北师大版高中数学必修一第一单元 集合
高中数学北师大版必修1 全册 知识点总结
高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集 B{|x x x ∈A A =∅=∅ B A ⊆AB B ⊆B{|x x x ∈A A =A ∅=B A ⊇B B ⊇（ ）⑼ 集合的运算律：交换律：结合律:分配律: 0-1律：等幂律：求补律：A ∩ A ∪ =U 反演律： (A ∩B)=( A)∪( B) (A ∪B)=( A)∩( B)第二章函数§1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的 元素，在集合B 中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射，那么和A 中的元素a 对应的.;A B B A A B B A ==)()();()(C B A C B A C B A C B A ==)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A ==,,,A A A UA A UA U Φ=ΦΦ===.,A A A A A A ==叫做象， 叫做原象。
北师大版_高一数学必修1集合专题课件
课堂互动讲练
【思路点拨】 根据集合中元素的确 定性可知两集合的元素是相同的， 这样需 列方程组分类讨论， 复杂又繁琐． 若能发 b 现 0 这个特殊元素和a中的 a 不为 0 这一 隐含信息，可快速求出 a，b 的值．
课堂互动讲练
【解】 b 由已知得a＝0 及 a≠0，所以 b＝0.
于是a2＝1，即a＝1或a＝－1. 当a＝1时不满足集合中元素的互异 性，舍去．因而a＝－1， ∴a2010＋b2010＝(－1)2010＝1. 【失误点评】 求得a的值，对是否 满足条件不作检验易导致错误的结果．
课堂互动讲练
【思路点拨】 首先要明确集合“长
度”的含义，而集合 M 与 N 的“长度”分 3 1 别为 和 ， 要想 M∩N 的“长度”最小， 只 4 3 要两集合重复部分最少就行了．
课堂互动讲练
【解】 由已知可得 易知M、N一定不为∅，
m≥0 3 m＋ ≤1 4 1 n－ ≥0 3 n≤1
课堂互动讲练
跟踪训练
1．若 a，b∈R，集合{1，a＋b，a} b ＝{0，a，b}，求 b－a 的值． b 解：由{1，a＋b，a}＝{0，a，b}，
可得 a＝0(舍去)或 a＋b＝0. b ∴a＝－b，∴a＝－1， ∴b＝1，a＝－1. ∴b－a＝1－(－1)＝2.
课堂互动讲练
考点二
集合与集合间的基本关系
m＝1， m＝36， ∴ 或 或 n＝36， n＝1， m＝3， n＝12，
性质
三基能力Байду номын сангаас化
1．已知集合 P＝{x|x≤2＋ 3， x∈R}，a＝ 2＋ 5，则下列关系中正 确的是( )
A．a∉P C．a⊆P 答案：D
B．{a}∈P D．{a}⊆P
高中数学北师大版必修1课件第一章集合_13
)
1
2
3
4
5
6
2已知集合A={0,1,2},集合B={x|x=2m,m∈N},则A∩B=(
A.{0} B.{0,2}
C.{0,4} D.{0,2,4}
答案:B
)
1
2
3
4
5
6
3设A={x||x|≤3},B={x|x=-y2+t,t∈R},若A∩B=⌀,则实数t的取值范
围是(
)
A.t<-3 B.t≤-3
的方法是培养分类讨论的数学思想,注意经验的积累.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练3】 已知A={x|x2-px-2=0},B={x|x2+qx+r=0},且
A∪B={-2,1,5},A∩B={-2},求p,q,r的值.
分析:由A∩B={-2}知,-2∈A,代入方程x2-px-2=0,求得p,再解方程
1
∵− 2∉A,∴B
1
+
4
=0 =
1
2
不是 A 的子集,即 a=
1
,
4
.
1
不符合题意.
4
若 B 中含有两个元素,则必有 B={-1,2},
-1 + 2 = -1,
则-1 和 2 是关于 x 的方程 x +x+a=0 的解,∴
(-1) × 2 = ,
1 = -1,
即
= -2.
∵1≠-1,∴此种情况不符合题意.
1
2
3
4
5
6
1若集合A={0,1,2,3,7,9},B={1,2,4,7,8},则集合A∪B=(
高中数学北师大版必修1课件第一章集合
集,即集合B是集合A的子集组成的集合.
2.一个集合含有n个元素,则其子集的个数为2n,真子集的个数为
2n-1.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 在本例中将“集合B={x|x⊆A}”改为“集合B中含有
两个元素,且集合B={x|x∈A}”,求集合B的子集.
2.空集是任何非空集合的真子集,即⌀⫋A(A≠⌀).
3.对于集合A,B,C,若A⊆B,B⊆C,则A⊆C;
若A=B,B=C,则A=C;
若A⫋B,B⫋C,则A⫋C.
4.当集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A时,记作A⊈B(或
B⊉A).
【做一做1-1】 写出集合{1,2,3}的所有子集.
解:集合{1,2,3}的所有子集是
反思解决此类问题的步骤:(1)利用集合相等的条件,建立方程或
方程组,求得参数;(2)把求得的参数值依次代入集合验证,若满足集
合中元素的三个性质,则所求是可行的,否则应舍去.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 已知集合M={2,a,b},N={2a,2,b2},且M=N,求a,b
的值.
2
= 2,
②B=⌀时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0⇒a<-1.
综合(1)(2)可知,a≤-1或a=1.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 4】 已知集合 A={1,3, }, = {|2 − ( + 1) +
= 0, ≠1},B⊆A,则 m=
.
解析:由已知得B={1,m},因为B⊆A,且m≠1,所以m=3或 m= ,
北师大版高一数学必修1第一单元集合的含义与表示常见考点
北师大版高一数学必修1第一单元集合的含义与表示常见考点（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高中数学北师大版必修1第1章§1集合的含义与表示
§1会合的含义与表示学习目标： 1.认识会合的含义，领会元素与会合的附属关系．(要点 )2.理解并掌握会合中元素的三个特征．(要点 )3.掌握会合的表示方法及几个常有数集的表示符号． (要点、难点 )[自主预习·探新知]1．会合与元素的观点阅读教材 P3“一般地”自然段及以上内容，达成以下问题．(1)会合：一般地，指定的某些对象的全体称为会合．会合常用大写字母 A，B，C， D，标志．(2)元素：会合中的每个对象叫作这个会合的元素．常用小写字母 a，b，c，d，表示会合中的元素．思虑 1：(1)某班全部的“大个子”可否构成一个会合？(2)某班身高高于170 cm 的全部学生可否构成一个会合？[提示 ] (1)不可以构成一个会合，由于“大个子”无明确的标准．(2)能构成一个会合，由于标正确立．2．元素与会合的关系阅读教材 P3～P4从“给定一个会合 A”开始至“π∈R等” 之间的内容，完成以下问题．(1)元素与会合的关系关系观点记作读作属于若 a 在会合 A 中，就说 a 属于会合 A a∈A“a属于A”不属于若 a 不在会合 A 中，就说 a 不属于会合a?A “a 不属于 A”A(2)常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N 或 N * Z Q R＋3.会合的表示法阅读教材 P4“会合的常用表示法”至 P5“一般地”以上内容，回答以下问题．(1)会合的表示法①列举法把会合中的元素一一列举出来，写在大括号内的方法．符号表示为{，，}．②描绘法用确立的条件表示某些对象属于一个会归并写在大括号内的方法叫作描绘法．描绘法的格式(2)元素的特征元素的三个特征是指确立性，互异性，无序性．思虑 2：(1)构成单词“bee”的全部字母构成的会合有多少个元素？(2)你会划分数集与点集吗？如会合A＝ {x|0<x<1} ，B＝{( x，y)|y＝ 2x－1} ，哪个是数集？哪个是点集？[提示 ] (1)2 个．(2)若一个会合中全部元素均是数，则这个会合称为数集．相同，若一个集合中全部元素均是点，这个会合称为点集，会合 A 的代表元素是x， x 是大于 0 且小于 1 的实数，故 A 是数集；会合 B 的代表元素是有序实数对(x，y)，(x， y)是一次函数 y＝2x－ 1 图像上的点，故 B 是点集．所以，形如 {x|x 知足的条件，x∈R} 的会合是数集；形如 {( x，y)|x，y 知足的条件， x，y∈R} 的会合是点集．4．会合的分类阅读教材 P5从“一般地”到“练习”上方的内容，达成以下问题．有限集：含有有限个元素的会合非空会合会合无穷集：含有无穷个元素的会合空集：不含有任何元素的会合，用?表示 .[ 基础自测 ]1．思虑辨析(1)有名的数学家能构成一个会合．()(2)－ 1∈N.()(3){ x∈R|2x－ 3>0}是不等式 2x－ 3>0 的解集，它是一个无穷集．()[分析 ](1)×，由于“有名”无明确标准．(2)×，由于－ 1 不是自然数．(3)√ .[答案 ] (1)×(2)×(3)√2．会合 {x∈N* |x2－1＝0} 用列举法可表示为 ________．{ 1}[ 由 x2－ 1＝ 0，得 x＝±1.又 x∈N*，则 x＝1.故会合 {x∈N* |x2－1＝0} 用列举法可表示为 {1} ．]3．若 1∈{ x，x2} ，则 x＝ ________.【导学号：60712000】－1[ 由 1∈{ x， x2} ，得 x＝1，或 x2＝1，即 x＝±1.当 x＝1 时，会合 { x，x2} 中的元素不拥有互异性，故舍去．所以 x＝－ 1.]4．给出以下三个关系：①?＝{0} ；② 0∈ {(0,0)} ；③ 0∈{0} ．此中表述正确的选项是 ()A．①③B．②③C．③D．①②③C[合作研究·攻重难]会合的含义以下每组对象可否构成一个会合：(1)我们班的全部“帅男”；(2)不超出 20 的非负数；(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；(4)3的近似值的全体．[思路研究 ]判断一组对象可否构成会合的要点是该组对象能否独一确立．[解 ] (1)“帅男”没有明确的标准，所以不可以构成会合； (2)任给一个实数 x，能够明确地判断能否为“不超出20的非负数”，即“0≤x≤ 20”与“x>20或x<0”，二者必居其一，且仅居其一，故“ 不超出20 的非负数”能构成会合；(3)“一些点”无明确的标准，关于某个点能否在“ 一些点”中没法确立，所以“直角坐标平面内第一象限的一些点” 不可以构成会合；(4)“3的近似值”不明确精准到什么程度，所以很难判断一个数如“2”能否是它的近似值，所以“3 的近似值”不可以构成会合．[ 规律方法 ]判断给定的对象能不可以构成会合，要点在于能否给出一个明确的标准，使得关于任何一个对象，都能按此标正确立它能否是给定会合的元素.[追踪训练 ]1．以下各组对象能够构成会合的是()【导学号：60712001】A．数学必修 1 课本中全部的难题B．小于 8 的全部素数C．直角坐标平面内坐标轴上的一些点D．全部小的正数B[A 中的“难题”，C 中的“一些点”，D 中的“小的正数”都没有明确的标准，所以，都不可以构成会合，而B 中小于 8 的素数是明确的，应选 B.]会合的表示方法用合适的方法表示以下会合：(1)全部正奇数构成的会合；(2)方程 x2－ 2＝ 0 的解集；(3)在自然数集中，小于100 的偶数构成的会合；(4)在平面直角坐标系内，全部第二象限的点构成的会合．[思路研究 ]从会合的元素能否便于一一列举出来考虑，若便于一一列举出来可用列举法，不然用描绘法．[解 ](1){ x|x＝2n＋1，n∈N} ；(2){ －2，2} ；(3){ x|x＝ 2n，n<50，且 n∈N} ；(4){( x，y)|x<0，且 y>0} ．[ 规律方法 ] 1.用列举法表示会合的合用条件：(1)会合中的元素较少，能够一一列举出来时，合适用列举法；(2)会合中的元素许多，但体现必定的规律性时，可经过列举部分元素作为代表，其余元素用省略号表示．2．用描绘法表示会合应注意：(1)弄清元素的形式，比方是数，仍是点；(2)元素拥有如何的属性．[追踪训练 ]2．用合适的方法表示以下会合(1)小于 20 的全部质因数构成的会合；(2)大于－ 3 且小于 1 的全部有理数构成的会合；(3)方程 (x－1)(x2－1)＝ 0 的解集；(4)二次函数 y＝x2－9 图像上的全部点构成的会合.【导学号：60712002】[解 ] (1){2,3,5,7,11,13,17,19}；(2){ x∈Q|－ 3<x<1} ；(3){ －1,1} ；(4){( x，y)|y＝ x2－9}.元素与会合的关系[研究问题 ]1．－3∈{ x|x＝ 2n－1，n∈Z } 吗？提示：由 2n－1＝－ 3，得 n＝－ 1，故－ 3∈{x|x＝2n－1， n∈Z } ．2．当 3∈ {x|2x－ 1>a} 时，求 a 的取值范围；当3?{ x|2x－1>a} 时， a 的取值范围又是什么呢？提示：当 3∈{ x|2x－1>a} 时， a<2×3－1，所以 a<5；当 3?{ x|2x－1>a} 时， a≥2×3－1，所以 a≥5.已知 x2∈{1,0 ，x} ，务实数 x 的值．[思路研究 ]从元素与会合的关系下手，求出x 的值后，要注意考证会合的元素能否知足互异性．[解 ]由x2∈{1,0，x}得x2＝1，或x2＝0，或x2＝x，解得 x＝－ 1,0,1.当 x＝－ 1 时，知足题意；当 x＝0 时，会合中的元素不知足互异性，舍去；当 x ＝1 时，会合中的元素不知足互异性，舍去．所以， x ＝－ 1.[ 规律方法 ]此题在求解过程中， 易因忽略查验会合中元素的互异性， 致使产生增解 0，1.[追踪训练 ]3．已知 1∈ { a,2a 2－a} ，则实数 a 的值是 ________.【导学号 ：60712003】－1[ 由 1∈{ a,2a 2－ a} ，得 ＝ ，或 2－ ＝2a 1 2a a 1.1解得 a ＝1 或 a ＝－ 2.当 a ＝ 1 时， a ＝2a 2－a ，会合中的元素不知足互异性，舍去．1当 a ＝－ 2时，知足题意．1所以 a ＝－ 2.][当堂达标·固双基]1．以下所给关系正确的个数是 ()**①π∈R ；② 3?Q ；③ 0∈ N ；④ |－4|?N .A ．1B ．2C ．3D ．4B [ 只有 ①② 正确，应选 B.]2．若 4∈{3 ，x ＋1} ，则实数 x ＝ ________.【导学号 ：60712004】3 [由 4∈{3 ， x ＋1} ，得 x ＋ 1＝ 4，解得 x ＝3.] ．方程组x ＋y ＝1的解集用列举法可表示为 ________．3x －y ＝3x ＝2 x ＋ y ＝ 1，x ＝ 2，y ＝－ 1[ 解方程组 得 故该方程组的解集为x － y ＝ 3， y ＝－ 1，x＝2.]y＝－ 14．若 x?{ x－1，x2－ x} ，则实数 x 知足的条件是 ________.【导学号：60712005】x2－x≠x－1，≠，且≠依题意， x2－x≠x，解得x ≠，且≠，x≠ 0，且 x 1 x 2 [ 0x 1x－1≠x，且 x≠2.]65．设会合 A＝ x∈N2＋x∈N(1)试判断元素1和 2与会合 A的关系；(2)用列举法表示会合 A.6 6[解 ] (1)当 x＝1 时，2＋x ＝3＝2∈N；6 6 3当 x＝2 时，2＋x＝4＝2?N；所以 1∈A,2?A.(2)由 x∈N，得 2＋ x∈N，且 2＋ x≥2.又6∈N，则2＋x是6的正约数．2＋x所以 2＋x＝ 2，或 3，或 6，即 x＝0，或 1，或 4 所以 A＝{0,1,4} ．。
(北师大版)高一数学必修1
第一章集合课题: §1.1集合的含义与表示（一）教学过程：一、新课引入：集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，它还渗透到自然科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件。
二、讲授新课：1.集合有关概念的教学：考察几组对象：① 1～20以内所有的质数；②到定点的距离等于定长的所有点；③所有的锐角三角形；④x2, 3x+2, 5y3-x, x2+y2；⑤东升高中高一级全体学生；⑥方程230+=的所有实数根；⑦隆成日用品厂2005年8月生产的所有童车；⑧2005年1月, x x广东所有出生婴儿。
A.提问：各组对象分别是一些什么？有多少个对象？（数、点、形、式、体、解、物、人）B.概念：一般地，我们把研究对象统称为元素（element）,把一些元素组成的总体叫作集合（set）（简称集）。
C.讨论集合中的元素的特征：分析“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？→结论：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的。
即集合元素三特征。
确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
互异性：同一集合中不应重复出现同一元素。
无序性：集合中的元素没有顺序。
D.分析下列对象，能否构成集合，并指出元素：不等式x-3>0的解；3的倍数；方程x2－2x＋1＝0的解； a,b,e,x,y,z；最小的整数；周长为10cm的三角形；中国古代四大发明；全班每个学生的年龄；地球上的四大洋；地球的小河流E. 集合相等：构成两个集合的元素是一样的.2.集合的字母表示：①集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示。
②如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)集合A，记作：a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)集合A，记作：a∉A。
高中数学北师大版必修1课件第一章集合本章整合
12
专题一
专题二
专题三
专题四
专题四 新定义型集合问题
近几年,在各地的模拟试题和高考题中,新定义型试题经常出现,
其特点是先引入一些新符号或新定义的运算法则,然后要求学生利
用新知识解决问题,其目的是考查学生的自学能力.解答此类问题
的关键在于阅读理解上,要注意理解题目给出的信息,也就是要在
准确把握新信息的基础上,以旧带新,并结合已学过的知识解决.此
)
A.{4,8}
B.{0,2,6}
C.{0,2,6,10} D.{0,2,4,6,8,10}
解析:根据补集的定义,知从集合A={0,2,4,6,8,10}中去掉集合B中的
元素4,8后,剩下的4个元素0,2,6,10构成的集合即为∁AB,即
∁AB={0,2,6,10},故选C.
答案:C
18
1
2
3
4
5
确定标准;(2)恰当分类;(3)逐类讨论;(4)归纳结论.
10
专题一
专题二
专题三
专题四
应用1设A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0},若B⊆A,求实数a的值.
提示:先根据已知条件求出A,再利用分类讨论思想解决.
解:A={3,5},
∵B⊆A,
∴B=⌀或B≠⌀.
当B=⌀时,关于x的方程ax-1=0无解,则a=0;
类题目虽然表面“陌生”,但一般难度不大.
13
专题一
专题二
专题三
专题四
应用1设M,P是两个非空集合,定义M与P的差集为M-P={x|x∈M,
且x∉P},则M-(M-P)=(
)
A.P
B.M∩P
C.M∪P
北师大版高中数学必修一第一章《集合》本章整合课件
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本章整合
专题一 专题二 专题三 专题四
知识建构
综合应用
真题放送
应用1已知全集 U={x|x2<50,x∈N},L∩∁UM={1,6},M∩∁UL={2,3},∁U(M∪L)={0,5}, 求集合M和L. 提示:可以借助Venn图来分析,但需注意验证结果是否满足已知 条件. 解:第一步:求得全集U={x|x2<50,x∈N}={0,1,2,3,4,5,6,7}; 第二步:将L∩∁UM={1,6},M∩∁UL={2,3},∁U(M∪L)={0,5}中的元 素在Venn图中依次定位如图; 第三步:将元素4,7定位; 第四步:根据图中的元素位置, 得集合M={2,3,4,7},集合L={1,4,6,7}.
本章整合
-1-
本章整合
知识建构
综合应用
真题放送
概念→元素、集合、空集、全集等 性质→确定性、互异性、无序性 表示法→列举法、描述法、Venn 图法 集合 关系 元素与集合→������∈������或������∉������ 集合与集合→子集→������ = ������或������⫋ ������ 交集→������⋂������ = {������|������∈������,且������∈ ������} 运算 并集→������⋃������ = {������|������∈������,或������∈ ������} 补集→ ∁������ ������ = {������|������∈������,且������∉������}
综合应用
真题放送
应用2已知A={x|-2<x≤5},B={x|k-1≤x≤2k+1},求使A∩B=⌀的实 数k的取值范围. 提示:由A∩B=⌀,且A≠⌀,可知B=⌀或B≠⌀,因此应分类讨论. 解:当B=⌀时,k-1>2k+1, 解得k<-2; 当B≠⌀时,由A∩B=⌀, 2������ + 1 ≤ -2, ������-1 > 5, 得 或 ������-1 ≤ 2������ + 1 ������-1 ≤ 2������ + 1. 3 解得-2≤k≤− 或k>6.
北师大版高中数学必修一目录
必修（第一册）（共计72 课时）第一章集合与常用逻辑用语（10课时）1.1 集合的概念1.2 集合间的基本关系1.3 集合的基本运算阅读与思考集合中元素的个数1.4 充分条件与必要条件阅读与思考几何命题与充分条件、必要条件1.5 全称量词与存在量词第二章一元二次函数、方程和不等式（8课时）2.1 等式性质与不等式性质2.2 基本不等式2.3 二次函数与一元二次方程，不等式第三章函数的概念与性质（12课时）3.1 函数的概念及其表示阅读与思考函数概念的发展历程3.2 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象3.3 幂函数探究与发现探究函数的图象与性质3.4 函数的应用（一）文献阅读与数学写作* 函数的形成与发展第四章指数函数与对数函数（16课时）4.1 指数4.2 指数函数阅读与思考放射性物质的衰减信息技术应用探究指数函数的性质4.3 对数阅读与思考对数的发明4.4 对数函数探究与发现互为反函数的两个函数图象间的关系4.5 函数的应用（二）阅读与思考中外历史上的方程求解文献阅读与数学写作* 对数概念的形成与发展数学建模（3课时）建立函数模型解决实际问题第五章三角函数（23课时）5.1 任意角和弧度制5.2 三角函数的概念阅读与思考三角学与天文学5.3 诱导公式5.4 三角函数的图象与性质探究与发现函数及函数的周期探究与发现利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质5.5 三角恒等变换信息技术应用利用信息技术制作三角函数表5.6 函数5.7 三角函数的应用阅读与思考振幅、周期、频率、相位必修（第二册）（共计69 课时）第六章平面向量及其应用（18课时）6.1 平面向量的概念6.2 平面向量的运算阅读与思考向量及向量符号的由来6.3 平面向量基本定理及坐标表示6.4 平面向量的应用阅读与思考海伦和秦九韶数学探究（2课时）用向量法研究三角形的性质第七章复数（8课时）7.1 复数的概念7.2 复数的四则运算阅读与思考代数基本定理7.3*复数的三角表示探究与发现的次方根第八章立体几何初步（19课时）8.1 基本立体图形8.2 立体图形的直观图阅读与思考画法几何与蒙日8.3 简单几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、锥体的体积8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系8.5 空间直线、平面的平行8.6 空间直线、平面的垂直阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法文献阅读与数学写作*几何学的发展第九章统计（13课时）9.1 随机抽样阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应信息技术应用统计软件的应用9.2 用样本估计总体阅读与思考统计学在军事中的应用——二战时德国坦克总量的估计问题阅读与思考大数据9.3 案例统计公司员工的肥胖情况调查分析第十章概率（9课时）10.1 随机事件与概率10.2 事件的相互独立性10.3 频率与概率阅读与思考孟德尔遗传规律选择性必修（第一册）（共计43 课时）第一章空间向量与立体几何（15课时）1.1 空间向量及其运算1.2 空间向量基本定理1.3 空间向量及其运算的坐标表示阅读与思考向量概念的推广与应用1.4 空间向量的应用第二章直线和圆的方程（16课时）2.1 直线的倾斜角与斜率2.2 直线的方程探究与发现方向向量与直线的参数方程2.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何2.4 圆的方程阅读与思考坐标法与数学机械化2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系第三章圆锥曲线的方程（12课时）3.1 椭圆信息技术应用用信息技术探究点的轨迹：椭圆3.2 双曲线探究与发现为什么是双曲线的渐近线3.3 抛物线探究与发现为什么二次函数的图象是抛物线阅读与思考圆锥曲线的关学性质及其应用文献阅读与数学写作* 解析几何的形成与发展选择性必修（第二册）（共计30 课时）第四章数列（14课时）4.1 数列的概念阅读与思考斐波那契数列4.2 等差数列4.3 等比数列阅读与思考中国古代数学家求数列和的方法4.4*数学归纳法第五章一元函数的导数及其应用（16课时）5.1 导数的概念及其意义5.2 导数的运算探究与发现牛顿法——用导数方法求方程的近似解5.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质文献阅读与数学写作* 微积分的创立与发展选择性必修（第三册）（共计35 课时）第六章计数原理（11课时）6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少6.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质6.3 二项式定理数学探究（2课时）杨辉三角的性质与应用第七章随机变量及其分布（10课时）7.1 条件概率与全概率公式阅读与思考贝叶斯公式与人工智能7.2 离散型随机变量及其分布列7.3 离散型随机变量的数字特征7.4 二项分布与超几何分布探究与发现二项分布的性质7.5 正态分布信息技术应用概率分布图及概率计算第八章成对数据的统计分析（9课时）8.1 成对数据的统计相关性8.2 一元线性回归模型及其应用阅读与思考回归与相关8.3 列联表与独立性检验数学建模（3课时）建立统计模型进行预测。
北师大版高中数学必修一学第一章集合的基本关系讲解与例题
2 集合的基本关系1．子集(1)子集的概念一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即若a∈A，则a∈B，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作A⊆B(或B⊇A)，这时我们说集合A是集合B的子集．谈重点如何理解子集的概念(1)从文字的角度来看，集合A是集合B的子集，一定要强调集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即强调任意性，否则不一定成立．例如A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，集合A中有一个元素“1”不在集合B中，B中元素“4,5”不在集合A中，因此集合A与集合B 不具有包含关系，尽管集合B中的元素比集合A中的元素多，但也不能以元素个数的多少来确定包含关系．(2)从符号的角度看，“A⊆B”说明“对任意的x∈A，都有x∈B”．这种符号语言对于证明一个集合是另一个集合的子集，作用十分明显．(3)当集合A不包含于集合B(或集合B不包含集合A)时，记作A B(或B A)，用符号可以表示为“存在一个x∈A，使得x∉B”．“A B”表达的意义有两个方面．其一，A，B 互不包含，如A＝{2,3}，B＝{4,5}；其二，A有可能包含B，如A＝{2,3,4,5}，B＝{3,4,5}．(2)子集的图形表示为了直观地表示集合间的关系，我们常用封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图．常用的封闭曲线有椭圆、矩形等．如，若用A表示我们班所有同学组成的集合，用B表示我们班所有女同学组成的集合，则B⊆A.集合A与B的关系可用Venn图表示为：(3)子集的性质根据子集的定义和Venn图的表示方法可以得到以下性质：①任何一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A.②规定：空集是任何集合的子集，也就是说，对于任何一个集合A，都有∅⊆A.③对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C，即子集具有传递性，并且这条性质也可以推广到有限多个集合，即：若A⊆B，B⊆C，C⊆D，…，M⊆N，则A⊆N.下面仅对三个集合的情况进行证明．证明：设x是集合A中的任一元素，∵A⊆B，∴x∈B.又∵B⊆C，∴x∈C，即可由x∈A推出x∈C.∴A⊆C.【例1－1】下列命题：(1)空集没有子集；(2)任何集合至少有两个子集；(3)空集是任何集合的子集；(4)若∅⊆A，则A≠∅；(5)集合A⊆B，就是集合A中的元素都是集合B中的元素，集合B中的元素也都是集合A中的元素．其中正确的有( )．A．0个 B．1个C．2个 D．3个解析：(1)错误，因为空集是任何集合的子集，其中“任何集合”包括空集，所以∅⊆∅也成立(或由于任何一个集合都是它本身的子集，所以空集的子集是它本身)；(2)错误，如空集只有一个子集，即它本身；(3)正确；(4)错误，由∅⊆A可知，集合A可以是任何集合，其中包括∅；(5)错误，A⊆B只能说明集合A中的任何元素都是集合B中的元素，而不能说明集合B 中的元素都是集合A中的元素．答案：B【例1－2】已知集合A ＝{－1,0}，集合B ＝{0,1，x ＋2}，且A ⊆B ，则实数x 的值为__________．解析：由A ⊆B 可知，集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，也就是说，集合A 中的元素－1,0都必须在集合B 中，故x ＋2＝－1，x ＝－3.答案：－32．集合相等对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，同时集合B 中的任何一个元素都是集合A 中的元素，这时，我们就说集合A 与集合B 相等，记作A ＝B .即若A ⊆B ，又B ⊆A ，则A ＝B .用Venn 图可表示为：谈重点 如何理解集合相等的概念(1)所谓集合A 与集合B 相等，就是集合A ，B 中的元素完全相同．例如，试比较集合A ＝{x |x 2－1＝0}与集合B ＝{－1,1}的关系．由x 2－1＝0可知x ＝±1，所以集合A 用列举法可表示为A ＝{－1,1}，我们看到集合A 与B 中都含有两个元素－1,1，故A ＝B .(2)集合相等的概念中给出了一种证明集合相等的方法，即欲证A ＝B ，只需证A ⊆B 与B ⊆A 都成立．【例2－1】下列各组中的两个集合相等的有( )．①P ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，Q ＝{x |x ＝2(n －1)，n ∈Z }；②P ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N ＋}，Q ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈N ＋}；③P ＝{x |x 2－x ＝0}，Q ＝1(1),2n x x n ⎧⎫+-⎪⎪=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭Z . A ．①②③ B ．①③C ．②③D ．①②解析：①集合P ，Q 都表示所有偶数组成的集合，有P ＝Q ；②P 是由1,3,5，…所有正奇数组成的集合，Q 是由3,5,7，…所有大于1的正奇数组成的集合，1∉Q ，∴P ≠Q .③P ＝{0,1}，当n 为奇数时，1(1)02n x +-==，当n 为偶数时，1(1)12nx +-==， ∴Q ＝{0,1}，P ＝Q .答案：B【例2－2】已知A ＝{1，x,2x }，B ＝{1，y ，y 2}，若A ⊆B ，且A ⊇B ，求实数x 和y 的值．分析：由A ⊆B ，且A ⊇B 可知A ＝B ，即集合A 与B 中的元素相同，可根据集合中元素的性质，用分类讨论的方法，通过列方程组求出x ，y 的值；也可根据两个集合中元素的和与积分别相等来建立方程组．两种方法殊途同归，需要注意的是最后都要检验集合中的元素是否具有互异性．解：(方法1)由A ⊆B ，且A ⊇B 知，A ＝B ，由集合相等的概念可得：2,2,x y x y =⎧⎨=⎩或2,2.x y x y ⎧=⎨=⎩ 解方程组得0,0,x y =⎧⎨=⎩或2,2,x y =⎧⎨=⎩或1,41.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩当x ＝0，y ＝0时，A ＝{1,0,0}，B ＝{1,0,0}不符合集合中元素的互异性，舍去．∴x ＝2，y ＝2或14x =，12y =. (方法2)由A ⊆B ，且A ⊇B 知，A ＝B . ∴集合A 与B 中元素的和与积分别相等，即22121,121.x x y y x x y y ⎧++=++⎨⋅⋅=⋅⋅⎩ 解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或2,2,x y =⎧⎨=⎩或1,41,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩当x ＝0，y ＝0时，A ＝{1,0,0}，B ＝{1,0,0}不符合集合中元素的互异性，舍去．∴x ＝2，y ＝2或14x =，12y =. 3．真子集(1)真子集的概念对于两个集合A 与B ，如果A ⊆B ，并且A ≠B ，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B (或B A )，读作“集合A 真包含于集合B (或集合B 真包含集合A )”．从符号的角度来看，则为对任意的x ∈A ，都有x ∈B ，但存在x 0∈B ，使得x 0∉A .例如：已知集合A ＝{a ，b }，集合B ＝{a ，b ，c ，d }，试判断集合A ，B 的关系．显然A ⊆B ，又因为B 中存在一个元素c ，使c ∉A ，所以AB .(2)真子集的Venn 图表示 如果集合A 是集合B 的真子集，则用Venn 图表示这两个集合的关系为：即把表示A 的区域画在表示B 的区域内，但区域A 不能与B 重合．(3)真子集的性质根据真子集的定义和Venn 图的表示方法可以得到以下性质：①任何一个集合A 都不是其自身的真子集．②规定：空集是任何非空集合的真子集，即若集合A ≠∅，则∅A .③对于集合A ，B ，C ，如果A B ，B C ，则A C ，即真子集具有传递性．这条性质可以推广到有限多个集合，即若A B ，B C ，CD ，…，M N ，则A N . 下面仅对三个集合的情况进行证明．证明：设x 是集合A 中的任一元素，∵A B ，∴x ∈B ，且B 中至少有一个元素a ，使得a ∉A ，又B C ，∴x ∈C ，a ∈C ，且C 中至少存在一个元素b ，使得b ∉B ，∴x ∈C ，且C 中至少有两个元素a ，b ，使得a ∉A ，b ∉A ，∴A C .【例3】设集合A ＝{2,8，a }，B ＝{2，a 2－3a ＋4}，且AB ，则a 的值为__________．解析：因为A B ，所以集合B 中的元素都在集合A 中，对照两个集合中的元素可得a 2－3a ＋4＝8或a 2－3a ＋4＝a .由a 2－3a ＋4＝8，得a ＝4或a ＝－1；由a 2－3a ＋4＝a ，得a ＝2.经检验：当a ＝2时，集合A ，B 中元素有重复，与集合元素的互异性矛盾，所以符合题意的a 的值为－1或4.答案：－1或4警误区不可忽视元素的互异性此题易错点是忘记对a的值进行检验，忽视集合中元素的互异性．4．元素与集合、集合与集合之间关系的判断(1)元素与集合的关系是属于与不属于的关系；集合与集合之间的关系是包含与不包含的关系，在包含关系中又分真包含、相等两种情况．(2)符号“∈”和“⊆”的区别：符号“∈”只能适用于元素与集合之间，符号“∈”的左边只能写元素，右边只能写集合，说明左边的元素属于右边的集合，表示元素与集合之间的关系，如－1∈Z∈R；符号“⊆”只能适用于集合与集合之间，其左右两边都必须写集合，说明左边的集合是右边集合的子集，左边集合的元素均属于右边的集合，如{1}⊆{1,0}，{x|x＜2}⊆{x|x＜3}．析规律如何判断两个集合间的基本关系判断两个集合间的关系时，主要是根据这两个集合中元素的特征，结合有关定义来判断．对于用列举法表示的集合，只需要观察其元素即可知道它们之间的关系；对于用描述法表示的集合，要从所含元素的特征来分析，分析之前可以多取几个元素来估计它们之间可能有什么关系，然后再加以证明．【例4－1】在以下六个写法中：①{0}∈{0,1}；②∅{0}；③{0,1，－1}⊆{－1,0,1}；④0∈∅；⑤Z＝{全体整数}；⑥{(0,0)}＝{0}，错误写法的个数是( )．A．3 B．4 C．5 D．6解析：①中是两个集合的关系，不能用“∈”；④∅表示空集，空集中无任何元素，所以应是0∉∅；⑤集合符号“{}”本身就表示全体之意，故此“全体”不应写；⑥等式左边集合的元素是平面直角坐标系的原点，而右边集合的元素是数零，故不相等．只有②和③正确，因为空集是任何非空集合的真子集，任何集合都是其本身的子集．答案：B【例4－2】判断下列集合之间的关系：(1)A＝{三角形}，B＝{等腰三角形}，C＝{等边三角形}；(2)A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|－1≤x≤2}，C＝{x|x2＋4＝4x}；(3)A＝{x|1≤x≤1010}，B＝{x|x＝t2＋1，t∈R}，C＝{x|2x＋1≥3}；(4)1,24kA x x k⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z，1,42kB x x k⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z.分析：给出两个集合A与B，其关系有如下情况：A＝B，A B，B A，A⊆B，B⊆A，A B，B A.因此判断两集合之间的关系时，要根据集合相等、真子集、子集、互不包含的定义，转化为分析它们所含元素的关系．解：(1)∵等腰三角形、等边三角形是两种特殊的三角形，而等边三角形又是特殊的等腰三角形，∴A B C.(2)∵A＝{－1,2}，B＝{x|－1≤x≤2}，C＝{2}，∴C A B.(3)∵A＝{x|1≤x≤1010}，B＝{x|x≥1}，C＝{x|x≥1}，∴A B＝C.(4)∵21,4kA x x k⎧+⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z，2,4kB x x k⎧+⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z，而当k∈Z时，2k＋1是奇数，k＋2是整数，∴A B.5．集合子集个数的确定(1)当一个集合的元素个数很少时，可以直接写出它的全部子集，从而获取其子集的个数．例如：列举集合{1,2,3}的所有子集．在书写时可以按子集元素个数的多少分别写出所有子集(以一定顺序来写不易发生重复和遗漏现象)．含有0个元素的子集有：∅；含有1个元素的子集有：{1}，{2}，{3}；含有2个元素的子集有：{1,2}，{1,3}，{2,3}；含有3个元素的子集有：{1,2,3}．所以集合{1,2,3}的所有子集的个数为8.(2)当一个集合中元素个数较多时，一一写出它的全部子集不太现实，对于其子集的个数有如下结论：①含有n个元素的集合有2n个子集．②含有n个元素的集合有2n－1个真子集．③含有n个元素的集合有2n－1个非空子集．④含有n个元素的集合有2n－2个非空真子集．例如：集合A＝{1,2,3}中含有3个元素，其子集的个数是23＝8，真子集的个数是23－1＝7，非空子集的个数是7，非空真子集的个数是6.解技巧求有限集合的子集步骤求有限集合的子集，首先明确有限集合的元素的个数，然后再套用相应的公式即可．【例5－1】集合A＝{x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数是( )．A．16 B．8 C．7 D．4解析：集合A用列举法可表示为{0,1,2}，其含有3个元素，故A的真子集的个数是23－1＝7.答案：C【例5－2】已知非空集合M⊆{1,2,3,4,5}，且若a∈M，则6－a∈M，那么集合M的个数为( )．A．5 B．6 C．7 D．8解析：已知a∈M,6－a∈M，且∅M⊆{1,2,3,4,5}，又∵当a＝1时，6－a＝5∈M；当a＝2时，6－a＝4∈M；当a＝3时，6－a＝3∈M；当a＝4时，6－a＝2∈M；当a＝5时，6－a＝1∈M，∴非空集合M可能是{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共7个．答案：C【例5－3】已知集合M满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，则集合M的个数是________．解析：(方法1)由题意可知，集合M中至少含有元素1,2，至多含有元素1,2,3,4,5.故可按M中所含元素的个数分类写出集合M.当M中含有两个元素时，M为{1,2}；当M中含有三个元素时，M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；当M中含有四个元素时，M为{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；当M中含有五个元素时，M为{1,2,3,4,5}．所以满足条件的集合M有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共8个．(方法2)由{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}知，集合M中一定含有元素1,2，而不一定含有元素3,4,5，所以问题可转化为求集合{3,4,5}的子集的个数，即23＝8个．答案：86．已知两集合间的关系求参数的值已知两集合之间的关系求参数的值时，要明确集合中的元素，通常依据相关的定义，观察这两个集合元素的关系，进而转化为解方程或解不等式．这类问题常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时，常借助于数轴，利用数形结合来建立变量间的关系．需要特别说明的是有关等号能否取到的问题(界点问题)，在解决具体问题时，一方面要注意端点是实心还是空心，另一方面可以将端点值代入检验．例如：已知集合A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|x＜a}．若A B，求实数a的取值范围．我们可以先把集合A中的元素在数轴上表示出来，再根据两个集合之间的关系确定a，这样就能非常直观地看出实数a的取值范围是a≥4(如图所示)．警误区忽视空集致错若B⊆A，则可分B＝∅或B≠∅两种情况进行分类讨论，有时还会涉及对最高次项系数的讨论，对二次函数根的讨论等，在讨论中，B可能为∅易被忽视，要注意这一“陷阱”，时刻记住空集是任何集合的子集这一性质．【例6－1】已知集合A＝{x|－3＜x＜4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，求实数m 的取值范围．解：由B⊆A，将集合A，B分别表示在数轴上(如图所示)．∵B⊆A，∴当B＝∅时，m＋1＜2m－1，解得m＞2；当B≠∅时，有321,211,14,mm mm-<-⎧⎪-≤+⎨⎪+<⎩解得－1＜m≤2.综上可知，m的取值范围是{m|m＞－1}．【例6－2】已知集合A＝{x|x2－2x－8＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a2－12＝0}，求满足B⊆A 的a值组成的集合．分析：若B⊆A，则可分B＝∅和B≠∅两种情况进行分类讨论，通过解方程或不等式求出参数a的取值范围．解：由已知得A＝{－2,4}，B是关于x的一元二次方程x2＋ax＋a2－12＝0(*)的解集．方程(*)的判别式Δ＝a2－4(a2－12)＝－3(a2－16)．(1)若B＝∅，则方程(*)没有实数根，即Δ＜0，∴－3(a2－16)＜0，解得a＜－4或a＞4.此时B⊆A.(2)若B≠∅，则B＝{－2}或{4}或{－2,4}．①若B＝{－2}，则方程(*)有两个相等的实数根x＝－2，∴(－2)2＋(－2)a＋a2－12＝0，即a2－2a－8＝0.解得a＝4或a＝－2.当a＝4时，恰有Δ＝0.当a＝－2时，Δ＞0，舍去．∴当a＝4时，B⊆A.②若B＝{4}，则方程(*)有两个相等的实数根x＝4，∴42＋4a＋a2－12＝0，解得a＝－2，此时Δ＞0，舍去．③若B＝{－2,4}，则方程(*)有两个不相等的实数根x＝－2或x＝4，由①②知a＝－2，此时Δ＞0，－2与4恰是方程的两根，∴当a＝－2时，B⊆A.综上所述，满足B⊆A的a值组成的集合是{a|a＜－4或a＝－2或a≥4}．7．判断两个集合相等的方法判断两个集合相等的方法有：(1)利用集合相等的定义，即两个集合中的元素是否完全相同来判断．①将两个集合中的元素一一列出比较；②看集合中的代表元素是否一致且代表元素满足的条件是否相同，若两者均一致，则可判断其相等．(2)利用集合相等的等价命题来证明，即A⊆B且B⊆A，则A＝B.此法常适用于无限集，其关键是将集合中元素满足的条件作适当变形．【例7】集合A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝4k±1，k∈Z}，试证A＝B. 证明：(1)任取x∈A，则x＝2k－1，k∈Z，若k为偶数，则k＝2m，m∈Z，此时x＝4m－1，m∈Z，∴x∈B.若k为奇数，则k＝2m－1，m∈Z，此时x＝4m－3＝4(m－1)＋1，m－1∈Z，∴x∈B.综上所述，任取x∈A，均有x∈B，∴A⊆B.(2)任取y∈B，则y＝4k±1，k∈Z.当y＝4k＋1时，y＝2(2k)＋1＝2(2k＋1)－1且2k＋1∈Z.∴y∈A.当y＝4k－1时，y＝2(2k)－1,2k∈Z，∴y∈A.综上所述，任取y∈B，均有y∈A，∴B⊆A.由(1)(2)知，A＝B.。
高一数学必修1(北师大版)第1章归纳总结
[解析] 因为 A∪B＝A，所以 B⊆A. A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{x|(x－2)(x－1)＝0} ＝{1,2}． (1)若 1∈B，则 2×1－a×1＋2 得 a＝4. 当 a＝4 时，B＝{1}⊆A.符合题意． (2)若 2∈B，则 2×22－2a＋2＝0 得 a＝5.
A．(0,1)，(1,2)
B．{(0,1)，(1,2)}
C．{y|y＝1，或 y＝2}
D．{y|y≥1}
[解析] M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{y|y≥1}， N＝{y|y＝x＋1，x∈R}＝{y|y∈R}． 所以 M∩N＝{y|y≥1}∩{y|y∈R}＝{y|y≥1}．选 D.
[答案] D
[方法总结] (1)集合是由元素构成的，认识集合要从认识
第二步：将 L∩(∁UM)＝{1,6}，M∩(∁UL)＝{2,3}， ∁U(M∪L)＝{0,5}中的元素在 Venn 图中依次定位； 第三步：将元素 4,7 定位； 第四步：根据图中的元素位置，得集合 M＝{2,3,4,7}，集 合 L＝{1,4,6,7}．
分 别 求 出 当 全 集 U ＝ R ， A ＝ {x|x≥10} 和 全 集 U ＝ {x|x≥7}，A＝{x|x≥10}时的∁UA.
[解析] ∵x∈Z，且|x|≤2，
∴x＝－2，－1,0,1,2，但当 x＝0 时，y 不存在，故相应的 y＝
－
1 2
，
－
1,1
，
1 2
，
故
集
合
用
列
举
法
表
示
为
－2，－12，－1，－1，1，1，2，12
集合的特征
集合元素的互异性，是集合的重要属性．在解题过程中， 集合元素的互异性常常由于被忽视而出错．
高中数学北师大版必修1第1章 §2 集合的基本关系
第一章 集合§2 集合的基本关系课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返任意一个A ⊆BB ⊇AA 包含于BB 包含A课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返A ⊆AA ⊆C课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返A ⊆BA ≠B课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返内部课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返判断集合间的关系课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返确定有限集合的子集课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合作 探 究•攻 重 难返已知集合间的关系，求参数的范围课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返返课时分层作业（二）点击上面图标进入…谢谢观看。
北师大版高中数学必修一目录
必修（第一册）（共计72 课时）第一章集合与常用逻辑用语（10课时）1.1 集合的概念1.2 集合间的基本关系1.3 集合的基本运算阅读与思考集合中元素的个数1.4 充分条件与必要条件阅读与思考几何命题与充分条件、必要条件1.5 全称量词与存在量词第二章一元二次函数、方程和不等式（8课时）2.1 等式性质与不等式性质2.2 基本不等式2.3 二次函数与一元二次方程，不等式第三章函数的概念与性质（12课时）3.1 函数的概念及其表示阅读与思考函数概念的发展历程3.2 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象3.3 幂函数探究与发现探究函数的图象与性质3.4 函数的应用（一）文献阅读与数学写作* 函数的形成与发展第四章指数函数与对数函数（16课时）4.1 指数4.2 指数函数阅读与思考放射性物质的衰减信息技术应用探究指数函数的性质4.3 对数阅读与思考对数的发明4.4 对数函数探究与发现互为反函数的两个函数图象间的关系4.5 函数的应用（二）阅读与思考中外历史上的方程求解文献阅读与数学写作* 对数概念的形成与发展数学建模（3课时）建立函数模型解决实际问题第五章三角函数（23课时）5.1 任意角和弧度制5.2 三角函数的概念阅读与思考三角学与天文学5.3 诱导公式5.4 三角函数的图象与性质探究与发现函数及函数的周期探究与发现利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质5.5 三角恒等变换信息技术应用利用信息技术制作三角函数表5.6 函数5.7 三角函数的应用阅读与思考振幅、周期、频率、相位必修（第二册）（共计69 课时）第六章平面向量及其应用（18课时）6.1 平面向量的概念6.2 平面向量的运算阅读与思考向量及向量符号的由来6.3 平面向量基本定理及坐标表示6.4 平面向量的应用阅读与思考海伦和秦九韶数学探究（2课时）用向量法研究三角形的性质第七章复数（8课时）7.1 复数的概念7.2 复数的四则运算阅读与思考代数基本定理7.3*复数的三角表示探究与发现的次方根第八章立体几何初步（19课时）8.1 基本立体图形8.2 立体图形的直观图阅读与思考画法几何与蒙日8.3 简单几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、锥体的体积8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系8.5 空间直线、平面的平行8.6 空间直线、平面的垂直阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法文献阅读与数学写作*几何学的发展第九章统计（13课时）9.1 随机抽样阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应信息技术应用统计软件的应用9.2 用样本估计总体阅读与思考统计学在军事中的应用——二战时德国坦克总量的估计问题阅读与思考大数据9.3 案例统计公司员工的肥胖情况调查分析第十章概率（9课时）10.1 随机事件与概率10.2 事件的相互独立性10.3 频率与概率阅读与思考孟德尔遗传规律选择性必修（第一册）（共计43 课时）第一章空间向量与立体几何（15课时）1.1 空间向量及其运算1.2 空间向量基本定理1.3 空间向量及其运算的坐标表示阅读与思考向量概念的推广与应用1.4 空间向量的应用第二章直线和圆的方程（16课时）2.1 直线的倾斜角与斜率2.2 直线的方程探究与发现方向向量与直线的参数方程2.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何2.4 圆的方程阅读与思考坐标法与数学机械化2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系第三章圆锥曲线的方程（12课时）3.1 椭圆信息技术应用用信息技术探究点的轨迹：椭圆3.2 双曲线探究与发现为什么是双曲线的渐近线3.3 抛物线探究与发现为什么二次函数的图象是抛物线阅读与思考圆锥曲线的关学性质及其应用文献阅读与数学写作* 解析几何的形成与发展选择性必修（第二册）（共计30 课时）第四章数列（14课时）4.1 数列的概念阅读与思考斐波那契数列4.2 等差数列4.3 等比数列阅读与思考中国古代数学家求数列和的方法4.4*数学归纳法第五章一元函数的导数及其应用（16课时）5.1 导数的概念及其意义5.2 导数的运算探究与发现牛顿法——用导数方法求方程的近似解5.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质文献阅读与数学写作* 微积分的创立与发展选择性必修（第三册）（共计35 课时）第六章计数原理（11课时）6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少6.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质6.3 二项式定理数学探究（2课时）杨辉三角的性质与应用第七章随机变量及其分布（10课时）7.1 条件概率与全概率公式阅读与思考贝叶斯公式与人工智能7.2 离散型随机变量及其分布列7.3 离散型随机变量的数字特征7.4 二项分布与超几何分布探究与发现二项分布的性质7.5 正态分布信息技术应用概率分布图及概率计算第八章成对数据的统计分析（9课时）8.1 成对数据的统计相关性8.2 一元线性回归模型及其应用阅读与思考回归与相关8.3 列联表与独立性检验数学建模（3课时）建立统计模型进行预测。
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第一单元集合
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合*{|010,},{1,2,3,4}U x x x N A =≤<∈=,则U A ð为
A.{5,6,7,8,9,10}
B.{5,6,7,8,9}
C.{0,5,6,7,8,9}
D.{0,1,2,3,4,10}
2.下列给出的三组对象:①与3相差不大于2的实数;②中国的大城市;
③在平面直角坐标系中非常接近原点的点.其组成的整体能构成集合的个数是
A.0B.1C.2D.3
3.已知集合S 的三个元素,,a b c 是ABC ∆的三边长,那么ABC ∆一定不是
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
4.下列集合是空集的是
A.2{|0}y y ≤
B.2{|30}x x x ++=
C.{|20152015}x x +=
D.2{(,)|||0,,}x y x y x y R +=∈
5.已知全集{|09},{3,4,5},{1,3,7}U x N x A B =∈<<==,那么{2,6,8}是
A.A B I
B.A B U
C.()()U U
A B U 痧 D.()()U U A B I 痧
6.设集合12{|,},{|,}24
k k M x x k Z N x x k Z ++==∈==∈,则集合,M N 的关系是 A.N M ≠⊂ B.M N ≠⊂ C.M N = D.4{|,}8
k M N x x k Z +==∈I 7.若集合{1,2},{0,1}A B =--=,则集合{|,,}C z z y x x A y B ==-∈∈的所有真子集的个数为 A.1B.3C.7D.15
8.已知集合1
{,3},{|1}2
M N x mx =-==,若N M ⊆,则适合条件的实数m 构成的集合P 是 A.1{2,}3- B.11{,}23- C.1
{0,2,}3
- D.{0}
9.已知集合{1,{1,}A B a ==,若A B B =I ,则实数a 等于
A.0
B.0或2
C.1
D.1或2
10.已知A 为非空集合,若任意x A ∈,都有1A x
∈,就称A 是“和谐”集合,则集合 11(1,0,,,1,2,3,4}32
M =-的所有子集中,是“和谐”集合的个数为 A.7B.8C.15D.16
11.设U 为全集,,若存在集合C 使得集合,A B 满足,U A C B C ⊆⊆ð,则下列集合中必为空集的是
A.A B I
B.()U A C I ð
C.()()U U B C I 痧
D.()U B C I ð
12.现规定一种运算⊗:当,m n 都是正偶数或都是正奇数时,m n m n ⊗=+,当,m n 中有一个是正奇数,另一个为正偶数时,m n mn ⊗=,则集合**
{(,)|24,,}M a b a b a N b N =⊗=∈∈中的元素个数为
A.41
B.31
C.27
D.21
二、填空题:本大题共四小题,每小题5分,共20分,请将答案填在答题卡的相应位置.
13.设全集U R =,集合2{|(4)(1)0},{|}A x x x B x x a =-+>=>,若()U A B =∅I ð,则实数a 的取值范围是
14.若集合{|2}A x ax x b =+=-是无限集,则a b +=
15.设,A B 是两个非空集合,定义{|A B x x A -=∈且}x B ∉,若{|4},{|18}A x x B x x =>=-<<,则()B B A --=
16.某校有17名学生参加某大学组织的夏令营活动,每人至少参加地学,考古,信息科学三科夏令营中的一科,已知其中参加地学夏令营活动的有11人,参加考古夏令营的有7人,参加信息科学夏令营活动的有9人,同时参加地学和考古夏令营活动的有4人,同时参加地学和信息科学夏令营的有5人,同时参加考古和信息科学夏令营活动的有3人,则三科夏令营活动都参加的人数是
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17(本小题满分10分)
已知非空集合A N ⊆且满足条件“若x A ∈,则(12)x A -∈”,试写出满足条件且只含有三个元素的所有集合A .
18(本小题满分12分)
若集合2{,},{1,}A a ab B b ==且A B =，求实数,a b 的值。
19(本小题满分12分)
已知集合22{|0},{|150}A x x ax b B x x cx =++==++=,若{3,5},{3}A B A B ==U I ,求实数 ,,a b c 的值.
20(本小题满分12分)
若集合{,,}{1,2,3}x y z =,且下列三个关系:(1)1,(2)1,(3)2x y z =≠=有且只有一个是正确的,求复合条件的所有数组(,,)x y z .
21(本小题满分12分)
已知集合222{(,)|},{(,)|315},{(,)|12180}A x y y ax b B x y y x C x y x y y ==+==+=++≤,问是否存在,a b R ∈,使得下列两个结论同时成立:(1);(2)(,).A B a b C ≠∅∈I
22(本小题满分12分)
已知集合222
{|650},{|2(1)30}A x x x B x x a x a =-+==+++-=.
(Ⅰ)若{1}A B =I ,求实数a 的值;
(Ⅱ)若A B A =U ,求实数a 的取值范围.。