2019-2020年高中数学课时达标训练十二抛物线及其标准方程新人教A版选修

2019-2020年高中数学课时达标训练十二抛物线及其标准方程新人教A 版

选修

题组1 由抛物线方程求焦点坐标和准线方程 1．对抛物线y ＝4x 2

，下列描述正确的是( ) A ．开口向上，焦点为(0，1) B ．开口向上，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 C ．开口向右，焦点为(1，0) D ．开口向右，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 2．抛物线y ＝－x 2

8的准线方程是( )

A ．x ＝132

B ．y ＝2

C ．x ＝1

4

D ．y ＝4

3．抛物线y 2

＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是( ) A.

|a |4 B.|a |2 C ．|a | D ．－a 2

题组2 求抛物线的标准方程

4．焦点是F (0，5)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2

＝20x B ．x 2

＝20y C ．y 2＝120x D ．x 2

＝120

y

5．顶点在原点，且过点(－4，4)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2

＝－4x B ．x 2

＝4y

C ．y 2

＝－4x 或x 2

＝4y D ．y 2

＝4x 或x 2

＝－4y 题组3 抛物线定义的应用

6．设圆C 与圆x 2

＋(y －3)2

＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆

7．若抛物线y 2

＝8x 上一点P 到其焦点F 的距离为9，则点P 的坐标为( ) A ．(7，±14) B ．(14，±14) C ．(7，±214) D ．(－7，±214)

8．若点P 是抛物线y 2

＝2x 上的一个动点，求点P 到直线3x －4y ＋72＝0的距离与P 到

该抛物线的准线的距离之和的最小值．

题组4 抛物线方程的实际应用

9．某抛物线拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．

10．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少有0.5米．

(1)以抛物线的顶点为原点O ，其对称轴所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；

(2)若行车道总宽度AB 为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?

[能力提升综合练]

1．已知抛物线y 2

＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2

＋y 2

＝16相切，则p 的值为( ) A.1

2 B ．1 C ．2 D ．4

2．抛物线y ＝12x 2上的点到焦点的距离的最小值为( ) A ．3 B ．6 C.148 D.1

24

3．动点到点(3，0)的距离比它到直线 x ＝－2的距离大1，则动点的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．双曲线的一支 D ．抛物线

4．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段

AB 的中点到y 轴的距离为( )

A.3

4 B ．1 C.54 D.74

5．已知抛物线y 2

＝2px (p >0)上一点M (1，m )到其焦点的距离为5，双曲线x 2

－y 2

a

＝1的

左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a ＝________．

6．设抛物线y 2

＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如

果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________．

7．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．

8．已知圆C 的方程x 2

＋y 2

－10x ＝0，求与y 轴相切且与圆C 外切的动圆圆心P 的轨迹方程．

答 案 即时达标对点练

1. 解析：选B 由y ＝4x 2，得x 2

＝14y ，故抛物线开口向上，且焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116.

2. 解析：选B 由y ＝－x 2

8，得x 2

＝－8y ，故抛物线开口向下，其准线方程为y ＝2.

3. 解析：选B ∵2p ＝|a |，∴p ＝|a |2.∴焦点到准线的距离是|a |

2

.

4. 解析：选B 由5＝p

2得p ＝10，且焦点在y 轴正半轴上，故方程形式为x 2

＝2py ，所

以x 2

＝20y .

5. 解析：选C 设抛物线方程为y 2

＝－2p 1x 或x 2

＝2p 2y ，把(－4，4)代入得16＝8p 1或16＝8p 2，即p 1＝2或p 2＝2.

故抛物线的标准方程为y 2

＝－4x 或x 2＝4y .

6. 解析：选A 由题意知，圆C 的圆心到点(0，3)的距离比到直线 y ＝0的距离大1，即圆C 的圆心到点(0，3)的距离与到直线y ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线．

7. 解析：选C 由y 2

＝8x ，得抛物线的准线方程为x ＝－2，因P 点到焦点的距离为9，故P 点的横坐标为7.由y 2＝8×7，得y ＝±214，即P (7，±214)．

8. 解：如图．

|PA |＋|PQ |＝|PA |＋|PF |≥|AF |min .

AF 的最小值为F 到直线3x －4y ＋72

＝0的距离．