函数的概念解读
函数的概念解读课件
02
一次函数与二次函数
一次函数概念及性质
一次函数定义
一次函数是形如 $y = kx + b$ （其中 $k neq 0$）的函数，它 描述了两个变量之间的线性关系
。
斜率 $k$
表示函数的增减性。当 $k > 0$ 时，函数递增；当 $k < 0$ 时，
函数递减。
截距 $b$
表示函数图像与 $y$ 轴交点的纵 坐标。当 $b > 0$ 时，交点在 $y$ 轴正半轴；当 $b < 0$ 时， 交点在 $y$ 轴负半轴；当 $b = 0$ 时，函数图像经过原点。
反函数的性质
反函数的图像关于直线$y=x$对称；原函数与反函数的单调性相反。
复合函数与反函数关系
复合函数与反函数的联系
复合函数与反函数都是基于已知函数构造新函数的方法，它们之间存在一定的联系。例如，一个复合函数的反函 数可以通过逐步求反得到。
复合函数与反函数的区别
复合函数是通过将一个函数的输出作为另一个函数的输入来构造的，而反函数则是通过交换原函数的输入和输出 来构造的。此外，复合函数的定义域和值域可能发生变化，而反函数的定义域和值域则是原函数的值域和定义域 。
复合函数的性质
复合函数保持原函数的增减性、奇偶性、周期性等性质。
反函数概念及性质
反函数的定义
设函数$y=f(x)$的定义域为$D_f$，值域为$R_f$。如果存在一个函数$x=g(y)$ ，其定义域为$R_f$，值域为$D_f$，且对任意$x in D_f$，都有$g[f(x)]=x$，则 称函数$x=g(y)$为函数$y=f(x)$的反函数。
该点的函数值。
03
极限与连续在解决实际问题中的应用
网络函数的名词解释是什么
网络函数的名词解释是什么随着互联网和数字化技术的迅猛发展，网络函数成为了人们日常生活和工作中必不可少的一部分。
它是指在计算机网络中被程序调用的特定功能模块或代码段，用于完成特定的网络相关任务。
在本文中，我们将深入探讨网络函数的概念、分类、应用以及未来发展趋势。
一、概念解读网络函数可以简单地理解为在计算机网络中实现特定功能的代码段。
它能够对网络数据进行处理、分析和转发，以满足用户的需求。
网络函数既可以运行在网络设备的硬件上，如路由器、交换机，也可以运行在软件平台上，如虚拟机、容器。
无论是硬件还是软件，网络函数的主要目的都是提供一系列处理网络数据的能力。
二、分类讨论在网络函数的应用范围和功能上，可以将其分为几个主要类别。
1. 网络安全：网络安全函数用于保护计算机网络免受恶意攻击、数据泄露和未授权访问。
它包括防火墙、入侵检测系统、虚拟专用网等功能，用于加密通信、识别威胁和隔离恶意活动。
2. 网络管理：网络管理函数用于监控和管理计算机网络，以确保网络运行的顺畅和高效。
它包括网络性能监测、拓扑发现、流量监控等能力，可帮助管理员快速定位和解决网络故障。
3. 负载均衡：负载均衡函数用于将网络流量均匀地分布到多个服务器或设备上，以提高系统的性能和可靠性。
它通过分析当前负载情况，动态调整数据流的分发策略，实现高效的资源利用。
4. 数据压缩与加速：数据压缩与加速函数用于减少数据在网络传输过程中的带宽占用和延迟，提升用户体验和网络效率。
它可以通过压缩算法、缓存技术等方式实现对数据的高效处理和传输。
三、应用案例网络函数在互联网行业中有广泛的应用，以下列举几个典型案例。
1. 内容分发网络（CDN）：CDN是一种基于网络函数的解决方案，主要用于优化网络内容传输和分发。
它通过将用户的请求分发到距离最近的服务器上，减少响应时间和带宽占用，提升网站的访问速度和性能。
2. 虚拟专用网络（VPN）：VPN是一种通过网络函数来建立安全的加密隧道，用于在公共网络上传输私密数据。
《函数的概念》课标解读
《函数的概念》课标解读教材分析函数概念是数学的核心概念，它孕育于小学阶段，引入形成、巩固应用于初中阶段，深入研究始于高中阶段.从初中的“变量说”到高中阶段的“对应说”是对函数本质特征的进一步认识，也是学生认识上的一次飞跃.函数内容是高中数学学习的一条主线，是沟通代数、方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、导数等内容的桥梁，同时也是今后进一步学习高等数学的基础.本节作为起始课，是一节概念课.本节的重点是体会函数是描述变量之间的依赖关系的主要数学模型以及正确理解函数的概念，难点是函数概念及符号 的理解。
y f x()本节内容所涉及的主要核心素养有数学抽象、直观想象、数学建模、逻辑推理、数学运算.学情分析通过初中对函数知识的学习，学生在知识上已经具备了一定的知识经验和基础；在能力上，已经初步具备了运用数形结合思想解决问题的能力，但数形结合的意识和思维的深刻性还有待进一步加强；在情感方面，多数学生对本节新内容的学习，有相当的学习兴趣和积极性，但在探究问题的能力以及合作交流等方面的发展不均衡.总之，尽管本阶段的学生已经具备了一定的分析能力以及逻辑推理能力，但用两个集合间的对应来描述函数概念，是一个抽象过程，要求学生的抽象、分析、概括的能力比较高，学生学起来有一定的难度.教学建议鉴于学生可能不容易认识到函数概念的整体性，教学时建议多列举一些对应关系相同但定义域不同的函数，或定义域、值域相同但对应关系不同的函数，让学生在比较、判断中体会，提升学生数学抽象及逻辑推理素养.第1课时函数的概念学科核心素养目标与素养1.通过具体数学实例，在体会两个变量之间依赖关系的基础上，引导学生运用集合思想与对应的语言刻画函数概念，促进学生数学抽象核心素养的发展，达到水平二的要求.2.能够指出现实情境问题中函数的定义域和值域，达到数学计算核心素养水平一的要求.3.给出一个函数解析式，能够举出它所对应的问题情境，达到数学建模核心素养水平一的要求.情境与问题提出问题：有人说“根据对应关系350S t =，这趟列车加速到350 km/h 后，运行1h 就前进了350 km.”你认为这个说法正确吗由此引出函数的概念.内容与节点本课时内容是函数的概念，是高中三大主线之一的函数的基础，正确理解函数的概念，为后面的深层次的学习做铺垫.过程与方法1.通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上用集合语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，提升学生的数学抽象核心素养.2.通过对给定的函数解析式增加对应情境的过程，体会函数的实际作用，提高数学建模的核心素养.教学重点难点重点1.函数的概念.2.简单现实情境问题的定义域和值域.难点给定函数解析式，如何给出与其对应的现实情境.第2课时 函数概念的应用学科核心素养目标与素养通过区间概念的引入及具体数学实例的分析，进一步加深对函数概念的理解，让学生能熟练求简单函数的定义域和值域，掌握判断同一函数的标准，提升学生逻辑推理和数学运算核心素养，达到核心素养学业质量水平一的层次.情境与问题我们学习了函数的概念，你还记得它的概念吗y x =和||y x =是同一个函数吗如何判断函数是否相同呢通过这些紧密结合的问题，开始新课的学习.内容与节点本课时内容是函数概念的第二课时，核心内容是函数的三要素，涉及求定义域、值域，以及判断函数是否相同等问题，是后续继续深入学习函数知识的基础.过程与方法通过实例分析，让学生掌握求函数定义域的基本题型及方法，进一步加深对函数概念的理解，给定数值求函数的函数值，加深对对应法则的认识，提升学生逻辑推理、数学运算素养.教学重点难点重点能熟练求解常见函数的定义域和值域.难点理解同一函数的标准，尤其对函数的对应法则相同的理解.。
初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解11 一次函数 (解析版)
初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解专题11 一次函数【知识要点】考点知识一变量与函数变量：在一个变化过程中数值发生变化的量。
常量：在一个变化过程中数值始终不变的量。
【注意】1、变量是可以变化的，而常量是已知数，且它是不会发生变化的。
2、区分常量和变量就是在某个变化过程中该量的值是否发生变化。
函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
【函数概念的解读】1、有两个变量。
2、一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。
3、对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。
函数定义域：一般的，一个函数的自变量x允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
确定函数定义域的方法：（自变量取值范围）（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值。
函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
函数的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
画函数图像的一般步骤：1、列表2、描点3、连线函数图像上点的坐标与解析式之间的关系：1、将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在。
2、两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解。
函数的三种表示法及其优缺点1、解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
函数的概念与性质(公式、定理、结论图表)
第三章函数的概念与性质（公式、定理、结论图表）1．函数的概念定义一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域自变量x的取值范围值域与x的值相对应的y的函数值的集合{f(x)|x∈A}(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？提示：(1)这种看法不对．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x 允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x 的函数，一般情况下，它是一个变量，f (a )是f (x )的一个特殊值，如一次函数f (x )＝3x ＋4，当x ＝8时，f (8)＝3×8＋4＝28是一个常数．2．区间及有关概念 (1)一般区间的表示设a ，b ∈R ，且a <b ，规定如下：定义 名称 符号 数轴表示{x |a ≤x ≤b } 闭区间 [a ，b ] {x |a <x <b } 开区间 (a ，b ) {x |a ≤x <b } 半开半闭区间 [a ，b ) {x |a <x ≤b } 半开半闭区间(a ，b ](2)特殊区间的表示 定义 R{x |x ≥a } {x |x ＞a } {x |x ≤a } {x |x ＜a } 符号(－∞，＋∞)[a ，＋∞)(a ，＋∞)(－∞，a ](－∞，a )思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？ (2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号． 3.函数的表示法思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗？ 提示：不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈Q ，1，x ∈∁R Q .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段． 4.分段函数如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．思考：分段函数是一个函数还是几个函数？ 提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数． 5．增函数与减函数的定义条件一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ：如果∀x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时 都有f (x 1)＜f (x 2)都有f (x 1)＞f (x 2)结论那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图示12提示：定义中的x 1，x 2有以下3个特征：(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般； (2)有大小，通常规定x 1<x 2； (3)属于同一个单调区间． 2．函数的单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．思考2：函数y ＝1x 在定义域上是减函数吗？提示：不是．y ＝1x在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y ＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．6.函数最大值与最小值最大值 最小值条件设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：∀x ∈I ，都有f (x )≤Mf (x )≥M∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论 M 是函数y ＝f (x )的最大值 M 是函数y ＝f (x )的最小值 几何意义f (x )图象上最高点的纵坐标f (x )图象上最低点的纵坐标提示：不一定，只有定义域内存在一点x 0，使f (x 0)＝M 时，M 才是函数的最大值，否则不是．7.函数的奇偶性奇偶性 偶函数奇函数条件 设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I结论 f (－x )＝f (x )f (－x )＝－f (x )图象特点关于y 轴对称关于原点对称思考：具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？ 提示：定义域关于原点对称． 8．幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 9．幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1的图象如图所示：10．幂函数的性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12 y ＝x －1定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ≠0} 值域 R [0，＋∞)R [0，＋∞) {y |y ≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增函数x ∈[0，＋∞)时，增函数x ∈(－∞，0]时，减函数增函数增函数x ∈(0，＋∞)时，减函数x ∈(－∞，0)时，减函数函数模型 函数解析式一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) 二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)分段函数模型f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x )，x ∈D 1f 2(x )，x ∈D 2……f n (x ) ，x ∈Dn<解题方法与技巧>1．判断对应关系是否为函数的2个条件 (1)A ，B 必须是非空实数集．(2)A 中任意一元素在B 中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系． 2．判断函数相等的方法(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同． 典例1：(1)下列各组函数是同一函数的是( ) ①f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2x ； ②f (x )＝x 与g (x )＝x 2； ③f (x )＝x 0与g (x )＝1x0；④f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1. A ．①② B ．①③ C ．③④D ．①④(2)判断下列对应是不是从集合A 到集合B 的函数．①A ＝N ，B ＝N *，对应法则f ：对集合A 中的元素取绝对值与B 中元素对应； ②A ＝{－1,1,2，－2}，B ＝{1,4}，对应法则f ：x →y ＝x 2，x ∈A ，y ∈B ； ③A ＝{－1,1,2，－2}，B ＝{1,2,4}，对应法则f ：x →y ＝x 2，x ∈A ，y ∈B ； ④A ＝{三角形}，B ＝{x |x >0}，对应法则f ：对A 中元素求面积与B 中元素对应．(1)C [①f (x )＝－2x 3＝|x |－2x 与g (x )＝x －2x 的对应法则和值域不同，故不是同一函数． ②g (x )＝x 2＝|x |与f (x )＝x 的对应法则和值域不同，故不是同一函数． ③f (x )＝x 0与g (x )＝1x0都可化为y ＝1且定义域是{x |x ≠0}，故是同一函数．④f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1的定义域都是R ，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③④.故选C.](2)[解] ①对于A 中的元素0，在f 的作用下得0，但0不属于B ，即A 中的元素0在B 中没有元素与之对应，所以不是函数．②对于A 中的元素±1，在f 的作用下与B 中的1对应，A 中的元素±2，在f 的作用下与B 中的4对应，所以满足A 中的任一元素与B 中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．③对于A 中的任一元素，在对应关系f 的作用下，B 中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．④集合A 不是数集，故不是函数．] 3.函数求值的方法(1)已知f (x )的表达式时，只需用a 替换表达式中的x 即得f (a )的值. (2)求f (g (a ))的值应遵循由里往外的原则. 典例2：设f (x )＝2x 2＋2，g (x )＝1x ＋2， (1)求f (2)，f (a ＋3)，g (a )＋g (0)(a ≠－2)，g (f (2))． (2)求g (f (x ))．[思路点拨] (1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可； (2)把f (x )直接代入g (x )中便可得到g (f (x ))． [解] (1)因为f (x )＝2x 2＋2， 所以f (2)＝2×22＋2＝10，f (a ＋3)＝2(a ＋3)2＋2＝2a 2＋12a ＋20.因为g (x )＝1x ＋2，所以g (a )＋g (0)＝1a ＋2＋10＋2＝1a ＋2＋12(a ≠－2)． g (f (2))＝g (10)＝110＋2＝112. (2)g (f (x ))＝1f (x )＋2＝12x 2＋2＋2＝12x 2＋4.4.求函数定义域的常用方法(1)若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零. (2)若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零.(3)若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合. (4)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集. (5)若f (x )是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义. 典例3：1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？提示：不可以．如f (x )＝x ＋1x 2－1.倘若先化简，则f (x )＝1x －1，从而定义域与原函数不等价． 2．若函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y ＝f (x )的定义域是什么？提示：[1,2]是自变量x 的取值范围． 函数y ＝f (x )的定义域是x ＋1的范围[2,3]． 5.分段函数求函数值的方法：(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值． 6.．已知函数值求字母取值的步骤：(1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．典例4：求下列函数的定义域： (1)f (x )＝2＋3x －2； (2)f (x )＝(x －1)0＋2x ＋1； (3)f (x )＝3－x ·x －1； (4)f (x )＝(x ＋1)2x ＋1－1－x .[思路点拨] 要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可． [解] (1)当且仅当x －2≠0，即x ≠2时， 函数f (x )＝2＋3x －2有意义， 所以这个函数的定义域为{x |x ≠2}．(2)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，2x ＋1≥0，x ＋1≠0，解得x >－1且x ≠1，所以这个函数的定义域为{x |x >－1且x ≠1}．(3)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，x －1≥0，解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x |1≤x ≤3}．(4)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，解得x ≤1且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52的值；(2)若f (a )＝3，求实数a 的值．[解] (1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3－2 3.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－52＋1＝－32， 而－2<－32<2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－3＝－34.(2)当a ≤－2时，a ＋1＝3， 即a ＝2>－2，不合题意，舍去． 当－2<a <2时，a 2＋2a ＝3， 即a 2＋2a －3＝0. ∴(a －1)(a ＋3)＝0， 解得a ＝1或a ＝－3.∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)， ∴a ＝1符合题意．当a ≥2时，2a －1＝3，即a ＝2符合题意． 综上可得，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2. 7.利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值：设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2.(2)作差变形：作差f (x 1)－f (x 2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子.(3)定号：确定f (x 1)－f (x 2)的符号.(4)结论：根据f (x 1)－f (x 2)的符号及定义判断单调性.提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式. 典例5：证明函数f (x )＝x ＋1x在(0,1)上是减函数．[思路点拨] 设元0<x 1<x 2<1―→作差：f (x 1)－f (x 2) ――→变形判号：f (x 1)>f (x 2)――→结论减函数[证明] 设x 1，x 2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2∵0<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1，则－1＋x 1x 2<0， ∴(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )＝x ＋1x在(0,1)上是减函数．8.函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.(2)若一个函数在区间[a ，b ]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的. 典例6：(1)若函数f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是________．(2)已知函数y ＝f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，且f (2x －3)>f (5x －6)，则实数x 的取值范围为________．[思路点拨] (1)分析f (x )的对称轴与区间的关系――→数形结合建立关于a 的不等式――→求a 的范围 (2)f (2x －3)>f (5x －6)――――――――――――――――→f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数建立关于x 的不等式――→ 求x 的范围 (1)(－∞，－4] (2)(－∞，1) [(1)∵f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3的开口向下，要使f (x )在(－∞，3]上是增函数，只需－(a ＋1)≥3，即a ≤－4. ∴实数a 的取值范围为(－∞，－4]．(2)∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，且f (2x －3)>f (5x －6)， ∴2x －3>5x －6，即x <1.∴实数x 的取值范围为(－∞，1)．]9．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． 2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，则f (x )在区间[a ，b ]上的最小(大)值是f (a )，最大(小)值是f (b )．(2)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，在区间[b ，c ]上是减(增)函数，则f (x )在区间[a ，c ]上的最大(小)值是f (b )，最小(大)值是f (a )与f (c )中较小(大)的一个．提醒：(1)求最值勿忘求定义域．(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意． 典例7：已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1.(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．[解] (1)f (x )在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1<x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)，因为－1<x 1<x 2⇒x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0⇒f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． (2)由(1)知f (x )在[2,4]上单调递增， 所以f (x )的最小值为f (2)＝2×2＋12＋1＝53，最大值f (4)＝2×4＋14＋1＝95.10.解实际应用题的四个步骤(1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系. (2)建模：建立数学模型，列出函数关系式.(3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围). (4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案.典例8：一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x >20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资) (1)求y (万元)与x (件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？[解] (1)当0<x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x >20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋32x －100，0<x ≤20，160－x ，x >20(x ∈N *)． (2)当0<x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，y max ＝156.而当x >20时，160－x <140，故x ＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元．即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元．11.巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y 轴对称.(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题.典例9：已知奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f (x )<0的x 的取值集合．[解] (1)因为函数f (x )是奇函数，所以y ＝f (x )在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y ＝f (x )在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示． (2)由图象知，使函数值y <0的x 的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．12.比较大小的求解策略,看自变量是否在同一单调区间上.(1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.典例10：函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( ) A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1) D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 [思路点拨] y ＝f (x ＋2)是偶函数―→f (x )的图象关于x ＝2对称――→[0，2]上递增比较大小B [∵函数f (x ＋2)是偶函数，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，又f (x )在[0,2]上单调递增，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.] 13.判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.典例11：(1)在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3(2)若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值等于________． (1)B (2)13 [(1)∵y ＝1x2＝x －2，∴是幂函数； y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数．(2)设f (x )＝x α，∵f (4)＝3f (2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log 23，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝13.] 14.解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x －1或y ＝x 12或y ＝x 3)来判断.典例12：点(2，2)与点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，有： (1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．[解] 设f (x )＝x α，g (x )＝x β.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12， ∴α＝2，β＝－1，∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；(3)当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)．。
函数、反函数、复合函数的概念解读
函数、反函数、复合函数的概念若在某变化过程中，对变量x在一定范围D内的每个值，按某个对应法则，变量y有唯一的值与它对应，则称y是x的函数，记作y＝(f)x，x∈D．x叫自．变量．．．．函．．．．．．．与x的值a对应的y的值f(a)叫函数值．．．x的取值范围D叫函数的定义域数值的集合叫函数的值域．．．．．．按近代观点，函数就是定义域到值域上的映射．设a、b是两个实数，且a＜b．数集{x|a≤x≤b}叫闭区间．．．，记作[a，b]．数集｛x|a＜x＜b｝叫开区间．．．，记作(a，b)．数集｛x|a≤x＜b｝、与｛x|a＜x≤b｝都叫半开半闭区间．．．．．．，分别记作[a,b)（a,b]．数集｛x| x≤a｝、｛x|x＜a｝、｛x|a ≤x｝、｛x|a＜x｝分别记作（－∞，a]、（－∞,a）、[a，＋∞）、(a，＋∞)，而实数集R可记作．(－∞，＋∞)以自变量与函数的对应值作为点的坐标(x，y)，坐标平面的点集{(x，y)|y＝f(x)，x∈D}构成图形．．．，它形象的表示函数的性态．．．，称为函数y＝f(x)的图像若确定函数y＝f(x)的映射f：A→B是可逆映射，则它的逆映射f－1: B→A确定的函数x＝f－1(y)叫做函数y＝f(x)的反函数．．．．函数y＝f(x)的定义域、值域分别是反函数x＝f－1 (y)的值域、定义域．习惯上一般用x表示自变量，用y 表示函数，把函数y＝f(x)的反函数记作y＝f－1(x)．因为点(x，y)与(y，x)关于直线y＝x对称，故函数y＝f(x)与其反函数y ＝f－1(x)的图像关于直线y＝x对称．复合映射：g·f：A→C，x→g[f(x)]其中g的定义域B⊇f(A)，相应确定复．合函数．．．g．[f(x)]．利用复合函数的概念，可以把一个复杂的函数分解为一些简单函数的复合，从而化繁为简．。
函数的图像1解读
变量与常量
变量：
在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量。
常量：
在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量。
复 习
函 数
在一个变化过程中，如果有两个变 量x与y，并且对于x的每一个确定的值， y都有唯 一确定的值与其对应，那么我 们就说y是x的函数。 如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量x 的值为a时y的函数值。
一、由函数图象的定义可知：
(1)函数图象上的点一定满足函数解析式。
(2)满足函数解析式的点的一定在函数图象上。 即：函数图象上的点与函数的每一对对应值是一一 对应的。 二、判断点在函数图象上的方法： 将这个点的坐标(x, y)代入函数解析式中，若满 足函数解析式，那么点就在函数的图象上；如果不满 足函数解析式，那么点就不在函数的图象上。
象有什么性质？
1.判断点A(-2.5,4) 、B(1,3) 、C(2.5,4) 是否在函数y=2x-1的图象上; 点C 2.点D(17,30)和点E(-8,-17)在函数y=2x-1 的图象上吗?为什么? 点E 3.已知点F(-3,a)和G(b,9)在函数y=2x-1的图象 5 上,则a=_____,b=______. -7
如何在坐标系中表示S=x2？
(1) 列表:
x S
0 0
0.5
0.25
1 1.5
1 2.25
2
4
2.5
3 3.5
4
6.25 9 12.25 16
(2)描点：表示与的对应的点有无数个，但是 实际上我们只能描出其中有限个点，同时想 象出其他点的位置．
（3）连线：用平滑的曲线去连接画出的点．
描点法画函数图象的一般步骤 :
x
当 x = 6时, y=10 – 2x
人教版年级知识点解读初中数学中的三角函数
人教版年级知识点解读初中数学中的三角函数数学是一门基础学科，也是一门能够帮助我们认识世界和解决问题的学科。
而在初中数学中，三角函数是一个非常重要的知识点。
本文将对人教版初中数学教材中关于三角函数的知识点进行解读。
一、正弦、余弦和正切的基本概念在初中数学中，我们学习到了正弦、余弦和正切这三个基本的三角函数。
正弦函数、余弦函数和正切函数分别用sin、cos和tan表示。
正弦函数是一个周期函数，可以用于描述一个物体在垂直方向上的振动情况；余弦函数是一个周期函数，可以用于描述一个物体在水平方向上的运动情况；正切函数是一个周期函数，可以用于描述一个物体在斜面上的运动情况。
二、角度和弧度的转换在三角函数的学习中，我们经常会涉及到角度和弧度的转换。
角度是我们常见的衡量角度大小的方式，弧度则是一种相对较为抽象的衡量角度大小的方式。
在计算中，我们常将角度转化为弧度进行运算。
转换公式为：弧度 = 角度× π / 180。
同时，我们也可以将弧度转化为角度进行计算。
转换公式为：角度 = 弧度× 180 / π。
三、三角函数的性质和基本公式三角函数具有一些重要的性质和基本公式。
例如，正弦函数和余弦函数的值在同一周期内是相等的，即sinθ = cos(θ + π/2)；对于任意的角θ，有sin²θ + cos²θ = 1；正切函数和余切函数的值也在同一周期内是相等的，即tanθ = cot(θ + π/2)；对于任意的角θ，有1 + tan²θ = sec²θ。
这些性质和基本公式在解决三角函数相关问题时非常有用，我们需要熟练掌握，并能够灵活运用。
四、三角函数之间的关系在三角函数的学习中，我们还需要了解三角函数之间的关系。
在直角三角形中，正弦函数、余弦函数和正切函数可以相互关联。
例如，在一个直角三角形中，sinθ = 对边/斜边，cosθ = 临边/斜边，tanθ = 对边/临边。
高考数学总复习考点知识专题讲解3---函数及其表示
(2)下列四组函数中，表示相等函数的一组是( D ) A．f(x)＝ x＋1· x－1，g(x)＝ x2－1 B．f(x)＝ x2，g(x)＝( x)2 C．f(x)＝xx2－－11，g(x)＝x＋1 D．f(x)＝|x|，g(t)＝ t2
[解析] (1)①是映射，也是函数 ②不是映射，更不是函数 ③不是映射，更不是函数 ④是映射，但不是函数
[解析] 二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象
过原点，可设二次函数g(x)的解析式为g(x)＝ax2＋
bx(a≠0)，可得
a＋b＝1， a－b＝5，
解得a＝3，b＝－2，所以二次
函数g(x)的解析式为g(x)＝3x2－2x.故选B.
2．(2020·湖南衡阳第一中学月考)已知f(2x＋1)＝x2－ 2x，则f(3)＝___－__1___.
3．已知函数f(x)满足f(x)＋2f(－x)＝ex，则函数f(x)的解 析式为_____f(_x_)_＝__23_e－_x_－__13_e_x _____．
[解析] f(x)＋2f(－x)＝ex①， f(－x)＋2f(x)＝e－x②， ①②联立消去f(－x)得3f(x)＝2e－x－ex， ∴f(x)＝23e－x－13ex.
A叫做函数的 定义域 ；与x的值相对应的y值叫做函数值， 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 值域 ．
(2)函数的三要素是： 定义域 、 值域 和对应关系．
3．表示函数的常用方法 列表法 、 图象法 和解析法． 4．分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有 着不同的 对应法则 ，这种函数称为分段函数．
[思路引导] 设f(x)＝ax＋b(a≠0)→代入已知条件→解 出a、b→得f(x)．
2024届新高考一轮总复习人教版 第二章 第1节 函数的概念及其表示 课件(32张)
考点 2 函数的解析式
【典例引领】
[例 1] (1)(一题多法)已知 f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，则 f(x)＝________.
t－1
t－1
t－1
解析：法一(换元法) 令 2x＋1＝t(t∈R)，则 x＝ 2 ，所以 f(t)＝4( 2 )2－6· 2 ＋
5＝t2－5t＋9(t∈R)，所以 f(x)＝x2－5x＋9(x∈R).
3．函数的表示法 表示函数的常用方法有_解__析__法___、图象法和_列__表__法___． 4．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因_对__应__关__系___不同而分别用几个不同的式子来 表示，这种函数称为分段函数． (2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各 段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
解析：因为 f(x)＝1x＋
x≠0， 1－x，所以1－x≥0，解得 x∈(－∞，0)∪(0，1].
答案：(－∞，0)∪(0，1]
4．已知函数 f(x)＝ln (ax2＋x＋1)的定义域为 R，则 a 的取值范围为________.
解析：由条件知，ax2＋x＋1>0 在 R 上恒成立，当 a＝0 时，x＋1>0，x>－1，不满
)
A．(0，4)
B．[0，2)∪(2，4]
C．(0，2)∪(2，4)
D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
4x－x2>0， 解析：使函数有意义，需满足x－2≠0， 解得 0<x<2 或 2<x<4.
答案：C
2．已知函数 f(x＋1)的定义域为( －2，0)，则 f(2x－1)的定义域为( )
A．(－1，0)
第5章-5.1-函数的概念和图象高中数学必修第一册苏教版
D. = 与 =
2
【解析】对于A，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于B， = 2 的定义域
是， = ⋅ 的定义域是[0, +∞)，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于C，
两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于D， = 的定义域是
， =
2
的定义域是{|
3
1,
2
.
3
.
2
3
2
1
2
D. − , 1
（2）(2024·江西省九江市期中)若函数 + 3 的定义域为[−2,4)，则函数 2 − 3
[, )
的定义域为______.
【解析】由题意知−2 ≤ < 4，则1 ≤ + 3 < 7，即 的定义域为[1,7)，所以
1 ≤ 2 − 3 < 7，解得2 ≤ < 5.
的定义域为
−1
> 0,
题型2 函数的求值问题
例12 已知函数 =
1
1+
≠ −1 , = 2 + 2.
（1）求 2 , 2 , + 1 的值;
【解析】将 = 2分别代入两个函数解析式中，得 2 =
1
1+2
=
1
,
3
2 = 22 + 2 = 6.
将 = + 1代入函数 = 2 + 2，
2 − 1 中,−1 ≤ 2 − 1 ≤ 8，
9
2
解得0 ≤ ≤ ，
9
2
故函数 2 − 1 的定义域为[0, ].
【学会了吗丨变式题】
1.(2024·湖南省长沙市期末)已知函数 =
第三章函数的概念与性质(单元解读)课件高一数学(人教A版必修第一册)
运算求解
能求出简单函数的定义域；能根据函数的表示方法，求出给定自变量所对应的函数值； 能将函数单调性的证明转化为程序化的运算问题。
六、单元教学建议 1.做好初高中衔接 2.使学生经历完整的概念学习过程 3.要重视“事实”的教学价值
4.函数概念的教学要采用“归纳式” 5.函数性质的教学
七、单元学习难点及其突破 1. 判断对应关系是否为函数的2个条件 (1)A,B 必须是非空实数集. (2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应. 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的 不是函数关系.
a.数学抽象：函数的概念； b.逻辑推理：函数性质的由来； c.数学运算：求定义域、值域、函数解析式等； d.直观想象：抽象函数解不等式； e.数学建模：通过建立函数模型，借助函数与方程的思 想解决实际问题.
三：课时安排
本章数学约需12课时，具体分配如下(仅共参考):
3.1函数的概念及其表示
约4课时
8.函数单调性的应用 (1)函数单调性定义的“双向性”:利用定义可以判断、证明函数的单 调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围. (2)若一个函数在区间[a,b] 上是单调的，则此函数在这一单调区间内 的任意子集上也是单调的.
9. 利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性. (2)利用单调性求出最大(小)值. 2. 函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f(x) 在区间[a,b] 上是增(减)函数，则f(x) 在区间[a,b] 上的最小(大)值是 f(a), 最大(小)值是f(b).
3.2函数的基本性质
约3课时
3.3幂函数
约1课时
3.4函数的应用(一)
2023届高考人教A版数学一轮复习课件：函数的概念及其表示
A.0
)
B.2
C.3
D.-3
2 ()
(2)(2021广东珠海高三期中)若一次函数f(x)满足f(f(x))=x+1,则g(x)=
(x>0)的值域为
.
答案 (1)D
(2)[2,+∞)
解析 (1)由 f(x)-2f
1
f(x)=3
2
+
1
=x+2,可得
1
1
-2f(x)= +2,联立两式可得
(2)(2021湖南长沙长郡中学高三二模)已知函数f(x)= ( + 2), ≤ 0, 则
f(-5)=
.
答案 (1)B (2)e
解析 (1)当a≤0时,f(a)=a2+1=5,解得a=-2;当a>0时,f(a)=2a+3=5,解得a=1.
故选B.
e , > 0,
(2)由f(x)= ( + 2), ≤ 0, 得f(-5)=f(-5+2)=f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=f(1+2)=f(1)=e.
的定义域是[1,+∞),则
2
+ -1
函数y=f(x)的定义域是
.
答案 (1)D
解析
(2)(1,2]
(1)因为函数 f(x)的定义域为[-2,1],所以对于函数
(3-2)
y=
,有
lg(1-)
-2 ≤ 3-2 ≤ 1,
(3-2)
解得 0<x<1,因此函数 y=
的定义域为(0,1).
1- > 0,
-2,代入 x=2 可得 f(2)=-3,故选 D.
函数及其图象函数的图像函数的图象
在数据处理和分析中，通过绘制图像将数据呈现出来，帮助我 们更好地理解和分析数据。
04
函数的图象及其应用
图象的几何意义
点的坐标
函数图象上的每一个点都代表 一个坐标点，横坐标为自变量
，纵坐标为因变量。
曲线的形状
函数图象的形状可以反映函数 的性质，例如单调性、极值等
。
曲线的交点
函数图象的交点代表了两个函 数在某一点的值相等。
图象的物理意义
01
02
03
波动现象
函数图象可以描述波动现 象，例如振动、波动传播 等。
运动轨迹
函数图象可以描述物体的 运动轨迹，例如平动、转 动等。
图像处理
函数图象可以用于图像处 理中的滤波、变换等操作 。
图象在各领域的应用
数学领域
函数图象在数学领域中有着广泛的 应用，例如解方程、求最值、证明 定理等。
物理领域
函数图象可以描述物理现象和规律 ，例如力学、电磁学、光学等。
工程领域
函数图象可以用于工程设计、优化 和控制系统分析等。
社会科学领域
函数图象可以用于描述社会现象和 规律，例如人口统计、经济分析、 心理测试等。
THANKS
《函数及其图象函数的图像函数的 图象》
xx年xx月xx日
目 录
• 函数的概念 • 函数的图像 • 函数的图像表示 • 函数的图象及其应用
01
函数的概念
函数的定义
函数的定义
函数是数学上的一种概念，它表示一个变量和另一个变量之间的关系。这种关系 可以用一个公式或一个表格来表示。在一个函数中，被表示的变量被称为因变量 ，而决定因变量的变量被称为自变量。
函数的图像
图像的绘制
对高中数学新教材第二章《函数》的认识解读
对高中数学新教材第二章《函数》的认识一、 函数函数是中学数学最重要的基本概念之一，它不仅是学习中学数学后继内容的基础， 而且也是进一步学习高等数学的基础，同时，函数这部分学习内容所蕴涵的数学思想方 法也广泛地渗透到中学数学的全过程和其它学科之中。
因此，对本章内容力求学习得更 好一些。
函数这一章的内容可分为三个单元。
第一单元：函数， 主要介绍函数、函数的单调性、反函数及互为反函数的函数图 象间的关系。
这部分是学习本章内容的基础。
第二单元：指数与指数函数 第三单元：对数与对数函数本章最后一节安排了函数应用举例，为全章知识的综合运用，是近年高考的热点。
2.1 函数 关于函数的定义设在某个变化过程中有两个变量 x 和y ，如果对于x 在某一范围内的每个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么就称y 是x 的函数，x 叫做自变量•函数的三大要素是：定义•域、值域、对应法则。
判断两个函数是否为同一函数，必须三个要素完全一致。
2.2函数的表示方法： ① 解析法：两个变量用一个等式表示，这个等式叫做解析式； ② 列表法； ③图象法。
分段函数是一个函数，只不过在不同子区间对应法则不同而矣。
甚至函数图象处 处不连续，也可看作分段函数。
如何确定常见函数的定义域？(1 )当f(x)是整式时，定义域是实数集R ；(2 )当f(x)是分式时，定义域是使分母不为0的x 取值的集合(R 的子集)；(3 )当f(x)是二次根式(偶次根式)时，定义域是使被开方式取非负值的x 取值的集合(R 的子集)；(4 )当f(x)是由几个数学式子组成时，定义域是使各个式子都有意义的x 取值的集合(R 的子集)；(5 )当f(x)表示实际问题中的函数关系时， 应考虑在这实际问题中 x 取值的意义。
例 1. 已知 f(x+1)= x 2 6x 2,求 f(0)，f(x).D(x)= ；1(x 为有理数)，、、0(x 为无理数)解：当x= — 1 时，x+仁0 , f(0)= f( —1+1)= ( —1)2+6( —1)+2=—3.法一：变量代换令X+仁t ，则x=t — 1 ,2f(t)=( t — 1) +6(t — 1)+22=t +4 t — 32f(x) = x +4 x — 3. f(0) = — 3.法二：配凑法2f(x+1) =( x +2x+1)+(4 x+4)+2 — 5=(x+1)2+4(x+1) — 32f(x) = x +4 x — 3.例2己知函数f(x)的定义域为〔0, 1〕，求函数f(2x)和f(x+1)的定义域.11解：0? 2x? 1= 0? x? ,••• f(2x)的定义域为〔0,〕.220? x+1 ? 1= — 1? x? 0, •f(x+1)的定义域•为〔—1, 0〕.例3求函数y = x - . 1 - 2x 的值域•2.3 函数的单调性什么叫做函数的单调性？设给定区间B 上的函数f(x)，对任x 1, X 2€ B (x 1< x 2),如果都有f(xj < f(X 2)，那么称函数f(x)在间B 上是增函数， 如果都有f(Xj > f(X 2)，那么称函数f(x)在间B 上是减函数. 可以表述为：(X 1 — X 2)〔 f(x 1) — f(X 2)〕> 0为增函数，(X 1 — X 2)〔 f(x 1)— f(X 2)〕< 0 为减函数，如果函数f(x)在某区间B 上是增函数或减函数，那么称f(x)在区间B 上具有俨格的)单调性，并把区间 B 叫做f(x)的单调区间.函数的单调性是函数的整体性之一1 2 1 X t+(t? 0).22y 二-1 1 —t E(t 1)21 (t? 0)22 2 故值域为〔 ——1〕.2求值域的方法：观察、配方、换兀、"法等。
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函数的概念
一、教材分析
函数作为初等数学的核心内容，贯穿于整个初等数学体系之中。
函数这一章在高中数学中，起着承上启下的作用，它是对初中函数概念的承接与深化。
在初中，只停留在具体的几个简单类型的函数上，把函数看成变量之间的依赖关系，而高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，更是从“变量说”到“对应说”，这是对函数本质特征的进一步认识，也是学生认识上的一次飞跃。
这一章内容渗透了函数的思想，集合的思想以及数学建模的思想等内容，这些内容的学习，无疑对学生今后的学习起着深刻的影响。
本节《函数的概念》是函数这一章的起始课。
概念是数学的基础，只有对概念做到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。
本课从集合间的对应来描绘函数概念，起到了上承集合，下引函数的作用。
也为进一步学习函数这一章的其它内容提供了方法和依据。
二、重难点分析
函数的概念既是本节课的重点，也应该是本章的难点。
三、学情分析
1、有利因素：一方面学生在初中已经学习了变量观点下的函数定义，并具体研
究了几类最简单的函数，对函数已经有了一定的感性认识；另一方面在本书第一章学生已经学习了集合的概念，这为学习函数的现代定义打下了基础。
2、不利因素：函数在初中虽已讲过，不过较为肤浅，本课主要是从两个集合间
对应来描绘函数概念，是一个抽象过程，要求学生的抽象、分析、概括的能力比较高，学生学起来有一定的难度。
四、目标分析
1、理解函数的概念，会用函数的定义判断函数，会求一些最基本的函数的定义
域、值域。
2、通过对实际问题分析、抽象与概括，培养学生抽象、概括、归纳知识以及逻
辑思维、建模等方面的能力。
3、通过对函数概念形成的探究过程，培养学生发现问题，探索问题，不断超越
的创新品质。
五、教法学法
本节课的教学以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者，我一方面精心设计问题情景，引导学生主动探索。
另一方面，依据本节为概念学习的特点，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。
学法方面，学生通过对新旧两种函数定义的对比，在集合论的观点下初步建构出函数的概念。
在理解函数概念的基础上，建构出函数的定义域、值域的概念，并初步掌握它们的求法。
六、教学过程
（一）创设情景，引入新课
情景1：提供一张表格，把上次运动会得分前10的情况填入表格，我报名次，学生提供分数。
汽车的行驶速度为时过早80千米/小时，汽车行驶的距离y与行驶时间x之间的关系式为：y=80x某市一天24小时内的气温变化图：（图略）
提问（1）：这三个例子中都涉及到了几个变化的量？（两个）
提问（2）：当其中一个变量取值确定后，另一个变量将如何？（它的值也随之唯一确定）
提问（3）：这样的关系在初中称之为什么？（函数）引出课题
[设计意图]在创设本课开头情境1、2的时候，我并没有运用书中的前两个例子。
第一个例子我改成提供给学生一张运动会成绩统计单。
是为了创设和学生或者生活相近的情境，从而引起学生的兴趣，调节课堂气氛，引人入胜，第二个例子我改成一道简单的速度与时间问题，是因为学生对重力加速度的问题还不是很熟悉。
同时这两个例子并没有改变课本用三个实例分别代表三种表示函数方法的意图。
这样学生可以从熟悉的情景引入，提高学生的参与程度。
符合学生的认知特点。
（二）探索新知，形成概念
1、引导分析，探求特征
思考：如何用集合的语言来阐述上述三个问题的共同特征？
[设计意图]并不急着让学生回答此问，为引导学生改变思路，换个角度思考问题，进入本节课的重点。
这里也是教师作为教学的引导者的体现，及时对学生进行指引。
提问（4）：观察上述三问题，它们分别涉及到了哪些集合？（每个问题都涉及到了两个集合，具体略）
[设计意图]引导学生观察，培养观察问题，分析问题的能力。
提问（5）：两个集合的元素之间具有怎样的关系？（对应）
及时给出单值对应的定义，并尝试用输入值，输出值的概念来表达这种对应。
2、抽象归纳，引出概念
提问（6）：现在你能从集合角度说说这三个问题的共同点吗？
[设计意图]学生相互讨论，并回答，引出函数的概念。
训练学生的归纳能力。
板书：函数的概念
上述一系列问题，始终在学生知识的“最近发展区”，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动，生生互动中，在学生心情愉悦的氛围中，突破本节课的重点。
3、探求定义，提出注意
提问（7）：你觉得这个定义中应注意哪些问题？
[设计意图]剖析概念，使学生抓住概念的本质，便于理解记忆。
2、例题剖析，强化概念
例1、判断下列对应是否为函数：
（1）;,0,2R x x x
x ∈≠→ （2）.,,,2R y N x x y y x ∈∈=→这里
[设计意图]通过例1的教学，使学生体会单值对应关系在刻画函数概念中的核心作用。
例2、（1）1)(-=x x f ；
（2）y =x -1；
（3）2)1()(-=x x f ；
（4）2)1()(-=x x g
[设计意图]首先对求函数的定义域进行方法引导，偶次方根必需注意的地方，其次，通过（2）（3）两道题，强调只有对应法则与定义域相同的两个函数，才是相同的函数。
而与函数用什么字母表示无关，进一步理解函数符号的本质内涵。
例3、试求下列函数的定义域与值域：
（1）}3,2,1,0,1{,1)1()(2-∈+-=x x x f
（2）1)1()(2+-=x x f
[设计意图]让学体会理解函数的三要素。
4、巩固练习，运用概念
书本练习P24：1，2，3，4
5、课堂小结，提升思想
引导学生进行回顾，使学生对本节课有一个整体把握，将对学生形成的知识系统产生积极的影响。
七、教学评价
1、我通过对一系列问题情景的设计，让学生在问题解决的过程中体验成功的乐趣，实现对本课重难点的突破。
2、为使课堂形式更加丰富，也可将某些问题改成判断题。
3、在学生分析、归纳、建构概念的过程中，可能会出现理解的偏差，教师应给予恰当的梳理。
4、本节课的起始，可以借助于多媒体技术，为学生创设更理想的教学情景。