2019-2020年高中数学课时达标训练十二抛物线及其标准方程新人教A版选修

2019-2020年高中数学课时达标训练十二抛物线及其标准方程新人教A 版选修题组1 由抛物线方程求焦点坐标和准线方程 1．对抛物线y ＝4x 2，下列描述正确的是( ) A ．开口向上，焦点为(0，1) B ．开口向上，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 C ．开口向右，焦点为(1，0) D ．开口向右，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 2．抛物线y ＝－x 28的准线方程是( )A ．x ＝132B ．y ＝2C ．x ＝14D ．y ＝43．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是( ) A.|a |4 B.|a |2 C ．|a | D ．－a 2题组2 求抛物线的标准方程4．焦点是F (0，5)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝20x B ．x 2＝20y C ．y 2＝120x D ．x 2＝120y5．顶点在原点，且过点(－4，4)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－4x B ．x 2＝4yC ．y 2＝－4x 或x 2＝4y D ．y 2＝4x 或x 2＝－4y 题组3 抛物线定义的应用6．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆7．若抛物线y 2＝8x 上一点P 到其焦点F 的距离为9，则点P 的坐标为( ) A ．(7，±14) B ．(14，±14) C ．(7，±214) D ．(－7，±214)8．若点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，求点P 到直线3x －4y ＋72＝0的距离与P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值．题组4 抛物线方程的实际应用9．某抛物线拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．10．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少有0.5米．(1)以抛物线的顶点为原点O ，其对称轴所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB 为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?[能力提升综合练]1．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．42．抛物线y ＝12x 2上的点到焦点的距离的最小值为( ) A ．3 B ．6 C.148 D.1243．动点到点(3，0)的距离比它到直线 x ＝－2的距离大1，则动点的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．双曲线的一支 D ．抛物线4．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54 D.745．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )到其焦点的距离为5，双曲线x 2－y 2a＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a ＝________．6．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________．7．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．8．已知圆C 的方程x 2＋y 2－10x ＝0，求与y 轴相切且与圆C 外切的动圆圆心P 的轨迹方程．答 案 即时达标对点练1. 解析：选B 由y ＝4x 2，得x 2＝14y ，故抛物线开口向上，且焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116.2. 解析：选B 由y ＝－x 28，得x 2＝－8y ，故抛物线开口向下，其准线方程为y ＝2.3. 解析：选B ∵2p ＝|a |，∴p ＝|a |2.∴焦点到准线的距离是|a |2.4. 解析：选B 由5＝p2得p ＝10，且焦点在y 轴正半轴上，故方程形式为x 2＝2py ，所以x 2＝20y .5. 解析：选C 设抛物线方程为y 2＝－2p 1x 或x 2＝2p 2y ，把(－4，4)代入得16＝8p 1或16＝8p 2，即p 1＝2或p 2＝2.故抛物线的标准方程为y 2＝－4x 或x 2＝4y .6. 解析：选A 由题意知，圆C 的圆心到点(0，3)的距离比到直线 y ＝0的距离大1，即圆C 的圆心到点(0，3)的距离与到直线y ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线．7. 解析：选C 由y 2＝8x ，得抛物线的准线方程为x ＝－2，因P 点到焦点的距离为9，故P 点的横坐标为7.由y 2＝8×7，得y ＝±214，即P (7，±214)．8. 解：如图．|PA |＋|PQ |＝|PA |＋|PF |≥|AF |min .AF 的最小值为F 到直线3x －4y ＋72＝0的距离．d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×12＋7232＋42＝1.9. 解：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．依题意知，点P (10，－4)在抛物线上， 所以100＝－2p ×(－4)， 2p ＝25.即抛物线方程为x 2＝－25y . 因为每4米需用一根支柱支撑， 所以支柱横坐标分别为－6，－2，2，6. 由图知，AB 是最长的支柱之一， 设点B 的坐标为(2，y B )， 代入x 2＝－25y ，得y B ＝－425.所以|AB |＝4－425＝3.84(米)，即最长支柱的长为3.84米． 10. 解：如图所示，(1)依题意，设该抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)， 因为点C (5，－5)在抛物线上， 所以该抛物线的方程为x 2＝－5y . (2)设车辆高h ，则|DB |＝h ＋0.5， 故D (3.5，h －6.5)，代入方程x 2＝－5y ，解得h ＝4.05， 所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米．能力提升综合练1. 解析：选C ∵抛物线y 2＝2px 的准线x ＝－p2与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，∴－p2＝－1，即p ＝2.2. 解析：选C 将方程化为标准形式是x 2＝112y ，因为2p ＝112，所以p ＝124.故到焦点的距离最小值为148.3. 解析：选D 已知条件可等价于“动点到点(3，0)的距离等于它到直线x ＝－3的距离”，由抛物线的定义可判断，动点的轨迹为抛物线，故选D.4. 解析：选C ∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54. 5. 解析：根据抛物线的定义得1＋p2＝5，解得p ＝8.不妨取M (1，4)，则AM 的斜率为2，由已知得－a ×2＝－1，故a ＝14.答案：146. 解析：如图所示，直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，与准线方程x ＝－2联立得A (－2，43)．设P (x 0，43)，代入抛物线y 2＝8x ，得8x 0＝48，∴x 0＝6， ∴|PF |＝x 0＋2＝8. 答案：87. 解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2，准线l ：y ＝p 2，作MN ⊥l ，垂足为N ，则|MN |＝|MF |＝5，而|MN |＝3＋p2＝5，即p ＝4.所以抛物线方程为x 2＝－8y ，准线方程为y ＝2. 由m 2＝－8×(－3)＝24，得m ＝±2 6.法二：设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2.∵M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5，故⎩⎨⎧m 2＝6p ，m 2＋⎝⎛⎭⎪⎫－3＋p 22＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝±2 6.∴抛物线方程为x 2＝－8y ，m ＝±26，准线方程为y ＝2. 8. 解：设P 点坐标为(x ，y )，动圆的半径为R ， ∵动圆P 与y 轴相切， ∴R ＝|x |.∵动圆与定圆C ：(x －5)2＋y 2＝25外切， ∴|PC |＝R ＋5. 即|PC |＝|x |＋5.当点P 在y 轴右侧时，即x >0， 则|PC |＝x ＋5，故点P 的轨迹是以(5，0)为焦点的抛物线， 则圆心P 的轨迹方程为y 2＝20x (x >0)； 当点P 在y 轴左侧时，即x <0， 则|PC |＝－x ＋5，此时点P 的轨迹是x 轴的负半轴，即方程y ＝0(x <0)． 故点P 的轨迹方程为y 2＝20x (x >0)或y ＝0(x <0)．2019-2020年高中数学课时达标训练十二新人教A 版选修题组1 抛物线的几何性质1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )A ．(6，＋∞)B ．[6，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)2．已知抛物线的对称轴为x 轴，顶点在原点，焦点在直线2x －4y ＋11＝0上，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝－11x B ．y 2＝11x C ．y 2＝－22x D ．y 2＝22x 题组2 抛物线的焦点弦问题3．过抛物线y 2＝8x 的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( ) A ．8 B ．16 C ．32 D ．644．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作一直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则k OA ·k OB 的值为( )A ．4B ．－4C ．p 2D ．－p 25．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝________．6．线段AB 是抛物线y 2＝x 的一条焦点弦，且|AB |＝4，则线段AB 的中点C 到直线x ＋12＝0的距离为________．题组3 直线与抛物线的位置关系7．已知直线y ＝kx －k 及抛物线y 2＝2px (p >0)，则( ) A ．直线与抛物线有一个公共点 B ．直线与抛物线有两个公共点 C ．直线与抛物线有一个或两个公共点 D ．直线与抛物线可能没有公共点8．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2，2] C ．[－1，1] D ．[－4，4]9．在抛物线y 2＝2x 上求一点P .使P 到直线x －y ＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．10．如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，求此抛物线的方程．[能力提升综合练]1．设AB 为过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，则|AB |的最小值为( ) A.p2 B ．p C ．2p D ．无法确定2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－23．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影为A 1、B 1，则∠A 1FB 1等于( )A ．45°B ．90°C ．60°D ．1204．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A.45B.35 C ．－35 D ．－455．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k ＝________．6．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF为等边三角形，则p ＝________．7．已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点F 是抛物线的焦点．(1)证明：y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)求1|AF |＋1|BF |的值．8．如图，已知两条抛物线E 1：y 2＝2p 1x (p 1>0)和E 2：y 2＝2p 2x (p 2>0)，过原点O 的两条直线l 1和l 2，l 1与E 1，E 2分别交于A 1，A 2两点，l 2与E 1，E 2分别交于B 1，B 2两点．(1)证明：A 1B 1∥A 2B 2；(2)过原点O 作直线l (异于l 1，l 2)与E 1，E 2分别交于C 1，C 2两点．记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2的值．答 案 即时达标对点练1. 解析：选D ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3， ∴p2＝3，即p ＝6. 又抛物线上的点到准线的距离的最小值为p2，∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)． 2. 解析：选C 在方程2x －4y ＋11＝0中， 令y ＝0得x ＝－112，∴抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112，0，即p 2＝112，∴p ＝11， ∴抛物线的方程是y 2＝－22x ，故选C.3. 解析：选B 由抛物线y 2＝8x 的焦点为(2，0)， 得直线的方程为y ＝x －2，代入y 2＝8x 得(x －2)2＝8x ， 即x 2－12x ＋4＝0.∴x 1＋x 2＝12，弦长＝x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16. 4. 解析：选B k OA ·k OB ＝＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2，根据焦点弦的性质x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，故k OA ·k OB ＝－p2p24＝－4.5. 解析：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 答案：86. 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由于|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4， ∴x 1＋x 2＝4－12＝72，∴中点C (x 0，y 0)到直线x ＋12＝0的距离为x 0＋12＝x 1＋x 22＋12＝74＋12＝94.答案：947. 解析：选C ∵直线y ＝kx －k ＝k (x －1)， ∴直线过点(1，0)．又点(1，0)在抛物线y 2＝2px 的内部．∴当k ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k ≠0时，直线与抛物线有两个公共点． 8. 解析：选C 准线x ＝－2，Q (－2，0)， 设l ：y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），y 2＝8x ，得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0. 当k ＝0时，即交点为(0，0)，当k ≠0时，Δ≥0，－1≤k <0或0<k ≤1. 综上，k 的取值范围是[－1，1]．9. 解：法一：设P (x 0，y 0)是y 2＝2x 上任一点，则点P 到直线l 的距离d ＝|x 0－y 0＋3|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 202－y 0＋32＝||（y 0－1）2＋522，当y 0＝1时，d min ＝524，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 法二：设与抛物线相切且与直线x －y ＋3＝0平行的直线方程为x －y ＋m ＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，y 2＝2x ，得y 2－2y ＋2m ＝0，∵Δ＝(－2)2－4×2m ＝0， ∴m ＝12.∴平行直线的方程为x －y ＋12＝0，此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离，则d min ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－122＝524，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.10. 解：过A 、B 分别作准线的垂线AA ′、BD ，垂足分别为A ′、D ，则|BF |＝|BD |，又2|BF |＝|BC |，∴在Rt △BCD 中，∠BCD ＝30°. 又|AF |＝3，∴|AA ′|＝3，|AC |＝6，|FC |＝3. ∴F 到准线距离p ＝12|FC |＝32.∴y 2＝3x .能力提升综合练1. 解析：选C 当AB 垂直于对称轴时，|AB |取最小值，此时AB 即为抛物线的通径，长度等于2p .2. 解析：选B 抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p2，代入y 2＝2px 得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 22＝p ＝2(y 1，y 2分别为点A ，B 的纵坐标)，所以抛物线方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1.3. 解析：选B 如图，由抛物线定义知|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，所以∠AA 1F ＝∠AFA 1.又∠AA 1F ＝∠A 1FO ， 所以∠AFA 1＝∠A 1FO ， 同理∠BFB 1＝∠B 1FO . 于是∠AFA 1＋∠BFB 1＝∠A 1FO ＋∠B 1FO ＝∠A 1FB 1， 故∠A 1FB 1＝90°.4. 解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2x －4得x 2－5x ＋4＝0，∴x ＝1或x ＝4.5. 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1>0，x 2>0，y 1>0，y 2>0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0， ∴x 1x 2＝4， ① ∵|FA |＝x 1＋p2＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋p2＝x 2＋2，且|FA |＝2|FB |，∴x 1＝2x 2＋2. ② 由①②得x 2＝1，∴B (1，22)，代入y ＝k (x ＋2)，得k ＝223.答案：2236. 解析：抛物线的焦点坐标F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线方程为y ＝－p 2.代入x 23－y 23＝1得|x |＝ 3＋p 24.要使△ABF 为等边三角形，则tan π6＝|x |p＝3＋p 24p＝33，解得p 2＝36，p ＝6. 答案：67. 解：(1)证明：过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2或x ＝p2.当直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，得ky 2－2py －kp 2＝0. ∵AB 与抛物线有两个交点， ∴k ≠0.由韦达定理得y 1y 2＝－p 2. 又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝（y 1y 2）24p 2＝p 24. 当直线AB 的方程为x ＝p 2时，x 1x 2＝p 24，y 1＝p ，y 2＝－p ，∴y 1y 2＝－p 2.(2)设直线AB ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2或x ＝p2.当直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2时，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，消去y ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋k 2p 24＝0. ∵AB 与抛物线有两个交点， ∴k ≠0.∴x 1＋x 2＝p （k 2＋2）k 2，x 1x 2＝p 24.又|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2， ∴|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p . |AF |·|BF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 2(x 1＋x 2)＋p 22＝p 2(x 1＋x 2＋p )＝p2()|AF |＋|BF |， 即|AF |＋|BF |＝2p·|AF |·|BF |，∴1|AF |＋1|BF |＝2p. 当直线AB 的方程为x ＝p2时，x 1＝x 2＝p2，y 1＝p ，y 2＝－p ，∴|AF |＝|BF |＝p ，∴1|AF |＋1|BF |＝2p.8. 解：(1)证明：设直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k 1x ，y ＝k 2x (k 1，k 2≠0)， 则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 1x ，⇒A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 1k 21，2p 1k 1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 2x ，⇒A 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 2k 21，2p 2k 1，同理可得B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 1k 22，2p 1k 2，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 2k 22，2p 2k 2， 所以＝⎝⎛⎭⎪⎫2p 1k 22－2p 1k 21，2p 1k 2－2p 1k 1 ＝2p 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1＝⎝⎛⎭⎪⎫2p 2k 22－2p 2k 21，2p 2k 2－2p 2k 1 ＝2p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1，所以A 1B 1∥A 2B 2.(2)由(1)知A 1B 1∥A 2B 2，同理可得B 1C 1∥B 2C 2，A 1C 1∥A 2C 2， 所以△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，故S 1S 2＝p 21p 22.。