数轴与动点问题
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动点问题
例1、已知数轴上有A、B、C三点,分别代表—24,—10,10,两只电子蚂蚁甲、分别从A、C两点同时相向而行,甲的速度为4个单位/秒。
⑴问多少秒后,甲到A、B、C的距离和为40个单位?
⑵若乙的速度为6个单位/秒,两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行,问甲、乙在数轴上的哪个点相遇?
⑶在⑴⑵的条件下,当甲到A、B、C的距离和为40个单位时,甲调头返回。问甲、乙还能
在数轴上相遇吗?若能,求出相遇点;若不能,请说明理由。
分析:如图1,易求得AB=14,BC=20,AC=34
⑴设x秒后,甲到A、B、C的距离和为40个单位。此时甲表示的数为—24+4x。
①甲在AB之间时,甲到A、B的距离和为AB=14
甲到C的距离为10—(—24+4x)=34—4x
依题意,14+(34—4x)=40,解得x=2
②甲在BC之间时,甲到B、C的距离和为BC=20,甲到A的距离为4x
依题意,20+4x)=40,解得x=5
即2秒或5秒,甲到A、B、C的距离和为40个单位。
⑵是一个相向而行的相遇问题。设运动t秒相遇。
依题意有,4t+6t=34,解得t=3.4
相遇点表示的数为—24+4×3.4=—10.4 (或:10—6×3.4=—10.4)
⑶甲到A、B、C的距离和为40个单位时,甲调头返回。而甲到A、B、C的距离和为40个单位时,即的位置有两种情况,需分类讨论。
①甲从A向右运动2秒时返回。设y秒后与乙相遇。此时甲、乙表示在数轴上为同一点,所表示的数相同。甲表示的数为:—24+4×2—4y;乙表示的数为:10—6×2—6y 依题意有,—24+4×2—4y=10—6×2—6y,解得y=7
相遇点表示的数为:—24+4×2—4y=—44 (或:10—6×2—6y=—44)
②甲从A向右运动5秒时返回。设y秒后与乙相遇。甲表示的数为:—24+4×5—4y;乙表示的数为:10—6×5—6y
依题意有,—24+4×5—4y=10—6×5—6y,解得y=—8(不合题意,舍去)
即甲从A点向右运动2秒后调头返回,能在数轴上与乙相遇,相遇点表示的数为—44。
例2.如图,已知A、B分别为数轴上两点,A点对应的数为—20,B点对应的数为100。
⑴AB中点M对应的数;
⑵现有一只电子蚂蚁P从B点出发,以6个单位/秒的速度向左运动,同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发,以4个单位/秒的速度向右运动,设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇,求C点对应的数;
⑶若当电子蚂蚁P从B点出发时,以6个单位/秒的速度向左运动,同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发,以4个单位/秒的速度也向左运动,设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇,求D点对应的数。
分析:⑴设AB中点M对应的数为x,由BM=MA
所以x—(—20)=100—x,解得x=40 即AB中点M对应的数为40
⑵易知数轴上两点AB距离,AB=140,设PQ相向而行t秒在C点相遇,
依题意有,4t+6t=120,解得t=12
(或由P、Q运动到C所表示的数相同,得—20+4t=100—6t,t=12)
相遇C点表示的数为:—20+4t=28(或100—6t=28)
⑶设运动y秒,P、Q在D点相遇,则此时P表示的数为100—6y,Q表示的数为—20—4y。P、Q为同向而行的追及问题。
依题意有,6y—4y=120,解得y=60
(或由P、Q运动到C所表示的数相同,得—20—4y=100—6y,y=60)
D点表示的数为:—20—4y=—260 (或100—6y=—260)
例3.已知数轴上两点A、B对应的数分别为—1,3,点P为数轴上一动点,其对应的数为x。
(1)若点P到点A、点B的距离相等,求点P对应的数;
(2)数轴上是否存在点P,使点P到点A、点B的距离之和为5?若存在,请求出x的值。若不存在,请说明理由?
(3)当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动时,点A以每分钟5个单位长度向左运动,点B一每分钟20个单位长度向左运动,问它们同时出发,几分钟后P点到点A、点B的距离相等?
解:∵点P到点A.点B的距离相等,点P为数轴上一动点,其对应的数为X ∴点P为线段AB的中点
∴X为1
⑵由AB=4,若存在点P到点A、点B的距离之和为5,P不可能在线段AB上,只能在A 点左侧,或B点右侧。
①P在点A左侧,PA=—1—x,PB=3—x
依题意,(—1—x)+(3—x)=5,解得x=—1.5
②P在点B右侧,PA=x—(—1)=x+1,PB=x—3
依题意,(x+1)+(x—3)=5,解得x=3.5
(3)设x 分钟后点P到点A,点B的距离相等;
出发x 分钟后,点P、A、B对应的数分别为-x 、-1-5x 、3-20x ,
可列方程:|(-x)-(-1-5x)| = |(-x)-(3-20x)| ,
即有:|4x+1| = |19x-3| ,
分两种情况讨论:
①当0 ≤ x ≤ 3/19 时,4x+1 = 3-19x ,解得:x = 2/23 < 3/19 ;
②当x > 3/19 时,4x+1 = 19x-3 ,解得:x = 4/15 > 3/19 ;
综上可得:
2/23 分钟后或4/15 分钟后,点P到点A,点B的距离相等。