公务员考试——容斥原理问题

知识框架

数学运算问题一共分为十四个模块，其中一块是容斥原理问题。

在公务员考试中，根据集合的个数，容斥原理问题一般只有两集合容斥关系和三集合容斥关系两种类型，两集合容斥关系一般只要采用公式法就可轻松解决，三集合容斥关系又可分为标准型、图示标数型、整体重复型三类，对应解题方法分别是公式法、文氏图法、方程法。无论集合中的元素怎么变化，同学只要牢牢把握这两类型，就能轻松搞定容斥原理问题。

核心点拨

1、题型简介

容斥原理是在不考虑重叠的情况下，先将所有对象的数目相加，然后再减去重复的部分，从而使得计算的结果既无遗漏又无重复。掌握容斥原理问题，可以帮助同学们解决多集合元素个数的问题。

2、核心知识

（1）两个集合容斥关系

（2）三个集合容斥关系

A、标准型公式

B、图示标数型（文氏图法）

画图法核心步骤：

1画圈图；

2数字(先填最外一层，再填最内一层，然后填中间层)；

③做计算。

C、整体重复型

A、B、C分别代表三个集合（比如“分别满足三个条件的元素数量”）；

W代表元素总量（比如“至少满足三个条件之一的元素的总量”）；

x代表元素数量1（比如“满足一个条件的元素数量”）；

y代表元素数量2（比如“满足两个条件的元素数量”）；

z代表元素数量3（比如“满足三个条件的元素数量”）。

3、核心知识使用详解

（1）容斥原理问题要清楚容斥原理公式中各项的实际含义，与题中的数据准确对应。

（2）容斥原理问题的关键在于把文字转化为文氏图，在图中应准备反应题中集合之间的关系。

（3）容斥问题的难度在于题中集合可能较多，某些集合之间的关系可能不确定，这需要仔细的分析，抓住不确定的。

夯实基础

1. 两个集合容斥关系

例1：(2007年中央第50题)

小明和小强参加同一次考试，如果小明答对的题目占题目总数的，小强答对了27道题，他们两人都答对的题目占题目总数的，那么两人都没有答对的题目共有（）。

A. 3道

B. 4道

C. 5道

D. 6道

【答案】

D

【解析】

[题钥]

由于不知道这次考试题目的总数，所以可先设题目总数即元素总量为。

“小明答对的题目占题目总数的”，相当于集合A为。

“小强答对了27道题”，相当于集合B为27。

“他们两人都答对的题目占题目总数的”，相当于集合。

“两人都没有答对的题目”，相当于求集合。

[解析]

根据题意，

确定元素总量W：；

确定集合A：；

确定集合B：27；

确定集合：；

代入两集合公式：

＝＝

因为和均为题数，须均为正整数，所以必须为12的倍数，而且由选项知：3≤≤6

当W＝12时，＝－16，不合题意；

当W＝24时，＝－5，不合题意；

当W＝36时，＝6，符合题意。

所以，两人都没答对的题目为6道。

因此，选B。

2. 三个集合容斥关系

例2：（浙江行测真题）

某专业有学生50人，现开设甲、乙、丙三门选修课。有40人选修甲课程，36选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课的有28人，兼选甲、丙两门课的有26人，兼选乙、丙门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，问三课均未选的有多少人？( )

A. 1人

B. 2人

C. 3人

D. 4人

【答案】

B

【解析】

[题钥]

“某专业有学生50人”，相当于元素总量W为50。

“有40人选修甲课程”，相当于集合A为40。

“36选修乙课程”，相当于集合B为36。

“30人选修丙课程”，相当于集合C为30。

“兼选甲、乙两门课的有28人”，相当于集合=28。

“兼选甲、丙两门课的有26人”，相当于集合=26。

“兼选乙、丙门课程的有24人”，相当于集合=24。

“甲、乙、丙三门课程均选的有20人”，相当于集合=20。

“问三课均未选的有多少人?”相当于求集合。

[解析]

根据题意，

确定元素总量W：50

确定集合A：40

确定集合B：36

确定集合C：30

确定集合：28

确定集合：26

确定集合：24

确定集合：20

代入三集合标准型公式：

＝50-（40+36+30-28-24-26+20）

＝2

因此，选B。

例3：（国家行测真题）

某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备选择两种考试参加的有46人，不参加其中任何一种考试的有15人。问接受调查的学生共有多少人？( )

A. 120

B. 144

C. 177

D. 192

【答案】

A

【解析】

[题钥]

观察题目，属于三个集合容斥关系中的标数型问题，可采用文氏图法求解。

[解析]

本题属于标数型问题，可采用文氏图法求解，如下图所示。

图中，黑色部分是准备参加两种考试的学生，灰色部分是准备参加三种考试的学生。计算总人数时，黑色部分重复计算了一次，灰色部分重复计算了两次，所以接受调查的学生共有：

63＋89＋47－24×2－46＋15＝120人。

因此，选A。

例4：(浙江2004－20)

某班有35个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的一个课外活动小组。现已知参加英语小组的有17人，参加语文小组的有30人，参加数学小组的有13人。如果有5个学生三个小组全参加了，问有多少个学生只参加了一个小组？( )

A. 15人

B. 16人

C. 17人

D. 18人

【答案】

A

【解析】

[题钥]

“某班有35个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的一个课外活动小组”，相当于元素总量W为35。

“参加英语小组的有17人”，相当于集合A为17。

“参加语文小组的有30人”，相当于集合B为30。

“参加数学小组的有13人”，相当于集合C为13。