中考数学动态几何问题(经典)
中考数学“动态几何探究”题型解析
中考数学“动态几何探究”题型解析以三角形、四边形为背景的动态几何问题均以动态几何的形式来考查三角形、四边形的性质,判定,全等三角形、相似三角形的性质及判定,本节将对此类问题归类如下:一、在平面直角坐标系中探究【例题1】已知直线l 经过A(6,0)和B(0,12)两点,且与直线y = x 交于点C. (1)求直线l 的表达式;(2)若点P(x,0)在线段OA 上运动,过点P 作l 的平行线交直线y = x 于点D,①求△PCD 的面积S 与x 的函数关系式;②S 有最大值吗?若有,求出当S 最大时x 的值 .【解析】(1)设直线l 的表达式为y = kx + b , 用待定系数法求出k , b 的值即可;(2)①点C 是直线l 与y = x 的交点,从而可求得点C 的坐标 .根据三角形的面积公式及结合平行的性质,可求得S 与x 的函数关系式;②根据二次函数的性质,即可得到S 的最大值 .解:(1)设直线l 的表达式为y = kx + b ,由A(6,0)和B(0,12),得∴直线l 的表达式为y = -2x + 12 .(2)①∴点C 的坐标为(4,4),∴S△COP = 1/2 x ▪4 = 2x .∵PD∥直线l ,∴CD/OC = AP/OA .∵CD/OC = ( 1/2 h ×CD ) / ( 1/2 h ×OC ) = S / S△COP,∴S / S△COP = AP / OA , 即S / 2x = (6 - x)/ 6 ,∴△PCD 的面积S 与x 的函数关系式为S = -1/3 x^2 + 2x .②∵S = -1/3 (x - 3)^2 + 3 ,∴当S 最大时,x = 3 .【例题2】如图,在直角坐标系中,矩形OABC 的顶点A , C 均在坐标轴上,且OA = 4 ,OC = 3 , 动点M 从点A 出发,以每秒1 个单位长度的速度,沿AO 向终点O 移动;动点N 从点C 出发沿CB 向终点B 以同样的速度移动,当两个动点运动了x 秒(0 < x < 4)时,过点N 作NP⊥BC 交OB 于点P,连接MP .(1)直接写出点B 的坐标,并求出点P 的坐标(用含x 的式子表示);(2)当x 为何值时,△OMP 的面积最大?并求出最大值 .解:(1)在矩形OABC 中,OA = 4 , OC = 3 ,∴B 点的坐标为(4,3).如图,延长NP 交OA 于点G,则PG∥AB,OG = CN = x . ∵PG∥AB,∴△OPG∽△OBA .∴PG / BA = OG / OA , 即PG / 3 = x / 4 ,解得PG = 3/4 x .∴点P 的坐标为(x , 3/4 x).(2)设△OMP 的面积为S .在△OMP 中,OM = 4 - x , OM 边上的高为3/4 x,∴S 与x 之间的函数表达式为配方,得∴当x = 2 时,S 有最大值,最大值为3/2 .二、在几何图形中探究【例题3】如图,在矩形ABCD 中,AB = 3 米,BC = 4 米,动点P 以2 米/秒的速度从点A 出发,沿AC 向点C 移动,同时动点Q 以1 米/秒的速度从点C 出发,沿CB 向点B 移动,设P , Q 两点同时移动的时间为t 秒(0 < t < 2.5).(1)当t 为何值时,PQ∥AB;(2)设四边形ABQP 的面积为y , 当t 为何值时,y 的值最小?并求出这个最小值 .【解析】(1)首先由勾股定理求得AC = 5 米,然后根据AB∥PQ 可得到PC / AC = QC / BC , 从而得到关于t 的方程,从而可解得t 的值;(2)过点P 作PE⊥BC,由PE∥AB 可得到PC / AC = PE / AB ,从而可求得PE = 3 - 6/5 t , 然后根据y = S△ABC - S△PQC 列出t 与y 的函数关系式,最后利用配方法求得最小值即可 .解:(1)在Rt△ABC 中,由题意,得PC = AC - AP = 5 - 2t , QC = t .如图①,∵AB∥PQ , ∴△CPQ∽△CAB .∴PC / AC = QC / BC , 即(5 - 2t)/ 5 = t / 4 , 解得t = 20/13 .(2)如图②,过点P 作PE⊥BC 于点E .由(1)知,PC = 5 - 2t , QC = t ,∵PE∥AB,∴△CPE∽△CAB .∴PC / AC = PE / AB , 即(5 - 2t)/ 5 = PE / 3 . ∴PE = 3 - 6/5 t .∴当t = 5/4 时,y 的值最小,最小值为81/16 .【例题4】如图,在△ABC 中,∠C = 60°,BC = 4,AC = 2√3,点P 在BC 边上运动,PD∥AB,交AC 于D . 设BP 的长为x , △APD 的面积为y .(1)求AD 的长(用含x 的代数式表示);(2)求y 与x 之间的函数关系式,并回答当x 取何值时,y 的值最大?最大值是多少?(3)是否存在这样的点P,使得△ADP 的面积是△ABP 面积的2/3 ?若存在,请求出BP 的长;若不存在,请说明理由 .解:(1)∵PD∥AB,∴AD / AC = BP / BC .∵BC = 4 , AC = 2√3 , BP = x ,∴AD / 2√3 = x / 4 ,∴AD = √3/2 x .(2)过点P 作PE⊥AC 于E .∵sin∠ACB = PE / PC , ∠C = 60°,∴PE = PC ×sin60°= √3/2(4 - x ).∴y 与x 之间的函数关系式为∴当x = 2 时,y 的值最大,最大值是3/2 . (3)存在这样的点P .∵△ADP 与△ABP 等高不等底,∴S△ADP / S△ABP = DP / AB .∵△ADP 的面积是△ABP 面积的2/3 , ∴S△ADP / S△ABP = 2/3 ,∴DP / AB = 2/3 .∵PD∥AB,∴△CDP∽△CAB .∴DP / AB = CP / CB ,∴CP / CB = 2/3 .∴(4 - x)/ 4 = 2/3 ,∴x = 4/3 ,∴BP = 4/3 .。
2023年中考数学高频考点突破- -二次函数动态几何问题
2023年中考数学高频考点突破- -二次函数动态几何问题1.如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与轴交于、两点,点在原点的左则,点的坐标为,与轴交于点,点是直线下方的抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的表达式;(2)求出四边形的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积;2.已知直线y=kx+b(k≠0)过点F(0,1),与抛物线y=14x2相交于B、C两点.(1)如图,当点C的横坐标为1时,求直线BC的表达式;(2)在(1)的条件下,点M是直线BC上一动点,过点M作y轴的平行线,与抛物线交于点D,是否存在这样的点M,使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.3.已知:如图,二次函数y=x2+(2k-1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点,(1)求这个二次函数的解析式(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B,使△AOB的面积等于6.求点B的坐标。
4.如图,抛物线y=x2+bx+c与直线y=12x﹣3交于,B两点,其中点A在y轴上,点B坐标为(﹣4,﹣5),点P为y轴左侧的抛物线上一动点,过点P作PC△x轴于点C,交AB于点D.(1)求抛物线对应的函数解析式;(2)以O,A,P,D为顶点的平行四边形是否存在若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于B,C两点,与y轴交于点A,直线y=−12x+2经过A,C两点,抛物线的顶点为D,对称轴与x轴交于点E.(1)求此抛物线的解析式;(2)求ΔDAC的面积;(3)在抛物线上是否存在一点P,使它到x轴的距离为4,若存在,请求出点P的坐标,若不存在,则说明理由.6.已知,抛物线y=ax2+ax+b(a≠0)与直线y=2x+m有一个公共点M(1,0),且a<b.(1)求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标(用a的代数式表示);(2)直线与抛物线的另外一个交点记为N,求△DMN的面积与a的关系式;(3)a=﹣1时,直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G,点G、H关于原点对称,现将线段GH沿y轴向上平移t个单位(t>0),若线段GH与抛物线有两个不同的公共点,试求t的取值范围.7.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2﹣45x+c与直线y=25x+25交于A、B两点,已知点B的横坐标是4,直线y=25x+25与x、y轴的交点分别为A、C,点P是抛物线上一动点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点P在直线y=25x+25下方,求△PAC的最大面积;(3)设M是抛物线对称轴上的一点,以点A、B、P、M为顶点的四边形能否成为平行四边形?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.8.二次函数y=ax2+2x-1与直线y=2x-3交于点P(1,b)。
中考数学专题 动态几何与函数10题-含答案
动态几何与函数10题(1)请直接写出1y ,2y 与t 之间的函数关系式以及对应的t 的取值范围;
(2)请在平面直角坐标系中画出1y ,2y 的图象,并写出1y 的一条性质;
(3)求当12y y >时,t 的取值范围.
(1)求出12,y y与x的函数关系式,并注明
(2)先补全表格中1y的值,再画出
x123456
y12632
1
(3)在直角坐标系内直接画出2y的函数图像,结合1y和2y的函数图像,x的取值范围.(结果取精确值)
(1)请求出1y 和2y 关于x 的函数解析式,并说明x 的取值范围;
(2)在图2中画出1y 关于x 的函数图象,并写出一条这一函数的性质:(3)若12103
y y -≥,请结合函数图像直接写出x 的取值范围(近似值保留一位小数,误差不超过0.2)
4.
(2023春·重庆江津·九年级校联考期中)如图,在矩形ABCD 中,3AB =,4BC =,点P 从点A 出发,以每秒2个单位的速度沿折线A B C D →→→运动,当它到达D 点时停止运动;同时,点Q 从点A 出发,以每秒1个单位的速度沿射线AD 运动,过Q 点做直线l 平行于AB ,点M 为直线l 上的一点,满足AMQ △的面积为2,设点P 点Q 的运动时间为t (0t >),ADP △的面积为1y ,QM 的长度为2y .
(1)分别求出1y ,2y 与t 的函数关系,并注明t 的取值范围;
(2)在坐标系中画出1y ,2y 的函数图象;
(3)结合函数图象,请直接写出当12y y <时t 的取值范围.。
中考数学:几何动态综合题(含答案解析)
题型六几何动态综合题类型一点动型探究题针对演练1. (2016赤峰12分)如图,正方形ABCD的边长为3 cm,P,Q分别从B,A出发沿BC,AD方向运动,P点的运动速度是1 cm/秒,Q点的运动速度是2 cm/秒,连接AP,并过Q作QE⊥AP垂足为E.(1)求证:△ABP∽△QEA;(2)当运动时间t为何值时,△ABP≌△QEA;(3)设△QEA的面积为y,用运动时间t表示△QEA的面积y.(不要求考虑t的取值范围)(提示:解答(2)(3)时可不分先后)第1题图2. (2015省卷25,9分) 如图,在同一平面上,两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC 和Rt△ADC拼在一起,使斜边AC完全重合,且顶点B,D分别在AC的两旁,∠ABC=∠ADC=90°,∠CAD=30°,AB=BC=4 cm.(1)填空:AD=________(cm),DC=________(cm);(2)点M、N分别从A点,C点同时以每秒1 cm的速度等速出发,且分别在AD,CB 上沿A→D,C→B方向运动,当N点运动到B点时,M、N两点同时停止运动,连接MN.求当M、N点运动了x秒时,点N到AD的距离(用含x的式子表示);(3)在(2)的条件下,取DC中点P,连接MP,NP,设△PMN的面积为y(cm2),在整个运动过程中,△PMN的面积y存在最大值,请求出y的最大值.(参考数据:sin75°=6+2 4,sin15°=6-24)第2题图3. (2016梅州10分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5 cm,∠BAC=60°,动点M从点B出发,在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动,同时动点N从点C出发,在CB边上以每秒 3 cm的速度向点B匀速运动,设运动时间为t秒(0≤t≤5),连接MN.(1)若BM=BN,求t的值;(2)若△MBN与△ABC相似,求t的值;(3)当t为何值时,四边形ACNM的面积最小?并求出最小值.第3题图4. 如图,在▱ABCD中,BC=8 cm,CD=4 cm,∠B=60°,点M从点D出发,沿DA方向匀速运动,速度为2 cm/s,点N从点B出发,沿BC方向匀速运动,速度为1 cm/s,过点M作MF⊥CD,垂足为F,延长FM交BA的延长线于点E,连接EN,交AD于点O,设运动时间为t (s )(0<t <4).(1)连接AN ,MN ,设四边形ANME 的面积为y (cm 2),求y 与t 之间的函数关系式; (2)是否存在某一时刻t ,使得四边形ANME 的面积是 ▱ABCD 面积的2132?若存在,求出相应的t 值,若不存在,请说明理由;(3)连接AC ,交EN 于点P ,当EN ⊥AD 时,求线段OP 的长度.第4题图 备用图5. 如图,在矩形ABCD 中,AB =6 cm ,BC =8 cm ,如果点E 由点B 出发沿BC 方向向点C 匀速运动,同时点F 由点D 出发沿DA 方向向点A 匀速运动,它们的速度分别为每秒2 cm 和1 cm ,FQ ⊥BC ,分别交AC 、BC 于点P 和Q ,设运动时间为t 秒(0<t <4).(1)连接EF,若运动时间t=23秒时,求证:△EQF是等腰直角三角形;(2)连接EP,设△EPC的面积为y cm2,求y与t的函数关系式,并求y的最大值;(3)若△EPQ与△ADC相似,求t的值.6. (2015郴州)如图,在四边形ABCD中,DC∥AB,DA⊥AB,AD=4 cm,DC=5 cm,AB=8 cm.如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动,同时点Q由A点出发沿AB 方向向点B匀速运动,它们的速度均为1 cm/s,当P点到达C点时,两点同时停止运动,连接PQ,设运动时间为t s,解答下列问题:(1)当t为何值时,P,Q两点同时停止运动?(2)设△PQB的面积为S,当t为何值时,S取得最大值,并求出最大值;(3)当△PQB为等腰三角形时,求t的值.第6题图【答案】1.(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,QE⊥AP,∴∠QEA=∠B=90°.∵AD∥BC,∴∠QAE=∠APB,∴△ABP∽△QEA;…………………………………………(3分)(2)解:由题意得:BP=t cm,AQ=2t cm,要使△ABP≌△QEA,则AQ=AP=2t cm,在Rt △ABP 中,由勾股定理得:32+t 2=(2t)2, 解得t =±3(负值舍去),即当t =3时,△ABP ≌△QEA ;…………………………(7分)(3)解:在Rt △ABP 中,由勾股定理得:AP =32+t 2,∵△ABP ∽△QEA , ∴AB QE =BPAE =APAQ ,∴3QE =tAE=32+t 22t , ∴QE =6t32+t 2,AE =2t 232+t 2,∴y =12QE ·AE =12·6t32+t 2·2t 232+t 2=6t 3t 2+9.……………(12分)2.解:(1)26,22;【解法提示】在Rt △ABC 中,根据勾股定理,得AC =AB 2+BC 2=42+42=4 2 cm ,在Rt △ACD 中,AD =AC ·co s 30°=42×32=2 6 cm ,DC =AC ·sin30°=42×12=2 2 cm.(2)如解图,过点N 作NE ⊥AD 于点E ,作NF ⊥DC 交DC 延长线于点F ,则NE =DF . ∵∠ACD =60°,∠ACB =45°, ∴∠NCF =75°,∠FNC =15°,在Rt △NFC 中, 第2题解图 ∵sin ∠FNC =FCNC,∴sin15°=FCNC,又∵NC=x cm,∴FC=NC·sin15°=6-24x cm,∴NE=DF=DC+FC=(22+6-24x)cm,∴点N到AD的距离为(22+6-24x)cm;(3)如解图,在Rt△NFC中,∵sin75°=NFNC,∴NF=NC·sin75°=6+24x cm,∵P为DC中点,DC=2 2 cm,∴DP=CP= 2 cm,∴PF=DF-DP=22+6-24x-2=(6-24x+2) cm,∵S△PMN=S四边形DFNM-S△DPM-S△PFN,即S△PMN=12(NF+MD)·NE-12MD·DP-12PF·NF,∴y=12×(6+24x+26-x)×(22+6-24x)-12×(26-x)×2-12×(6-24x+2)×6+24x,即y=2-68x2+7-3-224x+23,∵12-68<0, ∴当x =-7-3-2242×2-68=36-23+22-22秒时,y 取得最大值为4×2-68×23-(7-3-224)24×2-68=236+83+92-1616cm 2.3.解:(1)根据题意BM =2t cm ,BC =5×tan60°=5 3 cm ,BN =BC -3t =(53-3t)cm ,∴当BM =BN 时,2t =53-3t ,解得t =103-15;…………………………………………(2分)(2)分两种情况讨论:①当∠BMN =∠ACB =90°时,如解图①, △NBM ∽△ABC ,cosB =cos30°=BM BN,∴2t 53-3t=32,解得t =157;(4分)第3题解图②当∠MNB =∠ACB =90°时,如解图②,△MBN ∽△ABC ,cosB =cos30°=BNBM,∴53-3t2t=32,解得t =52,故若△MBN 与△ABC 相似,则t 的值为157秒或52秒;……(6分)(3)如解图③,过点M 作MD ⊥BC 于点D ,则MD ∥AC , ∴△BMD ∽△BAC , ∴BM BA=MD AC,又∵BA =cos 60AC=10, 第3题解图③∴2t10=5MD,解得MD =t. 设四边形ACNM 的面积为y ,则 y =S △ABC -S △BMN =12AC ×BC - 12BN ·MD=12×5×53- 12(53-3t)·t=32t 2-532t + 2532 =32(t -52)2+7538,…………………………………………(8分) ∴当t =52秒时,四边形ACNM 的面积最小,最小值为7538cm 2.…………………………………………………………………(10分)4.解:(1)如解图①,过点A 作AG ⊥BC ,垂足为点G .第4题解图①∵∠AGB =90°,∠B =60°, ∴AG =32AB =2 3 cm.由题可知,MD =2t cm ,则AM =(8-2t ) cm , ∵AB ∥CD ,MF ⊥CD , ∴ME ⊥AB ,∴∠MEA =∠MFD =90°, ∵AD ∥BC ,∴∠EAM =∠B =60°, ∴AE =12AM =(4-t) cm , ME =3(4-t) cm ,∴y =S △ANM +S △AEM =12×(8-2t)×23+12×(4-t)×3×(4-t) =32t 2-63t +163(0<t <4);(2)存在.由四边形ANME 的面积是▱ABCD 面积的2132可得:32t 2-63t +163=2132×8×23,整理得:t 2-12t +11=0, 解得t =1或t =11(舍去),所以当t =1s 时,四边形ANME 的面积是▱ABCD 面积的2132;(3)如解图②,第4题解图②由(1)可知AE =(4-t ) cm , ∴BE =AB +AE =(8-t ) cm. ∵∠B =60°,EN ⊥BC ,AG ⊥BC ,∴BN =12BE =(4-12t ) cm ,BG =12AB =2 cm.又∵BN =t ,∴4-12t =t ,解得t =83,∴BN =83cm ,∴GN =BN -BG =23cm ,∴AO =23 cm ,NC =BC -BN =163 cm.设PO =x cm ,则PN =(23-x ) cm.∵AO ∥NC , ∴△AOP ∽△CNP ,∴AO NC =POPN,即23163=x23-x,解得x =239,∴当EN ⊥AD 时,线段OP 的长度为239cm.5.(1)证明:若运动时间t =23秒,则BE =2×23=43 cm ,DF =23 cm ,∵四边形ABCD 是矩形,∴AD =BC =8 cm ,AB =DC =6 cm ,∠D =∠BCD =90°, ∵FQ ⊥BC ,∴∠FQC =∠D =∠QCD =90°, ∴四边形CDFQ 是矩形,∴CQ =DF =23 cm ,CD =QF =6 cm ,∴EQ =BC -BE -CQ =8-43-23=6 cm ,∴EQ =QF =6 cm ,∴△EQF 是等腰直角三角形; (2)解:∵∠FQC =90°,∠B =90°, ∴∠FQC =∠B , ∴PQ ∥AB , ∴△CPQ ∽△CAB ,∴PQ AB =QC BC ,即6PQ =t 8, ∴PQ =34 t cm ,∵BE =2t ,∴EC =BC -BE =8-2t , ∵S △EPC =12EC ·PQ ,∴y =12(8-2t )·34t =-34t 2+3t =-34(t -2)2+3(0<t <4).∵-34<0,∴当t =2秒时,y 有最大值,y 的最大值为3 cm 2; (3)解:分两种情况讨论:(ⅰ)如解图①,点E 在Q 的左侧,①当△EPQ ∽△ACD 时, 第5题解图①可得PQ CD =EQAD ,即348t =8-3t 8,解得t =2;②当△EPQ ∽△CAD 时,可得PQ AD =EQCD ,即348t =8-3t 6,解得t =12857;(ⅱ)如解图②,点E 在Q 的右侧, ∵0<t <4,∴点E 不能与点C 重合, ∴只存在△EPQ ∽△CAD ,可得PQ AD =EQCD ,即348t =3t -86,解得t =12839, 第5题解图②故若△EPQ 与△ADC 相似,则t 的值为2秒或12857秒或12839秒.6.解:(1)如解图,过点C 作CE ⊥AB 于点E , ∵DC ∥AB ,DA ⊥AB ,CE ⊥AB , ∴四边形AECD 是矩形,∴AE =DC =5,CE =AD =4, 第6题解图 ∴BE =AB -AE =8-5=3, ∴由勾股定理得:BC =22+BE CE =32+42=5,∴BC <AB ,∵当点P 运动到点C 时,P 、Q 同时停止运动, ∴t =51=5 s ,即t =5 s 时,P 、Q 两点同时停止运动; (2)由题意知,AQ =BP =t , ∴QB =8-t.如解图,过点P 作PF ⊥QB 于点F ,则△BPF ∽△BCE , ∴PF CE =BP BC ,即PF 4=t5,∴PF =4t 5,∴S =12QB ·PF =12×(8-t)×4t 5=-252t +16t5=-25(t -4)2+325(0<t ≤5).∵-25<0,∴当t =4 s 时,S 有最大值,最大值为3252CM ;(3)∵cos B =BE BC =35,∴BF =PB ·cos B =t ·cos B =3t5,∴QF =AB -AQ -BF =8-8t5,∴QP =当△PQB 为等腰三角形时,分以下三种情况:①当PQ =PB 时,即t , 解得:1t =4011,2t=8,∵t2=8>5,不合题意, ∴t =4011;②当PQ =BQ 时,即8-t ,解得:1t =0(舍去),2t =4811;③当QB =BP 时,即8-t =t , 解得t =4;综上所述,当△PQB 为等腰三角形时,则t 的值为4011 s 或4811 s 或4 s.类型二 线动型探究题针对演练1. 如图,已知矩形ABCD ,AB =3,BC =3,在BC 上取两点E ,F (E 在F 左边),以EF 为边作等边三角形PEF ,使顶点P 在AD 上,PE ,PF 分别交AC 于点G ,H .(1)求△PEF 的边长;(2)若△PEF 的边EF 在射线BC 上移动,(点E 的移动范围在B 、C 之间,不与B 、C 两点重合),设BE =x ,PH =y .①求y与x的函数关系式;②连接BG,设△BEG面积为S,求S与x的函数关系式,判断x为何值时S最大,并求最大值S.第1题图2. 已知,如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC=12 cm,BD =16 cm,点P从点A出发,沿AB方向匀速运动,速度为1 cm/s;过点P作直线PF∥AD,PF交CD于点F,过点F作EF⊥BD,且与AD、BD分别交于点E、Q;连接PE,设点P 的运动时间为t(s)(0<t<10).(1)填空:AB=________cm;(2)当t为何值时,PE∥BD;(3)设四边形APFE的面积为y(cm2).①求y与t之间的函数关系式;②若用S表示图形的面积,则是否存在某一时刻t,使得S四边形APFE=825S菱形ABCD?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.第2题图3. (2014省卷25,9分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,BC=10 cm,AD=8 cm.点P从点B出发,在线段BC上以每秒3 cm的速度向点C匀速运动,与此同时,垂直于AD的直线m从底边BC出发,以每秒2 cm的速度沿DA方向匀速平移,分别交AB、AC、AD于点E、F、H,当点P到达点C时,点P与直线m同时停止运动,设运动时间为t秒(t>0).(1)当t=2时,连接DE、DF,求证:四边形AEDF为菱形;(2)在整个运动过程中,所形成的△PEF的面积存在最大值,当△PEF的面积最大时,求线段BP的长;(3)是否存在某一时刻t,使△PEF为直角三角形?若存在,请求出此刻t的值;若不存在,请说明理由.4. (2016镇江改编)如图①,在菱形ABCD中,AB=65,tan∠ABC=2,点E从点D 出发,以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动,设运动时间为t(秒).将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α(α=∠BCD),得到对应线段CF.(1)求证:BE=DF;(2)如图②,连接BD、EF,BD交EC、EF于点P、Q.当t为何值时,△EPQ是直角三角形?(3)如图③,将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α(α=∠BCD),得到对应线段CG.在点E的运动过程中,当它的对应点F位于直线AD上方时,直接写出点F到直线AD的距离y 关于时间t的函数表达式.第4题图【答案】1.解:(1)如解图①,过点P作PQ⊥BC于点Q,∵在矩形ABCD中,∠B=90°,∴AB⊥BC,又∵AD∥BC,∴PQ=AB=3,∵△PEF是等边三角形,∴∠PFQ=60°,在Rt△PQF中,sin∠PFQ=PQ PF,∴PF=3÷32=2,第1题解图①∴△PEF 的边长为2;(2)①在Rt △ABC 中,AB =3,BC =3,由勾股定理得,AC =23,∴∠ACB =30°,又∵△PEF 是等边三角形,∴∠PFE =60°,∴∠FHC =30°,∴FH =FC ,∵HF =2-PH =2-y ,∴FC =2-y ,又∵BE +EF +FC =BC ,∴x +2+2-y =3,即y =x +1(0<x <3);②如解图②,过点G 作GM ⊥BC 于点M ,∵△PEF 为等边三角形,∴∠PEF =60°,∵Rt △ABC 中,AB =3,BC =3,第1题解图②∴∠ACB =30°,∴∠EGC =180°-30°-60°=90°,∵BE =x ,∴EC =3-x ,∴EG =3-x2,∵∠GEM =60°,sin ∠GEM =GM GE ,∴GM =EG ·sin60°=32×3-x 2=33-3x 4, ∴S =12x ×33-3x 4 =-38x 2+338x =-38(x -32)2+9332, ∵-38<0, ∴当x =32时,S 最大=9332. 2.解:(1)10;【解法提示】如解图,在菱形ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点O ,且AC =12 cm ,BD =16 cm ,∴ BO =DO =8 cm ,AO =CO =6 cm ,∴ AB =82+62=10 cm.(2)∵四边形ABCD 是菱形,∴AB ∥CD ,∠ADB =∠CDB ,又∵PF ∥AD ,∴四边形APFD 为平行四边形,∴DF =AP =t cm ,又∵EF ⊥BD 于点Q ,且∠ADB =∠CDB ,∴∠DEF =∠DFE ,∴DE =DF =t cm ,∴AE =(10-t ) cm ,当PE ∥BD 时,△APE ∽△ABD , ∴AP AB =AE AD , ∴t 10=10-t10,∴t =5,∴当t =5 s 时,PE ∥BD ;(3)①∵∠FDQ =∠CDO ,∠FQD =∠COD =90°,∴△DFQ ∽△DCO ,∴QF OC =DFDC ,即QF6=t10,∴QF =3t5 cm ,∴EF =2QF =6t5 cm ,同理,QD =4t5 cm ,如解图,过点C 作CG ⊥AB 于点G ,∵S 菱形ABCD =AB ·CG =12AC ·BD ,即10CG =12×12×16,第2题解图∴CG =485 cm ,∴S ▱APFD =DF ·CG =485t cm 2,∴S △EFD =12EF ·QD =12×6t 5×4t 5=1225t 2 cm 2, ∴y =485t -1225t 2. ②存在.当S 四边形APFE =825S 菱形ABCD 时,则485t -1225t 2=825×12×16×12, 整理得,t 2-20t +64=0,解得t 1=4,t 2=16>10(舍去),∴当t =4s 时,S 四边形APFE =825S 菱形ABCD .3.(1)证明:如解图①,连接DE ,DF ,当t =2时,DH =AH =4,则H 为AD 的中点,∵EF ⊥AD ,∴EF 为AD 的垂直平分线,∴AE =DE ,AF =DF .∵AB =AC ,∴∠B =∠C ,又∵AD ⊥BC ,∴EF ∥BC ,∴∠AEF =∠B ,∠AFE =∠C ,∴∠AEF =∠AFE ,∴AE =AF ,∴AE =AF =DE =DF ,∴四边形AEDF 为菱形;第3题解图(2)解:如解图②,连接PE ,PF ,由(1)知EF ∥BC ,∴△AEF ∽△ABC ,∴EF BC =AH AD ,即EF 10=8-2t 8,解得EF =10-52t , ∴S △PEF =12EF ·DH =12(10-52t)·2t =-52t 2+10t =-52(t -2)2+10(0<t ≤103), ∴当t =2秒时,S △PEF 存在最大值,最大值为10 cm 2,此时BP =3t =6 cm ;(3)解:存在.(ⅰ)若点E 为直角顶点,如解图③,连接PE ,PF ,此时PE ∥AD ,PE =DH =2t ,BP =3t.∵PE ∥AD ,∴△BEP ∽△BAD ,∴PE AD =BP BD ,即2t 8=3t 5,此比例式不成立,故此种情形不存在;第3题解图(ⅱ)若点F 为直角顶点,如解图④,连接PE ,PF ,此时PF ∥AD ,PF =DH =2t ,BP =3t ,CP =10-3t.∵PF ∥AD ,∴△CFP ∽△CAD ,∴PF AD =CP CD ,即2t 8=10-3t 5, 解得t =4017; (ⅲ)若点P 为直角顶点,如解图⑤,连接PE ,PF ,过点E 作EM ⊥BC 于点M ,过点F 作FN ⊥BC 于点N ,则EM =FN =DH =2t ,EM ∥FN ∥AD .∵EM ∥AD ,∴△BEM ∽△BAD ,∴EM AD =BM BD ,即2t 8=BM 5, 解得BM =54t , ∴PM =BP -BM =3t -54t =74t. 在Rt △EMP 中,由勾股定理得, 222PE EM PM =+=(2t)2+(74t)2=11316t 2.∴△CFN ∽△CAD ,∴FN AD =CN CD ,即2t 8=CN 5, 解得CN =54t , ∴PN =BC -BP -CN =10-3t -54t =10-174t. 在Rt △FNP 中,由勾股定理得, 222PF FN PN =+=(2t)2+(10-174t)2=35316t 2-85t +100. 又∵EF =MN =BC -BM -CN =10-52t , 在Rt △PEF 中,由勾股定理得,222EF PE PF =+,即(10-52t)2=11316t 2+(35316t 2-85t +100), 化简得183t 2-280t =0,解得t =280183或t =0(舍去), ∴t =280183. 综上所述,当t =4017秒或t =280183秒时,△PEF 为直角三角形.(9分) 4.(1)证明:∵∠ECF =∠BCD =α,∴∠ECF -∠ECD =∠BCD -∠ECD ,即∠DCF =∠BCE .∵四边形ABCD 是菱形,在△DCF 与△BCE 中,CF CEDCF BCEDC BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△DCF ≌△BCE (SAS),∴BE =DF ;(2)解:∵CE =CF ,∴∠CEQ <90°.①当∠EQP =90°时,如解图①,∵∠ECF =∠BCD ,BC =DC ,EC =FC ,∴△BCD ∽△ECF ,∴∠CBD =∠CEF .∵∠BPC =∠EPQ , 第4题解图①∴∠BCP =∠EQP =90°,∴∠CED =90°,在Rt △CDE 中,∠CED =90°,∵CD =AB =65,tan ∠ABC =tan ∠ADC =2,∴ECDE =2,即EC =2DE ,∵222CD EC DE =+,即CD =5DE ,∴DE =5CD =655=6,∴t =6;②当∠EPQ =90°时,如解图②,∵菱形ABCD 的对角线AC ⊥BD ,∴EC 和AC 重合, 第4题解图②∴DE =65, ∴t =6 5.综上所述,当t =6秒或65秒时,△EPQ 为直角三角形; (3)解:y =255t -12- 2455. 【解法提示】点G 即为t =0时点E 的对应点.当点F 在直线AD 上方时,如解图③,连接GF ,分别交直线AD 、BC 的延长线于点M 、N ,过F 点作FH ⊥AD ,垂足为H ,由(1)得∠1=∠2.易证△DCE ≌△GCF (SAS),∴∠3=∠4,∵DE ∥BC ,∴∠1=∠3,∴∠2=∠4,∴GF ∥CD ,∴四边形DCNM 为平行四边形,易得MN =6 5.∵∠BCD =∠DCG ,∠DCN +∠BCD =∠DCG +∠CGN =180°,∴∠CGN =∠DCN =∠CNG ,∴CN =CG =CD =6 5.∵tan ∠ABC =2, ∴tan ∠CGN =2, ∴GN =12, ∴GM =65+12. 第4题解图③∵GF =DE =t ×1=t , ∴FM =t -65-12.∵tan ∠FMH =tan ∠ABC =2, ∴FH =255(t -65-12),即y =255t -12-2455.类型三 形动型探究题针对演练1. 在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起,A 为公共顶点,∠BAC =∠AGF =90°,它们的斜边长为2,若△ABC 固定不动,△AFG 绕点A 旋转,AF 、AG 与边BC 的交点分别为D 、E (点D 不与点B 重合,点E 不与点C 重合),设BE =m ,CD =n.(1)求证:△ABE ∽△DCA ;(2)求m 与n 的函数关系式,并直接写出自变量n 的取值范围; (3)在旋转过程中,试判断等式222BD CE DE +=是否始终成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.第1题图2. (2015吉林)两个三角板ABC,DEF,按如图所示的位置摆放,点B与点D重合,边AB与边DE在同一条直线上(假设图形中所有的点,线都在同一平面内).其中,∠C=∠DEF =90°,∠ABC=∠F=30°,AC=DE=6 cm.现固定三角板DEF,将三角板ABC沿射线DE 方向平移,当点C落在边EF上时停止运动.设三角板平移的距离为x(cm),两个三角板重叠部分的面积为y(cm2).(1)当点C落在边EF上时,x=________ cm;(2)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;(3)设边BC的中点为点M,边DF的中点为点N.直接写出在三角板平移过程中,点M 与点N之间距离的最小值.第2题图3. 如图,在△ABC 中,∠B =45°,BC =5,高AD =4,矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上,E 、F 分别在AB 、AC 上,AD 交EF 于点H .(1)求证:AHAD =EFBC;(2)设EF =x ,当x 为何值时,矩形EFPQ 的面积最大?并求出最大面积;(3)当矩形EFPQ 的面积最大时,该矩形以每秒1个单位的速度沿射线DA 匀速向上运动(当矩形的边PQ 到达A 点时停止运动),设运动时间为t 秒,矩形EFPQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ,求S 与t 的函数关系式,并写出t 的取值范围.第3题图4. 如图,在▱ABCD中,AD⊥BD,AB=10,AD=6,以AD为斜边在▱ABCD的内部作Rt△AED,使∠EAD=∠DBA,点A′、E′、D′分别与点A、E、D重合,△A′E′D′以每秒5个单位长度的速度沿DC方向平移,当点E′落在BC边上时停止移动,线段BD交边A′D′于点M,交边A′E′或D′E′于点N,设平移的时间为t(秒).(1)DM的长为________(用含t的代数式表示);(2)当E′落在BD上时,求t的值;(3)若△A′E′D′与△BDC重叠部分图形的面积为S(平方单位),求S与t之间的函数关系式;(4)在不添加辅助线的情况下,直接写出平移过程中,出现与△DMD′全等的三角形时t 的取值范围.第4题图5. (2016益阳14分)如图①,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=1,D为AB 的中点,EF为△ACD的中位线,四边形EFGH为△ACD的内接矩形(矩形的四个顶点均在△ACD的边上).(1)计算矩形EFGH的面积;(2)将矩形EFGH沿AB向右平移,F落在BC上时停止移动.在平移过程中,当矩形与△CBD重叠部分的面积为316时,求矩形平移的距离;(3)如图③,将(2)中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形E1F1G1H1,将矩形E1F1G1H1绕G1点按顺时针方向旋转,当H1落在CD上时停止转动,旋转后的矩形记为矩形E2F2G1H2,设旋转角为α,求cosα的值.第5题图6. (2015青岛)已知:如图①,在▱ABCD中,AB=3 cm,BC=5 cm,AC⊥AB.△ACD 沿AC的方向匀速平移得到△PNM,速度为1 cm/s;同时,点Q从点C出发,沿CB方向匀速移动,速度为1 cm/s;当△PNM停止平移时,点Q也停止移动,如图②.设移动时间为t(s)(0<t<4),连接PQ,MQ,MC.解答下列问题:(1)当t为何值时,PQ∥MN?(2)设△QMC的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;(3)是否存在某一时刻t,使S△QMC∶S四边形ABQP=1∶4?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;(4)是否存在某一时刻t,使PQ⊥MQ?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.第6题图【答案】1.(1)证明:∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°,∴∠BAE=∠CDA,又∵∠B=∠C=45°,∴△ABE∽△DCA;(2)解:∵△ABE∽△DCA,∴BECA=BACD,依题可知CA=BA=2,∴m2=2n,∴m=2n,自变量n的取值范围为1<n<2;(3)解:成立.理由如下:如解图,将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH的位置,则CE=HB,AE=AH,∠ABH=∠C=45°,旋转角∠EAH=90°,连接HD,在△EAD和△HAD中,∵AE=AH,∠HAD =∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD,AD=AD,∴△EAD≌△HAD(SAS),∴DH=DE,又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°,∴BD2+HB2=DH2,即BD2+CE2=DE2.2.解:(1)15;【解法提示】如解图①,作CG⊥AB于G点,CH⊥CE于点H,第2题解图①在Rt △ABC 中,由AC =6,∠ABC =30°,得BC =tan 30?AC=6 3 cm.在Rt △BCG 中,BG =BC ·cos30°=9 cm. ∵四边形CGEH 是矩形,∴CH =GE =BG +BE =9+6=15 cm. (2)①当0≤x <6时,如解图②,由∠GDB =60°,∠GBD =30°,DB =x ,得DG =12x ,BG =32x ,重叠部分的面积y =12DG ·BG =12×12x ×32x =38x 2;第2题解图②②当6≤x <12时,如解图③,BD =x ,DG =12x ,BG =32x ,BE =x -6,EH =33(x -6),重叠部分的面积y =S △BDG -S △BEH =12DG ·BG -12BE ·EH ,即y =12×12x ×32x -12(x -6)×33(x -6),第2题解图③化简得y =-324x 2+23x -63;③当12≤x ≤15时,如解图④,AC =6,BC =63,BD =x ,BE =x -6,EG =33(x -6),重叠部分的面积y =S △ABC -S △BEG =12AC ·BC -12BE ·EG ,即y =12×6×63-12(x -6)×33(x -6),化简得y =-36x 2+23x +123;第2题解图④综上所述,y =2223(0683-233(624323315x x x x x x x x ⎧⎪⎪⎪⎪+-⎨⎪⎪++⎪⎪⎩≤<)<<)(≤≤)12 (3)如解图⑤所示,作NG ⊥DE 于点G , 点M 在NG 上时MN 最短,NG 是△DEF 的中位线,NG =12EF =33,∵MB =12CB =33,∠B =30°,∴MG =12MB =332,则MN min =NG -MG =33-332=332.第2题解图⑤3.(1)证明:∵四边形EFPQ 是矩形, ∴EF ∥BC , ∴△AEF ∽△ABC ,∵AD 是△ABC 的高,AH 是△AEF 的高, ∴AHAD =EFBC;(2)解:∵AHAD =EFBC,EF =x ,AD =4,BC =5,∴AH 4=5x , ∴AH =4x 5,∴HD =4-4x 5,∴S 矩形EFPQ =EF ·HD =x (4-4x5)=-45x 2+4x=-45(x -52)2+5.∵-45<0,∴当x =52时,矩形EFPQ 的面积最大,最大面积为5;(3)解:由(2)可知,当矩形EFPQ 的面积最大时,矩形的长EF 为52,宽HD =4-45x =2,在矩形EFPQ 沿射线AD 的运动过程中:(ⅰ)当0≤t ≤2时,如解图①所示.第3题解图①设矩形与AB 、AC 分别交于点K 、N ,与AD 分别交于点H 1、D 1.此时DD 1=t ,H 1D 1=2,∴HD 1=HD -DD 1=2-t ,HH 1=H 1D 1-HD 1=t ,AH 1=AH -HH 1=2-t , ∵KN ∥EF , ∴KN EF=AH 1AH,即KN 52=2-t 2,解得KN =54(2-t ),∴S =S 梯形KNFE +11EFPQ S 矩形 =12(KN +EF )·HH 1+EF ·EQ 1=12[54(2-t )+52]×t +52(2-t )=-58t 2+5; (ⅱ)当2<t ≤4时,如解图②所示.第3题解图②设矩形与AB 、AC 分别交于点K 、N ,与AD 交于点D 2,此时DD 2=t ,AD 2=AD -DD 2=4-t ,∵K ′N ′∥EF , ∴K ′N ′EF=AD 2AH,即K ′N ′52=4-t 2,解得K ′N ′=5-54t ,∴S =S △AKN =12 K ′N ′·AD 2=12×(5-54t )×(4-t )=58t 2-5t +10.综上所述,S 与t 的函数关系式为:S =2255(028551048t t t t t ⎧-+⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩≤≤)(2<≤).4.解:(1)4t ;【解法提示】∵AD ⊥BD , ∴∠ADB =90°, ∴BD=102-62=8,∵AD ∥A ′D ′, ∴A ′D ′⊥BD ,∴∠DMD ′=∠ADB =90°, ∵CD ∥AB , ∴∠D ′DM =∠ABD , ∴△DMD ′∽△BDA ,∴DM BD='DD AB ='MD AD, ∴8DM =510t ='6MD , ∴DM =4t ,MD ′=3t .(2)如解图①,当E ′在BD 上时,第4题解图①∵∠ D ′E ′M +∠A ′E ′M =90°,∠MA ′E ′+∠A ′E ′M =90°, ∴∠ D ′E ′M =∠MA ′E ′, ∵CD ∥AB , ∴∠CDB =∠ABD , ∵∠ MA ′E ′=∠ABD , ∴∠D ′DE ′=∠D ′E ′D , ∴DD ′=D ′E ′,由△ADE ∽△BAD 得到,DE =185,AE =245,∴5t =185,∴t =1825;(3)①当0<t ≤1825时,如解图②,重叠部分是△D ′MK ,S =12D ′M ×MK =12×3t ×4t =6t 2;图②图③第4题解图②当1825<t ≤3225时,如解图③,重叠部分是四边形D ′E ′KM ,S =S △A ′D ′E ′-S △A ′MK =12×185×245-12(6-3t )×34(6-3t )=-278t 2+272t -24350.综上所述,S =2218602527272431832+82502525t t t t t ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩(<≤)—(<≤);(4)平移过程中,当0<t ≤1825或t =1或t =65 s 时,出现与△DMD ′全等的三角形.【解法提示】①当0<t ≤1825时,如解图②,△DMD ′≌△KMD ′,②当DD ′=D ′C 时,△DMD ′≌△BMA ′,此时t =1, ③当DD ′=AD 时,△DMD ′≌△AED ,此时5t =6,t =65,综上所述,当0<t ≤1825或t =1或t =65s 时,出现与△DMD ′全等的三角形.5.解:(1)在Rt △ACB 中,∠B =30°,AC =1, ∴AB =2AC =2, ∵点D 是AB 的中点, ∴AD =12AB =1=CD ,∵EF 是△ACD 的中位线, ∴EF =DF =12=12CD ,在△ACD 中,AD =CD ,∠A =60°, ∴△ACD 是等边三角形, ∴∠ADC =60°,在Rt △FGD 中,GF =DF ·sin60°=34,∴矩形EFGH 的面积=EF ·FG =12×34=38;………………(3分)(2)根据第(1)问,易得GD =12DF =14,设矩形移动的距离为x ,则0<x ≤12,如解图①,当矩形与△CBD 重叠部分为三角形时,0<x ≤14,第5题解图①则此时重叠部分三角形的高为3x , ∴重叠部分的面积S =12x ·3x =316,解得x =24>14(舍去);如解图②,当矩形与△CBD 重叠部分为直角梯形时,14<x ≤12,则此时重叠部分直角梯形的高为34,上底边长为x ,下底边长为x -14,第5题解图②∴重叠部分的面积S =12[x +(x -14)]·34=316,解得x =38,即矩形移动的距离为38时,矩形与△CBD 重叠部分的面积是316;(8分)(3)如解图③,过H 2作H 2K ⊥AB 于点K . 在Rt △F 1G 1B 中,∠B =30°,F 1G 1=34,第5题解图③∴BG 1=34,∴DG 1=BD -BG 1=1-34=14,设KD =a ,则H 2K =3a ,在Rt △H 2G 1K 中,有H 2K 2+G 1K 2=H 2G 21, 即(3a )2+(a +14)2=(12)2,解得,a 1=-1+1316,a 2=-1-1316(舍去),∴cos α=cos ∠H 2G 1K =KG 1H 2G 1=13-116+1412=13+38.……(14分) 6.解:(1)∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB ∥CD .∵AB =3 cm ,BC =5 cm ,AC ⊥AB , 由勾股定理得:AC =BC 2-AB 2=4 cm.∴cos ∠ACB =AC BC =45.∵△ACD 沿AC 方向平移得到△PNM ,平移的速度为1 cm/s , ∴MN ∥AB ,PC =(4-t ) cm.∵点Q 在BC 上运动,运动的速度为1 cm/s ,第6题解图①∴QC =t cm.如解图①,当PQ ∥MN 时, 则PQ ∥AB , ∴PQ ⊥AC , ∴cos ∠ACB =PCQC =45, 即4-t t =45,解得t =209.∴当t =209s 时,PQ ∥MN ;第6题解图②(2)如解图②,过点P 作PH ⊥BC ,垂足为点H , 则PH =PC ·sin ∠PCQ =35(4-t ),∴y =12·QC ·PH =12t ·35(4-t )=-310t 2+65t ,即y 与t 之间的函数关系式为y =-310t 2+65t (0<t <4);(3)存在.∵△PMN 是由△ACD 沿AC 平移得到的, ∴PM ∥BC , ∴S △PCQ =S △QMC , 由(2)得S △QCP =S △QMC , ∵S △QMC ∶S 四边形ABQP =1∶4, ∴S △QCP ∶S 四边形ABQP =1∶4, ∴S △QCP ∶S △ACB =1∶5.∵S △ACB =12AB ×AC =12×3×4=6 cm 2,∴S △QCP =15S △ABC =65cm 2,即-310t 2+65t =65,整理得:t 2-4t +4=0, 解得t =2,∴t =2 s 时,使得S △QMC ∶S 四边形ABQP =1∶4; (4)存在.如解图③,过点P 作PH ⊥BC 于H ,过点M 作MG ⊥HC ,交HC 的延长线于点G ,第6题解图③∴MG =PH =35(4-t ),tan ∠PCH =PH HC =AB AC =34,∴HC =45(4-t ),又∵QC =t ,HG =PM =BC =5, ∴HQ =HC -QC =45(4-t )-t =165-95t ,∴QG =HG -HQ =5-(165-95t )=95t +95.∵∠PQM =90°,∴∠PQH +∠MQG =90°, 又∵∠HPQ +∠PQH =90°, ∴∠HPQ =∠GQM , ∴△PHQ ∽△QGM , ∴PHHQ =QGGM,。
中考数学压轴专题训练——动态(动点)几何问题的解题技巧(含答案)
点 的坐标
为 .……
一次函数的解读式
为 .
(3) 两点在直线 上, 的坐标分别是 .
, .
过点 作 ,垂足为点 .
,
又 , 点坐标为 .
3.(1)解方程 ,得 .
由m<n,知m=1,n=5.
∴A(1,0),B(0,5).………………………1分
∴ 解之,得
所求抛物线的解读式为 ……3分
(2)由 得 故C的坐标为(-5,0).………4分
(1)如图1,若点D、E分别在AC、BC的延长线上,通过观察和测量,猜想FH和FG的数量关系为_______
和位置关系为_____;
(2)如图2,若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时,其余条件均不变,则(1)中的猜想是否还成立,若成立,请证明,不成立请说明理由;
(2)如图3,将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角,得到图3,(1)中的猜想还成立吗?直接写出结论,不用证明.
(2)如图2,若E为线段DC的延长线上任意一点,(1)中的其他条件不变,你在(1)中得出的结论是否发生改变,直接写出你的结论,不必证明.
4、(1)如图1所示,在四边形 中, = , 与 相交于点 , 分别是 的中点,联结 ,分别交 、 于点 ,试判断 的形状,并加以证明;
(2)如图2,在四边形 中,若 , 分别是 的中点,联结FE并延长,分别与 的延长线交于点 ,请在图2中画图并观察,图中是否有相等的角,若有,请直接写出结论:;
(3)如图③,当∠DAB=90°,∠B与∠D互补时,线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想,并给予证明.
7.设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点,F是BC边上一点,线段DE和AF相交于点P,点Q在线段DE上,且AQ∥PC.
2022年中考数学专题复习:动态几何问题
2022年中考数学专题复习:动态几何问题1.在△ABC中,AB = AC,△ABC = 30°,△BDE是等边三角形,连接CD、AE.(1)如图1,当A、B、D三点在同一直线上时,AE、BC交于点P,且AE△AC.若PC = 4,求PE的长;(2)如图2,当B、E、C三点在同一直线上时,F是CD中点,连接AF、EF,求证:AE = 2AF;(3)如图3,在(2)的条件下,AB=8,E在直线BC上运动,将△AEF沿EF翻折得到△MEF,连接DM,G是AB上一点,且BG=14AB,O是直线BC上的另一个动点,连接OG,将△BOG沿OG翻折得到△HOG,连接HM,当HM最小时,直接写出此时点D到直线EM的距离.2.如图1和图2,在△ABC中,AB=AC=5,sinC=35.点K在AC边上,点M,N分别在AB,BC上,且AM=CN=2.点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动,到达点N时停止;而点Q在AC边上随P移动,且始终保持∠APQ=∠B.(1)当点P在BC上时,求点P与点A的最短距离;(2)若点P在MB上,且PQ将△ABC的面积分成上下4:5两部分时,求MP的长;(3)设点P移动的路程为x,当0≤x≤3及3≤x≤9时,分别求点P到直线AC的距离(用含x的式子表示);(4)在点P处设计并安装一扫描器,按定角∠APQ扫描△APQ区域(含边界),扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒.若AK=94,请直接写出点K被扫描到的总时长.3.如图,在等腰梯形ABCD中,AB△CD,AB=8cm,CD=2cm,AD=6cm.点P从A 点出发,以2cm/s的速度沿AB向B点运动(运动到B点即停止);点Q从C点出发,以1cm/s的速度沿CD−DA向A点运动(当点P停止运动时,点Q也即停止),设P、Q同时出发并运动了t秒.(1)求梯形ABCD的高和△A的度数;(2)当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时,求t的值;(3)试问是否存在这样的t的值,使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半,若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.4.如图1,点O 是正方形ABCD 两对角线的交点,分别延长OD 到点G ,OC 到点E ,使OG =2OD ,OE =2OC ,然后以OG 、OE 为邻边作正方形OEFG ,连结AG 、DE .(1)猜想AG 与DE 的数量关系,请直接写出结论;(2)正方形ABCD 固定,将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转,旋转角为α(0°<α<180°),得到图2,请判断:(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由; (3)在正方形OEFG 旋转过程中,请直接写出: △当α=30°时,△OAG 的度数;△当△AEG 的面积最小时,旋转角α的度数.5.如图1,在ABC 中,90,ACB CD ∠=︒平分ACB ∠,且AD BD ⊥于点D .(1)判断ABD △的形状;(2)如图2,在(1)的结论下,若3,75BQ DQ BQD ==∠=︒,求AQ 的长; (3)如图3,在(1)的结论下,若将DB 绕着点D 顺时针旋转()090αα︒<<︒得到DP ,连接BP ,作DE BP ⊥交AP 于点F .试探究AF 与DE 的数量关系,并说明理由.6.如图,在Rt ABCAB=,4∠=︒,5AC=.动点P从点A出发,沿AB △中,90C⊥交AC或BC于点Q,以每秒4个单位长度的速度向终点B运动.过点P作PQ AB分别过点P、Q作AC、AB的平行线交于点M.设PQM与ABC重叠部分的面积为t t>秒.S,点P运动的时间为()0(1)当点Q在AC上时,CQ的长为______(用含t的代数式表示).(2)当点M落在BC上时,求t的值.(3)当PQM与ABC的重合部分为三角形时,求S与t之间的函数关系式.(4)点N为PM中点,直接写出点N到ABC的两个顶点的距离相等时t的值.7.如图,△ABC是等边三角形,AB=4cm,动点P从A出发,以2cm/s的速度沿AB 向点B匀速运动,过点P作PQ△AB,交折线AC﹣CB于点Q,以PQ为边作等边三角形PQD,使A,D在PQ异侧,设点P的运动时间是x(s)(0<x<2).(1)AP的长为cm(用含x的代数式表示);(2)当Q与C重合时,则x=s;(3)△PQD的周长为y(cm),求y关于x的函数解析式,并写出自变量的取值范围.8.如图,已知△ABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm,点D为AB的中点.如果点P 在线段BC上以3cm/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.设P点的运动时间为t.(1)CP=cm.(用含t的式子表示);(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;(3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?9.如图,在Rt△ABC中,△B=90°,BC=5 ,△C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(t>0).过点D作DF△BC于点F,连接DE、EF.(1)AC的长是________,AB的长是________.(2)在D、E的运动过程中,线段EF与AD的关系是否发生变化?若不变化,那么线段EF与AD是何关系,并给予证明;若变化,请说明理由.(3)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,说明理由.(4)当t为何值,△BEF的面积是2 ?10.在Rt△ABC中,△BAC=90°,AB=AC,动点D在直线BC上(不与点B,C重合),连接AD,把AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接DE,F,G分别是DE,CD的中点,连接FG.【特例感知】(1)如图1,当点D是BC的中点时,FG与BD的数量关系是,FG 与直线BC的位置关系是;【猜想论证】(2)当点D在线段BC上且不是BC的中点时,(1)中的结论是否仍然成立?△请在图2中补全图形;△若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.【拓展应用】(3)若AB=AC,其他条件不变,连接BF、CF.当△ACF是等边三角形时,请直接写出△BDF的面积.11.如图,等腰三角形△ABC的腰长AB=AC=5cm,BC=8cm,动点P从B出发沿BC 向C运动,速度为2cm/s.动点Q从C出发沿CA向A运动,速度为1cm/s,当一个点到达终点时两个点同时停止运动.点P'是点P关于直线AC的对称点,连接PP′和P′Q,P′P和AC相交于点E.设运动时间为t秒.(1)若当t的值是多少时,P'P恰好经过点A?(2)设△P′PQ的面积为y,求y与t之间的函数关系式(0<t≤4);(3)是否存在某一时刻t,使PQ平分△P′PC?若存在,求出相应的t值,若不存在,请说明理由;(4)是否存在某一时刻t,使点Q在PC的垂直平分线上?若存在,求出相应的t值,若不存在,请说明理由.12.如图,△ABC为等腰三角形,AB=AC,将CA绕点C顺时针旋转至CD,连接AD,E为直线CD上一点,连接AE;(1)如图1,若△BAC=60°,△ACD=90°,E为CD中点,AB=△BCE的面积;(2)如图2,若△ACD=90°,点E在线段CD上且△DAE+△ABC=90°,AE的延长线与BC的延长线交于点F,连接DF,求证:BC=;(3)如图3,AB=1,△BAC=90°,△ACD=105°,若BE恰好平分△AEC,点P为线段AE上的动点,点E′与点E关于直线DP对称,AE′与CD交于点Q,连接CE′,当'+-''的值最小时,直接写出CQ的值.AE CE13.已知,如图△,在平行四边形ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,AC△AB,△ACD 沿AC的方向匀速平移得到△PNM,速度为1cm/s:同时,点Q从点C出发,沿CB方向匀速移动,速度为1cm/s,当△PNM停止平移时,点Q也停止移动,如图△,设移动时间为t(s)(0<t<4),连接PQ,MQ,MC,解答下列问题:(1)CQ=,BQ=,AP=,CP=.(2)当t为何值时,PQ∥MN;(3)设△OMC的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;(4)是否存在某一时刻t,使S△QMC:S四边形ABQP=1:4.若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.14.如图,等腰ABC的底边BC=8,高AD=2,M是AB中点,连接MD.动点E从点B出发,以每秒1个单位的速度沿BC向点C运动,到点C停止,另一动点F从点B出发,以相同的速度沿BC运动,到点D停止.已知点E比点F早出发1秒,当点F出发后,以EF为边作正方形EFGH,使点G、H和点A在BC的同侧,设点E运动的时间为t秒.(1)当t≥1时,用含t的代数式表示EF的长;(2)设正方形EFGH面积为S 1,正方形EFGH与ABC重叠面积为S2,当S1:S2=2时,求t的值;(3)在点F开始运动时,点P从点D出发,以每秒DM ﹣MB﹣BM﹣MD运动,到达点D停止,在点E的整个运动过程中,求点P在正方形EFGH内(含边界)的时长.15.如图1,正方形ABCD中,点P、Q是对角线BD上的两个动点,点P从点B出发沿着BD以1cm/s的速度向点D运动;点Q同时从点D出发沿着DB以2cm的速度向点B运动.设运动的时间为x s,△AQP的面积为y cm2,y与x的函数图象如图2所示,根据图象回答下列问题:(1)a=.(2)当x为何值时,APQ的面积为6cm2;(3)当x为何值时,以PQ为直径的圆与APQ的边有且只有三个公共点.16.如图1,有一张矩形纸条ABCD ,边AB 、BC 的长分别是方程27100x x -+=的两个根()AB BC >,E 为CD 上一点,1CE =. (1)连接AE ,BE ,试说明90AEB =︒∠.(2)如图2,M 为边AB 上一个动点,将四边形BCEM 沿ME 折叠,使点B ,C 分别落在点B ′,C '上,边MB '与边CD 交于点N . △如图3,当点M 与点A 重合时,求N 到ME 的距离.△在点M 从点A 运动到点B 的过程中,求点N 相应运动的路径长(路程).17.如图,已知在Rt ABC 中,90ACB ∠=︒,8AC =,16BC =,D 是AC 上的一点,3CD =,点P 从B 点出发沿射线BC 方向以每秒2个单位的速度向右运动.设点P 的运动时间为t ,连接AP .(1)当3t =秒时,求AP 的长度;(2)当ABP △为等腰三角形时,求t 的值;(3)过点D 作DE AP ⊥于点E ,连接PD ,在点P 的运动过程中,当PD 平分APC ∠时,直接写出t 的值.18.如图,已知在Rt△ABC 中,△ACB =90°,AB =10,AC =6,点D 是斜边AB 上的动点,联结CD ,作DE △CD 交射线CB 于点E ,设AD =x . (1)当点D 是边AB 的中点时,求线段DE 的长; (2)当△BED 是等腰三角形时,求x 的值; (3)如果DEy DB=,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.19.已知:如图,在长方形ABCD 中,4cm,6cm AB BC ==,点E 为AB 中点.点P 在线段BC 上以每秒2cm 的速度由点B 向点C 运动,同时,点Q 在线段CD 上由点C 向点D 运动.设点P 的运动时间为t 秒,解答下列问题:(1)线段,BP PC 的长可用含t 的式子分别表示为 cm , cm ;(2)若某一时刻BPE 与CQP 全等,求此时t 的值和点Q 的运动速度.20.在平面直角坐标系中,点A(0,4),点B(4,0),连接AB,点P(0,t)是y 轴上的一动点,以BP为一直角边构造等腰直角△BPC(B,P,C的顺序为顺时针),且△BPC=90°,过点A作AD△x轴并与直线BC交于点D,连接PD.(1)如图1,当t=2时,求点C的坐标;(2)如图2,当t>0时,求证:△ADC=△PDB;(3)如图3,当t<0时,求DP﹣DA的值(用含有t的式子表示).。
九年级中考数学复习专题十 几何动态探究题
专题十几何动态探究题1. 如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,点E,F分别是边AB,BC上的动点,在运动过程中,始终保持AE=BF,若AB=2,则EF的取值范围为________.第1题图2.如图,在三角形纸片ABC中,点D是BC边上一点,连接AD,把△ABD沿着AD翻折,得到△AED,DE与AC交于点G,连接BE交AD于点F,若DG=GE,AF=3,BF=2,△ADG的面积为2,则点F到BC的距离为________.第2题图3. 如图,在Rt△ABC中,AB=AC=4 cm,∠BAC=90°,O为边BC上一点,OA=OB=OC,点M、N分别在边AB、AC上运动,且始终保持AN=BM.在运动过程中,四边形AMON的面积为________cm2.第3题图4. 如图,在正方形ABCD中,AB=4,O是BC边的中点,点E是正方形内一动点,OE=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF,连接AE、CF.则线段OF长的最小值为________.第4题图5. 如图,在△ABC中,AB>AC,∠B=45°,AC=5,BC=42,则AB的长为________;若E是AB边上一点,将△BEC沿EC所在直线翻折得到△DEC,DC交AB于点F,当DE∥AC时,tan∠BCD的值为________.第5题图6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4 cm,将△ABC绕点A顺时针旋转30°得到△AB′C′,直线BB′、CC′交于点D,则CD的长为________cm.第6题图7. 如图,四边形ABCD是正方形,且AB=2,将正方形ABCD绕点A顺时针旋转后得到正方形AEFG,在旋转过程中,当点A、G、C三点共线时,则点F到BC的距离为________.第7题图8.如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,N是AB边上一个动点,将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN,连接A′C,则A′C长度的最小值是________.第8题图9. 如图,在边长为4的正方形ABCD中,将△ABD沿射线BD平移,得到△EGF,连接EC,GC.则EC+GC的最小值为________.第9题图10. 如图,在菱形ABCD 中,tan A =43,M ,N 分别在边AD ,BC 上,将四边形AMNB 沿MN 翻折,使AB 的对应线段EF 经过顶点D ,当EF ⊥AD 时,BN CN的值为________.第10题图11.如图,在△ABC 中,已知AD 是BC 边上的中线,∠ADC =60°,BC =3AD.将△ABD 沿直线AD 翻折,点B 落在平面上的点B ′处,连接AB ′交BC 于点E ,那么CE ∶BE 的值为________.第11题图12.如图,在平行四边形ABCD 中,AB =2,∠ABC =45°,点E 为射线AD 上一动点,连接BE ,将BE 绕点B 逆时针旋转60°得到BF ,连接AF ,则AF 的最小值是________.第12题图13. 如图,在矩形ABCD 中,AB =3,BC =4,点M 为AD 的中点,点N 为AB 上一点,连接MN ,CN ,将△AMN 沿直线MN 折叠后,点A 恰好落在CN 上的点P 处,则CN 的长为________.第13题图14. 如图,在▱ABCD 中,AB =3,BC =5,AC ⊥AB ,△ACD 沿AC 的方向以每秒1个单位的速度平移得到△EFG (点E 在线段AC 上,运动到点C 停止运动,且不与点A 重合),同时,点H 从点C 出发以相同的速度沿CB 方向移动,当△EFG 停止平移时,点H 也停止移动,连接EH ,GH ,当EH ⊥GH 时,AE BH的值为________.第14题图15.如图,在正方形ABCD中,E是线段CD上一点,连接AE,将△ADE沿AE翻折至△AEF,连接BF并延长BF交AE延长线于点P,当PF=22BF时,DECD=________.第15题图16. 如图,在边长为6的菱形ABCD中,AC为其对角线,∠ABC=60°,点M、N分别是边BC、CD上的动点,且MB=NC.连接AM、AN、MN,MN交AC于点P,则点P到直线CD的距离的最大值为________.第16题图17. 如图,在边长为6的等边△ABC中,点D在边AC上,AD=1,线段PQ在边AB上运动,PQ=1,则四边形PCDQ面积的最大值为________;四边形PCDQ周长的最小值为________.第17题图18.如图,在矩形ABCD中,AB=9,BC=12,F是边AD上一点,连接BF,将△ABF沿BF折叠使点A落在G点,连接AG并延长交CD于点E,连接GD.若△DEG是以DG为腰的等腰三角形,则AF的长为________.第18题图19. 如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=8,F为AC中点,D是线段AB上一动点,连接CD,将线段CD绕点C沿逆时针方向旋转90°得到线段CE,连接EF,则点D在运动过程中,EF的最大值为________,最小值为________.第19题图20. 如图①,把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD,再沿∠ADC的平分线DE折叠,如图②,点C落在点C′处,最后按图③所示方式折叠,使点A落在DE的中点A′处,折痕是FG.若原正方形....纸片的边长为6 cm,则FG=________ cm.第20题图21. 如图,在△ABC中,AC=BC=4,∠ACB=120°,CD⊥AB,点P是直线CD上一点,连接P A,将线段P A绕点P逆时针旋转120°得到P A′,点M、N分别是线段AC、P A′的中点,连接MN,则线段MN的最小值为________.第21题图22. 如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是AB边上一点,且AE=4,点F是BC边上的任意一点,把△BEF沿EF翻折,点B的对应点为点G,连接AG、CG,则四边形AGCD面积的最小值为________,此时BF的长为________.第22题图专题十几何动态探究题1. 3≤EF≤2【解析】如解图,连接BD,过点D作DH⊥AB,垂足为点H,∵四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,∴∠A=∠DBA=∠C=60°,AB=BD=BC,∵AE=BF,∴BE=CF,∴△DBE≌△DCF(SAS).∴DE=DF,∠BDE=∠CDF,∵∠EDF=∠EDB+∠BDF=∠CDF+∠BDF=60°,∴△DEF 是等边三角形,∴EF=DE,当点E与点H重合时,DE的值最小,此时DE=AD·sin A=3,当点E与点A (或点B )重合时,DE 的长最大,此时DE =2,∴EF 的取值范围为3≤EF ≤2. 第1题解图 2. 255 【解析】∵DG =GE ,∴S △ADG =S △AEG =2,∴S △ADE =4,由翻折的性质得△ADB ≌△ADE ,BE ⊥AD ,∴S △ABD =S △ADE =4,∠BFD =90°,∴12(AF +DF )·BF =4,即12(3+DF )×2=4,∴DF =1,∴DB =BF 2+DF 2=22+12=5,设点F 到BD 的距离为h ,则有12BD ·h =12BF ·DF ,即12×5·h =12×2×1,∴h =255.3. 4 【解析】∵AC =AB ,∠BAC =90°,∴∠B =∠C =45°,∵OA =OB =OC ,∴∠BAO =∠CAO =45°,∠AOB =∠AOC =90°,∴∠B =∠BAO =∠CAO ,在△AON 和△BOM 中,⎩⎪⎨⎪⎧OA =OB ∠CAO =∠B AN =BM,∴△AON ≌△BOM (SAS),∴S △AON =S △BOM ,∴S △AON +S △AOM =S △BOM +S △AOM ,即S 四边形AMON =S △AOB ,∴S 四边形AMON =12S △ABC =12×12×4×4=4 cm 2.4. 210-2 【解析】如解图,连接DO ,将线段DO 绕点D 逆时针旋转90°得到DM ,连接FM ,OM ,∵ ∠EDF = ∠ODM =90°,∴ ∠EDO =∠FDM ,在△EDO 与△FDM 中,⎩⎪⎨⎪⎧DE =DF ∠EDO =∠FDM DO =DM,∴ △EDO ≌△FDM (SAS) ,∴ FM =OE =2,∵在正方形ABCD 中,AB =4,O 是BC 边的中点,∴ OC =2,∴OD =42+22=2 5 ,∴OM =2OD =210,∵OF ≥OM -MF ,∴OF ≥210-2 ,∴线段OF 长的最小值为210-2.第4题解图5. 7;34 【解析】如解图,过点A 作AM ⊥BC 于点M .在Rt △ABM 中,∵∠AMB =90°,∠B =45°,∴BM =AM ,AB =2AM ,设AM =BM =x ,在Rt △AMC 中,∵AC 2=AM 2+CM 2,∴52=x 2+(42-x )2,解得x=722或22(舍),∴AB =2x =7.过点F 作FN ⊥BC 于点N .∵DE ∥AC ,∴∠ACF =∠D =∠B ,∵∠CAF =∠CAB ,∴△ACF ∽△ABC ,∴AC AB =AF AC ,∴AC 2=AF ·AB ,∴AF =257,∴BF =AB -AF =7-257=247,∴BN =FN =1227,∴CN =BC -BN =42-1227=1627,∴tan ∠BCD =FN CN =12271627=34.第5题解图6. 2 6 cm 【解析】如解图,过点C 作CE ⊥BD 交DB 的延长线于点E ,由旋转的性质得∠B ′AB =∠C ′AC=30°,AB ′=AB ,AC ′=AC ,∴∠B ′BA =∠C ′CA =12×(180°-30°)=75°,∵∠ACB =90°,AC =BC =4cm ,∴∠ABC =∠BAC =45°,∠DCB =90°-∠C ′CA =15°,∴∠CDE =180°-∠B ′BA -∠ABC -∠DCB =180°-75°-45°-15°=45°,∴∠DCE =∠CDE =45°,DE =CE ,∴∠BCE =∠DCE -∠DCB =45°-15°=30°,在Rt △BCE 中,BC =4 cm ,∠BCE =30°,∴BE =12BC =2 cm ,∴CE =BC 2-BE 2=42-22=2 3 cm ,∴CD =CE cos45°=2322=2 6 cm.第6题解图7. 2-2或2+2 【解析】由旋转的性质可知AG =FG =AB =2,AF =2AG =2.分两种情况讨论:①如解图①,当点G 在线段AC 上时,连接AC ,BF ,可知点B 在线段AF 上,即点F 到BC 的距离为BF 的长,∴BF =AF -AB =2-2;②如解图②,当点G 在CA 的延长线上时,连接AC ,AF ,此时点F 在BA 的延长线上,即点F 到BC 的距离为BF 的长,∴BF =AB +AF =2+ 2.综上所述,点F 到BC 的距离为2-2或2+ 2.图①图②第7题解图8. 7-1 【解析】如解图①,以点M 为圆心,AM 长为半径作圆,过点M 作MH ⊥CD 交CD 的延长线于点H ,连接MC ,∵菱形ABCD 的边长为2,∠DAB =60°,M 是AD 的中点,∴MA =MA ′=MD =12AD =1,∴点A ′在⊙M 上运动,由解图①得,只有当A ′运动到与点M 、C 三点共线时,A ′C 的长度最小,∵CH ∥AB ,∴∠MDH =∠DAB =60°,在Rt △MDH 中,DH =MD ·cos ∠MDH =12,MH =MD ·sin ∠MDH =32,在Rt △MHC 中,HC =DH +DC =12+2=52,由勾股定理得MC =HC 2+MH 2=7,此时A ′C =MC -MA ′=7-1,即A ′C 长度的最小值为7-1.第8题解图①【一题多解】如解图②,连接MC ,过点M 作MH ⊥CD 交CD 的延长线于点H ,由题意可知,MA =MA ′=12AD ,在△ MA ′C 中,由三角形三边关系可知,一定存在MA ′+A ′C ≥MC ,∴当点M 、A ′、C 三点共线时,A ′C 的长度最小,此时A ′C =MC -MA ′,其余解法同上.第8题解图②9. 45 【解析】如解图,连接AE 并延长,作点D 关于AE 的对称点H ,连接EH ,ED ,过点H 作HM ⊥CD ,与CD 的延长线交于点M ,则DE =EH ,∵△ABD 沿射线BD 平移得△EGF ,∴AE ∥BD ,AB =EG ,AB ∥EG ,∵AB ∥CD ,AB =CD =4,∴EG ∥CD ,EG =CD =4,∴四边形CDEG 是平行四边形,∴CG =DE =EH ,∴当点C ,E ,H 三点共线时,EC +GC 取得最小值,最小值为CH 的长.∵AE ∥BD ,AB ∥CD ,∴四边形ABDM 为平行四边形,∴DM =AB =4,∠DAM =45°,∴∠ADH =45°,∴∠MDH =45°,∴DM =HM =4,∴CH =CM 2+HM 2=(4+4)2+42=45,∴EC +GC 的最小值为4 5.第9题解图10. 27 【解析】如解图,延长NF 与DC 交于点H .由折叠的性质得∠E =∠A ,∠EFN =∠B ,EM =AM ,EF =AB .∵EF ⊥AD ,∴∠MDE =90°.在Rt △MDE 中,tan E =DM DE =tan A =43,设DM =4k ,则DE =3k ,EM=5k .∴AM =5k ,AD =9k .∵四边形ABCD 是菱形,∴AB =CD =BC =AD =9k ,∠C =∠A ,AB ∥CD ,AD ∥BC .∴∠A +∠ADC =180°,∠A +∠B =180°.∵∠ADF =90°,∴∠A +∠FDH =90°.∵∠DFH +∠EFN =180°,∠A +∠B =180°,∠EFN =∠B ,∴∠A =∠DFH .∴∠DFH +∠FDH =90°.∴∠DHF =90°.∵EF =AB =9k ,DE =3k ,∴DF =6k .在Rt △DHF 中,tan ∠DFH =tan A =43,易得sin ∠DFH =45,∴DH =DF ·sin ∠DFH =245k .∴HC =9k -245k =215k .在Rt △CHN 中,tan C = tan A =43,易得cos C =35.∴NC =HC cos C =7k .∴BN =9k -7k =2k .∴BN CN =2k 7k =27.第10题解图11. 37 【解析】如解图,过点A 作AF ⊥BC 于点F ,过点B ′作B ′G ⊥BC 于点G ,∵∠ADC =60°,∴∠ADB =120°,由折叠的性质得,∠ADB ′=120°,∠CDB ′=60°,B ′D =BD ,∵BC =3AD ,AD 是BC 边上的中线,∴设AD =m ,则BC =3m ,BD =B ′D =32m ,在Rt △ADF 中,DF =AD ·cos60°=12m ,AF =AD ·sin60°=32m ,∴BF =BD +DF =2m ,CF =BC -BF =m ,在Rt △B ′DG 中,DG =B ′D ·cos60°=34m ,B ′G =B ′D ·sin60°=334m ,∴FG =DG -DF =14m ,∵AF ⊥BC ,B ′G ⊥BC ,∴AF ∥B ′G ,∴△AFE ∽△B ′GE ∴FE GE =AF B ′G =32m334m=23,∵FE +GE =FG =14m ,∴FE =110m ,∴BE =BF +FE =2110m ,CE =CF -FE =910m ,∴CE BE =910m 2110m =37.第11题解图12. 6+22 【解析】如解图,以AB 为边向下作等边△ABK ,连接EK ,在EK 上取一点T ,连接AT ,使得TA =TK .由旋转的性质得BE =BF ,∠EBF =60°,∵△ABK 为等边三角形,∴BK =BA ,∠EBF =∠ABK =60°,∴∠ABF =∠KBE ,∴△ABF ≌△KBE (SAS),∴AF =EK ,根据垂线段最短可知,当KE ⊥AD 时,KE 的值最小,即AF 最小.∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD ∥BC ,∴∠BAD =180°-∠ABC =135°,∵∠BAK =60°,∴∠EAK =75°,∵∠AEK =90°,∴∠AKE =15°,∵TA =TK ,∴∠TAK =∠AKT =15°,∴∠ATE =∠TAK +∠AKT =30°,设AE =a ,则AT =TK =2a ,ET =3a ,在Rt △AEK 中,AE 2+EK 2=AK 2,∴a 2+(2a +3a )2=22,∴a =6-22,∴EK =2a +3a =6+22,∴AF 的最小值为6+22.第12题解图13. 133 【解析】如解图,连接CM ,在矩形ABCD 中,AB =3,BC =4,∴AD =BC =4,CD =AB =3,∠D =90°,由折叠的性质得,AM =PM ,∠MPN =∠A =90°,∠AMN =∠PMN ,∴∠CPM =90°,∵点M 为AD 的中点,∴AM =DM =12AD =2,∴PM =AM =DM =2,在Rt △CPM 与Rt △CDM 中,⎩⎪⎨⎪⎧PM =DM CM =CM,∴Rt △CPM ≌Rt △CDM (HL),∴CP =CD =3,∠CMP =∠CMD ,∴∠NMC =∠NMP +∠CMP =12(∠AMP +∠DMP )=90°,∴CM =DM 2+CD 2=22+32=13,∵∠CPM =∠CMN =90°,∠MCP =∠NCM ,∴△CMP ∽△CNM ,∴CM CN =CP CM ,即13CN =313,∴CN =133.第13题解图14. 37 【解析】如解图,过点E 作EM ⊥BC 的于点M ,过点G 作GN ⊥BC 交BC 的延长线于点N ,∴四边形EMNG 是矩形,∴EG =MN =5,EM =GN ,∵∠BAC =∠EMH =90°,∠ACB =∠MCE ,∴△ABC ∽△MEC ,∴AB ME =BC EC =AC MC ,∵AB =3,BC =5,在Rt △ABC 中,由勾股定理得AC =4,设运动时间为t (0<t ≤4),则AE =CH =t ,CE =4-t ,∴3ME =54-t =4MC ,∴EM =12-3t 5,CM =16-4t 5,∴HN =5-MH =5-(CM -CH )=5-(16-4t 5-t )=9+9t 5.∵EH ⊥GH ,∴∠EHG =90°,∴∠EHM +∠GHN =90°,又∵EM ⊥BC ,∴∠EHM +∠MEH =90°,∴∠GHN =∠MEH ,又∵∠EMH =∠HNG =90°,∴△EMH ∽△HNG ,∴EM HN =MH NG ,即12-3t 59+9t 5=16-4t5-t 12-3t 5,整理得2t 2-3t =0,解得t =32或t =0(舍去),即AE =32,BH =5-CH =5-32=72,∴AE BH =3272=37.第14题解图15. 2-1 【解析】如解图,过点A 作AM ⊥BP 于点M ,过点E 作EN ⊥BP 于点N .∵四边形ABCD 是正方形,∴AD =AB ,∠BAD =90°,由翻折的性质得AD =AF ,∠DAE =∠EAF ,∴AB =AF ,∵AM ⊥BF ,∴BM =FM ,∠BAM =∠FAM ,∴∠PAM =∠PAF +∠FAM =12∠BAD =45°,∵∠AMP =90°,∴∠P =∠PAM=45°,∴AM =MP ,设BF =2a ,则BM =MF =a ,PF =22BF =2a ,∴AM =PM =FM +PF =a +2a ,∵∠AMF =∠AFE =∠ENF =90°,∴∠AFM +∠EFN =90°,∠EFN +∠FEN =90°,∴∠AFM =∠FEN ,∴△AMF ∽△FNE ,∴AM FM =FN EN =a +2aa =1+2,设EN =PN =x ,则FN =(1+2)x ,∴(1+2)x +x =2a ,∴x =(2-1)a ,∴EN =(2-1)a ,∴EF AF =EN FM =(2-1)a a=2-1,∵CD =AD =AF ,DE =EF ,∴DE CD =EFAF =2-1.第15题解图16. 334 【解析】如解图,过点P 作PE ⊥CD 于点E .∵∠ABC =60°,AB =BC ,∴△ABC 为等边三角形,∠ACB =∠ACD =60°,在△ABM 和△ACN 中,⎩⎪⎨⎪⎧AB =AC ∠ABM =∠ACN ,BM =CN∴△ABM ≌△ACN (SAS),∴AM =AN ,∠BAM =∠CAN ,∴∠MAN =∠BAM +∠MAC =60°,∴△AMN 为等边三角形,∵∠B =∠ACB =∠AMP =60°,∴∠BAM +∠BMA =∠BMA +∠CMP =180°-60°=120°,∴∠BAM =∠CMP ,∠BMA =∠CPM ,∴△BAM ∽△CMP ,∴BA BM =CM CP ,设BA 长为a ,BM 长为x ,则CM =a -x ,∴a x =a -xCP ,∴a ·CP =x (a -x )=-x 2+ax =-(x -a 2)+a 24,∴CP =-1a (x -a 2)+a 4,∴当x =a 2时,CP 最长,即当AM ⊥BC 时,△AMN 边长最小,此时CP 最长,满足条件,∵AB =AC ,AM ⊥BC ,∴BM =MC =3,∠CMP =30°,∠CPM =90°,∴PC =12MC =32,在Rt △PCE 中,∵∠ACD =60°,∴PE =PC ·sin60°=334.第16题解图17. 3134;6+39 【解析】设AQ =x ,则S 四边形PCDQ =S △ABC -S △ADQ -S △BCP =34×62-12·x ·32×1-12×(6-x -1)×32×6=332+534x ,∵x 的最大值为6-1=5,∴当x =5时,S 四边形PCDQ 最大,最大值为332+534×5=3134;如解图,作点D 关于AB 的对称点D ′,连接D ′Q ,以D ′Q 、PQ 为边作平行四边形PQD ′M ,则DQ =D ′Q =MP ,∴C 四边形PCDQ =PM +PC +PQ +DC ,DD ′=2AD ·sin60°=3,D ′M =PQ =1,过点C 作CH ⊥AB ,交AB 于点H ,交D ′M 的延长线于点N ,则∠N =90°,CH =BC ·sin60°=33,NH =12DD ′=32,∴MN =AH -D ′M -AD ·cos60°=AC ·cos60°-1-12=3-1-12=32,CN =NH +CH =32+33=732,当点M ,P ,C 在同一直线上时,MP +CP 的最小值等于CM 的长,即DQ +CP 的最小值等于CM 的长,此时,Rt △MNC 中,CM =MN 2+CN 2=(32)2+(732)2=39,又∵PQ =1,CD =6-1=5,∴四边形PCDQ 周长的最小值为CM +PQ +CD =6+39.第17题解图18. 27-952或92 【解析】分两种情况讨论,如解图①,当GD =GE 时,过点G 作GM ⊥AD 于点M ,GN ⊥CD 于点N .设AF =x .∵四边形ABCD 是矩形,∴AD =BC =12,∠BAF =∠ADE =90°,由翻折的性质得AF =FG ,BF ⊥AG ,∴∠DAE +∠BAE =90°,∠ABF +∠BAE =90°,∴∠ABF =∠DAE ,∴△BAF ∽△ADE ,∴AB DA =AF DE ,即912=x DE ,∴DE =43x ,∵GM ⊥AD ,GN ⊥CD ,∴∠GMD =∠GND =∠MDN =90°,∴四边形GMDN 是矩形,∴GM =DN =EN =23x ,∵GD =GE ,∴∠GDE =∠GED ,∵∠GDA +∠GDE =90°,∠GAD +∠GED =90°,∴∠GDA =∠GAD ,∴GA =GD =GE ,∵GM ⊥AD ,∴AM =MD =6,在Rt △FGM 中,由勾股定理得x 2=(6-x )2+(23x )2,解得x =27-952或27+952(舍),∴AF =27-952;如解图②,当DG =DE 时,由翻折的性质得,BA =BG ,∴∠BAG =∠BGA ,∵DG =DE ,∴∠DGE =∠DEG ,∵AB ∥CD ,∴∠BAE =∠DEG ,∴∠AGB =∠DGE ,∴B ,G ,D 三点共线,∵BD =AB 2+AD 2=92+122=15,BG =BA =9,∴DG =DE =6,由①知,△BAF ∽△ADE ,∴AF DE =AB DA ,即AF 6=912,∴AF =92.综上所述,AF 的值为27-952或92.图①图②第18题解图19. 45;22 【解析】如解图,取BC 的中点G ,连接DG ,由旋转的性质得DC =EC ,∠DCE =90°,∵∠ACB =90°,AC =BC =8,F 为AC 中点,∴CG =CF ,∠DCG +∠ACD =∠ECF +∠ACD =90°,∴∠DCG =∠ECF ,∴△DCG ≌△ECF (SAS),∴DG =EF .分两种情况讨论:如解图①,当GD ⊥AB 时,DG 最短,此时△BDG 是等腰直角三角形,∴DG =BG ·sin45°=4×22=22,∴EF 的最小值为22;当点D 与点B 重合时,DG =BG =4;如解图②,当点D 与点A 重合时,DG =CG 2+AC 2=42+82=45>4,∴EF 的最大值为45,最小值为2 2.图①图②第19题解图20. 10 【解析】如解图,过点A ′作A ′H ⊥AD 于点H ,延长FA ′与BE 的延长线交于点J ,过点F 作FI ⊥BE 于点I ,∵A ′是DE 的中点,∴A ′H 是△DC ′E 的中位线,∴A ′H =12C ′E =12×3=32 cm ,由折叠性质知∠A ′DH =45°,∴DH =A ′H =32 cm ,设AF =x cm ,则FH =6-x -32=(92-x ) cm ,由折叠的性质得A ′F =AF=x cm ,在Rt △A ′HF 中,由勾股定理得A ′F 2-FH 2=A ′H 2,即x 2-(92-x )2=(32)2,解得x =52,∴A ′F =AF =52 cm ,FH =92-52=2 cm ,∴EI =FC ′=FH +DH -C ′D =2+32-3=12 cm ,∵A ′是DE 的中点,易证△A ′DF ≌△A ′EJ ,∴EJ =DF =2+32=72 cm ,A ′F =A ′J =52 cm ,∴FJ =5 cm ,由折叠的性质得∠AFG =∠JFG ,∵AD ∥BJ ,∴∠JGF =∠AFG =∠JFG ,∴JG =JF =5 cm ,∴GI =JG -JE -EI =5-72-12=1 cm ,在Rt △FGI 中,FI =3 cm ,∴FG =32+12=10 cm.第20题解图21. 5217 【解析】如解图,点P 在直线CD 上运动时,当MN 垂直于点N 的运动轨迹(直线)时,MN 最短,当点P 和C 重合时,N 1 是CB 的中点,当PA ′和直线CD 重合时,N 2 是PA ′的中点,∵AC =CB =4,∠ACB =120°,CD ⊥AB ,∴CD =2,AD =23,∴AB =2AD =43,∵M 、N 1分别是AC 、BC 中点,∴MN 1∥AB ,MN 1=12AB =23,DE =1,∵PA ′是PA 绕点P 逆时针旋转120°得到的,当PA ′和直线CD 重合时,PA ′=PA ,∠APA ′=120°,∴∠APD =60°,∴AP =AD sin60°=2332=4,DP =AP ·cos60°=4×12=2,∵N 2是PA ′的中点,∴PN 2=2,EN 2=2+2+1=5,∵MN 1∥AB ,CD ⊥AB ,MN 1⊥CD ,在△MEN 2和△N 1EN 2中,⎩⎪⎨⎪⎧ME =N 1E ∠MEN 2=∠N 1EN 2EN 2=EN 2,∴△MEN 2≌△N 1EN 2(SAS),∴N 2M =N 2N 1,在Rt △MN 2E 中,N 2M =ME 2+EN 22=(3)2+52=27,∴S △MN 1N 2=12MN 1·EN 2=12×23×5=53,又∵S △MN 1N 2=12N 1N 2·MN ,∴12×27×MN =53,∴MN =5217.第21题解图22. 30;6 【解析】如解图①,连接AC ,分别过点E ,G 作AC 的垂线,垂足为M ,N ,易证△AEM ∽△ACB ,∴AE AC =EM CB ,∵AB =6,BC =8,∴AC =AB 2+BC 2=10,∴410=EM 8,∴EM =165.∵△BEF 沿EF 翻折后点B 的对应点为点G ,∴GE =BE =2,∴点G 在以点E 为圆心,2为半径的⊙E (在矩形ABCD 内的部分)上.连接EN ,则EG +GN ≥EN ≥EM ,∴GN ≥EM -EG =165-2=65.∵S 四边形AGCD =S △ACD +S △AGC =12AD ·CD +12AC ·GN =24+5GN ,如解图②,当点G 在EM 上,即点N 与点M 重合,此时GN 取得最小值65,S 四边形AGCD 取得最小值为24+5GN =24+5×65=30;如解图②,过点F 作FH ⊥AC 于点H ,∵EM ⊥FG ,EM ⊥AC ,∴四边形FGMH 是矩形,∴FH =GM =65,∵∠FCH =∠ACB ,∠CHF =∠CBA =90°,∴△CHF ∽△CBA ,∴CF CA =FH AB ,即CF 10=656,∴CF =2,∴BF =BC -CF =8-2=6.图①图②第22题解图。
中考数学-几何图形的动态问题(含答案)
中考数学-几何图形的动态问题(含答案)一、单选题1.如图甲,A,B是半径为1的⊙O上两点,且OA⊥OB.点P从A出发,在⊙O上以每秒一个单位的速度匀速运动,回到点A运动结束.设运动时间为x,弦BP的长度为y,那么如图乙图象中可能表示y与x的函数关系的是()A. ①B. ④C. ①或③D. ②或④2.如图,平行四边形ABCD中,AB= cm,BC=2cm,∠ABC=45°,点P从点B出发,以1cm/s 的速度沿折线BC→CD→DA运动,到达点A为止,设运动时间为t(s),△ABP的面积为S(cm2),则S与t的大致图象是()A. B. C. D.3.如图,在Rt△PMN中,∠P=90°,PM=PN,MN=6cm,矩形ABCD中AB=2cm,BC=10cm,点C和点M重合,点B,C(M)、N在同一直线上,令Rt△PMN不动,矩形ABCD沿MN 所在直线以每秒1cm的速度向右移动,至点C与点N重合为止,设移动x秒后,矩形ABCD 与△PMN重叠部分的面积为y,则y与x的大致图象是()A. B. C. D.4.如图,等腰Rt△ABC中,斜边AB的长为2,O为AB的中点,P为AC边上的动点,OQ⊥OP 交BC于点Q,M为PQ的中点,当点P从点A运动到点C时,点M所经过的路线长为()A. B. C. 1 D. 25.如图,菱形的边长是4厘米, ,动点以1厘米/秒的速度自点出发沿方向运动至点停止,动点以2厘米/秒的速度自点出发沿折线运动至点停止若点同时出发运动了秒,记的面积为,下面图象中能表示与之间的函数关系的是( )A. B.C. D.二、填空题6.如图,长方形ABCD中,AB=4cm,BC=3cm,点E是CD的中点,动点P从A点出发,以每秒1cm的速度沿A→B→C→E 运动,最终到达点E.若点P运动的时间为x秒,那么当x= ________时,△APE的面积等于5 .7.如图,在矩形中,点同时从点出发,分别在,上运动,若点的运动速度是每秒2个单位长度,且是点运动速度的2倍,当其中一个点到达终点时,停止一切运动.以为对称轴作的对称图形.点恰好在上的时间为________秒.在整个运动过程中,与矩形重叠部分面积的最大值为________.8.如图,平面直角坐标系中,点A、B分别是x、y轴上的动点,以AB为边作边长为2的正方形ABCD,则OC的最大值为________9.在Rt△ABC中,AB=1,∠A=60°,∠ABC=90°,如图所示将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF,则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为________.(结果不取近似值)10.如图,周长为a的圆上有且仅有一点A在数轴上,点A所表示的数为1,若该圆沿着数轴向右滚动两周后点A对应的点为B,此时,A、B两点之间恰好有三个表示正整数的点(不包括点A、B),则该圆的周长a的取值范围为________三、综合题11.如图,在△ABC中,已知AB=AC=10cm,BC=16cm,AD⊥BC于D,点E、F分别从B、C 两点同时出发,其中点E沿BC向终点C运动,速度为4cm/s;点F沿CA、AB向终点B运动,速度为5cm/s,设它们运动的时间为x(s).(1)求x为何值时,△EFC和△ACD相似;(2)是否存在某一时刻,使得△EFD被AD分得的两部分面积之比为3:5,若存在,求出x 的值,若不存在,请说明理由;(3)若以EF为直径的圆与线段AC只有一个公共点,求出相应x的取值范围.12.如图(1),已知点G在正方形ABCD的对角线AC上,GE⊥BC,垂足为点E,GF⊥CD,垂足为点F.(1)证明与推断:①求证:四边形CEGF是正方形;②推断:AG∶BE的值为:(2)探究与证明:将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°),如图(2)所示,试探究线段AG 与BE之间的数量关系,并说明理由:(3)拓展与运用:正方形CEGF在旋转过程中,当B,E,F三点在一条直线上时,如图(3)所示,延长CG交AD于点H.若AG=6,GH=2 ,则BC=________.13.如图,在平面直角坐标系中,已知A(-3,0),B(0,),点D与点A关于y轴对称,C在第一象限内且四边形ABCD是平行四边形.(1)求点C、点D的坐标并用尺规作图确定两点位置(保留作图痕迹)(2)若半径为1的⊙P从点A出发,沿A—D—B—C以每秒4个单位长的速度匀速移动,同时⊙P的半径以每秒0.5个单位长的速度增加,运动到点C时运动停止,当运动时间为t秒时①t为何值时,⊙P与y轴相切?②在整个运动过程中⊙P与y轴有公共点的时间共有几秒?简述过程.(3)若线段AB绕点O顺时针旋转90°,线段AB扫过的面积是多少?14.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的边AB在x轴上,点B坐标(﹣3,0),点C在y轴正半轴上,且sin∠CBO= ,点P从原点O出发,以每秒一个单位长度的速度沿x 轴正方向移动,移动时间为t(0≤t≤5)秒,过点P作平行于y轴的直线l,直线l扫过四边形OCDA的面积为S.(1)求点D坐标.(2)求S关于t的函数关系式.(3)在直线l移动过程中,l上是否存在一点Q,使以B、C、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形?若存在,直接写出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.15.如图,已知A,B,C,D为矩形的四个顶点,AB=16 cm,AD=6 cm,动点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以3 cm/s的速度向点B移动,一直到点B为止,点Q以2 cm/s的速度向点D移动,当点P停止运动时,点Q也停止运动.问:(1)P,Q两点从开始出发多长时间时,四边形PBCQ的面积是33 cm2?(2)P,Q两点从开始出发多长时间时,点P与点Q之间的距离是10 cm?16.有一副直角三角板,在三角板ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,在三角板DEF中,∠FDE=90°,DF=4,DE= .将这副直角三角板按如图1所示位置摆放,点B与点F重合,直角边BA 与FD在同一条直线上.现固定三角板ABC,将三角板DEF沿射线BA方向平行移动,当点F 运动到点A时停止运动.(1)如图2,当三角板DEF运动到点D与点A重合时,设EF与BC交于点M,则∠EMC=________度;(2)如图3,在三角板DEF运动过程中,当EF经过点C时,求FC的长;(3)在三角板DEF运动过程中,设BF=x,两块三角板重叠部分的面积为y,求y与x的函数解析式,并求出对应的x取值范围.17.如图所示,△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm.点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s 的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果P,Q分别从A,B同时出发,(1)如果P、Q同时出发,几秒后,可使△PBQ的面积为8平方厘米?(2)线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分?若能,求出运动时间;若不能说明理由.18.如图,AB是半圆O的直径,C是AB延长线上的点,AC的垂直平分线交半圆于点D,交AC于点E,连接DA,DC.已知半圆O的半径为3,BC=2.(1)求AD的长.(2)点P是线段AC上一动点,连接DP,作∠DPF=∠DAC,PF交线段CD于点F.当△DPF 为等腰三角形时,求AP的长.19.如图,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,△AEF为正三角形,E、F在菱形的边BC,CD上.(1)证明:BE=CF.(2)当点E,F分别在边BC,CD上移动时(△AEF保持为正三角形),请探究四边形AECF 的面积是否发生变化?若不变,求出这个定值;如果变化,求出其最大值.(3)在(2)的情况下,请探究△CEF的面积是否发生变化?若不变,求出这个定值;如果变化,求出其最大值.20.如图,在Rt△ABC中,AC=24cm,BC=7cm,P点在BC上,从B点到C点运动(不包括C 点),点P运动的速度为2cm/s;Q点在AC上从C点运动到A点(不包括A点),速度为5cm/s.若点P、Q分别从B、C同时运动,且运动时间记为t秒,请解答下面的问题,并写出探索的主要过程.(1)当t为何值时,P、Q两点的距离为5 cm?(2)当t为何值时,△PCQ的面积为15cm2?(3)请用配方法说明,点P运动多少时间时,四边形BPQA的面积最小?最小面积是多少?答案解析部分一、单选题1.如图甲,A,B是半径为1的⊙O上两点,且OA⊥OB.点P从A出发,在⊙O上以每秒一个单位的速度匀速运动,回到点A运动结束.设运动时间为x,弦BP的长度为y,那么如图乙图象中可能表示y与x的函数关系的是()A. ①B. ④C. ①或③D. ②或④【答案】C【考点】分段函数,圆的认识,几何图形的动态问题,动点问题的函数图像【解析】【解答】当点P顺时针旋转时,图象是③,当点P逆时针旋转时,图象是①,故答案为①③.故答案为:C.【分析】由题意知PB的最短距离为0,最长距离是圆的直径;而点P从A点沿顺时针旋转和逆时针旋转后与点B的距离有区别,当点P从A点沿顺时针旋转时,弦BP的长度y的变化是:从AB的长度增大到直径的长,然后渐次较小至点B为0,再从点B运动到点A,则弦BP的长度y由0增大到AB的长;当点P从A点沿逆时针旋转时,弦BP的长度y的变化是:从AB的长度减小到0,再由0增大到直径的长,最后由直径的长减小到AB的长。
中考数学专题 动态几何问题
中考数学专题动态几何问题【简要分析】函数是中学数学的一个重要概念.加强对函数概念、图象和性质,以及函数思想方法的考查是近年中考试题的一个显著特点.大量涌现的动态几何问题,即建立几何中元素的函数关系式问题是这一特点的体现.这类题目的三乱扣帽子解法是抓住变化中的“不变”.以“不变”应“万变”.同时,要善于利用相似三角形的性质定理、勾股定理、圆幂定理、面积关系,借助议程为个桥梁,从而得到函数关系式,问题且有一定的实际意义,因此,对函数解析式中自变量的取值范围必须认真考虑,一般需要有约束条件.动态几何综合题【典型考题例析】例1:如图2-4-37,在直角坐标系中,O是原点,A、B、C三点的坐标分别为A(18,0)、B(18,6)、C(8,6),四边形OABC是梯形.点P、Q同时从原点出发,分别作匀速运动,其中点P沿OA向终点A运动,速度为每秒1个单位,点Q沿OC、CB向终点B运动,当这两点有一点到达自己的终点时,另一点也停止运动.(1)求出直线OC的解析式.(2)设从出发起运动了t秒,如果点Q的速度为每秒2个单位,试写出点Q的坐标,并写出此时t的取值范围.(3)设从出发起运动了t秒,当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半时,直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分?如有可能,请求出t的值;如不可能,请说明理由.例2:如图2-5-40,在Rt△PMN中,∠P=900,PM=PN,MN=8㎝,矩形ABCD的长和宽分别为8㎝和2㎝,C点和M点重合,BC和MN在一条直线上.令Rt△PMN不动,矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1㎝的速度移动(图2-4-41),直到C点与N点重合为止.设移动x秒后,矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y㎝2.求y与x之间的函数关系式.N 图2-4-40N 图2-4-41T图2-4-44图2-4-43M T.说明:此题是一个图形运动问题,解答方法是将各个时刻的图形分别画出,将图形则“动”这“静”,再设法分别求解.这种分类画图的方法在解动态几何题中非常有效,它可帮我们理清思路,各个击破.【提高训练】1.如图2-4-45,在ABCD中,∠DAB=600,AB=5,BC=3,鼎足之势P从起点D出发,沿DC、CB向终点B匀速运动.设点P所走过的路程为x,点P所以过的线段与绝无仅有AD、AP所围成图形的面积为y,y随x的函数关系的变化而变化.在图2-4-46中,能正确反映y与x的函数关系的是()A B C D2.如图2-4-47,四边形AOBC为直角梯形,OB=%AC,OC所在直线方程为2y x=,平行于OC的直线l为:2y x t=+,l是由A点平移到B点时,l与直角梯形AOBC两边所转成的三角形的面积记为S.(1)求点C的坐标.(2)求t的取值范围.(3)求出S与t之间的函数关系式.3.如图2-4-48,在△ABC中,∠B=900,点P从点A开始沿AB边向点B以1㎝/秒的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2㎝/秒的速度移动.(1)如果P、Q分别从A、B同时出发,几秒后△PBQ的面积等于8㎝2?(2)如果P、Q分别从A、B同时出发,点P到达点B后又继续沿BC边向点C移动,点Q到达点C后又继续沿CA边向点A移动,在这一整个移动过程中,是否存在点P、Q,使△PBQ的面积等于9㎝2?若存在,试确定P、Q的位置;若不存在,请说明理由.4.如图2-4-49,在梯形ABCD中,AB=BC=10㎝,CD=6㎝,∠C=∠D=900.(1)如图2-4-50,动点P、Q同时以每秒1㎝的速度从点B出发,点P沿BA、AD、DC运动到点C停止.设P、Q同时从点B出发t秒时,△PBQ的面积为1y(㎝2),求1y(㎝2)关于t(秒)的函数关系式.(2)如图2-4-51,动点P以每秒1㎝的速度从点B出发沿BA运动,点E在线段CD上随之运动,且PC=PE.设点P从点B出发t秒时,四边形PADE的面积为2y(㎝2).求2y(㎝2)关于t(秒)的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.第二部分真题精讲【例1】如图,在梯形ABCD中,AD BC∥,3AD=,5DC=,10BC=,梯形的高为4.动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时间为t(秒).CMB(1)当MN AB∥时,求t的值;(2)试探究:t为何值时,MNC△为等腰三角形.图2-4-47A图2-4-49【思路分析1】本题作为密云卷压轴题,自然有一定难度,题目中出现了两个动点,很多同学看到可能就会无从下手。
九年级数学中考专题:动态几何综合压轴题
2023年九年级数学中考专题:动态几何综合压轴题1.如图1,在△ABC 中,点P 为BC 边中点,直线a 绕顶点A 旋转.若B 、P 在直线a 的异侧,BM △直线a 于点M ,CN △直线a 于点N ,连接PM 、PN ; (1)延长MP 交CN 于点E (如图2). △求证:△BPM △△CPE ; △求证:PM =PN ;(2)若直线a 烧点A 旋转到图3的位置时,点B 、P 在直线a 的同侧,其它条件不变.此时PM =PN 还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;(3)若直线a 绕点A 旋转到与BC 边平行的位置时,其它条件不变.请直接判断四边形MBCN 的形状及此时PM =PN 还成立吗?(不必说明理由)2.如图△,在Rt ABC △中,90ABC ∠=︒,AB BC =,延长CA 至点E ,作DE CE ⊥交BA 的延长线于点D ,连接CD ,点F 为CD 的中点,连接EF ,BF .(1)直接写出线段EF 和BF 之间的数量关系为______.(2)将ADE 绕A 顺时针旋转到图△的位置,猜想EF 和BF 之间的数量关系,并加以证明;(3)若AC =:5AD BC =,将ADE 绕点A 顺时针旋转,当A ,E ,B 共线时,请直接写出EF 的长.3.如图,O 是正ABC 内一点,OA =3,OB =4,OC =5,将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO ′,连接AO ′、OO ′, (1)OO ′= .(2)求△AOB 的度数及四边形AOB O '的面积.(3)直接写出AOC AOB S S +△△的值,AOC AOB S S +△△= .4.如图1,在△ABC 中,△C =90°,△ABC =30°,AC =1,D 为△ABC 内部的一动点(不在边上),连接BD ,将线段BD 绕点D 逆时针旋转60°,使点B 到达点F 的位置;将线段AB 绕点B 顺时针旋转60°,使点A 到达点E 的位置,连接AD ,CD ,AE ,AF ,BF ,EF .(1)求证:△BDA △△BFE ;(2)△CD +DF +FE 的最小值为 ; △当CD +DF +FE 取得最小值时,求证:AD △BF .(3)如图2,M ,N ,P 分别是DF ,AF ,AE 的中点,连接MP ,NP ,在点D 运动的过程中,请判断△MPN 的大小是否为定值.若是,求出其度数;若不是,请说明理由.5.已知在ABC 中,O 为BC 边的中点,连接AO ,将AOC 绕点O 顺时针方向旋转(旋转角为钝角),得到EOF ,连接AE ,CF .(1)如图1,当△BAC =90°且AB =AC 时,则AE 与CF 满足的数量关系是 ; (2)如图2,当△BAC =90°且AB ≠AC 时,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由;(3)如图3,延长AO 到点D ,使OD =OA ,连接DE ,当AO =CF =5,BC =6时,求DE 的长.6.已知,在ABC 中,AB AC =,D 是平面上一点,连接AD ,把AD 绕点A 逆时针旋转至点E ,使DAE BAC ∠=∠.连接DE 并延长,交AB 于点O ,交BC 于点F .连接BD 和CE ,CE 的延长线分别交AB ,BD 于点P ,G .(1)如图1,求证:BGC DAE ∠=∠;(2)如图2,若点F 是BC 的中点,//AD CB ,求证12AE BC =; (3)在(2)的条件下,若G 是BD 的中点,连接,OG FG .当5,3AB AD ==时,请直接写出OFG △的周长.7.【问题探究】(1)如图1,△ABC和△DEC均为等腰直角三角形,△ACB=△DCE=90°,点B,D,E 在同一直线上,连接AD,BD.△请探究AD与BD之间的位置关系?并加以证明.△若AC=BC,DC=CE AD的长.【拓展延伸】(2)如图2,△ABC和△DEC均为直角三角形,△ACB=△DCE=90°,AC BC,CD CE=1.将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转,设旋转角△BCD为α(0°≤α<360°),作直线BD,连接AD,当点B,D,E在同一直线上时,画出图形,并求线段AD的长.8.如图1和图2,四边形ABCD中,已知AD=DC,△ADC=90°,点E、F分别在边AB、BC上,△EDF=45°.(1)观察猜想:如图1,若△A、△DCB都是直角,把△DAE绕点D逆时针旋转90°至△DCG,使AD与DC重合,易得EF、AE、CF三条线段之间的数量关系,直接写出它们之间的关系式_____;(2)类比探究:如图2,若△A、△C都不是直角,则当△A与△C满足数量关系_____时,EF、AE、CF三条线段仍有(1)中的关系,并说明理由;(3)解决问题:如图3,在△ABC中,△BAC=90°,AB=AC=D、E均在边BC上,且△DAE=45°,若BD=1,求AE的长.9.如图,在Rt ABC 中,90BAC ∠=︒,AB AC =,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,AD AE =,连接DC 、BE ,点P 为DC 的中点.(1)观察图1,猜想线段AP 与BE 的数量关系是______,位置关系是______; (2)把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置,(1)中的结论是否仍然成立,若成立请证明;若不成立,请写出新的结论并说明理由;(3)把ADE 绕点A 在平面内自由旋转,若6DE =,10BC =,请直接写出线段AP 长的取值范围.10.已知AOB 和△MON 都是等腰直角三角形,△AOB =△MON =90°. (1)如图1:连AM ,BN ,求证:AOM △BON ;(2)若将Rt MON 绕点O 顺时针旋转,当点A ,M ,N 恰好在同一条直线上时,如图2所示,线段OH //BN ,OH 与AM 交点为H ,若OB =4,ON =3,求出线段AM 的长; (3)若将MON 绕点O 顺时针旋转,当点N 恰好落在AB 边上时,如图3所示,MN 与AO 交点为P ,求证:MP 2+PN 2=2PO 2.11.如图1,在Rt ABC △中,90BAC ∠=︒,AB AC =,点D 是BC 边上一动点,连接AD ,把AD 绕点A 顺时针旋转90°,得到AE ,连接DE .(1)如图1所示,若4BC =,在D 点运动过程中,当8tan 11BDE ∠=时,求线段CD 的长.(2)如图2所示,点F 是线段DE 的中点,连接BF 并延长交CA 延长线于点M ,连接DM ,交AB 于点N ,连接CF ,AF ,当点N 在线段CF 上时,求证:AD BF CF +=.(3)如图3,若AB =ABC 绕点A 顺时针旋转得AB C ''△,连接CC ',P 为线段CC '上一点,且CC ''=,连接BP ,将BP 绕点B 顺时针旋转60°得到BQ ,连接PQ ,K 为PQ 的中点,连接CK ,请直接写出线段CK 的最大值.12.已知:如图1,将一块45︒角的直角三角板DEF 与正方形ABCD 的一角重合,连结AF 、CE ,点M 是CE 的中点,连结DM .(1)请你猜想AF 与DM 的数量关系是___________.(2)如图2,把正方形ABCD 绕着点D 逆时针旋转α角(090α︒<<︒). △AF 与DM 的数量关系是否仍成立,若成立,请证明:若不成立,请说明理由;△若60α=︒,且3FDM MDC ∠=∠,求DEDC的值.13.在等腰直角三角形ABC 中,290AC BC ACB ==∠=︒,,点M 为射线CA 上一个动点.过点M 作ME BM ⊥,交射线BA 于E ,将线段BM 绕点B 逆时针旋转90︒得到线段BN ,过点N 作NF BN ⊥交BC 延长线于点F ,连接EF .(1)如图1,当点M 在边AC 上时,线段,,EM EF NF 的数量关系为_______; (2)如图2,当点M 在射线CA 上时,判断线段,,EM EF NF 的数量关系并说明理由; (3)当点M 在射线CA 上运动时,能否存在BEF △为等腰三角形,若不存在,请说明理由;若存在,请直接写出CM 的长.14.如图,等腰Rt CEF 绕正方形ABCD 的顶点C 顺时针旋转,且AB CE EF ==,90CEF ∠=︒.连接AF 与射线BE 交于点G .(1)如图1,当点B 、C 、F 三点共线时,则ABE ∠ FEM ∠(填“>”、“=”或“<”),则AG FG (填“>”、“=”或“<”);(2)如图2,当点B 、C 、F 三点不共线时,求证:AG GF =;(3)若等腰CEF △从图1的位置绕点C 顺时针旋转α(090α︒<≤︒),当直线AB 与直线EF 相交构成的4个角中最小角为30°时,直接写出α的值.15.在菱形ABCD 中,4AB =,60ABC ∠=︒,E 是对角线AC 上一点,F 是线段BC 延长线上一点,且CF AE =,连接BE 、EF .(1)如图1,若E 是线段AC 的中点,求EF 的长;(2)如图2,若E 是线段AC 延长线上的任意一点,求证:BE EF =. (3)如图3,若E 是线段AC 延长线上的一点,12CE AC =,将菱形ABCD 绕着点B 顺时针旋转α︒(0360)α≤≤,请直接写出在旋转过程中DE 的最大值.16.如图,等边三角形ABC 中,D 为AB 边上一点(点D 不与点,A B 重合),连接CD ,将CD 平移到BE (其中点B 和C 对应),连接AE .将BCD △绕着点B 逆时针旋转至BAF △,延长AF 交BE 于点G .(1)连接DF ,求证:BDF 是等边三角形; (2)求证:,,D F E 三点共线;(3)当2BG EG =时,求tan AEB ∠的值.17.ABC 为等边三角形,CD AB ⊥于点D ,点E 为边BC 上一点,点F 为线段CD 上一点,连接EF ,且CE EF =.(1)如图1,若342AB CE ==,,连接BF ,G 为BF 的中点,连接DG ,求线段DG 的长:(2)如图2,将CEF △绕点C 逆时针方向旋转一定的角度得到CMN ,连接BN ,点H为BN 的中点,连接AH HM ,,求证:AH =:(3)如图3,在(2)问的条件下,线段HM 与线段CN 交于点P ,连接AM ,交线段CN 于点Q ,当2CQ PN a ==时,请直接用含a 的式子表示PQ 的长.18.在ABC 中,90ACB ∠=︒.将ABC 绕点C 逆时针旋转一定角度(旋转角度不大于180︒),得到DEC (点D ,E 分别与点A ,B 对应),连接AD ,BE .(1)如图1,当点A ,C ,E 在同一条直线上时,直接写出AD 与BE 的位置关系为__________;(2)如图2,当点D 落在AB 上时,(点D 不与点A 重合),请判断AD 与BE 的位置关系,并证明你的结论;(3)如图3,将ABC 绕点C 逆时针旋转60︒时,延长AD 与直线BC ,BE 分别相交于点F ,G ,连接CG ,试探究线段CG 与DE 之间满足的数量关系,并说明理由.19.如图△,在矩形ABCD 中,1AB =,对角线AC ,BD 相交于点O ,60COD ∠=︒,点E 是线段CD 上一点,连接OE ,将线段OE 绕点O 逆时针旋转60︒得到线段OF ,连接DF .(1)求证:DF CE =;(2)连接EF 交OD 于点P ,求DP 的最大值;(3)如图△,点E 在射线CD 上运动,连接AF ,在点E 的运动过程中,若AF AB =,求OF 的长.20.将等边三角形ABC 如图放置在平面直角坐标系中,8AB =,E 为线段AO 的中点,将线段AE 绕点A 逆时针旋转60°得线段AF ,连接EF . (△)如图1,求点E 的坐标;(△)在图1中,EF 与AC 交于点G ,连接EC ,N 为EC 的中点,连接NG ,求线段NG 的长.请你补全图形,并完成计算;(△)如图2,将AEF △绕点A 逆时针旋转,M 为线段EF 的中点,N 为线段CE 的中点,连接MN ,请直接写出在旋转过程中MN 的取值范围.参考答案:1.(2)成立(3)四边形MBCN的是矩形,PM=PN.2.(1)EF BF=;(2)FE FB=,(33.(1)4;(2)150°,(3)64.(2)(3)是,△MPN=30°.5.(1)AE CF=;(2)成立,(36.(3)47.(1)△AD BD⊥;△4;(2)8.(1)EF=AE+CF;(2)△A+△C=180°;(39.(1)12AP BE=,AP BE⊥;(2)12AP BE=,AP BE⊥仍成立;(3AP≤≤.10.(2;11.(1)3219;(3)312.(1)AF=2DM,(2)△AF=2DM仍然成立;13.(1)结论:EM+EF=FN;(2)结论:EF=EM=FN;(3)2或2+14.(1)=;=;(3)15°或75°15.(1)(3)16.tan AEB∠=17.(1;(318.(1)AD BE⊥;(2)AD BE⊥,(3)CG DE=19.(2)DP的最大值为14;(3)1OF=20.(△)(0,E;(△;(△)44MN≤≤答案第1页,共1页。
中考数学《一次函数-动态几何问题》专项练习题及答案
中考数学《一次函数-动态几何问题》专项练习题及答案一、单选题1.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∥B=90°,AB=AD=5,BC=4,M、N、E分别是AB、AD、CB上的点,AM=CE=1,AN=3,点P从点M出发,以每秒1个单位长度的速度沿折线MB﹣BE向点E运动,同时点Q从点N出发,以相同的速度沿折线ND﹣DC﹣CE向点E运动,当其中一个点到达后,另一个点也停止运动.设∥APQ的面积为S,运动时间为t秒,则S与t函数关系的大致图象为()A.B.C.D.2.如图,正方形ABCD的边长为2cm,动点P从点A出发,在正方形ABCD的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止设点P的运动路程为x(cm),在下列图象中,能表示∥ADP的面积y(cm2)关于x(cm)的函数关系的图象是()A.B.C.D.3.如图,矩形ABCD中,P为CD中点,点Q为AB上的动点(不与A,B重合).过Q作QM∥PA 于M,QN∥PB于N.设AQ的长度为x,QM与QN的长度和为y.则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是( )A.B.C.D.4.如图,平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(9,6),AB⊥y轴,垂足为B,点P从原点O出发向x轴正方向运动,同时,点Q从点A出发向点B运动,当点Q到达点B时,点P、Q同时停止运动,若点P与点Q的速度之比为1:2,则下列说法正确的是()A.线段PQ始终经过点(2,3)B.线段PQ始终经过点(3,2)C.线段PQ始终经过点(2,2)D.线段PQ不可能始终经过某一定点5.如图1,在四边形ABCD中,DC//AB,∠DAB=90°,点E沿着B→C→D的路径以2cm/s速度匀速运动,到达点D停止运动,EF始终与直线BC保持垂直,与AB或AD交于点F,设线段EF的长度为d(cm),运动时间为t(s),若d与t之间的关系如图2所示,则图中a的值为()A.3.8B.3.9C.4.5D.4.86.如图,在平面直角坐标系中,A(1,1),B(2,2),直线y=kx+x+3与线段AB有公共点,则k的取值范围是()A.k≥−3B.k<−32C.−3<k<−32D.−3≤k≤−3 27.如图所示,A、M、N点坐标分别为A(0,1),M(3,2),N(4,4),动点P从点A出发,沿y 轴以每秒一个单位长度的速度向上移动,且过点P的直线l:y=﹣x+b也随之移动,设移动时间为t 秒,若点m,n分别位于l的异侧,则t的取值范围是()A.5<t<8B.4<t<7C.4≤t≤7D.4<t<88.一次函数y=−2x+4的图象与y轴交于点P,将一次函数图象绕着点P转动,转动后得到的一次函数图象与两坐标轴所围成的面积比原来增加2,则转动后得到的一次函数图象与x轴交点横坐标为()A.−3B.3C.3或−3D.6或−69.如图,在平面直角坐标系中有-个3×3的正方形网格,其左下角格点A的坐标为(1,1),右上角格点B的坐标为(4,4),若分布在直线y=k(x-1)两侧的格点数相同,则k的取值可以是()A.52B.2C.74D.3210.如图,直线AB:y=-3x+9交y轴于A,交x轴于B,x轴上一点C(-1,0),D为y轴上一动点,把线段BD绕B点逆时针旋转90°得到线段BE,连接CE,CD,则当CE长度最小时,线段CD的长为()A.√10B.√17C.5D.2√711.小颖从家出发,走了20分钟,到一个离家1000米的图书室,看了40分钟的书后,用15分钟返回到家,图(3)中表示小颖离家时间x与距离y之间的关系正确的是()A.B.C.D.12.如图,在平面直角坐标系中,线段AB的端点A(−1,−2),B(3,−1),若直线y=kx+2与线段AB有交点,则k的值可能是()A.2B.3C.−12D.-4二、填空题13.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(0,2),点B是x轴上的一个动点,始终保持∥ABC 是等边三角形(点A,B,C按逆时针排列),当点B运动到原点O处时,则点C的坐标是.随着点B在x轴上移动,点C也随之移动,则点C移动所得图象的表达式是.14.在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别是(m,2),(2m−1,2),若直线y=4x+1与线段AB有公共点,则m的取值范围是≤m≤.15.在平面坐标系中,已知点A(2,3),B(5,8),直线y=kx-k(k≠0)与线段AB有交点,则k的取值范围为.16.如图,在直角坐标系中,∥A的圆心的坐标为(﹣2,0),半径为2,点P为直线y=﹣34x+6上的动点,过点P作∥A的切线,切点为Q,则切线长PQ的最小值是17.如图,在∥ABC中,∥C=90°,AC=8,BC=6,D点在AC上运动,设AD长为x,∥BCD 的面积y,则y与x之间的函数表达式为.18.如图,点M的坐标为(3,2),点P从原点O出发,以每秒1个单位的速度沿y轴向上移动,同时过点P的直线关于直线l也随之上下平移,且直线l与直线y=−x平行,如果点M关于直线l的对称点落在坐标轴上,如果点P的移动时间为t秒,那么t的值为.三、综合题19.如图,在平面直角坐标系中,点F的坐标为(0,10).点E的坐标为(20,0),直线l1经过点F 和点E,直线l1与直线l2 、y= 34x相交于点P.(1)求直线l1的表达式和点P的坐标;(2)矩形ABCD的边AB在y轴的正半轴上,点A与点F重合,点B在线段OF上,边AD平行于x 轴,且AB=6,AD=9,将矩形ABCD沿射线FE的方向平移,边AD始终与x 轴平行.已知矩形ABCD以每秒√5个单位的速度匀速移动(点A移动到点E时止移动),设移动时间为t秒(t>0).①矩形ABCD在移动过程中,B、C、D三点中有且只有一个顶点落在直线l1或l2上,请直接写出此时t的值;②若矩形ABCD在移动的过程中,直线CD交直线l1于点N,交直线l2于点M.当∥PMN的面积等于18时,请直接写出此时t的值.20.在一次运输任务中,一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地,到达乙地卸货后返回.设汽车从甲地出发x(h)时,汽车与甲地的距离为y(km),y与x的函数关系如图所示.根据图象信息,解答下列问题:(1)这辆汽车的往、返速度是否相同?请说明理由;(2)求返程中y与x之间的函数表达式;(3)求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离.21.如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴、y轴分别交A、B两点,与直线y=−12x+b相交于点C(2,m)(1)求点A、B的坐标;(2)求m和b的值;(3)若直线y=−12x+b与x轴相交于点D.动点P从点D开始,以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动,设点P的运动时间为t秒①若点P在线段DA上,且ΔACP的面积为10,求t的值;②是否存在t的值,使ΔACP为等腰三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.22.当我们将一条倾斜的直线进行上下平移时,直线的左右位置也发生着变化.下面是关于“一次函数图象平移的性质”的探究过程,请补充完整.(1)如图1,将一次函数y=x+2的图像向下平移1个单位长度,相当于将它向右平移了个单位长度;(2)将一次函数y=−2x+4的图像向下平移1个单位长度,相当于将它向(填“左”或“右”)平移了个单位长度;(3)综上,对于一次函数y=kx+b(k≠0)的图像而言,将它向下平移m(m>0)个单位长度,相当于将它向(填“左”或“右”)(k>0时)或将它向(填“左”或“右”)(k<0时)平移了n(n>0)个单位长度,且m,n,k满足等式.23.如图,在平面直角坐标系中,点A(2,a),B(a+2,a),其中a>0,直线y=kx﹣2与y轴相交于C点.(1)已知a=2①求S∥ABC;②若点A和点B在直线y=kx﹣2的两侧,求k的取值范围;(2)当k=2时,若直线y=kx﹣2与线段AB的交点为D点(不与A点、B点重合),且AD<3,求a的取值范围.24.如图所示,平面直角坐标系中,直线AB交x轴于点B(﹣3,0),交y轴于点A(0,1),直线x=﹣1交AB于点D,P是直线x=﹣1上一动点,且在点D上方,设P(﹣1,n).(1)求直线AB的解析式;(2)求∥ABP的面积(用含n的代数式表示);(3)点C是y轴上一点,当S∥ABP=2时,∥BPC是等腰三角形①满足条件的点C的个数是▲ 个(直接写出结果);②当BP为等腰三角形的底边时,求点C的坐标.参考答案1.【答案】D 2.【答案】A 3.【答案】D 4.【答案】B 5.【答案】B 6.【答案】D 7.【答案】B 8.【答案】C 9.【答案】C 10.【答案】B 11.【答案】A 12.【答案】D13.【答案】( √3 ,1);y = √3 x -2 14.【答案】14;5815.【答案】2≤k ≤3 16.【答案】4√2 17.【答案】y =-3x +24 18.【答案】2或319.【答案】(1)解:设直线l 1的表达式为y=kx+b ∵直线l 1过点F (0,10),E (20,0)∴{b =1020k +b =0解得 {k =−12b =10直线l 1的表达式为y=﹣ 12 x+10求直线l 1与直线l 2 交点,得34 x=﹣ 12 x+10解得x=8y= 34×8=6 ∴点P 坐标为(8,6)(2)解:①如图,当点D 在直线上l 2时∵AD=9∴点D 与点A 的横坐标之差为9∴将直线l1与直线l2交解析式变为x=20﹣2y,x= 43y∴43y﹣(20﹣2y)=9解得y= 8710则点A的坐标为:(135,8710)则AF= √(135)2+(10−8710)2=13√510∵点A速度为每秒√5个单位∴t= 1310如图,当点B在l2直线上时∵AB=6∴点A的纵坐标比点B的纵坐标高6个单位∴直线l1的解析式减去直线l2 的解析式得﹣12x+10﹣34x=6解得x= 165则点A坐标为(165,425)则AF= √(165)2+(10−425)2=8√55∵点A速度为每秒√5个单位∴t= 8 5故t值为1310或85②如图设直线AB交l2 于点H设点A横坐标为a,则点D横坐标为a+9由①中方法可知:MN= 54a+54此时点P到MN距离为:a+9﹣8=a+1∵∥PMN的面积等于18∴12×(54a +54)⋅(a +1)=18解得a 1= 12√55−1 ,a 2=﹣ 12√55−1 (舍去)∴AF=6﹣ √52则此时t 为 6√55−12 当t= 6√55−12 时,∥PMN 的面积等于18 20.【答案】(1)解:不同.理由如下:∵ 往、返距离相等,去时用了2小时,而返回时用了2.5小时∴ 往、返速度不同.(2)解:设返程中 y 与 x 之间的表达式为 y =kx +b则 {120=2.5k +b ,0=5k +b.解之,得 {k =−48,b =240.∴ y =−48x +240 .( 2.5x ≤x ≤5 )(3)解:当 x =4 时,汽车在返程中∴y =−48×4+240=48 .∴ 这辆汽车从甲地出发4h 时与甲地的距离为48km.21.【答案】(1)解:在 y =x +2 中当 x =0 时当 y =0 时∴A(−2,0)(2)解: ∵ 点 C(2,m) 在直线 y =x +2 上∴m =2+2=4又 ∵ 点 C(2,4) 也在直线 y =−12x +b 上 ∴ 即 4=12x +5 解得 b =5(3)解:在 y =−12x +5 中 当 x =0 时∴D(10,0)∵A(−2,0)∴AD =12①设 PD =t ,则 AP =12−t过 C 作 CE ⊥AP 于 E ,则 CE =4由 ΔACP 的面积为 10得 12(12−t)×4=10 解得 t =7②过 C 作 CE ⊥AP 于 E则 CE =4∴AC =4√2a. 当 AC =CP 时,如图①所示则 AP =2AE =8∴PD =AD −AP =4∴t =4b. 当 AP 1=AP 2=AC =4√2 时,如图②所示DP 1=t =12−4√2c. 当 CP =AP 时,如图③所示设 EP =a则 CP =√a 2+42∴√a 2+42=a +4解得 a =0∴AP =4∴PD =8∴t =8综上所述,当 t =4 或 t =12−4√2 或 t =12+4√2 或 t =8 时,ΔACP 为等腰三角形22.【答案】(1)1(2)左;12(3)右;左;m=n|k|23.【答案】(1)解:①∵a =2∴A (2,2),B (4,2)∴AB =2∵直线y =kx ﹣2与y 轴相交于C 点∴C (0,﹣2),如图∴S ∥ABC =12AB×(2+2)=12×2×4=4. ②当直线y =kx ﹣2经过点A (2,2)时2k ﹣2=2,解得k =2当直线y =kx ﹣2经过点B (4,2)时4k ﹣2=2,解得k =1∴点A 和点B 在直线y =kx ﹣2的两侧时,1<k <2;(2)解:直线AB 的解析式为:y =a当k =2时,直线y =2x ﹣2∴2x ﹣2=a ,即x =a+22∴D (a+22,a )∴2<a+22<a+2解得a >2又∵AD =a+22−2<3解得a <8所以a 的取值范围为2<a <8.24.【答案】(1)解:设直线AB 的解析式为y=kx+b ,把A(0,1),B(﹣3,0)代入,得{b =1−3k +b =0解得{b =1k =13∴y =13x +1; (2)解:当x=-1时,y =13×(−1)+1=23∵P(﹣1,n)∴PD=n−2 3∴∥ABP的面积=∥APD的面积+∥BPD的面积=12PD⋅OB=12(n−23)×3=32n−1;(3)解:①3;②设C(0,c)∵P(-1,2),B(﹣3,0)∴PC2=(−1−0)2+(2−c)2=c2−4c+5BC2=(−3−0)2+(0−c)2=c2+9当PC=BC时c2-4c+5= c2+9∴c=-1∴C(0,-1).。
最新九年级数学中考复习:动态几何综合压轴题(角度问题)含答案
2023年九年级数学中考复习:动态几何综合压轴题(角度问题)1.如图①,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,四边形EFGH是正方形,EH与BD重合,将图①中的正方形EFGH绕着点D逆时针旋转.(1)旋转至如图①位置,使点G落在BC的延长线上,DE交BC于点L.已知旋转开始时,即图①位置①CDG=37°,求正方形EFGH从图①位置旋转至图①位置时,旋转角的度数.(2)旋转至如图①位置,DE交BC于点L.延长BC交FG于点M,延长DC交EF于点N.试判断DL、EN、GM之间满足的数量关系,并给予证明.2.如图1,在Rt①ABC中,①ACB=90°,AB=10,BC=6.D、E分别是AB、AC边的中点,连接DE.现将①ADE绕A点逆时针旋转,连接BD,CE并延长交于点F.(1)如图2,点E正好落在AB边上,CF与AD交于点P.①求证:AE•AB=AD•AC;①求BF的长;(2)如图3,若AF恰好平分①DAE,直接写出CE的长.3.如图①,在ABC中,①ACB=90°,①ABC=30°,AC=1,D为ABC内部的一动点(不在边上),连接BD ,将线段BD 绕点D 逆时针旋转60°,使点B 到达点F 的位置;将线段AB 绕点B 顺时针旋转60°,使点A 到达点E 的位置,连接AD ,CD ,AE ,AF ,BF ,EF .(1)求证:BDA ①BFE ;(2)当CD +DF +FE 取得最小值时,求证:AD ∥BF .(3)如图①,M ,N ,P 分别是DF ,AF ,AE 的中点,连接MP ,NP ,在点D 运动的过程中,请判断①MPN 的大小是否为定值.若是,求出其度数;若不是,请说明理由.4.已知ABC 是等腰三角形,AB AC =,将ABC 绕点B 逆时针旋转得到''A BC ,(1)感知:如图①,当'BC 落在AB 边上时,'A AB ∠与'C CB ∠之间的数量关系是 _____(不需要证明);(2)探究:如图①,当'BC 不落在AB 边上时,'A ∠AB 与'C CB ∠是否相等?如果相等;如果不相等,请说明理由;(3)应用:如图①,若90BAC ∠=︒,'AA 、'CC 交于点E ,则'A EC ∠=_____度.5.如图,已知正方形ABCD ,点E 为AB 上的一点,EF AB ⊥,交BD 于点F .(1)如图1,直按写出DFAE的值_______; (2)将①EBF 绕点B 顺时针旋转到如图2所示的位置,连接AE 、DF ,猜想DF 与AE 的数量关系,并证明你的结论;(3)如图3,当BE =BA 时,其他条件不变,①EBF 绕点B 顺时针旋转,设旋转角为(0360)αα︒<<︒,当α为何值时EA =ED ?请在图3或备用图中画出图形并求出α的值.6.在正方形ABCD 中,AB =4,O 为对角线AC 、BD 的交点.(1)如图1,延长OC ,使CE=OC ,作正方形OEFG ,使点G 落在OD 的延长线上,连接DE 、AG .求证:DE=AG ;(2)如图2,将问题(1)中的正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转α°(0<α<180),得到正方形OE F G ''',连接AE E G '''、. ①当α=30时,求点A 到E G ''的距离;①在旋转过程中,直接写出AE G ∆''面积的最小值为 ,并写出此时的旋转角α= .7.已知在矩形ABCD 中,①ADC 的平分线DE 与BC 交于点E ,点P 是线段DE 上一定点(其中EP <PD )(1)如图1,若点F 在CD 边上(不与C ,D 重合),将①DPF 绕点P 逆时针旋转90°后,角的两边PD ,PF 分别交射线DA 于点H ,G . ①直接写出PG 与PF 之间的数量关系;①猜想DF ,DG ,DP 的数量关系,并证明你的结论.(2)如图2,若点F 在CD 的延长线上(不与D 重合),将PF 绕点P 逆时针旋转90°,交射线DA 于点G ,判断(1)①中DF ,DG ,DP 之间的数量关系是否仍然成立?若成立,给出证明;若不成立,请直接写出它们所满足的数量关系式.8.已知:在Rt ABC 中,90ABC ∠=︒,30BAC ∠=︒,将ABC 绕点A 顺时针旋转一定的角度α得到AED ,点B 、C 的对应点分别是E 、D .(1)如图1,若60α=︒时,连接BE ,求证:AB BE =; (2)如图2,当点E 恰好在AC 上时,求CDE ∠的度数;(3)如图3,点B 、C 的坐标分别是()0,0,()0,2,点Q 是线段AC 上的一个动点,点M 是线段AO 上的一个动点,是否存在这样的点Q 、M 使得CQM 为等腰三角形且AQM 为直角三角形?若存在,请求出满足条件的点M 的坐标;若不存在,请说明理由.9.(1)发现:如图1,点B 是线段AD 上的一点,分别以AB BD ,为边向外作等边三角形ABC 和等边三角形BDE ,连接AE ,CD ,相交于点O .①线段AE 与CD 的数量关系为:___________;AOC ∠的度数为__________. ②CBD ∆可看作ABE ∆经过怎样的变换得到的?____________________________. (2)应用:如图2,若点A B D ,,不在一条直线上,(1)的结论①还成立吗?请说明理由;(3)拓展:在四边形ABCD 中,=AB AC ,=90BAC ∠︒,=45ADC ∠︒,若8AD =,6CD =,请直接写出B ,D 两点之间的距离.10.如图①,①QPN 的顶点P 在正方形ABCD 两条对角线的交点处,①QPN =α,将①QPN 绕点P 旋转,旋转过程中①QPN 的两边分别与正方形ABCD 的边AD 和CD 交于点E 和点F (点F 与点C ,D 不重合).(1)如图①,当α=90°时,DE ,DF ,AD 之间满足的数量关系是 ;(2)如图①,将图①中的正方形ABCD 改为①ADC =120°的菱形,其他条件不变,当α=60°时,(1)中的结论变为DE +DF =12AD ,请给出证明;(3)在(2)的条件下,若旋转过程中①QPN 的边PQ 与射线AD 交于点E ,其他条件不变,探究在整个运动变化过程中,DE ,DF ,AD 之间满足的数量关系,直接写出结论,不用加以证明.11.如图,已知正方形ABCD ,将AD 绕点A 逆时针方向旋转(090)n n ︒<<到AP 的位置,分别过点C D 、作,CE BP DF BP ⊥⊥,垂足分别为点E 、F .(1)求证:CE EF =; (2)联结CF ,如果13DP CF =,求ABP ∠的正切值;(3)联结AF ,如果AF AB =,求n 的值.12.综合与实践如图1,在综合实践课上,老师让学生用两个等腰直角三角形进行图形的旋转探究.在Rt ABC 中,90BAC ∠=︒,AB AC =,在Rt AMN △中,90MAN ∠=︒,AM AN =,点M ,N 分别在AC ,AB 边行,直角顶点重合在一起,将Rt AMN △绕点A 逆时针旋转,设旋转角MAC α∠=,其中090α︒<<︒. (1)当点M 落在BC 上时,如图2:①请直接写出BMN ∠的度数为______(用含α的式子表示); ①若3tan 4α=,7AC =,求AM 的长; (2)如图3,连接BN ,CM ,并延长CM 交BN 于点E ,请判断CE 与BN 的位置关系,并加以证明;(3)如图4,当BAC ∠与MAN ∠是两个相等钝角时,其他条件不变,即在ABC 与AMN 中,AB AC =,AM AN =,MAN BAC β∠=∠=,MAC α∠=,则CEN ∠的度数为______(用含α或β的式子表示).13.定义:如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值叫做这条边所对角的准对(记作qad).如图1,在①ABC中,AH①BC于点H,则qad①BAC=AHBC.当qad①BAC=35时,则称①BAC为这个三角形的“金角”.已知在矩形ABCD中,AB=3,BC=6,①ACE 的“金角”①EAC所对的边CE在BC边上,将①ACE绕点C按顺时针方向旋转α(0°<α<90°)得到①A'CE',A'C交AD边于点F.(1)如图2,当α=45°时,求证:①ACF是“金角”.(2)如图3,当点E'落在AD边上时,求qad①AFC的值.14.(1)观察猜想:如图①,在Rt△ABC和Rt△BDE中,①ABC=①EBD=90°,AB=BC,BE=BD,连接AE,点F是AE的中点,连接CD、BF,当点D、B、C三点共线时,线段CD与线段BF的数量关系是_____,位置关系是_____(2)探究证明:在(1)的条件下,将Rt△BDE绕点B顺时针旋转至图①位置时,(1)中的结论是否仍然成立?如果成立,请你就图①的情形进行证明;如果不成立,请说明理由;(3)拓展延伸:如图①,在Rt△ABC和Rt△BDE中,①ABC=①EBD=90°,BC=2AB=8,BD=2BE=4,连接AE,点F是AE的中点,连结CD、BF,将△BDE绕点B在平面内自由旋转,请直接写出BF的取值范围,15.把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放:90︒∠=∠=BAO ODC,45B︒∠=,30∠=.C︒∠的度(1)如图1,两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上,求出此图中BOC数;(2)如图2,如果把图1所示的OAB以O为中心顺时针旋转得到OA B''△,当OB'平分∠为多少度;COD∠时,求AOA'(3)如图3,两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上,另一条直角边OB、OC 也在同一条直线上,如果把OAB以O为中心顺时针旋转一周,当旋转多少度时,两条AB CD,请直接写出答案.斜边//16.如图1,①ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,D、F分别在AB、AC 边上,此时BD=CF,BD①CF成立.(1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时,如图2,BD=CF成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.(2)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时,如图3,延长BD交CF于点G.求证:BD①CF;(3)在(2)小题的条件下,AC与BG的交点为M,当AB=4,AD时,求线段CM 的长.17.(1)问题发现如图1,在等边三角形ABC 内部有一点P ,3PA =,4PB =,5PC =,求APB ∠的度数. 针对此问题,数学王老师给出了下面的思路:如图2,将APC △绕点A 逆时针旋转60°得到AP B '△,连结PP ',得到等边三角形APP ',在BPP '中,根据三角形三边关系以及勾股定理……请根据王老师的思路提示,完成本题的解答; (2)类比延伸如图3,在正方形ABCD 内部有一点P ,若135APD ∠=︒,试判断线段P A 、PB 、PD 之间的数量关系,并说明理由.18.如图,正方形ABCD 中PAQ ∠分别交BC ,CD 于点E ,F ,连接EF .(1)如图①,若128∠=︒,273∠=︒,试求3∠的度数;(2)如图①,以点A 为旋转中心,旋转PAQ ∠,旋转时保持45PAQ ∠=︒.当点E ,F 分别在边BC ,CD 上时,AE 和AF 是角平分线吗?如果是,请说出是哪两个角的平分线并给予证明;如果不是,请说明理由;(3)如图①,在①的条件下,当点E ,F 分别在BC ,CD 的延长线上时,①中的结论是否成立?只需回答结论,不需说明理由.19.如图,①AOB 中,OA =OB =6,将①AOB 绕点O 逆时针旋转得到①COD .OC 与AB交于点G ,CD 分别交OB 、AB 于点E 、F .(1)①A 与①D 的数量关系是:①A ______①D ; (2)求证:①AOG ①①DOE ;(3)当A ,O ,D 三点共线时,恰好OB ①CD ,求此时CD 的长.20.将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC 和AFE 按如图1所示位置放置,现将Rt AEF 绕A 点按逆时针方向旋转()090αα︒<<︒.如图2,AE 与BC 交于点M ,AC 与EF 交于点N ,BC 与EF 交于点P .(1)若AMC 是等腰三角形,则旋转角α的度数为______.(2)在旋转过程中,连接AP ,CE ,求证:AP 所在的直线是线段CE 的垂直平分线. (3)在旋转过程中,CPN 是否能成为直角三角形?若能,直接写出旋转角α的度数;若不能,说明理由.参考答案:1.(1)16°(2)DL =EN +GM2.3.①MPN 的值为定值,30°.4.(1)相等;(2)相等;(3)135︒.5.(2)DF =,(3,α的值为30°或150°,6.(2)①点A 到E G ''的距离为①在旋转过程中,直接写出AE G ∆''面积的最小值为16-α=135°.7.(1)①①DG +DF ;(2)不成立,数量关系式应为:DG -DF ,8.(2)15°;(3)存在,M ⎫⎪⎭或()4-9.(1)①AE CD =,60︒;(2)依然成立,(3)10.(1)DE +DF =AD ;(3)①当点E 落在AD 上时,DE +DF =12AD ,①当点E 落在AD 的延长线上时,DE -DF =12AD .11. (2)23;(3)3012.(1)①α;①5;(2)CE BN ⊥;(3)180β︒- 13. 2314.(1) CD =2BF BF ①CD(2)CD =2BF , BF ①CD 成立(3)13BF ≤≤15.(1)75︒∠=BOC ;(2)105︒'∠=AOA ;(3)当旋转的角度为105︒或285︒,两条斜边//AB CD .16. (3)8317.(1)150︒;(2)2222PA PD PB ,18.(1)62°(2)AE 是①FEB 的平分线,AF 是①EFD 的平分线,(3)AE 仍然是①FEB 的平分线,AF 不是①EFD 的平分线19.(1)=(3)20.(1)60°或15°(3)能,30α∠=︒或60︒。
中考数学动态几何问题(经典)
一(中考数学专题3) 动态几何问题【例1】如图,在梯形ABCD 中,AD BC ∥,3AD =,5DC =,10BC =,梯形的高为4.动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动;动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动.设运动的时间为t (秒).D NCM B A(1)当MN AB ∥时,求t 的值;(2)试探究:t 为何值时,MNC △为等腰三角形.【例3】在△ABC 中,∠ACB=45º.点D (与点B 、C 不重合)为射线BC 上一动点,连接AD ,以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF .(1)如果AB=AC .如图①,且点D 在线段BC 上运动.试判断线段CF 与BD 之间的位置关系,并证明你的结论.(2)如果AB ≠AC ,如图②,且点D 在线段BC 上运动.(1)中结论是否成立,为什么?(3)若正方形ADEF 的边DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P ,设AC =42,3=BC ,CD=x ,求线段CP 的长.(用含x 的式子表示)【例4】已知如图,在梯形ABCD 中,24AD BC AD BC ==∥,,,点M 是AD 的中点,MBC △是等边三角形.(1)求证:梯形ABCD 是等腰梯形;(2)动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动,且60MPQ =︒∠保持不变.设PC x MQ y ==,,求y与x 的函数关系式; (3)在(2)中,当y 取最小值时,判断PQC △的形状,并说明理由.A DM Q60【例5】已知正方形ABCD 中,E 为对角线BD 上一点,过E 点作EF BD ⊥交BC 于F ,连接DF ,G 为DF 中点,连接EG CG ,.(1)直接写出线段EG 与CG 的数量关系;(2)将图1中BEF ∆绕B 点逆时针旋转45︒,如图2所示,取DF 中点G ,连接EG CG ,,. 你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.(3)将图1中BEF ∆绕B 点旋转任意角度,如图3所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?(不要求证明)图3图2图1FEABCDABCDEFGGFED CBA【例6】已知正方形ABCD 的边长为6cm ,点E 是射线BC 上的一个动点,连接AE 交射线DC 于点F ,将△ABE 沿直线AE 翻折,点B 落在点B′ 处.(1)当CE BE =1 时,CF=______cm ,(2)当CE BE=2 时,求sin ∠DAB ′ 的值; (3)当CEBE= x 时(点C 与点E 不重合),请写出△ABE 翻折后与正方形ABCD 公共部分的面积y 与x 的关系式,(只要写出结论,不要解题过程).【总结】 通过以上五道例题,我们研究了动态几何问题当中点动,线动,乃至整体图形动这么几种可能的方式。
中考数学动点问题专题练习(含答案)
动点专题一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥O A,垂足为H,△OPH 的重心为G .(1)当点P在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设P Hx =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PG H是等腰三角形,试求出线段PH 的长.二、应用比例式建立函数解析式例2(2006年·山东)如图2,在△ABC 中,AB=AC =1,点D,E在直线B C上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠B AC=30°,∠DA E=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式;(2)如果∠B AC的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.AEDCB 图2H M NG PO A B 图1 x yC三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4(2004年·上海)如图,在△A BC中,∠BAC =90°,AB=AC =22,⊙A 的半径为1.若点O在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域.(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A相切时, △AO C的面积.一、以动态几何为主线的压轴题 (一)点动问题.1.(09年徐汇区)如图,ABC ∆中,10==AC AB ,12=BC ,点D 在边BC 上,且4=BD ,以点D 为顶点作B EDF ∠=∠,分别交边AB 于点E ,交射线CA 于点F . (1)当6=AE 时,求AF 的长;(2)当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时,求BE 的长; (3)当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时,求BE的长.AB C O 图8HAB CDEOlA ′(二)线动问题2,在矩形A BCD 中,AB =3,点O 在对角线A C上,直线l过点O ,且与AC 垂直交AD于点E .(1)若直线l 过点B,把△ABE 沿直线l 翻折,点A 与矩形A BCD的对称中心A '重合,求BC 的长; (2)若直线l 与AB 相交于点F,且AO=41AC,设AD 的长为x ,五边形BCDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式,并指出x 的取值范围;②探索:是否存在这样的x ,以A 为圆心,以-x 43长为半径的圆与直线l 相切,若存在,请求出x 的值;若不存在,请说明理由.(三)面动问题3.如图,在ABC ∆中,6,5===BC AC AB ,D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点(D 不与A 、B 重合),且保持BC DE ∥,以DE 为边,在点A 的异侧作正方形DEFG .(1)试求ABC ∆的面积;(2)当边FG 与BC 重合时,求正方形DEFG 的边长; (3)设x AD =,ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ,试求y 关于x 的函数关系式,并写出定义域;(4)当BDG ∆是等腰三角形时,请直接写出AD 的长.解决动态几何问题的常见方法有:C一、 特殊探路,一般推证例2:(2004年广州市中考题第11题)如图,⊙O 1和⊙O2内切于A,⊙O1的半径为3,⊙O2的半径为2,点P为⊙O1上的任一点(与点A 不重合),直线PA 交⊙O2于点C,PB 切⊙O2于点B ,则PCBP的值为(A)2 (B)3 (C)23(D)26二、 动手实践,操作确认例4(2003年广州市中考试题)在⊙O中,C 为弧AB 的中点,D 为弧A C上任一点(与A 、C 不重合),则(A)A C+CB=AD+DB (B) A C+C B<AD+DB(C) AC+CB >A D+D B (D) AC+C B与AD+DB 的大小关系不确定例5:如图,过两同心圆的小圆上任一点C 分别作小圆的直径CA 和非直径的弦CD ,延长CA 和C D与大圆分别交于点B 、E,则下列结论中正确的是( * ) (A)AB DE = (B )AB DE >(C)AB DE <(D )AB DE ,的大小不确定三、 建立联系,计算说明例6:如图,正方形ABCD 的边长为4,点M在边DC 上,且DM=1,N为对角线A C上任意一点,则DN +MN 的最小值为 .BMND CBA以圆为载体的动点问题中,AC=5,BC=12,∠ACB=90°,P是AB边上的动点(与点A、B不重例1.在Rt ABC合),Q是BC边上的动点(与点B、C不重合),当PQ与AC不平行时,△CPQ可能为直角三角形吗?若有可能,请求出线段CQ的长的取值范围;若不可能,请说明理由。
中考数学专题:《动态动点几何问题》带答案
《动态几何问题》专题突破训练(附答案)1.如图,在直角三角形ABC 中,∠ACB =90°,AB =5cm ,BC =4cm .动点P 从点A 出发,沿线段AB 向终点B 以5cm /s 的速度运动,同时动点Q 从点A 出发沿射线AC 以5cm /s 的速度运动,当点P 到达终点时,点Q 也随之停止运动;连接PQ ,设∠APQ 与∠ABC 重叠部分图形的面积为S (cm 2),点P 运动的时间为t (s )(t >0).(1)直接写出AC = cm ;(2)当点A 关于直线PQ 的对称点A '落在线段BC 上时,求t 的值;(3)求S 与t 之间的函数关系式;(4)若M 是PQ 的中点,N 是AB 的中点,当MN 与BC 平行时,t = ;当MN 与AB 垂直时,t = .2.如图,矩形ABCD 中,P 是边AD 上的一动点,联结BP 、CP ,过点B 作射线交线段CP 的延长线于点E ,交边AD 于点M ,且使得ABE CBP =∠∠,如果2AB =,5BC =,AP x =,PM y =(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域;(2)当4AP =时,求 tan EBP ∠;(3)如果EBC ∆是以EBC ∠为底角的等腰三角形,求AP 的长A-,点3.如图,平行四边形ABCO位于直角坐标系中,O为坐标原点,点(8,0)()C BC交y轴于点.D动点E从点D出发,沿DB方向以每秒1个单位长度的速度3,4终点B运动,同时动点F从点O出发,沿射线OA的方向以每秒2个单位长度的速度运动,当点E运动到点B时,点F随之停止运动,运动时间为t(秒).(1)用t的代数式表示:BE=________,OF=________(2)若以A,B,E,F为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值.(3)当BEF恰好是等腰三角形时,求t的值.4.在∠ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B、C重合),以AD为一边在AD的右侧作∠ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.(1)如图1,当点D在线段BC上,如果∠BAC=90°,则∠BCE为多少?说明理由;(2)设∠BAC=α,∠BCE=β.①如图2,当点D在线段BC上移动,则α,β之间有怎样的数量关系?请说明理由;②当点D在直线BC上移动,则α,β之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论,不需证明.5.问题情境:如图1,已知正方形ABCD与正方形CEFG,B、C、G在一条直线上,M是AF的中点,连接DM,EM.探究DM,EM的数量关系与位置关系.小明的思路是:小明发现AD//EF,所以通过延长ME交AD于点H,构造∠EFM和∠HAM全等,进而可得∠DEH是等腰直角三角形,从而使问题得到解决,请你参考小明同学的思路,探究并解决下列问题:(1)猜想图1中DM、EM的数量关系,位置关系.(2)如图2,把图1中的正方形CEFG绕点C旋转180°,此时点E在线段DC的延长线上,点G落在线段BC上,其他条件不变,(1)中结论是否成立?请说明理由;(3)我们可以猜想,把图1中的正方形CEFG绕点C旋转任意角度,如图3,(1)中的结论(“成立”或“不成立”)拓展应用:将图1中的正方形CEFG绕点C旋转,使D,E,F三点在一条直线上,若AB=13,CE=5,请画出图形,并直接写出MF的长.6.如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点C,点P 是抛物线上一动点,连接PB,PC.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,当点P在直线BC上方时,过点P作PD上x轴于点D,交直线BC于点E.若PE=2ED,求∠PBC的面积;(3)抛物线上存在一点P,使∠PBC是以BC为直角边的直角三角形,求点P的坐标.7.如图,已知ABC 和ADE 均为等腰三角形,AC =BC ,DE =AE ,将这两个三角形放置在一起.(1)问题发现:如图①,当60ACB AED ∠∠︒==时,点B 、D 、E 在同一直线上,连接CE ,则CEB ∠= °,线段BD 、CE 之间的数量关系是 ;(2)拓展探究:如图②,当90ACB AED ∠∠︒==时,点B 、D 、E 在同一直线上,连接CE ,请判断CEB ∠的度数及线段BD 、CE 之间的数量关系,并说明理由;(3)解决问题:如图③,90ACB AED ∠∠︒==,AC =AE =2,连接CE 、BD ,在AED 绕点A 旋转的过程中,当DE BD ⊥时,请直接写出EC 的长.8.如图,∠O 的半径为5,弦BC =6,A 为BC 所对优弧上一动点,∠ABC 的外角平分线AP 交∠O 于点P ,直线AP 与直线BC 交于点E .(1)如图1,①求证:点P 为BAC 的中点;②求sin∠BAC 的值;(2)如图2,若点A 为PC 的中点,求CE 的长;(3)若∠ABC 为非锐角三角形,求PA •AE 的最大值.9.如图1,已知∠ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC =6,点D 在AB 边的延长线上,且CD =AB .(1)求BD 的长度;(2)如图2,将∠ACD 绕点C 逆时针旋转α(0°<α<360°)得到∠A'CD'.①若α=30°,A'D'与CD 相交于点E ,求DE 的长度;②连接A'D 、BD',若旋转过程中A'D =BD'时,求满足条件的α的度数.(3)如图3,将∠ACD 绕点C 逆时针旋转α(0°<α<360°)得到∠A'CD',若点M 为AC 的中点,点N 为线段A'D'上任意一点,直接写出旋转过程中线段MN 长度的取值范围.10.如图,P 是等边ABC 内的一点,且5PA =,4PB =,3PC =,将APB △绕点B 逆时针旋转,得到CQB △.(1)求点P 与点Q 之间的距离;(2)求BPC ∠的度数;(3)求ABC 的面积ABC S.11.如图,在矩形ABCD 中,6AB cm =,8BC cm =,如果点E 由点B 出发沿BC 方向向点C 匀速运动,同时点F 由点D 出发沿DA 方向向点A 匀速运动,它们的速度分别为2/cm s 和1/cm s ,FQ BC ⊥,分别交AC ,BC 于点P 和Q ,设运动时间为()04ts t <<.(1)连接EF ,若运动时间t =_______s 时,EF =;(2)连接EP ,当EPC 的面积为23cm 时,求t 的值;(3)若EQP ADC ∽△△,求t 的值.12.如图,边长为ABCD 中,P 是对角线AC 上的一个动点(点P 与A 、C 不重合),连接BP ,将BP 绕点B 顺时针旋转90°得到BQ ,连接QP ,QP 与BC 交于点E ,其延长线与AD (或AD 延长线)交于点F .(1)连接CQ ,证明:CQ AP =;(2)设AP x =,CE y =,试写出y 关于x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; (3)试问当P 点运动到何处时,PB PE +的值最小,并求出此时CE 的长.(画出图形,直接写出答案即可)13.已知:O 是ABC ∆的外接圆,且,60,AB BC ABC D =∠=︒为O 上一动点. (1)如图1,若点D 是AB 的中点,求DBA ∠的度数.(2)过点B 作直线AD 的垂线,垂足为点E .①如图2,若点D 在AB 上.求证CD DE AE =+.②若点D 在AC 上,当它从点A 向点C 运动且满足CD DE AE =+时,求ABD ∠的最大值.14.抛物线239344y x x =--与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B .线段OA 上有一动点P (不与O A 、重合),过点P 作y 轴的平行线交直线AB 于点C ,交抛物线于点M (1)求直线AB 的解析式;(2)点N 为线段AB 下方抛物线上一动点,点D 是线段AB 上一动点;①若四边形CMND 是平行四边形,证明:点M N 、横坐标之和为定值;②在点P N D 、、运动过程中,平行四边形CMND 的周长是否存在最大值?若存在,求出此时点D 的坐标,若不存在,说明理由15.如图,在平面直角坐标系中,点C 在x 轴上,90,10cm,6cm OCD D AO OC CD ︒∠=∠====.(1)请求出点A 的坐标.(2)如图(2),动点P Q 、以每秒1cm 的速度分别从点O 和点C 同时出发,点P 沿OA AD DC 、、运动到点C 停止,点Q 沿CO 运动到点O 停止,设P Q 、同时出发t 秒. ①是否存在某个时间t (秒),使得OPQ △为直角三角形?若存在,请求出值;若不存在,请说明理由.②若记POQ △的面积为()2cm y ,求()2cm y 关于t (秒)的函数关系式. 16.已知,点O 是等边ABC 内的任一点,连接OA ,OB ,OC .(∠)如图1所示,已知150AOB ∠=︒,120BOC ∠=︒,将BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60︒得ADC .①求DAO ∠的度数:②用等式表示线段OA ,OB ,OC 之间的数量关系,并证明;(∠)设AOB α∠=,BOC β∠=.①当α,β满足什么关系时,OA OB OC ++有最小值?并说明理由;②若等边ABC 的边长为1,请你直接写出OA OB OC ++的最小值.17.如图,在正方形ABCD 中,AB =4,动点P 从点A 出发,以每秒2个单位的速度,沿线段AB 方向匀速运动,到达点B 停止.连接DP 交AC 于点E ,以DP 为直径作∠O 交AC 于点F ,连接DF 、PF .(1)则∠DPF 是 三角形;(2)若点P 的运动时间t 秒.①当t 为何值时,点E 恰好为AC 的一个三等分点;②将∠EFP 沿PF 翻折,得到∠QFP ,当点Q 恰好落在BC 上时,求t 的值.18.已知四边形ABCD 为矩形,对角线AC 、BD 相交于点O ,AD AO =.点E 、F 为矩形边上的两个动点,且60EOF ∠=︒.(1)如图1,当点E 、F 分别位于AB 、AD 边上时,若75OEB ∠=︒,求证:AD BE =;(2)如图2,当点E 、F 同时位于AB 边上时,若75OFB ∠=︒,试说明AF 与BE 的数量关系;(3)如图3,当点E 、F 同时在AB 边上运动时,将OEF 沿OE 所在直线翻折至OEP ,取线段CB 的中点Q .连接PQ ,若()20AD a a =>,则当PQ 最短时,求PF 之长.19.如图,在∠ABC中,AB=BC=AC=12cm,点D为AB上的点,且BD=34AB,如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向终点C运动,同时,点Q在线段CA上由C点向终点A运动.当一点到达终点时,另一点也随之停止运动.(1)如(图一)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1s后,∠BPD与∠CQP是否全等,请说明理由.(2)如(图二)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等(点P不与点B和点C重合),连接点A与点P,连接点B与点Q,并且线段AP,BQ相交于点F,求∠AFQ的度数.(3)若点Q的运动速度为6cm/s,当点Q运动几秒后,可得到等边∠CQP?20.如图,Rt∠ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0<t<2),连接PQ.(1)若∠BPQ与∠ABC相似,求t的值;(2)试探究t为何值时,∠BPQ是等腰三角形;(3)试探究t为何值时,CP=CQ;(4)连接AQ,CP,若AQ∠CP,求t的值.21.如图1,在正方形ABCD 中,4AB m =,点P 从点D 出发,沿DA 向点A 匀速运动,速度是1/cm s ,同时,点Q 从点A 出发,沿AB 方向,向点B 匀速运动,速度是2/cm s ,连接PQ 、CP 、CQ ,设运动时间为()(02)t s t <<.()1是否存在某一时刻,使得//PQ BD 若存在,求出t 的值;若不存在,说明理由; ()2设PQC △的面积为()2S cm ,求S 与t 之间的函数关系式;()3如图2,连接AC ,与线段PQ 相交于点M ,是否存在某一时刻t ,使QCM S :4PCM S =:5?若存在,直接写t 的值;若不存在,说明理由.22.如图,在 RtΔABC 中,∠C=90°,BC=5cm ,tanA 512=.点 M 在边 AB 上,以 2 cm/s 的速度 由点B 出发沿BA 向点A 匀速运动;同时点N 在边AC 上,以1 cm/s 的速度由A 出发沿AC 向点C 匀速运动.当点M 到达A 点时,点M ,N 同时停止运动.连接MN ,设点M 运动的时间为t (单位:s).(1)求AB 的长;(2)当t 为何值时,ΔAMN 的面积为∠ABC 面积的326; (3)是否存在时间t ,使得以A ,M ,N 为顶点的三角形与ΔABC 相似?若存在,求出时间t 的值;若不存在,请说明理由.23.如图,抛物线y =ax 2+bx+3与x 轴交于A ,B 两点,且点B 的坐标为(2,0),与y 轴交于点C ,抛物线对称轴为直线x 12=-.连接AC ,BC ,点P 是抛物线上在第二象限内的一个动点.过点P 作x 轴的垂线PH ,垂足为点H ,交AC 于点Q .过点P 作PG∠AC 于点G . (1)求抛物线的解析式.(2)求PQG 周长的最大值及此时点P 的坐标.(3)在点P 运动的过程中,是否存在这样的点Q ,使得以B ,C ,Q 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请写出此时点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.24.如图,直线1:1l y kx =+与x 轴交于点D ,直线2:l y x b =-+与x 轴交于点A ,且经过定点(1,5)B -,直线1l 与2l 交于点(2,)C m .(1)求k 、b 和m 的值;(2)求ADC ∆的面积;(3)在x 轴上是否存在一点E ,使BCE ∆的周长最短?若存在,请求出点E 的坐标;若不存在,请说明理由;(4)若动点P 在线段DA 上从点D 开始以每秒1个单位的速度向点A 运动,设点P 的运动时间为t 秒.是否存在t 的值,使ACP ∆为等腰三角形?若存在,直接写出t 的值;若不存在,清说明理由.25.如图,已知抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点(1,0)A 和点(3,0)B -,与y 轴交于点C .(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ,问在对称轴上是否存在点P ,使CMP ∆为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)作直线BC ,若点(,0)D d 是线段BM 上的一个动点(不与B 、M 重合),过点D 作x 轴的垂线交抛物线于点F ,交BC 于点E ,当BDE CEF S S ∆∆=时,求d 的值.26.正方形ABCD 和等腰Rt DEF △共顶点D ,90DEF ∠=︒,DE EF =,将DEF 绕点D 逆时针旋转一周.(1)如图1,当点F 与点C 重合时,若2AD =,求AE 的长;(2)如图2,M 为BF 中点,连接AM 、ME ,探究AM 、ME 的关系,并说明理由; (3)如图3,在(2)条件下,连接DM 并延长交BC 于点Q ,若22AD DE ==,在旋转过程中,CQ 的最小值为_________.27.综合与探究 如图,抛物线245y x bx c =++经过点()0,4A ,()10B ,,与x 轴交于另一点C (点C 在点B 的右侧),点()P m n ,是第四象限内抛物线上的动点.(1)求抛物线的函数解析式及点C 的坐标;(2)若APC △的面积为S ,请直接写出S 关于m 的函数关系表达式,并求出当m 的值为多少时,S 的值最大?最大值为多少?(3)是否存在点P ,使得PCO ACB ∠=∠?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.28.某学校活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程: 操作发现:(1)如图1,分别以AB 和AC 为边向∠ABC 外侧作等边∠ABD 和等边∠ACE ,连接BE 、CD ,请你完成作图并证明BE =CD .(要求:尺规作图,不写作法但保留作图痕迹)类比探究:(2)如图2,分别以AB 和AC 为边向∠ABC 外侧作正方形ABDE 和正方形ACFG ,连接CE 、BG ,则线段CE 、BG 有什么关系?说明理由.灵活运用:(3)如图3,在四边形ABCD 中,AC 、BD 是对角线,AB =BC ,∠ABC =60°,∠ADC =30°,AD =3,BD =5,求CD 的长.参考答案1.(1)3;(2)38t =;(3)当305t <≤时,210S t =;当315t <≤时,215309S t t =-+-;(4)38;58.2.(1)4y x x =-.定义域为25x <≤;(2)34;(3)4或53+ 3.(1)5-t ,2t ;(2)3t =或133t =;(3)53t =或910t = 4.(1)90°;(2)①α+β=180°;②点D 在直线BC 上移动,α+β=180°或α=β.5.(1)DM∠EM ,DM =ME ;(2)结论成立;(3)成立;拓展应用: 6.(1)y =﹣x 2+2x +3;(2)3;(3)点P 的坐标为(1,4)或(﹣2,﹣5)7.(1)60BD CE ,=;(2)45CEB BD ∠︒=,;(3)CE 的长为或48.(1)①证明;②3sin 5BAC ∠=;(2)CE =;(3)80.9.(1)﹣(2);②45°或225°;(3)﹣+310.(1)4PQ =;(2)150BPC ∠=︒;(3)9ABC S =. 11.(1)23;(2)2;(3)212.(1)见解析;(2)2(06)y x x =+<<;(3)P 位置如图所示,此时PB PE +的值最小,6CE =-13.(1)30DBA ∠=;(2)①;②当点D 运动到点I 时ABI ∠取得最大值,此时30ABD ∠=.14.(1)334y x =-;(2)①证明;②存在;点D 的坐标为111111,,3434⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;. 15.(1)(8,6)A .(2)①存在,40 s 9t =或者50 s 9t =.②233(010)10S t t t =-+<<. 16.(1)①90°;②线段OA ,OB ,OC 之间的数量关系是OA 2+OB 2=OC 2,证明;(2)①当α=β=120°时,OA+OB+OC 有最小值.证明;②线段OA+OB+OC17.(1)等腰直角;(2)①当t 为1时,点E 恰好为AC 的一个三等分点;.18.(1)证明;(2)2AF BE =;(3).2FP a =19.(1)BPD CQP ≌;(2)60︒(3)4320.(1)1或3241;(2)23或89或6457;(3)329-;(4)78. 21.()1存在,43t =;()2228(02)S t t t =-+<<;()3存在,1t = 22.(1)13cm ;(2)t=2或92s ;(3)存在,15637t =或16938t =s23.(1)y 12=-x 212-x+3;(2))9108,P(32-,218);(3)存在,Q 1(,+3),Q 2(﹣1,2)24.(1)12k =,4b =,2m =;(2)6;(3存在,8(7E ,0);(4)存在,6-4或2.25.(1)223y x x =--+;(2)存在,P (-或(1,-或(1,6)-或5(1,)3-;(3)d =26.(1)AE =(2)AM ME =,AM ME ⊥;(3)227.(1)2424455x x y -+=;点C 的坐标为(5,0);(2)当m =52时,S 的值最大,最大值为252;(3)存在点P ,使得使得∠PCO =∠ACB .点P 的坐标为(2,-125). 28.(1);(2)CE=BG ;(3)CD=4。
中考必考--数学动点经典例题分析
中考必考——数学动点经典例题分析动态几何问题已经成为中考试题的一大热点题型.这类试题以运动的点、线段、变化的角、图形的面积为基本条件,给出一个或多个变量,要求确定变量与其他量之间的关系,或变量在一定条件为定值时,进行相关的几何计算和综合解答。
下面是几个例题及分析(2000年·上海)如图1在半径为6,圆心角为90的扇形OAB 的弧AB上有一个动点P,PH⊥OA垂足为⊥OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO、GP、GH中有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH= x,G=y求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围)(3)如果⊥PGH是等腰三角形试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变于是线段GO、GP、GH中,有长度保持不变的线段,这条线段是GH=2/3 M=2/3.120P=2.(2)在Rt⊥POH中,OH=√OP2−PH2=√36−x2⊥MH=12OH=12√36−x2在Rt⊥POH中MP=√PH2+MH2=12√36+3x21.分析:此题为点动题,因此,1)搞清动点所走的路线及速度,这样就能求出相应线段的长;2)分析在运动中点的几种特殊位置由题意知,点P 为动点,所走的路线为: ABC 速度为1cm/s。
而t=2s,故可求出AP 的值,进而求出⊥APE 的面积2.分析:两点同时运动,点P 在前,点Q在后,速度相等,因此两点距出发点A的距离相差总是2cm.P在AB边上运动后,又到BC边上运动因此PM、N 截平行四边形ABCD 所得图形不同.故分两种情况:(1)⊥当P、Q 都在AB 上运动时,PM、N 截平行四边形ABCD 所得的图形永远为直角梯形.此时0≤t≤6.⊥当P在BC上运动,而Q在A 边上运动时,画出相应图形,所成图形为六边形DFOBPG,不规则图形面积用割补法.此时6<t≤8.可以尝试自己解答一下吆!以上是数学动点例题及解析,你学会如何解答此类问题了么?。
中考数学动态几何专题复习
中考数学动态几何专题复习图形的运动变化问题。
【典型例题】例1. 已知;⊙O 的半径为2,∠AOB =60°,M 为AB ⋂的中点,MC ⊥AO 于C,MD ⊥OB 于D ,求CD 的长。
分析:连接OM 交CD 于E ,∵∠AOB =60°,且M 为AB ⋂中点∴∠AOM =30°,又∵OM =OA =2 ∴OC =3∴CE CD ==323,例2. 如图,AB 是 ⊙O 的直径,⊙O 过AE 的中点D ,DC ⊥BC ,垂足为C 。
(1)由这些条件,你能推出哪些正确结论?(要求:不再标注其他字母,找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中,不写推理过程,写出4个结论即可) (2)若∠ABC 为直角,其它条件不变,除上述结论外,你还能推出哪些新的正确结论?并画出图形。
(要求:写出6个结论即可,其它要求同(1)) 分析:(1)AB =BE DC =CE ∠A =∠E DC 为⊙O 切线(2)若∠ABC 为直角则∠A =∠E =45°,DC =BCDC ∥AB ,DC =CE ,BE 为⊙O 的切线DC AB BE ==1212例3. 在直径为AB 的半圆内划出一块三角形区域,使三角形的一边为AB ,顶点C 在半圆上,现要建造一个内接于△ABC 的矩形水池DEFN ,其中DE 在AB 上,如图的设计方案是AC =8,BC =6。
(1)求△ABC 中AB 边上的高h ;(2)设DN =x ,当x 取何值时,水池DEFN 的面积最大?分析:(1)∵AB 为半圆直径∴∠ACB =90°∵AC =8,BC =6 ∴AB =10∴△ABC 中AB 边上高h =4.8m (2)设DN =x ,CM =h =4.8 则MP =xNF AB CPCM =NF x104848=-..NF x=-102512 S ND NF =·=-=-+=--x x x x x x ()()102512251210251224522当x =125时,水池面积最大。
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第 25 题( 1)
第 25 题( 2)
【思考 2】 △ABC是等边三角形, P 为平面内的一个动点,
且∠ PBC平分线上的一点 D 满足 DB=DA,
( 1)当 BP与 BA 重合时(如图 1),∠ BPD=
°;
BP=BA,若 0 <∠ PBC<180°,
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G1
∵ G1EF 90° P1EF , P1EC 90° P1EF ,
∴ G1EF
P1EC .∴ △G1EF ≌△ P1EC .∴ G1FE
P1CE .
∵ EC ⊥ CD ,∴ P1CE 90°,∴ G1FE 90°.∴ EFH 90°. B ∴ FHC 90°.∴ FG1 ⊥ CD .
②按题目要求所画图形见图 1,直线 G1G2 与直线 CD 的位置关系为互相垂直.
判断直线 FC1 与直线 CD 的位置关系,并加以证明;
②当 P2 为线段 DC的延长线上任意一点时, 连结 EP2,将线段 EP2 绕点 E 逆时针旋转 90 得到线段 EC2.
判断直线 C1C2 与直线 CD的位置关系,画出图形并直接写出你的结论
.
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( 2)若 AD=6,tanB= 4 ,AE=1,在①的条件下,设 3
出自变量 x 的取值范围 .
CP1= x ,S P1FC1 = y ,求 y 与 x 之间的函数关系式,并写
第三部分 思考题解析
【思考 1 解析】
( 1)证明:∵ DE EC ,∴ DEC 90 .∴ AED BEC 90 .
又∵ A B 90 ,∴ AED EDA 90 .
∴ BEC EDA .∴ ADE ∽ BEC . ( 2)证明:如图,过点 E 作 EF // BC ,交 CD 于点 F ,
A P
B
1 2
D
4 3
C
图8
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∴ 3 4 1 ACB 30 . ∴ ∠ BPD=30 .°
2
解二:∵ △ ABC是等边三角形, ∴ BA =BC=AC.
∵ DB=DA, ∴ CD垂直平分 AB. ∴
3
4
1 ACB
30 .
2
∵ BP=BA,∴ BP=BC.∵ 点 D 在∠ PBC的平分线上,
A E
F G2 P1 H
D
C P2
图1
( 2)∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴ B ADC .∵ AD 6, AE 1,tan B
∴ DE 5,tan EBC tan B 4 .可得 CE 4 . 3
由( 1)可得四边形 EFCH 为正方形.∴ CH CE 4 .
∴ △ PBD与△ CBD关于 BD 所在直线对称. ∴ ∠BPD=∠ 3. ∴ ∠ BPD =30 °.
(3)∠ BPD=30°或 150° .
图形见图 9、图 10.
P
A
A A
P
或
D
D
B
B
C
B
C
C D
P
图9
【思考 3 解析】
图 10
解:( 1)过点 A 作 AE⊥ BC,在 Rt△ ABE中,由 AB=5, cosB= 3 得 BE=3. 5
沿直线 AE 翻折,点 B 落在点 B′处.
( 1)当
BE =1
时, CF=______cm,( 2)当
BE
=2
时,求
sin∠ DAB′的值;
CE
CE
( 3)当
BE =x
时(点
C 与点
E 不重合),请写出
CE
x 的关系式,(只要写出结论,不要解题过程).
△ABE 翻折后与正方形
ABCD 公共部分的面积 A
点 M ,交射线 BC于点 N,连结 MN.
( 1)当 BO=AD 时,求 BP 的长;( 2)点 O 运动的过程中,是否存在 BP=MN 的情况?若存在,请求出当
BO 为多长时 BP=MN;若不存在,请说明理由; ( 3)在点 O 运动的过程中,以点 C 为圆心, CN 为半径作⊙ C,请直接写出当⊙ C 存在时,⊙ O 与⊙ C 的位
解:(1)∠ BPD=30 °;
(2)如图 8,连结 CD. 解一:∵ 点 D 在∠ PBC的平分线上,
∴ ∠ 1=∠2. ∵ △ABC是等边三角形, ∴ BA=BC=AC,∠ ACB=60°. ∵ BP=BA, ∴ BP=BC. ∵ BD= BD,∴ △ PBD≌△ CBD. ∴ ∠ BPD=∠ 3.∵ DB=DA, BC=AC, CD=CD, ∴ △ BCD≌△ ACD.
件抽出来 , 将大问题化成若干个小问题去解决 , 就很轻松了 . 为更好的帮助考生 , 笔者总结这种问题的一般
思路如下:
第一、仔细读题,分析给定条件中那些量是运动的,哪些量是不动的。针对运动的量,要分析它是如何 运动的, 运动过程是否需要分段考虑, 分类讨论。 针对不动的量, 要分析它们和动量之间可能有什么关系, 如何建立这种关系。
∵ CD⊥ BC,则有 △ PQO∽△ DOC-
BH
3
3
6
18
设 BO=x, 则 PO=x,由
cos B , 得 BH= x , ∴ BP=2BH= x . ∴ BQ=BP× cosB= x ,
x
5
5
5
25
24
18
PQ= x .∴ OQ= x
x
25
25
7 x .∵△ PQO∽△ DOC,∴ PQ
25
∵
A 90 ,∴ DE 2
AE 2
AD 2 .即 a 2 2ax x2
m2
x2 . ∴ x
a2
m2
.
2a
a 2 m2
由( 1)知 ADE ∽ BEC , ∴ ADE 的周长 AD BEC 的周长 BE
2a am
am
.
2a
∴ BEC 的周长
【思考 2 答案】
2a am
ADE 的周长
2a . ∴
BEC 的周长与 m 值无关.
∵ CD⊥ BC, AD//BC ,BC=6,∴ AD=EC=BC- BE=3.
当 BO=AD=3 时, 在⊙ O 中,过点 O 作 OH⊥ AB,则 BH=HP
BH
∵
cos B ,∴BH= 3 3
BO
5
( 2)不存在 BP=MN 的情况 -
9
.
18
∴ BP=
.
5
5
假设 BP=MN 成立,
∵ BP和 MN 为⊙ O 的弦,则必有∠ BOP=∠ DOC.过 P 作 PQ⊥ BC,过点 O 作 OH⊥ AB,
3
【思考 4 解析】
解:( 1)①直线 FG1与直线 CD 的位置关系为互相垂直.
P
H
B
QO
D M
NC
证明:如图 1,设直线 FG1与直线 CD 的交点为 H .
∵线段 EC、 EP1 分别绕点 E 逆时针旋转 90°依次得到线段 EF 、 EG1 ,
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∴ P1EG 1 CEF 90°, EG1 EP1, EF EC .
( 2)当 BP在∠ ABC的内部时(如图 2),求∠ BPD的度数; ( 3)当 BP在∠ ABC的外部时,请你直接写出∠ BPD的度数,并画出相应的图形.
3
【思考 3】 如图:已知,四边形 ABCD中, AD//BC, DC⊥ BC,已知 AB=5, BC=6, cosB= .
5
点 O 为 BC边上的一个动点,连结 OD,以 O 为圆心, BO 为半径的⊙ O 分别交边 AB 于点 P,交线段 OD 于
5 当中的比例关系
意味着两种不一样的状况,是否能想到就成了关键。
动态几何训练题
【思考 1】已知:如图( 1),射线 AM // 射线 BN , AB 是它们的公垂线,点 D 、 C 分别在 AM 、 BN 上 运动(点 D 与点 A 不重合、点 C 与点 B 不重合), E 是 AB 边上的动点(点 E 与 A 、 B 不重合),在 运动过程中始终保持 DE EC ,且 AD DE AB a . ( 1)求证: ADE ∽ BEC ; ( 2)如图( 2),当点 E 为 AB 边的中点时,求证: AD BC CD ; ( 3)设 AE m ,请探究: BEC 的周长是否与 m 值有关?若有关, 请用含有 m 的代数式表示 BEC
置关系,以及相应的⊙ C 半径 CN的取值范围。 A
D
A
D
P M
B
O
NC
B
C
(备用图)
【思考 4】在 ABCD 中,过点 C 作 CE⊥ CD 交 AD 于点 E,将线段 EC绕点 E 逆时针旋转 90 得到线段 EF(如
图1 ( 1)在图 1 中画图探究:
①当 P 为射线 CD 上任意一点( P1 不与 C 重合)时,连结 EP1 绕点 E 逆时针旋转 90 得到线段 EC1.
OQ
DC
即
24 x 25
OC 7 x
25
4 ,得 x
6x
29
.
6
当x
29
时,
6
BP=
x
=
29
>
5=AB,与点
P 应在边
AB 上不符,∴不存在
BP=MN 的情况 .
6
55
A
( 3)情况一:⊙ O 与⊙ C 相外切,此时, 0< CN<6; ------7 分
7
情况二:⊙ O 与⊙ C 相内切,此时, 0< CN≤ .-------8 分
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第二、画出图形,进行分析,尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系。如果没 有静止状态,通过比例,相等等关系建立变量间的函数关系来研究。