111-5-3平方根法、追赶法

L Table 0, i, n , j, n ;
U Table 0, i, n , j, n ;
For k 1, k n, k , For j k, j n, j , U k, j A k, j
For i k 1, i n, i , L i, k
A i, k Sum L i, t
L L IdentityMatrix n ;
3
5/
2
2
1 1/ 2
L 1 5 / 2 2 12/ 5
U
1 4/5
1 5/ 6
3 5 / 2
1
LU分解的通用程序设计
基于Mathematica9.0
A Input 输 入 矩 阵 数 据 例 如： 1,2,1 , 3, 6, 2 , 0,0, 1
n Dimensions A 1 ;
Table[Switch[i-j,-1,a,0,b,1,c,_,0],{i,6},{j,6}]; MatrixForm[%]
法
b1 c1
a2
b2
c2
来自百度文库
对应的系数矩阵A
an1
bn1
cn1
an bn
分解定理
分 解 定 理 Add Your Title
b1 c1
a2
b2
c2
设矩阵A满足下列条件：
u1 b1
li
ai
/ ui1
ui
bi
ci1li
(i 2,3, , n)
其中ci (i 1,2, , n 1)为A中给出，且分解是唯一的。
“追赶”过程
1
l2 1
O
A LU
l3 O 1
u1 c1
u2 O
c2
O
cn1
令 Ux=y,则Ax=b
Ux y
Ly
b1
c1
0
A
an1
bn1
cn1
an bn
bi ai ci aici 0(i 2,3, , n 1) (*)
追 赶 法
bn
an
0
则它可分解为
1 l2 1
u1 c1
O
u2 c2 O
A LU
l3 O 1
O
cn1
ln 1
un
分解法的实质是高斯消元 法、LU分解法的应用。事实 上，将系数矩阵A做LU分解：
Print "L :", MatrixForm L
Print "U :", MatrixForm U
Sum L k, t U t, j , t, 1, k 1 ;
L t, k , t, 1, k 1
U k, k ;
程序设计
输入表达式：
{{1,2,1},{3,-6,-2},{0,0,1}}
追赶法的通用程序设计
0
1
0 d2
0
1 0
l21 1
l31 l32
0 0 1
d
n
0
0
0
ln1
ln
2
ln
3
dk
akk
k 1
lkm 2dm
m1
lik
aik
k 1
l im d m l km
m1
dk
1
i k 1, k 2, , n
方 根
求解 Ly b, LT x D 1 y计算公式为
例5.4
用改进的平方根法解方程组
x1 2x2 x3 4
2x1 5x2 7
x1
14x3 15
求解 Ly b, LT x D 1计y 算公式为
dlxyyikn1kk
k 1
b1akk lkm 2d m
k 1 m 1
bk
lkjky1j
a
j 1
ik
l
im
(k
dml
yn / dn m1
程序设计
P5={I0[[1]],I0[[2]],{0,0,1/A4[[3,3]],0},I0[[4]]};
A={{-2,1,0,0},{1,-2,0,0},{0,1,-2,1},{0,0,1,-2}}; A5=P5.A4;
b={1,1,0,-1};
MatrixForm[%];
I0=IdentityMatrix[4];
三对角矩阵 分解定理 “追赶”过程 典型例题 通用程序设计
三对角矩阵
三对角线性方程组：
程序设计
b1x1 c1x2
a2 x1 b2 x2 c2 x3
d1 d2
Clear[i,j,a,b,c]
追 赶
an1 xn1 bn1 xn1 cn1 xn dn1 an xn1 bn xn dn
基于Mathematica9.0
Clear a, b, c, d, n, x, l, u, y, t ; n Input "线 性 方 程 组 阶 数 n" ; a Input "下 次 对 角 线 向 量 a" ; b Input "对 角 线 向 量 b" ; c Input "上 次 对 角 线 向 量 c" ;
x1 2x2
1
2 1
1
A
1
2
1 2 1
x2 2x3 x4 0
x3 2x4 1
1 2
u1 b1, lk ak uk1 , uk bk lk ck1
y1
d1 ,
yk dk lk yk1
x
n
yn
un，xk ( yk ck xk1 )
uk
同解三角方程组为UX=Y,即
x {1,1, 1 , 1} 33
LinearSolve[A,b]
典型例题
练习 分解下列矩阵
2 1
2 1/2
2 1/2
1 3 2
1
3
2
1
5/2
4/5
2 4 2
2 4 2
2 4 2
追 赶
3
5
3
5
3
5
法
2 1/2
1 5 / 2 4 / 5
2 12 / 5 5 / 6
0
3/4 5 2
0 25 / 4
2 4
4 6
4
1 1 0 7
1/4 1/4
0
11/ 4 3 / 11
0
3/4 50 / 11 11/ 25
0 25 / 4
2 4
6/ 6
11
4
1/4 1/4
0
1 11/ 4 3 / 11
0
1 3/4 50 / 11 11/ 25
0
7
0 25 / 4
第 五
线性插方程值组的法直接解法
章
主讲教师：刘春凤
1 Gauss消元法
方
4 主元素法
程
3 矩阵三角分解法
组 有
4 平方根法
唯
5 追赶法
一 解
对称正定矩阵分解定理 改进的平方根法 典型例题
对称正定矩阵分解定理
假设线性方程组:
Ax b
其系数矩阵A对称正定，则A的各阶顺序 主子式和全部特征值均大于零。
x3 1, x2 1 (2)1 1
u32 0 1 2 2, l32 2
x1 4 2111 1
d3 14 11 (2)(2) 9
方程组的解为x1 1, x2 1, x3 1
典型例题
练习 用改进的平方根法解方程组
4 1 1 0 x1 7
平
1
1 0
3 1 0
1 5 2
2 78 / 25
6 156
/ 11 / 25
典型例题
例5.5 用改进的平方根法解方程组
4 1 1 0 x1 7
平
1
1 0
3 1 0
1 5 2
0
2 4
x2 x3 x4
8
4 6
方 根
系数矩阵为对称正定矩阵
法
4
1
1
0
7
1/4 1/4
0
11/ 4 3 / 11
0
3/4 50 / 11 11/ 25
程序设计
d Input "常 数 项 向 量 d" ;
“赶”的过程
典型例题
例5.5
2x1 x2
x1 2x2
x2 2x3 x4
x3 2x4
1
1 A 0 1
2 1
1
2
1
2 1
1 2
u1 b1, lk ak uk1 , uk bk lkck1
y1
d1 ,
yk dk lk yk1
xn
yn
un，xk ( yk ck xk1)
A LDLT 其 中L为 单 位 下 三 角 阵 ，D为 对 角 阵 。
比较
平方根法（Cholesky）：A LLT 改进平方根法：A L1 DL1T
优点：1)不必选主元 2)算法稳定
改进的平方根法
A LDLT
平
1 0 0
l
21
1
0
l31
l32
1
ln1 ln2 ln3
0
0
d1
A3=P3.A2;
MatrixForm[%]
MatrixForm[%];
L.U;
P4={I0[[1]],I0[[2]],{0,-A3[[3,2]],1,0},I0[[4]]}; MatrixForm[%]
答案：
A4=P4.A3; MatrixForm[%];
LinearSolve[L,b]; y=% LinearSolve[U,y]
0 25 / 4
2 78 / 25
6 156
//1215
同解方程组为：
4 1
1
0 x1 7
11 / 4
3/4 50 / 11
0 2 78 /
25
x2 x3 x4
25 / 4 6 / 11 156 / 25
回代得 x4 2, x3 1, x2 2, x1 1.
法
y1 b1
yk
bk
k 1
lkj y j
(k 2, , n)
j1
在平方根法中，需进行 n 次开方运算， 为了避免这一点，在更多情况下是将A作
xn yn / dn
xk
yk dk
n
l jk x j
j k 1
(k
n 1,
,1)
A LDLT 分解。 这一方法称为改进的平方根法。
典型例题
uk
追
u1 2 y1 1
赶 法
l2
1 2
u2
3 2
y2
3 2
x4
1 3
0.3333
x3
1
1* 0.3333 2
0.3333
l3
2 3
l4
1 2
u3 2
u4
3 2
y3 1
y4
1 2
3 0*(0.3333)
x2 2
3
1
2
1 1*(1) x1 2 1
典型例题
例5.5
2x1 x2
P6={I0[[1]],I0[[2]],I0[[3]],{0,0,-A5[[4,3]],1}};
MatrixForm[%];
A6=P6.A5;
P1={{1/A[[1,1]],0,0,0},I0[[2]],I0[[3]],I0[[4]]}; MatrixForm[%];
A1=P1.A;
P7={I0[[1]],I0[[2]],I0[[3]],{0,0,0,1/A6[[4,4]]}};
0
2 4
x2 x3 x4
8
4 6
方 根
系数矩阵为对称正定矩阵
法 4 1 1 0 7 4
1 1 0 7
1
1 0
3 1 0
1 5 2
0 2 4
8
4 6
1/4
1/ 0
4
3 1 0
1 5 2
0 8
2 4
4 6
4
1
1 0 7
1/4 1/4
0
11/ 4 3 /11
b
ln 1
un
这种把三对角方程组
追 赶 法
三 对 角 矩 阵 计 算 公 式 为：
y1 d1
“ 追 ” 的 过 程
yk dk lk yk1
k 2,3, , n
xn yn un
的解用递推公式表示出来 的方法，被形象化地叫做 追赶法。
xk ( yk ck xk1 ) uk
k n 1, n 2, ,1
追 赶 法
或A
2
1
1 2 1
2 1
1 2
1
1
0
1
2 1
2
0
0
1 2 1 0
0 0 2 1
0 0 1 2
1 1
0 1
2 0 0 0
1 3
2 0
0
0 0 2 0
0
0
1 3
2
x1 x2 x3 x4
1 3
2 1 1 2
2 1
2
0
0
1 3
2 2
3 0
2, km
,
n)
d
k
xk
yk dk
in l jk xkj (k1,nk1,2,,1)
j k 1
,n
平 方 根 法
1 2 1
由公式得：
系数矩阵A 2 5 0 为对称正定阵
1
0
14
y1 4, y2 7 2 4 1 y3 15 1 4 (2)(1) 9,
d1 1, u21 2, u31 1, l21 2, l31 1, d2 5 2 2 1
平 方 （对称正定矩阵的LU分解形式更加简单， 根 平方根法就是针对正定矩阵的LU分解法） 法 定理 设 A 是对称正定矩阵，则存在惟一的
非奇异下三角阵L,使得
A LLT
且 L 的对角元素皆为正数。
推 论 ：设A为 对 称 矩 阵 ，A的 所 有 顺 序 主 子 式 不 为 零 ，则A可 惟 一 分 解 为 ：
追
MatrixForm[%];
A7=P7.A6;
P2={I0[[1]],{-A1[[2,1]],1,0,0},I0[[3]],I0[[4]]}; MatrixForm[%];
赶 法
A2=P2.A1;
U=A7;
MatrixForm[%];
MatrixForm[%]
P3={I0[[1]],{0,1/A2[[2,2]],0,0},I0[[3]],I0[[4]]}; L=Inverse[P7.P6.P5.P4.P3.P2.P1];
0 0
2 1
0 0
1 2
1 3
2
0
1
2 1
2 0
0
1 3
2 2 3
0
0 0
2 1
2
0 0
1 3
2
1 3
2
1
1 2
1
1 1* 0.3333
x4 3 0.3333 x3 2 0.3333
3 0*(0.3333)
x2 2
3
1
2
1 1*(1) x1 2 1
程序设计