§8.5 Z变换的基本性质

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周期序列的z 周期序列的z变换
若周期序列x 的周期为N 若周期序列x(n)的周期为N，即x(n)= x(n+N)。 n+N) 令第一个周期的序列为x 令第一个周期的序列为x1(n)，其z变换为： 变换为：
X1 (z) = ∑x(n)z −n
n=0 N−1
( z > 0)
∞ −m N
由于x )=x 由于x(n)=x1(n)+ x1(n-N)+ x1(n-2N)+……
Z[x(n + 2)] = z2 X(z) − z2 x(0) − zx(1)
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证明左移位性质
根据单边 变换的定义， 根据单边z变换的定义，可得 单边z
Z[ x(n + m)u(n)] = ∑x(n + m)z−n
n=0 ∞
= zm ∑x(n + m)z−(n+m)
n=0
∞
k 令 = n+ m zm x(k)z−k ∑
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(1)左移位性质 (1)左移位性质
若 Z[x(n)u(n)] = X(z)
m−1 m −k 则 Z[ x(n + m)u(n)] = z X(z) − ∑x(k)z k=0 其中m 其中m为正整数
对于m= 对于m=1、2的情况，可以写作为 m=1 的情况，可以写作为
Z[ x(n + 1)] = zX(z) − zx(0)
1.双边z变换 1.双边 双边z 2.单边z变换 2.单边 单边z
(1) 左移位性质 (2) 右移位性质 根据移位特性，可求周期序列的z变换 根据移位特性，可求周期序列的z
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1．双边z变换的位移性质 双边z
原序列不变，只影响在时间轴上的位置。 原序列不变，只影响在时间轴上的位置。
x(n)
4
x(n − 2)
§8.5 z变换的基本性质
一、z变换的基本性质
（一）线性 （二）位移性 （三）序列线性加权 （四）序列指数加权 （五）初值定理 （六）终值定理 （七）时域卷积定理 （八）序列相乘（z域卷积定理）* 序列相乘（ 域卷积定理） （九）复序列的共扼* （十）时间反转* （十一）帕斯瓦尔定理* 十一）
二、序列z变换的求法 序列z
n=0
∞
limX(z) = lim∑x(n)z−n =lim x(0) + x(1)z−1 + x(2)z−2 + ...... = x(0)
n=0 z→∞
[
]
理解：把X(z)在z足够大时的动态特性与x(n)的初值 足够大时的动态特性与x 理解： 联系起来。 联系起来。 推理 x(1)＝？因为 x(1) = x(n +1) n=0 (1)＝？
n n n=0
[
]
∞
z =∑x(n) a n=0
∞
−n
z =X a
同理
a−n x(n) ↔ X(az)
(−1)n x(n) ↔ X(− z)
z [(−1) u(n)] = z +1 ( z > 1) Z
n
(R (R
x1
x1
< az < Rx2 )
< z < Rx2 )
n=0
∞
所以
[ lim (z −1)X(z)] = x(∞)
z→ 1
注意：当n→ ∞ , x(n)收敛，才可用终值定理。 收敛，才可用终值定理。 注意：
终值存在的条件
(1) X(z)的极点位于单位圆内，收敛半径小于1，有终值; 的极点位于单位圆内，收敛半径小于1 有终值;
a 例： u(n), a < 1 终值为0 ，终值为0
例如：对于(-1)nu(n)若取单边z变换应有： 若取单边z变换应有： 例如：对于( 例 8-5-5
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(五)初值定理
若 x(n)为因果序列，已知X(z)=Z[x(n)]= 为因果序列，已知X )=Z 则 limX(z) = x(0) z→∞ 证明： 证明：
z→∞ z→∞ ∞
x(n)z −n , ∑
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证明双边z 证明双边z变换的位移性
根据双边z 根据双边z变换的定义可得
Z[ x(n − m)] = x(n − m)z−n ∑
∞ ∞
令n-m=k，则 m=k，
n=−∞
Z[ x(n − m)] = z−m ∑x(k)z−k = z−m X(z)
k=−∞
同理，可证左移序列。 同理，可证左移序列。 可以看出： 序列位移只会使z变换在z 可以看出：1）序列位移只会使z变换在z = 0或 z = ∞ 处的零、极点发生变化； 处的零、极点发生变化； 2）位移不会使z变换的收敛域发生变化； 位移不会使z变换的收敛域发生变化；
ax( in( 即 m Rx1 , Ry1 ) < z < m Rx2 , Ry2 )
某些线性组合中某些零点与极点相抵消 某些线性组合中某些零点与极点相抵消， 零点与极点相抵消， 则收敛域可能扩大。 则收敛域可能扩大。 例 8-5-1 例 8-5-2
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(二)位移性
由于序列有{左移、右移}两种不同情况， 由于序列有{左移、右移}两种不同情况， 其变换形式有{双边、单边} 变换之分； 其变换形式有{双边、单边}z变换之分； 其位移特性基本相同，但又各具不同的特点。 其位移特性基本相同，但又各具不同的特点。 所以分情况讨论： 所以分情况讨论：
Z[x(n − m)u(n)] = ∑x(n − m)z−n
n=0 ∞
= z−m ∑x(n − m)z−(n−m)
n=0
∞
k 令 = n− m z−m
k=−m
x(k)z−k ∑
∞
−1 ∞ −m −k −k = z ∑x(k)z + ∑x(k)z k=−m k=0
−1 −m −k = z X(z) + ∑x(k)z k=−m
若 Z[ x(n)u(n)] = X(z)
对于m=1 对于m=1、2的情况，可以写作为 的情况，可以写作为
Z[ x(n − 2)] = z−2 X(z) + z−1 x(− 1) + x(− 2) Z[ x(n − 1)] = z−1 X(z) + x(− 1)
注意：对于因果序列x 注意：对于因果序列x(n),
k=m
m−1 ∞ m −k −k = z ∑x(k)z − ∑x(k)z k=0 k=0 m−1 m −k = z X(z) − ∑x(k)z k=0
∞
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(2)右移位性质 (2)右移位性质
−1 −m −k 则 Z[ x(n − m)u(n)] = z X(z) + ∑x(k)z k=−m 其中m 其中m为正整数
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2．单边z变换的位移性质 单边z
若x(n)为双边序列，其单边z变换为 Z[ x(n)u(n)] 为双边序列，其单边z
x(n)u(n)
4
x(n − 2)u(n) 4 4
x(n + 2)u(n)
−1O 1
n
−1O 1
n
−1O 1
n
x(n-m)u(n),x(n+m)u(n)较x(n)u(n)的长度有所增减。 ,x(n+m) 的长度有所增减。
k=−m
∑x(k)z 项都等于零， 项都等于零，
−k
−1
则右移位序列的单边z 则右移位序列的单边z变换为 移位序列的单边 Z[ x(n − m)u(n)] = z−m X(z) 而左移位序列的单边z变换不变。 例8-5-3 移位序列的单边 变换不变 单边z 不变。
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证明右移位性质
根据单边 变换的定义 根据单边z变换的定义，可得 单边z 的定义，
x(n + 2)
4
4
−1O 1 2
n
− 1O 1 2
n
− 2− 1O 1
n
若序列x 的双边z 若序列x(n)的双边z变换为Ζ [x(n)]=X(z), )]=X 则其右移后的z 则其右移后的z变换为Ζ [x(n-m)]= z -m X(z) 同理，左移后的z变换为: n+m)]= 同理，左移后的z变换为:Ζ [x(n+m)]= zm X(z)
x 且 (n + 1) ↔ z[ X(z) − x(0)]
所以 x(1) = limz[X(z) − x(0)] 例8-5-6
z→∞
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(六)终值定理
若 则 limx(n) = lim[(z −1)X(z)] n→∞ z→ 1 取z→1的极限 →1的极限
1 z→ 1 z→
x(n)z−n , x(n)为因果序列，已知X(z)=Z[x(n)]= ∑ 为因果序列，已知X )=Z
( )
所以 Z[nx(n)] = −z
广 推
dx(z) dz
d nm x(n) ↔ − z X(z) dz
m
m
d d d d d − z d z 表示− z d z − z d z − z d z ⋯ − z d z
共求导m次 求导m
例 8-5-4
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(四)序列指数加权
若 则
Z[x(n)] = X(z)
n
（z域尺度变换） 域尺度变换）
< z < Rx2 )
(R
x1
z a x( n ) ↔ X a
z Rx1 < < Rx2 （a为非0常数） 为非0常数） a
−n
证明： 证明： a x(n) = ∑a x(n)z Z
例题
x( n)
n 终值 → ∞
X(z)