第26章《二次函数》小结与复习(1)
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第26章《二次函数》小结与复习(1)
教学目标:
明白得二次函数的概念,把握二次函数y =ax2的图象与性质;会用描点法画抛物线,能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向,能较熟练地由抛物线y =ax2通过适当平移得到y =a(x -h)2+k 的图象。
重点难点:
1.重点:用配方法求二次函数的顶点、对称轴,依照图象概括二次函数y =ax2图象的性质。
2.难点:二次函数图象的平移。
教学过程:
一、结合例题精析,强化练习,剖析知识点
1.二次函数的概念,二次函数y =ax 2 (a ≠0)的图象性质。
例:函数4m m 2x )2m (y -++=是关于x 的二次函数,求:(1)满足条件的m 值;(2)m 为何值时,抛物线有最低点?求出那个最低点.这时当x 为何值时,y 随x 的增大而增大?(3)m 为何值时,函数有最大值?最大值是什么?这时当x 为何值时,y 随x 的增大而减小?
学生活动:学生四人一组进行讨论,并回忆例题所涉及的知识点,让学生代表发言分析解题方法,以及涉及的知识点。
教师精析点评,二次函数的一样式为y =ax 2+bx +c(a ≠0)。强调a ≠0.而常数b 、c 能够为0,当b ,c 同时为0时,抛物线为y =ax 2(a ≠0)。现在,抛物线顶点为(0,0),对称轴是y 轴,即直线x =0。
(1)使4m m 2x )2m (y -++=是关于x 的二次函数,那么m 2+m -4=2,且m +2≠0,即: m 2+m -4=2,m +2≠0,解得;m =2或m =-3,m ≠-2
(2)抛物线有最低点的条件是它开口向上,即m +2>0,
(3)函数有最大值的条件是抛物线开口向下,即m +2<0。
抛物线的增减性要结合图象进行分析,要求学生画出草图,渗透数形结合思想,进行观看分析。 强化练习;函数m m 2x )1m (y ++=是二次函数,其图象开口方向向下,那么m =_____,顶点为_____,当x_____0时,y 随x 的增大而增大,当x_____0时,y 随x 的增大而减小。
2。用配方法求抛物线的顶点,对称轴;抛物线的画法,平移规律,例:用配方法求出抛物线y =-3x 2-6x +8的顶点坐标、对称轴,并画出函数图象,讲明通过如何样的平移,可得到抛物线y =-3x 2。
学生活动:小组讨论配方方法,确定抛物线画法的步骤,探究平移的规律。充分讨论后让学生代表归纳解题方法与思路。
教师归纳点评:
(1)教师在学生合作讨论基础上强调配方的方法及配方的意义,指出抛物线的一样式与顶点
式的互化关系: y =ax 2+bx +c ————→y =a(x +b 2a )2+4ac -b 24a
(2)强调利用抛物线的对称性进行画图,先确定抛物线的顶点、对称轴,利用对称性列表、描点、连线。
(3)抛物线的平移抓住关键点顶点的移动,分析完例题后归纳;
投影展现:
强化练习:
(1)抛物线y=x2+bx+c的图象向左平移2个单位。再向上平移3个单位,得抛物线y=x2-2x+1,求:b与c的值。
(2)通过配方,求抛物线y=1
2
x2-4x+5的开口方向、对称轴及顶点坐标,再画出图象。
3.知识点串联,综合应用。
例:如图,直线AB通过x轴上的点A(2,0),且与抛物线y=
ax2相交于B、C两点,B点坐标为(1,1)。
(1)求直线和抛物线的解析式;
(2)假如D为抛物线上一点,使得△AOD与△OBC的面积相等,
求D点坐标。
学生活动:开展小组讨论,体验用待定系数法求函数的解析式。
教师点评:(1)直线AB过点A(2,0),B(1,1),代入解析式y
=kx+b,可确定k、b,抛物线y=ax2过点B(1,1),代人可确定a。
求得:直线解析式为y=-x+2,抛物线解析式为y=x2。
(2)由y=-x+2与y=x2,先求抛物线与直线的另一个交点C的坐标为(-2,4),S△OBC=S△ABC-S△OAB=3。∵ S△AOD=S△OBC,且OA=2 ∴ D的纵坐标为3 又∵ D在抛物线y=x2上,∴x2=3,即x=± 3 ∴ D(-3,3)或(3,3) 强化练习:函数y=ax2(a≠0)与直线y=2x-3交于点A(1,b),求:
(1)a和b的值;
(2)求抛物线y=ax2的顶点和对称轴;
(3)x取何值时,二次函数y=ax2中的y随x的增大而增大,
(4)求抛物线与直线y=-2两交点及抛物线的顶点所构成的三角形面积。
二、课堂小结
1.让学生反思本节教学过程,归纳本节课复习过的知识点及应用。
2。投影:完成下表:
三、作业:
作业优化设计
一、填空。
1.假设二次函数y =(m +1)x 2+m 2-2m -3的图象通过原点,那么m =______。
2.函数y =3x 2与直线y =kx +3的交点为(2,b),那么k =______,b =______。
3.抛物线y =-13(x -1)2+2能够由抛物线y =-13
x 2向______方向平移______个单位,再向______方向平移______个单位得到。 4.用配方法把y =-12x 2+x -52
化为y =a(x -h)2+k 的形式为y =__________________,其开口方向______,对称轴为______,顶点坐标为______。
二、选择。
1.函数y =(m -n)x 2+mx +n 是二次函数的条件是( )
A .m 、n 是常数,且m ≠0
B .m 、n 是常数,且m ≠n C. m 、n 是常数,且n ≠0 D. m 、n 能够为任意实数
2.直线y =mx +1与抛物线y =2x 2-8x +k +8相交于点(3,4),那么m 、k 值为( )
A .⎩⎨⎧m =1k =3
B .⎩⎨⎧m =-1k =2 C. ⎩⎨⎧m =1k =2 D. ⎩⎨⎧m =2k =1
3.以下图象中,当ab >0时,函数y =ax 2与y =ax +b 的图象是( )
三、解答题
1.函数
(1)当a 取什么值时,它为二次函数。
(2)当a 取什么值时,它为一次函数。
2.抛物线y =14x 2和直线y =ax +1 (1)求证:不论a 取何值,抛物线与直线必有两个不同舶交点。
(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是抛物线与直线的两个交点,P 为线段AB 的中点,且点P 的横坐标为x 1+x 22
,试用a 表示点P 的纵坐标。 (3)函数A 、B 两点的距离d =1+a 2|x 1-x 2|,试用a 表示d 。
(4)过点C(0,-1)作直线l 平行于x 轴,试判定直线l 与以AB 为直径的圆的位置关系,并讲明理由。