上海2020年松江区高三数学一模试卷

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2020届上海市松江区高三一模(12月)数学试题(解析版)

【详解】

r
rr
因为向量 a (1, 2) ， b (m, 3) ，所以 a 2b (1 2m,8) ，
又
r (a

r 2b)
∥
b
，所以
1

2m

(3)

8m

0
，即
2m

3

0
，
m3
解得：
2.
3 故答案为： 2
【点睛】本题主要考查由向量共线求参数，熟记向量共线的坐标表示即可，属于常考题型.
1 2
b

4
2

8
min
8
即M 2.
故选：B
【点睛】
本题主要考查求最值的问题，熟记绝对值不等式的性质，以及不等式的性质即可，属于常考题型.
4．已知集合 M {1, 2,3,,10} ，集合 A M ，定义 M ( A) 为 A 中元素的最小值，当 A 取遍 M 的所
有非空子集时，对应的 M ( A) 的和记为 S10 ，则 S10 （）
【点睛】
本题主要考查直线与直线位置关系的判定，熟记线面，线线位置关系即可，属于常考题型.
2．设 x, y R ，则“ x y 2 ”是“ x 、 y 中至少有一个数大于 1”的（）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果.

a2

an
)

1 3
，则
a1
的取值范围是________

2020年上海市松江区高考数学模拟试卷(4月份(带答案)

2020 年上海市松江区高考数学模拟试卷（4 月份）题号一总分得分一、选择题（本大题共 21 小题，共 150.0 分）1. 若复数 z= ，则|z|=（）A. 1B.C. 52. 已知向量 =（1，m）， =（2，5）若 ⊥ ，则实数 m=（D. 5）A. 1B.C.D. -3. 已知 A={x|x≤1}}，B={x| ≤0}，若 A∪B={x|x≤2}，则实数 a 的取值范围是（）A. a≥2B. a≤2C. a≥1D. a≤14. 已知椭圆分别过点 A（2，0）和点，则该椭圆的焦距为（）A.B. 2C. 2D. 25. 已知实数 a＞0，b＞0，且 ab=2，则行列式的（）A. 最小值是 2B. 最小值是C. 最大值是 2D. 最大值是6. “k=1“是“直线 l1：kx+y+1=0 和直线 l2：x+ky+3=0 平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，已知 AB⊥BC，AB＝BC＝2，，则异面直线AC1 与 A1B1 所成的角为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°8. 样本中共有五个个体，其值分别是 a，1，2，3，4，若样本的平均数是 2，则样本的标准差是（）A. 1B. 2C. 4D.9. 下列函数中，是奇函数且在其定义域内为单调函数的是（）A. y=-x-1B. y=C. y=x|x|D. y=2x+2-x10. 给出以下四个命题：其中正确命题的个数是（）①过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；②依次首尾相接的四条线段必共面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；④垂直于同一直线的两条直线必平行．A. 0B. 1C. 2D. 311. 已知（ 1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，在 a0，a1，a2，…，a6 这 7 个数中，从中任取两数，则所取的两数之和为偶数的概率为（）第 1 页，共 10 页A.B.C.D.12. 下列命题中是假命题的是（）A. 对任意的 φ∈R，函数 f（x）=cos（2x+φ）都不是奇函数 B. 对任意的 a＞0，函数 f（x）=log2x-a 都有零点 C. 存在 α、β∈R，使得 sin（α+β）=sinα+sinβD. 不存在 k∈R，使得幂函数在（0，+∞）上单调递减13. 函数的大致图象为（）A.B.C.D.14. 如图，某景区欲在两山顶 A，C 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高 AB=1（km），CD=3（km），在水平面上 E 处测得山顶 A 的仰角为 30°，山顶 C 的仰角为 60°，∠BED=120°，则两山顶 A、C之间的距离为（）A. 2 （km）B. （km） C.（km）D. 3 （km）15. 已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1=1，an+12=2Sn+n+1（n∈N*），设数列的前 n 项和为 Tn，则=（）A. 0B.C. 1D. 216. 在△ABC 中，已知 AB=3，AC=5，△ABC 的外接圆圆心为 O，则=（）A. 4B. 817. 已知函数C. 10D. 16，若函数 F（x）=f（x）-2 的所有零点依次记为 x1，x2，…，xn，且 x1＜x2＜…＜xn，则 x1+2x2+…+2xn-1+xn=（）第 2 页，共 10 页A. 2πB. πC. 4πD. π18. 设实系数一元二次方程 a2x2+a1x+a0=0（a2≠0）在复数集 C 内的根为 x1、x2，则由a2（x-x1）（x-x2）=a2x2-a2（x1+x2）x+a2x1x2=0，可得 x1+x2=-．类比上述方法：设实系数一元三次方程 x3+2x2+3x+4=0 在复数集 C 内的根为 x1，x2，x3，则 x12+x22+x32 的值为（）A. -2B. 0C. 2D. 419. 已知函数关于点（0，-12）对称，若对任意的 x∈[-1，1]，k•2x-f（2x）≥0 恒成立，则实数 k 的取值范围为（）A. k≤-11B. k≥-11C. k≤1D. k≥1120. 已知点 P（1，2）在抛物线 C：y2=2px（p＞0）上，点 P 关于原点 O 的对称点为点Q，过点 Q 作不经过点 O 的直线与抛物线 C 交于 A、B 两点，则直线 PA 与 PB 的斜率之积为（）A.B. 1C. 2D. -221. 若数列{bn}的每一项都是数列{an}中的项，则称{bn}是{an}的子数列．已知两个无穷数列{an}、{bn}的各项均为正数，其中是各项和为的等比数列，且{bn}是{an}的子数列，则满足条件的数列{bn}的个数为（）A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 无穷多个2020 年上海市松江区高考数学模拟试卷（4 月份）【答案】1. B2. D8. D9. C15. C 16. B3. D 10. B 17. D答案和解析4. C 11. B 18. A5. B 12. A 19. D6. A 13. C 20. C7. C 14. C 21. C【解析】1. 解：∵复数 z= ==2+i；∴|z|==；故选：B．先根据复数的除法对其化简，再代入模长计算公式即可．本题主要考查复数的有关概念，比较基础．2. 解：∵向量 =（1，m）， =（2，5）， ⊥ ，∴ =2+5m=0，第 3 页，共 10 页解得实数 m=- ．故选：D．利用向量垂直的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．3. 解：∵，A∪B={x|x≤2}，∴B={x|a≤x≤2}， ∴a≤1．故选：D．根据 A∪B={x|x≤2}即可得出 B={x|a≤x≤2}，进而得出 a≤1．本题考查了描述法的定义，分式不等式的解法，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．4. 解：有题意可得：a=2，且 + =1，可得：a2=4，b2=1，c2=a2-b2=4-1=3，所以 c= ，所以焦距 2c=2 ，故选：C．有题意将点的坐标代入椭圆的方程求出 a，b 再由 a，b，c 之间的关系求出 c 的值，再求焦距 2c 的值．本题考查椭圆的定义，a，b，c 之间的关系，属于基础题5. 解：∵实数 a＞0，b＞0，且 ab=2，∴=a+b≥ =2 ，当且仅当 a=b 时，取等号，∴行列式的最小值是 2 ．故选：B．由实数 a＞0，b＞0，且 ab=2，得到=a+b≥ ，由此能求出行列式的最小值．本题考查行列式的最小值的求法，考查行列式展开法则和基本不等式的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．6. 解：由 k2-1=0，解得 k=±1．经过验证，k=±1 都满足条件． ∴“k=1“是“直线 l1：kx+y+1=0 和直线 l2：x+ky+3=0 平行”的充分不必要条件．故选：A．由 k2-1=0，解得 k，即可判断出关系．本题考查了平行线与斜率之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7. 【分析】本题考查异面直线所成的角的大小，考查空间想象能力和运算求解能力，是基础题．由题意画出图形，连接 AC1，BC1，可知∠BAC1 为异面直线 AC1 与 A1B1 所成的角．然后求解三角形得答案．【解答】解：连接 AC1，BC1，可知∠BAC1 为异面直线 AC1 与 A1B1 所成的角． ∵△ABC1 为直角三角形，且 AB⊥BC1，AB=2，第 4 页，共 10 页，∴，得∠BAC1=60°．即异面直线 AC1 与 A1B1 所成的角为 60°．故选：C．8. 解：数据 a，1，2，3，4 的平均数是×（a+1+2+3+4）=2，解得 a=0；所以该组数据的方差是s2= ×[（0-2）2+（1-2）2+（2-2）2+（3-2）2+（4-2）2]=2，标准差是 s= ．故选：D．根据平均数求出 a 的值，再计算方差和标准差．本题考查了平均数和方差、标准差的计算问题，是基础题．9. 解：A：y=-x-1 在定义域内（0，+∞）∪（-∞，0）内不单调，不符合题意；B：y=在定义域 R 上先减后增，不符合题意；C：y=x|x|=在定义域 R 上单调递增，且 f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），为奇函数，符合题意； D：因为 y=2x+2-x 为偶函数，不符合题意．故选：C．结合函数的奇偶性及单调性的定义分别检验各选项即可判断．本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础试题．10. 解：①过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；由平面的判定的应用直接得出．正确； ②依次首尾相接的四条线段必共面；错误，可以异面，故错误； ③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；也可以是互补，故错误； ④垂直于同一直线的两条直线必平行．可以是异面直线，故错误．故选：B．直接利用线面的平行和垂直的判定和性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：立体几何中的线面之间的判定和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．11. 解：因为（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，∴a0，a1，a2，…，a6 这 7 个数分别为： =1， =6， =15， =20， =15， =6， =1．4 个奇数，3 个偶数；从中任取两数共有： =21 种；所取的两数之和为偶数的有： + =9；∴所取的两数之和为偶数的概率为： = ．第 5 页，共 10 页故选：B．先根据条件得到 a0，a1，a2，…，a6 这 7 个数分别为： =1， =6， =15， =20， =15，=6， =1，4 个奇数，3 个偶数；进而求得其对应的概率．本题主要考察二项式系数的性质，以及概率的应用，属于基础题目．12. 解：对于选项 A：当 φ=（k∈Z）时 f（x）=±sin2x，故函数为奇函数，故该命题为假命题．对于选项 B：对任意的 a＞0，函数 f（x）=log2x 的值域为 R，所以无论 a 取任何大于 0 的数函数的图象都有交点，故该命题为真命题．对于选项 C：当 α=β=0 时，使得 sin（α+β）=sinα+sinβ=0，故该命题为真命题．对于选项 D：由于 α=k2-2k+3=（k-1）2+2≥2，所以函数 y=xα 在 x∈（0，+∞）单调递增，故不存在 k∈R，使得幂函数在（0，+∞）上单调递减，所以故该命题为真命题．故选：A．直接利用函数的性质的应用，三角函数关系式的变换和赋值法的应用求出结果．本题考查的知识要点：函数的性质的应用，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13. 解：根据题意，，有 ≠0，则有 x≠±1，即函数的定义域为{x|x≠±1}，又由 f（-x）=log2| |=-log2| |=-f（x），即函数为奇函数，排除 A；又由当 x→+∞时，| |→1，则 f（x）→0，排除 BD；故选：C．根据题意，分析可得 f（x）为奇函数，可以排除 A，进而分析 x→+∞时，函数图象的变化趋势，排除 BD，即可得答案．本题考查函数的图象变换，注意分析函数的奇偶性、特殊值，属于基础题．14. 解：AB=1，CD=3，∠AEB=30°，∠CED=60°，∠AEC=120°，∴BE= = = ，DE= = = ；△ACE 中，由余弦定理得： BD2=BE2+DE2-2×BE×DE×cos∠BED=3+3-2× × ×（- ）=9，所以 BD=3；所以 AC===，即两山顶 A，C 之间的距离为 km．故选：C．由直角三角形的边角关系求出 BE、DE，利用余弦定理求出 BD，再计算 AC 的值．本题考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是基础题．15. 解：依题意，由 an+12=2Sn+n+1，可得：an2=2Sn-1+n，（n≥2）第 6 页，共 10 页两式相减，可得： an+12-an2=2Sn+n+1-2Sn-1-n=2an+1， ∴an+12=an2+2an+1=（an+1）2， ∵an+1＞0，an+1＞0， ∴an+1=an+1， ∴数列{an}是以 1 为首项，1 为公差的等差数列， ∴an=1+（n-1）•1=n，n∈N*．∴==- ，则 Tn= + +…+=1- + - +…+ -=1-=，∴则==1．故选：C．本题由 an+12=2Sn+n+1，可得 an2=2Sn-1+n，（n≥2）两式相减，进一步转化计算可得 an+1=an+1，则数列{an}是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，即可计算出数列{an}的通项公式，然后计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法计算出前 n 项和 Tn，最后计算出极限的值．本题主要考查数列求通项公式，运用裂项相消法求和，以及数列极限的计算．考查了转化与化归思想，等差数列的基础知识，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．16. 解：如图，取 AC 中点 D，AB 中点 E，并连接 OD，OE，则： OD⊥AC，OE⊥AB；∴ • = =，• = =；∴ • = •（ - ）= • -= - =8．故选：B．可画出图形，并将 O 和 AC 中点 D 连接，O 和 AB 中点 E 连接，从而得到 OD⊥AC，OE⊥AB，根据数量积的计算公式及条件即可得出 • ，，从而便可得出的值．本题主要考查三角形外心的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量减法的几何意义．17. 解：令 2x+ = +kπ 得 x= + ，k∈Z，即 f（x）的对称轴方程为 x= + ，k∈Z．∵f（x）的最小正周期为 T=π，x∈[0， ]，∴f（x）在 x∈[0， ]上有 5 条对称轴，第 7 页，共 10 页第一条是，最后一条是：；x1，x2 关于对称，x2，x3 关于对称…∴x1+x2=2× ，x2+x3=2× ，x3+x4=2× ，…，x4+x5=2× ，将以上各式相加得：x1+2x2+2x3+…+2xn-1+xn=2×（ + + + ）= ．故选：D．求出 f（x）的对称轴，根据 f（x）的对称性得出任意两相邻两零点的和，从而得出答案．本题考查了正弦函数的图象与性质，函数对称性的应用，属于中档题．18. 解：∵x3+2x2+3x+4=（x-x1）（x-x2）（x-x3）=+（x1x2+x1x3+x2x3）x-x1x2x3=+a3（x1x2+x1x3+x2x3）•x-a3x1x2x3，由对应系数相等知： x1+x2+x3=-2，x1x2+x1x3+x2x3=3， ∴x12+x22+x32=（x1+x2+x3）2-2（x1x2+x1x3+x2x3）=4-6=-2．故选：A．由 x3+2x2+3x+4=（x-x1）（x-x2）（x-x3）=+a3（x1x2+x1x3+x2x3）•x-a3x1x2x3，利用对应系数相等知 x1+x2+x3=-2，x1x2+x1x3+x2x3=3，再由 x12+x22+x32= （x1+x2+x3）2-2（x1x2+x1x3+x2x3），能求出结果．本题考查代数式的值的求法，考查类比推理等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．19. 解：由 y=3x+ 为奇函数，可得其图象关于（0，0）对称，可得 f（x）的图象关于（0，a）对称，函数关于点（0，-12）对称，可得 a=-12，对任意的 x∈[-1，1]，k•2x-f（2x）≥0 恒成立，即 k•2x≥3•2x+ -12 在 x∈[-1，1]恒成立，所以 k≥ - +3，令 t= ，由 x∈[-1，1]，可得 t∈[ ，2]，设 h（t）=8t2-12t+3=8（t- ）2- ，当 t=2 时，h（t）取得最大值 11，则 k 的取值范围是 k≥11，故选：D．运用 f（x）的图象关于（0，a）对称，求得 a=-12，由题意可得 k•2x≥3•2x+ -12 在 x∈[-1，1]恒成立，所以 k≥ - +3，令 t= ，运用指数函数的单调性求得 t 的范围，设 h（t）=8t2-12t+3，求得其最大值，可得 k 的范围．本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和指数函数的单调性、二次函数的最值求法，考查运算求解能力，属于中档题．第 8 页，共 10 页20. 解：由点 P（1，2）在抛物线 C：y2=2px 上，可得 2p=4，∴p=2， ∴抛物线方程为：y2=4x，由已知得 Q（-1，-2），设点 A（x1，y1），B（x2，y2），由题意直线 AB 斜率存在且不为 0，设直线 AB 的方程为 y=k（x+1）-2 （k≠0），联立方程，消去 x 得：ky2-4y+4k-8=0，∴，，因为点 A，B 在抛物线 C 上，所以，，∴= = ，kPB= = ，∴kPA•kPB= • ===2，故选：C．把点 P 的坐标代入抛物线方程求出 p 的值，得到抛物线方程，设直线 AB 的方程为 y=k （x+1）-2（k≠0），与抛物线方程联立，利用韦达定理结合点 A，B 在抛物线上化简 kPA•kPB，即可得到 kPA•kPB=2．本题主要考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，以及斜率公式，是中档题．21. 解：设（k≥1，k∈N+），公比 q= （m＞0），则 b1qn= . = （k，p∈N+）对任意的 n∈N+都成立，故 m 是正奇数，又 S 存在，所以 m＞1．m=3 时，S= ，此时 b1= ，即，成立．当 m=5 时，S= ，此时 b1= ，∵ 不是数列{an}中的项，故不成立．m=7 时，S= ，此时 b1= ，bn= ，成立．当 m≥9 时，1- ≥ ，由= ，得（1- ）≥ ，得 k≤ ，又因为 k∈N+，所以 k=1，2，此时 b1=1 或，分别代入 S= = ，得到 q＜0 不合题意，由此满足条件的数列只有两个，即 bn= ，或 bn= ，故选：C．由{bn}是{ }的子数列，可设 b1= ，，公比 q= ，又因为 S= = 可得 k，m 得关系，再有等比数列的通项公式得通过 m 取值代入不定方程检验求解，找出符合条件的数列有 2 个．第 9 页，共 10 页本题根据新定义子数列，结合等比数列的公式，寻找符合条件的数列，属于探索性试题，方法思路不易，是道有难度试题．第 10 页，共 10 页。

2020年上海市松江区高考数学(4月份)模拟测试试卷含解析

2020年高考数学卷（4月份）模拟试卷一、选择题（共21小题）1．若复数z＝，则|z|＝（）A．1B．C．5D．52．已知向量＝（1，m），＝（2，5）若⊥，则实数m＝（）A．1B．C．D．﹣3．已知A＝{x|x≤1}}，B＝{x|≤0}，若A∪B＝{x|x≤2}，则实数a的取值范围是（）A．a≥2B．a≤2C．a≥1D．a≤14．已知椭圆分别过点A（2，0）和点，则该椭圆的焦距为（）A．B．2C．2D．25．已知实数a＞0，b＞0，且ab＝2，则行列式的（）A．最小值是2B．最小值是C．最大值是2D．最大值是6．“k＝1“是“直线l1：kx+y+1＝0和直线l2：x+ky+3＝0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥BC，AB＝BC＝2，，则异面直线AC1与A1B1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．样本中共有五个个体，其值分别是a，1，2，3，4，若样本的平均数是2，则样本的标准差是（）A．1B．2C．4D．9．下列函数中，是奇函数且在其定义域内为单调函数的是（）A．y＝﹣x﹣1B．y＝C．y＝x|x|D．y＝2x+2﹣x10．给出以下四个命题：其中正确命题的个数是（）①过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；②依次首尾相接的四条线段必共面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；④垂直于同一直线的两条直线必平行．A．0B．1C．2D．311．已知（1+x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，在a0，a1，a2，…，a6这7个数中，从中任取两数，则所取的两数之和为偶数的概率为（）A．B．C．D．12．下列命题中是假命题的是（）A．对任意的φ∈R，函数f（x）＝cos（2x+φ）都不是奇函数B．对任意的a＞0，函数f（x）＝log2x﹣a都有零点C．存在α、β∈R，使得sin（α+β）＝sinα+sinβD．不存在k∈R，使得幂函数在（0，+∞）上单调递减13．函数的大致图象为（）A．B．C．D．14．如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB＝1（km），CD＝3（km），在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，∠BED＝120°，则两山顶A、C之间的距离为（）A．2（km）B．（km）C．（km）D．3（km）15．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，a n+12＝2S n+n+1（n∈N*），设数列的前n项和为T n，则＝（）A．0B．C．1D．216．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝5，△ABC的外接圆圆心为O，则＝（）A．4B．8C．10D．1617．已知函数，若函数F（x）＝f（x）﹣2的所有零点依次记为x1，x2，…，x n，且x1＜x2＜…＜x n，则x1+2x2+…+2x n﹣1+x n＝（）A．2πB．πC．4πD．π18．设实系数一元二次方程a2x2+a1x+a0＝0（a2≠0）在复数集C内的根为x1、x2，则由a2（x﹣x1）（x﹣x2）＝a2x2﹣a2（x1+x2）x+a2x1x2＝0，可得x1+x2＝﹣．类比上述方法：设实系数一元三次方程x3+2x2+3x+4＝0在复数集C内的根为x1，x2，x3，则x12+x22+x32的值为（）A．﹣2B．0C．2D．419．已知函数关于点（0，﹣12）对称，若对任意的x∈[﹣1，1]，k•2x﹣f （2x）≥0恒成立，则实数k的取值范围为（）A．k≤﹣11B．k≥﹣11C．k≤1D．k≥1120．已知点P（1，2）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与抛物线C交于A、B两点，则直线PA与PB的斜率之积为（）A．B．1C．2D．﹣221．若数列{b n}的每一项都是数列{a n}中的项，则称{b n}是{a n}的子数列．已知两个无穷数列{a n}、{b n}的各项均为正数，其中是各项和为的等比数列，且{b n}是{a n}的子数列，则满足条件的数列{b n}的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．无穷多个参考答案一.本试卷共21题，第1～15题每题6分，第16～21题每题10分，满分150分1．若复数z＝，则|z|＝（）A．1B．C．5D．5【分析】先根据复数的除法对其化简，再代入模长计算公式即可．解：∵复数z＝＝＝2+i；∴|z|＝＝；故选：B．2．已知向量＝（1，m），＝（2，5）若⊥，则实数m＝（）A．1B．C．D．﹣【分析】利用向量垂直的性质直接求解．解：∵向量＝（1，m），＝（2，5），⊥，∴＝2+5m＝0，解得实数m＝﹣．故选：D．3．已知A＝{x|x≤1}}，B＝{x|≤0}，若A∪B＝{x|x≤2}，则实数a的取值范围是（）A．a≥2B．a≤2C．a≥1D．a≤1【分析】根据A∪B＝{x|x≤2}即可得出B＝{x|a≤x≤2}，进而得出a≤1．解：∵，A∪B＝{x|x≤2}，∴B＝{x|a≤x≤2}，∴a≤1．故选：D．4．已知椭圆分别过点A（2，0）和点，则该椭圆的焦距为（）A．B．2C．2D．2【分析】有题意将点的坐标代入椭圆的方程求出a，b再由a，b，c之间的关系求出c的值，再求焦距2c的值．解：有题意可得：a＝2，且+＝1，可得：a2＝4，b2＝1，c2＝a2﹣b2＝4﹣1＝3，所以c＝，所以焦距2c＝2，故选：C．5．已知实数a＞0，b＞0，且ab＝2，则行列式的（）A．最小值是2B．最小值是C．最大值是2D．最大值是【分析】由实数a＞0，b＞0，且ab＝2，得到＝a+b≥，由此能求出行列式的最小值．解：∵实数a＞0，b＞0，且ab＝2，∴＝a+b≥＝2，当且仅当a＝b时，取等号，∴行列式的最小值是2．故选：B．6．“k＝1“是“直线l1：kx+y+1＝0和直线l2：x+ky+3＝0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由k2﹣1＝0，解得k，即可判断出关系．解：由k2﹣1＝0，解得k＝±1．经过验证，k＝±1都满足条件．∴“k＝1“是“直线l1：kx+y+1＝0和直线l2：x+ky+3＝0平行”的充分不必要条件．故选：A．7．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥BC，AB＝BC＝2，，则异面直线AC1与A1B1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】由题意画出图形，连接AC1，BC1，可知∠BAC1为异面直线AC1与A1B1所成的角．然后求解三角形得答案．解：连接AC1，BC1，可知∠BAC1为异面直线AC1与A1B1所成的角．∵△ABC1为直角三角形，且AB⊥BC1，AB＝2，，∴，得∠BAC1＝60°．即异面直线AC1与A1B1所成的角为60°．故选：C．8．样本中共有五个个体，其值分别是a，1，2，3，4，若样本的平均数是2，则样本的标准差是（）A．1B．2C．4D．【分析】根据平均数求出a的值，再计算方差和标准差．解：数据a，1，2，3，4的平均数是×（a+1+2+3+4）＝2，解得a＝0；所以该组数据的方差是s2＝×[（0﹣2）2+（1﹣2）2+（2﹣2）2+（3﹣2）2+（4﹣2）2]＝2，标准差是s＝．故选：D．9．下列函数中，是奇函数且在其定义域内为单调函数的是（）A．y＝﹣x﹣1B．y＝C．y＝x|x|D．y＝2x+2﹣x【分析】结合函数的奇偶性及单调性的定义分别检验各选项即可判断．解：A：y＝﹣x﹣1在定义域内（0，+∞）∪（﹣∞，0）内不单调，不符合题意；B：y＝在定义域R上先减后增，不符合题意；C：y＝x|x|＝在定义域R上单调递增，且f（﹣x）＝﹣x|﹣x|＝﹣x|x|＝﹣f （x），为奇函数，符合题意；D：因为y＝2x+2﹣x为偶函数，不符合题意．故选：C．10．给出以下四个命题：其中正确命题的个数是（）①过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；②依次首尾相接的四条线段必共面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；④垂直于同一直线的两条直线必平行．A．0B．1C．2D．3【分析】直接利用线面的平行和垂直的判定和性质的应用求出结果．解：①过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；由平面的判定的应用直接得出．正确；②依次首尾相接的四条线段必共面；错误，可以异面，故错误；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；也可以是互补，故错误；④垂直于同一直线的两条直线必平行．可以是异面直线，故错误．故选：B．11．已知（1+x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，在a0，a1，a2，…，a6这7个数中，从中任取两数，则所取的两数之和为偶数的概率为（）A．B．C．D．【分析】先根据条件得到a0，a1，a2，…，a6这7个数分别为：＝1，＝6，＝15，＝20，＝15，＝6，＝1，4个奇数，3个偶数；进而求得其对应的概率．解：因为（1+x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，∴a0，a1，a2，…，a6这7个数分别为：＝1，＝6，＝15，＝20，＝15，＝6，＝1．4个奇数，3个偶数；从中任取两数共有：＝21种；所取的两数之和为偶数的有：+＝9；∴所取的两数之和为偶数的概率为：＝．故选：B．12．下列命题中是假命题的是（）A．对任意的φ∈R，函数f（x）＝cos（2x+φ）都不是奇函数B．对任意的a＞0，函数f（x）＝log2x﹣a都有零点C．存在α、β∈R，使得sin（α+β）＝sinα+sinβD．不存在k∈R，使得幂函数在（0，+∞）上单调递减【分析】直接利用函数的性质的应用，三角函数关系式的变换和赋值法的应用求出结果．解：对于选项A：当φ＝（k∈Z）时f（x）＝±sin2x，故函数为奇函数，故该命题为假命题．对于选项B：对任意的a＞0，函数f（x）＝log2x的值域为R，所以无论a取任何大于0的数函数的图象都有交点，故该命题为真命题．对于选项C：当α＝β＝0时，使得sin（α+β）＝sinα+sinβ＝0，故该命题为真命题．对于选项D：由于α＝k2﹣2k+3＝（k﹣1）2+2≥2，所以函数y＝xα在x∈（0，+∞）单调递增，故不存在k∈R，使得幂函数在（0，+∞）上单调递减，所以故该命题为真命题．故选：A．13．函数的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析可得f（x）为奇函数，可以排除A，进而分析x→+∞时，函数图象的变化趋势，排除BD，即可得答案．解：根据题意，，有≠0，则有x≠±1，即函数的定义域为{x|x ≠±1}，又由f（﹣x）＝log2||＝﹣log2||＝﹣f（x），即函数为奇函数，排除A；又由当x→+∞时，||→1，则f（x）→0，排除BD；故选：C．14．如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB ＝1（km），CD＝3（km），在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，∠BED＝120°，则两山顶A、C之间的距离为（）A．2（km）B．（km）C．（km）D．3（km）【分析】由直角三角形的边角关系求出BE、DE，利用余弦定理求出BD，再计算AC的值．解：AB＝1，CD＝3，∠AEB＝30°，∠CED＝60°，∠AEC＝120°，∴BE＝＝＝，DE＝＝＝；△ACE中，由余弦定理得：BD2＝BE2+DE2﹣2×BE×DE×cos∠BED＝3+3﹣2×××（﹣）＝9，所以BD＝3；所以AC＝＝＝，即两山顶A，C之间的距离为km．故选：C．15．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，a n+12＝2S n+n+1（n∈N*），设数列的前n项和为T n，则＝（）A．0B．C．1D．2【分析】本题由a n+12＝2S n+n+1，可得a n2＝2S n﹣1+n，（n≥2）两式相减，进一步转化计算可得a n+1＝a n+1，则数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列，即可计算出数列{a n}的通项公式，然后计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法计算出前n 项和T n，最后计算出极限的值．解：依题意，由a n+12＝2S n+n+1，可得：a n2＝2S n﹣1+n，（n≥2）两式相减，可得：a n+12﹣a n2＝2S n+n+1﹣2S n﹣1﹣n＝2a n+1，∴a n+12＝a n2+2a n+1＝（a n+1）2，∵a n+1＞0，a n+1＞0，∴a n+1＝a n+1，∴数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴a n＝1+（n﹣1）•1＝n，n∈N*．∴＝＝﹣，则T n＝++…+＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝，∴则＝＝1．故选：C．16．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝5，△ABC的外接圆圆心为O，则＝（）A．4B．8C．10D．16【分析】可画出图形，并将O和AC中点D连接，O和AB中点E连接，从而得到OD ⊥AC，OE⊥AB，根据数量积的计算公式及条件即可得出•，，从而便可得出的值．解：如图，取AC中点D，AB中点E，并连接OD，OE，则：OD⊥AC，OE⊥AB；∴•＝＝，•＝＝；∴•＝•（﹣）＝•﹣＝﹣＝8．故选：B．17．已知函数，若函数F（x）＝f（x）﹣2的所有零点依次记为x1，x2，…，x n，且x1＜x2＜…＜x n，则x1+2x2+…+2x n﹣1+x n＝（）A．2πB．πC．4πD．π【分析】求出f（x）的对称轴，根据f（x）的对称性得出任意两相邻两零点的和，从而得出答案．解：令2x+＝+kπ得x＝+，k∈Z，即f（x）的对称轴方程为x＝+，k∈Z．∵f（x）的最小正周期为T＝π，x∈[0，]，∴f（x）在x∈[0，]上有5条对称轴，第一条是，最后一条是：；x1，x2关于对称，x2，x3关于对称…∴x1+x2＝2×，x2+x3＝2×，x3+x4＝2×，…，x4+x5＝2×，将以上各式相加得：x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1+x n＝2×（+++）＝．故选：D．18．设实系数一元二次方程a2x2+a1x+a0＝0（a2≠0）在复数集C内的根为x1、x2，则由a2（x﹣x1）（x﹣x2）＝a2x2﹣a2（x1+x2）x+a2x1x2＝0，可得x1+x2＝﹣．类比上述方法：设实系数一元三次方程x3+2x2+3x+4＝0在复数集C内的根为x1，x2，x3，则x12+x22+x32的值为（）A．﹣2B．0C．2D．4【分析】由x3+2x2+3x+4＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）＝+a3（x1x2+x1x3+x2x3）•x﹣a3x1x2x3，利用对应系数相等知x1+x2+x3＝﹣2，x1x2+x1x3+x2x3＝3，再由x12+x22+x32＝（x1+x2+x3）2﹣2（x1x2+x1x3+x2x3），能求出结果．解：∵x3+2x2+3x+4＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）＝+（x1x2+x1x3+x2x3）x﹣x1x2x3＝+a3（x1x2+x1x3+x2x3）•x﹣a3x1x2x3，由对应系数相等知：x1+x2+x3＝﹣2，x1x2+x1x3+x2x3＝3，∴x12+x22+x32＝（x1+x2+x3）2﹣2（x1x2+x1x3+x2x3）＝4﹣6＝﹣2．故选：A．19．已知函数关于点（0，﹣12）对称，若对任意的x∈[﹣1，1]，k•2x﹣f （2x）≥0恒成立，则实数k的取值范围为（）A．k≤﹣11B．k≥﹣11C．k≤1D．k≥11【分析】运用f（x）的图象关于（0，a）对称，求得a＝﹣12，由题意可得k•2x≥3•2x+﹣12在x∈[﹣1，1]恒成立，所以k≥﹣+3，令t＝，运用指数函数的单调性求得t的范围，设h（t）＝8t2﹣12t+3，求得其最大值，可得k的范围．解：由y＝3x+为奇函数，可得其图象关于（0，0）对称，可得f（x）的图象关于（0，a）对称，函数关于点（0，﹣12）对称，可得a＝﹣12，对任意的x∈[﹣1，1]，k•2x﹣f（2x）≥0恒成立，即k•2x≥3•2x+﹣12在x∈[﹣1，1]恒成立，所以k≥﹣+3，令t＝，由x∈[﹣1，1]，可得t∈[，2]，设h（t）＝8t2﹣12t+3＝8（t﹣）2﹣，当t＝2时，h（t）取得最大值11，则k的取值范围是k≥11，故选：D．20．已知点P（1，2）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与抛物线C交于A、B两点，则直线PA与PB的斜率之积为（）A．B．1C．2D．﹣2【分析】把点P的坐标代入抛物线方程求出p的值，得到抛物线方程，设直线AB的方程为y＝k（x+1）﹣2 （k≠0），与抛物线方程联立，利用韦达定理结合点A，B在抛物线上化简k PA•k PB，即可得到k PA•k PB＝2．解：由点P（1，2）在抛物线C：y2＝2px上，可得2p＝4，∴p＝2，∴抛物线方程为：y2＝4x，由已知得Q（﹣1，﹣2），设点A（x1，y1），B（x2，y2），由题意直线AB斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y＝k（x+1）﹣2 （k≠0），联立方程，消去x得：ky2﹣4y+4k﹣8＝0，∴，，因为点A，B在抛物线C上，所以，，∴＝＝，k PB＝＝，∴k PA•k PB＝•＝＝＝2，故选：C．21．若数列{b n}的每一项都是数列{a n}中的项，则称{b n}是{a n}的子数列．已知两个无穷数列{a n}、{b n}的各项均为正数，其中是各项和为的等比数列，且{b n}是{a n}的子数列，则满足条件的数列{b n}的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．无穷多个【分析】由{b n}是{}的子数列，可设b1＝，，公比q＝，又因为S＝＝可得k，m得关系，再有等比数列的通项公式得通过m取值代入不定方程检验求解，找出符合条件的数列有2个．解：设（k≥1，k∈N+），公比q＝（m＞0），则b1q n＝.＝（k，p∈N+）对任意的n∈N+都成立，故m是正奇数，又S存在，所以m＞1．m＝3时，S＝，此时b1＝，即，成立．当m＝5时，S＝，此时b1＝，∵不是数列{a n}中的项，故不成立．m＝7时，S＝，此时b1＝，b n＝，成立．当m≥9时，1﹣≥，由＝，得（1﹣）≥，得k≤，又因为k∈N+，所以k＝1，2，此时b1＝1或，分别代入S＝＝，得到q＜0不合题意，由此满足条件的数列只有两个，即b n＝，或b n＝，故选：C．。

2020-2021上海市松江数学一模(学生版)

1松江区2020学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷 2020.12.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1.3lim 32nn nn →∞=+_________; 2.若集合{13},{1,2,3,4},A xx B =−<<=∣则A B ⋂=_________;3.已知复数z 满足1 (1)z i i i ⋅−=+（为虚数单位），则||z =_________;4.若1sin ,3α=则cos(2)πα−=_________; 5.抛物线24y x =−的准线方程是_________;6.已知函数()f x 图像与函数()2x g x =的图像关于y x = 对称,则(3)f =_________;7.从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本, 则学生甲被抽到的概率为________;8.在622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项等于_________;9.在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,220,1c aB +=则角A =_________;10.从以下七个函数：221,,,2,log ,x y x y y x y y x x=====sin ,cos y x y x ==中选取两个函数记为()f x和(),g x 构成函数()()(),F x f x g x =+若()F x 的图怡如图所示,则()F x =_________;杨浦数学教研团队211.已知向量||||||1,a b c ===若1,2a b ⋅=且,c xa yb =+则x y +的最大值为_________; 12.对于定义城为D 的函数(),f x 若存在12,x x D ∈且12,x x ≠使得()()()2212122,f x f x f x x ==+则称函数()f x 具有性质M.若函数2()log 1g x x =−(0,]x a ∈具有性质M ，则实数a 的最小值为_________;二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.已知两条直线12,l l 的方程分别为1:10l ax y +−=和2:210,l x y −+=则“2a ="是“直线12"l l ⊥的（） (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件14.在正方体1111ABCD A B C D −中,下列四个结论中错误的是（）(A)直线1B C 与直线AC 所成的角为60︒(B)直线1B C 与平面1AD C 所成的角为60︒ (C)直线1B C 与直线1AD ,所成的角为90︒(D)直线1B C 与直线AB 所成的角为90︒15.设0,0,x y >>若121,x y+=则y x 的（）(A)最小值为8 (B)最大值为8 (C)最小值为2 (D)趣大值为2 16.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知点(),n n a 在直线102y x =−上、若有且只有两个正整数n 满足n S k ≥，则实数k 的取值范围是（） (A)(8,14] (B)(14,18] (C)(18,20] (D)8118,4⎛⎫ ⎪⎝⎭杨浦数学教研团队3三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图1,在三棱柱111ABC A B C −中,已知1,1,2,AB AC AB AC AA ⊥===且1AA ⊥ 平面ABC.过11 A C B 、、三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥(如图 2 ). (1)求异面直线1BC 与1AA 所成角的大小（结果用反三角函数表示)； (2)求四棱锥11B ACC A −的体积和表面积.18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数2()cos cos 1.f x x x x =++(1)求()f x 的最小正周期和值域(2)若对任意的2,()()20x R f x k f x ∈−⋅−≤恒成立,求实数k 的取值范围.杨浦数学教研团队419．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某网店有3(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品x (万件).经市场调查测算，花费t (万元)进行促销后，商品的剩余量3x −与促销费t 之间的关系为31k x t −=+(其中k为常数), 如果不搞促销活动，只能售出1(万件)商品.（1）要使促销后商品的剩余量不大于0.1 (万件), 促销费t 至少为多少(万元)?（2）已知商品的进价为32(元/件),另有固定成本3(万元).定义每件售出商品的平均成本为332x+(元).若将商品售价定为:“每件售出商品平均成本的1.5倍”与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费1为多少(万元)时，该网店售出商品的总利汪最大? 此时商品的剩余量为多少?20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的右焦点坐标为(2,0),倍.直线l 交椭圆Γ于不同的两点M 和N . (1)求椭圆Γ的方程;(2)若直线l 经过点(0,4),P 且OMN的面积为求直线l 的方程;(3)若直线l 的方程为(0),y kx t k =+≠点M 关于x 轴的对称点为,M '直线MN 、MN 分别与x 轴相交于P 、Q 、两点,求证:||||OP OQ ⋅为定值.杨浦数学教研团队521．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）对于由m 个正整数构成的有限集{}123,,,,,m M a a a a =记12()m P M a a a =+++特别规定()0.P ∅=若集合M 满足：对任意的正整数(),k P M ≤都存在集合M 的两个子集A 、B,使得()()k P A P B =−成立，则称集合M 为“满集". (1) 分别判断集合1{1,2}M =与2{1,4}M =是否是“满集",请说明理由; (2) 若12m a a a 、、、由小到大能排列成公差为()*d d N∈的等差数列，求证:集合M 为“满集"的必要条件是11,1a d ==或2； (3)若12,,,m a a a 由小到大能排列成首项1,公比为2的等比数列,求证:集合M 是“满集"杨浦数学教研团队。

上海市2020届高三数学各区(16区已全)一模考试汇编：解析几何(解析版)

2020年一模汇编——解析几何一、填空题【普陀1】若抛物线2y mx =的焦点坐标为1(,0)2，则实数m 为___________.【答案】2【解析】抛物线的性质：p=1，所以m=2【黄浦3】抛物线28x y =的焦点到准线的距离为___________. 【答案】4【解析】由题抛物线的焦点为(0,2)，准线为直线2x =-，易得焦点到准线的距离为4【青浦3】直线1:10l x -=和直线20l y -=的夹角大小是【答案】6π 【解析】设夹角为θ，则23213cos =⨯=θ，故夹角6πθ=【静安3】若直线1l 和直线2l 的倾斜角分别为32和152则1l 与2l 的夹角为_____.【答案】60【解析】1801523260-+=【静安4】若直线l 的一个法向量为(2,1)n =，则若直线l 的斜率k =_____. 【答案】2-【解析】(2,1)n =，则单位向量(1,2)d =-，221k ==-【宝山5】以抛物线x y 62-=的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是 .【答案】9)23(22=++y x【解析】焦点)0,23(-，半径3==p r 【松江5】已知椭圆22194x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆上的点P 满足122PF PF =，则1=PF【答案】4【解析】由椭圆定义得：1226PF PF a +==，又122PF PF =，联立得：1=PF 4【虹口6】抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为_________. 【答案】1【解析】抛物线26x y =的焦点为)23,0(，焦点到直线3410x y +-=的距离33041215d ⨯+⨯-==【杨浦7】椭圆22194x y +=焦点为1F ，2F ，P 为椭圆上一点，若15PF =，则12cos F PF ∠= 【答案】35【解析】因为3a ==，2b ==，所以c ==，所以1(F，2F ，225651PF a =-=-=，所以22212513cos 2155F PF +-∠==⋅⋅【奉贤7】若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的焦距为则该双曲线的标准方程为____________.【答案】2219y x -=±【解析】根据双曲线的渐近线方程为3y x =±，可知3b a =或3ab=；由焦距为得出c =222c a b =+，求得,,a b c 的值【普陀8】设椭圆222:1(1)x y a aΓ+=＞，直线l 过Γ的左顶点A 交y 轴于点P ，交Γ于点Q ，若AOP △是等腰三角形（O 为坐标原点），且2PQ QA →→=，则Γ的长轴长等于_________.【答案】【解析】由题知(),0A a -、()0,P a ，设(),Q x x a +，有(),PQ x x =、(),QA a x x a =----，所以()2x a x =⋅--，解得23x a =-，将(),Q x x a +代入2221x y a +=得22211210x ax a a ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，整理得Γ的长轴长2a = 【崇明8】若双曲线的一个顶点坐标为(3,0)，焦距为10，则它的标准方程是__________．【答案】116922=-y x 【解析】由题意得3=a ，5210=÷=c ，16222=-=a c b ，标准方程为116922=-y x【杨浦9】在直角坐标平面xOy 中，(2,0)A -，(0,1)B ，动点P 在圆22:+2C x y =上，则PA PB ⋅的取值范围为___________.【答案】(22+【解析】因为22+2x y =，设)P θθ，则(2,)PA θθ=--，(,1)PB θθ=-，22222cos 2sin PA PB θθθθ⋅=++，22)PA PB θθθϕ⋅=+=++，【崇明9】已知,a b R +∈，若直线230x y ++=与(1)2a x by -+=互相垂直，则ab 的最大值等于___________.【答案】81 【解析】两直线互相垂直得1121-=-⋅-ba ，b a 21-=，代入得b b ab )21(-=， 0,0a b >>，最小值为81【宝山9】已知直线l 过点)0,1(-且与直线02=-y x 垂直，则圆08422=+-+y x y x 与直线l 相交所得的弦长为___________.【答案】152【解析】直线方程为012=++y x ，圆心到直线的距离5=d ⇒222||d r AB -=【奉贤9】设平面直角坐标系中，O 为原点，N 为动点，6ON =，5ON OM =，过点M 作1MM x ⊥轴于1M ，过N 作1NN x ⊥轴于点1N ，M 与1M 不重合，N 与1N 不重合，设11OT M M N N =+，则点T 的轨迹方程是______________.【答案】22536x y +=05x x ⎛≠≠ ⎝⎭且【解析】设(),T x y ，点()11,N x y ，则()11,0N x ，又1111,OM y M y ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭11,0M M ⎫=⎪⎭，()110,N N y =，于是1111,OT M M N N x y ⎫=+=⎪⎭，由此能求出曲线C的方程。

2020年上海市松江区高考数学模拟试卷(4月份)(有答案解析)

2020年上海市松江区高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（本大题共21小题，共150.0分）1.若复数，则A. 1B.C. 5D.2.已知向量，若，则实数A. 1B.C.D.3.已知，，若，则实数a的取值范围是A. B. C. D.4.已知椭圆分别过点和点，则该椭圆的焦距为A. B. 2 C. D.5.已知实数，，且，则行列式的A. 最小值是2B. 最小值是C. 最大值是2D. 最大值是6.““是“直线：和直线：平行”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.在直三棱柱中，已知，，，则异面直线与所成的角为A. B. C. D.8.样本中共有五个个体，其值分别是a，1，2，3，4，若样本的平均数是2，则样本的标准差是A. 1B. 2C. 4D.9.下列函数中，是奇函数且在其定义域内为单调函数的是A. B.C. D.10.给出以下四个命题：其中正确命题的个数是过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；依次首尾相接的四条线段必共面；空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；垂直于同一直线的两条直线必平行．A. 0B. 1C. 2D. 311.已知，在，，，，这7个数中，从中任取两数，则所取的两数之和为偶数的概率为A. B. C. D.12.下列命题中是假命题的是A. 对任意的，函数都不是奇函数B. 对任意的，函数都有零点C. 存在、，使得D. 不存在，使得幂函数在上单调递减13.函数的大致图象为A.B.C.D.14.如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为，山顶C的仰角为，，则两山顶A、C之间的距离为A. B. C. D.15.已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，，设数列的前n项和为，则A. 0B.C. 1D. 216.在中，已知，，的外接圆圆心为O，则A. 4B. 8C. 10D. 1617.已知函数，若函数的所有零点依次记为，，，，且，则A. B. C. D.18.设实系数一元二次方程在复数集C内的根为、，则由，可得类比上述方法：设实系数一元三次方程在复数集C内的根为，，，则的值为A. B. 0 C. 2 D. 419.已知函数关于点对称，若对任意的，恒成立，则实数k的取值范围为A. B. C. D.20.已知点在抛物线C：上，点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与抛物线C交于A、B两点，则直线PA与PB的斜率之积为A. B. 1 C. 2 D.21.若数列的每一项都是数列中的项，则称是的子数列．已知两个无穷数列、的各项均为正数，其中是各项和为的等比数列，且是的子数列，则满足条件的数列的个数为A. 0个B. 1个C. 2个D. 无穷多个-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：复数；；故选：B．先根据复数的除法对其化简，再代入模长计算公式即可．本题主要考查复数的有关概念，比较基础．2.答案：D解析：解：向量，，，，解得实数．故选：D．利用向量垂直的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：D解析：解：，，，．故选：D．根据即可得出，进而得出．本题考查了描述法的定义，分式不等式的解法，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．4.答案：C解析：解：有题意可得：，且，可得：，，，所以，所以焦距，故选：C．有题意将点的坐标代入椭圆的方程求出a，b再由a，b，c之间的关系求出c的值，再求焦距2c的值．本题考查椭圆的定义，a，b，c之间的关系，属于基础题5.答案：B解析：解：实数，，且，，当且仅当时，取等号，行列式的最小值是．故选：B．由实数，，且，得到，由此能求出行列式的最小值．本题考查行列式的最小值的求法，考查行列式展开法则和基本不等式的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：A解析：解：由，解得．经过验证，都满足条件．““是“直线：和直线：平行”的充分不必要条件．故选：A．由，解得k，即可判断出关系．本题考查了平行线与斜率之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：C解析：【分析】本题考查异面直线所成的角的大小，考查空间想象能力和运算求解能力，是基础题．由题意画出图形，连接，，可知为异面直线与所成的角．然后求解三角形得答案．【解答】解：连接，，可知为异面直线与所成的角．为直角三角形，且，，，，得．即异面直线与所成的角为．故选：C．8.答案：D解析：解：数据a，1，2，3，4的平均数是，解得；所以该组数据的方差是，标准差是．故选：D．根据平均数求出a的值，再计算方差和标准差．本题考查了平均数和方差、标准差的计算问题，是基础题．9.答案：C解析：解：A：在定义域内内不单调，不符合题意；B：在定义域R上先减后增，不符合题意；C：在定义域R上单调递增，且，为奇函数，符合题意；D：因为为偶函数，不符合题意．故选：C．结合函数的奇偶性及单调性的定义分别检验各选项即可判断．本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础试题．10.答案：B解析：解：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；由平面的判定的应用直接得出．正确；依次首尾相接的四条线段必共面；错误，可以异面，故错误；空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；也可以是互补，故错误；垂直于同一直线的两条直线必平行．可以是异面直线，故错误．故选：B．直接利用线面的平行和垂直的判定和性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：立体几何中的线面之间的判定和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．11.答案：B解析：解：因为，，，，，这7个数分别为：，，，，，，．4个奇数，3个偶数；从中任取两数共有：种；所取的两数之和为偶数的有：；所取的两数之和为偶数的概率为：．故选：B．先根据条件得到，，，，这7个数分别为：，，，，，，，4个奇数，3个偶数；进而求得其对应的概率．本题主要考察二项式系数的性质，以及概率的应用，属于基础题目．12.答案：A解析：解：对于选项A：当时，故函数为奇函数，故该命题为假命题．对于选项B：对任意的，函数的值域为R，所以无论a取任何大于0的数函数的图象都有交点，故该命题为真命题．对于选项C：当时，使得，故该命题为真命题．对于选项D：由于，所以函数在单调递增，故不存在，使得幂函数在上单调递减，所以故该命题为真命题．故选：A．直接利用函数的性质的应用，三角函数关系式的变换和赋值法的应用求出结果．本题考查的知识要点：函数的性质的应用，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13.答案：C解析：解：根据题意，，有，则有，即函数的定义域为，又由，即函数为奇函数，排除A；又由当时，，则，排除BD；故选：C．根据题意，分析可得为奇函数，可以排除A，进而分析时，函数图象的变化趋势，排除BD，即可得答案．本题考查函数的图象变换，注意分析函数的奇偶性、特殊值，属于基础题．14.答案：C解析：解：，，，，，，；中，由余弦定理得：，所以；所以，即两山顶A，C之间的距离为．故选：C．由直角三角形的边角关系求出BE、DE，利用余弦定理求出BD，再计算AC的值．本题考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是基础题．15.答案：C解析：解：依题意，由，可得：，两式相减，可得：，，，，，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，，．，则，则．故选：C．本题由，可得，两式相减，进一步转化计算可得，则数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即可计算出数列的通项公式，然后计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法计算出前n项和，最后计算出极限的值．本题主要考查数列求通项公式，运用裂项相消法求和，以及数列极限的计算．考查了转化与化归思想，等差数列的基础知识，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．16.答案：B解析：解：如图，取AC中点D，AB中点E，并连接OD，OE，则：，；，；．故选：B．可画出图形，并将O和AC中点D连接，O和AB中点E连接，从而得到，，根据数量积的计算公式及条件即可得出，，从而便可得出的值．本题主要考查三角形外心的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量减法的几何意义．17.答案：D解析：解：令得，，即的对称轴方程为，．的最小正周期为，，在上有5条对称轴，第一条是，最后一条是：；，关于对称，，关于对称，，，，，将以上各式相加得：．故选：D．求出的对称轴，根据的对称性得出任意两相邻两零点的和，从而得出答案．本题考查了正弦函数的图象与性质，函数对称性的应用，属于中档题．18.答案：A解析：解：，由对应系数相等知：，，．故选：A．由，利用对应系数相等知，，再由，能求出结果．本题考查代数式的值的求法，考查类比推理等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：D解析：解：由为奇函数，可得其图象关于对称，可得的图象关于对称，函数关于点对称，可得，对任意的，恒成立，即在恒成立，所以，令，由，可得，设，当时，取得最大值11，则k的取值范围是，故选：D．运用的图象关于对称，求得，由题意可得在恒成立，所以，令，运用指数函数的单调性求得t的范围，设，求得其最大值，可得k的范围．本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和指数函数的单调性、二次函数的最值求法，考查运算求解能力，属于中档题．20.答案：C解析：解：由点在抛物线C：上，可得，，抛物线方程为：，由已知得，设点，，由题意直线AB斜率存在且不为0，设直线AB的方程为，联立方程，消去x得：，，，因为点A，B在抛物线C上，所以，，，，，故选：C．把点P的坐标代入抛物线方程求出p的值，得到抛物线方程，设直线AB 的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合点A，B 在抛物线上化简，即可得到．本题主要考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，以及斜率公式，是中档题．21.答案：C解析：解：设，公比，则．对任意的都成立，故m是正奇数，又S 存在，所以．时，，此时，即，成立．当时，，此时，不是数列中的项，故不成立．时，，此时，，成立．当时，，由，得，得，又因为，所以，2，此时或，分别代入，得到不合题意，由此满足条件的数列只有两个，即，或，故选：C．由是的子数列，可设，，公比，又因为可得k，m 得关系，再有等比数列的通项公式得通过m取值代入不定方程检验求解，找出符合条件的数列有2个．本题根据新定义子数列，结合等比数列的公式，寻找符合条件的数列，属于探索性试题，方法思路不易，是道有难度试题．第11页，共11页。

上海市松江区2020-2021学年高三第一学期期末质量监控(一模)数学试卷含标答解析

3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。
一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，第 1～6 题每个空格填对得 4 分，第 7～
12 题每个空格填对得 5 分，否则一律得零分．
1．
lim
n→
3n
3n +
2n
=
▲
．
2．若集合 A = x −1 x 3 ， B = 1, 2,3, 4 ，则 A B = ▲ ．
3．已知复数 z 满足 z (1− i) =1+ i （ i 为虚数单位），则 z = ▲ ．
4．若 sin = 1 ，则 cos( − 2) = ▲ ．
3 5．抛物线 y2 = −4x 的准线方程是 ▲ ． 6．已知函数 f (x) 图像与函数 g(x) = 2x 的图像关于 y = x 对称，则 f (3) = ▲ ． 7．从包含学生甲的 1200 名学生中随机抽取一个容量为 80 的样本，则学生甲被抽到的概率为
均促销费的一半”之和，则当促销费 t 为多少(万元)时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少?
3
20．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分
已知椭圆：ax22
+
y2 b2
= 1（ a
b
0 ）的右焦点坐标为 (2,0) ，且长轴长为短轴长的
上海市松江区 2020-2021 学年高三第一学期期末质量监控
数学试卷
（满分 150 分，完卷时间 120 分钟）
2020．12
考生注意：
1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择

2020学年上海市松江区高考一模数学

2020年上海市松江区高考一模数学一.填空题(本大题满分56分)本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1.设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∩N=_____.解析：∵集合M={x|x2=x}={0，1}，N={x|lgx≤0}{x|0＜x≤1}，∴M∩N={1}.答案：{1}.2.已知a，b∈R，i是虚数单位.若a+i=2-bi，则(a+bi)2=_____.解析：由已知等式结合复数相等的条件求得a，b的值，则复数a+bi可求，然后利用复数代数形式的乘法运算得答案.答案：3-4i.3.已知函数f(x)=a x-1的图象经过(1，1)点，则f-1(3)=_____.解析：根据反函数的与原函数的关系，原函数的定义域是反函数的值域可得答案.答案：2.4.不等式x|x-1|＞0的解集为_____.解析：∵x|x-1|＞0，∴x＞0，|x-1|＞0，故x-1＞0或x-1＜0，解得：x＞1或0＜x＜1，故不等式的解集是(0，1)∪(1，+∞)，答案：(0，1)∪(1，+∞).5.已知向量a=(sinx，cosx)，b=(sinx，sinx)，则函数f(x)=a·b的最小正周期为_____. 解析：由平面向量的坐标运算可得f(x)，再由辅助角公式化积，利用周期公式求得周期. 答案：π.6.里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道.在由2名中国运动员和6名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为_____.解析：先求出基本事件总数n=88A，再求出2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为m=2727A A，由此能求出2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率.答案：14.7.按如图所示的程序框图运算：若输入x=17，则输出的x值是_____.解析：模拟程序的运行，可得 x=17，k=0执行循环体，x=35，k=1不满足条件x ＞115，执行循环体，x=71，k=2 不满足条件x ＞115，执行循环体，x=143，k=3 满足条件x ＞115，退出循环，输出x 的值为143. 答案：143.8.设(1+x)n=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n，若2313a a =，则n=_____. 解析：利用二项式定理展开可得：(1+x)n=1+12233nnnx x x+++…= a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n ，比较系数即可得出.答案：11.9.已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是_____cm 2.解析：由已知求出圆锥的母线长，代入圆锥的侧面积公式，可得答案..10.设P(x ，y)是曲线C上的点，F 1(-4，0)，F 2(4，0)，则|PF 1|+|PF 2|的最大值=_____.解析：先将曲线方程化简，再根据图形的对称性可知|PF 1|+|PF 2|的最大值为10. 答案：10.11.已知函数f(x)=3283x x x ≤≤-⎪⎩，＞，若F(x)=f(x)-kx 在其定义域内有3个零点，则实数k ∈_____.解析：问题转化为f(x)和y=kx 有3个交点，画出函数f(x)和y=kx 的图象，求出临界值，从而求出k 的范围即可.答案：(0，3).12.已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=3，若|a n+1-a n |=2n (n ∈N *)，且{a 2n-1}是递增数列、{a 2n }是递减数列，则212limn n na a -→∞=_____.解析：依题意，可求得a 3-a 2=22，a 4-a 3=-23，…，a 2n -a 2n-1=-22n-1，累加求和，可得a 2n =2131233n-⋅，a 2n-1=a 2n+22n-1=2131236n+⋅；从而可求得212lim n n na a -→∞的值.答案：-12.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13.已知a ，b ∈R ，则“ab ＞0“是“b aa b+＞2”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分也非必要条件解析：根据充分必要条件的定义判断即可. 答案：B.14.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 在截面A 1DB 上，则线段AP 的最小值等于( )A.13B.12C.解析：由已知可得AC 1⊥平面A 1DB ，可得P 为AC 1与截面A 1DB 的垂足时线段AP 最小，然后利用等积法求解. 答案：C.15.若矩阵11122122a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭满足：a 11，a 12，a 21，a 22∈{0，1}，且11122122a a a a =0，则这样的互不相等的矩阵共有( )A.2个B.6个C.8个D.10个解析：根据题意，分类讨论，考虑全为0；全为1；三个0，一个1；两个0，两个1，即可得出结论. 答案：D.16.解不等式(12)x -x+ 12＞0时，可构造函数f(x)=(12)x-x ，由f(x)在x ∈R 是减函数，及f(x)＞f(1)，可得x ＜1.用类似的方法可求得不等式arcsinx 2+arcsinx+x 6+x 3＞0的解集为( ) A.(0，1] B.(-1，1) C.(-1，1] D.(-1，0)解析：由题意，构造函数g(x)=arcsinx+x 3，在x ∈[-1，1]上是增函数，且是奇函数，不等式arcsinx 2+arcsinx+x 6+x 3＞0可化为g(x 2)＞g(-x)，∴-1≤-x ＜x 2≤1， ∴0＜x ≤1. 答案：A.三.解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.如图，在正四棱锥P-ABCD 中，PA=AB=a ，E 是棱PC 的中点.(1)求证：PC ⊥BD ；(2)求直线BE 与PA 所成角的余弦值.解析：(1)推导出△PBC ，△PDC 都是等边三角形，从而BE ⊥PC ，DE ⊥PC ，由此能证明PC ⊥BD.(2)连接AC ，交BD 于点O ，连OE ，则AP ∥OE ，∠BOE 即为BE 与PA 所成的角，由此能求出直线BE 与PA 所成角的余弦值.答案：(1)∵四边形ABCD 为正方形，且PA=AB=a ，∴△PBC ，△PDC 都是等边三角形， ∵E 是棱PC 的中点，∴BE ⊥PC ，DE ⊥PC ，又 BE ∩DE=E ， ∴PC ⊥平面BDE 又BD ⊂平面BDE ， ∴PC ⊥BD(2)连接AC ，交BD 于点O ，连OE.四边形ABCD 为正方形，∴O 是AC 的中点又E 是PC 的中点∴OE 为△ACP 的中位线，∴AP ∥OE ∴∠BEO 即为BE 与PA 所成的角在Rt △BOE 中，BE=2a ，EO=12PA=12a ，∴cos ∠BEO=OE BE=3.∴直线BE 与PA .18.已知函数F(x)=2121x x a ⋅-+，(a 为实数).(1)根据a 的不同取值，讨论函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)若对任意的x ≥1，都有1≤f(x)≤3，求a 的取值范围.解析：(1)根据题意，先求出函数的定义域，易得其定义域关于原点对称，求出F(-x)的解析式，进而分2种情况讨论：①若y=f(x)是偶函数，②若y=f(x)是奇函数，分别求出每种情况下a 的值，综合即可得答案；(2)根据题意，由f(x)的范围，分2种情况进行讨论：f(x)≥1以及f(x)≤3，分析求出每种情况下函数的恒成立的条件，可得a 的值，进而综合2种情况，可得答案.答案：(1)函数F(x)=2121x x a ⋅-+定义域为R ，且F(-x)=2121x x a --⋅-+=212xxa -+，①若y=f(x)是偶函数，则对任意的x 都有f(x)=f(-x)，即2121xxa⋅-+=212xxa-+，即2x(a+1)=a+1，解可得a=-1；②若y=f(x)是奇函数，则对任意的x 都有f(x)=-f(-x)，即2121xxa⋅-+=-212xxa-+，即2x(a-1)=1-a，解可得a=1；故当a=-1时，y=f(x)是偶函数，当a=1时，y=f(x)是奇函数，当a≠±1时，y=f(x)既非偶函数也非奇函数，(2)由f(x)≥1可得：2x+1≤a·2x-1，即22x≤a-1∵当x≥1时，函数y1=22x单调递减，其最大值为1，则必有a≥2，同理，由f(x)≤3 可得：a·2x-1≤3·2x+3，即a-3≤42x，∵当x≥1时，y2=42x单调递减，且无限趋近于0，故a≤3，综合可得：2≤a≤3.19.上海市松江区天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”.兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高：如图，记O点为塔基、P 点为塔尖、点P在地面上的射影为点H.在塔身OP射影所在直线上选点A，使仰角k∠HAP=45°，过O点与OA成120°的地面上选B点，使仰角∠HPB=45°(点A、B、O都在同一水平面上)，此时测得∠OAB=27°，A与B之间距离为33.6米.试求：(1)塔高(即线段PH的长，精确到0.1米)；(2)塔身的倾斜度(即PO与PH的夹角，精确到0.1°).解析：(1)由题意可知：△PAH，△PBH均为等腰直角三角形，AH=BH=x，∠HAB=27°，AB=33.6，即可求得x=16.82cos cos 27ABHAB =∠︒=18.86； (2)∠OBH=180°-120°-2×27°=6°，BH=18.86，由正弦定理可知：sin sin OH BH OBH BOH =∠∠，OH=18.86sin 6sin120⨯︒︒=2.28，则倾斜角∠OPH=arctan OHPH =arctan 2.2818.86=6.89°. 答案：(1)设塔高PH=x ，由题意知，∠HAP=45°，∠HBP=45°， ∴△PAH ，△PBH 均为等腰直角三角形， ∴AH=BH=x在△AHB 中，AH=BH=x ，∠HAB=27°，AB=33.6，∴x=16.82cos cos 27ABHAB =∠︒=18.86 (2)在△BOH 中，∠BOH=120°，∴∠OBH=180°-120°-2×27°=6°，BH=18.9，由sin sin OH BHOBH BOH =∠∠，得OH=18.86sin 6sin120⨯︒︒=2.28，∴∠OPH=arctan OHPH=arctan 2.2818.86≈6.9°，∴塔高18.9米，塔的倾斜度为6.9°.20.已知双曲线C ：2222x y a b-=1经过点(2，3)，两条渐近线的夹角为60°，直线l 交双曲线于A 、B 两点.(1)求双曲线C 的方程；(2)若l 过原点，P 为双曲线上异于A ，B 的一点，且直线PA 、PB 的斜率k PA ，k PB 均存在，求证：k PA ·k PB 为定值；(3)若l 过双曲线的右焦点F 1，是否存在x 轴上的点M(m ，0)，使得直线l 绕点F 1无论怎样转动，都有MA MB ⋅=0成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由.解析：(1)利用双曲线C ：2222x y a b-=1经过点(2，3)，两条渐近线的夹角为60°，建立方程，即可求双曲线C 的方程；(2)设M(x 0，y 0)，由双曲线的对称性，可得N 的坐标，设P(x ，y)，结合题意，又由M 、P在双曲线上，可得y 02=3x 02-3，y 2=3x 2-3，将其坐标代入k PM ·k PN 中，计算可得答案.(3)先假设存在定点M ，使MA ⊥MB 恒成立，设出M 点坐标，根据数量级为0，求得结论.答案：(1)解：由题意得22491a bb a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得a=1，∴双曲线C 的方程为223y x -=1；(2)证明：设A(x 0，y 0)，由双曲线的对称性，可得B(-x 0，-y 0). 设P(x ，y)，则k PA ·k PB =22020y y x x --，∵y 02=3x 02-3，y 2=3x 2-3，∴kPA ·kPB=22020y y x x --=3(3)解：由(1)得点F 1为(2，0)当直线l 的斜率存在时，设直线方程y=k(x-2)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)将方程y=k(x-2)与双曲线方程联立消去y 得：(k 2-3)x 2-4k 2x+4k 2+3=0，∴x 1+x 2=2243k k -，x 1x 2=22433k k +-假设双曲线C 上存在定点M ，使MA ⊥MB 恒成立，设为M(m ，n) 则MA MB⋅=(x 1-m)(x 2-m)+[k(x 1-2)-n][k(x 2-2)-n]=(k 2+1)x 1x 2-(2k 2+kn+m)(x 1+x 2)+m 2+4k 2+4kn+n 2=()()2222224512313mn m k nk m n k +----+--=0，故得：(m 2+n 2-4m-5)k 2-12nk-3(m 2+n 2-1)=0对任意的k 2＞3恒成立，∴222245012010m n m n m n ⎧+--=⎪=⎨⎪+-=⎩，解得m=-1，n=0 ∴当点M 为(-1，0)时，MA ⊥MB 恒成立；当直线l 的斜率不存在时，由A(2，3)，B(2，-3)知点M(-1，0)使得MA ⊥MB 也成立.又因为点(-1，0)是双曲线C的左顶点，所以双曲线C上存在定点M(-1，0)，使MA⊥MB恒成立.21.如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“H型数列”.(1)若数列{a n}为“H型数列”，且a1=1m-3，a2=1m，a3=4，求实数m的取值范围；(2)是否存在首项为1的等差数列{a n}为“H型数列”，且其前n项和S n满足S n＜n2+n(n∈N*)？若存在，请求出{a n}的通项公式；若不存在，请说明理由.(3)已知等比数列{a n}的每一项均为正整数，且{a n}为“H型数列”，b n=23a n，c n=()512nnan-+⋅，当数列{b n}不是“H型数列”时，试判断数列{c n}是否为“H型数列”，并说明理由.解析：(1)由题意得，a2-a1=3＞2，a3-a2=4-1m＞2，即2-1m=21mm-＞0，解得m范围即可得出.(2)假设存在等差数列{a n}为“H型数列”，设公差为d，则d＞2，由a1=1，可得：S n=n+()12 n n-d，由题意可得：n+()12n n-d＜n2+n对n∈N*都成立，即d＜21nn-都成立.解出即可判断出结论.(3)设等比数列{a n}的公比为q，则a n=a1q n-1，且每一项均为正整数，且a n+1-a n=a n(q-1)＞2＞0，可得a n+1-a n=a n(q-1)＞a n-a n-1，即在数列{a n-a n-1}(n≥2)中，“a2-a1”为最小项.同理在数列{b n-b n-1}(n≥2)中，“b2-b1”为最小项.由{a n}为“H型数列”，可知只需a2-a1＞2，即 a1(q-1)＞2，又因为{b n}不是“H型数列”，且“b2-b1”为最小项，可得b2-b1≤2，即 a1(q-1)≤3，由数列{a n}的每一项均为正整数，可得 a1(q-1)=3，a1=1，q=4或a1=3，q=2，通过分类讨论即可判断出结论.答案：(1)由题意得，a2-a1=3＞2，a3-a2=4-1m＞2，即2-1m=21mm-＞0，解得m＞12或m＜0.∴实数m的取值范围时(-∞，0)∪(12，+∞).(2)假设存在等差数列{a n}为“H型数列”，设公差为d，则d＞2，由a1=1，可得：S n=n+()12 n n-d，由题意可得：n+()12n n-d＜n2+n对n∈N*都成立，即d＜21nn-都成立.∵21nn-=2+21n-＞2，且2lim1nnn→∞-=2，∴d≤2，与d＞2矛盾，因此不存在等差数列{a n}为“H型数列”.(3)设等比数列{a n}的公比为q，则a n=a1q n-1，且每一项均为正整数，且a n+1-a n=a n(q-1)＞2＞0，∴a1＞0，q＞1.∵a n+1-a n=a n(q-1)＞a n-a n-1，即在数列{a n-a n-1}(n≥2)中，“a2-a1”为最小项.同理在数列{b n -b n-1}(n ≥2)中，“b 2-b 1”为最小项.由{a n }为“H 型数列”，可知只需a 2-a 1＞2，即 a 1(q-1)＞2，又因为{b n }不是“H 型数列”，且“b 2-b 1”为最小项，∴b 2-b 1≤2，即 a 1(q-1)≤3，由数列{a n }的每一项均为正整数，可得 a 1(q-1)=3，∴a 1=1，q=4或a 1=3，q=2，①当a 1=1，q=4时，a n =4n-1，则c n =()13542121n n n n n -+-=⋅++，令d n =c n+1-c n (n ∈N *)，则d n =432221n n n n ++-++=2n+3·()()12nn n ++，令e n =d n+1-d n (n ∈N *)，则e n =2n+4·()()123n n n +++-2n+3·()()12n n n ++=322n n ++·()()2213n n n n ++++＞0， ∴{d n }为递增数列，即 d n ＞d n-1＞d n-2＞…＞d 1，即 c n+1-c n ＞c n -c n-1＞c n-1-c n-2＞…＞c 2-c 1， ∵c 2-c 1=323-8=83＞2，所以，对任意的n ∈N *都有c n+1-c n ＞2，即数列{c n }为“H 型数列”.②当a 1=3，q=2时，a n =3·2n-1，则c n =()153?2481?21n n n n --=++，显然，{c n }为递减数列，c 2-c 1＜0≤2，故数列{c n }不是“H 型数列”；综上：当a n =4n-1时，数列{c n }为“H 型数列”，当a n =3·2n-1时，数列{c n }不是“H 型数列”.。

上海市松江区2020-2021学年第一学期一模考试高三年级数学试卷及参考答案

（2）若直线 l 经过点T (0, 4) ，且 OMN 的面积为 2 2 ，求直线 l 的方程；
（3）若直线 l 的方程为 y = kx + t(k 0) ，点 M 关于 x 轴的对称点为 M ，直线 MN 、 M N 分别与 x 轴
相交于 P 、 Q 两点，求证： OP OQ 为定值．
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松江区 2020 学年度第一学期期末质量监控试卷
高三数学
（满分 150 分，完卷时间 120 分钟）
2020．12
考生注意：
1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非
选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。
2．答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号。
▲．
8．在 (x2 + 2 )6 的二项展开式中，常数项等于 ▲ ． x
9．在 ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，且 3b + 2c 2a = 0 ，则角 A = ▲ ． cos B 1
10．从以下七个函数:
y
=
x
,
y
=
1 x
,
y
=
x2
,
y
=
2x
,
y
=
log2
x
,
y
=
sin
x
,
y
=
cos
x 中选取两个函数记为
f (x) 和 g(x) ，构成函数 F(x) = f (x) + g(x) ，若 F(x) 的图像如图所示，则 F(x) = ▲ ．
11．已知向量 a = b = c = 1，若 a b = 1 ，且 c = xa + yb ，则 x + y 的最大值为 ▲ ． 2

2019-2020年高三(上)第一次质量检测数学试卷(理科)

2019-2020年高三（上）第一次质量检测数学试卷（理科）一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．（3分）（xx•松江区一模）集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为4．考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：根据题意，由并集的计算方法，结合a与a2的关系，易得，即可得答案．解答：解：∵A={0，2，a}，B={1，a2}，A∪B={0，1，2，4，16}∴∴a=4，故答案为：4．点评：本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相对应的元素，从而求得答案，本题属于容易题．2．（3分）（xx•南昌模拟）如图所示的韦恩图中，A、B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合．若x，y∈R，A={x|y=}，B={y|y=3x，x＞0}．则A*B为{x|0≤x≤1或x＞2}．考点：V enn图表达集合的关系及运算．专题：计算题；新定义．分析：先分别求出集合A和集合B，然后根据A*B表示阴影部分的集合得到A*B={x|x∈A 或x∈B且x∉A∩B}，最后根据新定义进行求解即可．解答：解：A={x|y=}=[0，2]B={y|y=3x，x＞0}=[1，+∞）根据A*B表示阴影部分的集合可知A*B={x|x∈A或x∈B且x∉A∩B}∴A*B={x|0≤x≤1或x＞2}故答案为：{x|0≤x≤1或x＞2}点评：本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力以及转化的能力，属于新颖题型．3．（3分）已知函数f（x）=x2﹣6x+8，x∈[1，a]，并且函数f（x）的最小值为f（a），则实数a的取值范围是（1，3]．考点：函数的最值及其几何意义；二次函数的性质．专题：常规题型；压轴题．分析：由题意知，函数f（x）在区间[1，a]上单调递减，结合二次函数的对称轴求出实数a 的取值范围．解答：解：函数f（x）=x2﹣6x+8=（x﹣3）2﹣1，x∈[1，a]，并且函数f（x）的最小值为f （a），又∵函数f（x）在区间[1，3]上单调递减，∴1＜a≤3，故答案为：（1，3]．点评：本题考查二次函数函数的单调区间，联系二次函数的图象特征，体现转化的数学思想．4．（3分）若函数f（x+1）=x2﹣2x+1的定义域为[﹣2，6]，则函数y=f（x）的单调递减区间[﹣1，2]．考点：二次函数的性质；函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分析：由已知函数f（x+1）=x2﹣2x+1的定义域为[﹣2，6]，可得﹣2≤x≤6，进而﹣1≤x+1≤7，再利用换元法求得函数的解析式，进而得出函数y=f（x）的单调递减区间．解答：解：∵函数f（x+1）=x2﹣2x+1的定义域为[﹣2，6]，∴﹣2≤x≤6，∴﹣1≤x+1≤7．令x+1=t，则x=t﹣1，且﹣1≤t≤7，∴f（t）=（t﹣1）2﹣2（t﹣1）+1=（t﹣2）2，∴函数y=f（x）的单调递减区间是[﹣1，2]．故答案为[﹣1，2]．点评：本题考查了函数的定义域和单调性，正确理解函数的定义域是自变量的取值范围和掌握二次函数的单调性是解题的关键．另外利用换元法是解决此类题的常用方法．5．（3分）（2011•西山区模拟）设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0且g（﹣3）=0，则f（x）g（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．考点：函数的单调性与导数的关系；奇函数；偶函数．专题：计算题．分析：先根据f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0可确定[f（x）g（x）]'＞0，进而可得到f（x）g（x）在x＜0时递增，结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在x ＞0时也是增函数，最后根据g（﹣3）=0可求得答案．解答：解：因f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0，即[f（x）g（x）]'＞0故f（x）g（x）在x＜0时递增，又∵f（x），g（x）分别是定义R上的奇函数和偶函数，∴f（x）g（x）为奇函数，关于原点对称，所以f（x）g（x）在x＞0时也是增函数．∵f（﹣3）g（﹣3）=0，∴f（3）g（3）=0所以f（x）g（x）＜0的解集为：x＜﹣3或0＜x＜3故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．点评：本题主要考查复合函数的求导运算和函数的单调性与其导函数正负之间的关系．导数是一个新内容，也是高考的热点问题，要多注意复习．6．（3分）已知函数若f（f（0））=4a，则实数a=2．考点：函数与方程的综合运用．专题：计算题．分析：给出的是分段函数，根据所给变量的范围确定选用具体的解析式，从而得方程，故可解．解答：解：由题意，f（0）=20+1=2，∴f（2）=4+2a=4a，∴a=2故答案为2．点评：本题的考点是函数与方程的综合运用，主要考查分段函数的定义，考查求函数值，有一定的综合性7．（3分）已知p：，q：，则q是p的必要不充分条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：根据题意分别求出命题p和q，再根据充分必要条件的定义，进行判断；解答：解：已知p：，解得0＜x＜，q：，解得0≤x＜1，0＜x＜，⇒0≤x＜1，∴q是p的必要不充分条件；故答案为：必要不充分；点评：此题主要考查不等式的解法，以及充分必要条件的定义，是一道基础题；8．（3分）（xx•怀柔区二模）当x∈（1，2）时，不等式（x﹣1）2＜log a x恒成立，则实数a 的取值范围是（1，2]．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：根据二次函数和对数函数的图象和性质，由已知中当x∈（1，2）时，不等式（x﹣1）2＜loga x恒成立，则y=log a x必为增函数，且当x=2时的函数值不小于1，由此构造关于a的不等式，解不等式即可得到答案．解答：解：∵函数y=（x﹣1）2在区间（1，2）上单调递增，∴当x∈（1，2）时，y=（x﹣1）2∈（0，1），若不等式（x﹣1）2＜log a x恒成立，则a＞1且1≤log a2即a∈（1，2]，故答案为：（1，2]．点评：本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中根据二次函数和对数函数的图象和性质，结合已知条件构造关于a的不等式，是解答本题的关键．9．（3分）（xx•东莞市模拟）已知函数满足对任意成立，则a的取值范围是．考点：函数单调性的性质．专题：综合题；数形结合；转化思想；综合法．分析：对任意成立，说明此函数是一个减函数，由此性质即可判断得出参数所满足的不等式，求解即可．解答：解：∵对任意成立∴函数是一个减函数，由于函数，故解得a∈故答案为：点评：本题考查函数单调性的性质，解题的关键是对“对任意成立”理解以及在分段函数的端点处函数值大小比较，即x=0时两个端点的函数值的比较．准确理解题意，认真审题是此类题正解解答的关键．本题易因为忘记比较端点处的函数值的大小比较而导致出错．做题时要注意转化的等价性10．（3分）f（x）是以2为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点，则实数k的取值范围是．考点：函数与方程的综合运用；函数的周期性；函数的零点；二项式定理．专题：计算题．分析：根据函数是一个偶函数且周期是2，写出函数在[﹣1，0]，[2，3]，[﹣1，0）上的函数解析式，根据g（x）仍为一次函数，有4个零点，故在四段内各有一个零点．分别在这四段上讨论零点的情况，零点的范围，最后求出几种结果的交集．解答：解：x在[0，1]，f（x）=x 由于f（x）是偶函数，x在[﹣1，0]，f（x）=﹣x f（x）是周期为2的函数f（2）=f（0）=0 函数解析式：y=﹣x+2 x在[2，3]时，函数解析式：y=x﹣2 g（x）仍为一次函数，有4个零点，故在四段内各有一个零点．x在[﹣1，0）g（x）=﹣x﹣kx﹣k=﹣（k+1）x﹣k 令g（x）=0 x=﹣﹣1≤﹣＜0解得k＞0 x在（0，1]g（x）=x﹣kx﹣k=（1﹣k）x﹣k 令g（x）=0 x=0＜≤1 解的0＜k≤x在（1，2]g（x）=﹣x+2﹣kx﹣k=﹣（k+1）x+2﹣k 令g（x）=0 x= 1＜≤2 解的0≤k＜x在（2，3]g（x）=x﹣2﹣kx﹣k=（1﹣k）x﹣2﹣k 令g（x）=0 x=2＜≤3 解的0＜k≤综上可知，k的取值范围为：0＜k≤故答案为：（0，]．点评：学生知识经验已较为丰富，智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以本题符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展．11．（3分）函数f（x）=sin3x+x5﹣x﹣3在[﹣2π，2π]上最大值与最小值之和为﹣6．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：构造g（x）=sin3x+x5﹣x，确定函数是奇函数，从而可求函数f（x）=sin3x+x5﹣x﹣3在[﹣2π，2π]上最大值与最小值之和．解答：解：令g（x）=sin3x+x5﹣x，则g（﹣x）=﹣sin3x﹣x5+x=﹣g（x），∴g（x）=sin3x+x5﹣x是奇函数∴g（x）=sin3x+x5﹣x在[﹣2π，2π]上最大值与最小值之和为0∴函数f（x）=sin3x+x5﹣x﹣3在[﹣2π，2π]上最大值与最小值之和为﹣6故答案为：﹣6点评：本题考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．12．（3分）给出如下四个命题：①∀x∈（0，+∞），x2＞x3；②∃x∈（0，+∞），x＞e x；③函数f（x）定义域为R，且f（2﹣x）=f（x），则f（x）的图象关于直线x=1对称；④若函数f（x）=lg（x2+ax﹣a）的值域为R，则a≤﹣4或a≥0；其中正确的命题是③④．（写出所有正确命题的题号）考点：命题的真假判断与应用．专题：证明题．分析：令x=1，可判断①的真假；构造函数f（x）=e x﹣x，利用导数法法分析其值域，即可判断②的真假；利用函数对称变换法则“对称变换二倍减，横向减里边，纵向减外边”的口决，可判断③的真假；根据对数函数的性质，分析出内函数值域A⊇（0，+∞），进而根据二次函数的图象和性质求出a的范围可得④的真假；解答：解：当x=1时，x2=x3=1，故①为假命题；令f（x）=e x﹣x，则f′（x）=e x﹣1，当x∈（0，+∞），f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴f（x）＞f（0）=1恒成立，故②为假命题；根据函数图象对称变换法则，可得若f（2﹣x）=f（x）恒成立，则f（x）的图象关于直线x=1对称，故③为真命题；若函数f（x）=lg（x2+ax﹣a）的值域为R，设函数y=x2+ax﹣a的值域为A，则A⊇（0，+∞），即△=a2+4a≥0，解得a≤﹣4或a≥0，故④为真命题；故答案为：③④点评：本题考查的知识点是命题的真假判断，其中熟练掌握幂函数、指数函数、对数函数及二次函数的图象与性质，函数图象的对称变换法则，是解答的关键．13．（3分）已知定义在（﹣1，+∞）上的函数，若f（3﹣a2）＞f（2a），则实数a取值范围为（，1）．考点：函数单调性的性质；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：由函数的解析式可得函数在（﹣1，0）上是增函数，由2x+1在[0，+∞）是增函数，且20+1≥3﹣2=1，可得函数在（﹣1，+∞）上是增函数，故由不等式可得3﹣a2 ＞2a＞﹣1，由此求得实数a取值范围．解答：解：由于==3﹣，故函数在（﹣1，0）上是增函数．再由2x+1在[0，+∞）是增函数，且20+1≥3﹣2=1，可得函数在（﹣1，+∞）上是增函数．再由f（3﹣a2）＞f（2a），可得3﹣a2 ＞2a＞﹣1，解得﹣＜a＜1，故实数a取值范围为（，1）．点评：本题主要考查函数的单调性的性质，注意2a＞﹣1，这是解题的易错点，属于中档题．14．（3分）已知函数f（x）=若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则lga+lgb+lgc 的取值范围是（1，2）．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．解答：解：不妨设a＜b＜c，则由函数的解析式可得f（a）=f（b）=f（c），即﹣lga=lgb=﹣c+50∈（0，1），∴ab=1，且0＜﹣c+50＜1，则abc=c∈（98，100），∴1＜lgc＜2，故lga+lgb+lgc=lg（abc）=lgc∈（1，2）．作出函数g（x）的图象如图：故答案为（1，2）．点评：本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力，属于基础题．二、解答题（共10小题，满分108分）15．（12分）若集A={（x，y）|x2+mx﹣y+2=0，x∈R}，B={（x，y）|x﹣y+1=0，0≤x≤2}当A∩B≠∅时，求实数m的取值范围．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：转化思想．分析：由A∩B≠∅，将问题转化为方程组在[0，2]上有解，即x2+（m﹣1）x+1=0在[0，2]上有解，构造函数f（x）=x2+（m﹣1）x+1，则函数在[0，2]上有零点，结合二次函数的图象和性质及零点存在定理，可得实数m的取值范围．解答：解：问题等价于方程组在[0，2]上有解，即x2+（m﹣1）x+1=0在[0，2]上有解，令f（x）=x2+（m﹣1）x+1，则由f（0）=1知抛物线y=f（x）过点（0，1），∴抛物线y=f（x）在[0，2]上与x轴有交点等价于f（2）=22+2（m﹣1）+1≤0 ①或②由①得m≤﹣，由②得﹣＜m≤﹣1，∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1]．点评：本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，方程的根与函数零点之间的关系，其中将集合有公共元素转化为方程组有解，再转化为函数有零点，进而借助函数的图象和性质进行解答是本题的关键．16．（12分）已知x满足，求的最大值与最小值及相应的x的值．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：函数的性质及应用．分析：由条件求得，化简函数y的解析式为，由此可得y最大值与最小值及相应的x的值．解答：已知x满足，求的最大值与最小值及相应的x的值．解：由题意，解得，∴．又∵=（log2x﹣1）（log2x﹣2）==，∴当时，，当log2x=3时，y max=2，即当时，；当x=8时，y max=2．点评：本题主要考查二元一次不等式、对数不等式的解法，属于中档题．17．（12分）设函数y=f（x）是定义在R+上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），．（1）求f（1）的值；（2）如果f（x）+f（2﹣x）＜2，求x的取值范围．考点：函数的值；函数单调性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）利用赋值法：令x=y=1即可求解（2）利用赋值法可得，f（）=2，然后结合f（xy）=f（x）+f（y），转化已知不等式，从而可求解答：解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0（4分）（2）∵∴∴，又由y=f（x）是定义在R+上的减函数，得：解之得：．…（12分）点评：本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值，及利用函数的单调性求解不等式，属于函数知识的综合应用18．（12分）某种商品每件进价12元，售价20元，每天可卖出48件．若售价降低，销售量可以增加，且售价降低x（0≤x≤8）元时，每天多卖出的件数与x2+x成正比．已知商品售价降低3元时，一天可多卖出36件．（1）试将该商品一天的销售利润表示成x的函数；（2）该商品售价为多少元时一天的销售利润最大？考点：函数最值的应用．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）确定每件商品的利润，每天卖出的商品件数，即可求得该商品一天的销售利润表示成x的函数；（2）求导函数，确定函数的极值，从而可得最大利润．解答：解：（1）由题意可设，每天多卖出的件数为k（x2+x），∴36=k（32+3），∴k=3 又每件商品的利润为（20﹣12﹣x）元，每天卖出的商品件数为48+3（x2+x）∴该商品一天的销售利润为f（x）=（8﹣x）[48+3（x2+x）]=﹣3x3+21x2﹣24x+384（0≤x≤8）（2）由f'（x）=﹣9x2+42x﹣24=﹣3（x﹣4）（3x﹣2）令f'（x）=0可得或x=4当x变化时，f'（x）、f（x）的变化情况如下表：0 4 8﹣0 + 0 ﹣384 ↘极小值↗极大值432 ↘0 ∴当商品售价为16元时，一天销售利润最大，最大值为432元点评：本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，解题的关键是确定函数的解析式．19．（8分）设函数f（x）=e2x+|e x﹣a|，（a为实数，x∈R）．（1）求证：函数f（x）不是奇函数；（2）若g（x）=x a在（0，+∞）单调减，求满足不等式f（x）＞a2的x的取值范围；（3）求函数f（x）的值域（用a表示）．考点：反证法与放缩法；奇偶性与单调性的综合；其他不等式的解法．专题：计算题；应用题；分类讨论；转化思想．分析：（1）利用反证法，假设f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），推出矛盾结果，即可证明函数f（x）不是奇函数；（2）利用g（x）=x a在（0，+∞）单调减，求出a的范围，然后解不等式f（x）＞a2，求出x的取值范围；（3）通过当a≤0，，，分别求函数f（x）的值域（用a表示）即可．解答：解：（1）证明：假设f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），而x∈R，则f（0）=0，而f（0）=e0+|e0﹣a|=1+|1﹣a|≠0，故假设不成立，从而函数f（x）不是奇函数．（2）因g（x）=x a在（0，+∞）单调减，则a＜0，e2x+|e x﹣a|=e2x+e x﹣a＞a2则（e x﹣a）（e x+a+1）＞0，而（e x﹣a）＞0，则e x＞﹣a﹣1，于是x＞ln[﹣（a+1）]；（3）设e x=t，则t＞0，y=f（x）=t2+|t﹣a|，当a≤0时，y=f（x）=t2+t﹣a在t＞0时单调增，则f（x）＞f（0）=﹣a；当时，y=f（x）=t2+t﹣a≥f（a）=a2；当时，；故当a≤0时，f（x）的值域为（﹣a，+∞）；当时，f（x）的值域为（a2，+∞）；当时，f（x）的值域为．点评：本题考查函数的单调性的应用，函数的值域的求法，分类讨论思想的应用，考查转化思想计算能力．20．（8分）已知奇函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=1处取得极大值2．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤c，求实数c的最小值；（3）若关于p的一元二次方程p2﹣2mp+4=0两个根均大于1，求函数的单调区间．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：（1）根据奇函数的性质f（﹣x）=f（x），已知条件函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=1处取得极大值2可以推出f′（1）=0和f（1）=2，代入即可求得函数y=f（x）的解析式；（2）根据题意对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤c，将问题转化为）|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（x）max﹣f（x）min|，求出f（x）的最大值和最小值即可；（3）已知关于p的一元二次方程p2﹣2mp+4=0两个根均大于1，根据根与系数的关系求出m的范围，利用导数研究函数g（x）的单调性；解答：解：（1）∵奇函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=1处取得极大值2，奇函数f（﹣x）=﹣f（x），解得b=0，可得f′（x）=3ax2+c由题，解得，f（x）=﹣x3+3x；（2）|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（x）max﹣f（x）min|=4，根据（1）可得f（x）=﹣x3+3x；求导得f′（x）=﹣3x2+3=﹣3（x2﹣1）令f′（x）=0，可得x=1或﹣1，当f′（x）＞0即﹣1＜x＜1，f（x）为增函数，当f′（x）＜0时即x＞1或x＜﹣1，f（x）为减函数，f（x）在x=1处取极大值f（1）=2，在x=﹣1处取得极小值f（﹣1）=﹣，2；f（﹣2）=2，f（2）=﹣2，∴f（x）max=2，f（x）min=﹣2，要使对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤c，∴|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（x）max﹣f（x）min|=4，故c的最小值为4；（3）p2﹣2mp+4=0两个根均大于1，则求得，g（x）=﹣x2+3+mlnx，则x＞0．．而，则时，g'（x）＞0，故是g（x）的单调增区间，时，g'（x）＜0，故是g（x）的单调减区间．点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查的知识点比较全面是一道中档题，这类题是高考的热点问题；21．（10分）已知a，b∈R，若所对应的变换T M把直线L：2x﹣y=3变换为自身，求实数a，b，并求M的逆矩阵．考点：逆变换与逆矩阵．专题：计算题；选作题．分析：首先分析题目已知所对应的变换T M把直线L：2x﹣y=3变换为自身，故可根据变换的性质列出一组方程式求解出a，b即可得到矩阵M，再根据MM1=E，求得M的逆矩阵即可．解答：解：设P（x，y）为直线2x﹣y=3上任意一点其在M的作用下变为（x'，y'）则代入2x﹣y=3得：﹣（b+2）x+（2a﹣3）y=3其与2x﹣y=3完全一样．故得则矩阵又因为MM1=E则点评：此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到逆矩阵的求法，题中是用一般方法求解，也可根据取特殊值法求解，具体题目具体分析找到最简便的方法．22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为（1）求直线l的倾斜角；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．考点：圆的参数方程；直线与圆相交的性质；直线的参数方程．专题：计算题．分析：（1）根据直线参数方程中的意义，求出直线l的倾斜角．（2）把曲线C的极坐标方程化为普通方程，可知曲线是圆，根据点到直线的距离公式和圆被直线所截得的弦长公式进行计算．解答：解：（1）直线参数方程可以化，根据直线参数方程的意义，这条经过点，倾斜角为60°的直线．（2）l的直角坐标方程为，的直角坐标方程为，所以圆心到直线l的距离，∴．点评：本题考查直线的参数方程、圆的极坐标方程，这两个方程是坐标系与参数方程中的重点．经过点P0（x0，y0）、倾斜角为α的直线的参数方程是其中t为参数，直线上的点P 处的参数t的几何意义是有限线段的数量．以及点到直线的距离公式的应用．23．（10分）甲、乙两名乒乓球运动员进行比赛，采用五局三胜制．若每一局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．现已完成一局比赛，乙暂时以1：0领先．（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；（2）设比赛结束时比赛的局数为X，求随机变量X的概率分布列和数学期望．考点：互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：压轴题．分析：（1）甲获得这次比赛胜利，包括甲以3：1获胜和甲以3：2获胜，而前两种情况是互斥的，根据独立重复试验公式和互斥事件的概率公式，列出算式，得到结果．（2）比赛结束时比赛的局数为X，则X的可能取值是3、4、5，当X=3时，乙获得比赛胜利，当X=4时，甲和乙都有可能胜利，包括甲第2、3、4局都胜，或是乙，第2、3局胜一局，第4局一定胜．解答：解：（1）设甲获胜为事件A，则甲获胜包括甲以3：1获胜（记为事件A1）和甲以3：2获胜（记为事件A2），且事件A1，A2为互斥事件，∴P（A）=P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=．答：甲获得这次比赛胜利的概率为．（2）随机变量X的所有可能取值为3，4，5，随机变量的分布列为P（X=3）=，P（X=4）==，P（X=5）=．∴随机变量X的数学期望为E（X）=．点评：本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识．24．（14分）已知多项式．（1）求f（1）及f（﹣1）的值；（2）试探求对一切整数n，f（n）是否一定是整数？并证明你的结论．考点：反证法与放缩法；函数的值．专题：计算题；压轴题．分析：（1）根据，直接求出f（1）和f（﹣1）的值．（2）对一切整数n，f（n）一定是整数．（10）先用数学归纳法证明：对一切正整数n，f（n）是整数．再证n=0时，f（0）是整数，再证当n为负整数时，令n=﹣m，m是正整数，证明f（﹣m）是整数，从而命题得证．解答：解：（1）∵，∴f（1）=1；f（﹣1）=0．（2）对一切整数n，f（n）一定是整数．证明如下：（10）先用数学归纳法证明：对一切正整数n，f（n）是整数．①当n=1时，f（1）=1，结论成立．②假设当n=k（k≥1，k∈N*）时，结论成立，即是整数，则当n=k+1时，==f（k）+k4+4k3+6k2+4k+1，根据假设f（k）是整数，而k4+4k3+6k2+4k+1显然是整数，故f（k+1）是整数，从而当n=k+1时，结论也成立．由①、②可知对对一切正整数n，f（n）是整数．…（7分）（20）当n=0时，f（0）=0是整数．…（8分）（30）当n为负整数时，令n=﹣m，则m是正整数，由（1）f（m）是整数，所以==﹣f（m）+m4是整数．综上，对一切整数n，f（n）一定是整数．…（10分）点评：本题主要考查二项式定理、用数学归纳法证明数学命题，推出当n=k+1时命题也成立，是解题的关键和难点，体现了分类讨论的数学思想，属于难题．。

上海市2020届高三数学一模考试汇编：三角比与三角函数(解析版)

2020年一模汇编——三角比、三角函数一、填空题【松江2】若角的终边过点4,3P ，则3sin2.【答案】45【解析】由角的终边过点4,3P可得到4cos5，又因为33334sinsincos cossin sincos 22225【奉贤2】在ABC ∆中，若60A =︒，2AB =，AC =ABC ∆的面积是___________. 【答案】3【解析】60,2,B AB AC =︒==∴根据余弦定理得：2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅即21242BC BC =+-,解得4BC =则ABC ∆的面积1sin 2S AB BC B =⋅⋅=【虹口4】若sin 2cos 02cos 1x xx =，则锐角x =__________.【答案】4π 【解析】012cos 2sin cos 22sin 2=--=-x x x x【奉贤4】设3,sin 2a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，1cos ,3b α⎛⎫= ⎪⎝⎭，且a b ∥，则cos2α=_____________.【答案】0【解析】31||,sin cos 0,sin 2123a b ααα∴⨯-⋅=∴=α为锐角，cos20α∴=【黄浦5】设θ为第二象限的角，3sin 5θ=，则tan2θ的值为__________. 【答案】247-【解析】由θ为第二象限的角，3sin 5θ=可得3tan 4θ=-，所以22tan 24tan 21tan 7θθθ==-- 【青浦5】已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与单位圆的交点坐标是34(,)55-，则sin2α=【答案】2425-【解析】由题意得54sin ,53cos =-=αα，所以2524cos sin 22sin -=⋅=ααα【徐汇6】已知函数()arcsin(21)f x x =+，则1()6f π-=【答案】14-【解析】考察反函数性质，令()()arcsin 216f x x π=+=，则1212x +=，解得14x =-。