2017福州一中追梦计划招生数学卷
2017年福州一中面向福州七县、平潭综合实验区乡镇和农村地
2017 年福州一中面向福州七县、平潭综合实验区乡镇和农村地区（ “追梦计划” ）招生考试试卷 阅读与表达（满分 120 分，考试时间 120 分钟）学 校姓 名准考证号（本试卷共 18 题。
第１题 6 分；第 2-8 题，每题 3 分；第 9-16 题，每题 4 分；第 17 题 6 分；第 18 题 55 分。
共 120 分。
答案应全部填涂或填写在答题卡 的 相应位置 。
）矚慫润 ．．．．．．．．．．．．．． ． ．．．．厲钐瘗睞枥。
1．根据要求填空（每空 1 分，共 6 分） （1）在李白《行路难（其一） 》中， “______________，_______________”体现出诗人对 从政仍有所期待。
聞創沟燴鐺險爱氇。
（2）中国古典诗词常将“秋”与“愁”联系起来，刘禹锡却在《秋词》中一反悲秋传统，“_____________，_________骛楼諍锩瀨濟溆。
_”描绘出一幅壮丽开阔的秋日图景，抒发豪迈之情。
残（3）白居易《钱塘湖春行》中以“几处早莺争暖树，__________”表现了鸟儿迎春的喜悦；韩愈《早春呈水部张十八员外（其一） 》以“ _________，草色遥看近却无”描绘了春雨的 滋润与小草初出的模样。
酽锕极額閉镇桧猪。
2．下列加点字的注音和字形全都正确 的一项是（ ．． A．撺 掇（cuān) ．砖。
） （3 分） 心无旁鹜 （wù）彈贸摄尔霁毙攬 ．颦 蹙（pín） ．嗔 怒（chēn） ．B．枘 凿（nà） ． C．骊 歌（lí） ．谮 害（zèn） ． 姿睢 （suī） ．菡萏 （yàn） ． 花圃 （bǔ） ． 1 / 12深恶 痛疾（wù） ． 浩瀚无垠 （yín）謀荞抟箧飆鐸 ．怼类。
D．诓 骗（kuāng） ．盡继。
攲 斜（qī ） ．荣膺 （yīng） ．颔 首低眉（hàn）厦礴恳蹒骈時 ．3．下列句子中的加点成语使用正确 的一项是（ ．．） （3 分）A．我班的小张同学实力超群，在校运会 100 米决赛中白驹过隙 ，勇夺该项目冠军，为班级 ．．．． 赢得了沉甸甸的荣誉。
2017年高考真题——理科数学(福建卷)解析版
2017年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（理工农医类）第Ⅰ卷(选择题 共50分)一．选择题1．已知复数z 的共轭复数12z i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ． 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D【解析】z 的共轭复数12z i =+，则12z i =-，对应点的坐标为(1,2)-，故答案为D ． 2．已知集合{}1,A a =,{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ⊆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】3,a A B =⇒⊆2A B a ⊆⇒=，或3．因此是充分不必要条件．3．双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．25 B ．45CD【答案】C【解析】 2214x y -=的顶点坐标为(2,0)±，渐近线为2204x y -=，即20x y ±=．带入点到直线距离公式d =． 4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ） A ．588 B ．480C ．450D ．120【答案】B【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和，由图知道(0.030.0250.0150.01)*100.8P =+++=故分数在60以上的人数为600*0．8=480人．5．满足{},1,0,1,2a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．10 【答案】B【解析】方程220ax x b ++=有实数解，分析讨论①当0a =时，很显然为垂直于x 轴的直线方程，有解．此时b 可以取4个值．故有4种有序数对②当0a ≠时，需要440ab ∆=-≥，即1ab ≤．显然有3个实数对不满足题意，分别为（1,2），（2,1），（2,2）．(,)a b 共有4*4=16中实数对，故答案应为16-3=13．6．阅读如图所示的程序框图，若输入的10k =，则该算法的功能是（ ）A ．计算数列{}12n -的前10项和 B ．计算数列{}12n -的前9项和 C ．计算数列{}21n -的前10项和 D ．计算数列{}21n -的前9项和【答案】C【解析】第一循环：1,2S i ==，10i <第二条：3,3,10S i i ==<第三条：7,4,10S i i ==< …．．第九循环：921,10,10S i i =-==．第十循环：1021,11,10S i i =-=>，输出S ．根据选项，101(12)12S -=-，故为数列12n -的前10项和．故答案A ．7．在四边形ABCD 中，(1,2)AC =，(4,2)BD =-，则四边形的面积为（ ）A B ． C ．5 D ．10【答案】C【解析】由题意，容易得到AC BD ⊥．设对角线交于O 点，则四边形面积等于四个三角形面积之和 即S=11(****)(*)22AO DO AO BO CO DO CO BO AC BD +++=．容易算出，则算出S=5．故答案C8．设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点 【答案】D【解析】A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤，错误．00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，并不是最大值点． B ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于y 轴的对称图像，故0x -应是()f x -的极大值点C ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于x 轴的对称图像，故0x 应是()f x -的极小值点．跟0x -没有关系．D ．0x -是()f x --的极小值点．正确．()f x --相当于()f x 先关于y 轴的对象，再关于x 轴的对称图像．故D 正确9．已知等比数列{}n a 的公比为q ，记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++*(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n N -+-+-+=∙∙∙∈则以下结论一定正确的是（ ）A ．数列{}n b 为等差数列，公差为mq B ．数列{}n b 为等比数列，公比为2mq C ．数列{}n c 为等比数列，公比为2m q D ．数列{}n c 为等比数列，公比为mm q【答案】C【解析】等比数列{}n a 的公比为q,同理可得2222222,m m m mm m m a a a a a a ++++=∙=∙112...m c a a a =∙∙∙,212...,m m m m c a a a +++=∙∙∙321222...,m m m m c a a a +++=∙∙∙2213c c c ∴=∙∴数列{}n c 为等比数列，2221212211212............mm m m m m m m m ma a a a a a q c q q c a a a a a a +++∙∙∙∙∙∙∙====∙∙∙∙∙∙故选C 10．设S ，T ，是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：(){()|};()i T f x x S ii =∈对任意12,,x x S ∈当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A ．*,A N B N == B ．{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C ．{|01},A x x B R =<<= D ．,A Z B Q == 【答案】D【解析】根据题意可知，令()1f x x =-，则A 选项正确；令55(13)()228(1)x x f x x ⎧+-<≤⎪=⎨⎪-=-⎩，则B 选项正确； 令1()tan ()2f x x π=-，则C 选项正确；故答案为D ．二．填空题11．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则时间“310a ->”发生的概率为________ 【答案】23【解析】13103a a ->∴>a 产生0~1之间的均匀随机数1(,1)3a ∴∈112313p -∴==12．已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图．测试图．俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_______________【答案】12π【解析】由图可知，图形为一个球中间是内接一个棱长为2的正方体，2412R S R ππ∴====球表13．如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin 3BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________【解析】sin sin()cos 2BAC BAD BAD π∠=∠+=∠=∴根据余弦定理可得222cos 2AB AD BD BAD AB AD +-∠=∙BD ==14．椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左．右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于__________1【解析】由直线方程)y x c =+⇒直线与x 轴的夹角12233MF F ππ∠=或，且过点1-F （c,0）12212MF F MF F ∠=∠∴122123MF F MF F π∠=∠=即12F M F M ⊥12RT F MF ∴∆在中，12122,,F F c F M c F M ===∴由椭圆的第一定义可得21c a c a =∴==-15．当,1x R x ∈<时，有如下表达式:211.......1n x x x x+++++=- 两边同时积分得：1111122222200011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：122311111111()()...()_____2223212nn n n n nn C C C C +⨯+⨯+⨯++⨯=+【答案】113[()1]12n n +-+ 【解析】由01221......(1)n nn n n n n C C x C x C x x +++++=+两边同时积分得：111112222220001......(1).nn n n n n C dx C xdx C x dx C x dx x dx +++++=+⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：122311*********()()...()[()1]222321212n n n n n n nn n C C C C ++⨯+⨯+⨯++⨯=-++ 三．解答题16．（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,X Y ，求3X ≤的概率；（2）若小明．小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？本小题主要考查古典概型．离散型随机变量的分布列．数学期望等基础知识，考查数据处理能力．运算求解能力．应用意识，考查必然和或然思想，满分13分． 解：（Ⅰ）由已知得：小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A ，则A 事件的对立事件为“5=X ”，224(5)3515==⨯=P X ，11()1(5)15∴=-==P A P X ∴这两人的累计得分3≤X 的概率为1115． （Ⅱ）设小明．小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ，都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X ，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X由已知：12~(2,)3X B ，22~(2,)5X B124()233∴=⨯=E X ，224()255=⨯=E X 118(2)2()3∴==E X E X ，2212(3)3()5==E X E X12(2)(3)>E X E X∴他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大．17．（本小题满分13分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈ （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极值．本小题主要考查函数．函数的导数．不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．分类与整合思想，数形结合思想．化归与转化思想．满分13分． 解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1'=-a f x x． （Ⅰ）当2=a 时，()2ln =-f x x x ，2()1(0)'=->f x x x， (1)1,(1)1'∴==-f f ，()∴=y f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)-=--y x ，即20+-=x y ．（Ⅱ）由()1,0-'=-=>a x a f x x x x可知： ①当0≤a 时，()0'>f x ，函数()f x 为(0,)+∞上的增函数，函数()f x 无极值； ②当0>a 时，由()0'=f x ，解得=x a ；(0,)∈x a 时，()0'<f x ，(,)∈+∞x a 时，()0'>f x()∴f x 在=x a 处取得极小值，且极小值为()ln =-f a a a a ，无极大值．综上：当0≤a 时，函数()f x 无极值当0>a 时，函数()f x 在=x a 处取得极小值ln -a a a ，无极大值．18．（本小题满分13分）如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ，连结i OB ，过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤．（1）求证：点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；（2）过点C 做直线l 与抛物线E 交于不同的两点,M N ，若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1，求直线l 的方程．本小题主要考查抛物线的性质．直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．推理论证能力，考查化归与转化思想，数形结合思想．函数与方程思想．满分13分． 解：（Ⅰ）依题意，过*(,19)∈≤≤i A i N i 且与x 轴垂直的直线方程为=x i(10,)i B i ，∴直线i OB 的方程为10=iy x 设i P 坐标为(,)x y ，由10=⎧⎪⎨=⎪⎩x ii y x 得：2110=y x ，即210=x y ，∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上，且抛物线E 方程为210=x y（Ⅱ）依题意：直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为10=+y kx由21010=+⎧⎨=⎩y kx x y得2101000--=x kx 此时2100+4000∆=>k ，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N设：1122(,)(,)M x y N x y ，则121210100+=⎧⎨⋅=-⎩x x kx x4∆∆=OCM OCN S S ∴124=x x又120⋅<x x ，∴124=-x x分别带入21010=+⎧⎨=⎩y kx x y，解得32=±k直线l 的方程为3+102=±y x ，即32200-+=x y 或3+2200-=x y19．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ABCD ⊥底面，//AB DC ，11AA =，3AB k =，4AD k =，5BC k =，6DC k =(0)k >．（1）求证：11;CD ADD A ⊥平面（2）若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67，求k 的值； （3）现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为()f k ，写出()f k 的表达式（直接写出答案，不必要说明理由）本小题主要考查直线与直线．直线与平面的位置关系．柱体的概念及表面积等基础知识，考查空间想象能力．推理论证能力．运算求解能力，考查数形结合思想．分类与整合思想．化归与转化思想，满分13分． 解：（Ⅰ）取CD 中点E ，连接BE//AB DE Q ，3AB DE k == ∴四边形ABED 为平行四边形 //BE AD ∴且4BE AD k ==在BCE V 中，4,3,5BE k CE k BC k ===Q222BE CE BC ∴+=90BEC ∴∠=︒,即BE CD ⊥，又//BE AD Q ，所以CD AD ⊥ 1AA ⊥Q 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD 1AA CD ∴⊥，又1AA AD A =I ，CD ∴⊥平面11ADD A（Ⅱ）以D 为原点，1,,DA DC DD uu u r uuu r uuur的方向为,,x y z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系(4,0,0)A k ，(0,6,0)C k ，1(4,3,1)B k k ，1(4,0,1)A k所以(4,6,0)AC k k =-uuu r ，1(0,3,1)AB k =uuu r ，1(0,0,1)AA =uuu r设平面1AB C 的法向量(,,)n x y z =，则由100AC n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uuu r得46030kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩取2y =，得(3,2,6)n k =-设1AA 与平面1AB C 所成角为θ，则111,sin |cos ,|||||AA nAA n AA n θ=〈〉=⋅uuu ruuu r uuu r67==，解得1k =．故所求k 的值为1 （Ⅲ）共有4种不同的方案2257226,018()53636,18k k k f k k k k ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩20．（本小题满分14分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π，图像的一个对称中心为(,0)4π，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像．（1）求函数()f x 与()g x 的解析式； （2）是否存在0(,)64x ππ∈，使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0x 的个数； 若不存在，说明理由．（3）求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2017个零点． 本小题主要考查同角三角函数的基本关系．三角恒等变换．三角函数的图像与性质．函数．函数的导数．函数的零点．不等式等基础知识，考查运算求解能力．抽象概括能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，分类与整合思想．化归与转化思想，满分14分． 解：（Ⅰ）由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π，0ω>，得2ω= 又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π，(0,)ϕπ∈故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=，得2πϕ=，所以()cos 2f x x =将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得cos y x =的图象，再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x =（Ⅱ）当(,)64x ππ∈时，1sin 2x <<10cos 22x << 所以sin cos 2sin cos 2x x x x >>问题转化为方程2cos 2sin sin cos 2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解 设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-，(,)64x ππ∈ 则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(,)64x ππ∈，所以()0G x '>，()G x 在(,)64ππ内单调递增又1()064G π=-<，()04G π=> 且函数()G x 的图象连续不断，故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x ， 即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意 （Ⅲ）依题意，()sin cos 2F x a x x =+，令()sin cos 20F x a x x =+=当sin 0x =，即()x k k Z π=∈时，cos 21x =，从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解，所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin x a x =-，()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况 令cos 2()sin x h x x=-，(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=，令()0h x '=，得2x π=或32x π= 当x 变化时，()h x 和()h x '变化情况如下表当0x >且x 趋近于0时，()h x 趋向于-∞当x π<且x 趋近于π时，()h x 趋向于-∞当x π>且x 趋近于π时，()h x 趋向于+∞当2x π<且x 趋近于2π时，()h x 趋向于+∞故当1a >时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点，在(,2)ππ内有2个交点； 当1a <-时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内无交点； 当11a -<<时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内有2个交点 由函数()h x 的周期性，可知当1a ≠±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点；当1a =±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点，由周期性，20133671=⨯，所以67121342n =⨯=综上，当1a =±，1342n =时，函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点21．（本题满分14分）（1）（本小题满分7分）矩阵与变换已知直线:1l ax y +=在矩阵1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线':1l x by +=． （1）求实数,a b 的值；（2）若点00(,)p x y 在直线l 上，且0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求点p 的坐标． 本小题主要考查矩阵．矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力．考查化归与转化思想．满分7分．解：解：（Ⅰ）设直线:1l ax y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y '''由12201x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2x x y y y '=+⎧⎨'=⎩又点(,)M x y '''在l '上，所以1x by ''+=，即(2)1x b y ++=依题意121a b =⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩ （Ⅱ）由0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得000002x x y y y =+⎧⎨=⎩解得00y = 又点00(,)P x y 在直线l 上，所以01x =故点P 的坐标为(1,0)（2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A 的极坐标为)4π，直线l 的极坐标方程为cos()4a πρθ-=，且点A 在直线l 上． （1）求a 的值及直线l 的直角坐标方程； （2）圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数），试判断直线l 与圆的位置关系． 本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化．圆的参数方程等基础知识．考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分．解：（Ⅰ）由点)4A π在直线cos()4a πρθ-=上，可得a = 所以直线l 的方程可化为cos sin 2ρθρθ+=从而直线l 的直角坐标方程为20x y +-=（Ⅱ）由已知得圆C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=所以圆心为(1,0)，半径1r =以为圆心到直线的距离1d =<，所以直线与圆相交 （3）（本小题满分7分）不等式选讲 设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ，且32A ∈，12A ∉． （1）求a 的值；（2）求函数()2f x x a x =++-的最小值．本小题主要考查绝对猪不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分．解：（Ⅰ）因为32A ∈，且12A ∉，所以322a -<，且122a -≥ 解得1322a <≤，又因为*a N ∈，所以1a = （Ⅱ）因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=当且仅当(1)(2)0x x +-≤，即12x -≤≤时取得等号，所以()f x 的最小值为3。
福州一中2017年高中招生(面向市区以外)
福州一中年高中招生（面向市区以外）综合素质测试数学参考答案一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分）二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分）．．．．．．三、解答题（本大题共小题，满分分）. 本小题主要考查三角形全等、相似的判定方法；特殊四边形的性质及判定等基础知识，考查识图、辩图、逻辑推理能力，考查几何直观等形象思维．满分分．（Ⅰ）法一:证明：过作于，于，……………………分∵四边形是正方形，∴，∴四边形是矩形，又∵是的角平分线，∴……………………………………分∴四边形是正方形，∴，∵，∴，∴∴……………………………………分在和中，，∴≌（），……………………………………分∴……………………………………分 法二：连，由，两点都在以为直径的圆上，分∴分∵ 四边形是正方形， ∴，∴，∴分∴……………………………………分（Ⅱ）法一：∵ 四边形是矩形，∴， 又∵，∴∥，∴∽，∴，……………………………………分同理，，∴，∴，……………………………………分∵，，∴∽……………………………………分 ∴……………………………………分∴为定值.…………………………………分法二：连，由，两点都在以为直径的圆上，分，分∵分∴分（或证明）. 本小题主要考查勾股定理、解直角三角形等基础知识，考查应用意识、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分分．解：在中作于点.…………………分在中，……………………………………分………………………………分依题意，以点为圆心，海里为半径的圆形区域为暗礁区域………………分∵所以，如果渔船不改变航线继续航行，有触礁危险.……………………………分在上取点使得，连接，.在中，，所以，……………………………分在中，……………………………分所以，在中，……………………………分因为该渔船到达点的时间小时.所以巡逻船速度海里小时. ………………………分所以，巡逻船要以北偏东的航向和至少每小时海里的速度前往拦截. ………………………分（注：没有取“”扣分）. 本题考查一次函数和二次函数的图像与性质，综合了等腰直角三角形、圆、矩形的性质及垂直平分线的判定，解题过程中利用了图象平移的性质，蕴含了方程思想、化归及数形结合等数学思想．满分分．解：（Ⅰ）法一：当时即，则有两个不同的实根，(注：说明因二次函数开口向上，与轴交于、两点则亦可)……分由已知可得，，则解得或（舍），分分法二：过作轴于当时即，则有两个不同的实根，分解得，则由已知可得，，设直线与轴交于点，∵，为等腰直角三角形即解得，分分（Ⅱ）设交轴于.由题意可得，，，∵点和点关于轴对称，为等腰直角三角形且由平移的性质可知且分设，则，分解得或，则或分（Ⅲ）连接，∵，为等腰直角三角形，分由（Ⅱ）可知，∵四边形为矩形在的垂直平分线上分过作于，由垂线段最短可知即为线段的最小长度..... 分当点在处时，在的中点处，当点在处时，在上的点处由上可知.则，，，∵四边形为矩形得，∵即线段的最小长度为分。
【福州一中】2016-2017年高三第二学期模拟文科数学试卷(附答案)
19．解：（Ⅰ）取线段CD的中点Q，
连接KQ，直线KQ即为所求.
证明如下：
取EC中点G，连接FG，连接AC交BD于O.
则OG为 的中位线.
∴ ，∵ ，∴ ，
∴四边形FGOD为平行四边形，∴ .
∵K，Q分别为BC，CD中点，∴ ，∴ .
∵ ， ，∴Байду номын сангаас.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，∵ ， ，∴ ，
A． B． C． D．
11．已知 ， 是焦点在 轴的双曲线 的上、下焦点，点 关于渐近线的对称点恰好落在以 为圆心， 为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）
A．3B． C．2D．
12．已知函数 ， ，函数 ，若存在 ， ，使得 成立，则实数a的取值范围是（）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
室外工作
室内工作
合计
有呼吸系统疾病
150
无呼吸系统疾病
100
合计
200
（Ⅰ）请把 列联表补充完整；
（Ⅱ）你是否有95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关；
（Ⅲ）现采用分层抽样从室内工作的居民中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2人，求2人都有呼吸系统疾病的概率.
参考公式与临界表：
A．528B．1 020C．1 038D．1 040
5．某几何体的三视图如图所示（单位： ），则该几何体的体积等于（）
A． B． C． D．
6．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可以作为三角形的三边边长的概率为（）
A． B． C． D．
2017福州一中追梦计划招生数学答案
2017年福州一中面向福州七县、平潭综合实验区乡镇和农村地区（“追梦计划”）招生考试数学与逻辑参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．5210258+=⎧⎨+=⎩x yx y12．5<x13．333333212345621+++++=14．4+15．13<≤n三、解答题（本大题共7小题，满分90分）16. 本小题主要考查实数的运算、代数式的化简等基础知识，考查代数运算能力、化简能力，分类与整合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）原式=116+82-+⨯……………………5分=8……………………………………6分（Ⅱ）原式222241--=÷--x x xxx x……………………………………8分()()222122--=⋅-+-x x xx xx x…………………………9分1=.2-+x……………………………………11分当12=-x时，原式23=-.……………………………12分17. 本小题主要考查圆的几何性质、等腰三角形的判定及性质等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力，考查演绎论证及度量计算的逻辑思想等．满分12分．证明：（Ⅰ）∵ 四边形ABED 为⊙O 的圆内接四边形∴ 180∠+∠=B ADE ……………………………………2分 又 ∵ 180∠+∠=CDE ADE∴ ∠=∠B CDE ……………………………………3分 ∵ =AB AC∴ ∠=∠B C ……………………………………4分 ∴ ∠=∠C CDE ……………………………………5分 ∴ ∆CDE 为等腰三角形……………………………………6分 （Ⅱ）法一：连接AE ，∵ ⊙O 的直径为AB∴ 90=∠AEB ∴BC AE ⊥...............................7分∵AC AB =∴421==BC CE .........................................8分 由(Ⅰ)知EDC C B ∠=∠=∠，C C ∠=∠ ∴ABC ∆∽EDC ∆ ∴ECACDC BC =...........................................10分 ∴332=⋅=DC CE BC AC .................................11分 ∵AC AB =∴⊙O 的半径为16.3……………………………………12分 法二：连接AE ，过点E 作⊥EF CD ，垂足为F 由（Ⅰ）知∆CDE 是以CD 为底边的等腰三角形∴ 1322==CF CD ………………7分 ∵ ⊙O 的直径为AB90∴∠=AEB ……………………8分 ∵ =AB AC4∴==BE CE …………………9分 ∵ ，∠=∠∠=∠B C AEB EFC∴ ∆EFC ∽∆AEB ，……………………………10分 ∴=FC CE BE AB……………………………………11分∴ 4432332⋅⨯===CE BE AB FC∴⊙O 的半径为16.3……………………………………12分 18.本题考察反比例函数图像及性质、一次函数解析式求解问题,及求平面四边形面积问题,涉及对称与割补思想方法.满分12分． 解：（Ⅰ）过点C 分别作CE AO ⊥于点E ， 设点(,)C m n ， ∵tan 2∠=COA 2,n m ∴=..................................1分 ∵//CB OA ,B y n ∴=∵D 为AE 的中点，,2D ny ∴=..............................................2分 又,C D 在反比例函数图象上，,D D mn x y k ∴=⋅=2,D x m ∴= ..............................................4分∵2,=B x 1,m ∴= 2,n ∴=.............................................5分2.k mn ∴==所以，反比例函数的解析式为2.=y x...........................................6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得(1,2),(2,1)C D ，法一：AOC ACD OCDA S S S ∆∆=+四边形......................9分 1152211222=⨯⨯+⨯⨯=..............12分法二： BCDOCDA OABC S S S ∆=-四边形四边形矩形∆∆=+-COE BCD ABCE S S S ...............9分115121211222=⨯⨯+⨯-⨯⨯=...........12分19. 本小题主要考查三角形全等、相似的判定方法；特殊四边形的性质及判定等基础知识，考查识图、辩图、逻辑推理能力，考查几何直观等形象思维．满分12分．（Ⅰ）法一：证明：过P 作⊥PM AB 于M ，⊥PN BC 于N ，……………………1分 ∵ 四边形ABCD 是正方形， ∴ 90∠=ABC ， ∴ 四边形BMPN 是矩形，又 ∵ BD 是∠ABC 的角平分线，∴ =PM PN ……………………………………2分 ∴ 四边形BMPN 是正方形， ∴ 90∠=MPN ， ∵ ⊥AP PE ， ∴ 90∠= APE ，∴ ∠-∠=∠-∠APE MPE MPN MPE∴ ∠=∠APM EPN ……………………………………4分 在∆APM 和∆EPN 中，∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩AMP ENP PM PNAPM EPN ， ∴ ∆APM ≌∆EPN （ASA ），……………………………………5分 ∴ .=AP PE ……………………………………6分 法二：连AE ，由90ABC APE ︒∠=∠=，∴、B P 两点都在以AE 为直径的圆上，.....................2分∴ ∠=∠ABP AEP .....................3分 ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴45ABP ︒∠=，∴ 45∠=AEP ，∴45EAP ︒∠=∴∠=∠EAP AEP ......................5分 ∴ .=AP PE ……………………………………6分（Ⅱ）法一：∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴ 90∠=BAD ， 又∵90∠= PBM ， ∴ PM ∥AD ， ∴ ∆BPM ∽∆BDA ， ∴=PM BPAD BD ，……………………………………7分 同理，PN BPCD BD=，∴PM PNAD CD =， ∴63==42=PM AD PN CD ，……………………………………9分 ∵ 90∠=∠=AMP ENP ，∠=∠MPA EPN ， ∴ ∆APM ∽.∆EPN ……………………………………10分 ∴=AP PMPE PN……………………………………11分 ∴ :3:2.=AP PE 为定值.…………………………………12分 法二：连AE ，由90ABC APE ︒∠=∠=，∴、B P 两点都在以AE 为直径的圆上，..................8分∴ABP AEP ∠=∠，......................9分 tan tan ∴∠=∠ABP AEP∵ tan tan ，∠=∠=AP AD AEP ABP AE AB....................11分 ∴3.2==AP AD AE AB .....................12分 （或证明AEP ABD ∆∆∽）20. 本小题主要考查勾股定理、解直角三角形等基础知识，考查应用意识、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分14分．解：在ΔABD 中作DA B C ⊥于点C .…………………2分 在ABC Rt ∆中， 1645AB BAC ︒=∠=，，28==∴AC BC ……………………………………3分2628214=-=-=∴AC AD CD ………………………………4分依题意，以点D 为圆心，12海里为半径的圆形区域为暗礁区域………………5分∵ 12<所以，如果渔船不改变航线继续航行，有触礁危险.……………………………6分在BC 上取点E 使得12=ED ，连接AE ，ED . 在CED Rt ∆中，12=ED ，26=CD所以，222CD ED CE -=26=∴CE ……………………………8分在A C E Rt ∆中，222AC CE AE +=210=∴AE ……………………………9分所以，在A C E Rt ∆中，53sin ==∠AE CE EAC '3652EAC ︒∴∠= ……………………………11分因为该渔船到达点E 的时间224224===BE t 小时. 所以巡逻船速度2022210==≥t AE v 海里/小时. ………………………13分 所以，巡逻船要以北偏东''9036525308︒︒︒-=的航向和至少每小时20海里的速度前往拦截. ………………………14分 （注：没有取“=”扣1分）21.本题考察学生的阅读理解能力，解一元二次方程及求解二次函数最值的能力，蕴含了数形结合的思想. 满分14分．解：（I ）由题意知，{}3,22max --=-，......................................2分 所以方程变为 2228x x -=-+，化简为 2410x x --=...................3分解得 12x =或 22x =所以方程{}23,228max x x --=-+的解为2+或2分 （II ）(1)当2236x x x x +-≥-即32x ≥时， {}22236,36,y max x x x x x x =+--=+-...................................7分∵ 236=+-y x x 的对称轴为3,2x =-而32x ≥在对称轴32x =-的右侧，y ∴随着x 的增大而增大，32x ∴=时，y 取最小值，且最小值为2333()36224y =+⨯-=.................9分（2）当2236x x x x +-<-即32x <时，{}22236,,y m a x x x x x x x =+--=-.....................................11分∵ 2=-y x x 的对称轴为1,2x =而1322<， 12x ∴=时，y 取最小值，且最小值为2111()224y =-=-..................13分由（I ）（II ）得 函数{}2236,y max x x x x =+--的最小值为14-..........14分（注：若用数形结合作答的酌情给分.）22. 本题考查用待定系数法求函数解析式及一次函数和二次函数的性质，综合了等腰直角三角形、圆、矩形的性质及垂直平分线的判定，解题过程中利用了图象平移的性质，蕴含了化归及数形结合的数学思想．满分14分．解：（I ）由已知设)0(2)1(:21≠--=a x a y C 过)0,3(B ，........................1分则024=-a ，21=a ..........................2分 23212)1(21:221--=--=∴x x x y C ..........................3分抛物线1C 的对称轴方程为1=x ，由对称性可得)0,1(-A ....................4分（II ）法一：设直线)0(≠+=k b kx y l ：由已知得⎩⎨⎧=+-=+032b k b k ，解得3,1-==b k 3:-=∴x y l ................5分设直线l 交y 轴于)3,0(-D∵ =OB OD ，45=∠∴ODB由平移的性质可知BC PQ = ∵=PF BC ，22==∴PF PQ ∵⊥PF l ，PQF ∆∴为等腰直角三角形.ODB FQP ∠==∠∴ 45，4=QFy FQ //∴轴 ....................7分设)3,(-t t Q ，则)2321,(2--t t t F ，4|)3(2321|2=----=t t t FQ 解得1-=t 或5，则)0,1(-F 或)6,5( ....................9分 法二：连接FQ 并延长交x 轴于H ，连接AF∵ 22==BC AC ，4=AB∴ABC ∆为等腰直角三角形...............5分90=∠ACB ， 45=∠=∠BAC ABC∵ l FP ⊥ ∴90=∠FPQ ∴PF AC //∵ BC PF =∴AC PF =∴四边形ACPF 为矩形 ∴AF PC // ∴ 45=∠FAH由平移的性质可知BC PQ =∴PFQ ∆为等腰直角三角形， 45=∠FQP∴ 45=∠AFH ∴AFH ∆为等腰直角三角形..........................7分设)2321,(2--m m m F ，则FH AH =即2321)1(2--=--m m m 解得1-=m 或5，即)0,1(-F 或)6,5( ..............................9分（Ⅲ）连接QR AR MQ NQ ,,,由（II ）可知 90=∠=∠FPQ ACB ，)2,5(QPF AC //∴∵=AC PF∴四边形ACPF 为矩形90=∠∴MAN RQ MN AR ==∴21R ∴在AQ 的垂直平分线上，即R 的路径是线段....11分当点M 在C 处时，R 在AQ 的中点1R 处，当点M 在A 处时，R 在AN 上的点2R 处 ∵122190,∠=∠=∠ AR R AQC R AR ∵121sin ∠==R R AC NAQ CQ AR∵===AC CQ AQ 21021=∴R R 即R 的路径长度为210......................................14分。
福建省2017年中学考试数学试卷(含问题详解)
2017年福建省中考数学试题第Ⅰ卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．3的相反数是（ ） A ．-3 B ．13-C ．13D ．3 2．如图，由四个正方体组成的几何体的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．用科学计数法表示136 000，其结果是（ ）A ．60.13610⨯B ．51.3610⨯C ．313610⨯D ．613610⨯ 4．化简2(2)x 的结果是（ ）A ．4x B ．22x C ． 24x D ．4x 5．下列关于图形对称性的命题，正确的是（ ） A ．圆既是轴对称性图形，又是中心对称图形 B ．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C ．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形 D ．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形 6． 不等式组：⎩⎨⎧>+≤-0302x x 的解集是（ ）A ．32x -<≤B ．32x -≤<C ． 2x ≥D ．3x <-7．某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（ ）A ．10，15B ．13，15C ．13，20D ．15，158．如图，AB 是O e 的直径，,C D 是O e 上位于AB 异侧的两点．下列四个角中，一定与ACD ∠互余的角是（ ）A ．ADC ∠B ．ABD ∠C ． BAC ∠D ．BAD ∠9．若直线1y kx k =++经过点(,3)m n +和(1,21)m n +-，且02k <<，则n 的值可以是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．610．如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB 和点P 绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A B ''和点P '，则点P '所在的单位正方形区域是（ ）A ．1区B ．2区C ．3区D ．4区第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本题共６小题，每小题４分，共２４分．11．计算023--= ．12． 如图，ABC ∆中，,D E 分别是,AB AC 的中点，连线DE ，若3DE =，则线段BC 的长等于 ．13．一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是13，那么添加的球是 ． 14．已知,,A B C 是数轴上的三个点，且C 在B 的右侧．点,A B 表示的数分别是1，3，如图所示．若2BC AB =，则点C 表示的数是 ．15．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l 上，且有一个公共顶点O ，其摆放方式如图所示，则AOB ∠ 等于 度．16． 已知矩形ABCD 的四个顶点均在反比例函数1y x=的图象上，且点A 的横坐标是2，则矩形ABCD 的面积为 ．三、解答题 ：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17． 先化简，再求值：1)11(2-⋅-a aa ，其中12-=a ．18． 如图，点,,,B E C F 在一条直线上，,,AB DE AC DF BE CF ===．求证： A D ∠=∠．19．如图，ABC ∆中，90,BAC AD BC ∠=⊥o，垂足为D ．求作ABC ∠的平分线，分别交,AD AD 于P ，Q 两点；并证明AP AQ =．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)20．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解．21．如图，四边形ABCD 内接于O e ，AB 是O e 的直径，点P 在CA 的延长线上，45CAD ∠=o．（Ⅰ）若4AB =，求弧CD 的长；（Ⅱ）若弧BC =弧AD ，AD AP =，求证：PD 是O e 的切线．22．小明在某次作业中得到如下结果：2222sin 7sin 830.120.990.9945+≈+=o o ， 2222sin 22sin 680.370.93 1.0018+≈+=o o ， 2222sin 29sin 610.480.870.9873+≈+=o o ， 2222sin 37sin 530.600.80 1.0000+≈+=o o ， 222222sin 45sin 45()()122+≈+=o o ． 据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有22sin sin (90)1αα+-=o．（Ⅰ）当30α=o时，验证22sin sin (90)1αα+-=o是否成立；（Ⅱ）小明的猜想是否成立?若成立，若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．23．自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车．某运营商为提高其经营的A品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费．具体收费标准如下：使用次数0 1 2 3 4 5(含5次以上) 累计车费0 0.5 0.9 a b 1.5同时，就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车的意愿，得到如下数据：使用次数0 1 2 3 4 5人数 5 15 10 30 25 15（Ⅰ）写出,a b的值；（Ⅱ）已知该校有5000名师生，且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元．试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利? 说明理由．24．如图，矩形ABCD 中，6,8AB AD ==，,P E 分别是线段AC 、BC 上的点，且四边形PEFD 为矩形．（Ⅰ）若PCD ∆是等腰三角形时，求AP 的长； （Ⅱ）若2AP =，求CF 的长．25．已知直线m x y +=2与抛物线2Y ax ax b =++有一个公共点(1,0)M ，且a b <． （Ⅰ）求抛物线顶点Q 的坐标（用含a 的代数式表示）； （Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点； （Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N ．（ⅰ）若211-≤≤-a ，求线段MN 长度的取值范围； （ⅱ）求QMN ∆面积的最小值．。
福州一中2017年高中招生(面向福州以外地区)
福州一中2017年高中招生（面向福州以外地区）综合素质测试理科综合试卷（考试时间：50分钟 满分：50分）学校 姓名 准考证号一、选择题（共12小题，每小题2分，共24分，每小题仅有一个选项是正确的，请将正确答案用．．．．．．．2B ．．铅笔填涂在答题卡上．．．．．．．．．）1. 关于染色体、DNA 、基因三者关系的叙述中，正确的是（ ）A ．染色体存在于DNA 分子中B ．染色体数目和基因数目一样多C ．一个DNA 分子中含有一个基因D ．DNA 主要存在于染色体上2.下列有关人体消化系统的叙述中，正确的是（ ）A ．消化腺是由胃腺、肠腺和胰腺共同组成的B ．胃是消化食物和吸收营养物质的最主要部位C ．所有的消化腺都能分泌消化液D ．所有的消化液中都含有消化酶3. 右图是植物新陈代谢示意图，甲、乙、丙分别表示不同的生理活动，①②③代表相关的物质, 以下描述正确的是（ ）A. 播种前要松土，与乙所代表的生理活动有关B. 图中甲表示光合作用，①代表二氧化碳C. 根吸收的②绝大部分经甲过程蒸发到空气中D. 丙所代表的生理活动，能为植物体各项生命活动提供能量4．以下各项中，能正确表示一条食物链的是（ ）A ．阳光→草→兔→狼B ．昆虫→蜘蛛→青蛙→蛇C ．草→兔→狼→细菌D ．草→兔→狐5．常温下，下列溶液中，pH 最小的是 （ ）A ．pH 等于7的溶液B ．使无色酚酞溶液变红的溶液C ．使紫色石蕊溶液变红的溶液D ．使红色石蕊试纸变蓝的溶液6．右图表示的是纯净物、单质、化合物、含氧化合物、氧化物之间的包含与不包含关系，若整个大圆代表纯净物，则①③所属的类别是（ ）A ．① 单质、③ 氧化物B ．① 单质、③ 含氧化合物C ．① 氧化物、③化合物D ．①化合物、③ 含氧化合物7．下列说法正确的是（ ）A ．灼烧并闻气味一定能鉴别纯棉线和羊毛线B ．能与盐酸反应生成二氧化碳的钠盐一定是碳酸钠C ．酸碱中和反应生成盐和水，则生成盐和水的反应一定是中和反应D ．带火星的细木条伸入集气瓶中，木条不复燃，则集气瓶中一定不含氧气①② ③ ④8.某白色粉末可能含有CaCl2、Na2SO4、Ba(NO3)2、K2CO3中的一种或几种。
2017福州一中追梦计划招生数学答案
2017年福州一中面向福州七县、平潭综合实验区乡镇和农村地区（“追梦计划”）招生考试数学与逻辑参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．5210258+=⎧⎨+=⎩x yx y12．5<x13．333333212345621+++++=14．4+15．13<≤n三、解答题（本大题共7小题，满分90分）16. 本小题主要考查实数的运算、代数式的化简等基础知识，考查代数运算能力、化简能力，分类与整合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）原式=116-+……………………5分=8……………………………………6分（Ⅱ）原式222241--=÷--x x xxx x……………………………………8分()()222122--=⋅-+-x x xx xx x…………………………9分1=.2-+x……………………………………11分当12=-x时，原式23=-.……………………………12分17. 本小题主要考查圆的几何性质、等腰三角形的判定及性质等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力，考查演绎论证及度量计算的逻辑思想等．满分12分．证明：（Ⅰ）∵ 四边形ABED 为⊙O 的圆内接四边形∴ 180∠+∠=oB ADE ……………………………………2分 又 ∵ 180∠+∠=oCDE ADE∴ ∠=∠B CDE ……………………………………3分 ∵ =AB AC∴ ∠=∠B C ……………………………………4分 ∴ ∠=∠C CDE ……………………………………5分 ∴ ∆CDE 为等腰三角形……………………………………6分 （Ⅱ）法一：连接AE ，∵ ⊙O 的直径为AB∴ο90=∠AEB ∴BC AE ⊥...............................7分∵AC AB =∴421==BC CE .........................................8分 由(Ⅰ)知EDC C B ∠=∠=∠，C C ∠=∠ ∴ABC ∆∽EDC ∆ ∴ECAC DC BC =...........................................10分 ∴332=⋅=DC CE BC AC .................................11分∵AC AB =∴⊙O 的半径为16.3……………………………………12分 法二：连接AE ，过点E 作⊥EF CD ，垂足为F 由（Ⅰ）知∆CDE 是以CD 为底边的等腰三角形 ∴ 1322==CF CD ………………7分 ∵ ⊙O 的直径为AB90∴∠=oAEB ……………………8分 ∵ =AB AC4∴==BE CE …………………9分 ∵ ，∠=∠∠=∠B C AEB EFC∴ ∆EFC ∽∆AEB ，……………………………10分 ∴=FC CE BE AB……………………………………11分∴ 4432332⋅⨯===CE BE AB FC∴⊙O 的半径为16.3……………………………………12分 18.本题考察反比例函数图像及性质、一次函数解析式求解问题,及求平面四边形面积问题,涉及对称与割补思想方法.满分12分． 解：（Ⅰ）过点C 分别作CE AO ⊥于点E ， 设点(,)C m n ， ∵tan 2∠=COA 2,n m ∴=..................................1分 ∵//CB OA ,B y n ∴= ∵D 为AE 的中点，,2D ny ∴=..............................................2分 又,C D 在反比例函数图象上，,D D mn x y k ∴=⋅=2,D x m ∴= ..............................................4分∵2,=B x 1,m ∴= 2,n ∴=.............................................5分 2.k mn ∴==所以，反比例函数的解析式为2.=y x...........................................6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得(1,2),(2,1)C D ，法一：AOC ACD OCDA S S S ∆∆=+四边形......................9分 1152211222=⨯⨯+⨯⨯=..............12分法二：BCDOCDA OABC S S S ∆=-四边形四边形矩形∆∆=+-COE BCD ABCE S S S ...............9分115121211222=⨯⨯+⨯-⨯⨯=...........12分 19. 本小题主要考查三角形全等、相似的判定方法；特殊四边形的性质及判定等基础知识，考查识图、辩图、逻辑推理能力，考查几何直观等形象思维．满分12分．（Ⅰ）法一：证明：过P 作⊥PM AB 于M ，⊥PN BC 于N ，……………………1分 ∵ 四边形ABCD 是正方形， ∴ 90∠=oABC ， ∴ 四边形BMPN 是矩形，又 ∵ BD 是∠ABC 的角平分线，∴ =PM PN ……………………………………2分 ∴ 四边形BMPN 是正方形， ∴ 90∠=oMPN ， ∵ ⊥AP PE ， ∴ 90∠=o APE ，∴ ∠-∠=∠-∠APE MPE MPN MPE∴ ∠=∠APM EPN ……………………………………4分 在∆APM 和∆EPN 中，∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩AMP ENP PM PNAPM EPN ， ∴ ∆APM ≌∆EPN （ASA ），……………………………………5分 ∴ .=AP PE ……………………………………6分 法二：连AE ，由90ABC APE ︒∠=∠=，∴、B P 两点都在以AE 为直径的圆上，.....................2分∴ ∠=∠ABP AEP .....................3分 ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴45ABP ︒∠=，∴ 45∠=oAEP ，∴45EAP ︒∠=∴∠=∠EAP AEP ......................5分∴ .=AP PE ……………………………………6分 （Ⅱ）法一：∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴ 90∠=oBAD ， 又∵90∠=o PBM ， ∴ PM ∥AD ， ∴ ∆BPM ∽∆BDA ， ∴=PM BPAD BD ，……………………………………7分 同理，PN BPCD BD=，∴PM PNAD CD=， ∴ 63==42=PM AD PN CD ，……………………………………9分∵ 90∠=∠=oAMP ENP ，∠=∠MPA EPN ， ∴ ∆APM ∽.∆EPN ……………………………………10分 ∴=AP PMPE PN……………………………………11分 ∴ :3:2.=AP PE 为定值.…………………………………12分 法二：连AE ，由90ABC APE ︒∠=∠=，∴、B P 两点都在以AE 为直径的圆上，..................8分 ∴ABP AEP ∠=∠，......................9分tan tan ∴∠=∠ABP AEP∵ tan tan ，∠=∠=AP ADAEP ABP AE AB....................11分 ∴3.2==AP AD AE AB .....................12分 （或证明AEP ABD ∆∆∽）20. 本小题主要考查勾股定理、解直角三角形等基础知识，考查应用意识、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分14分．解：在ΔABD 中作DA B C ⊥于点C .…………………2分 在ABC Rt ∆中， 1645AB BAC ︒=∠=，，28==∴AC BC ……………………………………3分2628214=-=-=∴AC AD CD ………………………………4分依题意，以点D 为圆心，12海里为半径的圆形区域为暗礁区域………………5分 ∵ 6212<所以，如果渔船不改变航线继续航行，有触礁危险.……………………………6分 在BC 上取点E 使得12=ED ，连接AE ，ED . 在CED Rt ∆中，12=ED ，26=CD所以，222CD ED CE -=26=∴CE ……………………………8分在A C E Rt ∆中，222AC CE AE +=210=∴AE ……………………………9分所以，在A C E Rt ∆中，53sin ==∠AE CE EAC '3652EAC ︒∴∠= ……………………………11分因为该渔船到达点E 的时间224224===BE t 小时. 所以巡逻船速度2022210==≥t AE v 海里/小时. ………………………13分 所以，巡逻船要以北偏东''9036525308︒︒︒-=的航向和至少每小时20海里的速度前往拦截. ………………………14分 （注：没有取“=”扣1分）21.本题考察学生的阅读理解能力，解一元二次方程及求解二次函数最值的能力，蕴含了数形结合的思想. 满分14分．解：（I ）由题意知，{}3,22max --=-，......................................2分 所以方程变为 2228x x -=-+，化简为 2410x x --=...................3分解得 12x =或 22x =所以方程{}23,228max x x --=-+的解为2 或2.................5分 （II ）(1)当2236x x x x +-≥-即32x ≥时， {}22236,36,y max x x x x x x =+--=+-...................................7分 ∵ 236=+-y x x 的对称轴为3,2x =-而32x ≥在对称轴32x =-的右侧， y ∴随着x 的增大而增大，32x ∴=时，y 取最小值，且最小值为2333()36224y =+⨯-=.................9分 （2）当2236x x x x +-<-即32x <时，{}22236,,y max x x x x x x =+--=-.....................................11分∵ 2=-y x x 的对称轴为1,2x =而1322<， 12x ∴=时，y 取最小值，且最小值为2111()224y =-=-..................13分由（I ）（II ）得 函数{}2236,y max x x x x =+--的最小值为14-..........14分（注：若用数形结合作答的酌情给分.）22. 本题考查用待定系数法求函数解析式及一次函数和二次函数的性质，综合了等腰直角三角形、圆、矩形的性质及垂直平分线的判定，解题过程中利用了图象平移的性质，蕴含了化归及数形结合的数学思想．满分14分．解：（I ）由已知设)0(2)1(:21≠--=a x a y C 过)0,3(B ，........................1分则024=-a ，21=a ..........................2分 23212)1(21:221--=--=∴x x x y C ..........................3分抛物线1C 的对称轴方程为1=x ，由对称性可得)0,1(-A ....................4分（II ）法一：设直线)0(≠+=k b kx y l ：由已知得⎩⎨⎧=+-=+032b k b k ，解得3,1-==b k 3:-=∴x y l ................5分 设直线l 交y 轴于)3,0(-D ∵ =OB OD ，ο45=∠∴ODB 由平移的性质可知BC PQ = ∵=PF BC ，22==∴PF PQ ∵⊥PF l ，PQF ∆∴为等腰直角三角形.ODB FQP ∠==∠∴ο45，4=QFy FQ //∴轴 ....................7分设)3,(-t t Q ，则)2321,(2--t t t F ，4|)3(2321|2=----=t t t FQ 解得1-=t 或5，则)0,1(-F 或)6,5( ....................9分 法二：连接FQ 并延长交x 轴于H ，连接AF ∵ 22==BC AC ，4=AB∴ABC ∆为等腰直角三角形...............5分ο90=∠ACB ，ο45=∠=∠BAC ABC∵ l FP ⊥ ∴ο90=∠FPQ ∴PF AC // ∵ BC PF =∴AC PF =∴四边形ACPF 为矩形 ∴AF PC // ∴ο45=∠FAH由平移的性质可知BC PQ =∴PFQ ∆为等腰直角三角形，ο45=∠FQP∴ο45=∠AFH ∴AFH ∆为等腰直角三角形..........................7分设)2321,(2--m m m F ，则FH AH =即2321)1(2--=--m m m 解得1-=m 或5，即)0,1(-F 或)6,5( ..............................9分 （Ⅲ）连接QR AR MQ NQ ,,,由（II ）可知ο90=∠=∠FPQ ACB ，)2,5(QPF AC //∴∵=AC PF∴四边形ACPF 为矩形ο90=∠∴MANRQ MN AR ==∴21R ∴在AQ 的垂直平分线上，即R 的路径是线段....11分当点M 在C 处时，R 在AQ 的中点1R 处，当点M 在A 处时，R 在AN 上的点2R 处∵122190,∠=∠=∠oAR R AQC R AR∵121sin ∠==R R AC NAQ CQ AR ∵22,42,210===AC CQ AQ21021=∴R R 即R 的路径长度为210......................................14分。
福建省福州第一中学2017届高三上学期数学试题周练9
福州一中2016-2017学年高三理科数学周练（9）1．命题“00x ∃≤，使得200x ≥”的否定是（ ）A ．0x ∀≤，20x <B ．0x ∀≤，20x ≥C ．00x ∃>，200x > D ．00x ∃<，200x ≤ 2．若1tan 2α=，则44sin cos αα-的值为（ ） A ．15-B ．15C ．35D ．35-3．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若321510,9S a a a =+=，则1a =（ ） A ．19B ．19-C ．13D ．13-4．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A ．2014B ．2015C ．2016D ．2017 5．经过点（2，1），且渐近线与圆22(2)x y ＋－＝1相切的双曲线的标准方程为（ ）A ．22311111x y －＝ B ．2212x y －＝ C ．22311111y x －＝ D ．22311111y x －＝ 6．将除颜色外完全相同的一个白球、一个黄球、两个红球分给三个小朋友，且每个小朋友至少分得一个球的分法有（ ）种 A ．15B ．21C ．18D ．247．曲线13x y e =在点()26,e 处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A ．232e B ．23eC ．26eD ．29e8．如图是正三棱锥V ABC -的正视图、侧视图和俯视图，则其侧视图的面积是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．79．已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，且()1,0,3f παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则5cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．13B ．223±C ．223D ．223- 10．已知定义在R 上的奇函数()y f x =的图像关于直线1x =对称，当10x -≤<时，()()12l og f x x=--，则方程()102f x -=在（0，6）内的零点之和为（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．1611．若直线12:,:2l y x l y x ==+与圆22:220C x y mx ny +--=的四个交点把圆C 分成的四条弧长相等，则m =（ ） A ．0B ．0或1C ．0或1-D ．1或1-12．已知,,A B C 为ABC ∆的三个内角，向量m 满足｜m ｜＝62，且m ＝（2sin 2B C ＋，cos 2B C－），若A 最大时，动点P 使得｜PB uu r ｜、｜BC uu u r ｜、｜PC uu u r ｜成等差数列，则PA BCuu ruu u r 的最大值是（ ） A ．233 B ．223 C ．24D ．32413．已知单位向量12,e e 的夹角为60︒，则向量12+e e 与212-e e 的夹角为______．14．设数列{n a }满足：121,3a a ==，且()()11211n n n na n a n a -+=-++，则20a 的值是___________．15．已知正数x ，y 满足2x ＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是___________．,16．在正三棱锥V ABC -内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积最小时，其高等于__________．高三理科数学周练（9）答案卷班级_____________ 座号____________ 姓名______________________ 一．选择题: 题号 123456789101112答案 二．填空题:13.___________________ 14. ___________________15. ___________________ 16. ___________________ 三．解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2,223,2x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4sin 2cos .ρθθ=-（Ⅰ）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与y 轴的交点为P ，直线l 与曲线C 的交点为,A B ,求PA PB 的值.18．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对分别为,,a b c ．已知33,3a c b +==． （Ⅰ）求cos B 的最小值；（Ⅱ）若3BA BC ⋅=，求A 的大小．19.如图，在四棱锥中P ABCD -，底面ABCD 为边长为2的正方形，.PA BD ⊥ （Ⅰ）求证：;PB PD =（Ⅱ）若,E F 分别为,PC AB 的中点，EF 平面,PCD 求直线PB 与平面PCD 所成角的大小.20. 已知抛物线C ：)0(22>=p px y 过点)2,(m M ，其焦点为F ，且2||=MF . （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设E 为y 轴上异于原点的任意一点，过点E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线C 和圆F ：1)1(22=+-y x 相切，切点分别为B A ,，求证：直线AB 过定点.福州一中2016-1017学年高三理科数学周练9参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ADADABACDCCA二、填空题 13、23π 14、445 15、3 16、23三、解答题17. 解:（Ⅰ）30x y -+=,22(1)(2)5x y ++-=（Ⅱ）3 （第24套，第23题)18. (Ⅰ)13；(Ⅱ)2A π=或6A π=.（第21套，第17题) 19.解：（II ）6π（第24套，第19题)20. （Ⅰ）24y x = （第25套，第20题)。
2017-2018学年福建省福州一中初中部九年级(上)月考数学试卷(10月份)
2017-2018学年福建省福州一中初中部九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C． D．2．（4分）把二次函数y=x2﹣4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式是（）A．y=（x﹣2）2﹣1 B．y=（x+2）2﹣1 C．y=（x﹣2）2+7 D．y=（x+2）2+7 3．（4分）如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为（）A．70°B．90°C．110° D．120°4．（4分）⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定5．（4分）已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＞0，c＞0 B．a＜0，c＜0 C．a＜0，c＞0 D．a＞0，c＜06．（4分）将抛物线y=5x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（）A．y=5（x+2）2+3 B．y=5（x﹣2）2+3 C．y=5（x﹣2）2﹣3 D．y=5（x+2）2﹣37．（4分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD 的长为（）A．2 B．4 C．4 D．88．（4分）小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的半径为5cm，弧长是6πcm，那么这个的圆锥的高是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．2cm9．（4分）已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若抛物线y=x2﹣2x+d 与x轴有两个不同的交点，则点P（）A．在⊙O的内部B．在⊙O的外部C．在⊙O上D．无法确定10．（4分）小刚在实践课上要做一个如图1所示的折扇，折扇扇面的宽度AB是骨柄长OA的，折扇张开的角度为120°．小刚现要在如图2所示的矩形布料上剪下扇面，且扇面不能拼接，已知矩形布料长为24cm，宽为21cm．小刚经过画图、计算，在矩形布料上裁剪下了最大的扇面，若不计裁剪和粘贴时的损耗，此时扇面的宽度AB为（）A．21cm B．20 cm C．19cm D．18cm二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）一个正n边形的边长为a，面积为S，则它的边心距为．12．（4分）圆锥的母线长是3，底面半径是1，则这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为．13．（4分）已知：⊙O的半径为25cm，弦AB=40cm，弦CD=48cm，AB∥CD．求这两条平行弦AB，CD之间的距离．14．（4分）在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是．15．（4分）阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：尺规作图：过圆外一点作圆的切线．已知：P为⊙O外一点．求作：经过点P的⊙O的切线．小敏的作法如下：如图，（1）连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C；（2）以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；（3）作直线PA，PB．所以直线PA，PB就是所求作的切线．老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是．16．（4分）如图，E、F是正方形ABCD的边AD上有两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H，若正方形的边长为3，则线段DH长度的最小值是．三、解答题（共10小题，满分86分）17．（5分）计算或化简：①sin60°+2cos30°﹣tan45°；②•（﹣÷3）（a＞0，b＞0）．18．（5分）如图是一块圆形砂轮破碎后的部分残片，试找出它的圆心，并将它还原成一个圆．要求：①尺规作图：②保留作图痕迹（可不写作法）19．（6分）如图，⊙O的半径OB=5cm，AB是⊙O的弦，点C是AB延长线上一点，且∠OCA=30°，OC=8cm，求AB的长．20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，D为线段AC上一点，∠BDC=45°，DC=6，求AB的长．21．（8分）已知，如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的外接圆半径R，边心距γ6，面积S6．22．（8分）如图所示，一座圆弧形拱桥的跨度AB长为40米，桥离水面最大距离CD为10米，若有一条水面上宽度为30米，宽度为6米的船能否通过这座桥？请说明理由．23．（10分）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB 的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．（1）求AC、AD的长；（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．24．（10分）如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连接AD、BD、OC、OD，且OD=5．（1）若sin∠BAD=，求CD的长；（2）若∠ADO：∠EDO=4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留π）．25．（12分）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜4）．（1）当x=时，求弦PA、PB的长度；（2）当x为何值时，PD•CD的值最大？最大值是多少？26．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C 在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．2017-2018学年福建省福州一中初中部九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C． D．【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；B、是中心对称图形，符合题意；C、不是中心对称图形，不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（4分）把二次函数y=x2﹣4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式是（）A．y=（x﹣2）2﹣1 B．y=（x+2）2﹣1 C．y=（x﹣2）2+7 D．y=（x+2）2+7【分析】利用配方法将原式配方，即可得出顶点式的形式．【解答】解：y=x2﹣4x+3=x2﹣4x+4﹣1，=（x﹣2）2﹣1．故选：A．【点评】此题主要考查了配方法求二次函数顶点时形式，熟练地应用配方法这是中考中考查重点．3．（4分）如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为（）A．70°B．90°C．110° D．120°【分析】根据圆周角定理求得∠BOC=100°，进而根据三角形的外角的性质求得∠BDC=70°，然后根据邻补角求得∠ADC的度数．【解答】解：∵∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°，∵∠B=30°，∠BOC=∠B+∠BDC，∴∠BDC=∠BOC﹣∠B=100°﹣30°=70°，∴∠ADC=180°﹣∠BDC=110°，故选：C．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．4．（4分）⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定【分析】根据直线和园的位置关系可知，圆的半径小于直线到圆距离，则直线l 与O的位置关系是相离．【解答】解：∵⊙O的半径为5，圆心O到直线的距离为3，∴直线l与O的位置关系是相交．故选：A．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，直接根据直线和圆的位置关系解答即可．5．（4分）已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＞0，c＞0 B．a＜0，c＜0 C．a＜0，c＞0 D．a＞0，c＜0【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：由抛物线的开口向上知a＞0，与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0．故选：D．【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．6．（4分）将抛物线y=5x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（）A．y=5（x+2）2+3 B．y=5（x﹣2）2+3 C．y=5（x﹣2）2﹣3 D．y=5（x+2）2﹣3【分析】先确定抛物线y=5x2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y=5x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到对应点的坐标为（﹣2，3），所以新抛物线的表达式是y=5（x+2）2+3．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．7．（4分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD 的长为（）A．2 B．4 C．4 D．8【分析】根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE=DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE=OC=2，然后利用CD=2CE进行计算．【解答】解：∵∠A=22.5°，∴∠BOC=2∠A=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE=OC=2，∴CD=2CE=4．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．8．（4分）小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的半径为5cm，弧长是6πcm，那么这个的圆锥的高是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．2cm【分析】一只扇形的弧长是6πcm，则底面的半径即可求得，底面的半径，圆锥的高以及母线正好构成直角三角的三边，利用勾股定理即可求解．【解答】解：设圆锥的底面半径是r，则2πr=6π，解得：r=3，则圆锥的高是：=4cm．故选：A．【点评】本题主要考查圆锥侧面展开图的知识和圆锥侧面面积的计算．用到的知识点：圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径是圆锥的母线长．9．（4分）已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若抛物线y=x2﹣2x+d 与x轴有两个不同的交点，则点P（）A．在⊙O的内部B．在⊙O的外部C．在⊙O上D．无法确定【分析】根据△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点，可求出d的取值范围，再根据点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d=r ③点P在圆内⇔d＜r即可判断点P的位置．【解答】解：∵抛物线y=x2﹣2x+d与x轴有两个不同的交点，∴△=b2﹣4ac＞0，即d＜1，∵⊙O的半径为1，∴d＜r，∴点P在圆内．故选：A．【点评】本题考查了点与圆的位置关系以及抛物线与x轴的交点，是中考中常见题目．10．（4分）小刚在实践课上要做一个如图1所示的折扇，折扇扇面的宽度AB是骨柄长OA的，折扇张开的角度为120°．小刚现要在如图2所示的矩形布料上剪下扇面，且扇面不能拼接，已知矩形布料长为24cm，宽为21cm．小刚经过画图、计算，在矩形布料上裁剪下了最大的扇面，若不计裁剪和粘贴时的损耗，此时扇面的宽度AB为（）A．21cm B．20 cm C．19cm D．18cm【分析】根据题意得出在矩形布料上裁剪下了最大的扇面时对应位置关系，进而结合直角三角形的性质求出BO，AB的长．【解答】解：如图所示：由题意可得：当在矩形布料上裁剪下了最大的扇面，此时扇形与矩形的边长相切，切点为E，过点O作OF⊥CB，于点F，则∠ABC=∠OBF=30°，OF=BO，AC=AB，设FO=xcm，则BF=xcm，BO=2xcm，∵折扇扇面的宽度AB是骨柄长OA的，∴AB=6xcm，故AC=3xcm，BC=3xcm，故2×（x+3x）=24，解得：x=3，故AB=6x=18（cm），故选：D．【点评】此题主要考查了直角三角形的性质以及扇形面积，正确得出扇形与矩形的关系是解题关键．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）一个正n边形的边长为a，面积为S，则它的边心距为．【分析】设边心距为r，根据一个正n边形的边长为a，面积为S可知每个三角形的面积为，再由三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：设边心距为r，∵正n边形的边长为a，面积为S，∴每个三角形的面积为，∴=ar，解得r=．故答案为：．【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟记正多边形的定义是解答此题的关键．12．（4分）圆锥的母线长是3，底面半径是1，则这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为120°．【分析】圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π，设圆心角的度数是x度．则=2π，解得：x=120．故答案为120°．【点评】正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．13．（4分）已知：⊙O的半径为25cm，弦AB=40cm，弦CD=48cm，AB∥CD．求这两条平行弦AB，CD之间的距离8cm或22cm．【分析】分情况进行讨论，（1）如图，AB和CD再圆心的同侧，连接OB，OD，作OM⊥AB交CD于点N，由AB∥CD，即可推出ON⊥CD，则MN为AB，CD之间的距离，通过垂径定理和勾股定理即可推出OM和ON的长度，根据图形即可求出MN=OM﹣ON，通过计算即可求出MN的长度，（2）AB和CD在圆心两侧，连接OB，OD，做直线OM⊥AB交CD于点N，由AB∥CD，即可推出MN⊥CD，则MN为AB，CD之间的距离，通过垂径定理和勾股定理即可推出OM和ON的长度，根据图形即可求出MN=OM+ON，通过计算即可求出MN的长度．【解答】解：（1）如图1，连接OB，OD，做OM⊥AB交CD于点N，∵AB∥CD，∴ON⊥CD，∵AB=40cm，CD=48cm，∴BM=20cm，DN=24cm，∵⊙O的半径为25cm，∴OB=OD=25cm，∴OM=15cm，ON=7cm，∵MN=OM﹣ON，∴MN=8cm，（2）如图2，连接OB，OD，做直线OM⊥AB交CD于点N，∵AB∥CD，∴ON⊥CD，∵AB=40cm，CD=48cm，∴BM=20cm，DN=24cm，∵⊙O的半径为25cm，∴OB=OD=25cm，∴OM=15cm，ON=7cm，∵MN=OM+ON，∴MN=22cm．∴平行弦AB，CD之间的距离为8cm或22cm，故答案为：8cm或22cm．【点评】本题主要考查垂径定理和勾股定理的运用，平行线间的距离的定义，平行线的性质等知识点，关键在于根据题意分情况进行讨论，正确的做出图形，认真的做出辅助线构建直角三角形，熟练运用垂径定理和勾股定理推出OM和ON 的长度，利用数形结合的思想即可求出结果．14．（4分）在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是．【分析】过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．分别求出PD、DC，相加即可．【解答】解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．∵AB=2，∴AE=，PA=2，∴PE=1．∵点D在直线y=x上，∴∠AOC=45°，∵∠DCO=90°，∴∠ODC=45°，∴∠PDE=∠ODC=45°，∴∠DPE=∠PDE=45°，∴DE=PE=1，∴PD=．∵⊙P的圆心是（2，a），∴点D的横坐标为2，∴OC=2，∴DC=OC=2，∴a=PD+DC=2+．故答案为：2+．【点评】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．注意函数y=x与x轴的夹角是45°．15．（4分）阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：尺规作图：过圆外一点作圆的切线．已知：P为⊙O外一点．求作：经过点P的⊙O的切线．小敏的作法如下：如图，（1）连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C；（2）以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；（3）作直线PA，PB．所以直线PA，PB就是所求作的切线．老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是直径所对的圆周角是90°；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．【分析】分别利用圆周角定理以及切线的判定方法得出答案．【解答】解：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是：直径所对的圆周角是90°；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是：经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．故答案为：直径所对的圆周角是90°；经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．【点评】此题主要考查了切线的判定以及圆周角定理，正确把握切线的判定方法是解题关键．16．（4分）如图，E、F是正方形ABCD的边AD上有两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H，若正方形的边长为3，则线段DH长度的最小值是（﹣1）．【分析】根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．【解答】解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1=∠2，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，∴∠1+∠BAH=90°，∴∠AHB=180°﹣90°=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，则OH=AO=AB=，在Rt△AOD中，OD==，根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，最小值=OD﹣OH=（﹣1）．故答案为：（﹣1）．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出DH最小时点H的位置是解题关键，也是本题的难点．三、解答题（共10小题，满分86分）17．（5分）计算或化简：①sin60°+2cos30°﹣tan45°；②•（﹣÷3）（a＞0，b＞0）．【分析】①根据特殊角的三角函数值得到原式=×+2×﹣×1，然后进行乘法运算后合并即可；②根据二次根式的乘除法则运算．【解答】解：①原式=×+2×﹣×1=+﹣=；②原式=•（﹣）••=﹣a2b．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了特殊角的三角函数值．18．（5分）如图是一块圆形砂轮破碎后的部分残片，试找出它的圆心，并将它还原成一个圆．要求：①尺规作图：②保留作图痕迹（可不写作法）【分析】由垂径定理知，直径是弦的中垂线，不同的直径的交点是圆心，故作两弦垂直平分线，其交点就是圆心．【解答】解：在圆弧作两条弦AB，BF，分别作出AB，BF的中垂线，交于点O，以点O为圆心，OA的长为半径，则圆O是所求的圆．【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握垂径定理是解题关键．19．（6分）如图，⊙O的半径OB=5cm，AB是⊙O的弦，点C是AB延长线上一点，且∠OCA=30°，OC=8cm，求AB的长．【分析】首先过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，由在Rt△ODC中，∠OCA=30°，OC=8cm，可求得OD的长，由在Rt△OAD中，OA=5cm，即可求得AD的长，继而求得答案．【解答】解：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，∵在Rt△ODC中，∠OCA=30°，OC=8cm，∴OD=OC=4cm，∵在Rt△OAD中，OA=5cm，∴AD==3，∴AB=2AD=6．【点评】此题考查了垂径定理以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，D为线段AC上一点，∠BDC=45°，DC=6，求AB的长．【分析】由已知得△BDC为等腰直角三角形，所以CD=BC=6，又因为已知∠A的正弦值，即可求出AB的长．【解答】解：∵∠C=90°，∠BDC=45°∴BC=CD=6又∵sinA=，∴AB=6÷=15．【点评】此题考查解直角三角形问题，直角三角形知识的牢固掌握和三角函数的灵活运用．21．（8分）已知，如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的外接圆半径R，边心距γ6，面积S6．【分析】连接OA，OB，过点O作OG⊥AB于G，易得△AOB是等边三角形，继而可得正六边形的外接圆半径R，然后由勾股定理求得边心距，又由S正六边形=6S△ABC求得答案．【解答】解：连接OA，OB，过点O作OG⊥AB于G，∵∠AOB=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=6，即R=6，∵OA=OB=6，OG⊥AB，∴AG=AB=×6=3，∴在Rt△AOG中，r6=OG=cm，∴S6=×6×6×3=54cm2．【点评】此题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．22．（8分）如图所示，一座圆弧形拱桥的跨度AB长为40米，桥离水面最大距离CD为10米，若有一条水面上宽度为30米，宽度为6米的船能否通过这座桥？请说明理由．【分析】先恢复弧形桥所在的圆，求出圆的半径，再根据船的宽度求出可以通过的船的最高高度，就可以判断能否通过．【解答】解：如图，假设船能通过，弧形桥所在的圆恢复如图，在Rt△AOD中，r2=202+（r﹣10）2，解得r=25，∴OD=r﹣10=15，在Rt△OEG中，r2=152+OG2，解得OG=20，∴可以通过的船的高度为GD=OG﹣OD=20﹣15=5，∵6＞5，∴船不能通过．【点评】此题考查垂径定理问题，恢复弧形所在的圆，构造直角三角形利用勾股定理求出圆的直径是解题突破口，也是解题的关键．数学建模思想的应用．23．（10分）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB 的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．（1）求AC、AD的长；（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．【分析】（1）连接BD，利用直径所对的圆周角是直角得两个直角三角形，再由角平分线得：∠ACD=∠DCB=45°，由同弧所对的圆周角相等可知：△ADB是等腰直角三角形，利用勾股定理可以求出直角边AD=5，AC的长也是利用勾股定理列式求得；（2）连接半径OC，证明垂直即可；利用直角三角形中一直角边是斜边的一半得：这条直角边所对的锐角为30°，依次求得∠COB、∠CEP、∠PCE的度数，最后求得∠OCP=90°，结论得出．【解答】解：（1）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°'，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCB=45°，∴∠ABD=∠ACD=45°，∠DAB=∠DCB=45°，∴△ADB是等腰直角三角形，∵AB=10，∴AD=BD==5，在Rt△ACB中，AB=10，BC=5，∴AC==5，答：AC=5，AD=5；（2）直线PC与⊙O相切，理由是：连接OC，在Rt△ACB中，AB=10，BC=5，∴∠BAC=30°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，∴∠COB=60°，∵∠ACD=45°，∴∠OCD=45°﹣30°=15°，∴∠CEP=∠COB+∠OCD=15°+60°=75°，∵PC=PE，∴∠PCE=∠CEP=75°，∴∠OCP=∠OCD+∠ECP=15°+75°=90°，∴直线PC与⊙O相切．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交；重点是相切，本题是常考题型，在判断直线和圆的位置关系时，首先要看直线与圆有几个交点，根据交点的个数来确定其位置关系，在证明直线和圆相切时有两种方法：①有半径，证明垂直，②有垂直，证半径；本题属于第①种情况．24．（10分）如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连接AD、BD、OC、OD，且OD=5．（1）若sin∠BAD=，求CD的长；（2）若∠ADO：∠EDO=4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留π）．【分析】（1）首先根据锐角三角函数求得直角三角形ABC的两条直角边，再根据面积计算其斜边上的高，进一步根据垂径定理计算弦长；（2）根据直角三角形的两个锐角互余结合已知条件求得扇形所对的圆心角，进一步求其面积．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，OD=5，∴∠ADB=90°，AB=10，在Rt△ABD中，sin∠BAD=，sin∠BAD=，∴，BD=6，∴AD==8，∵∠ADB=90°，AB⊥CD，∴DE•AB=AD•BD，CE=DE，∴DE×10=8×6，∴DE=∴CD=2DE=；（2）∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴，∴∠BAD=∠CDB，∠AOC=∠AOD，∵AO=DO，∴∠BAD=∠ADO，∴∠CDB=∠ADO，设∠ADO=4x，则∠CDB=4x．由∠ADO：∠EDO=4：1，则∠EDO=x．∵∠ADO+∠EDB+∠EDO=90°，∴4x+4x+x=90°，解得：x=10°，∴∠AOD=180°﹣（∠OAD+∠ADO）=100°，∴∠AOC=∠AOD=100°，∴S=．扇形OAC【点评】本题为圆的综合题，综合考查了解直角三角形、三角函数、阴影部分面积等相关知识．25．（12分）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜4）．（1）当x=时，求弦PA、PB的长度；（2）当x为何值时，PD•CD的值最大？最大值是多少？【分析】（1）由直线l与圆相切于点A，且AB为圆的直径，根据切线的性质得到AB垂直于直线l，又PC垂直于直线l，根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到AB与PC平行，根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△PCA与△PAB相似，由相似得比例，将PC及直径AB的长代入求出PA的长，在直角三角形PAB中，由AB及PA的长，利用勾股定理即可求出PB的长；（2）过O作OE垂直于PD，与PD交于点E，由垂径定理得到E为PD的中点，再由三个角为直角的四边形为矩形得到OACE为矩形，根据矩形的对边相等，可得出EC=OA=2，用PC﹣EC的长表示出PE，根据PD=2PE表示出PD，再由PC﹣PD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到关于x的二次函数，配方后根据自变量x的范围，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值．【解答】解：（1）∵⊙O与直线l相切于点A，且AB为⊙O的直径，∴AB⊥l，又∵PC⊥l，∴AB∥PC，∴∠CPA=∠PAB，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=90°，又PC⊥l，∴∠PCA=∠APB=90°，∴△PCA∽△APB，∴=，即PA2=PC•AB，∵PC=，AB=4，∴PA==，∴Rt△APB中，AB=4，PA=，由勾股定理得：PB==；（2）过O作OE⊥PD，垂足为E，∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，∴PE=ED，又∵∠CEO=∠ECA=∠OAC=90°，∴四边形OACE为矩形，∴CE=OA=2，又PC=x，∴PE=ED=PC﹣CE=x﹣2，∴PD=2（x﹣2），∴CD=PC﹣PD=x﹣2（x﹣2）=x﹣2x+4=4﹣x，∴PD•CD=2（x﹣2）•（4﹣x）=﹣2x2+12x﹣16=﹣2（x﹣3）2+2，∵2＜x＜4，∴当x=3时，PD•CD的值最大，最大值是2．【点评】此题考查了切线的性质，平行线的性质，矩形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．26．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C 在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．【分析】方法一：（1）当k=1时，联立抛物线与直线的解析式，解方程求得点A、B的坐标；（2）如答图2，作辅助线，求出△ABP面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最大值及点P的坐标；（3）“存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°”的含义是，以OC为直径的圆与直线AB 相切于点Q，由圆周角定理可知，此时∠OQC=90°且点Q为唯一．以此为基础，构造相似三角形，利用比例式列出方程，求得k的值．需要另外注意一点是考虑直线AB是否与抛物线交于C点，此时亦存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°．方法二：（1）联立直线与抛物线方程求出点A，B坐标．（2）利用面积公式求出P点坐标．（3）列出定点O坐标，用参数表示C，Q点坐标，利用黄金法则二求出k的值．【解答】方法一：解：（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2﹣1，直线解析式为y=x+1．联立两个解析式，得：x2﹣1=x+1，解得：x=﹣1或x=2，当x=﹣1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，∴A（﹣1，0），B（2，3）．（2）设P（x，x2﹣1）．如答图2所示，过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1）．∴PF=y F﹣y P=（x+1）﹣（x2﹣1）=﹣x2+x+2．S△ABP=S△PFA+S△PFB=PF（x F﹣x A）+PF（x B﹣x F）=PF（x B﹣x A）=PF∴S△ABP=（﹣x2+x+2）=﹣（x﹣）2+当x=时，y P=x2﹣1=﹣．∴△ABP面积最大值为，此时点P坐标为（，﹣）．（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，则E（﹣，0），F（0，1），OE=，OF=1．在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF==．令y=x2+（k﹣1）x﹣k=0，即（x+k）（x﹣1）=0，解得：x=﹣k或x=1．∴C（﹣k，0），OC=k．Ⅰ、假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，如答图3所示，则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时∠OQC=90°．设点N为OC中点，连接NQ，则NQ⊥EF，NQ=CN=ON=．∴EN=OE﹣ON=﹣．∵∠NEQ=∠FEO，∠EQN=∠EOF=90°，∴△EQN∽△EOF，∴，即：，解得：k=±，∵k＞0，∴k=．∴存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，此时k=．Ⅱ、若直线AB过点C时，此时直线与圆的交点只有另一点Q点，故亦存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，将C（﹣k，0）代入y=kx+1中，可得k=1，k=﹣1（舍去），故存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，此时k=1．综上所述，k=或1时，存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°．方法二：（1）略．（2）过点P作x轴垂线，叫直线AB于F，设P（t，t2﹣1），则F（t，t+1）。
福建省福州一中2017-2018学年高三下学期期初数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年福建省福州一中高三（下）期初数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，+∞）2．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则|a+2i|等于（）A．2 B．2C．4 D．83．（1+2x）3（1﹣x）4展开式中x项的系数为（）A．10 B．﹣10 C．2 D．﹣24．《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈．问日益几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月（按30天计）共织390尺．问：每天多织多少布？”已知1匹=4丈，1丈=10尺，估算出每天多织的布的布约有（）A．0.55尺B．0.53尺C．0.52尺D．0.5尺5．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？6．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．7．函数是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数8．设双曲线的一条渐近线为y=﹣2x，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．9．函数f（x）=（x2﹣2x）e x的图象大致是（）A．B． C．D．10．若正方体ABCD﹣A1B1C1D1中心O，以O为球心的球O与正方体的所有棱均相切，以向量为正视图的视图方向，那么该正视图为如图（）A．B．C． D．11．设a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C所对的边，则a2=c（b+c）是A=2C成立的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件12．已知定义在（0，+∞）上的连续函数y=f（x）满足：xf′（x）﹣f（x）=xe x且f（1）=﹣3，f（2）=0．则函数y=f（x）（）A．有极小值，无极大值B．有极大值，无极小值C．既有极小值又有极大值 D．既无极小值又无极大值二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．P为圆锥曲线上一点，F1、F2分别为左、右焦点，|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则该圆锥曲线的离心率e=．14．在平面区域{（x，y）|y≤﹣x2+2x，且y≥0}内任意取一点P，则所取的点P恰是平面区域{（x，y）|y≤x，x+y≤2，且y≥0}内的点的概率为．15．已知点O为△ABC的外心，且，则=．16．已知等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=∠B=60°，等腰梯形ABCD外接圆的半径为1，则这个梯形面积S的取值范围．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等比数列{a n}的首项a1、公比q，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，且{b n}为递增数列．若，求数列{c n}的前n项和T n．18．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．22（下面的（参考公式：，n=n1++n2++n+1+n+2）19．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．20．已知F1、F2是椭圆在左、右焦点，直线AB经过F2交椭圆于A、B两点（A点在x轴上方），连结AF1、BF1．（1）求椭圆的焦点坐标和△ABF1周长；（2）求△ABF1面积的最大值（用λ表示）．21．已知函数f（x）=lnx+1．（1）①证明：当x＞0时，f（x）≤x（当且仅当x=1时取得等号）；②当n≥2，n∈N*时，证明：；（2）设，若g（x）≥0对x＞0恒成立，求实数a的取值范围．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题目记分．作答时，请写清题号.22．如图，A、B、C、D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．（Ⅰ）证明：CD∥AB；（Ⅱ）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A、B、G、F四点共圆．23．选修4﹣4：极坐标与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线，与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值．24．设函数f（x）=|x+m|．（1）若不等式f（1）+f（﹣2）≥5成立，求实数m的取值范围；（2）当x≠0时，证明：f（）+f（﹣x）≥2．20145-2016学年福建省福州一中高三（下）期初数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据题意，结合分式与对数函数的定义域，可得，解可得答案．【解答】解：根据题意，使f（x）=+lg（1+x）有意义，应满足，解可得（﹣1，1）∪（1，+∞）；故选：C．2．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则|a+2i|等于（）A．2 B．2C．4 D．8【考点】复数求模；复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【分析】先将z计算化简成代数形式，根据纯虚数的概念求出a，再代入|a+2i|计算即可．【解答】解：z==．根据纯虚数的概念得出∴a=2．∴|a+2i|=|2+2i|==2故选B．3．（1+2x）3（1﹣x）4展开式中x项的系数为（）A．10 B．﹣10 C．2 D．﹣2【考点】二项式系数的性质．【分析】分别展开（1+2x）3=1+++…，（1﹣x）4=++…，即可得出．【解答】解：∵（1+2x）3=1+++…，（1﹣x）4=++…，∴（1+2x）3（1﹣x）4展开式中x项的系数为+2=2，故选：C．4．《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈．问日益几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月（按30天计）共织390尺．问：每天多织多少布？”已知1匹=4丈，1丈=10尺，估算出每天多织的布的布约有（）A．0.55尺B．0.53尺C．0.52尺D．0.5尺【考点】等差数列的前n项和．【分析】设每天多织d尺，由题意a1=5，{a n}是等差数列，公差为d，前30项和为390，由此利用等差数列前n项和公式能求出结果．【解答】解：设每天多织d尺，由题意a1=5，{a n}是等差数列，公差为d∴，解得d≈0.55．故选：A．5．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前1 1/第一圈2 4 是第二圈3 11 是第三圈4 26 是第四圈5 57 否故退出循环的条件应为k＞4故答案选A．6．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n==6，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m==4，由此能求出取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率．【解答】解：4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n==6，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m==4，∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为=．故选：C．7．函数是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】将函数化为y=Asin（ωx+φ）或Acos（ωx+φ）的形式，结合三角函数的图象和性质判断即可．【解答】解：令f（x）=，化简得：f（x）=﹣cos（x﹣+）cos（x+）=﹣cos2（x+）=﹣（cos（2x+）=﹣cos（2x+）=sin2x最小正周期T=．f（﹣x）=sin（﹣2x）=﹣sin2x=﹣f（x）∴函数f（x）=sin2x是奇函数．故选A．8．设双曲线的一条渐近线为y=﹣2x，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点，可得双曲线的焦点位置，设双曲线的方程为﹣=1（n＞0，m＜0），求出渐近线方程，可得n=﹣4m，n﹣m=1，解方程即可得到所求双曲线的方程．【解答】解：抛物线的焦点为（0，1），则双曲线的焦点在y轴上，双曲线的方程为﹣=1（n＞0，m＜0）则渐近线方程为y=±x，由题意可得=2，即n=﹣4m，又n﹣m=1，解得m=﹣，n=，则双曲线的方程为y2﹣5x2=1．故选：D．9．函数f（x）=（x2﹣2x）e x的图象大致是（）A．B． C．D．【考点】函数的图象与图象变化．【分析】本题是选择题，可采用排除法进行逐一排除，根据f（0）=0可知图象经过原点，以及根据导函数大于0时原函数单调递增，求出单调增区间，从而可以进行判定．【解答】解：因为f（0）=（02﹣2×0）e0=0，排除C；因为f'（x）=（x2﹣2）e x，解f'（x）＞0，所以或时f（x）单调递增，排除B，D．故选A．10．若正方体ABCD﹣A1B1C1D1中心O，以O为球心的球O与正方体的所有棱均相切，以向量为正视图的视图方向，那么该正视图为如图（）A．B．C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据以O为球心的球O与正方体的所有棱均相切，以向量为正视图的视图方向，即可得出结论．【解答】解：根据以O为球心的球O与正方体的所有棱均相切，以向量为正视图的视图方向，可得正视图为正方形及其内切圆、外接圆，故选：C．11．设a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C所对的边，则a2=c（b+c）是A=2C成立的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先利用正弦定理把题设等式中的边的问题转化成角的正弦，利用二倍角公式化简整理求得sin（A+C）sin（A﹣C）=sinCsin（A+C），进而推断出sin（A﹣C）=sinC．求得A=2C，运用充分必要条件的定义判断．【解答】解：由正弦定理可知，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a2=c（b+c）中，得sin2A=sinC（sinB+sinC）∴sin2A﹣sin2C=sinBsinC∴﹣=sinCsin（A+C）∴（cos2C﹣cos2A）=sinCsin（A+C）∴sin（A+C）sin（A﹣C）=sinCsin（A+C），因为A、B、C为三角形的三内角，所以sin（A+C）≠0．所以sin（A﹣C）=sinC．所以只能有A﹣C=C，即A=2C．∵A=2C．∴逆推可得a2=c（b+c）根据充分必要条件的定义判断：a2=c（b+c）是A=2C的充分必要条件．故选：A．12．已知定义在（0，+∞）上的连续函数y=f（x）满足：xf′（x）﹣f（x）=xe x且f（1）=﹣3，f（2）=0．则函数y=f（x）（）A．有极小值，无极大值B．有极大值，无极小值C．既有极小值又有极大值 D．既无极小值又无极大值【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由题意可得在（0，+∞）上是增函数，从而可得f′（x）在（0，+∞）上是增函数，从而解得．【解答】解：∵==＞0，∴在（0，+∞）上是增函数，∵xf′（x）﹣f（x）=xe x，∴f′（x）=+e x，∵y=e x在（0，+∞）上是增函数，∴f′（x）在（0，+∞）上是增函数，又∵f′（1）=﹣3+e＜0，f′（2）=0+e2＞0，故f′（x）在（0，+∞）上先负值，后正值；故函数y=f（x）有极小值，无极大值，故选A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．P为圆锥曲线上一点，F1、F2分别为左、右焦点，|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则该圆锥曲线的离心率e=或．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，不妨设|PF1|=4m，|F1F2|=3m，|PF2|=2m，再进行分类讨论，确定曲线的类型，从而求出曲线r的离心率．【解答】解：根据|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，不妨设|PF1|=4m，|F1F2|=3m，|PF2|=2m，∴|PF1|+|PF2|=6m＞|F1F2|=3m，此时曲线为椭圆，且曲线r的离心率等于；|PF1|﹣|PF2|=2m＜|F1F2|=3m，此时曲线为双曲线，且曲线r的离心率等于，∴该圆锥曲线的离心率e=或．故答案为：或．14．在平面区域{（x，y）|y≤﹣x2+2x，且y≥0}内任意取一点P，则所取的点P恰是平面区域{（x，y）|y≤x，x+y≤2，且y≥0}内的点的概率为．【考点】几何概型；定积分在求面积中的应用；二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】根据题意，设平面区域{（x，y）|y≤﹣x2+2x，且y≥0}为区域M，平面区域{（x，y）|y≤x，x+y≤2，且y≥0}为区域A，由积分可得区域M的面积，区域A为三角形，计算可得A的面积，由几何概型公式，计算可得答案．【解答】解：设平面区域{（x，y）|y≤﹣x2+2x，且y≥0}为区域M，平面区域{（x，y）|y≤x，x+y≤2，且y≥0}为区域A，对于区域M，函数y=﹣x2+2x与x轴的交点为（0，0）与（2，0），则区域M的面积为∫02（﹣x2+2x）dx=（﹣x3+x2）|02=，区域A的面积为×2×1=1；则点P恰是平面区域A内的点的概率为=；故答案为．15．已知点O为△ABC的外心，且，则=6．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据点O为△ABC的外心，且，所以==得到答案．【解答】解：∵点O为△ABC的外心，且，∴==||||cos＜，＞﹣||||cos＜，＞===6故答案为：616．已知等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=∠B=60°，等腰梯形ABCD外接圆的半径为1，则这个梯形面积S的取值范围（0，] ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意：等腰梯形ABCD外接圆的半径为1，∠A=∠B=60°，利用正弦定理可知，等腰梯形ABCD在圆内的对角线为定值，设对角线与底边的夹角为θ（0＜θ＜60°），建立关系，化简，利用三角函数的有界限即可求梯形面积S的取值范围．【解答】解：如图：等腰梯形ABCD外接圆的半径为1，∠B=60°，利用正弦定理可知，，等腰梯形ABCD对角线AC=．设AC与底边的夹角为α（0＜α＜60°），过C点作CF垂直AB，交于AB于F，则AF=cosα，CF=sinα，BF=sinα，DC=cosα﹣sinα，梯形面积S=（AB+DC）×CF=（cosα+sinα+cosα﹣sinα）×sinα，=3cosαsinα，=sin2α，∵0＜α＜60°，∴0＜2α＜120°，当2α=90°时，梯形面积最大值为．所以这个梯形面积S的取值范围是（0，]．故答案为（0，]三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等比数列{a n}的首项a1、公比q，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，且{b n}为递增数列．若，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）根据等比数列的通项公式和前n项和公式求得首项a1、公比q，然后数列{a n}的通项公式；注意需要分类讨论；（2）利用（1）中求得的数列{a n}的通项公式推知数列{b n}的通项公式，然后根据拆项法推知数列{c n}的通项公式，则易求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）因为等比数列{a n}的首项a1、公比q，且，所以①当q=1时，a n=；②当q≠1时，，解得，则a n=6×（﹣）n﹣1．综上所述，a n=；（2）因为，且{b n }为递增数列，所以a n =6×（﹣）n ﹣1． 所以a 2n +1=6×（）n ． 所以=2n ，则=（﹣）．所以T n =（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=．18．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．22（下面的（参考公式：，n=n 1++n 2++n +1+n +2）【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图． 【分析】（Ⅰ）利用已知条件直接列出联列表；（Ⅱ）利用独立检验公式求出k ，然后推出对歌曲名称与否和年龄有关判断． 22（Ⅱ）有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关．…19．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【分析】（1）证明线面垂直可以利用面面垂直进行证明，即若两个平面垂直并且其中一个平面内的一条直线a与两个平面的交线操作时则直线a与另一个平面垂直，即可证明线面垂直．（2）建立空间坐标系，根据坐标表示出两个平面的法向量，结合向量的有关运算求出二面角的余弦的表达式，再利用函数的有关知识求出余弦的范围．【解答】解：（I）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，∴AB=2∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°=3∴AB2=AC2+BC2∴BC⊥AC∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC⊂平面ABCD∴BC⊥平面ACFE（II）由（I）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示空间直角坐标系，令，则，B（0，1，0），M（λ，0，1）∴设为平面MAB的一个法向量，由得取x=1，则，∵是平面FCB的一个法向量∴∵∴当λ=0时，cosθ有最小值，当时，cosθ有最大值．∴．20．已知F1、F2是椭圆在左、右焦点，直线AB经过F2交椭圆于A、B两点（A点在x轴上方），连结AF1、BF1．（1）求椭圆的焦点坐标和△ABF1周长；（2）求△ABF1面积的最大值（用λ表示）．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）利用c=，可得焦点．由椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，即可得出．（2）设直线AB的方程为：my=x﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆方程联立化为：（λm2+λ+1）y2+2λmy﹣λ2=0，利用根与系数的关系可得|y1﹣y2|=．可得△ABF1面积S=|y1﹣y2|，化简利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）由椭圆，可得c==1，可得焦点（±1，0）．由椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=2．∴△ABF1周长=4．（2）设直线AB的方程为：my=x﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（λm2+λ+1）y2+2λmy﹣λ2=0，△＞0，y1+y2=，y1y2=．∴|y1﹣y2|==．∴△ABF1面积S=|y1﹣y2|==≤=．当且仅当m=0时取等号．∴△ABF1面积的最大值为．21．已知函数f（x）=lnx+1．（1）①证明：当x＞0时，f（x）≤x（当且仅当x=1时取得等号）；②当n≥2，n∈N*时，证明：；（2）设，若g（x）≥0对x＞0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）①先构造函数m（x）=lnx+1﹣x，然后求导，根据导数符号即可求出函数m （x）的最大值为0，即得到m（x）≤0，从而证得f（x）≤x；②由①可知，ln（x﹣1）≤x﹣2，令x﹣1=t，则lnt≤t﹣1，再用赋值法，取t=n2，则lnn2≤n2﹣1，即lnn≤，由此即可证明结论成立；（2）根据x＞0，ax+（a﹣1）•﹣lnx﹣1≥0便可解得a≥，而根据上面知lnx+1≤x恒成立，从而便可求得的最大值，进而即可得出实数a的取值范围．【解答】（1）证明：①构造函数m（x）=f（x）﹣x=lnx+1﹣x，m′（x）=﹣1==0（x＞0）得x=1；当x∈（0，1）时，m'（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，m'（x）＜0；∴[m（x）]max=m（1）=0；∴m（x）≤0；∴f（x）≤x；（当且仅当x=1时取得等号）；②由①可知，ln（x﹣1）≤x﹣2，x＞1，令x﹣1=t，则lnt≤t﹣1，t＞0，取t=n2，则lnn2≤n2﹣1，即lnn≤，故≤，n∈N*，n≥2∴≤++…+=（2）解：若g（x）≥0对x＞0恒成立等价于a≥对x＞0恒成立；记G（x）=，问题等价于a≥G（x）max；由（1）知lnx+1≤x（当且仅当x=1时取得等号）；∴G（x）=≤=1（当且仅当x=1时取得等号）；故G（x）max=1，所以a≥1；∴实数a的取值范围为[1，+∞）．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题目记分．作答时，请写清题号.22．如图，A、B、C、D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．（Ⅰ）证明：CD∥AB；（Ⅱ）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A、B、G、F四点共圆．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【分析】（I）根据两条边相等，得到等腰三角形的两个底角相等，根据四点共圆，得到四边形的一个外角等于不相邻的一个内角，高考等量代换得到两个角相等，根据根据同位角相等两直线平行，得到结论．（II）根据第一问做出的边和角之间的关系，得到两个三角形全等，根据全等三角形的对应角相等，根据平行的性质定理，等量代换，得到四边形的一对对角相等，得到四点共圆．【解答】解：（I）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA故∠ECD=∠EBA，所以CD∥AB（Ⅱ）由（I）知，AE=BE，因为EF=EG，故∠EFD=∠EGC从而∠FED=∠GEC连接AF，BG，△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE又CD∥AB，∠FAB=∠GBA，所以∠AFG+∠GBA=180°故A，B．G，F四点共圆23．选修4﹣4：极坐标与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线，与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】（Ⅰ）把C1、把C2的方程化为直角坐标方程，根据因为曲线C1关于曲线C2对称，可得直线y=a经过圆心（1，1），求得a=1，故C2的直角坐标方程．（Ⅱ）由题意可得，；φ；；=2cos（+φ），再根据|OA|•|OC|+|OB|•|OD|=8sin（φ+）sinφ+8cos（+φ）cosφ=8cos，计算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）C1：即ρ2=2ρ（sinθ+cosθ）=2ρsinθ+2ρcosθ，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，因为曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心（1，1），解得a=1，故C2的直角坐标方程为y=1．（Ⅱ）由题意可得，；φ；；=2cos（+φ），∴|OA|•|OC|+|OB|•|OD|=8sin（φ+）sinφ+8cos（+φ）cosφ=8cos[（+φ）﹣φ]=8×=4．24．设函数f（x）=|x+m|．（1）若不等式f（1）+f（﹣2）≥5成立，求实数m的取值范围；（2）当x≠0时，证明：f（）+f（﹣x）≥2．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）由f（1）+f（﹣2）≥5得|m+1|+|m﹣2|≥5，然后分三种情况去绝对值号得出不等式解出；（2）使用绝对值不等式消去m，利用基本不等式证明．【解答】解：（1）∵f（1）+f（﹣2）≥5，∴|m+1|+|m﹣2|≥5，∴，或，或，解得m≤﹣2，或m≥3．∴m的取值范围是（﹣∞，2]∪[3，+∞）．（2）当x≠0时，f（）+f（﹣x）=|+m|+|﹣x+m|≥|+m+x﹣m|=|x+|=|x|+||≥2．当且仅当x=±1时取“=“．∴f（）+f（﹣x）≥2．2016年12月5日。
【福州一中】2016-2017年高三第二学期模拟文科数学试卷-答案
x x 2 ，而 f (x) 的极值点，∴ f (2) 4 a b 0 ，
2 又∵1 是函数 f (x) 的零点，∴ f (1) 1 b 0 .
联立
4
a 2
b
室外工作
室内工作
合计
有呼吸系统疾病
150
200
350
无呼吸系统疾病
50
100
150
合计
200300ຫໍສະໝຸດ 500（Ⅱ）观察值 K 2 500 (150100 200 50)2 3.968 3.841. 350150 200 300
∴有 95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关.
所以曲线 C1 的直角坐标方程为： y2 4x .
（Ⅱ）设 Q(cos ,sin )( [ π , π]) ，易知直线 C 的斜率 k 3 ， 22
所以 kOQ
3 ，即 sin
3
cos
tan
3 ，所以 π ，故 Q(
3
6
3 ,1) . 22
取 x0
1/5
∴ P( A) 2 .答：2 人都有呼吸系统疾病的概率为 2 ．
5
5
19．解：（Ⅰ）取线段 CD 的中点 Q，
连接 KQ，直线 KQ 即为所求.
证明如下：
取 EC 中点 G，连接 FG，连接 AC 交 BD 于 O.
则 OG 为 △EAC 的中位线.
∴ OG∥1 EA ，∵ FD∥1 EA ，∴ OG∥FD ，
（Ⅲ）采用分层抽样抽取 6 名，有呼吸系统疾病的抽取 4 人，记为 A，B，C，D，无呼吸系统疾病的抽取 2
2017年福建省中考数学试卷含答案
2017年福建省中考数学试卷含答案福建省2017年初中毕业和高中阶段学校招生考试数学试卷第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.3的相反数是()A. 3B. 1C.1/33D.32.如图,由四个正方体组成的几何体的左视图是()3.用科学计数法表示136 000,其结果是()A.0.136×106B.1.36×105C.136×103D.136×1064.化简(2x)2的结果是()A.x4B.2x2C.4x2D.4x5.下列关于图形对称性的命题,正确的是()A.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形B.正三角形既是轴对称图形,又是中心对称图形C.线段是轴对称图形,但不是中心对称图形D.菱形是中心对称图形,但不是轴对称图形6.不等式组x2≤0。
的解集是()x3＞A.3＜x≤2B.3≤x＜2C.x≥2D.x＜-37.某校举行“汉字听写比赛”,5个班级代表队的正确答题数如图.这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是()A.10,15B.13,15C.13,20D.15,158.如图,AB是O的直径,C,D是O上位于AB异侧的两点.下列四个角中,一定与∠ACD互余的角是()A.∠ADCBB.∠ABDC.∠BACD.∠BAD删除无效段落）福建省2017年初中毕业和高中阶段学校招生考试数学试卷第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.求3的相反数。
A. 3B. 1C.1/33D.32.如图，由四个正方体组成的几何体的左视图是哪个？图片无法显示，无法改写）3.用科学计数法表示136 000.A.0.136×106B.1.36×105C.136×103D.136×1064.化简(2x)2.A.x4B.2x2C.4x2D.4x5.下列关于图形对称性的命题，正确的是哪个？A.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形B.正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C.线段是轴对称图形，但不是中心对称图形D.菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形6.求不等式组的解集。
2016-2017学年福建省福州一中高三(上)开学数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年福建省福州一中高三（上）开学数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合M＝{x|﹣1＜x＜1}，N＝{x|x2＜2，x∈Z}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N＝{0}D．M∪N＝N 2．（5分）复数z＝的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．+i D．﹣i3．（5分）已知cos（﹣θ）＝，则sin（）的值是（）A．﹣B．﹣C．D．4．（5分）已知随机变量x服从正态分布N（3，σ2），且P（x≤4）＝0.84，则P（2＜x＜4）＝（）A．0.84B．0.68C．0.32D．0.165．（5分）等差数列{a n}的公差d＜0且a12＝a132，则数列{a n}的前n项和S n有最大值，当S n取得最大值时的项数n是（）A．6B．7C．5或6D．6或76．（5分）使（x2+）n（n∈N）展开式中含有常数项的n的最小值是（）A．3B．4C．5D．67．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）0＜φ＜）的图象的一个对称中心为（，0），则函数f（x）的单调递减区间是（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）8．（5分）已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R．AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，则球O的表面积为（）A．πB．πC．πD．π9．（5分）函数y＝2016x﹣sin x的图象大致是（）A．B．C．D．10．（5分）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．4+6πB．8+6πC．4+12πD．8+12π11．（5分）已知点O为坐标原点，点M在双曲线C：x2﹣y2＝λ（λ为正常数）上，过点M 作双曲线C的某一条渐近线的垂线，垂足为N，则|ON|•|MN|的值为（）A．B．C．λD．无法确定12．（5分）已知实数a，b，c，d满足＝＝1，其中e是自然对数的底数，则（a ﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．4B．8C．12D．18二、填空题13．（5分）曲线f（x）＝+3x在点（1，f（1））处的切线方程为．14．（5分）已知平面向量与的夹角为，＝（1，），|﹣2|＝2．则||＝．15．（5分）不等式组的解集为D，若（a，b）∈D，则z＝2a﹣3b的最小值是．16．（5分）设函数f（x）定义域为R，f（﹣x）＝f（x），f（x）＝f（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x3，则函数g（x）＝|cos（πx）|﹣f（x）在区间[﹣，]上的所有零点的和为．三、解答题17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知＝，sin A＝．（Ⅰ）求sin C的值；（II）设D为AC的中点，若△ABC的面积为8，求BD的长．18．（12分）有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如表：假设汽车A只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发（将频率视为概率）．（I）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径；（Ⅱ）若通过公路l、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元（其他费用忽略不计），此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到；每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，生产商将支付给销售商2万元．如果汽车A，B按（I）中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB＝60°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若P A＝PD＝AD，且平面P AD⊥平面ABCD，求平面P AF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．20．（12分）已知点F（1，0），点A是直线l1：x＝﹣1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若点M，N是直线l1上两个不同的点，且△PMN的内切圆方程为x2+y2＝1，直线PF的斜率为k，求的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣ae x﹣e2x（a∈R，e是自然对数的底数）．（Ⅰ）若f（x）≤0对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若方程x﹣ae x＝0有两个不同的实数解x1，x2，求证：x1+x2＞2．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）选做题：几何证明选讲如图，ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，延长CF交AB于E．（1）求证：E是AB的中点；（2）求线段BF的长．[选修4-4：坐标系于参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l过点M（3，4），其倾斜角为45°，圆C的参数方程为．再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xoy有相同的长度单位．（1）求圆C的极坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B，求|MA|•|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）＝|x﹣a|+|2x﹣a|，a＜0．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若不等式f（x）＜的解集非空，求a的取值范围．2016-2017学年福建省福州一中高三（上）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．【解答】解：N＝{x|x2＜2，x∈Z}＝{﹣1，0，1}，故M∩N＝{0}，故选：C．2．【解答】解：z＝＝＝1+i，复数z＝的共轭复数是1﹣i．故选：B．3．【解答】解：cos（﹣θ）＝sin[﹣（﹣θ）]＝sin（）＝，故选：C．4．【解答】解：∵P（x≤4）＝0.84，∴P（x＞4）＝1﹣0.84＝0.16∴P（x＜2）＝P（x＞4）＝0.16，∴P（2＜x＜4）＝P（x≤4）﹣P（x＜2）＝0.84﹣0.16＝0.68故选：B．5．【解答】解：等差数列{a n}中，公差d＜0，且，∴a1＝﹣a13＞0，即a1+a13＝0，又a1+a13＝2a7＝0；∴数列{a n}的前6或7项最大．故选：D．6．【解答】解：（x2+）n（n∈N）展开式的通项公式为T r+1＝••x2n﹣5r，令2n﹣5r＝0，求得2n＝5r，可得含有常数项的n的最小值是5，故选：C．7．【解答】解：由题意可得sin（2×+φ）＝0，故2×+φ＝kπ，解得φ＝kπ﹣，k∈Z，由0＜φ＜可得φ＝，∴f（x）＝sin（2x+），由2kπ+≤2x+≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，∴函数f（x）的单凋递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．故选：D．8．【解答】解：在△ABC中，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴BC＝＝2，由正弦定理可得平面ABC截球所得圆的半径（即△ABC的外接圆半径），r＝＝2，又∵球心到平面ABC的距离d＝R，∴球O的半径R＝，∴R2＝故球O的表面积S＝4πR2＝π，故选：D．9．【解答】解：∵y＝2016x﹣sin x，∴y′＝2016x ln2016﹣cos x，当x≥0时，y′＞0；故函数y＝2016x﹣sin x在[0，+∞）上是增函数，故排除A，B；y′＝2016x ln2016﹣cos x在[﹣1，0]上单调递增，且在[﹣1，0]上先负后正，故y＝2016x﹣sin x在[﹣1，0]上有极小值，而在[﹣1，0]上，y＝2016x﹣sin x＞0恒成立；故排除D；故选：C．10．【解答】解：根据三视图知几何体是组合体，下面是半个圆柱、上面是一个以圆柱轴截面为底的四棱锥，圆柱的底面半径为2，母线长为3；四棱锥的高是2，底面是边长为4、3的矩形，∴该几何体的体积V＝＝6π+8，故选：B．11．【解答】解：设M（m，n），即有m2﹣n2＝λ，双曲线的渐近线为y＝±x，可得|MN|＝，由勾股定理可得|ON|＝＝＝，可得|ON|•|MN|＝•＝＝．故选：B．12．【解答】解：∵实数a，b，c，d满足＝＝1，∴b＝a﹣2e a，d＝2﹣c，∴点（a，b）在曲线y＝x﹣2e x上，点（c，d）在曲线y＝2﹣x上，（a﹣c）2+（b﹣d）2的几何意义就是曲线y＝x﹣2e x到曲线y＝2﹣x上点的距离最小值的平方．考查曲线y＝x﹣2e x上和直线y＝2﹣x平行的切线，∵y′＝1﹣2e x，求出y＝x﹣2e x上和直线y＝2﹣x平行的切线方程，∴令y′＝1﹣2e x＝﹣1，解得x＝0，∴切点为（0，﹣2），该切点到直线y＝2﹣x的距离d＝＝2就是所要求的两曲线间的最小距离，故（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为d2＝8．故选：B．二、填空题13．【解答】解：函数的导数f′（x）＝﹣+3，则f′（1）＝﹣2+3＝1，即切线斜率k＝1，∵f（1）＝2+3＝5，∴切点坐标为（1，5），则切线方程为y﹣5＝x﹣1，即y＝x+4，故答案为：y＝x+414．【解答】解：||＝2，＝||||cos＝||，∵|﹣2|＝2，∴（）2＝，即4||2﹣4||+4＝12，解得||＝2．故答案为：2．15．【解答】解：由题意作平面区域如下，，结合图象可知，当a＝﹣2，b＝0，即过点A时，z＝2a﹣3b有最小值为﹣4，故答案为：﹣4．16．【解答】解：∵f（x）＝f（2﹣x），∴f（x）关于x＝1对称，∵f（﹣x）＝f（x），∴f（x）关于x＝0对称，∵f（x）＝f（2﹣x）＝f（x﹣2），∴f（x）＝f（x+2），∴f（x）是以2为周期的函数，∴f（x）在[﹣，]上共有3条对称轴，分别为x＝0，x＝1，x＝2，又y＝|cos（πx）关于x＝0，x＝1，x＝2对称，∴x＝0，x＝1，x＝2为g（x）的对称轴．作出y＝|cos（πx）|和y＝x3在[0，1]上的函数图象如图所示：由图象可知g（x）在（0，）和（，1）上各有1个零点，且x＝1为g（x）的一个零点．∴g（x）在[﹣，]上共有7个零点，设这6个零点从小到大依次为x1，x2，x3， (x7)则x1，x2关于x＝0对称，x3，x5关于x＝1对称，x6，x7关于x＝2对称，x4＝1．∴x1+x2＝0，x3+x5＝2，x6+x7＝4，∴x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7＝7．故答案为：7．三、解答题17．【解答】解：在△ABC中，∵＝，∴c•b•cos A＝c•a•cos B，即b•cos A＝a•cos B，sin B•cos A＝sin A•cos B，sin（A﹣B）＝0，∴A＝B，∵sin A＝．∴sin C＝sin（π﹣2A）＝sin（2A）＝2sin A cos A＝2××＝．（2）设AC＝BC＝m，∵△ABC的面积为8，∴×＝，m＝3，cos C＝，根据余弦定理得出：BD2＝m2×＝m2＝BD＝．18．【解答】（I）频率分布表，如下：设A1，A2分别表示汽车A在约定日期（某月某日）的前11天出发选择公路1，2将货物运往城市乙；B1，B2分别表示汽车B在约定日期（某月某日）的前12天出发选择公路1，2将货物运往城市乙．∵P（A1）＝0.2+0.4＝0.6，P（A2）＝0.1+0.4＝0.5，∴汽车A选择公路1，∵P（B1）＝0.2+0.4+0.2＝0.8，P（B2）＝0.1+0.4+0.4＝0.9，∴汽车A选择公路2；（II）设X表示汽车A选择公路1，销售商支付给生产商的费用，则X＝42，40，38，36 X的分布列如下：∴E（X）＝42×0.2+40×0.4+38×0.2+36×0.2＝39.2∴汽车A选择公路1时的毛利润为39.2﹣3.2＝36.0（万元）设Y为汽车B选择公路2时的毛利润，则Y＝42.4，40.4，38.4，36.4分布列如下∴E（Y）＝42.4×0.1+40.4×0.4+38.4×0.4+36.4×0.1＝39.4∵36.0＜39.4，∴汽车B为生产商获得毛利润更大．19．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）因为底面ABCD是菱形，所以AB∥CD．又因为AB⊄面PCD，CD⊂面PCD，所以AB∥面PCD．又因为A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD＝EF，所以AB∥EF．…（5分）解：（Ⅱ）取AD中点G，连接PG，GB．因为P A＝PD，所以PG⊥AD．又因为平面P AD⊥平面ABCD，且平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以PG⊥平面ABCD．所以PG⊥GB．在菱形ABCD中，因为AB＝AD，∠DAB＝60°，G是AD中点，所以AD⊥GB．如图，以G为原点，GA为x轴，GB为y轴，GP为z轴，建立空间直角坐标系G﹣xyz．设P A＝PD＝AD＝2a，则G（0，0，0），A（a，0，0），．又因为AB∥EF，点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点．所以，．所以，．设平面AFE的法向量为n＝（x，y，z），则有所以令x＝3，则平面AFE的一个法向量为．因为BG⊥平面P AD，所以是平面P AF的一个法向量．因为，所以平面P AF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值为．…（13分）20．【解答】解：（Ⅰ）∵点F（1，0），点A是直线l1：x＝﹣1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P，∴点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l1的距离，∴点P的轨迹是以点F为焦点，直线l1：x＝﹣1为准线的抛物线，∴曲线C的方程为y2＝4x．（Ⅱ）设P（x0，y0），点M（﹣1，m），点N（﹣1，n），直线PM的方程为：y﹣m＝（x+1），化简，得（y0﹣m）x﹣（x0+1）y+（y0﹣m）+m（x0+1）＝0，∵△PMN的内切圆的方程为x2+y2＝1，∴圆心（0，0）到直线PM的距离为1，即＝1，∴＝，由题意得x0＞0，∴上式化简，得（x0﹣1）m2+2y0m﹣（x0+1）＝0，同理，有，∴m，n是关于t的方程（x 0﹣1）t2+2y t﹣（x0+1）＝0的两根，∴m+n＝，mn＝，∴|MN|＝|m﹣n|＝＝，∵，|y 0|＝2，∴|MN|＝＝2，直线PF的斜率，则k＝||＝，∴＝＝，∵函数y＝x﹣在（1，+∞）上单调递增，∴，∴，∴0＜＜．∴的取值范围是（0，）．21．【解答】（Ⅰ）解：若f（x）≤0对任意x∈R恒成立可化为x﹣ae x≤e2x对x∈R恒成立，故a≥对x∈R恒成立，令F（x）＝，则F′（x）＝；则当x＜0时，F′（x）＜0，x＞0时，F′（x）＞0；故F（x）＝在x＝0处有最大值F（0）＝﹣1；故a≥﹣1；（Ⅱ）证明：∵若方程x﹣ae x＝0有两个不同的实数解x1，x2，结合（1）可知，﹣lna﹣ae﹣lna＞0，解得，0＜a＜；则x1＝ae x1，x2＝ae x2；则a＝的两个不同根为x1，x2，令g（x）＝，则g′（x）＝，知g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；又∵当x∈（﹣∞，0]时，g（x）≤0，故不妨设x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；对于任意a1，a2∈（0，），设a1＞a2，若g（m1）＝g（m2）＝a1，g（n1）＝g（n2）＝a2，其中0＜m1＜1＜m2，0＜n1＜1＜n2，∵g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；又∵g（m1）＞g（n1），g（m2）＞g（n2）；∴m1＞n1，m2＜n2；∴＜；故随着a的减小而增大，令＝t，x1＝ae x1，x2＝ae x2，可化为x2﹣x1＝lnt；t＞1；则x1＝，x2＝；则x2+x1＝，令h（t）＝，则可证明h（t）在（1，+∞）上单调递增；故x2+x1随着t的增大而增大，即x2+x1随着的增大而增大，故x2+x1随着a的减小而增大，而当a＝时，x2+x1＝2；故x2+x1＞2．[选修4-1：几何证明选讲]22．【解答】（1）证明：连接DF，DO，则∠CDO＝∠FDO，因为BC是的切线，且CF是圆D的弦，所以，即∠CDO＝∠BCE，故Rt△CDO≌Rt△BCE，所以．…（5分）所以E是AB的中点．（2）解：连接BF，∵∠BEF＝∠CEB，∠ABC＝∠EFB∴△FEB∽△BEC，得，∵ABCD是边长为a的正方形，所以．…（10分）[选修4-4：坐标系于参数方程]23．【解答】解：（1）消去参数可得圆的直角坐标方程式为x2+（y﹣2）2＝4，由极坐标与直角坐标互化公式得（ρcosθ）2+（ρsinθ﹣2）2＝4化简得ρ＝4sinθ，（2）直线l的参数方程，（t为参数）．即代入圆方程得：+9＝0，设A、B对应的参数分别为t 1、t2，则，t1t2＝9，于是|MA|•|MB|＝|t1|•|t2|＝|t1t2|＝9．[选修4-5：不等式选讲]24．【解答】解：（Ⅰ），函数的图象为；从图中可知，函数f（x）的最小值为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数f（x）的最小值为，要使不等式的解集非空，必须﹣＜，即a＞﹣1．∴a的取值范围是（﹣1，0）．。
2017福州一中追梦计划招生数学卷
2017年福州一中面向福州七县、平潭综合实验区乡镇和农村地区（“追梦计划”）招生考试数学与逻辑试卷（满分：150分 考试时间：120分钟）学 校： 姓 名： 准考证号： 注意：请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡上．．．．．．．的相应位置． 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．)1.下列运算正确的是（ ）A ．22423+=a a a B ．2242-=a a a C ．22422⋅=a a a D ．2222÷=a a a 2.下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）清华大学 北京大学 浙江大学 中国人民大学3.代数式3231212x x x -+分解因式，结果正确的是（ ）A ．23(44)-+x x xB ．23(4)x x -C ．3(2)(2)x x x +-D ．23(2)x x -4．下列命题错误．．的个数是（ ） ① 经过三个点一定可以作一个圆；② 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；③ 对角线相等的四边形是矩形；④ 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形.A ．1B ．2C ．3D ．4 5.无论x 取何值时，点)2,(2x x x P +-不可能．．．在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6.如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4:5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为（ ）A ．288B ．144C ．216D ．120A . B. C. D.7.在某次训练中，甲、乙两名射击运动员各射击10发子弹的成绩统计图如图所示，对于本次训练，有如下结论：①2甲s ＞2乙s ；②2甲s ＜2乙s ；③甲的射击成绩比乙稳定；④乙的射击成绩比甲稳定，由统计图可知正确的结论是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④8.2017年5月14日，福州一中将喜迎建校两百周年华诞，当天正好是星期日，以当天作为第1天开始算起，则第366天是（ ） A ．星期六 B ．星期日 C ．星期一 D ．星期二9.如图，A 、B 是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在格点中任意放置点C ，恰好能使△ABC 的面积为1的概率是（ ）A .625 B .15C .425D .725 10．已知关于x 的不等式组0243(2)-⎧>⎪⎨⎪-<-⎩x m x x 的解集为1x >，且使关于x 的方程1322x m x x -+=--有非负整数解，则符合条件的实数m 的取值之和为（ ） A. 8- B ．7- C ．2- D ．0二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共 20分．请将正确答案填在答题卡相应位置)11. 《九章算术》是我国传统数学最重要的著作，奠定了我国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就． 《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x 两，每只羊值金y 两，可列方程组为 ．M BA 12.若函数=-y kx b 的图象如图所示，则关于x 的不等式(3)0k x b -->的解集为 ．13.观察下列等式：332123+=，33321236++=，333321+2+3+410=，…，根据上述规律，第五个等式为________________．14. 如图，AB 是⊙O 的直径，8=AB ，点M 在⊙O 上，45∠=MAB ，N 是劣弧MB 的三等分点（靠近点B ），P 是直径AB 上的一动点，则∆PMN 周长的最小值为______________．15.定义二次函数的图象与直线x y =交点的横坐标为二次函数的不动点.已知二次函数 ()21324=+-+-y x mn x mn 有唯一不动点，若3-≤m 且0<mn ，则n 的取值范围是 .三、解答题(本大题共7小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．（本小题满分12分）（Ⅰ）计算：()()30201713.1416302π-⎛⎫--+⨯︒+ ⎪⎝⎭cos ； （Ⅱ）先化简，再求值：222311-⎛⎫÷-- ⎪--⎝⎭x x x x x x ，其中1.2=-x17. （本小题满分12分）如图，已知三角形ABC ，=AB AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于D 、E 两点，连接.ED（Ⅰ）求证：∆CDE 为等腰三角形；（Ⅱ）若3=CD ，8=BC ，求⊙O 的半径．18. （本小题满分12分）如图，四边形OABC ，顶点,B C 在第一象限，顶点A 在x 轴的正半轴上,//,CB OA BA x ⊥轴，点B 的横坐标为2，tan 2,COA ∠=D 为AB 的中点，反比例函数k y x=的图象经过,C D 两点.（Ⅰ）求反比例函数的解析式；（Ⅱ）求四边形OCDA 的面积.19.（本小题满分12分） 已知四边形ABCD ，点E 在边BC 上，P 为对角线BD 上的动点，满足⊥AP PE . （Ⅰ）当四边形ABCD 为正方形时（如图1），求证：=PA PE ；（Ⅱ）当四边形ABCD 为矩形，且6=AD ，4=CD 时（如图2），试探究:AP PE 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.20. （本小题满分14分）如图，海中有一小岛D ，它周围12海里内有暗礁.一艘巡逻船在D 岛海域例行巡逻，某时刻航行至A 处时，测得其东北方向与它相距16海里的B 处有一渔船，且D 岛位于巡逻船正东214海里处.观测中发现，此渔船正以每小时4海里的速度沿正南方向航行.如果渔船不改变航线继续前行，有没有触礁危险？请通过计算加以说明.如果有危险，巡逻船的速度至少为多少时，才能将该渔船拦截在暗礁区域之外，并确定此时巡逻船的航向.（参考数据：sin 3652'0.6︒≈，sin 5308'0.8︒≈）21.（本小题满分14分）对于两个实数,a b ，我们规定{},max a b 表示,a b 中的较大值，当a b ≥时，{},max ab a =；当a b <时，{},max a b b =，例如：{}1,33max =. （Ⅰ）求方程{}23,228max x x --=-+的实数解；（Ⅱ）求函数{}2236,y max x x x x =+--的最小值.22.（本小题满分14分）如图，已知抛物线1C 的顶点坐标为)2,1(-C ，抛物线1C 与x 轴交于、A B 两点，其中()3,0B .直线l 经过、B C 两点，连接AC .（Ⅰ）求点A 的坐标及抛物线1C 的解析式；（Ⅱ）将抛物线1C 平移，并保持抛物线的顶点在直线l 上，当B 、C 两点分别平移到点P 、Q 处时，过点P 作直线l 的垂线交抛物线1C 于点F ，此时恰有BC PF =，求点F 的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，取在x 轴上方的点F ，连接AF ，设M 、N 分别为线段AC 、AF 上的动点，以MN 为直径的⊙R 经过点Q ，当点M 从C 运动到A 时，试求圆心R 经过的路径长.。
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2017年福州一中面向福州七县、平潭综合实验区乡镇
和农村地区（“追梦计划”）招生考试
数学与逻辑试卷
（满分：150分 考试时间：120分钟）
学 校： 姓 名： 准考证号： 注意：请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡上．．．．．．．
的相应位置． 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．)
1.下列运算正确的是（ ）
A ．
22423+=a a a B ．2242-=a a a C ．22422⋅=a a a D ．22
22÷=a a a 2.下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
清华大学 北京大学 浙江大学 中国人民大学
3.代数式3231212x x x -+分解因式，结果正确的是（ ）
A ．23(44)-+x x x
B ．23(4)x x -
C ．3(2)(2)x x x +-
D ．23(2)x x -
4．下列命题错误．．
的个数是（ ） ① 经过三个点一定可以作一个圆；
② 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；
③ 对角线相等的四边形是矩形；
④ 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 5.无论x 取何值时，点)2,(2x x x P +-不可能．．．
在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
6.如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4:5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为（ ）
A ．288
B ．144
C ．216
D ．120
A . B. C. D.
7.在某次训练中，甲、乙两名射击运动员各射击10发子弹的成绩统计图如图所示，对于本次训练，有如下结论：①2甲s ＞2乙s ；②2甲s ＜2
乙s ；③甲的射击成绩比乙稳定；④乙的射击成绩比甲稳定，由统计图可知正确的结论是（ ）
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
8.2017年5月14日，福州一中将喜迎建校两百周年华诞，当天正好是星期日，以当天作为第1天开始算起，则第366天是（ ） A ．星期六 B ．星期日 C ．星期一 D ．星期二
9.如图，A 、B 是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在格点中任意放置点C ，恰好能使△ABC 的面积为1的概率是（ ）
A . 625
B .15
C .425
D .725 10．已知关于x 的不等式组0243(2)
-⎧>⎪⎨⎪-<-⎩x m x x 的解集为1x >，且使关于x 的方程
1322
x m x x -+=--有非负整数解，则符合条件的实数m 的取值之和为（ ） A. 8- B ．7- C ．2- D ．0
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共 20分．请将正确答案填在答题卡相应位置)
11. 《九章算术》是我国传统数学最重要的著作，奠定了我国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就． 《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”
译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”
设每头牛值金x 两，每只羊值金y 两，可列方程组为 ．
O N P M B
A 12.若函数=-y kx b 的图象如图所示，则关于x 的不等式(3)0k x b -->的解集为 ．
13.观察下列等式：332123+=，33321236++=，333321+2+3+410=，…，根据上述规律，第五个等式为________________．
14. 如图，AB 是⊙O 的直径，8=AB ，点M 在⊙O 上，45∠=MAB ，N 是劣弧MB 的三等分点（靠近点B ），
P 是直径AB 上的一动点，则∆PMN 周长的最小值为______________．
15.定义二次函数的图象与直线x y =交点的横坐标为二次函数的不动点.已知二次函数 ()21324
=+-+-y x mn x mn 有唯一不动点，若3-≤m 且0<mn ，则n 的取值范围是 .
三、解答题(本大题共7小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．（本小题满分12分） （Ⅰ）计算：()()3
0201713.142716302π-⎛⎫--+⨯︒+ ⎪⎝⎭cos ； （Ⅱ）先化简，再求值：222311-⎛⎫÷-- ⎪--⎝⎭x x x x x x ，其中1.2=-x
17. （本小题满分12分）
如图，已知三角形ABC ，=AB AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于D 、E 两点，连接.ED
（Ⅰ）求证：∆CDE 为等腰三角形；
（Ⅱ）若3=CD ，8=BC ，求⊙O 的半径．
18. （本小题满分12分）
如图，四边形OABC ，顶点,B C 在第一象限，顶点A 在x 轴的正半轴上,//,CB OA BA x ⊥轴，点B 的横坐标为2，tan 2,COA ∠=D 为AB 的中点，反比例函数k y x
=的图象经过,C D 两点.
（Ⅰ）求反比例函数的解析式；
（Ⅱ）求四边形OCDA 的面积.
19.（本小题满分12分） 已知四边形ABCD ，点E 在边BC 上，P 为对角线BD 上的动点，满足⊥AP PE . （Ⅰ）当四边形ABCD 为正方形时（如图1），求证：=PA PE ；
（Ⅱ）当四边形ABCD 为矩形，且6=AD ，4=CD 时（如图2），试探究:AP PE 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
20. （本小题满分14分）
如图，海中有一小岛D ，它周围12海里内有暗礁.一艘巡逻船在D 岛海域例行巡逻，某时刻航行至A 处时，测得其东北方向与它相距16海里的B 处有一渔船，且D 岛位于巡逻船正东214海里处.观测中发现，此渔船正以每小时4海里的速度沿正南方向航行.如果渔船不改变航线继续前行，有没有触礁危险？请通过计算加以说明.如果有危险，巡逻船的速度至少为多少时，才能将该渔船拦截在暗礁区域之外，并确定此时巡逻船的航向. （参考数据：sin 3652'0.6︒≈，sin5308'0.8︒
≈）
21.（本小题满分14分）
对于两个实数,a b ，我们规定{},max a b 表示,a b 中的较大值，当a b ≥时，{},max a b a =；当a b <时，{},max a b b =，例如：{}1,33max =.
（Ⅰ）求方程{}23,228max x x --=-+的实数解；
（Ⅱ）求函数{}2236,y max x x x x =+--的最小值.
22.（本小题满分14分）
如图，已知抛物线1C 的顶点坐标为)2,1(-C ，抛物线1C 与x 轴交于、A B 两点，其中()3,0B .直线l 经过、B C 两点，连接AC .
（Ⅰ）求点A 的坐标及抛物线1C 的解析式；
（Ⅱ）将抛物线1C 平移，并保持抛物线的顶点在直线l 上，当B 、C 两点分别平移到点P 、
Q 处时，过点P 作直线l 的垂线交抛物线1C 于点F ，此时恰有BC PF =，求点F 的坐标；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，取在x 轴上方的点F ，连接AF ，设M 、N 分别为线段AC 、AF 上的动点，以MN 为直径的⊙R 经过点Q ，当点M 从C 运动到A 时，试求圆心R 经过的路径长.
备用图。