EM算法

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em算法的概念 -回复

em算法的概念-回复EM算法（Expectation-Maximization Algorithm）是一种用于在带有隐藏变量的概率模型中进行参数估计的迭代算法。

它最初由Arthur Dempster、Nan Laird和Donald Rubin于1977年提出，是一种广泛应用于统计学和机器学习领域的有力工具。

EM算法的核心思想是通过迭代的方式，通过求解期望（E）和最大化（M）步骤，逐步逼近最优解。

EM算法的应用非常广泛，尤其在概率模型中，当模型中存在无法观测到的隐藏变量时，EM算法可以用于估计模型参数。

这种情况常见于聚类分析、混合模型和隐马尔可夫模型等场景中。

下面将一步一步回答关于EM算法的相关问题。

问题1：EM算法的基本思想是什么？回答1：EM算法的基本思想是通过迭代的方式，交替进行两个步骤：期望（E）步骤和最大化（M）步骤，从而不断逼近最优解。

在E步骤中，根据当前估计的模型参数，计算出模型对于观测数据的期望值；在M步骤中，根据观测数据的期望值，找到使得似然函数最大化的模型参数的值。

通过不断迭代这两个步骤，可以逐步逼近最优解。

问题2：EM算法的迭代过程是怎样的？回答2：EM算法的迭代过程如下：1. 初始化参数：首先对模型参数进行初始化，可以使用一些启发式方法或者随机初始化的方式。

2. E步骤：根据当前估计的模型参数，计算出模型对于观测数据的期望值。

这可以通过计算观测数据对于模型的隐藏变量条件概率的期望来实现。

3. M步骤：根据观测数据的期望值，找到使得似然函数最大化的模型参数的值。

这可以通过最大化似然函数或者对数似然函数来实现。

4. 判断终止条件：判断是否满足终止条件，例如达到最大迭代次数或参数变化小于某个阈值。

5. 若满足终止条件，则输出当前的参数估计值；若不满足，则返回第2步，继续迭代。

问题3：EM算法如何处理无法观测到的隐藏变量？回答3：EM算法可以通过引入隐藏变量来处理无法观测到的变量。

EM算法

EM算法EM算法--应用到三个模型：高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型判别模型求的是条件概率p(y|x)，生成模型求的是联合概率p(x,y).即= p(x|y) ? p(y)常见的判别模型有线性回归、对数回归、线性判别分析、支持向量机、boosting、条件随机场、神经网络等。

常见的生产模型有隐马尔科夫模型、朴素贝叶斯模型、高斯混合模型、LDA、RestrictedBoltzmann Machine等。

所以这里说的高斯混合模型，朴素贝叶斯模型都是求p(x,y)联合概率的。

(下面推导会见原因)套路小结：凡是生产模型，目的都是求出联合概率表达式，然后对联合概率表达式里的各个参数再进行估计，求出其表达式。

下面的EM算法，GMM 等三个模型都是做这同一件事：设法求出联合概率，然后对出现的参数进行估计。

一、EM算法：作用是进行参数估计。

应用：（因为是无监督，所以一般应用在聚类上，也用在HMM 参数估计上）所以凡是有EM算法的，一定是无监督学习.因为EM是对参数聚集给定训练样本是高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型"> 样例独立，我们想要知道每个样例隐含的类别z，使是p(x,z)最大，（即如果将样本x(i)看作观察值，潜在类别z看作是隐藏变量，则x可能是类别z，那么聚类问题也就是参数估计问题，）故p(x,z)最大似然估计是：高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">所以可见用到EM算法的模型（高斯混合模型，朴素贝叶斯模型）都是求p(x,y)联合概率，为生成模型。

对上面公式，直接求θ一般比较困难，因为有隐藏变量z存在，但是一般确定了z后，求解就容易了。

EM是一种解决存在隐含变量优化问题的有效方法。

竟然不能直接最大化?(θ)，我们可建立?的下界（E步），再优化下界（M步），见下图第三步，取的就是下界高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型" action-data="http%3A%2F%%2Fbl og%2F515474%2F201305%2F19180744-0ed136937810 4b548dbee01337f6ba69.jpg" action-type="show-slide"> （总式）解释上式：对于每一个样例i，让Qi表示该样例隐含变量z的某种分布，Qi满足的条件是（如果z 是连续性的，那么Qi是概率密度函数（因子分析模型就是如此），需要将求和符号换成积分符号即：高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">因子分析模型是如此，这个会用在EM算法的M步求。

EM算法原理总结

EM算法原理总结EM算法（Expectation-Maximization algorithm）是一种迭代优化算法，用于估计含有隐变量的概率模型参数。

它能够在缺失数据情况下对概率模型进行参数估计，并可以通过迭代的方式逐步逼近模型的最大似然估计。

EM算法的原理可以总结为以下几个步骤：1.初始化模型参数：首先需要对模型的参数进行初始化。

通常可以采用随机初始化或者根据经验设定的初始值。

2. E步：在E步中，算法会根据当前的参数估计值来计算隐变量在每个数据样本上的期望值（expectation）。

这个计算过程通常使用条件概率的形式，即根据当前参数计算隐变量的后验概率。

3.M步：在M步中，算法会根据E步中计算得到的隐变量的期望值，来最大化似然函数。

这个最大化的过程通常使用最大似然估计的方法，通过对似然函数求偏导数，并使其等于零来求解参数。

4.更新参数：在M步中得到的参数估计值将作为下一轮迭代的初始值。

如此循环迭代，直到模型参数收敛，或者达到预设的迭代次数。

EM算法的优势在于它对于含有隐变量的概率模型的参数估计更加稳定。

由于EM算法使用期望值来替代隐变量，对于缺失数据的情况下也能进行有效的估计。

此外，EM算法的计算过程也相对简单而清晰，容易实现。

然而，EM算法也存在一些不足之处。

首先，EM算法只能够得到概率模型的局部最大似然估计，不能保证找到全局最大似然估计。

其次，EM算法对初始参数的选择非常敏感，有时候可能会陷入局部最优解。

另外，EM算法的收敛速度可能较慢，需要进行多次迭代才能达到理想的结果。

为了解决这些问题，可以采用一些改进的EM算法，如加速的EM算法（accelerated EM algorithm）、剪枝的EM算法（pruning-based EM algorithm）等。

这些改进的算法在EM算法的基础上对其进行了一些改进和优化，提高了算法的收敛速度和估计精度。

总结来说，EM算法是一种用于估计含有隐变量的概率模型参数的优化算法。

em算法

em算法EM算法是英文expectation-maximization算法的英文简写,翻译过来就是期望最大化算法,其实是一种根据求参的极大似然估计的一种迭代的优化策略,EM算法可以广泛估计是因为他可以从非完整的数据集中对于参数进行极大似然的估计,这样的方法对于处理残缺数据,截尾数据和一些带有噪声的数据来说是很有效的.在写这篇文章之前,我看了很多篇博客,学习了很多的知识,也参照了很多的资料,希望可以从EM算法的迭代优化理论和一般的步骤中出发,然后能够举一个例子来使我们理解这个EM算法,然后在对其收敛性进行证明,目的是为了说明EM算法每一次迭代都是能够提高似然函数值然后收敛到一个稳定的点,再引出EM算法的收敛速度.大概通过上述部分,我们可以得到基于其简单,收敛,稳定上升的优势,但是也会产生一些缺点,比如收敛速度过慢的加速方法等,在第二篇文章中将会介绍这个处理缺点的方法,然后会写一些关于EM算法的重要应用,包括EM算法在二元正态分布上的参数估计的应用,混合高斯分布参数估计方面的应用,以及EM算法在隐马尔科夫模型上参数的应用(一种EM算法的特殊情形),希望通过这一系列的文章可以让大家理解好EM算法的明显优势以及原理,让我们开始吧!背景:极大似然估计和贝叶斯统计其实是作为现在的统计领域中非常热门的领域了,其实来说他们的计算过程是有一定的相似成分的,比如极大似然函数估计在计算的方法上跟贝叶斯的后验概率的计算是非常相似的,学过统计学习的我们知道,贝叶斯是分为两种的大类的,一种是拥有显式的后验分布,这样的一般用于简单的似然函数,另外一种是数据添加的算法,有些时候我们的数据可能会存在缺失或者是似然函数不是显性的,数据添加类在这时候就可以很好的应用,他可以将已经观测到的数据基础上加上一些”潜在数据”,从而使得变得更简单,完成极大化的工作,然后我们常用的一种数据添加法其实就是我们今天介绍的EM算法.EM算法是一种迭代的优化策略,他的计算方法是分为期望步(E步)和极大步(M 步)的,所以这个算法的名字是这样来的,EM算法受到了缺失算法的影响,最初就是为了解决上边提到的数据缺失的问题,基本的思想就是首先根据已经观测出来的数据估计出模型参数的值,然后再根据上一步估计出的参数值来估计缺失数据的值,然后再根据估计中缺失的数据加上之前的已经观测到的数据重新在对参数值进行估计,然后反复的进行迭代,直到最后收敛,迭代结束.而现在EM算法发展了几十年了,在当时的数据快速增长得那个时代,那时候处理数据很困难,经常会出现数据缺失或者不可用的情况,当时无非就是用用神经网络拟合,添补法,卡尔曼滤波法等等,但是最后还是EM脱颖而出,最主要还是他的算法步骤简单,稳定上升可以很可靠的找到最优的收敛值,但是运用这种思想,我们拓展到了简化问题策略,有时候缺失数据并非真的缺少了,这时候EM引入恰当的数据添加技术,这样的数据被称为”潜在数据”,复杂问题通过引入潜在数据,能够有效的解决我们的问题“潜在数据”可以解释为数据本身并不存在缺失变量，但观察数据比较难以处理，如果添加上额外的变量，处理起来会变得比较简单。

EM算法原理总结

EM算法原理总结EM算法（Expectation–Maximization Algorithm）是一种经典的迭代算法，用于解决参数估计问题。

它的基本原理是在已知观测数据的情况下，通过迭代计算潜在变量的期望值和参数的极大似然估计来逐步逼近最优解。

EM算法常用于处理含有隐变量的概率模型的参数估计问题，例如混合高斯模型、隐马尔可夫模型等。

在这些模型中，观测数据由两部分组成，一部分是可观测的数据，另一部分是隐变量。

由于缺少隐变量的观测值，无法直接应用传统的参数估计方法。

EM算法的核心思想就是通过迭代计算隐变量的期望值，然后根据对应的期望值来估计参数值，从而逐渐优化模型。

EM算法的基本步骤如下：1.初始化参数：随机初始化模型的参数值。

2. E步骤（Expectation Step）：根据当前模型参数，计算隐变量的条件概率分布。

这一步通常使用条件期望来近似计算因为这样可以简化计算，将最大似然估计问题转化为最大条件似然估计。

3. M步骤（Maximization Step）：通过最大化似然函数来估计模型参数。

在E步骤中计算得到的隐变量的条件概率分布将被作为已知数据，将原始问题中的似然函数转化为这个已知数据的极大似然函数。

4.迭代更新：重复执行E步骤和M步骤，直到模型收敛或达到预定的迭代次数。

EM算法的核心在于E步骤和M步骤的交替迭代。

在E步骤中，通过计算隐变量的条件概率分布包括隐变量的期望值。

这一步骤的目的是在给定当前参数的情况下，估计隐变量（即未观测到的数据）的分布。

在M步骤中，通过最大化已观测数据和隐变量的联合概率分布来更新模型的参数。

这一步骤的目的是获得使得似然函数达到最大的参数值。

交替执行E步骤和M步骤，直到模型收敛为止。

EM算法的优点是能够处理含有隐变量的概率模型的参数估计问题，且能够在缺失数据的情况下进行参数估计。

它的收敛性也得到了很好的理论保证。

然而，由于EM算法是一种局部算法，结果可能陷入局部最优解，因此对于一些复杂的模型，可能需要多次运行以找到全局最优解。

em算法

最大期望算法（Expectation-Maximization algorithm, EM），或Dempster-Laird-Rubin算法，是一类通过迭代进行极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）的优化算法，通常作为牛顿迭代法（Newton-Raphson method）的替代用于对包含隐变量（latent variable）或缺失数据（incomplete-data）的概率模型进行参数估计。

EM算法的标准计算框架由E步（Expectation-step）和M步（Maximization step）交替组成，算法的收敛性可以确保迭代至少逼近局部极大值。

EM算法是MM算法（Minorize-Maximization algorithm）的特例之一，有多个改进版本，包括使用了贝叶斯推断的EM算法、EM梯度算法、广义EM算法等。

由于迭代规则容易实现并可以灵活考虑隐变量，EM算法被广泛应用于处理数据的缺测值，以及很多机器学习（machine learning）算法，包括高斯混合模型（Gaussian Mixture Model, GMM）和隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model, HMM）的参数估计。

理论EM算法是基于极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）理论的优化算法。

给定相互独立的观测数据，和包含隐变量、参数的概率模型，根据MLE理论，的最优单点估计在模型的似然取极大值时给出：。

考虑隐变量，模型的似然有如下展开：隐变量可以表示缺失数据，或概率模型中任何无法直接观测的随机变量，式中第一行是隐变量为连续变量的情形，第二行是隐变量为离散变量的情形，积分/求和的部分也被称为的联合似然（joint liklihood）。

不失一般性，这里按离散变量为例进行说明。

由MLE的一般方法，对上式取自然对数后可得上述展开考虑了观测数据的相互独立性。

机器学习算法——EM算法

机器学习算法——EM算法E步：利用当前估计的参数值，求出在该参数下隐含变量的条件概率值（计算对数似然的期望值）；M步：结合E步求出的隐含变量条件概率，求出似然函数下界函数的最大值（寻找能使E步产生的似然期望最大化的参数值。

）然后，新得到的参数值重新被用于E步.....直到收敛到局部最优解。

（note：每次迭代实际在求Q函数及其极大，即每次迭代使似然函数增大或达到局部极值。

）优点：简单性和普适性，可看作是一种非梯度优化方法（解决梯度下降等优化方法的缺陷：求和的项数将随着隐变量的数目以指数级上升，会给梯度计算带来麻烦）缺点：对初始值敏感，不同的初值可能得到不同的参数估计值；不能保证找到全局最优值。

一、Jensen 不等式在EM算法的推导过程中，用到了数学上的Jensen不等式，这里先来介绍一下。

其中，二、EM算法推导面对一个含有隐含变量Z的概率模型，目标是极大化观测数据Y 关于参数的对数似然函数，即极大化：事实上，EM算法是通过迭代逐步极大化的。

假设在第次迭代后的估计值是。

我们希望新的估计值能使增加，即,并逐步达到极大值。

为此考虑两者的差：上式利用了Jensen不等式，且，则可得上述推导。

注意为凹函数，不等号要改变方向令EM算法并不能保证全局最优值，直观解释如图所示。

好好理解这个图三、EM算法在高斯混合模型中的应用：高斯混合模型：步骤：（1）明确隐变量，写出完全数据的对数似然函数。

（2）EM算法的E步：确定Q函数（即：完全数据的对数似然函数关于在给定观测数据和参数的条件下对隐变量的条件概率的期望）：（3）M步：求Q函数对theta的极大值，即求新一轮迭代的模型参数。

四、采用EM算法求解的模型有哪些？为什么不用牛顿法或者梯度下降法？一般有混合高斯、协同过滤、k-means。

算法一定会收敛，但是可能会收敛到局部最优。

求和的项数会随着隐变量的数目指数上升，会给梯度计算带来麻烦。

EM算法是一种非梯度优化算法。

聊聊EM算法~

聊聊EM算法~EM算法(Expection Maximuzation)的中文名称叫做期望最大化，我的理解EM算法就是一种引入隐含变量的坐标向上法，它与其他优化方法的目的相同，就是求解一个数学模型的最优参数，不同之处在于EM算法交互迭代的对象是隐含变量与模型参数，一般隐含变量表现为数据的类别。

期望说白了就是数据的权重平均，在EM算法中，可以理解为数据的类别，那么既然确定好了数据的类别，下一步就是想办法求取新数据构成分布的参数，一般采用最大似然法求取最优参数。

剩下的就是最普通的迭代过程，先初始化参数，计算数据的概率分布，再对数据进行重新分类，然后重新计算参数，周而复始。

幸运的是，EM算法的收敛性能够得到保证。

曾经读过一篇特别好的博客，通过举例的方式对EM算法解释的很形象，现摘抄如下：“假设我们需要调查我们学校的男生和女生的身高分布。

你怎么做啊？你说那么多人不可能一个一个去问吧，肯定是抽样了。

假设你在校园里随便地活捉了100个男生和100个女生。

他们共200个人（也就是200个身高的样本数据，为了方便表示，下面，我说“人”的意思就是对应的身高）都在教室里面了。

那下一步怎么办啊？你开始喊：“男的左边，女的右边，其他的站中间！”。

然后你就先统计抽样得到的100个男生的身高。

假设他们的身高是服从高斯分布的。

但是这个分布的均值u和方差?2我们不知道，这两个参数就是我们要估计的。

记作θ=[u, ?]T。

再回到例子本身，如果没有“男的左边，女的右边，其他的站中间！”这个步骤，或者说我抽到这200个人中，某些男生和某些女生一见钟情，已经好上了，纠缠起来了。

咱们也不想那么残忍，硬把他们拉扯开。

那现在这200个人已经混到一起了，这时候，你从这200个人（的身高）里面随便给我指一个人（的身高），我都无法确定这个人（的身高）是男生（的身高）还是女生（的身高）。

也就是说你不知道抽取的那200个人里面的每一个人到底是从男生的那个身高分布里面抽取的，还是女生的那个身高分布抽取的。

em算法

em算法EM 算法是Dempster,Laind,Rubin 于1977 年提出的求参数极大似然估计的一种方法，它可以从非完整数据集中对参数进行MLE 估计，是一种非常简单实用的学习算法。

这种方法可以广泛地应用于处理缺损数据，截尾数据，带有噪声等所谓的不完全数据。

最大期望算法经过两个步骤交替进行计算：1）计算期望（E），利用概率模型参数的现有估计值，计算隐藏变量的期望；2）最大化（M），利用E 步上求得的隐藏变量的期望，对参数模型进行最大似然估计。

3）M 步上找到的参数估计值被用于下一个E 步计算中，这个过程不断交替进行。

总体来说，EM的算法流程如下：1.初始化分布参数2.重复直到收敛：E步骤：估计未知参数的期望值，给出当前的参数估计。

M步骤：重新估计分布参数，以使得数据的似然性最大，给出未知变量的期望估计。

EM算法流程假定集合由观测数据和未观测数据组成，和分别称为不完整数据和完整数据。

假设Z的联合概率密度被参数化地定义为，其中表示要被估计的参数。

的最大似然估计是求不完整数据的对数似然函数的最大值而得到的：EM算法包括两个步骤：由E步和M步组成，它是通过迭代地最大化完整数据的对数似然函数的期望来最大化不完整数据的对数似然函数，其中：假设在算法第t次迭代后获得的估计记为，则在(t+1)次迭代时，E-步：计算完整数据的对数似然函数的期望，记为：M-步：通过最大化来获得新的。

通过交替使用这两个步骤，EM算法逐步改进模型的参数，使参数和训练样本的似然概率逐渐增大，最后终止于一个极大点。

直观地理解EM算法，它也可被看作为一个逐次逼近算法：事先并不知道模型的参数，可以随机的选择一套参数或者事先粗略地给定某个初始参数，确定出对应于这组参数的最可能的状态，计算每个训练样本的可能结果的概率，在当前的状态下再由样本对参数修正，重新估计参数λ，并在新的参数下重新确定模型的状态，这样，通过多次的迭代，循环直至某个收敛条件满足为止，就可以使得模型的参数逐渐逼近真实参数。

em算法

期望最大化算法（EM）或Dempster Laird Rubin算法是一种最大似然估计（MLE），MLE通常用作Newton Raphson方法的替代方法，以估计具有潜在变量或不完整数据的概率模型的参数。

EM算法的标准计算框架由E步骤和M步骤交替组成。

算法的收敛性可以确保迭代至少接近局部最大值。

EM算法是MM算法的特例之一。

有几种改进的版本，包括使用贝叶斯推理的EM算法，EM 梯度算法，广义EM算法等。

由于迭代规则易于实现并且可以灵活地考虑隐藏变量，因此EM 算法被广泛用于处理缺失数据以及许多机器学习（机器学习）算法，包括高斯混合模型（GMM）和隐马尔可夫模型（HMM）参数估算。

EM算法的研究源于统计误差分析问题。

1886年，美国数学家西蒙·纽科姆（Simon Newcomb）使用高斯混合模型（GMM）解释观测误差的长尾效应时，提出了一种类似于EM算法的迭代求解技术。

最大似然估计（MLE）出现后，英国学者安德森·麦肯德里克（Anderson McKendrick）于1926年提出了纽康理论，并将其应用于医学样本中。

1956年，Michael Healy和Michael Westmacott 提出了一种迭代方法来估计统计实验中的缺失数据，这被认为是EM 算法的特例。

1970年，B。

J. n。

light使用MLE讨论指数族分布的I型检查数据。

Rolf Sundberg从1971年到1974年进一步发展了指数族分布样本的MLE，并给出了迭代计算的完整推导。

EM算法由美国数学家Arthur Dempster，Nan laird和Donald Rubin正式提出。

他们于1977年发表的研究总结了以前的EM算法作为特例，并给出了标准算法的计算步骤。

EM算法也称为Dempster Laird Rubin算法。

1983年，美国数学家c.f. Jeff Wu 给出了指数族分布之外的EM算法收敛性的证明。

em算法

Em算法，是指期望最大化算法，是一种迭代算法，用于统计中，以找到概率模型中参数的最大似然估计，该估计依赖于不可观察的隐藏变量。

EM算法由dempster，laind和Rubin于1977年提出，是一种非常简单实用的学习算法，可以通过MLE从不完整的数据集中估计参数。

此方法可广泛用于处理不完整的数据，例如缺陷数据，截断的数据和嘈杂的数据。

可能会有一些生动的隐喻可以清楚地解释该算法。

例如，食堂的厨师炒了一道菜，不得不将它分成两部分，以便两个人一起吃。

显然，没有必要以很小的平衡来精确称量它。

最简单的方法是将一个盘子随机分成两个碗，然后观察是否有很多盘子，然后再取其中的一些放到另一个碗中。

这个过程是反复进行的，直到每个人都看不到两个碗中所盛菜肴的重量差异。

EM算法就是这样。

假设我们知道两个参数a和b，它们在初始状态下是未知的。

如果我们知道a的信息，那么我们可以得到b的信息，如果我们知道b，那么我们可以得到a。

可以考虑给定某个初始值以获得b的估计值，然后从b的当前值重新估计a的值，直到当前值收敛为止。

在统计中，最大期望（EM）算法是一种算法，用于根据概率模型中的参数来找到参数的最大似然估计或最大后验估计。

在机器学习和计算机视觉的数据集群领域中经常使用最大期望值。

em算法原理

em算法原理EM算法（Expectation-Maximization Algorithm）是一种常用的统计学习方法，用于求解含有隐变量的概率模型中的参数估计问题。

EM算法的基本思想是通过迭代的方式寻找概率模型的最大似然解。

在实际应用中，有时候概率模型中的一些变量是无法直接观测到的，这些变量称为隐变量。

如何利用观测变量来估计隐变量和模型参数就是EM算法所要解决的问题。

假设我们有一个包含观测变量X和隐变量Z的概率模型，其中X表示观测数据，Z表示对应的隐变量。

我们的目标是通过已知的观测数据X来估计模型的参数θ。

由于无法直接观测到隐变量Z，所以不能直接用最大似然估计的方法来估计参数θ。

EM算法的基本思想是通过引入一个辅助函数Q函数来进行估计。

具体地，EM算法将参数估计问题分为两步进行迭代。

首先，E步（Expectation）：在E步，根据当前的参数估计值θ(t)计算Q函数的期望值。

这里的Q函数是关于隐变量Z和模型参数θ的函数。

在计算Q函数的期望值时，需要使用当前的参数估计值θ(t)来代替真实的参数θ。

通过计算Q函数的期望值，可以得到对应的隐变量的概率分布。

然后，M步（Maximization）：在M步，根据E步得到的隐变量的概率分布，计算使得Q函数取得最大值时的模型参数估计值θ(t+1)。

这一步相当于求解一个参数最优化问题，可以使用极大似然估计或其他优化方法来进行求解。

通过不断地迭代E步和M步，直到收敛，就可以得到概率模型的最大似然解，即参数的估计值。

EM算法的优点在于可以处理含有隐变量的复杂概率模型，且收敛到全局最优解的可能性较大。

然而，EM算法也存在一些问题，比如可能陷入局部最优解，对初始值敏感等。

总之，EM算法是一种迭代求解含有隐变量的概率模型参数估计问题的方法，通过迭代的方式不断提高参数估计值的精度，从而得到对应的模型参数的估计值。

em算法原理

EM算法原理一、简介EM（Expectation Maximization）算法是一种常见的统计学习方法，用于估计参数和解决一些难以处理的问题，特别是在存在隐变量的情况下。

EM算法最初由数学家罗伯特·卢德米勒（RobertLushmiller）和理查德·贝尔曼（RichardBellman）在20世纪50年代提出，后来由 statisticiansDempster, Laird, and Rubin 进一步发展，因此也被命名为Dempster-Laird-Rubin算法。

EM算法在许多领域都有广泛的应用，如混合高斯模型、隐马尔可夫模型、高斯过程回归等。

二、EM算法的步骤EM算法主要由两个步骤组成：E步（ExpectationStep）和M步（Maximization Step），这两个步骤在迭代过程中交替进行。

1.E步：计算隐变量的条件期望。

给定当前的参数估计值，计算隐变量的条件期望，通常表示为参数的函数。

这个步骤中，隐变量对数似然函数的参数更新起着关键作用。

2.M步：最大化期望值函数。

在E步计算出期望值之后，M步将尝试找到一组参数，使得这个期望值函数最大。

这个步骤中，通常使用优化算法来找到使期望值函数最大的参数值。

这两个步骤在迭代过程中交替进行，每次迭代都更新了参数的估计值，直到满足某个停止准则（如参数收敛或达到预设的最大迭代次数）。

三、EM算法的特点与优点1.处理隐变量：EM算法能够处理数据中存在的隐变量问题，这是它与其他参数估计方法相比的一大优势。

通过估计隐变量的概率分布，EM算法能够更准确地描述数据的生成过程。

2.简单易行：相对于其他优化算法，EM算法相对简单易懂，也容易实现。

它的主要目标是最优化一个简单的对数似然函数，这使得EM算法在许多情况下都能给出很好的结果。

3.稳健性：对于一些数据异常或丢失的情况，EM算法往往表现出较好的稳健性。

这是因为EM算法在估计参数时，会考虑到所有可用的数据，而不仅仅是正常的数据点。

EM算法(讲解+程序)

EM算法实验报告一、算法简单介绍EM 算法是Dempster，Laind，Rubin于1977年提出的求参数极大似然估计的一种方法，它可以从非完整数据集中对参数进行MLE估计，是一种非常简单实用的学习算法。

这种方法可以广泛地应用于处理缺损数据、截尾数据以及带有噪声等所谓的不完全数据，可以具体来说，我们可以利用EM算法来填充样本中的缺失数据、发现隐藏变量的值、估计HMM中的参数、估计有限混合分布中的参数以及可以进行无监督聚类等等。

本文主要是着重介绍EM算法在混合密度分布中的应用，如何利用EM算法解决混合密度中参数的估计。

二、算法涉及的理论我们假设X是观测的数据，并且是由某些高斯分布所生成的，X是包含的信息不完整（不清楚每个数据属于哪个高斯分布）。

，此时，我们用k维二元随机变量Z（隐藏变量）来表示每一个高斯分布，将Z引入后，最终得到：，，然而Z的后验概率满足（利用条件概率计算）：但是，Z nk为隐藏变量，实际问题中我们是不知道的，所以就用Z nk的期望值去估计它（利用全概率计算）。

然而我们最终是计算max：最后，我们可以得到（利用最大似然估计可以计算）：三、算法的具体描述3.1 参数初始化对需要估计的参数进行初始赋值，包括均值、方差、混合系数以及。

3.2 E-Step计算利用上面公式计算后验概率，即期望。

3.3 M-step计算重新估计参数，包括均值、方差、混合系数并且估计此参数下的期望值。

3.4 收敛性判断将新的与旧的值进行比较，并与设置的阈值进行对比，判断迭代是否结束，若不符合条件，则返回到3.2，重新进行下面步骤，直到最后收敛才结束。

四、算法的流程图五、实验结果a_best=0.8022 0.1978mu_best=2.71483.93074.9882 3.0102cov_best=(:,:,1) =5.4082 -0.0693-0.0693 0.2184(:,:,2) =0.0858 -0.0177-0.0177 0.0769f=-1.6323数据X的分布每次迭代期望值利用EM估计的参量值与真实值比较（红色：真实值青绿色：估计值）六、参考文献1.M. Jordan. Pattern Recognition And Machine Learning2.Xiao Han. EM Algorithm七、附录close all;clear;clc;% 参考书籍Pattern.Recognition.and.Machine.Learning.pdf% % lwm@% 2009/10/15%%M=2; % number of GaussianN=200; % total number of data samplesth=0.000001; % convergent thresholdK=2; % demention of output signal% 待生成数据的参数a_real =[4/5;1/5];mu_real=[3 4;5 3];cov_real(:,:,1)=[5 0;0 0.2];cov_real(:,:,2)=[0.1 0;0 0.1];% generate the datax=[ mvnrnd( mu_real(:,1) , cov_real(:,:,1) , round(N*a_real(1)) )' , mvnrnd(mu_real(:,2),cov_real(:,:,2),N-round(N*a_real(1)))'];% for i=1:round(N*a_real(1))% while (~((x(1,i)>0)&&(x(2,i)>0)&&(x(1,i)<10)&&(x(2,i)<10)))% x(:,i)=mvnrnd(mu_real(:,1),cov_real(:,:,1),1)';% end% end%% for i=round(N*a_real(1))+1:N% while (~((x(1,i)>0)&&(x(2,i)>0)&&(x(1,i)<10)&&(x(2,i)<10)))% x(:,i)=mvnrnd(mu_real(:,1),cov_real(:,:,1),1)';% end% endfigure(1),plot(x(1,:),x(2,:),'.')%这里生成的数据全部符合标准%% %%%%%%%%%%%%%%%% 参数初始化a=[1/3,2/3];mu=[1 2;2 1];%均值初始化完毕cov(:,:,1)=[1 0;0 1];cov(:,:,2)=[1 0;0 1];%协方差初始化%% EM Algorothm% loopcount=0;figure(2),hold onwhile 1a_old = a;mu_old = mu;cov_old= cov;rznk_p=zeros(M,N);for cm=1:Mmu_cm=mu(:,cm);cov_cm=cov(:,:,cm);for cn=1:Np_cm=exp(-0.5*(x(:,cn)-mu_cm)'/cov_cm*(x(:,cn)-mu_cm));rznk_p(cm,cn)=p_cm;endrznk_p(cm,:)=rznk_p(cm,:)/sqrt(det(cov_cm));endrznk_p=rznk_p*(2*pi)^(-K/2);%E step%开始求rznkrznk=zeros(M,N);%r(Zpikn=zeros(1,M);%r(Zpikn_sum=0;for cn=1:Nfor cm=1:Mpikn(1,cm)=a(cm)*rznk_p(cm,cn);% pikn_sum=pikn_sum+pikn(1,cm);endfor cm=1:Mrznk(cm,cn)=pikn(1,cm)/sum(pikn);endend%求rank结束% M stepnk=zeros(1,M);for cm=1:Mfor cn=1:Nnk(1,cm)=nk(1,cm)+rznk(cm,cn);endenda=nk/N;rznk_sum_mu=zeros(M,1);% 求均值MUfor cm=1:Mrznk_sum_mu=0;%开始的时候就是错在这里，这里要置零。

em算法

最大化算法（EM）或Dempster-Laird-Rubin算法是通过最大似然估计（MLE）进行迭代的优化算法。

它通常用作Newton-Raphson方法的替代方法，以估计包含潜在变量或不完整数据的概率模型的参数。

EM算法的标准计算框架由交替的E步和最大化步组成，算法的收敛性可以确保迭代至少达到局部最大值。

EM算法是Minorize-Maximization算法的特殊情况之一。

有几种改进的版本，包括使用贝叶斯推断的EM算法，EM梯度算法和广义EM算法。

由于迭代规则易于实现并且可以灵活地考虑隐藏变量，因此EM算法被广泛用于处理数据缺失值以及许多机器学习算法，包括高斯混合模型（GMM）和隐马尔可夫的参数估计型号（HMM）。

物业编辑收敛性和稳定性：EM算法必然收敛到对数似然的局部最大值或鞍点，其证明考虑了不等式关系如下：从上式可以看出，EM算法获得的对数似然是单调递增的，即从第二次迭代到第二次迭代，EM算法至少可以保持当前的优化结果，而不会向相反方向移动。

最大值。

因此，EM算法具有数值稳定性（数值稳定性）。

给定计算精度，上述不等式也可用于确定EM算法迭代的结束时间（迭代结束时）。

有关EM算法收敛性的具体证明，请参见Wu（1983）。

计算复杂度：当E步骤具有解析形式时，EM算法是一种计算复杂度和存储开销较低的算法，并且只需很少的计算资源即可完成计算。

当E步骤没有解析形式或使用map-EM时，EM算法需要结合其他数值方法，例如变量db贝叶斯估计或MCMC来估计隐藏变量的后验分布，并且计算成本取决于问题本身。

与其他算法相比，与诸如牛顿迭代法和随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent，SGD）等梯度算法相比，EM算法的优势在于其框架可以加入目标的附加约束，例如在用高斯混合模型和EM算法求解协方差可以确保结果的每次迭代都是正定矩阵[3]。

EM算法的缺点是它陷入局部最优。

在高维数据问题中，局部最优和全局最优可能会大不相同。

EM算法——精选推荐

EM算法⼀、EM简介EM(Expectation Mmaximization) 是⼀种迭代算法，⽤于含隐变量(Latent Variable) 的概率模型参数的极⼤似然估计，或极⼤后验概率估计 EM算法由两步组成，求期望的E步，和求极⼤的M步。

EM算法可以看成是特殊情况下计算极⼤似然的⼀种算法。

现实的数据经常有⼀些⽐较奇怪的问题，⽐如缺失数据、含有隐变量等问题。

当这些问题出现的时候，计算极⼤似然函数通常是⽐较困难的，⽽EM算法可以解决这个问题。

EM算法已经有很多应⽤，⽐如最经典的Hidden Markov模型等。

经济学中，除了逐渐开始受到重视的HMM模型（例如Yin and Zhao, 2015），其他领域也有可能涉及到EM算法，⽐如在Train的《Discrete Choice Methods with Simulation》就给出了⼀个mixed logit 模型的EM算法。

⼆、EM算法的预备知识1、极⼤似然估计（1）举例说明：经典问题——学⽣⾝⾼问题我们需要调查我们学校的男⽣和⼥⽣的⾝⾼分布。

假设你在校园⾥随便找了100个男⽣和100个⼥⽣。

他们共200个⼈。

将他们按照性别划分为两组，然后先统计抽样得到的100个男⽣的⾝⾼。

假设他们的⾝⾼是服从⾼斯分布的。

但是这个分布的均值u和⽅差∂2我们不知道，这两个参数就是我们要估计的。

记作θ=[u, ∂]T。

问题：我们知道样本所服从的概率分布的模型和⼀些样本，⽽不知道该模型中的参数。

我们已知的有两个：（1）样本服从的分布模型（2）随机抽取的样本需要通过极⼤似然估计求出的包括：模型的参数总的来说：极⼤似然估计就是⽤来估计模型参数的统计学⽅法。

（2）如何估计问题数学化：（1）样本集X={x1,x2,…,xN} N=100 （2）概率密度：p(xi|θ)抽到男⽣i（的⾝⾼）的概率 100个样本之间独⽴同分布，所以我同时抽到这100个男⽣的概率就是他们各⾃概率的乘积。

阅读理解 em 算法

阅读理解 em 算法
EM算法是一种迭代逐步逼近最大似然估计的方法，主要应用于含有隐变量的概率模型的参数估计问题。

它的基本思想是：假设我们有一组数据，但是这组数据中存在一些隐含信息，我们无法直接通过这些数据得到想要的参数估计结果，因此我们需要通过迭代的方式，不断逼近最大似然估计值。

EM算法的具体步骤如下：首先，我们需要对模型参数进行初始化，然后通过E步骤来计算隐变量的期望值，接着通过M步骤来最大化似然函数，更新模型参数。

然后再通过E步骤计算新的隐变量的期望值，再通过M步骤最大化似然函数，更新模型参数。

这些步骤不断循环迭代，直到收敛为止。

EM算法的优点在于它可以估计含有隐变量的概率模型的参数，具有很好的鲁棒性，即使存在随机误差或者测量误差，也能够得到比较准确的结果，因此在许多实际问题中得到了广泛的应用。

总之，EM算法是一种迭代求解参数估计问题的有效方法，可以用于含有隐变量的概率模型的参数估计，并且具有较好的鲁棒性，是一个非常重要的统计学习方法。

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EM算法——精选推荐

EM算法EM算法是一种迭代优化算法，分为两步：期望步（E步）和极大步（M步）最初是为了解决数据缺失的问题，基本思想为：首先依据已经给出的观测数据，估计出模型参数；然后再依据上一步估计出参数值估计缺失数据的值。

现在可以将上述的缺失的数据作为一个隐变量，通过EM算法估计模型参数和隐变量的取值。

储备知识极大似然估计已知：样本（满足i.i.d.）和样本服从的分布模型求解：模型参数在EM中的作用：固定样本所属分布的隐变量，估计模型参数，提升Jensen不等式下界。

估计过程：首先先假定预设一组模型参数，可以计算每个参数的概率，由于样本满足i.i.d.，所以，联合概率表示为：其中就可以看做以模型参数为变量的函数，目的就是选取一组模型参数，似的似然函数L(theta)最大，记作：极大似然估计对似然函数取对数进行估计：然后就是这个似然函数随模型参数而变化，求极大似然函数就是对模型参数求导，令导为0。

Jensen不等式凸函数：f为定义域在实数上的连续函数，且二次导数>=0Jensen不等式：对于凸函数f，X为随机变量，则：E[f(X)] >= f(E[X]); 当且仅当X是常量时，上式取等号。

具体如图示，连线中间>=曲线上。

EM算法已知：样本和样本的分布模型求解：每一样本属于什么分布；和模型参数可以与求极大似然估计作对比，需要求解每个样本所属的分布，而这个在极大似然中是已知的，可以将这一变量看做一个隐变量。

具体步骤思想：1）E步：利用当前的模型参数，计算隐变量的后验概率（即：隐变量的期望）2）M步：利用上一步的隐变量，计算模型参数的最大似然估计，更新模型参数为什么E步就是求后验概率？(2)->(3)是利用Jensen不等式，如何想取到等号，让估计概率更接近最大值呢？则，这个式子，恒为常数，可以看做不依赖与z(i)，则将左右z(i)取值进行累加，由于，则。

则为后验概率：从不等式的角度理解EM算法：(5)步不等式是M步，固定隐变量，求模型参数的最大似然，提升Jensen不等式的下界。