-1，m )，那么F (-1，-m )，代入抛物线解析式，可得，m =4， ∴F 3(-1，-4)．综上：F 1(3，12)，F 2(-5，12)，F 3(-1，-4)．精讲精练1.如图，抛物线通过A (-1，0)，B (3，0)，C (0，3)三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M 是直线BC 上方抛物线上的点（不与B ，C 重合），过点M 作MN ∥y 轴交线段BC 于点N ，假设点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示MN 的长．（3）在（2）的条件下，连接MB ，MC ，是不是存在点M ，使四边形OBMC 的面积最大？假设存在，求出点M 的坐标及四边形OBMC2.如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 在x 轴上，点C ，D 在y 轴上且OB =OC =3，OA =OD =1，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠通过A ，B ，C 三点，直线AD 与抛物线交于另一点E ．（1）求这条抛物线的解析式；（2）假设M 是直线AD 上方抛物线上的一个动点，求△AME 面积的最大值．（3）在直线AD 下方的抛物线上，是不是存在点G ，使得6AEG S =△？若是存在，求出点G 的坐标；若是不存在，请说明理由．（4）已知点Q 在x 轴上，点P 在抛物线上，且以Q 的坐标．3.如图，已知抛物线y =ax 2-2ax -b （a >0）与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的右边，且点B 的坐标为(-1，0)，与y 轴的负半轴交于点C ，极点为D ．连接AC ，CD ，∠ACD =90°．（1）求抛物线的解析式；（2）假设点M 在抛物线上，且以点M ，A ，C 和另一点N 为极点的平行四边形ACNM 的面积为12，设M 的横坐标为m ，求m 的值．（3）已知点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以A ，B ，E ，F 为极点的四边形是平行四边形，求点F 的坐标．4.如图，抛物线254y ax ax =-+（0a <）通过△ABC 的三个极点，已知BC ∥x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC =BC ．（1）求抛物线的解析式；。

二次函数面积问题 - 学生

一．二次函数与面积综合问题在直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标，如果三角形的三条边中有一条边与坐标轴平行，可以直接运用三角形面积公式求解三角形面积.如果三角形的三条边与坐标轴都不平行，则通常有以下方法：1．如图(1)，过三角形的某个顶点作与x 轴或y 轴的平行线，将原三角形分割成两个满足一条边与坐标轴平行的三角形，分别求出面积后相加：1122ABC ACD ADB C B ACE CEB A B S S S AD y y S S CE x x ∆∆∆∆∆=+=⋅-=+=⋅-； 2．如图(2)，首先计算三角形的外接矩形的面积，然后再减去矩形内其他各块面积： ABC DEBF DAC AEB CBF S S S S S ∆∆∆∆=---3．如果只是求解面积最大值或者此时动点的坐标，可以通过平移直线，当直线与抛物线只有一个交点时三角形的面积最大，此时可以直接求出动点坐标，然后再利用上述两种方法求出面积的最大值．一．考点：二次函数与面积问题．二．重难点：二次函数中因动点产生的面积问题．三．易错点：1．在用点的坐标表示线段长度，进而表示图形面积的时候一定要保证线段的非负性，可以直接加上绝对值或者是分类讨论；2．与动点问题相关的面积问题一定要分析清楚每个阶段图形的形状，然后再分别求出每个阶段下面积的表达式．图（1）AB C ED 图（2）FD E C BA 知识精讲三点剖析题型精讲二次函数面积问题题型一：面积最值问题例 4.1.1如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y mx mx n =++经过点()4,0A -和点()0,3B ．（1）求抛物线的解析式；（2）向右平移上述抛物线，若平移后的抛物线仍经过点B ，求平移后抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，记平移后点A 的对应点为A '，点B 的对应点为B '，试问：在平移后的抛物线上是否存在一点P ，使△OA P '的面积与四边形AA BB ''的面积相等，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．例4.1.2如图，抛物线y=-34x2+3与x轴交于点A，点B，与直线y=-34x+b相交于点B，点C，直线y=-34x+b与y轴交于点E．（1）写出直线BC的解析式．（2）求△ABC的面积．（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动（不与A，B重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动．设运动时间为t秒，请写出△MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？随练4.1已知关于x 的一元二次方程210x px q +++=的一个实数根为2．（1）用含p 的代数式表示q ；（2）求证：抛物线2y x px q =++与x 轴有两个交点；（3）设抛物线21y x px q =++的顶点为M ，与y 轴的交点为E ，抛物线221y x px q =+++顶点为N ，与y 轴的交点为F ，若四边形FEMN 的面积等于2，求p 的值．随堂练习随练4.2如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2+2y ax ax c =+的图像与y 轴交于点()0,3C ，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为()3,0-（1）求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；（2）点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1:2的两部分，求出此时点M 的坐标；（3）点P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时CPB △的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P 的坐标．xy随练4.3如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动．（1）求线段OA所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点M的横坐标为m，①用m的代数式表示点P的坐标；②当m为何值时，线段PB最短；（3）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．作业1如图，抛物线233y mx mx =+-（0m >）与y 轴交于点C ,与x 轴交于A 、B 两点，点A 在点B 的左侧，且3OC OB =．（1）求此抛物线的解析式；（2）如果点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，设D 点的横坐标为x ，ACD ∆的面积为S ，求S 与x 的关系式，并求当S 最大时，点D 的坐标；课后作业 yxO DCB A作业2已知：m 、n 是方程2650x x -+=的两个实数根，且m n <，抛物线2y x bx c =-++的图像经过点(),0A m 、()0,B n ．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x 轴的另一交点为C ，抛物线的顶点为D ，试求出点C 、D 的坐标和△BCD 的面积；（3）P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH ⊥x 轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把△PCH 分成面积之比为2:3的两部分，请求出P 点的坐标．作业3已知二次函数21342y mx x m =-+-的图象与x 轴交于点()4,0A 、点B ，与y 轴交于点C ．（1）求此二次函数的解析式及点B 的坐标；（2）点P 从点A 出发以每秒1个单位的速度沿线段AO 向O 点运动，到达点O 后停止运动，过点P 作PQ AC ∥交OC 于点Q ，将四边形PQCA 沿PQ 翻折，得到四边形''PQC A ，设点P 的运动时间为t ；①当t 为何值时，点'A 恰好落在二次函数21342y mx x m =-+-的图象的对称轴上； ②设四边形''PQC A 落在第一象限内的图形面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并求出当t 为何值时S 的值最大．yxo 1 2 3 4 5 12345﹣1 ﹣1﹣2 ﹣2﹣3 ﹣3﹣4 ﹣4﹣5。

8二次函数—面积问题——学生版

8.二次函数—面积问题难度：易1．如图，二次函数y＝ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0），（1）求a，b的值（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（0＜x＜6），写出四边形ACBO的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．2. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点为P，连接P A、AC、CP，过点C作y轴的垂线l．（1）求点P，C的坐标；（2）直线l上是否存在点Q，使△PBQ的面积等于△P AC的面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．难度：中3．如图，二次函数y=−12x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，点B坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，2），连接AC，BC．（1）求这个二次函数的表达式及点A坐标；（2）点P是AC上方抛物线上的动点，当四边形ABCP的面积最大时，求点P的坐标．4．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）和点C（0，3），抛物线与x轴的正半轴交于点B，点D是抛物线上的一点．（1）求抛物线的表达式；（2）如图2，连接OD，BD，若点D是抛物线的顶点，求此时△OBD的面积；（3）如图3，连接OD，BD，CD，CB，设△OCD的面积为S1，△BCD的面积为S2，是否存在点D，使S1＝S2，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA＝∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；（3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接P A分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．难度：难6．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C （0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如果P点的坐标为（x，y），△P AE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．7．如图，已知抛物线y＝x2+4x+3与x轴交于A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，若点P是抛物线上的动点，当△ACP的面积等于△ABC的面积时，点P的坐标为．8．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为（3，0），点C坐标为（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．。

二次函数综合(一)——面积问题

二次函数综合（一） ——面积问题
一、解决函数综合题中面积问题的常用方法：
1. 割补法
当所求图形的面积没有办法直接求出时，我们采取间接（分割或补全图形再分割）的方法来表示所求图形的面积，如图1：
4. 相似法
利用相似三角形面积比等于相似比的平方进行转化.
二、基本题型
1.如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O为原点，已知点A（3,6），B（5,2），求△AOB的面积.
2.已知二次函数的图像y=－x2+3x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左端），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D。

求△ACD的面积。

3已知二次函数的图像y=－x2+3x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左端），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D。

求△BCD的面积。

初三中考数学专题复习：二次函数综合题(面积问题)含答案

中考数学专题复习：二次函数综合题（面积问题）1．如图所示，二次函数22y x x m =-++的图像与x 轴的一个交点为A （3，0），另一个交点为B ，且与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式； (2)求点B 、点C 的坐标；(3)若抛物线的顶点是M ，求△ACM 的面积．2．如图，抛物线2y x bx c =++经过()1,0A -、()4,5B 两点，点E 是线段AB 上一动点，过点E 作x 轴的垂线，交抛物线于点F ．(1)求抛物线的解析式； (2)求线段EF 的最大值；(3)抛物线与x 轴的另一个交点为点C ，在抛物线上是否存在一个动点P ，使得25ACP ABC S S ∆∆= ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，二次函数23y ax bx =++的图像与x 正半轴相交于点B ，负半轴相交于点A ，其中A 点坐标是（－1，0），B 点坐标是（3，0）．(1)求此二次函数的解析式；(2)如图1，点P在第一象限的抛物线上运动，过点P作PD x轴于点D，交线段BC于点E，线段BC把△CPD分割成两个三角形的面积比为1△2，求P点坐标；(3)如图2，若点H在抛物线上，点F在x轴上，当以B、C、H、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．4．如图，已知直线y＝43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．(1)求抛物线的表达式；(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =-12x 2+bx +c 经过点A （-2，0）．与点C （0，4）．与x 轴的正半轴交于点B ．(1)求抛物线的表达式；(2)如果D 是抛物线上一点，AD 与线段BC 相交于点E ，且AD 将四边形ABDC 分成面积相等的两部分，求DEAE的值； (3)如果P 是x 轴上一点，△PCB =△ACO ，求△PCO 的正切值．6．如图，抛物线23y ax bx =+-交x 轴于()30A -,，()10B ,两点，与y 轴交于点.C 连接AC ，BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P 为抛物线在第三象限的一个动点，PM x ⊥轴于点M ，交AC 于点G ，PE AC ⊥于点E ，当PGE 的面积为1时，求点P 的坐标；(3)如图2，若Q 为抛物线上一点，直线OQ 与线段AC 交于点N ，是否存在这样的点Q ，使得以A ，O ，N 为顶点的三角形与ABC 相似．若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．7．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（－4，0），B（0，－4），C（2，0）三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．8．如图，二次函数23=++的图象经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．y ax bx(1)求二次函数的解析式；(2)第一象限内的二次函数23=++图象上有一动点P，x轴正半轴上有一点D，且OD=2，当y ax bxS△PCD=3时，求出点P的坐标；(3)若点M在第一象限内二次函数图象上，是否存在以CD为直角边的Rt MCD，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+4x +c 与直线AB 相交于点A (0，1)和点B (3，4)．(1)求该抛物线的解析式；(2)设C 为直线AB 上方的抛物线上一点，连接AC ，BC ，以AC ，BC 为邻边作平行四边形ACBP ，求四边形ACBP 面积的最大值；(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y =a 1x 2+b 1x +c 1（a 1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D ，是否存在点E 使得△ADE 是以AD 为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出．．．．点E 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴的交点为C ()0,3-，顶点为()1,4D -．(1)求抛物线的表达式；(2)若平行于x 轴的直线与抛物线交于M ，N 两点，与抛物线的对称轴交于点H ，若点H 到x 轴的距离是线段MN 长的12，求线段MN 的长；(3)若经过C ，D 两点的直线与x 轴相交于点E ，F 是y 轴上一点，且AF ∥CD ，在抛物线上是否存在点P ，使直线PB 恰好将四边形AECF 的周长和面积同时平分？如果存在, 求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理．11．如图，已知抛物线y＝ax2+4x+c经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点，其对称轴与x轴交于点C．(1)求该抛物线和直线BC的解析式；(2)设抛物线与直线BC相交于点D，求△ABD的面积；(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAB的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c 与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C．直线l 与抛物线交于A、D 两点，与y 轴交于点E，点D 的坐标为（4，3）．(1)求抛物线的解析式与直线l 的解析式；(2)若点P 是抛物线上的点且在直线l 上方，连接P A、PD，求△P AD 面积最大值；(3)由（2）并求出点P的坐标．13．已知抛物线2y ax c =+过点()2,0A -和()1,3D -两点，交x 轴于另一点B ．(1)求抛物线解析式；(2)如图1，点P 是BD 上方抛物线上一点，连接AD ，BD ，PD ，当BD 平分ADP 时，求P 点坐标； (3)将抛物线图象绕原点O 顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案，其中点M ，N 分别是旋转前后抛物线的顶点，点E 、F 是旋转前后抛物线的交点． △直线EF 的解析式是______；△点G 、H 是“心形”图案上两点且关于EF 对称，则线段GH 的最大值是______．14．如图，抛物线2142y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线AC 的函数表达式；(2)若D 是第一象限内抛物线上一动点，且△BCD 的面积等于△AOC 的面积，求点D 的坐标；(3)在（2）的条件下，连接AD ，试判断在抛物线上是否存在点M ，使△MDA ＝△ACO ？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．15．综合与探究线交x 轴于另一点C ，且2OA OC =，点F 是直线AB 下方抛物线上的动点，连接F A ，FB ．(1)求抛物线解析式；(2)当点F 与抛物线的顶点重合时，ABF 的面积为______；． (3)求四边形F AOB 面积的最大值及此时点F 的坐标．(4)在（3）的条件下，点Q 为平面内y 轴右侧的一点，是否存在点Q 及平面内另一点M ，使得以A ，F ，Q ，M 为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．16．抛物线224y ax ax =--交x 轴于(2,0)A -、B 两点，交y 轴于C ；直线AD 交抛物线于第一象限内点D ，且D 的横坐标为5，(1)求抛物线解析式；(2)点E 为直线AD 下方抛物线上一动点，且21ADES=，求点E 的坐标；(3)抛物线上是否存在点P ，使PCO DAO CBO ∠+∠=∠，若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，3OA =，4OC =，抛物线24y ax bx =++经过点B ，且与x 轴交于点()1,0D -和点E ．(1)求抛物线的表达式：(2)若P 是第一象限抛物线上的一个动点，连接CP ，PE ，当四边形OCPE 的面积最大时，求点P 的坐标，此时四边形OCPE 的最大面积是多少；(3)若N 是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在一点M ，使以点C ，D ，M ，N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，说明理由．18．如图，抛物线与x 轴交于点()2,0B -、()4,0C 两点，与y 轴交于点()0,2A ；(1)求出此抛物线的解析式；(2)如图1，在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求AMC S △的最大值；(3)如图2，将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90°得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围；19．如图，已知抛物线2=++与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，y x bx cOA=OC=3．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P为直线AC下方抛物线上一点，连接BP并交AC于点Q，若AC分ABP△的面积为1：2两部分，请求出点P的坐标；(3)在y轴上是否存在一点N，使得45∠+∠=︒，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说BCO BNO明理由．C-．20．已知二次函数2(0)y x bx c a=++≠的图像与x轴的交于A、(1,0)B两点，与y轴交于点(0,3)(1)求二次函数的表达式及A点坐标；(2)D是二次函数图像上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标；(3)M是二次函数图像对称轴上的点，在二次函数图像上是否存在点N．使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．答案1．(1)2y x 2x 3=-++(2)()0,3C 、()1,0B -(3)32．(1)223y x x =-- (2)254(3)存在，点P 的坐标为(12) 或(12)或()12-或(12)-3．(1)2y x 2x 3=-++(2)P 点坐标115(,)24或(2,3)(3)F 点坐标为：(1,0)、(5,0)、)2,0、()2- 4．(1)y ＝﹣43x 2﹣83x +4 (2)S 最大＝252，D （﹣32，5） (3)存在，Q （﹣2，198） 5．(1)抛物线解析式为y =-12x 2+x +4； (2)14DE AE =； (3)△PCO 的正切值13或3．6．(1)223y x x =+-(2)()14P --，或()23--，(3)存在，坐标为⎝⎭或⎝⎭或或(-7．(1)2142y x x =+- (2)24=--S m m ，4(3)()4,4Q -或(2-+-或(2--+或()4,4-8．(1)2+23y x x =-+(2)P 1（32，154），P 2（2，3）(3)存在点M 其坐标为1M 43539（，）或2M9．(1)241y x x =-++ (2)274(3)存在，E （4，3）或（-2，5）或（-3，2）或（3，0）．10．(1)223y x x =--(2)1或1-(3)在抛物线上存在点3(4P -，15)16-，使直线PB 恰好将四边形AECF 的周长和面积同时平分 11．(1)y ＝﹣12x 2+4x ﹣6，y ＝32x ﹣6 (2)152(3)存在，点Q 的坐标为（4，﹣2）12．(1)（1）y =-14x 2+x +3，y =12x +1 (2)274(3)(1,154) 13．(1)24y x =-+ (2)232,39P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)△y x =；△414．(1)A (－2，0)，B (4，0)，C (0，4)，24y x =+(2)(2，4)(3)存在，(－23，289)或(－6，－20)15．(1)2142y x x =-- (2)3 (3)FAOB S 四边形有最大值12，此时点F 的坐标为()2,4-(4)存在，点Q 的坐标()18,2Q -，()26,6Q -，()35,3Q -，()41,1Q -16．(1)2142y x x =-- (2)191,2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭；E 2（2，-4） (3)存在，（8，20）17．(1)y ＝－x 2＋3x ＋4(2)P （2，6）；四边形OCPE 的面积最大为16(3)存在； M 113,28⎛⎫- ⎪⎝⎭或M 252728,⎛⎫ ⎪⎝⎭或M 355,22⎛⎫- ⎪⎝⎭或M 453,22⎛⎫- ⎪⎝⎭18．(1)211242y x x =-++ (2)2(3)34m -≤-或32m -≤≤19．(1)223y x x =+-(2)（-2，-3）或（-1，-4）(3)（0，2）或（0，-2）20．(1)223y x x =+-，(3,0)A - (2)315,24D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(3)存在，(2,3)--或(0,3)-或(2,5)。

专题03 二次函数与面积有关问题(学生版)

专题03二次函数与面积有关问题（专项训练）1．（2022•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣3（k≠0）与抛物线y＝﹣x2相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B'．（1）当k＝2时，求A，B两点的坐标；（2）连接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面积与△OAB的面积相等，求k的值；2．（2021•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y ＝x2+bx+c经过坐标原点和点A，顶点为点M．（1）求抛物线的关系式及点M的坐标；（2）点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当△EAB的面积等于时，求E点的坐标；3．（2021•柳州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接OD，过点B作BE⊥OD，垂足为E，若BE＝2OE，求点D 的坐标；（3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接AM，交BC于点N，连接BM，记△BMN的面积为S1，△ABN的面积为S2，求的最大值．4．（2020•宿迁）二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．5．（2020•淄博）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是▱OABC的面积的，求点R的坐标；6．（2020•天水）如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为A（﹣2，0），点C的坐标为C（0，6），对称轴为直线x＝1．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4），连接AC，BC，DC，DB．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值；7．（2021•沈阳）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是（3，0）．抛物线与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线的顶点，连接PC．（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标．（2）直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点．当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；8．（2021•辽宁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，作PF⊥PD于点P，使PF＝OA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF．当矩形PEGF的面积是△BOC 面积的3倍时，求点P的坐标；9．（2022•南宁一模）如图1所示抛物线与x轴交于O，A两点，OA＝6，其顶点与x轴的距离是6．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，过点P的直线y＝x+m与抛物线的对称轴交于点Q．当△POQ与△PAQ的面积之比为1：3时，求m的值；10.（2022•本溪二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（3，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点M是线段AB上方抛物线上一动点，以AB为边作平行四边形ABMD，连接OM，若OM将平行四边形ABMD的面积分成为1：7的两部分，求点M的横坐标；11．（2022•新抚区模拟）如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣2，0），B（2，2）两点，直线AB与y轴交于点C．（1）求抛物线与直线AB的解析式；（2）点P在抛物线上，直线PC交x轴于Q，连接PB，当△PBC的面积是△ACQ面积的2倍时，求点P的坐标；12．（2022•福建）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．（1）求抛物线的解析式；（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；13．（2022•苏州二模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，OA＝OC＝3．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P为直线AC下方抛物线上一点，连接BP并交AC于点Q，若AC分∠△ABP的面积为1：2两部分，请求出点P的坐标；。

10.二次函数的应用题(面积最值问题

二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题知识要点：在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。

求最值的问题的方法归纳起来有以下几点：1．运用配方法求最值；2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；3．建立函数模型求最值；4．利用基本不等式或不等分析法求最值．[例1]：在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动．（1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm²)是多少？（2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm²)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围．（3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？答案：6336333607266126262621)1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（S t t S t t t t t S t t t t y =∴+-=<<+-=+--⨯=+-=⋅-=[例2]：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？解：设花圃的宽为米，面积为平方米x S则长为：(米)x x 4342432-=+-则：)434(x x S -=x x 3442+-= 4289417(42+--=x ∵104340≤-<x ∴ 2176<≤x ∵，∴与的二次函数的顶点不在自变量的范围内， 6417<S x x 而当内，随的增大而减小， 2176<≤x S x ∴当时，(平方米) 6=x 6042894176(42max =+--=S 答：可设计成宽米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大． 6[例3]：已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积．解：设矩形PNDM 的边DN=x ，NP=y ，则矩形PNDM 的面积S=xy （2≤x≤4）易知CN=4-x ，EM=4-y ．过点B 作BH ⊥PN 于点H则有△AFB ∽△BHP∴，即， PHBH BF AF =3412--=y x ∴， 521+-=x y ， x x xy S 5212+-==)42(≤≤x 此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5，∴当x≤5时，函数值随的增大而增大，y x 对于来说，当x=4时，． 42≤≤x 12454212=⨯+⨯-=最大S 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．[例4]：某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH ．(1)判断图(2)中四边形EFGH 是何形状，并说明理由；(2)E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？解：(1) 四边形EFGH 是正方形．图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C 点按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的，故CE =CF =CG ．∴△CEF 是等腰直角三角形因此四边形EFGH 是正方形．　(2)设CE =x , 则BE =0.4－x ，每块地砖的费用为y 元那么：y =x ×30+×0.4×(0.4-x )×20+[0.16-x -×0.4×(0.4-x )×10])24.02.0(102+-=x x3.2)1.0(102+-=x )4.00(<<x 当x =0.1时，y 有最小值，即费用为最省，此时CE =CF =0.1．答：当CE =CF =0.1米时，总费用最省．作业布置：1．(2008浙江台州)某人从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度(单位：米)与小球运动时间h t (单位：秒)的函数关系式是，那么小球运动中的最大高度 4.9米．=最大h 2．(2008庆阳市)兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y (元/平方米)随楼层数x (楼)的变化而变化(x =1，2，3，4，5，6，7，8)；已知点(x ，y )都在一个二次函数的图像上，(如图所示)，则6楼房子的价格为元/平方米．利用对称性，答案：2080．3．如图所示，在一个直角△MBN 的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB =x m ，长方形的面积为y m 2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为( D )A ．mB ．6 mC ．15 mD ．m 42425解：AB =x m ，AD=，长方形的面积为y m 2b ∵AD ∥BC ∴△MAD ∽△MBN ∴，即， MB MA BN AD =5512x b -=)5(512x b -=, 当时，有最大值． )5(512)5(5122x x x x xb y --=-⋅==5.2=x y 4．(2008湖北恩施)将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为ｘ㎝的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体．当ｘ取下面哪个数值时，长方体的体积最大（ C ）A ．7B ．6C ．5D ．4 5．如图，铅球运动员掷铅球的高度(m)与水平距离(m)之间的函数关系式是：y x ，则该运动员此次掷铅球的成绩是( D ) 35321212++-=x x y A ．6 mB ．12 mC ．8 mD ．10m 解：令，则：0=y 02082=--x x 0)10)(2(=-+x x（图5）（图6）（图7）6．某幢建筑物，从10 m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图6，如果抛物线的最高点M 离墙1 m ，离地面m ，则水流落地点B 340离墙的距离OB 是( B )A ．2 mB ．3 mC ．4 mD ．5 m 解：顶点为，设，将点代入， )340,1(340)1(2+-=x a y )10,0(310-=a 令，得：，所以OB=3 0340)1(3102=+--=x y 4)1(2=-x7．(2007乌兰察布)小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分，如图7所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是（ B ）A ．4.6mB ．4.5mC ．4mD ．3.5m8．某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成．若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m²)．(1)求y 与x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？解： )240(x x y -=)20(22x x --=200)10(22+--=x ∵152400≤-<x ∴205.12<≤x ∵二次函数的顶点不在自变量的范围内，x 而当内，随的增大而减小，205.12<≤x y x ∴当时，5.12=x (平方米)5.187200)105.12(22max =+--=y 答：当米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．5.12=x9．如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米．(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？(2)如果中间有n (n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？解：(1)∵长为x 米，则宽为米，设面积为平方米． 350x -S )50(313502x x x x S --=-⋅=。

难点探究专题：利用二次函数求面积、周长最值问题压轴题四种模型全攻略(学生版+解析版)

难点探究专题：利用二次函数求面积、周长最值问题压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】1【考点一利用二次函数求面积最大值问题】【考点二利用二次函数求面积最小值问题】【考点三利用二次函数求周长最大值问题】【考点四利用二次函数求周长最小值问题】【典型例题】【考点一利用二次函数求面积最大值问题】1(2023秋·吉林四平·九年级四平市第三中学校校考阶段练习)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B与y轴交于点C，点A的坐标为-1,0．，点B的坐标为3,0(1)求抛物线的表达式；(2)若点P是第四象限内抛物线上一动点，连接PB，PC，求△PBC的面积S的最大值；(3)当a-2≤x≤a+1时，抛物线有最小值5，求a的值．【变式训练】1(2023春·河北沧州·九年级校考期中)如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为4,0点，点P是直线BC，与y轴交于C0,-4下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积．2(2023秋·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考阶段练习)已知，抛物线y =-x 2+bx +c 经过B 3,0 、C 0,3 两点，点P 是抛物线上一点，点A 是抛物线与x 轴的另一个交点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 位于第一象限时，连接BP ，CP ，得到△BCP ，当△BCP 的面积最大时，求点P 的坐标；(3)当点P 位于第四象限时，连接AC ，BC ，PC ，若∠PCB =∠ACO ，求直线PC 的解析式；3(2023秋·广西南宁·九年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =12x 2+bx +c 与x 轴交于点A -1,0 ，点B ，与y 轴交于点C ，且OC =2，点P 是抛物线上一动点．(1)求该抛物线的解析式；(2)当点P 在第四象限时，求△BCP 的最大面积；(3)当点P 在第一象限，且∠PCB =∠ABC 时，求出点P 的坐标．【考点二利用二次函数求面积最小值问题】1(2022秋·广东广州·九年级中山大学附属中学校考阶段练习)如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =12，点P 从点A 出发沿AB 边向点B 以1个单位每秒的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2个单位每秒的速度移动．如果P ，Q 两点在分别到达B ，C 两点后就停止移动，设运动时间为t 秒(0<t <6)，回答下列问题：(1)运动开始后第几秒时△PBQ的面积等于8．(2)设五边形APQCD的面积为S，写出S与t的函数关系式，当t为何值时S最小？求S的最小值．【变式训练】1(2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测)已知抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A-1，0，与y轴交于点C．，B3，0(1)求b，c的值；(2)已知P为抛物线y=-x2+bx+c一点(不与点B重合)，若点P关于x轴对称的点P 恰好在直线BC上，求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，平移抛物线y=-x2+bx+c，使其顶点始终在直线y=x上，且与PP 相交于点Q，求△QBP 面积的最小值．2(2023·全国·九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，其中A点坐标为3,0，连接AC，BC．动点P从A点出发，在线，B点坐标为-1,0段AC上以每秒2个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从B点出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．(1)b=，c=；(2)在P，Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？(3)已知点M是该抛物线对称轴上一点，当点P运动1秒时，若要使得线段MA+MP的值最小，则试求出点M的坐标．【考点三利用二次函数求周长最大值问题】1(2023·山东东营·统考中考真题)如图，抛物线过点O0,0，矩形ABCD的边AB在线段OE上，E10,0(点B在点A的左侧)，点C，D在抛物线上，设B t,0，当t=2时，BC=4．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．【变式训练】1(2023春·湖南长沙·八年级校考期末)已知抛物线y=a-1x+a2-4(a为常数，a>0)x2+2a-7的图象经过原点，点A在抛物线上运动．(1)求a的值．(2)若点P8-t，s都是这个抛物线上的点，且有s>r，求t的取值范围．和点Q t-4，r(3)设点A位于x轴的下方且在这个抛物线的对称轴的左侧运动，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，过点D作DC⊥x轴，垂足于点C，试问四边形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值和对应的x值，如果不存在，请说明理由．2(2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx与抛物线y= ax2+c交于A8,6、B两点，点B的横坐标为-2．(1)求直线AB 和抛物线的解析式；(2)点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点(不与点A 、B 重合)，过点P 作x 轴的平行线，与直线AB 交于点C ，连接PO ，设点P 的横坐标为m ．①若点P 在x 轴上方，当m 为何值时，△POC 是等腰三角形；②若点P 在x 轴下方，设△POC 的周长为p ，求p 关于m 的函数关系式，当m 为何值时，△POC 的周长最大，最大值是多少？3(2023春·内蒙古赤峰·九年级统考阶段练习)如图，已知二次函数图象与坐标轴分别交于A (0,3)、B (-1,0)、C (3,0)三点．(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数图象位于x 轴上方部分有两个动点M 、N ，且点N 在点M 的左侧，过M 、N 作x 轴的垂线交x 轴于点G 、H 两点，当四边形MNHG 为矩形时，求该矩形周长的最大值；(3)当矩形MNHG 的周长最大时，在二次函数图象上是否存在点P ，使△PNC 的面积是矩形MNHG 面积的916？若存在，直接写出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．【考点四利用二次函数求周长最小值问题】1(2023秋·安徽·九年级阶段练习)如图，已知抛物线y =ax 2+bx +c a ≠0 与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，若OA =1，OB =3，抛物线的对称轴为直线x =1.(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴上有一动点P ，使得△PAB 周长最小，求出△PAB 最小周长．【变式训练】1(2023秋·云南临沧·九年级统考期末)如图，抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴为直线x =2，点B 坐标为3,0 ，D 为抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式．(2)P为该抛物线对称轴上一动点，当△ACP的周长最小时，求点P的坐标．(3)当函数y=x2+bx+c的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最小值为3，求m的值．2(2023秋·全国·九年级专题练习)综合与探究如图，经过B3,0两点的抛物线y=x2-bx+c与x轴的另一个交点为A．，C0,-3(1)求抛物线的解析式；(2)点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求D的坐标；(3)已知点M在抛物线上，求S△ABM=8时的点M坐标；(4)已知E2,-3，请直接写出能以点A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形的点P坐标．3(2023·湖南张家界·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A-2,0．点D为线段BC上的一动点．和点B6,0两点，与y轴交于点C0,6(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，求△AOD周长的最小值；(3)如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA,PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．4(2023春·山东东营·九年级校考阶段练习)如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A(1, 0)、C(-2,3)两点，与y轴交于点N，其顶点为D．(1)求抛物线及直线AC的函数关系式；(2)在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标．难点探究专题：利用二次函数求面积、周长最值问题压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】1【考点一利用二次函数求面积最大值问题】【考点二利用二次函数求面积最小值问题】【考点三利用二次函数求周长最大值问题】【考点四利用二次函数求周长最小值问题】【典型例题】【考点一利用二次函数求面积最大值问题】1(2023秋·吉林四平·九年级四平市第三中学校校考阶段练习)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B与y轴交于点C，点A的坐标为-1,0，点B的坐标为3,0．(1)求抛物线的表达式；(2)若点P是第四象限内抛物线上一动点，连接PB，PC，求△PBC的面积S的最大值；(3)当a-2≤x≤a+1时，抛物线有最小值5，求a的值．【答案】(1)y=x2-2x-3(2)278(3)a =6或a=-3【分析】1 用待定系数法即可求解；(2)先求直线BC的表达式，过点P作PH∥y轴交BC于点H,由S△PBC=S△PHC+S△PHB,即可求解.(3)当a+1≤1时, 即a≤0, 则x=a+1时, 抛物线取得最小值;当x=a-2≥1时, 即a≥3, 则x=a-2时, 抛物线取得最小值，进而求解；【详解】(1)设抛物线的表达式为：y=a x-1,x-3又∵a=1∴y=x+1x-3=x2-2x-3；(2)过点P作PH∥y轴交BC于点H,当x =0时，y =-3,∴点C 0,-3 ,设直线BC 的表达式为y =mx +n ，把3,0 和0,-3 代入得：3m +n =0n =-3 ，解得m =1n =-3 ∴直线BC 的表达式为y =x -3,设点P x ，x 2-2x -3 , 则点H x ，x -3 ,∴S △PBC =S △PHC +S △PHB =12×PH ×OB =12×3x -3-x 2+2x +3 =-32x -32 2+278，∵a =-32<0，∴S △PBC 有最大值，最大值为278；(3)∵y =x 2-2x -3=x -1 2-4≥-4，即抛物线的最小值是-4，即x =a -2和x =a +1不可能在抛物线对称轴两侧；当a +1≤1时, 即a ≤0,则x =a +1时，抛物线取得最小值，即y =a +1 2-2a +1 -3=5,解得:a =3(舍去)或a =-3,即a =-3；当x =a -2≥1时, 即a ≥3,则x =a -2时, 抛物线取得最小值,即y =a -2 2-2a -2 -3=5,解得:a =6或a =0(舍去)，综上,a =6或a =-3；【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.【变式训练】1(2023春·河北沧州·九年级校考期中)如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y =x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为4,0 ，与y 轴交于C 0,-4 点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．【答案】(1)y=x2-3x-4(2)P点的坐标为：2,-6，四边形ABPC的面积的最大值为18【分析】(1)将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；(2)由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标．【详解】(1)解：将B、C两点的坐标代入得，16+4b+c=0c=-4，解得：b=-3 c=-4，所以二次函数的表达式为：y=x2-3x-4；(2)解：如图，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，P x,x2-3x-4，设直线BC的解析式为：y=kx+d，则d=-44k+d=0 ，解得：k=1 d=-4，∴直线BC的解析式为：y=x-4，则Q点的坐标为x,x-4；当0=x2-3x-4，解得：x1=-1，x2=4，∴AO=1，AB=5，S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ=12AB⋅OC+12QP⋅BF+12QP⋅OF=12×5×4+124-xx-4-x2-3x-4+12x x-4-x2-3x-4=-2x2+8x+10=-2x-22+18，当x=2时，四边形ABPC的面积最大，此时P点的坐标为：2,-6，四边形ABPC的面积的最大值为18．【点睛】此题考查了二次函数综合应用，求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，求二次函数与坐标轴的交点坐标等，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．2(2023秋·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考阶段练习)已知，抛物线y=-x2+bx+c经过B3,0、C0,3两点，点P是抛物线上一点，点A是抛物线与x轴的另一个交点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 位于第一象限时，连接BP ，CP ，得到△BCP ，当△BCP 的面积最大时，求点P 的坐标；(3)当点P 位于第四象限时，连接AC ，BC ，PC ，若∠PCB =∠ACO ，求直线PC 的解析式；【答案】(1)y =-x 2+2x +3(2)P 32,154(3)直线PC 的解析式为y =-2x +3【分析】(1)根据待定系数法可进行求解；(2)过点P 作PH ∥y 轴，交BC 于点H ，由题意易得直线BC 的解析式为y =-x +3，设点P a ,-a 2+2a +3 ，则H a ,-a +3 ，然后根据铅垂法可进行求解；(3)设CP 与x 轴的交点为E ，过点E 作EF ⊥BC 于点F ，由题意易得△BOC 为等腰直角三角形，△EFB 为等腰直角三角形，△AOC ∽△EFC ，然后根据等腰直角三角形的性质及相似三角形的性质可进行求解．【详解】(1)解：由题意可得：-9+3b +c =0c =3，解得：b =2c =3 ，∴抛物线的解析式为y =-x 2+2x +3；(2)解：过点P 作PH ∥y 轴，交BC 于点H ，如图所示：设直线BC 的解析式为y =kx +b ，则有：3k +b =0b =3，解得：k =-1b =3 ，∴直线BC 的解析式为y =-x +3，设点P a ,-a 2+2a +3 ，则H a ,-a +3 ，∴PH =-a 2+2a +3--a +3 =-a 2+3a ，点C 与点B 的水平距离为3，∴S △BCP =12×3×-a 2+3a =-32a -32 2+278，∵0<a <3且-32<0，∴当a =32时，△BCP 的面积最大，最大值即为278，此时∴P 32,154 ；(3)解：设CP 与x 轴的交点为E ，过点E 作EF ⊥BC 于点F ，如图所示：由(1)及题意可得：OC =OB =3，当y =0时，则有-x 2+2x +3=0，解得：x 1=-1,x 2=3，∴△BOC 为等腰直角三角形，即∠OBC =45°，BC =2OB =32，OA =1，∴△EFB 为等腰直角三角形，∴EF =BF ，∵∠PCB =∠ACO ，∠AOC =∠EFC =90°，∴△AOC ∽△EFC ，∴AO EF =OC CF ，即AO OC =EF CF =13，∴CF =3EF =3BF ，∴CF +BF =4BF =BC =32，∴BF =324，∴BE =2BF =32，∴OE =OB -BE =32，∴E 32,0 ，设直线PC 的解析式为y =kx +b ，则有：32k +b =0b =3，解得：k =-2b =3 ，∴直线PC 的解析式为y =-2x +3．【点睛】本题主要考查二次函数的综合及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的图象与性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．3(2023秋·广西南宁·九年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =12x 2+bx +c 与x 轴交于点A -1,0 ，点B ，与y 轴交于点C ，且OC =2，点P 是抛物线上一动点．(1)求该抛物线的解析式；(2)当点P 在第四象限时，求△BCP 的最大面积；(3)当点P 在第一象限，且∠PCB =∠ABC 时，求出点P 的坐标．【答案】(1)y =12x 2-32x -2(2)S △BCP 最大值为4(3)点P 坐标为173,509【分析】(1)先求出点C 的坐标为0,-2 ，把A -1,0 ，C 0,-2 代入解析式y =12x 2+bx +c ，求解即可；(2)过点P 作PE ⊥x 轴交BC 于点E ，令y =0，得12x 2-32x -2=0，求解得B 4,0 ；再用待定系数法求出BC 的解析式为y =12x -2，设点P a ,12a 2-32a -2 ，则点E a ,12a -2 ，所以PE =12a -2-12a 2-32a -2 =-12a 2+2a ，由三角莆面积公式得S △BCP =12×-12a 2+2a ×4=-a -2 2+4，然后根据二次函数最值求法求解即可；(3)根据点P 在第一象限，所以设CP 交x 轴于点H ，根据等腰三角形的判定与勾肌主得BH =CH =52，从而求出点H 32,0 ．再用待定系数法救是直线CH 解析式为y =43x -2，然后求出直线CH 与抛物线在第一象限的交点坐标即可得解．【详解】(1)解：∵OC =2，∴点C 的坐标为0,-2 ，把A -1,0 ，C 0,-2 代入解析式y =12x 2+bx +c ，得1=12-b +c-2=c，解得b =-32c =-2，∴抛物线的解析式为y =12x 2-32x -2；(2)解：过点P 作PE ⊥x 轴交BC 于点E ，如图：令y =0，则12x 2-32x -2=0解得x 1=-1，x 2=4，∴B 4,0设BC 的解析式为y =kx +b ，把C 0,-2 ，B 4,0 代入得b =-24k +b =0，解得k =12b =-2，，∴BC 的解析式为y =12x -2，设点P a ,12a 2-32a -2 ，则点E a ,12a -2 ，∴PE =12a -2-12a 2-32a -2 =-12a 2+2a ，∴S △BCP =12×-12a 2+2a ×4=-a -2 2+4，0<a <4 ，-1<0，∴当a =2时，S △BCP 取最大值，最大值为4；(3)解：∵点P 在第一象限，∴设CP 交x 轴于点H ，如图：∵∠PCB =∠ABC ，∴CH =BH ，∵CH 2=OC 2+OH 2，∴BH 2=CH 2=OC 2+OB -BH 2=22+4-BH 2，解得BH =52，∴OH=OB-BH=4-52=32，∴点H32,0．设直线CH解析式为y=kx+b，将点C0,-2，点H32,0代入得-2=b0=32k+b，解得k=43b=-2，∴直线CH解析式为y=43x-2，联立解析式得y=43x-2 y=12x2-32x-2，解得：x1=0y1=-2或x2=173y2=509，∴点P在第一象限，∴点P坐标为173,509．【点睛】本题考查用待定系数法函数解析式，一次函数与抛物线的图象性质，一次函数和抛物线的交点问题，等腰三角形的判定，勾股定理，三角形的面积．熟练掌握一次函数与抛物线的图象性质是解题的关键．【考点二利用二次函数求面积最小值问题】1(2022秋·广东广州·九年级中山大学附属中学校考阶段练习)如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=12，点P从点A出发沿AB边向点B以1个单位每秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2个单位每秒的速度移动．如果P，Q两点在分别到达B，C两点后就停止移动，设运动时间为t秒(0<t<6)，回答下列问题：(1)运动开始后第几秒时△PBQ的面积等于8．(2)设五边形APQCD的面积为S，写出S与t的函数关系式，当t为何值时S最小？求S的最小值．【答案】(1)2秒或4秒(2)S=t2-6t+72，当t=3时，S最小=63【分析】(1)设运动开始后第t秒时△PBQ的面积等于8，由三角形面积公式即可求解；(2)由S=S矩形ABCD-S△PBQ即可求解．【详解】(1)解：设运动开始后第t秒时△PBQ的面积等于8，由题意得126-t×2t=8，整理得：t 2-6t +8=0，解得：t 1=2，t 2=4，答：运动开始后第2秒或4秒时△PBQ 的面积等于8．(2)解：S =S 矩形ABCD -S △PBQ=6×12-126-t ×2t=t 2-6t +72，=t -3 2+63，∵1>0，0<t <6，∴当t =3时，S 最小=63；答：S =t 2-6t +72，当t =3时，S 最小=63．【点睛】本题考查了一元二次方程及二次函数的应用，根据图形找出等量关系式，掌握二次函数最值的求法是解题的关键．【变式训练】1(2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测)已知抛物线y =-x 2+bx +c 交x 轴于A -1，0 ，B 3，0 ，与y 轴交于点C ．(1)求b ，c 的值；(2)已知P 为抛物线y =-x 2+bx +c 一点(不与点B 重合)，若点P 关于x 轴对称的点P 恰好在直线BC 上，求点P 的坐标；(3)在(2)的条件下，平移抛物线y =-x 2+bx +c ，使其顶点始终在直线y =x 上，且与PP 相交于点Q ，求△QBP 面积的最小值．【答案】(1)b =2c =3 ；(2)P -2，-5 ；(3)S △QBP的最小值为1358．【分析】(1)利用待定系数法即可求解；(2)求得直线BC 的解析式为y =-x +3，设P a ，-a +3 ，则P a ，a -3 ，解方程a -3=-a 2+2a +3，即可求解；(3)由顶点始终在直线y =x 上，推出c =-b 24+b 2，由三角形面积公式得S △QBP=5PQ 2，当P Q 取最小值时，S △QBP取最小值，求得P Q 关于b 的二次函数，利用二次函数的性质即可求解．【详解】(1)解：∵抛物线y =-x 2+bx +c 交x 轴于A -1，0 ，B 3，0 ，∴-1-b +c =0-9+3b +c =0，解得b =2c =3 ；(2)解：由(1)得抛物线解析式为y =-x 2+2x +3，令x =0，则y =3，∴C 0，3 ，设直线BC 的解析式为y =kx +3，则0=3k +3，解得k =-1，∴直线BC 的解析式为y =-x +3，∵点P 关于x 轴对称的点P 恰好在直线BC 上，∴设P a ，-a +3 ，则P a ，a -3 ，即点P a ，a -3 在抛物线y =-x 2+2x +3上，∴a -3=-a 2+2a +3，整理得a 2-a -6=0，解得a 1=-2，a 2=3，∵点P 不与点B 重合，∴P -2，5 ，P -2，-5 ；(3)解：抛物线y =-x 2+2x +3的顶点坐标为b 2，b 24+c ，∵顶点始终在直线y =x 上，∴b 2=b 24+c ，即c =-b 24+b 2，由(2)知直线PP 的方程为x =-2，∵抛物线y =-x 2+bx +c 与PP相交于点Q ，∵S △QBP=5PQ2，∴当P Q 取最小值时，S △QBP取最小值，∵P Q =5--4-2b +c =9+2b -c=9+2b --b 24+b 2 =b 24+3b 2+9=b 2+32 +274，∵1>0，∴当b 2=-32即b =-3时，P Q 的最小值为274，∴S △QBP的最小值为=52×274=1358．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．2(2023·全国·九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+bx +c 的图象与坐标轴相交于A ，B ，C 三点，其中A 点坐标为3,0 ，B 点坐标为-1,0 ，连接AC ，BC ．动点P 从A 点出发，在线段AC 上以每秒2个单位长度向点C 做匀速运动；同时，动点Q 从B 点出发，在线段BA 上以每秒1个单位长度向点A 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．(1)b =，c =；(2)在P ，Q 运动的过程中，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为多少？(3)已知点M 是该抛物线对称轴上一点，当点P 运动1秒时，若要使得线段MA +MP 的值最小，则试求出点M 的坐标．【答案】(1)2，3(2)当t =2时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为4(3)M 1,23 【分析】(1)利用待定系数法求解即可；(2)过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为E ，利用S 四边形BCPQ =S △ABC -S △APQ 表示出四边形BCPQ 的面积，求出t 的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；(3)直接利用对称点的性质得出M 点位置，进而得出答案．【详解】(1)∵二次函数y =-x 2+bx +c 的图象经过点A 3,0 ，B -1,0 ，则-9+3b +c =0-1-b +c =0 ，解得：b =2c =3 ；故答案为：2；3；(2)令x =0，则有y =3，即有C 0,3 ；∵C 0,3 ，A 3,0 ，B -1,0 ，∴OC =OA =3，OB =1，即AB =4，AC =OC 2+OA 2=32，∴△OAC 是等腰直角三角形，∴∠BAC =45°，由点P 、Q 的运动可知：AP =2t ，BQ =t ，结合B -1,0 ，可得：Q -1+t ,0 ，即：AQ =AB -BQ =4-t ，过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，如图，∴AH =PH =2t2=t ，即H 3-t ,0 ，∴S 四边形BCPQ =S △ABC -S △APQ=12×OC ×AB -12×AQ ×PH=12×3×4-12×4-t ×t =12t -2 2+4，∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，且AC =32，∴0≤t ≤322即，0≤t ≤3，∴当t =2时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为4；(3)由(2)可知，当t =1时，可得点P 的坐标为(2，1)，根据抛物线的对称性可知，点A ，B 关于对称轴：x =1对称，连接BP ，与抛物线对称轴交于点M ，点M 即为所求，∵P 2,1 ，B -1,0 ，∴利用待定系数法可得直线BP 的解析式为：y =13x +13，当x =1时，y =23．即点M 的坐标为1,23．【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，轴对称最值问题，用方程的思想解决问题是解本题的关键．【考点三利用二次函数求周长最大值问题】1(2023·山东东营·统考中考真题)如图，抛物线过点O 0,0 ，E 10,0 ，矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上(点B 在点A 的左侧)，点C ，D 在抛物线上，设B t ,0 ，当t =2时，BC =4．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t 为何值时，矩形ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持t =2时的矩形ABCD 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G ，H ，且直线GH 平分矩形ABCD 的面积时，求抛物线平移的距离．【答案】(1)y =14x 2-52x(2)当t =1时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值为412(3)4【分析】(1)设抛物线的函数表达式为y =ax x -10 a ≠0 ，求出点C 的坐标，将点C 的坐标代入即可求出该抛物线的函数表达式；(2)由抛物线的对称性得AE =OB =t ，则AB =10-2t ，再得出BC =-14t 2+52t ，根据矩形的周长公式，列出矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解；(3)连接AC ，BD 相交于点P ，连接OC ，取OC 的中点Q ，连接PQ ，根据矩形的性质和平移的性质推出四边形OCHG 是平行四边形，则PQ =CH ，PQ =12OA ．求出t =2时，点A 的坐标为8,0 ，则CH =12OA =4，即可得出结论．【详解】(1)解：设抛物线的函数表达式为y =ax x -10 a ≠0 ．∵当t =2时，BC =4，∴点C 的坐标为2,-4 ．将点C 坐标代入表达式，得2a 2-10 =-4，解得a =14．∴抛物线的函数表达式为y =14x 2-52x ．(2)解：由抛物线的对称性得：AE =OB =t ，∴AB =10-2t ．当x =t 时，BC =-14t 2+52t ．∴矩形ABCD 的周长为2AB +BC =210-2t +-14t 2+52t=-12t 2+t +20=-12t -1 2+412．∵-12<0，∴当t =1时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值为412．(3)解：连接AC ，BD 相交于点P ，连接OC ，取OC 的中点Q ，连接PQ ．∵直线GH 平分矩形ABCD 的面积，∴直线GH 过点P ．．由平移的性质可知，四边形OCHG 是平行四边形，∴PQ =CH ．∵四边形ABCD 是矩形，∴P 是AC 的中点．∴PQ =12OA ．当t =2时，点A 的坐标为8,0 ，∴CH =12OA =4．∴抛物线平移的距离是4．【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，矩形的性质，平移的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法和步骤，二次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，以及平移的性质．【变式训练】1(2023春·湖南长沙·八年级校考期末)已知抛物线y =a -1 x 2+2a -7 x +a 2-4(a 为常数，a >0)的图象经过原点，点A 在抛物线上运动．(1)求a的值．(2)若点P8-t，s和点Q t-4，r都是这个抛物线上的点，且有s>r，求t的取值范围．(3)设点A位于x轴的下方且在这个抛物线的对称轴的左侧运动，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，过点D作DC⊥x轴，垂足于点C，试问四边形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值和对应的x值，如果不存在，请说明理由．【答案】(1)a=2；(2)t<6；(3)存在，当x=12时，四边形ABCD的周长最大为13 2．【分析】(1)将坐标0,0代入抛物线计算求值即可；(2)由a的值可得抛物线解析式，从而可得s，r的表达式，再根据s>r解不等式即可；(3)由y=x2-3x可得函数的对称轴，根据A、D两点的对称性设A m，m2-3m，D n，m2-3m，再由两点的中点坐标在对称轴上可得n的表达式；根据坐标的定义求得四边形周长的表达式再配方即可解答；【详解】(1)解：将原点坐标代入抛物线可得：0=a2-4，a=±2，∵a>0，∴a=2；(2)解：把a=2代入抛物线可得：y=x2-3x，点P和点Q代入抛物线解析式可得：s=8-t2-38-t=t2-13t+40，r=t-42-3t-4=t2-11t+28，∵s>r，∴t2-13t+40>t2-11t+28，∴-2t>-12，∴t<6；(3)解：由抛物线解析式y=x2-3x可得对称轴为x=--32=32，AD平行于x轴，设A m，m2-3m且0<m<32，D n，m2-3m，由抛物线的对称性可知A、D两点的中点坐标在对称轴x=32上，∴m+n2=32，∴n=3-m，∵AB和DC都和x轴垂直，AD平行于x轴，∴四边形ABCD 是矩形，由函数图象可知A 点纵坐标m 2-3m <0，∴四边形ABCD 的周长为：2AB +2AD =2m 2-3m +2n -m =-2m 2-3m +23-2m =-2m -12 2+52，∴当m =12时四边形周长有最大值52；【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，不等式的性质，矩形的性质，坐标的定义等知识；掌握二次函数的对称性是解题关键．2(2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，直线y =kx 与抛物线y =ax 2+c 交于A 8,6 、B 两点，点B 的横坐标为-2．(1)求直线AB 和抛物线的解析式；(2)点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点(不与点A 、B 重合)，过点P 作x 轴的平行线，与直线AB 交于点C ，连接PO ，设点P 的横坐标为m ．①若点P 在x 轴上方，当m 为何值时，△POC 是等腰三角形；②若点P 在x 轴下方，设△POC 的周长为p ，求p 关于m 的函数关系式，当m 为何值时，△POC 的周长最大，最大值是多少？【答案】(1)y =34x ，y =18x 2-2(2)①当m =4+4103时，△POC 是等腰三角形；②当m =2时，△POC 的周长最大，最大值为9【分析】(1)利用待定系数法求解析式；(2)①当△POC 是等腰三角形时，判断出只有OC =PC ，设出点P 的坐标，用OC =PC 建立方程组求解即可；②先表示出PC ,OC ,OP ，然后建立△POC 的周长p 关于m 的函数关系式，确定出最大值．【详解】(1)解：将点A 8,6 代入y =kx ，得8k =6，解得k =34，∴直线AB 的解析式为y =34x ；当x =-2时，y =34x =34×-2 =-32，∴B -2,-32 将点A 8,6 ，B -2,-32代入y =ax 2+c ，得64a +c =64a +c =-32，解得a =18c =-2 ，∴抛物线的解析式为y =18x 2-2；(2)①设P m ,n ，则18m 2-2=n ，∵过点P 作x 轴的平行线，与直线AB 交于点C ，∴C 43n ,n ，∴PC =m -43n ，当点P 在x 轴上方时，m >0，∠OCP 是钝角，∴OC <OP ,PC <OP ，∵△POC 是等腰三角形，∴OC =CP ，∵OC =53n ，∴m -43n =53n ，∴m =3n ，∵18m 2-2=n ∴m =318m 2-2 ，∴m =4+4103或m =4-4103(舍去)，∴当m =4+4103时，△POC 是等腰三角形；②当点P 在x 轴下方时，-2<m <4，∴n <0∵P m ,n ，则18m 2-2=n ，点C 43n ,n ,∴OC =-53n ，OP =m 2+n 2=m 2+18m 2-2 2=18m 2+2，∵PC =m -43n ，18m 2-2=n ，∴p =OP +PC +OC=18m 2+2+m -43n +-53n =18m 2+m -3n +2=18m 2+m -318m 2-2 +2=-14m -2 2+9，∴当m =2时，p 最大，最大值为9，∴当m =2时，△POC 的周长最大，最大值为9．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平面内两点之间的距离公式，等腰三角形的性质，三角形的周长，极值的确定，解本题的关键是表示出PC ,OC ,OP 的长度．3(2023春·内蒙古赤峰·九年级统考阶段练习)如图，已知二次函数图象与坐标轴分别交于A (0,3)、B (-1,0)、C (3,0)三点．(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数图象位于x 轴上方部分有两个动点M 、N ，且点N 在点M 的左侧，过M 、N 作x 轴的垂线交x 轴于点G 、H 两点，当四边形MNHG 为矩形时，求该矩形周长的最大值；(3)当矩形MNHG 的周长最大时，在二次函数图象上是否存在点P ，使△PNC 的面积是矩形MNHG 面积的916？若存在，直接写出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-x 2+2x +3(2)10(3)存在；32，3+322，3-322【分析】(1)利用待定系数法解答即可；(2)设点M 的坐标为m ,-m 2+2m +3 ，则点N 2-m ,-m 2+2m +3 ，利用m 的代数式分别表示出矩形的边长，利用矩形的周长的公式求得矩形的周长，利用配方法解答即可得出结论；(3)利用(2)的结论求得点N 的坐标，可得点N 与点A 重合，设点P 的坐标为n ,-n 2+2n +3 ，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交AC 于点E ，利用含n 的代数式表示出FE ，利用S △PNC =S △PNE +S △PCE =12×PE ⋅OC ，求得△PNC 的面积，利用已知条件得到关于n 的方程，解方程即可求得n 值；再利用平行线的距离相等，当直线AC 向下平移94个单位长度时，该直线与抛物线的交点也满足条件，求得平移后的直线解析式，与抛物线的解析式联立，解方程组即可得出结论．【详解】(1)设二次函数解析式为y =ax 2+bx +c (a ≠0)，∵二次函数图象过A (0,3)、B (-1,0)、C (3,0)三点，∴c =3a -b +c =09a +3b +c =0，解得a =-1b =2c =3，即二次函数解析式为y =-x 2+2x +3．(2)设点M 的坐标为m ,-m 2+2m +3 ，则点N 2-m ,-m 2+2m +3 ，∴MN =m -2+m =2m -2，GM =-m 2+2m +3，矩形MNHG 的周长C =2MN +2GM ，=2(2m -2)+2-m 2+2m +3=-2m 2+8m +2，∵-2<0。

二次函数与几何图形的综合问题(学生版)--初中数学专题训练

二次函数与几何图形的综合问题目录一、热点题型归纳【题型一】二次函数与图像面积的数量关系及最值问题【题型二】二次函数与角度数量关系问题【题型三】二次函数与线段长度数量关系及线段长度最值问题【题型四】二次函数与特殊三角形问题【题型五】二次函数与相似三角形存在性问题【题型六】二次函数与特殊四边形存在性问题【题型七】二次函数与代数或几何综合问题二、最新模考题组练1.热点题型归纳题型一：二次函数与图像面积的数量关系及最值问题1【典例分析】1如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A-3,0两点，点C为二次函数的图象与y轴，B1,0的交点．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P为二次函数图象上的一点，且S△POC=2S△BOC，求点P的坐标．2【提分秘籍】对于图形的运动产生的相等关系问题，解答时应认真审题，仔细研究图形，分析动点的运动状态及运动过程，解题过程的一般步骤是：①弄清其取值范围，画出符合条件的图形；②确定其存在的情况有几种，然后分别求解，在求解计算中一般由函数关系式设出图形的动点坐标并结合图形作辅助线，画出所求面积为定值的三角形；③过动点作有关三角形的高或平行于y轴、x轴的辅助线，利用面积公式或三角形相似求出有关线段长度或面积的代数式，列方程求解，再根据实际问题确定方程的解是否符合题意，从而证得面积等量关系的存在性.④对于面积的最值问题选择合适的自变量，建立面积关于自变量的函数，并求出自变量的取值范围，用二次函数或一次函数的性质来解决.3【变式演练】1如图，抛物线y=ax2+3x+c(a≠0)与x轴交于点A(-2,0)和点B，与y轴交于点C(0,8)，点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP,PB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)求直线BC的解析式；(3)求△BCP的面积最大值．2如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A-1，0两点．，B3，0(1)求该抛物线的解析式；(2)观察函数图象，直接写出当x取何值时，y>0？(3)设(1)题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．3如图，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于A(-2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴l与x轴交于点M．(1)求抛物线的函数关系式．(2)设点P是直线l上的一个动点，求△PAC周长的最小值．题型二：二次函数与角度数量关系问题1【典例分析】1如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1，0)和B(3，0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，若点M为直线BC上方抛物线一动点(与点B、C不重合)，作MN平行于y轴，交直线BC于点N，当线段MN的长最大时，请求出点M的坐标；(3)如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当∠QCO=∠PBC时，请求出点Q的坐标．2【提分秘籍】探究两个角相等的方法：①可转换为满足此三角形是等腰三角形时的点，一般是通过此动点作已知两点连线的中垂线，再通过三角形相似以及中垂线的性质求出中垂线所在直线的解析式，最后通过直线解析式和抛物线解析式联立方程组求得动点的坐标；②通过构造两个三角形相似，再通过三角形相似的性质建立等式关系，再通过直线解析式和抛物线解析式联立方程组求得动点的坐标.3【变式演练】1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-12x2+bx+c过点A-2,0,B4,0，x轴上有一动点P t,0，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及抛物线分别交于点D，E．连接CE．(1)求抛物线的解析式．(2)点P在线段OB上运动时(不与点O，B重合)当△CDE∽△BDP时，求t的值．(3)当点P在x轴上自由运动时，是否存在点P，使∠DCE=∠DEC？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2如图，抛物线y=ax2+bx+5(a≠0)与y轴相交于点C，且经过A(1,0)，B(5,0)两点，连接AC．(1)求抛物线的表达式；(2)设P为x轴下方抛物线上一点，M为对称轴上一点，N为该抛物线对称轴与x轴交点，若∠MNP=∠OCA，求点P的坐标．题型三：二次函数与线段长度数量关系及线段长度最值问题1【典例分析】1如图，已知经过A1,0两点的抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C．，B4,0(1)求此抛物线的解析式及点C的坐标；(2)若线段BC上有一动点M(不与B、C重合)，过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N．求当线段MN的长度最大时点M的坐标；2【提分秘籍】探究平面直角坐标系中线段的数量关系的方法：①先设点的坐标，再用点的坐标表示线段的长度，然后分析表示线段长度的代数式，得出线段之间的数量关系；②函数图象上点的坐标的表示方法：直线y=kx+b上点的坐标为(x，kx+b);抛物线y=ax2+bx+c上点的坐标为(x，ax2+bx+c)；双曲线y=k x上的点的坐标为y=x，k x③已知点A(x,y),B(m,n),若AB与x轴平行，则AB=|x-m|;若AB与y轴平行，则AB=|y-n|;若AB既不与x轴平行又不与y轴平行，则AB=(x-m)2+(y-n)2。

二次函数的应用——面积最大问题教学设计

二次函数的应用——面积最大问题教学设计各位评委：你们好！我是良乡三中的杨素芳，很高兴有机会参加这次说课比赛，并能得到各位专家的指导，我说课的课题是：二次函数的应用——面积最大问题。

所用教材是北京市义务教育课程改革实验教材九年级上第20章第五节二次函数的应用，本节共需四课时，面积最大是第一节。

下面我将从教材内容的分析、教学目标、重点、难点的确定、教学方法的选择、教学过程的设计和教学效果预测几方面对本节课进行说明。

一、教学内容的分析1、地位与作用：二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。

新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作专题讲座，为求解最大利润等问题奠定基础。

目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题。

此部分内容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。

2、课时安排：教材中二次函数的应用只设计了3个例题和一部分习题，无论是例题还是习题都没有归类，不利于学生系统地掌握解决问题的方法，我设计时把它分为面积最大、利润最大、运动中的二次函数、综合应用四课时，本节是第一课时。

3.学情及学法分析对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。

二次函数与几何专题一面积问题教案

二次函数与几何专题一面积问题一、学习目标1、学生学会在二次函数中解决简单的与二次函数有关的面积问题2、学生会用代数、几何的方法解决面积最大问题二、重点、难点函数中的坐标与线段的互相转化三、学习过程（一）基础训练1、若抛物线y=-x 2–x+6与x 轴交于A 、B 两点，则AB= 此抛物线与y 轴交于点C ，则C 点的坐标为，△ABC 的面积为 .2、已知二次函数y=x 2–21x-23与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，则△ABC 的面积为 . 3、已知二次函数y=-21x 2+x+4的图象与x 轴的交点从右向左为A 、B 两点，与y 轴交点为C ，顶点为D ，求四边形ABCD 的面积.4、已知抛物线y=x 2–4x+1, 与x 轴交于A 、B 两点，在抛物线上有一点N,使△ABN 的面积为43，求点N 的坐标.5、已知一次函数y=kx+m 的图象与二次函数y=a x 2 +bx+c 相交于A(-2，-1)，B(6，3)两点，且二次函数图象与y 轴的负半轴交于C 点，若△ABC 的面积为12，求一次函数及二次函数解析式.（二）能力提升（2011•清远）如图，抛物线y=（x+1）2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）（1）求抛物线的对称轴及k的值；（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；（3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限．①当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标；②当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点的坐标．二次函数与几何专题二直角三角形一、学习目标1、学生学会在二次函数中解决与二次函数有关的直角三角形问题2、学生会用勾股定理、相似的方法解决直角问题二重点、难点函数中的坐标与线段的互相转化；在函数中找到几何的基本图形三、学习过程1、如图，抛物线y=（x-1）2+n与x轴交于A、B两点，A在B的左侧，与y轴交于C（0，-3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为对称轴右侧的抛物线上一点，以BP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M正好落在对称轴上，求P点的坐标．2、（2013•攀枝花）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0），B（1.0），C（0，-3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．二次函数与几何——相似一、学习目标学生学会在二次函数中解决与二次函数有关的相似问题二、重点、难点函数中的坐标与线段的互相转化；在函数中找到几何的基本图形1、（2013•莱芜）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（-3，0）、B（1，0）、C（-2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似（不包括全等）？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．2、（2013•营口）如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（-3，0）两点，与y轴交于点C （0，3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3、（2013•凉山州）如图，抛物线y=ax2-2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM 的形状；若不存在，请说明理由．二次函数与几何——全等一、学习目标学生学会在二次函数中解决与二次函数有关的全等问题二重点、难点函数中的坐标与线段的互相转化；在函数中找到几何的基本图形1、（2013•贵港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C（0，4），对称轴x=2与x轴交于点D，顶点为M，且DM=OC+OD．（1）求该抛物线的解析式；（2）设点P（x，y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，若经过点P的直线PE与y轴交于点E，是否存在以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等？若存在，请求出直线PE的解析式；若不存在，请说明理由．2、（2012•威海）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为点F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PM⊥x轴，垂足为点M，△PCM为等边三角形．（1）求该抛物线的表达式；（2）求点P的坐标；（3）试判断CE与EF是否相等，并说明理由；（4）连接PE，在x轴上点M的右侧是否存在一点N，使△CMN与△CPE全等？若存在，试求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．二次函数与几何——等腰三角形一、学习目标学生学会在二次函数中解决与二次函数有关的等腰三角形问题二、重点、难点函数中的坐标与线段的互相转化；在函数中找到几何的基本图形三、学习过程3、（2012•龙岩）在平面直角坐标系xOy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB 在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（-1，0）．（1）请直接写出点B、C的坐标；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于点M．①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．二次函数与几何——平行四边形 4月16日一、学习目标学生学会在二次函数中解决与平行四边形有关的问题二重点、难点函数中的坐标与线段的互相转化；在函数图象中找到几何的基本图形三、学习过程活动一：1、若抛物线y ＝x 2－bx ＋16过点（1，10），则b 的值为____ __2、抛物线过（－1，0），（3，0），（1，－5）三点，则这个二次函数的解析式_________________________。

中考数学最值专题08 二次函数背景下面积最值问题(学生版)

专题08 二次函数背景下面积最值问题【典型例题】——铅垂高类最值问题
如图，已知抛物线过A（4,0）、B（0,4）、C（-2，0）三点，P是抛物线上一点（1）求抛物线解析式
（2）若P在直线AB上方，求四边形PBCA面积最大值，
（3）若P在直线AB上方，作PF⊥AB，F在线段AB上,求PF最大值x
x
（4）若P在直线AB上方，作PF⊥AB，交线段AB于F,作PE∥y轴交AB于E，求△PEF周长和面积的最大值
（5）若P在直线AB上方，连接OP，交AB于D，求PD
OD
的最大值
x
x
（6）若P 在直线AB 上方，连接CP ，交AB 于D ，△PDA 面积为S 1，△CDA 面积为S 2，求2
1
S S 的最小
值
（7）点D 是点B 关于关于x 轴的对称点，连接CD ，点P 是第一象限上一点，求△PCD 面积最大值
【模型解读】——铅垂高
x
x。