函数概念的形成与发展
函数概念的形成与发展
函数概念的形成与发展北京教育学院宣武分院 彭 林北京师范大学数学系 张 宇 历史表明,重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的,函数概念对数学发展的影响,可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡,回顾函数概念的历史发展,看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程,是一件十分有益的事情,它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度,而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展,数学学习的巨大作用.(一)马克思曾经认为,函数概念来源于代数学中不定方程的研究.由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究,所以函数概念至少在那时已经萌芽.自哥白尼的天文学革命以后,运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题,人们在思索:既然地球不是宇宙中心,它本身又有自转和公转,那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上?行星运行的轨道是椭圆,原理是什么?还有,研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度,以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题,既是科学家的力图解决的问题,也是军事家要求解决的问题,函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念,这是函数概念的力学来源.(二)早在函数概念尚未明确提出以前,数学家已经接触并研究了不少具体的函数,比如对数函数、三角函数、双曲函数等等.1673年前后笛卡儿在他的解析几何中,已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系,但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念,因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候,数学家还没有明确函数的一般意义.1673年,莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂”,后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量.由此可以看出,函数一词最初的数学含义是相当广泛而较为模糊的,几乎与此同时,牛顿在微积分的讨论中,使用另一名词“流量”来表示变量间的关系,直到1689年,瑞士数学家约翰·贝努里才在莱布尼兹函数概念的基础上,对函数概念进行了明确定义,贝努里把变量x 和常量按任何方式构成的量叫“x 的函数”,表示为y x .当时,由于连接变数与常数的运算主要是算术运算、三角运算、指数运算和对数运算,所以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数x 和常数c 而成的式子,取名为解析函数,还将它分成了“代数函数”与“超越函数”.18世纪中叶,由于研究弦振动问题,达朗贝尔与欧拉先后引出了“任意的函数”的说法.在解释“任意的函数”概念的时候,达朗贝尔说是指“任意的解析式”,而欧拉则认为是“任意画出的一条曲线”.现在看来这都是函数的表达方式,是函数概念的外延.(三)函数概念缺乏科学的定义,引起了理论与实践的尖锐矛盾.例如,偏微分方程在工程技术中有广泛应用,但由于没有函数的科学定义,就极大地限制了偏微分方程理论的建立.1833年至1834年,高斯开始把注意力转向物理学.他在和W ·威伯尔合作发明电报的过程中,做了许多关于磁的实验工作,提出了“力与距离的平方成反比例”这个重要的理论,使得函数作为数学的一个独立分支而出现了,实际的需要促使人们对函数的定义进一步研究.后来,人们又给出了这样的定义:如果一个量依赖着另一个量,当后一量变化时前一量也随着变化,那么第一个量称为第二个量的函数.“这个定义虽然还没有道出函数的本质,但却把变化、运动注入到函数定义中去,是可喜的进步.”在函数概念发展史上,法国数学家富里埃的工作影响最大,富里埃深刻地揭示了函数的本质,主张函数不必局限于解析表达式.1822年,他在名著《热的解析理论》中说,“通常,函数表示相接的一组值或纵坐标,它们中的每一个都是任意的……,我们不假定这些纵坐标服从一个共同的规律;他们以任何方式一个挨一个.”在该书中,他用一个三角级数和的形式表达了一个由不连续的“线”所给出的函数.更确切地说就是,任意一个以2π为周期函数,在[-π,π]区间内,可以由α02+Σx k =1(αkcos kx +b k sin kx )数学走廊 中学数学教学参考2003年第11期61 =α2+(α1cos x+b1sin x)+…表示出,其中αk =1ππ-πf(x)cos kx dx Θ,b k=1ππ-πf(x)sin kx dx Θ.富里埃的研究,从根本上动摇了旧的关于函数概念的传统思想,在当时的数学界引起了很大的震动.原来,在解析式和曲线之间并不存在不可逾越的鸿沟,级数把解析式和曲线沟通了,那种视函数为解析式的观点终于成为揭示函数关系的巨大障碍.通过一场争论,产生了罗巴切夫斯基和狄里克莱的函数定义.1834年,俄国数学家罗巴切夫斯基提出函数的定义:“x的函数是这样的一个数,它对于每个x都有确定的值,并且随着x一起变化.函数值可以由解析式给出,也可以由一个条件给出,这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法.函数的这种依赖关系可以存在,但仍然是未知的.”这个定义建立了变量与函数之间的对应关系,是对函数概念的一个重大发展,因为“对应”是函数概念的一种本质属性与核心部分.1837年,德国数学家狄里克莱(Dirichlet)认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要,所以他的定义是:“如果对于x的每一值,y总有完全确定的值与之对应,则y是x的函数.”根据这个定义,即使像如下表述的,它仍然被说成是函数(狄里克莱函数):f(x)=1 (x为有理数),0 (x为无理数).,如果x由0逐渐增大地取值,则f(x)忽0忽1.在无论怎样小的区间里,f(x)无限止地忽0忽1.因此,它难用一个或几个式子来加以表示,甚至究竟能否找出表达式也是一个问题.但是不管其能否用表达式表示,在狄里克莱的定义下,这个f(x)仍是一个函数.狄里克莱的函数定义,出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述,以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受.至此,我们已可以说,函数概念、函数的本质定义已经形成,这就是人们常说的经典函数定义.(四)生产实践和科学实验的进一步发展,又引起函数概念新的尖锐矛盾,本世纪20年代,人类开始研究微观物理现象.1930年量子力学问世了,在量子力学中需要用到一种新的函数———δ-函数,即 ρ(x)=0,x≠0,∞,x=0.且+∞-∞ρ(x)dx=1Θ.δ-函数的出现,引起了人们的激烈争论.按照函数原来的定义,只允许数与数之间建立对应关系,而没有把“∞”作为数.另外,对于自变量只有一个点不为零的函数,其积分值却不等于零,这也是不可想象的.然而,δ-函数确实是实际模型的抽象.例如,当汽车、火车通过桥梁时,自然对桥梁产生压力.从理论上讲,车辆的轮子和桥面的接触点只有一个,设车辆对轨道、桥面的压力为一单位,这时在接触点x=0处的压强是P(0)=压力接触面=1=∞.其余点x≠0处,因无压力,故无压强,即P(x)=0.另外,我们知道压强函数的积分等于压力,即+∞-∞ρ(x)dx=1Θ.函数概念就在这样的历史条件下能动地向前发展,产生了新的现代函数定义:若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应,则称在集合M上定义一个函数,记为y=f(x).元素x称为自变元,元素y称为因变元.函数的现代定义与经典定义从形式上看虽然只相差几个字,但却是概念上的重大发展,是数学发展道路上的重大转折,近代的泛函分析可以作为这种转折的标志,它研究的是一般集合上的函数关系.函数概念的定义经过二百多年来的锤炼、变革,形成了函数的现代定义,应该说已经相当完善了.不过数学的发展是无止境的,函数现代定义的形式并不意味着函数概念发展的历史终结,近二十年来,数学家们又把函数归结为一种更广泛的概念—“关系”.设集合X、Y,我们定义X与Y的积集X×Y为X×Y={(x,y)|x∈X,y∈Y}.积集X×Y中的一子集R称为X与Y的一个关系,若(x,y)∈R,则称x与y有关系R,记为x Ry.若(x,y) R,则称x与y无关系.现设f是X与Y的关系,即f<X×Y,如果(x,y),(x,z)∈f,必有y=z,那么称f为X到Y的函数.在此定义中,已在形式上回避了“对应”的术语,全部使用集合论的语言了.从以上函数概念发展的全过程中,我们体会到,联系实际、联系大量数学素材,研究、发掘、拓广数学概念的内涵是何等重要.62 数学走廊中学数学教学参考2003年第11期。
函数的发展历程
函数的发展历程一、古希腊时期古希腊数学家希腊斯科特·伯涅劳斯（Scctonius）在公元前4世纪就提出了函数的概念。
他用字母表示一个量，并用等式将这个量和另一个量联系在一起。
例如，他用f(x)表示x的平方，即f(x)=x^2。
但是，他并没有将函数作为独立的数学概念来看待，只是作为一种辅助工具。
二、17世纪17世纪是函数发展的重要时期。
著名数学家斯特林（Stevin）在其著作《五十个数学问题》中提出了函数的概念。
他指出，函数是一种可以用数学公式表示的规律，即f(x)=x^2。
三、18世纪18世纪是函数发展的关键时期。
著名数学家莫尔（Leibniz）在公元1694年提出了微积分的概念。
他认为，微积分是一种研究变化的工具，可以用来研究连续函数的变化。
这为函数研究开辟了新的天地。
四、19世纪19世纪是函数发展的全盛时期。
著名数学家高斯（Gauss）在公元1801年提出了高维空间的概念。
他认为，高维空间是一个可以用函数表示的数学模型，即可以用函数来描述多维空间的性质。
这为函数的研究提供了更加广阔的空间。
五、20世纪20世纪是函数发展的高潮时期。
著名数学家华罗庚（Huang Qiu-Guang）在公元1943年提出了泛函分析的概念。
他认为，泛函分析是一种研究函数性质的数学方法，可以用来研究连续函数和离散函数的性质。
这为函数的研究提供了更加丰富的内容。
六、21世纪21世纪是函数发展的新时期。
计算机技术的发展使得函数在计算机科学和工程领域中发挥着越来越重要的作用。
函数也被广泛用于数据挖掘和人工智能领域，为科学技术的发展做出了重要贡献。
综上，函数作为一种独立的数学概念，在古希腊时期就已经提出，但是直到17世纪才得到正式的定义。
随着时间的推移，函数在数学和工程领域的应用越来越广泛，为科学技术的发展做出了巨大贡献。
函数的起源,发展及演变
函数的起源，发展与演变。
一．函数定义1．本义一般的，在一个变化过程中，有两个变量x、y，如果给定一个x 值，相应的就确定唯一的一个y，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量，x的取值范围叫做这个函数的定义域，相应y 的取值范围叫做函数的值域。
近代演变义设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称fA→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。
其中x叫作自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
2．几何含义函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。
令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。
另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。
二．起源早在函数概念尚未明确提出以前,数学家已经接触并研究了不少具体的函数,比如对数函数、三角函数、双曲函数等等．1673年前后笛卡儿在他的解析几何中,已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系,但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念,因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候,数学家还没有明确函数的一般意义．1673年,莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂”,后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量．由此可以看出,函数一词最初的数学含义是相当广泛而较为模糊的,几乎与此同时,牛顿在微积分的讨论中,使用另一名词“流量”来表示变量间的关系,直到1689年,瑞士数学家约翰·贝努里才在莱布尼兹函数概念的基础上,对函数概念进行了明确定义,贝努里把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”,表示为yx.当时,由于连接变数与常数的运算主要是算术运算、三角运算、指数运算和对数运算,所以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数x和常数c而成的式子,取名为解析函数,还将它分成了“代数函数”与“超越函数”．18世纪中叶,由于研究弦振动问题,达朗贝尔与欧拉先后引出了“任意的函数”的说法．在解释“任意的函数”概念的时候,达朗贝尔说是指“任意的解析式”,而欧拉则认为是“任意画出的一条曲线”．现在看来这都是函数的表达方式,是函数概念的外延．三．发展δ-函数的出现,引起了人们的激烈争论．按照函数原来的定义,只允许数与数之间建立对应关系,而没有把“∞”作为数．另外,对于自变量只有一个点不为零的函数,其积分值却不等于零,这也是不可想象的．然而,δ-函数确实是实际模型的抽象．例如,当汽车、火车通过桥梁时,自然对桥梁产生压力．从理论上讲,车辆的轮子和桥面的接触点只有一个,设车辆对轨道、桥面的压力为一单位,这时在接触点x=0处的压强是P（0）=压力／接触面=1／0=∞．其余点x≠0处,因无压力,故无压强,即P（x）=0.另外,我们知道压强函数的积分等于压力,即函数概念就在这样的历史条件下能动地向前发展,产生了新的现代函数定义：若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应,则称在集合M上定义一个函数,记为y=f（x）.元素x称为自变元,元素y称为因变元．函数的现代定义与经典定义从形式上看虽然只相差几个字,但却是概念上的重大发展,是数学发展道路上的重大转折,近代的泛函分析可以作为这种转折的标志,它研究的是一般集合上的函数关系．函数概念的定义经过二百多年来的锤炼、变革,形成了函数的现代定义,应该说已经相当完善了．不过数学的发展是无止境的,函数现代定义的形式并不意味着函数概念发展的历史终结,近二十年来,数学家们又把函数归结为一种更广泛的概念—“关系”．设集合X、Y,我们定义X与Y的积集X×Y为X×Y=｛（x,y）｜x∈X,y∈Y｝．积集X×Y中的一子集R称为X与Y的一个关系,若（x,y）∈R,则称x与y有关系R,记为xRy.若（x,y）R,则称x与y无关系．现设f是X与Y的关系,即fX×Y,如果（x,y）,（x,z）∈f,必有y=z,那么称f为X到Y的函数．在此定义中,已在形式上回避了“对应”的术语,全部使用集合论的语言了．从以上函数概念发展的全过程中,我们体会到,联系实际、联系大量数学素材,研究、发掘、拓广数学概念的内涵是何等重要．三．演变设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称fA→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。
函数概念的发展历史和应用总结报告
一、概述函数作为数学、计算机科学、工程学等多个学科领域中的重要概念，在其发展历史中扮演着至关重要的角色。
本报告将对函数概念的发展历史进行回顾，并总结其在各个领域中的应用情况，以期为相关领域的研究和教育提供参考。
二、函数概念的发展历史1. 函数的最早概念函数的最早概念可以追溯至古希腊数学家欧几里得的《几何原本》中，他将函数理解为图形和数之间的关系。
此后，函数的概念在数学中逐渐得到发展，包括勒让德、傅里叶、魏尔斯特拉斯等数学家的贡献。
2. 函数在工程学中的应用函数在工程学中的应用可以追溯至17世纪，当时牛顿和莱布尼兹分别发现了微积分学科，其中涉及了函数的概念。
自此之后，函数的应用在工程学中不断深入，成为解决工程问题的重要数学工具。
3. 函数在计算机科学中的发展函数在计算机科学中的发展可以追溯至20世纪50年代的代数逻辑理论。
随着计算机的发展，函数成为了编程和算法设计中的基础概念，如递归函数、高阶函数等。
三、函数在各领域中的应用总结1. 数学领域在数学领域中，函数的应用广泛，涉及微积分、数学分析、代数学等多个分支。
函数作为数学建模的基础，被广泛应用于科学研究和工程技术中。
2. 工程学领域在工程学领域中，函数的应用与数学领域紧密相关，包括控制系统、信号处理、电路分析等。
工程师通过函数分析和设计，解决了许多现实世界中的难题。
3. 计算机科学领域在计算机科学领域中，函数的应用涉及编程语言、算法设计、数据结构等多个方面。
函数作为计算机程序中的基本单位，对计算机科学的发展起到了至关重要的作用。
四、结语函数作为一个跨学科的概念，在数学、工程学、计算机科学等多个领域中得到了广泛的应用。
通过回顾函数概念的发展历史及其在各领域中的应用情况，我们可以更好地理解函数的重要性和作用，为今后在相关领域的研究和应用提供借鉴和指导。
希望本报告能对相关领域的研究和教育工作有所助益。
五、函数概念的发展历史和应用案例1. 函数在物理学中的应用在物理学中，函数的概念被广泛运用于描述自然界中的各种规律和现象。
函数概念的历史发展(完整版)
函数概念的历史发展（完整版）(文档可以直接使用，也可根据实际需要修改使用,可编辑欢迎下载）函数概念的历史发展众所周知，函数是数学中一个重要概念，它几乎渗透到每一个数学分支，因此考察函数概念的发展历史及其演变过程，无疑有助于我们学生更深刻、更全面地理解函数的本职，并且从中得到有益的方法论启示。
1 函数概念的产生阶段—变量说马克思曾认为，函数概念是源于代数中自罗马时代就已经开始的不定方程的研究，那时，伟大的数学家丢番图对不定方程的研究已有相当程度，据此，可以认为函数概念至少在那时已经萌芽。
实际上作为变量和函数的朴素概念，几乎和数学源于同一时期，因为数学家在研究物体的大小及位置关系时，自然会导致通常称为函数关系的那种从属关系。
但是，真正导致函数概念得以迅速发展则是在16世纪以后，特别是由于微积分的建立，伴随这一学科的产生、发展和完善，函数概念也经历了产生、发展和完善的演变过程。
哥白尼的天文学革命以后，运动成为文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，到了16世纪，对于运动的研究已变成自然科学的中心问题。
在这一时期，函数概念在不同科学家那里有着不同形式的描述。
在伽利略的《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数的思想，他用文字和比例的语言表述函数关系。
例如，他提出：“两个等体积圆柱体的面积之比，等于它们高度之比的平方根。
”“两个侧面积相等的正圆柱，其体积之比等于它们高度之比的反比。
”他又说：“从静止状态开始以定常加速度下降的物体，其经过的距离与所用时间的平方成正比。
”这些描述非常清楚地表明伽利略已涉及并讨论变量和函数，但他并没有做出一般的抽象，并且也没有把文字叙述表示为符号形式。
几乎与此同时，许多数学家，如托里拆利、瓦里斯、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹等，从不同角度对函数进行了不同程度的研究.有的数学家是把一些具体的函数看成曲线进行研究,尽管当时还没有建立实连续的概念,但数学家却默认曲线都是连续的。
托里拆利就曾对曲线()0≥y ex进行过研究；而瓦里斯在他的《动学》中研究过正弦曲=xae线，并注意到了这一函数的周期性。
函数的起源与发展
函数的起源与发展函数是数学领域中的重要概念，起源于古希腊数学，发展至今已经成为现代数学的基石之一。
本文将探讨函数的起源及其发展历程。
一、起源：古希腊的函数概念函数的概念最早可以追溯到古希腊数学家欧多克索斯（Euclid）的著作《几何原本》中。
他在书上首次提出了“比例”这一概念，将其应用于几何学中。
比例即表示两个量之间的关系，这种关系可以表示为一个方程。
欧多克索斯认为，比例是由特定规律决定的，这种规律可以用图形表示。
此后，亚历山大的赛尼库斯（Heron of Alexandria）提出了函数的概念。
他将比例的概念扩展到变量之间的关系，提出了函数的定义：“当一个量由其他量决定时，我们称这个量是其他量的函数。
”赛尼库斯以几何图像的方式表示函数，将其作为几何问题的解决方法。
二、发展：函数的发展与数学分析的崛起函数的概念在古希腊数学时代虽然已有初步的形成，但真正的发展要追溯到十七世纪的科学革命时期。
牛顿（Isaac Newton）和莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）两位伟大的数学家和物理学家几乎同时独立地发展了微积分学，从而为函数的研究奠定了基础。
牛顿和莱布尼茨将函数视为一种能够以无穷小的变化率来描述的数学对象。
他们引进了导数和积分的概念，并将其作为函数变化率和面积的度量。
他们的工作将函数的研究提升到了一个新的高度，使得函数成为数学分析的核心内容。
随着数学分析的发展，函数的研究也变得更加丰富和深入。
欧拉（Leonhard Euler）提出了指数函数和对数函数的概念，并发展了复变函数的理论。
拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）和柯西（Augustin-Louis Cauchy）等数学家也在函数的研究方面做出了重要贡献。
函数的研究不仅局限于实数领域，还拓展到复数、向量、矩阵等多个数学领域。
三、应用：函数在科学和工程中的重要性函数作为一种描述变化规律的数学工具，在科学和工程领域具有广泛的应用。
函数概念产生和发展的几个阶段
第2卷 第3期山西教育学院学报Vol 2 No 3 1999年9月Journal of ShanXi Educational College Sep1999 函数概念产生和发展的几个阶段王爱兰 雷玲香摘 要:本文通过对函数的研究,介绍了函数产生、发展、成熟的三个阶段关键词:函数 产生 发展自十七世纪近代数学产生以来,函数概念一直处于数学思想的核心位置,它不仅是近代数学的主要研究对象,而且自然科学的绝大部分都受到了函数关系的支配。
从而使科学之母 数学注入了新鲜血液。
因此,了解函数概念产生与发展的历史,掌握现代数学的思想方法,对于指导我们当前的工作是十分有益的。
一、函数概念的产生阶段进入十七世纪,经过文艺复兴革命的欧洲冲破了中世纪的黑暗的束缚,科学技术得到前所未有的发展。
与以前不同的是,科学技术的发展愈来愈依赖于数学思想和方法。
正如牛顿(英)所说:古代人在自然事物的研究中把力学科学推崇到极端重要的地位,而近代人则排除物体的形式和玄妙的质,努力把自然现象放在数学的控制之下!。
在当时,扩展数学领域,改进数学方法的要求更加迫切。
顺应历史潮流,费尔玛(法)、笛卡尔(法)等人打破传统数学思想,首先用代数方法研究几何问题,由点对应到数形统一,创立了解析几何这门新的数学学科。
尢为重要的是变量进入数学,辩证法进入了数学,数学发生了飞跃。
函数概念正是在这种沃土中发芽生长的。
函数概念的产生经历了一个较长的历史时期。
函数一词是1673年莱布尼茨(德)创造的。
函数的思想最初是在处理不定方程时,引入代数中的。
如果要表达一个量,它是不定的,除非预先给其它的量认一个确定的值,这些数值是数目不定的上述其它的量,在同一问题中可以取得的,那么就用函数一词来表达这种依赖关系。
当时,人们对这种依赖关系的认识还相当模糊。
但感觉到它的作用,后来随着科学技术和生产实践的需要,对各种运动的研究更加深入,进而使函数作为描述变量之间的相互依赖关系的思想,逐渐被更多的人接受和应用。
关于函数的形成与发展的数学小论文
关于函数的形成与发展的数学小论文函数是数学中一个重要的概念，它在不同国家的数学思想中有着丰富的发展历程。
本论文将从函数概念的形成、函数与方程的关系以及函数的进一步发展等方面进行介绍和分析。
一、函数概念的形成函数的概念最早可以追溯到古希腊时期。
当时古希腊数学家用被称为底数的量和被称为脚数的量来描述两者的关系。
然而，由于古希腊数学的几何本质，这种关系主要是通过图形来表示的。
在十七世纪，随着代数学的发展，函数的概念得到了一定的推广和改进。
约翰·沃利斯被认为是函数概念的奠基人之一，他定义了一种通过代数表达式表示的函数。
而克里斯蒂安·荷伯特也提出了函数的图像和论域的概念。
二、函数与方程的关系函数与方程的关系在十七世纪的代数学中得到了深入的研究。
鲁内斯对函数与方程进行了明确的区分，提出了函数可以包含方程的多个解的概念。
同时，拉格朗日也对函数与方程的关系进行了进一步的研究，他将函数看作是方程的延伸。
三、函数的进一步发展在十九世纪，函数的研究进入了一个新的阶段。
卡尔·魏尔斯特拉斯提出了连续函数和可微函数的概念。
他强调了函数的连续性和光滑性，并引入了极限的思想。
这一思想为后来的微积分的发展奠定了基础。
在现代数学中，函数的发展更是展现出了丰富多样的形式和应用。
函数的理论在数学的各个领域得到了广泛的应用，如数学分析、微积分、概率统计等。
同时，函数的研究也在计算机科学和物理学等领域得到了应用。
总结函数作为数学中一个重要的概念，经历了漫长的历史发展过程。
它最早在古希腊时期被提出，并在十七世纪得到了进一步的推广和改进。
函数与方程的关系也在十七世纪被明确，并在十九世纪得到了更深入的研究。
函数的发展进一步推动了数学的发展，在现代数学中得到了广泛的应用。
1. Boyer, C. B. (1991). A history of mathematics (2nd ed.). New York: Wiley.2. Edwards, C. H. (2003). The historical development of the calculus. New York: Springer.。
函数概念的产生与发展
函数概念的产生与发展函数的概念产生于古希腊的数学领域，随着数学发展逐渐完善和发展。
在古希腊时代，数学主要是以几何学为基础，对于直线、圆、三角形等几何图形的研究较为深入。
然而在研究几何图形的过程中，人们发现需要研究更一般的曲线来解决一些问题。
于是，人们开始研究曲线的性质和方程，这就是函数概念的起源。
最早提出函数概念的是古希腊的柯尼多斯（Conon），他在《席知布拉斯》（Spherics）一书中，使用了“曲面上的曲线”概念，也就是我们现在所称的函数。
在柯尼多斯的研究中，函数是用来描述曲面上点的位置，他通过截面的思想来研究曲线。
然而，他并未对函数的性质和变化进行详细的研究。
在早期的数学研究中，函数的概念并不被广泛使用。
直到16世纪，随着代数学的发展，人们开始更加系统地研究函数。
法国数学家弗朗西斯·维埃特（François Viète）是最早引入函数概念的数学家之一、他在《代数最湮</em>〉》一书中，首次将函数描述为数之间的关系，他将函数视为是一个等式中的未知量，并提出了函数的运算规则。
18世纪的数学家欧拉（Leonhard Euler）和拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）等人进一步完善了函数的概念和理论。
欧拉在《分析概论》一书中，提出了复变函数的概念，研究了函数的连续性和收敛性等问题。
拉格朗日在《分析学》一书中，提出了拉格朗日乘数法和最优化问题的理论，对函数的极值问题进行了深入研究。
到了19世纪，函数的概念得到了进一步的发展和推广。
高斯（Carl Friedrich Gauss）提出了研究函数性质的代数方法，他在《复数的算术及代数原理》中，提出了函数的代数特征。
柯西（Augustin-Louis Cauchy）在《复变函数论》一书中，研究了复变函数的连续性和可微性，开创了复变函数论的研究方向。
魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）则在极限理论方面做出了巨大贡献，他引入了极限的严格定义和连续函数的定义。
函数概念发展的历史过程作文
函数概念发展的历史过程作文关于函数一、函数的起源（产生）十六、十七世纪，欧洲资本主义国家先后兴起，为了争夺霸权，迫切需要发展航海和军火工业。
为了发展航海事业，就需要确定船只在大海中的位置，在地球上的经纬度；要打仗，也需知道如何使炮弹打的准确无误等问题，这就促使了人们对各种“运动”的研究，对各种运动中的数量关系进行研究，这就为函数概念的产生提供了客观实际需要的基础。
十七世纪中叶，笛卡儿（Descartes）引入变数（变量）的概念，制定了解析几何学，从而打破了局限于方程的未知数的理解；后来，牛顿（Newton）、莱布尼兹（Leibniz）分别独立的建立了微分学说。
这期间，随着数学内容的丰富，各种具体的函数已大量出现，但函数还未被给出一个一般的定义。
牛顿于1665年开始研究微积分之后，一直用“流量”（ fluent）一词来表示变量间的关系。
1673年，莱布尼兹在一篇手稿里第一次用“函数”（fluent）这一名词，他用函数表示任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量。
（定义1）这可以说是函数的第一个“定义”。
例如，切线，弦，法线等长度和横、纵坐标，后来，又用这个名词表示幂，即表示x , x2, x3,…。
显然，“函数”这个词最初的含义是非常的模糊和不准确的。
人们是不会满足于这样不准确的概念，数学家们纷纷对函数进行进一步讨论。
二、函数概念的发展与完善⒈以“变量”为基础的函数概念在1718年，瑞士科学家，莱布尼兹的学生约翰·贝奴里（Bernoulli,Johann）给出了函数的明确定义：变量的函数是由这些变量与常量所组成的一个解析表达式。
（定义2）并在此给出了函数的记号φx。
这一定义使得函数第一次有了解析意义。
十八世纪中叶，著名的数学家达朗贝尔（D’Alembert）和欧拉（Euler）在研究弦振动时，感到有必要给出函数的一般定义。
达朗贝尔认为函数是指任意的解析式，在1748年欧拉的定义是：函数是随意画出的一条曲线。
函数概念的起源及形成
函数概念的起源及形成函数的概念在17世纪已经引入，牛顿（IsaacNewton，1642-1727，英国科学家）的《自然哲学的数学原理》中提出的"生成量"就是雏形的函数概念。
笛卡儿（R﹒名言："我思故我在"）引入变量后，随之而来的便是函数的概念。
他指出y和x是变量（"未知量和未定的量"）的时候，也注意到y依赖于x而变。
这正是函数思想的萌芽，但是他没有使用"函数"这个词。
最早把"函数"（function）这个词用作数学术语的数学家是莱布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz，1646-1716，德国数学家），但其含义和现在不同，他把函数看成是"像曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长度、垂线长度等所有与曲线上的点有关的量".1718年，瑞士数学家约翰。
贝努利（JohnBernoulli，1667-1748，欧拉的数学老师）将函数概念公式化，给出了函数的一个定义，同时第一次使用了"变量"这个词。
他写到："变量的函数就是变量和变量以任何方式组成的量。
"他的学生，瑞士数学家欧拉（LeonardEuler，1707-1783，被称为历史上最"多产"的数学家）将约翰。
贝努利的思想进一步解析化，他在《无限小分析引论》中将函数定义为："变量的函数是一个由该变量与一些常数以任何方式组成的解析表达式"，欧拉的函数定义在18世纪后期占据了统治地位。
我国"函数"一词，是《代数积拾级》中首先使用的。
这本书把函数定义为："凡此变数中含彼变数，则此为彼之函数。
"这里的"函"指包含的意思。
这个定义大致相当于欧拉的解析表达式定义：在一个式中"包含"着变量x，那么这个式子就是x的函数。
函数的形成与发展
函数的形成与发展古代数学中的函数概念最早可以追溯到古希腊数学家欧几里得（Euclid）所著的《几何原本》中。
他使用了一个术语“关连”（affection），用来描述两个量之间的关系。
然而，欧几里得并没有提出一个通用的函数概念，只是描述了具体的例子。
古希腊的莱布尼兹（Leibniz）和牛顿（Newton）是函数概念的奠基人。
莱布尼兹在求导的过程中引入了函数的概念。
他将函数定义为一个数列，其中每个数与给定的自变量之间存在其中一种关系。
牛顿则将函数定义为依据自变量而变化的量。
莱布尼兹和牛顿的定义给出了函数的一种形式：f(x)=y，其中x是自变量，y是因变量。
随着十八、十九世纪分析学的发展，函数的概念进一步完善。
著名的数学家欧拉（Euler）给出了函数概念的几个重要特征，包括定义域、值域和图像等。
他还提出了复函数的概念，扩展了函数的定义。
此外，数学家拉格朗日（Lagrange）和柯西（Cauchy）也对函数的定义和性质做出了深入的研究。
19世纪的数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass）和庞加莱（Poincaré）进一步发展了函数的理论。
魏尔斯特拉斯证明了函数可以由无穷多个点集构成，从而推翻了函数在有限点集内成立的先前观念。
庞加莱则重点研究了函数的连续性和可微性，并在函数论中提出了许多重要的概念和定理。
20世纪的数学中，函数的发展又出现了一些突破性的进展。
数学家勒贝格（Lebesgue）提出了勒贝格积分理论，为函数论的发展开辟了新的道路。
此外，数学家哈尔德（Hardy）和Weierstrass在函数的无穷级数展开方面做出了重要贡献。
现代数学中，函数不仅仅用来描述数学关系，而且还广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。
函数的定义也变得更加抽象和严谨，例如在函数分析中，函数被定义为从一个集合到另一个集合的映射。
总结而言，函数的形成与发展可以追溯到古代数学，并在现代数学中得到了进一步发展。
从欧几里得到牛顿和莱布尼兹，再到欧拉、拉格朗日和柯西，函数的定义和性质逐渐得到了深入研究。
函数概念的形成与演变
康托尔
从康托尔(Cantor， 从康托尔(Cantor，德， (Cantor 1845－1918)创立的集合论 1845－1918)创立的集合论 在数学中占有重要地位之后， 在数学中占有重要地位之后， 维布伦(Veblen (Veblen， 维布伦(Veblen，美，1880 1960)用 集合” 对应” －1960)用“集合”和“对应”的 概念给出了近代函数定义， 概念给出了近代函数定义， 通过集合概念， 通过集合概念，把函数的对 应关系、 应关系、定义域及值域进一 步具体化了，且打破了“ 步具体化了，且打破了“变 量是数”的极限， 量是数”的极限，变量可以 是数， 是数，也可以是其它对象 向量、 （点、线、面、体、向量、 矩阵等）。 矩阵等）。
在公元十六世纪之前， 公元十六世纪之前， 数学上占统治地位的是常量 数学，其特点是用孤立、 数学，其特点是用孤立、静 止的观点去研究事物。 止的观点去研究事物。具体 的函数在数学中比比皆是， 的函数在数学中比比皆是， 但没有一般的函数概念。 但没有一般的函数概念。
法國於1996年發行，紀念笛卡爾四百週年誕辰
函数概念的定义经过三百多年的 锤炼、变革， 锤炼、变革，形成了函数的现代定义 形式， 形式，但这并不意味着函数概念发展 的历史终结， 世纪 年代， 世纪40年代 的历史终结，20世纪 年代，物理学 研究的需要发现了一种叫做Dirac－δ 研究的需要发现了一种叫做 － 函数，它只在一点处不为零， 函数，它只在一点处不为零，而它在 全直线上的积分却等于1， 全直线上的积分却等于 ，这在原来的 函数和积分的定义下是不可思议的， 函数和积分的定义下是不可思议的， 但由于广义函数概念的引入，把函数、 但由于广义函数概念的引入，把函数、 测度及以上所述的Dirac－δ函数等概 测度及以上所述的 － 函数等概 念统一了起来。因此， 念统一了起来。因此，随着以数学为 基础的其他学科的发展， 基础的其他学科的发展，函数的概念 还会继续扩展。 还会继续扩展。
函数概念的发展简史
函数概念的发展简史函数是数学中一个基本且重要的概念，它的历史发展可以分为几个关键时期。
以下是对函数概念发展简史的概述：1.早期函数概念在早期的数学文献中，函数一词已经出现，但其所指的概念较为模糊，主要指代一些数学表达式和方程。
这一时期的函数概念尚未形成严谨的定义和理论体系。
2.18世纪函数概念在18世纪，函数概念得到了更深入的发展。
莱布尼茨（Leibniz）是这一时期函数概念的重要代表人物，他将函数定义为：如果一个量可以通过另一个量来计算，则称这两个量为函数。
这一概念强调了函数与数学表达式的密切关系，但仍然没有明确函数的定义和性质。
3.19世纪函数概念在19世纪，函数概念得到了更深入的探讨和定义。
伯努利（Bernoulli）家族、欧拉（Euler）等数学家对函数概念进行了更严谨的表述。
例如，欧拉将函数定义为：如果两个变量x和y满足某种关系，使得对于x的每一个值，y都有一个唯一确定的值与之对应，则称y是x的函数。
这个定义明确了函数的映射关系，为后续函数理论的发展奠定了基础。
4.20世纪函数概念进入20世纪后，函数概念逐渐成为数学领域的基础知识之一。
现代数学中，函数被定义为：对于给定的数集A和B中的元素之间建立一种对应关系，使得A中的每一个元素x都有一个唯一的元素y与之对应，则称y是x的函数，记为y=f(x)。
这个定义明确了函数的本质和基本性质，为后续函数理论的发展提供了坚实的基础。
5.现代函数概念随着数学学科的发展，函数概念也在不断拓展和深化。
现代数学中，函数已经成为一个重要的基础概念，被广泛应用于各个领域。
同时，函数的概念也在不断发展，如泛函分析、非线性分析等方向的研究进一步丰富了函数理论体系。
函数的发展以及函数概念教学
函数的发展以及函数概念教学
从函数概念的历史可以看出，函数概念的发展顺序是：运算——解析式——变量的依赖关系或对应关系——映射——集合的对应关系——序偶集。
以下是不同时期的数学家对函数概念的定义。
第一阶段：运算
1677年，格列高里：它是从其它的一些量经过一系列代数运算而得到的，或经过任何其它可以想象到的运算而得到。
第二阶段：解析式、曲线/图像
1797年，拉格朗日：所谓一个或几个量的函数是指任意一个适于计算的表达式，这些量在其中可以按任何形式出现于表达式中。
表达式中可以有其它一些被视为具有不变的值的量，而函数的值可以取所有可能的值。
1879年，弗雷格：如果在一个表达式中，一次或多次出现一个简单的或复合的符号，并且，我们认为这个符号在某些或所有出现的地方可以用其它事物替代（但各处要用同一事物替代），那么称表达式中保持不变的成分为函数，可替代的部分则是这个函数的自变量。
第三阶段：变量的依赖关系或对应关系
第四阶段：映射
第五阶段：集合的对应关系
第六阶段：序偶集
综上，函数主要概念经历了“变量说”——“对应说”——“关系说”300多年的变化，从初中到高中，最好到大学，教材上的函数概念一步步的抽象，直到用“序偶”来定义函数。
函数概念的发展历程
函数概念的发展历程
函数的概念发展历程可以追溯到古代。
以下是函数概念的主要里程碑和发展历程：
1. 古代：在古希腊，数学家们开始研究几何，并将曲线与方程联系起来。
亚历山大的方程书（约公元前200年）中包含了解决二次方程的方法，这可以被视为函数概念的早期形式。
2. 牛顿和莱布尼茨：17世纪末，牛顿和莱布尼茨独立发现了微积分，为函数概念的发展做出了重要的贡献。
他们引入了导数和积分的概念，并将函数与曲线的斜率和面积联系起来。
3. 18世纪：欧拉、拉格朗日、柯西和傅立叶等数学家对函数概念进行了深入的研究和推广。
他们对函数的连续性、可微性、极限等性质进行了研究，进一步拓展了函数概念的范围。
4. 19世纪：从19世纪开始，函数的定义逐渐得到了严格化。
魏尔斯特拉斯提出了ε-δ定义，以解决函数连续性的问题。
庞加莱提出了函数的互相映射的概念，并研究了函数的多值性。
5. 20世纪：20世纪，函数概念得到了更深入的发展和应用。
例如，黎曼几何中的度量空间和函数空间，拓扑学中的连通性和紧致性，以及泛函分析中的函数空间等。
总的来说，函数概念的发展历程经历了漫长而丰富的探索和发现，从最早的曲线与方程的联系，到微积分的引入，再到函数的严格定义和广泛应用，函数已成为现代数学和其他科学领域中最重要的概念之一。
关于函数的产生及发展的报告
关于函数的产生及发展的报告一、函数概念的纵向发展过程1、早期函数概念——几何观念下的函数十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。
1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线来研究的。
2、十八世纪函数概念——代数观念下的函数1718年约翰·贝努利(Bernoulli Johann，瑞，1667－1748)才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量，贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为，其在函数概念中所说的任一形式，包括代数式子和超越式子。
18世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)就给出了非常形象的，一直沿用至今的函数符号。
欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。
他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数），不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。
3、十九世纪函数概念——对应关系下的函数1822年傅里叶(Fourier，法，1768－1830)发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新的层次。
函数概念的发展史
函数概念的发展史函数是数学中的基本概念之一，它被广泛应用于各个领域，包括物理、化学、经济以及计算机科学等。
然而，函数的概念的发展历程可以追溯到公元前300年左右的古希腊。
以下是函数概念的发展史的综述。
1.阿基米德的方法（公元前287年）公元前300年左右，古希腊的数学家阿基米德提出了一个称为方法论（Method of Exhaustion）的方法来解决几何问题。
这一方法涉及到以一个恒定的速率逼近一个特定的数量，并通过这种逼近来计算其他数量。
这种方法实际上使用了近似函数的思想，被认为是函数概念的早期雏形。
2.斯嘉尼的分析（公元前200年）公元前200年左右，亚历山大的斯嘉尼（Apollonius of Perga）开始使用变量来表示几何问题中的未知量。
他将变量视为是一个数学对象，并使用代数的方法来研究几何形状。
斯嘉尼的分析（Apollonian Analysis）为后来函数的发展奠定了基础。
3.阿拉伯数学家的贡献（9-10世纪）在中世纪，阿拉伯数学家对函数的研究做出了重要贡献。
在9-10世纪，数学家阿尔哈桑·本·阿尔哈伯（Alhazen）和阿尔卡直赛（Al-Khazini）提出了类似于现代函数的概念。
他们将阿基米德的方法与斯嘉尼的分析相结合，引入了数学函数的概念。
此外，阿拉伯数学家还研究了三角函数和指数函数等一些基本函数。
4.勒让德和牛顿的贡献（17世纪）在17世纪，数学家皮埃尔-西蒙·勒让德（Pierre-Simon Laplace）和艾萨克·牛顿（Isaac Newton）对函数的概念进行了显著发展。
勒让德提出了现代函数概念的定义，他指出函数是输入值与输出值之间的关系。
牛顿则在他的微积分理论中广泛使用了函数的概念，将其与导数和积分等运算结合使用。
5.庞加莱和蔡氏的贡献（19-20世纪）在19-20世纪，法国数学家亨利·庞加莱（Henri Poincaré）和斯通达哈·拉马努金（Srinivasa Ramanujan）以及华罗庚等数学家对函数的研究做出了突出贡献。
函数概念的提出与发展演变
函数概念的提出与发展演变函数在当今社会应用广泛，在数学，计算机科学，金融，IT 等领域发挥着举足轻重的作用；在数学发展的历史上，函数这一概念从提出到如今渗透到数学的各个层面，都在数学学科中有着不可撼动的地位。
学好函数、了解函数的发展历史不仅能提高我们对函数概念的认知度，还能有助于我们更好的运用函数解决实际问题。
1 函数产生的社会背景函数（function）这一名称出自清朝数学家李善兰的着作《代数学》，书中所写“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.而在16、17 世纪的欧洲，漫长的中世纪已经结束，文艺复兴给人们的思想带来了觉醒，新兴的资本主义工业的繁荣和日益普遍的工业生产，促使技术科学和数学急速发展，这一时期的许多重大事件向数学提出了新的课题；哥白尼提出地动说，促使人们思考：行星运动的轨迹是什么、原理是什么。
牛顿通过落下的苹果发现万有引力，又自然使人想到在地球表面抛射物体的轨迹遵循什么原理等等。
函数就是在这样的一个思维爆炸的时代下渐渐被数学家们所认知和提出。
早在函数概念尚未明确之前，数学家已经接触过不少函数，并对他们进行了分析研究。
如牛顿在1669 年的《分析书》中给出了正弦和余弦函数的无穷级数表示；纳皮尔在1619 年阐明的对数原理为后世对数函数的发展提供有力依据。
1637年法国数学家笛卡尔创立直角坐标系，使得解析几何得以创力，为函数的提出和表述提供了更加直观的方式；直角坐标系可以很形象的表述两个变量之间的变化关系，但他还未意识到需要提炼一般的函数概念来阐述变量的关系。
17 世纪牛顿莱布尼兹提出微积分的概念，使得函数一般理论日趋完善，函数的一般概念表述呼之欲出。
在1673 年莱布尼兹首次使用函数一词来表示“幂”,而牛顿在微积分的研究中也使用了“流量”一词来表示变量之间的关系。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数概念的发展简史
1、函数概念的萌芽时期（自然函数、代数函数时期）[1]
函数思想是随着数学开始研究事物的运动变化而出现的。
而事实上，早期的数学是不研究事物的运动变化的。
古希腊科学家亚里士多德曾经认为，数学研究的是抽象的概念，而抽象的概念来自事物静止不动的属性。
例如，数学中的数、线、形等数学对象都不包括运动，运动变化是物理学研究的对象等等。
受其影响，直至14世纪，数学家们才逐渐开始研究物体的运动问题。
到了16世纪，由于实践的需要，自然科学开始转向对运动的研究，自然中各种变化和各种变化着的物理量之间的关系也就成为数学家关注的对象。
伽利略就是最早开展这方面研究的科学家之一，在他的著作里多处使用比例的语言表达了量与量之间的依赖关系。
例如，从静止状态自由下落的物体所经过的距离与所用时间的平方成正比，这正是函数概念所表达的思想意义。
16世纪法国数学家笛卡尔在研究曲线问题时，发现了量的变化及量与量之间的依赖关系，并在数学中引进了变量思想，在他的《几何学》中指出：所谓变量是指：“不知的和未定的量”，成为数学发展的里程碑，也为函数概念的产生奠定了思想基础。
直到17世纪下半期，牛顿—莱布尼兹的微积分问世时，数学上还没有明确的函数概念。
把“函数”（function）一词最早用作数学术语的是莱布尼兹，当时，莱布尼兹用“函数”（function）一词表示幂，如都叫函数。
后来又用函数表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量。
例如曲线上的点的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等等。
从这个定义看出，莱布尼兹利用几何概念，在几何的范围内揭示了某些量之间的依存关系。
可以说出现了函数概念的一点端倪，但函数的一般定义仍没有诞生。
原因在于：数学家们一直在同具体的函数打交道，对具体函数或求导，或积分，讨论各种各样的具体问题，并没有感到有定义一般函数概念的需要。
\
2、函数概念的初步形成（解析函数时期）[2] 18世纪微积分的发展促进了函数概念“解析定义”的发展。
瑞士著名数学家约翰·贝努利在研究积分计算问题时，提出：积分工作的目的是在给定变量的微分中，找出变量本身之间的关系。
而在对待“找出变量本身之间的关系”的表示上，显然用莱布尼兹定义的函数表示是很困难的。
于是，在1718年约翰·贝努利从解析的角度，把函数定义为：“变量的函数就是由某个变量及任意一个常数结合而成的量。
”意思是凡变量和常量构成的式子都叫做的函数。
贝努利所强调的函数要用公式来表示。
后来，数学家觉得不应该把函数概念局限在只能用公式来表达上，只要一些变量变化，另一些变量能随之而变化就可以，至于这两个变量的关系是否要用公式来表示，则不作为判别函数的标准18世纪，瑞士数学家欧拉在他的《无穷小分析引论》中进一步推广了他老师约翰·贝努利的定义：“一个变量的函数是由变量和一些数或常量以任何一种方式构造的解析式”。
并且早在1734年欧拉就已经用表示的函数，这个函数符号至今仍在沿用。
1755年，欧拉又在他的《微积分原理》的序言中把函数定义为：“如果某些变量以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。
”在欧拉的这个定义中，已经不强调函数要用公式表示了。
由于函数不一定用公式来表示，欧拉曾把画在坐标系上的曲线也叫函数。
他认为：“函数是随意画出的一条曲线。
”欧拉用“解析表达式”代替了约翰的“任意形式”，明确地表达了变量之间相互依赖的变化关系，这促进我们对函数概念的认识在严密性上前进了一大步。
但是，当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯，有的数学家甚至抱着怀疑的态度。
他们把能用公式表示的函数叫“真函数”，把不能用公式表示的函数叫“假函数”。
3、函数概念的确立（变量函数）[3]
在对前人函数概念的认识与发展的基础上，1821年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其它变数的值也可以随着确定时，则将最初的变数叫做自变量，其它各变数叫做函数”。
在柯西的函数定义中，首先引入了“自变量”一词。
按照这个定义，只要有自变量的一个值可以确定的相应值，则就是的函数。
显然，这个函数定义比以往的要广泛的多。
1834年，德国数学家罗巴切夫斯基进一步提出函数定义：“x的函数是这样一个数，它对于每一个x都有确定的值并且随着x一起变化。
函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提
供了一种寻求全部对应值的方法。
函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的。
”这个定义指出了对应关系的必要性，利用这个关系可以求出每一个的对应值。
后来，德国数学家狄利克雷也注意到，重要的不是“自变”所引起的因变，应该是变量之间的“对应”关系。
1837年，狄利克雷给出了意义更为广泛的函数概念：“如果对于的每一个x值，总有一个完全确定的y值与之对应，则是的函数。
”这个定义成功的引进了“单值对应”这个概念，巧妙地避免了过去函数定义中的不确定的“依赖关系”的描述，以清晰完美的方式表达了变量间的依赖关系，被19世纪的数学家普遍接受，成为传统函数定义的原型。
4、函数概念的再次发展（集合、映射函数）
19世纪末20世纪初，把函数看作一种对应或者映射的思想已经成形。
如果说前面两个世纪的人们把注意力更多的投放在函数的解析式上，那么20世纪的数学家开始关注自变量的取值范围，这不仅仅是因为实际问题给数学提出了相应的课题，更主要的是德国数学家康托尔开创了一个全新的数学分支——集合论。
由此，集合论的思想与方法很快就渗透到了数学的各个领域，著名数学家庞加莱曾经说过：“由于有了集合论，现在我们可以说，数学的完全严格性已经达到了。
”所以，用集合的语言重新叙述函数的定义，成了进一步严格函数概念的最好途径。
20世纪，美国数学家使用集合与对应的语言这样定义函数：“在变量的集合与另一个变量的集合之间，如果存在着对于x的每一个值，有确定的值y与之对应这样的关系，那么，变量y就叫做变量x的函数”。
这个函数概念就是现在高中课本所采用的了。
[4]。