公务员考试——容斥原理问题
公考容斥问题解题技巧
公考容斥问题解题技巧
一、理解问题背景
容斥问题在公务员考试中是一种常见的题型，主要考察考生对于集合概念的理解和应用。
在解决这类问题时，首先要明确问题的背景和涉及的集合。
了解题目所给的各个集合的元素以及它们的属性，以便更好地分析问题。
二、识别关键信息
在阅读题目时，要迅速识别出关键信息，尤其是涉及到集合关系和数量关系的语句。
这些信息将有助于确定解题思路和方向，避免在解题过程中出现混乱。
三、使用公式计算
解决容斥问题需要使用到一定的公式进行计算。
考生应熟练掌握基本的公式，如容斥原理公式：∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣（∣A∪B∣表示集合A和集合B的并集的元素数量，∣A∣和∣B∣分别表示集合A和集合B的元素数量，∣A∩B∣表示集合A和集合B的交集的元素数量）。
通过合理运用公式，可以快速准确地得出答案。
四、避免重复和遗漏
在解题过程中，要注意避免重复计数和遗漏。
当分析两个集合之间的关系时，要特别小心，确保每个元素只被计算一次，并且所有的元素都被考虑在内。
通过仔细分析集合之间的关系，可以有效地避免重复和遗漏。
五、提高运算速度
在考试中，时间是非常宝贵的。
为了提高解题速度，考生需要熟练掌握各种运算技巧和方法。
通过练习和总结经验，考生可以逐渐提高自己的运算速度，从而在考试中更加从容地应对各种问题。
综上所述，解决公考容斥问题需要考生具备一定的数学基础和逻辑思维能力。
通过理解问题背景、识别关键信息、使用公式计算、避免重复和遗漏以及提高运算速度等技巧，考生可以更加高效地解决这类问题，提高自己的考试成绩。
考公数量容斥问题
考公数量容斥问题容斥问题在公务员考试中是一种常见的数学问题，它涉及到集合和计数原理的应用。
在数量关系和资料分析中，容斥问题通常涉及到两个或多个集合，以及它们的交集和并集。
解决容斥问题时，首先需要明确各个集合的元素和范围，然后根据题目要求选择适当的集合运算方法。
常见的集合运算包括并集、交集、差集等。
下面是一个简单的容斥问题示例：一个班里有30个学生，其中10个是数学爱好者，8个是物理爱好者，5个是化学爱好者。
有些学生同时喜欢数学和物理，有些学生同时喜欢数学和化学，有些学生同时喜欢物理和化学。
请问这个班里有多少学生同时喜欢数学、物理和化学？首先，我们可以使用集合的概念来描述这个问题。
设A表示数学爱好者的集合，B表示物理爱好者的集合，C表示化学爱好者的集合。
根据题目，我们有以下信息：A = 10（数学爱好者的人数）B = 8（物理爱好者的人数）C = 5（化学爱好者的人数）A ∩ B（同时喜欢数学和物理的人数）A ∩ C（同时喜欢数学和化学的人数）B ∩ C（同时喜欢物理和化学的人数）我们需要求解的是同时喜欢数学、物理和化学的学生人数，即A ∩ B ∩ C。
根据容斥原理，我们有：A ∩B ∩C = A + B + C - A ∩ B - A ∩ C - B ∩ C + A ∩ B ∩ C将已知数值代入公式中，我们得到：A ∩B ∩C = 10 + 8 + 5 - A ∩ B - A ∩ C - B ∩ C + A ∩ B ∩ C由于题目没有给出同时喜欢数学、物理和化学的学生人数，我们需要使用其他方法来求解。
常用的方法是使用韦恩图来直观地表示集合之间的关系，从而得出结果。
公务员笔试之行测：巧解三集合容斥原理问题
2014年公务员行测：巧解三集合容斥原理问题华图教育三集合容斥原理此类题型主要出现在近年来各省的省考中，主要是有三个独立的个体，此类题型主要的做题方法是公式法和作图法。
近年来直接套用三集合公式的题目有所减少，开始出现条件变形的题目，不管容斥原理的题目怎么变化，但我们只要掌握住核心思想——剔除重复，那么做任何一个容斥原理题目都能够得心应手。
根据上图，可得三集合容斥原理核心公式：=A +B +C -A B -B C -A C +A B C =-x A B C 总数一、直接利用公式型【例1】（2012年4月联考）某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为：A. 7人B. 8人C. 5人D. 6人【答案】A 【解析】设同时报乙、丙职位的人数为x ，则根据三集合容斥原理公式有：22+16+25-8-6-x+0=42-0，解得x=7。
因此，本题答案为A 选项。
二、三集合容斥原理作图型若在题目中任何一个位置看到“只满足”或“仅满足”，则公式法不能够再用，采用作图法来解题，注意，在作图的时候不管三七二十一，先画三个两两相交的圈，再往里填数字即可，填的时候注意从中间往外一层一层填。
【例2】（2007年江苏）一次运动会上，17名游泳运动员中，有8名参加了仰泳，有10 Cx B A名参加蛙泳，有12名参加了自由泳，有4名既参加仰泳又参加蛙泳，有6名既参加蛙泳又参加自由泳，有5名既参加仰泳又参加自由泳，有2名这3个项目都参加，这17名游泳运动员中，只参加1个项目的人有多少？（）A.5名B.6名C.7名D.4名【答案】B【解析】本题问题中出现了“只”，故只能采用作图法。
于是有仰12 2 2 34 3蛙自由只参加1个项目的人数为1+2+3=6。
因此，本题答案为B选项。
公务员考试行测技巧：容斥原理公式及运用
【示例1】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？
数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。
【示例2】某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？
参加足球队→A，参加排球队→B，参加游泳队→C，足球、排球都参加的→A∩B，足球、游泳都参加的→C∩A，排球、游泳都参加的→B∩C，三项都参加的→A∩B∩C。三项都参加的有A∩B∩C=A∪B∪C-A-B-C+A∩B+B∩C+C∩A=45-25-22-24+12+9+8=3人。
在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，中公教育专家研究出一种新的计数方法。这种方法的基本思路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
一、容斥原理1：两个集合的容斥原理
二、容斥原理2：三个集合的容斥原理
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。
如下图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-（A∩B-A∩B∩C）-（B∩C-A∩B∩C）-（C∩A-A∩B∩C）-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到：
公务员考试行测数量关系：容斥原理和抽屉原理练习题及答案
公务员考试行测数量关系：容斥原理和抽屉原理练习题及答案1.某通讯公司对3542个上网客户的上网方式进行调查，其中1258个客户使用手机上网，1852个客户使用有线网络上网，932个客户使用无线网络上网。
如果使用不只一种上网方式的有352个客户，那么三种上网方式都使用的客户有多少个?A.148B.248C.350D.5002.36名女生结伴购物，21人买了长裙，24人买了短裙，24人买了超短裙;14人买了长裙和短裙，15人买了短裙和超短裙，13人买了长裙和超短裙;只有一位羞涩的小姑娘一条裙子都没买。
请问，共有几名女生购买了三种裙子?A.1B.5C.8D.93.100人参加7项活动，已知每个人只参加一项活动，而且每项活动参加的人数都不一样。
那么，参加人数第四多的活动最多有几人参加?A.22B.21C.24D.234.如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三张不同形状的纸片。
它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。
且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36。
问阴影部分的面积是多少?A.15B.16C.14D.185.三位专家为10幅作品投票，每位专家分别都投出了5票，并且每幅作品都有专家投票。
如果三位专家都投票的作品列为A等，两位专家投票的列为B等，仅有一位专家投票的作品列为C等，则下列说法正确的是()。
A.A等和B等共6幅B.B等和C等共7幅C.A等最多有5幅D.A等比C等少5幅6.将104张桌子分别放到14个办公室，每个人办公室至少放一张桌子，不管怎样分至少有几个办公室的桌子数是一样多?A.2B.3C.7D.无法确定7.从1，2，3，…，49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数?A.23B.24C.25D.268.10个足球队之间共赛了11场，赛得最多的球队至少赛了几场?A.3B.4C.6D.59.某学校1999名学生去游故宫、景山和北海三地，规定每人至少去一处，至多去两地游览，那么至少有多少人游的地方相同?A.35B.186C.247D.10.将104张桌子分别放到14个办公室，每个人办公室至少放一张桌子，不管怎样分至少有几个办公室的桌子数是一样多?A.2B.3C.7D.无法确定参考答案及解析1.【答案】A。
国考行测容斥原理解题技巧
二、 三集合类型
国考行测容斥原理解题技巧
在行测考试中，容斥原理题令很多考生头疼不已，因为容斥原理题看起来复杂多变，让考生 一时找不着头绪。 但该题型还是有着非常明显的内在规律， 只要考生能够掌握该题型的内在 规律，看似复杂的问题就能迎刃而解，下面就该题型分两种情况进行剖析，相信能够给考生 带来一定的帮助。
一、 两集合类型
1、 解题技巧 题目中所涉及的事物属于两集合时， 容斥原理适用于条件与问题都可以直接代入公式的题目， 公式如下： A B A B A B . 快速解题技巧：总数=两集合数之和+两集合之外数-两集合公共数 2、 真题示例 【例1】 现有 50 名学生都做物理、化学实验，如果做物理实验正确的有 40 人，化学实 验做正确的有 31 人，两种实验都做错的有 4 人，则两种实验都做对的有（ ） 人 A、27 人 B、25 人 C、19 人 D、10 人 【答案】B 【解析】直接代入公式为：50=40+31+4-A ∩B 解得 A B 25 ，所以答案为 B 。 【注】这里应设 A =物理实验做正确的人数，B =化学实验做正确的人数，U=做物理、化学实 验的人数，则 A=40，B=31，U=50， A B 4 ，
U=A+B+A B-A BAU NhomakorabeaB
【例2】
某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半，其中 25%是白色的，75%是 蓝色的。如果这批衬衫共有 100 件，其中大号白色衬衫有 10 件，小号蓝色衬衫 有多少件？（ ） A、15 B 、25 C 、35 D、40 【答案】C 【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，本题设小号和蓝色分别为 A、B，小 号占 50%，蓝色占 75%，直接代入公式为： 100=50+75+10-A B ， 解得， A B=35 。
国家公务员考试行测：数量关系容斥问题
国家公务员行测考试中会考察到容斥问题，容斥问题的实质就是数数，在数数的时候能准确将题目中所涉及的量明确分类，而且分类的时候不能重复，也不能遗漏。
下面专家为大家讲解容斥问题的几种题型及解题方法，希望能对考生有所帮助。
一、两者容斥问题如上图所示，一个班级的总人数为I人，其中喜欢语文的有A人，喜欢数学的有B人，两者都不喜欢的有Y人，问两者都喜欢的至少有多少人?解析：这个例题很经典，当我们用一般方法去思考时很容易把自己绕进去，所以在这里专家给大家一个很好用的公式，只要把这个模板套进去，式子自然就列出来了，对于这道题，显然题目让求得量是X，那么根据图可得I = A + B - X + Y,在这里要减去X就是因为，A 和B里边都含有X，相加完之后X重复了一次，所以要把多余的这一次减掉，此时，对应着题目所给的量代入，即可求出X的值。
强化练习：电视台向100个人调查昨天收看电视情况，有62人看过一频道，有34人看过六频道，有11个人两个频道都看过，问：两个频道都没有看过的有多少人?A 4B 15C 17D 25解析：这道题和上面讲述的例题一样，只要明白这道题让求得量是Y就可以了，所以直接套公式I = A + B - X + Y，I、A、B、X分别对应100、62、34、11，代入就能求出Y为15，所以答案选B。
二、三者容斥问题如上图所示，这个模型表示的含义是：一个班一共有学生I人，喜欢语文的有A人，喜欢数学的有B人，喜欢英语的有C人，只喜欢语文和数学的有e人，只喜欢语文和英语的有f人，只喜欢数学和英语的有g人，三科都喜欢的有X人，三科都不喜欢的有Y人，对于这个模型可以表示为I = A + B + C - ( e + f + g ) -2X + Y,对于这个式子一定要明白每一个量表示的是什么意思，这样做题的时候就容易知道让我们求得量是谁，到时候直接套公式就行了。
强化练习：某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，其中有89人看过甲片，47人看过乙片，63人看过丙片，24人三部电影全看过，20人一部也没看过，则只看过其中两部电影的人数是( )A 69人B 65人 C57人 D 46人解析：这道题的文法跟例题有一点点出入，但变化不大，在公式I = A + B + C - ( e + f + g ) -2X + Y中， e + f + g作为一个整体来看，表示的量就是只看过两部电影的人数，也就是要求的量，所以直接把题目所给出的量代入即可，所求答案为46人，选D。
国考行测三集合容斥原理
国考行测三集合容斥原理
集合容斥原理是组合数学中的一种常用原理，常用于解决集合问题。
在国家公务员考试中，行测部分经常涉及与集合相关的题目，而集合容斥原理则是解决这类问题的一种有效方法。
集合容斥原理描述了多个集合之间的差集和交集的关系。
具体来说，对于给定的n个集合A1、A2、...、An，集合容斥原理
可以帮助我们计算出这些集合的并集的元素个数。
集合容斥原理的公式为：
|A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An| = |A1| + |A2| + ... + |An| - |A1 ∩ A2| - |A1
∩ A3| - ... + (-1)^n-1 |A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An|
其中，|A|表示集合A的元素个数。
在国考行测中，集合容斥原理常常可以用于解决关于人员分组、选修课程、考试通过等问题。
通过运用集合容斥原理，我们可以得到相应的计算式，从而求得准确的答案。
需要注意的是，在实际运用中，对于给定的具体问题，我们需要根据情况决定要包含哪些集合以及如何计算交集和差集。
并且，根据具体情况，可能需要结合其他的解题方法进行综合运用。
总的来说，集合容斥原理在国考行测中是一种非常有用的解题方法，能够帮助我们清晰地分析问题，准确地求解答案。
因此，对集合容斥原理的理解和掌握对于国考行测的备考非常重要。
公考行测数量关系-容斥原理
1、某乡镇对集贸市场36种食品进行检查，发现超过保质期的7种，防腐添加剂不合格的9种，产品外包装标识不规范的6种。
其中，两项同时不合格的5种，三项同时不合格的2种。
问三项全部合格的食品有多少种：答：本题注意按照不合格得到三个类，进行容斥原理分析，分别设三项全部合格、仅一项不合格的产品有、种，根据题意可得：，，联立解得，，因此三项全部合格的食品有23种。
2、某通讯公司对3542个上网客户的上网方式进行调查，其中1258个客户使用手机上网，1852个客户使用有线网络上网，932个客户使用无线网络上网。
如果使用不只一种上网方式的有352个客户，那么三种上网方式都使用的客户有多少个：答：设三种上网方式都使用的客户有x人，根据三集合容斥原理非标准公式：A+B+C-只满足两个条件的个数-2×满足三个条件的个数=总数-三个条件都不满足的个数，可得方程1258+1852+932-（352-x）-2x=3542，解得x=148.3、一旅行团共有50位游客到某地旅游，去A景点的游客有35位，去B景点的游客有32位，去C景点的游客有27位，去A、B景点的游客有20位，去B、C景点的游客有15位，三个景点都去的游客有8位，有2位游客去完一个景点后先行离团，还有1位游客三个景点都没去。
那么，50位游客中有多少位恰好去了两个景点：答：方法一：设去A、C景点的游客有人，根据容斥原理标准公式可得：，可得；因此恰好去了两个景点的有人（可根据尾数法选择）。
方法二：设有名游客恰好去了两个景点，根据容斥原理非标准公式可得：（可根据尾数法选择），可得人。
4、工厂组织工人参加技能培训，参加车工培训的有17人，参加钳工培训的有16人，参加铸工培训的有14人，参加两项及以上培训的人占参加培训总人数的2/3，三项培训都参加的有2人，问总共有多少人参加了培训？答：设参加培训的总人数为n。
根据三集合容斥原理非标准公式：A+B+C-只满足两个条件的个数-2×满足三个条件的个数=总数-三个条件都不满足的个数，可得方程17+16+14-（n-2）-2×2=n，解得n=27。
公务员考试数量关系运算
一、容斥原理容斥原理关键就两个公式：1. 两个集合的容斥关系公式：A+B=A∪B+A∩B2. 三个集合的容斥关系公式：A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C请看例题：【例题1】某大学某班学生总数是32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( )A.22B.18C.28D.26【解析】设A=第一次考试中及格的人数(26人),B=第二次考试中及格的人数(24人),显然,A+B=26+24=50; A∪B=32-4=28，则根据A∩B=A+B-A∪B=50-28=22。
答案为A。
【例题2】电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。
问两个频道都没看过的有多少人?【解析】设A=看过2频道的人(62)，B=看过8频道的人(34)，显然，A+B=62+34=96;A∩B=两个频道都看过的人(11)，则根据公式A∪B=A+B-A∩B=96-11=85，所以，两个频道都没看过的人数为100-85=15人。
二、作对或做错题问题【例题】某次考试由30到判断题，每作对一道题得4分，做错一题倒扣2分，小周共得96分，问他做错了多少道题?A.12B.4C.2D.5【解析】方法一：假设某人在做题时前面24道题都做对了,这时他应该得到96分,后面还有6道题,如果让这最后6道题的得分为0,即可满足题意.这6道题的得分怎么才能为0分呢?根据规则,只要作对2道题,做错4道题即可,据此我们可知做错的题为4道,作对的题为26道。
方法二：作对一道可得4分,如果每作对反而扣2分,这一正一负差距就变成了6分.30道题全做对可得120分,而现在只得到96分,意味着差距为24分,用24÷6=4即可得到做错的题,所以可知选择B。
三、植树问题核心要点提示：①总路线长②间距(棵距)长③棵数。
考公容斥问题公式
考公容斥问题公式考公中的容斥问题公式，那可是个有趣又有点小复杂的家伙！咱先来说说啥是容斥问题。
简单来讲，就是在一个集合里面，有各种子集合，然后要算它们之间的重叠部分或者不重叠部分的数量。
比如说，一个班级里，喜欢数学的有多少人，喜欢语文的有多少人，既喜欢数学又喜欢语文的有多少人，那通过容斥问题的公式就能算出只喜欢数学的、只喜欢语文的，还有都不喜欢的分别有多少人。
容斥问题的公式主要有两个常见的：一是两集合容斥公式：A∪B = A + B - A∩B 。
比如说一个班有 50 个人，参加数学竞赛的有 20 人，参加语文竞赛的有 30 人，其中 10 人两个竞赛都参加了，那参加竞赛的总人数就是 20 + 30 - 10 = 40 人。
二是三集合容斥公式：A∪B∪C = A + B + C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C 。
就像一个公司搞活动，喜欢唱歌的有 30 人，喜欢跳舞的有25 人，喜欢表演小品的有 20 人，既喜欢唱歌又喜欢跳舞的有 10 人，既喜欢跳舞又喜欢表演小品的有 8 人，既喜欢唱歌又喜欢表演小品的有 5 人，三种都喜欢的有 3 人。
那参加活动的总人数就是 30 + 25 + 20 - 10 - 8 - 5 + 3 = 50 人。
我记得之前给学生们讲容斥问题的时候，有个学生一直搞不明白，愁得小脸都皱起来了。
我就给他举了个特别生活化的例子。
咱就说去超市买水果，苹果区有一堆人，香蕉区有一堆人，还有既买了苹果又买了香蕉的人。
让他自己去想想怎么算一共多少人买了水果。
这孩子后来恍然大悟，那种突然开窍的表情，真让人觉得特有成就感。
容斥问题在考公里可重要啦，好多题目都跟它有关。
像那种给出各种条件，让你算人数或者数量的题目，要是不会容斥问题公式，那可就抓瞎啦。
比如说一个单位，会英语的有多少，会日语的有多少，两种都会的有多少，然后问你至少会一种语言的有多少人。
这时候，容斥问题公式就能派上大用场。
公考容斥原理公式
公考容斥原理公式容斥原理是公务员考试中一个挺有意思的知识点。
咱们先来看看啥是容斥原理。
打个比方，咱就说学校组织活动，参加数学竞赛的有 A 个人，参加语文竞赛的有 B 个人，既参加数学又参加语文的有 C 个人。
那参加这两个竞赛的总人数咋算呢？这时候容斥原理就派上用场啦！两集合的容斥原理公式是：A∪B = A + B - A∩B 。
用咱上面说的例子，参加竞赛的总人数就是参加数学竞赛的人数加上参加语文竞赛的人数，再减去两项都参加的人数。
再比如说，有一个班级，喜欢语文的同学有 20 个，喜欢数学的同学有 30 个，既喜欢语文又喜欢数学的有 10 个。
那喜欢语文或者喜欢数学的同学一共有多少个呢？咱就用 20 + 30 - 10 = 40 个。
那要是有三个集合呢？比如说参加英语竞赛的有 D 个人。
这时候的容斥原理公式就变成了：A∪B∪C = A + B + C - A∩B - A∩C - B∩C + A∩B∩C 。
我之前给学生讲这个知识点的时候，有个学生特别迷糊，一直搞不清楚为啥要加上A∩B∩C 。
我就给他举了个例子，比如说咱们班组织看电影、唱歌和聚餐。
看电影的有 25 人，唱歌的有 30 人，聚餐的有20 人，既看电影又唱歌的有 10 人，既看电影又聚餐的有 8 人，既唱歌又聚餐的有 6 人，三样都参加的有 3 人。
那咱们来算算一共多少人参加了活动。
按照公式就是 25 + 30 + 20 - 10 - 8 - 6 + 3 = 54 人。
这个学生还是有点晕乎，我就给他画了个大大的图，把看电影、唱歌、聚餐的区域标出来，然后一点点给他解释，哪些地方被重复计算了，哪些地方被漏掉了。
最后这学生恍然大悟，还跟我说：“老师，我这下可算搞明白了！”其实啊，容斥原理在公考中经常出现，而且形式多样。
可能是人员参加活动，可能是商品的选购，还可能是各种不同条件的组合。
比如说有一道题，一个公司里会编程的有 50 人，会设计的有 40 人，两种都会的有 20 人，问至少会一种的有多少人。
公务员考试-容斥原理问题
容斥原理问题——基础学习一、解答题2、两个集合容斥原理例1：四年级一班有54人，定阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订阅《小学生优秀作文》的有45人每人至少订阅一种读物，订阅《数学大世界》的有多少人？（）A．13 B．22 C．33 D．41【答案】B【解题关键点】设A={定阅《小学生优秀作文》的人}，B={订阅《数学大世界》的人}，那么A∩B={同时订阅两本读物的人}，A∪B={至少订阅一样的人}，由容斥原则，B=A∪B+A∩B-A=54+13-45=22人。
3、两个集合容斥原理例2：五年级有122名同学参加语文、数学考试，每个至少有一门功课取得优秀成绩，其中语文成绩优秀的有65人，数学成绩优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？（）A． 30 B．35 C．57 D．65【答案】A【解题关键点】此题是典型的两个集合的容斥问题，因此，可以直接有两个集合的容斥原理得到，语文和数学都优秀的学生有65+87-122=30人。
4、两个集合容斥原理例3：学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手提琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两样都会的有8人。
这个文艺组共有多少人？（）A．25 B．32 C．33 D．41【答案】C【解题关键点】设A={会拉手提琴的}，B={会弹电子琴的}，因此A∪B ={文艺组的人}，A∩B={两样都会的}，由两个集合的容斥原理可得：A∪B=A+B- A∩B=24+17-8=33。
5、两个集合容斥原理例4：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的人有23人，两题都答对的有15人，问多少个同学两道题都没有答对？（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解题关键点】有两个集合的容斥原理得到，至少答对一道题的同学有25+23-15=33人，因此两道题都没有答对的同学有36-33=3人。
7、三个集合容斥原理例1：某大学有外语教师120名，其中教英语的有50名，教日语的有45名，教法语的有40名，有15名既教英语又教日语，有10名既教英语又教法语，有8名既日语又教法语，有4名教英语、日语和法语三门课，则不交三门课的外语教师有多少名？（）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B【解题关键点】此题是三个集合的容斥问题，根据容斥原理可以得到，至少教英、日、法三门课其中一门的外语教师有50+45+40-10-8-4=106，不做这三门课的外语教师人数为120-106=14名。
容斥原理题再也不用怕,两个万能公式
容斥原理题再也不用怕，两个万能公式容斥原理题再也不用怕，两个万能公式1．关键提示：容斥原理是2004年、2005年中央国家公务员考试的一个难点，很多考生都觉得无从下手，其实，容斥原理关键内容就是两个公式，考生只要把这两个公式灵活掌握就可全面应对此类题型。
另外在练习及真考的过程中，请借助图例将更有助于解题。
2．核心公式：（1）两个集合的容斥关系公式：A ＋B＝A∪B＋A∩B（2）三个集合的容斥关系公式：A ＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C例题1：2004年中央A类真题某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( )。
A．22 B．18 C．28 D．26解析：设A＝第一次考试中及格的人（26），B＝第二次考试中及格的人（24）显然，A＋B＝26＋24＝50；A∪B＝32－4＝28，则根据公式A∩B＝A＋B－A∪B＝50－28＝22所以，答案为A。
例题2：2004年山东真题某单位有青年员工85人，其中68人会骑自行车，62人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有12人，则既会骑车又会游泳的有（）人 A.57 B.73 C.130 D.69解析：设A＝会骑自行车的人（68），B＝会游泳的人（62）显然，A＋B＝68＋62＝130；A∪B＝85－12＝73，则根据公式A∩B＝A＋B－A∪B＝130－73＝57所以，答案为A。
例题3：电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。
两个频道都没看过的有多少人？解析：设A＝看过2频道的人（62），B＝看过8频道的人（34）显然，A＋B＝62＋34＝96；A∩B＝两个频道都看过的人（11）则根据公式A∪B＝A＋B－A∩B＝96－11＝85所以，两个频道都没有看过的人数＝100－85＝15所以，答案为15。
国家公务员考试行测容斥问题详解
国家公务员考试行测容斥问题详解国家公务员考试行测容斥问题详解：容斥问题容斥问题即包含与排斥问题，它是一种计数问题。
在计数时，几个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们的和中排除重复部分，采用这种计数方法的题型称为容斥问题。
国家公务员考试行测容斥问题详解：题目特点题目中给出多个概念，概念之间存在交叉关系。
国家公务员考试行测容斥问题详解：常考题型1、二者容斥问题公式：覆盖面积=A+B-A与B的交集例1:大学四年级某班有50名同学，其中奥运会志愿者10人，全运会志愿者17人，30人两种志愿者都不是，则班内是全运会志愿者且奥运会志愿者的同学是多少?A.6B.7C.8D.9解析：两个概念分别的奥运会志愿者和全运会志愿者，设班内是全运会志愿者且奥运会志愿者的同学有X人，则有10+17-X+30= 50,所以X=7,即班内是全运会志愿者且奥运会志愿者的同学有7人。
2.三者容斥问题公式：覆盖面积=A+B+C-两者交-2三者交例2:某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影都看过，20人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是多少人?A、69B、65C、57D、46解析：三个概念分别是甲片、乙片、丙片，假设只看过其中两部电影的人数有X人，则89+47+63-X-224+20=125.所以X=46.即只看过其中两部电影的人数有46人。
3.容斥极值问题容斥极值最常考的就是容斥交集的最小值，我们可以套用公式解决。
①(AB)=A+B-I (I表示全集)②(ABC)=A+B+C-2I③(ABCD)=A+B+C+D-3I例3:小明、小刚、小红、小英四人一起参加一次英语考试，已知考试共有100道题，且小明做对了79题，小刚做对了88题，小红做对了91题，小英作对了89.问题：①小明和小刚都最对的题目至少有几题?②小明、小刚、小红都最对的题目至少有几题?③小明、小刚、小红、小英四人最对的题目至少有几题?解析：①小明和小刚都最对的题目至少有79+88-100=67人②小明、小刚、小红都最对的题目至少有79+88+91-2100=58人③小明、小刚、小红、小英四人最对的题目至少有79+88+91+89-3100=47人。
公考容斥原理
公考容斥原理
哎呀呀，朋友们！今天咱们来聊聊公考容斥原理。
这可真是个超级有趣的东西呢！
你看哈，就好比我们去参加一场大派对。
在这个派对上，有喜欢跳舞的人（设为 A 集合），有喜欢唱歌的人（设为 B 集合），还有既喜欢跳舞又喜欢唱歌的人（这就是 A 和 B 的交集啦）。
那我们怎么知道整个派对上到底有多少种不同爱好的人呢？这就要用到容斥原理啦！比如说，喜欢跳舞的有 20 人，喜欢唱歌的有 30 人，既喜欢跳舞又喜欢唱歌的有 10 人，那我们就能通过容斥原理算出总共有多少独特爱好的人啦！
容斥原理就像是我们解决这类问题的一把神奇钥匙！它能帮我们理清这些复杂的关系。
比如在公考题中，常常会有这样的题目：一个班级里，会数学的有多少人，会语文的有多少人，两者都会的有多少人，然后让我们求班级里掌握至少一门的有多少人。
这时候，容斥原理不就派上大用场了嘛！
我之前就遇到过一道这样的题，当时真是有点懵，但仔细一想，这不就是容斥原理嘛！然后我就一步一步运用这个原理，嘿，还真就把答案给算出来了。
我当时就特别兴奋，觉得自己掌握了一个超厉害的技能。
所以呀，大家可别小看这个容斥原理哦！它在公考中可是能帮我们大忙的呢！只要我们认真去学，去理解，就一定能掌握好它。
相信我，等你们真正学会了，面对那些题目时，会有一种豁然开朗的感觉，就好像找到了宝藏的钥匙一样兴奋！让我们一起加油，把这个神奇的容斥原理拿下吧！。
公务员行测考试容斥问题速解宝典题集
公务员行测考试容斥问题速解宝典题集IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】公务员行测考试容斥问题速解宝典题集一、两集合类型1.解题技巧题目中所涉及事物属于两集合时，容斥原理适用于条件与问题都可以直接带入公式题目，如下：A∪B=A+B-A∩B快速解题：总数=两集合之和+两集合之外数-两集合公共数。
2.真题示例【例1】现有50名学生都做物理，化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对有：A27人B25人C19人D10人【解析】B。
50=31+40+4-A∩B，得A∩B=25。
二、三集合类型1.解题步骤解题步骤分三步：①画文氏图；②弄清图形中每一部分所代表含义；③代入公式(A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C)进行求解。
2.解题技巧解题技巧主要包括一个计算公式和文氏图。
总数=各集合数之和-两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数3.真题示例【例2】某高校对一些学生进行问卷调查。
在接受调查的学生中，准备参加会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人，不参加任何一种考试的有15人。
问接受调查问卷的学生共有多少人？【解析】A。
填充三个集合公共部分数字24；根据每个区域含义应用公式：总数=各集合之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数=63+89+47-{(x+24)+(z+24)+(y+24)｝+24+15=199-{(x+y+z)+24+24+24｝+24+15。
x+y+z只属于两集合数之和，该题所讲只选择两种考试参加人数，所以x+y+z值为46人；得本题答案为120。
【例3】对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人?人人人人【解析】A。
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知识框架数学运算问题一共分为十四个模块，其中一块是容斥原理问题。
在公务员考试中，根据集合的个数，容斥原理问题一般只有两集合容斥关系和三集合容斥关系两种类型，两集合容斥关系一般只要采用公式法就可轻松解决，三集合容斥关系又可分为标准型、图示标数型、整体重复型三类，对应解题方法分别是公式法、文氏图法、方程法。
无论集合中的元素怎么变化，同学只要牢牢把握这两类型，就能轻松搞定容斥原理问题。
核心点拨1、题型简介容斥原理是在不考虑重叠的情况下，先将所有对象的数目相加，然后再减去重复的部分，从而使得计算的结果既无遗漏又无重复。
掌握容斥原理问题，可以帮助同学们解决多集合元素个数的问题。
2、核心知识（1）两个集合容斥关系（2）三个集合容斥关系A、标准型公式B、图示标数型（文氏图法）画图法核心步骤：1画圈图；2数字(先填最外一层，再填最内一层，然后填中间层)；③做计算。
C、整体重复型A、B、C分别代表三个集合（比如“分别满足三个条件的元素数量”）；W代表元素总量（比如“至少满足三个条件之一的元素的总量”）；x代表元素数量1（比如“满足一个条件的元素数量”）；y代表元素数量2（比如“满足两个条件的元素数量”）；z代表元素数量3（比如“满足三个条件的元素数量”）。
3、核心知识使用详解（1）容斥原理问题要清楚容斥原理公式中各项的实际含义，与题中的数据准确对应。
（2）容斥原理问题的关键在于把文字转化为文氏图，在图中应准备反应题中集合之间的关系。
（3）容斥问题的难度在于题中集合可能较多，某些集合之间的关系可能不确定，这需要仔细的分析，抓住不确定的。
夯实基础1. 两个集合容斥关系例1：(2007年中央第50题)小明和小强参加同一次考试，如果小明答对的题目占题目总数的，小强答对了27道题，他们两人都答对的题目占题目总数的，那么两人都没有答对的题目共有（）。
A. 3道B. 4道C. 5道D. 6道【答案】D【解析】[题钥]由于不知道这次考试题目的总数，所以可先设题目总数即元素总量为。
“小明答对的题目占题目总数的”，相当于集合A为。
“小强答对了27道题”，相当于集合B为27。
“他们两人都答对的题目占题目总数的”，相当于集合。
“两人都没有答对的题目”，相当于求集合。
[解析]根据题意，确定元素总量W：；确定集合A：；确定集合B：27；确定集合：；代入两集合公式：＝＝因为和均为题数，须均为正整数，所以必须为12的倍数，而且由选项知：3≤≤6当W＝12时，＝－16，不合题意；当W＝24时，＝－5，不合题意；当W＝36时，＝6，符合题意。
所以，两人都没答对的题目为6道。
因此，选B。
2. 三个集合容斥关系例2：（浙江行测真题）某专业有学生50人，现开设甲、乙、丙三门选修课。
有40人选修甲课程，36选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课的有28人，兼选甲、丙两门课的有26人，兼选乙、丙门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，问三课均未选的有多少人？( )A. 1人B. 2人C. 3人D. 4人【答案】B【解析】[题钥]“某专业有学生50人”，相当于元素总量W为50。
“有40人选修甲课程”，相当于集合A为40。
“36选修乙课程”，相当于集合B为36。
“30人选修丙课程”，相当于集合C为30。
“兼选甲、乙两门课的有28人”，相当于集合=28。
“兼选甲、丙两门课的有26人”，相当于集合=26。
“兼选乙、丙门课程的有24人”，相当于集合=24。
“甲、乙、丙三门课程均选的有20人”，相当于集合=20。
“问三课均未选的有多少人?”相当于求集合。
[解析]根据题意，确定元素总量W：50确定集合A：40确定集合B：36确定集合C：30确定集合：28确定集合：26确定集合：24确定集合：20代入三集合标准型公式：＝50-（40+36+30-28-24-26+20）＝2因此，选B。
例3：（国家行测真题）某高校对一些学生进行问卷调查。
在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备选择两种考试参加的有46人，不参加其中任何一种考试的有15人。
问接受调查的学生共有多少人？( )A. 120B. 144C. 177D. 192【答案】A【解析】[题钥]观察题目，属于三个集合容斥关系中的标数型问题，可采用文氏图法求解。
[解析]本题属于标数型问题，可采用文氏图法求解，如下图所示。
图中，黑色部分是准备参加两种考试的学生，灰色部分是准备参加三种考试的学生。
计算总人数时，黑色部分重复计算了一次，灰色部分重复计算了两次，所以接受调查的学生共有：63＋89＋47－24×2－46＋15＝120人。
因此，选A。
例4：(浙江2004－20)某班有35个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的一个课外活动小组。
现已知参加英语小组的有17人，参加语文小组的有30人，参加数学小组的有13人。
如果有5个学生三个小组全参加了，问有多少个学生只参加了一个小组？( )A. 15人B. 16人C. 17人D. 18人【答案】A【解析】[题钥]“某班有35个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的一个课外活动小组”，相当于元素总量W为35。
“参加英语小组的有17人”，相当于集合A为17。
“参加语文小组的有30人”，相当于集合B为30。
“参加数学小组的有13人”，相当于集合C为13。
“如果有5个学生三个小组全参加了”，相当于元素数量3为5。
“问有多少个学生只参加了一个小组？”，此类题目属于整体重复型问题，可采用方程法求解。
[解析]根据题意，设：参加一个小组的人数为x，即元素数量1为x；参加两个小姐的人数为y，即元素数量2为y；确定元素总量W：38确定集合A：17确定集合B：30确定集合C：13确定元素数量3：5代入公式，列方程：因此，选A。
进阶训练1.两个集合容斥关系例5：某校学生参加数学竞赛的有120名男生，80名女生，参加英语竞赛的有120名女生，80名男生。
已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生两科竞赛都参加了，那么参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生人数是多少人?( )A. 15B. 20C. 25D. 30【答案】A【解析】[题钥]假设260名学生当中有m名男生、n名女生，同时参加了教学和英语竞赛的女生人数为x。
对于男生：“m名男生”，相当于元素总量为m。
“参加数学竞赛的有120名男生”，相当于集合为120。
“参加英语竞赛的”，“80名男生”，相当于集合为80。
“其中75名男生两科竞赛都参加了”，相当于集合为75。
对于女生：“n名女生”，相当于元素总量为n。
“参加数学竞赛的”、“80名女生”，相当于集合为80。
“参加英语竞赛的有120名女生”，相当于集合为120。
同时参加了教学和英语竞赛的女生人数，相当于集合为x。
“已知该校总共有260名学生参加竞赛”，可知260名学生都参加了竞赛，没有“数学竞赛和英语竞赛都没参加”的情况。
相当于集合、集合为0。
[解析]根据题意，设：260名学生当中有m名男生、n名女生；同时参加了教学和英语竞赛的女生人数为x。
对于男生：确定元素总量：m确定集合：120确定集合：80确定集合：75确定集合：0对于女生：确定元素总量：n确定集合：80确定集合：120确定集合：x确定集合：0男女生总数，即m＋n＝260。
代入两集合公式，列方程：则有即同时参加了教学和英语竞赛的女生人数为65。
由于参加数学竞赛的女生有80名，则参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生人数：80－65＝15名。
因此，选A。
2.三个集合容斥关系例6：(广州2007－33)如右图所示，每个圆纸片的面积都是36，圆纸片A与B、B与C、C与A的重叠部分面积分别为7、6、9，三个圆纸片覆盖的总面积为88，则图中阴影部分的面积为?( )A. 66B. 68C. 70D. 72【答案】C【解析】[题钥]“三个圆纸片覆盖的总面积为88”，相当于元素总量W为88，集合为0。
“每个圆纸片的面积都是36”，相当于集合A、集合B、集合C都为36。
“圆纸片A与B、B与C、C与A的重叠部分面积分别为7、6、9”，相当于集合为7，集合为6，集合为9。
要求“阴影部分的面积”，可先求出集合。
[解析]根据题意，确定元素总量W：88确定集合A：36确定集合B：36确定集合C：36确定集合：7确定集合：6确定集合：9确定集合：0代入公式：=（88-0）-（36+36+36-7-6-9）=2“由中间向外围”进行数据标记，进行简单加减运算，如下图过程所示：据图可知，阴影部分的面积为：22＋25＋23＝70。
因此，选C。
例7：(江苏2009A类－19)某调查公司就甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影全看过，20人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是( )。
A. 69B. 65C. 57D. 46【答案】D【解析】[题钥]“某调查公司就甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查”、“20人一部也没有看过”，相当于元素总量W为125－20＝105。
“有80人看过甲片”，相当于集合A为89。
“有47人看过乙片”，相当于集合B为47。
“有63人看过丙片”，相当于集合C为63。
“其中有24人三部电影全看过”，相当于元素数量3为24。
求解“只看过其中两部电影的人数”，此类题目属于整体重复型问题，可采用方程法求解。
[解析]根据题意，设：只看过其中一部电影的人数为x，即元素数量1为x；看过其中两部电影的人数为y，即元素数量2为y；确定元素总量W：125－20＝105确定集合A：89确定集合B：47确定集合C：63确定元素数量3：24代入公式，列方程：因此，选D。
例8：建华中学共有1600名学生，其中喜欢乒乓球的有1180人，喜欢羽毛球的有1360人，喜欢篮球的有1250人，喜欢羽毛球的有1040人，问以上四项球类运动都喜欢的至少有几人？A. 20B. 30C. 40D. 50【答案】B【解析】[题钥]观察题目，发现采用公式法，文氏图法都是比较麻烦的。
那么逆向考虑，看下各项活动都不喜欢的人有多少人，当这各项活动都不喜欢的人互不重叠的时候，可满足四项活动都喜欢的人最少。
[解析]根据题意，可知：不喜欢乒乓球的有：1600-1180=420人；不喜欢羽毛球的有：1600-1360=240人；不喜欢篮球的有：1600-1250=350人；不喜欢足球的有：1600-1040=560人；若这些人互不重叠则可满足四项运动都喜欢的人最少，为：1600-（420+240+350+560）=30人。