2017福州一中追梦计划招生数学卷
2017年福州一中面向福州七县、平潭综合实验区乡镇和农村地
2017 年福州一中面向福州七县、平潭综合实验区乡镇和农村地区（ “追梦计划” ）招生考试试卷 阅读与表达（满分 120 分，考试时间 120 分钟）学 校姓 名准考证号（本试卷共 18 题。
第１题 6 分；第 2-8 题，每题 3 分；第 9-16 题，每题 4 分；第 17 题 6 分；第 18 题 55 分。
共 120 分。
答案应全部填涂或填写在答题卡 的 相应位置 。
）矚慫润 ．．．．．．．．．．．．．． ． ．．．．厲钐瘗睞枥。
1．根据要求填空（每空 1 分，共 6 分） （1）在李白《行路难（其一） 》中， “______________，_______________”体现出诗人对 从政仍有所期待。
聞創沟燴鐺險爱氇。
（2）中国古典诗词常将“秋”与“愁”联系起来，刘禹锡却在《秋词》中一反悲秋传统，“_____________，_________骛楼諍锩瀨濟溆。
_”描绘出一幅壮丽开阔的秋日图景，抒发豪迈之情。
残（3）白居易《钱塘湖春行》中以“几处早莺争暖树，__________”表现了鸟儿迎春的喜悦；韩愈《早春呈水部张十八员外（其一） 》以“ _________，草色遥看近却无”描绘了春雨的 滋润与小草初出的模样。
酽锕极額閉镇桧猪。
2．下列加点字的注音和字形全都正确 的一项是（ ．． A．撺 掇（cuān) ．砖。
） （3 分） 心无旁鹜 （wù）彈贸摄尔霁毙攬 ．颦 蹙（pín） ．嗔 怒（chēn） ．B．枘 凿（nà） ． C．骊 歌（lí） ．谮 害（zèn） ． 姿睢 （suī） ．菡萏 （yàn） ． 花圃 （bǔ） ． 1 / 12深恶 痛疾（wù） ． 浩瀚无垠 （yín）謀荞抟箧飆鐸 ．怼类。
D．诓 骗（kuāng） ．盡继。
攲 斜（qī ） ．荣膺 （yīng） ．颔 首低眉（hàn）厦礴恳蹒骈時 ．3．下列句子中的加点成语使用正确 的一项是（ ．．） （3 分）A．我班的小张同学实力超群，在校运会 100 米决赛中白驹过隙 ，勇夺该项目冠军，为班级 ．．．． 赢得了沉甸甸的荣誉。
2016年福州一中追梦计划数学
EDCBA2016年福州一中面向福州七县、平潭综合实验区乡镇和农村地区（“追梦计划”）招生考试数学与逻辑试卷（满分：150分 考试时间：120分钟）学 校 姓 名 准考证号 注意：请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡上．．．．．．．的相应位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．）（1）如图所示，四边形ABCD 中，//AB DC ，过B 作//BE AD 交CD 于点E ，下列说法不正确的是（★★★） （A ）A BED ∠=∠ （B ）ABE BEC ∠=∠（C ）D BEC ∠=∠（D ）180A C ∠+∠=（2）下列等式正确的是（★★★）（A ）239-=-（B ）22532x y x y -=（C ）437()()a a a -⋅-=- （D ）22(23)(32)32x y y x y x +⋅-=- （3）某校九年级学生参加体育测试，一组10人的引体向上成绩如下表：这组同学完成引体向上的个数的众数和中位数依次是（★★★）（A ）9，10（B ）9.5，10（C ）10，9（D ）10，9.5（4）用半径为6cm 、圆心角为120︒的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（★★★）（A ）2cm（B ）3cm（C ）4cm（D ）6cm（5）从长度分别为1、3、5、7、9的五条线段中任取三条，这三条线段可构成三角形的概率是（★★★）（A ）15（B ）310（C ）25（D ）12（6）在ABC △中，BC BA >，BC CA >，F 、G 是BC 边上的两点，B ∠、C ∠的角平分线分别垂直AG 、AF ，垂足分别为D 、E ．若ABC △的周长为20，BC 的长为8，则DE 的长为（★★★） （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4第（1）题图第（7）题图 （7）如图，点G 、D 、C 在直线a 上，点E 、F 、A 、B 在直线b 上，//a b ，Rt GEF △从如图所示的位置出发，沿直线b 向右匀速运动，直到E 与B 重合．运动过程中Rt GEF △与矩形ABCD 重合部分的面积S 随时间t 变化的函数关系的图像大致是（★★★）（A ） （B ） （C ） （D ）（8）矩形ABCD 中，AB =1BC =，矩形内动点P 满足PA AD ≥，PB BC ≥，则动点P所在区域的面积为（★★★）（A 2π（B ）3π（C 23π （D 3π（9）符号[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[2.6]2=，[1]1-=-，[ 2.6]3-=-．若关于x 的方程[][3](0)x x kx k +=≠在01x <<内有解，则k 的取值范围是（★★★）（A ）332k <≤ （B ）23k <≤ （C ）23k ≤≤ （D ）322k <≤ （10）将正整数按如下规律排列：第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 …… 第一行 1第二行 2 4 第三行 3 5 7第四行 6 8 10 12第五行 9 11 13 15 17 …… ……设2016在第i 行第j 列，则i j +等于（★★★） （A ）79（B ）80（C ）81（D ）82abDBECAFG第（17）题图第（18）题图BCD AGHFEOP AOyxBTCR二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共 20分．）（11）已知||x y <，给出下列三个不等式：①0x y +>；②0x y ->；③220x y ->．其中正确的不等式的序号为★★★（填上你认为正确的所有不等式的序号）．（12）若方程组22251x y x y k +=⎧⎨-=+⎩的解满足条件14x y <+<，则k 的取值范围是★★★．（13）已知ABC △的三边长分别为13、13、10，则其内切圆半径为★★★． （14）数、学、好、玩这四个文字分别表示09之间的不同数字，且满足算式“数学×好玩＝1988”，则四位数“玩好数学”为★★★．（15）若函数223(03)y x ax x =-+<<的图像恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是★★★． 三、解答题（本大题共7小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） （16）（本小题满分12分）（Ⅰ）计算：01(1tan 35)(12cos 452-+︒-+︒-；（Ⅱ）先化简，再求值：2211(286)(1)9x x x x -+÷-⨯-，其中12x =-．（17）（本小题满分12分）如图，(40)A -，，P R 、是函数6(0)y x x=>图像上 的两点，PB x ⊥轴于点B ，RT x ⊥轴于点T （T 在B 右侧），APB △面积为9．（Ⅰ）求直线AP 的解析式；（Ⅱ）若方程2(2)20x m x m -++=的两根等于 线段BT TR 、的长，求m 的值． （18）（本小题满分12分）如图，正方形ABCD 的边长为1，E 、F 、G 、H 分别 是AB 、BC 、CD 、DA 边上的动点（不含端点）， 且EG 、FH 均过正方形的中心O ． （Ⅰ）求证：四边形EFGH 是平行四边形；（Ⅱ）试探究：当线段CG 与CF 满足什么数量关系时， 四边形EFGH 为矩形．CBDA30°15°第（19）题图① 第（19）题图②（19）（本小题满分12分）（Ⅰ）试利用图①求tan15︒的值（结果用根式表示）； （Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果解答下面问题：如图②，一船以15千米/时的速度自西向东航行，在A 处看到灯塔C 在北偏东75︒方向．行驶4小时后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东45︒方向，求这时船与灯塔的距离．（20）（本小题满分14分）如图，AC 是四边形ABCD 外接圆O 的直径，E 是AC 、BD 的交点，且BA BD =．（Ⅰ）证明：2ACD BAC ∠=∠； （Ⅱ）若10AC =，2511OE =，求AB 的长． （21）（本小题满分14分）我们知道，若1x ，2x 是方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根，则有212()()ax bx c a x x x x ++=--．即221212()ax bx c ax a x x x ax x ++=-++，于是12()b a x x =-+，12c ax x =．由此可得一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）：12b x x a +=-，12cx x a⋅=． 参考上述推理过程，解答下列问题：若1x ，2x ，3x 是关于x 的方程2(3)x x t -=的三个实数根，且123x x x <<．（Ⅰ）求122331x x x x x x ++，222123x x x ++的值； （Ⅱ）试用只含2x 的代数式表示31x x -，并求31x x -的最大值． （22）（本小题满分14分）已知抛物线2y ax bx c =++过点(03)M ，，且关于x 的方程2219(21)(34)04x a x b a b ---+-+=有两个相等的实数根． （Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）过点(0)P t ，作y 轴的垂线交抛物线于点A 和点B （点A 在点B 的左侧）．（i ）若2BP PA =，试求t 的值；（ii ）设抛物线的顶点为E ，ABM △的外接圆'O 与抛物线交于另一点N ，若直线EN 与圆'O 相切，试求t 的值．北CBA。
福州一中2017年高中招生(面向市区以外)
福州一中年高中招生（面向市区以外）综合素质测试数学参考答案一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分）二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分）．．．．．．三、解答题（本大题共小题，满分分）. 本小题主要考查三角形全等、相似的判定方法；特殊四边形的性质及判定等基础知识，考查识图、辩图、逻辑推理能力，考查几何直观等形象思维．满分分．（Ⅰ）法一:证明：过作于，于，……………………分∵四边形是正方形，∴，∴四边形是矩形，又∵是的角平分线，∴……………………………………分∴四边形是正方形，∴，∵，∴，∴∴……………………………………分在和中，，∴≌（），……………………………………分∴……………………………………分 法二：连，由，两点都在以为直径的圆上，分∴分∵ 四边形是正方形， ∴，∴，∴分∴……………………………………分（Ⅱ）法一：∵ 四边形是矩形，∴， 又∵，∴∥，∴∽，∴，……………………………………分同理，，∴，∴，……………………………………分∵，，∴∽……………………………………分 ∴……………………………………分∴为定值.…………………………………分法二：连，由，两点都在以为直径的圆上，分，分∵分∴分（或证明）. 本小题主要考查勾股定理、解直角三角形等基础知识，考查应用意识、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分分．解：在中作于点.…………………分在中，……………………………………分………………………………分依题意，以点为圆心，海里为半径的圆形区域为暗礁区域………………分∵所以，如果渔船不改变航线继续航行，有触礁危险.……………………………分在上取点使得，连接，.在中，，所以，……………………………分在中，……………………………分所以，在中，……………………………分因为该渔船到达点的时间小时.所以巡逻船速度海里小时. ………………………分所以，巡逻船要以北偏东的航向和至少每小时海里的速度前往拦截. ………………………分（注：没有取“”扣分）. 本题考查一次函数和二次函数的图像与性质，综合了等腰直角三角形、圆、矩形的性质及垂直平分线的判定，解题过程中利用了图象平移的性质，蕴含了方程思想、化归及数形结合等数学思想．满分分．解：（Ⅰ）法一：当时即，则有两个不同的实根，(注：说明因二次函数开口向上，与轴交于、两点则亦可)……分由已知可得，，则解得或（舍），分分法二：过作轴于当时即，则有两个不同的实根，分解得，则由已知可得，，设直线与轴交于点，∵，为等腰直角三角形即解得，分分（Ⅱ）设交轴于.由题意可得，，，∵点和点关于轴对称，为等腰直角三角形且由平移的性质可知且分设，则，分解得或，则或分（Ⅲ）连接，∵，为等腰直角三角形，分由（Ⅱ）可知，∵四边形为矩形在的垂直平分线上分过作于，由垂线段最短可知即为线段的最小长度..... 分当点在处时，在的中点处，当点在处时，在上的点处由上可知.则，，，∵四边形为矩形得，∵即线段的最小长度为分。
【福州一中】2016-2017年高三第二学期模拟文科数学试卷(附答案)
19．解：（Ⅰ）取线段CD的中点Q，
连接KQ，直线KQ即为所求.
证明如下：
取EC中点G，连接FG，连接AC交BD于O.
则OG为 的中位线.
∴ ，∵ ，∴ ，
∴四边形FGOD为平行四边形，∴ .
∵K，Q分别为BC，CD中点，∴ ，∴ .
∵ ， ，∴Байду номын сангаас.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，∵ ， ，∴ ，
A． B． C． D．
11．已知 ， 是焦点在 轴的双曲线 的上、下焦点，点 关于渐近线的对称点恰好落在以 为圆心， 为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）
A．3B． C．2D．
12．已知函数 ， ，函数 ，若存在 ， ，使得 成立，则实数a的取值范围是（）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
室外工作
室内工作
合计
有呼吸系统疾病
150
无呼吸系统疾病
100
合计
200
（Ⅰ）请把 列联表补充完整；
（Ⅱ）你是否有95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关；
（Ⅲ）现采用分层抽样从室内工作的居民中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2人，求2人都有呼吸系统疾病的概率.
参考公式与临界表：
A．528B．1 020C．1 038D．1 040
5．某几何体的三视图如图所示（单位： ），则该几何体的体积等于（）
A． B． C． D．
6．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可以作为三角形的三边边长的概率为（）
A． B． C． D．
福州一中自主招生试卷福州一中自主招生考试_——数学试卷
福州一中自主招生试卷福州一中自主招生考试_——数学试卷福州一中自主招生试卷 2011福州一中自主招生考试_——数学试卷福州一中2011年高中招生综合素质测试数学试卷(满分100分，考试时间60分钟)学校姓名准考证号注意:请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡的相应位置上(一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分(在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的() 1(右图是某几何体的三视图及相关数据，则下列判断错误的是( ) ((A(4a,b c D(a,b c b c C(a c B(22;?2a3a 6a;?|2136222222|～2sin45 ,(～1)2011 0;b,cb(其中正确的个数有( ) a,caA(0 B(1 C(2D(33(某救灾募捐活动中，文艺工作者积极向灾区捐款(其中8人捐款统计如下表: 设这8人捐款数的众数为a，中位数为b，平均数为c，则下列各式正确的是( ) A(a b c B(a b c C(a b cD(a b c4(如右图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，则该圆弧所在圆的圆心坐标为( )2A((2,0) B((2,1) C((1,2)D(无法确定5(如右图，在 ABC中，AB 5,AC 4,BC 3，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是( )125A(2 B( C( D(25A6(定义:直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M 到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序非负实数对(p,q)是点M 的“距离坐标”(根据上述定义，“距离坐标”是(1,2)的点的个数是( ) A(1 B(2 C(3D( 4二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分()BD1x2～x～6x2,2x,1,) 7(化简(2的结果为。
x,3xx2～9x,38(如图，在两面墙之间有一根底端在A点的竹竿，当它3靠在一侧墙上时，竹竿的顶端在B点;当它靠在另一侧墙上时，竹竿的顶端在D点(已知BAC 60 ， DAE 45 ，(墙面垂直地面) AC 2米，则DE的高度为米(9(若实数a，b满足a,b 1，则a,4b的最小值是。
2017福州一中追梦计划招生数学答案
2017年福州一中面向福州七县、平潭综合实验区乡镇和农村地区（“追梦计划”）招生考试数学与逻辑参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．5210258+=⎧⎨+=⎩x yx y12．5<x13．333333212345621+++++=14．4+15．13<≤n三、解答题（本大题共7小题，满分90分）16. 本小题主要考查实数的运算、代数式的化简等基础知识，考查代数运算能力、化简能力，分类与整合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）原式=116+82-+⨯……………………5分=8……………………………………6分（Ⅱ）原式222241--=÷--x x xxx x……………………………………8分()()222122--=⋅-+-x x xx xx x…………………………9分1=.2-+x……………………………………11分当12=-x时，原式23=-.……………………………12分17. 本小题主要考查圆的几何性质、等腰三角形的判定及性质等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力，考查演绎论证及度量计算的逻辑思想等．满分12分．证明：（Ⅰ）∵ 四边形ABED 为⊙O 的圆内接四边形∴ 180∠+∠=B ADE ……………………………………2分 又 ∵ 180∠+∠=CDE ADE∴ ∠=∠B CDE ……………………………………3分 ∵ =AB AC∴ ∠=∠B C ……………………………………4分 ∴ ∠=∠C CDE ……………………………………5分 ∴ ∆CDE 为等腰三角形……………………………………6分 （Ⅱ）法一：连接AE ，∵ ⊙O 的直径为AB∴ 90=∠AEB ∴BC AE ⊥...............................7分∵AC AB =∴421==BC CE .........................................8分 由(Ⅰ)知EDC C B ∠=∠=∠，C C ∠=∠ ∴ABC ∆∽EDC ∆ ∴ECACDC BC =...........................................10分 ∴332=⋅=DC CE BC AC .................................11分 ∵AC AB =∴⊙O 的半径为16.3……………………………………12分 法二：连接AE ，过点E 作⊥EF CD ，垂足为F 由（Ⅰ）知∆CDE 是以CD 为底边的等腰三角形∴ 1322==CF CD ………………7分 ∵ ⊙O 的直径为AB90∴∠=AEB ……………………8分 ∵ =AB AC4∴==BE CE …………………9分 ∵ ，∠=∠∠=∠B C AEB EFC∴ ∆EFC ∽∆AEB ，……………………………10分 ∴=FC CE BE AB……………………………………11分∴ 4432332⋅⨯===CE BE AB FC∴⊙O 的半径为16.3……………………………………12分 18.本题考察反比例函数图像及性质、一次函数解析式求解问题,及求平面四边形面积问题,涉及对称与割补思想方法.满分12分． 解：（Ⅰ）过点C 分别作CE AO ⊥于点E ， 设点(,)C m n ， ∵tan 2∠=COA 2,n m ∴=..................................1分 ∵//CB OA ,B y n ∴=∵D 为AE 的中点，,2D ny ∴=..............................................2分 又,C D 在反比例函数图象上，,D D mn x y k ∴=⋅=2,D x m ∴= ..............................................4分∵2,=B x 1,m ∴= 2,n ∴=.............................................5分2.k mn ∴==所以，反比例函数的解析式为2.=y x...........................................6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得(1,2),(2,1)C D ，法一：AOC ACD OCDA S S S ∆∆=+四边形......................9分 1152211222=⨯⨯+⨯⨯=..............12分法二： BCDOCDA OABC S S S ∆=-四边形四边形矩形∆∆=+-COE BCD ABCE S S S ...............9分115121211222=⨯⨯+⨯-⨯⨯=...........12分19. 本小题主要考查三角形全等、相似的判定方法；特殊四边形的性质及判定等基础知识，考查识图、辩图、逻辑推理能力，考查几何直观等形象思维．满分12分．（Ⅰ）法一：证明：过P 作⊥PM AB 于M ，⊥PN BC 于N ，……………………1分 ∵ 四边形ABCD 是正方形， ∴ 90∠=ABC ， ∴ 四边形BMPN 是矩形，又 ∵ BD 是∠ABC 的角平分线，∴ =PM PN ……………………………………2分 ∴ 四边形BMPN 是正方形， ∴ 90∠=MPN ， ∵ ⊥AP PE ， ∴ 90∠= APE ，∴ ∠-∠=∠-∠APE MPE MPN MPE∴ ∠=∠APM EPN ……………………………………4分 在∆APM 和∆EPN 中，∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩AMP ENP PM PNAPM EPN ， ∴ ∆APM ≌∆EPN （ASA ），……………………………………5分 ∴ .=AP PE ……………………………………6分 法二：连AE ，由90ABC APE ︒∠=∠=，∴、B P 两点都在以AE 为直径的圆上，.....................2分∴ ∠=∠ABP AEP .....................3分 ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴45ABP ︒∠=，∴ 45∠=AEP ，∴45EAP ︒∠=∴∠=∠EAP AEP ......................5分 ∴ .=AP PE ……………………………………6分（Ⅱ）法一：∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴ 90∠=BAD ， 又∵90∠= PBM ， ∴ PM ∥AD ， ∴ ∆BPM ∽∆BDA ， ∴=PM BPAD BD ，……………………………………7分 同理，PN BPCD BD=，∴PM PNAD CD =， ∴63==42=PM AD PN CD ，……………………………………9分 ∵ 90∠=∠=AMP ENP ，∠=∠MPA EPN ， ∴ ∆APM ∽.∆EPN ……………………………………10分 ∴=AP PMPE PN……………………………………11分 ∴ :3:2.=AP PE 为定值.…………………………………12分 法二：连AE ，由90ABC APE ︒∠=∠=，∴、B P 两点都在以AE 为直径的圆上，..................8分∴ABP AEP ∠=∠，......................9分 tan tan ∴∠=∠ABP AEP∵ tan tan ，∠=∠=AP AD AEP ABP AE AB....................11分 ∴3.2==AP AD AE AB .....................12分 （或证明AEP ABD ∆∆∽）20. 本小题主要考查勾股定理、解直角三角形等基础知识，考查应用意识、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分14分．解：在ΔABD 中作DA B C ⊥于点C .…………………2分 在ABC Rt ∆中， 1645AB BAC ︒=∠=，，28==∴AC BC ……………………………………3分2628214=-=-=∴AC AD CD ………………………………4分依题意，以点D 为圆心，12海里为半径的圆形区域为暗礁区域………………5分∵ 12<所以，如果渔船不改变航线继续航行，有触礁危险.……………………………6分在BC 上取点E 使得12=ED ，连接AE ，ED . 在CED Rt ∆中，12=ED ，26=CD所以，222CD ED CE -=26=∴CE ……………………………8分在A C E Rt ∆中，222AC CE AE +=210=∴AE ……………………………9分所以，在A C E Rt ∆中，53sin ==∠AE CE EAC '3652EAC ︒∴∠= ……………………………11分因为该渔船到达点E 的时间224224===BE t 小时. 所以巡逻船速度2022210==≥t AE v 海里/小时. ………………………13分 所以，巡逻船要以北偏东''9036525308︒︒︒-=的航向和至少每小时20海里的速度前往拦截. ………………………14分 （注：没有取“=”扣1分）21.本题考察学生的阅读理解能力，解一元二次方程及求解二次函数最值的能力，蕴含了数形结合的思想. 满分14分．解：（I ）由题意知，{}3,22max --=-，......................................2分 所以方程变为 2228x x -=-+，化简为 2410x x --=...................3分解得 12x =或 22x =所以方程{}23,228max x x --=-+的解为2+或2分 （II ）(1)当2236x x x x +-≥-即32x ≥时， {}22236,36,y max x x x x x x =+--=+-...................................7分∵ 236=+-y x x 的对称轴为3,2x =-而32x ≥在对称轴32x =-的右侧，y ∴随着x 的增大而增大，32x ∴=时，y 取最小值，且最小值为2333()36224y =+⨯-=.................9分（2）当2236x x x x +-<-即32x <时，{}22236,,y m a x x x x x x x =+--=-.....................................11分∵ 2=-y x x 的对称轴为1,2x =而1322<， 12x ∴=时，y 取最小值，且最小值为2111()224y =-=-..................13分由（I ）（II ）得 函数{}2236,y max x x x x =+--的最小值为14-..........14分（注：若用数形结合作答的酌情给分.）22. 本题考查用待定系数法求函数解析式及一次函数和二次函数的性质，综合了等腰直角三角形、圆、矩形的性质及垂直平分线的判定，解题过程中利用了图象平移的性质，蕴含了化归及数形结合的数学思想．满分14分．解：（I ）由已知设)0(2)1(:21≠--=a x a y C 过)0,3(B ，........................1分则024=-a ，21=a ..........................2分 23212)1(21:221--=--=∴x x x y C ..........................3分抛物线1C 的对称轴方程为1=x ，由对称性可得)0,1(-A ....................4分（II ）法一：设直线)0(≠+=k b kx y l ：由已知得⎩⎨⎧=+-=+032b k b k ，解得3,1-==b k 3:-=∴x y l ................5分设直线l 交y 轴于)3,0(-D∵ =OB OD ，45=∠∴ODB由平移的性质可知BC PQ = ∵=PF BC ，22==∴PF PQ ∵⊥PF l ，PQF ∆∴为等腰直角三角形.ODB FQP ∠==∠∴ 45，4=QFy FQ //∴轴 ....................7分设)3,(-t t Q ，则)2321,(2--t t t F ，4|)3(2321|2=----=t t t FQ 解得1-=t 或5，则)0,1(-F 或)6,5( ....................9分 法二：连接FQ 并延长交x 轴于H ，连接AF∵ 22==BC AC ，4=AB∴ABC ∆为等腰直角三角形...............5分90=∠ACB ， 45=∠=∠BAC ABC∵ l FP ⊥ ∴90=∠FPQ ∴PF AC //∵ BC PF =∴AC PF =∴四边形ACPF 为矩形 ∴AF PC // ∴ 45=∠FAH由平移的性质可知BC PQ =∴PFQ ∆为等腰直角三角形， 45=∠FQP∴ 45=∠AFH ∴AFH ∆为等腰直角三角形..........................7分设)2321,(2--m m m F ，则FH AH =即2321)1(2--=--m m m 解得1-=m 或5，即)0,1(-F 或)6,5( ..............................9分（Ⅲ）连接QR AR MQ NQ ,,,由（II ）可知 90=∠=∠FPQ ACB ，)2,5(QPF AC //∴∵=AC PF∴四边形ACPF 为矩形90=∠∴MAN RQ MN AR ==∴21R ∴在AQ 的垂直平分线上，即R 的路径是线段....11分当点M 在C 处时，R 在AQ 的中点1R 处，当点M 在A 处时，R 在AN 上的点2R 处 ∵122190,∠=∠=∠ AR R AQC R AR ∵121sin ∠==R R AC NAQ CQ AR∵===AC CQ AQ 21021=∴R R 即R 的路径长度为210......................................14分。
福州一中2017年高中招生(面向福州以外地区)
福州一中2017年高中招生（面向福州以外地区）综合素质测试理科综合试卷（考试时间：50分钟 满分：50分）学校 姓名 准考证号一、选择题（共12小题，每小题2分，共24分，每小题仅有一个选项是正确的，请将正确答案用．．．．．．．2B ．．铅笔填涂在答题卡上．．．．．．．．．）1. 关于染色体、DNA 、基因三者关系的叙述中，正确的是（ ）A ．染色体存在于DNA 分子中B ．染色体数目和基因数目一样多C ．一个DNA 分子中含有一个基因D ．DNA 主要存在于染色体上2.下列有关人体消化系统的叙述中，正确的是（ ）A ．消化腺是由胃腺、肠腺和胰腺共同组成的B ．胃是消化食物和吸收营养物质的最主要部位C ．所有的消化腺都能分泌消化液D ．所有的消化液中都含有消化酶3. 右图是植物新陈代谢示意图，甲、乙、丙分别表示不同的生理活动，①②③代表相关的物质, 以下描述正确的是（ ）A. 播种前要松土，与乙所代表的生理活动有关B. 图中甲表示光合作用，①代表二氧化碳C. 根吸收的②绝大部分经甲过程蒸发到空气中D. 丙所代表的生理活动，能为植物体各项生命活动提供能量4．以下各项中，能正确表示一条食物链的是（ ）A ．阳光→草→兔→狼B ．昆虫→蜘蛛→青蛙→蛇C ．草→兔→狼→细菌D ．草→兔→狐5．常温下，下列溶液中，pH 最小的是 （ ）A ．pH 等于7的溶液B ．使无色酚酞溶液变红的溶液C ．使紫色石蕊溶液变红的溶液D ．使红色石蕊试纸变蓝的溶液6．右图表示的是纯净物、单质、化合物、含氧化合物、氧化物之间的包含与不包含关系，若整个大圆代表纯净物，则①③所属的类别是（ ）A ．① 单质、③ 氧化物B ．① 单质、③ 含氧化合物C ．① 氧化物、③化合物D ．①化合物、③ 含氧化合物7．下列说法正确的是（ ）A ．灼烧并闻气味一定能鉴别纯棉线和羊毛线B ．能与盐酸反应生成二氧化碳的钠盐一定是碳酸钠C ．酸碱中和反应生成盐和水，则生成盐和水的反应一定是中和反应D ．带火星的细木条伸入集气瓶中，木条不复燃，则集气瓶中一定不含氧气①② ③ ④8.某白色粉末可能含有CaCl2、Na2SO4、Ba(NO3)2、K2CO3中的一种或几种。
2017福州一中追梦计划招生数学答案
2017年福州一中面向福州七县、平潭综合实验区乡镇和农村地区（“追梦计划”）招生考试数学与逻辑参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．5210258+=⎧⎨+=⎩x yx y12．5<x13．333333212345621+++++=14．4+15．13<≤n三、解答题（本大题共7小题，满分90分）16. 本小题主要考查实数的运算、代数式的化简等基础知识，考查代数运算能力、化简能力，分类与整合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）原式=116-+……………………5分=8……………………………………6分（Ⅱ）原式222241--=÷--x x xxx x……………………………………8分()()222122--=⋅-+-x x xx xx x…………………………9分1=.2-+x……………………………………11分当12=-x时，原式23=-.……………………………12分17. 本小题主要考查圆的几何性质、等腰三角形的判定及性质等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力，考查演绎论证及度量计算的逻辑思想等．满分12分．证明：（Ⅰ）∵ 四边形ABED 为⊙O 的圆内接四边形∴ 180∠+∠=oB ADE ……………………………………2分 又 ∵ 180∠+∠=oCDE ADE∴ ∠=∠B CDE ……………………………………3分 ∵ =AB AC∴ ∠=∠B C ……………………………………4分 ∴ ∠=∠C CDE ……………………………………5分 ∴ ∆CDE 为等腰三角形……………………………………6分 （Ⅱ）法一：连接AE ，∵ ⊙O 的直径为AB∴ο90=∠AEB ∴BC AE ⊥...............................7分∵AC AB =∴421==BC CE .........................................8分 由(Ⅰ)知EDC C B ∠=∠=∠，C C ∠=∠ ∴ABC ∆∽EDC ∆ ∴ECAC DC BC =...........................................10分 ∴332=⋅=DC CE BC AC .................................11分∵AC AB =∴⊙O 的半径为16.3……………………………………12分 法二：连接AE ，过点E 作⊥EF CD ，垂足为F 由（Ⅰ）知∆CDE 是以CD 为底边的等腰三角形 ∴ 1322==CF CD ………………7分 ∵ ⊙O 的直径为AB90∴∠=oAEB ……………………8分 ∵ =AB AC4∴==BE CE …………………9分 ∵ ，∠=∠∠=∠B C AEB EFC∴ ∆EFC ∽∆AEB ，……………………………10分 ∴=FC CE BE AB……………………………………11分∴ 4432332⋅⨯===CE BE AB FC∴⊙O 的半径为16.3……………………………………12分 18.本题考察反比例函数图像及性质、一次函数解析式求解问题,及求平面四边形面积问题,涉及对称与割补思想方法.满分12分． 解：（Ⅰ）过点C 分别作CE AO ⊥于点E ， 设点(,)C m n ， ∵tan 2∠=COA 2,n m ∴=..................................1分 ∵//CB OA ,B y n ∴= ∵D 为AE 的中点，,2D ny ∴=..............................................2分 又,C D 在反比例函数图象上，,D D mn x y k ∴=⋅=2,D x m ∴= ..............................................4分∵2,=B x 1,m ∴= 2,n ∴=.............................................5分 2.k mn ∴==所以，反比例函数的解析式为2.=y x...........................................6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得(1,2),(2,1)C D ，法一：AOC ACD OCDA S S S ∆∆=+四边形......................9分 1152211222=⨯⨯+⨯⨯=..............12分法二：BCDOCDA OABC S S S ∆=-四边形四边形矩形∆∆=+-COE BCD ABCE S S S ...............9分115121211222=⨯⨯+⨯-⨯⨯=...........12分 19. 本小题主要考查三角形全等、相似的判定方法；特殊四边形的性质及判定等基础知识，考查识图、辩图、逻辑推理能力，考查几何直观等形象思维．满分12分．（Ⅰ）法一：证明：过P 作⊥PM AB 于M ，⊥PN BC 于N ，……………………1分 ∵ 四边形ABCD 是正方形， ∴ 90∠=oABC ， ∴ 四边形BMPN 是矩形，又 ∵ BD 是∠ABC 的角平分线，∴ =PM PN ……………………………………2分 ∴ 四边形BMPN 是正方形， ∴ 90∠=oMPN ， ∵ ⊥AP PE ， ∴ 90∠=o APE ，∴ ∠-∠=∠-∠APE MPE MPN MPE∴ ∠=∠APM EPN ……………………………………4分 在∆APM 和∆EPN 中，∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩AMP ENP PM PNAPM EPN ， ∴ ∆APM ≌∆EPN （ASA ），……………………………………5分 ∴ .=AP PE ……………………………………6分 法二：连AE ，由90ABC APE ︒∠=∠=，∴、B P 两点都在以AE 为直径的圆上，.....................2分∴ ∠=∠ABP AEP .....................3分 ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴45ABP ︒∠=，∴ 45∠=oAEP ，∴45EAP ︒∠=∴∠=∠EAP AEP ......................5分∴ .=AP PE ……………………………………6分 （Ⅱ）法一：∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴ 90∠=oBAD ， 又∵90∠=o PBM ， ∴ PM ∥AD ， ∴ ∆BPM ∽∆BDA ， ∴=PM BPAD BD ，……………………………………7分 同理，PN BPCD BD=，∴PM PNAD CD=， ∴ 63==42=PM AD PN CD ，……………………………………9分∵ 90∠=∠=oAMP ENP ，∠=∠MPA EPN ， ∴ ∆APM ∽.∆EPN ……………………………………10分 ∴=AP PMPE PN……………………………………11分 ∴ :3:2.=AP PE 为定值.…………………………………12分 法二：连AE ，由90ABC APE ︒∠=∠=，∴、B P 两点都在以AE 为直径的圆上，..................8分 ∴ABP AEP ∠=∠，......................9分tan tan ∴∠=∠ABP AEP∵ tan tan ，∠=∠=AP ADAEP ABP AE AB....................11分 ∴3.2==AP AD AE AB .....................12分 （或证明AEP ABD ∆∆∽）20. 本小题主要考查勾股定理、解直角三角形等基础知识，考查应用意识、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分14分．解：在ΔABD 中作DA B C ⊥于点C .…………………2分 在ABC Rt ∆中， 1645AB BAC ︒=∠=，，28==∴AC BC ……………………………………3分2628214=-=-=∴AC AD CD ………………………………4分依题意，以点D 为圆心，12海里为半径的圆形区域为暗礁区域………………5分 ∵ 6212<所以，如果渔船不改变航线继续航行，有触礁危险.……………………………6分 在BC 上取点E 使得12=ED ，连接AE ，ED . 在CED Rt ∆中，12=ED ，26=CD所以，222CD ED CE -=26=∴CE ……………………………8分在A C E Rt ∆中，222AC CE AE +=210=∴AE ……………………………9分所以，在A C E Rt ∆中，53sin ==∠AE CE EAC '3652EAC ︒∴∠= ……………………………11分因为该渔船到达点E 的时间224224===BE t 小时. 所以巡逻船速度2022210==≥t AE v 海里/小时. ………………………13分 所以，巡逻船要以北偏东''9036525308︒︒︒-=的航向和至少每小时20海里的速度前往拦截. ………………………14分 （注：没有取“=”扣1分）21.本题考察学生的阅读理解能力，解一元二次方程及求解二次函数最值的能力，蕴含了数形结合的思想. 满分14分．解：（I ）由题意知，{}3,22max --=-，......................................2分 所以方程变为 2228x x -=-+，化简为 2410x x --=...................3分解得 12x =或 22x =所以方程{}23,228max x x --=-+的解为2 或2.................5分 （II ）(1)当2236x x x x +-≥-即32x ≥时， {}22236,36,y max x x x x x x =+--=+-...................................7分 ∵ 236=+-y x x 的对称轴为3,2x =-而32x ≥在对称轴32x =-的右侧， y ∴随着x 的增大而增大，32x ∴=时，y 取最小值，且最小值为2333()36224y =+⨯-=.................9分 （2）当2236x x x x +-<-即32x <时，{}22236,,y max x x x x x x =+--=-.....................................11分∵ 2=-y x x 的对称轴为1,2x =而1322<， 12x ∴=时，y 取最小值，且最小值为2111()224y =-=-..................13分由（I ）（II ）得 函数{}2236,y max x x x x =+--的最小值为14-..........14分（注：若用数形结合作答的酌情给分.）22. 本题考查用待定系数法求函数解析式及一次函数和二次函数的性质，综合了等腰直角三角形、圆、矩形的性质及垂直平分线的判定，解题过程中利用了图象平移的性质，蕴含了化归及数形结合的数学思想．满分14分．解：（I ）由已知设)0(2)1(:21≠--=a x a y C 过)0,3(B ，........................1分则024=-a ，21=a ..........................2分 23212)1(21:221--=--=∴x x x y C ..........................3分抛物线1C 的对称轴方程为1=x ，由对称性可得)0,1(-A ....................4分（II ）法一：设直线)0(≠+=k b kx y l ：由已知得⎩⎨⎧=+-=+032b k b k ，解得3,1-==b k 3:-=∴x y l ................5分 设直线l 交y 轴于)3,0(-D ∵ =OB OD ，ο45=∠∴ODB 由平移的性质可知BC PQ = ∵=PF BC ，22==∴PF PQ ∵⊥PF l ，PQF ∆∴为等腰直角三角形.ODB FQP ∠==∠∴ο45，4=QFy FQ //∴轴 ....................7分设)3,(-t t Q ，则)2321,(2--t t t F ，4|)3(2321|2=----=t t t FQ 解得1-=t 或5，则)0,1(-F 或)6,5( ....................9分 法二：连接FQ 并延长交x 轴于H ，连接AF ∵ 22==BC AC ，4=AB∴ABC ∆为等腰直角三角形...............5分ο90=∠ACB ，ο45=∠=∠BAC ABC∵ l FP ⊥ ∴ο90=∠FPQ ∴PF AC // ∵ BC PF =∴AC PF =∴四边形ACPF 为矩形 ∴AF PC // ∴ο45=∠FAH由平移的性质可知BC PQ =∴PFQ ∆为等腰直角三角形，ο45=∠FQP∴ο45=∠AFH ∴AFH ∆为等腰直角三角形..........................7分设)2321,(2--m m m F ，则FH AH =即2321)1(2--=--m m m 解得1-=m 或5，即)0,1(-F 或)6,5( ..............................9分 （Ⅲ）连接QR AR MQ NQ ,,,由（II ）可知ο90=∠=∠FPQ ACB ，)2,5(QPF AC //∴∵=AC PF∴四边形ACPF 为矩形ο90=∠∴MANRQ MN AR ==∴21R ∴在AQ 的垂直平分线上，即R 的路径是线段....11分当点M 在C 处时，R 在AQ 的中点1R 处，当点M 在A 处时，R 在AN 上的点2R 处∵122190,∠=∠=∠oAR R AQC R AR∵121sin ∠==R R AC NAQ CQ AR ∵22,42,210===AC CQ AQ21021=∴R R 即R 的路径长度为210......................................14分。
2021年福建省福州一中(市外、追梦计划)自主招生数学试卷
2021年福建省福州一中（市外、追梦计划）自主招生数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）1．若﹣|x|＝1，则|x|的值是（）A．B．C．D．或12．现有5瓶溶液标签缺失，已知其分别为HCl，H2SO4，HNO3，NaOH，KOH，若从中任取2瓶混合，则会发生中和反应的概率为（）A．B．C．D．3．△ABC中，∠A和∠B均为锐角，且AC＝6，BC＝3，若sin A＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．4．“无体艺，不福一”，我校高二（1）到高二（4）的班级篮球代表队准备举行友谊赛．甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果如下：甲说：“（3）班得冠军，（4）班得第三”；乙说：“（1）班得第三，（3）班得亚军”；丙说：“（1）班得第四，（4）班得冠军”．赛后得知，三人的预测都只有一半正确，则得冠军的是（）A．（1）班B．（2）班C．（3）班D．（4）班5．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，EO分别与AD，DC，CB三边相切于点E、F、G，若过点B 作EO的切线交AD于点Q，则BQ的长为（）A．2B．3C．D．6．“剪纸”是我国一项传统民间艺术，现有一张正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……，以此类推，为了得到了9个十三边形和一些多边形纸片，则至少要剪（）A．88刀B．89刀C．90刀D．91刀二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）7．若不等式组的解集为a＜x＜3，则实数a的取值范围为．8．化简+的值为．9．如图，四边形ABCD的顶点都在坐标轴上，且AB∥CD，△AOB与△COD的面积分别为4和9，若双曲线y＝恰好经过BC的中点E，则k的值为．10．若函数y＝﹣x（x﹣1）（x2+mx+n）图象的一条对称轴为x＝﹣1，则m+n的值是．三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分。
2016-2017学年福建省福州第一中学高一下学期期末考试数学试题
福州一中2016-2017学年第二学期第四学段模块考试高一数学（必修4）模块试卷（完卷100分钟，满分100分）（注意：不得使用计算器，并把答案写在答案卷上）班级座号姓名一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）（1）设︒=36sin a ，)52cos(︒-=b ，︒=218tan c ，则（ ） （A ）a ＜b ＜c（B ）a ＜c ＜b（C ）b ＜c ＜a（D ）b ＜a ＜c（2）△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A a sin =B b cos =Cccos ，则△ABC 是（）（A ）等边三角形（B ）有一个角是30°的直角三角形 （C ）等腰直角三角形（D ）有一个角是30°的等腰三角形（3）已知向量a ，b 不共线，且c =b a +λ，d =b a )12(-λ+，若c 与d 方向相反，则实数λ的值为（ ）（A ）1（B ）-21 （C ）1或-21 （D ）-1或-21 （4）已知θtan =2，则θ4sin +θθ22cos sin -θ4cos =（ ）（A ）-2511（B ）57 （C ）257（D ）2519 （5）函数)(x f =x x 2cos )2cos 121-（，∈x R 是（ ）（A ）最小正周期为π的偶函数 （B ）最小正周期为2π的偶函数 （C ）最小正周期为π的奇函数 （D ）最小正周期为2π的奇函数（6）下列说法正确的是（ ） （A ）若b a ⋅=c a ⋅且0≠a 且b =c （B ）若θsin =53+-m m ，θcos =524+-m m，且θ∈[2π，π]，则m =0或m =8 （C ）△ABC 中，若BC AB ⋅＜0，则△ABC 为钝角三角形（D ）△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且∠A=60°，a=34，b=24，则∠B=45° （7）已知αtan ，βtan 是方程4332++x =0的两根，α，β∈（0，π），则α+β=（ ） （A ）3π（B ）32π （C ）34π （D ）3π或34π（8）如图，在某地A 第北偏西25°方向上有一条笔直的公路L ，某天，A 地收到在它北偏东35°方向，距离24km 的观测站C 的报告：与C 相距31km 的公路L 上的B 处有一个人正以每小时5km 的速度向A 地进发。
福建省福州市八县一中(福州一中、长乐一中等)2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
2016-2017学年福建省福州市八县一中（福州一中、长乐一中等）高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设x∈R，则“x＞1”是“x2＞1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．抛物线y=﹣4x2的准线方程为（）A．x=1 B．y=1 C．x=D．y=3．已知a，b∈R，则命题“若a+b=1，则a2+b2≥”的逆否命题是（）A．若a+b≠1，则a2+b2＜ B．若a+b=1，则a2+b2＜C．若a2+b2＜，则a+b≠1 D．若a2+b2≥，则a+b=14．若双曲线与椭圆有共同的焦点，且a＞0，则a的值为（）A．5 B．C． D．5．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若=，=，=，则=（）A．B． C．D．6．如图，在二面角α﹣l﹣β的棱l上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，若二面角α﹣l﹣β的大小为，AB=AC=2，BD=3，则CD=（）A． B． C． D．7．已知点P（x，y）在椭圆x2+4y2=4上，则的最大值为（）A．8 B．7 C．2 D．﹣18．已知方程（m﹣3）x2+（5﹣m）y2=（m﹣3）（5﹣m），其中m∈R，对m的不同取值，该方程不可能表示的曲线是（）A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线9．已知抛物线C：y2=12x，过点P（2，0）且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A、B两点，则线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为（）A．22 B．14 C．11 D．810．给出以下命题：①若cos＜，＞=﹣，则异面直线MN与PQ所成角的余弦值为﹣；②若平面α与β的法向量分别是与，则平面α⊥β；③已知A、B、C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足，则点M∈平面ABC；④若向量、、是空间的一个基底，则向量、、也是空间的一个基底；则其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．411．如图，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线与双曲线的左、右两支分别相交于B、A两点，若△ABF2为等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．312．已知A、B为椭圆=1和双曲线=1的公共顶点，P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于两点A、B的动点，且有+=λ（+）（λ∈R，|λ|＞1），设直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k1、k2、k3、k4，则k1+k2+k3+k4的值（）A．大于0B．等于0C．小于0D．大于0，等于0，小于0都有可能二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知命题p：∀x∈R，x＜﹣1，则该命题的否定是￢p：．14．直线l与双曲线x2﹣4y2=4相交于A、B两点，若点P（4，1）为线段AB的中点，则直线l的方程是．15．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a＞0），q：2＜x≤3．若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是．16．在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，∠BAC=，AB=AC=AA1=1，已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD ⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为．三、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设命题p：∀x∈R，x2﹣2x＞a，其中a∈R，命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0．如果“x2＞1p”为假命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．18．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，且经过点（2，3）．（Ⅰ）求双曲线C的标准方程和其渐近线方程；（Ⅱ）设直线l经过点（0，﹣1），且斜率为k．求直线l与双曲线C有两个公共点时k的取值范围．19．如图，直角梯形OABC中，∠COA=∠OAB=，OC=2，OA=AB=1，SO⊥平面OABC，且SO=1，点M为SC的中点．（Ⅰ）求证：BM∥平面SOA；（Ⅱ）求二面角O﹣SC﹣B的余弦值．20．已知点P在抛物线x2=y上运动，过点P作y轴的垂线段PD，垂足为D．动点M（x，y）满足，设点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=﹣1，若经过点F（0，1）的直线与曲线C相交于A、B两点，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为A1、B1，试判断直线A1F与B1F的位置关系，并证明你的结论．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC=45°，PA⊥底面ABCD，AB=AC=PA=2，E、F分别为BC、AD的中点，点M在线段PD上．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；（Ⅱ）设，若直线ME与平面PBC所成的角θ的正弦值为，求λ的值．22．设椭圆的离心率为，左顶点到直线x+2y﹣2=0的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点O，试探究：点O到直线AB的距离是否为定值？若是，求出这个定值；否则，请说明理由；（Ⅲ）在（2）的条件下，试求△AOB面积S的最小值．2016-2017学年福建省福州市八县一中（福州一中、长乐一中等）高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设x∈R，则“x＞1”是“x2＞1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】直接利用充要条件的判定判断方法判断即可．【解答】解：因为“x＞1”，则“x2＞1”；但是“x2＞1”不一定有“x＞1”，所以“x＞1”，是“x2＞1”成立的充分不必要条件．故选A．2．抛物线y=﹣4x2的准线方程为（）A．x=1 B．y=1 C．x=D．y=【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线y=﹣4x2的方程化为：，可得p=，即可得出．【解答】解：抛物线y=﹣4x2的方程化为：，可得p=，∴准线方程为y=．故选：D．3．已知a，b∈R，则命题“若a+b=1，则a2+b2≥”的逆否命题是（）A．若a+b≠1，则a2+b2＜ B．若a+b=1，则a2+b2＜C．若a2+b2＜，则a+b≠1 D．若a2+b2≥，则a+b=1【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】根据已知中的原命题，结合逆否命题的定义，可得答案．【解答】解：命题“若a+b=1，则a2+b2≥”的逆否命题是“若a2+b2＜，则a+b ≠1”，故选：C4．若双曲线与椭圆有共同的焦点，且a＞0，则a的值为（）A．5 B．C． D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由双曲线方程求出双曲线的焦点坐标，得到椭圆的焦点坐标，再结合隐含条件求得a值．【解答】解：由双曲线，得c2=4+5=9，c=3．∴双曲线的焦点坐标为F1（﹣3，0），F2（3，0），则椭圆的交点坐标也为F1（﹣3，0），F2（3，0），即椭圆的半焦距c=3，∴a2=b2+c2=16+9=25，得a=5．故选：A．5．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若=，=，=，则=（）A．B． C．D．【考点】空间向量的加减法．【分析】利用空间向量加法法则求解．【解答】解：∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，=，=，=，∴=（）=﹣+（）=﹣++=﹣+（﹣）+（﹣）=﹣++=﹣+．故选：C．6．如图，在二面角α﹣l﹣β的棱l上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，若二面角α﹣l﹣β的大小为，AB=AC=2，BD=3，则CD=（）A． B． C． D．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】由已知可得=++，利用数量积的性质即可得出．【解答】解：∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴==0，∵＜，＞=60°，∴＜，＞=120°∵=++，∴2=2+2+2+2•+2•+2•=22+22+32+0+2×2×3×cos120°+0=11，∴CD=．故选A．7．已知点P（x，y）在椭圆x2+4y2=4上，则的最大值为（）A．8 B．7 C．2 D．﹣1【考点】椭圆的简单性质；椭圆的应用．【分析】利用椭圆方程，转化所求的表达式为二次函数，通过二次函数的最值求解即可．【解答】解：点P（x，y）在椭圆x2+4y2=4上，可得x∈[﹣2，2]．可得y2=1﹣x2．则=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2≤9﹣2=7，当且仅当x=2时表达式取得最大值7．故选：B．8．已知方程（m﹣3）x2+（5﹣m）y2=（m﹣3）（5﹣m），其中m∈R，对m的不同取值，该方程不可能表示的曲线是（）A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线【考点】曲线与方程．【分析】由题意，m∈R，对m的不同取值，该方程不可能出现一次项，故方程不表示抛物线．【解答】解：由题意，m∈R，对m的不同取值，该方程不可能出现一次项，故方程不表示抛物线．故选D．9．已知抛物线C：y2=12x，过点P（2，0）且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A、B两点，则线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为（）A．22 B．14 C．11 D．8【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】求出抛物线的准线方程，然后求解准线方程，求出线段AB的中点的横坐标，然后求解即可．【解答】解：抛物线C：y2=12x，可得准线方程为：x=﹣3，过点P（2，0）且斜率为1的直线l：y=x﹣2，由题意可得：，可得x2﹣16x+4=0，直线l与抛物线C相交于A、B两点，则线段AB的中点的横坐标为：8，则线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为：8+3=11．故选：C．10．给出以下命题：①若cos＜，＞=﹣，则异面直线MN与PQ所成角的余弦值为﹣；②若平面α与β的法向量分别是与，则平面α⊥β；③已知A、B、C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足，则点M∈平面ABC；④若向量、、是空间的一个基底，则向量、、也是空间的一个基底；则其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由两条异面直线所成的角的取值范围可以判断①，由平面向量数量积的运算可以判断②，在空间，点M在平面ABC内的充要条件是存在α、β、γ，使=α+β+γ且α+β+γ=1可以判断③，由三个向量非零不共线可以判断④，从而可得到正确的命题个数．【解答】解：对于①：∵两条异面直线所成的角的取值范围是（0°，90°]，∴异面直线MN与PQ所成角的余弦值不能为负值，故①不正确；对于②：∵•=（2，4，﹣3）（﹣1，2，2）=﹣2+8﹣6=0，∴⊥．∴平面α与平面β垂直，故②正确；对于③：∵，且∴M点不在平面ABC内，故③不正确；对于④：∵向量、、是空间的一个基底，则向量、、也是空间的一个基底，∵三个向量非零不共线，故④正确．∴其中正确的命题个数是：2．故选：B．11．如图，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线与双曲线的左、右两支分别相交于B、A两点，若△ABF2为等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的离心率．【解答】解：根据双曲线的定义，可得|BF1|﹣|BF2|=2a，∵△ABF2是等边三角形，即|BF2|=|AB|，∴|BF1|﹣|BF2|=2a，即|BF1|﹣|AB|=|AF1|=2a又∵|AF2|﹣|AF1|=2a，∴|AF2|=|AF1|+2a=4a，∵△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，∠F1AF2=120°，∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2﹣2|AF1|•|AF2|cos120°，即4c2=4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）=28a2，解之得c=a，由此可得双曲线C的离心率e==．故选：C．12．已知A、B为椭圆=1和双曲线=1的公共顶点，P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于两点A、B的动点，且有+=λ（+）（λ∈R，|λ|＞1），设直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k1、k2、k3、k4，则k1+k2+k3+k4的值（）A．大于0B．等于0C．小于0D．大于0，等于0，小于0都有可能【考点】圆锥曲线的综合．【分析】设P（x1，y1）、Q（x2，y2），利用斜率公式得到k1+k2=+=；同理可得k3+k4=﹣，结合O、P、Q三点共线即可得出k1+k2+k3+k4的值．【解答】解：由题意，O、P、Q三点共线．设P（x1，y1）、Q（x2，y2），点P在双曲线=1上，有x12﹣4=4y12．所以k1+k2=+=．①又由点Q在椭圆=1上，有x22﹣4=﹣2y22．同理可得k3+k4=﹣②∵O、P、Q三点共线．∴=．由①、②得k1+k2+k3+k4=0．故选B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知命题p：∀x∈R，x＜﹣1，则该命题的否定是￢p：∃x∈R，x≥﹣1．【考点】命题的否定．【分析】由全称命题的否定为特称命题，即可得到所求命题的否定．【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，可得命题p：∀x∈R，x＜﹣1，则该命题的否定是￢p：∃x∈R，x≥﹣1．故答案为：∃x∈R，x≥﹣1．14．直线l与双曲线x2﹣4y2=4相交于A、B两点，若点P（4，1）为线段AB的中点，则直线l的方程是x﹣y﹣3=0．【考点】直线与双曲线的位置关系．【分析】设出A，B的坐标，代入双曲线方程，两式相减，根据中点的坐标可知x1+x2和y1+y2的值，进而求得直线AB的斜率，根据点斜式求得直线的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=8，y1+y2=2，∵x12﹣4y12=4，x22﹣4y22=4，两式相减可得：（x1+x2）（x1﹣x2）﹣4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴8（x1﹣x2）﹣8（y1﹣y2）=0，∴k AB=1，∴直线的方程为y﹣1=1（x﹣4），即x﹣y﹣3=0．故答案为：x﹣y﹣3=0．15．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a＞0），q：2＜x≤3．若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（1，2] ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a＞0），解得a＜x＜3a．根据p是q的必要不充分条件，可得，解出即可得出．【解答】解：p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a＞0），解得a＜x＜3a．q：2＜x≤3．∵p是q的必要不充分条件，∴，解得1＜a≤2．则实数a的取值范围是（1，2]，故答案为：（1，2]．16．在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，∠BAC=，AB=AC=AA1=1，已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为．【考点】棱柱的结构特征；点、线、面间的距离计算．【分析】根据直三棱柱中三条棱两两垂直，本题考虑利用空间坐标系解决．建立如图所示的空间直角坐标系，设出F、D的坐标，求出向量，利用GD ⊥EF求得关系式，写出DF的表达式，然后利用二次函数求最值即可．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（0，1，），G（，0，1），F（x，0，0），D（0，y，0）由于GD⊥EF，所以x+2y﹣1=0DF===当y=时，线段DF长度的最小值是当y=1时，线段DF长度的最大值是1而不包括端点，故y=1不能取；故答案为：．三、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设命题p：∀x∈R，x2﹣2x＞a，其中a∈R，命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0．如果“x2＞1p”为假命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】求出两个命题是真命题时的a的范围，判断复合命题的真假，然后求解实数a的取值范围．【解答】（本小题满分10分）解：命题p：∀x∈R，x2﹣2x＞a，即x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1＞a恒成立⇔a＜﹣1…命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，即方程x2+2ax+2﹣a=0有实数根，…故△=（2a）2﹣4（2﹣a）≥0⇔a2+a﹣2≥0⇔a≤﹣2或a≥1…因为“¬p”为假命题，“p∧q”为假命题，故p为真命题，q为假命题…所以…故﹣2＜a＜﹣1，即实数a的取值范围是（﹣2，﹣1）…18．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，且经过点（2，3）．（Ⅰ）求双曲线C的标准方程和其渐近线方程；（Ⅱ）设直线l经过点（0，﹣1），且斜率为k．求直线l与双曲线C有两个公共点时k的取值范围．【考点】圆锥曲线的范围问题；双曲线的标准方程；直线与双曲线的位置关系．【分析】（Ⅰ）法一：求出双曲线的焦点坐标，利用双曲线定义求出a，然后求双曲线C的方程，渐近线方程．法二：利用已知条件列出方程组，求出a，b，然后求双曲线C的方程，渐近线方程．（Ⅱ）联立利用△＞0，求出﹣2＜k＜2，结合渐近线求解k的范围即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）法一：由已知，双曲线的焦点为（﹣2，0）和（2，0）…据定义有：…故a2=1，c2=4，b2=3，从而所求双曲线C的方程为．…其渐近线方程为：…法二：由，故所求双曲线C的方程为…其渐近线方程为：…（Ⅱ）由得：（3﹣k2）x2+2kx﹣4=0…当3﹣k2≠0，即时，…若△＞0，即△=4k2﹣4（﹣4）（3﹣k2）=12（4﹣k2）＞0⇒4﹣k2＞0⇒﹣2＜k＜2时，直线与双曲线相交，有两个公共点；…所以，当﹣2＜k＜2，且时，直线与双曲线有两个公共点．…19．如图，直角梯形OABC中，∠COA=∠OAB=，OC=2，OA=AB=1，SO⊥平面OABC，且SO=1，点M为SC的中点．（Ⅰ）求证：BM∥平面SOA；（Ⅱ）求二面角O﹣SC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】解法一：（Ⅰ）取SO的中点G，连接MG、AG．说明MG∥OC，推出MG∥AB，得到BM∥AG，然后证明BM∥平面SOA．（Ⅱ）以OC，OA，OS所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．求出平面SOC的一个法向量，平面SCB的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角O﹣SC﹣B的余弦值．解法二：（Ⅰ）以OC，OA，OS所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，求出，求出平面SOA的一个法向量，利用，推出BM∥平面SOA．（Ⅱ）求出平面SOC的一个法向量，平面SCB的一个法向量，利用空间向量的数量积，求解即可．【解答】（本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）取SO的中点G，连接MG、AG．故MG∥OC，且，…又由已知，AB∥OC，且，所以MG∥AB，且MG=AB，即四边形MGAB为平行四边形…故BM∥AG…又因为BM⊄平面SOA，AG⊂平面SOA，…所以BM∥平面SOA．…（Ⅱ）由SO⊥平面OABC，，故OS，OC，OA两两垂直，分别以OC，OA，OS所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．…则O（0，0，0），B（1，1，0），C（2，0，0），S（0，0，1），A（0，1，0）因为OA⊥平面SOC，故即为平面SOC的一个法向量，…设平面SCB的一个法向量为=（x，y，z），由，得，令x=1，得=（1，1，2）．…故．…即二面角O﹣SC﹣B的余弦值为…解法二：（Ⅰ）由SO⊥平面OABC，，故OS，OC，OA两两垂直，分别以OC，OA，OS所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz…则，故，…因为OC⊥平面SOA，故是平面SOA的一个法向量．…因为，故，…而BM⊄平面SOA，所以BM∥平面SOA．…（Ⅱ）因OA⊥平面SOC，故即为平面SOC的一个法向量…设平面SCB的一个法向量为=（x，y，z），由，得，令x=1，得=（1，1，2）．…故．…即二面角O﹣SC﹣B的余弦值为．…20．已知点P在抛物线x2=y上运动，过点P作y轴的垂线段PD，垂足为D．动点M（x，y）满足，设点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=﹣1，若经过点F（0，1）的直线与曲线C相交于A、B两点，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为A1、B1，试判断直线A1F与B1F的位置关系，并证明你的结论．【考点】直线与抛物线的位置关系；轨迹方程．【分析】（Ⅰ）设P（x0，y0），由知点P为线段DM的中点，，利用点P在抛物线x2=y上，然后求解曲线C的方程．（Ⅱ）判断：直线A1F与B1F垂直，证明如下：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（x1，﹣1），B1（x2，﹣1），由已知，直线AB的斜率k存在，设其方程为y=kx+1，联立，通过计算的数量积，推出结果．【解答】（本小题满分12分）解（Ⅰ）设P（x0，y0），由知点P为线段DM的中点，故…因为点P在抛物线x2=y上，故，从而…即曲线C的方程为x2=4y…（Ⅱ）判断：直线A1F与B1F垂直，…证明如下：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（x1，﹣1），B1（x2，﹣1），由已知，直线AB的斜率k存在，设其方程为y=kx+1．…由得：x2﹣4kx﹣4=0…所以x1x2=﹣4，…因为，，…故…所以直线A1F与B1F垂直．…（其它解法参照给分）21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC=45°，PA⊥底面ABCD，AB=AC=PA=2，E、F分别为BC、AD的中点，点M在线段PD上．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；（Ⅱ）设，若直线ME与平面PBC所成的角θ的正弦值为，求λ的值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明AB⊥AC．EF⊥AC，推出PA⊥EF．然后证明EF⊥平面PAC．（Ⅱ）以AB，AC，AP所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．求出相关点的坐标，求出，平面PBC的一个法向量，利用向量的数量积求解即可．【解答】（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD中，因为AB=AC，∠ABC=45°，所以∠ACB=45°，故AB⊥AC．…由E、F分别为BC、AD的中点，得EF∥AB，所以EF⊥AC…因为PA⊥底面ABCD，EF⊂底面ABCD，所以PA⊥EF．…又因为PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，…所以EF⊥平面PAC．…（向量法参照给分，建立空间直角坐标系时没有证明AB⊥AC扣1分）（Ⅱ）解：因为PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，所以AP，AB，AC两两垂直，分别以AB，AC，AP所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A ﹣xyz．则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（﹣2，2，0），E（1，1，0）．所以，，…由已知，，故，所以M（﹣2λ，2λ，2﹣2λ），，…设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），由，得令x=1，得=（1，1，1）．…所以=，…化简得4λ2+4λ﹣3=0，…故或（舍）…22．设椭圆的离心率为，左顶点到直线x+2y﹣2=0的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点O，试探究：点O到直线AB的距离是否为定值？若是，求出这个定值；否则，请说明理由；（Ⅲ）在（2）的条件下，试求△AOB面积S的最小值．【考点】圆锥曲线的最值问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用距离公式求出a，离心率求出c，得到b后即可求出椭圆方程．（Ⅱ）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），①当直线l的斜率不存在时，求解点O 到直线AB的距离．②当直线l的斜率存在时，设其方程为l：y=kx+m．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合数量积，求出m，k关系式，然后求解距离即可．法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），①当直线l的斜率为0时，求解点O到直线AB的距离，②当直线l的斜率不为0，或斜率不存在时，设其方程为l：x=my+c．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及数量积，求解距离即可．（Ⅲ）法一：当直线OA、直线OB中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，易知S=1；当直线OA、直线OB斜率存在且不为0时，设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为，利用平方差法以及弦长公式表示三角形的面积，利用基本不等式求出最值．法二：由（Ⅱ），①当直线l的斜率不存在时，求出面积；②当直线l的斜率存在时，求出写出以及点到直线的距离，得到面积的表达式，利用二次函数的性质求解面积的最值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知，…因为…故所求椭圆的方程为…（Ⅱ）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），①当直线l的斜率不存在时，由椭圆对称性知x1=x2，y1=﹣y2，因为以AB为直径的圆经过坐标原点O，故，即又因为点A（x1，y1）在椭圆上，故，解得，此时点O到直线AB的距离为…②当直线l的斜率存在时，设其方程为l：y=kx+m．联立得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0…所以，…由已知，以AB为直径的圆经过坐标原点O，则，且…故化简得5m2=4（1+k2），…故点O到直线AB的距离为综上，点O到直线AB的距离为定值…法二：（若设直线方程为l：x=my+c，也要对直线斜率为0进行讨论）设A（x1，y1），B（x2，y2），①当直线l的斜率为0时，由椭圆对称性知x1=﹣x2，y1=y2，因为以AB为直径的圆经过坐标原点O，故，即又因为点A（x1，y1）在椭圆上，故，解得，此时点O到直线AB的距离为…②当直线l的斜率不为0，或斜率不存在时，设其方程为l：x=my+c．联立得：（m2+4）y2+2cmy+c2﹣4=0…所以，……化简得5c2=4（1+m2），故点O到直线AB的距离为综上，点O到直线AB的距离为定值…（Ⅲ）法一：当直线OA、直线OB中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，易知S=1；当直线OA、直线OB斜率存在且不为0时，设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为，由得，同理…故令1+k2=t（t＞1），则故…综上，△AOB面积S的最小值为．…法二：由（Ⅱ），①当直线l 的斜率不存在时，，②当直线l 的斜率存在时，5m 2=4（1+k 2），且点O 到直线AB 的距离为，=故，…令1+4k 2=t （t ≥1），则，因为，故．…综上，△AOB 面积S 的最小值为．…2017年2月27日。
【福州一中】2016-2017年高三第二学期模拟文科数学试卷-答案
x x 2 ，而 f (x) 的极值点，∴ f (2) 4 a b 0 ，
2 又∵1 是函数 f (x) 的零点，∴ f (1) 1 b 0 .
联立
4
a 2
b
室外工作
室内工作
合计
有呼吸系统疾病
150
200
350
无呼吸系统疾病
50
100
150
合计
200300ຫໍສະໝຸດ 500（Ⅱ）观察值 K 2 500 (150100 200 50)2 3.968 3.841. 350150 200 300
∴有 95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关.
所以曲线 C1 的直角坐标方程为： y2 4x .
（Ⅱ）设 Q(cos ,sin )( [ π , π]) ，易知直线 C 的斜率 k 3 ， 22
所以 kOQ
3 ，即 sin
3
cos
tan
3 ，所以 π ，故 Q(
3
6
3 ,1) . 22
取 x0
1/5
∴ P( A) 2 .答：2 人都有呼吸系统疾病的概率为 2 ．
5
5
19．解：（Ⅰ）取线段 CD 的中点 Q，
连接 KQ，直线 KQ 即为所求.
证明如下：
取 EC 中点 G，连接 FG，连接 AC 交 BD 于 O.
则 OG 为 △EAC 的中位线.
∴ OG∥1 EA ，∵ FD∥1 EA ，∴ OG∥FD ，
（Ⅲ）采用分层抽样抽取 6 名，有呼吸系统疾病的抽取 4 人，记为 A，B，C，D，无呼吸系统疾病的抽取 2
福建省福州一中2017-2018学年高三下学期期初数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年福建省福州一中高三（下）期初数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2}B．{x|x＞﹣1}C．{x|x＜﹣1}D．{x|x≤﹣2} 2．“∀x∈R，x2≠x”的否定是（）A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2=x C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2=x3．，是两个向量，||=1，||=2，且（+）⊥，则与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°4．已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，且|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．B．1 C．D．5．执行如图所示的程序框图，输出的S的值是（）A．﹣6 B．10 C．﹣15 D．116．若变量x，y满足|x|﹣ln=0，则y关于x的函数图象大致是（）A． B．C．D．7．设a=0.23，b=log20.3，c=log0.32，则（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜b＜c8．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．2B．4C．D．169．在等差数列{a n}中，a9=a12+6，则该数列的前11项和为（）A．12 B．72 C．132 D．19210．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形AF1F2的一边AF1与双曲线左支交于点B，且=4，则双曲线C的离心率的值是（）A． +1 B．C． +1 D．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（）A．πB．πC．πD．π12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f（x）满足：对于任意的x1，x2∈[﹣2016，2016]，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣2016，且x＞0时，有f（x）＜2016，f（x）的最大值、最小值分别为M，N，则M+N的值为（）A．2015 B．2016 C．4030 D．4032二、填空题设复数z=﹣1﹣i，z的共轭复数为，则=．14．已知函数f（x）=2x2﹣xf′（2），则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是．15．若x，y满足若z=x+my的最大值为，则实数m=．16．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acos A，则sin A：sin B：sin C为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足．（1）证明：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足，其前n项和为T n，求T n．18．某商店计划每天购进某商品若干千件，商店每销售一件该商品可获利涧50元，供大于求时，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外徘调剂，此时每件调剂商品可获利30元．（1）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N*）的函数解析式；（2）商店记录了50天该商品的日需求量n（单位：件）．整理得下表：若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求该商品一天的利润X的分布列及平均值．19．如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，E，F分别是棱BC，B1C1上的动点，且EF∥CC1，CD=DD1=1，AB=2，BC=3．（Ⅰ）证明：无论点E怎样运动，四边形EFD1D都为矩形；（Ⅱ）当EC=1时，求几何体A﹣EFD1D的体积．20．已知椭圆E：（a＞b＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，M为椭圆上任意一点，且|MF1|，|F1F2|，|MF2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．（1）求椭圆E的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥，求出该圆的方程．21．已知f（x）=xlnx，g（x）=，直线l：y=（k﹣3）x﹣k+2（1）函数f（x）在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值（2）若至少存在一个x0∈[1，e]使f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围（3）设k∈Z，当x＞1时f（x）的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE 的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn=0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．选修4-4：极坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是为参数，0≤α＜π），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，已知曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ，射线与曲线C2相交，交点分别为A，B，C（A，B，C均不与O重合）．（1）求证：；（2）当时，B，C两点在曲线C1上，求m与α的值．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|（1）解不等式f（x）≥﹣2；（2）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年福建省福州一中高三（下）期初数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2}B．{x|x＞﹣1}C．{x|x＜﹣1}D．{x|x≤﹣2}【考点】并集及其运算；指数函数的单调性与特殊点；一元二次不等式的解法．【分析】根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．【解答】解：∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，∴M∪N={x|x≥﹣2}，故选A．【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答．2．“∀x∈R，x2≠x”的否定是（）A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2=x C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2=x 【考点】的否定．【分析】根据全称的否定是特称，利用特称写出的否定．【解答】解：根据全称的否定是特称，∴的否定是：∃x0∈R，=x0．故选：D．【点评】本题考查了全称的否定，要注意的否定与的否是两个完全不同的，全称的否定是特称．3．，是两个向量，||=1，||=2，且（+）⊥，则与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的运算．【分析】设，的夹角为θ，0°≤θ≤180°，则由题意可得（）=0，解得cosθ=﹣，可得θ的值．【解答】解：设，的夹角为θ，0°≤θ≤180°，则由题意可得（）=0，即+=1+1×2×cosθ=0，解得cosθ=﹣，∴θ=120°，故选C．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，根据三角函数的值求角，属于中档题．4．已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，且|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．B．1 C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，即可得到线段AB的中点到y轴的距离．【解答】解：由于F是抛物线y2=x的焦点，则F（，0），准线方程x=﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|=x1++x2+=3，解得x1+x2=，∴线段AB的中点横坐标为．∴线段AB的中点到y轴的距离为．故选C．【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．5．执行如图所示的程序框图，输出的S的值是（）A．﹣6 B．10 C．﹣15 D．11 【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，即可得出程序运行后输出的S值．【解答】解：执行如图所示的程序框图，如下；i=1，S=0，i＜6，i是奇数，S=0﹣12=﹣1；i=2，i＜6，i不是奇数，S=﹣1+22=3；i=3，i＜6，i是奇数，S=3﹣32=﹣6；i=4，i＜6，i不是奇数，S=﹣6+42=10；i=5，i＜6，i是奇数，S=10﹣52=﹣15；i=6，i≥6，输出S=﹣15．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．6．若变量x，y满足|x|﹣ln=0，则y关于x的函数图象大致是（）A． B．C．D．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由条件可得y=，显然定义域为R，且过点（0，1），当x＞0时，y=，是减函数，从而得出结论．【解答】解：若变量x，y满足|x|﹣ln=0，则得y=，显然定义域为R，且过点（0，1），故排除C、D．再由当x＞0时，y=，是减函数，故排除A，故选B．【点评】本题主要考查指数式与对数式的互化，指数函数的图象和性质的综合应用，以及函数的定义域、值域、单调性、函数图象过定点问题，属于基础题．7．设a=0.23，b=log20.3，c=log0.32，则（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜b＜c【考点】对数值大小的比较．【分析】根据对数函数和指数函数比较a，b，c与0，﹣1，的关系，即可得到答案【解答】解：∵0＜0.23＜1，b=log20.3＜log20.5=﹣1，log0.32＞log0.3=﹣1，∴b＜c＜a，故选：B．【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，关键是找到和0，﹣1和关系，属于基础题8．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．2B．4C．D．16【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，SC=4，△ABC中AC=4，AC边上的高为2，进而根据勾股定理得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC中AC=4，AC边上的高为2，故BC=4，在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=4，故选B【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．9．在等差数列{a n}中，a9=a12+6，则该数列的前11项和为（）A．12 B．72 C．132 D．192【考点】等差数列的前n项和．【分析】由已知求得a6，再由S11=11a6求得答案．【解答】解：由a9=a12+6，得2a9﹣a12=12，即2a1+16d﹣a1﹣11d=12，∴a1+5d=12，a6=12．则S11=11a6=11×12=132．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．10．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形AF1F2的一边AF1与双曲线左支交于点B，且=4，则双曲线C的离心率的值是（）A． +1 B．C． +1 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出F1（﹣c，0），A（0，c），设B（x，y），根据=4，可得x=﹣，y=，代入双曲线方程，即可得出结论．【解答】解：由题意，F1（﹣c，0），A（0，c），设B（x，y），则∵=4，∴（﹣c，﹣c）=4（﹣c﹣x，﹣y），∴x=﹣，y=，代入双曲线方程可得，∴9e4﹣28e2+16=0，∴e=．故选B．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，确定坐标之间的关系是关键．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（）A．πB．πC．πD．π【考点】球的体积和表面积．【分析】先求出没有水的部分的体积是，再求出棱长为2，可得小球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的，∵正四面体的各棱长均为4，∴正四面体体积为=，∴没有水的部分的体积是，设其棱长为a，则=，∴a=2，设小球的半径为r，则4×r=，∴r=，∴球的表面积S=4=．故选：C．【点评】本题考查球的表面积，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确求出半径是关键．12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f（x）满足：对于任意的x1，x2∈[﹣2016，2016]，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣2016，且x＞0时，有f（x）＜2016，f（x）的最大值、最小值分别为M，N，则M+N的值为（）A．2015 B．2016 C．4030 D．4032【考点】抽象函数及其应用．【分析】特殊值法：令x1=x2=0，得f（0）=2016，再令x1+x2=0，将f（0）=2016代入可得f（x）+f（﹣x）=4032．根据条件x＞0时，有f（x）＜2016，得出函数的单调性，根据单调性求出函数的最值．【解答】解：∵对于任意的x1，x2∈[﹣2016，2016]，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣2016，∴令x1=x2=0，得f（0）=2016，再令x1+x2=0，将f（0）=2016代入可得f（x）+f（﹣x）=4032．设x1＜x2，x1，x2∈[﹣2016，2016]，则x2﹣x1＞0，f（x2﹣x1）=f（x2）+f（﹣x1）﹣2016，∴f（x2）+f（﹣x1）﹣2016＜2016．又∵f（﹣x1）=4032﹣f（x1），∴f（x2）＜f（x1），即函数f（x）是递减的，∴f（x）max=f（﹣2016），f（x）min=f（2016）．又∵f（2016）+f（﹣2016）=4032，∴M+N的值为4032．故选D．【点评】考查了抽象函数中特殊值的求解方法，得出函数的性质．二、填空题（2016春福州校级月考）设复数z=﹣1﹣i，z的共轭复数为，则=﹣3+i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：=（2+i）（﹣1+i）=﹣3+i，故答案为：﹣3+i．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．已知函数f（x）=2x2﹣xf′（2），则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是4x﹣y﹣8=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算．【分析】求导函数，确定切点处的斜率与切点的坐标，即可求得函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程．【解答】解：∵函数f（x）=2x2﹣xf′（2），∴f′（x）=4x﹣f′（2），∴f′（2）=8﹣f′（2），∴f′（2）=4∴f（2）=8﹣2×4=0∴函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y﹣0=4（x﹣2）即4x﹣y﹣8=0故答案为：4x﹣y﹣8=0【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，确定切点处的斜率与切点的坐标是关键．15．若x，y满足若z=x+my的最大值为，则实数m=2．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足约束条件的可行域，求出目标函数的最大值，从而建立关于m的等式，即可得出答案．【解答】解：由z=x+my得y=x，作出不等式组对应的平面区域如图：∵z=x+my的最大值为，∴此时z=x+my=，此时目标函数过定点C（，0），作出x+my=的图象，由图象知当直线x+my=，经过但A时，直线AC的斜率k=＞﹣1，即m＞1，由平移可知当直线y=x，经过点A时，目标函数取得最大值，此时满足条件，由，解得，即A（，），同时，A也在直线x+my=上，代入得+m=，解得m=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义确定取得最大值的最优解是解决本题的关键．16．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acos A，则sin A：sin B：sin C为6：5：4．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】设三边长分别为a、a﹣1、a﹣2．由余弦定理可得cosA=．再由3b=20acosA，可得cosA=，故有=，解得a的值，可得三边长．再由正弦定理可得sinA：sinB：sinC 的值．【解答】解：由于a，b，c 三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，可设三边长分别为a、a﹣1、a﹣2．由余弦定理可得 cosA===．再由3b=20acos A ，可得cosA==，故有=，解得 a=6，故三边分别为6，5，4．由正弦定理可得 sinA ：sinB ：sinC=a ：b ：c=a ：（a ﹣1）：（ a ﹣2）=6：5：4，故答案为 6：5：4．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，求出a=6是解题的关键，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足．（1）证明：数列{a n +1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）数列{b n }满足，其前n 项和为T n ，求T n ．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）利用公式a n +1=S n +1﹣S n 即可得出a n +1+1=2（a n +1），故数列{a n +1}为等比数列，利用等比数列的通项公式得出a n +1，从而得出a n ；（2）化简b n =n2n ﹣n ，再使用分项求和和错位相减法求和得出T n ． 【解答】解：（1）∵S n +n=2a n ，∴S n +1+（n +1）=2a n +1，∴a n +1+1=2a n +1﹣2a n ，即a n +1+1=2（a n +1），又a 1+1=2a 1，∴a 1=1．∴{a n +1}是以2为首选，以2为公比的等比数列．∴a n +1=2n ，∴a n =2n ﹣1．（2）b n =（2n ﹣1）log 22n =n （2n ﹣1）=n2n ﹣n ．∴T n =12+222+323+…+n2n ﹣（1+2+3+…+n ）=12+222+323+…+n2n﹣．设12+222+323+…+n2n=A n，则122+223+324+…+n2n+1=2A n，两式相减得2+22+23+…+2n﹣n2n+1=﹣A n，∴﹣A n=﹣n2n+1=（1﹣n）2n+1﹣2，∴A n=（n﹣1）2n+1+2，∴T n=（n﹣1）2n+1+2﹣．【点评】本题考查了等比关系的判断，数列通项公式的求法，错位相减法求和，属于中档题．18．某商店计划每天购进某商品若干千件，商店每销售一件该商品可获利涧50元，供大于求时，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外徘调剂，此时每件调剂商品可获利30元．（1）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N*）的函数解析式；（2）商店记录了50天该商品的日需求量n（单位：件）．整理得下表：若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求该商品一天的利润X的分布列及平均值．【考点】离散型随机变量及其分布列；众数、中位数、平均数．【分析】（1）根据题意分段求解得出当1≤n≤10时，y利润，当n＞10时，y利润，由此能求出当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N）的函数解析式．（2）由已知得X的可能取值为380，440，500，530，560，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和平均值．【解答】解：（1）当1≤n≤10时，y利润=50n+（10﹣n）×（﹣10）=60n﹣100，=50×10+（n﹣10）×30=30n+200，当n＞10时，y利润=．所以函数解析式y利润（2）∵日需求量为8，频数9天，利润为50×8﹣10×2=380，日需求量为9，频数11天，利润为50×9﹣10×1=440，日需求量为10，频数15，利润为50×10=500，日需求量为11，频数10，利润为50×10+30=530，日需求量为12，频数5，利润为50×10+30×2=560，∴X的可能取值为380，440，500，530，560，P（X=380）=，P（X=440）=，P（X=500）=，P（X=530）=，P（X=560）=，∴X的分布列为：平均值EX=+=477.2（元）．【点评】本题考查了运用概率知识求解实际问题的利润问题，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题19．如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，E，F分别是棱BC，B1C1上的动点，且EF∥CC1，CD=DD1=1，AB=2，BC=3．（Ⅰ）证明：无论点E怎样运动，四边形EFD1D都为矩形；（Ⅱ）当EC=1时，求几何体A﹣EFD1D的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论．【分析】（I）要证明无论点E怎样运动，四边形EFD1D都为矩形，我们可根据已知中直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，E，F分别是棱BC，B1C1上的动点，且EF∥CC1，先由线面平行的性质定理，判断出四边形EFD1D为平行四边形，再证明其邻边相互垂直，进而得到答案．（II）连接AE，我们易根据已知条件，结合直棱柱的几何特征和勾股定理，判断出AE到为四棱锥的高，根据CD=DD1=1，AB=2，BC=3及EC=1，我们计算出四棱锥底面面积的和高，代入棱锥体积公式即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1∥CC1，∵EF∥CC1，∴EF∥DD1，又∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD∩平面EFD1D=ED，平面A1B1C1D1∩平面EFD1D=FD1，∴ED∥FD1，∴四边形EFD1D为平行四边形，∵侧棱DD1⊥底面ABCD，又DE⊂平面ABCD内，∴DD1⊥DE，∴四边形EFD1D为矩形；（Ⅱ）证明：连接AE，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，∴侧棱DD1⊥底面ABCD，又AE⊂平面ABCD内，∴DD1⊥AE，在Rt△ABE中，AB=2，BE=2，则；在Rt△CDE中，EC=1，CD=1，则；在直角梯形中ABCD，；∴AE2+DE2=AD2，即AE⊥ED，又∵ED∩DD1=D，∴AE⊥平面EFD1D；由（Ⅰ）可知，四边形EFD1D为矩形，且，DD1=1，∴矩形EFD1D的面积为，∴几何体A﹣EFD1D的体积为．【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积公式及平面的基本性质及推论，其中求几何体A ﹣EFD1D的体积，关键是要找到棱锥的高，求出高和底面面积后，代入棱锥体积公式即可得到答案．20．已知椭圆E：（a＞b＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，M为椭圆上任意一点，且|MF1|，|F1F2|，|MF2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．（1）求椭圆E的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥，求出该圆的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）通过|MF1|，|F1F2|，|MF2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．列出方程，求出a、b，即可求椭圆E的方程；（2）假设以原点为圆心，r为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m，则r=，然后联立直线方程与椭圆方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），结合x1x2+y1y2=0，即可求圆的方程．（ⅱ）若AB的斜率不存在，设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），利用⊥，求出半径，得到结果．【解答】解：（1）由题知2|F1F2|=|MF1|+|MF2|，即2×2c=2a，得a=2c．①又由，得②且a2=b2+c2，综合解得c=1，a=2，b=．∴椭圆E 的方程为+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx +m ，则r=，r 2=，①消去y ，整理得（3+4k 2）x 2+8kmx +4（m 2﹣3）=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），又∵⊥，∴x 1x 2+y 1y 2=0，即4（1+k 2）（m 2﹣3）﹣8k 2m 2+3m 2+4k 2m 2=0，化简得m 2=（k 2+1），②由①②求得r 2=．所求圆的方程为x 2+y 2=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ⅱ）若AB 的斜率不存在，设A （x 1，y 1），则B （x 1，﹣y 1），∵⊥，∴=0，得x=．此时仍有r 2=|x |=．综上，总存在以原点为圆心的圆x 2+y 2=满足题设条件．【点评】考查椭圆的方程和基本性质，与向量相结合的综合问题．考查分析问题解决问题的能力．21．已知f （x ）=xlnx ，g （x ）=，直线l ：y=（k ﹣3）x ﹣k +2（1）函数f （x ）在x=e 处的切线与直线l 平行，求实数k 的值（2）若至少存在一个x 0∈[1，e ]使f （x 0）＜g （x 0）成立，求实数a 的取值范围（3）设k ∈Z ，当x ＞1时f （x ）的图象恒在直线l 的上方，求k 的最大值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）先求导，根据导数的几何意义得到关于k的方程解得即可．（2）由于存在x0∈[1，e]，使f（x0）＜g（x0），则kx0＞2lnx0⇒a＞，只需要k大于h（x）=的最小值即可．（3）分离参数，得到k＜，构造函数，求函数的最小值即可．【解答】解：（1）∵f′（x）=1+lnx，∴f′（e）=1+lne=k﹣3∴k=5，（2）由于存在x0∈[1，e]，使f（x0）＜g（x0），则ax02＞x0lnx0，∴a＞设h（x）=则h′（x）=，当x∈[1，e]时，h′（x）≥0（仅当x=e时取等号）∴h（x）在[1，e]上单调递增，∴h（x）min=h（1）=0，因此a＞0．（3）由题意xlnx＞（k﹣3）x﹣k+2在x＞1时恒成立即k＜，设F（x）=，∴F′（x）=，令m（x）=x﹣lnx﹣2，则m′（x）=1﹣=＞0在x＞1时恒成立所以m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0，所以在（1，+∞）上存在唯一实数x0（x0∈（3，4））使m（x）=0当1＜x＜x0时m（x）＜0即F′（x）＜0，当x＞＜x0时m（x）＞0即F′（x）＞0，所以F（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，F（x）min=F（x0）===x0+2∈（5，6）故k＜x0+2又k∈Z，所以k的最大值为5【点评】本题考查导数在研究函数的单调性、函数恒成立的问题，考查等价转化的思想方法以及分析问题的能力，属于难题．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE 的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn=0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．【考点】圆周角定理；与圆有关的比例线段．【分析】（I）做出辅助线，根据所给的AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn=0的两个根，得到比例式，根据比例式得到三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论．（II）根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取CE的中点G，DB 的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH，根据四点共圆得到半径的大小．【解答】解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB=mn=AE×AC，即又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB因此∠ADE=∠ACB∴C，B，D，E四点共圆．（Ⅱ）m=4，n=6时，方程x2﹣14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12．故AD=2，AB=12．取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH．∵C，B，D，E四点共圆，∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH．由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF=AG=5，DF=（12﹣2）=5．故C，B，D，E四点所在圆的半径为5【点评】本题考查圆周角定理，考查与圆有关的比例线段，考查一元二次方程的解，考查四点共圆的判断和性质，本题是一个几何证明的综合题．选修4-4：极坐标系与参数方程23．（2016春福州校级月考）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是为参数，0≤α＜π），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，已知曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ，射线与曲线C2相交，交点分别为A，B，C（A，B，C均不与O重合）．（1）求证：；（2）当时，B，C两点在曲线C1上，求m与α的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）射线（Φ∈）分别与曲线C2联立解得：A（4cosΦ，Φ），B（4cos（Φ+），Φ+），C（4cos（Φ﹣），Φ），化简|OB|+|OC|=×4×cosΦ，即可证明．（2）曲线C1的参数方程是为参数，0≤α＜π），当时，B，C，可得直角坐标B，C．根据两点在曲线C1上，即可得出．【解答】（1）证明：射线（Φ∈）分别与曲线C2联立解得：A（4cosΦ，Φ），B（4cos（Φ+），Φ+），C（4cos（Φ﹣），Φ），则|OB|+|OC|=4cos（Φ+）+4cos（Φ﹣）=2×4×cosΦcos=×4×cosΦ=|OA|．∴；（2）解：曲线C1的参数方程是为参数，0≤α＜π），当时，B，C，可得直角坐标B，C．∵两点在曲线C1上，∴α=0，m∈R．【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化公式、直线的参数方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．（2016湖南四模）已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|（1）解不等式f（x）≥﹣2；（2）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过对x≤﹣2，﹣2＜x＜1与x≥1三类讨论，去掉绝对值符号，解相应的一次不等式，最后取其并集即可；（2）在坐标系中，作出的图象，对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，分﹣a≥2与﹣a＜2讨论，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|≥﹣2，当x≤﹣2时，x﹣4≥﹣2，即x≥2，∴x∈∅；当﹣2＜x＜1时，3x≥﹣2，即x≥﹣，∴﹣≤x≤1；当x≥1时，﹣x+4≥﹣2，即x≤6，∴1≤x≤6；综上，不等式f（x）≥﹣2的解集为：{x|﹣≤x≤6}…（2），函数f（x）的图象如图所示：令y=x﹣a，﹣a表示直线的纵截距，当直线过（1，3）点时，﹣a=2；∴当﹣a≥2，即a≤﹣2时成立；…当﹣a＜2，即a＞﹣2时，令﹣x+4=x﹣a，得x=2+，∴a≥2+，即a≥4时成立，综上a≤﹣2或a≥4．…【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查分段函数的性质及应用，考查等价转化思想与作图分析能力，突出恒成立问题的考查，属于难题．。
2017年福建省中考数学试卷含答案
2017年福建省中考数学试卷含答案福建省2017年初中毕业和高中阶段学校招生考试数学试卷第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.3的相反数是()A. 3B. 1C.1/33D.32.如图,由四个正方体组成的几何体的左视图是()3.用科学计数法表示136 000,其结果是()A.0.136×106B.1.36×105C.136×103D.136×1064.化简(2x)2的结果是()A.x4B.2x2C.4x2D.4x5.下列关于图形对称性的命题,正确的是()A.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形B.正三角形既是轴对称图形,又是中心对称图形C.线段是轴对称图形,但不是中心对称图形D.菱形是中心对称图形,但不是轴对称图形6.不等式组x2≤0。
的解集是()x3＞A.3＜x≤2B.3≤x＜2C.x≥2D.x＜-37.某校举行“汉字听写比赛”,5个班级代表队的正确答题数如图.这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是()A.10,15B.13,15C.13,20D.15,158.如图,AB是O的直径,C,D是O上位于AB异侧的两点.下列四个角中,一定与∠ACD互余的角是()A.∠ADCBB.∠ABDC.∠BACD.∠BAD删除无效段落）福建省2017年初中毕业和高中阶段学校招生考试数学试卷第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.求3的相反数。
A. 3B. 1C.1/33D.32.如图，由四个正方体组成的几何体的左视图是哪个？图片无法显示，无法改写）3.用科学计数法表示136 000.A.0.136×106B.1.36×105C.136×103D.136×1064.化简(2x)2.A.x4B.2x2C.4x2D.4x5.下列关于图形对称性的命题，正确的是哪个？A.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形B.正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C.线段是轴对称图形，但不是中心对称图形D.菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形6.求不等式组的解集。
2017福州一中追梦计划招生数学卷
2017年福州一中面向福州七县、平潭综合实验区乡镇和农村地区（“追梦计划”）招生考试数学与逻辑试卷（满分：150分 考试时间：120分钟）学 校： 姓 名： 准考证号： 注意：请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡上．．．．．．．的相应位置． 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．)1.下列运算正确的是（ ）A ．22423+=a a a B ．2242-=a a a C ．22422⋅=a a a D ．2222÷=a a a 2.下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）清华大学 北京大学 浙江大学 中国人民大学3.代数式3231212x x x -+分解因式，结果正确的是（ ）A ．23(44)-+x x xB ．23(4)x x -C ．3(2)(2)x x x +-D ．23(2)x x -4．下列命题错误．．的个数是（ ） ① 经过三个点一定可以作一个圆；② 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；③ 对角线相等的四边形是矩形；④ 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形.A ．1B ．2C ．3D ．4 5.无论x 取何值时，点)2,(2x x x P +-不可能．．．在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6.如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4:5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为（ ）A ．288B ．144C ．216D ．120A . B. C. D.7.在某次训练中，甲、乙两名射击运动员各射击10发子弹的成绩统计图如图所示，对于本次训练，有如下结论：①2甲s ＞2乙s ；②2甲s ＜2乙s ；③甲的射击成绩比乙稳定；④乙的射击成绩比甲稳定，由统计图可知正确的结论是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④8.2017年5月14日，福州一中将喜迎建校两百周年华诞，当天正好是星期日，以当天作为第1天开始算起，则第366天是（ ） A ．星期六 B ．星期日 C ．星期一 D ．星期二9.如图，A 、B 是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在格点中任意放置点C ，恰好能使△ABC 的面积为1的概率是（ ）A .625 B .15C .425D .725 10．已知关于x 的不等式组0243(2)-⎧>⎪⎨⎪-<-⎩x m x x 的解集为1x >，且使关于x 的方程1322x m x x -+=--有非负整数解，则符合条件的实数m 的取值之和为（ ） A. 8- B ．7- C ．2- D ．0二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共 20分．请将正确答案填在答题卡相应位置)11. 《九章算术》是我国传统数学最重要的著作，奠定了我国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就． 《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x 两，每只羊值金y 两，可列方程组为 ．M BA 12.若函数=-y kx b 的图象如图所示，则关于x 的不等式(3)0k x b -->的解集为 ．13.观察下列等式：332123+=，33321236++=，333321+2+3+410=，…，根据上述规律，第五个等式为________________．14. 如图，AB 是⊙O 的直径，8=AB ，点M 在⊙O 上，45∠=MAB ，N 是劣弧MB 的三等分点（靠近点B ），P 是直径AB 上的一动点，则∆PMN 周长的最小值为______________．15.定义二次函数的图象与直线x y =交点的横坐标为二次函数的不动点.已知二次函数 ()21324=+-+-y x mn x mn 有唯一不动点，若3-≤m 且0<mn ，则n 的取值范围是 .三、解答题(本大题共7小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．（本小题满分12分）（Ⅰ）计算：()()30201713.1416302π-⎛⎫--+⨯︒+ ⎪⎝⎭cos ； （Ⅱ）先化简，再求值：222311-⎛⎫÷-- ⎪--⎝⎭x x x x x x ，其中1.2=-x17. （本小题满分12分）如图，已知三角形ABC ，=AB AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于D 、E 两点，连接.ED（Ⅰ）求证：∆CDE 为等腰三角形；（Ⅱ）若3=CD ，8=BC ，求⊙O 的半径．18. （本小题满分12分）如图，四边形OABC ，顶点,B C 在第一象限，顶点A 在x 轴的正半轴上,//,CB OA BA x ⊥轴，点B 的横坐标为2，tan 2,COA ∠=D 为AB 的中点，反比例函数k y x=的图象经过,C D 两点.（Ⅰ）求反比例函数的解析式；（Ⅱ）求四边形OCDA 的面积.19.（本小题满分12分） 已知四边形ABCD ，点E 在边BC 上，P 为对角线BD 上的动点，满足⊥AP PE . （Ⅰ）当四边形ABCD 为正方形时（如图1），求证：=PA PE ；（Ⅱ）当四边形ABCD 为矩形，且6=AD ，4=CD 时（如图2），试探究:AP PE 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.20. （本小题满分14分）如图，海中有一小岛D ，它周围12海里内有暗礁.一艘巡逻船在D 岛海域例行巡逻，某时刻航行至A 处时，测得其东北方向与它相距16海里的B 处有一渔船，且D 岛位于巡逻船正东214海里处.观测中发现，此渔船正以每小时4海里的速度沿正南方向航行.如果渔船不改变航线继续前行，有没有触礁危险？请通过计算加以说明.如果有危险，巡逻船的速度至少为多少时，才能将该渔船拦截在暗礁区域之外，并确定此时巡逻船的航向.（参考数据：sin 3652'0.6︒≈，sin 5308'0.8︒≈）21.（本小题满分14分）对于两个实数,a b ，我们规定{},max a b 表示,a b 中的较大值，当a b ≥时，{},max ab a =；当a b <时，{},max a b b =，例如：{}1,33max =. （Ⅰ）求方程{}23,228max x x --=-+的实数解；（Ⅱ）求函数{}2236,y max x x x x =+--的最小值.22.（本小题满分14分）如图，已知抛物线1C 的顶点坐标为)2,1(-C ，抛物线1C 与x 轴交于、A B 两点，其中()3,0B .直线l 经过、B C 两点，连接AC .（Ⅰ）求点A 的坐标及抛物线1C 的解析式；（Ⅱ）将抛物线1C 平移，并保持抛物线的顶点在直线l 上，当B 、C 两点分别平移到点P 、Q 处时，过点P 作直线l 的垂线交抛物线1C 于点F ，此时恰有BC PF =，求点F 的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，取在x 轴上方的点F ，连接AF ，设M 、N 分别为线段AC 、AF 上的动点，以MN 为直径的⊙R 经过点Q ，当点M 从C 运动到A 时，试求圆心R 经过的路径长.。
2016-2017学年福建省福州一中高三(上)开学数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年福建省福州一中高三（上）开学数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合M＝{x|﹣1＜x＜1}，N＝{x|x2＜2，x∈Z}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N＝{0}D．M∪N＝N 2．（5分）复数z＝的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．+i D．﹣i3．（5分）已知cos（﹣θ）＝，则sin（）的值是（）A．﹣B．﹣C．D．4．（5分）已知随机变量x服从正态分布N（3，σ2），且P（x≤4）＝0.84，则P（2＜x＜4）＝（）A．0.84B．0.68C．0.32D．0.165．（5分）等差数列{a n}的公差d＜0且a12＝a132，则数列{a n}的前n项和S n有最大值，当S n取得最大值时的项数n是（）A．6B．7C．5或6D．6或76．（5分）使（x2+）n（n∈N）展开式中含有常数项的n的最小值是（）A．3B．4C．5D．67．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）0＜φ＜）的图象的一个对称中心为（，0），则函数f（x）的单调递减区间是（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）8．（5分）已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R．AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，则球O的表面积为（）A．πB．πC．πD．π9．（5分）函数y＝2016x﹣sin x的图象大致是（）A．B．C．D．10．（5分）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．4+6πB．8+6πC．4+12πD．8+12π11．（5分）已知点O为坐标原点，点M在双曲线C：x2﹣y2＝λ（λ为正常数）上，过点M 作双曲线C的某一条渐近线的垂线，垂足为N，则|ON|•|MN|的值为（）A．B．C．λD．无法确定12．（5分）已知实数a，b，c，d满足＝＝1，其中e是自然对数的底数，则（a ﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．4B．8C．12D．18二、填空题13．（5分）曲线f（x）＝+3x在点（1，f（1））处的切线方程为．14．（5分）已知平面向量与的夹角为，＝（1，），|﹣2|＝2．则||＝．15．（5分）不等式组的解集为D，若（a，b）∈D，则z＝2a﹣3b的最小值是．16．（5分）设函数f（x）定义域为R，f（﹣x）＝f（x），f（x）＝f（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x3，则函数g（x）＝|cos（πx）|﹣f（x）在区间[﹣，]上的所有零点的和为．三、解答题17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知＝，sin A＝．（Ⅰ）求sin C的值；（II）设D为AC的中点，若△ABC的面积为8，求BD的长．18．（12分）有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如表：假设汽车A只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发（将频率视为概率）．（I）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径；（Ⅱ）若通过公路l、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元（其他费用忽略不计），此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到；每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，生产商将支付给销售商2万元．如果汽车A，B按（I）中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB＝60°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若P A＝PD＝AD，且平面P AD⊥平面ABCD，求平面P AF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．20．（12分）已知点F（1，0），点A是直线l1：x＝﹣1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若点M，N是直线l1上两个不同的点，且△PMN的内切圆方程为x2+y2＝1，直线PF的斜率为k，求的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣ae x﹣e2x（a∈R，e是自然对数的底数）．（Ⅰ）若f（x）≤0对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若方程x﹣ae x＝0有两个不同的实数解x1，x2，求证：x1+x2＞2．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）选做题：几何证明选讲如图，ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，延长CF交AB于E．（1）求证：E是AB的中点；（2）求线段BF的长．[选修4-4：坐标系于参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l过点M（3，4），其倾斜角为45°，圆C的参数方程为．再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xoy有相同的长度单位．（1）求圆C的极坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B，求|MA|•|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）＝|x﹣a|+|2x﹣a|，a＜0．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若不等式f（x）＜的解集非空，求a的取值范围．2016-2017学年福建省福州一中高三（上）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．【解答】解：N＝{x|x2＜2，x∈Z}＝{﹣1，0，1}，故M∩N＝{0}，故选：C．2．【解答】解：z＝＝＝1+i，复数z＝的共轭复数是1﹣i．故选：B．3．【解答】解：cos（﹣θ）＝sin[﹣（﹣θ）]＝sin（）＝，故选：C．4．【解答】解：∵P（x≤4）＝0.84，∴P（x＞4）＝1﹣0.84＝0.16∴P（x＜2）＝P（x＞4）＝0.16，∴P（2＜x＜4）＝P（x≤4）﹣P（x＜2）＝0.84﹣0.16＝0.68故选：B．5．【解答】解：等差数列{a n}中，公差d＜0，且，∴a1＝﹣a13＞0，即a1+a13＝0，又a1+a13＝2a7＝0；∴数列{a n}的前6或7项最大．故选：D．6．【解答】解：（x2+）n（n∈N）展开式的通项公式为T r+1＝••x2n﹣5r，令2n﹣5r＝0，求得2n＝5r，可得含有常数项的n的最小值是5，故选：C．7．【解答】解：由题意可得sin（2×+φ）＝0，故2×+φ＝kπ，解得φ＝kπ﹣，k∈Z，由0＜φ＜可得φ＝，∴f（x）＝sin（2x+），由2kπ+≤2x+≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，∴函数f（x）的单凋递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．故选：D．8．【解答】解：在△ABC中，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴BC＝＝2，由正弦定理可得平面ABC截球所得圆的半径（即△ABC的外接圆半径），r＝＝2，又∵球心到平面ABC的距离d＝R，∴球O的半径R＝，∴R2＝故球O的表面积S＝4πR2＝π，故选：D．9．【解答】解：∵y＝2016x﹣sin x，∴y′＝2016x ln2016﹣cos x，当x≥0时，y′＞0；故函数y＝2016x﹣sin x在[0，+∞）上是增函数，故排除A，B；y′＝2016x ln2016﹣cos x在[﹣1，0]上单调递增，且在[﹣1，0]上先负后正，故y＝2016x﹣sin x在[﹣1，0]上有极小值，而在[﹣1，0]上，y＝2016x﹣sin x＞0恒成立；故排除D；故选：C．10．【解答】解：根据三视图知几何体是组合体，下面是半个圆柱、上面是一个以圆柱轴截面为底的四棱锥，圆柱的底面半径为2，母线长为3；四棱锥的高是2，底面是边长为4、3的矩形，∴该几何体的体积V＝＝6π+8，故选：B．11．【解答】解：设M（m，n），即有m2﹣n2＝λ，双曲线的渐近线为y＝±x，可得|MN|＝，由勾股定理可得|ON|＝＝＝，可得|ON|•|MN|＝•＝＝．故选：B．12．【解答】解：∵实数a，b，c，d满足＝＝1，∴b＝a﹣2e a，d＝2﹣c，∴点（a，b）在曲线y＝x﹣2e x上，点（c，d）在曲线y＝2﹣x上，（a﹣c）2+（b﹣d）2的几何意义就是曲线y＝x﹣2e x到曲线y＝2﹣x上点的距离最小值的平方．考查曲线y＝x﹣2e x上和直线y＝2﹣x平行的切线，∵y′＝1﹣2e x，求出y＝x﹣2e x上和直线y＝2﹣x平行的切线方程，∴令y′＝1﹣2e x＝﹣1，解得x＝0，∴切点为（0，﹣2），该切点到直线y＝2﹣x的距离d＝＝2就是所要求的两曲线间的最小距离，故（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为d2＝8．故选：B．二、填空题13．【解答】解：函数的导数f′（x）＝﹣+3，则f′（1）＝﹣2+3＝1，即切线斜率k＝1，∵f（1）＝2+3＝5，∴切点坐标为（1，5），则切线方程为y﹣5＝x﹣1，即y＝x+4，故答案为：y＝x+414．【解答】解：||＝2，＝||||cos＝||，∵|﹣2|＝2，∴（）2＝，即4||2﹣4||+4＝12，解得||＝2．故答案为：2．15．【解答】解：由题意作平面区域如下，，结合图象可知，当a＝﹣2，b＝0，即过点A时，z＝2a﹣3b有最小值为﹣4，故答案为：﹣4．16．【解答】解：∵f（x）＝f（2﹣x），∴f（x）关于x＝1对称，∵f（﹣x）＝f（x），∴f（x）关于x＝0对称，∵f（x）＝f（2﹣x）＝f（x﹣2），∴f（x）＝f（x+2），∴f（x）是以2为周期的函数，∴f（x）在[﹣，]上共有3条对称轴，分别为x＝0，x＝1，x＝2，又y＝|cos（πx）关于x＝0，x＝1，x＝2对称，∴x＝0，x＝1，x＝2为g（x）的对称轴．作出y＝|cos（πx）|和y＝x3在[0，1]上的函数图象如图所示：由图象可知g（x）在（0，）和（，1）上各有1个零点，且x＝1为g（x）的一个零点．∴g（x）在[﹣，]上共有7个零点，设这6个零点从小到大依次为x1，x2，x3， (x7)则x1，x2关于x＝0对称，x3，x5关于x＝1对称，x6，x7关于x＝2对称，x4＝1．∴x1+x2＝0，x3+x5＝2，x6+x7＝4，∴x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7＝7．故答案为：7．三、解答题17．【解答】解：在△ABC中，∵＝，∴c•b•cos A＝c•a•cos B，即b•cos A＝a•cos B，sin B•cos A＝sin A•cos B，sin（A﹣B）＝0，∴A＝B，∵sin A＝．∴sin C＝sin（π﹣2A）＝sin（2A）＝2sin A cos A＝2××＝．（2）设AC＝BC＝m，∵△ABC的面积为8，∴×＝，m＝3，cos C＝，根据余弦定理得出：BD2＝m2×＝m2＝BD＝．18．【解答】（I）频率分布表，如下：设A1，A2分别表示汽车A在约定日期（某月某日）的前11天出发选择公路1，2将货物运往城市乙；B1，B2分别表示汽车B在约定日期（某月某日）的前12天出发选择公路1，2将货物运往城市乙．∵P（A1）＝0.2+0.4＝0.6，P（A2）＝0.1+0.4＝0.5，∴汽车A选择公路1，∵P（B1）＝0.2+0.4+0.2＝0.8，P（B2）＝0.1+0.4+0.4＝0.9，∴汽车A选择公路2；（II）设X表示汽车A选择公路1，销售商支付给生产商的费用，则X＝42，40，38，36 X的分布列如下：∴E（X）＝42×0.2+40×0.4+38×0.2+36×0.2＝39.2∴汽车A选择公路1时的毛利润为39.2﹣3.2＝36.0（万元）设Y为汽车B选择公路2时的毛利润，则Y＝42.4，40.4，38.4，36.4分布列如下∴E（Y）＝42.4×0.1+40.4×0.4+38.4×0.4+36.4×0.1＝39.4∵36.0＜39.4，∴汽车B为生产商获得毛利润更大．19．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）因为底面ABCD是菱形，所以AB∥CD．又因为AB⊄面PCD，CD⊂面PCD，所以AB∥面PCD．又因为A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD＝EF，所以AB∥EF．…（5分）解：（Ⅱ）取AD中点G，连接PG，GB．因为P A＝PD，所以PG⊥AD．又因为平面P AD⊥平面ABCD，且平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以PG⊥平面ABCD．所以PG⊥GB．在菱形ABCD中，因为AB＝AD，∠DAB＝60°，G是AD中点，所以AD⊥GB．如图，以G为原点，GA为x轴，GB为y轴，GP为z轴，建立空间直角坐标系G﹣xyz．设P A＝PD＝AD＝2a，则G（0，0，0），A（a，0，0），．又因为AB∥EF，点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点．所以，．所以，．设平面AFE的法向量为n＝（x，y，z），则有所以令x＝3，则平面AFE的一个法向量为．因为BG⊥平面P AD，所以是平面P AF的一个法向量．因为，所以平面P AF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值为．…（13分）20．【解答】解：（Ⅰ）∵点F（1，0），点A是直线l1：x＝﹣1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P，∴点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l1的距离，∴点P的轨迹是以点F为焦点，直线l1：x＝﹣1为准线的抛物线，∴曲线C的方程为y2＝4x．（Ⅱ）设P（x0，y0），点M（﹣1，m），点N（﹣1，n），直线PM的方程为：y﹣m＝（x+1），化简，得（y0﹣m）x﹣（x0+1）y+（y0﹣m）+m（x0+1）＝0，∵△PMN的内切圆的方程为x2+y2＝1，∴圆心（0，0）到直线PM的距离为1，即＝1，∴＝，由题意得x0＞0，∴上式化简，得（x0﹣1）m2+2y0m﹣（x0+1）＝0，同理，有，∴m，n是关于t的方程（x 0﹣1）t2+2y t﹣（x0+1）＝0的两根，∴m+n＝，mn＝，∴|MN|＝|m﹣n|＝＝，∵，|y 0|＝2，∴|MN|＝＝2，直线PF的斜率，则k＝||＝，∴＝＝，∵函数y＝x﹣在（1，+∞）上单调递增，∴，∴，∴0＜＜．∴的取值范围是（0，）．21．【解答】（Ⅰ）解：若f（x）≤0对任意x∈R恒成立可化为x﹣ae x≤e2x对x∈R恒成立，故a≥对x∈R恒成立，令F（x）＝，则F′（x）＝；则当x＜0时，F′（x）＜0，x＞0时，F′（x）＞0；故F（x）＝在x＝0处有最大值F（0）＝﹣1；故a≥﹣1；（Ⅱ）证明：∵若方程x﹣ae x＝0有两个不同的实数解x1，x2，结合（1）可知，﹣lna﹣ae﹣lna＞0，解得，0＜a＜；则x1＝ae x1，x2＝ae x2；则a＝的两个不同根为x1，x2，令g（x）＝，则g′（x）＝，知g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；又∵当x∈（﹣∞，0]时，g（x）≤0，故不妨设x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；对于任意a1，a2∈（0，），设a1＞a2，若g（m1）＝g（m2）＝a1，g（n1）＝g（n2）＝a2，其中0＜m1＜1＜m2，0＜n1＜1＜n2，∵g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；又∵g（m1）＞g（n1），g（m2）＞g（n2）；∴m1＞n1，m2＜n2；∴＜；故随着a的减小而增大，令＝t，x1＝ae x1，x2＝ae x2，可化为x2﹣x1＝lnt；t＞1；则x1＝，x2＝；则x2+x1＝，令h（t）＝，则可证明h（t）在（1，+∞）上单调递增；故x2+x1随着t的增大而增大，即x2+x1随着的增大而增大，故x2+x1随着a的减小而增大，而当a＝时，x2+x1＝2；故x2+x1＞2．[选修4-1：几何证明选讲]22．【解答】（1）证明：连接DF，DO，则∠CDO＝∠FDO，因为BC是的切线，且CF是圆D的弦，所以，即∠CDO＝∠BCE，故Rt△CDO≌Rt△BCE，所以．…（5分）所以E是AB的中点．（2）解：连接BF，∵∠BEF＝∠CEB，∠ABC＝∠EFB∴△FEB∽△BEC，得，∵ABCD是边长为a的正方形，所以．…（10分）[选修4-4：坐标系于参数方程]23．【解答】解：（1）消去参数可得圆的直角坐标方程式为x2+（y﹣2）2＝4，由极坐标与直角坐标互化公式得（ρcosθ）2+（ρsinθ﹣2）2＝4化简得ρ＝4sinθ，（2）直线l的参数方程，（t为参数）．即代入圆方程得：+9＝0，设A、B对应的参数分别为t 1、t2，则，t1t2＝9，于是|MA|•|MB|＝|t1|•|t2|＝|t1t2|＝9．[选修4-5：不等式选讲]24．【解答】解：（Ⅰ），函数的图象为；从图中可知，函数f（x）的最小值为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数f（x）的最小值为，要使不等式的解集非空，必须﹣＜，即a＞﹣1．∴a的取值范围是（﹣1，0）．。
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2017年福州一中面向福州七县、平潭综合实验区乡镇
和农村地区（“追梦计划”）招生考试
数学与逻辑试卷
（满分：150分 考试时间：120分钟）
学 校： 姓 名： 准考证号： 注意：请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡上．．．．．．．
的相应位置． 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．)
1.下列运算正确的是（ ）
A ．
22423+=a a a B ．2242-=a a a C ．22422⋅=a a a D ．22
22÷=a a a 2.下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
清华大学 北京大学 浙江大学 中国人民大学
3.代数式3231212x x x -+分解因式，结果正确的是（ ）
A ．23(44)-+x x x
B ．23(4)x x -
C ．3(2)(2)x x x +-
D ．23(2)x x -
4．下列命题错误．．
的个数是（ ） ① 经过三个点一定可以作一个圆；
② 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；
③ 对角线相等的四边形是矩形；
④ 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 5.无论x 取何值时，点)2,(2x x x P +-不可能．．．
在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
6.如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4:5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为（ ）
A ．288
B ．144
C ．216
D ．120
A . B. C. D.
7.在某次训练中，甲、乙两名射击运动员各射击10发子弹的成绩统计图如图所示，对于本次训练，有如下结论：①2甲s ＞2乙s ；②2甲s ＜2
乙s ；③甲的射击成绩比乙稳定；④乙的射击成绩比甲稳定，由统计图可知正确的结论是（ ）
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
8.2017年5月14日，福州一中将喜迎建校两百周年华诞，当天正好是星期日，以当天作为第1天开始算起，则第366天是（ ） A ．星期六 B ．星期日 C ．星期一 D ．星期二
9.如图，A 、B 是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在格点中任意放置点C ，恰好能使△ABC 的面积为1的概率是（ ）
A .
625 B .15
C .425
D .725 10．已知关于x 的不等式组0243(2)
-⎧>⎪⎨⎪-<-⎩x m x x 的解集为1x >，且使关于x 的方程
1322
x m x x -+=--有非负整数解，则符合条件的实数m 的取值之和为（ ） A. 8- B ．7- C ．2- D ．0
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共 20分．请将正确答案填在答题卡相应位置)
11. 《九章算术》是我国传统数学最重要的著作，奠定了我国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就． 《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”
译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”
设每头牛值金x 两，每只羊值金y 两，可列方程组为 ．
M B
A 12.若函数=-y kx b 的图象如图所示，则关于x 的不等式(3)0k x b -->的解集为 ．
13.观察下列等式：332123+=，33321236++=，333321+2+3+410=，…，根据上述规律，第五个等式为________________．
14. 如图，AB 是⊙O 的直径，8=AB ，点M 在⊙O 上，45∠=MAB ，N 是劣弧MB 的三等分点（靠近点B ），
P 是直径AB 上的一动点，则∆PMN 周长的最小值为______________．
15.定义二次函数的图象与直线x y =交点的横坐标为二次函数的不动点.已知二次函数 ()21324
=+-+-y x mn x mn 有唯一不动点，若3-≤m 且0<mn ，则n 的取值范围是 .
三、解答题(本大题共7小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．（本小题满分12分）
（Ⅰ）计算：()()3
0201713.1416302π-⎛⎫--+⨯︒+ ⎪⎝⎭cos ； （Ⅱ）先化简，再求值：222311-⎛⎫÷-- ⎪--⎝⎭x x x x x x ，其中1.2=-x
17. （本小题满分12分）
如图，已知三角形ABC ，=AB AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于D 、E 两点，连接.ED
（Ⅰ）求证：∆CDE 为等腰三角形；
（Ⅱ）若3=CD ，8=BC ，求⊙O 的半径．
18. （本小题满分12分）
如图，四边形OABC ，顶点,B C 在第一象限，顶点A 在x 轴的正半轴上,//,CB OA BA x ⊥轴，点B 的横坐标为2，tan 2,COA ∠=D 为AB 的中点，反比例函数k y x
=的图
象经过,C D 两点.
（Ⅰ）求反比例函数的解析式；
（Ⅱ）求四边形OCDA 的面积.
19.（本小题满分12分） 已知四边形ABCD ，点E 在边BC 上，P 为对角线BD 上的动点，满足⊥AP PE . （Ⅰ）当四边形ABCD 为正方形时（如图1），求证：=PA PE ；
（Ⅱ）当四边形ABCD 为矩形，且6=AD ，4=CD 时（如图2），试探究:AP PE 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
20. （本小题满分14分）
如图，海中有一小岛D ，它周围12海里内有暗礁.一艘巡逻船在D 岛海域例行巡逻，某时刻航行至A 处时，测得其东北方向与它相距16海里的B 处有一渔船，且D 岛位于巡逻船正东214海里处.观测中发现，此渔船正以每小时4海里的速度沿正南方向航行.如果渔船不改变航线继续前行，有没有触礁危险？请通过计算加以说明.如果有危险，巡逻船的速度至少为多少时，才能将该渔船拦截在暗礁区域之外，并确定此时巡逻船的航向.
（参考数据：sin 3652'0.6︒≈，sin 5308'0.8︒
≈）
21.（本小题满分14分）
对于两个实数,a b ，我们规定{},max a b 表示,a b 中的较大值，当a b ≥时，
{},max a
b a =；当a b <时，{},max a b b =，例如：{}1,33max =. （Ⅰ）求方程{}23,228max x x --=-+的实数解；
（Ⅱ）求函数{}2236,y max x x x x =+--的最小值.
22.（本小题满分14分）
如图，已知抛物线1C 的顶点坐标为)2,1(-C ，抛物线1C 与x 轴交于、A B 两点，其中()3,0B .直线l 经过、B C 两点，连接AC .
（Ⅰ）求点A 的坐标及抛物线1C 的解析式；
（Ⅱ）将抛物线1C 平移，并保持抛物线的顶点在直线l 上，当B 、C 两点分别平移到点P 、
Q 处时，过点P 作直线l 的垂线交抛物线1C 于点F ，此时恰有BC PF =，求点F 的坐标；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，取在x 轴上方的点F ，连接AF ，设M 、N 分别为线段AC 、AF 上的动点，以MN 为直径的⊙R 经过点Q ，当点M 从C 运动到A 时，试求圆心R 经过的路径长.。