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EM算法简介精品PPT课件

在EM算法正式提出以来，人们对EM算法的性质有更加深入的研究.并且在此基础上，提出了很多改进的算法.
在数理统计，数据挖掘，机器学习以及模式识别等领域有广泛的应用.
3
问题提出
给定一些观察数据y，假设y符合如下的高斯分布
K
p(y) kN(y|k,k). k1
需要求出混合高斯分布的三组参数 k,k,k
即
||i1 i || ||Q (i 1| i)Q (i|. i)||
重复上面两个步骤直至
或
充分小时，停止.
11
EM例子
• 有公式(1)(3)以及贝叶斯公式可得
p(Z|Y,,,)
∝
NK
[kN(yn|k,k)z]nk
n1 k1
其中N表示观察样本数.
• 公式中 znk 是未知的，需要求出它的期望
12
推论L 1(.M(假*设)) 存L在(一)些,
并
且Q (M ()|)Q (，|那么),有
a) k(x|y ,M ( ) )k(x|y , )
b)
c)
几乎处处成立.
17
GEM算法性质
推论2.对于一 , ,L ()L ()
些
，其中
，
那么对于GEM算M 法有().
(p), p0,1,2,...
EM的M-step可能比较复杂
• M-step
定义映M射()
Q (M ( 满)|) Q (|)
足,其中是参数空 . 间，
i1 M(
即
16
GEM算法性质
引理1.
对于任意 (',一 ) 对 ,其参中是数参数空间，
H ('|)H (|),
4
问题简化

EM算法及其推广解析PPT课件

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• 证明由于取对数有由令于是对数似然函数可以写成
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• 只需证明右端为非负值即得出结果，由于
•使
达到极大，所以有
Q( , (i) )
其第二项，由
得出
(i1)
第23页/共26页
• 定理9.2 设L(θ)=logP(Y|θ)为观测数据的对数似然函数， (i=1,2,…)为EM算
数的当前估计值.每次迭代实际在求Q函数及其极大；
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• （3）M步：求使
极大化的Qθ(， ,确定(i)i)+1次迭代得参数的估计值
(i1)
（4）重复第（2）步和第（3）步，直到收敛，这里给出停止迭代得条件，一
般是对较小的正数
，若满足
则停止1迭, 代2 .
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• 定义9.1（Q函数）完全数据（观测变量数据Y和隐变量数据Z）的对数似然函数
极大似然估计
• 极大似然估计是概率论在统计学中的应用，它是参数估计的方法之一。说的是已知某个随机样本满足某种概率分布，但是其中具体的参数不清楚，参数估计就是通过若干次实验，观察其结果，利用结果推出参数的大概值。
第2页/共26页
极大似然估计
• 似然函数： • 已知样本集X,X是通过概率密度p(x|θ)抽取。样本集X中各个样本的联合概率： • 为了便于分析，由于L(θ)是连乘的，还可以定义对数似然函数，将其变成连加的：
值可以任意选择(i) ，但需注意EM算法对初值是敏感的；（2）E步：记为第i次迭代参数θ的估计值，在第i+1次迭代得E步，计算
P(Z | Y, (i))
(i)
Q( , (i) )

EM(最大期望算法)极大似然估计PPT课件

• 原理：一个随机试验如果有若干个可能的结果A， B，C，…。若在一次试验中，结果A出现，则一般认为试验条件对A出现有利，也即A出现的概率很大
• 思想：已知某个参数能使这个样本出现的概率最大，我们当然不会再去选择其他小概率的样本，所以干脆就把这个参数作为估计的真实值
极大似然估计
设总体X是离散型随机变量，其分布中含有未知参数θ，设x （x1，x2.....xn）是取自总体X的一个样本，（x1，x2.....xn）是其观察值。则取到这组样本观察值的概率是：
对于本例，其E步为：
EM算法
Expectation-maximization algorithm
其M步即为上式两边关θ于求导，并令其等于0，即
解之，得如下迭代公式。开始时可取任意一个初始值进行迭代。
EM算法
Expectation-maximization algorithm
说明：
① 以Z1为例，以A1表示第一种结果出现，B1，B2分
分别为75，18，70，34，求MLE（极大似然估计）解：以y1,y2,y3,y4表示四种类结果发生的次数，此时总体分
布为多项分布，故其似然函数:
EM算法
Expectation-maximization algorithm
要求解的MLE，由于其对数似然方程是一个三次多项式，就引入两个变量
z1,z2后使得求解要变得容易。现在假设第一种结果可分成两部分，其发生
的概率分别为
令z1和y1-z1分别表示落入这两部分的次数；再假设第
三种结果分成两部分，其发生的概率分别为
令z2和y3-z2分别表示落
入这两部分的次数。显然z1,z2是我们认为引入的，它是不可观测的，数据
（y , z）为完全数据，而观测到的数据称之为不完全数据，此时完全数据

em算法

最大期望算法（Expectation-Maximization algorithm, EM），或Dempster-Laird-Rubin算法，是一类通过迭代进行极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）的优化算法，通常作为牛顿迭代法（Newton-Raphson method）的替代用于对包含隐变量（latent variable）或缺失数据（incomplete-data）的概率模型进行参数估计。

EM算法的标准计算框架由E步（Expectation-step）和M步（Maximization step）交替组成，算法的收敛性可以确保迭代至少逼近局部极大值。

EM算法是MM算法（Minorize-Maximization algorithm）的特例之一，有多个改进版本，包括使用了贝叶斯推断的EM算法、EM梯度算法、广义EM算法等。

由于迭代规则容易实现并可以灵活考虑隐变量，EM算法被广泛应用于处理数据的缺测值，以及很多机器学习（machine learning）算法，包括高斯混合模型（Gaussian Mixture Model, GMM）和隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model, HMM）的参数估计。

EM算法是一种迭代优化策略，由于它的计算方法中每一次迭代都分两步，其中一个为期望步（E步），另一个为极大步（M步），所以算法被称为EM算法（Expectation-Maximization Algorithm）。

EM算法受到缺失思想影响，最初是为了解决数据缺失情况下的参数估计问题，其算法基础和收敛有效性等问题在Dempster、Laird和Rubin三人于1977年所做的文章《Maximum likelihood from incomplete data via the EM algorithm》中给出了详细的阐述。

其基本思想是：首先根据己经给出的观测数据，估计出模型参数的值；然后再依据上一步估计出的参数值估计缺失数据的值，再根据估计出的缺失数据加上之前己经观测到的数据重新再对参数值进行估计，然后反复迭代，直至最后收敛，迭代结束。

学习之EM算法PPT文档21页

学习之EM算法
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴理荒秽，带月荷锄归。道狭草木长，夕露沾我衣。衣沾不足惜，但使愿无违。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日中之光；志而好学，如炳烛之光。 ——刘向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好的教师是幸福，不如说好的教师是不幸。 ——海贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦。——杰纳勒尔·乔治·S·巴顿
ห้องสมุดไป่ตู้
谢谢！

EM算法

P x i , z i ; C Q i z i
i i z i z i
(i ) Q ( z Z i ) 1 Qi ( z ) 0

Q i 表示隐含变量Z的某种分布，Qi 满足的条件是
z P x i , z i ; C

EM算法
i i z(i )
EM算法
(i ) (i ) (i ) ln p ( x ; ) ln p ( x , z ; ) i i 种分布，Qi 满足的条件是
(i ) Q ( z Z i ) 1 Qi ( z ) 0
p ( x ( i ) , z ( i ) ; ) ln Qi ( z ) (i ) ( i ) Q ( z ) i z i
根据数学期望的相关定理：E[ f ( X )] f ( xi ) p( xi )
p ( x , z ; ) p ( x ( i ) , z ( i ) ; ) (i ) Q ( z ) 是 ( z )的数学期望 i (i ) Qi Qi ( z ) z(i ) p ( x ( i ) , z ( i ) ; )
(i ) (i ) (i )
i
ln(E[
i
Qi ( z )
(i )
])
(3)
EM算法
根据Jensen不等式：
f ( x) ln x是凹函数 f ( EX ) E f ( x)
lnE[ X ] Eln X
p( x ( i ) , z ( i ) ; ) ln(E[ ]) (i ) Qi ( z ) i (3)
至与此 t 对应的L t 的值相等。

只有当此时的下界等于当前的对数似然函数时，我才能保证当我优化这个下界的时候，才真正优化了目标函数。

EM算法

EM算法EM算法--应用到三个模型：高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型判别模型求的是条件概率p(y|x)，生成模型求的是联合概率p(x,y).即= p(x|y) ? p(y)常见的判别模型有线性回归、对数回归、线性判别分析、支持向量机、boosting、条件随机场、神经网络等。

常见的生产模型有隐马尔科夫模型、朴素贝叶斯模型、高斯混合模型、LDA、RestrictedBoltzmann Machine等。

所以这里说的高斯混合模型，朴素贝叶斯模型都是求p(x,y)联合概率的。

(下面推导会见原因)套路小结：凡是生产模型，目的都是求出联合概率表达式，然后对联合概率表达式里的各个参数再进行估计，求出其表达式。

下面的EM算法，GMM 等三个模型都是做这同一件事：设法求出联合概率，然后对出现的参数进行估计。

一、EM算法：作用是进行参数估计。

应用：（因为是无监督，所以一般应用在聚类上，也用在HMM 参数估计上）所以凡是有EM算法的，一定是无监督学习.因为EM是对参数聚集给定训练样本是高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型"> 样例独立，我们想要知道每个样例隐含的类别z，使是p(x,z)最大，（即如果将样本x(i)看作观察值，潜在类别z看作是隐藏变量，则x可能是类别z，那么聚类问题也就是参数估计问题，）故p(x,z)最大似然估计是：高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">所以可见用到EM算法的模型（高斯混合模型，朴素贝叶斯模型）都是求p(x,y)联合概率，为生成模型。

对上面公式，直接求θ一般比较困难，因为有隐藏变量z存在，但是一般确定了z后，求解就容易了。

EM是一种解决存在隐含变量优化问题的有效方法。

竟然不能直接最大化?(θ)，我们可建立?的下界（E步），再优化下界（M步），见下图第三步，取的就是下界高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型" action-data="http%3A%2F%%2Fbl og%2F515474%2F201305%2F19180744-0ed136937810 4b548dbee01337f6ba69.jpg" action-type="show-slide"> （总式）解释上式：对于每一个样例i，让Qi表示该样例隐含变量z的某种分布，Qi满足的条件是（如果z 是连续性的，那么Qi是概率密度函数（因子分析模型就是如此），需要将求和符号换成积分符号即：高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">因子分析模型是如此，这个会用在EM算法的M步求。

最大期望值EM算法PPT课件

EM又很复杂，复杂在于它的数学推理涉及到比较繁杂的概率公式等。（凸函数，琴生不等式，拉格朗日中值定理，贝叶斯，最大似然估计等）
-
6
期望最大化思想
EM算法是一种有效的迭代过程。 EM
E步骤：根据上一次迭代的参数来计算出隐藏变量的后验概率，其实就是隐藏变量的期望。=> p(θ|x)值 =>p( z |x,θ)
最大化步（M-步）：对于每个簇，算法调整其中心，使得到该新中心的距离之和最小化。将指派到一个簇的对象的相似度最大化。
-8ຫໍສະໝຸດ 期望最大化思想GMM混合高斯模型例子：班上学生的身高就是一个GMM混合高斯模型，由男生身高的高斯分布和女生身高的高斯分布组成。
估计每个样例是男生还是女生=>分别估计均值和方差。
-
9
期望最大化思想
利用当前参数值计算数据j 由第i个类生成的概率
N
收敛？
Y
最后参数值
-
10
期望最大化思想
-
11
期望最大化思想
EM
-
12
期望最大化思想
-
13
期望最大化思想
-
14
这里有10个样例，每个样例两个特征,
第一步，分别求x和y的平均值，然后对于所有的样例，都减去对应的均值。
-
15
M步骤：将似然函数最大化以获得新的参数值。估计的模型参数使得观察的数据出现概率是最大的。=> 更新θ值
EM算法有很多的应用，最广泛的就是clustering、GMM、HMM等等。
-
7
期望最大化思想
K-means聚类例子
期望步（E-步）：给定当前的簇中心，每个对象都被指派到簇中心离该对象最近的簇，期望每个对象都属于最近的簇。

EM算法简介

GMM中的EM算法

高斯分布：代入高斯分布的密度函数，计算得到如下的迭代公式：第t次的估计为则第t+1次的估计为
GMM中EM算法的迭代过程

GMM_EM求的参数为 (0.5958,-2.0767,1.9973,0.4042,2.9956,1.0044) 答案为 ( 1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 2 ) ( 0 . 6 , 2 , 2 , 0 . 4 , 3 ,1) 调用的接口为： estS = gmmb_em(rawdata', 'init', 'cmeans1', 'components', 2, 'thr', 1e-8); Matlab程序包的网址： http://www.it.lut.fi/project/gmmbayes/downloads/src/gmmbayest b/gmmbayestb-v1.0.tar.gz
极大似然估计(MLE)
独立同分布(IID)的数据 ( X , X , , X 其概率密度函数为 f ( x | ) 似然函数定义为 L ( | ) f ( | ) f ( X | ) log似然函数定义为l ( | ) log L ( | )
f ( X i , Yi | ) f ( X i , Yi | ) f ( X i | Y i , ) f ( Y i | ))

log
i 1 n

log(
i 1
EM—Expectation
观测数据X已知，参数的当前值已知，在完整似然函数中，缺失数据(隐含变量) Y未知，完整log似然函数对Y求期望。定义

【最新】我理解的EM算法ppt模版课件

1 Nk
xk
xk
2 k
1 Nk
xk
(xk k )(xk k )T
k
Nk N
4、返回第2步用第3步新得到的参数来对观察数据x
重新分类。直到下式概率（最大似然函数）达
到最大。
k
x
1
e
(
x
k )( 2
x
2 k
k
)T
2 k
问题求解过程：
实际应用举例1：
混合高斯背景模型做运动物体的视频分割，视频帧图像大了（700*600）以后速度较慢（一般一秒能处理10帧左右），这里K取5 个高斯分布。
EM算法（机器学习十大算法）
EM算法是个聚类算法，即根据给定观察数据自动对数据进行分类。
问题来源•给定Biblioteka 些观察数据x，假设x符合如下高斯分布：
K
p(x)
k N (x
k
,
2 k
)
k 1
•求混合高斯分布的三组参数
k
k
2 k
简单问题
•该混合高斯分布一共有K个分布，并且对于每个观察到的x，如果我们同时还知道它属于K中的哪一个分布，则我们可以根据最大似然估计求出每个参数。
结论： xk表示属于第k个高斯
k
1 Nk
xk
分布的观察数据x。
xk
2 k
1 Nk
xk
(xk k )(xk k )T
k
Nk N
特别注意 k 是个
向量，而 k2 是个
数值。
实际问题
•观察数据x属于哪个高斯分布是未知的，所以要用 EM算法来解决这种实际问题。
EM算法过程：
1、用随机函数初始化K个高斯分布的参数，同时保证

第4章EM优化方法PPT课件

因此，对任何 (t)，H( | (t))比H( (t) | (t))小。
实际上，如果选择 (t+1)关于最大化Q( | (t))， log fX(x| (t+1) ) log fX(x| (t) ) = [Q( (t+1) | (t)) H( (t+1) | (t))]
[Q( (t) | (t)) H( (t) | (t))] = [Q( (t+1) | (t)) Q( (t) | (t))]
写出添加Z后，基于Y, Z的概率函数；
（3）写出给定和Y条件时， Z的条件概率函数；Z的
条件期望；（4）用EM算法估计。
例4.3 似然L( |x)，先验密度f ( )和缺失数据或参数的
Bayesian后验众数问题。
E步为 Q( | (t)) =E{log{L( |Y) f( )k(Y)}| x , (t)}
[H( (t+1) | (t)) H( (t) | (t))] 0
当Q( (t+1) | (t)) > Q( (t) | (t))时，上述不等式严格成立。
[log fY (y | θ) fZ|X (z | x, θ(t) )dz
其中t=0,1,…。（4.3）强调：一旦给定X=x，Z是Y中唯有的随机部分。
4.2 EM算法
EM算法从 (0)开始迭代，并在以下两步中交替：
E步，即期望步；M步，即最大化步。
算法总结如下：
E步：计算Q( | (t))； M步：关于最大化Q( | (t))。令 (t+1)是Q的最大
X
x, θ(t)}
log
E{[
fZ|X (Z fZ|X (Z |
| x,θ) x, θ(t) )

《em算法及其改进》课件

混合EM算法可以结合不同的优化方法，以提高算法的收敛速度和精度。
EM算法的并行化实现
01
并行化EM算法可以提高算法的计算效率和可扩展性。
02
并行化EM算法可以将计算任务分配给多个处理器或计算机节点
，以加快计算速度。
并行化EM算法需要合理地设计并行策略和数据结构，以确保计
03
算的正确性和效率。
04
02
EM算法的理论基础
概率论与数理统计基础
概率论
研究随机现象的数学理论，为统计学和EM算法提供了基础的概率计算和概率模型。
数理统计
通过样本数据推断总体特性的科学，为EM算法提供了统计推断的方法。
最大似然估计
最大似然估计是一种参数估计方法，通过最大化样本数据的似然函数来估计参数。
在EM算法中，最大似然估计用于确定模型参数，使得模型能够更好地拟合数据。
VS
详细描述
通过结合深度学习技术，对EM算法进行改进，使其能够更好地处理大规模、高维度的数据集。具体而言，利用深度神经网络对潜在变量进行建模，提高了EM算法的收敛速度和模型拟合效果。
基于贝叶斯推断的EM算法改进
总结词
贝叶斯推断是一种强大的统计推理方法，基于贝叶斯推断的EM算法改进旨在提高算法的稳健性和解释性。
似然估计或最大后验概率。
EM算法在许多领域都有广泛应用，如机器学习、统计学、信号
处理等。
EM算法的步骤
E步（Expectation Step）：在每次迭代中，根据当前的参数估计值，计算出数据的期望值。
M步（Maximization Step）：根据E 步计算出的期望值，更新参数的估计值。
EM算法的应用场景
通过将强化学习与EM算法相结合，利用强化学习的方法对 EM算法进行改进，使其能够更好地适应动态环境和自适应决策。基于强化学习的EM算法能够根据环境反馈进行自我调整和优化，从而提高算法的性能和适应性。

EM算法（坐标上升算法）

EM算法（坐标上升算法）⼗⼤算法之⼀：EM算法。

能评得上⼗⼤之⼀，让⼈听起来觉得挺NB的。

什么是NB啊，我们⼀般说某个⼈很NB，是因为他能解决⼀些别⼈解决不了的问题。

神为什么是神，因为神能做很多⼈做不了的事。

那么EM算法能解决什么问题呢？或者说EM算法是因为什么⽽来到这个世界上，还吸引了那么多世⼈的⽬光。

我希望⾃⼰能通俗地把它理解或者说明⽩，但是，EM这个问题感觉真的不太好⽤通俗的语⾔去说明⽩，因为它很简单，⼜很复杂。

简单在于它的思想，简单在于其仅包含了两个步骤就能完成强⼤的功能，复杂在于它的数学推理涉及到⽐较繁杂的概率公式等。

如果只讲简单的，就丢失了EM算法的精髓，如果只讲数学推理，⼜过于枯燥和⽣涩，但另⼀⽅⾯，想把两者结合起来也不是件容易的事。

所以，我也没法期待我能把它讲得怎样。

希望各位不吝指导。

⼀、最⼤似然扯了太多，得⼊正题了。

假设我们遇到的是下⾯这样的问题：假设我们需要调查我们学校的男⽣和⼥⽣的⾝⾼分布。

你怎么做啊？你说那么多⼈不可能⼀个⼀个去问吧，肯定是抽样了。

假设你在校园⾥随便地活捉了100个男⽣和100个⼥⽣。

他们共200个⼈（也就是200个⾝⾼的样本数据，为了⽅便表⽰，下⾯，我说“⼈”的意思就是对应的⾝⾼）都在教室⾥⾯了。

那下⼀步怎么办啊？你开始喊：“男的左边，⼥的右边，其他的站中间！”。

然后你就先统计抽样得到的100个男⽣的⾝⾼。

假设他们的⾝⾼是服从⾼斯分布的。

但是这个分布的均值u和⽅差∂2我们不知道，这两个参数就是我们要估计的。

记作θ= [u, ∂]T。

⽤数学的语⾔来说就是：在学校那么多男⽣（⾝⾼）中，我们独⽴地按照概率密度p(x|θ)抽取100了个（⾝⾼），组成样本集X，我们想通过样本集X来估计出未知参数θ。

这⾥概率密度p(x|θ)我们知道了是⾼斯分布N(u,∂)的形式，其中的未知参数是θ=[u, ∂]T。

抽到的样本集是X={x1,x2,…,x N}，其中x i表⽰抽到的第i个⼈的⾝⾼，这⾥N就是100，表⽰抽到的样本个数。

em算法原理

em算法原理EM算法（Expectation-Maximization Algorithm）是一种常用的统计学习方法，用于求解含有隐变量的概率模型中的参数估计问题。

EM算法的基本思想是通过迭代的方式寻找概率模型的最大似然解。

在实际应用中，有时候概率模型中的一些变量是无法直接观测到的，这些变量称为隐变量。

如何利用观测变量来估计隐变量和模型参数就是EM算法所要解决的问题。

假设我们有一个包含观测变量X和隐变量Z的概率模型，其中X表示观测数据，Z表示对应的隐变量。

我们的目标是通过已知的观测数据X来估计模型的参数θ。

由于无法直接观测到隐变量Z，所以不能直接用最大似然估计的方法来估计参数θ。

EM算法的基本思想是通过引入一个辅助函数Q函数来进行估计。

具体地，EM算法将参数估计问题分为两步进行迭代。

首先，E步（Expectation）：在E步，根据当前的参数估计值θ(t)计算Q函数的期望值。

这里的Q函数是关于隐变量Z和模型参数θ的函数。

在计算Q函数的期望值时，需要使用当前的参数估计值θ(t)来代替真实的参数θ。

通过计算Q函数的期望值，可以得到对应的隐变量的概率分布。

然后，M步（Maximization）：在M步，根据E步得到的隐变量的概率分布，计算使得Q函数取得最大值时的模型参数估计值θ(t+1)。

这一步相当于求解一个参数最优化问题，可以使用极大似然估计或其他优化方法来进行求解。

通过不断地迭代E步和M步，直到收敛，就可以得到概率模型的最大似然解，即参数的估计值。

EM算法的优点在于可以处理含有隐变量的复杂概率模型，且收敛到全局最优解的可能性较大。

然而，EM算法也存在一些问题，比如可能陷入局部最优解，对初始值敏感等。

总之，EM算法是一种迭代求解含有隐变量的概率模型参数估计问题的方法，通过迭代的方式不断提高参数估计值的精度，从而得到对应的模型参数的估计值。

EM算法讲解PPT学习教案

第13页/共23页
P(H，Z | )
N
P(H j , z j1 , j2 | ) j1
2 10
E ( Z jk )
[wk * P(H j |k )]
k1 j1
6、参数ω和θ
KN
z jk
关于参数θ的更新：对原似然函数
[k * P( x j | k )]
KN
N k 1 j1
求对数得到
第12页/共23页
P(D, Z | )
N
P( x j , z j1 , z j2 ...z jk | ) j1
KN
z jk
[k * P( x j | k )]
k1 j1
6、例子
随机抽取10位同学测量他们的身高得到数据H 假设身高服从高斯分布。分别求男生女生身高的均值和方差。(单位：CM)
4.重新调整簇中心，迭代 2~4步直到收敛。
Eik 可以作为聚类时候决策的依据
第2页/共23页
2、问题描述
假设给定一个样本集 D={x1,x2,x3....xn}且知道这个样本集是由K个未知模型产生的数据。我们需要通过这个样本集去分别估计这K个概率模型的参数θK (K=1,2,3….)
E-step:ω1=ω2=0.5,μ1=177 μ2=160,α12 =α22=总体方差
E(Zm)
98 458
0.95 927
0.81 704
0.37 782
0.02 955
0.30 336
0.89 674
0.62 218
0.54 147
0.978 63
E(Zf)
0.01 0.04 542 073
K-means:
EM:
1.数据分为K个簇，随机选取簇中心

EM算法(讲解+程序)

EM算法实验报告一、算法简单介绍EM 算法是Dempster，Laind，Rubin于1977年提出的求参数极大似然估计的一种方法，它可以从非完整数据集中对参数进行MLE估计，是一种非常简单实用的学习算法。

这种方法可以广泛地应用于处理缺损数据、截尾数据以及带有噪声等所谓的不完全数据，可以具体来说，我们可以利用EM算法来填充样本中的缺失数据、发现隐藏变量的值、估计HMM中的参数、估计有限混合分布中的参数以及可以进行无监督聚类等等。

本文主要是着重介绍EM算法在混合密度分布中的应用，如何利用EM算法解决混合密度中参数的估计。

二、算法涉及的理论我们假设X是观测的数据，并且是由某些高斯分布所生成的，X是包含的信息不完整（不清楚每个数据属于哪个高斯分布）。

，此时，我们用k维二元随机变量Z（隐藏变量）来表示每一个高斯分布，将Z引入后，最终得到：，，然而Z的后验概率满足（利用条件概率计算）：但是，Z nk为隐藏变量，实际问题中我们是不知道的，所以就用Z nk的期望值去估计它（利用全概率计算）。

然而我们最终是计算max：最后，我们可以得到（利用最大似然估计可以计算）：三、算法的具体描述3.1 参数初始化对需要估计的参数进行初始赋值，包括均值、方差、混合系数以及。

3.2 E-Step计算利用上面公式计算后验概率，即期望。

3.3 M-step计算重新估计参数，包括均值、方差、混合系数并且估计此参数下的期望值。

3.4 收敛性判断将新的与旧的值进行比较，并与设置的阈值进行对比，判断迭代是否结束，若不符合条件，则返回到3.2，重新进行下面步骤，直到最后收敛才结四、算法的流程图五、实验结果a_best=0.8022 0.1978 mu_best=2.71483.93074.9882 3.0102cov_best=(:,:,1) =5.4082 -0.0693-0.0693 0.2184(:,:,2) =0.0858 -0.0177-0.0177 0.0769f=-1.6323数据X的分布每次迭代期望值-50510利用EM估计的参量值与真实值比较（红色：真实值青绿色：估计值）六、参考文献1.M. Jordan. Pattern Recognition And Machine Learning2.Xiao Han. EM Algorithm七、附录close all;clear;clc;% 参考书籍Pattern.Recognition.and.Machine.Learning.pdf% % lwm@% 2009/10/15%%M=2; % number of GaussianN=200; % total number of data samplesth=0.000001; % convergent thresholdK=2; % demention of output signal% 待生成数据的参数a_real =[4/5;1/5];mu_real=[3 4;5 3];cov_real(:,:,1)=[5 0;0 0.2];cov_real(:,:,2)=[0.1 0;0 0.1];% generate the datax=[ mvnrnd( mu_real(:,1) , cov_real(:,:,1) , round(N*a_real(1)) )' , mvnrnd(mu_real(:,2),cov_real(:,:,2),N-round(N*a_real(1)))'];% for i=1:round(N*a_real(1))% while (~((x(1,i)>0)&&(x(2,i)>0)&&(x(1,i)<10)&&(x(2,i)<10)))% x(:,i)=mvnrnd(mu_real(:,1),cov_real(:,:,1),1)';% end% end%% for i=round(N*a_real(1))+1:N% while (~((x(1,i)>0)&&(x(2,i)>0)&&(x(1,i)<10)&&(x(2,i)<10)))% x(:,i)=mvnrnd(mu_real(:,1),cov_real(:,:,1),1)';% end% endfigure(1),plot(x(1,:),x(2,:),'.')%这里生成的数据全部符合标准%% %%%%%%%%%%%%%%%% 参数初始化a=[1/3,2/3];mu=[1 2;2 1];%均值初始化完毕cov(:,:,1)=[1 0;0 1];cov(:,:,2)=[1 0;0 1];%协方差初始化%% EM Algorothm% loopcount=0;figure(2),hold onwhile 1a_old = a;mu_old = mu;cov_old= cov;rznk_p=zeros(M,N);for cm=1:Mmu_cm=mu(:,cm);cov_cm=cov(:,:,cm);for cn=1:Np_cm=exp(-0.5*(x(:,cn)-mu_cm)'/cov_cm*(x(:,cn)-mu_cm));rznk_p(cm,cn)=p_cm;endrznk_p(cm,:)=rznk_p(cm,:)/sqrt(det(cov_cm));endrznk_p=rznk_p*(2*pi)^(-K/2);%E step%开始求rznkrznk=zeros(M,N);%r(Zpikn=zeros(1,M);%r(Zpikn_sum=0;for cn=1:Nfor cm=1:Mpikn(1,cm)=a(cm)*rznk_p(cm,cn);% pikn_sum=pikn_sum+pikn(1,cm);endfor cm=1:Mrznk(cm,cn)=pikn(1,cm)/sum(pikn);endend%求rank结束% M stepnk=zeros(1,M);for cm=1:Mfor cn=1:Nnk(1,cm)=nk(1,cm)+rznk(cm,cn);endenda=nk/N;rznk_sum_mu=zeros(M,1);% 求均值MUfor cm=1:Mrznk_sum_mu=0;%开始的时候就是错在这里，这里要置零。

第9章 EM算法 (《统计学习方法》PPT课件)

第九章 EM期望极大算法
问题提出
问题提出
• 绿地、水体、道路、裸地、居民建筑用地等； • 采用的遥感影像是Quickbird 数据， • 图像大小为317行x315列， • 空间分辨率为2.44m， • 4个波段(蓝光波段、绿光波段、红光波段和近红外波段)。
问题提出
问题提出
• 100个男、女身高，分布？男多少？女多少？
• 1、明确隐变量，写出完全数据的对数似然函数： • 完全数据： • 似然函数：
EM算法在高斯混合模型学习中的应用
• 1、明确隐变量，写出完全数据的对数似然函数：
EM算法在高斯混合模型学习中的应用
• 2、EM算法的E步，确定Q函数
• 第j个观测数据来自第k个分模型的概率，称为分模型k对观测数据yj的响应度。
• 证明：由
• 由：
EM算法的收敛性
• 令： • 则： • 得：
• 只需证右端非负
EM算法的收敛性
• 前半部分，Θ(i+1)为极大值，所以
• 后半部分：
EM算法的收敛性
• 定理9.2:
• 设L(Θ)=logP(Y|Θ),为观测数据的对数似然函数，Θ(i)(i=1,2..）为EM 算法得到的参数估计序列，L(Θ(i))为对应的对数似然函数序列，
EM方法
Q函数定义：完全数据的对数似然函数logP(Y,Z|Θ)关于在给定观测数据Y和当前函数Θ(i)下对未观测数据Z的条件概率分布 P(Z|Y, Θ(i)),的期望称为Q函数，即：
EM方法
• 算法说明： • 步骤3，完成一次迭代：Θ(i)到Θ(i+1)，将证明每次迭代使似然函数
增大或达到局部最大值。 • 步骤4，停止迭代的条件
F函数的极大—极大算法