函数概念的形成与发展

函数概念的发展简史

1、函数概念的萌芽时期（自然函数、代数函数时期）[1]

函数思想是随着数学开始研究事物的运动变化而出现的。而事实上，早期的数学是不研究事物的运动变化的。古希腊科学家亚里士多德曾经认为，数学研究的是抽象的概念，而抽象的概念来自事物静止不动的属性。例如，数学中的数、线、形等数学对象都不包括运动，运动变化是物理学研究的对象等等。受其影响，直至14世纪，数学家们才逐渐开始研究物体的运动问题。到了16世纪，由于实践的需要，自然科学开始转向对运动的研究，自然中各种变化和各种变化着的物理量之间的关系也就成为数学家关注的对象。伽利略就是最早开展这方面研究的科学家之一，在他的著作里多处使用比例的语言表达了量与量之间的依赖关系。例如，从静止状态自由下落的物体所经过的距离与所用时间的平方成正比，这正是函数概念所表达的思想意义。

16世纪法国数学家笛卡尔在研究曲线问题时，发现了量的变化及量与量之间的依赖关系，并在数学中引进了变量思想，在他的《几何学》中指出：所谓变量是指：“不知的和未定的量”，成为数学发展的里程碑，也为函数概念的产生奠定了思想基础。直到17世纪下半期，牛顿—莱布尼兹的微积分问世时，数学上还没有明确的函数概念。把“函数”（function）一词最早用作数学术语的是莱布尼兹，当时，莱布尼兹用“函数”（function）一词表示幂，如都叫函数。后来又用函数表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量。例如曲线上的点的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等等。从这个定义看出，莱布尼兹利用几何概念，在几何的范围内揭示了某些量之间的依存关系。可以说出现了函数概念的一点端倪，但函数的一般定义仍没有诞生。原因在于：数学家们一直在同具体的函数打交道，对具体函数或求导，或积分，讨论各种各样的具体问题，并没有感到有定义一般函数概念的需要。\

2、函数概念的初步形成（解析函数时期）[2] 18世纪微积分的发展促进了函数概念“解析定义”的发展。瑞士著名数学家约翰·贝努利在研究积分计算问题时，提出：积分工作的目的是在给定变量的微分中，找出变量本身之间的关系。而在对待“找出变量本身之间的关系”的表示上，显然用莱布尼兹定义的函数表示是很困难的。于是，在1718年约翰·贝努利从解析的角度，把函数定义为：“变量的函数就是由某个变量及任意一个常数结合而成的量。”意思是凡变量和常量构成的式子都叫做的函数。贝努利所强调的函数要用公式来表示。后来，数学家觉得不应该把函数概念局限在只能用公式来表达上，只要一些变量变化，另一些变量能随之而变化就可以，至于这两个变量的关系是否要用公式来表示，则不作为判别函数的标准18世纪，瑞士数学家欧拉在他的《无穷小分析引论》中进一步推广了他老师约翰·贝努利的定义：“一个变量的函数是由变量和一些数或常量以任何一种方式构造的解析式”。并且早在1734年欧拉就已经用表示的函数，这个函数符号至今仍在沿用。1755年，欧拉又在他的《微积分原理》的序言中把函数定义为：“如果某些变量以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”在欧拉的这个定义中，已经不强调函数要用公式表示了。由于函数不一定用公式来表示，欧拉曾把画在坐标系上的曲线也叫函数。他认为：“函数是随意画出的一条曲线。”欧拉用“解析表达式”代替了约翰的“任意形式”，明确地表达了变量之间相互依赖的变化关系，这促进我们对函数概念的认识在严密性上前进了一大步。但是，当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯，有的数学家甚至抱着怀疑的态度。他们把能用公式表示的函数叫“真函数”，把不能用公式表示的函数叫“假函数”。。

3、函数概念的确立（变量函数）[3]

在对前人函数概念的认识与发展的基础上，1821年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其它变数的值也可以随着确定时，则将最初的变数叫做自变量，其它各变数叫做函数”。在柯西的函数定义中，首先引入了“自变量”一词。按照这个定义，只要有自变量的一个值可以确定的相应值，则就是的函数。显然，这个函数定义比以往的要广泛的多。

1834年，德国数学家罗巴切夫斯基进一步提出函数定义：“x的函数是这样一个数，它对于每一个x都有确定的值并且随着x一起变化。函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提

供了一种寻求全部对应值的方法。函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的。”这个定义指出了对应关系的必要性，利用这个关系可以求出每一个的对应值。

后来，德国数学家狄利克雷也注意到，重要的不是“自变”所引起的因变，应该是变量之间的“对应”关系。1837年，狄利克雷给出了意义更为广泛的函数概念：“如果对于的每一个x值，总有一个完全确定的y值与之对应，则是的函数。”这个定义成功的引进了“单值对应”这个概念，巧妙地避免了过去函数定义中的不确定的“依赖关系”的描述，以清晰完美的方式表达了变量间的依赖关系，被19世纪的数学家普遍接受，成为传统函数定义的原型。

4、函数概念的再次发展（集合、映射函数）

19世纪末20世纪初，把函数看作一种对应或者映射的思想已经成形。如果说前面两个世纪的人们把注意力更多的投放在函数的解析式上，那么20世纪的数学家开始关注自变量的取值范围，这不仅仅是因为实际问题给数学提出了相应的课题，更主要的是德国数学家康托尔开创了一个全新的数学分支——集合论。由此，集合论的思想与方法很快就渗透到了数学的各个领域，著名数学家庞加莱曾经说过：“由于有了集合论，现在我们可以说，数学的完全严格性已经达到了。”所以，用集合的语言重新叙述函数的定义，成了进一步严格函数概念的最好途径。20世纪，美国数学家使用集合与对应的语言这样定义函数：“在变量的集合与另一个变量的集合之间，如果存在着对于x的每一个值，有确定的值y与之对应这样的关系，那么，变量y就叫做变量x的函数”。这个函数概念就是现在高中课本所采用的了。[4]