导行电磁波
第8章导行电磁波
Ez
E0
sin
m
a
x sin n
b
ye j(tkz z)
Hx
j kc2
n
a
E0
s
in
m
a
x cos n
b
ye j(tkz z)
Hy
j kc2
m
a
E0
c
os
m
a
x sin n
b
ye j(tkz z )
式中：
k 2ck 2xk 2y
m
a
2
n
b
2
在矩形波导中TM波的传输常数为
kc2 k 2
n D S
n B 0
对于TM波， 其边界条件为
Ez c 0
Ez
I (z)
j
t2
I (z)
j
kc2
由于kc≠0，所以有
0 c
对于TE波，其边界条件为
H z 0 n c
用横向分布函数表示时有 0
n c
对于TEM波，其边界条件为 Et c 0
或者是用横向分布函数表示为
0 n c
8.2 矩形波导
2 kc2 k 2
对于理想导波系统，k 为实数，而kc是由导波系
统横截面的边界条件决定的，也是实数。这样随着工作频率的 不同， γ2可能有下述三种情况：
(1) γ2<0， 即γ=jβ。此时导行波的场为
E E(u1, u2 )e j(tz)
(2) γ2>0，即γ=α。此时导行波的场为
E E(u1, u2 )eaxe jt
g p
0 r r
3. 相速、群速和色散
(1) 相速。
p
导行电磁波
2 av 4 E 1 * i 0 ˆj S1 Re E1 H1 Re z sin k1z cos k1z 0 1 2
在纯驻波情况下，只有电能和磁能的相互交换而无能量传输。
电磁场与电磁波
第七章
平面电磁波的反射与折射，导行电磁波
图7-3 驻波和行驻波的电磁场振幅分布
Ei0 Er0
1
2
Et0
解得：
2 1 Er0 Ei0 2 1 22 Et 0 Ei0 2 1
Er0 2 1 令： Ei0 2 1
反射系数 ：分界面上反射波电场 强度与入射波电场强度之比。
Et 0 22 T Ei0 2 1
电磁场与电磁波
第七章
平面电磁波的反射与折射，导行电磁波
例：有一频率 f 100MHz ，x 方向极化的均匀平面波， 从空气垂直入射到 z 0 的理想导体表面上， 设入射波电 场强度振幅为 6mV/m， 试写出： (1) 入射波电场强度 Ei 和 磁场强度 H i 的复数和瞬时表达式； (2) 反射波电场强度 Er 和磁场强度 H r 的复数和瞬时表达式； (3) 空气中的 合成场 E 和 H ； (4)空气中离界面第一个电场强度波腹 点的位置；
透射系数 T ：分界面上透射波电场 强度与入射波电场强度之比。
Er
z
Hr
反射波与折射波的特性由分界面两侧媒质的参数确定。
电磁场与电磁波
第七章
平面电磁波的反射与折射，导行电磁波
二、平面波对理想导体表面的垂直入射
jk1z ˆ 入射波: E x E e i i0 E i 0 jk1z 1 ˆ ˆ H i z Ei y e
电磁场理论-导行电磁波
第7章 导行电磁波
上式给出了 g、 和 c 之间的关系。 c 由导波系统的截 面形状、尺寸和模式决定，可以根据具体导波结构求出。 对于 TEM 模， c ，所以 g
可见，TEM 模的波导波长等于填充相同介质的无界空 间中的波长。
(3) 相速
由vp
，可得
TE
和
TM
波相速：
vp
v
v
1 ( c )2
第七章 导行电磁波
第7章 导行电磁波
电磁波除了在无限空间传播外，还可以在某种特定 结构的内部或周围传输，这些结构起着引导电磁波传输 的作用，这种电磁波称为导行电磁波(简称导波)，引导 电磁波传输的结构称为导波结构。导波结构可以由金属 材料构成，也可以由介质材料构成，还可以由金属和介 质共同构成。这里主要讨论在其轴线方向上截面形状、 面积以及所填充媒质均不变的均匀导波结构。无限长的 平行双导线、同轴线、金属波导、介质波导以及微带传 输线等等都是常用的导波结构。
0
，可得：
对 TM 模
Ez 0
对 TE 模，由
(k 2
2
)Et
j
ez
t Hz
t Ez
可得
(k
2
2
)n
Et
j
n ez t H z
n t Ez
j
n ez t H z
0
j n ez t H z
j (n t Hz )ez j
(n ez )t H z
j
H z n
ez
H z 0 n
第7章 导行电磁波
第7章 导行电磁波
1、纵向分量与横向分量的关系
导波结构中电磁场满足无源区域的麦克斯韦方程组：
H
第七章导行电磁波
第七章导行电磁波§.1导行电磁波及其导行系统1导行电磁波就是在导行系统（统称传输线，有时指波导）中传输的电磁波，简称导波。
2在一个实际射频、 微波系统里，传输线是最基本的构成，它不仅起连接信号作用，而且传 输线本身也可以成为某些元件，如电容、电感、变压器、谐振电路、滤波器、天线等等。
3传输线的主要指标：1）损耗。
损耗来源于导体、介质、辐射、模式转换； 2）色散和单模工作频带宽度。
取决于传输线的结构； 3）制造成本。
取决于是否可以集成。
4几种典型微波传输线，结构演化、特点。
1）双线；2 ）同轴线；3）波导；4 ）微带线；5） 介质波导与光纤；6）空间。
§2导波的一般分析方法1导波的一般分析方法：先求出场纵向分量，然后由场纵向分量导出其余的场横向分量。
2导波场横向分量与场纵向分量关系： Step1 :设导波的传播方向（纵向）为z 方向，传播无衰减，传输线横截面保持不变，则有E 二 E °（x,y ）e$zzH 二 H °（x, y ）e 』zZ（ 1） 式中k z 是导波沿传播方向（z 方向）的传播常数，有 国2氏=k 2= k ； + k ； = k ； + k ； （2） 把（1）式代入直角坐标系中的波动方程，简化后可得喘 +k ；E =0（3）可 T H +k ；H =oStep2：将（1）式代入Maxwell 方程组的两个旋度方程，直角坐标系中展开后可得场横向分 量与场纵向分量关系：在圆柱坐标系里也能导出类似的关系式。
3由场纵向分量导出场横向分量方法的好处： 1）简化计算：六个分量的求解简化为两个分量的求解。
场纵向分量相当于位函数。
2）便于波型分类 4导波波型的分类：E xkz 牡E z +觎cH z "k ； 、dx k z 纲E y；：E z .」汩z k z ex■yH x<k z cy H y--；:E z 'H zk z ：:x1） TE 波（横电波，或H 波）：E z =0，电磁场只有五个分量 2） TM 波（横磁波，或 E 波）：H z =0电磁场只有五个分量3） TEM 波：E z =0和H z = 0，电磁场只有四个分量欲横向场存在，由（4）式可知，必须k T = 0，这样首先方程（3）变为^2E =0和=0这样TEM 波的电磁场在横截面上的分布满足拉普拉斯方程，因此 TEM 波的电磁场在横截面上的特性与静电场、静磁场一样。
第八章 导行电磁波
说明：
1、均匀导波系统中，可用两个纵向场分量Ez和Hz表示其余的 横向场分量Ex、Ey、Hx、Hy。 2、对于正弦电磁波，其满足的波动方程为亥姆霍兹方程，即
2 E k 2 E 0
2 H k 2 H 0
两个纵向场分量Ez和Hz可由亥姆霍兹方程及边界条件确定。
2 Ez k 2 Ez 0 2 H z k 2 H z 0
式中Z=ZTE(或ZTM或ZTEM
)。
陕西理工学院物理系
第八章 导行电磁波
8―2 矩形波导
矩形波导是指横截面为矩形的空心导
波装置。
电磁波在导体空腔内传播 其内传播的电磁波不可能有TEM波，
矩形波导 TM 波 Hz = 0 。此时仅需求出 Ez 分量，然后即可计算其余各个分 量。 只能是TE波和TM波。 一、矩形波导中的模式 mode in rectangular waveguide
状态， 它是决定电磁波能否在导波系统中传输的分水岭。这时
2 由 kc
k 所决定的频率(fc)和波长(λc)分别称为截止频率和截止波
2
长，并且
2 fc , c f c kc 2 kc
陕西理工学院物理系
第八章 导行电磁波
其中 v 1/
为无限介质中电磁波的相速，而kc称
在任何均匀导波装置中传播的波都可以分为以下三种模式
在电磁波传播方向上没有电场和磁场分量，电场和磁场全部在横平面内，这 种模式的电磁波称为横电磁波，简称TEM波。 在电磁波传播方向上有电场分量，但没有磁场分量，这种模式的电磁波称为 横磁波，简称TM波。 在电磁波传播方向上有磁场分量，但没有电场分量，这种模式的电磁波称为 横电波，简称TE波。
导行电磁波
kc2
Ez x
kc2
mπ a
Em
cos(
mπ a
x) sin( nπ b
y)e z
Ey (x, y, z) kc2
Ez y
kc2
nπ b
mπ Em sin( a
x) cos(nπ b
y)e z
Hx (x, y, z)
j
kc2
Ez y
j
kc2
nπ b
mπ Em sin( a
x) cos(nπ b
如果 Ez 0， Hz= 0 ，传播方向只有电场分量，磁场在横截面 内，称为横磁波，简称为 TM 波或 E 波；
如果 Ez= 0， Hz 0 ，传播方向只有磁场分量，电场在横截面 内，称为横电波，简称为 TE 波或 H 波。
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
10
2. 场方程 根据亥姆霍兹方程
k
2 y
g
(
y)
0
g(0) 0, g(b) 0
kx2
k
2 y
kc2
两个固有值问题的解为一系列分离的固有值和固有函数:
kx
mπ a
f
(
x)
A sin(
mπ
x)
a
k y
nπ b
g(
y)
C
sin(
nπ
y)
b
m 1，2，3, n 1，2，3,
故
mπ
nπ
Ez (x, y) f (x)g( y) Em sin(
场方程。
由于
EБайду номын сангаас (x, y, z) Ez (x, y)e z H z (x, y, z) H z (x, y)e z
导行电磁波.
t h = jkzH z
c
t e = jkzEz
f
由以上 6 个表达式可见,只要求出 Ez Hz 其它分量就可顺利得到
5、建波方程
2E k2E 0
t2 kz2 E k 2E t2E kc2E 0
2H k2H 0
t2H kc2H 0
k
2 c
k2
k
2 z
z jkz
E e x, y ezEz x, y e jkzz
z
z
jkzE
z
jkz
x
ex
y
ey
z
ez
t
jkzez
4、将已设场解及上式代入到场方程中，得：
t h = j Ezez a
t e = - jHzez d
t Hzez = jkzez h je b t Ezez = jkzez e jh e
Exyz = exEx x, y eyEy x, y ezEz x, ye jkzz = e ezEz x, ye jkzz
Hxyz = exHx x, y eyHy x, y ezHz x, ye jkzz = h ezHz x, ye jkzz
3、建场方程
H = jE E = - jH H = 0 E = 0
由式(a) (c) (d)(f)：
t e = 0 t h = 0 t e = 0
∵梯无旋∴横场有一标量位Φe ∵腔内无源∴
t h = 0
t2e
2e
x2
+
2e
y 2
=
0
由前TE和TM模的计算可知：
由式(b)和Hz
=0
：h
=
kz
e
ez
第七章导行电磁波
h2u2
h1u1
（7-1-12b）
第七章 导行电磁波
13
§7.2 导行波波型的分类以及导行波的传输特性
7.2.1 导行波波型的分类
导行波的波型是指能够单独存在于导行系统中的电磁波的场
结构形式，也称为传输模式。导行波波型大致分为三类。
1.TEM波
若电场和磁场在传播方向上的分量 Ez 0 、Hz 0 ，
用以引导电磁波传输的装置称为导波装置，或称为传输 线或导行系统。在导波装置中沿一定方向传输的电磁波称为 导行电磁波。如果导波装置的横截面尺寸、形状、介质分布、 材料及边界均沿传输方向不变，则称之为规则导波装置。常 用的导行系统如图7-1所示。其中最简单、最常用的是矩形波 导、圆柱形波导和同轴线。
如果将一段波导的两端短路或开路，就可以构成微波谐 振器。
波kc为色0散，波因。而对，于其T相EM速波和，群k速c 都0是，频则率有的，函v数p ，v即g TEv波和TcrMr ，
第七章 导行电磁波
10
j由横乘向以方式程（7(7-1-1-9-9aa）) ，和对（式7-1（-97c-）1-9可c ）以作求得E T e、z HT运，算 用，
然后两式相加，并利用矢量恒等式 (A ) A A A B C ( A C ) B ( A B ) C ，整理可得
（7-1-7b） （7-1-7c）
T 2H z (u1,u2)kc 2H z(u1,u2)0
（7-1-7d）
第七章 导行电磁波
8
矢量方程（7-1-7a）和（7-1-7c）的求解比较困难，因此 通常并不直接求解 ET 和 HT ，而是结合导行系统的边界条
第四章(二) 导行电磁波
三、导行电磁波的纵向场量表达式
设电磁波在无耗媒质中向(+z)方向传播，其角频率为 , 则其电场表达式可以记为：
jt z E Eme 由麦克斯韦方程组 E j H Ez Ez E y y E y j H x j H x z y Ez Ex Ez j H y j H y Ex x z x E y Ex j H E y Ex z j H z x y y x
TM波 x TE波 E E k k z zy H
二、导行电磁波满足的基本方程
E (r ) k E (r ) 0
2 2
H (r ) k H (r ) 0
2 2
导波系统内的最简单的解应为
E ( r ) E ( x, y ) e
jk z z
H ( r ) H ( x, y ) e
jk z z
2 E 2 E 2 E 2 2 k2E 0 2 y z x 2 H 2H 2H k2H 0 2 2 x 2 y z
E ( x, y ) k E ( x, y ) 0
2 2 c
H ( x, y ) k H ( x, y ) 0
§4-6导行电磁波
导行电磁波(导波)：沿导波装置(如传输线，波导)传播的电磁 波。导行波被限制在有限的空间内传播。 全部或绝大部分被约束在有限截面内实现确定方向传输的 电磁波称为导行电磁波。 导波装置可以具有不同的截面形状和截面面积。
矩形波导
平行双线
圆波导
同轴线
微带线
均匀导波装置：在垂直于导波传播的方向的横截面上，导波装 置具有相同的截面形状和截面面积。
第八章 导行电磁波
圆波导
TE或TM波
光纤
TE或TM波
电磁屏蔽
差 好 差 差 好 好 差
使用波段
> 3m > 10cm 厘米波 厘米波 厘米波、毫米波 厘米波、毫米波 光波
二、导行电磁波的纵向场量表达式
设电磁波在无耗媒质中向(+z)方向传播，其角频率为 ,
则其电场表达式可以记为：
v E
v Eme
jt z
由麦克斯韦方程组
➢TE10模和TE20模之间的距离大于其他高阶模之间的距 离，因此可使TE10模在大于1.5:1的波段上传播。 ➢为单极化方向波。
➢对于一定比值a/b，在给定工作频率下TE10模具有最小的 衰减。
1、TE10场量表达式和场结构 将m=1,n=0代入TEmn模式表达式中，可得：
Hz
H0
cos
a
第八章 导行电磁波
❖导行电磁波(导波)：沿导波装置(如传输线，波导)传 播的电磁波。导行波被限制在有限的空间内传播。 ❖导波装置可以具有不同的截面形状和截面面积。
矩形波导
平行双线
圆波导
同轴线
微带线
❖均匀导波装置：在垂直于导波传播的方向的横截面上，
导波装置具有相同的截面形状和截面面积。
本章主要内容： ❖导行电磁波的一般特性 ❖矩形波导中电磁波的特性 ❖圆柱导波中电磁波的特性 ❖谐振腔 分析方法：
式中常数C1 ，C2 ， C3 ， C4 取决于导波系统的边界条件。
由边界条件可知，在导体边界面上，电场切向为零。
Ez x0,a 0 Ez y0,b 0
kx
mπ a
,
m 1,2,3,
ky
nπ b
,
n 1,2,3,
wr 第八章 导行电磁波
第八章 导行电磁波
4、波导应用
第八章 导行电磁波
§ 8.4 半波长微带谐振腔
设计方法： （1）大体确定初始尺寸
（2）hfss三维仿真，优化，确定满足指标的尺寸
ZTE10
Ey Hx
1 2a
2
教材P.268 (8-50b)式（教材此式有误）
第八章 导行电磁波
使用Zpi方式计算
* 1 P Re E H dS 2 S
2 E 1 a b ab 0 P Re E y H x*dxdy 0 0 4 ZTE10 2
电流由安培环路定律求出：
I
l
a 2a E0 ˆ n H dl H x dx 0 ZTE10
Z pi
2bZTE
8a
10
第八章 导行电磁波
计算程序
第八章 导行电磁波
3、截止频率（扫频仿真）
波导可看作——高通滤波器
第八章 导行电磁波
§ 8.2 微带传输线
1、微带线
RS
f 2
介质损耗：
dTE
10
r r tan
1 2a
2
(Np / m)
教材P.282 (8-89)式
第八章 导行电磁波
（2）传播常数计算：
j
g
2
g
1 2a
第八章 导行电磁波
§ 8.1 矩形波导
教材P.268,图8-4 矩形波导的截止波长分布图，理解如何选择 单模传播。TE10模的特点
举例：BJ100 (22.86 mm * 10.16 mm)矩形波导
第8章 导行电磁波
1、TE波的场结构
（1）纵向场分量 矩形波导中的TE波的纵向场分量，满足边值问题：
纵向场分量为 （2）横向场分量
取不同的值，代表不同的TE波场结构模式，用表示。 2、TE波的传播特性
（1）当时
工作频率大于截止频率时，为纯虚数，波导内可以传播电磁波，特 性参数为：
传播常数： 相位常数： 波导波长： 相速度： 群速度： 导波的群与频率有关，且小于无界空间的传播速度。 以上参与TM波相同。 波阻抗：，波阻大于媒质中本征阻抗。 （2）当时 工作频率小于截止频率时，为实数，成为衰减因子，波阻抗成为纯 电抗，在矩形波导中不能传播该模式的波。
尺寸无关，所以可尽量缩小尺寸以节省材料。 (3) TE10波到次一高阶模TE20波之间的间距比其他高阶模之间的间
距大，因此可以使TE10波在大于1.5:1的波段上传播。 (4)电场只有分量，可以获得单方向极化。
3、主模的场结构
（1）TE10波的场量 对于TE10，， 所以，TE10波的场量为 讨论：
波阻抗：，波阻大于媒质中本征阻抗。
截止频率： 相位常数： 波导波长： 相速度： 群速度： 波阻抗：
5、 TM波
1、TM波的特点 在传播方向上不存在磁场分量，。
2、TM波的场结构 TM波的场分量之间的关系为
3、TM波的传播特性
（1）传播常数 当为纯虚数时，波能在波导中传播；当为实数时，波在波导中呈衰
减状态。 传播或截止的分界点是，此时 波导的截止角频率： 波导的截止频率： 波导的截止波长：
（2）相速度 与频率有关，在波导中传播的TM波存在色散。
表面波波导：由单根介质或敷介质层的导体构成，电磁波沿其表面 传播，如图4—1(c)所示的微带线。
第九章 导行电磁波
解: 由截止频率表达式可得
f10
c 2a
,
根据要求有
f c 1.2 2a
f20
c a
,
f01
c 2b
f c 0.8 2b
f c 0.8 a
可得
a c 2f
1.2
3 108 2 3109
1.2
0.06
(m)
a
c f
0.8
3 108 3 109
0.8
0.08
(m)
b c 0.8 3108 0.8 0.04 (m)
a
b
④传输条件
用fmn和λmn表示的相位常数为
mn
2 (m )2 (n )2
a
b
2 1 ( fmn ) 2 2 1 ( ) 2
f
mn
βmn是实数时，电磁波可以在波导中传输，即
f f mn 或 mn
（TEmn波的）传输条件 可见，波导具有高通特性。
⑤基模和高次模 利用高通特性，可以通过选择波导尺寸和充填介质的参数来
2E0z x2
2E0z y2
( 2
k 2 )E0z
0
2H0z x2
2H0z y2
( 2
k 2 )H0z
0
令
k
2 c
2
k2
,
2 t
2 x2
2 y2
则以上两式可以写成
2 t
E
0
z
k
2 c
E0z
0
2 t
H
0
z
k
2 c
H
0
z
0
求解这两个纵向分量的方程，就可以得到波导中的电磁场解。
抑制m、n较大的模式，使波导内只存在一种或少数几种m、n
第八章导行电磁波-资料
波
线
导
答疑邮箱：yang_
第 八 章：导行电磁波
同 轴 线
圆 柱 形 波 导
答疑邮箱：yang_
矩 形 波 导
微 带 线
第 八 章：导行电磁波
2、 在导波装置中谐变电磁场纵向场分量 与横向场分量间的关系
设在无耗的媒质中电磁波沿+z方向传输，
E(x,y,z)E(x,y)ejkzz H(x,y,z)H(x,y)ejkzz
分析均匀导波装 置的两种方法
赫兹矢量法 参阅《微波原理》相关书籍 纵向场法
答疑邮箱：yang_
第 八 章：导行电磁波
纵向场法思路 1、由麦克斯韦方程组导出E和H满足的亥姆赫兹方程。 2、根据导波装置横截面形状，从亥姆赫兹方程中分离出E和
H的纵向分量的标量亥姆赫兹方程。 3、根据导波装置的边界条件求出E和H的纵向分量。 4、根据麦克斯韦方程组给出的E和H的纵向、横向分量的关
t2Ez kc2Ez 0
即
2Ez x2
2Ez y2
kc2Ez
0
以下求解Ez的函数形式以及 确定kc，而确定kz。
答疑邮箱：yang_
第 八 章：导行电磁波
2Ez x2
2yE2z
kc2Ez
0
用分离变量法，设 E z(x,y)X (x)Y (y)
波导波长、相速、群速等表达式与TE波相同，但 其阻抗为
ZTM12/c2
答疑邮箱：yang_
第 八 章：导行电磁波
几种常用导波系统的主要特性
名称
双导线 同轴线 带状线 微带 矩形波导 圆波导
光纤
波形
TEM波 TEM波 TEM波 准TEM波 TE或TM波 TE或TM波 TE或TM波
第七章 导行电磁波
矩形波导形状如下图示，宽壁的内尺寸为 a ，窄壁的内尺寸为 b 。 已知金属波导中只能传输 TE 波
y
及TM 波，现在分别讨论他们在矩形 波导中的传播特性。
b z
,
a x
若仅传输 TM 波，则 Hz = 0 。按 照纵向场法，此时仅需求出 Ez 分量， 然后即可计算其余各个分量。
H 0 nπ
Ey j
H 0 mπ
mπ nπ jk z z x cos y e sin a a b
式中 m, n 0, 1, 2, ，但两者不能同时为零。由上式可见，与TM波一 样，TE波也具有前述多模特性，但此时m 及 n不能同时为零。因此，TE
式中 kc2 k 2 kz2
电磁场与电磁波 这样，只要求出 z 分量，其余分量即可根据上述关系求出。z 分量 为纵向分量，因此这种方法又称为纵向场法。
在圆柱坐标系中，同样可用 z 分量表示 r 分量和 分量。其关系
式为
Er 1 Ez H z j k j z 2 kc r r
电磁场与电磁波
类似地可以导出矩形波导中TE波的各个分量为
mπ nπ jk z z H z H 0 cos x cos y e a b
Hx j Hy j Ex j
k z H 0 mπ mπ nπ jk z z x cos y e sin 2 kc a a b k z H 0 nπ mπ nπ jk z z x sin y e cos 2 kc b a b kc2 kc2 mπ nπ cos x sin b a b y e jk z z
第八部分导行电磁波Guidedwave
Two parallel wire
同轴线
Coaxial cable
矩形波导
rectangular waveguide
圆波导
circular waveguide
带状线
Stripline
微带
microstrip
介质波导 光纤
Dielectric waveguide
主要内容
导行电磁波的一般特性 矩形波导中电磁波的特性 谐振腔
Y 对 y 的二
阶导数
X对x的 二阶导数
X X
Y Y
kc2
现分别令
X X
k
2 x
分离常数
Y Y
k
2 y
可利用边界 条件求解
kc2 kx2 ky2
两个常微分方程的通解分别为
取决于导波 系统的边界
条件
X C1 cos kx x C2 sin kx x Y C3 cos ky y C4 sin ky y
二. 矩形波导中电磁波的传播特性
截止传播常数kc 和截止频率 fc Cutoff frequency
kc2
k2
k
2 z
k
2 z
k2
kc2
k kc 时 kz 0
kc 称为截止传播常数 Cutoff Propagation constant
kc2 kx
k
2 x
k
mπ
a
2 y
kc2
mπ a
满足矩形波导的特解
Ez
分量与波导四壁平行
kx
mπ a
,
m
1,
2,
3,
x = 0, 界上
a Ez
及 =0
第8章 导行电磁波
第8章导行电磁波§8.1 均匀波导的一般特性一、导波系统与导行波模式1、导波系统导波系统：在微波系统中，把电磁波能量从一处传送到另一处的装置称为导波系统。
常用的导波系统可分为以下三类：波导管：由单根封闭的柱形导体空管构成，电磁波在管内传播，简称为波导，如图4—1(a)所示的矩形波导。
传输线：由两根或两根以上平行导体构成，通常工作在其主模(TEM)或准横电磁波，故称TEM波传输线，如图4—1(b)所示的平行双线和同轴线。
表面波波导：由单根介质或敷介质层的导体构成，电磁波沿其表面传播，如图4—1(c)所示的微带线。
2、导波模式麦克斯韦方程组在特定边界条件下的一解称为电磁波的一种模式。
（1）TEM波：在电磁波的传播方向没有电场和磁场分量，称为横电磁波。
（2）TM 波：在电磁波的传播方向没有磁场分量，称为横磁波，或E 波。
（3）TE 波：在电磁波的传播方向没有电场分量，称为横电波，或M 波。
二、 导波系统的研究方法对导波系统的讨论可采用“场”和“路”的两种分析方法。
1、场分析方法(1)由麦克斯韦方程组得到导波系统内电磁场各分量间的关系。
(2)由波动方程及相应的边界条件求出导波系统内的电磁场分布。
(3)由得到的场分布可讨论导波系统内电磁波的传播特性。
2、“路”分析法在一定的条件下，以上“场”问题中的电场、磁场可用“路”问题中的电压、电流等效，这时： (1)引入分布参数，得到等效电路。
(2)利用基尔霍夫定律求出电压、电流。
(3)讨论传播特点。
三、 导波系统的场结构处理方法：由亥姆霍兹方程求出电磁场的纵向分量z z H E ,，则电磁场的横向分量y x y x H H E E ,,,可通过纵向分量求出。
1、均匀导波系统的假设(1)波导的横截面沿z 方向是均匀的，电磁波沿z 方向传播。
(2)波导壁由理想导体构成，即∞=σ。
(3)波导内填充的媒质为各向同性理想介质，即0=σ。
(4)所讨论的波导区域内没有源分布，即0,0==Jρ。
7.1 导行电磁波性质,7.2 矩形波导
7.1.2 导行电磁波场量表达式
设波沿x方向传播， 设波沿 方向传播，对于正弦电磁波相量形式 方向传播
& & E = E 0 ( y , z )e − k x
& & H = H 0 ( y , z )e − k x
& & ∂H z ∂H y & − = jωε E x ∂y ∂z
& ∂H x & & + kH z = jωε E y ∂z
∇2 yz
(
)
yz
7.1.3 横电磁波（TEM） 电磁波（TEM）
电磁场无传播方向的分量， 电磁场无传播方向的分量，即 由
& & ∂E x ∂H x 1 & =− Ey (k + jωµ ) k2 + β 2 ∂y ∂z
Ex = 0 , H x = 0
& Ez = − & & ∂E x ∂H x 1 (k − jωµ ) 2 2 k +β ∂z ∂y
& & ∇ 2 E + (k 2 + β 2 ) E = 0 yz
& & ∇ 2 H + (k 2 + β 2 ) H = 0 yz
& ∇2 E = 0 yz
& ∇2 H = 0 yz
& ∇2 E = 0 yz
& ∇2 H = 0 yz
2维拉氏方程
与无源区域的静态场所满足的关系一致。由此可见， 与无源区域的静态场所满足的关系一致。由此可见，TEM波电场所 波电场所 满足的微分方程也是同一装置在静态场所满足的微分方程， 满足的微分方程也是同一装置在静态场所满足的微分方程，如果它们的 边界条件相同，那么场结构就会完全一样。 边界条件相同，那么场结构就会完全一样。 结论：任何能确立静态场的均匀导波装置，也能维持TEM波 结论：任何能确立静态场的均匀导波装置，也能维持TEM波。例如同轴 TEM 线系列，但空心金属导波管内不可能存在 线系列，但空心金属导波管内不可能存在TEM波， 波 波阻抗
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导行电磁波本章讨论导行电磁波的传播特性。
主要内容包括：导行电磁波的一般特性、矩形波导、圆柱形波导、波导中的能量传输与损耗、谐振腔以及传输线上波的传输特性。
一．教学基本要求波导中的纵向场分析法是求解波导中场分布的重要方法，要理解该方法的思路。
对于该方法中涉及到有关物理量如传播常数Γ、截止波数h 等是讨论波导中波传播特性的关键。
必须牢固掌握其物理意义和计算公式。
波导中三种模式的传播条件和传播特性是这一章的重点，应掌握三种模式的分类方法和传播特性参数如截止频率c f （截止波长c λ）、相位常数β、波导波长g λ、相速度p v 、波阻抗Z 的计算公式。
并应用它们分析具体给定波导中不同模式的传播特性。
对于矩形波导的主模10TE 是实现单模传输的模式，要求对其场分布、场图及管壁电流分布有所了解，并掌握波导尺寸设计的原理。
掌握TEM 波传输线的分布参数的概念，建立传输线方程，理解传输线上电压波、电流波的特点。
传输线的特性参数、波的传播特点及工作状态分析也是这一章的重点，要求掌握特性阻抗0Z 、输入阻抗()in Z z 、反射系数()z ρ、终端反射系数2ρ、驻波系数S 的定义、计算公式和物理意义。
掌握传输线三种不同工作状态的条件和特点。
关于谐振腔，要求了解振荡模式的特点，掌握谐振频率的计算公式，理解品质因数的物理意义，了解其计算方法。
二．知识脉络三．基本内容概述电磁波在导波系统中的传输问题，可归结为求解满足特定边界条件的波动方程。
根据其解的性质，可了解在各种导波装置中各种模式电磁波的传播特性。
8.1 沿均匀导波系统传播的波的一般特性所谓均匀导波系统是指在任何垂直于电磁波传播方向的横截面上，导波装置具有相同的截面形状和截面面积。
1．纵向场分析法设均匀导波系统的轴向为z 轴方向，则电场和磁场可分别表示为(,,)(,)z x y z x y e Γ-=E E （8.1.1） (,,)(,)z x y z x y e Γ-=H H （8.1.2）式中Γ为传播常数。
根据麦克斯韦方程，可得到横向场分量与纵向场分量的关系221()z z x E H E j k x yΓωμΓ∂∂=-++∂∂ （8.1.3）221()z z y E H E j k y xΓωμΓ∂∂=--+∂∂ （8.1.4） 221()z z x H E H j k x yΓωεΓ∂∂=--+∂∂ （8.1.5）221()z z y H E H j k y x ΓωεΓ∂∂=-++∂∂ （8.1.6）式中k =由以上式可知，在波导中的电磁场的6个分量中，独立的只有2个，即z E 和z H 。
只要知道z E 和z H ，则可求出全部场分量。
而纵向场分量z E 和z H 满足的标量波动方程为222222()0z z z E E k E x y Γ∂∂+++=∂∂ （8.1.7） 222222()0z z z H H k H x yΓ∂∂+++=∂∂ （8.1.8） 2．导行电磁波的三种模式根据纵向场分量z E 和z H 存在与否，可将导波系统中电磁波分为三种模式。
（1）横电磁波（TEM 波）：0,0z z E H ==由式（8.1.3）～（8.1.6）可知，导波系统中传播TEM 波的条件是220k Γ+= （8.1.9） 由此得到TEM jk j Γ== （8.1.10）相速(TEM)p v kω==（8.1.11）波阻抗TEM x y E j Z H j ωμΓηΓωε===== （8.1.12） （2）横磁波（TM 波）：0,0z z E H ≠=z E 满足标量波动方程22222()0z z E h E x y∂∂++=∂∂ （8.1.13）其中h由h =Γ= （8.1.14）由此可知，存在三种可能的情况：a ．22k h <，此时Γ为实数，z e Γ-为衰减因子，电磁波不能传播；b ．22k h >，此时j Γβ==为虚数，z j z e e Γβ--=表示波能传播； c ．22k h =，此时0Γ=，处于临界状态，故称h 为截止波数。
当22k h =时，相应的频率称为截止频率，记作c f 。
由称为22h ωμε=，得到c f =（8.1.15）且2c hπλ=（8.1.16） 称为截止波长。
TM 波传播条件为c f f >（或c λλ<） ，即工作频率大于截止频率（或工作波长小于截止波长）。
传播常数j Γβ== （8.1.17）波导波长2g πλλβ==> （8.1.18） 相速p v v ωβ==> （8.1.19） 波阻抗TM y x y xE E Z H H ==-= （8.1.20） （3）横电波（TE 波）：0,0z z E H =≠z H 满足标量波动方程22222()0z z H h H x y∂∂++=∂∂ （8.1.21） 其中222h k Γ=+称为截止波数。
传播特点同TM 波。
波阻抗TE y x y xE E Z H H ==-= （8.1.22） 平行双线、同轴线可以传输TEM 波； 空心波导只能传输TE 波和TM 波。
8.2 矩形波导1．TM 波横截面尺寸为a b ⨯的矩形波导中TM 波的场分量为（已代入z j jk Γβ==）02cos sin x zx x y k k E jE k x k y h =- (8.2.1) 02sin cos y z y x y k kE j E k x k y h=- (8.2.2)0sin sin z x y E E k x k y = (8.2.3) 02sin cos yx x y k H jE k x k y h ωε= (8.2.4)02cos sin x y x y kH j E k x k y hωε=- (8.2.5)0z H = (8.2.6)式中x m k a π=， y n k bπ= (8.2.7) 22222()()c x y m n k k k a bππ=+=+ (8.2.8)m 、n 取非零的正整数。
取不同的m 、n 值，代表不同的模式，表示为mn TM 模，其最低阶模为11TM 模。
2．TE 波横截面尺寸为a b ⨯的矩形波导中传播的TE 波的场分量为02sin cos x zx x y k k H jH k x k y h = (8.2.9) 02cos sin y z y x y k kH j H k x k y h= (8.2.10)0cos cos z x y H H k x k y = (8.2.11) ()02,cos sin x y x y j E x y k H k x k y h ωμ=(8.2.12) ()02,sin cos y x x y j E x y k H k x k y hωμ=- (8.2.13)(),0z E x y = (8.2.14) m 、n 可取正整数和零，但不能同时取零。
取不同的m 、n 值，代表不同的模式，表示为mn TE 模，其最低阶模为10TE 模。
3．矩形波导中波的传播特性参数在空心波导中，能传输的模式应满足的条件是cmn f f >（或mn c λλ<），即工作频率f 高于该模式的截止频率mn c f （或工作波长λ小于该模式的截止波长mn c λ）。
截止频率和截止波长cmn f ==(8.2.15)cmn cmnv f λ== (8.2.16)当工作频率f 大于截止频率cmn f 波导中可以传播相应mn TE 模和mn TM 模。
相位常数β== (8.2.17) 波导波长2g πλλβ===> (8.2.18)式中λ=相速p v vωβ===> (8.2.19)式中v =波阻抗TM xy E Z H j Γωε=== (8.2.20)TEx y E j Z H ωμΓ=== (8.2.21)8.3 矩形波导中的10TE 模1。
矩形波导的主模若矩形波导的宽边为a 、窄边为b ，则10TE 模的截止频率最低，称为矩形波导中的主模，其传播特性参数为10c k aπ=(8.3.1)10c f =(8.3.2)102c a λ= (8.3.3)β= (8.3.4)2。
单模传输为保证在矩形波导中只有10TE 模单模传输，在波导尺寸给定的情况下，选在择电磁波的工作波长λ满足（设2a b >）2a a λ>> (8.3.5)或2a λλ>>(8.3.6)一般取b =(0.4~0.5)a 。
8.4 圆柱形波导的电磁场表示式圆柱形波导中，纵向场分量与横向场分量的关系221z zr E H E jk r r ωμΓΓφ⎛⎫∂∂=-+ ⎪+∂∂⎝⎭(8.4.1) 221zz E H E j k r r φΓωμΓφ⎛⎫∂∂=-+ ⎪+∂∂⎝⎭(8.4.2) 221zz r E H H j k r r ωεΓΓφ⎛⎫∂∂=- ⎪+∂∂⎝⎭ (8.4.3) 221z z E H H j k r r φΓωεΓφ⎛⎫∂∂=-+ ⎪+∂∂⎝⎭(8.4.4) 纵向场分量z E 和z H 满足的标量波动方程为222222211()0z z z z E E E k E r r r r Γφ∂∂∂++++=∂∂∂ (8.4.5) 222222211()0z z z z H H H k H r r r r Γφ∂∂∂++++=∂∂∂ (8.4.6) 圆柱形波导中的主模是11TE 模。
8.5 波导中的衰减系数波导中的衰减系数2l PPα=，式中l P 表示波导中单位长度的损耗功率，P 表示传输功率。
在矩形波导中，10TE 模具有最小的衰减；在圆柱形波导中11TE 模具有最小的衰减，当频率更高时，01TE 模的衰减更小。
8.6 传输线方程及其解传输线中，随时间变化的电压和电流满足的波动方程为()()2220d U z U z dzΓ-= (8.6.1) ()()2220d I z I z Γ-= (8.6.2)式中：j αβΓ==+为传播系数，α称为衰减系数β称为相位系数。
波动方程的通解为()12z zU z Ae A e ΓΓ-=+ (8.6.3) ()1201()z z I z A e A e Z ΓΓ-=- (8.6.4)式中：0Z =12A A 、由传输线的边界条件确定。
当给定传输线的终端电压2U 和终端电流2I 时，线上任意一点的电压、电流为220220()()()22z zU I Z U I Z U z U z U z e e ΓΓ+--+-=+=+ (8.6.5) 22022000()()()22z z U I Z U I ZI z I z I z e e Z Z ΓΓ+--+-=+=- (8.6.6)上式表明传输线上任意一点的电压和电流以波的形式存在，且是由入射波和反射波叠加而成。